Mikä on johdannainen?
Funktion derivaatan määritelmä ja merkitys

Monet hämmästyvät tämän artikkelin odottamattomasta sijainnista kirjoittajani kurssilla yhden muuttujan funktion derivaatta ja sen sovelluksia. Loppujen lopuksi, kuten se oli koulusta: standardioppikirja antaa ensinnäkin johdannaisen määritelmän, sen geometrisen, mekaanisen merkityksen. Seuraavaksi opiskelijat löytävät funktioiden johdannaiset määritelmän mukaan, ja itse asiassa vasta sitten differentiointitekniikkaa täydennetään käyttämällä johdannaistaulukot.

Mutta minun näkökulmastani seuraava lähestymistapa on pragmaattisempi: ensinnäkin on suositeltavaa YMMÄRTÄ HYVIN toimintoraja, ja erityisesti äärettömät pienet. Tosiasia on, että johdannaisen määritelmä perustuu rajan käsitteeseen, mikä on huonosti huomioitu koulun kurssilla. Siksi merkittävä osa nuorista graniittitiedon kuluttajista tunkeutuu huonosti johdannaisen olemukseen. Jos et siis ole hyvin perehtynyt differentiaalilaskentaan tai viisaat aivot ovat onnistuneesti päässeet eroon tästä matkatavarasta vuosien varrella, aloita toimintorajoja. Samalla hallitse / muista heidän päätöksensä.

Sama käytännön järke viittaa siihen, että se on ensin kannattavaa oppia löytämään johdannaisia, mukaan lukien monimutkaisten funktioiden johdannaiset. Teoria on teoria, mutta, kuten sanotaan, haluat aina erottaa. Tältä osin on parempi selvittää luetellut perustunnit ja ehkä tulla erottelun mestari edes ymmärtämättä toimintansa ydintä.

Suosittelen aloittamaan tämän sivun materiaalit artikkelin lukemisen jälkeen. Yksinkertaisimmat ongelmat derivaatalla, jossa tarkastellaan erityisesti funktion kaavion tangentin ongelmaa. Mutta se voi viivästyä. Tosiasia on, että monet derivaatan sovellukset eivät vaadi sen ymmärtämistä, eikä ole yllättävää, että teoreettinen oppitunti ilmestyi melko myöhään - kun minun piti selittää nousu-/laskuvälien ja ääripäiden löytäminen toimintoja. Lisäksi hän oli aiheessa melko pitkään " Funktiot ja graafit”, kunnes päätin laittaa sen aiemmin.

Siksi, rakkaat teekannut, älä kiirehdi imemään johdannaisen olemusta nälkäisten eläinten tavoin, koska kylläisyys on mauton ja epätäydellinen.

Funktion kasvavan, pienenevän, maksimin, minimin käsite

Monet opetusohjelmat johtavat johdannaisen käsitteeseen käytännön ongelmien avulla, ja sain myös mielenkiintoisen esimerkin. Kuvittele, että meidän täytyy matkustaa kaupunkiin, johon pääsee eri tavoin. Hylkäämme välittömästi kaarevat käämitysreitit ja tarkastelemme vain suoria viivoja. Myös suorat ajo-ohjeet ovat kuitenkin erilaisia: kaupunkiin pääsee tasaista moottoritietä pitkin. Tai mäkisellä moottoritiellä - ylös ja alas, ylös ja alas. Toinen tie menee vain ylämäkeen ja toinen alamäkeen koko ajan. Jännitystä etsivät valitsevat reitin rotkon halki, jossa on jyrkkä kallio ja jyrkkä nousu.

Mutta oli mieltymyksistäsi riippumatta toivottavaa, että tunnet alueen tai ainakin sinulla on siitä topografinen kartta. Entä jos tällaista tietoa ei ole? Loppujen lopuksi voit valita esimerkiksi tasaisen polun, mutta sen seurauksena törmää laskettelurinteeseen hauskojen suomalaisten kanssa. Ei se tosiasia, että navigaattori ja jopa satelliittikuva antavat luotettavaa tietoa. Siksi polun kohokuvio olisi hyvä muotoilla matematiikan avulla.

Harkitse tietä (sivunäkymä):

Varmuudeksi muistutan teitä alkeellisesta tosiasiasta: matka tapahtuu vasemmalta oikealle. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että funktio jatkuva tarkasteltavalla alueella.

Mitkä ovat tämän kaavion ominaisuudet?

Väliajoin toiminto lisääntyy, eli jokainen sen seuraava arvo lisää edellinen. Karkeasti ottaen aikataulu menee alas ylös(kiipeämme mäelle). Ja välissä funktio vähenee- jokainen seuraava arvo pienempi edellinen, ja aikataulumme jatkuu ylhäältä alas(menee rinnettä alas).

Kiinnitämme huomiota myös erityisiin kohtiin. Kohdassa, jossa saavutamme maksimi, eli olla olemassa sellainen osa polkua, jolla arvo on suurin (korkein). Samaan aikaan, minimi, ja olla olemassa kuten sen naapurustossa, jossa arvo on pienin (pienin).

Oppitunnilla tarkastellaan tiukempaa terminologiaa ja määritelmiä. funktion ääripäästä, mutta nyt tutkitaan vielä yhtä tärkeää ominaisuutta: intervalleja toiminto kasvaa, mutta se kasvaa eri nopeuksilla. Ja ensimmäinen asia, joka pistää silmään, on se, että kaavio kohoaa intervallin mukaan paljon siistimpää kuin välissä. Onko mahdollista mitata tien jyrkkyyttä matemaattisilla työkaluilla?

Toiminnan muutosnopeus

Ajatus on tämä: ota arvoa (lue "delta x"), jota kutsumme argumentin lisäys, ja ala "kokeilla sitä" polumme eri kohtiin:

1) Katsotaanpa vasemmanpuoleisinta pistettä: ohittamalla etäisyyden, kiipeämme rinnettä korkealle (vihreä viiva). Arvoa kutsutaan funktion lisäys, ja tässä tapauksessa tämä lisäys on positiivinen (arvojen ero akselilla on suurempi kuin nolla). Tehdään suhde , joka on tiemme jyrkkyyden mitta. Ilmeisesti on hyvin tarkka luku, ja koska molemmat lisäykset ovat positiivisia, niin .

Huomio! Nimitys ovat YKSI symboli, eli et voi "repäistä" "deltaa" "x":stä ja tarkastella näitä kirjaimia erikseen. Kommentti koskee tietysti myös funktion lisäyssymbolia.

Tutkitaan tuloksena olevan murto-osan luonnetta mielekkäämmin. Oletetaan aluksi, että olemme 20 metrin korkeudessa (vasemmassa mustassa pisteessä). Kun metrien etäisyys (vasen punainen viiva) on ylitetty, olemme 60 metrin korkeudessa. Sitten funktion lisäys on metriä (vihreä viiva) ja: . Täten, joka metrillä tällä tieosuudella korkeus kasvaa keskiverto 4 metrillä… unohditko kiipeilyvarusteesi? =) Toisin sanoen konstruoitu suhde kuvaa funktion KESKIMÄÄRÄISTÄ ​​MUUTOSNOPEUTTA (tässä tapauksessa kasvua).

Huomautus : Kyseisen esimerkin numeroarvot vastaavat piirustuksen mittasuhteita vain suunnilleen.

2) Mennään nyt samalle etäisyydelle oikeanpuoleisesta mustasta pisteestä. Tässä nousu on pehmeämpää, joten lisäys (crimson line) on suhteellisen pieni ja suhde edelliseen tapaukseen verrattuna on melko vaatimaton. Suhteellisesti sanottuna metriä ja toiminnan kasvunopeus On . Eli täällä jokaista metriä kohti keskiverto puoli metriä ylöspäin.

3) Pieni seikkailu vuorenrinteellä. Katsotaanpa ylintä mustaa pistettä, joka sijaitsee y-akselilla. Oletetaan, että tämä on 50 metrin merkki. Taas ylitämme etäisyyden, jonka seurauksena olemme alempana - 30 metrin tasolla. Siitä lähtien kun liike on tehty ylhäältä alas(akselin "vastakkaiseen" suuntaan), sitten lopullinen funktion lisäys (korkeus) on negatiivinen: metriä (ruskea viiva piirustuksessa). Ja tässä tapauksessa puhumme hajoamisnopeus ominaisuudet: , eli tämän osan polun jokaisella metrillä korkeus pienenee keskiverto 2 metrillä. Huolehdi vaatteista viidennessä kohdassa.

Esitetään nyt kysymys: mikä on "mittausstandardin" paras arvo käyttää? On selvää, että 10 metriä on erittäin karkeaa. Niihin mahtuu helposti kymmenkunta kohoa. Miksi siellä on kuoppia, alla voi olla syvä rotko, ja muutaman metrin kuluttua - sen toisella puolella vielä jyrkkä nousu. Näin ollen 10 metrin mittaisella emme saa ymmärrettävää ominaisuutta sellaisille polun osille suhteen läpi.

Yllä olevasta keskustelusta seuraa seuraava johtopäätös: mitä pienempi arvo, sitä tarkemmin kuvaamme tien helpotusta. Lisäksi seuraavat tosiasiat pitävät paikkansa:

– Mille tahansa nostopisteitä voit valita arvon (vaikkakin hyvin pienen), joka sopii yhden tai toisen nousun rajoihin. Ja tämä tarkoittaa, että vastaava korkeuslisäys on taatusti positiivinen, ja epäyhtälö osoittaa oikein funktion kasvun näiden välien jokaisessa pisteessä.

- Samoin, mille tahansa kaltevuuspiste, on arvo, joka sopii täysin tähän rinteeseen. Siksi vastaava korkeuden nousu on yksiselitteisesti negatiivinen, ja epäyhtälö näyttää oikein funktion pienenemisen tietyn intervallin jokaisessa pisteessä.

– Erityisen kiinnostava on tapaus, jossa funktion muutosnopeus on nolla: . Ensinnäkin nollakorkeuslisäys () on merkki tasaisesta polusta. Ja toiseksi, on muitakin outoja tilanteita, joista näet esimerkkejä kuvasta. Kuvittele, että kohtalo on vienyt meidät aivan kukkulan huipulle, jossa kottelee kohoavia kotkia, tai rotkon pohjalle, jossa on kurivia sammakoita. Jos otat pienen askeleen johonkin suuntaan, niin korkeuden muutos on mitätön, ja voimme sanoa, että funktion muutosnopeus on itse asiassa nolla. Sama kuvio havaitaan pisteissä.

Näin ollen olemme lähestyneet hämmästyttävää mahdollisuutta karakterisoida funktion muutosnopeus täydellisesti tarkasti. Loppujen lopuksi matemaattinen analyysi antaa meille mahdollisuuden ohjata argumentin lisäys nollaan eli tehdä siitä äärettömän pieni.

Tämän seurauksena herää toinen looginen kysymys: onko mahdollista löytää tie ja sen aikataulu toinen toiminto, mikä kertoisi meille kaikista tasanteista, ylämäistä, alamäkeistä, huipuista, alangoista sekä nousu-/laskunopeudesta polun jokaisessa pisteessä?

Mikä on johdannainen? Johdannan määritelmä.
Derivaatan ja differentiaalin geometrinen merkitys

Lue huolellisesti ja älä liian nopeasti - materiaali on yksinkertaista ja kaikkien saatavilla! Ei haittaa, jos joissain paikoissa jokin tuntuu epäselvältä, voit aina palata artikkeliin myöhemmin. Sanon lisää, on hyödyllistä opiskella teoriaa useita kertoja, jotta voidaan ymmärtää laadullisesti kaikki kohdat (neuvonta on erityisen tärkeä "teknisille" opiskelijoille, joille korkeammalla matematiikalla on merkittävä rooli koulutusprosessissa).

Luonnollisesti jo johdannaisen määritelmässä jossakin kohdassa korvaamme sen seuraavasti:

Mihin olemme tulleet? Ja tulimme siihen tulokseen, että lain mukaiseen toimintoon on kohdistettu muu toiminto, jota kutsutaan johdannainen funktio(tai yksinkertaisesti johdannainen).

Johdannainen luonnehtii muutoksen tahti toiminnot. Miten? Ajatus kulkee kuin punainen lanka artikkelin alusta lähtien. Harkitse jotain kohtaa verkkotunnuksia toiminnot. Olkoon funktio differentioituva tietyssä pisteessä. Sitten:

1) Jos , niin funktio kasvaa kohdassa . Ja ilmeisesti on intervalli(vaikka hyvin pieni), joka sisältää pisteen, jossa funktio kasvaa, ja sen kaavio kulkee "alhaalta ylös".

2) Jos , niin funktio pienenee pisteessä . Ja on väli, joka sisältää pisteen, jossa funktio pienenee (kaavio kulkee "ylhäältä alas").

3) Jos , niin äärettömän lähellä lähellä pistettä, funktio pitää nopeudensa vakiona. Tämä tapahtuu, kuten mainittiin, funktiovakiolle ja toiminnon kriittisissä kohdissa, erityisesti minimi- ja maksimipisteissä.

Jotain semantiikkaa. Mitä verbi "erottaa" tarkoittaa laajassa merkityksessä? Erotteleminen tarkoittaa ominaisuuden erottamista. Erottamalla funktion "valitsemme" sen muutosnopeuden funktion derivaatan muodossa. Ja mitä muuten tarkoittaa sana "johdannainen"? Toiminto tapahtui funktiosta.

Termit tulkitsevat erittäin onnistuneesti johdannaisen mekaanista merkitystä :
Tarkastellaan kappaleen ajasta riippuvaa koordinaattien muutoslakia ja annetun kappaleen liikenopeuden funktiota. Funktio luonnehtii kehon koordinaatin muutosnopeutta, joten se on funktion ensimmäinen derivaatta ajan suhteen: . Jos käsitettä "kehon liike" ei olisi luonnossa, sitä ei olisi olemassa johdannainen"nopeuden" käsite.

Kehon kiihtyvyys on nopeuden muutosnopeus, joten: . Jos alkuperäisiä käsitteitä "kehon liike" ja "kehon liikenopeus" ei olisi luonnossa, niin niitä ei olisi johdannainen kehon kiihtyvyyden käsite.

Synopsis Pietarin pedagogisen korkeakoulun 4:n opettajan avoimesta oppitunnista

Martusevitš Tatjana Olegovna

Päivämäärä: 29.12.2014.

Aihe: Derivaatan geometrinen merkitys.

Oppitunnin tyyppi: uuden materiaalin oppiminen.

Opetusmenetelmät: visuaalinen, osittain tutkiva.

Oppitunnin tarkoitus.

Esittele funktion kaavion tangentin käsite pisteessä, selvitä derivaatan geometrinen merkitys, johda tangenttiyhtälö ja opeta sen löytäminen.

Koulutustehtävät:

Saavuttaa johdannaisen geometrisen merkityksen ymmärtäminen; tangenttiyhtälön johtaminen; oppia ratkaisemaan perusongelmia;

tarjota toisto materiaalista aiheesta "Johdannaisen määritelmä";

luoda edellytykset tiedon ja taitojen hallitsemiselle (itsehallinnalle).

Kehitystehtävät:

edistää taitojen muodostumista soveltaa vertailu-, yleistys-, pääasiallinen korostusmenetelmiä;

jatkaa matemaattisen horisontin, ajattelun ja puheen, huomion ja muistin kehittämistä.

Koulutustehtävät:

edistää matematiikan kiinnostavaa koulutusta;

aktiivisuus, liikkuvuus, kommunikointikyky.

Oppitunnin tyyppi - yhdistetty oppitunti käyttäen ICT:tä.

Laitteet – multimedia-asennus, esittelyMicrosofttehoakohta.

Oppitunnin vaihe

Aika

Opettajan toiminta

Opiskelijoiden toimintaa

1. Organisatorinen hetki.

Viesti oppitunnin aiheesta ja tarkoituksesta.

Aihe: Derivaatan geometrinen merkitys.

Oppitunnin tarkoitus.

Esittele funktion kaavion tangentin käsite pisteessä, selvitä derivaatan geometrinen merkitys, johda tangenttiyhtälö ja opeta sen löytäminen.

Oppilaiden valmistaminen työhön luokkahuoneessa.

Valmistautuminen työhön luokassa.

Tietoisuus oppitunnin aiheesta ja tarkoituksesta.

Muistiinpanojen tekemistä.

2. Valmistautuminen uuden materiaalin opiskeluun toiston ja perustietojen päivittämisen kautta.

Perustiedon toiston ja päivittämisen organisointi: johdannaisen määritelmät ja sen fyysisen merkityksen muotoilu.

Muotoile johdannaisen määritelmä ja muotoile sen fyysinen merkitys. Perustietojen toistaminen, päivittäminen ja lujittaminen.

Toiston organisointi ja potenssifunktion ja alkeisfunktioiden derivaatan löytämisen taidon muodostaminen.

Näiden funktioiden derivaatan löytäminen kaavoilla.

Lineaarifunktion ominaisuuksien toisto.

Toisto, piirustusten ja opettajan lausuntojen havaitseminen

3. Työskentely uuden materiaalin kanssa: selitys.

Selitys funktion lisäyksen ja argumentin inkrementin suhteen merkityksestä

Derivaatan geometrisen merkityksen selitys.

Uuden materiaalin esittely sanallisilla selityksillä kuvien ja visuaalisten apuvälineiden avulla: multimediaesitys animaatiolla.

Selityksen käsitys, ymmärrys, vastaukset opettajan kysymyksiin.

Kysymyksen muotoilu opettajalle vaikeuksien sattuessa.

Uuden tiedon havaitseminen, sen ensisijainen ymmärtäminen ja ymmärtäminen.

Kysymysten muotoilu opettajalle vaikeuksien sattuessa.

Luo ääriviiva.

Derivaatan geometrisen merkityksen muotoilu.

Kolmen tapauksen käsittely.

Muistiinpanojen tekemistä, piirustuksia.

4. Työskentely uuden materiaalin kanssa.

Opiskelun aineiston perusymmärtäminen ja soveltaminen, sen lujittaminen.

Missä vaiheessa derivaatta on positiivinen?

Negatiivinen?

Nollaa?

Opi etsimään algoritmia vastauksia aikataulun esittämiin kysymyksiin.

Uuden tiedon ymmärtäminen ja ymmärtäminen ja soveltaminen ongelman ratkaisemiseen.

5. Opiskelun aineiston perusymmärtäminen ja soveltaminen, sen konsolidointi.

Tehtävän tila -viesti.

Tehtävän ehdon tallentaminen.

Kysymyksen muotoilu opettajalle vaikeuksien sattuessa

6. Tiedon soveltaminen: itsenäinen opetusluonteinen työ.

Ratkaise ongelma itse:

Hankitun tiedon soveltaminen.

Itsenäinen työ kuvion derivaatan löytämisen ongelman ratkaisemiseksi. Keskustelu ja vastausten tarkistaminen pareittain, kysymyksen muotoilu opettajalle vaikeuden sattuessa.

7. Työskentely uuden materiaalin kanssa: selitys.

Pisteessä olevan funktion kuvaajan tangentin yhtälön johtaminen.

Yksityiskohtainen selvitys funktiokaavion tangentin yhtälön johtamisesta pisteessä, visuaalisena apuvälineenä multimediaesityksen muodossa, vastauksia opiskelijoiden kysymyksiin.

Tangenttiyhtälön johtaminen yhdessä opettajan kanssa. Vastaukset opettajan kysymyksiin.

Piirustus, piirtäminen.

8. Työskentely uuden materiaalin kanssa: selitys.

Dialogissa opiskelijoiden kanssa algoritmin johtaminen tietyn funktion kaavion tangentin yhtälön löytämiseksi tietyssä pisteessä.

Dialogissa opettajan kanssa algoritmin johtaminen tietyn funktion kaavion tangentin yhtälön löytämiseksi tietyssä pisteessä.

Muistiinpanojen tekemistä.

Tehtävän tila -viesti.

Koulutus hankitun tiedon soveltamiseen.

Ongelman ratkaisutapojen etsimisen organisointi ja niiden toteuttaminen. ratkaisun yksityiskohtainen analyysi selityksellä.

Tehtävän ehdon tallentaminen.

Oletusten tekeminen mahdollisista ongelmanratkaisutavoista toimintasuunnitelman kunkin kohdan toteuttamisessa. Ongelmanratkaisu yhdessä opettajan kanssa.

Tallennetaan tehtävän ratkaisu ja vastaus.

9. Tiedon soveltaminen: itsenäinen opetusluonteinen työ.

Yksilöllinen ohjaus. Neuvoja ja apua opiskelijoille tarpeen mukaan.

Ratkaisun varmistus ja selitys esityksen avulla.

Hankitun tiedon soveltaminen.

Itsenäinen työ kuvion derivaatan löytämisen ongelman ratkaisemiseksi. Keskustelu ja vastausten tarkistaminen pareittain, kysymyksen muotoilu opettajalle vaikeuden sattuessa

10. Kotitehtävät.

§48, tehtävät 1 ja 3, ymmärrä ratkaisu ja kirjoita se muistivihkoon kuvien kera.

№ 860 (2,4,6,8),

Kotitehtäväviesti kommentteineen.

Kotitehtävien tallentaminen.

11. Yhteenveto.

Toistimme johdannaisen määritelmän; johdannaisen fyysinen merkitys; lineaarisen funktion ominaisuudet.

Opimme mikä on derivaatan geometrinen merkitys.

Opimme johtamaan tietyn funktion kaavion tangentin yhtälön tietyssä pisteessä.

Oppitunnin tulosten korjaus ja selvennys.

Luettelo oppitunnin tuloksista.

12. Heijastus.

1. Oliko sinulla oppitunti: a) helppoa; b) tavallisesti; c) vaikeaa.

a) oppinut (a) täysin, voin hakea;

b) oppinut (a), mutta sitä on vaikea soveltaa;

c) en ymmärtänyt.

3. Multimediaesitys oppitunnilla:

a) auttoi materiaalin assimilaatiossa; b) ei auttanut materiaalin assimilaatiota;

c) häiritsee materiaalin assimilaatiota.

Heijastuksen johtaminen.

Työtyyppi: 7

Kunto

Suora y=3x+2 on tangentti funktion y=-12x^2+bx-10 kuvaajalle. Etsi b , koska kosketuspisteen abskissa on pienempi kuin nolla.

Näytä ratkaisu

Päätös

Olkoon x_0 funktion y=-12x^2+bx-10 kaavion pisteen abskissa, jonka kautta tämän graafin tangentti kulkee.

Derivaatan arvo pisteessä x_0 on yhtä suuri kuin tangentin kulmakerroin, eli y"(x_0)=-24x_0+b=3. Toisaalta tangenttipiste kuuluu sekä funktion kuvaajaan että tangentin kuvaajaan. tangentti, eli -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Saamme yhtälöjärjestelmän \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(tapaukset)

Ratkaisemalla tämän järjestelmän saamme x_0^2=1, mikä tarkoittaa joko x_0=-1 tai x_0=1. Abskissan ehdon mukaan kosketuspisteet ovat pienempiä kuin nolla, joten x_0=-1, sitten b=3+24x_0=-21.

Vastaus

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan geometrinen merkitys. Funktiokaavion tangentti

Kunto

Suora y=-3x+4 on yhdensuuntainen funktion y=-x^2+5x-7 kuvaajan tangentin kanssa. Etsi kosketuspisteen abskissa.

Näytä ratkaisu

Päätös

Suoran kaltevuus funktion y=-x^2+5x-7 kuvaajaan mielivaltaisessa pisteessä x_0 on y"(x_0). Mutta y"=-2x+5, joten y"(x_0)=- 2x_0+5. Ehdossa määritellyn suoran y=-3x+4 kulmakerroin on -3.Rinnakkaisilla viivoilla on samat jyrkkyyskertoimet.Siksi saadaan sellainen arvo x_0, että =-2x_0 +5=-3.

Saamme: x_0 = 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan geometrinen merkitys. Funktiokaavion tangentti

Kunto

Näytä ratkaisu

Päätös

Kuvasta päätämme, että tangentti kulkee pisteiden A(-6; 2) ja B(-1; 1) kautta. Merkitään C(-6; 1) viivojen x=-6 ja y=1 leikkauspistettä ja \alphalla kulmaa ABC (kuvasta näkyy, että se on terävä). Tällöin suora AB muodostaa tylpän kulman \pi -\alpha Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa.

Kuten tiedät, tg(\pi -\alpha) on funktion f(x) derivaatan arvo pisteessä x_0. huomaa, että tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Tästä saamme pelkistyskaavojen avulla: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan geometrinen merkitys. Funktiokaavion tangentti

Kunto

Suora y=-2x-4 on tangentti funktion y=16x^2+bx+12 kuvaajalle. Etsi b , koska kosketuspisteen abskissa on suurempi kuin nolla.

Näytä ratkaisu

Päätös

Olkoon x_0 funktion y=16x^2+bx+12 kaavion pisteen abskissa, jonka kautta

on tangentti tälle kaaviolle.

Derivaatan arvo pisteessä x_0 on yhtä suuri kuin tangentin kulmakerroin, eli y "(x_0)=32x_0+b=-2. Toisaalta tangenttipiste kuuluu sekä funktion kuvaajaan että tangentin kuvaajaan. tangentti, eli 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Saamme yhtälöjärjestelmän \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(tapaukset)

Kun järjestelmä ratkaistaan, saadaan x_0^2=1, mikä tarkoittaa joko x_0=-1 tai x_0=1. Abskissan ehdon mukaan kosketuspisteet ovat suurempia kuin nolla, joten x_0=1, sitten b=-2-32x_0=-34.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan geometrinen merkitys. Funktiokaavion tangentti

Kunto

Kuvassa on kaavio funktiosta y=f(x), joka on määritetty välille (-2; 8). Määritä pisteiden lukumäärä, joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen suoran y=6 kanssa.

Näytä ratkaisu

Päätös

Suora y=6 on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Siksi löydämme sellaisia ​​pisteitä, joissa funktiokaavion tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Tässä kaaviossa tällaiset pisteet ovat ääripisteitä (maksimi- tai minimipisteitä). Kuten näet, ääripisteitä on 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan geometrinen merkitys. Funktiokaavion tangentti

Kunto

Suora y=4x-6 on yhdensuuntainen funktion y=x^2-4x+9 kuvaajan tangentin kanssa. Etsi kosketuspisteen abskissa.

Näytä ratkaisu

Päätös

Funktion y \u003d x ^ 2-4x + 9 kaavion tangentin kaltevuus mielivaltaisessa pisteessä x_0 on y "(x_0). Mutta y" \u003d 2x-4, mikä tarkoittaa y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Ehdossa määritellyn tangentin y \u003d 4x-7 kaltevuus on yhtä suuri kuin 4. Rinnakkaisilla viivoilla on samat jyrkkyydet, joten löydämme sellaisen arvon x_0, että 2x_0-4 \u003d 4. : x_0 \u003d 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan geometrinen merkitys. Funktiokaavion tangentti

Kunto

Kuvassa on funktion y=f(x) käyrä ja sen tangentti pisteessä, jossa on abskissa x_0. Etsi funktion f(x) derivaatan arvo pisteestä x_0.

Näytä ratkaisu

Päätös

Kuvasta päätetään, että tangentti kulkee pisteiden A(1; 1) ja B(5; 4) läpi. Merkitse C(5; 1) suorien x=5 ja y=1 leikkauspiste ja \alphalla kulma BAC (kuvasta näkyy, että se on terävä). Sitten suora AB muodostaa kulman \alpha Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa.

Saadaksesi selville derivaatan geometrisen arvon, tarkastellaan funktion y = f(x) kuvaajaa. Otetaan mielivaltainen piste M koordinaatteineen (x, y) ja piste N lähellä sitä (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Piirretään ordinaatit $\overline(M_(1) M)$ ja $\overline(N_(1) N)$ ja vedetään pisteestä M OX-akselin suuntainen viiva.

Suhde $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ on sekantin MN muodostaman kulman $\alpha $1 tangentti OX-akselin positiivisen suunnan kanssa. Kun $\Delta $x pyrkii nollaan, piste N lähestyy M:tä ja käyrän tangentti MT pisteessä M tulee sekantin MN:n raja-asemaksi. Siten derivaatta f`(x) on yhtä suuri kuin tangentti kulmasta $\alpha $, jonka tangentti muodostaa käyrän pisteessä M (x, y) positiivisessa suunnassa OX-akseliin - tangentin kaltevuus (kuva 1).

Kuva 1. Funktiokaavio

Laskettaessa arvoja kaavoilla (1), on tärkeää olla tekemättä virheitä merkkeihin, koska lisäys voi olla negatiivinen.

Käyrällä oleva piste N voi lähestyä M:tä miltä tahansa puolelta. Joten jos kuvassa 1 tangentille annetaan vastakkainen suunta, kulma $\alpha $ muuttuu $\pi $, mikä vaikuttaa merkittävästi kulman tangenttiin ja vastaavasti kaltevuuteen.

Johtopäätös

Tästä seuraa, että derivaatan olemassaolo liittyy käyrän y = f(x) tangentin olemassaoloon ja kulmakerroin -- tg $\alpha $ = f`(x) on äärellinen. Siksi tangentti ei saa olla yhdensuuntainen OY-akselin kanssa, muuten $\alpha $ = $\pi $/2, ja kulman tangentti on ääretön.

Joissakin kohdissa jatkuvalla käyrällä ei välttämättä ole tangenttia tai tangentti on yhdensuuntainen OY-akselin kanssa (kuva 2). Tällöin funktiolla ei voi olla derivaatta näissä arvoissa. Tällaisia ​​pisteitä funktiokäyrällä voi olla mikä tahansa määrä.

Kuva 2. Käyrän poikkeukselliset pisteet

Tarkastellaan kuvaa 2. Olkoon $\Delta $x nolla negatiivisista tai positiivisista arvoista:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Jos tässä tapauksessa suhteilla (1) on äärellinen käytävä, se merkitään seuraavasti:

Ensimmäisessä tapauksessa johdannainen vasemmalla, toisessa derivaatta oikealla.

Rajan olemassaolo kertoo vasemman ja oikean derivaatan ekvivalenssista ja tasa-arvosta:

Jos vasen ja oikea derivaatta eivät ole yhtä suuret, niin tässä kohdassa on tangentit, jotka eivät ole yhdensuuntaisia ​​OY:n kanssa (piste M1, kuva 2). Pisteissä M2, M3 suhteet (1) pyrkivät äärettömään.

N pisteelle M2:n vasemmalla puolella $\Delta $x $

Kohteen $M_2$ oikealla puolella $\Delta $x $>$ 0, mutta lauseke on myös f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Pisteelle $M_3$ vasemmalla $\Delta $x $$ 0 ja f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, ts. lausekkeet (1) ovat sekä positiivisia vasemmalla että oikealla ja yleensä +$\infty $, kun $\Delta $x lähestyy -0:aa ja +0:aa.

Tapaus derivaatan puuttumisesta suoran tietyissä kohdissa (x = c) on esitetty kuvassa 3.

Kuva 3. Johdannaisten puuttuminen

Esimerkki 1

Kuva 4 esittää funktion kuvaajaa ja kaavion tangenttia pisteessä, jossa on abskissa $x_0$. Etsi funktion derivaatan arvo abskissasta.

Päätös. Derivaata pisteessä on yhtä suuri kuin funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhde. Valitaan tangentista kaksi pistettä, joilla on kokonaislukukoordinaatit. Olkoon nämä esimerkiksi pisteet F (-3.2) ja C (-2.4).