>>Math: Mitä merkintä y = f(x) tarkoittaa matematiikassa

Mitä merkintä y \u003d f (x) tarkoittaa matematiikassa

Mitä tahansa todellista prosessia tutkiessaan he kiinnittävät yleensä huomiota kahteen prosessiin osallistuvaan suureen (monimutkaisempiin prosesseihin ei liity kahta määrää, vaan kolmea, neljää jne., mutta emme vielä ota sellaisia ​​prosesseja huomioon): yksi niistä muuttuu ikään kuin itsestään, kaikesta riippumatta (merkitsimme tällaista muuttujaa kirjaimella x), ja toinen arvo saa arvot, jotka riippuvat muuttujan x valituista arvoista (merkitsimme sellaista riippuvaa muuttujaa kirjaimella y). matemaattinen malli todellinen prosessi on juuri matemaattisella kielellä tietue y:n riippuvuudesta x:stä, ts. x:n ja y:n väliset suhteet. Muista vielä kerran, että tähän mennessä olemme tutkineet seuraavia matemaattisia malleja: y = b, y = kx, y = kx + m, y = x 2 .

Onko näillä matemaattisilla malleilla jotain yhteistä? On! Niiden rakenne on sama: y = f(x).

Tämä merkintä tulee ymmärtää seuraavasti: muuttujalla x on lauseke f (x), jonka avulla muuttujan y arvot löydetään.

Matemaatikot suosivat merkintää y = f(x) syystä. Olkoon esimerkiksi f (x) \u003d x 2, ts. me puhumme noin funktiot y = x 2. Oletetaan, että meidän on valittava useita argumentin arvoja ja funktion vastaavat arvot. Tähän mennessä olemme kirjoittaneet näin:

jos x \u003d 1, niin y \u003d I 2 \u003d 1;
jos x \u003d - 3, niin y \u003d (- Z) 2 \u003d 9 jne.

Jos käytämme merkintää f (x) \u003d x 2, merkintä on taloudellisempi:

f(1) = 12 = 1;
f(-3) = (-3) 2 = 9.

Joten tutustuimme vielä yhteen fragmenttiin matemaattinen kieli: lause "funktion y \u003d x 2 arvo pisteessä x \u003d 2 on 4" kirjoitetaan lyhyemmin:

"jos y \u003d f (x), missä f (x) \u003d x 2, niin f (2) \u003d 4."

Ja tässä on esimerkki käänteisestä käännöksestä:

Jos y \u003d f (x), missä f (x) \u003d x 2, niin f (- 3) \u003d 9. Toisella tavalla funktion y \u003d x 2 arvo pisteessä x \u003d - 3 on 9.

ESIMERKKI 1. Annettu funktio y \u003d f (x), missä f (x) \u003d x 3. Laskea:

a) f(1); b) f(-4); talousjohtaja); d) f(2a);
e) f(a-1); f) f(3x); g) f(-x).

Ratkaisu. Kaikissa tapauksissa toimintasuunnitelma on sama: lausekkeessa f (x) sinun on korvattava suluissa näkyvä argumentin arvo x:n sijaan ja suoritettava asianmukaiset laskelmat ja muunnokset. Meillä on:

Kommentti. Tietysti f-kirjaimen sijasta voit käyttää mitä tahansa muuta kirjainta (lähinnä latinalaisista aakkosista): g (x), h (x), s (x) jne.

Esimerkki 2 Kaksi funktiota annetaan: y \u003d f (x), missä f (x) \u003d x 2, ja y \u003d g (x), missä g (x) \u003d x 3. Todista se:

a) f(-x) = f(x); b) g(-x)=-g(x).

Ratkaisu. a) Koska f (x) \u003d x 2, niin f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d x 2. Joten f (x) \u003d x 2, f (- x) \u003d x 2, sitten f (- x) \u003d f (x)

b) Koska g (x) \u003d x 3, niin g (- x) \u003d -x 3, ts. g(-x) = -g(x).

Muotoa y = f(x) olevan matemaattisen mallin käyttö osoittautuu käteväksi monissa tapauksissa, erityisesti kun todellista prosessia kuvataan eri kaavoilla riippumattoman muuttujan eri vaihteluvälein.

Kuvataan joitain funktion y - f (x) ominaisuuksia käyttämällä kuvassa 68 muodostettua kuvaajaa - tällaista ominaisuuksien kuvausta kutsutaan yleensä graafin lukemiseksi.

Graafisen lukeminen on eräänlainen siirtymä geometrisesta mallista (graafisesta mallista) verbaaliseen malliin (funktion ominaisuuksien kuvaukseen). MUTTA
piirtäminen on siirtymistä analyyttisestä mallista (se esitetään esimerkin 4 ehdossa) geometriseen malliin.

Joten aloitetaan funktion y \u003d f (x) kaavion lukeminen (katso kuva 68).

1. Riippumaton muuttuja x kulkee kaikkien arvojen läpi -4:stä 4:ään. Toisin sanoen jokaiselle segmentin [-4, 4] x:n arvolle voidaan laskea funktion f(x) arvo. He sanovat tämän: [-4, 4] - toiminnon laajuus.

Miksi, kun ratkaisimme esimerkkiä 4, sanoimme, että f(5):n löytäminen oli mahdotonta? Kyllä, koska arvo x = 5 ei kuulu funktion alaan.

2. y naim = -2 (funktio saavuttaa tämän arvon kohdassa x = -4); Nanbissa. = 2 (funktio saavuttaa tämän arvon missä tahansa puolivälin (0, 4) kohdassa.

3. y = 0, jos 1 = -2 ja jos x = 0; näissä pisteissä funktion y = f(x) kuvaaja leikkaa x-akselin.

4. y > 0, jos x є (-2, 0) tai jos x є (0, 4]; näillä aikaväleillä funktion y \u003d f (x) kuvaaja sijaitsee x-akselin yläpuolella.

5. v< 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.

6. Funktio kasvaa välillä [-4, -1], pienenee välillä [-1, 0] ja on vakio (ei kasva eikä laske) puolivälissä (0,4).

Kun tutkimme funktioiden uusia ominaisuuksia, kaavion lukuprosessi muuttuu intensiivisemmäksi, merkityksellisemmäksi ja mielenkiintoisemmaksi.

Keskustellaanpa yhdestä näistä uusista ominaisuuksista. Esimerkissä 4 tarkastellun funktion kuvaaja koostuu kolmesta haarasta (kolmesta "palasta"). Ensimmäinen ja toinen haara (suora jana y \u003d x + 2 ja osa paraabelista) on "liitetty" onnistuneesti: jana päättyy pisteeseen (-1; 1) ja paraabeliosuus alkaa samasta pisteestä . Mutta toinen ja kolmas haara eivät ole yhtä onnistuneet "liittymään": kolmas haara (vaakaviivan "pala") ei ala pisteestä (0; 0), vaan pisteestä (0; 4). Matemaatikot sanovat näin: "funktio y = f(x) katkaisee kohdassa x = 0 (tai pisteessä x = 0)". Jos funktiolla ei ole epäjatkuvuuspisteitä, sitä kutsutaan jatkuvaksi. Joten kaikki funktiot, jotka tapasimme edellisissä kappaleissa (y = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) ovat jatkuvia.

Esimerkki 5. Annettu funktio. Sen aikataulu on laadittava ja luettava.

Ratkaisu. Kuten näet, tässä funktio annetaan melko monimutkaisella lausekkeella. Mutta matematiikka on yksi ja kiinteä tiede, sen osat liittyvät läheisesti toisiinsa. Hyödynnetään luvussa 5 oppimiamme ja vähennetään algebrallinen murtoluku

pätee vain rajoituksen alaisena. Siksi voimme muotoilla tehtävän uudelleen seuraavasti: funktion y = x 2 sijaan
tarkastelemme funktiota y \u003d x 2, jossa Koordinaattitasolle xOy rakennamme paraabelin y \u003d x 2.
Suora x = 2 leikkaa sen pisteessä (2; 4). Mutta ehdon mukaan se tarkoittaa, että meidän on jätettävä huomioimatta paraabelin piste (2; 4), jolle tämä piste merkitään piirustukseen vaalealla ympyrällä.

Siten funktion kaavio rakennetaan - se on paraabeli y \u003d x 2, jossa on "rei'itetty" piste (2; 4) (kuva 69).

Siirrytään funktion y \u003d f (x) ominaisuuksien kuvaamiseen, eli sen kaavion lukemiseen:

1. Riippumaton muuttuja x saa mitä tahansa arvoa paitsi x = 2. Tämä tarkoittaa, että funktion alue koostuu kahdesta avoimesta säteestä (- 0 o, 2) ja

2. y max = 0 (saavutettu x = 0), y max _ ei ole olemassa.

3. Funktio ei ole jatkuva, se käy läpi epäjatkuvuuden kohdassa x = 2 (pisteessä x = 2).

4. y = 0, jos x = 0.

5. y\u003e 0, jos x є (-oo, 0), jos x є (0, 2) ja jos x є (B, + oo).
6. Funktio pienenee säteellä (- ω, 0], kasvaa puolivälillä .

Kalenteri-teemaattinen suunnittelu matematiikassa, video- matematiikassa verkossa, matematiikka koulussa lataa

A. V. Pogorelov, Geometria luokille 7-11, Oppikirja oppilaitoksille

Oppitunnin sisältö oppitunnin yhteenveto tukikehys oppituntiesitys kiihdyttävät menetelmät interaktiiviset tekniikat Harjoitella tehtävät ja harjoitukset itsetutkiskelu työpajat, koulutukset, tapaukset, tehtävät kotitehtävät keskustelukysymykset opiskelijoiden retoriset kysymykset Kuvituksia ääni, videoleikkeet ja multimedia valokuvat, kuvat grafiikka, taulukot, kaaviot huumori, anekdootit, vitsit, sarjakuvavertaukset, sanonnat, ristisanatehtävät, lainaukset Lisäosat abstrakteja artikkelit sirut uteliaisiin huijausarkkeihin oppikirjat perus- ja lisäsanasto muut Oppikirjojen ja oppituntien parantaminenkorjata oppikirjan virheet päivittää oppikirjan fragmentti innovaation elementtejä oppitunnilla vanhentuneen tiedon korvaaminen uudella Vain opettajille täydellisiä oppitunteja kalenterisuunnitelma vuodelle keskusteluohjelman metodologiset suositukset Integroidut oppitunnit

Funktio $f(x)=|x|$

$|x|$ - moduuli. Se määritellään seuraavasti: Jos reaaliluku ei ole negatiivinen, niin modulo-arvo on sama kuin itse luku. Jos se on negatiivinen, niin moduulin arvo on sama kuin annetun luvun itseisarvo.

Matemaattisesti tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Esimerkki 1

Funktio $f(x)=[x]$

Funktio $f\left(x\right)=[x]$ on luvun kokonaislukuosan funktio. Se löydetään pyöristämällä luku (jos se ei ole itse kokonaisluku) "alas".

Esimerkki: $=2.$

Esimerkki 2

Tutkitaan ja suunnitellaan sitä.

1. $D\left(f\right)=R$.
2. Ilmeisesti tämä funktio ottaa vain kokonaislukuarvoja, eli $\ E\left(f\right)=Z$
3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Tästä syystä tämä toiminto on yleismuotoinen.
4. $(0,0)$ on ainoa leikkauspiste koordinaattiakselien kanssa.
5. $f"\left(x\right)=0$
6. Funktiolla on katkaisupisteet (funktion hyppyt) kaikille $x\in Z$.

Kuva 2.

Funktio $f\left(x\right)=\(x\)$

Funktio $f\left(x\right)=\(x\)$ on luvun murto-osan funktio. Se löydetään "hylkäämällä" tämän luvun kokonaislukuosa.

Esimerkki 3

Funktionkaavion tutkiminen ja piirtäminen

Funktio $f(x)=merkki(x)$

Funktio $f\left(x\right)=merkki(x)$ on etumerkkifunktio. Tämä funktio näyttää, mikä merkki reaaliluvulla on. Jos luku on negatiivinen, funktion arvo on $-1$. Jos luku on positiivinen, funktio on yhtä suuri kuin yksi. Jos luvun arvo on nolla, funktion arvo saa myös nolla-arvon.

Jos annetaan joukko numeroita X ja tapa f, jolla jokaiselle arvolle XЄ X vastaa vain yhtä numeroa klo. Sitten sitä harkitaan annettu toiminto y = f(X), jossa verkkotunnus X(yleensä viitataan D(f) = X). Paljon Y kaikki arvot klo, jolle on vähintään yksi arvo XЄ X, sellaista y = f(X), tällaista joukkoa kutsutaan arvot toimintoja f(yleisimmin mainittu E(f)= Y).

Tai yhden muuttujan riippuvuus klo toisesta X, jolle jokainen muuttujan arvo X tietystä sarjasta D vastaa muuttujan yksittäistä arvoa klo, kutsutaan toiminto.

Muuttujan y toiminnallista riippuvuutta x:stä korostaa usein merkintä y(x), jonka y lukee x:stä.

Verkkotunnus toimintoja klo(X), eli sen argumentin arvot X, merkitty symbolilla D(y), joka luetaan de:stä y.

Arvoalue toimintoja klo(X), eli se arvojoukko, jonka funktio y saa, on merkitty symbolilla E(klo), joka lukee e:stä Y.

Tärkeimmät tavat määritellä funktio ovat:

a) analyyttinen(kaavaa käyttämällä y = f(X)). Tämä menetelmä sisältää myös tapaukset, joissa funktio on annettu yhtälöjärjestelmällä. Jos funktio annetaan kaavalla, niin sen määritelmäalue on kaikki ne argumentin arvot, joille kaavan oikealle puolelle kirjoitetulla lausekkeella on arvoja.

b) taulukkomainen(käyttämällä vastaavien arvojen taulukkoa X ja klo). Tällä tavalla lämpötilajärjestelmä tai vaihtokurssit asetetaan usein, mutta tämä menetelmä ei ole yhtä selkeä kuin seuraava;

sisään) graafinen(käyttämällä kaaviota). Tämä on yksi visuaalisimmista tavoista asettaa funktio, koska muutokset "luetaan" välittömästi kaavion mukaan. Jos toiminto klo(X) saadaan graafista, sitten sen määritelmäalueesta D(y) on kaavion projektio x-akselille ja arvoalue E(klo) - kaavion projektio y-akselilla (katso kuva).

G) sanallinen. Tätä menetelmää käytetään usein ongelmissa tai pikemminkin niiden olosuhteiden kuvauksessa. Yleensä tämä menetelmä korvataan jollakin edellä mainituista.

Toiminnot y = f(X), xЄ X, ja y = g(X), xЄ X, kutsutaan identtisesti tasa-arvoinen osajoukossa M FROM X jos jokaiselle x 0 Є M reilu tasa-arvo f(X 0) = g(X 0).

Funktiokaavio y = f(X) voidaan esittää joukkona sellaisia ​​pisteitä ( X; f(X)) koordinaattitasolla, missä X on mielivaltainen muuttuja, alkaen D(f). Jos f(X 0) = 0, missä X 0 sitten piste koordinaatteineen ( x 0; 0) on piste, jossa funktion kuvaaja y = f(X) leikkaa O-akselin x. Jos 0Є D(f), sitten piste (0; f(0)) on piste, jossa funktion kuvaaja klo = f(x) leikkaa O-akselin klo.

Määrä X 0 / D(f) toiminnot y = f(X) on funktion nolla, milloin f(X 0) = 0.

aukko M FROM D(f) Tämä on vakioväli toimintoja y = f(X), jos jompikumpi on mielivaltainen xЄ M oikein f(X) > 0 tai mielivaltaiselle XЄ M oikein f(X) < 0.

On kodinkoneet, jotka piirtävät kaavioita suureiden välisistä riippuvuuksista. Nämä ovat barografit - laitteet ilmakehän paineen riippuvuuden kiinnittämiseksi ajasta, termografit - laitteet lämpötilan riippuvuuden kiinnittämiseksi ajasta, kardiografit - laitteet sydämen toiminnan graafiseen tallentamiseen. Termografissa on rumpu, se pyörii tasaisesti. Rummulle käärittyyn paperiin kosketetaan tallennin, joka lämpötilasta riippuen nousee ja laskee ja vetää paperille tietyn viivan.

Toiminnon esittämisestä kaavalla voit siirtyä sen esittämiseen taulukossa ja kaaviossa.

Matematiikkaa opiskellessa on erittäin tärkeää ymmärtää, mikä funktio on, sen alueet ja merkitykset. Ekstreemin funktioiden tutkimuksen avulla voidaan ratkaista monia algebran ongelmia. Jopa geometrian ongelmat liittyvät joskus geometristen kuvioiden yhtälöiden tarkastelemiseen tasossa.

Päästääy- jokin muuttuva toimintox; Lisäksi ei ole väliä miten tämä funktio annetaan: kaavalla, taulukolla vai jollain muulla tavalla. Vain itse tämän toiminnallisen riippuvuuden olemassaolo on tärkeä, mikä kirjoitetaan seuraavasti:y = f(x). Kirjef(latinan sanan "functio" alkukirjain - funktio) ei tarkoita mitään arvoa, aivan kuten kirjaimettukki, synti, tan toimintotietueissay= lokix, y= syntix, y= rusketusx. He puhuvat vain tietyistä toiminnallisista riippuvuuksista.yalkaenx. Äänitey = f (x) edustaaminkä tahansatoiminnallinen riippuvuus. Jos kaksi toiminnallista riippuvuutta:yalkaenxjazalkaenteroavat toisistaan, ne on kirjoitettu eri kirjaimilla:y = f (x) jaz = F (t). Jos jotkut riippuvuudet ovat samoja, ne kirjoitetaan samalla kirjaimellaf: y = f (x) jaz = f (t). Jos funktionaalisen riippuvuuden lausekey = f (x) tunnetaan, niin se voidaan kirjoittaa molemmilla funktiomerkinnöillä. Esimerkiksi,y= synti x tai f(x) = synti x. Molemmat muodot ovat täysin samanarvoisia. Joskus käytetään myös muuta kirjoitusmuotoa: y (x). Tämä tarkoittaa samaa kuin y = f (x).

Graafinen esitys funktioista.

Toimintoa edustamaany = f(x) kaavion muodossa tarvitset:

1) Kirjoita taulukkoon useita funktion arvoja ja sen argumenttia:

2) Siirrä funktion pisteiden koordinaatit taulukosta koordinaattijärjestelmään,

huomioimalla valitun asteikon abskissojen arvot päällä

kirveetXja akselin ordinaattien arvotY(Kuva 2). Tämän seurauksena järjestelmässämme

koordinaatit, rakennetaan sarja pisteitäA, B, C, . . . , F.

3) Pisteiden yhdistäminenA, B, C, . . . , Fsileä käyrä, saamme kaavion tiedosta

toiminnallinen riippuvuus.

Tällainen funktion graafinen esitys antaa visuaalisen esityksen sen käyttäytymisen luonteesta, mutta saavutettu tarkkuus on tässä tapauksessa riittämätön. On mahdollista, että välipisteet, joita ei ole piirretty kaavioon, ovat kaukana piirretystä tasaisesta käyrästä. Hyvät tulokset riippuvat suurelta osin myös hyvästä vaakojen valinnasta. Siksi se olisi määritettävä funktiokaavio as pisteiden paikka , koordinaatit jotka M (x, y) on yhdistetty tietyllä toiminnallisella riippuvuudella .

Toiminnon laajuus ja alue. Alkeismatematiikassa funktioita tutkitaan vain reaalilukujoukolla R. Tämä tarkoittaa, että funktion argumentti voi ottaa vain ne todelliset arvot, joille funktio on määritelty, ts. se myös hyväksyy vain todelliset arvot. Paljon X kaikki argumentin kelvolliset arvot x, jolle toiminto y= f(x) määritelty, kutsuttu toiminnon laajuus. Paljon Y kaikki todelliset arvot y että funktio hyväksyy kutsutaan toimintoalue. Nyt voimme antaa funktion tarkemman määritelmän: sääntö (laki) joukkojen X ja Y välisestä vastaavuudesta, jolla jokaiselle joukon X alkiolle löytyy yksi ja vain yksi alkio joukosta Y, kutsutaan funktioksi.