Epälineaariset yhtälöt kahdella tuntemattomalla

Määritelmä 1. Olkoon A joku joukko numeropareja (x; y) . He sanovat, että joukko A on annettu numeerinen toiminto z kahdesta muuttujasta x ja y , jos määritellään sääntö, jonka avulla jokainen joukon A lukupari liittyy tiettyyn numeroon.

Kahden muuttujan x ja y numeerisen funktion z määrittäminen on usein merkitse Niin:

Missä f (x , y) – mikä tahansa muu toiminto kuin toiminto

f (x , y) = ax+by+c ,

jossa a, b, c on annettu numeroita.

Määritelmä 3. Yhtälön (2) ratkaiseminen soita numeropariin ( x; y), jolle kaava (2) on todellinen yhtälö.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö

Koska minkä tahansa luvun neliö ei ole negatiivinen, kaavasta (4) seuraa, että tuntemattomat x ja y täyttävät yhtälöjärjestelmän

jonka ratkaisu on lukupari (6; 3).

Vastaus: (6; 3)

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö

Siksi yhtälön (6) ratkaisu on ääretön määrä lukupareja ystävällinen

(1 + y ; y) ,

missä y on mikä tahansa luku.

lineaarinen

Määritelmä 4. Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen

soita numeropariin ( x; y), kun ne korvataan tämän järjestelmän jokaisessa yhtälössä, saadaan oikea yhtälö.

Kahden yhtälön järjestelmillä, joista toinen on lineaarinen, on muoto

g(x , y)

Esimerkki 4. Ratkaise yhtälöjärjestelmä

Ratkaisu . Esitetään tuntematon y järjestelmän (7) ensimmäisestä yhtälöstä tuntemattoman x:n kautta ja korvataan tuloksena oleva lauseke järjestelmän toisella yhtälöllä:

Yhtälön ratkaiseminen

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Siten,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Kahden yhtälön järjestelmät, joista toinen on homogeeninen

Kahden yhtälön järjestelmillä, joista toinen on homogeeninen, on muoto

jossa a, b, c on annettu numeroita ja g(x , y) – kahden muuttujan x ja y funktio.

Esimerkki 6. Ratkaise yhtälöjärjestelmä

Ratkaisu . Ratkaistaan ​​homogeeninen yhtälö

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

käsittelemällä sitä toisena yhtälönä tuntemattoman x:n suhteen:

.

Varalta x = - 5y, järjestelmän (11) toisesta yhtälöstä saadaan yhtälö

5y 2 = - 20 ,

jolla ei ole juuria.

Varalta

järjestelmän (11) toisesta yhtälöstä saadaan yhtälö

,

joiden juuret ovat numerot y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Löytämällä jokaiselle näistä arvoista y vastaava arvo x, saadaan järjestelmään kaksi ratkaisua: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Vastaus: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Esimerkkejä muun tyyppisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta

Esimerkki 8. Ratkaise yhtälöjärjestelmä (MIPT)

Ratkaisu . Otetaan käyttöön uudet tuntemattomat u ja v, jotka ilmaistaan ​​x:n ja y:n kautta kaavojen mukaisesti:

Kirjoittaaksemme järjestelmän (12) uudelleen uusiksi tuntemattomiksi, ilmaisemme ensin tuntemattomat x ja y u:lla ja v:lla. Järjestelmästä (13) seuraa, että

Ratkaistaan ​​lineaarinen järjestelmä (14) eliminoimalla muuttuja x tämän järjestelmän toisesta yhtälöstä. Tätä tarkoitusta varten suoritamme seuraavat muunnokset järjestelmässä (14).

Ongelma 12.

Ratkaise kokonaisluvuilla 5x²+ 5v² + 8xy + 2v – 2v + 2 = 0.

Ratkaisu.

Jos yrität ratkaista tämän yhtälön faktorointimenetelmällä, tämä on melko työvoimavaltaista työtä, joten tämä yhtälö voidaan ratkaista tyylikkäämmällä menetelmällä. Harkitse yhtälöä muodossa neliön suhteellinen O x 5x²+(8v-2 )x+5v²+2v+2=0 , x1,2 = (1 – 4v ±√(1 – 4v)² – 5(5v² + 2v + 2))/5 = (1 – 4v ± √ -9(y + 1)²)/5.

Tällä yhtälöllä on ratkaisu, kun diskriminantti on nolla, ts. –9(y + 1) = 0, täältä y = -1. Jos y = -1, Tuo x = 1.

Vastaus.

Ongelma 13.

Ratkaise kokonaisluvuilla 3(x² + xy + y²)= x + 8y

Ratkaisu.

Pidä yhtälöä neliöllisenä suhteessa x 3x² + (3v - 1)x + 3v² - 8v = 0. Etsitään yhtälön diskriminantti D = =(3у – 1)² - 4 * 3(3у² - 8у) = 9у² - 6у + 1 - 36у² + 96у = -27у² + 90у + 1.

Annettu yhtälö koulutuksella on juuret, JosD³ 0, eli –27у² + 90 у + 1³ 0

(-45 + √2052)/ (-27) £ y £ (-45 -√2052)/ (-27)(4)

Koska y О Z, silloin ehto (4) täyttyy vain 0, 1, 2, 3 . Näiden arvojen läpi käymällä huomaamme, että kokonaislukujen yhtälöllä on ratkaisuja (0; 0) Ja (1; 1) .

Vastaus.

(0; 0) , (1; 1) .

Ongelma 14.

Ratkaise yhtälö 5x² - 2xy + 2y² - 2x - 2v + 1 = 0.

Ratkaisu.

Pidä tätä yhtälöä neliöllisenä suhteessa X kertoimilla riippuen y, 5x² - 2(y + 1)x + 2y² - 2y + 1 = 0.

Etsitään neljäsosa erottajasta D/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)².

Tästä seuraa, että yhtälöllä on ratkaisu vain silloin, kun -(3у – 2)² = 0, tämä tarkoittaa y = ⅔, sitten löydämme x = ⅓.

Vastaus.

(⅓; ⅔).

Jäännösmenetelmä.

Ongelma 15.

Ratkaise kokonaisluvuilla 3ª = 1 + y²

Ratkaisu.

Se on selvää (0; 0) – tämän yhtälön ratkaisu. Osoittakaamme, ettei muita ratkaisuja ole.

Tarkastellaanpa tapauksia:

1) x О N, y О N(5)

Jos x О N, Tuo 3ª jaettuna 3 ilman jälkiä ja y² + 1 kun jaetaan 3 antaa myös loput 1 , tai 2 . Siksi tasa-arvo (5) luonnonarvoille X Ja klo mahdotonta.

2) Jos X– negatiivinen kokonaisluku, y О Z, Sitten 0<3ª<1, A 1+y²³0 ja tasa-arvo (5) on myös mahdotonta. Siksi (0; 0) on ainoa ratkaisu.

Vastaus.

Ongelma 16 .

Todista, että yhtälöjärjestelmä

ì x² - y² = 7

î z² - 2y² = 1

ei ole ratkaisuja kokonaislukuina.

Ratkaisu.

Oletetaan, että järjestelmä on käytössä. Toisesta yhtälöstä z²=2у+1, eli z²– pariton luku ja z- outoa tarkoittaa z = 2m+1. Sitten y²+2m²+2m, tarkoittaa, y² - tasaluku klo- jopa, y = 2n, n О Z.

x²=8n³+7, eli x² - pariton luku ja X - pariton numero, x=2k+1, k О Z.

Korvataan arvot X Ja klo ensimmäiseen yhtälöön, saamme 2(k² + k - 2n³) = 3, mikä on mahdotonta, koska vasen puoli on jaollinen 2 , mutta oikea ei.

Tämä tarkoittaa, että olettamuksemme on virheellinen, ts. järjestelmässä ei ole ratkaisuja kokonaislukuina.

Äärettömän laskeutumisen menetelmä.

Yhtälöiden ratkaiseminen äärettömän laskeutumisen menetelmällä etenee seuraavan kaavion mukaisesti: olettamalla, että yhtälöllä on ratkaisuja, rakennamme jonkin äärettömän prosessin, kun taas ongelman merkityksen mukaan tämän prosessin täytyy päättyä johonkin.

Usein äärettömän laskeutumisen menetelmää käytetään yksinkertaisemmassa muodossa. Olettaen, että olemme jo saavuttaneet luonnollisen lopun, näemme, että emme voi "pysähtyä".

Ongelma 17.

Ratkaise kokonaisluvuilla 29x + 13v + 56z = 17 (6)

Ilmaistaan ​​tuntematon pienimmällä kertoimella jäljellä olevien tuntemattomien suhteen.

y=(17-29x-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13(7)

Merkitään (4-3x-4z)/13 = t1(8)

Kohdasta (7) seuraa, että t1 voi ottaa vain kokonaislukuja. Alkaen (8) meillä on 13t1 + 3x + 4z = 14(9)

Saamme uuden diofantiiniyhtälön, mutta pienemmillä kertoimilla kuin kohdassa (6). Sovelletaan samoja huomioita kohtaan (9): x=(4-13t1-4z)/3= =(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3

(1-t1-z)/3 = t2, t2-kokonainen, 3t2+t1+z = 1(10)

Kohdassa (10) kerroin at z– alkuperäisen yhtälön tuntematon on yhtä suuri kuin 1 - tämä on "laskeutumisen" viimeinen kohta. Nyt ilmaisemme johdonmukaisesti z, x, y kautta t1 Ja t2.

ì z = -t1 – 3t2 + 1

í x = 1 – 4t1 + t1 + 3t2 = 1 + t2 = -t1 + 4t2

î y = 1 + 6t1 - 8t2 + 4t1 + 12t2 - 4 + t1 = 11t1 + 4t2 - 3

Niin, ì x = -3t1 + 4t2

í y = 11t1 + 4t2 - 3

î z = -t1 – 3t2 + 1

t1, t2- mitkä tahansa kokonaisluvut - kaikki yhtälön (6) kokonaislukuratkaisut

Ongelma 18.

Ratkaise kokonaisluvuilla x³ - 3y³ - 9z³ = 0(11)

Ratkaisu.

Voidaan nähdä, että yhtälön (11) vasen puoli ei sovellu mihinkään muunnoksiin. Siksi kokonaislukujen luonteen tutkiminen x3=3(y³-z³). Määrä x³ useita 3 , mikä tarkoittaa numeroa X useita 3 , eli x = 3x1(12) Korvataan (12) arvolla (11) 27х1³-3у³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0(13)

y³=3(3x1³-z³). Sitten y³ useita 3 , joka tarkoittaa klo useita 3 , eli y = 3v1(14). Korvataan (14) arvolla (13) 9х1³ -27у1³ - 3z³ = 0. Tästä yhtälöstä seuraa, että z³ useita 3, ja siksi z useita 3 , eli z = 3z1.

Joten kävi ilmi, että yhtälön (11) täyttävät luvut ovat kolmen kerrannaisia, ja riippumatta siitä kuinka monta kertaa jaamme ne 3 , saamme lukuja, jotka ovat kolmen kerrannaisia. Ainoa kokonaisluku, joka täyttää kolme. Ainoa tämän ehdon täyttävä kokonaisluku on nolla, eli tämän yhtälön ratkaisu (0; 0; 0)

Yhtälöiden ratkaiseminen kokonaislukuina.

Epävarmat yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka sisältävät useamman kuin yhden tuntemattoman. Yhdellä ratkaisulla määrittämättömään yhtälöön tarkoitamme tuntemattomien arvojen joukkoa, joka muuttaa annetun yhtälön todelliseksi yhtälöksi.

Ratkaista muodon yhtälö kokonaislukuina ah + kirjoittaja = c , Missä A, b , c - Muut kokonaisluvut kuin nolla, esitämme joukon teoreettisia säännöksiä, joiden avulla voimme laatia päätössäännön. Nämä säännökset perustuvat myös jo tunnettuihin jakoteorian tosiasioihin.

Lause 1.Jos gcd (A, b ) = d , sitten on sellaisia ​​kokonaislukuja X Ja klo, että tasa-arvo pätee ah + b y = d . (Tätä yhtälöä kutsutaan lineaariseksi yhdistelmäksi tai kahden luvun suurimman yhteisen jakajan lineaariseksi esitykseksi itse lukujen perusteella.)

Lauseen todistus perustuu euklidisen algoritmin yhtälön käyttämiseen kahden luvun suurimman yhteisen jakajan etsimiseen (suurin yhteinen jakaja ilmaistaan ​​osittaisosamääränä ja jäännöksinä, alkaen euklidisen algoritmin viimeisestä yhtälöstä).

Esimerkki.

Etsi lukujen 1232 ja 1672 suurimman yhteisen jakajan lineaarinen esitys.

Ratkaisu.

1. Luodaan euklidisen algoritmin yhtäläisyydet:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, ts. (1672.352) = 88.

2) Esitetään 88 peräkkäin epätäydellisillä osamääräillä ja jäännöksillä käyttämällä yllä saatuja yhtälöitä, lopusta alkaen:

88 = 440-352∙1 = (1672-1232) - (1232-1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, ts. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Lause 2. Jos yhtälö ah + b y = 1 , jos gcd (A, b ) = 1 , riittää kuvitella numero 1 lineaarisena yhdistelmänä numeroista a ja b.

Tämän lauseen pätevyys seuraa Lauseesta 1. Siten yhden kokonaisluvun ratkaisun löytämiseksi yhtälöön ah + b y = 1, jos gcd (a, b) = 1, riittää, että luku 1 esitetään lineaarisena numeroyhdistelmänä A Ja V .

Esimerkki.

Etsi kokonaislukuratkaisu yhtälölle 15x + 37y = 1.

Ratkaisu.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Lause 3. Jos yhtälössä ah + b y = c gcd(a, b ) = d >1 Ja Kanssa ei jaettavissa d , silloin yhtälöllä ei ole kokonaislukuratkaisuja.

Lauseen todistamiseksi riittää oletus päinvastaisesta.

Esimerkki.

Etsi kokonaislukuratkaisu yhtälölle 16x - 34y = 7.

Ratkaisu.

(16,34) = 2; 7 ei ole jaollinen kahdella, yhtälöllä ei ole kokonaislukuratkaisuja

Lause 4. Jos yhtälössä ah + b y = c gcd(a, b ) = d >1 ja c d , sitten se on

Lauseen todistettaessa tulee osoittaa, että mielivaltainen kokonaislukuratkaisu ensimmäiseen yhtälöön on myös toisen yhtälön ratkaisu ja päinvastoin.

Lause 5. Jos yhtälössä ah + b y = c gcd(a, b ) = 1, silloin kaikki tämän yhtälön kokonaislukuratkaisut sisältyvät kaavoihin:

t – mikä tahansa kokonaisluku.

Lauseen todistamisen yhteydessä tulee osoittaa ensinnäkin, että yllä olevat kaavat todella tarjoavat ratkaisuja tähän yhtälöön ja toiseksi, että yllä oleviin kaavoihin sisältyy mielivaltainen kokonaislukuratkaisu tähän yhtälöön.

Yllä olevat lauseet antavat meille mahdollisuuden vahvistaa seuraavan säännön yhtälön ratkaisemiseksi kokonaislukuina ah+ b y = c gcd(a, b ) = 1:

1) Yhtälölle löytyy kokonaislukuratkaisu ah + b y = 1 esittämällä 1:tä lineaarisena numeroyhdistelmänä A Jab (on muitakin tapoja löytää kokonaislukuratkaisuja tähän yhtälöön, esimerkiksi käyttämällä jatkuvia murtolukuja);

Yleinen kaava annettujen kokonaislukuratkaisuille

Antaminen t tiettyjä kokonaislukuarvoja, voit saada osittaisia ​​ratkaisuja tähän yhtälöön: pienin absoluuttisesti arvoltaan, pienin positiivinen (jos mahdollista) jne.

Esimerkki.

Etsi yhtälön kokonaislukuratkaisut 407x - 2816y = 33.

Ratkaisu.

1. Yksinkertaistamme tätä yhtälöä saattamalla sen muotoon 37x - 256y = 3.

2. Ratkaise yhtälö 37x - 256y = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Tämän yhtälön kaikkien kokonaislukuratkaisujen yleinen muoto:

x = -83,3 - 256 t = -249 - 256 t,

y = -12,3 - 37 t = -36 - 37 t.

Menetelmä kaikkien mahdollisten muuttujien arvojen tyhjentämiseksi,

sisältyvät yhtälöön.

Etsi kaikkien luonnollisten lukuparien joukko, jotka ovat yhtälön 49x + 51y = 602 ratkaisuja.

Ratkaisu:

Esitetään muuttuja x yhtälöstä y x =:n kautta, koska x ja y ovat luonnollisia lukuja, niin x =602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.

Täydellinen vaihtoehtohaku osoittaa, että yhtälön luonnolliset ratkaisut ovat x=5, y=7.

Vastaus: (5;7).

Yhtälöiden ratkaiseminen faktorointimenetelmällä.

Diophantus piti lineaaristen yhtälöiden kanssa neliö- ja kuutiomääräisinä epämääräisinä yhtälöinä. Niiden ratkaiseminen on yleensä vaikeaa.

Tarkastellaanpa tapausta, jossa yhtälöissä voidaan käyttää neliöiden erotuskaavaa tai muuta tekijöiden laskentamenetelmää.

Ratkaise yhtälö kokonaislukuina: x 2 + 23 = y 2

Ratkaisu:

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23

Koska x ja y ovat kokonaislukuja ja 23 on alkuluku, seuraavat tapaukset ovat mahdollisia:

Ratkaisemalla tuloksena olevat järjestelmät löydämme:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Ilmaisee yhden muuttujan toiseksi ja eristetään koko murto-osa.

Ratkaise yhtälö kokonaislukuina: x 2 + xy – y – 2 = 0.

Ratkaisu:

Ilmaistaan ​​y - x tästä yhtälöstä:

y(x - 1) =2 - x 2,

7. luokan matematiikan kurssilla kohtaamme ensimmäistä kertaa yhtälöt kahdella muuttujalla, mutta niitä tutkitaan vain yhtälöjärjestelmien yhteydessä, joissa on kaksi tuntematonta. Tästä syystä koko joukko ongelmia, joissa yhtälön kertoimille asetetaan tiettyjä ehtoja, jotka rajoittavat niitä, putoaa näkyvistä. Lisäksi jätetään huomiotta ongelmien ratkaisumenetelmät, kuten "Ratkaise yhtälö luonnollisilla tai kokonaislukuilla", vaikka tällaisia ​​ongelmia löytyy yhä useammin Unified State Exam materiaaleista ja pääsykokeista.

Mitä yhtälöä kutsutaan yhtälöksi, jossa on kaksi muuttujaa?

Joten esimerkiksi yhtälöt 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 tai xy = 12 ovat kahdessa muuttujassa olevia yhtälöitä.

Tarkastellaan yhtälöä 2x – y = 1. Se toteutuu, kun x = 2 ja y = 3, joten tämä muuttujaarvopari on ratkaisu kyseessä olevaan yhtälöön.

Siten ratkaisu mihin tahansa yhtälöön, jossa on kaksi muuttujaa, on joukko järjestettyjä pareja (x; y), muuttujien arvoja, jotka muuttavat tämän yhtälön todelliseksi numeeriseksi yhtälöksi.

Yhtälö, jossa on kaksi tuntematonta, voi:

A) on yksi ratkaisu. Esimerkiksi yhtälöllä x 2 + 5y 2 = 0 on ainutlaatuinen ratkaisu (0; 0);

b) on useita ratkaisuja. Esimerkiksi (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 sisältää 4 ratkaisua: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

V) ei ole ratkaisuja. Esimerkiksi yhtälöllä x 2 + y 2 + 1 = 0 ei ole ratkaisuja;

G) ratkaisuja on äärettömän monta. Esimerkiksi x + y = 3. Tämän yhtälön ratkaisut ovat lukuja, joiden summa on 3. Tämän yhtälön ratkaisut voidaan kirjoittaa muotoon (k; 3 – k), jossa k on mikä tahansa reaali määrä.

Tärkeimmät menetelmät kahdella muuttujalla olevien yhtälöiden ratkaisemiseksi ovat tekijälausekkeisiin perustuvat menetelmät, täydellisen neliön eristäminen, toisen asteen yhtälön ominaisuuksia hyödyntävät, rajoitetut lausekkeet ja estimointimenetelmät. Yhtälö muunnetaan yleensä muotoon, josta voidaan saada järjestelmä tuntemattomien löytämiseksi.

Faktorisointi

Esimerkki 1.

Ratkaise yhtälö: xy – 2 = 2x – y.

Ratkaisu.

Ryhmittelemme ehdot tekijöiden jakamista varten:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Jokaisesta suluista otetaan yhteinen tekijä:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Meillä on:

y = 2, x – mikä tahansa reaaliluku tai x = -1, y – mikä tahansa reaaliluku.

Täten, vastaus on kaikki muodon (x; 2), x € R ja (-1; y), y € R parit.

Ei-negatiivisten lukujen yhtäläisyys nollaan

Esimerkki 2.

Ratkaise yhtälö: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Ratkaisu.

Ryhmittely:

(9x 2 – 12x + 4) + (4v 2 – 12v + 9) = 0. Nyt jokainen kiinnike voidaan taittaa neliön erotuskaavan avulla.

(3x – 2) 2 + (2v – 3) 2 = 0.

Kahden ei-negatiivisen lausekkeen summa on nolla vain, jos 3x – 2 = 0 ja 2y – 3 = 0.

Tämä tarkoittaa x = 2/3 ja y = 3/2.

Vastaus: (2/3; 3/2).

Arviointimenetelmä

Esimerkki 3.

Ratkaise yhtälö: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.

Ratkaisu.

Jokaisessa sulussa korostetaan täydellinen neliö:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Arvioidaan suluissa olevien ilmaisujen merkitys.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ja (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, silloin yhtälön vasen puoli on aina vähintään 2. Tasa-arvo on mahdollinen, jos:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ja (y – 2) 2 + 2 = 2, mikä tarkoittaa x = -1, y = 2.

Vastaus: (-1; 2).

Tutustutaan toiseen menetelmään yhtälöiden ratkaisemiseksi kahdella toisen asteen muuttujalla. Tämä menetelmä koostuu yhtälön käsittelemisestä neliö jonkin muuttujan suhteen.

Esimerkki 4.

Ratkaise yhtälö: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Ratkaisu.

Ratkaistaan ​​yhtälö x:n toisen asteen yhtälönä. Etsitään diskriminantti:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Yhtälöllä on ratkaisu vain kun D = 0, eli jos y = 4. Korvaamme y:n arvon alkuperäiseen yhtälöön ja huomaamme, että x = 3.

Vastaus: (3; 4).

Usein yhtälöissä, joissa on kaksi tuntematonta, ne osoittavat muuttujien rajoituksia.

Esimerkki 5.

Ratkaise yhtälö kokonaislukuina: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Ratkaisu.

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Tuloksena olevan yhtälön oikea puoli jaettuna 5:llä antaa jäännöksen 2:sta. Siksi x 2 ei ole jaollinen 5:llä. Mutta a:n neliö luku, joka ei ole jaollinen viidellä, antaa jäännöksen 1 tai 4. Näin ollen yhtäläisyys on mahdotonta eikä ratkaisuja ole.

Vastaus: ei juuria.

Esimerkki 6.

Ratkaise yhtälö: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Ratkaisu.

Korostetaan täydelliset ruudut jokaisessa sulussa:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Yhtälön vasen puoli on aina suurempi tai yhtä suuri kuin 3. Tasa-arvo on mahdollinen, jos |x| – 2 = 0 ja y + 3 = 0. Siten x = ± 2, y = -3.

Vastaus: (2; -3) ja (-2; -3).

Esimerkki 7.

Jokaiselle negatiivisten kokonaislukujen (x;y) parille, joka täyttää yhtälön
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, laske summa (x + y). Ilmoita vastauksessasi pienin summa.

Ratkaisu.

Valitsemme täydelliset neliöt:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Koska x ja y ovat kokonaislukuja, myös niiden neliöt ovat kokonaislukuja. Saamme kahden kokonaisluvun neliöiden summan, joka on yhtä suuri kuin 37, jos laskemme yhteen 1 + 36. Siksi:

(x – y) 2 = 36 ja (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 ja (y + 2) 2 = 36.

Ratkaisemalla nämä järjestelmät ja ottaen huomioon, että x ja y ovat negatiivisia, löydämme ratkaisut: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Vastaus: -17.

Älä ole epätoivoinen, jos sinulla on vaikeuksia ratkaista yhtälöitä kahdella tuntemattomalla. Pienellä harjoituksella voit käsitellä mitä tahansa yhtälöä.

Onko sinulla vielä kysyttävää? Etkö tiedä kuinka ratkaista kahdessa muuttujassa olevia yhtälöitä?
Jos haluat apua ohjaajalta, rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Metsän reunasta penkkiin johtaa monia polkuja. Ne ovat mutkaisia, ne yhtyvät, eroavat jälleen ja leikkaavat jälleen toisensa. Kävellessä voi vain huomata näiden polkujen runsauden, kävellä joitain niistä ja jäljittää niiden suunnan metsän syvyyksiin. Tutkiaksesi metsää vakavasti, sinun on seurattava polkuja, kunnes ne näkyvät ollenkaan kuivien männyn neulojen ja pensaiden joukossa.

Siksi halusin kirjoittaa projektin, jota voidaan pitää kuvauksena yhdestä mahdollisesta kävelystä modernin matematiikan reunalla.

Ympäröivä maailma, kansantalouden tarpeet ja usein arkihuolet asettavat ihmiselle yhä enemmän uusia tehtäviä, joihin ratkaisu ei aina ole ilmeinen. Joskus tiettyyn kysymykseen on monia mahdollisia vastauksia, mikä vaikeuttaa ongelmien ratkaisemista. Kuinka valita oikea ja optimaalinen vaihtoehto?

Määrittämättömien yhtälöiden ratkaisu liittyy suoraan tähän asiaan. Tällaisia ​​yhtälöitä, jotka sisältävät kaksi tai useampia muuttujia, joille on välttämätöntä löytää kaikki kokonaisluku- tai luonnolliset ratkaisut, on harkittu muinaisista ajoista lähtien. Esimerkiksi kreikkalainen matemaatikko Pythagoras (IV vuosisadalla eKr.). Aleksandrialainen matemaatikko Diophantus (II-III vuosisata jKr.) ja meille lähemmän aikakauden parhaat matemaatikot - P. Fermat (XVII vuosisata), L. Euler (XVIII vuosisata), J. L. Lagrange (XVIII vuosisata) ja muut.

Osallistuessani Venäjän kirjeenvaihtokilpailuun > Obninskissa, kansainväliseen pelikilpailuun > ja Uralin liittopiirin olympialaisiin kohtaan usein tällaisia ​​tehtäviä. Tämä johtuu siitä, että heidän ratkaisunsa on luonteeltaan luova. Ongelmat, jotka syntyvät ratkaistaessa yhtälöitä kokonaislukuina, johtuvat sekä monimutkaisuudesta että siitä, että niihin käytetään vähän aikaa koulussa.

Diophantus esittelee yhden tieteen historian vaikeimmista mysteereistä. Emme tiedä aikaa, jolloin hän asui, emmekä hänen edeltäjiään, jotka olisivat työskennelleet samalla alalla. Hänen teoksensa ovat kuin kimalteleva tuli läpäisemättömän pimeyden keskellä.

Aika, jolloin Diophantus olisi voinut elää, on puoli vuosituhatta! Alaraja on helppo määrittää: monikulmiolukuja käsittelevässä kirjassaan Diophantus mainitsee toistuvasti matemaatikko Hypsiclesin Aleksandriasta, joka eli 2. vuosisadan puolivälissä. eKr e.

Toisaalta Aleksandrian Theonin kommenteissa kuuluisalle tähtitieteilijälle Ptolemaioselle on ote Diofantoksen teoksesta. Theon eli 400-luvun puolivälissä. n. e. Tämä määrittää tämän intervallin ylärajan. Eli 500 vuotta!

Ranskalainen tieteen historioitsija Paul Tannry, Diophantuksen täydellisimmän tekstin toimittaja, yritti kaventaa tätä kuilua. Escurial-kirjastosta hän löysi otteita 1000-luvun bysanttilaisen tutkijan Michael Pselluksen kirjeestä. , jossa sanotaan, että oppinein Anatoli, kerättyään tämän tieteen tärkeimmät osat, puhumme tuntemattomien asteiden käyttöönotosta ja niiden (nimeämisestä), omisti ne ystävälleen Diophantukselle. Anatoli Aleksandrialainen todella sävelsi >, joista otteita on lainattu Jamblikoksen ja Euseniuksen olemassa olevissa teoksissa. Mutta Anatoli asui Aleksandriassa 11000-luvun puolivälissä eKr. e ja vielä tarkemmin - vuoteen 270, jolloin hänestä tuli Laodacian piispa. Tämä tarkoittaa, että hänen ystävyytensä Diophantuksen kanssa, jota kaikki kutsuvat Aleksandriaksi, on täytynyt tapahtua ennen tätä. Joten, jos kuuluisa aleksandrialainen matemaatikko ja Anatolian ystävä nimeltä Diophantus ovat yksi henkilö, niin Diophantuksen elinaika on 11000-luvun puolivälissä jKr.

Mutta Diophantuksen asuinpaikka on tunnettu - Aleksandria, tieteellisen ajattelun ja hellenistisen maailman keskus.

Yksi Palatinuksen antologian epigrammeista on säilynyt tähän päivään asti:

Diofantoksen tuhkat lepäävät haudassa: ihmettele sitä - ja kiveä

Vainajan ikä puhuu hänen viisaan taiteensa kautta.

Jumalien tahdosta hän eli kuudenneksen elämästään lapsena.

Ja tapasin puoli kuusi pörröä poskillani.

Se oli vasta seitsemäs päivä, kun hän meni kihloihin tyttöystävänsä kanssa.

Viisi vuotta hänen kanssaan vietettyään viisas odotti poikaansa.

Hänen isänsä rakas poika eli vain puolet elämästään.

Hänet vietiin isältään hänen varhaisessa hautaan.

Vanhempi suri kahdesti kahden vuoden ajan vakavaa surua.

Tässä näin surullisen elämäni rajan.

Nykyaikaisilla yhtälöiden ratkaisumenetelmillä on mahdollista laskea, kuinka monta vuotta Diophantus eli.

Anna Diophantuksen elää x vuotta. Luodaan ja ratkaistaan ​​yhtälö:

Kerrotaan yhtälö 84:llä murtolukujen poistamiseksi:

Diophantus eli 84 vuotta.

Salaperäisin on Diophantuksen työ. Kuusi kolmestatoista kirjasta, jotka yhdistettiin >, ovat saavuttaneet näiden kirjojen tyylin ja sisällön jyrkästi klassisista antiikin lukuteoriaa ja algebraa koskevista teoksista, joista tunnemme esimerkkejä > Euclid, hänen >, lemmoista teoksista; Archimedes ja Apollonios. > oli epäilemättä tulos lukuisista tutkimuksista, jotka jäivät täysin tuntemattomiksi.

Voimme vain arvailla sen juuria ja ihmetellä sen menetelmien ja tulosten rikkautta ja kauneutta.

> Diophanta on kokoelma ongelmia (yhteensä 189), joista jokaisella on ratkaisu. Sen ongelmat on valittu huolellisesti ja ne havainnollistavat hyvin erityisiä, tarkasti harkittuja menetelmiä. Kuten muinaisina aikoina oli tapana, menetelmiä ei muotoilla yleisessä muodossa, vaan niitä toistetaan samanlaisten ongelmien ratkaisemiseksi.

Ainutlaatuinen Diophantuksen elämäkerta tunnetaan luotettavasti, joka legendan mukaan kaiverrettiin hänen hautakiveensä ja esitti pulmatehtävän:

Tämä palapeli on esimerkki ongelmista, jotka Diophantus ratkaisi. Hän oli erikoistunut kokonaislukujen ongelmien ratkaisemiseen. Tällaisia ​​ongelmia kutsutaan tällä hetkellä diofantinisiksi ongelmiksi.

Diofantiiniyhtälöiden tutkimiseen liittyy yleensä suuria vaikeuksia.

Vuonna 1900 Pariisissa pidetyssä matemaatikoiden maailmankongressissa yksi maailman johtavista matemaatikoista, David Hilbert, tunnisti 23 ongelmaa matematiikan eri aloilta. Yksi näistä ongelmista oli diofantiiniyhtälöiden ratkaiseminen. Ongelma oli seuraava: onko mahdollista ratkaista yhtälö, jossa on mielivaltainen määrä tuntemattomia ja kokonaislukukertoimia tietyllä tavalla - algoritmin avulla. Tehtävä on seuraava: annetulle yhtälölle sinun on löydettävä kaikki yhtälöön sisältyvien muuttujien kokonaisluvut tai luonnolliset arvot, joissa se muuttuu todelliseksi yhtälöksi. Diophantus keksi monia erilaisia ​​ratkaisuja tällaisille yhtälöille. Diofantiiniyhtälöiden äärettömän moninaisuuden vuoksi niiden ratkaisemiseen ei ole yleistä algoritmia, ja lähes jokaiselle yhtälölle on keksittävä oma tekniikka.

Ensimmäisen asteen diofantiiniyhtälö tai lineaarinen diofantiiniyhtälö, jossa on kaksi tuntematonta, on yhtälö muotoa: ax+by=c, missä a,b,c ovat kokonaislukuja, GCD(a,b)=1.

Annan lauseiden formulaatiot, joiden perusteella voidaan laatia algoritmi kahden muuttujan kokonaislukuina määrittämättömien ensimmäisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Lause 1. Jos yhtälössä, niin yhtälöllä on ainakin yksi ratkaisu.

Todiste:

Voimme olettaa, että >0. Kun x:n yhtälö on ratkaistu, saadaan: x = c-vua. Todistan, että jos tässä kaavassa korvataan y:n sijasta kaikki luonnolliset luvut, jotka ovat pienempiä kuin a ja 0, eli luvut 0;1;2;3;. ;a-1, ja joka kerta kun suoritat jaon, kaikki jäännökset ovat erilaisia. Todellakin, y:n sijasta korvaan luvut m1 ja m2, pienemmät kuin a. Tuloksena saan kaksi murtolukua: c-bm1a ja c-bm2a. Kun jako on tehty ja epätäydelliset osamäärät merkitty q1:llä ja q2:lla ja jäännökset r1:llä ja r2:lla, saadaan с-вm1а=q1+ r1а, с-вm2а= q2+ r2а.

Oletan, että jäännökset r1 ja r2 ovat yhtä suuret. Sitten kun vähennät toisen ensimmäisestä yhtälöstä, saan: c-bm1a- c-bm2a = q1-q2 tai b(m1 - m2)a = q1-q2.

Koska q1-q2 on kokonaisluku, niin vasemman puolen on oltava kokonaisluku. Siksi bm1 - m2 on jaollinen a:lla, eli kahden luonnollisen luvun, joista kukin on pienempi kuin a, eron on oltava jaollinen a:lla, mikä on mahdotonta. Tämä tarkoittaa, että jäännökset r1 ja r2 ovat yhtä suuret. Eli kaikki jäännökset ovat erilaisia.

Että. Sain a eri saldoista pienempiä kuin a. Mutta luonnollisten lukujen erilliset a, jotka eivät ylitä a:ta, ovat luvut 0;1;2;3;. ;a-1. Näin ollen jäljellä olevien joukossa on varmasti yksi ja vain yksi, joka on yhtä suuri kuin nolla. Y:n arvo, jonka korvaaminen lausekkeella (c-vu)a antaa jäännöksen 0:sta ja muuttaa x=(c-vu)a:n kokonaisluvuksi. Q.E.D.

Lause 2. Jos yhtälössä ja c ei ole jaollinen, yhtälöllä ei ole kokonaislukuratkaisuja.

Todiste:

Olkoon d=GCD(a;b), jolloin a=md, b=nd, missä m ja n ovat kokonaislukuja. Tällöin yhtälö saa muotoa: mdх+ ndу=с tai d(mх+ nу)=с.

Jos oletetaan, että on olemassa kokonaislukuja x ja y, jotka täyttävät yhtälön, huomaan, että kerroin c on jaollinen d:llä. Tuloksena oleva ristiriita vahvistaa lauseen.

Lause 3. Jos yhtälössä ja, niin se on yhtälö, jossa.

Lause 4. Jos yhtälössä, niin kaikki tämän yhtälön kokonaislukuratkaisut sisältyvät kaavoihin:

missä x0, y0 on yhtälön kokonaislukuratkaisu, on mikä tahansa kokonaisluku.

Muotoiltujen lauseiden avulla on mahdollista rakentaa seuraava algoritmi kokonaislukujen muotoisen yhtälön ratkaisemiseksi.

1. Etsi lukujen a ja b suurin yhteinen jakaja, jos c ei ole jaollinen, yhtälöllä ei ole kokonaislukuratkaisuja; jos ja sitten

2. Jaa yhtälön termi termillä, jolloin saadaan yhtälö, jossa.

3. Etsi yhtälön kokonaislukuratkaisu (x0, y0) esittämällä 1 numeroiden ja lineaarisena yhdistelmänä;

4. Luo yleinen kaava tämän yhtälön kokonaislukuratkaisuille, jossa x0, y0 on yhtälön kokonaislukuratkaisu ja mikä tahansa kokonaisluku.

2. 1 LASKUMENETELMÄ

Monet > perustuvat menetelmiin epävarmojen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Esimerkiksi temppu, johon liittyy syntymäajan arvaaminen.

Pyydä ystävääsi arvaamaan hänen syntymäpäivänsä numeroiden summalla, joka on yhtä suuri kuin hänen syntymäaikansa tulo 12:lla ja syntymäkuukauden numero 31:llä.

Arvaaksesi ystäväsi syntymäpäivän, sinun on ratkaistava yhtälö: 12x + 31y = A.

Olkoon sinulle annettu luku 380, eli meillä on yhtälö 12x + 31y = 380. Löytääksesi x ja y, voit päätellä näin: luku 12x + 24y on jaollinen 12:lla, siis ominaisuuksien mukaan jaollisuus (Lause 4.4), luvuilla 7y ja 380 on oltava sama jäännös jaettuna 12:lla. Luku 380 jaettuna 12:lla antaa jäännöksen 8, joten 7y jaettuna 12:lla on myös jätettävä jäännös 8, ja koska y on kuukauden numero, sitten 1

Ratkaisemamme yhtälö on 1. asteen diofantiiniyhtälö, jossa on kaksi tuntematonta. Tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseen voidaan käyttää niin kutsuttua laskeutumismenetelmää. Tarkastelen tämän menetelmän algoritmia käyttämällä yhtälöä 5x + 8y = 39.

1. Valitsen tuntemattoman, jolla on pienin kerroin (tapauksessamme se on x), ja ilmaisen sen toisen tuntemattoman kautta:. Korostan koko osan: Ilmeisesti x on kokonaisluku, jos lauseke osoittautuu kokonaisluvuksi, mikä puolestaan ​​​​on tapaus, jossa luku 4 - 3y on jaollinen 5:llä ilman jäännöstä.

2. Otan käyttöön ylimääräisen kokonaislukumuuttujan z seuraavasti: 4 - 3y = 5z. Tuloksena saan samantyyppisen yhtälön kuin alkuperäinen, mutta pienemmillä kertoimilla. Ratkaisen sen suhteessa muuttujaan y:. Kun valitsen koko osan, saan:

Päätellen samalla tavalla kuin edellisessä, esitän uuden muuttujan u: 3u = 1 - 2z.

3. Ilmaisen tuntemattoman pienimmällä kertoimella, tässä tapauksessa muuttujalla z: =. Edellyttäen, että se on kokonaisluku, saan: 1 - u = 2v, josta u = 1 - 2v. Murtolukuja ei ole enää, laskeutuminen on valmis.

4. Nyt tarvitset >. Ilmaisen muuttujan v kautta ensin z, sitten y ja sitten x: z = = = 3v - 1; = 3-5v.

5. Kaavat x = 3+8v ja y = 3 - 5v, joissa v on mielivaltainen kokonaisluku, edustavat alkuperäisen yhtälön yleistä ratkaisua kokonaislukuina.

Kommentti. Laskeutumismenetelmään kuuluu siis ensin yhden muuttujan peräkkäinen ilmaiseminen toisessa suhteessa, kunnes muuttujan esityksessä ei ole enää murtolukuja, ja sitten peräkkäin yhtäläisyyksiä pitkin yhtälön yleisen ratkaisun saamiseksi.

2. 2 TUTKIMUSMENETELMÄ

Kanit ja fasaanit istuvat häkissä, heillä on yhteensä 18 jalkaa. Ota selvää kuinka monta molemmista on solussa?

Luodaan yhtälö kahdella tuntemattomalla, jossa x on kanien lukumäärä ja y on fasaanien lukumäärä:

4x + 2y = 18 tai 2x + y = 9.

Vastaus. 1) 1 kani ja 7 fasaania; 2) 2 kania ja 5 fasaania; 3) 3 kania ja 3 fasaania; 4) 4 kania ja 1 fasaani.

1. KÄYTÄNNÖN OSA

3. 1 Lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen kahdella tuntemattomalla

1. Ratkaise yhtälö 407x - 2816y = 33 kokonaislukuina.

Käytän laadittua algoritmia.

1. Euklidisen algoritmin avulla löydän lukujen 407 ja 2816 suurimman yhteisen jakajan:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Siksi (407.2816) = 11, jossa 33 on jaollinen 11:llä.

2. Jaa alkuperäisen yhtälön molemmat puolet 11:llä, saadaan yhtälö 37x - 256y = 3 ja (37, 256) = 1

3. Euklidisen algoritmin avulla löydän lineaarisen esityksen luvusta 1 lukujen 37 ja 256 kautta.

256 = 37 6 + 34;

Ilmoitan 1 viimeisestä yhtälöstä, sitten peräkkäin yhtäläisyyksiä ylöspäin ilmaan 3; 34 ja korvaa saadut lausekkeet lausekkeella 1.

1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =

83 37 - 256 (- 12)

Siten 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1, joten lukupari x0 = - 83 ja y0 = - 12 on yhtälön 37x - 256y = 3 ratkaisu.

4. Kirjoitan ylös alkuperäisen yhtälön ratkaisujen yleiskaavan, jossa t on mikä tahansa kokonaisluku.

Vastaus. (-83c+bt; -12c-at), t є Z.

Kommentti. Voidaan todistaa, että jos pari (x1,y1) on kokonaislukuratkaisu yhtälöön jossa, niin tämän yhtälön kaikki kokonaislukuratkaisut löytyvät kaavoilla: x=x1+bty=y1-at

2. Ratkaise yhtälö 14x - 33y=32 kokonaislukuina.

Ratkaisu: x = (32 + 33y) : 14

(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2v + 5v + 14[. ] 2 + 4 = 14 (2 v + 2) + 5 v + 4; 2y + 2 = p; p є Z

Hae 1-13

Kun y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14

Korvaa y = 2 alkuperäiseen yhtälöön

14x = 32 +33 [. ] 2

14x = 32 + 66 x = 98: 14 = 7

Etsin kaikki kokonaislukuratkaisut löydetystä osamäärästä:

14 (x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32

14 (x - 7) - 33 (y - 2) = 0

14 (x - 7) = 33 (y - 2) -> 14 (x - 7): 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33 k + 7; k є Z

Sallikaa minun korvata alkuperäisen yhtälön:

14 (33 k + 7) - 33 v = 32

14. 33 k + 98 - 33 v = 32 v = 14 k + 2; x = 33k + 7, missä k є Z. Nämä kaavat määrittelevät alkuperäisen yhtälön yleisen ratkaisun.

Vastaus. (33 k + 7; 14 k + 2), k є Z.

3. Ratkaise yhtälö x - 3y = 15 kokonaislukuina.

Löydän GCD(1,3)=1

Määritän tietyn ratkaisun: x=(15+3y):1 laskentamenetelmällä, löydän arvon y=0 sitten x=(15+3 [. ] 0) =15

(15; 0) - yksityinen ratkaisu.

Kaikki muut ratkaisut löytyvät kaavoilla: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z k = 0, saan tietyn ratkaisun (15;0)

Vastaus: (3k+15; k), k є Z.

4. Ratkaise yhtälö 7x - y = 3 kokonaislukuina.

Löydän GCD(7, -1)=1

Määritän tietyn ratkaisun: x = (3+y):7

Raakavoimamenetelmällä saadaan arvo y є y = 4, x = 1

Tämä tarkoittaa, että (1;4) on erityinen ratkaisu.

Löydän kaikki muut ratkaisut kaavoilla: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z

Vastaus: (k+1;7k+4); k є Z.

5. Ratkaise yhtälö 15x+11 y = 14 kokonaislukua.

Löydän GCD(15, -14)=1

Määritän tietyn ratkaisun: x = (14 - 11y):15

Raakavoimamenetelmällä löydän arvon y є y = 4, x = -2

(-2;4) on erityinen ratkaisu.

Löydän kaikki muut ratkaisut kaavoilla: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z

Vastaus: (-11k-2; 15k+4); k є Z.

6. Ratkaise yhtälö 3x - 2y = 12 kokonaislukua.

Löydän GCD(3; 2)=1

Määritän tietyn ratkaisun: x = (12+2y):3

Raakavoimamenetelmällä löydän arvon y є y = 0, x = 4

(4;0) on erityinen ratkaisu.

Löydän kaikki muut ratkaisut kaavoilla: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z

Vastaus: (2k+4; 3k); k є Z.

7. Ratkaise yhtälö xy = x + y kokonaislukuina.

Minulla on xy - x - y + 1 = 1 tai (x - 1) (y - 1) = 1

Siksi x - 1 = 1, y - 1 = 1, josta x = 2, y = 2 tai x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, josta x = 0, y = 0 muita ratkaisuja kokonaislukuina, kun otetaan huomioon yhtälöllä ei ole.

Vastaus. 0;0;(2;2).

8. Ratkaise yhtälö 60x - 77y = 1 kokonaislukuina.

Ratkaistaan ​​tämä yhtälö x:lle: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y +1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.

Olkoon (17y + 1) / 60 = z, niin y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Jos merkitsemme (9z - 1) / 17 t:llä, niin z = (17t) + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Olkoon lopuksi (- t + 1) / 9 = n, sitten t = 1-9n. Koska löydän yhtälöön vain kokonaislukuratkaisuja, z, t, n on oltava kokonaislukuja.

Siten z = 2 - 18n + 2 = 2 - 17n, ja siksi y = 6 - 51n + 1 - 9n = 7 - 60n, x = 2 - 17n +7 - 60n = 9 - 77n. Joten jos x ja y ovat tietyn yhtälön kokonaislukuratkaisuja, niin on olemassa kokonaisluku n siten, että x = 9 - 77n, y = 7 - 60n. Kääntäen, jos y = 9 - 77n, x = 7 - 60n, niin x, y ovat ilmeisesti kokonaislukuja. Tarkastus osoittaa, että ne täyttävät alkuperäisen yhtälön.

Vastaus. (9 - 77n; 7 - 60n)); n є Z.

9. Ratkaise yhtälö 2x+11y =24 kokonaislukuina.

Löydän GCD(2; 11)=1

Määritän tietyn ratkaisun: x = (24-11y):2

Raakavoimamenetelmällä löydän arvon y є y = 0, x = 12

(12;0) on erityinen ratkaisu.

Löydän kaikki muut ratkaisut kaavoilla: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0 = 2k, k є Z

Vastaus: (-11k+12; 2k); k є Z.

10. Ratkaise yhtälö 19x - 7y = 100 kokonaislukuina.

Löydän GCD(19, -7)=1

Määritän tietyn ratkaisun: x = (100+7y):19

Raakavoimamenetelmällä löydän arvon y є y = 2, x = 6

(6;2) on erityinen ratkaisu.

Löydän kaikki muut ratkaisut kaavoilla: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z

Vastaus: (7k+6; 19k+2); kє Z.

11. Ratkaise yhtälö 24x - 6y = 144 kokonaislukuina

Löydän GCD(24, 6)=3.

Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska GCD(24, 6)!=1.

Vastaus. Ratkaisuja ei ole.

12. Ratkaise yhtälö kokonaislukuina.

Muutan tuntemattomien kertoimien suhteen.

Ensinnäkin korostan väärän murtoluvun koko osan;

Korvaan oikean murto-osan yhtä suurella murtoluvulla.

Sitten saan sen.

Teen samat muunnokset nimittäjään saadulla väärällä murtoluvulla.

Nyt alkuperäinen murto-osa on muodossa:

Toistan saman perustelun murtoluvulle, ymmärrän.

Eristämällä koko osan väärästä murtoluvusta, tulen lopputulokseen:

Sain lausekkeen nimeltä äärellinen jatkuva murtoluku tai jatkuva murtoluku. Kun olen hylännyt tämän jatketun murto-osan viimeisen linkin - viidenneksen, muutan tuloksena olevan uuden jatkuvan murto-osan yksinkertaiseksi ja vähennän sen alkuperäisestä murto-osasta.

Vähennän tuloksena olevan lausekkeen yhteiseksi nimittäjäksi ja hylkään sen sitten

Vertaamalla saatua yhtälöä yhtälöön seuraa, että tulee olemaan ratkaisu tähän yhtälöön ja lauseen mukaan kaikki sen ratkaisut sisältyvät,.

Vastaus. (9+52t; 22+127t), t є Z.

Saatu tulos viittaa siihen, että yleisessä tapauksessa yhtälön ratkaisun löytämiseksi on tarpeen laajentaa tuntemattomien kertoimien suhdetta jatkuvaan murto-osaan, hylätä sen viimeinen linkki ja suorittaa samanlaisia ​​laskelmia kuin suoritettiin. ylhäällä.

13. Ratkaise yhtälö 3xy + 2x + 3y = 0 kokonaislukuina.

3xy + 2x + 3y = 3v + 2x + 3v + 2 - 2 = 3v (x + 1) + 2 (x + 1) - 2 =

=(x + 1)(3v + 2) - 2,

(x + 1) (3v + 2) = 2,

3v + 2 = 1 tai 3v + 1 = 2 tai 3v + 1 = -1 tai 3v + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 =1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 tai x = 0 tai x = -3 tai x = -2 y senttiä z, y = 0, y = -1, y senttiä z.

Vastaus: (0;0);(-3;-1).

14. Ratkaise yhtälö y - x - xy = 2 kokonaislukuina.

Ratkaisu: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1) (1 - x) = 3,

3 = 1 · 3 = 3 · 1 = (-1) · (-3) = (-3) · (-1).

y + 1 = 1 tai y + 1 = 3 tai y + 1 = -1 tai y + 1 = -3

1 - x = 3, 1 - x = 1, 1 - x = -3, 1 - x = -1.

y = 0 tai y = 2 tai y = -2 tai y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2

Vastaus: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).

15. Ratkaise yhtälö y + 4x + 2xy = 0 kokonaislukuina.

Ratkaisu: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1) (2 + y) = 2,

2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).

2x + 1 = 1 tai 2x + 1 = 2 tai 2x + 1 = -1 tai 2x + 1 = -2

2 + y = 2, 2 + y = 1, 2 + y = -2, 2 + y = -1; y = 0 tai y = -1 tai y = -4 tai y = -3 x = 0, x senttiä Z, x = -1, x senttiä Z.

Vastaus: (-1;-4); (0;0).

16. Ratkaise yhtälö 5x + 10y = 21 kokonaislukuina.

5(x + 2y) = 21, koska 21 != 5n, silloin ei ole juuria.

Vastaus. Ei ole juuria.

17. Ratkaise yhtälö 3x + 9y = 51 luonnollisilla luvuilla.

3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; y = 2, x = 11; y = 3, x = 8; y = 4, x = 5; y = 5, x = 2; y = 6, x = -1, -1 sentti N.

Vastaus:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14:1).

18. Ratkaise yhtälö 7x+5y=232 kokonaislukuina.

Ratkaisen tämän yhtälön sen tuntemattoman suhteen, josta löytyy pienin (modulo)kerroin, eli tässä tapauksessa y:n suhteen: y = 232-7x5.

Korvaan numerot x:n sijaan tähän lausekkeeseen: 0;1;2;3;4. Saan: x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43,6, x=3, y=232-215=42, 2 , x = 4, y = 232-285 = 40,8

Vastaus. (1;45).

19. Ratkaise yhtälö 3x + 4y + 5xy = 6 kokonaislukuina.

Minulla on 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn

Jakajat 42: - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).

x = m - 45, y = n - 35 Huomaan, että m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 ratkaisut ovat: x = -1, -2 , 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.

Joten tässä yhtälössä on 4 ratkaisua kokonaislukuina ja ei yhtään luonnollisissa luvuissa.

Vastaus. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).

20. Ratkaise yhtälö 8x+65y=81 luonnollisilla luvuilla.

81⋮GCD(8;65)=>

8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.

Olkoon 1-y8=t, t Є Z. x=2+65t>0y=1-8t>0

65t>-2-8t>-1 t>-265 t t=0.

Kohdassa t=0 x=2y=1

Vastaus. (2;1).

21. Etsi ei-negatiivisia kokonaislukuratkaisuja yhtälölle 3x+7y=250.

250⋮GCD(3;7) =>yhtälö voidaan ratkaista kokonaislukuina.

x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.

Olkoon 1-y3=t, t Є Z.

x=81+7t>=0y=1-3t>=0

7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.

x=81+7tу=1-3t t=-11 ​​x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22t=-6 x=39y=19t=-5 x=46y=16t=-4 x=53y=13t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t = -1 x = 74 y = 4 t = 0 x = 81 y = 1

Vastaus. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.

22. Ratkaise yhtälö xy+x+y3=1988 kokonaislukuina.

Kerrotaan yhtälön molemmat puolet kolmella. Saamme:

3x+3xy+y=5964

3x+3xy+y+1=5965

(3х+1)+(3х+у)=5965

(3x+1) + y(3x+1)=5965

(3x+1)(y+1)=5965

5965=1∙5965 tai 5965=5965∙1 tai 5965=-1∙(-5965) tai 5965=-5965∙(-1) tai 5965=5∙1193 tai 5965=1193∙65(-5965 -1193) tai 5965=-1193∙(-5)

1) 3x+1=1v+1=5965 2) 3x+1=5965v+1=1 x=0v=5964 x=1988v=0

3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 ratkaisua kokonaislukuina ei ratkaisuja kokonaislukuina ei

5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 ei ratkaisuja kokonaislukuina ei ratkaisuja kokonaislukuina

7) 3x+1=-5v+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6

Vastaus. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).

3. 2 ONGELMIEN RATKAISEMINEN

On olemassa monenlaisia ​​ongelmia, useimmiten nämä ovat olympialuonteisia tehtäviä, jotka tiivistyvät diofantiiniyhtälöiden ratkaisemiseen. Esimerkiksi: a) Tehtävät tietyn arvon rahasumman vaihtamiseksi.

b) Verensiirtoon ja esineiden jakamiseen liittyvät ongelmat.

1. Ostimme 390 värikynää 7 ja 12 kynän laatikoissa. Kuinka monta näitä ja muita laatikoita ostit?

Nimeän: x 7 lyijykynän laatikkoa, y 12 kynän laatikkoa.

Luodaan yhtälö: 7x + 12y = 390

Löydän GCD(7, 12)=1

Määritän tietyn ratkaisun: x = (390 - 12y):7

Raakavoimamenetelmällä löydän arvon y є y = 1, x = 54

(54;1) on erityinen ratkaisu.

Löydän kaikki muut ratkaisut kaavoilla: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z

Löysin yhtälöön monia ratkaisuja. Ottaen huomioon ongelman olosuhteet, määritän molempien laatikoiden mahdollisen lukumäärän.

Vastaus. Voit ostaa: 54 laatikkoa 7 kynää ja 1 laatikko 12 kynää tai 42 laatikkoa 7 kynää ja 8 laatikkoa 12 kynää tai 30 laatikkoa 7 kynää ja 15 laatikkoa 12 kynää tai 28 laatikkoa 7 kynää ja 22 12 kynän laatikko tai 6 laatikkoa 7 kynää ja 29 laatikkoa 12 kynää.

2. Suorakulmaisen kolmion toinen jalka on 7 cm suurempi kuin toinen ja kolmion ympärysmitta on 30 cm. Etsi kolmion sivut.

Nimeän: x cm - yksi jalka, (x+7) cm - toinen jalka, y cm - hypotenuusa

Muodostan ja ratkaisen diofantiiniyhtälön: x+(x+7)+y=30

Löydän GCD(2; 1)=1

Määritän tietyn ratkaisun: x = (23 - y):2

Raakavoimamenetelmällä löydän arvon y =1 y = 1, x = 11

(11;1) on erityinen ratkaisu.

Löydän kaikki muut yhtälön ratkaisut kaavoilla: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k

Ottaen huomioon, että mikä tahansa kolmion sivu on pienempi kuin kahden muun sivun summa, tulemme siihen tulokseen, että on kolme kolmiota, joiden sivut ovat 7, 9 ja 14; 6, 11 ja 13; 5, 13 ja 12. Tehtävän ehtojen mukaan on annettu suorakulmainen kolmio. Tämä on kolmio, jonka sivut ovat 5, 13 ja 12 (Pythagoraan lause pätee).

Vastaus: Toinen jalka on 5 cm, toinen on 12 cm, hypotenuusa on 13 cm.

3. Useat lapset poimivat omenoita. Jokainen poika keräsi 21 kg ja tyttö 15 kg. Yhteensä he keräsivät 174 kg. Kuinka monta poikaa ja kuinka monta tyttöä poimi omenoita?

Olkoon x poikaa ja y tyttöä, x ja y ovat luonnollisia lukuja. Luodaan yhtälö:

Ratkaisen valintamenetelmällä: x

6 Vain kohdassa x = 4 toinen tuntematon saa positiivisen kokonaisluvun (y = 6). Kaikille muille x:n arvoille y on joko murto-osa tai negatiivinen. Siksi ongelmalla on yksi ainutlaatuinen ratkaisu.

Vastaus. 4 poikaa ja 6 tyttöä.

4. Onko mahdollista luoda sarja 3 ruplan arvoisia kyniä ja 6 ruplaa arvoisia 20 ruplaa?

Olkoon joukossa olevien kynien lukumäärä x ja kynien lukumäärä y.

Luodaan yhtälö:

Kaikille kokonaisluvuille x ja y yhtälön vasemman puolen on oltava jaollinen 3:lla; oikea puoli ei ole jaollinen kolmella. Tämä tarkoittaa, että ei ole olemassa kokonaislukuja x ja y, jotka täyttäisivät yhtälömme. Tätä yhtälöä ei voida ratkaista kokonaislukuina. Tällaista sarjaa on mahdotonta luoda.

Vastaus. Ratkaisuja ei ole.

5. Etsi luonnollinen luku, joka jaettuna 3:lla jättää jäännöksen 2:n ja jaettuna viidellä jää 3:n.

Merkitsen tarvittavan luvun x:llä. Jos merkitsen x:n osamäärän 3:lla y:llä ja jaon osamäärän 5:llä z:llä, niin saan: x=3y+2x=5z+3

Tehtävän merkityksen mukaan x:n, y:n ja z:n tulee olla luonnollisia lukuja. Tämä tarkoittaa, että meidän on ratkaistava epämääräinen yhtälöjärjestelmä kokonaislukuina.

Jokaiselle kokonaisluvulle y ja z x on myös kokonaisluku. Vähennän ensimmäisen toisesta yhtälöstä ja saan:

5z - 3y + 1 = 0.

Kun olen löytänyt kaikki positiiviset kokonaisluvut y ja z, saan välittömästi kaikki x:n positiiviset kokonaisluvut.

Tästä yhtälöstä löydän:

Yksi ratkaisu on ilmeinen: z = 1:lle saadaan y = 2, ja x ja y ovat kokonaislukuja. Ratkaisu x = 8 vastaa niitä.

Etsin muita ratkaisuja. Tätä varten otan käyttöön tuntemattoman u:n asettamalla z = 1 + u. Vastaanotan:

5(1 + u) - 3y + 1 = 0, eli 5u = 3y - 6 tai 5u = 3 (y - 2).

Viimeisen yhtälön oikea puoli on jaollinen 3:lla millä tahansa kokonaisluvulla y. Tämä tarkoittaa, että myös vasemman puolen on oltava jaollinen kolmella. Mutta luku 5 on luvun 3 vastainen. siksi u:n on oltava jaollinen 3:lla, eli sen muoto on 3n, missä n on kokonaisluku. Tässä tapauksessa y on yhtä suuri

15n/3 + 2 = 5n + 2, eli myös kokonaisluku. Joten z = 1 + u = 1 + 3n, mistä x = 5z + 3 = 8 + 15n.

Tulos ei ole yksi, vaan ääretön joukko arvoja x:lle: x = 8 + 15n, jossa n on kokonaisluku (positiivinen tai nolla):

Vastaus. x=8+15n; n є 0;1;2;.

6. Koehenkilöt toivat Shahille lahjaksi 300 jalokiveä: pienissä 15 kappaleen laatikoissa ja isoissa laatikoissa - 40 kappaletta. Kuinka monta näitä ja muita laatikoita oli, jos tiedetään, että pieniä oli vähemmän kuin suuria?

Merkitsen x:llä pienten laatikoiden lukumäärää ja y:llä suurten laatikoiden määrää.

15x+40v=300. Leikkaan sen viidellä.

3x+8y=60 x=60-8y3 x=60-6y-2y3

X = 20-2v-2v3

Jotta murto-osan arvo olisi kokonaisluku, 2y:n on oltava 3:n kerrannainen, eli 2y = 3c.

Ilmaisen muuttujan y ja valitsen koko osan:

Z:n on oltava 2:n kerrannainen, eli z=2u.

Ilmaisen muuttujat x ja y u:lla:

X = 20-2v-2v3

Х=20-2∙3u-2∙3u3

Laadin ja ratkaisen epätasa-arvojärjestelmän:

Kirjoitan ylös kaikki ratkaisut: 1; 2. Nyt löydän x:n ja y:n arvot, kun u=1; 2.

1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3

2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6

Vastaus. 4 pientä laatikkoa; 6 isoa laatikkoa.

7. Kaksi Ural 5557 -autoa annettiin, autot lähetettiin lennolla Krasnoturinsk - Perm - Krasnoturinsk. Kaikkiaan tämän lennon suorittamiseen tarvittiin 4 tonnia dieselpolttoainetta ja 2 kuljettajaa. On tarpeen määrittää kuljetuskustannukset, nimittäin 1 tonnin dieselpolttoainekustannukset ja tämän lennon suorittavien kuljettajien palkat, jos tiedetään, että yhteensä 76 000 ruplaa käytettiin.

Olkoon x ruplaa 1 tonnin dieselpolttoaineen hinta ja olkoon x ruplaa kuljettajien palkka. Sitten lennolle meni (4x + 2v) ruplaa. Ja ongelman ehtojen mukaan käytettiin 76 000 ruplaa.

Saan yhtälön:

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi raakavoimamenetelmä on työvoimavaltainen prosessi. Joten käytän menetelmää >.

Ilmaisen muuttujan y:stä x:ään, valitsen koko osan ja saan: (1).

Jotta murto-osan arvo olisi kokonaisluku, 2x:n on oltava 4:n kerrannainen. Eli 2x = 4z, missä z on kokonaisluku. Täältä:

Korvaan x:n arvon lausekkeeseen (1):

Koska x, y 0, sitten 19000 z 0, joten antamalla z kokonaislukuarvot välillä 0 - 19000, saan seuraavat x:n ja y:n arvot: z

Todellisista kuljetuskustannuksia koskevista tiedoista tiedetään, että 1 tonni dieselpolttoainetta (x) maksaa 18 000 ruplaa. , ja lennon (y) suorittavien kuljettajien maksu on 10 000 ruplaa. (tiedot otettu noin). Taulukosta huomaamme, että x-arvo, joka on yhtä suuri kuin 18000, ja y-arvo, joka on yhtä suuri kuin 10000, vastaavat z-arvoa, joka on yhtä suuri kuin 9000, todellakin: ;.

8. Kuinka monella tavalla voit kerätä 27 ruplaa? , jolla on melko paljon kahden ja viiden ruplan kolikoita?

Haluan merkitä: x kahden ruplan kolikkoa ja y viiden ruplan kolikkoa

Luon yhtälön, jossa otetaan huomioon tehtävän ehto 2x + 5y = 27.

Löydän GCD(2;5)=1

Määritän tietyn ratkaisun: x = (27-5y):2

Raakavoimamenetelmällä löydän arvon y є y = 1, x = 11

(11;1) on erityinen ratkaisu.

Kaikki muut ratkaisut löytyvät kaavoilla: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z

Tällä yhtälöllä on monia ratkaisuja. Etsitään kaikki tavat, joilla voit kerätä 27 ruplaa tarjotuilla kolikoilla. k

Vastaus. Voit kerätä tämän summan kolmella tavalla, jos sinulla on paljon kahden ja viiden ruplan kolikoita.

9. Oletetaan, että mustekalat ja meritähti elävät akvaariossa. Mustekalalla on 8 jalkaa ja meritähtillä 5. Kuinka monta eläintä akvaariossa on?

Olkoon x meritähtien lukumäärä, y mustekalan lukumäärä. Sitten kaikilla mustekalalla on 8 jalkaa ja kaikilla tähdillä on 5 jalkaa.

Luodaan yhtälö: 5x + 8y = 39.

Huomaa, että eläinten lukumäärää ei voida ilmaista ei-kokonaislukuina tai negatiivisina lukuina. Siksi, jos x on ei-negatiivinen kokonaisluku, niin y = (39 - 5x)/8 on myös oltava kokonaisluku ja ei-negatiivinen, ja siksi on välttämätöntä, että lauseke 39 - 5x on jaollinen 8:lla ilman jäännös Yksinkertainen vaihtoehtojen haku osoittaa, että tämä on mahdollista vain, kun x = 3, sitten y = 3.

Vastaus: (3; 3).

10. Huonekalutehdas valmistaa kolmi- ja nelijalkaiset jakkarat. Mestari teki 18 jalkaa. Kuinka monta jakkaraa voidaan tehdä, jotta kaikkia jalkoja voidaan käyttää?

Olkoon x kolmijalkaisten jakkaraiden lukumäärä ja y nelijalkaisten. Sitten 3x + 4v = 18.

Minulla on 4v = 18 - 3x; y = 3(6 - x):4.

Saan: x = 2; y = 3 tai x = 6; y = 0.

Muita ratkaisuja ei ole, koska x 6.

Vastaus. 2;3;(6;0).

11. Onko mahdollista majoittaa 718 henkilöä 4 ja 8 hengen hytissä niin, ettei hytissä ole tyhjiä paikkoja?

Olkoon 4 hengen mökit x ja 8 hengen mökit y, sitten:

2(x + 2y) = 309

Vastaus. Se on kielletty.

12. Osoita, että suoralla 124x + 216y = 515 ei ole yhtä pistettä, jolla on kokonaislukukoordinaatit.

GCD(124,216) = 4, 515 != 4n, mikä tarkoittaa, ettei kokonaislukuratkaisuja ole.

Vastaus. Ratkaisuja ei ole.

13. Tavaran hinta on 23 ruplaa, ostajalla on vain 2 ruplaa ja kassalla 5 ruplaa. Onko mahdollista tehdä ostos vaihtamatta ensin rahaa?

Olkoon x 2 ruplan kolikoiden lukumäärä, y 5 ruplan kolikoiden lukumäärä, sitten 2x - 5y = 23, missä x,y є N.

Saan: 2x = 23 + 5y, josta x =23 + 5y2 =11 + 2y + (1 + y)2 x on kokonaisluku, jos 1 + y2 on kokonaisluku.

1 + y2 = t, missä t Euro Z, niin y = 2t - 1.

x = 11 + 2v + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.

T. o. x = 5t + 9 ja y = 2t - 1, missä t є z.

Ongelmalla on monia kokonaislukuratkaisuja. Yksinkertaisin niistä on t = 1, x =14, y = 1, eli ostaja antaa neljätoista 2 ruplan kolikkoa ja saa yhden 5 ruplan kolikon vaihtorahana.

Vastaus. Voi.

14. Liikkeen kauppakirjan tarkastuksen aikana yksi merkinnöistä osoittautui musteella peittyneeksi ja näytti tältä:

> Myytyjen metrien määrää oli mahdoton saada selville, mutta ei ollut epäilystäkään siitä, etteikö luku ollut murto-osa; tuotosta oli mahdollista erottaa vain kolme viimeistä numeroa, ja voitti myös todeta, että niiden edessä oli kolme muuta numeroa. Onko mahdollista palauttaa tietue käyttämällä näitä tietoja?

Olkoon metrien lukumäärä x, silloin tavaran hinta kopeikoina on 4936x. Merkitään kolme täytettyä numeroa yhteensä y:llä, tämä on tuhansien kopeikkojen määrä, ja koko summa kopeikoina ilmaistaan ​​seuraavasti (1000y + 728).

Saan yhtälön 4936x = 1000y + 728, jaan sen 8:lla.

617x - 125y = 91, missä x,y є z, x,y

125 v = 617x - 91 y = 5x - 1 +34 - 8x125 = 5x - 1 + 2 17 - 4x125 =

5x - 1 + 2t, jossa t = 17 - 4x125, t Euro Z.

Yhtälöstä t = (17 - 4x)/125 saan x = 4 - 31t + 1 - t4 =

4 - 31t + t1, jossa t1 = 1 - t4, joten t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.

Ehdolla tiedän, että 100

100 = 234/617 ja t1

Tämä tarkoittaa, että 98 metriä myytiin hintaan 4837,28 ruplaa. Tallenne on palautettu.

Vastaus. 98 metriä vapautunut.

15. Ruplaa kohden on ostettava 40 postimerkkiä - kopeikka, 4 kopeikka ja 12 kopeikka. Kuinka monta postimerkkiä jokaisesta nimellisarvosta voit ostaa?

Voit tehdä kaksi yhtälöä: x + 4y + 12z = 100 ja x + y + z = 40, missä x on pennien markkojen määrä, y on 4 kopeikkamarkojen määrä, z on 12 kopeikkamarkkojen lukumäärä . Vähennän toisen ensimmäisestä yhtälöstä ja saan:

3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11·z3.

Olkoon z3 = t, z = 3t, missä t Euro Z. Sitten saan jos x + y + z = 40 ja z = 3t, ja y = 20 - 11t, x = 20 + 8t.

Koska x >= 0, y >= 0, z >= 0, sitten 0

Sitten, vastaavasti, saan: t = 0, x = 20, y = 20, z = 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.

Postimerkkien osto voidaan siis tehdä vain kahdella tavalla, ja jos ehtona on, että kutakin nimellisarvoa ostetaan vähintään yksi postimerkki, niin vain yhdellä tavalla.

Vastaus. 28 markkaa 1 kopikkaa, 9 markkaa 4 kopikkaa ja 3 markkaa 12 kopikkaa.

16. Opiskelijalle annettiin 20 tehtävän tehtävä. Jokaisesta oikein ratkaistusta kysymyksestä hän saa 8 pistettä, jokaisesta ratkaisemattomasta kysymyksestä vähennetään 5 pistettä. Tehtävästä, jota hän ei suorittanut - 0 pistettä. Opiskelija sai yhteensä 13 pistettä. Kuinka monta ongelmaa hän ryhtyi ratkaisemaan?

Olkoon oikein ratkaistut tehtävät x, väärin ratkaistut y ja huomioimattomat tehtävät z.

Sitten x + y + z = 20 ja 8x - 5y = 13.

y = 8x - 135 = x - 2 +3 (x - 1) 5 = x - 2 + 3t, ​​missä t = x - 15 ja x = 5t + 1.

Ehdolla x + y

Vastaus: Opiskelija teki 13 tehtävää, ratkaisi 6 ja epäonnistui 7.

17. Ivanushka the Fool taistelee käärme Gorynychin kanssa, jolla on 2001 päätä. Heiluttamalla miekkansa vasemmalle, Ivan katkaisee 10 päätä ja vastineeksi heiluttelee miekkansa oikealle, ja 6 kasvaa, jos kaikki päät leikataan irti. Voit heilauttaa missä tahansa järjestyksessä, mutta jos maalia on alle 15, niin vain vasemmalle, ja jos on alle 10, niin ei ollenkaan. Voiko Ivanushka Fool voittaa käärme Gorynychin?

Muotoilen ongelman uudelleen: onko mahdollista leikata vuoden 1986 päitä? Sitten Ivan katkaisee loput 15 yhdellä iskulla oikealle eikä uusia kasva.

Olkoon x vetojen määrä oikealle ja y vetojen määrä vasemmalle, niin 1986 - 9x + 6y = 0.

Jaan koko yhtälön kuudella, saan

3x - 2v = 662.

y = 3x - 6622 = x - 331 + x2.

Olkoon x2 = t, sitten x = 2t ja y = 3t - 331.

Koska x >= 0, y >= 0, niin t >= 111, joten t = 111, x = 222, y = 2.

Saan: lyömällä 220 kertaa oikealle, Ivan katkaisee 1980 päätä ja Käärmeellä on 21 päätä jäljellä; sitten 2 lyöntiä vasemmalle ja Snake kasvattaa 12 päätä, mikä tekee yhteensä 33; seuraavat 2 lyöntiä oikealle vievät käärmeeltä 18 päätä ja Ivan katkaisee loput 15 viimeisellä iskulla oikealle eikä uusia päitä kasva.

Vastaus: 220 lyöntiä oikealle, 2 lyöntiä vasemmalle ja vielä 3 lyöntiä oikealle.

18. Nopan sivut on numeroitu - 1, 2, 3, 4, 5, 6. He rakensivat viidestä tällaisesta kuutiosta tornin ja laskivat pisteiden summan kaikilta näkyviltä pinnoilta, kun yläkuutio oli poistettu, summa laski 19, mikä luku osoittautui yläkuution yläreunaksi?

Yhden kuution pisteiden summa on 21.

Olkoon x ylimmän kuution alapinnan pisteiden lukumäärä ja y seuraavan kuution yläpinnan pisteiden lukumäärä. Kun poistat yläkuution, katoavat ylimmän kuution 5 pinnan pisteet, joiden pisteiden summa on (21 - x), ja pinta, jolle pisteet ilmestyvät, mikä tarkoittaa, että pisteiden summa on vähentynyt (21 - x) - y, ja ehdon mukaan se on 19, joten :

(21 - x) - y = 19, x + y = 2.

Tästä syystä y = 2 - x ja ehdon 1 mukaan

19. Joku osti 30 lintua 30 samanarvoisella kolikolla. Jokaisesta 3 varpusesta maksat 1 kolikon, 2 härkävarpusta - 1 kolikon, 1 kyyhkystä - 2 kolikkoa. Kuinka monta lintua kustakin lajista oli?

Olkoon x varpusta, y härkävarpusta ja z kyyhkystä. Sitten ehdon mukaan x + y + z = 30 ja 13x + 12y + 2z = 30.

Saan x + y + z = 30 ja 2x + 3y + 12z = 180 tai y + 10z = 120, y = 120 - 10z, missä ehdolla x

Tästä syystä seuraavat vaihtoehdot (0;20;10); (9; 10; 11); (18; 0; 12).

Vastaus: varpuset - 0, härkävarpuset - 20, kyyhkyset - 10; varpuset - 9, härät - 10, kyyhkyset - 11; varpuset - 18, härät - 0, kyyhkyset - 12.

20. Etsi kaikki kaksinumeroiset luvut, joista jokainen on 2:lla vähennettynä viisi kertaa sen numeroiden tulo.

Olkoon xy vaaditut kaksinumeroiset luvut.

Yhtälölle xy - 2 = 5xy tai (10x + y) - 5xy = 2 S = 0 ja löydän kaikki luonnolliset ratkaisut joukosta (x; 2).

Koska x on kaksinumeroisten lukujen ensimmäinen numero, sillä voi olla vain 9 arvoa.

Että. , vaaditut numerot ovat: 12, 22, 32,. , 92.

Vastaus. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.

21. 102 cm pitkä lanka on leikattava 15 cm ja 12 cm pituisiksi paloiksi, jotta kaikki lanka käytetään. Kuinka tehdä se?

Olkoon x 15 cm pituisten lankojen lukumäärä, y 12 cm pituisten lankojen lukumäärä.

15x+12y=102 /:3

4x+3y=34 x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.

Olkoon 1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t t=0;-1.

Jos t=0, niin x=6y=1

Jos t=-1, niin x=2y=6

Vastaus. Ongelmalla on kaksi ratkaisua:

1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.

22. Petya vuonna 1987 oli yhtä vanha kuin hänen syntymävuodensa numeroiden summa. Minä vuonna hän syntyi?

Olkoon Petya syntynyt vuonna 1919. Sitten vuonna 1987 hän oli 1987-19xy eli (1+9+x+y) vuotta vanha. Meillä on yhtälö:

87-(10x+y)=10+x+y

77-11x=2v y=77-11x2=38-11x-12.

Ottaen huomioon, että x ja y ovat desimaalilukujärjestelmän numeroita, saadaan valinnalla: x=3, y=1.

Vastaus. Petya syntyi vuonna 1970.

23. Joku ostaa 19 ruplan arvoisen tavaran kaupasta. Hänellä on vain 15-kolmen ruplan seteleitä, kun taas kassalla on vain 20-5 ruplaa. Voinko maksaa ja miten?

Ongelmana on Diofantiiniyhtälön ratkaiseminen positiivisina kokonaislukuina: 3x - 5y = 19, missä x

Koska x>0 ja y > 0 ja ottaen huomioon ongelman ehdot, on helppo todeta, että 0

Tämä johtaa 2 mahdolliseen arvoon: x

Vastaus. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.

24. Onko mahdollista punnita 28 g tiettyä ainetta kuppivaa'alla, jossa on vain 4 painoa, jotka painavat 3 g ja 7 painoa, jotka painavat 5 g?

Tätä varten sinun on ratkaistava yhtälö:

x = 9-2(3y1-1) + y1 = 11-5y1.

Joten x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.

Tehtävän ehdoista seuraa, että y1:lle ei voida antaa negatiivisia arvoja. Seuraavaksi pitäisi olla y1

Vastaus. 1 paino 3 g:ssa ja 5 painoa 5 g:ssa.

25. Ostaja osti kaupasta 21 ruplaa. tavaroita. Mutta hänellä on vain 5 ruplan seteleitä, kun taas kassalla on 3 ruplaa. Haluatko tietää, voitko maksaa kassalle, jos sinulla on rahaa ja kuinka tarkalleen?

Olkoon x luku 5 - ruplaa, y - 3 - ruplaa.

Ehdolla x > 0, y > 0, se tarkoittaa.

Myös t on parillinen, muuten x tai y eivät ole kokonaislukuja.

Kun t = 4, 6, 8,. meillä on: t

Vastaus. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).

26. Paperia on 110 arkkia. Vaaditaan 8 arkin ja 10 arkin muistivihkot. Kuinka monta sinun täytyy ommella?

Olkoon x 8 arkin muistivihkojen lukumäärä, y 10 arkin muistivihkojen lukumäärä.

Joten t = 0 tai t = -1

Vastaus. 5;7;(10;3).

27. Monet muinaiset menetelmät numeroiden ja syntymäaikojen arvaamiseen perustuvat diofantiiniyhtälöiden ratkaisemiseen. Esimerkiksi keskustelukumppanisi syntymäajan (kuukausi ja päivä) arvaamiseksi riittää, että kysyt häneltä summaa, joka saadaan lisäämällä kaksi tuotetta: päivämäärän numero (x) luvulla 12 ja kuukauden numero (y) luvulla 31. .

Olkoon kyseisten tulojen summa 330. Selvitä syntymäaika.

Ratkaistaan ​​määrittelemätön yhtälö: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 320 + ) y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =

27 - 36 v3 + 90 + 5 v3 - 12 = 105 - 31 v3 x = 12 v3 - 30, y = 105 - 31 v3

Syntymäaika siis: kuudennen kuukauden 12. päivä.

28. Onko mahdollista kerätä 51 ruplaa kahden ja viiden ruplan kolikoilla? Jos mahdollista, kuinka monta tapaa on olemassa?

Olkoon x kahden ruplan kolikoita ja viiden ruplan kolikoita.

Olkoon sitten 1+y2=z

=> z = 1, 2, 3, 4, 5

Vastaus: 5 tapaa.

29. Onko mahdollista laittaa kaksisataa munaa 10 ja 12 kappaleen laatikoihin? Jos mahdollista, etsi kaikki tällaiset tavat.

Olkoon x 10 kappaleen laatikkoa ja laatikoissa 12 kpl. Luodaan yhtälö: z = 1, 2, 3

Vastaus: 14;5;8;10;(2;15)

30. Kuvittele luku 257 kahden luonnollisen termin summana: a) joista toinen on luvun 3 kerrannainen ja toinen luvun 4 kerrannainen; b) joista toinen on luvun 5 ja toinen luvun 8 kerrannainen.

Vastaus: 1) 249 ja 8; 2) 225 ja 32.

Ongelmissa, joissa on epämääräisiä yhtälöitä, törmäsin monenlaisiin tapauksiin: ongelma voi olla täysin ratkaisematon (tehtävä 4), sillä voi olla ääretön määrä ratkaisuja (tehtävä 2), voi olla useita varmoja ratkaisuja; erityisesti sillä voi olla yksi ainutlaatuinen ratkaisu (tehtävä 1).

PÄÄTELMÄ

Itselleni asettamani tavoite on saavutettu. Projektin parissa työskentely herätti kiinnostusta ja kiehtoi minua. Tämä työ ei vaatinut minulta vain tiettyä matemaattista tietoa ja sinnikkyyttä, vaan antoi myös mahdollisuuden tuntea itsenäisen löydön suurta iloa.

Diofantiiniyhtälöt löytyvät olympiatehtävistä, joten ne kehittävät loogista ajattelua, nostavat matemaattisen kulttuurin tasoa ja juurruttavat taitoja itsenäiseen matematiikan tutkimustyöhön.

Kun ratkaistaan ​​yhtälöitä ja tehtäviä, jotka pelkistyvät diofantiiniyhtälöiksi, käytetään alkulukujen ominaisuuksia, polynomin laskentamenetelmää, laskentamenetelmää, laskeutumismenetelmää ja euklidista algoritmia. Minun mielestäni laskeutumismenetelmä on vaikein. Mutta raa'an voiman menetelmä osoittautui minulle kauniimmaksi.

Ratkaisin työssäni 54 tehtävää.

Tämä työ auttoi ymmärtämään paremmin koulun opetussuunnitelmaa ja laajensi näköalojani.

Tämä materiaali on hyödyllinen matematiikasta kiinnostuneille opiskelijoille. Sitä voidaan käyttää joissakin tunneissa ja koulun ulkopuolisissa toimissa.