Muista tarvittavat tiedot kompleksiluvuista.

Monimutkainen luku on muodon ilmaus a + bi, missä a, b ovat todellisia lukuja ja i- niin sanottu kuvitteellinen yksikkö, symboli, jonka neliö on -1, ts. i 2 = -1. Määrä a nimeltään todellinen osa, ja numero b - kuvitteellinen osa kompleksiluku z = a + bi. Jos b= 0, sitten sen sijaan a + 0i kirjoittaa yksinkertaisesti a. Voidaan nähdä, että reaaliluvut ovat kompleksilukujen erikoistapaus.

Kompleksilukujen aritmeettiset operaatiot ovat samat kuin todellisilla: niitä voidaan lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa keskenään. Yhteen- ja vähennyslasku etenee säännön mukaan ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, ja kertolasku - säännön mukaan ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ilmoitus + eKr)i(tässä sitä vain käytetään i 2 = -1). Numero = a – bi nimeltään monimutkainen konjugaatti to z = a + bi. Tasa-arvo z · = a 2 + b 2 antaa sinun ymmärtää kuinka jakaa yksi kompleksiluku toisella (ei-nollalla) kompleksiluvulla:

(Esimerkiksi, .)

Kompleksiluvuilla on kätevä ja visuaalinen geometrinen esitys: numero z = a + bi voidaan esittää vektorina koordinaatteineen ( a; b) suorakulmaisella tasolla (tai, joka on melkein sama, piste - vektorin loppu näillä koordinaatteilla). Tässä tapauksessa kahden kompleksiluvun summa kuvataan vastaavien vektoreiden summana (joka löytyy suunnikkaasääntösäännön avulla). Pythagoraan lauseen mukaan vektorin pituus koordinaatteineen ( a; b) on yhtä suuri kuin . Tätä arvoa kutsutaan moduuli kompleksiluku z = a + bi ja on merkitty | z|. Kulmaa, jonka tämä vektori muodostaa x-akselin positiivisen suunnan kanssa (vastapäivään laskettuna), kutsutaan Perustelu kompleksiluku z ja merkitty Arg z. Argumenttia ei ole määritelty yksiselitteisesti, vaan vain 2:n kerrannaisen yhteenlaskemiseen asti π radiaaneja (tai 360°, jos lasket asteina) - loppujen lopuksi on selvää, että tällaisen kulman läpi kiertäminen origon ympäri ei muuta vektoria. Mutta jos pituusvektori r muodostaa kulman φ x-akselin positiivisella suunnalla, niin sen koordinaatit ovat yhtä suuria kuin ( r cos φ ; r synti φ ). Siksi se käy ilmi trigonometrinen merkintä kompleksiluku: z = |z| (cos(Arg z) + i synti (Arg z)). Usein on kätevää kirjoittaa kompleksilukuja tässä muodossa, koska se yksinkertaistaa huomattavasti laskelmia. Kompleksilukujen kertominen trigonometrisessa muodossa näyttää hyvin yksinkertaiselta: z yksi · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i synti (Arg z 1+arg z 2)) (kun kerrotaan kaksi kompleksilukua, niiden moduulit kerrotaan ja argumentit lasketaan yhteen). Tästä seuraa De Moivren kaavat: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i synti( n(Arg z))). Näiden kaavojen avulla on helppo oppia erottamaan minkä tahansa asteen juuret kompleksiluvuista. z:n n:s juuri on niin kompleksiluku w, mitä w n = z. Se on selvää , Ja missä k voi ottaa minkä tahansa arvon joukosta (0, 1, ..., n- yksi). Tämä tarkoittaa, että on aina täsmälleen n juuret n astetta kompleksiluvusta (tasolla ne sijaitsevat säännöllisen pisteissä n-gon).