Chuvashin tasavallan opetus- ja nuorisopolitiikan ministeriö
Chuvashin tasavallan autonominen laitos
"Tsivilskyn maatalous- ja teknologinen korkeakoulu"
Suunta - fysikaalinen ja matemaattinen sekä tietotekniikka
Tutkimus:
Neliötrinomin juurten sijainti
Työ valmiina:
1. vuoden opiskelija gr.14 B
erikoisuus "taloustiede"
Valvoja:
Eshmeykin
Irina Anatolievna,
matematiikan opettaja
Tsivilsk 2012
1. Esittely.
2. Teoreettinen osa
2.1. Neliötrinomin juurien sijainti.
2.2. Kymmenen sääntöä neliötrinomin juurien sijainnille
3. Käytännön osa
3.1. Esimerkkejä ongelmanratkaisusta
3.2. Juurien sijainti suhteessa yhteen pisteeseen.
3.3. Juurien sijainti suhteessa kahteen tai useampaan pisteeseen.
4. Johtopäätökset.
5. Käytetty kirjallisuus.
6. Sovellukset
Johdanto
Relevanssi: matematiikan GIA:n (osa 2) ja yksityiskohtaisen vastauksen USE:n tehtävissä (osa C) on tehtäviä, joiden parametrit aiheuttavat usein suuria vaikeuksia opiskelijoille. Lisäksi opiskelijat kokevat usein psykologisia ongelmia, he pelkäävät tällaisia tehtäviä, koska koulussa ja teknillisessä koulussa he eivät ratkaise parametreja sisältäviä ongelmia.
Vaikeudet parametrien ongelmien ratkaisemisessa johtuvat siitä, että parametrin olemassaolo pakottaa meidät ratkaisemaan ongelmaa ei mallin mukaan, vaan pohtimaan erilaisia tapauksia, joissa kussakin ratkaisumenetelmät eroavat merkittävästi toisistaan.
Monet parametreihin liittyvät ongelmat rajoittuvat neliötrinomin juurien sijainnin tutkimiseen suhteessa tiettyyn pisteeseen tai tiettyyn väliin (segmentti, väli, säde).
Työn tarkoitus: tutkia neliötrinomin juurien sijaintia suhteessa tiettyyn pisteeseen tai väliin.
Kerää materiaalia tästä aiheesta. Harkitse neliötrinomin juurien sijainnin sääntöjä. Ratkaise tehtäviä käyttämällä neliötrinomin juurien sijaintisääntöjä.
Tutkimuskohde: neliötrinomi ja sen juurten sijainti.
1. Haku - kollektiivinen.
Käytännön merkitys: tämä materiaali auttaa opiskelijoita, jotka haluavat jatkaa opintojaan yliopistossa tenttiin valmistautumisessa.
Teoreettinen osa
2.1. Neliötrinomin juurten sijainti
Monet parametreihin liittyvät ongelmat rajoittuvat neliötrinomin juurien sijainnin tutkimiseen suhteessa tiettyyn pisteeseen tai tiettyyn väliin:
Millä parametrin arvoilla toisen asteen yhtälön juuret (tai juuri) ovat suuremmat (vähemmän, ei enempää, ei vähemmän) annetusta numerosta; sijaitsee kahden annetun numeron välissä; eivät kuulu annettuihin aikaväleihin jne., jne.
Toisen funktion y \u003d ax² + in + c kaaviolla on seuraavat paikat suhteessa x-akseliin.
https://pandia.ru/text/78/376/images/image002_6.jpg" align="right hspace=12" width="196" height="202"> Neliöyhtälö x²+px+q=0 vai ei sillä on ratkaisu (muotoa D oleva paraabeli), tai sillä on yksi tai kaksi positiivista juuria (C), tai yksi tai kaksi negatiivista juurta (A), tai sillä on erimerkkiset juuret (B).
Analysoidaan paraabelia C. Jotta yhtälöllä olisi juuret, on välttämätöntä, että diskriminantti D ≥ 0. Koska yhtälön molempien juurien tulee olla konstruktion mukaan positiivisia, paraabelin kärjen abskissa, joka sijaitsee välillä juuret, on positiivinen, xb > 0.
Huippupisteen ordinaatta f(xv) ≤ 0 johtuen siitä, että vaadimme juurien olemassaoloa.
Jos vaaditaan ehto f(0) > 0, niin tutkittavan funktion jatkuvuudesta johtuen on olemassa piste x1(0;xb), jossa f(x1) = 0. Ilmeisesti tämä on pienempi juuri yhtälöstä. Joten, kun kerätään kaikki ehdot yhteen, saadaan: Neliöyhtälöllä x² + px + q \u003d 0 on kaksi juuria, jotka voivat olla kerrannaisia x1, x2>
Väittelemällä samalla tavalla, johdamme seuraavat säännöt neliötrinomin juurien sijainnille.
2.2. Kymmenen sääntöä neliötrinomin juurien sijainnille
Sääntö 1 Neliöyhtälöllä ax2 + bx + c = 0 (a ≠ ei ole ratkaisuja silloin
ja vasta kun D< 0.
Sääntö 2.1. Neliöyhtälöllä (1) on kaksi eri juuria silloin ja vain jos
kun D > 0.
Sääntö 2.2. Toisen asteen yhtälöllä (1) on kaksi, ehkä useita juuria, sitten ja
vain kun D ≥ 0.
Sääntö 3.1. Neliöyhtälöllä (1) on kaksi juurta x1< М и х2 >M sitten ja vain
https://pandia.ru/text/78/376/images/image007_15.gif" align="left" width="74 height=42" height="42"> 
vasta kun
Sääntö 4.1. Neliöyhtälössä x2 + px + q = 0, kun a ≠ 0) on kaksi
eri juuret x1, x2 > M jos ja vain jos
missä =
Sääntö 4.2. Toisen asteen yhtälöllä on kaksi mahdollista monijuurta
x1, x2 > M jos ja vain jos
Sääntö 4.3. Neliöyhtälöllä on kaksi eri juuria x1, x2 ≥ M sitten ja
vasta kun
https://pandia.ru/text/78/376/images/image018_3.gif" width="162" height="74 src=">
Sääntö 4.4. Toisen asteen yhtälöllä on 2, ja se voi olla useita juuria
x1, x2 ≥ M jos ja vain jos
https://pandia.ru/text/78/376/images/image020_2.gif" width="166" height="74 src=">
Sääntö 5.1. Toisen asteen yhtälöllä on 2 eri juuria x1, x2< М тогда и
vasta kun
Sääntö 6.1. < N < M < х2 тогда и
vasta kun
https://pandia.ru/text/78/376/images/image026_1.gif" width="137 height=48" height="48">
Sääntö 6.2. Toisen yhtälön juuret ovat x1 = N< М < х2
jos ja vain jos
Sääntö 6.3. Toisen yhtälön juuret ovat x1< N < M = х2
jos ja vain jos
Sääntö 7.1. Toisen yhtälön juuret ovat x1< m < x2 < M тогда и только
Milloin sitten
https://pandia.ru/text/78/376/images/image032_0.gif" width="128 height=48" height="48"> 
Sääntö 7.2. Vastaanottaja toisen asteen yhtälöllä on juuret N< x1 < M < x2 тогда и только
Milloin sitten
Sääntö 8.1. N < x1 < x2 < M (может быть
N:n useita juuria< x1 ≤ x2 < M) тогда и только тогда, когда
https://pandia.ru/text/78/376/images/image039_1.gif" width="142" height="98"> 
Sääntö 8.3. Neliöyhtälöllä (1) on eri juuret N≤ x1< x2 ≤ M (может
olla N:n useita juuria< x1 ≤ x2 ≤ M) тогда и только тогда, когда
Sääntö 8.4. Neliöyhtälöllä (1) on eri juuret N ≤ x1< x2 ≤ M (может
olla useita juuria N ≤ x1 ≤ x2 ≤ M) jos ja vain jos
https://pandia.ru/text/78/376/images/image044_1.gif" width="144" height="98">
Sääntö 9 Neliöyhtälöllä on yksi juuri välin sisällä (N; M),
ja toinen sijaitsee tämän välin ulkopuolella jos ja vain jos
f(N) f(M)< 0.
Sääntö 10 Neliöyhtälöllä (1) on ainutlaatuinen ratkaisu x1 = x2 > M
(x1 = x2< М) тогда и только тогда, когда
Käytännön osa
3.1. Esimerkkejä ongelmanratkaisusta.
Esimerkki 1. Mille a:n arvoille yhtälö x² - 2ax + a² + 2a - 3 = 0
a) sillä ei ole juuria; b) sillä on eri merkkien juuret;
c) sillä on positiiviset juuret; d) sillä on kaksi erilaista negatiivista juurta?
Ratkaisu: a) Säännön 1 mukaan ratkaisuja ei ole, kun diskriminantti D = - 4(2a-3)< 0, откуда а > 3/2.
b) Säännön 3.1 mukaan kun М = 0 meillä on f(0)=a² + 2a - 3< 0, откуда а(-3;1).
c) Säännön 4.2 mukaan kun М=0
Missä .
d) Säännön 5.1 mukaan kun М=0
Missä< - 3.
3.2. Juurien sijainti suhteessa yhteen pisteeseen.
Esimerkki 2 Millä parametrin a arvoilla yhtälön x² + 2(a + 1) x + a² + a + 1 = 0 juuret ovat säteellä (-2; + ∞).
Tehdään ongelmasta graafinen analyysi. Tehtävän ehdon mukaan vain seuraavat kaksi tapausta funktion f (x) \u003d x² + 2 (a + 1) x + a² + a + 1 kaavion sijainnista suhteessa pisteeseen x \u003d -2 ovat mahdollisia.
xv \u003d - a - 1
Molemmat tapaukset kuvataan analyyttisesti ehdoilla
Tämä tarkoittaa, että 0 ≤ a< .
Esimerkki 3 . Etsi kaikki parametrin a arvot, joiden neliötrinomin x² + x + a juuret ovat erilliset eivätkä suurempia kuin a. (Liite 1)
3.3. Juurien sijainti suhteessa kahteen tai useampaan pisteeseen.
Esimerkki 4. Mille parametrin m arvoille yhtälön juuret x² - 2 mx + m² -1= 0 ovat lukujen -2 ja 4 välissä.
Yhtälön D = 4m² - 4m² + 4 = 4 diskriminantti on täydellinen neliö. Etsitään yhtälön juuret: x1 = m + 1, x2 = m - 1. Nämä juuret täyttävät annetun ehdon, jos
Vastaus: m(-1;3).
Esimerkki 5 Millä parametrin a arvoilla yhtälöllä 2x² + (a-4)x + a + 2 = 0 on eri juuret, jotka tyydyttävät epäyhtälön │x-1│>2. (Liite 2)
Neliöyhtälöiden ratkaisu parametreilla voidaan kirjoittaa kaavioksi neliötrinomin Ax² + Bx + C juurien sijaintiin liittyvien ongelmien tutkimiseksi.
Tapauksen A = 0 tutkiminen (jos se riippuu parametreista).
1. Diskriminantin D löytäminen tapauksessa A≠0.
2. Jos D on jonkin lausekkeen täysi neliö, niin juurien x1, x2 etsiminen ja niiden alistaminen tehtävän ehdoille.
3. Jos D:n neliöjuurta ei eroteta, niin tehtävän graafinen analyysi.
4. Analyyttinen kuvaus sopivista tapauksista paraabelin sijainnille, joissa seuraavat seikat otetaan huomioon:
Ø kertoimen etumerkki (arvo) kohdassa x²;
Ø erottajan merkki (arvo);
Ø neliöfunktion etumerkit (arvot) tutkittavissa pisteissä;
Ø paraabelin huipun sijainti suhteessa tutkittaviin pisteisiin.
4. Joidenkin epätasa-arvojen (systeemien) yhdistäminen.
5. Saatujen järjestelmien ratkaisu.
Löysin 10 sääntöä neliötrinomin juurien sijainnille. Ratkaistiin ongelmia juurien sijainnista suhteessa yhteen pisteeseen; juurten sijainti suhteessa kahteen tai useampaan pisteeseen.
Tekniikkojen hallussa ongelmien ratkaisemiseksi parametrien avulla voidaan pitää matematiikan pääosien, matemaattisen ja loogisen ajattelun tason sekä matemaattisen kulttuurin tuntemisen kriteeriä.
Viitteet
1. Mochalov ja epäyhtälöt parametrien kanssa / , .-
Cheboksary: Chuvash Publishing House. Yliopisto, 200-luku.
2. Kozhukhov, menetelmät parametrien ongelmien ratkaisemiseksi / // Matematiikka koulussa. - 1998. - Nro 6.
3. Viikoittainen koulutus- ja metodologinen liite sanomalehden "First of September" "Mathematics" nro 18, 2002
Liite 1
Esimerkki 3 . Etsi kaikki parametrin a arvot, joiden neliötrinomin x² + x + a juuret ovat erilliset eivätkä suurempia kuin a.
xv = -1/2
Etsi diskriminantti D = 1 - 4a. koska sitä ei pureta, ratkaistaan esimerkki graafisesti.
Tehdään graafinen analyysi. Koska funktion f(x) = x² + x + a juuret x1, x2 ovat erilaisia ja x1 ≤ a, x2 ≤ a, sen graafilla voi olla vain seuraavat paikat.
Kuvataanpa näitä kaavioita analyyttisesti.
https://pandia.ru/text/78/376/images/image062_1.gif" width="149" height="48">
Selvitetään, millä a yhtälön juuret ovat erilaiset, eli erottaja D = a²-16a on positiivinen ja joko molemmat ovat pienempiä kuin -1 tai molemmat ovat suurempia kuin 3 tai toinen niistä on pienempi kuin -1 , ja toinen on suurempi kuin 3. Näissä tapauksissa funktion f( x) \u003d 2x² + (a-4) x + a + 2 kaaviolla on seuraavat paikat:
Analyyttisesti nämä kaaviot kuvataan ehdoilla
Tehokkain työkalu monimutkaisten parametrien ongelmien ratkaisemiseen on Vietan lause. Mutta tässä sinun on oltava erittäin tarkkaavainen sanamuodon suhteen.
Nämä kaksi lausetta (suora ja käänteinen)
Lause Vieta
Jos yhtälöllä on juuret ja ; niin tasa-arvot täyttyvät.
Lauseen ominaisuudet:
Ensimmäinen
.
Lause pätee vain yhtälölle 
eikä pidä paikkaansa
Jälkimmäisessä tapauksessa sinun on ensin jaettava yhtälön molemmat osat nollasta poikkeavalla kertoimella a kohdassa x 2 ja sitten sovelletaan Vieta-lausetta.
Toinen. Lauseen tulosten käyttämiseksi tarvitaan yhtälöiden juurten olemassaolon tosiasia, ts. älä unohda asettaa ehtoa D>0
Käänteinen
Vietan lause
Jos on mielivaltaisia lukuja, niin ne ovat yhtälön juuret
Erittäin tärkeä huomautus, helpottaa ongelmanratkaisua: käänteinen lause takuita yhtälön juurten olemassaolo, mikä sallii sinun olla sotkematta diskriminantin kanssa. Se ei ole automaattisesti negatiivinen tässä tapauksessa.
| Edellytykset juurille | Ekvivalentti ehto kertoimille a, b, c ja diskriminantille D | |
| Juuret ovat olemassa (ja ovat erillisiä) | ||
Juuret ovat olemassa ja ovat tasa-arvoisia  |  |
|
| Juuret ovat olemassa ja |  |
|
| Juuret ovat olemassa ja |  |
|
| Juuret ovat olemassa ja ovat erilaisia |  |
|
| Juuret ovat olemassa, yksi juuri on nolla ja toinen on >0 |  |
yksi). Aseta, millä parametrin arvoilla yhtälö
Ei ole juuria.
Jos yhtälöllä ei ole juuria, on välttämätöntä ja riittävää, että diskriminantti
sillä on erilaiset positiiviset juuret.
Koska juuria on, niin jos ne ovat molemmat positiivisia, käytämme Vieta-kaavaa, niin tälle yhtälölle
⟹
Sillä on erilaisia negatiivisia juuria
Sillä on eri merkin juuret
Siinä on vastaavat juuret
2). Millä parametrin arvoilla a toisen asteen yhtälön molemmat juuret 
tulee olemaan positiivista?
Päätös.
Koska annettu yhtälö on neliöllinen, niin sen molemmat juuret (yhtä- tai eri) ovat positiivisia, jos diskriminantti on ei-negatiivinen ja juurten summa ja tulo ovat positiivisia, eli
Kuten, 
ja Vietan lauseen mukaan,
Sitten saamme epätasa-arvojärjestelmän
3). Etsi kaikki parametriarvot a 
ovat ei-positiivisia.
Koska annettu yhtälö on neliöllinen, niin . Sen molemmat juuret (saa tai eri) ovat negatiivisia tai yhtä suuria kuin nolla, jos diskriminantti on ei-negatiivinen, juurten summa on negatiivinen tai yhtä suuri kuin nolla ja juurten tulo on ei-negatiivinen, eli
ja Vietan lauseen mukaan
niin saamme epätasa-arvojärjestelmän.
missä
4) Millä parametrin arvoilla a 
yhtä suuri kuin 22,5?
Ensin tarjoamme "ratkaisun", johon olemme joutuneet näkemään useammin kuin kerran.
siltä osin kuin 
sitten saamme "vastauksen" kuitenkin löydetyllä arvolla a Alkuperäisellä yhtälöllä ei ole juuria.
Tässä ratkaisussa kohtasimme yhden "suosituimmista" Vieta-lauseen soveltamiseen liittyvistä virheistä:
puhua juurista saamatta ensin selvää, ovatko ne olemassa vai eivät.
Joten tässä esimerkissä oli ensinnäkin tarpeen vahvistaa, että vain silloin, kun alkuperäisellä yhtälöllä on juuret. Vasta sitten voidaan siirtyä yllä oleviin laskelmiin.
Vastaus: Sellaista a ei ole olemassa.
5). Yhtälön juuret ovat sellaiset 
Määritellä
Päätös. Vietan lauseen mukaan 
Neliötetään ensimmäisen yhtälön molemmat osat Kun tämä otetaan huomioon, ja saadaan tai Tarkastus osoittaa, että arvot täyttävät alkuperäisen yhtälön.
Vastaus:
6) Millä parametrin arvolla a yhtälön juurten neliöiden summa 
ottaa pienimmän arvon:
Etsi tämän yhtälön diskriminantti. Meillä on Tässä on tärkeää olla tekemättä virheellistä johtopäätöstä, että yhtälöllä on kaksi juuria mille tahansa a. sillä on oikeastaan kaksi juurta kaikelle muulle kuin hyväksyttävälle a, eli klo klo
Käytämme Vieta-lausetta
Siten vastauksen saamiseksi on vielä löydettävä neliöfunktion pienin arvo 
kuvauksissa 
Klo 
ja klo 
silloin määritetyn joukon funktio ottaa pienimmän arvon pisteessä
Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun
yksi). Etsi kaikki parametriarvot a, jolle toisen asteen yhtälön juuret
ei-negatiivinen
2). Laske lausekkeen arvo, missä ovat yhtälön juuret 
3). Etsi kaikki parametriarvot a, jolle yhtälön reaalijuurien neliöiden summa 
enemmän kuin 6.
Vastaus: 
4) Millä parametrin a arvoilla yhtälöllä ax 2 -4x + a \u003d 0 on:
a) positiiviset juuret
b) negatiiviset juuret
Neliöfunktion juurien sijainti suhteessa
annettuja pisteitä.
Tällaisille ongelmille seuraava muotoilu on tyypillinen: mille parametrin arvoille juuret (vain yksi juuri) ovat suuremmat (vähemmän, ei enempää, ei vähemmän) annetusta luvusta A; juuret sijaitsevat numeroiden A ja B välissä; juuret eivät kuulu väliin, jonka päät ovat pisteissä A ja B jne.
Kun ratkaistaan neliötrinomiin liittyviä tehtäviä
usein joudumme käsittelemään seuraavia vakiotilanteita (jotka muotoilemme "kysymyksen ja vastauksen" muodossa).
Kysymys 1. Annetaan numero (1) sen molemmat juuret ja lisää nuo. ?
Vastaus. Neliötrinomin kertoimet (7) täytyy täyttää ehdot
missä - paraabelin yläosan abskissa.
Sanon paikkansapitävyys seuraa kuvasta. 1, jossa esitetään erikseen tapaukset ja Huomaa, että kaksi ehtoa ja eivät vieläkään riitä juuret ja olla suurempi. 1 viiva näyttää paraabelin, joka täyttää nämä kaksi ehtoa, mutta sen juuret ovat pienemmät. Jos kuitenkin lisätään esitettyihin kahteen ehtoon, että paraabelin kärjen abskissa on suurempi, niin juuret ovat suurempia kuin
Kysymys 2. Annetaan numero Millä ehdoilla neliötrinomin kertoimilla (1) sen juuret ja makaa vastakkaisilla puolilla nuo. ?
Vastaus. neliötrinomikertoimet (1) on täytettävä ehto
Sanon paikkansapitävyys seuraa kuvasta. 2, jossa tapaukset ja esitetään erikseen Huomaa, että ilmoitettu ehto takaa kahden eri juuren ja neliötrinomin (1) olemassaolon.
Kysymys 3. Millä ehdoilla neliötrinomin kertoimilla (1) sen juuret ja ovat erilaisia ja vain yksi niistä on annetulla aikavälillä
Vastaus. Neliötrinomin kertoimet (1) täytyy täyttää ehto 
Kysymys 4. Millä ehdoilla neliötrinomin kertoimilla (1) sen juurten joukko ei ole tyhjä ja kaikki sen juuret ja olla annetulla aikavälillä nuo.
Vastaus. Neliötrinomin (1) kertoimien on täytettävä ehdot
Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi on hyödyllistä työskennellä alla olevan taulukon kanssa.
Polynomijuuret
.
MOU "Yleiskoulu nro 15"
Michurinsk, Tambovin alue
Algebra oppitunti luokalla 9
"Neliötrinomin juurien sijainti parametrin arvoista riippuen"
Kehitetty
1. luokan matematiikan opettaja
Bortnikova M.B.
Michurinsk - tiedekaupunki 2016 vuosi
Oppitunti kestää 2 tuntia.
Rakkaat kaverit! Monien fysikaalisten ja geometristen lakien tutkiminen johtaa usein parametrien ongelmien ratkaisuun. Jotkut yliopistot sisällyttävät koelipuihin myös yhtälöitä, epäyhtälöitä ja niiden järjestelmiä, jotka ovat usein hyvin monimutkaisia ja vaativat epätyypillistä ratkaisua. Koulussa tämä algebran koulukurssin yksi vaikeimmista osista huomioidaan vain muutamilla valinnaisilla tai ainekursseilla.
Mielestäni funktionaalinen-graafinen menetelmä on kätevä ja nopea tapa ratkaista yhtälöitä parametrin avulla.
Oppitunnin tavoitteet: 1. Laajenna toisen asteen yhtälöiden ideaa. 2. Opi etsimään parametrin kaikki arvot, joiden jokaisen yhtälön ratkaisut täyttävät annetut ehdot. 3. Kehitä kiinnostusta aihetta kohtaan.
Tuntien aikana:
1. Mikä on parametri
Lomakkeen ilmaisu Ah 2
+ bx + ckoulualgebran kurssilla kutsutaan neliötrinomiksi suhteessaX, missä a, b,c on annettu reaalilukuja, lisäksia=/= 0. Muuttujan x arvoja, joissa lauseke katoaa, kutsutaan neliötrinomin juuriksi. Neliötrinomin juurien löytämiseksi on tarpeen ratkaista toisen asteen yhtälöAh 2
+ bx + c =0.
Muistetaan perusyhtälöt:ax + b = 0;
ax2 + bx + c = 0.Kun etsitään niiden juuria, muuttujien arvojaa, b, c,yhtälöön sisältyvät katsotaan kiinteiksi ja annetuiksi. Itse muuttujia kutsutaan parametreiksi.
Määritelmä.Parametri on itsenäinen muuttuja, jonka arvoksi tehtävässä katsotaan tietty kiinteä tai mielivaltainen reaaliluku tai ennalta määrättyyn joukkoon kuuluva luku.
2. Päätyypit ja menetelmät parametrien ongelmien ratkaisemiseksi
Parametritehtävistä voidaan erottaa seuraavat pääasialliset tehtävätyypit.
Yhtälöt, jotka ratkaistaan joko mille tahansa parametrin arvolle tai parametriarvoille, jotka kuuluvat ennalta määritettyyn joukkoon. Esimerkiksi. Ratkaise yhtälöt:kirves = 1 , (a - 2) x = a 2 – 4.
Yhtälöt, joille haluat määrittää ratkaisujen lukumäärän parametrin (parametrien) arvon mukaan. Esimerkiksi.
a yhtälö 4 X 2 – 4 kirves + 1 = 0onko yksi juuri?
Yhtälöt, joiden parametrin halutuille arvoille ratkaisujoukko täyttää määrittelyalueen annetut ehdot.
Etsi esimerkiksi parametriarvot, joille yhtälön juuret (a - 2)
X 2
–
2
kirves + a + 3
=
0
positiivinen.
Tärkeimmät tavat ratkaista ongelmia parametrin kanssa: analyyttinen ja graafinen.
Analyyttinen- tämä on niin sanotun suoran ratkaisun menetelmä, joka toistaa vakiomenettelyjä vastauksen löytämiseksi ongelmiin ilman parametria. Tarkastellaanpa esimerkkiä tällaisesta tehtävästä.
Tehtävä 1
Millä parametrin arvoilla yhtälöX 2 – 2 kirves + a 2 – 1 = 0:lla on kaksi erilaista väliin (1; 5) kuuluvaa juurta?
Päätös
X 2
–
2
kirves + a 2
–
1 = 0.
Tehtävän ehdon mukaan yhtälöllä on oltava kaksi eri juuria, ja tämä on mahdollista vain ehdolla: D > 0.
Meillä on: D = 4a 2
– 2(a 2
– 1) = 4. Kuten näet, diskriminantti ei riipu a:sta, joten yhtälöllä on kaksi erilaista juurta mille tahansa parametrin a arvoille. Etsitään yhtälön juuret:X 1
=
a + 1,
X 2
=
a – 1
Yhtälön juurten tulee kuulua väliin (1; 5), ts.
Eli klo 2<
a < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)
Vastaus: 2<
a < 4.
Tällainen lähestymistapa tarkasteltavan tyyppisten ongelmien ratkaisemiseen on mahdollista ja järkevää tapauksissa, joissa toisen asteen yhtälön diskriminantti on "hyvä", ts. on minkä tahansa luvun tai lausekkeen tarkka neliö, tai yhtälön juuret voidaan löytää käänteisellä Vieta-lauseella. Sitten, ja juuret eivät ole irrationaalisia ilmaisuja. Muuten tämän tyyppisten ongelmien ratkaisuun liittyy teknisesti melko monimutkaisia menettelyjä. Ja irrationaalisten eriarvoisuuksien ratkaiseminen vaatii sinulta uutta tietoa.
Graafinen- tämä on menetelmä, jossa kaavioita käytetään koordinaattitasossa (x; y) tai (x; a). Tämän ratkaisumenetelmän näkyvyys ja kauneus auttaa löytämään nopean tavan ratkaista ongelma. Ratkaistaan tehtävä numero 1 graafisesti.
Kuten tiedät, neliöyhtälön (neliötrinomin) juuret ovat vastaavan toisen asteen funktion nollia: y =X 2
– 2
vai niin +
a 2
– 1. Funktion kuvaaja on paraabeli, jonka haarat on suunnattu ylöspäin (ensimmäinen kerroin on 1). Geometrinen malli, joka täyttää kaikki ongelman vaatimukset, näyttää tältä.
Nyt on vielä "korjattava" paraabeli haluttuun asentoon tarvittavilla ehdoilla.
Koska paraabelilla on kaksi leikkauspistettä akselin kanssaX, sitten D > 0.
Paraabelin kärki sijaitsee pystysuorien viivojen välissä.X= 1 ja X= 5, joten paraabelin x kärjen abskissa noin kuuluu väliin (1; 5), ts.
1 < X noin< 5.Huomaamme sen klo(1) > 0, klo(5) > 0.
Joten siirryttäessä ongelman geometrisestä mallista analyyttiseen malliin, saadaan epäyhtälöjärjestelmä.
Vastaus: 2< a < 4.
Kuten esimerkistä voidaan nähdä, graafinen menetelmä tarkasteltavan tyyppisten ongelmien ratkaisemiseksi on mahdollinen siinä tapauksessa, että juuret ovat "huonoja", ts. sisältävät parametrin radikaalin merkin alla (tässä tapauksessa yhtälön diskriminantti ei ole täydellinen neliö).
Toisessa ratkaisussa työskentelimme yhtälön kertoimilla ja funktion alueellaklo =
X 2
– 2
vai niin +
a 2
– 1.
Tätä ratkaisutapaa ei voida kutsua vain graafiseksi, koska. Tässä meidän on ratkaistava epätasa-arvojärjestelmä. Pikemminkin tämä menetelmä on yhdistetty: toiminnallinen-graafinen. Näistä kahdesta menetelmästä jälkimmäinen ei ole vain tyylikäs, vaan myös tärkein, koska se näyttää suhteen kaikentyyppisten matemaattisten mallien välillä: ongelman sanallinen kuvaus, geometrinen malli - neliötrinomin kaavio, analyyttinen malli - geometrisen mallin kuvaus epäyhtälöjärjestelmällä.
Olemme siis tarkastelleet ongelmaa, jossa neliötrinomin juuret täyttävät määrittelyalueen annetut ehdot parametrin halutuille arvoille.
Ja mitä muita mahdollisia ehtoja neliötrinomin juuret voivat täyttää parametrin halutuille arvoille?
Esimerkkejä ongelmanratkaisusta
3. Neliötrinomin juurien sijainnin tutkiminen parametrin halutuista arvoista riippuen a.
Tehtävä numero 2.
Millä parametrin arvoillaa toisen asteen yhtälön juuret
x 2 - 4x - (a - 1) (a - 5) \u003d 0 on enemmän kuin yksi?
Päätös.
Tarkastellaan funktiota: y = x 2 - 4x - (a - 1) (a - 5)
Funktion kuvaaja on paraabeli. Paraabelin haarat ovat ylöspäin.
Kuvataan kaavamaisesti paraabeli (tehtävän geometrinen malli).
Siirrytään nyt rakennetusta geometrisesta mallista analyyttiseen malliin, ts. Kuvataan tämä geometrinen malli sille sopivalla ehtojärjestelmällä.
Paraabelilla on leikkauspisteitä (tai kosketuspisteitä) x-akselin kanssa, joten D≥0, ts. 16+4(a-1)(a-5)≥0.
Huomaamme, että paraabelin kärki sijaitsee oikeassa puolitasossa suhteessa suoraan x=1, ts. sen abskissa on suurempi kuin 1, ts. 2>1 (suoritetaan kaikille parametrin a arvoille).
Huomaa, että y(1)>0, ts. 1 - 4 - (a - 1) (a - 5)>0
Tämän seurauksena päädymme epätasa-arvojärjestelmään.
; 
Vastaus: 2<а<4.
Tehtävä numero 3.
X 2 + ax - 2 = 0 suurempi kuin yksi?
Päätös.
Tarkastellaan funktiota: y = -x 2 + ah - 2
Funktion kuvaaja on paraabeli. Paraabelin haarat osoittavat alaspäin. Kuvataan tarkasteltavan ongelman geometrinen malli.
U(1)
Tehdään epätasa-arvojärjestelmä.
, ei ratkaisuja
Vastaus. Tällaisia parametriarvoja ei ole.
Tehtävien nro 2 ja nro 3 ehdot, joissa neliötrinomin juuret ovat suuremmat kuin tietty luku parametrin a halutuille arvoille, muotoilemme seuraavasti.
Yleinen tapaus #1.
Mille parametrin a arvoille neliötrinomin juuret
f(x) = ax 2 + in + c on suurempi kuin jokin luku k, ts. kohtaan<х 1 ≤ x 2 .
Kuvataan tämän ongelman geometrinen malli ja kirjoitetaan vastaava epäyhtälöjärjestelmä.
Taulukko 1. Malli - kaavio.
Tehtävä numero 4.
Millä parametrin a arvoilla ovat toisen asteen yhtälön juuret
X 2 +(a+1)x–2a(a–1) = 0 vähemmän kuin yksi?
Päätös.
Tarkastellaan funktiota: y = x 2 + (a + 1) x–2a (a–1)
Funktion kuvaaja on paraabeli. Paraabelin haarat ovat ylöspäin. Tehtävän ehdon mukaan juuret ovat pienempiä kuin 1, joten paraabeli leikkaa x-akselin (tai koskettaa x-akselia suoran x=1 vasemmalla puolella).
Kuvataan kaavamaisesti paraabeli (tehtävän geometrinen malli).
y(1)
Siirrytään geometrisesta mallista analyyttiseen malliin.
Koska paraabelilla on leikkauspisteitä x-akselin kanssa, niin D≥0.
Paraabelin kärki sijaitsee suoran x=1 vasemmalla puolella, ts. sen abskissa x 0 <1.
Huomaa, että y(1)>0, ts. 1+(a+1)-2a(a-1)>0.
Pääsemme epätasa-arvojärjestelmään.
; 
Vastaus: -0,5<а<2.
Yleinen tapaus #2.
Millä parametrin arvoilla trinomin molemmat juuretf(x) = ax 2 + in + c on pienempi kuin jokin luku k: x 1 ≤ x 2<к.
Geometrinen malli ja sitä vastaava epäyhtälöjärjestelmä on esitetty taulukossa. On otettava huomioon, että on ongelmia, joissa neliötrinomin ensimmäinen kerroin riippuu parametrista a. Ja sitten paraabelin haarat voidaan suunnata sekä ylös että alas parametrin a arvoista riippuen. Otamme tämän tosiasian huomioon luodessasi yleistä järjestelmää.
Taulukko 2.
f(k)
Analyyttinen malli
(ehtojärjestelmä).
Analyyttinen malli
(ehtojärjestelmä).
Tehtävä numero 5.
Millä parametrin arvoilla a 2 -2ax+a=0 kuuluvat väliin (0;3)?
Päätös.
Tarkastellaan neliötrinomia y(x) = x 2 -2ax + a.
Kaavio on paraabeli. Paraabelin haarat ovat ylöspäin.
Kuvassa on tarkasteltavan ongelman geometrinen malli.
klo
K(0)
U(3)
0 x 1 x 0 x 1 3 x
Rakennetusta geometrisesta mallista siirrytään analyyttiseen, ts. kuvaamme sitä epätasa-arvojärjestelmällä.
Paraabelilla on leikkauspisteitä x-akselin (tai kosketuspisteen) kanssa, joten D≥0.
Paraabelin huippu on suorien x=0 ja x=3 välissä, ts. paraabelin x abskissa 0 kuuluu väliin (0;3).
Huomaa, että y(0)>0 ja myös y(3)>0.
Tulemme järjestelmään.
; 
Vastaus: a 
Yleinen tapaus #3.
Millä parametrin a arvoilla neliötrinomin juuret kuuluvat väliin (k; m), eli k<х 1 ≤х 2 < m
Taulukko 3. Malli - kaavio.
f(x)
f(k)
f(m)
k x 1 x 0 x 2 mx
f(x)
0 kx 1 x 0 x 2 m
f(k)
f(m)
Ongelman analyyttinen malli
Ongelman analyyttinen malli
TEHTÄVÄ #6.
Millä parametrin a arvoilla on vain neliöyhtälön x pienempi juuri 2
+2ax+a=0 kuuluu väliin X 
(0;3).
Päätös.
2 -2ax + a
Kaavio on paraabeli. Paraabelin haarat ovat ylöspäin. Anna x 1 neliötrinomin pienempi juuri. Ongelman tilanteen mukaan x 1 kuuluu väliin (0;3). Kuvataan ongelman geometrinen malli, joka täyttää ongelman ehdot.
Y(x)
Y(0)
0 x 1 3 x 0 x 2 x
Y(3)
Siirrytään epätasa-arvojärjestelmään.
1) Huomaa, että y(0)>0 ja y(3)<0. Так как ветви параболы направлены вверх и у(3)<0, то автоматически Д>0. Siksi tätä ehtoa ei tarvitse kirjoittaa epäyhtälöjärjestelmään.
Joten saamme seuraavan epätasa-arvojärjestelmän:
Vastaus: a >1,8.
Yleinen tapaus #4.
Millä parametrin a arvoilla neliötrinomin pienempi juuri kuuluu annettuun väliin (k; m), eli k<х 1 < m<х 2 .
Taulukko nro 4 . Malli - kaava.
f(k)kx 1 0 m x 2
f(m)
F(x)
f(m)
kx 1 m x 2 x
f(k)
Analyyttinen malli
Analyyttinen malli
TEHTÄVÄ #7.
Millä parametrin a arvoilla on vain suurempi neliöyhtälön x juuri 2 +4x-(a+1)(a+5)=0 kuuluu väliin [-1;0).
Päätös.
Tarkastellaan neliötrinomia y(x)=x 2+4x-(a+1)(a+5).
Kaavio on paraabeli. Oksat on suunnattu ylöspäin.
Kuvataan ongelman geometrinen malli. Anna x 2 on yhtälön suurempi juuri. Tehtävän ehdon mukaan väliin kuuluu vain suurempi juuri.
y(X)
y(0)
x 1-1 x 20 x
y(-1)
Huomaa, että y(0)>0 ja y(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях Д>0.
Luodaan eriarvoisuusjärjestelmä ja ratkaistaan se.
Vastaus: 
Yleinen tapaus #5.
Mille parametrin a arvoille neliötrinomin suurempi juuri kuuluu annettuun väliin (k; m), eli x 1< k<х 2 < m.
Taulukko nro 5. Malli - kaavio.
f(x)
f(m)
0 x 1 kx 2 m x
f(k)
f(x)
f(k)
x 1 0 kx 2 m
f(m)
Analyyttinen malli
Analyyttinen malli
W ADACHA nro 8.
Millä parametrin a arvoilla segmentti [-1; 3] on kokonaan neliöyhtälön x juurien välissä 2-(2a+1)x+a-11=0?
Päätös.
Tarkastellaan neliötrinomia y(x)=x 2 - (2a + 1) x + a-11
Kaavio on paraabeli.
Tämän ongelman geometrinen malli on esitetty kuvassa.
Y(x)
X 1 -1 0 3 x 2 x
Y(-1)
Y(3)
Näissä olosuhteissa D>0, koska paraabelin haarat ovat ylöspäin.
Vastaus: a 
Yleinen tapaus #6.
Millä parametrin a arvoilla neliötrinomin juuret ovat annetun intervallin ulkopuolella (k; m), eli x 1< k < m<х 2 .
x 2 -(2a + 1) x + 4-a \u003d 0 sijaitsevat luvun vastakkaisilla puolilla kuin numero 3?
Päätös.
Tarkastellaan neliötrinomia y(x)=x 2 - (2a + 1) x + 4-a.
Kaavio on paraabeli, oksat on suunnattu ylöspäin (ensimmäinen kerroin on 1). Kuvataan ongelman geometrinen malli.
X 1 3 x 2 x
Y(3)
Siirrytään geometrisesta mallista analyyttiseen malliin.
Huomaamme, että y(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях Д>0 automaattisesti.+in+c on pienempi kuin jokin luku k: x 1 ≤ x 2 <к
3. Millä parametrin arvoilla a neliötrinomikirveen juuret 2 +in+c kuuluvat väliin (k, t) to<х 1 ≤x 2 <т
4. Millä parametrin arvoilla a vain neliötrinomikirveen pienempi juuri 2 +in+c kuuluu annettuun väliin (k, t), eli k<х 1 <т<х 2
1. Kuvaa tämän tehtävän geometrinen malli.
2. Kirjoita muistiin ehtojärjestelmä, johon tämän tehtävän ratkaisu pelkistyy
1. Kuvaa tämän tehtävän geometrinen malli.
2. Kirjoita muistiin ehtojärjestelmä, johon tämän tehtävän ratkaisu pelkistyy
1. Kuvaa tämän tehtävän geometrinen malli.
2. Kirjoita muistiin ehtojärjestelmä, johon tämän tehtävän ratkaisu pelkistyy
Neliöyhtälön x juuret 2 -4x-(a-1)(a-5)=0, suurempi kuin 1.
Vastaus: 2<а<4
Neliöyhtälön x juuret 2 +(a+1)x-2a(a-1)=0, pienempi kuin 1.
Vastaus:
-0,5<а<2
Neliöyhtälön x juuret 2 -2ax+a=0, kuuluvat väliin (0;3).
Vastaus: 1≤a< 9 / 5
Vain yhtälön x pienempi juuri 2 -2ax+a=0, kuuluu väliin (0;3).
Vastaus: 1≤a< 9 / 5
1. Kuvaa tämän tehtävän geometrinen malli.2. Kirjoita muistiin ehtojärjestelmä, johon tämän tehtävän ratkaisu pelkistyy
1. Kuvaa tämän tehtävän geometrinen malli.
2. Kirjoita muistiin ehtojärjestelmä, johon tämän tehtävän ratkaisu pelkistyy
1. Kuvaa tämän tehtävän geometrinen malli.
2. Kirjoita muistiin ehtojärjestelmä, johon tämän tehtävän ratkaisu pelkistyy
Vain yhtälön x suurin juuri 2 +4x-(a+1)(a+5)=0, kuuluu väliin [-1;0).
Vastaus:(-5;-4]U[-2;-1)
Jana [-1; 3] on kokonaan neliöyhtälön x juurien välissä 2 -(2a+1)x+a-11=0.
Vastaus: -1<а<3
Neliöyhtälön x juuret 2 -2 (a + 1) x + 4-a \u003d 0, sijaitsevat luvun 3 vastakkaisilla puolilla.
Vastaus( 10 / 7 ;∞)
Kiitos oppitunnista kaverit!
Neliötrinomi on koulumatematiikan päätoiminto - muuten, ei alkeellisin. Kyky käyttää hänen tarjoamiaan resursseja ongelmien ratkaisemiseen kuvaa suurelta osin koulualgebran opiskelijan matemaattisen ajattelun tasoa. Tässä artikkelissa perustelemme tätä väitettä ja annamme esimerkkejä toisen asteen funktion ominaisuuksien erityisestä soveltamisesta. Stimuloiva tekijä on se, että kun ratkaistaan mikä tahansa ongelma parametreilla, on ennemmin tai myöhemmin tarpeen (ja onnistuu) muotoilla ongelma uudelleen neliötrinomiksi ja ratkaista se käyttämällä tämän universaalin funktion ominaisuuksia.
Tutkimus neliötrinomista
Määritelmä. Neliön trinomi x:n suhteen on lauseke muotoa f(x) = ax 2 + bx + c (1), missä a, b, cR, a0.
Neliötrinomi on tavallinen 2-asteinen polynomi. Neliötrinomin avulla muotoiltujen kysymysten kirjo on yllättäen erittäin laaja. Koska neliön trinomin tutkimukseen liittyvät tehtävät ovat perinteisesti kunniakkaalla ja näkyvällä paikalla koulun ja yliopiston kirjallisissa pääsykokeissa, on erittäin tärkeää opettaa opiskelijalle (tulevalle hakijalle) epävirallinen (eli luova) hallussapito. erilaisia tekniikoita ja menetelmiä tällaiseen tutkimukseen. Tässä menetelmäkehityksessä päälausekkeet neliötrinomista (Vietan lause, juurien sijainti suhteessa numeerisen akselin annettuihin pisteisiin, diskriminantin käsittelytekniikka) on kiinnitetty, erityyppisiä ja monimutkaisia ongelmia. ovat ratkaistu. Tärkein ideologinen johtopäätös on, että koulumatematiikassa on syvän sisällön rikkaita fragmentteja, jotka ovat opiskelijan saatavilla ja jotka eivät vaadi matemaattisen analyysin ja muiden ns. "korkeamman matematiikan" osien käyttöä.
Trinomin (1) kuvaaja on paraabeli; 0 - ylöspäin. Paraabelin sijainti suhteessa Ox-akseliin riippuu erottimen D = b 2 - 4ac arvosta: kun D>0, paraabelilla on kaksi leikkauspistettä Ox-akselin kanssa (kaksi erilaista trinomin todellista juurta) ; kohdassa D=0 - yksi piste (kaksoisreaalijuuri); kohdassa D 0 - Ox-akselin yläpuolella). Vakiotemppu on seuraava trinomin esitys (käyttäen täysneliön erotusta):
f(x) = ax2 + bx + c = 
=
. Tämä esitys tekee graafin rakentamisesta helppoa funktion y=x 2 graafin lineaarisilla muunnoksilla; paraabelin kärjen koordinaatit: 
.
Saman muunnoksen avulla voidaan ratkaista välittömästi yksinkertaisin ääripäätehtävä: löytää funktion (1) suurin (0:lle) arvo; ääriarvo saavutetaan pisteessä ja on yhtä suuri kuin 
.
Yksi tärkeimmistä arvioista neliötrinomista -
Lause 1 (Vieta). Jos x 1, x 2 ovat trinomin (1) juuret, niin
(Vietan kaavat).
Vietan lauseen avulla voidaan ratkaista monia ongelmia, erityisesti niitä, joissa on muotoiltava ehtoja, jotka määräävät juurien merkit. Seuraavat kaksi lausetta ovat suoria seurauksia Vietan lauseesta.
Lause 2. Jotta neliötrinomin (1) juuret olisivat todellisia ja niillä olisi samat merkit, on välttämätöntä ja riittävää, että seuraavat ehdot täyttyvät:
D \u003d b 2 - 4ac 0, x 1 x 2 \u003d\u003e 0,
molemmat juuret ovat positiivisia arvolle x 1 + x 2 = > 0,
ja molemmat juuret ovat negatiivisia kohdassa x 1 + x 2 =
Lause 3. Jotta neliötrinomin (1) juuret olisivat todellisia ja niillä olisi erilaiset etumerkit, on välttämätöntä ja riittävää, että seuraavat ehdot täyttyvät:
D=b 2 - 4ac > 0, x 1 x 2 =
tässä tapauksessa positiivisella juurella on suurempi moduuli kohdassa x 1 + x 2 \u003d\u003e 0,
ja negatiivisella juurella on suurempi moduuli kohdassa x 1 + x 2 =
Alla todistettuja lauseita ja seurauksia voidaan (ja siksi pitää) soveltaa tehokkaasti parametrien ongelmien ratkaisemiseen.
Lause 4. Jotta neliötrinomin (1) molemmat juuret olisivat pienempiä kuin luku M, eli todellisella suoralla juuret ovat pisteen M vasemmalla puolella, on välttämätöntä ja riittävää, että seuraavat ehdot täyttyvät :
tai yhdistämällä ehdot
(Kuvat 1a ja 1b).
Todiste.
Tarve. Jos trinomin (1) reaalijuuret x 1 ja x 2 (ehkä samat), x 1 x 2 ja x 1, (x 1 - M) (x 2 - M) > 0, x 1 + x 2 0, M > (x 1 + x 2)/2. Vietan kaavojen mukaan 
, siis , tai jne.
Riittävyys
- ristiriita ehdon kanssa. Jos , niin (x 1 - M) (x 2 - M)0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2) M + M 2 0, mistä 
, af(M) 0 - taas ristiriita ehdon kanssa; jäljelle jää vain mahdollisuus x 1
Lause 5. Jotta yksi neliötrinomin (1) juurista olisi pienempi kuin luku M ja toinen suurempi kuin luku M, eli piste M olisi juurien välissä, on välttämätöntä ja riittää, että seuraavat ehdot täyttyvät:
, tai ehtoja yhdistämällä af(M)
(Kuvat 2a ja 2b).
Todiste.
Tarve. Jos trinomilla (1) on reaalijuuret x 1 ja x 2 , x 1 M , niin (x 1 - M)(x 2 - M) 
, tai af(M)
Riittävyys. Olkoon af(M) , tai , sitten (x 1 - M)(x 2 - M)0,
x 1 x 2 - (x 1 + x 2) M + M 2 0, mistä 
, af(M)0 - ristiriita ehdon kanssa; ainoa mahdollisuus jää, mikä on todistettava. Lause on todistettu.
Lause 6. Jotta neliötrinomin (1) molemmat juuret ovat suurempia kuin luku M, eli todellisella suoralla, juuret ovat pisteen M oikealla puolella, on välttämätöntä ja riittävää, että seuraavat ehdot täyttyvät :
tai yhdistämällä ehdot
(Kuvat 3a ja 3b).
Todiste. Tarve. Jos trinomin (1) reaalijuuret x 1 ja x 2 (ehkä yhtyvät), x 1 x 2 ja x 1 > M, x 2 > M, niin (x 1 -M)(x 2 -M)> 0 , x1 + x2 > 2M; muuten x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 > 0, M, siis , tai jne.
Riittävyys. Anna olla . Me väitämme päinvastoin. Oletetaan sitten, että , 
- ristiriita ehdon kanssa. Jos , niin (x 1 - M)(x 2 - M)0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, mistä , af(M) 0 - taas ristiriita ehdon kanssa; jäljelle jää vain mahdollisuus x 1 > M, x 2 > M, mikä on todistettava. Lause on todistettu.
Seuraus 1. Jotta neliötrinomin (1) molemmat juuret olisivat suurempia kuin luku M, mutta pienempiä kuin luku N (M
tai yhdistämällä ehdot 
(Kuvat 4a ja 4b).
Seuraus 2. Jotta vain neliötrinomin (1) suurin juuri kuuluisi väliin (M,N), missä M
tai yhdistämällä ehdot
pienempi juuri on segmentin ulkopuolella
(Kuviot 5a ja 5b).
Seuraus 3. Jotta vain neliötrinomin (1) pienempi juuri kuuluisi väliin (M,N), missä M
, tai yhdistämällä ehdot, ;
suurempi juuri on segmentin ulkopuolella
(Kuviot 6a ja 6b).
Seuraus 4. Jotta yksi neliötrinomin (1) juurista olisi pienempi kuin M ja toinen suurempi kuin N (M
tai yhdistämällä ehdot
(Kuva 7, a ja 7, b).
Lauseiden 4-6 ja johtopäätösten 1-4 tulosten analyyttiset ja geometriset tulkinnat ovat luonnollisesti samanarvoisia, ja strategisena tavoitteena on kehittää taitoja tarkkaan kääntämiseen kielestä toiseen. Erityisen tärkeää on osoittaa, kuinka "visualisointi" ("graafinen näkymä") auttaa kirjaamaan tarkasti muistiin ne muodolliset ehdot, jotka ovat välttämättömiä ja riittäviä tehtävän vaatimusten täyttämiseksi.
Osoitetaan tyypillisiä ongelmia, jotka voidaan ratkaista todistettujen lauseiden avulla (yleisemmin ne, jotka voidaan ratkaista neliötrinomin ominaisuuksien perusteella).
Tehtävä 1. Etsi kaikki a:n arvot, joille yhtälöillä x 2 +ax+1=0 ja x 2 +x+a=0 on vähintään yksi yhteinen juuri.
Päätös. Molemmilla yhtälöillä on täsmälleen samat juuret, jos ja vain, jos vastaavien neliötrinomien kertoimet ovat samat (toisen asteen polynomin määräävät täysin sen kaksi juuria ja näiden polynomien vastaavat kertoimet ovat yhtä suuret), joten saamme a= 1. Jos kuitenkin huomioidaan vain reaalijuuret, a=1:lle niitä ei ole (vastaavan trinomin diskriminantti on negatiivinen). A1:lle väitetään seuraavasti: jos x 0 on molempien yhtälöiden f(x)=0 ja g(x)=0 juuri, niin x 0 on yhtälön f(x)-g(x) juuri. =0 (tämä on vain välttämätön, mutta ei riittävä ehto kahden yhtälön f(x)=0 ja g(x)=0 yhteisen juuren olemassaololle, koska yhtälö f(x) - g(x) =0 on heidän seurauksena); Vähennä toinen ensimmäisestä yhtälöstä ja saa
(x 2 + ax + 1) - (x 2 + x + a) = 0, x(a-1) - (a-1) = 0, mistä, koska a1, x = 1. Täten, jos annettu yhtälöillä on yhteinen juuri, niin se on yhtä suuri kuin 1. Korvaa x = 1 ensimmäiseen yhtälöön: 1 + a + 1 = 0 ja a = -2.
Vastaus. a = -2.
Tehtävä 2. Millä a:lla yhtälön x 2 - ax + a - 1 = 0 juurien neliösumma on pienin?
Päätös. Tekijä: Vietan lause, x 1 + x 2 = a, x 1 x 2 = a - 1. Meillä on:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = a 2 - 2 (a-1) = a 2 - 2a + 2 = (a-1) 2 + 1 1 ja = 1 = 1.
Vastaus. a = 1.
Tehtävä 3. Onko olemassa sellaisia, että polynomin f(x)=x 2 +2x+a juuret ovat todellisia, erillisiä ja molemmat ovat välillä -1 ja 1?
Päätös. Jotta trinomin f (x) molemmat juuret x 1 ja x 2 olisivat -1:n ja 1:n välissä, on välttämätöntä, että näiden juurien aritmeettinen keskiarvo on -1:n ja 1:n välissä: 
; mutta päälle Vietan lause,
, Siksi
Vastaus. Ei.
Tehtävä 4. Millä parametrin a arvoilla ovat toisen asteen yhtälön x 2 + (2a + 6)x + 4a + 12 = 0 juuret ja molemmat ovat suurempia kuin -1?
Päätös. Lause 6 antaa:
,
,
,
.
Vastaus. .
Tehtävä 5. Millä parametrin a arvoilla ovat toisen asteen yhtälön x 2 +4ax+ (1-2a+4a 2) = 0 juuret ja molemmat ovat pienempiä kuin -1?
Päätös. Lause 4 antaa:
,
,
, a>1.
Vastaus. a > 1.
Tehtävä 6. Millä parametrin a arvoilla toinen juuresta on toisen asteen yhtälön f(x) = (a-2)x 2 - 2(a+3)x + 4a = 0 suurempi kuin 3 ja toinen pienempi kuin 2 ?
Päätös. Huomaa heti, että a2 (muuten yhtälöllä olisi vain yksi juuri). Sovellettava seuraus 4(tässä M = 2, N = 3):
,
,
,
2
. Molemmat juuret ovat positiivisia 
(lause 6), missä
ja 
;
(lause 4) - tällä ratkaisujärjestelmällä ei ole; juurilla on eri etumerkit (a-1)(a+5) lauseessa 5), eli -5 
,
, jos 1-p+q=0. Toinen juuri on yhtä suuri kuin x 2 =1-p; näin ollen, jos , niin yhtälöllä sin 2 t +psint+q=0 (4) on ilmoitettujen lisäksi juuret (jos p=2, molemmat juuret ovat samat).
, jos
, sitten 
, kun taas p2:lla ei ole juuria. Jos p=2, niin q=1, x 2 +2x+1=0, x=-1, t=, ja jos p=-2, niin x=1, t=.
.
.
.4. Neliötrinomin juurien sijainti parametrista riippuen
Usein on ongelmia parametrien kanssa, joissa on määritettävä neliömäisen trinomin juurien sijainti todellisella akselilla. Harkitse seuraavia tapauksia edellisen kappaleen pääsäännösten ja merkintöjen perusteella:
1. Olkoon neliötrinomi annettu, missä 
ja piste m akselilla Härkä. Sitten molemmat hevoset 
neliön trinomi 
tulee olemaan ehdottomasti vähemmän m
tai 
Geometrinen kuva on esitetty kuvissa 3.1 ja 3.2.
2. Olkoon neliötrinomi annettu, missä ja piste m akselilla Härkä. Epätasa-arvo 
pätee vain jos ja vain jos numerot
a ja 
on erilaisia merkkejä, eli 
(Kuvat 4.1 ja 4.2.)
3. Olkoon neliötrinomi annettu, missä ja piste m akselilla Härkä. Sitten molemmat hevoset 
neliön trinomi on ehdottomasti suurempi m jos ja vain jos seuraavat ehdot täyttyvät:
tai 
Geometrinen kuva on esitetty kuvissa 5.1 ja 5.2.
4. Olkoon neliötrinomi annettu, missä ja väli (m, M) Tällöin neliötrinomin molemmat juuret kuuluvat ilmoitettuun väliin, jos ja vain, jos seuraavat ehdot täyttyvät:
tai 
Geometrinen kuva on esitetty kuvissa 6.1 ja 6.2.
5. Olkoon neliötrinomi annettu, missä , ovat sen juuret ja segmentti 
.
Segmentti on välissä 
jos ja vain jos seuraavat ehdot täyttyvät:
Geometrinen kuva on esitetty kuvissa 7.1 ja 7.2.
Esimerkki.Etsi kaikki parametriarvota, joista jokaisella on yhtälön molemmat juuret 
enemmän kuin -2.
Päätös. Se on määritelty tehtävän ehdoissa. Että yhtälöllä on kaksi juurta, joten . Tarkasteltava tilanne on kuvattu tapauksella 3 ja se on esitetty kuvassa 5.1. ja 5.2.
Etsitään, 
,
Kaiken tämän huomioon ottaen kirjoitamme kahden järjestelmän joukon:
tai 
Ratkaisemalla nämä kaksi järjestelmää saamme .
Vastaus. Jokaiselle parametriarvolle a erosta yhtälön molemmat juuret ovat suurempia kuin -2.
Esimerkki.Millä parametrin arvoillaaeriarvoisuutta 
suoritettu mille tahansa 
?
Päätös. Jos sarja X on tämän epäyhtälön ratkaisu, niin tehtävän ehto tarkoittaa, että väli 
on oltava sarjan sisällä X, eli
.
Harkitse parametrin kaikkia mahdollisia arvoja a.
1.Jos a = 0, silloin epätasa-arvo saa muodon 
, ja sen ratkaisu on intervalli 
. Tässä tapauksessa ehto täyttyy ja a = 0 on ratkaisu ongelmaan.
2.Jos 
, niin epäyhtälön oikean puolen kuvaaja on neliötrinomi, jonka haarat on suunnattu ylöspäin. Epäyhtälön ratkaisu riippuu merkistä .
Harkitse tapausta, jolloin 
. Sitten, jotta epäyhtälö pätee kaikille, neliötrinomin juurten on oltava pienempiä kuin -1, eli:
tai 
Ratkaisemme tämän järjestelmän 
.
Jos 
, silloin paraabeli on akselin yläpuolella Ox, ja epäyhtälön ratkaisu on mikä tahansa luku reaalilukujen joukosta, mukaan lukien väli . Etsitään sellaisia a ehdosta:
tai 
Ratkaisemme tämän järjestelmän 
.
3.Jos 
, sitten klo 
epäyhtälön ratkaisu on väli , joka ei voi sisältää väliä , ja jos 
tähän eriarvoisuuteen ei ole ratkaisuja.
Yhdistämällä kaikki löydetyt arvot a, saamme vastauksen.
Vastaus. Mille tahansa parametriarvolle intervallista 
eriarvoisuus pätee mihin tahansa .
Esimerkki.Mille parametrin a arvoille funktioarvojen joukko sisältää segmentin 
?
Päätös. 1. Jos 
, sitten
a) klo a = 1 funktio saa muodon y = 2, ja sen arvojen joukko koostuu yhdestä pisteestä 2 eikä sisällä segmenttiä ;
b) milloin a =-1 funktio saa muodon y = -2
x+2
. Sen merkityssarja 
sisältää segmentin, joten a =-1 on ratkaisu ongelmaan.
2.Jos 
, silloin paraabelin haarat suunnataan ylöspäin, funktio saa pienimmän arvon paraabelin kärjessä 
:
, 
.
Funktioarvojen joukko on intervalli 
, joka sisältää segmentin 
jos seuraavat ehdot täyttyvät:
.
3. Jos 
, silloin paraabelin haarat suunnataan alaspäin, funktio saa suurimman arvon paraabelin kärjessä 
. Funktioarvojen joukko on intervalli 
, joka sisältää segmentin, jos seuraavat ehdot täyttyvät: 
Ratkaisemalla tämän epätasa-arvojärjestelmän saamme 
.
Yhdistämällä ratkaisuja saamme 
.
Vastaus. klo 
funktioarvojen joukko sisältää segmentin .
Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun
1. Laskematta toisen asteen yhtälön juuria 
, löytää
a) 
, b) 
, sisään) 
2. Etsi funktioarvojen joukko
a) 
, b) 
, sisään) 
, G) 
3. Ratkaise yhtälöt
a) 
, b) 
4. Millä parametrin arvoilla a yhtälön molemmat juuret 
makaa välillä (-5, 4)?
5. Millä parametrin arvoilla a eriarvoisuus pätee kaikkiin arvoihin x?
6. Millä parametrin arvoilla a pienin funktion arvo
Segmentillä 
on -1?
7. Millä parametrin arvoilla a yhtälö 
onko juuret?
Karpova Irina Viktorovna
8-9 luokan opiskelijoille 8-9 luokan opiskelijoille "Todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilaston elementit" matematiikan VALIKOINTIKURSSIN OHJELMA JA OPETUSMATERIAALIT
Selittävä huomautus
Tällä hetkellä todennäköisyysstatististen lakien universaalisuus on käymässä ilmi, niistä on tullut perusta tieteellisen maailmankuvan kuvaamiselle. Nykyaikainen fysiikka, kemia, biologia, väestötiede, kielitiede, filosofia, koko sosioekonomisten tieteiden kompleksi kehittyvät todennäköisyys-tilastollisin perustein.
Lapsi kohtaa elämässään päivittäin todennäköisyystilanteita. Todennäköisyys- ja luotettavuuskäsitteiden välisen suhteen ymmärtämiseen liittyvät kysymykset, useista ratkaisuista parhaan valinnan ongelma, riskiasteen ja onnistumismahdollisuuksien arviointi - kaikki tämä on muodostelman todellisten etujen piirissä. yksilön itsensä kehittämiseen.
Kaikki edellä mainitut asiat edellyttävät, että lapsi perehdytetään todennäköisyys-tilastollisiin malleihin.
Kurssin tavoite: perehdyttää opiskelijat joihinkin teoreettisiin ja todennäköisyyksiin perustuviin kuvioihin ja tilastollisiin tiedonkäsittelyn menetelmiin.
Kurssin tavoitteet
Opiskelija tutustuttaa todennäköisyysteorian peruskäsitelaitteistoon.
Opi määrittämään tapahtumien todennäköisyys klassisessa testikaaviossa.
Tutustua tilastotietojen peruskäsittelyn menetelmiin.
Vaatimukset kurssin sisällön hallitsemisen tasolle
Kurssiohjelman hallitsemisen seurauksena opiskelijoiden tulisi tietää:
todennäköisyysteorian peruskäsitteet: testi, testitulos, alkeistapahtumaavaruus, satunnainen, tietyt, mahdottomat tapahtumat, yhteiset ja yhteensopimattomat tapahtumat;
klassisen testikaavion ehdot ja tapahtuman todennäköisyyden määrittäminen klassisessa testikaaviossa;
määritetään tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys ja tilastollinen todennäköisyys;
vaihtelusarjan ja sen tärkeimpien numeeristen ominaisuuksien määrittäminen.
Kurssin aikana opiskelijoiden tulee hankkia taidot:
määrittää kaikki mahdolliset testin tulokset, tapahtumien yhteensopivuus ja yhteensopimattomuus;
ratkaista teoreettisia ja todennäköisyyskysymyksiä todennäköisyyden laskemiseksi klassisessa testikaaviossa;
laskea tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys;
tee otoksen tilastollinen jakauma ja laske sen numeeriset ominaisuudet.
Ohjelma sisältää opiskelijoiden kehittämisen taidot:
olemassa olevien algoritmien käyttö ja tarvittaessa niiden luova käsittely ongelman erityisolosuhteissa;
itsenäinen ongelmanratkaisu;
perusmääritelmiä ja kaavoja sisältävien yleistettyjen kaavioiden käyttö ongelmien ratkaisussa.
Kurssin laajuus: Tarjottu kurssi on 20 tuntia
Temaattinen suunnittelu
Oppitunnin aiheet | Tuntien lukumäärä |
|
Todennäköisyysteorian peruskäsitteet. | ||
Klassinen testikaavio. Todennäköisyyden määritys klassisessa testikaaviossa. | ||
Taajuus on absoluuttinen ja suhteellinen. | ||
Todennäköisyyden tilastollinen määritelmä. | ||
Yleiset ja otantapopulaatiot. | ||
Otoksen tilastollinen jakautuminen. | ||
Tilastollisen jakauman numeeriset ominaisuudet. | ||
Tilastollinen arvio ja ennuste. | ||
Manuaalinen teksti
Monet ihmiset rakastavat matematiikkaa sen ikuisista totuuksista: kahdesti kaksi on aina neljä, parillisten lukujen summa on parillinen ja suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin sen vierekkäisten sivujen tulo. Kaikissa matematiikan tunnilla ratkaisemissasi tehtävissä kaikki saivat saman vastauksen - sinun ei vain tarvinnut tehdä virheitä ratkaisussa.
Todellinen elämä ei ole niin yksinkertaista ja yksiselitteistä. Monien ilmiöiden seurauksia on mahdotonta ennustaa etukäteen, olipa meillä niistä kuinka täydellistä tietoa tahansa. On mahdotonta esimerkiksi sanoa varmasti, kummalle puolelle heitetty kolikko laskeutuu, milloin ensi vuonna sataa ensilunta tai kuinka moni kaupungissa haluaa soittaa seuraavan tunnin sisällä. Sellaisia arvaamattomia tapahtumia kutsutaan satunnainen.
Tapauksella on kuitenkin myös omat lakinsa, jotka alkavat ilmetä satunnaisten ilmiöiden toistuessa. Jos heität kolikkoa 1000 kertaa, niin "kotka" putoaa noin puolet ajasta, mitä ei voida sanoa kahdesta tai edes kymmenestä heitosta. Huomaa sana "likimäärin" - laissa ei sanota, että "kotkien" lukumäärä on täsmälleen 500 tai 490 ja 510 välillä. Se ei kerro mitään varmaa ollenkaan, mutta antaa tietyn varmuuden siitä, että jokin satunnainen tapahtuma tulee tapahtumaan.. Tällaisia säännönmukaisuuksia tutkii erityinen matematiikan haara - todennäköisyysteoria.
Todennäköisyysteoria liittyy erottamattomasti jokapäiväiseen elämäämme. Tämä tarjoaa upean mahdollisuuden vahvistaa monia todennäköisyyslakeja empiirisesti toistaen toistuvasti satunnaisia kokeita. Näiden kokeiden materiaalit ovat useimmiten tavallinen kolikko, noppaa, dominosarja, rulettipyörä ja jopa korttipakka. Jokainen näistä esineistä liittyy tavalla tai toisella peleihin. Tosiasia on, että tapaus näkyy tässä puhtaimmassa muodossaan, ja ensimmäiset todennäköisyysongelmat liittyivät pelaajien voittomahdollisuuksien arvioimiseen.
Nykyaikainen todennäköisyysteoria on siirtynyt yhtä kauas onnenpeleistä kuin geometria maankäytön ongelmista, mutta niiden rekvisiitta on silti yksinkertaisin ja luotettavin sattuman lähde. Rulettipyörän ja nopan kanssa harjoittelemalla opit laskemaan satunnaisten tapahtumien todennäköisyyden tosielämän tilanteissa, jolloin voit arvioida onnistumismahdollisuuksiasi, testata hypoteeseja ja tehdä päätöksiä paitsi peleissä ja arpajaisissa.
Matemaattinen tilastotiede on matematiikan haara, joka tutkii menetelmiä massasatunnaisten ilmiöiden havaintojen tulosten keräämiseksi, systematisoimiseksi ja käsittelemiseksi olemassa olevien kuvioiden tunnistamiseksi.
Tietyssä mielessä matemaattisten tilastojen ongelmat ovat käänteisiä todennäköisyysteorian ongelmille: käsiteltäessä vain kokeellisesti saatuja satunnaismuuttujien arvoja, tilastot pyrkivät esittämään ja testaamaan hypoteeseja näiden satunnaismuuttujien jakautumisesta ja arvioimaan satunnaismuuttujien parametreja. niiden jakelu.
1. Satunnaiset tapahtumat. Kuinka vertailla tapahtumia?
Kuten kaikilla muillakin matematiikan aloilla, myös todennäköisyysteorialla on oma käsitelaitteistonsa, jota käytetään määritelmien muotoilussa, lauseiden todistamisessa ja kaavojen johtamisessa. Tarkastellaanpa käsitteitä, joita käytämme teorian jatkoselityksessä.
Oikeudenkäynti- tiettyjen ehtojen täytäntöönpano.
Testin tulos (alkeistapahtuma)– kaikki testin aikana mahdollisesti ilmenevät tulokset.
Esimerkkejä.
1) Kokeilu:
Testitulokset:ω 1 - yksi piste on ilmestynyt kuution yläpinnalle;
ω 2 – kuution yläpinnalle ilmestyi kaksi pistettä;
ω 3 – kuution yläpinnalle ilmestyi kolme pistettä;
ω 4 – kuution yläpinnalle ilmestyi neljä pistettä;
ω 5 – kuution yläpinnalle ilmestyi viisi pistettä;
ω 6 - kuution yläpinnalle ilmestyi kuusi pistettä.
Yhteensä 6 testitulosta (tai 6 perustapahtumaa) on mahdollista.
2) Kokeilu: opiskelija suorittaa kokeen.
Testitulokset:ω 1 - opiskelija sai kakkosen;
ω 2 - opiskelija sai kolmosen;
ω 3 - opiskelija sai neljän;
ω 4 - opiskelija sai viisi.
Yhteensä 4 testitulosta (tai 4 perustapahtumaa) on mahdollista.
Kommentti. Merkintä ω on alkeistapahtuman standardimerkintä, jota käytämme seuraavassa.
Kutsumme tämän testin tuloksia yhtä mahdollista jos koetuloksilla on sama mahdollisuus ilmestyä.
Perustapahtumien tila- kaikkien testin aikana mahdollisesti ilmenevien perustapahtumien (testin tulosten) joukko.
Edellä tarkastelemissamme esimerkeissä näiden kokeiden alkeistapahtumien tilat on itse asiassa kuvattu.
Kommentti. Pisteiden lukumäärä alkeistapahtumien avaruudessa (PES), ts. alkeistapahtumien lukumäärä merkitään kirjaimella n.
Tarkastellaanpa pääkäsitettä, jota käytämme seuraavassa.
Määritelmä 1.1.Tapahtuma on kokoelma tietystä määrästä TEC-pisteitä.
Jatkossa tapahtumat merkitään isoilla latinalaisilla kirjaimilla: A, B, C.
Määritelmä 1.2.Tapahtumaa, joka voi tapahtua tai ei tapahdu testin aikana, kutsutaan satunnaiseksi tapahtumaksi.
Ostamalla arpalipun, voimme voittaa tai olla voimatta; seuraavissa vaaleissa hallitseva puolue voi voittaa tai ei; oppitunnilla sinut voidaan kutsua lautakunnalle tai heitä ei kutsuta jne. Nämä ovat kaikki esimerkkejä satunnaisista tapahtumista, jotka samoissa olosuhteissa voivat tapahtua testin aikana tai eivät.
Kommentti. Mikä tahansa alkeistapahtuma on myös satunnainen tapahtuma.
Määritelmä 1.3.Tapahtumaa, joka tapahtuu mille tahansa kokeen tulokselle, kutsutaan tietyksi tapahtumaksi.
Määritelmä 1.4.Tapahtumaa, joka ei voi tapahtua minkään testin tuloksen alla, kutsutaan mahdottomaksi tapahtumaksi.
Esimerkki.
1) Kokeilu: noppaa heitetään.
Tapahtuma A: parillinen määrä pisteitä putosi nostan yläpuolelle;
Tapahtuma B: muotin yläpuolelle putosi useita pisteitä, 3:n kerrannainen;
Tapahtuma C: 7 pistettä putosi nostan yläpuolelle;
Tapahtuma D: alle 7 pisteiden määrä putosi nostan yläpintaan.
Tapahtumat MUTTA ja AT voi tapahtua testin aikana tai ei, joten nämä ovat satunnaisia tapahtumia.
Tapahtuma Kanssa ei voi koskaan tapahtua, joten se on mahdoton tapahtuma.
Tapahtuma D tapahtuu minkä tahansa testin tuloksen kanssa, tämä on luotettava tapahtuma.
Sanoimme, että satunnaisia tapahtumia samoissa olosuhteissa voi tapahtua tai ei. Samaan aikaan joillakin satunnaisilla tapahtumilla on enemmän mahdollisuuksia tapahtua (mikä tarkoittaa, että ne ovat todennäköisempiä - lähempänä luotettavuutta), kun taas toisilla on vähemmän mahdollisuuksia (ne ovat vähemmän todennäköisiä - lähempänä mahdottomia). Siksi ensimmäisenä approksimaationa on mahdollista määritellä todennäköisyys tapahtuman todennäköisyyden asteena.
On selvää, että todennäköisempiä tapahtumia tapahtuu useammin kuin vähemmän todennäköisiä. Voit siis verrata todennäköisyyksiä tapahtumien esiintymistiheyden perusteella.
Yritetään sijoittaa seuraavat tapahtumat erityiselle todennäköisyysasteikolle niiden toteutumistodennäköisyyden lisäämiseksi.
Tapahtuma A: ensi vuonna ensimmäinen lumi Habarovskissa sataa sunnuntaina;
Tapahtuma B: pöydältä pudonnut voileipä putosi voipuoli alaspäin;
Tapahtuma C: noppaa heittäessä putoaa 6 pistettä;
Tapahtuma D: kun heitetään noppaa, parillinen määrä pisteitä putoaa;
Tapahtuma E: noppaa heittäessä putosi 7 pistettä;
Tapahtuma F: Kun noppaa heitetään, tulee alle 7 pisteitä.
Joten asteikkomme lähtöpisteeseen sijoitamme mahdottomia tapahtumia, koska niiden toteutumisen todennäköisyysaste (todennäköisyys) on käytännössä yhtä suuri kuin 0. Tämä on siis tapahtuma E. Sijoitamme mittakaavamme loppupisteeseen luotettavat tapahtumat - F. Kaikki muut tapahtumat ovat satunnaisia, yritetään järjestää ne asteikolla niiden esiintymisasteen lisääntymisen mukaan. Tätä varten meidän on selvitettävä, mitkä niistä ovat vähemmän todennäköisiä ja mitkä todennäköisempiä. Aloitetaan tapahtumasta D: Kun heitämme noppaa, jokaisella kuudesta kasvosta on yhtä suuri mahdollisuus olla huipulla. Parillinen määrä pisteitä - kuution kolmella sivulla, kolmella muulla - pariton. Joten tasan puolet mahdollisuudesta (3/6), että tapahtuma D tapahtuu. Siksi järjestämme tapahtuman D meidän mittakaavamme keskellä.
Tilaisuudessa Kanssa vain yksi mahdollisuus kuuteen tapahtuman aikana D- kolme mahdollisuutta 6:sta (kuten saimme selville). Niin Kanssa vähemmän todennäköistä ja sijoitetaan tapahtuman vasemmalla puolella olevalle asteikolle D.
Tapahtuma MUTTA vielä epätodennäköisempää kuin Kanssa, koska viikoissa on 7 päivää ja missä tahansa niistä voi sataa ensilunta yhtä suurella todennäköisyydellä, joten tapahtumalla on MUTTA yksi mahdollisuus 7. Tapahtumassa MUTTA, joten se sijoittuu vielä enemmän vasemmalle kuin tapahtuma Kanssa.
Vaikein asia asteikolla on tapahtuma AT. Täällä on mahdotonta laskea mahdollisuuksia tarkasti, mutta voit kutsua avuksi elämänkokemuksen: voileipä putoaa lattialle voilla paljon useammin (sillä on jopa "voileipälaki"), joten tapahtuma AT paljon todennäköisemmin kuin D, joten asteikolla asetamme sen oikealle kuin D. Siten saamme mittakaavan:
E A C D B F
mahdotonta satunnaista varmaa
Konstruoitu todennäköisyysasteikko ei ole aivan todellinen - siinä ei ole numeerisia merkkejä, jakoja. Edessämme on tehtävänä oppia laskemaan tapahtuman todennäköisyysaste (todennäköisyys).
