Tärkeä käsite matematiikassa on funktio. Sen avulla voit visualisoida monia luonnossa tapahtuvia prosesseja, heijastaa tiettyjen suureiden välistä suhdetta käyttämällä kaavoja, taulukoita ja kuvia kaaviossa. Esimerkkinä on nestekerroksen paineen riippuvuus kehossa upotussyvyydestä, kiihtyvyydestä - tietyn voiman vaikutuksesta kohteeseen, lämpötilan noususta - siirretystä energiasta ja monista muista prosesseista. Funktion tutkimiseen kuuluu graafin piirtäminen, sen ominaisuuksien, määritelmäalueen ja arvojen sekä kasvun ja laskun välien selvittäminen. Tärkeä kohta tässä prosessissa on ääripisteiden löytäminen. Kuinka tehdä se oikein, ja keskustelu jatkuu.

Itse konseptista tietyssä esimerkissä

Lääketieteessä funktiokaavion rakentaminen voi kertoa sairauden kehittymisen etenemisestä potilaan kehossa, mikä heijastaa selvästi hänen tilaansa. Oletetaan, että aika päivinä piirretään OX-akselia pitkin ja ihmiskehon lämpötila OY-akselia pitkin. Kuva osoittaa selvästi, kuinka tämä indikaattori nousee jyrkästi ja sitten laskee. On myös helppo havaita yksittäisiä pisteitä, jotka heijastavat hetkiä, jolloin funktio, aiemmin kasvanut, alkaa laskea ja päinvastoin. Nämä ovat äärimmäisiä pisteitä, eli kriittisiä arvoja (maksimi ja minimi) tässä potilaan lämpötilassa, minkä jälkeen hänen tilassaan tapahtuu muutoksia.

Kallistuskulma

Kuvasta on helppo päätellä, kuinka funktion derivaatta muuttuu. Jos kaavion suorat nousevat ajan myötä, se on positiivinen. Ja mitä jyrkempiä ne ovat, sitä suurempi on derivaatan arvo, kun kaltevuuskulma kasvaa. Laskemisjaksojen aikana tämä arvo saa negatiiviset arvot kääntyen nollaan ääripisteissä, ja jälkimmäisessä tapauksessa derivaatan kuvaaja piirretään yhdensuuntaisesti OX-akselin kanssa.

Kaikki muut prosessit tulee käsitellä samalla tavalla. Mutta paras tapa kertoa tästä käsitteestä on eri kappaleiden liike, joka näkyy selvästi kaavioissa.

Liike

Oletetaan, että jokin esine liikkuu suorassa linjassa nopeuttaen tasaisesti. Tänä aikana kehon koordinaattien muutos edustaa graafisesti tiettyä käyrää, jota matemaatikko kutsuisi paraabelin haaraksi. Samalla toiminto kasvaa jatkuvasti, koska koordinaattiosoittimet muuttuvat nopeammin ja nopeammin joka sekunti. Nopeuskäyrä näyttää derivaatan käyttäytymisen, jonka arvo myös kasvaa. Tämä tarkoittaa, että liikkeellä ei ole kriittisiä kohtia.

Tämä jatkuisi loputtomiin. Mutta entä jos keho yhtäkkiä päättää hidastaa, pysähtyä ja alkaa liikkua eri suuntaan? Tässä tapauksessa koordinaattiosoittimet alkavat pienentyä. Ja funktio välittää kriittisen arvon ja muuttuu kasvavasta laskevaksi.

Tässä esimerkissä voit jälleen ymmärtää, että funktion kaavion ääripisteet näkyvät hetkinä, jolloin se lakkaa olemasta monotoninen.

Johdannan fyysinen merkitys

Aiemmin kuvattu osoitti selvästi, että derivaatta on oleellisesti funktion muutosnopeus. Tämä jalostus sisältää sen fyysisen merkityksen. Ääripisteet ovat kriittisiä alueita kaaviossa. Ne on mahdollista selvittää ja havaita laskemalla derivaatan arvo, joka osoittautuu nollaksi.

On toinenkin merkki, joka on riittävä ehto ääripäälle. Tällaisissa käännekohdissa derivaatta muuttaa merkkiään: "+":sta "-":ksi maksimin alueella ja "-":sta "+":ksi minimin alueella.

Liikkuminen painovoiman vaikutuksesta

Kuvitellaanpa toinen tilanne. Lapset, jotka pelasivat palloa, heittivät sitä niin, että se alkoi liikkua kulmassa horisonttiin nähden. Alkuhetkellä tämän kohteen nopeus oli suurin, mutta painovoiman vaikutuksesta se alkoi laskea ja joka sekunti samalla arvolla, joka on noin 9,8 m / s 2. Tämä on kiihtyvyyden arvo, joka tapahtuu maan painovoiman vaikutuksesta vapaan pudotuksen aikana. Kuussa se olisi noin kuusi kertaa pienempi.

Kehon liikettä kuvaava kaavio on paraabeli, jonka oksat osoittavat alaspäin. Kuinka löytää ääripisteitä? Tässä tapauksessa tämä on funktion kärki, jossa kappaleen (pallon) nopeus saa nollaarvon. Funktion derivaatasta tulee nolla. Tässä tapauksessa suunta ja siten nopeuden arvo muuttuu päinvastaiseksi. Keho lentää alas joka sekunti nopeammin ja nopeammin ja kiihtyy saman verran - 9,8 m/s 2 .

Toinen johdannainen

Edellisessä tapauksessa nopeusmoduulin käyrä piirretään suorana. Tämä viiva on ensin suunnattu alaspäin, koska tämän suuren arvo pienenee jatkuvasti. Saavutettuaan nollan jossakin aikapisteessä tämän arvon indikaattorit alkavat kasvaa ja nopeusmoduulin graafisen esityksen suunta muuttuu dramaattisesti. Nyt viiva osoittaa ylöspäin.

Nopeudella, joka on koordinaatin derivaatta ajan suhteen, on myös kriittinen piste. Tällä alueella toiminto, joka alun perin pienenee, alkaa kasvaa. Tämä on funktion derivaatan ääripisteen paikka. Tässä tapauksessa tangentin jyrkkyydestä tulee nolla. Ja kiihtyvyys, joka on koordinaatin toinen derivaatta ajan suhteen, muuttaa merkin "-":sta "+":ksi. Ja liike tasaisen hitaalta muuttuu tasaisesti kiihtyväksi.

Kiihtyvyyskaavio

Harkitse nyt neljää lukua. Jokainen niistä näyttää kaavion sellaisen fyysisen suuren kuin kiihtyvyyden muutoksista ajan kuluessa. "A":n tapauksessa sen arvo pysyy positiivisena ja vakiona. Tämä tarkoittaa, että kehon nopeus, kuten sen koordinaatti, kasvaa jatkuvasti. Jos kuvittelemme kohteen liikkuvan tällä tavalla äärettömän pitkään, niin koordinaatin ajasta riippuvuutta heijastava funktio osoittautuu jatkuvasti kasvavaksi. Tästä seuraa, että sillä ei ole kriittisiä alueita. Myöskään derivaatan, eli lineaarisesti muuttuvan nopeuden, kuvaajassa ei ole ääripisteitä.

Sama koskee tapausta "B", jossa on positiivinen ja jatkuvasti kasvava kiihtyvyys. Totta, koordinaattien ja nopeuden kuvaajat ovat täällä hieman monimutkaisempia.

Kun kiihtyvyys menee nollaan

Katsomalla kuviota "B", voidaan havaita täysin erilainen kuva, joka luonnehtii kehon liikettä. Sen nopeus esitetään graafisesti paraabelina, jonka oksat osoittavat alaspäin. Jos jatkamme kiihtyvyyden muutosta kuvaavaa riviä, kunnes se leikkaa OX-akselin, ja edelleen, voimme kuvitella, että tähän kriittiseen arvoon asti, jossa kiihtyvyys osoittautuu nollaksi, kohteen nopeus kasvaa. yhä hitaammin. Koordinaattifunktion derivaatan ääripiste on juuri paraabelin yläosassa, minkä jälkeen keho muuttaa radikaalisti liikkeen luonnetta ja alkaa liikkua eri suuntaan.

Jälkimmäisessä tapauksessa "G" liikkeen luonnetta ei voida määrittää tarkasti. Täällä tiedämme vain, että kiihdytystä ei ole tarkasteltavana olevan ajanjakson aikana. Tämä tarkoittaa, että esine voi pysyä paikallaan tai liike tapahtuu vakionopeudella.

Koordinoi lisäystehtävä

Siirrytään tehtäviin, joita usein kohdataan algebraa opiskellessa koulussa ja joita tarjotaan tenttiin valmistautumiseen. Alla oleva kuva esittää funktion kaaviota. On laskettava ääripisteiden summa.

Teemme tämän y-akselille määrittämällä kriittisten alueiden koordinaatit, joissa havaitaan muutos funktion ominaisuuksissa. Yksinkertaisesti sanottuna löydämme arvot x-akselilta käännepisteille ja jatkamme sitten tuloksena olevien termien lisäämistä. Kaavion mukaan on selvää, että ne ottavat seuraavat arvot: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. Tämä on -21, mikä on vastaus.

Optimaalinen ratkaisu

Ei ole tarpeen selittää, kuinka tärkeää optimaalisen ratkaisun valinta voi olla käytännön tehtävien suorittamisessa. Loppujen lopuksi tavoitteen saavuttamiseksi on monia tapoja, ja paras tapa ulos on yleensä vain yksi. Tämä on erittäin tarpeellista esimerkiksi suunniteltaessa laivoja, avaruusaluksia ja lentokoneita, arkkitehtonisia rakenteita, jotta löydettäisiin optimaalinen muoto näille ihmisen tekemille esineille.

Ajoneuvojen nopeus riippuu suurelta osin niiden vastuksen pätevästä minimoinnista, jota ne kokevat liikkuessaan veden ja ilman läpi, painovoimavoimien ja monien muiden indikaattoreiden vaikutuksesta syntyvistä ylikuormituksista. Merellä oleva alus tarvitsee sellaisia ​​ominaisuuksia kuin vakautta myrskyn aikana, jokilaivalle vähimmäissyväys on tärkeä. Optimaalista suunnittelua laskettaessa kaavion ääripisteet voivat antaa visuaalisesti käsityksen parhaasta ratkaisusta monimutkaiseen ongelmaan. Tällaisen suunnitelman tehtävät ratkaistaan ​​usein taloudessa, talouselämässä, monissa muissa elämäntilanteissa.

Muinaisesta historiasta

Äärimmäiset tehtävät vaivasivat jopa muinaisia ​​viisaita. Kreikkalaiset tutkijat onnistuivat ratkaisemaan alueiden ja tilavuuksien mysteerin matemaattisten laskelmien avulla. He ymmärsivät ensimmäisinä, että eri kuvioiden tasossa, joilla on sama kehä, ympyrän pinta-ala on aina suurin. Vastaavasti pallolla on suurin tilavuus muiden saman pinta-alan omaavien tilan kohteiden joukossa. Sellaiset kuuluisat persoonallisuudet kuten Arkhimedes, Eukleides, Aristoteles ja Apollonius omistautuivat tällaisten ongelmien ratkaisemiseen. Heron onnistui erittäin hyvin ääripisteiden löytämisessä, joka laskelmiin turvautuen rakensi nerokkaita laitteita. Näitä olivat höyryn avulla liikkuvat automaattiset koneet, pumput ja samalla periaatteella toimivat turbiinit.

Karthagon rakentaminen

On legenda, jonka juoni perustuu yhden äärimmäisistä tehtävistä ratkaisemiseen. Viisaiden puoleen kääntyneen foinikialaisen prinsessan osoittaman liikelähestymistavan tulos oli Karthagon rakentaminen. Erään afrikkalaisen heimon johtaja esitteli tämän muinaisen ja kuuluisan kaupungin tontin Didolle (se oli hallitsijan nimi). Tontin pinta-ala ei tuntunut hänestä aluksi kovin suurelta, sillä sopimuksen mukaan se piti peittää härännahalla. Mutta prinsessa käski sotilaita leikkaamaan sen ohuiksi nauhoiksi ja tekemään niistä vyön. Se osoittautui niin pitkäksi, että se peitti alueen, jolle koko kaupunki mahtui.

Laskun alkuperä

Ja nyt siirrytään muinaisista ajoista myöhempään aikakauteen. Mielenkiintoista on, että 1600-luvulla Kepleriä kehotti ymmärtämään matemaattisen analyysin perusteet tapaaminen viinimyyjän kanssa. Kauppias oli niin hyvin perehtynyt ammattiinsa, että hän pystyi helposti määrittämään tynnyrissä olevan juoman tilavuuden laskemalla siihen rautaisen kiristysnauhan. Pohdittuaan tällaista uteliaisuutta, kuuluisa tiedemies onnistui ratkaisemaan tämän ongelman itselleen. Osoittautuu, että noiden aikojen taitavat cooperit saivat mielensä tehdä astioita siten, että niillä oli tietyllä korkeudella ja kiinnitysrenkaiden ympärysmitan säteellä maksimikapasiteetti.

Tästä tuli Keplerille tilaisuus jatkaa pohdintaa. Bocharit pääsivät optimaaliseen ratkaisuun pitkän etsinnän, virheiden ja uusien yritysten kautta siirtäen kokemustaan ​​sukupolvelta toiselle. Mutta Kepler halusi nopeuttaa prosessia ja oppia tekemään saman lyhyessä ajassa matemaattisten laskelmien avulla. Kaikki hänen kollegansa poimima kehitystyö muuttui nyt tunnetuiksi Fermatin ja Newtonin - Leibnizin lauseiksi.

Suurimman alueen löytämisen ongelma

Kuvittele, että meillä on lanka, jonka pituus on 50 cm. Kuinka tehdä siitä suorakulmio, jolla on suurin pinta-ala?

Päätöstä tehtäessä tulee edetä yksinkertaisista ja tunnetuista totuuksista. On selvää, että figuurimme ympärysmitta tulee olemaan 50 cm. Se koostuu myös kaksinkertaisista molempien sivujen pituuksista. Tämä tarkoittaa, että kun yksi niistä on merkitty "X", toinen voidaan ilmaista muodossa (25 - X).

Tästä saamme alueen, joka on yhtä suuri kuin X (25 - X). Tämä lauseke voidaan esittää funktiona, joka saa monia arvoja. Tehtävän ratkaiseminen vaatii niistä maksimimäärän löytämistä, mikä tarkoittaa, että sinun tulee selvittää ääripisteet.

Tätä varten etsimme ensimmäisen derivaatan ja rinnastamme sen nollaan. Tuloksena on yksinkertainen yhtälö: 25 - 2X = 0.

Siitä opimme, että yksi sivuista on X = 12,5.

Siksi toinen: 25 - 12,5 \u003d 12,5.

Osoittautuu, että ratkaisu ongelmaan on neliö, jonka sivu on 12,5 cm.

Kuinka löytää maksiminopeus

Tarkastellaanpa vielä yhtä esimerkkiä. Kuvittele, että on kappale, jonka suoraviivaista liikettä kuvaa yhtälö S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, jossa kuljettu matka ilmaistaan ​​metreinä ja aika sekunteina. Suurin nopeus on löydettävä. Kuinka tehdä se? Etsi ladattu nopeus, eli ensimmäinen johdannainen.

Saamme yhtälön: V = - 3t 2 + 18t - 24. Nyt ongelman ratkaisemiseksi meidän on jälleen löydettävä ääripisteet. Tämä on tehtävä samalla tavalla kuin edellisessä tehtävässä. Löydämme nopeuden ensimmäisen derivaatan ja rinnastamme sen nollaan.

Saamme: - 6t + 18 = 0. Siten t = 3 s. Tämä on aika, jolloin kehon nopeus saa kriittisen arvon. Korvaamme saadut tiedot nopeusyhtälöön ja saamme: V = 3 m/s.

Mutta kuinka ymmärtää, että tämä on juuri maksiminopeus, koska funktion kriittiset pisteet voivat olla sen suurimmat tai pienimmät arvot? Tarkistaaksesi, sinun on löydettävä nopeuden toinen derivaatta. Se ilmaistaan ​​numerona 6 miinusmerkillä. Tämä tarkoittaa, että löydetty piste on maksimi. Ja jos toisen derivaatan arvo on positiivinen, olisi olemassa minimi. Näin ollen löydetty ratkaisu oli oikea.

Esimerkkinä annetut tehtävät ovat vain osa niistä, jotka voidaan ratkaista pystymällä löytämään funktion ääripisteet. Itse asiassa niitä on monia muitakin. Ja tällainen tieto avaa rajattomat mahdollisuudet ihmissivilisaatiolle.

Harkitse tunnetun sahaprofiilin kahta hammasta. Ohjataan akseli sahan tasaista sivua pitkin ja akseli - kohtisuoraan sitä vastaan. Otetaan kaavio jostain funktiosta, joka näkyy kuvassa. 1.

On aivan selvää, että sekä pisteessä että pisteessä funktion arvot osoittautuvat suurimmiksi verrattuna arvoihin naapuripisteissä oikealla ja vasemmalla, ja pisteessä - pienin verrattuna naapuripisteisiin. Pisteitä kutsutaan funktion ääripisteiksi (latinan ääripäästä - "äärimmäinen"), pisteet ja ovat maksimipisteitä ja piste on minimipiste (latinalaisesta maksimi- ja minimipisteistä - "suurin" ja "pienin" ”).

Tarkennamme ääripään määritelmää.

Pisteessä olevan funktion sanotaan olevan maksimi, jos on pisteen sisältävä ja funktion alueeseen kuuluva intervalli siten, että tämän välin kaikille pisteille se on . Vastaavasti funktiolla pisteessä on minimi, jos ehto täyttyy tietyn aikavälin kaikissa pisteissä.

Kuvassa Kuvat 2 ja 3 esittävät kaavioita funktioista, joilla on ääripiste pisteessä.

Kiinnitetään huomiota siihen, että määritelmän mukaan ääripisteen tulee sijaita funktion asetusvälin sisällä, ei sen lopussa. Siksi kuvassa esitetylle toiminnolle. 1, ei voida olettaa, että sillä on minimipisteessä.

Jos tässä funktion maksimi (minimi) määritelmässä korvataan tiukka epäyhtälö ei-tiukalla , niin saadaan ei-tiukan maksimin määritelmä (ei-tiukka minimi). Harkitse esimerkiksi vuorenhuippua (kuva 4). Jokainen tasaisen alueen piste - segmentti on ei-tiukka maksimipiste.

Differentiaalilaskennassa funktion tutkiminen ääriarvoille on erittäin tehokasta ja se suoritetaan yksinkertaisesti derivaatta käyttämällä. Eräs differentiaalilaskennan päälauseista, joka asettaa välttämättömän ehdon differentioituvan funktion ääripäälle, on Fermat'n lause (ks. Fermat'n lause). Olkoon pisteen funktiolla ääriarvo. Jos tässä vaiheessa on derivaatta, se on yhtä suuri kuin nolla.

Geometrisessä kielessä Fermat'n lause tarkoittaa, että ääripisteessä funktion kuvaajan tangentti on vaakasuora (kuva 5). Käänteinen väite ei tietenkään pidä paikkaansa, mikä näkyy esimerkiksi kuvan 1 kaaviossa. 6.

Lause on nimetty ranskalaisen matemaatikon P. Fermat'n mukaan, joka oli yksi ensimmäisistä, joka ratkaisi joukon äärimmäisiä tehtäviä. Hänellä ei vielä ollut käytössään derivaatan käsitettä, mutta hän käytti tutkimuksessaan menetelmää, jonka olemus ilmaistaan ​​lauseen lausunnossa.

Riittävä ehto differentioituvan funktion ääripäälle on derivaatan etumerkin muutos. Jos derivaatan jossain vaiheessa etumerkki muuttuu miinuksesta plussiksi, ts. sen lasku korvataan nousulla, silloin pisteestä tulee minimipiste. Piste on päinvastoin maksimipiste, jos derivaatan etumerkki muuttuu plussasta miinusmerkkiin, ts. siirtyy nousevasta laskevaan.

Pistettä, jossa funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, kutsutaan stationaariseksi. Jos ääripäälle tutkitaan differentioituvaa funktiota, niin sen kaikki stationaariset pisteet on löydettävä ja derivaatan merkkejä tulee tarkastella niiden vasemmalla ja oikealla puolella.

Tutkimme ääripään funktiota.

Etsitään sen johdannainen: .

Siirrytään funktion y \u003d x 3 - 3x 2 kuvaajaan. Tarkastellaan pisteen x = 0 lähialuetta, ts. jokin intervalli, joka sisältää tämän pisteen. On loogista, että pisteellä x \u003d 0 on sellainen ympäristö, että funktio y \u003d x 3 - 3x 2 saa suurimman arvon tässä ympäristössä pisteessä x \u003d 0. Esimerkiksi välissä (- 1; 1) suurin arvo, joka on yhtä suuri kuin 0, funktio saa pisteestä x = 0. Pistettä x = 0 kutsutaan tämän funktion maksimipisteeksi.

Samoin pistettä x \u003d 2 kutsutaan funktion x 3 - 3x 2 minimipisteeksi, koska tässä vaiheessa funktion arvo ei ole suurempi kuin sen arvo toisessa pisteen x \u003d 2 läheisyydessä. esimerkiksi naapurustossa (1,5; 2,5).

Siten pistettä x 0 kutsutaan funktion f (x) maksimipisteeksi, jos pisteen x 0 naapurustossa on sellainen, että epäyhtälö f (x) ≤ f (x 0) täyttyy kaikille x:lle tästä. naapurustossa.

Esimerkiksi piste x 0 \u003d 0 on funktion f (x) \u003d 1 - x 2 maksimipiste, koska f (0) \u003d 1 ja epäyhtälö f (x) ≤ 1 on totta kaikille arvoille. x:stä.

Funktion f (x) minimipistettä kutsutaan pisteeksi x 0, jos pisteen x 0 ympäristö on sellainen, että epäyhtälö f (x) ≥ f (x 0) täyttyy kaikille tämän ympäristön x:ille.

Esimerkiksi piste x 0 \u003d 2 on funktion f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2 minimipiste, koska f (2) \u003d 3 ja f (x) ≥ 3 kaikille x .

Ääripisteitä kutsutaan minimipisteiksi ja maksimipisteiksi.

Käännytään funktioon f(x), joka on määritelty jossain pisteen x 0 ympäristössä ja jolla on tässä pisteessä derivaatta.

Jos x 0 on differentioituvan funktion f (x) ääripiste, niin f "(x 0) \u003d 0. Tätä lausetta kutsutaan Fermatin lauseeksi.

Fermatin lauseella on selkeä geometrinen merkitys: ääripisteessä tangentti on yhdensuuntainen x-akselin kanssa ja siten sen kaltevuus
f "(x 0) on nolla.

Esimerkiksi funktiolla f (x) \u003d 1 - 3x 2 on maksimi pisteessä x 0 \u003d 0, sen derivaatta f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.

Funktiolla f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 on minimi pisteessä x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

Huomaa, että jos f "(x 0) \u003d 0, tämä ei riitä väittämään, että x 0 on välttämättä funktion f (x) ääripiste.

Esimerkiksi, jos f (x) \u003d x 3, niin f "(0) \u003d 0. Piste x \u003d 0 ei kuitenkaan ole ääripiste, koska funktio x 3 kasvaa koko reaaliakselilla.

Eli differentioituvan funktion ääripisteitä tulee etsiä vain yhtälön juurien joukosta
f "(x) \u003d 0, mutta tämän yhtälön juuri ei aina ole ääripiste.

Kiinteät pisteet ovat pisteitä, joissa funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla.

Näin ollen, jotta piste x 0 olisi ääripiste, sen on oltava stationaaripiste.

Oletetaan, että paikallaan olevan pisteen olosuhteet ovat riittävät ääripisteeksi, ts. olosuhteet, joissa kiinteä piste on funktion minimi- tai maksimipiste.

Jos stationaarisen pisteen vasemmalla puolella oleva derivaatta on positiivinen ja oikealla negatiivinen, ts. derivaatta muuttaa merkin "+" merkiksi "-" kulkiessaan tämän pisteen läpi, jolloin tämä paikallaan oleva piste on maksimipiste.

Todellakin, tässä tapauksessa kiinteän pisteen vasemmalla puolella funktio kasvaa ja oikealla pienenee, ts. tämä piste on maksimipiste.

Jos derivaatta muuttaa merkin "-" merkiksi "+" kulkiessaan stationaarisen pisteen läpi, niin tämä stationaaripiste on minimipiste.

Jos derivaatta ei vaihda etumerkkiä kulkiessaan stationaarisen pisteen läpi, ts. derivaatta on positiivinen tai negatiivinen kiinteän pisteen vasemmalla ja oikealla puolella, silloin tämä piste ei ole ääripiste.

Tarkastellaanpa yhtä ongelmaa. Etsi funktion f (x) \u003d x 4 - 4x 3 ääripisteet.

Ratkaisu.

1) Etsi derivaatta: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) Etsi kiinteät pisteet: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) Intervallimenetelmää käyttämällä todetaan, että derivaatta f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) on positiivinen x\u003e 3:lle, negatiivinen x:lle< 0 и при 0 < х < 3.

4) Koska pisteen x 1 \u003d 0 läpi kulkiessa derivaatan etumerkki ei muutu, tämä piste ei ole ääripiste.

5) Derivaata muuttaa merkin "-" merkiksi "+" kulkiessaan pisteen x 2 \u003d 3 läpi. Siksi x 2 \u003d 3 on minimipiste.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Määritelmät:

ääripää nimeä funktion enimmäis- tai minimiarvo tietyssä joukossa.

äärimmäinen kohta on piste, jossa funktion maksimi- tai minimiarvo saavutetaan.

Maksimipiste on piste, jossa funktion maksimiarvo saavutetaan.

Matala kohta on piste, jossa funktion minimiarvo saavutetaan.

Selitys.

Kuvassa pisteen x = 3 läheisyydessä funktio saavuttaa maksimiarvonsa (eli tämän pisteen läheisyydessä ei ole korkeampaa pistettä). X = 8:n naapurustossa sillä on taas maksimiarvo (täsmennetään jälleen: juuri tässä naapurustossa ei ole pistettä yllä). Näissä kohdissa nousu korvataan laskulla. Ne ovat maksimipisteitä:

xmax = 3, xmax = 8.

Pisteen x = 5 läheisyydessä saavutetaan funktion minimiarvo (eli x = 5:n läheisyydessä ei ole pistettä alla). Tässä vaiheessa lasku korvataan nousulla. Se on minimipiste:

Maksimi- ja minimipisteet ovat funktion ääripisteet, ja funktion arvot näissä kohdissa ovat sen ääripäät.

Toiminnon kriittiset ja kiinteät pisteet:

Ekstreemin välttämätön ehto:

Riittävä kunto ääripäälle:

Segmentillä funktio y = f(x) voi saavuttaa minimi- tai maksimiarvonsa joko kriittisissä kohdissa tai segmentin päissä.

Algoritmi jatkuvan funktion tutkimiseeny = f(x) monotonisuus ja äärimmäisyydet:

Olkoon funktio $z=f(x,y)$ määritelty jossain pisteen $(x_0,y_0)$ ympäristössä. Sanotaan, että $(x_0,y_0)$ on (paikallinen) maksimipiste, jos kaikissa pisteissä $(x,y)$ jossain $(x_0,y_0)$ ympäristössä epäyhtälö $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, niin pistettä $(x_0,y_0)$ kutsutaan (paikalliseksi) minimipisteeksi.

Korkeat ja matalat kohdat kutsutaan usein yleistermillä ääripisteet.

Jos $(x_0,y_0)$ on maksimipiste, niin funktion $f(x_0,y_0)$ arvoa tässä pisteessä kutsutaan funktion $z=f(x,y)$ maksimiarvoksi. Vastaavasti funktion arvoa minimipisteessä kutsutaan funktion $z=f(x,y)$ minimiksi. Funktion minimit ja maksimit yhdistetään yhteisellä termillä - funktion ääripäällä.

Algoritmi funktion $z=f(x,y)$ tutkimiseen ääripäälle

1. Etsi $\frac(\partial z)(\partial x)$ ja $\frac(\partial z)(\partial y)$ osittaiset derivaatat. Laadi ja ratkaise yhtälöjärjestelmä $ \left \( \begin(tasattu) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 \ end(tasattu) \right.$ Pisteitä, joiden koordinaatit täyttävät määritetyn järjestelmän, kutsutaan stationaarisiksi.
2. Etsi $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ ja laske arvo $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\ frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ jokaisessa kiinteässä pisteessä. Käytä sen jälkeen seuraavaa kaaviota:
   1. Jos $\Delta > 0$ ja $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (tai $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$, silloin tutkittavassa kohdassa on minimipiste.
   2. Jos $\Delta > 0$ ja $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Jos $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Jos $\Delta = 0$, niin ääripään olemassaolosta ei voida sanoa mitään varmaa; lisätutkimuksia tarvitaan.

Huomautus (toivottava tekstin ymmärtämiseksi): näytä\piilota

Jos $\Delta > 0$ niin $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ partial ^2z)(\osittainen x\osittainen y) \oikea)^2 > 0$. Ja tästä seuraa, että $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ) (\osittainen x\osittainen y) \oikea)^2 ≥ 0$. Nuo. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Jos joidenkin suureiden tulo on suurempi kuin nolla, niin näillä suureilla on sama merkki. Eli jos esimerkiksi $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, niin $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Lyhyesti sanottuna, jos $\Delta > 0$, $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ ja $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ merkit ovat sama.

Esimerkki #1

Tutki funktiota $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ ääripäälle.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \vasen \( \begin(tasattu) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(tasattu) \oikea. $$

Pienennetään tämän järjestelmän kutakin yhtälöä $2 $ ja siirretään luvut yhtälöiden oikealle puolelle:

$$ \vasen \( \begin(tasattu) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(tasattu) \oikea. $$

Olemme saaneet lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän. Tässä tilanteessa se on mielestäni kätevin Cramerin menetelmän sovellus ratkaista tuloksena oleva systeemi.

$$ \begin(tasattu) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \ & \Delta_x=\left| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \ & \Delta_y=\left| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(tasattu) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Arvot $x=2$, $y=-3$ ovat kiinteän pisteen $(2;-3)$ koordinaatteja.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

Lasketaan $\Delta$:n arvo:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Koska $\Delta > 0$ ja $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, niin pisteen mukaan $(2;-3)$ on funktion $ minimipiste z$. Löydämme funktion $z$ minimin korvaamalla pisteen $(2;-3)$ koordinaatit annettuun funktioon:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cpiste 2^2-6\cpiste 2 \cpiste (-3)-34\cpiste 2+5\cpiste (-3)^2+42\ cdot(-3)+7=-90. $$

Vastaus: $(2;-3)$ - minimipiste; $z_(min) = -90 $.

Esimerkki #2

Tutki funktiota $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ ääripäälle.

Noudatamme yllä olevaa. Etsitään ensin ensimmäisen asteen osittaiset derivaatat:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

Laadi yhtälöjärjestelmä $ \left \( \begin(tasattu) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ end( tasattu)\right.$:

$$ \left \( \begin(tasattu) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(tasattu) \oikea. $$

Pienennä ensimmäistä yhtälöä kolmella ja toista 6:lla.

$$ \left \( \begin(tasattu) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(tasattu) \oikea. $$

Jos $x=0$, niin toinen yhtälö johtaa meidät ristiriitaan: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Tästä päätelmä: $x\neq 0$. Sitten toisesta yhtälöstä saamme: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Korvaamalla $y=\frac(2)(x)$ ensimmäiseen yhtälöön, meillä on:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Saimme bikvadraattisen yhtälön. Teemme korvauksen $t=x^2$ (muistamme, että $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(tasattu) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(tasattu) $$

Jos $t=1$, niin $x^2=1$. Tästä syystä meillä on kaksi arvoa $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Jos $t=4$, niin $x^2=4$, ts. $x_3=2$, $x_4=-2$. Kun muistamme, että $y=\frac(2)(x)$, saamme:

\begin(tasattu) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2) = -1. \end(tasattu)

Meillä on siis neljä kiinteää pistettä: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Tämä suorittaa algoritmin ensimmäisen vaiheen.

Siirrytään nyt algoritmiin. Etsitään toisen kertaluvun osittaiset derivaatat:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

Etsi $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Nyt laskemme $\Delta$:n arvon jokaisessa aiemmin löydetyssä paikallaan olevassa pisteessä. Aloitetaan pisteestä $M_1(1;2)$. Tässä vaiheessa meillä on: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Alkaen $\Delta(M_1)< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

Tutkitaan pistettä $M_2(-1;-2)$. Tässä vaiheessa meillä on: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Alkaen $\Delta(M_2)< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

Tarkastellaan pistettä $M_3(2;1)$. Tässä vaiheessa saamme:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Koska $\Delta(M_3) > 0$ ja $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, sitten $M_3(2; 1)$ on funktion $z$ minimipiste. Löydämme funktion $z$ minimin korvaamalla pisteen $M_3$ koordinaatit annettuun funktioon:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cpiste 2\cpiste 1^2-15\cpiste 2-12\cpiste 1+1=-27. $$

Vielä on tutkittava piste $M_4(-2;-1)$. Tässä vaiheessa saamme:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Koska $\Delta(M_4) > 0$ ja $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cpiste (-2)\cpiste (-1)^2-15\cpiste (-2)-12\cpiste (-1)+1 = 29. $$

Ekstreemitutkimus on valmis. Jää vain kirjoittaa vastaus ylös.

Vastaus:

• $(2;1)$ - minimipiste, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ - maksimipiste, $z_(max)=29$.

Huomautus

Yleisessä tapauksessa $\Delta$:n arvoa ei tarvitse laskea, koska meitä kiinnostaa vain etumerkki, ei tämän parametrin tietty arvo. Esimerkiksi yllä tarkastellun esimerkin nro 2 kohdalla pisteessä $M_3(2;1)$ meillä on $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Tässä on ilmeistä, että $\Delta > 0$ (koska molemmat tekijät $36$ ja $(2^2-1^2)$ ovat positiivisia) ja on mahdollista, että tiettyä arvoa $\Delta$ ei löydy. Totta, tämä huomautus on hyödytön tyypillisissä laskelmissa - ne edellyttävät laskelmien saattamista numeroon :)

Esimerkki #3

Tutki funktiota $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ ääripäälle.

Me seuraamme. Etsitään ensin ensimmäisen asteen osittaiset derivaatat:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

Laadi yhtälöjärjestelmä $ \left \( \begin(tasattu) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ end( tasattu)\right.$:

$$ \vasen \( \begin(tasattu) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(tasattu) \oikea. $$

Vähennetään molempia yhtälöitä 4 dollarilla:

$$ \left \( \begin(tasattu) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(tasattu) \oikea. $$

Lisätään ensimmäinen yhtälö toiseen ja ilmaistaan ​​$y$ muodossa $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Korvaamalla $y=-x$ järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön, saamme:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Tuloksena olevasta yhtälöstä saamme: $x=0$ tai $x^2-2=0$. Yhtälöstä $x^2-2=0$ seuraa, että $x=-\sqrt(2)$ tai $x=\sqrt(2)$. Joten löytyy kolme $x$ arvoa, nimittäin: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Koska $y=-x$, sitten $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Ratkaisun ensimmäinen vaihe on ohi. Saimme kolme kiinteää pistettä: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Siirrytään nyt algoritmiin. Etsitään toisen kertaluvun osittaiset derivaatat:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

Etsi $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Nyt laskemme $\Delta$:n arvon jokaisessa aiemmin löydetyssä paikallaan olevassa pisteessä. Aloitetaan pisteestä $M_1(0;0)$. Tässä vaiheessa meillä on: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Koska $\Delta(M_1) = 0$, tarvitaan lisätutkimusta, koska ääripään olemassaolosta tarkastelupisteessä ei voida sanoa mitään varmaa. Jätetään tämä kohta toistaiseksi rauhaan ja siirrytään muihin kohtiin.

Tarkastellaan pistettä $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. Tässä vaiheessa saamme:

\begin(tasattu) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(tasattu)

Koska $\Delta(M_2) > 0$ ja $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, sitten $M_2(-\) sqrt(2),\sqrt(2))$ on funktion $z$ minimipiste. Löydämme funktion $z$ minimin korvaamalla pisteen $M_2$ koordinaatit annettuun funktioon:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Edellisen kohdan tapaan tarkastelemme pistettä $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. Tässä vaiheessa saamme:

\begin(tasattu) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(tasattu)

Koska $\Delta(M_3) > 0$ ja $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, sitten $M_3(\sqrt) (2),-\sqrt(2))$ on funktion $z$ minimipiste. Löydämme funktion $z$ minimin korvaamalla pisteen $M_3$ koordinaatit annettuun funktioon:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

On aika palata pisteeseen $M_1(0;0)$, jossa $\Delta(M_1) = 0$. Lisätutkimusta tarvitaan. Tämä välttelevä lause tarkoittaa "tee mitä haluat" :). Ei ole olemassa yleistä tapaa ratkaista tällaisia ​​​​tilanteita - ja tämä on ymmärrettävää. Jos tällainen menetelmä olisi olemassa, se olisi tullut kaikkiin oppikirjoihin kauan sitten. Sillä välin meidän on etsittävä erityinen lähestymistapa jokaiseen pisteeseen, jossa $\Delta = 0$. No, tutkitaan funktion käyttäytymistä pisteen $M_1(0;0)$ läheisyydessä. Huomaamme heti, että $z(M_1)=z(0;0)=3$. Oletetaan, että $M_1(0;0)$ on minimipiste. Sitten mille tahansa pisteelle $M$ jostain pisteen $M_1(0;0)$ ympäristöstä saamme $z(M) > z(M_1) $, ts. $z(M) > 3$. Entä jos jokin naapurustossa on pisteitä, joissa $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Tarkastellaan pisteitä, joille $y=0$, ts. pisteet muodossa $(x,0)$. Näissä kohdissa $z$-funktio saa seuraavat arvot:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

Kaikilla riittävän pienillä alueilla $M_1(0;0)$ meillä on $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Mutta ehkä piste $M_1(0;0)$ on maksimipiste? Jos näin on, niin mistä tahansa pisteestä $M$ jostain pisteen $M_1(0;0)$ läheisyydestä saadaan $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3 dollaria? Silloin ei varmasti ole maksimipisteessä $M_1$.

Tarkastellaan pisteitä, joille $y=x$, ts. pisteet muodossa $(x,x)$. Näissä kohdissa $z$-funktio saa seuraavat arvot:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Koska missä tahansa pisteen $M_1(0;0)$ ympäristössä meillä on $2x^4 > 0$, sitten $2x^4+3 > 3$. Johtopäätös: mikä tahansa pisteen $M_1(0;0)$ ympäristö sisältää pisteitä, joissa $z > 3$, joten piste $M_1(0;0)$ ei voi olla maksimipiste.

Piste $M_1(0;0)$ ei ole maksimi eikä minimi. Johtopäätös: $M_1$ ei ole ollenkaan äärimmäinen kohta.

Vastaus: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ - funktion $z$ minimipisteet. Molemmissa pisteissä $z_(min)=-5$.