Osana tätä materiaalia käsittelemme niin tärkeää aihetta kuin negatiivisten lukujen lisääminen. Ensimmäisessä kappaleessa kuvataan tämän toiminnon perussääntö, ja toisessa analysoimme konkreettisia esimerkkejä tällaisten ongelmien ratkaisemisesta.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Luonnollisten lukujen lisäämisen perussääntö
Ennen kuin johdat säännön, muistetaan, mitä yleensä tiedämme positiivisista ja negatiivisista luvuista. Aiemmin sovimme, että negatiiviset luvut pitäisi nähdä velana, tappiona. Negatiivisen luvun moduuli ilmaisee tämän häviön tarkan koon. Tällöin negatiivisten lukujen yhteenlaskua voidaan pitää kahden häviön yhteenlaskuna.
Tätä päättelyä käyttämällä muotoilemme perussäännön negatiivisten lukujen lisäämiselle.
Määritelmä 1
Täyttääkseen negatiivisten lukujen lisääminen, sinun on lisättävä niiden moduulien arvot ja laitettava miinus tuloksen eteen. Kirjaimellisessa muodossa kaava näyttää tältä (− a) + (− b) = − (a + b) .
Tämän säännön perusteella voimme päätellä, että negatiivisten lukujen lisääminen on samanlaista kuin positiivisten, vain lopulta meidän on ehdottomasti saatava negatiivinen luku, koska meidän on laitettava miinusmerkki moduulien summan eteen.
Mitä todisteita tälle säännölle voidaan esittää? Tätä varten meidän on muistettava reaalilukujen operaatioiden perusominaisuudet (joko kokonaislukujen tai rationaalilukujen kanssa - ne ovat samat kaikille tämäntyyppisille numeroille). Sen todistamiseksi meidän tarvitsee vain osoittaa, että yhtälön (− a) + (− b) = − (a + b) välinen ero on yhtä suuri kuin 0 .
Yhden luvun vähentäminen toisesta on sama kuin saman vastakkaisen luvun lisääminen siihen. Siksi (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Muista, että numeerisilla lausekkeilla, joissa on summaus, on kaksi pääominaisuutta - assosiatiivinen ja kommutatiivinen. Sitten voidaan päätellä, että (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Koska vastakkaisia lukuja lisäämällä saadaan aina 0, niin (− a + a) + (− b + b) \u003d 0 + 0 ja 0 + 0 \u003d 0. Yhtäläisyytemme voidaan katsoa todistetuksi, mikä tarkoittaa, että Todistimme myös negatiivisten lukujen yhteenlaskusäännön.
Toisessa kappaleessa otamme erityisiä ongelmia, joihin sinun on lisättävä negatiivisia lukuja, ja yritämme soveltaa niihin oppittua sääntöä.
Esimerkki 1
Etsi kahden negatiivisen luvun - 304 ja - 18007 summa.
Ratkaisu
Tehdään vaiheet askel askeleelta. Ensin on löydettävä lisättävien lukujen moduulit: - 304 = 304 , - 180007 = 180007 . Seuraavaksi meidän on suoritettava lisäystoiminto, johon käytämme sarakkeiden laskentamenetelmää:
Ei jää muuta kuin laittaa miinus tuloksen eteen ja saada -18 311.
Vastaus: - - 18 311 .
Se riippuu siitä, mitä lukuja meillä on, mihin voimme vähentää yhteenlaskutoimintoa: luonnollisten lukujen summan löytämiseen, tavallisten tai desimaalilukujen yhteenlaskemiseen. Analysoidaan ongelma tällaisten numeroiden kanssa.
Esimerkki N
Etsi kahden negatiivisen luvun - 2 5 ja − 4 , (12) summa.
Ratkaisu
Etsimme haluttujen lukujen moduulit ja saamme 2 5 ja 4 , (12) . Meillä on kaksi erilaista fraktiota. Pelistämme ongelman kahden tavallisen murtoluvun lisäämiseen, joille edustamme jaksollista murtolukua tavallisen muodossa:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Tuloksena saimme murto-osan, joka on helppo lisätä ensimmäiseen alkuperäiseen termiin (jos unohdat lisätä eri nimittäjillä olevia murtolukuja oikein, toista vastaava materiaali).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
Tuloksena saimme sekaluvun, jonka eteen tarvitsee laittaa vain miinus. Tämä päättää laskelmat.
Vastaus: - 4 86 105 .
Reaaliset negatiiviset luvut lisätään samalla tavalla. Tällaisen toiminnan tulos kirjoitetaan yleensä numeerisena lausekkeena. Sen arvoa ei voida laskea tai se on rajoitettu likimääräisiin laskelmiin. Joten jos meidän on löydettävä esimerkiksi summa - 3 + (− 5) , kirjoitetaan vastaus muodossa - 3 − 5 . Reaalilukujen yhteenlaskulle omistimme erillisen materiaalin, josta löydät muita esimerkkejä.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Negatiivinen lisäyssääntö
Jos muistat matematiikan oppitunnin ja aiheen "Erimerkkisten lukujen yhteenlasku ja vähentäminen", tarvitset kahden negatiivisen luvun lisäämiseen:
- suorittaa moduuliensa lisääminen;
- lisää merkki "-" saatuun summaan.
Lisäyssäännön mukaan voimme kirjoittaa:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$.
Negatiivinen summaussääntö koskee negatiivisia kokonaislukuja, rationaalilukuja ja reaalilukuja.
Esimerkki 1
Lisää negatiiviset luvut $−185$ ja $−23 \ 789.$
Ratkaisu.
Käytetään negatiivisten lukujen summaussääntöä.
Etsitään näiden numeroiden moduulit:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
Lisätään tuloksena saadut luvut:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Laitamme merkin $"–"$ löydetyn numeron eteen ja saamme $−23 \ 974$.
Lyhyt ratkaisu: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Vastaus: $−23 \ 974$.
Kun lisäät negatiivisia rationaalilukuja, ne on muunnettava luonnollisiksi lukuiksi, tavallisiksi tai desimaalilukuiksi.
Esimerkki 2
Lisää negatiiviset luvut $-\frac(1)(4)$ ja $−7.15$.
Ratkaisu.
Negatiivisten lukujen lisäämissäännön mukaan sinun on ensin löydettävä moduulien summa:
$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;
Saadut arvot on kätevä pienentää desimaalimurtoiksi ja suorittaa niiden yhteenlasku:
$\frac(1)(4)=0,25$;
$0,25+7,15=7,40$.
Laitetaan merkki $"-"$ vastaanotetun arvon eteen ja saadaan $-7.4$.
Yhteenveto ratkaisusta:
$(-\frac(1)(4))+(−7.15)=−(\frac(1)(4)+7.15)=–(0.25+7.15)=−7, 4$.
Positiivisten ja negatiivisten lukujen lisääminen:
- laskea numeromoduulit;
- jos ne ovat yhtä suuret, niin alkuperäiset luvut ovat vastakkaisia ja niiden summa on nolla;
- jos ne eivät ole yhtä suuret, sinun on muistettava sen luvun merkki, jonka moduuli on suurempi;
vähennä pienempi suuresta;
- ennen vastaanotettua arvoa, laita sen luvun etumerkki, jonka moduuli on suurempi.
vertaa saatuja lukuja:
Vastakkaisten etumerkkien lukujen lisääminen vähennetään pienemmän negatiivisen luvun vähentämiseksi suuremmasta positiivisesta luvusta.
Vastakkaisten etumerkkien lukujen lisäämissääntö suoritetaan kokonaisluvuille, rationaalisille ja reaaliluvuille.
Esimerkki 3
Lisää numerot $4$ ja $−8$.
Ratkaisu.
Sinun on lisättävä numeroita, joissa on vastakkaiset merkit. Käytetään sopivaa lisäyssääntöä.
Etsitään näiden numeroiden moduulit:
Luvun $−8$ moduuli on suurempi kuin luvun $4$ moduuli, ts. muista merkki $"-"$.
Laitamme tuloksena olevan luvun eteen merkin $"–"$, jonka muistimme, ja saamme $−4.$
Yhteenveto ratkaisusta:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Vastaus: $4+(−8)=−4$.
Jos haluat lisätä rationaalilukuja, joissa on vastakkaiset merkit, on kätevää esittää ne tavallisina tai desimaalilukuina.
Eri- ja negatiivimerkkisten lukujen vähentäminen
Sääntö negatiivisten lukujen vähentämiseksi:
Negatiivisen luvun $b$ vähentämiseksi luvusta $a$ on tarpeen lisätä lopputulokseen $a$ luku $−b$, joka on vähennetyn $b$ vastakohta.
Vähennyssäännön mukaan voimme kirjoittaa:
$a−b=a+(−b)$.
Tämä sääntö koskee kokonaislukuja, rationaalilukuja ja reaalilukuja. Sääntöä voidaan käyttää vähennettäessä negatiivinen luku positiivisesta luvusta, negatiivisesta luvusta ja nollasta.
Esimerkki 4
Vähennä negatiivisesta luvusta $−28$ negatiivinen luku $−5$.
Ratkaisu.
Lukulle $–5$ vastakkainen luku on numero $5$.
Negatiivisten lukujen vähentämissäännön mukaan saamme:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Lisätään numerot, joissa on vastakkaiset merkit:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Vastaus: $(−28)−(−5)=−23$.
Kun vähennät negatiivisia murtolukuja, sinun on muutettava luvut tavallisiksi murtoluvuiksi, sekaluvuiksi tai desimaalimurtoiksi.
Erimerkkisten lukujen yhteen- ja vähennyslasku
Vastakkaisten etumerkkien lukujen vähentämissääntö on sama kuin negatiivisten lukujen vähentämisen sääntö.
Esimerkki 5
Vähennä positiivinen luku $7$ negatiivisesta luvusta $−11$.
Ratkaisu.
Vastakkainen luku numerolle $7$ on numero $–7$.
Vastakkaisten etumerkkien lukujen vähentämissäännön mukaan saamme:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Lisätään negatiiviset luvut:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Lyhyt ratkaisu: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Vastaus: $(−11)−7=−18$.
Kun vähennetään murto-osia eri etumerkeillä, luvut on muutettava tavallisiksi tai desimaalimurtoiksi.
Laskentataidon kehittäminen on 1-6 luokalla olevien matematiikan ohjelmien tärkein tavoite. Se, kuinka nopeasti ja oikein lapsi oppii suorittamaan aritmeettisia operaatioita, riippuu hänen loogisten (semanttisten) operaatioiden nopeudesta vanhemmissa luokissa ja koko aiheen ymmärtämisen tasosta. Ei ole harvinaista, että matematiikan opettaja kohtaa opiskelijan laskennallisia ongelmia, jotka estävät heitä saavuttamasta korkeita pisteitä.
Millaisten opiskelijoiden ei tarvitse työskennellä tutorin kanssa. Vanhemmat tarvitsevat valmistautumista matematiikan tenttiin, eikä lapsi ymmärrä tavallisia murtolukuja tai hämmentyy negatiivisissa luvuissa. Mitä matematiikan ohjaajan tulee tehdä tällaisissa tapauksissa? Kuinka auttaa opiskelijaa? Tutorilla ei ole aikaa verkkaiseen ja johdonmukaiseen sääntöjen tutkimiseen, joten perinteiset menetelmät joudutaan usein korvaamaan niin sanotusti keinotekoisilla "puolivalmisteilla-kiihdyttimillä". Tässä artikkelissa kuvailen yhtä mahdollisista tavoista kehittää taitoa suorittaa toimintoja negatiivisilla luvuilla, nimittäin niiden vähentämistä.
Oletetaan, että matematiikan ohjaajalla on ilo työskennellä erittäin heikon opiskelijan kanssa, jonka tieto ei ulotu yksinkertaisimpien positiivisten lukujen laskutoimituksiin. Oletetaan myös, että ohjaaja onnistui selittämään summauslait ja pääsemään lähelle sääntöä a-b=a+(-b). Mitä asioita matematiikan ohjaajan tulee ottaa huomioon?
Vähennyksen vähentäminen yhteenlaskuksi ei ole yksinkertainen ja ilmeinen muunnos. Oppikirjat tarjoavat tiukkoja ja tarkkoja matemaattisia muotoiluja: "Jotta luku "b" voidaan vähentää luvusta "a", sinun on lisättävä numeroon "a" vastakkainen luku "b". Muodollisesti tekstistä ei löydy vikaa, mutta heti kun matematiikan ohjaaja alkaa käyttää sitä ohjeena tiettyjen laskelmien suorittamiseen, syntyy ongelmia. Yksikin lause on arvokas: "Voit vähentää, sinun on lisättävä." Ilman ohjaajan selkeää kommenttia opiskelija ei ymmärrä. Itse asiassa, mitä tehdä: vähentää vai lisätä?
Jos työskentelet säännön kanssa oppikirjan tekijöiden tarkoituksen mukaisesti, niin "vastakkaisen luvun" käsitteen laatimisen lisäksi sinun on opetettava opiskelija korreloimaan nimitykset "a" ja "b" todelliseen numerot esimerkissä. Ja tämä vie aikaa. Kun otetaan huomioon myös se, että opiskelija ajattelee ja kirjoittaa samaan aikaan, matematiikan tutorin tehtävästä tulee entistä monimutkaisempi. Heikolla opiskelijalla ei ole hyvää visuaalista, semanttista ja motorista muistia, ja siksi on parempi tarjota vaihtoehtoinen säännön teksti:
Jos haluat vähentää toisen ensimmäisestä numerosta,
A) Kirjoita ensimmäinen numero uudelleen
B) laita plussaa
B) Muuta toisen luvun etumerkki päinvastaiseksi
D) Lisää tuloksena saadut luvut
Tässä algoritmin vaiheet erotetaan selvästi pisteillä, eivätkä ne ole sidottu kirjainmerkintöihin.
Käännöstehtävän ratkaisemisen aikana matematiikan ohjaaja lukee tämän tekstin opiskelijalle useaan kertaan uudelleen (muistia varten). Suosittelen, että kirjoitat sen ylös teoreettiseen muistikirjaan. Vasta kun olet selvittänyt yhteenlaskuun siirtymisen säännön, voit kirjoittaa yleisen muodon a-b=a+(-b)
Miinus- ja plusmerkkien liike lapsen (sekä pienen että heikon aikuisen) päässä muistuttaa hieman Browniasta. Matematiikan opettajan on saatava asiat järjestykseen tässä kaaoksessa mahdollisimman nopeasti. Esimerkkien ratkaisuprosessissa käytetään viitekehotteita (verbaalisia ja visuaalisia), jotka yhdessä tarkan ja yksityiskohtaisen asettelun kanssa tekevät tehtävänsä. On muistettava, että jokainen matematiikan opettajan lausuma sana mitä tahansa tehtävää ratkaistaessa sisältää joko vihjeen tai esteen. Lapsi analysoi jokaisen lauseen luodakseen yhteyden yhteen tai toiseen matemaattiseen kohteeseen (ilmiöön) ja sen kuvaan paperilla.
Tyypillinen heikkojen koululaisten ongelma on toiminnan merkin erottaminen siihen osallistuvan numeron merkistä. Sama visuaalinen kuva vaikeuttaa erotuksen a-b pelkistetyn "a" ja vähennetyn "b" tunnistamista. Kun matematiikan opettaja lukee selityksen aikana lausekkeen, sinun on varmistettava, että sanaa "vähennys" käytetään "-" sijaan. Se on välttämätöntä! Merkintä tulee lukea esimerkiksi näin: "Alkaen miinus viidestä vähentää miinus kolme. Emme saa unohtaa lisäyksen käännössääntöä: "Joten numerosta" a " vähentää numero "b" on välttämätön...".
Jos matematiikan ohjaaja lentää jatkuvasti kielestä "miinus 5 miinus 3", on selvää, että opiskelijan on vaikeampi kuvitella esimerkin rakennetta. Sanan ja aritmeettisen toiminnon välinen vastaavuus auttaa matematiikan ohjaajaa välittämään tiedot tarkasti.
Kuinka ohjaaja voi selittää siirtymisen lisäykseen?
Tietysti voidaan viitata "vähennyksen" määritelmään ja etsiä numeroa, joka on lisättävä "b":hen saadakseen "a". Heikko opiskelija ajattelee kuitenkin kaukana tiukasta matematiikasta, ja ohjaaja tarvitsee joitain analogioita yksinkertaisiin toimiin työskennellessään hänen kanssaan. Sanon usein kuudesluokkalaisilleni: "Matematiikassa ei ole sellaista aritmeettista operaatiota kuin "ero". Kirjoittaminen 5 - 3 on yksinkertainen merkintä summan 5 + (-3) tulokselle. Plusmerkki on yksinkertaisesti jätetty pois, eikä sitä kirjoiteta.
Lapset hämmästyvät ohjaajan sanoista ja muistavat tahattomasti, että numeroita ei voi vähentää suoraan. Matematiikan ohjaaja ilmoittaa 5 ja -3 termiä ja vertaa sanojensa motivoimiseksi toimintojen 5-3 ja 5+(-3) tuloksia. Tämän jälkeen kirjoitetaan identiteetti a-b=a+(-b).
Olipa opiskelija mikä tahansa, ja riippumatta siitä, kuinka paljon aikaa matematiikan ohjaajalle annetaan hänen kanssaan tapahtuviin luokkiin, sinun on selvitettävä "vastakkaisen luvun" käsite ajoissa. Levy “-x” ansaitsee matematiikan ohjaajan erityishuomion. 6. luokan oppilaan on opittava, että se ei näytä negatiivista lukua, vaan x:n vastakohtaa.
On tarpeen keskittyä erikseen laskelmiin, joissa on kaksi miinusmerkkiä, jotka sijaitsevat vierekkäin. Niiden samanaikaisen poistamisen toiminnan ymmärtämisessä on ongelma. On tarpeen käydä huolellisesti läpi kaikki mainitun algoritmin kohdat siirtyäksesi lisäämiseen. On parempi, jos työskennellessään erolla -5- (-3) ennen kommentteja matematiikan ohjaaja korostaa numerot -5 ja -3 kehyksessä tai alleviivaa ne. Tämä auttaa opiskelijaa tunnistamaan toiminnan osat.
Matematiikan ohjaajan painopiste muistamiseen
Luotettava muistaminen on tulosta matemaattisten sääntöjen käytännön soveltamisesta, joten ohjaajan on tärkeää varmistaa itsenäisesti ratkaistujen esimerkkien hyvä tiheys. Parantaaksesi muistamisen vakautta voit kutsua apua visuaalisilla vihjeillä - siruilla. Esimerkiksi mielenkiintoinen tapa kääntää negatiivisen luvun vähentäminen yhteenlaskuksi. 
Matematiikan ohjaaja yhdistää kaksi miinusta yhdellä viivalla (kuten kuvassa), ja opiskelijan katse avaa plusmerkin (hakasulkeen leikkauskohdassa).
Hämmennyksen estämiseksi suosittelen, että matematiikan opettajat korostavat minuendin ja aliosan laatikoilla. 
Jos matematiikan ohjaaja korostaa aritmeettisen operaation komponentteja laatikoilla tai ympyröillä, opiskelija oppii helpommin ja nopeammin näkemään esimerkin rakenteen ja korreloimaan sen vastaavan säännön kanssa. Sinun ei pitäisi sijoittaa koko objektin paloja päätöksiä tehdessäsi muistikirjaarkin eri riveille, vaan myös aloittaa lisääminen, kunnes se on kirjoitettu. Kaikki toiminnot ja siirtymät näytetään virheettömästi (ainakin aiheen opiskelun alussa).
Jotkut matematiikan tutorit pyrkivät 100 % tarkkoihin käännössääntöjen perusteluihin, koska he pitävät tätä strategiaa ainoana oikeana ja hyödyllisenä laskennallisten taitojen muodostumiselle. Käytäntö osoittaa kuitenkin, että tämä polku ei aina tuota hyviä osinkoja. Tietoisuuden tarve ihmisen tekemisistä ilmenee useimmiten sovelletun algoritmin vaiheiden ulkoa opettelun ja laskennallisten operaatioiden käytännön kiinnittämisen jälkeen.
On äärimmäisen tärkeää työstää siirtyminen summaan esimerkiksi pitkässä numeerisessa lausekkeessa, jossa on useita vähennyksiä. Ennen kuin jatkan laskemista tai muuntamista, pyydän oppilasta ympyröimään numerot ja niiden merkit vasemmalle. Kuvassa on esimerkki siitä, kuinka matematiikan ohjaaja valitsee termejä Erittäin heikoille kuudesluokkalaisille voi lisäksi sävyttää ympyrät. Käytä yhtä väriä positiivisille termeille ja toista väriä negatiivisille termeille. Erikoistapauksissa otan sakset käsiini ja leikkaan ilmeen palasiksi. Ne voidaan järjestää mielivaltaisesti uudelleen, mikä jäljittelee termien permutaatiota. Lapsi näkee, että merkit liikkuvat itse termien mukana. Eli jos miinusmerkki oli numeron 5 vasemmalla puolella, niin missä tahansa siirrämme vastaavaa korttia, se ei irtoa viidestä.
Kolpakov A.N. Matematiikan ohjaaja 5-6. Moskova. Strogino.
Aloitetaan yksinkertaisella esimerkillä. Määritetään mikä lauseke 2-5 on yhtä suuri. Pisteestä +2 lasketaan viisi jakoa, kaksi nollaan ja kolme alle nollan. Pysähdytään kohtaan -3. Eli 2-5=-3. Huomaa nyt, että 2-5 ei ole ollenkaan 5-2. Jos lukujen yhteenlaskettaessa niiden järjestyksellä ei ole merkitystä, vähennyksen tapauksessa kaikki on erilaista. Numeroiden järjestyksellä on väliä.
Nyt siirrytään asiaan negatiivinen alue vaa'at. Oletetaan, että sinun täytyy lisätä +5 arvoon -2. (Tästä lähtien laitamme "+"-merkit positiivisten lukujen eteen ja suljemme sekä positiiviset että negatiiviset luvut, jotta emme sekoita numeroiden edessä olevia merkkejä yhteen- ja vähennysmerkkeihin.) Nyt ongelmamme voidaan kirjoittaa. kuten (-2)+ (+5). Sen ratkaisemiseksi nousemme pisteestä -2 viisi divisioonaa ja löydämme itsemme pisteestä +3.
Onko tässä tehtävässä mitään käytännön järkeä? Tietysti on. Oletetaan, että sinulla on 2 dollaria velkaa ja tienasit 5 dollaria. Näin ollen, kun olet maksanut velan takaisin, sinulla on 3 dollaria jäljellä.
Voit myös siirtyä alaspäin asteikon negatiivista aluetta. Oletetaan, että sinun on vähennettävä 5 arvosta -2 tai (-2)-(+5). Asteikon pisteestä -2 lasketaan viisi jakoa ja löydämme itsemme pisteestä -7. Mikä on tämän tehtävän käytännön merkitys? Oletetaan, että sinulla oli 2 dollaria velkaa ja joudut lainaamaan vielä 5 dollaria. Nyt velkasi on 7 dollaria.
Näemme, että negatiivisilla luvuilla voidaan tehdä sama yhteen- ja vähennysoperaatiot, sekä positiivisilla.
Totta, emme ole vielä hallineet kaikkia toimintoja. Lisäsimme vain negatiivisiin lukuihin ja vähennimme negatiivisista luvuista vain positiiviset. Mutta mitä tehdä, jos sinun on lisättävä negatiivisia lukuja tai vähennettävä negatiiviset luvut?
Käytännössä tämä on samanlaista kuin velkojen käsittely. Oletetaan, että sinulta veloitettiin 5 dollaria velkaa, mikä tarkoittaa samaa kuin jos saisit 5 dollaria. Toisaalta, jos saan sinut jotenkin ottamaan vastuun jonkun 5 dollarin velasta, se on sama kuin ottaisin tuon 5 dollarin sinulta pois. Eli -5:n vähentäminen on sama kuin +5:n lisääminen. Ja -5:n lisääminen on sama kuin +5:n vähentäminen.
Tämä antaa meille mahdollisuuden päästä eroon vähennysoperaatiosta. Todellakin "5-2" on sama kuin (+5)-(+2) tai sääntömme mukaan (+5)+(-2). Molemmissa tapauksissa saamme saman tuloksen. Asteikon pisteestä +5 meidän on laskettava kaksi divisioonaa, ja saamme +3. Tapauksessa 5-2 tämä on ilmeistä, koska vähennys on alaspäin suuntautuva liike.
Tapauksessa (+5)+(-2) tämä on vähemmän ilmeinen. Lisäämme luvun, mikä tarkoittaa siirtymistä asteikolla ylöspäin, mutta lisäämme negatiivisen luvun, eli teemme päinvastaisen toiminnon, ja nämä kaksi tekijää yhdessä tarkoittavat, että meidän ei tarvitse siirtyä asteikolla ylöspäin, vaan vastakkaiseen suuntaan , se on alaspäin.
Siten saamme jälleen vastauksen +3.
Miksi se on todella tarpeellista korvaa vähennyslasku yhteenlaskulla? Miksi siirtyä ylöspäin "käänteisesti"? Eikö ole helpompaa vain siirtyä alas? Syynä on, että yhteenlaskussa termien järjestyksellä ei ole väliä, kun taas vähennyslaskussa se on erittäin tärkeä.
Olemme jo aiemmin havainneet, että (+5)-(+2) ei ole ollenkaan sama asia kuin (+2)-(+5). Ensimmäisessä tapauksessa vastaus on +3 ja toisessa -3. Toisaalta (-2)+(+5) ja (+5)+(-2) antavat tulokseksi +3. Siten siirtymällä yhteen ja luopumalla vähennysoperaatioista voimme välttää termien uudelleenjärjestelyyn liittyvät satunnaiset virheet.
Samoin voit toimia, kun vähennät negatiivista. (+5)-(-2) on sama kuin (+5)+(+2). Molemmissa tapauksissa saamme vastauksen +7. Aloitamme pisteestä +5 ja siirrymme "alaspäin vastakkaiseen suuntaan", eli ylös. Samalla tavalla toimisimme ratkaistaessa lauseketta (+5) + (+2).
Vähennyksen korvaamista yhteenlaskemalla käyttävät opiskelijat aktiivisesti, kun he alkavat opiskella algebraa, ja siksi tämä operaatio on ns. "algebrallinen lisäys". Itse asiassa tämä ei ole täysin reilua, koska tällainen operaatio on ilmeisesti aritmeettinen eikä ollenkaan algebrallinen.
Tämä tieto on ennallaan kaikille, joten vaikka saisit koulutuksen Itävallassa www.salls.ru:n kautta, vaikka ulkomailla opiskelua arvostetaan enemmän, voit silti soveltaa näitä sääntöjä siellä.
Tässä artikkelissa puhumme negatiivisten lukujen lisääminen. Ensin annetaan sääntö negatiivisten lukujen lisäämiselle ja todistetaan se. Sen jälkeen analysoimme tyypillisiä esimerkkejä negatiivisten lukujen lisäämisestä.
Sivulla navigointi.
Ennen kuin annat negatiivisten lukujen lisäämissäännön muotoilun, siirrytään artikkelin positiivisten ja negatiivisten lukujen materiaaliin. Mainitsimme siellä, että negatiiviset luvut voidaan nähdä velana, ja luvun moduuli määrää tässä tapauksessa tämän velan määrän. Siksi kahden negatiivisen luvun yhteenlasku on kahden velan yhteenlasku.
Tämä johtopäätös mahdollistaa sen ymmärtämisen negatiivinen lisäyssääntö. Kahden negatiivisen luvun lisäämiseksi tarvitset:
- pinoa niiden moduulit;
- laita miinusmerkki vastaanotetun summan eteen.
Kirjoita muistiin sääntö negatiivisten lukujen −a ja −b lisäämiseksi kirjaimelliseen muotoon: (−a)+(−b)=−(a+b) .
On selvää, että soinnillinen sääntö vähentää negatiivisten lukujen yhteenlaskua positiivisten lukujen lisäämiseen (negatiivisen luvun moduuli on positiivinen luku). On myös selvää, että kahden negatiivisen luvun yhteenlaskettu tulos on negatiivinen luku, mistä on osoituksena miinusmerkki, joka on sijoitettu moduulien summan eteen.
Negatiivisten lukujen lisäämissääntö voidaan todistaa perustuen reaalilukujen toimintojen ominaisuuksia(tai rationaali- tai kokonaislukujen operaatioiden samat ominaisuudet). Tätä varten riittää, kun osoitetaan, että yhtälön (−a)+(−b)=−(a+b) vasemman ja oikean osan välinen ero on nolla.
Koska luvun vähentäminen on sama kuin vastakkaisen luvun lisääminen (katso kokonaislukujen vähentämissääntö), niin (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b) +(a+b) . Summauksen kommutatiivisten ja assosiatiivisten ominaisuuksien perusteella meillä on (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) . Koska vastakkaisten lukujen summa on nolla, niin (−a+a)+(−b+b)=0+0 ja 0+0=0 johtuen ominaisuudesta lisätä luku nollaan. Tämä todistaa yhtälön (−a)+(−b)=−(a+b) , ja siten negatiivisten lukujen yhteenlaskusäännön.
Näin ollen tämä summaussääntö koskee sekä negatiivisia kokonaislukuja että rationaalilukuja sekä reaalilukuja.
On vain opittava soveltamaan negatiivisten lukujen lisäämissääntöä käytännössä, minkä teemme seuraavassa kappaleessa.
Esimerkkejä negatiivisten lukujen lisäämisestä
Analysoidaan esimerkkejä negatiivisten lukujen lisäämisestä. Aloitetaan yksinkertaisimmasta tapauksesta - negatiivisten kokonaislukujen lisääminen, lisäys suoritetaan edellisessä kappaleessa käsitellyn säännön mukaisesti.
Lisää negatiiviset luvut -304 ja -18007 .
Noudatetaan kaikkia negatiivisten lukujen lisäämissäännön vaiheita.
Ensin löydämme lisättyjen numeroiden moduulit: ja 
. Nyt sinun on lisättävä tuloksena saadut numerot, tässä on kätevää suorittaa lisäys sarakkeessa: 
Nyt laitamme miinusmerkin tuloksena olevan luvun eteen, tuloksena meillä on −18 311 .
Kirjoitetaan koko ratkaisu lyhyessä muodossa: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .
Negatiivisten rationaalilukujen yhteenlasku, riippuen itse luvuista, voidaan pelkistää joko luonnollisten lukujen yhteenlaskuksi tai tavallisten murtolukujen yhteenlaskuksi tai desimaalimurtolukujen yhteenlaskuksi.
Lisää negatiivinen luku ja negatiivinen luku −4,(12) .
Negatiivisten lukujen lisäämissäännön mukaan sinun on ensin laskettava moduulien summa. Lisättyjen negatiivisten lukujen moduulit ovat 2/5 ja 4,(12). Saatujen lukujen yhteenlasku voidaan vähentää tavallisten jakeiden lisäämiseen. Tätä varten käännämme jaksollisen desimaaliluvun tavalliseksi murtoluvuksi:. Joten 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Lisätään nyt murtoluvut eri nimittäjillä: .
Jäljelle jää laittaa miinusmerkki tuloksena olevan luvun eteen: . Tämä viimeistelee alkuperäisten negatiivisten lukujen lisäämisen.
Negatiiviset reaaliluvut lisätään saman negatiivisten lukujen lisäämissäännön mukaisesti. Tässä on syytä huomata, että reaalilukujen lisäämisen tulos kirjoitetaan hyvin usein numeerisena lausekkeena ja tämän lausekkeen arvo lasketaan likimääräisesti ja sitten tarvittaessa.
Etsitään esimerkiksi negatiivisten lukujen ja -5:n summa. Näiden lukujen moduulit ovat yhtä suuria kuin kolmen ja viiden neliöjuuri, ja alkuperäisten lukujen summa on . Näin vastaus kirjoitetaan. Muita esimerkkejä löytyy artikkelista. reaalilukujen lisääminen.
www.cleverstudents.ru
Kuinka lisätä kaksi negatiivista lukua
Toiminnot negatiivisilla ja positiivisilla luvuilla
Absoluuttinen arvo (moduuli). Lisäys.
Vähennyslasku. Kertominen. Division.
Absoluuttinen arvo (moduuli). varten negatiivinen numero on positiivinen luku, joka saadaan muuttamalla sen etumerkki "-":sta "+":ksi; varten positiivinen luku ja nolla on itse numero. Luvun itseisarvon (moduulin) merkitsemiseen käytetään kahta suoraa, joiden sisään tämä luku kirjoitetaan.
ESIMERKKEJÄ: | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.
1) kun lisäät kaksi numeroa samalla merkillä, lisää
niiden absoluuttiset arvot ja summaa edeltää yhteinen merkki.
2) kun lisäät kaksi lukua eri etumerkillä, niiden absoluuttinen
arvot vähennetään (suuremmasta pienempi) ja laitetaan etumerkki
numeroita, joilla on suurempi itseisarvo.
Vähennyslasku. Voit korvata kahden luvun vähennyksen yhteenlaskemalla, kun taas minuendi säilyttää etumerkkinsä ja vähennysluku otetaan vastakkaisella merkillä.
(+ 8) – (+ 5) = (+ 8) + (– 5) = 3;
(+ 8) – (– 5) = (+ 8) + (+ 5) = 13;
(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 3;
(– 8) – (+ 5) = (– 8) + (– 5) = – 13;
Kertominen. Kun kaksi lukua kerrotaan, niiden absoluuttiset arvot kerrotaan ja tulo saa "+"-merkin, jos tekijöiden merkit ovat samat, ja merkin "-", jos tekijöiden merkit ovat erilaiset.
Seuraava kaavio on hyödyllinen ( kertomerkkisäännöt):
Kun kerrotaan useita lukuja (kaksi tai useampia), tulossa on plusmerkki, jos negatiivisten tekijöiden lukumäärä on parillinen, ja -merkki, jos niiden lukumäärä on pariton.
Division. Jaettaessa kahta lukua osingon itseisarvo jaetaan jakajan itseisarvolla, ja osamäärä saa merkin "+", jos osingon ja jakajan etumerkit ovat samat, ja merkin "-" jos osingon ja jakajan merkit ovat erilaiset.
Siellä on Sama merkkisäännöt, kuten kertolaskussa:
Negatiivisten lukujen lisääminen
Positiivisten ja negatiivisten lukujen yhteenlasku voidaan jäsentää numeroakselilla.
Numeroiden lisääminen koordinaattiviivan avulla
Pienten modulolukujen yhteenlasku suoritetaan kätevästi koordinaattiviivalla kuvitellen, että lukua ilmaiseva piste liikkuu numeroakselia pitkin.
Otetaan jokin luku, esimerkiksi 3 . Merkitään se numeeriselle akselille pisteellä " A ".
Lisätään positiivinen luku 2 numeroon. Tämä tarkoittaa, että pistettä "A" on siirrettävä kaksi yksikkösegmenttiä positiiviseen suuntaan eli oikealle. Tuloksena saamme pisteen "B" koordinaatilla 5.
Jotta positiiviseen lukuun, esimerkiksi 3, voidaan lisätä negatiivinen luku ”-5”, pistettä ”A” on siirrettävä 5 pituusyksikköä negatiiviseen suuntaan eli vasemmalle.
Tässä tapauksessa pisteen "B" koordinaatti on yhtä suuri kuin - "2".
Joten rationaalisten lukujen lisäämisjärjestys numeroakselilla on seuraava:
Siirtyessämme pisteestä - 2 vasemmalle (koska luvun 6 edessä on miinusmerkki), saamme - 8.
Numeroiden lisääminen samoilla merkeillä
Rationaalilukujen lisääminen on helpompaa, jos käytät moduulin käsitettä.
Oletetaan, että meidän on lisättävä numeroita, joilla on samat merkit.
Tätä varten hylkäämme numeroiden merkit ja otamme näiden numeroiden moduulit. Lisäämme moduulit ja laitamme merkin summan eteen, joka oli yhteinen näille luvuille.
Esimerkki negatiivisten lukujen lisäämisestä.
Jos haluat lisätä saman merkin numeroita, sinun on lisättävä niiden moduulit ja asetettava merkki sen summan eteen, joka oli ehtojen edessä.
Numeroiden lisääminen eri merkillä
Jos numeroilla on eri merkit, toimimme hieman eri tavalla kuin kun lisäämme numeroita samoilla etumerkeillä.
Esimerkki negatiivisen ja positiivisen luvun lisäämisestä.
Esimerkki sekalukujen lisäämisestä.
Vastaanottaja lisää vastakkaisen merkin numerot tarpeellista:
- vähennä pienempi moduuli suuremmasta moduulista;
- ennen tuloksena olevaa erotusta laita sen luvun etumerkki, jolla on suurempi moduuli.
- suorittaa moduuliensa lisääminen;
- lisää merkki "-" saatuun summaan.
- laskea numeromoduulit;
- vertaa saatuja lukuja:
- vähennä pienempi suuresta;
- ennen vastaanotettua arvoa, laita sen luvun etumerkki, jonka moduuli on suurempi.
Positiivisten ja negatiivisten lukujen yhteen- ja vähennyslasku
Eikö mikään ole selvää?
Yritä pyytää apua opettajilta.
Negatiivinen lisäyssääntö
Kahden negatiivisen luvun lisääminen:
Lisäyssäännön mukaan voimme kirjoittaa:
Negatiivinen summaussääntö koskee negatiivisia kokonaislukuja, rationaalilukuja ja reaalilukuja.
Lisää negatiiviset luvut $−185$ ja $−23 \ 789.$
Käytetään negatiivisten lukujen summaussääntöä.
Lisätään tuloksena saadut luvut:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Laitamme merkin $"–"$ löydetyn numeron eteen ja saamme $−23 974$.
Lyhyt ratkaisu: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Kun lisäät negatiivisia rationaalilukuja, ne on muunnettava luonnollisiksi lukuiksi, tavallisiksi tai desimaalilukuiksi.
Lisää negatiiviset luvut $-\frac $ ja $−7.15$.
Negatiivisten lukujen lisäämissäännön mukaan sinun on ensin löydettävä moduulien summa:
Saadut arvot on kätevä pienentää desimaalimurtoiksi ja suorittaa niiden yhteenlasku:
Laitetaan merkki $"-"$ vastaanotetun arvon eteen ja saadaan $-7.4$.
Yhteenveto ratkaisusta:
Vastakkaisilla etumerkeillä varustettujen numeroiden lisääminen
Sääntö vastakkaisilla etumerkeillä varustettujen numeroiden lisäämiseksi:
jos ne ovat yhtä suuret, niin alkuperäiset luvut ovat vastakkaisia ja niiden summa on nolla;
jos ne eivät ole yhtä suuret, sinun on muistettava sen luvun merkki, jonka moduuli on suurempi;
Vastakkaisten etumerkkien lukujen lisääminen vähennetään pienemmän negatiivisen luvun vähentämiseksi suuremmasta positiivisesta luvusta.
Vastakkaisten etumerkkien lukujen lisäämissääntö suoritetaan kokonaisluvuille, rationaalisille ja reaaliluvuille.
Lisää numerot $4$ ja $−8$.
Sinun on lisättävä numeroita, joissa on vastakkaiset merkit. Käytetään sopivaa lisäyssääntöä.
Etsitään näiden numeroiden moduulit:
Luvun $−8$ moduuli on suurempi kuin luvun $4$ moduuli, ts. muista merkki $"-"$.
Laitamme tuloksena olevan luvun eteen merkin $"–"$, jonka muistimme, ja saamme $−4.$
Liian laiska lukemaan?
Kysy asiantuntijoilta ja hanki
vastaus 15 minuutissa!
Jos haluat lisätä rationaalilukuja, joissa on vastakkaiset merkit, on kätevää esittää ne tavallisina tai desimaalilukuina.
Negatiivisten lukujen vähentäminen
Sääntö negatiivisten lukujen vähentämiseksi:
Negatiivisen luvun $b$ vähentämiseksi luvusta $a$ on tarpeen lisätä lopputulokseen $a$ luku $−b$, joka on vähennetyn $b$ vastakohta.
Vähennyssäännön mukaan voimme kirjoittaa:
Tämä sääntö koskee kokonaislukuja, rationaalilukuja ja reaalilukuja. Sääntöä voidaan käyttää vähennettäessä negatiivinen luku positiivisesta luvusta, negatiivisesta luvusta ja nollasta.
Vähennä negatiivisesta luvusta $−28$ negatiivinen luku $−5$.
Lukulle $–5$ vastakkainen luku on numero $5$.
Negatiivisten lukujen vähentämissäännön mukaan saamme:
Lisätään numerot, joissa on vastakkaiset merkit:
Lyhyt ratkaisu: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Kun vähennät negatiivisia murtolukuja, sinun on muutettava luvut tavallisiksi murtoluvuiksi, sekaluvuiksi tai desimaalimurtoiksi.
Vastakkaisten etumerkkien lukujen vähentäminen
Vastakkaisten etumerkkien lukujen vähentämissääntö on sama kuin negatiivisten lukujen vähentämisen sääntö.
Vähennä positiivinen luku $7$ negatiivisesta luvusta $−11$.
Vastakkainen luku numerolle $7$ on numero $–7$.
Vastakkaisten etumerkkien lukujen vähentämissäännön mukaan saamme:
Lisätään negatiiviset luvut:
Kun vähennetään murto-osia, joissa on vastakkaiset merkit, luvut on muutettava tavallisiksi tai desimaalimurtoiksi.
Ei ole vielä löytynyt vastausta
kysymykseesi?
Kirjoita vain sillä mitä olet
Tarvitsetko apua
Negatiivisten lukujen lisääminen: sääntö, esimerkit
Osana tätä materiaalia käsittelemme niin tärkeää aihetta kuin negatiivisten lukujen lisääminen. Ensimmäisessä kappaleessa kuvataan tämän toiminnon perussääntö, ja toisessa analysoimme konkreettisia esimerkkejä tällaisten ongelmien ratkaisemisesta.
Luonnollisten lukujen lisäämisen perussääntö
Ennen kuin johdat säännön, muistetaan, mitä yleensä tiedämme positiivisista ja negatiivisista luvuista. Aiemmin sovimme, että negatiiviset luvut pitäisi nähdä velana, tappiona. Negatiivisen luvun moduuli ilmaisee tämän häviön tarkan koon. Tällöin negatiivisten lukujen yhteenlaskua voidaan pitää kahden häviön yhteenlaskuna.
Tätä päättelyä käyttämällä muotoilemme perussäännön negatiivisten lukujen lisäämiselle.
Täyttääkseen negatiivisten lukujen lisääminen, sinun on lisättävä niiden moduulien arvot ja laitettava miinus tuloksen eteen. Kirjaimellisessa muodossa kaava näyttää tältä (− a) + (− b) = − (a + b) .
Tämän säännön perusteella voimme päätellä, että negatiivisten lukujen lisääminen on samanlaista kuin positiivisten, vain lopulta meidän on ehdottomasti saatava negatiivinen luku, koska meidän on laitettava miinusmerkki moduulien summan eteen.
Mitä todisteita tälle säännölle voidaan esittää? Tätä varten meidän on muistettava reaalilukujen operaatioiden perusominaisuudet (joko kokonaislukujen tai rationaalilukujen kanssa - ne ovat samat kaikille tämäntyyppisille numeroille). Sen todistamiseksi meidän tarvitsee vain osoittaa, että yhtälön (− a) + (− b) = − (a + b) välinen ero on yhtä suuri kuin 0 .
Yhden luvun vähentäminen toisesta on sama kuin saman vastakkaisen luvun lisääminen siihen. Siksi (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Muista, että numeerisilla lausekkeilla, joissa on summaus, on kaksi pääominaisuutta - assosiatiivinen ja kommutatiivinen. Sitten voidaan päätellä, että (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Koska vastakkaisia lukuja lisäämällä saadaan aina 0, niin (− a + a) + (− b + b) \u003d 0 + 0 ja 0 + 0 \u003d 0. Yhtäläisyytemme voidaan katsoa todistetuksi, mikä tarkoittaa, että Todistimme myös negatiivisten lukujen yhteenlaskusäännön.
Ongelmia negatiivisten lukujen lisäämisessä
Toisessa kappaleessa otamme erityisiä ongelmia, joihin sinun on lisättävä negatiivisia lukuja, ja yritämme soveltaa niihin oppittua sääntöä.
Etsi kahden negatiivisen luvun - 304 ja - 18007 summa.
Ratkaisu
Tehdään vaiheet askel askeleelta. Ensin meidän on löydettävä lisättävien numeroiden moduulit: - 304 \u003d 304, - 180007 \u003d 180007. Seuraavaksi meidän on suoritettava lisäystoiminto, johon käytämme sarakkeiden laskentamenetelmää:
Ei jää muuta kuin laittaa miinus tuloksen eteen ja saada -18 311.
Vastaus: — — 18 311 .
Se riippuu siitä, mitä lukuja meillä on, mihin voimme vähentää yhteenlaskutoimintoa: luonnollisten lukujen summan löytämiseen, tavallisten tai desimaalilukujen yhteenlaskemiseen. Analysoidaan ongelma tällaisten numeroiden kanssa.
Etsi kahden negatiivisen luvun summa - 2 5 ja - 4 , (12) .
Etsimme haluttujen lukujen moduulit ja saamme 2 5 ja 4 , (12) . Meillä on kaksi erilaista fraktiota. Pelistämme ongelman kahden tavallisen murtoluvun lisäämiseen, joille edustamme jaksollista murtolukua tavallisen muodossa:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Tuloksena saimme murto-osan, joka on helppo lisätä ensimmäiseen alkuperäiseen termiin (jos unohdat lisätä eri nimittäjillä olevia murtolukuja oikein, toista vastaava materiaali).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
Tuloksena saimme sekaluvun, jonka eteen tarvitsee laittaa vain miinus. Tämä päättää laskelmat.
Vastaus: — 4 86 105 .
Reaaliset negatiiviset luvut lisätään samalla tavalla. Tällaisen toiminnan tulos kirjoitetaan yleensä numeerisena lausekkeena. Sen arvoa ei voida laskea tai se on rajoitettu likimääräisiin laskelmiin. Joten esimerkiksi jos meidän on löydettävä summa - 3 + (- 5), kirjoitamme vastauksen muodossa - 3 - 5. Reaalilukujen yhteenlaskulle omistimme erillisen materiaalin, josta löydät muita esimerkkejä.
