Viimeisessä video-opetusohjelmassa opimme, että kantaluvun aste on lauseke, joka on kantaluvun ja itsensä tulo, otettuna eksponenttia vastaavana määränä. Tarkastellaan nyt joitain valtuuksien tärkeimpiä ominaisuuksia ja toimintoja.

Kerrotaan esimerkiksi kaksi eri potenssia samalla kantalla:

Katsotaanpa tätä kappaletta kokonaisuudessaan:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Laskemalla tämän lausekkeen arvon saamme luvun 32. Toisaalta, kuten samasta esimerkistä voidaan nähdä, 32 voidaan esittää saman kantaluvun tulona (kaksi otettuna 5 kertaa). Ja todellakin, jos lasket, niin:

Siten voidaan turvallisesti päätellä, että:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Tämä sääntö toimii onnistuneesti kaikille indikaattoreille ja kaikille perusteille. Tämä asteen kertolaskuominaisuus seuraa säännöstä, jonka mukaan ilmaisujen merkitys säilyy tuotteen muunnosten aikana. Jokaiselle kantalle a kahden lausekkeen (a) x ja (a) y tulo on yhtä suuri kuin a (x + y). Toisin sanoen, kun tuotetaan mitä tahansa lausekkeita, joilla on sama kanta, lopullisella monomilla on kokonaisaste, joka muodostetaan lisäämällä ensimmäisen ja toisen lausekkeen aste.

Esitetty sääntö toimii hyvin myös useiden lausekkeiden kertomisessa. Pääehto on, että perusteet kaikille ovat samat. Esimerkiksi:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

On mahdotonta lisätä asteita ja yleensä suorittaa voimayhteistoimia kahdella lausekkeen elementillä, jos niiden perusteet ovat erilaiset.
Kuten videomme osoittaa, kerto- ja jakolaskuprosessien samankaltaisuuden vuoksi tehon lisäämisen säännöt tuotteen aikana siirtyvät täydellisesti jakomenettelyyn. Harkitse tätä esimerkkiä:

Muunnetaan lauseke termi kerrallaan täyteen muotoon ja vähennetään samat elementit osinko- ja jakajassa:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Tämän esimerkin lopputulos ei ole niin mielenkiintoinen, koska jo ratkaisun aikana on selvää, että lausekkeen arvo on yhtä suuri kuin kahden neliö. Ja se on kakkonen, joka saadaan vähentämällä toisen lausekkeen aste ensimmäisen asteesta.

Osamäärän asteen määrittämiseksi on välttämätöntä vähentää jakajan aste osingon asteesta. Sääntö toimii samalla pohjalla kaikille sen arvoille ja kaikille luonnonvoimille. Abstraktissa muodossa meillä on:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Nolla-asteen määritelmä seuraa säännöstä identtisten kantalukujen jakamisesta potenssien kanssa. Ilmeisesti seuraava ilmaus on:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Toisaalta, jos jaamme visuaalisella tavalla, saamme:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Kun murto-osan kaikkia näkyviä alkioita vähennetään, saadaan aina lauseke 1/1, eli yksi. Siksi on yleisesti hyväksyttyä, että mikä tahansa nollatehoon korotettu kanta on yhtä suuri kuin yksi:

A:n arvosta riippumatta.

Olisi kuitenkin absurdia, jos 0 (joka silti antaa 0:n mille tahansa kertolaskulle) on jotenkin yhtä suuri kuin yksi, joten lausekkeessa kuten (0) 0 (nollasta nollaan) ei yksinkertaisesti ole järkeä, ja kaavalle (a) 0 = 1 lisää ehto: "jos a ei ole 0".

Tehdään harjoitus. Etsitään lausekkeen arvo:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Koska kanta on sama kaikkialla ja on yhtä suuri kuin 34, lopullisella arvolla on sama kanta asteella (yllä olevien sääntöjen mukaisesti):

Toisin sanoen:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Vastaus: Lauseke on yhtä suuri kuin yksi.

Jos kerrotaan (tai jaetaan) kaksi potenssia, joilla on eri perusteet, mutta samat indikaattorit, niin niiden perusteet voidaan kertoa (tai jakaa) ja tuloksen eksponentti tulee jättää samaksi kuin tekijöiden (tai osingon ja jakaja).

Yleensä matemaattisella kielellä nämä säännöt on kirjoitettu seuraavasti:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m

Jaettaessa b ei voi olla yhtä suuri kuin 0, eli toista sääntöä on täydennettävä ehdolla b ≠ 0.

Esimerkkejä:
2 3 x 3 3 = (2 x 3) 3 = 63 = 36 x 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

Nyt näitä konkreettisia esimerkkejä käyttäen todistamme, että samoilla eksponenteilla olevien asteiden säännöt-ominaisuudet ovat totta. Ratkaistaan ​​nämä esimerkit ikään kuin emme tietäisi valtuuksien ominaisuuksia:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Kuten näemme, vastaukset vastasivat sääntöjä käytettäessä saatuja vastauksia. Näiden sääntöjen tunteminen antaa meille mahdollisuuden yksinkertaistaa laskelmia.

Huomaa, että lauseke 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 voidaan kirjoittaa seuraavasti:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Tämä lauseke puolestaan ​​on jotain muuta kuin (2 × 3) 3. eli 6 3 .

Tarkasteltuja asteiden ominaisuuksia samoilla eksponenteilla voidaan käyttää vastakkaiseen suuntaan. Esimerkiksi mikä on 18 2?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Asteiden ominaisuuksia käytetään myös esimerkkejä ratkaistaessa:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

Astioiden jaon sääntö. Kun potenssit jaetaan samalla kantaluvulla, kanta jätetään samaksi ja jakajan eksponentti vähennetään osingon eksponenteista. Esimerkkejä:

Dia 11 esityksestä "Valtuuksien jako ja kertominen" algebratunneille aiheesta "Tutkinto"

Mitat: 960 x 720 pikseliä, muoto: jpg. Jos haluat ladata dian ilmaiseksi käytettäväksi algebran oppitunnilla, napsauta kuvaa hiiren kakkospainikkeella ja napsauta "Tallenna kuva nimellä. ". Voit ladata koko esityksen "Jako ja kertominen powers.ppt" 1313 kt zip-arkistossa.

"Potenssien jako ja kertominen" - a2 a3 = a2+3 = a5. a3 = a · a · a. Etsi a2:n ja a3:n tulo. 100,2+3. Viisi kertaa. 64 = 144 = 1 0000 =. Valtuuksien kertominen ja jakaminen. 3 kertaa. a2 a3 =.

"Kahden voimat" - 1024+. Säännöt numerojärjestelmästä toiseen siirtymiseen. Guselnikova E.V. Koulu numero 130. Sisältö. Kahden tehotaulukko. Muunnetaan luku 1998 desimaaliluvusta binääriluvuksi. Kislykh V.N. 11E Zinko K.O. 11E. Opettaja: Valmis: Tarkastellaan muunnosmallia esimerkin avulla.

"Aste negatiivisella eksponentilla" - Aste negatiivisella eksponentilla. 5 12-3 (27-3). -2. -yksi. Laske: -3.

"Tutkinto rationaalisella indikaattorilla" - aiheesta: "Tutkinto rationaalisella indikaattorilla". Oppitunnin tavoitteet: I. Organisatorinen osa. Kotitehtävien tarkistus 1. Matemaattinen sanelu 2. Vertaisarviointi III Itsenäinen työ IV. Yleinen oppitunti. Tuntien aikana. Kokeen valmistautuminen V. Oppitunnin yhteenveto VI. II.

"Potentti kokonaislukueksponentilla" - Ilmaise lauseke potenssina. X-12. Järjestä laskevaan järjestykseen. Ilmaise x-12 kahden potenssin tulona kanta-x:n kanssa, jos yksi tekijä tunnetaan. Laskea. Yksinkertaistaa.

"Tutkinnon ominaisuudet" - Tiedon ja taitojen yleistäminen tutkinnon ominaisuuksien soveltamisesta luonnollisella indikaattorilla. Laskennallinen tauko. Luonnollisen eksponentin ominaisuudet. Tarkista itse! Tietojen soveltaminen monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseen. Testata. Fizminutka. Pitkäjänteisyyden, henkisen toiminnan ja luovan toiminnan kehittäminen.

Tehonjaon sääntö

1. Kahden tai useamman tekijän tulon aste on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden asteiden tulo (samalla indikaattorilla):

(abc…) n = a n b n c n …

Esimerkki 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Esimerkki 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x + a)(x - a)] 3 =( x + a) 3 (x - a) 3

Käytännössä käänteinen muunnos on tärkeämpi:

a n b n c n … = (abc …) n

nuo. useiden määrien samojen potenssien tulo on yhtä suuri kuin näiden määrien tulon sama potenssi.

Esimerkki 3 Esimerkki 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 \u003d [(a ​​+ b) (a 2 - ab + b 2)] 2 \u003d (a 3 + b 3) 2

2. Osamäärän (murto-osan) aste on yhtä suuri kuin osamäärä, joka jaetaan jaollisen saman asteen samalla jakajan asteella:

Esimerkki 5 Esimerkki 6

Käänteinen muunnos:. Esimerkki 7 . Esimerkki 8 .

3. Kun potenssit kerrotaan samoilla emäksillä, eksponentit lisätään:

Esimerkki 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Esimerkki 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x) 5 .

4. Kun potenssit jaetaan samalla kantaluvulla, jakajan eksponentti vähennetään osingon eksponenteista

Esimerkki 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Esimerkki 12. (x-y) 3:(x-y) 2 = x-y.

5. Kun aste nostetaan potenssiin, eksponentit kerrotaan:

Esimerkki 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Esimerkki 14

Yhteen-, vähennys-, kerto- ja potenssien jako

Tehtyjen yhteen- ja vähennyslasku

On selvää, että lukuja, joilla on potenssit, voidaan lisätä muiden suureiden tapaan , lisäämällä ne yksitellen merkeineen.

Joten a 3:n ja b 2:n summa on a 3 + b 2 .
A 3 - b n ja h 5 - d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kertoimet samojen muuttujien samat potenssit voidaan lisätä tai vähentää.

Joten 2a 2:n ja 3a 2:n summa on 5a 2 .

On myös selvää, että jos otetaan kaksi ruutua a, kolme ruutua a tai viisi neliötä a.

Mutta asteet erilaisia ​​muuttujia ja erilaisia ​​tutkintoja identtiset muuttujat, on lisättävä lisäämällä ne merkkeihinsä.

Joten 2:n ja 3:n summa on 2 + a 3:n summa.

On selvää, että a:n neliö ja a:n kuutio eivät ole kaksi kertaa a:n neliö, vaan kaksi kertaa a:n kuutio.

Arvojen a 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Vähennyslasku valtuudet suoritetaan samalla tavalla kuin lisääminen, paitsi että aliosan merkkejä on muutettava vastaavasti.

Tai:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4t 2b 6 \u003d -t 2b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Tehon kertolasku

Potensseilla varustetut luvut voidaan kertoa muiden suureiden tapaan kirjoittamalla ne peräkkäin joko kertolaskun kanssa tai ilman.

Joten tulos kertomalla a 3:lla b 2 on a 3 b 2 tai aaabb.

Tai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 v

Viimeisen esimerkin tulos voidaan järjestää lisäämällä samat muuttujat.
Lauseke saa muotoa: a 5 b 5 y 3 .

Vertaamalla useita lukuja (muuttujia) potenssiin, voimme nähdä, että jos mitkä tahansa niistä kerrotaan, niin tuloksena on luku (muuttuja), jonka potenssi on summa termien asteet.

Joten a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tässä 5 on kertolaskutuloksen potenssi, joka on yhtä suuri kuin 2 + 3, termien potenssien summa.

Joten a n.a m = a m+n.

Kun a n , a otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin n:n potenssi on;

Ja m , otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin aste m on yhtä suuri kuin;

Siksi, potenssit, joilla on sama kanta, voidaan kertoa lisäämällä eksponentit.

Joten a 2.a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Tai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kerro (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastaus: x 4 - y 4.
Kerro (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Tämä sääntö pätee myös lukuihin, joiden eksponentit ovat − negatiivinen.

1. Joten a -2 .a -3 = a -5 . Tämä voidaan kirjoittaa muodossa (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jos a + b kerrotaan a - b:llä, tulos on a 2 - b 2: eli

Kahden luvun summan tai erotuksen kertomisen tulos on yhtä suuri kuin niiden neliöiden summa tai erotus.

Jos kahden luvun summa ja erotus korotetaan neliö-, tulos on yhtä suuri kuin näiden lukujen summa tai erotus neljäs tutkinnon.

Joten (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2) ⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Tutkintojen jako

Potensseilla varustetut luvut voidaan jakaa kuten muutkin luvut vähentämällä jakajasta tai sijoittamalla ne murtoluvun muotoon.

Joten a 3 b 2 jaettuna b 2:lla on a 3 .

5:n kirjoittaminen jaettuna 3:lla näyttää tältä $\frac $. Mutta tämä on yhtä kuin 2. Numerosarjassa
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mikä tahansa luku voidaan jakaa toisella, ja eksponentti on yhtä suuri ero jaollisten lukujen indikaattorit.

Kun potenssit jaetaan samalla kantalla, niiden eksponentit vähennetään..

Joten y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Eli $\frac = y$.

Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . Eli $\frac = a^n$.

Tai:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Sääntö pätee myös numeroihin, joissa on negatiivinen asteen arvot.
Tulos jakamalla -5 luvulla -3 on -2.
Myös $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 tai $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

On välttämätöntä hallita valtuuksien kerto- ja jakamista erittäin hyvin, koska tällaisia ​​​​operaatioita käytetään hyvin laajasti algebrassa.

Esimerkkejä esimerkkien ratkaisemisesta potenssilukuja sisältävien murtolukujen kanssa

1. Pienennä eksponenteja $\frac $:ssa Vastaus: $\frac $.

2. Pienennä eksponentit muodossa $\frac$. Vastaus: $\frac $ tai 2x.

3. Pienennä eksponentit a 2 / a 3 ja a -3 / a -4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
a 2.a -4 on -2 ensimmäinen osoittaja.
a 3 .a -3 on a 0 = 1, toinen osoittaja.
a 3.a -4 on -1, yhteinen osoittaja.
Yksinkertaistuksen jälkeen: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .

4. Pienennä eksponentit 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
Vastaus: 2a 3 / 5a 7 ja 5a 5 / 5a 7 tai 2a 3 / 5a 2 ja 5/5a 2.

5. Kerro (a 3 + b)/b 4 luvulla (a - b)/3.

6. Kerro (a 5 + 1)/x 2 luvulla (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kerro b 4 /a -2 luvulla h -3 /x ja a n /y -3 .

8. Jaa 4 /v 3 luvulla 3 /v 2 . Vastaus: a/y.

Algebra - 7. luokka. Valtuuksien kertominen ja jakaminen

Oppitunti aiheesta: "Säännöt potenssien kertomiseen ja jakamiseen samoilla ja eri eksponenteilla. Esimerkkejä»

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia. Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Valtuuksien kertominen ja jakaminen

Oppitunnin tarkoitus: Opi suorittamaan operaatioita luvun potenssien kanssa.

Aluksi muistetaan käsite "luvun teho". Lauseke, kuten $\underbrace_$, voidaan esittää muodossa $a^n$.

Päinvastoin on myös totta: $a^n= \underbrace_ $.

Tätä yhtäläisyyttä kutsutaan "tutkinnon kirjaamiseksi tuotteeksi". Se auttaa meitä päättämään, kuinka voimia moninkertaistaa ja jakaa.
Muistaa:
a- tutkinnon perusta.
n- eksponentti.
Jos n = 1, mikä tarkoittaa numeroa a otettu kerran ja vastaavasti: $a^n= 1$.
Jos n = 0, sitten $a^0= 1$.

Miksi näin tapahtuu, voimme selvittää, kun tutustumme valtuuksien kertomis- ja jakamissääntöihin.

kertolaskusäännöt

a) Jos potenssit, joilla on sama kanta, kerrotaan.
Kohdalle $a^n * a^m$ kirjoitamme asteet tulona: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
Kuvasta näkyy, että numero a ovat ottaneet n+m kertaa, niin $a^n * a^m = a^ $.

Esimerkki.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Tätä ominaisuutta on kätevä käyttää työn yksinkertaistamiseksi, kun luku nostetaan suureen tehoon.
Esimerkki.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Jos potenssit kerrotaan eri kantaluvulla, mutta samalla eksponentilla.
Kohdalle $a^n * b^n$ kirjoitamme tehot tulona: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
Jos vaihdamme tekijät ja laskemme tuloksena olevat parit, saamme: $\underbrace_ $.

Joten $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Esimerkki.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

jakosäännöt

a) Asteen kanta on sama, eksponentit ovat erilaisia.
Harkitse asteen jakamista suuremmalla eksponentilla jakamalla aste pienemmällä eksponentilla.

Kirjoitamme asteet murtolukuna:

Mukavuuden vuoksi kirjoitamme jaon yksinkertaisena murtolukuna.

Nyt vähennetään murto-osaa.

Osoittautuu: $\underbrace_ = a^ $.
tarkoittaa, $\frac =a^$ .

Tämä ominaisuus auttaa selittämään tilanteen nostamalla luku nollan potenssiin. Oletetaan, että n=m, sitten $a^0= a^ =\frac =1$.

b) Tutkinnon perusteet ovat erilaiset, indikaattorit ovat samat.
Oletetaan, että tarvitset $\frac $. Kirjoitamme lukujen potenssit murtolukuna:

Kuvitellaan mukavuuden vuoksi.

Murtolukujen ominaisuutta käyttämällä jaamme suuren osan pienten tuotteeksi, saamme.
$\underbrace* \frac *\ldots*\frac >_ $.
Vastaavasti: $\frac =(\frac )^n$.

mathematics-tests.com

Asteet ja juuret

Toimintoja voimilla ja juurilla. Tutkinto negatiivisella ,

nolla ja murtoluku indikaattori. Ilmaisuista, joissa ei ole järkeä.

Operaatiot asteilla.

1. Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, niiden indikaattorit lasketaan yhteen:

olen · a n = a m + n.

2. Jaettaessa asteita samalla kantalla, niiden indikaattorit vähennetty .

3. Kahden tai useamman tekijän tuloaste on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden asteiden tulo.

4. Suhteen aste (murto-osa) on yhtä suuri kuin osingon (osoittaja) ja jakajan (nimittäjä) asteiden suhde:

(a/b) n = a n/bn.

5. Kun aste nostetaan potenssiin, niiden indikaattorit kerrotaan:

Kaikki yllä olevat kaavat luetaan ja suoritetaan molempiin suuntiin vasemmalta oikealle ja päinvastoin.

ESIMERKKI (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operaatiot juurilla. Kaikissa alla olevissa kaavoissa symboli tarkoittaa aritmeettinen juuri(radikaalilauseke on positiivinen).

1. Useiden tekijöiden tuotteen juuri on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden juurien tulo:

2. Suhteen juuri on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan juurien suhde:

3. Kun nostat juuria potenssiin, riittää korotus tähän potenssiin juurinumero:

4. Jos lisäät juuren astetta m kertaa ja samanaikaisesti nostat juuren numeron m -asteeseen, juuren arvo ei muutu:

5. Jos pienennät juuren astetta m kertaa ja poimit samalla radikaaliluvusta m:nnen asteen juuren, juuren arvo ei muutu:

Tutkinnon käsitteen laajentaminen. Toistaiseksi olemme tarkastelleet asteita vain luonnollisella indikaattorilla; mutta operaatiot voimilla ja juurilla voivat myös johtaa negatiivinen, nolla ja murto-osa indikaattoreita. Kaikki nämä eksponentit vaativat lisämäärittelyn.

Aste negatiivisella eksponentilla. Tietyn luvun, jolla on negatiivinen (kokonaisluku) eksponentti, aste määritellään jaettuna saman luvun asteella, jonka eksponentti on yhtä suuri kuin negatiivisen eksponentin itseisarvo:

Nyt kaava olen : a n = a m-n voidaan käyttää paitsi m, enemmän kuin n, mutta myös klo m, vähemmän kuin n .

ESIMERKKI a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Jos haluamme kaavan olen : a n = olen — n oli reilua m = n, tarvitsemme nolla-asteen määritelmän.

Aste nollaeksponentilla. Minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun, jonka eksponentti on nolla, aste on 1.

ESIMERKKEJÄ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Aste murtoluvulla. Nostaaksesi reaaliluvun a potenssiin m / n, sinun on erotettava n:nnen asteen juuri tämän luvun a m:n potenssista:

Ilmaisuista, joissa ei ole järkeä. Tällaisia ​​ilmaisuja on useita.

missä a ≠ 0 , ei ole olemassa.

Todellakin, jos oletamme niin x on tietty luku, jakotoiminnon määritelmän mukaisesti meillä on: a = 0· x, eli a= 0, mikä on ristiriidassa ehdon kanssa: a ≠ 0

— mikä tahansa numero.

Todellakin, jos oletamme, että tämä lauseke on yhtä suuri kuin jokin luku x, niin jakooperaation määritelmän mukaan meillä on: 0 = 0 x. Mutta tämä tasa-arvo pätee mikä tahansa numero x, joka oli todistettava.

0 0 — mikä tahansa numero.

Ratkaisu. Harkitse kolmea päätapausta:

1) x = 0 – tämä arvo ei täytä tätä yhtälöä

2) milloin x> 0 saamme: x/x= 1, ts. 1 = 1, josta seuraa,

mitä x- mikä tahansa numero; mutta ottaa se huomioon

meidän tapaus x> 0, vastaus on x > 0 ;

• Turvallisuussäännöt silitysraudalla työskennellessä Turvallisuussäännöt silitysraudalla työskennellessä. 1. Ennen kuin liität silitysraudan verkkovirtaan, tarkista johdon eristys ja raudan asento telineessä. 2. Kytke päälle ja […]
• Vesiverovaltion ongelmat, analyysit ja vesiveron parantamisen ongelmat Kun vettä otetaan enemmän kuin vahvistetut neljännesvuosittaiset (vuotuiset) vedenkäyttörajat, veroprosentit tällaisen ylityksen osalta […]
• miten laaditaan tilaus siirtyä 223 fz:stä 44 fz:iin Sergei Antonov 30 Vastattu vuosi sitten Professori 455 Vastattu vuosi sitten Esimerkiksi: hankintamääräyksen soveltamisen peruuttaminen. Vastauspisteet: 0 Lisää […]
• Negatiivisten lukujen jakaminen Negatiivisten lukujen jakaminen on helppo ymmärtää, kun muistaa, että jako on kertolaskujen käänteinen. Jos "a" ja "b" ovat positiivisia lukuja, jaa luku "a" luvulla " […]
• Resoluutiot D1, 960H, 720P, 960P, 1080P Valvontajärjestelmät ovat yleistymässä ympäri maailmaa. Laitteita kehitetään jatkuvasti, ja tämä alue kehittyy jatkuvasti. Kuten missä tahansa […]
• Venäjän federaation perustuslaki. Baglay M.V. 6. painos, rev. ja ylimääräisiä - M.: Norma, 200 7 . - 7 84 s. Tämän oppikirjan, joka on kuudes tarkistettu ja täydennetty painos, on kirjoittanut kuuluisa […]

On selvää, että lukuja, joilla on potenssit, voidaan lisätä muiden suureiden tapaan , lisäämällä ne yksitellen merkeineen.

Joten a 3:n ja b 2:n summa on a 3 + b 2 .
A 3 - b n ja h 5 - d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Kertoimet samojen muuttujien samat potenssit voidaan lisätä tai vähentää.

Joten 2a 2:n ja 3a 2:n summa on 5a 2 .

On myös selvää, että jos otetaan kaksi ruutua a, kolme ruutua a tai viisi neliötä a.

Mutta asteet erilaisia ​​muuttujia ja erilaisia ​​tutkintoja identtiset muuttujat, on lisättävä lisäämällä ne merkkeihinsä.

Joten 2:n ja 3:n summa on 2 + a 3:n summa.

On selvää, että a:n neliö ja a:n kuutio eivät ole kaksi kertaa a:n neliö, vaan kaksi kertaa a:n kuutio.

Arvojen a 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Vähennyslasku valtuudet suoritetaan samalla tavalla kuin lisääminen, paitsi että aliosan merkkejä on muutettava vastaavasti.

Tai:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -t 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Tehon kertolasku

Potensseilla varustetut luvut voidaan kertoa muiden suureiden tapaan kirjoittamalla ne peräkkäin joko kertolaskun kanssa tai ilman.

Joten tulos kertomalla a 3:lla b 2 on a 3 b 2 tai aaabb.

Tai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 v

Viimeisen esimerkin tulos voidaan järjestää lisäämällä samat muuttujat.
Lauseke saa muotoa: a 5 b 5 y 3 .

Vertaamalla useita lukuja (muuttujia) potenssiin, voimme nähdä, että jos mitkä tahansa niistä kerrotaan, niin tuloksena on luku (muuttuja), jonka potenssi on summa termien asteet.

Joten a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tässä 5 on kertolaskutuloksen potenssi, joka on yhtä suuri kuin 2 + 3, termien potenssien summa.

Joten a n.a m = a m+n.

Kun a n , a otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin n:n potenssi on;

Ja m , otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin aste m on yhtä suuri kuin;

Siksi, potenssit, joilla on sama kanta, voidaan kertoa lisäämällä eksponentit.

Joten a 2.a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Tai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kerro (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastaus: x 4 - y 4.
Kerro (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Tämä sääntö pätee myös lukuihin, joiden eksponentit ovat - negatiivinen.

1. Joten a -2 .a -3 = a -5 . Tämä voidaan kirjoittaa muodossa (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jos a + b kerrotaan a - b:llä, tulos on a 2 - b 2: eli

Kahden luvun summan tai erotuksen kertomisen tulos on yhtä suuri kuin niiden neliöiden summa tai erotus.

Jos kahden luvun summa ja erotus korotetaan neliö-, tulos on yhtä suuri kuin näiden lukujen summa tai erotus neljäs tutkinnon.

Joten (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2) ⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Tutkintojen jako

Potensseilla varustetut luvut voidaan jakaa kuten muutkin luvut vähentämällä jakajasta tai sijoittamalla ne murtoluvun muotoon.

Joten a 3 b 2 jaettuna b 2:lla on a 3 .

Tai:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5:n kirjoittaminen jaettuna 3:lla näyttää tältä $\frac(a^5)(a^3)$. Mutta tämä on yhtä kuin 2. Numerosarjassa
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mikä tahansa luku voidaan jakaa toisella, ja eksponentti on yhtä suuri ero jaollisten lukujen indikaattorit.

Kun potenssit jaetaan samalla kantalla, niiden eksponentit vähennetään..

Joten y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Eli $\frac(yyy)(yy) = y$.

Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . Eli $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Tai:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Sääntö pätee myös numeroihin, joissa on negatiivinen asteen arvot.
Tulos jakamalla -5 luvulla -3 on -2.
Myös $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 tai $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

On välttämätöntä hallita valtuuksien kerto- ja jakamista erittäin hyvin, koska tällaisia ​​​​operaatioita käytetään hyvin laajasti algebrassa.

Esimerkkejä esimerkkien ratkaisemisesta potenssilukuja sisältävien murtolukujen kanssa

1. Pienennä eksponentit muodossa $\frac(5a^4)(3a^2)$. Vastaus: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Pienennä eksponentit muodossa $\frac(6x^6)(3x^5)$. Vastaus: $\frac(2x)(1)$ tai 2x.

3. Pienennä eksponentit a 2 / a 3 ja a -3 / a -4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
a 2.a -4 on -2 ensimmäinen osoittaja.
a 3 .a -3 on a 0 = 1, toinen osoittaja.
a 3.a -4 on -1, yhteinen osoittaja.
Yksinkertaistuksen jälkeen: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .

4. Pienennä eksponentit 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
Vastaus: 2a 3 / 5a 7 ja 5a 5 / 5a 7 tai 2a 3 / 5a 2 ja 5/5a 2.

5. Kerro (a 3 + b)/b 4 luvulla (a - b)/3.

6. Kerro (a 5 + 1)/x 2 luvulla (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kerro b 4 /a -2 luvulla h -3 /x ja a n /y -3 .

8. Jaa 4 /v 3 luvulla 3 /v 2 . Vastaus: a/y.

9. Jaa (h 3 - 1)/d 4 luvulla (d n + 1)/h.

Tehokaavat käytetään monimutkaisten lausekkeiden pelkistys- ja yksinkertaistamisprosessissa, yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa.

Määrä c On n-luvun potenssi a kun:

Operaatiot asteilla.

1. Kun asteet kerrotaan samalla pohjalla, niiden indikaattorit laskevat yhteen:

olena n = a m + n.

2. Saman kantaluvun asteiden jaossa niiden indikaattorit vähennetään:

3. Kahden tai useamman tekijän tulon aste on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden asteiden tulo:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Murto-osan aste on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan asteiden suhde:

(a/b) n = an/bn.

5. Kun potenssi nostetaan potenssiksi, eksponentit kerrotaan:

(am) n = a mn.

Jokainen yllä oleva kaava on oikea suunnassa vasemmalta oikealle ja päinvastoin.

Esimerkiksi. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaatiot juurilla.

1. Useiden tekijöiden tuotteen juuri on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden juurien tulo:

2. Suhteen juuri on yhtä suuri kuin osingon ja juurien jakajan suhde:

3. Kun juuria nostetaan potenssiin, riittää juurinumeron nostaminen tähän potenssiin:

4. Jos lisäämme juuren astetta sisään n kerran ja samaan aikaan korottaa n th potenssi on juuriluku, silloin juuren arvo ei muutu:

5. Jos pienennämme juuren astetta sisään n root samaan aikaan n astetta radikaaliluvusta, niin juuren arvo ei muutu:

Aste negatiivisella eksponentilla. Tietyn luvun aste, jolla on ei-positiivinen (kokonaisluku) eksponentti, määritellään jaettuna saman luvun asteella, jonka eksponentti on yhtä suuri kuin ei-positiivisen eksponentin itseisarvo:

Kaava olen:a n = a m - n voidaan käyttää paitsi m> n, mutta myös klo m< n.

Esimerkiksi. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kaavaan olen:a n = a m - n tuli reiluksi m = n, tarvitset nollaasteen.

Aste nollaeksponentilla. Minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun, jonka eksponentti on nolla, potenssi on yhtä suuri kuin yksi.

Esimerkiksi. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Aste murtoluvulla. Nostaaksesi todellista numeroa a jossain määrin m/n, sinun on purettava juuri n aste m tämän luvun potenssi a.