Vektorikaavio. Värinän lisäys.

Useiden värähtelyteorian ongelmien ratkaiseminen helpottuu huomattavasti ja tulee selvemmäksi, jos värähtelyt esitetään graafisesti menetelmällä vektorikaavioita. Valitaan jokin akseli X. kohdasta 0 akselille piirretään pituusvektori , joka muodostaa ensin kulman akselin kanssa (kuva 2.14.1). Jos saamme tämän vektorin pyörimään kulmanopeudella, niin vektorin pään projektio akselille X muuttuu ajan myötä lain mukaan

.

Siksi vektorin pään projektio akselille suorittaa harmonisen värähtelyn, jonka amplitudi on yhtä suuri kuin vektorin pituus, ympyrätaajuudella, joka on yhtä suuri kuin vektorin pyörimiskulmanopeus, ja alkuvaiheen ollessa yhtä suuri kulmaan, jonka vektori muodostaa akselin kanssa alkuhetkellä. Kulma, jonka vektorin muodostaa akselin kanssa tietyllä ajanhetkellä, määrää värähtelyn vaiheen sillä hetkellä - .

Sanomasta seuraa, että harmoninen värähtely voidaan esittää vektorilla, jonka pituus on yhtä suuri kuin värähtelyn amplitudi ja jonka suunta muodostaa kulman tietyn akselin kanssa, joka on yhtä suuri kuin värähtelyn vaihe. Tämä on vektorikaavioiden menetelmän ydin.

Samansuuntaisten värähtelyjen lisäys.

Harkitse kahden harmonisen värähtelyn lisäämistä, joiden suunnat ovat yhdensuuntaiset:

. (2.14.1)

Tuloksena oleva offset X on summa ja . Se on värähtely amplitudilla.

Käytetään vektorikaavioiden menetelmää (kuva 2.14.2). kuvassa ja ovat vastaavasti tuloksena olevien ja lisättyjen värähtelyjen vaiheita. On helppo nähdä, mitä löytyy lisäämällä vektorit ja . Jos kuitenkin lisättyjen värähtelyjen taajuudet ovat erilaisia, niin tuloksena olevan amplitudin suuruus muuttuu ajan myötä ja vektori pyörii epävakiolla nopeudella, ts. värähtely ei ole harmonista, vaan se edustaa jotain monimutkaista värähtelyprosessia. Jotta tuloksena oleva värähtely olisi harmoninen, lisättyjen värähtelyjen taajuuksien on oltava samat

ja tuloksena oleva värähtely tapahtuu samalla taajuudella

.

Rakentamisesta käy selvästi ilmi

Analysoidaan lauseke (2.14.2) tuloksena olevan värähtelyn amplitudille. Jos lisättyjen värähtelyjen vaihe-ero on nolla(värähtelyt ovat samassa vaiheessa), amplitudi on yhtä suuri kuin lisättyjen värähtelyjen amplitudien summa, eli on suurin mahdollinen arvo . Jos vaihe-ero on(värähtelyt ovat vastavaiheessa), sitten tuloksena oleva amplitudi on yhtä suuri kuin amplitudiero, eli on pienin mahdollinen arvo .

Keskinäisten kohtisuorien värähtelyjen summa.

Anna hiukkasen suorittaa kaksi harmonista värähtelyä samalla taajuudella: yksi pitkin suuntaa, jota merkitsemme X, toinen on kohtisuorassa suunnassa y. Tässä tapauksessa hiukkanen liikkuu jotakin, yleisessä tapauksessa kaarevaa liikerataa, jonka muoto riippuu värähtelyjen vaihe-erosta.

Valitsemme aikareferenssin origon siten, että yhden värähtelyn alkuvaihe on nolla:

. (2.14.3)

Hiukkasratayhtälön saamiseksi on välttämätöntä jättää pois (2.14.3) t. Ensimmäisestä yhtälöstä a. tarkoittaa, . Kirjoitetaan toinen yhtälö uudelleen

tai

.

Siirtämällä ensimmäinen termi yhtälön oikealta puolelta vasemmalle, neliöimällä tuloksena oleva yhtälön ja suorittamalla muunnoksia, saadaan

. (2.14.4)

Tämä yhtälö on ellipsin yhtälö, jonka akseleita kierretään suhteessa akseleihin X ja y johonkin kulmaan. Mutta joissakin erikoistapauksissa saadaan yksinkertaisempia tuloksia.

1. Vaihe-ero on nolla. Sitten (2.14.4) saamme

tai . (2.14.5)

Tämä on suoran yhtälö (kuva 2.14.3). Siten hiukkanen värähtelee tätä suoraa pitkin taajuudella ja amplitudilla, joka on yhtä suuri kuin .

Vektorikaavio on tapa määritellä graafisesti värähtelevä liike vektoriksi.

Vaaka-akselia pitkin piirretään värähtelevä arvo ξ (mikä tahansa fyysinen). Pisteestä 0 piirretty vektori on itseisarvoltaan yhtä suuri kuin värähtelyamplitudi A ja se on suunnattu kulmaan α, joka on yhtä suuri kuin värähtelyn alkuvaihe, akseliin ξ. Jos saamme tämän vektorin pyörimään kulmanopeudella ω, joka on yhtä suuri kuin värähtelyjen syklinen taajuus, niin tämän vektorin projektio ξ-akselille antaa värähtelevän suuren arvon mielivaltaisella ajanhetkellä.

Saman taajuuden ja samansuuntaisten värähtelyjen summaus

Olkoon kaksi värähtelyä: Rakennamme vektorikaavioita ja lisäämme vektoreita:

Kosinusten lain mukaan

Koska sitten

On selvää (katso kaavio), että tuloksena olevan värähtelyn alkuvaihe määräytyy relaatiolla:

Lähitaajuuksien värähtelyjen lisäys

P est, lisätään kaksi värähtelyä lähes identtisellä taajuudella, ts.

Trigonometriasta:

Sovellettaessa tapauksemme saamme:

Tuloksena olevan värähtelyn kuvaaja on lyöntigraafi, ts. taajuuden ω lähes harmonisia värähtelyjä, joiden amplitudi muuttuu hitaasti taajuuden Δω mukana.

Amplitudi johtuen moduulin merkin olemassaolosta (amplitudi on aina > 0), taajuus, jolla amplitudi muuttuu, ei ole yhtä suuri kuin Δω / 2, vaan kaksi kertaa niin korkea - Δω.

Keskinäisten kohtisuorien värähtelyjen summa

Anna pienen kappaleen värähdellä keskenään kohtisuorassa saman jäykkyyden omaavilla jousilla. Millä radalla tämä ruumis liikkuu?

Nämä ovat parametrimuodossa olevia lentoratayhtälöitä. Jotta x- ja y-koordinaattien välille saadaan eksplisiittinen suhde, parametri t on jätettävä pois yhtälöistä.

Ensimmäisestä yhtälöstä: ,

Toisesta alkaen

Vaihdon jälkeen

Päästään eroon juuresta:

on ellipsin yhtälö

H
erikoistapaukset:

27. Vaimennettu tärinä. Pakotettu tärinä. Resonanssi.

Vapaan värähtelyn vaimennus

Vastuksen vuoksi vapaat värähtelyt kuolevat aina ennemmin tai myöhemmin. Tarkastellaan värähtelyn vaimennusprosessia. Oletetaan, että vastusvoima on verrannollinen kehon nopeuteen. (suhteellisuustekijä on merkitty 2 mg:lla mukavuussyistä, jotka paljastetaan myöhemmin). Pidetään mielessä tapaus, jossa sen vaimennus on pieni värähtelyjakson aikana. Silloin voidaan olettaa, että vaimennus ei juurikaan vaikuta taajuuteen, mutta se vaikuttaa värähtelyjen amplitudiin. Sitten vaimennettujen värähtelyjen yhtälö voidaan esittää kuten Tässä A(t) edustaa jotain laskevaa funktiota, joka on määritettävä. Lähdemme energian säilymisen ja muuntamisen laista. Värähtelyjen energian muutos on yhtä suuri kuin vastusvoiman keskimääräinen työ jakson aikana, ts. Jaamme yhtälön molemmat puolet dt:llä. Oikealla on dx/dt, ts. nopeus v, ja vasemmalla saat energian derivaatan ajan suhteen. Ottaen siis huomioon Mutta keskimääräinen kineettinen energia puolet kokonaisenergiasta. Siksi voidaan kirjoittaa niin jaa sen molemmat osat E:llä ja kerro dt:llä. Me ymmärrämme sen Integroimme tuloksena olevan yhtälön molemmat osat: Potentioinnin jälkeen saamme Integrointivakio C saadaan alkuehdoista. Olkoon kohdalla t = 0 E = E0, sitten E0 = C. Mutta E~A^2. Siksi myös vaimennettujen värähtelyjen amplitudi pienenee eksponentiaalisen lain mukaan:

Ja joten vastuksen vuoksi värähtelyjen amplitudi pienenee ja ne näyttävät yleensä kuvan 2 mukaisilta. 4.2. Kerrointa kutsutaan vaimennuskertoimeksi. Se ei kuitenkaan täysin kuvaa vaimennusta. Yleensä värähtelyjen vaimennukselle on ominaista vaimennuksen väheneminen. Jälkimmäinen osoittaa, kuinka monta kertaa värähtelyamplitudi pienenee värähtelyjaksoa vastaavan ajan kuluessa. Eli vaimennuskerroin määritellään seuraavasti: Vaimennuksen dekrementin logaritmia kutsutaan logaritmiseksi dekrementiksi, se on ilmeisesti yhtä kuin

Pakotettu tärinä

Jos värähtelyjärjestelmään kohdistuu ulkoisen jaksollisen voiman vaikutus, syntyy niin sanottuja pakotettuja värähtelyjä, joilla on vaimentamaton luonne. Pakotetut värähtelyt tulee erottaa itsevärähtelyistä. Järjestelmän itsevärähtelyjen tapauksessa oletetaan olevan erityinen mekanismi, joka ajallaan omien värähtelyiensä kanssa "toimittaa" pieniä osia energiaa jostain energiasäiliöstä järjestelmään. Näin luonnolliset värähtelyt säilyvät, jotka eivät vaimene. Itsevärähtelyjen tapauksessa järjestelmä ikään kuin työntää itseään. Kellot voivat toimia esimerkkinä itsevärähtelevästä järjestelmästä. Kello on varustettu räikkämekanismilla, jonka avulla heiluri vastaanottaa pieniä iskuja (puristetusta jousesta) ajoissa omilla värähtelyillään. Pakotetun värähtelyn tapauksessa järjestelmää työntää ulkoinen voima. Jäljempänä tarkastellaan tätä tapausta olettaen, että järjestelmän vastus on pieni ja se voidaan jättää huomiotta. Pakotetun värähtelyn mallina tarkoitamme samaa jouseen ripustettua kappaletta, johon vaikuttaa ulkoinen jaksollinen voima (esimerkiksi voima, jolla on sähkömagneettinen luonne). Ottamatta huomioon vastusta, tällaisen kappaleen liikeyhtälö x-akselin projektiossa on muotoa: missä w* on syklinen taajuus, B on ulkoisen voiman amplitudi. Tiedetään, että vaihtelut ovat olemassa. Siksi etsimme yhtälön tiettyä ratkaisua sinifunktion muodossa Korvaamme funktion yhtälöön, jolle teemme eron kahdesti ajan suhteen . Korvaus johtaa suhteeseen

Yhtälö muuttuu identiteetiksi, jos kolme ehtoa täyttyy: . Sitten ja pakotettujen värähtelyjen yhtälö voidaan esittää muodossa Ne esiintyvät taajuudella, joka on sama kuin ulkoisen voiman taajuus, eikä niiden amplitudia aseteta mielivaltaisesti, kuten vapaiden värähtelyjen tapauksessa, vaan se asetetaan itsestään. Tämä määritetty arvo riippuu järjestelmän luonnollisen värähtelytaajuuden ja ulkoisen voiman taajuuden suhteesta kaavan mukaan

H ja fig. 4.3 esittää käyrän pakkovärähtelyjen amplitudin riippuvuudesta ulkoisen voiman taajuudesta. Voidaan nähdä, että värähtelyjen amplitudi kasvaa merkittävästi ulkoisen voiman taajuuden lähestyessä luonnollisen värähtelyn taajuutta. Ilmiö pakotettujen värähtelyjen amplitudin voimakkaasta kasvusta, kun ominaistaajuus ja ulkoisen voiman taajuus ovat samat, kutsutaan resonanssi.

Resonanssissa värähtelyamplitudin tulee olla äärettömän suuri. Todellisuudessa resonanssissa pakotettujen värähtelyjen amplitudi on aina äärellinen. Tämä selittyy sillä, että resonanssissa ja sen lähellä oletus merkityksettömän pienestä resistanssista muuttuu virheelliseksi. Vaikka järjestelmän vastus on pieni, se on merkittävä resonanssissa. Sen läsnäolo tekee värähtelyamplitudista resonanssissa äärellisen arvon. Siten varsinainen käyrä värähtelyamplitudin riippuvuudesta taajuudesta on kuvan 2 mukaisessa muodossa. 4.4 Mitä suurempi vastus järjestelmässä on, sitä pienempi on maksimiamplitudi resonanssipisteessä.

Yleensä resonanssi mekaanisissa järjestelmissä on ei-toivottu ilmiö, ja sen he yrittävät välttää: he yrittävät suunnitella värähtelyille ja tärinälle alttiita mekaanisia rakenteita siten, että värähtelyjen luonnollinen taajuus on kaukana ulkoisten vaikutusten taajuuksien mahdollisista arvoista. Mutta useissa laitteissa resonanssia käytetään positiivisena ilmiönä. Esimerkiksi sähkömagneettisten värähtelyjen resonanssia käytetään laajalti radioviestinnässä, g-säteiden resonanssia - tarkkuuslaitteissa.

Termodynaamisen järjestelmän tila. Prosessit

Termodynaamiset tilat ja termodynaamiset prosessit

Kun mekaniikan lakien lisäksi vaaditaan termodynamiikan lakien soveltamista, järjestelmää kutsutaan termodynaamiseksi järjestelmäksi. Tarve käyttää tätä käsitettä syntyy, jos järjestelmän elementtien lukumäärä (esimerkiksi kaasumolekyylien määrä) on erittäin suuri ja sen yksittäisten elementtien liike on mikroskooppista verrattuna itse järjestelmän tai sen makroskooppiseen liikkeeseen. komponentit. Tässä tapauksessa termodynamiikka kuvaa termodynaamisen järjestelmän makroskooppisia liikkeitä (makroskooppisten tilojen muutoksia).

Termodynaamisen järjestelmän tällaista liikettä (muutoksia) kuvaavat parametrit jaetaan yleensä ulkoisiin ja sisäisiin. Tämä jako on hyvin ehdollinen ja riippuu tietystä tehtävästä. Joten esimerkiksi kaasulla elastisella kuorella varustetussa ilmapallossa on ympäröivän ilman paine ulkoisena parametrina, ja kaasulle jäykällä kuorella varustetussa astiassa ulkoinen parametri on tämän kuoren rajoittama tilavuus. Termodynaamisessa järjestelmässä tilavuus ja paine voivat vaihdella toisistaan ​​riippumatta. Niiden muutoksen teoreettista kuvausta varten on tarpeen ottaa käyttöön ainakin yksi parametri - lämpötila.

Useimmissa termodynaamisissa ongelmissa kolme parametria riittää kuvaamaan termodynaamisen järjestelmän tilaa. Tässä tapauksessa järjestelmän muutoksia kuvataan käyttämällä kolmea termodynaamista koordinaattia, jotka liittyvät vastaaviin termodynaamisiin parametreihin.

tasapainotila- termodynaamisen tasapainon tila - kutsutaan sellaista termodynaamisen järjestelmän tilaa, jossa ei ole virtauksia (energia, aine, liikemäärä jne.) ja järjestelmän makroskooppiset parametrit ovat tasaisia ​​eivätkä muutu ajassa.

Klassinen termodynamiikka väittää, että eristetty termodynaaminen järjestelmä (joka on jätetty itselleen) pyrkii termodynaamisen tasapainon tilaan, eikä saavutettuaan sen voi spontaanisti poistua siitä. Tätä lausuntoa kutsutaan usein termodynamiikan nollalaki.

Termodynaamisen tasapainon tilassa olevilla systeemeillä on seuraavat ominaisuudet ominaisuuksia mi:

Jos kaksi termodynaamista järjestelmää, joilla on lämpökontakti, ovat termodynaamisen tasapainon tilassa, niin koko termodynaaminen järjestelmä on myös termodynaamisen tasapainon tilassa.

Jos jokin termodynaaminen järjestelmä on termodynaamisessa tasapainossa kahden muun järjestelmän kanssa, niin nämä kaksi järjestelmää ovat termodynaamisessa tasapainossa keskenään.

Tarkastellaan termodynaamisia järjestelmiä, jotka ovat termodynaamisen tasapainon tilassa. Ei-tasapainotilassa eli tilassa, jossa tapahtuu makroskooppisia virtauksia, on kuvattu epätasapainoinen termodynamiikka. Siirtymistä termodynaamisesta tilasta toiseen kutsutaan termodynaaminen prosessi. Seuraavassa tarkastellaan vain kvasistaattisia prosesseja tai, mikä on sama, kvasi-tasapainoprosesseja. Kvasitasapainoprosessin rajoittava tapaus on äärettömän hidas tasapainoprosessi, joka koostuu jatkuvasti peräkkäisistä termodynaamisen tasapainon tiloista. Todellisuudessa tällaista prosessia ei kuitenkaan voi tapahtua, jos makroskooppiset muutokset järjestelmässä tapahtuvat melko hitaasti (aikavälein, jotka ylittävät huomattavasti termodynaamisen tasapainon saavuttamiseen kuluvan ajan), on mahdollista likimäistää todellista prosessia kvasistaattiseksi (kvasistaattiseksi). tasapaino). Tällainen approksimaatio mahdollistaa laskelmien suorittamisen riittävän suurella tarkkuudella suurelle joukolle käytännön ongelmia. Tasapainoprosessi on reversiibeli, eli sellainen, jossa paluu edellisellä hetkellä tapahtuneisiin tilaparametrien arvoihin tuo termodynaamisen järjestelmän edelliseen tilaan ilman muutoksia järjestelmää ympäröivissä kappaleissa. .

Kvasitasapainoprosessien käytännön soveltaminen missään teknisissä laitteissa on tehotonta. Siten kvasi-tasapainoprosessin käyttö lämpökoneessa, esimerkiksi sellaisessa, joka tapahtuu käytännössä vakiolämpötilassa (katso Carnot-syklin kuvaus kolmannessa luvussa), johtaa väistämättä siihen, että tällainen kone toimivat hyvin hitaasti (rajassa - äärettömän hitaasti) ja niillä on hyvin pieni teho. Siksi käytännössä teknisissä laitteissa ei käytetä kvasitasapainoprosesseja. Siitä huolimatta, koska todellisten järjestelmien tasapainotermodynamiikan ennusteet osuvat riittävän suureen tarkkuuteen tällaisten järjestelmien kokeellisten tietojen kanssa, sitä käytetään laajasti termodynaamisten prosessien laskemiseen erilaisissa teknisissä laitteissa.

Jos järjestelmä palaa termodynaamisen prosessin aikana alkuperäiseen tilaan, tällaista prosessia kutsutaan pyöreäksi tai sykliseksi. Kiertoprosessit, kuten kaikki muutkin termodynaamiset prosessit, voivat olla sekä tasapainoisia (ja siksi palautuvia) että ei-tasapainoisia (reversiibeliä). Palautuvassa ympyräprosessissa termodynaamisen järjestelmän palautumisen jälkeen sitä ympäröivissä kappaleissa ei synny termodynaamisia häiriöitä, vaan niiden tilat pysyvät tasapainossa. Tässä tapauksessa järjestelmän ulkoiset parametrit palaavat syklisen prosessin toteuttamisen jälkeen alkuperäisiin arvoihinsa. Peruuttamattomassa ympyräprosessissa sen valmistumisen jälkeen ympäröivät kappaleet siirtyvät epätasapainotiloihin ja termodynaamisen järjestelmän ulkoiset parametrit muuttuvat.

Monimutkainen amplitudimenetelmä

Pisteen sijainti tasossa voidaan määrittää yksiselitteisesti kompleksiluvulla:

Jos piste ($A$) pyörii, tämän pisteen koordinaatit muuttuvat lain mukaan:

kirjoita $z$ muotoon:

missä $Re(z)=x$, eli fyysinen suure x on yhtä suuri kuin kompleksilausekkeen (4) reaaliosa. Tässä tapauksessa kompleksisen lausekkeen moduuli on yhtä suuri kuin värähtelyamplitudi -- $a$, sen argumentti on yhtä suuri kuin vaihe ($(\omega )_0t+\delta $). Joskus kun otetaan $z$:n reaaliosa, operaation Re merkki jätetään pois ja saadaan symbolinen lauseke:

Lauseketta (5) ei pidä ottaa kirjaimellisesti. Usein muodollisesti yksinkertaistaa (5):

missä $A=ae^(i \delta)$ on kompleksinen värähtelyamplitudi. $A$-amplitudin monimutkainen luonne tarkoittaa, että värähtelyllä on alkuvaihe, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla.

Selvittääksemme lausekkeen, kuten (6) fyysisen merkityksen, oletetaan, että värähtelytaajuudella ($(\omega )_0$) on reaali- ja imaginaariosa, ja se voidaan esittää seuraavasti:

Sitten lauseke (6) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Jos $(\omega )2>0,$ niin lauseke (8) kuvaa vaimennettuja harmonisia värähtelyjä ympyrätaajuudella $\omega1$ ja vaimennusindeksillä $(\omega )_2$. Jos $(\omega )_2

Kommentti

Monia matemaattisia operaatioita voidaan suorittaa monimutkaisille suureille ikään kuin suuret olisivat todellisia. Operaatiot ovat mahdollisia, jos ne itse ovat lineaarisia ja reaalisia (kuten yhteenlasku, kertolasku, differentiointi suhteessa reaalimuuttujaan ja muut, mutta eivät kaikki). On muistettava, että monimutkaiset suureet eivät sinänsä vastaa mitään fysikaalisia suureita.

Vektorikaaviomenetelmä

Pyöritään pisteen $A$ tasaisesti säteen $r$ ympyrän ympäri (kuva 1), sen pyörimisnopeus on $(\omega )_0$.

Kuva 1.

Ympyrän pisteen $A$ sijainti voidaan määrittää kulmalla $\varphi $. Tämä kulma on:

missä $\delta =\varphi (t=0)$ on sädevektorin $\overrightarrow(r)$ kiertokulma alkuhetkellä. Jos piste $M$ pyörii, niin sen projektio $X$-akselille liikkuu ympyrän halkaisijaa pitkin aiheuttaen harmonisia värähtelyjä pisteiden $M$ $N$ välillä. $A$:n abskissa voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Samalla tavalla voidaan esittää minkä tahansa suuruiset vaihtelut.

On vain otettava kuva suuresta, joka värähtelee pisteen $A$ abskissan kanssa, joka pyörii tasaisesti ympyrän ympäri. Voit tietysti käyttää ordinaatteja:

Huomautus 1

Vaimennettujen värähtelyjen esittämiseksi ei tarvitse ottaa ympyrää, vaan logaritminen spiraali, joka lähestyy fokusta. Jos spiraalissa liikkuvan pisteen lähestymisnopeus on vakio ja piste liikkuu kohti fokusta, niin tämän pisteen projektio $X-akselille antaa kaavat vaimennetuille värähtelyille.

Huomautus 2

Pisteen sijasta voit käyttää sädevektoria, joka pyörii tasaisesti origon ympäri. Sitten harmonisia värähtelyjä suorittava arvo kuvataan tämän vektorin projektiona $X$-akselille. Tässä tapauksessa suuren $x$ matemaattiset operaatiot korvataan vektorin operaatioilla.

Joten kahden suuren summausoperaatio:

on kätevämpää korvata kahden vektorin summalla (suunnikassääntöä käyttämällä). Vektorit valitaan siten, että niiden projektiot valitulle $akselille X$ ovat lausekkeet $x_1\ ja\ x_2$. Tällöin x-akselin projektiossa olevien vektorien summauksen tulos on yhtä suuri kuin $x_1+\ x_2$.

Esimerkki 1

Esitetään vektorikaavioiden menetelmän soveltaminen.

Esitetään siis kompleksiluvut vektoreina kompleksitasolla. Harmonisen lain mukaan muuttuvaa suuretta edustaa vektori, joka pyörii vastapäivään alkupisteensä ympäri taajuudella $(\omega )0$. Vektorin pituus on yhtä suuri kuin värähtelyjen amplitudi.

Graafinen menetelmä esimerkiksi yhtälön ratkaisemiseksi:

missä $Z=R+i(\omega L-\frac(1)(\omega C))$ on impedanssi, voimme esittää sen kuvan 2 avulla. Tämä kuva esittää vektorikaavion jännitteistä vaihtovirtapiirissä.

Kuva 2.

Otetaan huomioon, että kompleksin arvon kertominen kompleksiyksiköllä tarkoittaa sen kiertämistä kulmalla $90^0$ vastapäivään ja kertomista ($-i$) samalla kulmalla myötäpäivään. Kuvasta 2 seuraa, että:

missä $-\frac(\pi )(2)\le \varphi \le \frac(\pi )(2).$ Kulman $\varphi $ muutos riippuu piirielementtien ja piirielementtien impedanssien välisestä suhteesta. taajuudet. Ulkoinen jännite voi muuttua vaiheittain, induktanssin ylittävän jännitteen kanssa samaan aikaan kapasitanssin yli olevan jännitteen kanssa. Tämä ilmaistaan ​​yleensä piirielementtien jännitevaiheiden ja ulkoisen jännitteen vaiheen välisenä suhteena:

Induktorin $((U)L=i\omega LI)$ jännitteen vaihe johtaa aina ulkoisen jännitteen vaiheen kulman välillä $0$ arvoon $\pi .$

Kapasitanssin $((U)C=-\frac(iI)(\omega C)$) jännitteen vaihe on aina jäljessä ulkoisen jännitteen vaiheesta kulman välillä $0$ ja --$\ \pi .$

Tässä tapauksessa resistanssin vaihe voi joko johtaa tai olla jäljessä ulkoisen jännitteen vaiheesta $\frac(\pi )(2)$ ja $\frac(\pi )(2)$ välisen kulman verran.

Vektorikaavion (kuva 2) avulla voimme muotoilla seuraavan:

Induktorin yli olevan jännitteen vaihe johtaa virran vaiheeseen $\frac(\pi )(2)$.

Kapasitanssin jännitteen vaihe on $\frac(\eth )(2)\ $ jäljessä nykyisestä vaiheesta.

Jännitteen vaihe vastuksen yli on sama kuin virran vaihe.

Esimerkki 2

Harjoittele: Osoita, että neliöintitoimintoa ei voida soveltaa kompleksisiin suureisiin kuin reaalilukuihin.

Ratkaisu:

Oletetaan, että meidän on neliötettävä reaaliluku $x$. Oikea vastaus: $x^2$. Muodollisesti käytämme monimutkaista menetelmää. Korvataan:

$x\to x+iy$. Neliöimme tuloksena olevan lausekkeen, saamme:

\[(\left(x+iy\right))^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\right).\]

Lausekkeen (2.1) reaaliosa on:

\[(Re\left(x+iy\right))^2=Re\left(x^2-y^2+2xyi\right)=x^2-y^2\ne x^2.\]

Virhe johtuu siitä, että neliöintioperaatio ei ole lineaarinen.

Harmoniset värähtelyt

Nuo. itse asiassa sinigraafi saadaan vektorin kierrosta, joka kuvataan kaavalla:

F(x) = A sin (ωt + φ),

Missä A on vektorin pituus (värähtelyamplitudi), φ on vektorin alkukulma (vaihe) nollahetkellä, ω on pyörimisen kulmanopeus, joka on yhtä suuri kuin:

ω=2 πf, missä f on taajuus hertseinä.

Kuten näemme, tiedämme signaalin taajuuden, amplitudin ja kulman, voimme rakentaa harmonisen signaalin.

Taika alkaa, kun käy ilmi, että täysin minkä tahansa signaalin esitys voidaan esittää eri siniaaltojen summana (usein äärettömänä). Toisin sanoen Fourier-sarjan muodossa.
Annan esimerkin englanninkielisestä Wikipediasta. Otetaan esimerkkinä sahanhammassignaali.

sahanhammassignaali

Sen määrä esitetään seuraavalla kaavalla:

Jos summaamme yksitellen, otamme ensin n=1, sitten n=2 jne., näemme kuinka harmoninen sinisignaalimme muuttuu vähitellen sahaksi:

Todennäköisesti kaunein tapa havainnollistaa tätä on eräs Internetistä löytämäni ohjelma. Edellä on jo sanottu, että sinigraafi on pyörivän vektorin projektio, mutta entä monimutkaisemmat signaalit? Tämä on kummallista kyllä ​​pyörivien vektorien joukon projektio tai pikemminkin niiden summa, ja kaikki näyttää tältä:

Vektoripiirrossaha.

Yleisesti ottaen suosittelen, että seuraat linkkiä itse ja yrität leikkiä parametreilla itse ja katsoa kuinka signaali muuttuu. IMHO En ole vielä nähnyt visuaalisempaa ymmärryksen lelua.

On myös huomattava, että on olemassa käänteinen menettely, jonka avulla voit saada taajuuden, amplitudin ja alkuvaiheen (kulman) tietystä signaalista, jota kutsutaan Fourier-muunnokseksi.

Joidenkin tunnettujen jaksollisten funktioiden Fourier-sarjan laajennus (täältä)

En käsittele sitä yksityiskohtaisesti, mutta näytän kuinka sitä voidaan soveltaa elämässä. Referenssiluettelossa suosittelen, missä voit lukea materiaalista lisää.

Siirrytään käytännön harjoituksiin!

Minusta tuntuu, että jokainen opiskelija kysyy esimerkiksi luennolla istuessaan matanissa kysymyksen: miksi tarvitsen kaikkea tätä hölynpölyä? Ja yleensä, koska hän ei ole löytänyt vastausta lähitulevaisuudessa, hän valitettavasti menettää kiinnostuksensa aiheeseen. Siksi näytän välittömästi tämän tiedon käytännön soveltamisen, ja hallitset jo tämän tiedon itse :).

Aion toteuttaa kaiken jatkossa tällä sivustolla. Tein kaiken tietysti Linuxin alla, mutta en käyttänyt mitään erityispiirteitä, teoriassa ohjelma kääntää ja toimii muilla alustoilla.

Ensin kirjoitetaan ohjelma äänitiedoston luomiseksi. Yksinkertaisimpana tiedostona pidettiin wav-tiedostoa. Voit lukea sen rakenteesta.
Lyhyesti sanottuna wav-tiedostorakenne on kuvattu seuraavasti: otsikko, joka kuvaa tiedostomuotoa, ja sitten tulee (tässä tapauksessamme) 16-bittisen datan joukko (osoitti), jonka pituus on: sample_rate * t sekuntia tai 44100 * t kappaletta.

Esimerkki otettiin äänitiedoston muodostamiseksi. Muokkasin sitä hieman, korjasin virheet ja lopullinen versio muokkauksillani on nyt täällä githubissa

Luodaan kahden sekunnin äänitiedosto, jonka puhdas sinitaajuus on 100 Hz. Tätä varten muokkaamme ohjelmaa seuraavasti:

#define S_RATE (44100) //näytteenottotaajuus #define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 sekunnin puskuri */ …. int main(int argc, char * argv) ( ... float amplitudi = 32000; //ota suurin mahdollinen amplitudi float freq_Hz = 100; //signaalin taajuus /* täytä puskuri siniaalolla */ for (i=0 i

Kiinnitän huomionne siihen tosiasiaan, että puhdas sinikaava vastaa sitä, josta puhuimme edellä. Amplitudi 32000 (voi ottaa 32767) vastaa arvoa, jonka 16-bittinen luku voi ottaa (miinus 32767 plus 32767).

Tuloksena saamme seuraavan tiedoston (voit jopa kuunnella sitä millä tahansa ääntä tuottavalla ohjelmalla). Avataan tämä audacity-tiedosto ja katsotaan, että signaalikaavio todella vastaa puhdasta siniä:

Puhdas putkisini

Katsotaanpa tämän sinin spektriä (Analysis-> Plot Spectrum)

Spectrum Plot

Puhdas huippu näkyy 100 Hz:llä (logaritminen asteikko). Mikä on spektri? Tämä on taajuusvaste. On myös vaihevaste. Jos muistat, sanoin edellä, että signaalin rakentamiseksi sinun on tiedettävä sen taajuus, amplitudi ja vaihe? Joten voit saada nämä parametrit signaalista. Tässä tapauksessa meillä on kuvaaja taajuuksien ja amplitudin välisestä vastaavuudesta, ja amplitudi ei ole todellisissa yksiköissä, vaan desibeleissä.

Ymmärrän, että ohjelman toiminnan selittämiseksi on tarpeen selittää, mikä nopea Fourier-muunnos on, ja tämä on ainakin yksi hapan artikkeli.

Ensin jaetaan taulukoita:

C = calloc(koko_taulukko*2, koko(float)); // kiertotekijöiden joukko in = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //input array out = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //tulostusjoukko

Sanon vain, että ohjelmassa luemme tiedot taulukkoon, jonka pituus on size_array (jonka otamme wav-tiedoston otsikosta).

While(frread(&arvo,koko(arvo),1,wav)) (in[j]=(float)arvo; j+=2; if (j > 2*size_array) break; )

Nopean Fourier-muunnoksen taulukon on oltava sekvenssi (re, im, re, im, ... re, im), jossa fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
se on joukko kompleksilukuja. Pelkään jopa kuvitella missä kompleksista Fourier-muunnosta käytetään, mutta meidän tapauksessamme imaginaariosa on nolla ja reaaliosa on yhtä suuri kuin taulukon jokaisen pisteen arvo.
Toinen nopean Fourier-muunnoksen ominaisuus on, että se laskee taulukoita, jotka ovat vain kahden potenssien kerrannaisia. Tämän seurauksena meidän on laskettava kahden minimiteho:

Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));

Tiedon tavumäärän logaritmi jaettuna tavujen määrällä yhdessä pisteessä.

Sen jälkeen laskemme kiertokertoimet:

Fft_make(p2,c);// funktio kiertokertoimien laskemiseen FFT:lle (ensimmäinen parametri on kahden potenssi, toinen on allokoitu kiertokertoimien joukko).

Ja syötämme lukujonomme Fourier-muunnokseen:

Fft_calc(p2, c, sisään, ulos, 1); //(yksi tarkoittaa, että saamme normalisoidun taulukon).

Tuloksena saamme muodon kompleksiluvut (re, im, re, im, ... re, im). Selitän niille, jotka eivät tiedä, mikä kompleksiluku on. Aloitin tämän artikkelin syystä joukolla pyöriviä vektoreita ja joukolla GIF-kuvia. Joten kompleksitason vektori määräytyy reaalikoordinaatin a1 ja imaginaarisen koordinaatin a2 perusteella. Tai pituus (tämä on amplitudimme Am) ja kulma Psi (vaihe).

Vektori monimutkaisella tasolla

Huomaa, että size_array=2^p2. Matriisin ensimmäinen piste vastaa taajuutta 0 Hz (vakio), viimeinen piste vastaa näytteenottotaajuutta, nimittäin 44100 Hz. Tämän seurauksena meidän on laskettava kutakin pistettä vastaava taajuus, joka eroaa deltataajuudella:

Double delta=((float)header.frequency)/(float)size_array; //näytteenottotaajuus taulukon kokoa kohden.

Jaamme joukon amplitudeja:

Double* ampl; ampl = calloc(koko_taulukko*2, koko(kaksois));

Ja katso kuvaa: amplitudi on vektorin pituus. Ja meillä on sen projektiot todellisella ja kuvitteellisella akselilla. Seurauksena on suorakulmainen kolmio, ja tässä muistamme Pythagoraan lauseen ja laskemme jokaisen vektorin pituuden ja kirjoitamme sen välittömästi tekstitiedostoon:

For(i=0;i<(size_array);i+=2) { fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out))); cur_freq+=delta; }
Tuloksena on tiedosto, joka näyttää tältä:

… 11.439514 10.943008 11.607742 56.649738 11.775970 15.652428 11.944199 21.872342 12.112427 30.635371 12.280655 30.329171 12.448883 11.932371 12.617111 20.777617 ...

Kokeillaan!

Nyt syötämme tuloksena olevalle ohjelmalle sini-äänitiedoston

./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav-muoto: 16 bittiä, PCM pakkaamaton, kanava 1, taajuus 44100, 88200 tavua sekunnissa, 2 tavua sieppauksella, 2 bittiä näytettä kohti, 882000 tavua datapalassa = 441000 log2=18 koko array=262144 wav-muoto Max Freq = 99.928 , amp =7216.136

Ja saamme taajuusvasteen tekstitiedoston. Rakennamme sen kaavion gnuplotilla

Rakenna skripti:

#! /usr/bin/gnuplot -persist set terminaalin postscript eps paranneltu väri kiinteä setti tulos "result.ps" #set terminal png koko 800, 600 #set output "result.png" set grid xtics ytics set log xy set xlabel "Freq, Hz" aseta ylanimike "Amp, dB" aseta xrange #set yrange plot "test.txt" käyttäen 1:2 otsikkoa "(!LANG:AFC" with lines linestyle 1 !}

Kiinnitä huomiota skriptin rajoituksiin X:n pisteiden määrälle: set xrange . Meillä on näytteenottotaajuus 44100, ja jos muistamme Kotelnikov-lauseen, niin signaalin taajuus ei voi olla suurempi kuin puolet näytteenottotaajuudesta, joten emme ole kiinnostuneita yli 22050 Hz:n signaalista. Miksi niin, suosittelen lukemaan erikoiskirjallisuudesta.
Joten (rumpurulla), suorita käsikirjoitus ja katso:

Signaalimme spektri

Huomaa terävä huippu 100 Hz:llä. Älä unohda, että akselit ovat logaritmisia! Oikeanpuoleinen villa on mielestäni Fourier-muunnosvirheitä (ikkunat tulevat tästä mieleen).

Hemmottelemme, eikö niin?

Ja mennään! Katsotaanpa muiden signaalien spektrit!

Melua ympäri...

Piirretään ensin kohinaspektri. Aihe melusta, satunnaisista signaaleista jne. ansaitsee erillisen kurssin. Mutta käsittelemme sitä hieman. Muokataan wav-tiedostojen luontiohjelmaamme, lisätään yksi menettely:

Double d_random(double min, double max) ( paluu min + (max - min) / RAND_MAX * rand(); )

Se luo satunnaisluvun annetulla alueella. Seurauksena on, että pääosa näyttää tältä:

int main(int argc, char * argv) ( int i; float amplitudi = 32000; srand((signed int)time(0)); //alustaa satunnaislukugeneraattori kohteelle (i=0; i

Luodaan tiedosto , (suosittelen kuuntelemaan). Katsotaanpa sitä rohkeasti.

Signaali rohkeudessa

Katsotaanpa kirjoa rohkeudessa.

Spektri

Katsotaanpa spektriä ohjelmamme avulla:

Meidän spektrimme

Haluan kiinnittää huomion erittäin mielenkiintoiseen kohinan tosiasiaan ja ominaisuuteen - se sisältää kaikkien harmonisten spektrit. Kuten kaaviosta näkyy, spektri on melko tasainen. Tyypillisesti valkoista kohinaa käytetään esimerkiksi audiolaitteiden kaistanleveyden taajuusanalyysiin. On myös muita melutyyppejä: pinkki, sininen ja muut. Kotitehtävänä on selvittää, miten ne eroavat toisistaan.

Entä kompotti?

Ja nyt nähdään toinen mielenkiintoinen signaali - mutka. Yllä annoin taulukon Fourier-sarjan eri signaalien laajennuksista, katsot kuinka meander hajoaa, kirjoita se paperille ja jatkamme.

Luodaksemme meanderin taajuudella 25 Hz, muokkaamme jälleen wav-tiedostogeneraattoriamme:

int main(int argc, char * argv) ( int i; lyhyt int meandr_value=32767; /* täytä puskuri siniaallolla */ for (i=0; i

Seurauksena on, että saamme äänitiedoston (jälleen suosittelen kuuntelemaan), jota sinun tulee katsoa heti rohkeasti

Hänen majesteettinsa on terveen ihmisen mutka tai mutka

Älkäämme vaipuko ja katsokaamme sen spektriä:

mutkainen spektri

Toistaiseksi ei ole kovin selvää, mikä se on ... Ja katsotaanpa muutamaa ensimmäistä harmonista:

Ensimmäiset harmoniset

Aivan toinen asia! No, katsotaan taulua. Katsos, meillä on vain 1, 3, 5 jne., ts. parittomat harmoniset. Voimme nähdä, että meillä on ensimmäinen harmoninen 25 Hz, seuraava (kolmas) 75 Hz, sitten 125 Hz jne., kun taas amplitudimme pienenee vähitellen. Teoria kohtaa käytännön!
Ja nyt huomio! Tosielämässä meander-signaalissamme on ääretön määrä korkeamman ja korkeamman taajuuden harmonisia, mutta pääsääntöisesti todelliset sähköpiirit eivät voi läpäistä tietyn taajuuden yläpuolella olevia taajuuksia (raitojen induktanssin ja kapasitanssin vuoksi). Tämän seurauksena voit usein nähdä seuraavan signaalin oskilloskoopin näytöllä:

Mutkattu tupakoitsija

Tämä kuva on aivan kuin kuva wikipediasta, jossa ei kaikkia taajuuksia ole otettu esimerkkinä meanderista, vaan vain muutama ensimmäinen.

Ensimmäisten harmonisten summa ja kuinka signaali muuttuu

Meideriä käytetään aktiivisesti myös radiotekniikassa (täytyy sanoa, että tämä on kaiken digitaalitekniikan perusta), ja kannattaa ymmärtää, että pitkillä ketjuilla se voidaan suodattaa pois niin, että oma äiti ei sitä tunnista. Sitä käytetään myös eri laitteiden taajuusvasteen tarkistamiseen. Toinen mielenkiintoinen tosiasia on, että TV-häirittimet toimivat juuri korkeampien harmonisten periaatteella, kun mikropiiri itse synnytti kymmenien MHz:n meanderin ja sen korkeammilla harmonisilla taajuuksilla saattoi olla satoja MHz, vain television taajuudella ja korkeammalla. harmoniset esteet onnistuneesti televisiolähetyssignaalin.

Yleensä tällaisten kokeiden aihe on loputon, ja voit nyt jatkaa sitä itse.

Kirja

Niille, jotka eivät ymmärrä mitä täällä tehdään, tai päinvastoin, niille, jotka ymmärtävät, mutta haluavat ymmärtää vielä paremmin, sekä opiskelijoille, jotka opiskelevat DSP:tä, suosittelen tätä kirjaa. Tämä on DSP tuteille, joka on tämän viestin kirjoittaja. Siellä monimutkaisimmat käsitteet kerrotaan lapsellekin ymmärrettävällä kielellä.

Johtopäätös

Lopuksi haluan sanoa, että matematiikka on tieteiden kuningatar, mutta ilman todellista sovellusta monet ihmiset menettävät kiinnostuksensa siihen. Toivon, että tämä viesti inspiroi sinua opiskelemaan niin ihanaa aihetta kuin signaalinkäsittely ja yleensä analogiset piirit (kytke korvasi, jotta aivosi eivät vuoda ulos!). :)
Onnea!

Tunnisteet:

Lisää tageja

Useiden ongelmien ratkaiseminen, erityisesti useiden samansuuntaisten värähtelyjen lisääminen (tai mikä on sama, useiden harmonisten funktioiden lisääminen), helpottuu suuresti ja tulee selväksi, jos värähtelyt esitetään graafisesti vektoreina lentokone. Tällä tavalla saatua kaaviota kutsutaan vektorikaavioksi.

Ota akseli, jota merkitsemme kirjaimella x (kuva 55.1). Pisteestä O, joka on otettu akselille, piirretään vektori, jonka pituus on a, joka muodostaa kulman a akselin kanssa.

Jos saamme tämän vektorin pyörimään kulmanopeudella, niin vektorin pään projektio liikkuu x-akselia pitkin alueella -a - +a ja tämän projektion koordinaatti muuttuu ajan myötä laki

Tämän seurauksena vektorin pään projektio akselille suorittaa harmonisen värähtelyn, jonka amplitudi on yhtä suuri kuin vektorin pituus, ympyrätaajuudella, joka on yhtä suuri kuin vektorin pyörimiskulmanopeus, ja alkuvaiheen ollessa yhtä suuri kulmaan, jonka vektori muodostaa akselin kanssa alkuhetkellä.

Sanomasta seuraa, että harmoninen värähtely voidaan määrittää käyttämällä vektoria, jonka pituus on yhtä suuri kuin värähtelyn amplitudi, ja vektorin suunta muodostaa kulman x-akselin kanssa, joka on yhtä suuri kuin värähtelyn alkuvaihe. värähtely.

Harkitse kahden harmonisen värähtelyn lisäämistä samaan suuntaan ja samalla taajuudella. Värähtelevän kappaleen siirtymä x on siirtymien summa, joka kirjoitetaan seuraavasti:

Esitetään molemmat vaihtelut vektorien avulla (kuva 55.2). Muodostetaan saatu vektori a vektorien yhteenlaskennan sääntöjen mukaan.

On helppo nähdä, että tämän vektorin projektio x-akselilla on yhtä suuri kuin vektorien termien projektioiden summa:

Siksi vektori a edustaa tuloksena olevaa värähtelyä. Tämä vektori pyörii samalla kulmanopeudella kuin vektorit niin, että tuloksena oleva liike on harmoninen värähtely, jonka taajuusamplitudi on a ja alkuvaihe a. Rakentamisesta käy selvästi ilmi

Joten harmonisten värähtelyjen esittäminen vektoreilla mahdollistaa useiden värähtelyjen lisäämisen vähentämisen vektorien yhteenlaskuoperaatioon. Tämä tekniikka on erityisen hyödyllinen esimerkiksi optiikassa, jossa valovärähtelyt tietyssä pisteessä määritellään useiden tiettyyn pisteeseen tulevien värähtelyjen superpositiosta aaltorintaman eri osista.

Kaavat (55.2) ja (55.3) voidaan tietysti saada lisäämällä lausekkeita (55.1) ja suorittamalla vastaavat trigonometriset muunnokset. Mutta tapa, jolla olemme saaneet nämä kaavat, on yksinkertaisempi ja selkeämpi.

Analysoidaan lauseke (55.2) amplitudille. Jos molempien värähtelyjen vaihe-ero on nolla, tuloksena olevan värähtelyn amplitudi on yhtä suuri kuin a ja . Jos vaihe-ero on yhtä suuri tai , eli molemmat värähtelyt ovat vastavaiheessa, niin tuloksena olevan värähtelyn amplitudi on yhtä suuri kuin

Jos värähtelytaajuudet eivät ole samat, vektorit a ja pyörivät eri nopeuksilla. Tässä tapauksessa tuloksena oleva vektori a sykkii suuruudeltaan ja pyörii ei-vakionopeudella. Näin ollen tuloksena oleva liike ei tässä tapauksessa ole harmoninen värähtely, vaan jokin monimutkainen värähtelyprosessi.