Jos piste M (x; y) on suoralla, joka kulkee kahden tietyn pisteen M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2) ja suhteen λ \u003d M 1 M / MM 2 on annettu, jossa piste M jakaa janan M 1 M 2, sitten pisteen M koordinaatit
määritetään kaavoilla
x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), y = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)
Jos piste M on janan M 1 M 2 keskipiste, niin sen koordinaatit määritetään kaavoilla
x \u003d (x 1 + x 2) / 2, y \u003d (y 1 + y 2) / 2
86. Annettu homogeenisen sauvan päät A(3; -5) ja 6(-1; 1). Määritä sen painopisteen koordinaatit.
87. Homogeenisen sauvan painopiste on pisteessä M (1; 4), yksi sen päistä on pisteessä P (-2; 2). Määritä tämän sauvan toisen pään pisteen Q koordinaatit
88. Kolmion kärjet A(1; -3), 6(3; -5) ja C(-5; 7) on annettu. Määritä sen sivujen keskipisteet.
89. Kaksi pistettä A(3; - 1) ja B(2; 1) annetaan. Määritellä:
1) pisteen M koordinaatit, symmetriset pisteen A suhteen pisteen B suhteen;
2) pisteen N koordinaatit, symmetriset pisteen B kanssa pisteen A suhteen.
90. Pisteet M (2; -1), N (-1; 4) ja P (-2; 2) ovat kolmion sivujen keskipisteitä. Määritä sen kärjet.
91. Suunnikkaalle on annettu kolme kärkeä A(3; -5), B(5; -3), C(-1; 3). Määritä neljäs kärki D, joka on vastapäätä B:tä.
92. Annettu suunnikkaan kaksi vierekkäistä kärkeä A(-3; 5), B(1; 7) ja sen diagonaalien leikkauspiste M(1; 1). Määrittele kaksi muuta kärkeä.
93. Suunnikkaalle ABCD on annettu kolme kärkeä A(2; 3), 6(4; -1) ja C(0; 5). Etsi sen neljäs kärkipiste D.
94. Kolmion A(1; 4), B(3; -9), С(-5; 2) kärjet on annettu. Etsi sen mediaanin pituus, joka on vedetty kärjestä B.
95. Pisteiden A (1;-3) ja B(4; 3) rajoittama jana jaetaan kolmeen yhtä suureen osaan. Määritä jakopisteiden koordinaatit.
96. Kolmion A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7) kärjet on annettu. Etsi leikkauspiste sen sisäkulman puolittajan sivun AC kanssa kärjessä B.
97. Kolmion kärjet A(3; -5), B(-3; 3) ja C(-1; -2) on annettu. Määritä sen sisäkulman puolittajan pituus kärjessä A.
98. Annettu kolmion kärjet A(-1; -1), B(3; 5), C(-4; 1). Etsi leikkauspiste sen ulkokulman puolittajan sivun BC jatkeen kanssa kärjessä A.
99. Annettu kolmion kärjet A (3; -5), B (1; - 3), C (2; -2). Määritä sen ulkokulman puolittajan pituus kärjessä B.
100. Annettu kolme pistettä A(1; -1), B(3; 3) ja C(4; 5), jotka sijaitsevat samalla suoralla. Määritä suhde λ, jolla kukin niistä jakaa kahden muun rajoittaman janan.
101. Määritä pisteillä P (2; 2) ja Q (1; 5) jaetun janan päiden A ja B koordinaatit kolmeen yhtä suureen osaan.
102. Suora kulkee pisteiden M 1 (-12; -13) ja M 2 (- 2; -5) läpi. Etsi tältä suoralta piste, jonka abskissa on 3.
103. Suora kulkee pisteiden M(2; -3) ja N(-6; 5) kautta. Etsi tältä suoralta piste, jonka ordinaatit ovat -5.
104. Suora kulkee pisteiden A(7; -3) ja B(23;. -6) kautta. Etsi tämän suoran leikkauspiste x-akselin kanssa.
105. Suora kulkee pisteiden A(5; 2) ja B(-4; -7) kautta. Etsi tämän suoran ja y-akselin leikkauspiste.
106. Nelikulmion A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) ja D(5; 8) pisteet on annettu. Määritä, missä suhteessa sen diagonaali AC jakaa diagonaalin BD.
107. Pisteet A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2) ja D(6; 10) on annettu. Etsi sen diagonaalien AC ja BD leikkauspiste.
108. Annettu homogeenisen kolmiolevyn kärjet A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) ja C (x 3; y 3). Määritä sen painopisteen koordinaatit,
Ohje. Painopiste on mediaanien leikkauspisteessä.
109. Kolmion mediaanien leikkauspiste M on abskissa-akselilla, sen kaksi kärkeä ovat pisteet A (2; -3) ja B (-5; 1), kolmas kärki C on y-pisteellä. akseli. Määritä pisteiden M ja C koordinaatit.
110. Annettu homogeenisen kolmiolevyn kärjet A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) ja C (x 3; y 3). Jos yhdistät sen sivujen keskipisteet, muodostuu uusi homogeeninen kolmiolevy. Todista, että molempien levyjen painopisteet ovat samat.
Ohje. Käytä tehtävän 108 tulosta.
111. Homogeeninen levy on neliön muotoinen, jonka sivu on 12, johon on tehty neliöleikkaus, leikkauslinjat kulkevat neliön keskikohdan läpi, akselit
koordinaatit on suunnattu levyn reunoja pitkin (kuva 4). Määritä tämän levyn painopiste.
112. Homogeeninen levy on muodoltaan suorakulmio, jonka sivut ovat a ja b ja johon on tehty suorakaiteen muotoinen leikkaus; leikkauksen suorat linjat kulkevat keskipisteen läpi, koordinaattiakselit on suunnattu levyn reunoja pitkin (kuva 5). Määritä tämän levyn painopiste.
113. Homogeeninen levy on neliön muotoinen, jonka sivu on 2a ja josta on leikattu pois kolmio; leikkausviiva yhdistää kahden vierekkäisen sivun keskipisteet, koordinaattiakselit on suunnattu levyn reunoja pitkin (kuva 6). Määritä levyn painopiste.
114. Seuraaviin pisteisiin A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) ja C (x 3; y 3) massat m, n ja p keskittyvät. Määritä tämän kolmen massan järjestelmän painopisteen koordinaatit.
115. Pisteet A (4; 2), B (7; -2) ja C (1; 6) ovat homogeenisesta langasta tehdyn kolmion kärjet. Etsi tämän kolmion painopiste.
Tietyn janan AB tietyssä suhteessa jakavan pisteen C koordinaattien laskeminen voidaan suorittaa kaavoilla:
хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ),
missä (xA; yA) ja (xB; yB) ovat tietyn janan AB päiden koordinaatit; luku λ \u003d AC / CB on suhde, jossa segmentti AB jaetaan pisteellä C, jolla on koordinaatit (xC; yC).
Jos jana AB jaetaan pisteellä C kahtia, niin luku λ \u003d 1 ja kaavat xC ja yC saavat muodon:
xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2.
On muistettava, että tehtävissä λ on osien pituuksien suhde, joten tähän suhteeseen sisältyvät luvut eivät ole itse segmenttien pituuksia tietyssä mittayksikössä. Esimerkiksi AC = 12 cm, CB = 16 cm: λ = AC/CB = 12 cm / 16 cm = 3/4.
1. Etsi tietyn janan keskikohdan koordinaatit sen päiden annettujen koordinaattien mukaan
Esimerkki 1
Pisteet A (-2; 3) ja B (6; -9) ovat janan AB päät. Etsi piste C, joka on janan AB keskipiste.
Ratkaisu.
Tehtävän ehdossa on määritelty, että xA = -2; xB = 6; yA = 3 ja yB = -9. On löydettävä C(xC; yC).
Käyttämällä kaavoja xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2, saamme:
xC \u003d (-2 + 6) / 2 \u003d 2, yC \u003d (3 + (-9)) / 2 = -3.
Siten pisteellä C, joka on janan AB keskipiste, on koordinaatit (-2; 3) (Kuva 1).
2. Tietyn janan lopun koordinaattien laskeminen, kun tiedetään sen keski- ja toisen pään koordinaatit
Esimerkki 2
Janan AB toinen pää on piste A koordinaattein (-3; -5) ja sen keskipiste on piste C (3; -2). Laske janan toisen pään koordinaatit - piste B.
Ratkaisu.
Tehtävän ehdon mukaan käy selväksi, että xA = -3; yA = -5; xC = 3 ja yC = -2.
Korvaamalla nämä arvot kaavoihin xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2, saadaan:
3 = (-3 + xB)/2 ja
2 \u003d (-5 + uV) / 2.
Ratkaisemalla ensimmäisen yhtälön xB:lle ja toisen yB:lle, löydämme: xB = 9 ja yB = 1, käy ilmi, että haluttu piste B saadaan koordinaateista (9; 1) (Kuva 2).
3. Tietyn kolmion kärkien koordinaattien laskeminen sen sivujen keskipisteiden annettujen koordinaattien mukaan
Esimerkki 3
Kolmion ABC sivujen keskipisteet ovat pisteet D(1; 3), E(-1; -2) ja F(4; -1). Etsi annetun kolmion pisteiden A, B ja C koordinaatit.
Ratkaisu.
Olkoon piste D sivun AB keskipiste, piste E sivun BC keskipiste ja piste F sivun AC keskipiste (Kuva 3). Etsi pisteet A, B ja C.
Merkitään kolmion kärjet A (xA; yA), B (xB; yB) ja C (xC; yC) ja tiedämme pisteiden D, E ja F koordinaatit kaavojen xC \u003d (xA) mukaan. + xB) / 2, yC \u003d (yA + uV)/2 saamme:
(1 = (xA + xB)/2, 
(-1 \u003d (xB + xC) / 2,
(4 \u003d (xA + xC) / 2,
(3 \u003d (uA + uB) / 2,
(-2 \u003d (uV + uS) / 2,
(-1 \u003d (yA + yC) / 2.
Tuomme yhtälöt kokonaislukumuotoon:
(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,
(uA + uB = 6,
(uV + yC = -4,
(uA + yC = -2.
Ratkaisemalla järjestelmät saamme:
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
yA = 4; uV = 2; yC = -6.
Pisteet A (6; 4), B (-4; 2) ja C (2; -6) ovat kolmion välttämättömät kärjet.
4. Janan tietyssä suhteessa jakavien pisteiden koordinaattien laskeminen tämän janan päiden annettujen koordinaattien mukaan
Esimerkki 4
Jakso AB jaetaan pisteellä C suhteessa 3:5 (laskettuna pisteestä A pisteeseen B). Janan AB päät ovat pisteet A(2; 3) ja B(10; 11). Etsi kohta C.
Ratkaisu.
Tehtävän ehto sanoo, että xA = 2; xB = 10; yA = 3; UV = 11; λ = AC/CB = 3/5. Etsi C(xC; yC) (Kuva 4).
kaavojen xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) mukaan saamme:
xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 ja yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. Näin ollen meillä on C( 5; 6).
Tarkistetaan: AC = 3√2, CB = 5√2, λ = AC/CB = 3√2/5√2 = 3/5.
Kommentti. Tehtävän ehto sanoo, että janan jakaminen suoritetaan tietyssä suhteessa pisteestä A pisteeseen B. Jos tätä ei määritettäisi, ongelmalla olisi kaksi ratkaisua. Toinen ratkaisu: janan jakaminen pisteestä B pisteeseen A. 
Esimerkki 5
Osa AB on jaettu suhteessa 2:3:5 (laskettuna pisteestä A pisteeseen B), sen päät ovat pisteitä, joiden koordinaatit ovat A (-11; 1) ja B (9; 11). Etsi annetun janan jakopisteet.
Ratkaisu.
Merkitään janan A:sta B:hen jakopisteitä C:n ja D:n kautta. Tehtävän ehdossa on annettu, että
xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. Etsi C(xC; yC) ja D(xD; yD), jos AC: CD: DB = 2:3:5.
Piste C jakaa segmentin AB suhteessa λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4.
Kaavojen xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) mukaan saamme:
xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 ja yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.
Siten C(-7; 3).
Piste D on janan AB keskipiste. Käyttämällä kaavoja xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2, saamme:
xD \u003d (-11 + 9) / 2 \u003d -1, yD \u003d (1 + 11) / 2 \u003d 6. Siksi D:llä on koordinaatit (-1; 6).
5. Janan jakavien pisteiden koordinaattien laskeminen, jos annetaan tämän janan päiden koordinaatit ja niiden osien lukumäärä, joihin tämä jana on jaettu
Esimerkki 6
Janan päät ovat pisteet A(-8; -5) ja B(10; 4). Etsi pisteet C ja D, jotka jakavat tämän janan kolmeen yhtä suureen osaan.
Ratkaisu.
Tehtävän ehdosta tiedetään, että xA = -8; xB = 10; yA = -5; yB = 4 ja n = 3. Etsi C(xC; yC) ja D(xD; yD) (Kuva 5).
Etsitään piste C. Se jakaa janan AB suhteessa λ = 1/2. Jaamme pisteestä A pisteeseen B. Kaavojen xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) mukaan meillä on:
xC = (-8 + 1/2 10) / (1 + 1/2) = -2 ja yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2. Joten C(-2; -2).
Segmentin CB jako suoritetaan suhteessa 1: 1, joten käytämme kaavoja
xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:
xD \u003d (-2 + 10) / 2 \u003d 4, yD \u003d (-2 + 4) / 2 \u003d 1. Siten D (4; 1).
Jakopisteet C(-2; -2) ja D(4; 1).
Huomaa: Piste D löytyy jakamalla jana AB suhteessa 2:een: 1. Tässä tapauksessa on käytettävä kaavoja xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA + λyB) ) / (1 + λ).
Esimerkki 7
Pisteet A(5; -6) ja B(-5; 9) ovat janan päät. Etsi pisteet, jotka jakavat annetun janan viiteen yhtä suureen osaan.
Ratkaisu.
Olkoon peräkkäiset jakopisteet A:sta B:hen C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) ja F(xF; yF). Tehtävän ehdot sanovat, että xA = 5; xB = -5; yA = -6; yB = 9 ja n = 5.
Käyttämällä kaavoja xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) piste C. Se jakaa janan AB suhteessa λ = 1/4:
xC = (5 + 1/4 (-5)) / (1 + 1/4) = 3 ja yC = (-6 + 1/4 9) / (1 + 1/4) = -3, saamme sen pisteellä C on koordinaatit (3; -3).
Jana AB jaetaan pisteellä D suhteessa 2:3 (eli λ = 2/3), joten:
xD = (5 + 2/3 (-5)) / (1 + 2/3) = 1 ja yD = (-6 + 2/3 9) / (1 + 2/3) = 0, joten D (kymmenen ).
Etsitään piste E. Se jakaa janan AB suhteessa λ = 2/3:
XE = (5 + 3/2 (-5)) / (1 + 3/2) = -1 ja yE = (-6 + 3/2 9) / (1 + 3/2) = 3. Näin ollen E(-1; 3).
Piste F jakaa janan AB suhteessa λ = 4/1, joten:
XF = (5 + 4 (-5)) / (1 + 4) = -3 ja yF = (-6 + 4 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).
Jakopisteet С(-2; -2); D(4; 1); E(-1; 3) ja F(-3; 6).
Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista segmentin jakamisongelma?
Saadaksesi tutorin apua - rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!
Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.
Kun on olemassa ehtoja segmentin jakamiselle tietyssä suhteessa, on tarpeen pystyä määrittämään erottimena toimivan pisteen koordinaatit. Johdetaan kaava näiden koordinaattien löytämiseksi asettamalla ongelma tasoon.
Lähtötiedot: on annettu suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y ja kaksi siinä olevaa epäyhtenäistä pistettä, joiden koordinaatit A (x A , y A) ja B (x B , y B). Ja myös annetaan piste C, joka jakaa segmentin A B suhteessa λ:aan (joku positiivinen reaaliluku). On tarpeen määrittää pisteiden C koordinaatit: x C ja y C .
Ennen kuin jatkat tehtävän ratkaisua, paljastetaan hieman annetun ehdon merkitystä: "piste C, jakamalla jana A B suhteessa λ:aan". Ensinnäkin tämä lauseke osoittaa, että piste C on janalla A B (eli pisteiden A ja B välissä). Toiseksi on selvää, että annetun ehdon mukaan segmenttien A C ja C B pituuksien suhde on yhtä suuri kuin λ. Nuo. tasa-arvo on oikein:
Tässä tapauksessa piste A on janan alku, piste B on janan loppu. Jos annettaisiin, että piste C jakaa janan B A tietyssä suhteessa, niin yhtäläisyys olisi tosi: .
No, se on täysin ilmeinen tosiasia, että jos λ = 1, niin piste C on janan A B keskipiste.
Ratkaistaan ongelma vektorien avulla. Esitetään mielivaltaisesti pisteet A, B ja piste C janalla A B jossakin suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa. Muodostetaan näiden pisteiden sädevektorit sekä vektorit A C → ja C B → . Tehtävän ehtojen mukaan piste C jakaa janan A B suhteessa λ:aan.
Pisteen sädevektorin koordinaatit ovat yhtä suuria kuin pisteen koordinaatit, jolloin yhtälöt ovat tosia: O A → = (x A , y A) ja O B → = (x B , y B) .
Määritetään vektorin koordinaatit: ne ovat yhtä suuria kuin pisteen C koordinaatit, jotka on löydettävä tehtävän ehdon mukaan.
Vektorien yhteenlaskuoperaatiolla kirjoitetaan yhtälöt: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →
Tehtävän ehdon mukaan piste C jakaa janan A B suhteessa λ:aan, ts. yhtälö A C = λ · C B on tosi.
Vektorit A C → ja C B → sijaitsevat samalla suoralla ja ovat samansuuntaisia. λ > 0 tehtävän ehdolla, niin vektorin luvulla kertomisen mukaan saadaan: A C → = λ · C B → .
Muunnetaan lauseke korvaamalla se: C B → = O B → - O C → .
A C → = λ · (O B → - O C →) .
Yhtälö O C → = O A → + A C → voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon O C → = O A → + λ · (O B → - O C →) .
Käyttäen vektorien operaatioiden ominaisuuksia, viimeinen yhtälö merkitsee: O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) .
Nyt meidän on laskettava suoraan vektorin O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → koordinaatit.
Suoritetaan tarvittavat operaatiot vektoreille O A → ja O B → .
O A → = (x A, y A) ja O B → = (x B, y B), sitten O A → + λ O B → = (x A + λ x B, y A + λ y B) .
Siten O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ, y A + λ · y B 1 + λ) .
Yhteenveto: janan A B jakavan pisteen C koordinaatit tietyssä suhteessa λ määritetään kaavoilla: x C \u003d x A + λ x B 1 + λ ja y C \u003d y A + λ y B 1 + λ .
Janan jakavan pisteen koordinaattien määrittäminen tietyssä suhteessa avaruudessa
Lähtötiedot: suorakulmainen koordinaattijärjestelmä O x y z , pisteet annetuilla koordinaatteilla A (x A , y A , z A) ja B (x B , y B , z B) .
Piste C jakaa janan A B suhteessa λ. On tarpeen määrittää pisteen C koordinaatit.
Käyttämällä samaa päättelyjärjestelmää kuin yllä olevassa tapauksessa koneessa, päädymme tasa-arvoon:
O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →)
Vektorit ja ovat pisteiden A ja B sädevektorit, mikä tarkoittaa:
O A → = (x A , y A , z A) ja O B → = (x B , y B , z B) , joten
O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →) = (x A + λ x B 1 + λ , y A + λ y B 1 + λ , z A + λ z B 1 + λ)
Siten pisteellä C, joka jakaa janan A B avaruudessa tietyssä suhteessa λ, on koordinaatit: (x A + λ x B 1 + λ, y A + λ y B 1 + λ, z A + λ z B 1+λ )
Tarkastellaan teoriaa erityisillä esimerkeillä.
Esimerkki 1
Alkutiedot: piste C jakaa segmentin A B suhteessa viidestä kolmeen. Pisteiden A ja B koordinaatit ovat A (11 , 1 , 0) , B (- 9 , 2 , - 4) .
Ratkaisu
Tehtävän ehdon mukaan λ = 5 3 . Sovelletaan yllä olevia kaavoja ja saadaan:
x A + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2
y A + λ y B 1 + λ = 1 + 5 3 2 1 + 5 3 = 13 8
z A + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2
Vastaus: C (- 3 2 , 13 8 , - 5 2 )
Esimerkki 2
Alkutiedot: on tarpeen määrittää kolmion A B C painopisteen koordinaatit.
Sen kärkien koordinaatit on annettu: A (2 , 3 , 1) , B (4 , 1 , - 2) , C (- 5 , - 4 , 8)
Ratkaisu
Tiedetään, että minkä tahansa kolmion painopiste on sen mediaanien leikkauspiste (olkoon tämä piste M). Jokainen mediaani jaetaan pisteellä M suhteessa 2:1, ylhäältä laskettuna. Tämän perusteella löydämme vastauksen esitettyyn kysymykseen.
Oletetaan, että A D on kolmion A B C mediaani. Piste M on mediaanien leikkauspiste, sillä on koordinaatit M (x M, y M, z M) ja se on kolmion painopiste. M mediaanien leikkauspisteenä jakaa janan A D suhteessa 2:1, ts. λ = 2.
Etsitään pisteen D koordinaatit. Koska A D on mediaani, piste D on janan B C keskipiste. Sitten käyttämällä kaavaa janan keskipisteen koordinaattien löytämiseksi saadaan:
x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3
Laske pisteen M koordinaatit:
x M = x A + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3
y M = y A + λ y D 1 + λ = 3 + 2 (- 3 2) 1 + 2 = 0
z M = z A + λ z D 1 + λ = 1 + 2 3 1 + 2 = 7 3
Vastaus: (1 3 , 0 , 7 3 )
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Olkoot pisteet M 1 , M 2 , M 3 yhdellä suoralla. Sanotaan, että piste M jakaa janan M 1 M 2 suhteessa λ(λ≠-1), jos .
Olkoon pisteiden M 1 ja M 2 koordinaatit tiedossa jonkin koordinaattijärjestelmän suhteen: M 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), sitten koordinaatit piste M(x, y, z ) suhteessa samaan koordinaattijärjestelmään löydetään kaavoilla:
Jos piste M on janan M 1 M 2 keskellä, niin 
, eli λ=1 ja kaavat (*) ovat muotoa:
(**)
Käytä seuraavaa laskinta ratkaistaksesi:
- Pisteet annetaan kahdella koordinaatilla: A(x 1 ,y 1), B(x 2 ,y 2).
- Pisteet annetaan kolmella koordinaatilla: A(x 1 ,y 1 ,z 1), B(x 2 ,y 2 ,z 2).
Esimerkki #1. Kolmio saadaan sen pisteiden A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3) koordinaateista. Etsi koordinaatit D(x, y, z) - sen mediaanien leikkauspisteet.
Ratkaisu. Merkitään M(x 0 , y 0 , z 0) BC:n keskipiste, sitten kaavoilla (**)
ja M(7/2, 1/2, 4). Piste D jakaa mediaanin AM suhteessa λ=2 . Käyttämällä kaavoja (*), löydämme .
Esimerkki #2. Jakso AB jaetaan pisteellä C(4,1) suhteessa λ=1/4 pisteestä A laskettuna. Etsi A:n koordinaatit, jos B(8,5).
Ratkaisu. Käyttämällä kaavoja (*) saamme: 
, josta löydämme x=3 , y=0 .
Esimerkki #3. Segmentti AB jaetaan kolmeen yhtä suureen osaan pisteillä C(3, -1) ja D(1,4). Etsi janan päiden koordinaatit.
Ratkaisu. Merkitse A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2). Piste C on janan AD keskipiste, joten käyttämällä kaavoja (**) löydämme: 
missä x 1 = 5, y 1 = -6. Samoin pisteen B koordinaatit löytyvät: x 2 \u003d -1, y 2 \u003d 9.
Olkoon suunnattu jana AB; sano piste
Tämän suoran M jakaa janan AB suhteessa X, jossa on mielivaltainen reaaliluku, jos
Kun piste M on pisteiden A ja B välissä (eli janan sisällä
AB), silloin vektorit AM ja MB suunnataan samaan suuntaan (kuva 2) ja suhde (1) on positiivinen.
Kun piste M on janan ulkopuolella
AB, silloin vektorit AM ja MB suunnataan vastakkaisiin suuntiin (kuva 3) ja suhde (1) on negatiivinen.
Katsotaan kuinka relaatio (1) muuttuu, kun piste M kulkee koko suoran läpi. Kun piste M osuu yhteen pisteen A kanssa, relaatio (1) on yhtä suuri kuin nolla; jos sitten piste M kulkee janan AB läpi suuntaan A paikkaan B, niin suhde (1) kasvaa jatkuvasti ja tulee mielivaltaisen suureksi pisteen M lähestyessä B:tä. Kun , murto-osa (1) menettää merkityksensä, koska sen nimittäjä muuttuu nollavektoriksi. Pisteen liikkuessa edelleen samaan suuntaan suoraa viivaa pitkin (kuvassa 3 a B:n oikealla puolella) suhteesta (1) tulee negatiivinen, ja jos W on tarpeeksi lähellä B:tä, niin tällä suhteella on mielivaltainen suuri itseisarvo.
Siitä lähtien (4 §:n ehdotuksen 8 nojalla) meillä on
Kun piste M liikkuu koko ajan samaan suuntaan (kuvassamme 3 ja vasemmalta oikealle), mutta menee suoraan äärettömyyteen, niin murto - pyrkii nollaan (koska sen osoittaja pysyy vakiona, ja nimittäjä kasvaa loputtomasti), siksi suhde , - yleensä -1.
Siirry nyt M:n "vasemmalle" kahdesta puolisuorasta, joihin piste A jakaa suoran (eli siihen puolisuoraan, joka ei sisällä janaa AB). Jos tässä tapauksessa piste M on tarpeeksi kaukana pisteestä A, niin taas mielivaltaisen pieni, ja siksi kaavan suhde eroaa mielivaltaisen vähän arvosta -1. Kun piste M lähestyy pistettä A vasemmalta (kuva 3, b), negatiiviseksi jäävä suhde (I) pienenee jatkuvasti itseisarvoltaan ja tulee lopulta yhtä suureksi kuin nolla, kun piste M palaa pisteeseen A.
Huomaa, että missä tahansa pisteen M sijainnissa suoralla, suhde ei ole yhtä suuri kuin -1. Itse asiassa suhde on negatiivinen vain, kun piste M on janan AB ulkopuolella. Mutta tässä tapauksessa segmentit AM ja MB eivät ole koskaan yhtä suuret, ts.
Perustetaan nyt koordinaattijärjestelmä suoralle ja O on tämän järjestelmän origo. Merkitään pisteen A koordinaatti pisteiden B - kautta ja muuttujapisteen M - kautta . Sitten ja
