Sovellus

Sivuston johdannaisen ratkaisu opiskelijoiden ja koululaisten käsittelemän materiaalin yhdistämiseksi. Funktion derivaatan laskeminen muutamassa sekunnissa ei ole vaikeaa, jos käytät online-ongelmanratkaisupalveluamme. Joka kolmas opiskelija pystyy antamaan yksityiskohtaisen analyysin perusteellista opiskelua varten käytännön oppitunnilla. Usein meihin kääntyy asianomaisen osaston osasto matematiikan edistämiseksi maan oppilaitoksissa. Kuinka tässä tapauksessa puhumattakaan derivaatan online-ratkaisusta suljetulle numeeristen sekvenssien avaruudelle. Monet varakkaat ihmiset saavat ilmaista hämmennyksensä. Mutta sillä välin matemaatikot eivät istu paikallaan ja työskentelevät kovasti. Tuloparametrien muutoksen lineaaristen ominaisuuksien mukaan derivaatasaskin hyväksyy pääasiassa kuutioiden laskevien paikkojen ylivoiman vuoksi. Tulos on väistämätön pintana. Alkutietona online-johdannainen eliminoi tarpeettomia toimia. Paitsi kuvitteelliset kotitehtävät. Sen lisäksi, että johdannaisten ratkaiseminen verkossa on välttämätön ja tärkeä osa matematiikan oppimista, opiskelijat eivät usein muista menneitä ongelmia. Opiskelija, laiska olento, ymmärtää tämän. Mutta opiskelijat ovat hauskoja ihmisiä! Joko tehdä se sääntöjen mukaan tai funktion derivaatta vinossa tasossa voi antaa kiihtyvyyden aineelliselle pisteelle. Ohjataan laskeutuvan spatiaalisen säteen vektori jonnekin. Halutussa vastauksessa derivaatan löytäminen näyttää olevan abstrakti teoreettinen suunta matemaattisen järjestelmän epävakauden vuoksi. Ajattele lukujen suhdetta käyttämättömien vaihtoehtojen sarjana. Viestintäkanavaa täydennettiin viidennellä rivillä laskevaa vektoria pitkin kuution suljetun haaroittumisen pisteestä. Kaarevien tilojen tasolla johdannaisen ratkaiseminen verkossa johtaa meidät johtopäätökseen, joka sai planeetan suurimmat mielet ajattelemaan viime vuosisadalla. Matematiikan alan tapahtumien aikana julkisuuteen tuotiin viisi olennaisesti tärkeää muuttujan valinnan aseman parantamiseen vaikuttavaa tekijää. Pistelaki siis sanoo, että online-johdannaista ei joka tapauksessa lasketa yksityiskohtaisesti, vain uskollisesti etenevä hetki voi olla poikkeus. Ennuste toi meidät uudelle kehityskierrokselle. Tarvitsemme tuloksen. Pinnan alta kuljetetun matemaattisen kaltevuuden linjalla moodiderivaataiden laskin on taivutusjoukon tuotteiden leikkauskohdan alueella. On vielä analysoitava funktion erilaistumista sen itsenäisessä pisteessä lähellä epsilonin naapurustoa. Tämän näkee kaikki käytännössä. Tämän seurauksena ohjelmoinnin seuraavassa vaiheessa on jotain päätettävää. Opiskelija tarvitsee verkkojohdannaisen kuten aina, riippumatta siitä, mitä imaginaariopintoja harjoitetaan. Osoittautuu, että vakiolla kerrotun derivaatan funktion online-ratkaisu ei muuta materiaalipisteen yleistä liikesuuntaa, vaan luonnehtii nopeuden kasvua suorassa. Tässä mielessä on hyödyllistä käyttää johdannaislaskuriamme ja laskea kaikki funktion arvot sen määritelmän koko joukossa. Painovoimakentän voimaaaltoja ei vain tarvitse tutkia. Online-johdannaisratkaisu ei missään tapauksessa näytä lähtevän säteen kaltevuutta, mutta vain harvoissa tapauksissa, kun se on todella tarpeen, yliopisto-opiskelijat voivat kuvitella tämän. Tutkimme rehtoria. Pienimmän roottorin arvo on ennustettavissa. Levitä tulokseen oikealle katsovat viivat, joita pitkin pallo on kuvattu, mutta johdannaisten online-laskin on pohjana erityislujuuksille ja epälineaarisille riippuvuuksille. Matematiikan projektiraportti on valmis. Henkilökohtaiset ominaisuudet pienimpien lukujen ero ja funktion derivaatta y-akselia pitkin tuo saman funktion koveruuden korkeuteen. On suunta - on johtopäätös. Teoriaa on helpompi toteuttaa käytännössä. Opiskelijat tekevät ehdotuksen opintojen alkamisajankohdasta. Tarvitaan opettajan vastaus. Kuten edellisessäkin kohdassa, matemaattista järjestelmää ei säädetä derivaatan löytämistä auttavan toiminnon perusteella. Kuten alemmassa semi-lineaarisessa versiossa, online-derivaata osoittaa yksityiskohtaisesti ratkaisun tunnisteen. rappeutunut ehdollinen laki. Esitä vain ajatus kaavojen laskemisesta. Funktion lineaarinen differentiointi hylkää ratkaisun totuuden yksinkertaisesti esittämällä merkityksettömiä positiivisia variaatioita. Vertailumerkkien tärkeyttä pidetään funktion jatkuvana katkeamisena akselin suuntaisesti. Tämä on opiskelijan mukaan tietoisimman johtopäätöksen merkitys, jossa online-johdannainen on jotain muuta kuin uskollinen esimerkki matemaattisesta analyysistä. Kaarevan ympyrän säde euklidisessa avaruudessa päinvastoin antoi derivaatan laskimelle luonnollisen esityksen ratkaisevien ongelmien vaihdosta stabiilisuuteen. Paras tapa on löydetty. Tehtävän tasoittaminen oli helpompaa. Johtakoon riippumattoman erosuhteen soveltuvuus derivaattojen ratkaisuun verkossa. Ratkaisu pyörii x-akselin ympäri ja kuvaa ympyrän muotoa. Ulospääsy on olemassa, ja se perustuu yliopisto-opiskelijoiden teoreettisesti tukemaan tutkimukseen, josta jokainen oppii, ja noillakin hetkillä funktiosta on johdannainen. Löysimme tavan edistyä ja opiskelijat vahvistivat sen. Meillä on varaa löytää derivaatta menemättä pidemmälle kuin luonnoton tapa muuttaa matemaattista järjestelmää. Vasen suhteellinen merkki kasvaa eksponentiaalisesti online-johdannaislaskimen matemaattisena esityksenä johtuen äärettömän y-akselin lineaaristen kertoimien tuntemattomasta olosuhteista. Matemaatikot kaikkialla maailmassa ovat osoittaneet tuotantoprosessin ainutlaatuisuuden. Ympyrän sisällä on pienin neliö teorian kuvauksen mukaan. Jälleen online-johdannainen tarkentaa arvauksemme siitä, mikä on saattanut vaikuttaa teoreettisesti jalostettuun mielipiteeseen. Siinä esitettiin erilaisia ​​mielipiteitä kuin analysoimassamme raportissa. Erillistä huomiota ei ehkä tapahdu tiedekuntamme opiskelijoille, mutta ei vain älykkäille ja edistyneille matemaatikoille, joille funktion eriyttäminen on vain tekosyy. Johdannan mekaaninen merkitys on hyvin yksinkertainen. Nostovoima lasketaan online-derivaattana alaspäin kaltevalle tasa-avaruudelle ajassa. On selvää, että johdannaislaskin on tiukka prosessi, joka kuvaa keinotekoisen muunnoksen rappeutumista amorfisena kappaleena. Ensimmäinen derivaatta puhuu muutoksesta aineellisen pisteen liikkeessä. Kolmiulotteinen avaruus on ilmeisesti havaittu erityisesti koulutettujen tekniikoiden yhteydessä johdannaisten ratkaisemiseksi verkossa, itse asiassa se on jokaisessa kollokviossa matemaattisen tieteenalan aiheesta. Toinen derivaatta kuvaa materiaalipisteen nopeuden muutosta ja määrittää kiihtyvyyden. Affiinimuunnoksen käyttöön perustuva meridiaanilähestymistapa vie funktion derivaatan pisteessä tämän funktion määritelmäalueelta uudelle tasolle. Johdannaisten online-laskin ei voi joissain tapauksissa olla ilman numeroita ja symboleja oikeaa suoritushetkeä varten, lukuun ottamatta tehtävän asioiden muunnettavissa olevaa järjestelyä. Yllättäen aineellisessa pisteessä on toinen kiihtyvyys, tämä luonnehtii kiihtyvyyden muutosta. Lyhyen ajan kuluttua alamme tutkia johdannaisen ratkaisua verkossa, mutta heti kun tiedossa saavutetaan tietty virstanpylväs, opiskelijamme lopettaa tämän prosessin. Paras tapa verkostoitua on keskustella livenä jostakin matemaattisesta aiheesta. On periaatteita, joita ei saa rikkoa missään olosuhteissa, olipa tehtävä kuinka vaikea tahansa. On hyödyllistä löytää johdannainen verkosta ajoissa ja ilman virheitä. Tämä johtaa matemaattisen lausekkeen uuteen asemaan. Järjestelmä on vakaa. Johdannan fyysinen merkitys ei ole yhtä suosittu kuin mekaaninen. On epätodennäköistä, että kukaan muistaa, kuinka online-derivaata toi tasossa yksityiskohtaisesti esiin funktion viivojen ääriviivat normaaliin x-akselin vieressä olevasta kolmiosta. Ihminen ansaitsee suuren roolin viime vuosisadan tutkimuksessa. Suoritetaan kolmessa alkeisvaiheessa funktion differentiointi pisteissä, sekä määritelmäalueelta että äärettömässä. Se tulee olemaan kirjallinen vain opiskelualalla, mutta se voi korvata matematiikan ja lukuteorian päävektorin, heti kun tapahtumat yhdistävät online-johdannaislaskurin ongelmaan. Olisi syytä, mutta on syytä laatia yhtälö. On erittäin tärkeää pitää mielessä kaikki syöttöparametrit. Parasta ei aina oteta suoraan vastaan, tämän takana on valtava määrä parhaiden mielien työtä, jotka tiesivät kuinka online-johdannainen lasketaan avaruudessa. Siitä lähtien kuperaa on pidetty jatkuvan funktion ominaisuutena. Silti on parempi asettaa ensin tehtäväksi ratkaista johdannaiset verkossa mahdollisimman lyhyessä ajassa. Siten ratkaisu on valmis. Täyttämättömien normien lisäksi tätä ei pidetä riittävänä. Aluksi melkein jokainen opiskelija ehdottaa yksinkertaista menetelmää siitä, kuinka funktion derivaatta saa aikaan kiistanalaisen kasvualgoritmin. Nousevan säteen suuntaan. Tämä on järkevää yleisenä kannanotona. Aiemmin ne merkitsivät tietyn matemaattisen toiminnon valmistumisen alkua, mutta tänään se on päinvastoin. Ehkäpä johdannaisen online-ratkaisu nostaa asian taas esille ja hyväksymme yhteisen mielipiteen sen säilyttämisestä kouluttajien kokouksen keskustelussa. Toivomme ymmärrystä kokoukseen osallistuvilta kaikilta tahoilta. Looginen merkitys sisältyy johdannaisten laskimen kuvaukseen numeroiden resonanssissa ongelman ajatuksen esityssekvenssistä, johon maailman suuret tiedemiehet vastasivat viime vuosisadalla. Se auttaa poimimaan monimutkaisen muuttujan muunnetusta lausekkeesta ja löytämään johdannaisen verkossa suorittamaan samantyyppisen massiivisen toiminnon. Totuus on paljon parempi kuin arvailu. Trendin pienin arvo. Tulosta ei odoteta kauan, kun käytetään ainutlaatuista palvelua tarkimman sijainnin saamiseksi, josta on olemassa yksityiskohtaiset online-johdannaiset. Epäsuorasti, mutta täsmällisesti, kuten eräs viisas sanoi, online-johdannaislaskin luotiin monien liiton eri kaupungeista tulevien opiskelijoiden pyynnöstä. Jos ero on, niin miksi päättää kahdesti. Annettu vektori on samalla puolella kuin normaali. Viime vuosisadan puolivälissä funktion erilaistumista ei suinkaan käsitetty niin kuin nykyään. Käynnissä olevan kehityksen ansiosta verkkomatematiikka on ilmestynyt. Ajan myötä opiskelijat unohtavat antaa tunnustusta matemaattisille oppiaineille. Johdannan online-ratkaisu haastaa opinnäytetyömme oikeutetusti teorian soveltamiseen käytännön tiedon tukemana. Menee esitystekijän nykyistä arvoa pidemmälle ja kirjoittaa kaavan funktiolle eksplisiittisessä muodossa. Sattuu niin, että sinun on löydettävä johdannainen verkosta juuri nyt ilman laskinta, mutta voit aina turvautua opiskelijan temppuun ja silti käyttää tällaista palvelua verkkosivustona. Näin opiskelija säästää paljon aikaa kopioimalla esimerkkejä muistivihkon luonnoksista lopulliseen muotoon. Jos ristiriitoja ei ole, käytä vaiheittaista ratkaisupalvelua tällaisissa monimutkaisissa esimerkeissä.

Tällä oppitunnilla opimme soveltamaan kaavoja ja erottelusääntöjä.

Esimerkkejä. Etsi funktioiden derivaatat.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Säännön soveltaminen minä, kaavat 4, 2 ja 1. Saamme:

y'=7x6 +5x4 -4x3 +3x2-2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Ratkaisemme samalla tavalla käyttämällä samoja kaavoja ja kaavaa 3.

y’=3∙6x5-2=18x5-2.

Säännön soveltaminen minä, kaavat 3, 5 ja 6 ja 1.

Säännön soveltaminen IV, kaavat 5 ja 1 .

Viidennessä esimerkissä säännön mukaan minä summan derivaatta on yhtä suuri kuin johdannaisten summa, ja löysimme juuri ensimmäisen termin derivaatan (esimerkki 4 ), siksi löydämme johdannaisia 2 ja 3 ehdot ja 1:lle termi, voimme heti kirjoittaa tuloksen.

Erottava 2 ja 3 termejä kaavan mukaan 4 . Tätä varten muunnamme nimittäjien kolmannen ja neljännen asteen juuret potenssiiksi, joilla on negatiivinen eksponentti, ja sitten 4 kaava, löydämme potenssien derivaatat.

Katso tämä esimerkki ja tulos. Saitko kuvion kiinni? Hyvä. Tämä tarkoittaa, että meillä on uusi kaava ja voimme lisätä sen johdannaistaulukkoomme.

Ratkaistaan ​​kuudes esimerkki ja johdetaan vielä yksi kaava.

Käytämme sääntöä IV ja kaava 4 . Vähennämme saatuja fraktioita.

Tarkastellaan tätä funktiota ja sen johdannaista. Tietenkin ymmärsit kuvion ja olet valmis nimeämään kaavan:

Opi uusia kaavoja!

Esimerkkejä.

1. Etsi argumentin inkrementti ja funktion inkrementti y= x2 jos argumentin alkuarvo oli 4 , ja uusi 4,01 .

Ratkaisu.

Uusi argumentin arvo x \u003d x 0 + Δx. Korvaa tiedot: 4.01=4+Δx, joten argumentin lisäys Δх=4,01-4 = 0,01. Funktion inkrementti on määritelmän mukaan yhtä suuri kuin funktion uusien ja aiempien arvojen erotus, ts. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Koska meillä on toiminto y=x2, sitten Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Vastaus: argumentin lisäys Δх=0,01; funktion lisäys Δy=0,0801.

Funktioinkrementti oli mahdollista löytää toisella tavalla: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.

2. Etsi funktiokaavion tangentin kaltevuuskulma y=f(x) pisteessä x 0, jos f "(x 0) \u003d 1.

Ratkaisu.

Johdannan arvo kosketuspisteessä x 0 ja on tangentin kulmakertoimen tangentin arvo (derivaatan geometrinen merkitys). Meillä on: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, koska tg45° = 1.

Vastaus: tämän funktion kaavion tangentti muodostaa kulman Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa, joka on yhtä suuri kuin 45°.

3. Johda funktion derivaatan kaava y=xn.

Erilaistuminen on funktion derivaatan löytäminen.

Derivaataita etsittäessä käytetään kaavoja, jotka on johdettu derivaatan määritelmän perusteella, samalla tavalla kuin johdimme derivaatan asteen kaavan: (x n)" = nx n-1.

Tässä ovat kaavat.

Johdannaistaulukko se on helpompi muistaa lausumalla sanalliset sanamuodot:

1. Vakioarvon derivaatta on nolla.

2. X-isku on yhtä suuri kuin yksi.

3. Vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä.

4. Asteen derivaatta on yhtä suuri kuin tämän asteen eksponentin tulo samalla kantaluvulla, mutta eksponentti on yksi vähemmän.

5. Juuren derivaatta on yhtä kuin yksi jaettuna kahdella samalla juurella.

6. Yksikön derivaatta jaettuna x:llä on miinus yksi jaettuna x:llä neliöitynä.

7. Sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini.

8. Kosinin derivaatta on yhtä suuri kuin miinussini.

9. Tangentin derivaatta on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kosinin neliöllä.

10. Kotangentin derivaatta on miinus yksi jaettuna sinin neliöllä.

Me opetamme eriyttämissäännöt.

1. Algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin derivaatan termien algebrallinen summa.

2. Tuloksen derivaatta on yhtä suuri kuin ensimmäisen tekijän derivaatan tulo toisella plus ensimmäisen tekijän tulo toisen derivaatalla.

3. "Y":n derivaatta jaettuna "ve":llä on yhtä suuri kuin murtoluku, jonka osoittajassa "y on veto kerrottuna "ve" miinus "y, kerrottuna viivalla" ja nimittäjässä - "ve neliö". ”.

4. Kaavan erikoistapaus 3.

Opitaan yhdessä!

Sivu 1/1 1

Kun johdetaan taulukon aivan ensimmäistä kaavaa, lähdetään funktion derivaatan määritelmästä pisteessä. Otetaan minne x- mikä tahansa todellinen luku, eli x– mikä tahansa numero funktion määritysalueelta . Kirjoita funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhteen raja osoitteeseen:

On huomattava, että rajan merkin alla saadaan lauseke, joka ei ole nollan epävarmuus jaettuna nollalla, koska osoittaja ei sisällä äärettömän pientä arvoa, vaan täsmälleen nollan. Toisin sanoen vakiofunktion inkrementti on aina nolla.

Tällä tavalla, vakiofunktion derivaattaon yhtä suuri kuin nolla koko määritelmäalueella.

Tehofunktion johdannainen.

Potenssifunktion derivaatan kaavalla on muoto , jossa eksponentti s on mikä tahansa todellinen luku.

Todistetaan ensin luonnollisen eksponentin, eli for:n, kaava p = 1, 2, 3, ...

Käytämme johdannaisen määritelmää. Kirjoitetaan tehofunktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhteen raja:

Osoittajan lausekkeen yksinkertaistamiseksi siirrymme Newtonin binomiaalikaavaan:

Näin ollen

Tämä todistaa luonnollisen eksponentin potenssifunktion derivaatan kaavan.

Eksponentiaalifunktion johdannainen.

Johdamme johdannaiskaavan määritelmän perusteella:

Tuli epävarmuuteen. Laajentaaksemme sitä otamme käyttöön uuden muuttujan , ja . Sitten . Viimeisessä siirtymässä käytimme logaritmin uuteen kantaan siirtymisen kaavaa.

Suoritetaan korvaus alkuperäisessä rajassa:

Jos muistamme toisen merkittävän rajan, tulemme eksponentiaalisen funktion derivaatan kaavaan:

Logaritmisen funktion derivaatta.

Todistakaamme logaritmisen funktion derivaatan kaava kaikille x laajuudesta ja kaikista kelvollisista perusarvoista a logaritmi. Johdannaisen määritelmän mukaan meillä on:

Kuten huomasit, todistuksessa muunnokset suoritettiin käyttämällä logaritmin ominaisuuksia. Tasa-arvo on voimassa toisen merkittävän rajan vuoksi.

Trigonometristen funktioiden johdannaiset.

Kaavojen johtamiseksi trigonometristen funktioiden johdannaisille on muistettava joitain trigonometriakaavoja sekä ensimmäinen merkittävä raja.

Sinifunktion derivaatan määritelmän mukaan meillä on .

Käytämme kaavaa sinien erolle:

Jäljelle jää ensimmäinen merkittävä raja:

Siis funktion derivaatta synti x on cos x.

Kosinijohdannaisen kaava todistetaan täsmälleen samalla tavalla.

Siksi funktion derivaatta cos x on -sin x.

Tangentin ja kotangentin derivaattataulukon kaavojen johtaminen suoritetaan käyttäen hyväksi todettuja differentiaatiosääntöjä (murto-osan derivaatta).

Hyperbolisten funktioiden johdannaiset.

Differentiointisäännöt ja eksponentiaalisen funktion derivaatan kaava derivaattataulukosta antavat meille mahdollisuuden johtaa kaavoja hyperbolisen sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin derivaateille.

Käänteisfunktion derivaatta.

Jotta esityksessä ei olisi hämmennystä, merkitään alemmalla indeksillä funktion argumentti, jolla differentiointi suoritetaan, eli se on funktion derivaatta f(x) päällä x.

Nyt muotoillaan sääntö käänteisfunktion derivaatan löytämiseksi.

Anna toiminnot y = f(x) ja x = g(y) toistensa käänteinen, määritelty intervalleilla ja vastaavasti. Jos jossakin pisteessä on olemassa funktion äärellinen nollasta poikkeava derivaatta f(x), silloin pisteessä on käänteisfunktion äärellinen derivaatta g(y), ja . Toisessa merkinnässä .

Tämä sääntö voidaan muotoilla uudelleen mille tahansa x väliltä , niin saamme .

Tarkastetaan näiden kaavojen oikeellisuus.

Etsitään luonnollisen logaritmin käänteisfunktio (tässä y on toiminto ja x- Perustelu). Tämän yhtälön ratkaiseminen x, saamme (tästä x on toiminto ja y hänen argumenttinsa). Tuo on, ja keskenään käänteisiä funktioita.

Johdannaisten taulukosta näemme sen ja .

Varmistetaan, että kaavat käänteisfunktion derivaattojen löytämiseksi johtavat samoihin tuloksiin:

Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaan differentiaatioksi.

Ratkaistiin yksinkertaisimpien (ja ei kovin yksinkertaisten) funktioiden johdannaisten löytämisongelmia määrittämällä derivaatta lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen rajaksi, jolloin ilmestyi derivaattataulukko ja tarkasti määritellyt differentiaatiosäännöt. . Isaac Newton (1643-1727) ja Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) työskentelivät ensimmäisinä johdannaisten löytämisen alalla.

Siksi meidän aikanamme minkä tahansa funktion derivaatan löytämiseksi ei tarvitse laskea edellä mainittua funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen rajaa, vaan tarvitsee vain käyttää taulukkoa. johdannaisista ja differentiointisäännöistä. Seuraava algoritmi sopii derivaatan löytämiseen.

Löytääksesi johdannaisen, tarvitset ilmaisun vetomerkin alle hajottaa yksinkertaisia ​​toimintoja ja päättää mitä toimia (tuote, summa, osamäärä) nämä toiminnot liittyvät toisiinsa. Edelleen löydämme alkeisfunktioiden derivaatat derivaattataulukosta ja kaavat tulon, summan ja osamäärän derivaateille - differentiaatiosäännöistä. Taulukko johdannaisista ja differentiointisäännöistä on annettu kahden ensimmäisen esimerkin jälkeen.

Esimerkki 1 Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Differentiointisäännöistä selviää, että funktioiden summan derivaatta on funktioiden derivaattojen summa, ts.

Derivaatataulukosta selviää, että "X":n derivaatta on yhtä suuri kuin yksi ja sinin derivaatta on kosini. Korvaamme nämä arvot johdannaisten summassa ja löydämme ongelman ehdon vaatiman derivaatan:

Esimerkki 2 Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Differentioi summan derivaatana, jossa toinen termi vakiokertoimella, se voidaan ottaa pois derivaatan merkistä:

Jos vielä on kysymyksiä siitä, mistä jokin tulee, ne pääsääntöisesti selviävät johdannaistaulukon ja yksinkertaisimpien differentiointisääntöjen lukemisen jälkeen. Olemme menossa heidän luokseen juuri nyt.

Taulukko yksinkertaisten funktioiden johdannaisista

1. Vakion (luvun) derivaatta. Mikä tahansa luku (1, 2, 5, 200...), joka on funktiolausekkeessa. Aina nolla. Tämä on erittäin tärkeää muistaa, koska sitä vaaditaan hyvin usein
2. Riippumattoman muuttujan johdannainen. Useimmiten "x". Aina yhtä kuin yksi. Tämä on myös tärkeää muistaa
3. Tutkinnon johdannainen. Kun ratkaiset tehtäviä, sinun on muunnettava ei-neliöjuuret potenssiksi.
4. Muuttujan johdannainen potenssilla -1
5. Neliöjuuren johdannainen
6. Sinijohdannainen
7. Kosinijohdannainen
8. Tangenttiderivaata
9. Kotangentin derivaatta
10. Arsinin derivaatta
11. Arkkikosinin derivaatta
12. Arktangentin derivaatta
13. Käänteisen tangentin derivaatta
14. Luonnollisen logaritmin derivaatta
15. Logaritmisen funktion derivaatta
16. Eksponentin derivaatta
17. Eksponentiaalifunktion derivaatta

Erottamisen säännöt

1. Summan tai erotuksen johdannainen
2. Tuotteen johdannainen
2a. Johdannainen lausekkeesta kerrottuna vakiotekijällä
3. Osamäärän derivaatta
4. Monimutkaisen funktion derivaatta

Sääntö 1Jos toimii

ovat erotettavissa jossain vaiheessa , sitten samassa kohdassa funktiot

ja

nuo. funktioiden algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen algebrallinen summa.

Seuraus. Jos kaksi differentioituvaa funktiota eroavat toisistaan ​​vakiolla, niin niiden derivaatat ovat, eli

Sääntö 2Jos toimii

ovat erotettavissa jossain vaiheessa , silloin niiden tuote on myös erotettavissa samassa pisteessä

ja

nuo. kahden funktion tulon derivaatta on yhtä suuri kuin näiden kunkin funktion tulojen ja toisen derivaatan summa.

Seuraus 1. Vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä:

Seuraus 2. Useiden differentioituvien funktioiden tulon derivaatta on yhtä suuri kuin kunkin tekijän ja kaikkien muiden derivaatan tulojen summa.

Esimerkiksi kolmelle kertoimelle:

Sääntö 3Jos toimii

erottuva jossain vaiheessa ja , niin tässä vaiheessa myös niiden osamäärä on differentioituva.u/v ja

nuo. kahden funktion osamäärän derivaatta on yhtä suuri kuin murtoluku, jonka osoittaja on nimittäjän ja osoittajan derivaatan ja osoittajan ja nimittäjän derivaatan tulojen erotus, ja nimittäjä on edellisen osoittajan neliö .

Mistä etsiä muilta sivuilta

Kun tuotteen derivaatta ja osamäärä löydetään todellisista ongelmista, on aina tarpeen soveltaa useita differentiaatiosääntöjä kerralla, joten artikkelissa on enemmän esimerkkejä näistä derivaatoista."Tuotteen ja osamäärän johdannainen".

Kommentti. Vakiota (eli lukua) ei pidä sekoittaa summan termiksi ja vakiotekijäksi! Termin tapauksessa sen derivaatta on nolla, ja vakiotekijän tapauksessa se otetaan pois derivaattojen etumerkistä. Tämä on tyypillinen johdannaisten opiskelun alkuvaiheessa ilmenevä virhe, mutta kun keskivertoopiskelija ratkaisee useita yksi-kaksikomponenttisia esimerkkejä, tämä virhe ei enää tee.

Ja jos sinulla on termi, kun erotat tuotteen tai osamäärän u"v, jossa u- luku, esimerkiksi 2 tai 5, eli vakio, niin tämän luvun derivaatta on nolla ja siksi koko termi on yhtä suuri kuin nolla (tällaista tapausta analysoidaan esimerkissä 10) .

Toinen yleinen virhe on kompleksisen funktion derivaatan mekaaninen ratkaisu yksinkertaisen funktion derivaatana. Siksi kompleksisen funktion derivaatta omistettu erilliselle artikkelille. Mutta ensin opimme löytämään johdannaisia ​​yksinkertaisista funktioista.

Matkan varrella et voi tehdä ilman ilmaisujen muunnoksia. Tätä varten sinun on ehkä avattava uusissa Windows-käyttöoppaat Toimia, joilla on voimia ja juuria ja Toiminnot murtoluvuilla .

Jos etsit ratkaisuja johdannaisiin, joilla on potenssit ja juuret, eli milloin funktio näyttää , noudata sitten oppituntia "Murtolukujen summan johdannainen potenssien ja juurien kanssa".

Jos sinulla on tehtävä, kuten , niin olet oppitunnilla "Yksinkertaisten trigonometristen funktioiden johdannaiset".

Vaiheittaiset esimerkit - kuinka löytää johdannainen

Esimerkki 3 Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Määritämme funktiolausekkeen osat: koko lauseke edustaa tuotetta ja sen tekijät ovat summia, joista toisessa yksi termeistä sisältää vakiotekijän. Sovellamme tulojen eriyttämissääntöä: kahden funktion tulon derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden tulojen summa ja toisen funktion tulojen summa:

Seuraavaksi sovelletaan summan differentiaatiosääntöä: funktioiden algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen algebrallinen summa. Meidän tapauksessamme kussakin summassa toinen termi miinusmerkillä. Jokaisessa summassa näemme sekä itsenäisen muuttujan, jonka derivaatta on yhtä suuri, että vakion (luku), jonka derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Joten "x" muuttuu yhdeksi ja miinus 5 - nollaksi. Toisessa lausekkeessa "x" kerrotaan kahdella, joten kerromme kaksi samalla yksiköllä kuin "x":n derivaatta. Saamme seuraavat johdannaisten arvot:

Korvaamme löydetyt derivaatat tulojen summaksi ja saamme koko tehtävän ehdon vaatiman funktion derivaatan:

Esimerkki 4 Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Meidän on löydettävä osamäärän derivaatta. Käytämme osamäärän erottamiseen kaavaa: kahden funktion osamäärän derivaatta on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on nimittäjän ja osoittajan derivaatan sekä osoittajan ja nimittäjän derivaatan tulojen erotus, ja nimittäjä on entisen osoittajan neliö. Saamme:

Olemme jo löytäneet tekijöiden derivaatan osoittajasta esimerkissä 2. Älä myöskään unohda, että tulo, joka on tämän esimerkin osoittajan toinen tekijä, otetaan miinusmerkillä:

Jos etsit ratkaisuja sellaisiin ongelmiin, joissa sinun on löydettävä funktion derivaatta, jossa on jatkuva kasa juuria ja asteita, kuten esim. sitten tervetuloa tunnille "Johdannainen murtolukujen summasta potenssien ja juurien kanssa" .

Jos haluat oppia lisää sinien, kosinien, tangenttien ja muiden trigonometristen funktioiden derivaatoista, eli kun funktio näyttää tältä , sitten sinulla on oppitunti "Yksinkertaisten trigonometristen funktioiden johdannaiset" .

Esimerkki 5 Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Tässä funktiossa näemme tuotteen, jonka yksi tekijöistä on riippumattoman muuttujan neliöjuuri, jonka derivaattaan tutustuimme derivaattataulukossa. Tuloerosäännön ja neliöjuuren derivaatan taulukkoarvon mukaan saamme:

Esimerkki 6 Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Tässä funktiossa näemme osamäärän, jonka osinko on riippumattoman muuttujan neliöjuuri. Esimerkissä 4 toistetun ja sovelletun osamäärän differentiaatiosäännön ja neliöjuuren derivaatan taulukkoarvon mukaan saamme:

Poistaaksesi osoittajan murto-osan kertomalla osoittaja ja nimittäjä luvulla.

Funktion johdannainen on yksi koulun opetussuunnitelman vaikeimmista aiheista. Kaikki valmistuneet eivät vastaa kysymykseen, mikä johdannainen on.

Tämä artikkeli selittää yksinkertaisesti ja selkeästi, mikä johdannainen on ja miksi sitä tarvitaan.. Emme nyt pyri matemaattiseen esityksen tarkkuuteen. Tärkeintä on ymmärtää merkitys.

Muistakaamme määritelmä:

Derivaata on funktion muutosnopeus.

Kuvassa on kaavioita kolmesta funktiosta. Kumpi luulet kasvavan nopeimmin?

Vastaus on ilmeinen - kolmas. Sillä on suurin muutosnopeus, eli suurin johdannainen.

Tässä on toinen esimerkki.

Kostya, Grisha ja Matvey saivat työpaikkoja samaan aikaan. Katsotaan kuinka heidän tulonsa muuttuivat vuoden aikana:

Näet kaikki kartalla heti, eikö niin? Kostjan tulot ovat yli kaksinkertaistuneet kuudessa kuukaudessa. Ja myös Grishan tulot kasvoivat, mutta vain vähän. Ja Matthew'n tulot putosivat nollaan. Aloitusehdot ovat samat, mutta funktion muutosnopeus, ts. johdannainen, - erilainen. Mitä tulee Matveyn tuloihin, hänen tulonsa johdannainen on yleensä negatiivinen.

Intuitiivisesti voimme helposti arvioida funktion muutosnopeuden. Mutta miten teemme sen?

Tarkastelemme todella sitä, kuinka jyrkästi funktion kuvaaja nousee ylös (tai alas). Toisin sanoen kuinka nopeasti y muuttuu x:n kanssa. On selvää, että samalla funktiolla eri pisteissä voi olla eri derivaatan arvo - eli se voi muuttua nopeammin tai hitaammin.

Toiminnon derivaatta on merkitty .

Näytetään kuinka löytää kaavion avulla.

Piirretään kaavio jostain funktiosta. Ota piste siitä abskissalla. Piirrä tangentti funktion kuvaajalle tässä kohdassa. Haluamme arvioida, kuinka jyrkästi funktion kuvaaja nousee. Kätevä arvo tälle on tangentin kaltevuuden tangentti.

Funktion derivaatta pisteessä on sama kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakertoimen tangentti kyseisessä pisteessä.

Huomaa - tangentin kaltevuuskulmaksi otamme tangentin ja akselin positiivisen suunnan välisen kulman.

Joskus opiskelijat kysyvät, mikä on funktion kaavion tangentti. Tämä on suora viiva, jolla on ainoa yhteinen piste tämän osan kaavion kanssa, kuten kuvassamme näkyy. Se näyttää ympyrän tangentilta.

Etsitään . Muistamme, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde viereiseen. Kolmiosta:

Löysimme derivaatan graafin avulla tietämättä edes funktion kaavaa. Tällaisia ​​tehtäviä löytyy usein matematiikan kokeesta numeron alla.

On toinenkin tärkeä korrelaatio. Muista, että yhtälö antaa suoran

Tämän yhtälön määrää kutsutaan suoran viivan kaltevuus. Se on yhtä suuri kuin suoran kaltevuuskulman tangentti akseliin nähden.

.

Me ymmärrämme sen

Muistakaamme tämä kaava. Se ilmaisee derivaatan geometrisen merkityksen.

Funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakerroin kyseisessä pisteessä.

Toisin sanoen derivaatta on yhtä suuri kuin tangentin kulmakertoimen tangentti.

Olemme jo sanoneet, että samalla funktiolla voi olla eri derivaatat eri kohdissa. Katsotaan kuinka derivaatta liittyy funktion käyttäytymiseen.

Piirretään kaavio jostain funktiosta. Anna tämän toiminnon kasvaa joillakin alueilla ja pienentyä toisilla ja eri nopeuksilla. Ja anna tällä funktiolla olla maksimi- ja minimipisteet.

Jossain vaiheessa toiminto kasvaa. Kuvaajan tangentti, joka on piirretty pisteeseen, muodostaa terävän kulman; positiivisella akselisuunnalla. Joten derivaatta on positiivinen kohdassa.

Tällä hetkellä toimintamme heikkenee. Tangentti tässä pisteessä muodostaa tylpän kulman; positiivisella akselisuunnalla. Koska tylpän kulman tangentti on negatiivinen, derivaatta pisteessä on negatiivinen.

Tässä on mitä tapahtuu:

Jos funktio on kasvava, sen derivaatta on positiivinen.

Jos se pienenee, sen derivaatta on negatiivinen.

Ja mitä tapahtuu maksimi- ja minimipisteissä? Näemme, että (maksimipisteessä) ja (minimipisteessä) tangentti on vaakasuora. Siksi tangentin kulmakertoimen tangentti näissä pisteissä on nolla, ja derivaatta on myös nolla.

Piste on maksimipiste. Tässä vaiheessa funktion lisäys korvataan laskulla. Näin ollen derivaatan etumerkki muuttuu kohdassa "plus" "miinus".

Pisteessä - minimipisteessä - derivaatta on myös yhtä suuri kuin nolla, mutta sen etumerkki muuttuu "miinuksesta" "plussiksi".

Johtopäätös: derivaatan avulla saat selville kaiken, mikä meitä kiinnostaa funktion käyttäytymisestä.

Jos derivaatta on positiivinen, funktio kasvaa.

Jos derivaatta on negatiivinen, funktio on laskeva.

Maksimipisteessä derivaatta on nolla ja muuttaa etumerkkiä plussasta miinukseen.

Minimipisteessä derivaatta on myös nolla ja muuttaa etumerkin miinuksesta plussaksi.

Kirjoitamme nämä havainnot taulukon muodossa:

	lisääntyy	maksimipiste	vähenee	minimipiste	lisääntyy
+	0	-	0	+

Tehdään kaksi pientä selvennystä. Tarvitset yhden niistä, kun ratkaiset ongelman. Toinen - ensimmäisenä vuonna vakavammalla funktioiden ja johdannaisten tutkimuksella.

Tapaus on mahdollinen, kun funktion derivaatta jossain pisteessä on nolla, mutta funktiolla ei ole tässä vaiheessa maksimi- eikä minimiarvoa. Tämä ns :

Pisteessä graafin tangentti on vaakasuora ja derivaatta on nolla. Kuitenkin ennen pistettä funktio kasvoi - ja pisteen jälkeen se jatkaa kasvuaan. Johdannan etumerkki ei muutu - se on pysynyt positiivisena sellaisenaan.

Sattuu myös niin, että maksimi- tai minimipisteessä derivaatta ei ole olemassa. Kaaviossa tämä vastaa jyrkkää katkosta, kun on mahdotonta piirtää tangenttia tiettyyn pisteeseen.

Mutta kuinka löytää derivaatta, jos funktio ei ole annettu graafilla, vaan kaavalla? Tässä tapauksessa se pätee