\[(\Large(\text(Perustietoa alueesta)))\]

Voimme sanoa, että monikulmion pinta-ala on arvo, joka osoittaa sen osan tasosta, jonka tietty polygoni vie. Pinta-alayksikkö on neliön pinta-ala, jonka sivu on \(1\) cm, \(1\) mm jne. (yksi neliö). Sitten pinta-ala mitataan cm\(^2\) , mm\(^2\) vastaavasti.

Toisin sanoen voidaan sanoa, että kuvion pinta-ala on arvo, jonka numeerinen arvo näyttää kuinka monta kertaa yksikköneliö mahtuu tiettyyn kuvioon.

Alueen ominaisuudet

1. Minkä tahansa monikulmion pinta-ala on positiivinen arvo.

2. Tasaisilla polygoneilla on yhtä suuret alueet.

3. Jos monikulmio koostuu useista monikulmioista, niin sen pinta-ala on yhtä suuri kuin näiden monikulmioiden pinta-alojen summa.

4. Neliön, jonka sivu on \(a\), pinta-ala on \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Suorakulmion ja suuntaviivan pinta-ala)))\]

Lause: suorakulmion pinta-ala

Suorakulmion, jonka sivut ovat \(a\) ja \(b\), pinta-ala on \(S=ab\) .

Todiste

Muodostetaan suorakulmio \(ABCD\) nelioksi, jonka sivu on \(a+b\) kuvan osoittamalla tavalla:

Tämä neliö koostuu suorakulmiosta \(ABCD\) , toisesta sitä vastaavasta suorakulmiosta ja kahdesta neliöstä, joiden sivut ovat \(a\) ja \(b\) . Täten,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \nuoli vasen oikealle (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(multline*)\)

Määritelmä

Suunnikkaan korkeus on kohtisuora, joka on vedetty suunnikkaan kärjestä sivulle (tai sivun jatkeelle), joka ei sisällä kyseistä kärkeä.
Esimerkiksi korkeus \(BK\) putoaa sivulle \(AD\) ja korkeus \(BH\) sivun \(CD\) jatkeelle:

Lause: suunnikkaan pinta-ala

Suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin korkeuden ja sen sivun tulo, jolle tämä korkeus piirretään.

Todiste

Piirrä kohtisuorat \(AB"\) ja \(DC"\) kuvan osoittamalla tavalla. Huomaa, että nämä kohtisuorat ovat yhtä suuria kuin suunnikkaan korkeus \(ABCD\) .

Tällöin \(AB"C"D\) on suorakulmio, joten \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Huomaa, että suorakulmaiset kolmiot \(ABB"\) ja \(DCC"\) ovat yhtä suuret. Täten,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\teksti(Kolmion pinta-ala)))\]

Määritelmä

Kutsumme kolmion kantaa sivua, jolle korkeus piirretään kolmiossa.

Lause

Kolmion pinta-ala on puolet sen kannan ja siihen vedetyn korkeuden tulosta.

Todiste

Olkoon \(S\) kolmion \(ABC\) pinta-ala. Otetaan sivu \(AB\) kolmion pohjaksi ja piirretään korkeus \(CH\) . Todistetaan se \ Täydennämme kolmion \(ABC\) suunnikkaaksi \(ABDC\) kuvan osoittamalla tavalla:

Kolmiot \(ABC\) ja \(DCB\) ovat yhtä suuret kolmella sivulla (\(BC\) on niiden yhteinen sivu, \(AB = CD\) ja \(AC = BD\) suunnikkaan \ vastakkaisina puolina (ABDC\ ) ), joten niiden pinta-alat ovat yhtä suuret. Siksi kolmion \(ABC\) pinta-ala \(S\) on yhtä suuri kuin puolet suunnikkaan \(ABDC\) pinta-alasta, ts. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

Lause

Jos kahdella kolmiolla \(\kolmio ABC\) ja \(\kolmio A_1B_1C_1\) on samat korkeudet, niiden pinta-alat ovat suhteessa kantaan, johon nämä korkeudet piirretään.

Seuraus

Kolmion mediaani jakaa sen kahteen samanpintaiseen kolmioon.

Lause

Jos kahdella kolmiolla \(\kolmio ABC\) ja \(\kolmiolla A_2B_2C_2\) on kummallakin sama kulma, niin niiden pinta-alat liittyvät tämän kulman muodostavien sivujen tuloihin.

Todiste

Olkoon \(\kulma A=\kulma A_2\) . Yhdistetään nämä kulmat kuvan osoittamalla tavalla (piste \(A\) on kohdistettu pisteen \(A_2\) kanssa):

Piirrä korkeudet \(BH\) ja \(C_2K\) .

Kolmioilla \(AB_2C_2\) ja \(ABC_2\) on sama korkeus \(C_2K\) , joten: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Kolmioilla \(ABC_2\) ja \(ABC\) on sama korkeus \(BH\) , joten: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Kerrotaan kaksi viimeistä yhtälöä, saadaan: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( tai ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Pythagoraan lause

Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan pituuden neliö on yhtä suuri kuin jalkojen pituuksien neliöiden summa:

Päinvastoin on myös totta: jos kolmiossa yhden sivun pituuden neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun pituuksien neliöiden summa, niin tällainen kolmio on suorakulmainen.

Lause

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on puolet jalkojen tulosta.

Lause: Heronin kaava

Olkoon \(p\) kolmion puolikehä, \(a\) , \(b\) , \(c\) sen sivujen pituudet, jolloin sen pinta-ala on yhtä suuri kuin \

\[(\Large(\text(Rhombin ja puolisuunnikkaan pinta-ala)))\]

Kommentti

Koska rombi on suunnikas, niin sille pätee sama kaava, ts. Rombin pinta-ala on yhtä suuri kuin korkeuden ja sen sivun tulo, jolle tämä korkeus piirretään.

Lause

Kuperan nelikulmion pinta-ala, jonka lävistäjät ovat kohtisuorassa, on puolet lävistäjien tulosta.

Todiste

Tarkastellaan nelikulmiota \(ABCD\) . Merkitse \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

Huomaa, että tämä nelikulmio koostuu neljästä suorakulmaisesta kolmiosta, joten sen pinta-ala on yhtä suuri kuin näiden kolmioiden pinta-alojen summa:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multline*)\)

Seuraus: rombin pinta-ala

Rombin pinta-ala on puolet sen diagonaalien tulosta: \

Määritelmä

Puolisuunnikkaan korkeus on kohtisuora, joka on vedetty yhden alustan yläosasta toiseen kantaan.

Lause: puolisuunnikkaan pinta-ala

Puolisuunnikkaan pinta-ala on puolet kantajen summasta kertaa korkeus.

Todiste

Tarkastellaan puolisuunnikasta \(ABCD\), jonka kantakannat \(BC\) ja \(AD\) . Piirrä \(CD"\rinnakkais AB\) kuvan osoittamalla tavalla:

Silloin \(ABCD"\) on suuntaviiva.

Piirrämme myös \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) ovat puolisuunnikkaan korkeuksia).

Sitten \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Koska puolisuunnikas koostuu suunnikkaasta \(ABCD"\) ja kolmiosta \(CDD"\) , jolloin sen pinta-ala on yhtä suuri kuin suunnikkaan ja kolmion pinta-alojen summa, eli:

\ \[=\dfrac12 CH\vasen(BC+AD"+D"D\oikea)=\dfrac12 CH\vasen(BC+AD\oikea)\]

Kaikki koulussa matematiikkaa ja geometriaa opiskelleet tuntevat nämä tieteet ainakin pinnallisesti. Mutta ajan myötä tieto unohtuu, jos niitä ei harjoiteta. Monet jopa uskovat, että he vain tuhlasivat aikaansa geometristen laskelmien opiskeluun. He ovat kuitenkin väärässä. Tekniset työntekijät tekevät päivittäin geometrisiin laskelmiin liittyviä töitä. Mitä tulee monikulmion pinta-alan laskemiseen, tämä tieto löytää sovelluksensa myös elämässä. Niitä tarvitaan ainakin maan alan laskemiseen. Joten opettelemme löytämään polygonin alueen.

Monikulmion määritelmä

Ensin määritellään, mikä monikulmio on. Tämä on litteä geometrinen kuvio, joka muodostui kolmen tai useamman viivan risteyksen seurauksena. Toinen yksinkertainen määritelmä: polygoni on suljettu moniviiva. Luonnollisesti viivojen leikkauspisteisiin muodostuu leikkauspisteitä, joiden lukumäärä on yhtä suuri kuin monikulmion muodostavien viivojen lukumäärä. Leikkauspisteitä kutsutaan kärkipisteiksi ja suorista muodostettuja janoja kutsutaan monikulmion sivuiksi. Monikulmion vierekkäiset segmentit eivät ole samalla suoralla. Ei vierekkäiset viivasegmentit, jotka eivät kulje yhteisten pisteiden kautta.

Kolmioiden pinta-alojen summa

Kuinka löytää monikulmion pinta-ala? Monikulmion pinta-ala on tason sisäosa, joka muodostui monikulmion segmenttien tai sivujen leikkauspisteeseen. Koska monikulmio on yhdistelmä muotoja, kuten kolmio, rombi, neliö, puolisuunnikas, sen pinta-alan laskemiseen ei yksinkertaisesti ole olemassa yleistä kaavaa. Käytännössä yleisin menetelmä on monikulmion jakaminen yksinkertaisempiin hahmoihin, joiden pinta-alaa ei ole vaikea löytää. Lisäämällä näiden yksinkertaisten lukujen pinta-alojen summat, saamme monikulmion pinta-alan.

Ympyrän alueen läpi

Useimmissa tapauksissa monikulmiolla on säännöllinen muoto ja se muodostaa hahmon, jonka sivut ja kulmat ovat yhtä suuret. Pinta-alan laskeminen tässä tapauksessa on hyvin yksinkertaista käyttämällä piirrettyä tai rajattua ympyrää. Jos ympyrän pinta-ala tunnetaan, se on kerrottava monikulmion kehällä ja sitten tuloksena saatu tulo jaettuna 2:lla. Tämän seurauksena saadaan kaava tällaisen monikulmion pinta-alan laskemiseksi. : S = ½∙P∙r., missä P on ympyrän pinta-ala ja r on monikulmion kehä.

Menetelmä monikulmion jakamiseksi "käteviin" muotoihin on geometriassa suosituin, sen avulla voit löytää monikulmion alueen nopeasti ja oikein. Lukion 4. luokka yleensä oppii tällaisia ​​​​menetelmiä.

Tässä artikkelissa puhumme kuinka ilmaista monikulmion alue, johon ympyrä voidaan merkitä tämän ympyrän säteen suhteen. On heti syytä huomata, että jokaista monikulmiota ei voida piirtää ympyrään. Jos tämä on kuitenkin mahdollista, kaavasta, jolla tällaisen monikulmion pinta-ala lasketaan, tulee hyvin yksinkertainen. Lue tämä artikkeli loppuun tai katso oheinen opetusvideo ja opit ilmaisemaan monikulmion alueen sen piirretyn ympyrän säteen avulla.

Kaava monikulmion pinta-alalle piirretyn ympyrän säteen mukaan

Piirretään monikulmio A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 , ei välttämättä oikein, mutta sellainen, johon ympyrä voidaan piirtää. Haluan muistuttaa, että piirretty ympyrä on ympyrä, joka koskettaa monikulmion kaikkia sivuja. Kuvassa tämä on vihreä ympyrä, jonka keskipiste on piste O:

Olemme ottaneet 5-gonin tässä esimerkkinä. Mutta itse asiassa tämä ei ole välttämätöntä, koska lisätodistus pätee sekä 6-gonille että 8-gonille ja yleensä kaikille "gonille" mielivaltaisesti.

Jos yhdistät piirretyn ympyrän keskipisteen kaikkiin monikulmion kärkiin, se jaetaan niin moneen kolmioon kuin annetussa monikulmiossa on pisteitä. Meidän tapauksessamme: 5 kolmiota. Jos yhdistämme pisteen O Kaikilla piirretyn ympyrän kosketuspisteillä monikulmion sivujen kanssa, saat 5 segmenttiä (alla olevassa kuvassa nämä ovat segmentit vai niin 1 , vai niin 2 , vai niin 3 , vai niin 4 ja vai niin 5), jotka ovat yhtä suuria kuin ympyrän säde ja ovat kohtisuorassa monikulmion sivuihin, joihin ne on piirretty. Jälkimmäinen on totta, koska kosketuspisteeseen piirretty säde on kohtisuorassa tangenttia vastaan:

Kuinka löytää rajatun monikulmion pinta-ala? Vastaus on yksinkertainen. Kaikkien jakamisen tuloksena saatujen kolmioiden pinta-alat on laskettava yhteen:

Mieti mikä on kolmion pinta-ala. Alla olevassa kuvassa se on korostettu keltaisella:

Se on yhtä suuri kuin puolet pohjan tulosta A 1 A 2 korkeuteen vai niin 1 piirretty tälle pohjalle. Mutta kuten olemme jo havainneet, tämä korkeus on yhtä suuri kuin piirretyn ympyrän säde. Eli kolmion pinta-alan kaava on muodoltaan: , missä r on piirretyn ympyrän säde. Samalla tavalla löydetään kaikkien jäljellä olevien kolmioiden pinta-alat. Tämän seurauksena monikulmion haluttu alue on yhtä suuri kuin:

Voidaan nähdä, että tämän summan kaikissa termeissä on yhteinen tekijä , joka voidaan ottaa pois suluista. Tuloksena on seuraava lauseke:

Toisin sanoen suluissa oli yksinkertaisesti monikulmion kaikkien sivujen summa, eli sen ympärysmitta P. Useimmiten tässä kaavassa lauseke korvataan yksinkertaisesti p ja kutsua tätä kirjainta "puolikehäksi". Tämän seurauksena lopullinen kaava on:

Toisin sanoen monikulmion pinta-ala, johon tunnetun säteen omaava ympyrä on merkitty, on yhtä suuri kuin tämän säteen ja monikulmion puolikehän tulo. Tämä on tulos, johon pyrimme.

Lopuksi hän huomauttaa, että ympyrä voidaan aina kirjoittaa kolmioon, mikä on monikulmion erikoistapaus. Siksi tätä kaavaa voidaan aina soveltaa kolmioon. Muissa polygoneissa, joissa on enemmän kuin 3 sivua, sinun on ensin varmistettava, että niihin voidaan piirtää ympyrä. Jos näin on, voit turvallisesti käyttää tätä yksinkertaista kaavaa ja löytää siitä tämän polygonin alueen.

Valmisteli Sergei Valerievich

Etäisyys- ja pituusyksiköt Muunnin Pinta-alayksiköt Muunnin Liity © 2011-2017 Mikhail Dovzhik Materiaalien kopioiminen on kielletty. Online-laskimessa voit käyttää arvoja samoissa mittayksiköissä! Jos sinulla on ongelmia mittayksiköiden muuntamisessa, käytä etäisyys- ja pituusyksikkömuunninta ja pinta-alayksikkömuunninta. Nelikulmaisen pinta-alalaskimen lisäominaisuudet

• Voit siirtyä syöttökenttien välillä painamalla näppäimistön oikeaa ja vasenta näppäintä.

Teoria. Nelikulman pinta-ala Nelikulma on geometrinen kuvio, joka koostuu neljästä pisteestä (pisteestä), joista kolme ei ole samalla suoralla, ja neljästä segmentistä (sivusta), jotka yhdistävät nämä pisteet pareittain. Nelikulmiota kutsutaan kuperaksi, jos jana, joka yhdistää tämän nelikulmion kaksi pistettä, on sen sisällä.

Kuinka löytää monikulmion pinta-ala?

Pinta-alan määrityskaava määritetään ottamalla monikulmion AB jokainen reuna ja laskemalla kolmion ABO pinta-ala, jonka kärki on origossa O, kärkien koordinaattien kautta. Monikulmion ympäri kävellessä muodostuu kolmioita, mukaan lukien polygonin sisäpuoli ja jotka sijaitsevat sen ulkopuolella. Näiden alueiden summan välinen ero on itse monikulmion pinta-ala.

Siksi kaavaa kutsutaan maanmittauskaavaksi, koska "karttaja" on lähtöpisteessä; jos se kulkee alueen vastapäivään, alue lisätään, jos se on vasemmalla ja vähennetään, jos se on oikealla alkuperän kannalta. Aluekaava pätee mille tahansa ei-leikkaavalle (yksinkertaiselle) monikulmiolle, joka voi olla kupera tai kovera. Sisältö

• 1 Määritelmä
• 2 Esimerkkejä
• 3 Monimutkaisempi esimerkki
• 4 Nimen selitys
• 5 Katso

Monikulmion alue

Huomio

Se voisi olla:

• kolmio;
• nelikulmio;
• viisi- tai kuusikulmio ja niin edelleen.

Tällaista hahmoa luonnehtii varmasti kaksi asemaa:

1. Vierekkäiset sivut eivät kuulu samaan linjaan.
2. Vierekkäisillä ei ole yhteisiä pisteitä, eli ne eivät leikkaa.

Ymmärtääksesi, mitkä kärjet ovat vierekkäin, sinun on tarkistettava, kuuluvatko ne samalle puolelle. Jos kyllä, niin naapuri. Muuten ne voidaan yhdistää segmentillä, jota on kutsuttava diagonaaliksi. Ne voidaan piirtää vain monikulmioihin, joissa on enemmän kuin kolme kärkeä.

Millaisia ​​niitä on olemassa? Monikulmio, jossa on enemmän kuin neljä kulmaa, voi olla kupera tai kovera. Jälkimmäisen erona on, että jotkut sen kärjet voivat sijaita monikulmion mielivaltaisen sivun läpi vedetyn suoran eri puolilla.

Kuinka löytää säännöllisen ja epäsäännöllisen kuusikulmion pinta-ala?

• Kun tiedät sivun pituuden, kerro se 6:lla ja saa kuusikulmion ympärysmitta: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Korvaa tulokset kaavassamme:
Pinta-ala \u003d 1/2 * ympärysmitta * apothema Pinta-ala \u003d ½ * 60 cm * 5√3 Ratkaise: Nyt on yksinkertaistettava vastausta päästäksesi eroon neliöjuurista ja ilmoittamaan tulos neliösenttimetrinä: ½ * 60 cm * 5 √3 cm = 30 * 5√3 cm =150 √3 cm = 259,8 cm² Video säännöllisen kuusikulmion alueen selvittämisestä Epäsäännöllisen kuusikulmion pinta-alan määrittämiseen on useita vaihtoehtoja:

• puolisuunnikkaan muotoinen menetelmä.
• Menetelmä epäsäännöllisten monikulmioiden pinta-alan laskemiseksi koordinaattiakselin avulla.
• Menetelmä kuusikulmion jakamiseksi muihin muotoihin.

Asianmukainen menetelmä valitaan tiedossasi olevista alkutiedoista riippuen.

Tärkeä

Jotkut epäsäännölliset kuusikulmiot koostuvat kahdesta suunnikkaasta. Määritä suunnikkaan pinta-ala kertomalla sen pituus sen leveydellä ja lisäämällä sitten kaksi jo tunnettua aluetta. Video monikulmion alueen löytämisestä Tasasivuisella kuusikulmiolla on kuusi yhtä suurta sivua ja se on säännöllinen kuusikulmio.

Tasasivuisen kuusikulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin 6 aluetta kolmioista, joihin säännöllinen kuusikulmio on jaettu. Kaikki säännöllisen kuusikulmion kolmiot ovat yhtä suuret, joten sellaisen kuusikulmion alueen löytämiseksi riittää, että tietää vähintään yhden kolmion pinta-ala. Tasasivuisen kuusikulmion alueen löytämiseksi käytetään tietysti yllä kuvattua säännöllisen kuusikulmion pinta-alan kaavaa.

404 ei löydetty

Kodin sisustaminen, vaatteet, kuvien piirtäminen vaikuttivat geometrian alan tiedon muodostumiseen ja kerääntymiseen, jonka sen ajan ihmiset saivat empiirisesti, pala kerrallaan ja välittivät sukupolvelta toiselle. Geometrian tuntemus on nykyään välttämätöntä leikkurille, rakentajalle, arkkitehdille ja jokaiselle tavalliselle ihmiselle arjessa. Siksi sinun on opittava laskemaan eri lukujen pinta-ala ja muistaa, että jokainen kaava voi olla hyödyllinen myöhemmin käytännössä, mukaan lukien säännöllisen kuusikulmion kaava.
Kuusikulmio on sellainen monikulmio, jonka kulmien kokonaismäärä on kuusi. Säännöllinen kuusikulmio on kuusikulmio, jolla on yhtäläiset sivut. Säännöllisen kuusikulmion kulmat ovat myös keskenään yhtä suuret.
Jokapäiväisessä elämässä voimme usein löytää esineitä, jotka ovat säännöllisen kuusikulmion muotoisia.

Epäsäännöllisen monikulmion pinta-alan laskin sivuilla

Tarvitset

• - ruletti;
• — elektroninen etäisyysmittari;
• - paperiarkki ja kynä;
• -laskin.

Ohje 1 Jos tarvitset asunnon tai erillisen huoneen kokonaispinta-alan, lue vain asunnon tai talon tekninen passi, jossa näkyy kustakin huoneesta sekä asunnon kokonaiskuvaa. 2 Mittaa suorakaiteen tai neliön muotoisen huoneen pinta-ala ottamalla mittanauha tai elektroninen etäisyysmittari ja mittaamalla seinien pituus. Kun mittaat etäisyyksiä etäisyysmittarilla, muista pitää säteen suunta kohtisuorassa, muuten mittaustulokset voivat vääristyä. 3 Kerro sitten huoneen pituus (metreinä) leveydellä (metreinä). Tuloksena oleva arvo on lattiapinta-ala, se mitataan neliömetrinä.

Gaussin aluekaava

Jos haluat laskea monimutkaisemman rakenteen, kuten viisikulmaisen huoneen tai huoneen, jossa on pyöreä kaari, lattiapinta-ala, piirrä kaavamainen luonnos paperille. Jaa sitten monimutkainen muoto useisiin yksinkertaisiin muotoihin, kuten neliöön ja kolmioon tai suorakulmioon ja puoliympyrään. Käytä mittanauhaa tai etäisyysmittaria mittaamaan tuloksena olevien kuvioiden kaikkien sivujen koko (ympyrän halkaisija on tiedettävä) ja kirjoita tulokset piirustukseen.

5 Laske nyt jokaisen muodon pinta-ala erikseen. Suorakulmioiden ja neliöiden pinta-ala lasketaan kertomalla sivut. Ympyrän pinta-alan laskemiseksi jaa halkaisija puoliksi ja neliö (kerroi se itsellään) ja kerro sitten tulos 3,14:llä.
Jos haluat vain puolet ympyrästä, jaa tuloksena oleva alue puoliksi. Laskeaksesi kolmion pinta-alan, etsi P jakamalla kaikkien sivujen summa kahdella.

Kaava epäsäännöllisen monikulmion alueen laskemiseksi

Jos pisteet on numeroitu peräkkäin vastapäivään, niin yllä olevan kaavan determinantit ovat positiivisia ja siinä oleva moduuli voidaan jättää pois; jos ne on numeroitu myötäpäivään, determinantit ovat negatiivisia. Tämä johtuu siitä, että kaavaa voidaan pitää Greenin lauseen erikoistapauksena. Kaavan soveltamiseksi sinun on tiedettävä karteesisen tason polygonipisteiden koordinaatit.

Otetaan esimerkiksi kolmio, jonka koordinaatit ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Otetaan ensimmäisen kärjen ensimmäinen x-koordinaatti ja kerrotaan se toisen kärjen y-koordinaatilla ja kerrotaan sitten toisen kärjen x-koordinaatti kolmannen kärjen y-koordinaatilla. Toistamme tämän menettelyn kaikille pisteille. Tulos voidaan määrittää seuraavalla kaavalla: A tri.

Kaava epäsäännöllisen nelikulmion pinta-alan laskemiseksi

A) _(\teksti(tri.))=(1 \yli 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|), missä xi ja yi tarkoittavat vastaavaa koordinaattia. Tämä kaava saadaan avaamalla hakasulkeet yleisessä kaavassa tapaukselle n = 3. Tämän kaavan avulla voit havaita, että kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet summasta 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, mikä antaa 3. Muuttujien määrä kaavassa riippuu monikulmion sivujen lukumäärästä. Esimerkiksi viisikulmion alueen kaava käyttää muuttujia aina x5:een ja y5:een asti: A pent. = 1 2 | x 1 v 2 + x 2 v 3 + x 3 v 4 + x 4 v 5 + x 5 v 1 − x 2 v 1 − x 3 v 2 − x 4 v 3 − x 5 v 4 − x 1 v 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5) )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A neliölle - muuttujat x4:ään ja y4:ään asti: Nelosi.

1.1 Pinta-alojen laskenta antiikin aikana

1.2 Erilaiset lähestymistavat käsitteiden "pinta-ala", "polygoni", "monikulmion pinta-ala" tutkimiseen

1.2.1 Alueen käsite. Alueen ominaisuudet

1.2.2 Monikulmion käsite

1.2.3 Monikulmion alueen käsite. Kuvaava määritelmä

1.3 Erilaisia ​​kaavoja monikulmioiden pinnoille

1.4 Monikulmioaluekaavojen johtaminen

1.4.1 Kolmion pinta-ala. Heronin kaava

1.4.2 Suorakulmion pinta-ala

1.4.3 Puolisuunnikkaan pinta-ala

1.4.4 Nelikulman pinta-ala

1.4.5 Yleiskaava

1.4.6 N-kulman pinta-ala

1.4.7 Monikulmion alueen laskeminen sen kärkien koordinaateista

1.4.8 Valitse kaava

1.5 Pythagoraan lause suorakulmaisen kolmion jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen summasta

1.6 Kolmioiden vastaavuus. Bogliai-Gervin lause

1.7 Samankaltaisten kolmioiden pinta-alojen suhde

1.8 Luvut, joilla on suurin pinta-ala

1.8.1 Puolisuunnikas tai suorakaide

1.8.2 Merkittävä neliön ominaisuus

1.8.3 Erimuotoiset tontit

1.8.4 Kolmio, jolla on suurin pinta-ala

Luku 2. Matemaattisten luokkien monikulmioiden alueiden tutkimisen metodologisia piirteitä

2.1 Temaattinen suunnittelu ja opetuksen piirteet matematiikan syventävällä opiskelulla

2.2 Oppitunnin metodologia

2.3 Kokeellisen työn tulokset

Johtopäätös

Kirjallisuus

Johdanto

Aihe "Monikulmion alue" on olennainen osa koulun matematiikan kurssia, mikä on melko luonnollista. Itse asiassa historiallisesti geometrian syntyminen liittyy tarpeeseen verrata yhden tai toisen muotoisia tontteja. Samalla on huomattava, että koulutusmahdollisuudet tämän aiheen paljastamiseksi lukiossa eivät ole vielä täysin hyödynnetty.

Matematiikan kouluopetuksen päätehtävänä on varmistaa jokaisen nyky-yhteiskunnan jäsenen arjessa ja työssä tarvittavien matemaattisten tietojen ja taitojen järjestelmän vahva ja tietoinen hallinta, joka on riittävä tieteenalojen opiskeluun ja koulutuksen jatkamiseen.

Päätehtävän ratkaisun ohella syvällinen matematiikan opiskelu mahdollistaa opiskelijoiden jatkuvan kiinnostuksen muodostumisen aihetta kohtaan, heidän matemaattisten kykyjensä tunnistamisen ja kehittämisen, suuntautumisen matematiikkaan merkittävästi liittyviin ammatteihin, ja valmistautuminen yliopisto-opintoihin.

Pätevyystyö sisältää yleissivistävän koulun matematiikan kurssin sisällön ja joukon lisäkysymyksiä, jotka liittyvät suoraan tähän kurssiin ja syventävät sitä ideologisten päälinjojen mukaisesti.

Lisäkysymysten lisäämisellä on kaksi toisiinsa liittyvää tarkoitusta. Yhtäältä tämä on kurssin pääosien yhteydessä perustan luomista matematiikkaan taipuvien opiskelijoiden kiinnostuksen kohteeksi ja kykyjen kehittämiseksi, toisaalta merkityksellisten aukkojen täyttäminen. pääkurssi, joka antaa syvällisen opiskelun sisällölle tarvittavan eheyden.

Karsintatyö koostuu johdannosta, kahdesta luvusta, johtopäätöksestä ja lainatusta kirjallisuudesta. Ensimmäisessä luvussa käsitellään polygonien alueiden tutkimuksen teoreettisia perusteita ja toisessa luvussa suoraan alueiden tutkimuksen metodologisia piirteitä.

Luku 1

1.1 Antiikin pinta-alojen laskeminen

Alueiden mittaamiseen liittyvän geometrisen tiedon alkeet katoavat vuosituhansien syvyyksissä.

Jo 4-5 tuhatta vuotta sitten babylonialaiset pystyivät määrittämään suorakulmion ja puolisuunnikkaan alueen neliöyksiköissä. Neliö on pitkään toiminut alueiden mittausstandardina monien merkittävien ominaisuuksiensa ansiosta: yhtäläiset sivut, yhtäläiset ja suorat kulmat, symmetria ja yleinen muodon täydellisyys. Neliöitä on helppo rakentaa, tai voit täyttää tason ilman aukkoja.

Muinaisessa Kiinassa pinta-alan mitta oli suorakulmio. Kun muurarit määrittelivät suorakaiteen muotoisen talon seinän alueen, he kertoivat seinän korkeuden ja leveyden. Tämä on geometriassa hyväksytty määritelmä: suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin sen vierekkäisten sivujen tulo. Nämä molemmat puolet on ilmaistava samoilla lineaarisilla yksiköillä. Heidän tulonsa on suorakulmion pinta-ala, joka ilmaistaan ​​vastaavina neliöyksiköinä. Sanotaan, että jos seinän korkeus ja leveys mitataan desimetreinä, niin molempien mittausten tulo ilmaistaan ​​neliödesimetreinä. Ja jos jokaisen vastakkaisen tontin pinta-ala on neliödesimetri, tuloksena oleva tuote ilmaisee pinnoitukseen tarvittavien laattojen määrän. Tämä seuraa pinta-alojen mittauksen taustalla olevasta väittämästä: ei-leikkautuvista kuvioista koostuvan kuvion pinta-ala on yhtä suuri kuin niiden pinta-alojen summa.

Muinaiset egyptiläiset 4000 vuotta sitten käyttivät lähes samoja tekniikoita kuin mekin mittaamaan suorakulmion, kolmion ja puolisuunnikkaan pinta-alaa: kolmion kanta jaettiin kahtia ja kerrottiin korkeudella; puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen summa jaettiin puoliksi ja kerrottiin korkeudella ja niin edelleen. Pinta-alan laskemiseen

nelikulmio, jossa on sivut (kuva 1.1), sovellettiin kaavaa (1.1).

nuo. vastakkaisten puolien puolet summat kerrottiin.

Tämä kaava on ilmiselvästi väärä mille tahansa nelikulmiolle; siitä seuraa erityisesti, että kaikkien rombien pinta-alat ovat samat. Samaan aikaan on ilmeistä, että tällaisten rompujen pinta-alat riippuvat kärkien kulmien suuruudesta. Tämä kaava pätee vain suorakulmioon. Sen avulla voit suunnilleen laskea nelikulmion alueen, jossa kulmat ovat lähellä oikeaa.

Alueen määrittämiseksi

tasakylkinen kolmio (kuva 1.2), jossa egyptiläiset käyttivät likimääräistä kaavaa:
(1.2) Kuva. 1.2 Tässä tapauksessa tehty virhe on mitä pienempi, sitä pienempi ero kolmion sivun ja korkeuden välillä, toisin sanoen mitä lähempänä kärkeä (ja) korkeuden kantaa. Tästä syystä likimääräinen kaava (1.2) pätee vain kolmioihin, joiden kärkikulma on suhteellisen pieni.

Mutta jo muinaiset kreikkalaiset tiesivät kuinka löytää oikein polygonien alueet. Euclid ei käytä elementeissään sanaa "alue", koska jo sanalla "hahmo" hän ymmärtää osan tasosta, jota rajoittaa yksi tai toinen suljettu viiva. Euclid ei ilmaise pinta-alan mittauksen tulosta numerona, vaan vertaa eri kuvioiden pinta-alaa keskenään.

Kuten muutkin antiikin tutkijat, Euclid käsittelee joidenkin hahmojen muuntamista toisiksi, ne ovat samankokoisia. Yhdistelmähahmon pinta-ala ei muutu, jos sen osat on järjestetty eri tavalla, mutta ilman risteyksiä. Siksi on mahdollista esimerkiksi suorakulmion pinta-alan kaavojen perusteella löytää kaavat muiden kuvioiden pinta-aloihin. Joten kolmio on jaettu sellaisiin osiin, joista voit sitten tehdä sille samanpintaisen suorakulmion. Tästä rakenteesta seuraa, että kolmion pinta-ala on puolet sen pohjan ja korkeuden tulosta. Tällaiseen uudelleenpiirustukseen turvautuessaan he huomaavat, että suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin kannan ja korkeuden tulo, puolisuunnikkaan pinta-ala on puolet kantajen ja korkeuden summasta.

Kun muurarit joutuvat laatoittamaan monimutkaisen seinän, he voivat määrittää seinän alueen laskemalla laatoitukseen menneiden laattojen lukumäärän. Jotkut laatat on tietysti leikattava niin, että verhouksen reunat osuvat yhteen seinän reunan kanssa. Kaikkien töihin menneiden laattojen määrä arvioi seinäpinta-alan ylimäärällä, ehjien laattojen lukumäärä - haitalla. Kun kennojen koko pienenee, jätteen määrä vähenee ja seinän pinta-ala, joka määräytyy laattojen lukumäärällä, lasketaan yhä tarkemmin.

Yksi myöhäisistä kreikkalaisista matemaatikoista - tietosanakirjoittajista, jonka teoksia sovellettiin pääasiassa luonnossa, oli Aleksandrian Heron, joka eli 1. vuosisadalla. n. e. Erinomaisena insinöörinä häntä kutsuttiin myös "Heron the Mechanic". Teoksessaan Dioptrics Heron kuvailee erilaisia ​​koneita ja käytännöllisiä mittalaitteita.

Erään Heronin kirjoista hän antoi nimen "Geometrics", ja se on eräänlainen kokoelma kaavoja ja vastaavia ongelmia. Se sisältää esimerkkejä neliöiden, suorakulmioiden ja kolmioiden pinta-alojen laskemisesta. Kolmion pinta-alan löytämisestä sen sivuilta Heron kirjoittaa: "Olkoon esimerkiksi kolmion yhden sivun pituus 13 mitattua lankaa, toisen 14 ja kolmannen 15. Pinta-alan löytämiseksi toimi seuraavasti: seuraa. Lisää 13, 14 ja 15; saat 42. Puolet siitä on 21. Vähennä tästä kolme sivua yksitellen; ensin vähennetään 13 - se jää 8, sitten 14 - se jää 7, ja lopuksi 15 - se jää 6. Kerro nyt ne: 21 kertaa 8 antaa 168, ota tämä 7 kertaa - saat 1176 ja tämä 6 lisää kertaa - saat 7056. Tästä neliöjuuri on 84. Näin monta mittanarua tulee olemaan kolmion alueella.