Oppitunti: Kuinka rakentaa paraabeli tai neliöfunktio?

TEOREETTINEN OSA

Paraabeli on funktion kuvaaja, joka kuvataan kaavalla ax 2 +bx+c=0.
Paraabelin rakentamiseksi sinun on noudatettava yksinkertaista algoritmia:

1) Paraabelikaava y=ax 2 +bx+c,
Jos a>0 sitten paraabelin haarat suunnataan ylös,
muuten paraabelin haarat ovat suunnattuja alas.
Vapaa jäsen c tämä piste leikkaa paraabelin OY-akselin kanssa;

2), se löydetään käyttämällä kaavaa x=(-b)/2a, korvaamme löydetyn x:n paraabeliyhtälöön ja löydämme y;

3)Toimintojen nollia tai toisin sanoen paraabelin ja OX-akselin leikkauspisteet, niitä kutsutaan myös yhtälön juuriksi. Juurien löytämiseksi rinnastamme yhtälön 0:aan ax 2 +bx+c=0;

Yhtälötyypit:

a) Täydellä toisen asteen yhtälöllä on muoto ax 2 +bx+c=0 ja sen ratkaisee diskriminantti;
b) Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö ax 2 +bx=0. Sen ratkaisemiseksi sinun on poistettava x suluista ja laskettava jokainen tekijä nollaan:
ax 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 ja ax+b=0;
c) Muodon epätäydellinen toisen asteen yhtälö ax 2 +c=0. Sen ratkaisemiseksi sinun on siirrettävä tuntemattomat toiselle puolelle ja tunnetut toiselle puolelle. x =±√(c/a);

4) Etsi useita lisäpisteitä funktion muodostamiseksi.

KÄYTÄNNÖN OSA

Joten nyt, esimerkin avulla, analysoimme kaiken askel askeleelta:
Esimerkki 1:
y=x 2 +4x+3
c=3 tarkoittaa, että paraabeli leikkaa OY:n pisteessä x=0 y=3. Paraabelin haarat näyttävät ylöspäin, koska a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 kärki on pisteessä (-2;-1)
Etsitään yhtälön x 2 +4x+3=0 juuret
Diskriminanttia käyttämällä löydämme juuret
a=1 b=4 c=3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Otetaan useita mielivaltaisia ​​pisteitä, jotka sijaitsevat lähellä kärkeä x = -2

x -4 -3 -1 0
v 3 0 0 3

Korvaa x:n sijaan yhtälöön y=x 2 +4x+3 arvot
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Funktioarvoista voidaan nähdä, että paraabeli on symmetrinen suoran x = -2 suhteen

Esimerkki 2:
y=-x 2 +4x
c=0 tarkoittaa, että paraabeli leikkaa OY:n pisteessä x=0 y=0. Paraabelin haarat katsovat alaspäin, koska a=-1 -1 Etsitään yhtälön -x 2 +4x=0 juuret
Epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 +bx=0. Sen ratkaisemiseksi sinun on poistettava x suluista ja laskettava jokainen tekijä nollaksi.
x(-x+4)=0, x=0 ja x=4.

Otetaan useita mielivaltaisia ​​pisteitä, jotka sijaitsevat lähellä kärkeä x=2
x 0 1 3 4
v 0 3 3 0
Korvaa x:n sijaan yhtälöön y=-x 2 +4x arvot
y=0 2 +4*0=0
y=-(1)2 +4*1=-1+4=3
y=-(3)2 +4*3=-9+13=3
y=-(4)2 +4*4=-16+16=0
Funktioarvoista voidaan nähdä, että paraabeli on symmetrinen suoran x = 2 suhteen

Esimerkki nro 3
y = x 2 -4
c=4 tarkoittaa, että paraabeli leikkaa OY:n pisteessä x=0 y=4. Paraabelin haarat näyttävät ylöspäin, koska a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 kärki on pisteessä (0;- 4)
Etsitään yhtälön x 2 -4=0 juuret
Epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 +c=0. Sen ratkaisemiseksi sinun on siirrettävä tuntemattomat toiselle puolelle ja tunnetut toiselle puolelle. x =±√(c/a)
x 2 = 4
x 1 =2
x 2 = -2

Otetaan useita mielivaltaisia ​​pisteitä, jotka sijaitsevat lähellä kärkeä x=0
x -2 -1 1 2
v 0 -3 -3 0
Korvaa x:n sijaan yhtälö y= x 2 -4 arvoa
y = (-2) 2 -4 = 4-4 = 0
y=(-1)2-4=1-4=-3
y = 1 2 - 4 = 1 - 4 = -3
y = 2 2 - 4 = 4 - 4 = 0
Funktioarvoista voidaan nähdä, että paraabeli on symmetrinen suoran x = 0 suhteen

Tilaa YOUTUBE-kanavalle pysyä ajan tasalla kaikista uusista tuotteista ja valmistautua kokeisiin kanssamme.

Kuten käytäntö osoittaa, neliöfunktion ominaisuuksien ja kaavioiden tehtävät aiheuttavat vakavia vaikeuksia. Tämä on melko outoa, koska he tutkivat toisen asteen funktiota 8. luokalla, ja sitten koko 9. luokan ensimmäisen neljänneksen "piinaavat" paraabelin ominaisuuksia ja rakentavat sen kuvaajia eri parametreille.

Tämä johtuu siitä, että kun opiskelijat pakotetaan rakentamaan paraabeleja, he eivät käytännössä käytä aikaa kaavioiden "lukemiseen", eli he eivät harjoittele kuvasta saadun tiedon ymmärtämistä. Ilmeisesti oletetaan, että tusinan tai kahden graafin rakentamisen jälkeen älykäs opiskelija itse löytää ja muotoilee kaavan kertoimien ja graafin ulkoasun välisen suhteen. Käytännössä tämä ei toimi. Tällaista yleistystä varten tarvitaan vakavaa kokemusta matemaattisesta minitutkimuksesta, jota useimmilla yhdeksäsluokkalaisilla ei tietenkään ole. Sillä välin Valtiontarkastusvirasto ehdottaa, että kertoimien etumerkit määritetään aikataulun avulla.

Emme vaadi koululaisilta mahdotonta ja tarjoamme vain yhden algoritmeista tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi.

Siis muodon funktio y = ax 2 + bx + c neliöllinen, sen graafi on paraabeli. Kuten nimestä voi päätellä, päätermi on kirves 2. Tuo on A ei saa olla nolla, loput kertoimet ( b Ja Kanssa) voi olla nolla.

Katsotaan kuinka sen kertoimien merkit vaikuttavat paraabelin ulkonäköön.

Kertoimen yksinkertaisin riippuvuus A. Useimmat koululaiset vastaavat luottavaisesti: "jos A> 0, silloin paraabelin haarat ovat ylöspäin, ja jos A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5 x 2 - 3 x + 1

Tässä tapauksessa A = 0,5

Ja nyt A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Tässä tapauksessa A = - 0,5

Kertoimen vaikutus Kanssa Sitä on myös melko helppo seurata. Kuvitellaan, että haluamme löytää funktion arvon pisteessä X= 0. Korvaa nolla kaavaan:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Siitä käy ilmi y = c. Tuo on Kanssa on paraabelin ja y-akselin leikkauspisteen ordinaatta. Yleensä tämä piste on helppo löytää kaaviosta. Ja määrittää, onko se nollan yläpuolella vai alapuolella. Tuo on Kanssa> 0 tai Kanssa < 0.

Kanssa > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Kanssa < 0

y = x 2 + 4x - 3

Vastaavasti jos Kanssa= 0, silloin paraabeli kulkee välttämättä origon kautta:

y = x 2 + 4x

Vaikeampaa parametrin kanssa b. Se, missä kohtaa sen löydämme, ei riipu pelkästään b mutta myös alkaen A. Tämä on paraabelin huippu. Sen abskissa (akselikoordinaatti X) löytyy kaavalla x in = - b/(2a). Täten, b = - 2ax tuumaa. Eli etenemme seuraavasti: etsimme graafista paraabelin kärjen, määritämme sen abskissan etumerkin, eli katsomme nollan oikealle ( x sisään> 0) tai vasemmalle ( x sisään < 0) она лежит.

Siinä ei kuitenkaan vielä kaikki. Meidän on myös kiinnitettävä huomiota kertoimen etumerkkiin A. Eli katso, mihin paraabelin haarat on suunnattu. Ja vasta sen jälkeen kaavan mukaan b = - 2ax tuumaa määritä merkki b.

Katsotaanpa esimerkkiä:

Oksat on suunnattu ylöspäin, mikä tarkoittaa A> 0, paraabeli leikkaa akselin klo alle nollan, eli Kanssa < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x sisään> 0. Joten b = - 2ax tuumaa = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Kanssa < 0.

Algebran tuntimuistiinpanot lukion 8. luokalle

Oppitunnin aihe: Toiminto

Oppitunnin tarkoitus:

· Koulutuksellinen: määritellä muodon toisen asteen funktion käsite (vertaa funktioiden ja kaavioita), näyttää kaava paraabelin kärjen koordinaattien löytämiseksi (opeta soveltamaan tätä kaavaa käytännössä); kehittää kykyä määrittää toisen asteen funktion ominaisuuksia kuvaajasta (symmetria-akselin löytäminen, paraabelin kärjen koordinaatit, kuvaajan ja koordinaattiakselien leikkauspisteiden koordinaatit).

· Kehittäviä: matemaattisen puheen kehittyminen, kyky ilmaista ajatuksiaan oikein, johdonmukaisesti ja rationaalisesti; kehittää taitoa kirjoittaa oikein matemaattista tekstiä käyttämällä symboleja ja merkintöjä; analyyttisen ajattelun kehittäminen; opiskelijoiden kognitiivisen toiminnan kehittäminen kyvyn kautta analysoida, systematisoida ja yleistää materiaalia.

· Koulutuksellinen: edistää itsenäisyyttä, kykyä kuunnella muita, kehittää tarkkuutta ja tarkkaavaisuutta kirjallisessa matemaattisessa puheessa.

Oppitunnin tyyppi: uuden materiaalin oppiminen.

Opetusmenetelmät:

yleinen lisääntyminen, induktiivinen heuristinen.

Vaatimukset opiskelijoiden tiedoille ja taidoille

tietää mikä on muodon neliöfunktio, kaava paraabelin kärjen koordinaattien löytämiseksi; osaa löytää paraabelin kärjen koordinaatit, funktion kuvaajan ja koordinaattiakseleiden leikkauspisteiden koordinaatit ja käyttää funktion kuvaajaa toisen asteen funktion ominaisuuksien määrittämiseen.

Laitteet:

Tuntisuunnitelma

I. Organisaatiohetki (1-2 min)

II. Tietojen päivittäminen (10 min)

III. Uuden materiaalin esittely (15 min)

IV. Uuden materiaalin yhdistäminen (12 min)

V. Yhteenveto (3 min)

VI. Kotitehtävä (2 min)

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki

Tervehtiminen, poissa olevien tarkistaminen, muistikirjojen kerääminen.

II. Tietojen päivittäminen

Opettaja: Tämän päivän oppitunnilla tutkimme uutta aihetta: "Function". Mutta ensin toistetaan aiemmin tutkittu materiaali.

Etututkimus:

1) Mitä kutsutaan neliöfunktioksi? (Funktiota, jossa annetut reaaliluvut, , on reaalimuuttuja, kutsutaan neliöfunktioksi.)

2) Mikä on toisen asteen funktion kuvaaja? (Neliöfunktion kuvaaja on paraabeli.)

3) Mitkä ovat toisen asteen funktion nollat? (Neliöfunktion nollat ​​ovat arvoja, joissa se muuttuu nollaksi.)

4) Listaa funktion ominaisuudet. (Funktion arvot ovat positiivisia pisteessä ja samat kuin nolla; funktion kuvaaja on symmetrinen ordinaattisten akseleiden suhteen; at - funktio kasvaa, at - pienenee.)

5) Listaa funktion ominaisuudet. (Jos , niin funktio saa positiiviset arvot kohdassa , jos , niin funktio saa negatiiviset arvot kohdassa , funktion arvo on vain 0; paraabeli on symmetrinen ordinaatta-akselin suhteen; jos , niin funktio kasvaa kohdassa ja pienenee kohdassa , jos , niin funktio kasvaa kohdassa , pienenee - kohdassa .)

III. Uuden materiaalin esittely

Opettaja: Aloitetaan uuden materiaalin oppiminen. Avaa muistikirjasi, kirjoita ylös oppitunnin päivämäärä ja aihe. Kiinnitä huomiota tauluun.

Kirjoittaminen taululle: Numero.

Toiminto.

Opettaja: Taululla näet kaksi funktiokaaviota. Ensimmäinen kaavio ja toinen. Yritetään verrata niitä.

Tiedät funktion ominaisuudet. Niiden perusteella ja vertailemalla kaavioita voimme korostaa funktion ominaisuuksia.

Joten mikä luulet määrittävän paraabelin haarojen suunnan?

Opiskelijat: Molempien paraabelien haarojen suunta riippuu kertoimesta.

Opettaja: Aivan oikeassa. Voit myös huomata, että molemmilla paraboleilla on symmetria-akseli. Mikä on funktion ensimmäisessä kaaviossa symmetria-akseli?

Opiskelijat: Paraabelin symmetria-akseli on ordinaatta-akseli.

Opettaja: Oikein. Mikä on paraabelin symmetria-akseli?

Opiskelijat: Paraabelin symmetria-akseli on viiva, joka kulkee paraabelin kärjen läpi, yhdensuuntainen ordinaatta-akselin kanssa.

Opettaja: Aivan. Joten funktion kaavion symmetria-akselia kutsutaan suoraksi viivaksi, joka kulkee paraabelin kärjen kautta, yhdensuuntainen ordinaatta-akselin kanssa.

Ja paraabelin kärki on piste, jolla on koordinaatit. Ne määritetään kaavalla:

Kirjoita kaava vihkoon ja ympyröi se kehykseen.

Kirjoittaminen taululle ja muistivihkoon

Paraabelin kärjen koordinaatit.

Opettaja: Tarkastellaanpa nyt esimerkkiä, jotta asia olisi selvempi.

Esimerkki 1: Etsi paraabelin kärjen koordinaatit.

Ratkaisu: Kaavan mukaan

Opettaja: Kuten olemme jo todenneet, symmetria-akseli kulkee paraabelin kärjen kautta. Katso taulua. Piirrä tämä kuva muistikirjaasi.

Kirjoita taululle ja muistivihkoon:

Opettaja: Piirustuksessa: - paraabelin symmetria-akselin yhtälö kärjen kanssa kohdassa, jossa abskissa on paraabelin kärki.

Katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki 2: Määritä paraabelin symmetria-akselin yhtälö käyttämällä funktion kuvaajaa.

Symmetria-akselin yhtälö on muotoa: , mikä tarkoittaa, että tämän paraabelin symmetria-akselin yhtälö on .

Vastaus: - symmetria-akselin yhtälö.

IV Uuden materiaalin yhdistäminen

Opettaja: Tehtävät, jotka on ratkaistava luokassa, kirjoitetaan taululle.

Kirjoittaminen taululle: № 609(3), 612(1), 613(3)

Opettaja: Mutta ensin ratkaistaan ​​esimerkki, joka ei ole oppikirjasta. Päätetään hallituksessa.

Esimerkki 1: Etsi paraabelin kärjen koordinaatit

Ratkaisu: Kaavan mukaan

Vastaus: paraabelin kärjen koordinaatit.

Esimerkki 2: Etsi paraabelin leikkauspisteiden koordinaatit koordinaattiakseleilla.

Ratkaisu: 1) akselilla:

Nuo.

Vietan lauseen mukaan:

Leikkauspisteet x-akselin kanssa ovat (1;0) ja (2;0).

2) akselilla:

Leikkauspiste ordinaatta-akselin kanssa (0;2).

Vastaus: (1;0), (2;0), (0;2) – koordinaattien leikkauspisteiden koordinaatit.

nro 609(3). Etsi paraabelin kärjen koordinaatit

Neliöfunktion kertoimien arvojen määrittäminen kaaviosta.

Metodologinen kehitys, Sagnaeva A.M.

MBOU lukio nro 44, Surgut, Hanti-Mansi autonominen piirikunta-Yugra .

Ι. Kertoimen löytäminen A

• Paraabelin kuvaajalla määritetään kärjen koordinaatit (m,n)

2. Paraabelin kuvaajalla määritetään minkä tahansa pisteen A koordinaatit (X 1 ;y 1 )

3. Korvaamme nämä arvot toisessa muodossa määritellyn toisen asteen funktion kaavaan:

y = a(x-m)2+n

4. ratkaise tuloksena oleva yhtälö.

vai niin 1 ;y 1 )

paraabeli

ΙΙ. Kertoimen löytäminen b

1. Ensin selvitetään kertoimen arvo a

2. Paraabelin abskissan kaavassa m = -b/2a korvaa arvot m Ja a

3. Laske kertoimen arvo b .

vai niin 1 ;y 1 )

paraabeli

ΙΙΙ. Kertoimen löytäminen c

1. Löydämme paraabelikuvaajan leikkauspisteen ordinaatin Oy-akselin kanssa, tämä arvo on yhtä suuri kuin kerroin Kanssa, eli piste (0;s)-paraabelikuvaajan leikkauspiste Oy-akselin kanssa.

2. Jos kuvaajasta on mahdotonta löytää paraabelin leikkauspistettä Oy-akselin kanssa, niin etsitään kertoimet a,b

(katso vaiheet Ι, ΙΙ)

3. Korvaa löydetyt arvot a, b ,A(x 1; klo 1 ) yhtälöön

y = kirves 2 +bx+c ja löydämme Kanssa.

vai niin 1 ;y 1 )

paraabeli

Tehtävät

vihje

Ιx 2 Ι ja x 1 0, koska a Paraabelin ja OY-akselin leikkauspisteen ordinaatta on kerroin c Vastaus: 5 c x 1 x 2 "width="640"

• Paraabelin haarat on suunnattu alaspäin,

• Juureilla on eri merkit, Ι x 1 ΙΙх 2 Ι ja x 1 0, koska a
• Paraabelin ja OY-akselin leikkauspisteen ordinaatta on kerroin Kanssa

X 1

X 2

P Vihje

0 x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0. Vastaus: 5 "width="640"

1.Paraabelin haarat on suunnattu alaspäin, mikä tarkoittaa a

• x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0.

0 koska paraabelin oksat on suunnattu ylöspäin; 2. c=y(0)3. Paraabelin kärjellä on positiivinen abskissa: tässä tapauksessa a on 0, joten b4. D0, koska paraabeli leikkaa OX-akselin kahdessa eri pisteessä. "width="640"

Kuvassa on funktion y=ax kaavio 2 +bx+c. Ilmoita kertoimien a, b, c ja diskriminantin D etumerkit.

Ratkaisu:

1. a0, koska paraabelin oksat on suunnattu ylöspäin;

3. Paraabelin kärjellä on positiivinen abskissa:

tässä tapauksessa a 0, joten b

4. D0, koska paraabeli leikkaa OX-akselin kahdessa eri pisteessä.

Kuvassa on paraabeli

Määritä arvot k Ja t .

Etsi paraabelin kärjen koordinaatit ja kirjoita funktio, jonka graafi näkyy kuvassa.

Etsi missä ovat leikkauspisteiden abskissat

paraabelit ja vaakasuorat suorat (katso kuva).

Esitys "Funktion y=ax 2, sen kaavio ja ominaisuudet" on visuaalinen apuväline, joka on luotu opettajan selityksen ohella tästä aiheesta. Tässä esityksessä käsitellään yksityiskohtaisesti toisen asteen funktiota, sen ominaisuuksia, piirtämisen ominaisuuksia sekä fysiikan tehtävien ratkaisumenetelmien käytännön soveltamista.

Tämä materiaali tarjoaa suuren selkeyden ja auttaa opettajaa lisäämään opetuksen tehokkuutta ja antaa mahdollisuuden jakaa rationaalisesti aikaa oppitunnilla. Animaatiotehosteilla, käsitteiden ja tärkeiden kohtien korostamalla väreillä opiskelijoiden huomio keskittyy opittavaan aiheeseen ja määritelmien ja päättelyn kulku on parempi muistaa ongelmia ratkaistaessa.

Esitys alkaa esityksen otsikon ja toisen asteen funktion käsitteen esittelyllä. Tämän aiheen tärkeyttä korostetaan. Opiskelijoita pyydetään muistamaan toisen asteen funktion määritelmä funktionaalisena riippuvuutena muodossa y=ax 2 +bx+c, jossa on riippumaton muuttuja ja ovat lukuja, joiden a≠0. Diassa 4 on erikseen huomioitu, että tämän funktion määrittelyalue on koko reaaliarvojen akseli. Perinteisesti tätä lausetta merkitään D(x)=R.

Esimerkki neliöfunktiosta on sen tärkeä sovellus fysiikassa - kaava polun riippuvuudelle tasaisesti kiihdytetyn liikkeen aikana. Samaan aikaan fysiikan tunneilla opiskelijat opiskelevat kaavoja erityyppisille liikkeille, joten he tarvitsevat kykyä ratkaista tällaisia ​​​​ongelmia. Dialla 5 oppilaita muistutetaan siitä, että kun kappale liikkuu kiihtyvällä tahdilla ja ajan alussa kuljettu matka ja liikkeen nopeus ovat tiedossa, niin liikettä edustava toiminnallinen riippuvuus ilmaistaan ​​kaavalla S = (at 2)/2+v0 t+S0. Alla on esimerkki tämän kaavan muuttamisesta annetuksi neliöfunktioksi, jos kiihtyvyyden arvot = 8, alkunopeus = 3 ja alkupolku = 18. Tässä tapauksessa funktio saa muotoa S=4t 2 +3t+18.

Dia 6 tarkastelee neliöfunktion y=ax 2 muotoa, jossa se on esitetty. Jos =1, niin toisen asteen funktio on muotoa y=x 2. On huomattava, että tämän funktion kuvaaja on paraabeli.

Esityksen seuraava osa on omistettu toisen asteen funktion piirtämiselle. On ehdotettu harkita funktion y=3x 2 piirtämistä. Ensinnäkin taulukko osoittaa funktioarvojen ja argumenttiarvojen välisen vastaavuuden. On huomattava, että ero funktion y=3x 2 muodostetun graafin ja funktion y=x 2 graafin välillä on, että jokainen arvo on kolme kertaa suurempi kuin vastaava. Tämä ero näkyy hyvin taulukkonäkymässä. Lähistöllä graafisessa esityksessä ero paraabelin kapenemisessa näkyy myös selvästi.

Seuraavassa diassa tarkastellaan neliöfunktion y=1/3 x 2 piirtämistä. Kuvaajan muodostamiseksi sinun on ilmoitettava taulukossa funktion arvot useissa sen kohdissa. On huomattava, että funktion y=1/3 x 2 jokainen arvo on 3 kertaa pienempi kuin funktion y=x 2 vastaava arvo. Tämä ero näkyy taulukon lisäksi selvästi kaaviossa. Sen paraabeli on laajempi suhteessa ordinaattiseen akseliin kuin funktion y=x 2 paraabeli.

Esimerkit auttavat ymmärtämään yleissääntöä, jonka mukaan voit yksinkertaisemmin ja nopeammin rakentaa vastaavat kaaviot. Dialla 9 on korostettu erillinen sääntö, että toisen asteen funktion y=ax 2 kuvaaja voidaan rakentaa kertoimen arvosta riippuen vetämällä tai kaventaa kuvaajaa. Jos a>1, niin kuvaaja ulottuu x-akselilta kertoimella. Jos 0

Johtopäätös funktioiden y=ax 2 ja y=-ax2 (asteessa ≠0) kaavioiden symmetriasta suhteessa abskissa-akseliin on korostettu erikseen diassa 12 muistamista varten ja näkyy selvästi vastaavassa kaaviossa. Seuraavaksi toisen asteen funktion y=x 2 graafin käsite laajenee funktion y=ax 2 yleisempään tapaukseen, jossa todetaan, että tällaista kuvaajaa kutsutaan myös paraabeliksi.

Dia 14 käsittelee neliöfunktion y=ax 2 ominaisuuksia, kun se on positiivinen. On huomattava, että sen kuvaaja kulkee origon läpi ja kaikki pisteet paitsi sijaitsevat ylemmässä puolitasossa. Kuvaajan symmetria suhteessa ordinaattiseen akseliin on huomioitu, mikä täsmentää, että argumentin vastakkaiset arvot vastaavat samoja funktioarvoja. Osoitetaan, että tämän funktion pienenemisväli on (-∞;0] ja funktion lisäys suoritetaan välille. Tämän funktion arvot kattavat koko reaaliakselin positiivisen osan, se on sama kuin nolla pisteessä, eikä sillä ole suurinta arvoa.

Dia 15 kuvaa funktion y=ax 2 ominaisuuksia, jos se on negatiivinen. On huomattava, että sen kuvaaja kulkee myös origon kautta, mutta kaikki sen pisteet, paitsi ovat alemmassa puolitasossa. Kaavio on symmetrinen akselin suhteen, ja argumentin vastakkaiset arvot vastaavat funktion yhtäläisiä arvoja. Toiminto kasvaa intervallin mukaan ja pienenee. Tämän funktion arvot ovat välissä, se on nolla jossakin pisteessä, eikä sillä ole minimiarvoa.

Yhteenvetona tarkasteltavat ominaisuudet, dialla 16 päätellään, että paraabelin haarat on suunnattu alaspäin ja ylöspäin kohti. Paraabeli on symmetrinen akselin suhteen ja paraabelin kärkipiste sijaitsee sen leikkauspisteessä akselin kanssa. Paraabelin y=ax 2 kärki on origo.

Myös tärkeä johtopäätös paraabelimuunnoksista näkyy diassa 17. Se esittelee vaihtoehtoja toisen asteen funktion graafin muuntamiseen. On huomattava, että funktion y=ax 2 kuvaaja muunnetaan näyttämällä kuvaaja symmetrisesti suhteessa akseliin. On myös mahdollista pakata tai venyttää kuvaajaa suhteessa akseliin.

Viimeinen dia tekee yleisiä johtopäätöksiä funktion graafin muunnoksista. Johtopäätökset esitetään, että funktion kuvaaja saadaan symmetrisellä muunnoksella akselin ympäri. Ja funktion kuvaaja saadaan puristamalla tai venyttämällä alkuperäistä kuvaajaa akselilta. Tässä tapauksessa vetovenymä akselilta havaitaan siinä tapauksessa, kun. Pakkaamalla akselia 1/a-kertaisesti kaavio muodostuu tapauksessa.

Esitystä ”Funktion y=ax 2, sen kaavio ja ominaisuudet” opettaja voi käyttää visuaalisena apuvälineenä algebran oppitunnilla. Myös tämä käsikirja kattaa aiheen hyvin ja antaa syvällisen käsityksen aiheesta, joten se voidaan tarjota opiskelijoille itsenäiseen opiskeluun. Tämä materiaali auttaa myös opettajaa selittämään etäopetuksen aikana.