Yhtälöjärjestelmät parametrin kanssa. Yhtälöt moduulilla - saadaksesi maksimi matematiikan yhtenäisestä tilakokeesta (2019) Yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen moduulin sisältävällä parametrilla

§6. Yhtälöiden ratkaiseminen moduuleilla ja parametreilla

§ 3. Järjestelmien ratkaisu parametreilla ja moduuleilla

Portaali koululaisille. Itse valmistautuminen

§6. Yhtälöiden ratkaiseminen moduuleilla ja parametreilla

§ 3. Järjestelmien ratkaisu parametreilla ja moduuleilla

§ 4. Tehtävien ratkaiseminen yhtälöjärjestelmien avulla

§ 4. Tehtävien ratkaiseminen yhtälöjärjestelmien avulla

AIHEESEEN LIITTYVÄT ARTIKKELIT

21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 − 4 21 42 = 3025 − 3582< 0.

Vastaus: 1; 2.

Tarkastellaan useita yhtälöitä, joissa muuttuja x esiintyy moduulimerkin alla. Muistutetaan tästä

x, jos x ≥ 0,

x = − x jos x< 0.

Esimerkki 1: Ratkaise yhtälö:

a) x − 2 = 3; b) x + 1 − 2x − 3 = 1;

x+2

X = 1; d) x 2 −

6; e) 6x 2 −

x+1

x - 1

a) Jos luvun moduuli on 3, tämä luku on joko 3 tai (− 3),

eli x − 2 = 3, x = 5 tai x − 2 = − 3, x = − 1.

b) Moduulin määritelmästä seuraa, että

x+1

X + 1, jos x + 1 ≥ 0,

eli jos x ≥ − 1 ja

x+1

= − x − 1 kohdassa x< − 1. Выражение

2x-3

2 x − 3, jos x ≥ 3

ja yhtä suuri kuin − 2 x + 3, jos x< 3 .

x< −1

yhtälö

vastaava

yhtälö

− x −1 −

(− 2 x + 3 ) = 1, josta seuraa, että

x = 5. Mutta luku 5 ei ole

täyttää ehdon x< − 1, следовательно,

klo x< − 1 данное

yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

−1 ≤ x<

yhtälö

vastaava

yhtälö

x + 1− (2x + 3) = 1, mikä tarkoittaa, että x = 1;

numero 1 tyytyväinen -

täyttää ehdon − 1 ≤ x<

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 5, 8. luokka. Matematiikka. Toisen asteen yhtälöt

x ≥

yhtälö

vastaava

yhtälö

x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, jolla on ratkaisu x = 3. Ja koska luku on 3

täyttää ehdon x ≥

niin se on yhtälön ratkaisu.

x+2

c) Jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä

on sama

x - 1

merkkejä, niin murto-osa on positiivinen, ja jos eri, niin se on negatiivinen, ts.

x+2

Jos x ≤ − 2, jos x > 1,

x - 1

x+2

Jos – 2< x < 1.

−1

Kun x ≤ − 2

ja x > 1

alkuperäinen yhtälö vastaa yhtälöä

x+2

X = 1, x +2

X (x −1 ) = x −1, x 2 − x +3 =0.

x - 1

Viimeisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Klo -2< x < 1 данное уравнение равносильно уравнению

x+2

X =1, − x −2 + x 2 − x = x −1, x 2 −3 x −1 = 0.

x - 1

Etsitään tämän yhtälön juuret:

x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13.

Epätasa-arvo

− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13

Sledova-

Siksi tämä luku on yhtälön ratkaisu.

x ≥ 0 annettu

yhtälö

vastaava

yhtälö

x 2 − x −6 = 0,

jonka juuret ovat luvut 3 ja – 2. Numero 3

täyttää ehdon x > 0,

ja numero 2 ei täytä tätä ehtoa-

Siksi vain numero 3 on ratkaisu alkuperäiseen

x< 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 5, 8. luokka. Matematiikka. Toisen asteen yhtälöt
		x ≥ − 1 annettu	yhtälö	vastaava		yhtälö
6 x 2 − x − 1 = 0, etsi sen juuret: x = 1 ±				25, x = 1, x		= −1 .

Molemmat juuret täyttävät ehdon x ≥ − 1,					siksi he ovat
ovat tämän yhtälön ratkaisuja. klo				x< − 1 данное уравнение
vastaa yhtälöä 6 x 2 + x + 1 = 0, jolla ei ole ratkaisuja.
Olkoon lausekkeet f (x, a) ja g (x, a) annettu,					riippuu muutoksista
x	ja a.	Sitten yhtälö	f (x, a) = g(x, a)		muutosten suhteen

noah x kutsutaan yhtälö parametrin kanssa a. Yhtälön ratkaiseminen parametrilla tarkoittaa, että parametrin mille tahansa hyväksyttävälle arvolle löydetään kaikki ratkaisut annettuun yhtälöön.

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö kaikille parametrin a kelvollisille arvoille:

a) ax 2 - 3 = 4 a 2 - 2 x 2 ; b) (a − 3 ) x 2 = a 2 − 9;

c) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.

x 2 =	4a 2 + 3	Lauseke 4 ja 2		3 > 0 mille tahansa a:lle; a > − 2 on olemassa
	a+2
meillä on kaksi ratkaisua: x =			4a 2 + 3	ja x = −	4a 2	Jos	a+2< 0, то
meillä on kaksi ratkaisua: x =				ja x = −		Jos	a+2< 0, то
			a+2		a+2
			a+2		a+2

lauseke 4 a 2 + 3< 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

Vastaus: x = ±	4a 2 + 3	Jos a > − 2;	arvolle a ≤ − 2 ei ole ratkaisuja.
	a+2
			niin x 2 = a + 3. Jos a + 3 = 0,
b) Jos a = 3, niin x. Jos a ≠ 3,
nuo. jos a = -3,	silloin yhtälöllä on ainutlaatuinen ratkaisu x = 0. Ec-

onko a< − 3, то уравнение не имеет решений. Если a >− 3 ja a ≠ 3, niin yhtälöllä on kaksi ratkaisua: x 1 = a + 3 ja x 2 = − a + 3.

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 5, 8. luokka. Matematiikka. Toisen asteen yhtälöt

a = 1 tämä yhtälö saa muodon

4x − 1 = 0,

x = 1

on hänen päätöksensä. klo

a ≠ 1 tämä yhtälö on

neliö, sen diskriminantti D 1 on yhtä suuri kuin

(a + 1 ) 2 − (a − 1 )(a − 2 ) = 5 a − 1.

Jos 5 a - 1< 0, т.е. a < 1 ,

silloin tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Jos a =

niin yhtälöllä on ainutlaatuinen ratkaisu

a+1

x = −

a - 1

−1

Jos >

ja a ≠ 1,

niin tällä yhtälöllä on kaksi ratkaisua:

x = − (a + 1 ) ± 5 a − 1 .

a - 1

−(a +1 ) ±

1 klo

a = 1; x = 3

osoitteessa a

; x =

5a-1

a - 1

> 1

ja a ≠ 1; osoitteessa a< 1

yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

§7. Yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen. Neliöyhtälöiksi pelkistäviä tehtäviä

Tässä osiossa tarkastellaan järjestelmiä, jotka sisältävät toisen asteen yhtälöitä.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälöjärjestelmä

2x + 3v = 8,

xy = 2.

Tässä järjestelmässä yhtälö 2 x + 3 y = 8 on ensimmäisen asteen yhtälö ja yhtälö xy = 2 on toisen asteen yhtälö. Ratkaistaan tämä järjestelmä menetelmällä

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 5, 8. luokka. Matematiikka. Toisen asteen yhtälöt

vaihdot. Järjestelmän ensimmäisestä yhtälöstä ilmaistamme x:n y:n kautta ja korvaamme tämän lausekkeen x:llä järjestelmän toisessa yhtälössä:

8-3v	4 −
		y, 4	v y = 2.

Viimeinen yhtälö pelkistyy toisen asteen yhtälöksi

8v − 3v 2 = 4, 3v 2 − 8v + 4 = 0.

Löydämme sen juuret:

4 ± 4

4 ± 2

Y = 2,y

Ehdosta x = 4 −

saamme x = 1, x

Vastaus: (1;2) ja

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

x 2 + y 2 = 41,

xy = 20.

Kerro toisen yhtälön molemmat puolet kahdella ja lisää ne ensimmäiseen

järjestelmän yhtälö:	x 2 + y 2 + 2xy = 41 + 20 2,			(x + y) 2 = 81, mistä
tästä seuraa, että x + y = 9 tai x + y = − 9.
Jos x + y = 9, niin	x = 9 − y. Korvataan tämä lauseke x:n tilalle
järjestelmän toinen yhtälö:
(9 - y ) y = 20, y 2 - 9 y + 20 = 0,
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1, y = 5, y			4, x = 4, x = 5.

Ehdosta x + y = − 9 saadaan ratkaisut (− 4; − 5) ja (− 5; − 4).
Vastaus: (± 4;± 5) , (± 5;± 4) .
Esimerkki 3. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:
		y = 1,
	x−	y = 1,


	x−y

Kirjoitetaan järjestelmän toinen yhtälö muotoon

( x − y )( x + y ) = 5.

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 5, 8. luokka. Matematiikka. Toisen asteen yhtälöt

Käyttämällä yhtälöä x − y = 1 saadaan: x + y = 5. Näin saadaan yhtälöjärjestelmä, joka vastaa annettua


	x−	y = 1,
	x−	y = 1,
		y = 5.
		y = 5.

Lisätään nämä yhtälöt, saadaan: 2 x = 6,		x = 3, x = 9.
Korvataan x = 9 ensimmäiseen yhtälöön			vastaanottavat järjestelmät
meillä on 3 − y = 1, mikä tarkoittaa, että y = 4.
Vastaus: (9;4).	(x + y)(x		Y −4 ) = −4,
	(x + y)(x		Y −4 ) = −4,
Esimerkki 4. Ratkaise yhtälöjärjestelmä: (x 2 + y 2 ) xy = − 160.
				xy = v;
Otetaan käyttöön uusia muuttujia	x + y = u			xy = v;
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v,
u (u -4 ) = -4,
systeemi pelkistetään muotoon (u 2 − 2 v ) v = − 160.

Ratkaisemme yhtälön:
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2.
Korvaamme tämän arvon u:lle yhtälöön:
(u 2 − 2v ) v = − 160, (4 − 2v ) v = − 160, 2v 2 − 4v − 160 = 0,
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1 ± 9, v= 10, v					= −8.
Ratkaisemme kaksi yhtälöjärjestelmää:
Ratkaisemme kaksi yhtälöjärjestelmää:	x + y = 2,
x + y = 2,	x + y = 2,
	Ja
xy = 10	xy = − 8.
Ratkaisemme molemmat järjestelmät korvausmenetelmällä. Ensimmäisessä järjestelmässä meillä on:
x= 2 − y, ( 2 − y) y= 10, y2 − 2 y+ 10 = 0.

Tuloksena olevalla toisen asteen yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Toista järjestelmää varten meillä on: x= 2 − y, (2 − y) y= − 8, y2 − 2 y− 8 = 0.

y= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, y1 = 4, y2 = − 2. Sittenx1 = − 2 Jax2 = 4. Vastaus: (− 2;4 ) Ja(4; − 2 ) .

kerrottuna 3:lla saamme:

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 5, 8. luokka. Matematiikka. Toisen asteen yhtälöt

Esimerkki 5. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

x 2 + 4 xy = 3,

y 2 + 3 xy = 2.

Ensimmäisestä yhtälöstä kerrottuna 2, vähennä toinen yhtälö,

2 x 2 − xy − 3 y 2 = 0.

Jos y= 0, sitten ja x= 0, mutta pari numeroa (0;0 ) ei ole ratkaisu alkuperäiseen järjestelmään. Jaetaan saadun yhtälön molemmat puolet

rojalti päällä y2 ,

1 ± 5 , x = 2 y Ja x = − y .

−3

= 0,

Korvataan

merkitys

x =

ensimmäinen yhtälö

9 y2 + 6 y2 = 3, 11y2 = 4, y=

, x=

, x= −

Korvaa arvo x= − y järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön: y2 − 4 y2 = 3, − 3 y2 = 3.

Ratkaisuja ei ole.

Esimerkki 9. Etsi kaikki parametriarvot a, jolle yhtälöjärjestelmä

x 2 + ( y − 2 ) 2 = 1,

y = kirves 2 .

on ainakin yksi ratkaisu.

Tätä järjestelmää kutsutaan järjestelmäksi, jossa on parametri. Ne voidaan ratkaista analyyttisesti, ts. käyttämällä kaavoja tai voit käyttää niin sanottua graafista menetelmää.

Huomaa, että ensimmäinen yhtälö määrittelee ympyrän, jonka keskipiste on pisteessä (0;2 ) jonka säde on 1. Toinen yhtälö at a≠ 0 määrittelee paraabelin, jonka kärki on origossa.

Jos a 2

Tapauksessa a) paraabeli on ympyrän tangentti. Järjestelmän toisesta yhtälöstä seuraa:

joo tuo x2 = y/ a,

korvaa nämä arvot

x 2

ensimmäiseen yhtälöön:

+(y−2 )

= 1,

+ y

− 4 y+ 4 = 1, y

4 − ay+ 3

= 0.

Tangenssin tapauksessa symmetriasta johtuen on vain yksi arvo y, siksi tuloksena olevan yhtälön diskriminantin on oltava

on yhtä suuri kuin 0. Koska ordinatasta y kontaktipiste on positiivinen jne.

y = 2

− a

saamme,

> 0; D

1 2

4 − a

− 12 = 0,

4 − a

> 0

saamme: 4

= 2

= 4 −2

a =

4 + 2 3

2 +

( 4 − 2 3)( 4 + 2 3) =

16 − 12 =

4 − 2 3

Jos a> 2 + 2 3 , silloin paraabeli leikkaa ympyrän 4 pisteessä -

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 5, 8. luokka. Matematiikka. Toisen asteen yhtälöt

Siksi järjestelmässä on ainakin yksi ratkaisu jos

a≥ 2 + 2 3 .

Esimerkki 10. Jonkin kaksinumeroisen luonnollisen luvun numeroiden neliöiden summa on 9 suurempi kuin kaksi kertaa näiden numeroiden tulo. Kun tämä kaksinumeroinen luku on jaettu sen numeroiden summalla, osamäärä on 4 ja jäännös 3. Etsi tämä kaksinumeroinen luku.

Olkoon kaksinumeroinen luku 10 a+ b, Missä a Ja b- tämän numeron numerot. Sitten ongelman ensimmäisestä ehdosta saamme: a2 + b2 = 9 + 2 ab, ja toisesta ehdosta saamme: 10 a+ b= 4 (a+ b) + 3.

a 2 + b 2 = 9 + 2 ab ,

Ratkaisemme yhtälöjärjestelmän: 6 a− 3 b= 3.

Järjestelmän toisesta yhtälöstä saamme

6a− 3b= 3, 2a− b= 1, b= 2a− 1.

Korvaa tämä arvo arvolla b järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön:

a2 + ( 2a− 1) 2 = 9 + 2a( 2a− 1) , 5a2 − 4a+ 1 = 9 + 4a2 − 2a,

a2 − 2a− 8 = 0, D1 = 1 + 8 = 9, a= 1 ± 3, a1 = 4, a2 = − 2 < 0, b1 = 7.

Vastaus: 47.

Esimerkki 11. Kahden liuoksen sekoittamisen jälkeen, joista toinen sisälsi 48 g ja toinen 20 g vedetöntä kaliumjodidia, saatiin 200 g uutta liuosta. Määritä kunkin alkuperäisen liuoksen pitoisuus, jos ensimmäisen liuoksen pitoisuus oli 15 % suurempi kuin toisen.

Merkitään x% on toisen liuoksen pitoisuus ja sen jälkeen (x+ 15 ) % – ensimmäisen liuoksen pitoisuus.


(x+ 15 )%			x %
I ratkaisu			II ratkaisu

Ensimmäisessä liuoksessa on 48 g (x+ 15 ) painoprosenttia kokonaisliuoksesta,

siksi liuoksen paino on x48 + 15 100. Toisessa liuoksessa 20 g ko-

Kohde:

toistaa lineaaristen yhtälöiden ratkaisuja kahdella muuttujalla
määritellä lineaarinen yhtälöjärjestelmä parametreilla
opettaa sinulle kuinka ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä parametreilla.

Tuntien aikana

Ajan järjestäminen
Kertaus
Selitys uuteen aiheeseen
Konsolidointi
Oppitunnin yhteenveto
Kotitehtävät

2. Toisto:

I. Lineaarinen yhtälö yhdellä muuttujalla:

1. Määrittele lineaarinen yhtälö yhdellä muuttujalla

[Yhtälöä, jonka muoto on ax=b, jossa x on muuttuja, a ja b joitakin lukuja, kutsutaan lineaariseksi yhtälöksi, jossa on yksi muuttuja]

2. Kuinka monta juuria lineaarisella yhtälöllä voi olla?

[- Jos a=0, b0, niin yhtälöllä ei ole ratkaisuja, x

Jos a=0, b=0, niin x R

Jos a0, niin yhtälöllä on ainutlaatuinen ratkaisu, x =

3. Selvitä kuinka monta juurta yhtälöllä on (vaihtoehtojen mukaan)

II. Lineaarinen yhtälö 2 muuttujalla ja lineaarinen yhtälöjärjestelmä 2 muuttujalla.

1. Määrittele lineaarinen yhtälö kahdessa muuttujassa. Anna esimerkki.

[Lineaarinen yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa, on yhtälö muotoa ax + by = c, missä x ja y ovat muuttujia, a, b ja c joitain lukuja. Esimerkiksi x-y=5]

2. Mitä kutsutaan kahdella muuttujalla olevan yhtälön ratkaisemiseksi?

[Kahden muuttujan yhtälön ratkaisu on muuttujien arvojen pari, joka muuttaa yhtälön todelliseksi yhtälöksi.]

3. Onko muuttujien x = 7, y = 3 arvopari yhtälön 2x + y = 17 ratkaisu?

4. Miksi kahdessa muuttujassa olevan yhtälön kuvaajaa kutsutaan?

[Kahden muuttujan yhtälön kuvaaja on joukko koordinaattitason kaikista pisteistä, joiden koordinaatit ovat tämän yhtälön ratkaisuja.]

5. Selvitä, mikä yhtälön kaavio on:

[Ilmoita muuttuja y:stä x:ään: y=-1,5x+3

Kaava y=-1,5x+3 on lineaarinen funktio, jonka kuvaaja on suora. Koska yhtälöt 3x+2y=6 ja y=-1.5x+3 ovat ekvivalentteja, tämä viiva on myös yhtälön 3x+2y=6 kaavio]

6. Mikä on yhtälön ax+bу=c kuvaaja muuttujilla x ja y, missä a0 tai b0?

[Lineaarisen yhtälön kuvaaja, jossa on kaksi muuttujaa, jossa vähintään yksi muuttujien kertoimista ei ole nolla, on suora.]

7. Mitä kutsutaan kahden muuttujan yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi?

[Ratkaisu kahdella muuttujalla olevaan yhtälöjärjestelmään on muuttujien arvojen pari, joka muuttaa jokaisen järjestelmän yhtälön todelliseksi yhtälöksi]

8. Mitä yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa?

[Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen löytämistä tai sen osoittamista, ettei ratkaisuja ole.]

9. Selvitä, onko tällaisessa järjestelmässä aina ratkaisuja ja jos on, kuinka monta (graafisesti).

10. Kuinka monta ratkaisua kahden lineaarisen yhtälön järjestelmällä, jossa on kaksi muuttujaa, voi olla?

[Ainoa ratkaisu on, jos suorat leikkaavat; ei ole ratkaisuja, jos suorat ovat yhdensuuntaiset; äärettömän monta, jos rivit osuvat yhteen]

11. Mikä yhtälö yleensä määrittelee suoran?

12. Muodosta yhteys kulmakertoimien ja vapaiden termien välille:

Vaihtoehto I:

y=-x+2
y = -x-3,

k 1 = k 2, b 1 b 2, ei ratkaisuja;

Vaihtoehto II:

y=-x+8
y=2x-1,

k 1 k 2, yksi liuos;

Vaihtoehto III:

y=-x-1
y=-x-1,

k 1 = k 2, b 1 = b 2, monia ratkaisuja.

Johtopäätös:

Jos näiden funktioiden kuvaajina olevien viivojen kulmakertoimet ovat erilaiset, nämä suorat leikkaavat ja järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.
Jos viivojen kulmakertoimet ovat samat ja y-akselin leikkauspisteet ovat erilaisia, niin suorat ovat yhdensuuntaisia, eikä järjestelmällä ole ratkaisuja.
Jos kulmakertoimet ja y-akselin leikkauspisteet ovat samat, niin suorat yhtyvät ja järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua.

Taululla on taulukko, jota opettaja ja oppilaat täyttävät vähitellen.

III. Selitys uuteen aiheeseen.

Määritelmä: Näytä järjestelmä

A 1 x+B 1 y=C
A 2 x+B 2 y=C 2

jossa A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 ovat parametreista riippuvia lausekkeita ja x ja y ovat tuntemattomia, kutsutaan kahden lineaarisen algebrallisen yhtälön järjestelmäksi, jossa on kaksi tuntematonta parametreissa.

Seuraavat tapaukset ovat mahdollisia:

1) Jos , niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu

2) Jos , niin järjestelmällä ei ole ratkaisuja

3) Jos , niin järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua.

IV. Konsolidointi

Esimerkki 1.

Millä parametrin a arvoilla järjestelmä tekee

2x - 3v = 7
ah - 6v = 14

a) sillä on ääretön määrä ratkaisuja;

b) on ainutlaatuinen ratkaisu

Vastaus:

a) jos a=4, niin systeemillä on ääretön määrä ratkaisuja;

b) jos a4, silloin on vain yksi ratkaisu.

Esimerkki 2.

Ratkaise yhtälöjärjestelmä

x+(m+1)y=1
x+2y=n

Ratkaisu: a) ts. m1:lle järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

b), ts. kun m=1 (2=m+1) ja n1 alkuperäisellä järjestelmällä ei ole ratkaisuja

c) , kun m=1 ja n=1 järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua.

Vastaus: a) jos m=1 ja n1, niin ratkaisuja ei ole

b) m=1 ja n=1, niin ratkaisu on ääretön joukko

y - mikä tahansa
x = n-2y

c) jos m1 ja n ovat mitkä tahansa, niin

Esimerkki 3.

akh-3ау=2а+3
x+ay=1

Ratkaisu: Yhtälöstä II löydämme x = 1-аy ja korvaamme yhtälön I yhtälöksi

а(1-ау)-3ау=2а+3

a-a 2 y-3ау=2а+3

A 2 v-3ау=а+3

A(a+3)y=a+3

Mahdolliset tapaukset:

1) a = 0. Sitten yhtälö näyttää tältä 0*y=3 [y]

Siksi järjestelmällä ei ole ratkaisuja arvolle a=0

2) a=-3. Sitten 0*y=0.

Siksi y. Tässä tapauksessa x=1-ау=1+3у

3) a0 ja a-3. Sitten y=-, x=1-a(-=1+1=2

Vastaus:

1) jos a=0, niin (x; y)

2) jos a=-3, niin x=1+3y, y

3) jos a0 ja a?-3, sitten x=2, y=-

Tarkastellaan järjestelmän (1) toista ratkaisutapaa.

Ratkaistaan järjestelmä (1) algebrallisella summausmenetelmällä: kerrotaan ensin järjestelmän ensimmäinen yhtälö B 2:lla, toinen B 1:llä ja lisätään nämä yhtälöt termi kerrallaan, jolloin muuttuja y poistetaan:

Koska A 1 B 2 - A 2 B 1 0, sitten x =

Poistetaan nyt muuttuja x. Voit tehdä tämän kertomalla järjestelmän (1) ensimmäinen yhtälö A 2:lla ja toinen A 1:llä ja lisäämällä molemmat yhtälöt termi kerrallaan:

A 1 A 2 x +A 2 B 1 y = A 2 C 1
-A 1 A 2 x-A 1 B 2 y = - A 1 C 2
y(A 2 B 1 - A 1 B 2) = A 2 C 1 - A 1 C 2

koska A 2 B 1 - A 1 B 2 0 y =

Järjestelmän (1) ratkaisun helpottamiseksi otamme käyttöön seuraavan merkinnän:

- päätekijä

Nyt ratkaisu järjestelmään (1) voidaan kirjoittaa käyttämällä determinantteja:

Annettuja kaavoja kutsutaan Cramerin kaavoiksi.

Jos , niin järjestelmällä (1) on ainutlaatuinen ratkaisu: x=; y=

Jos , tai , niin järjestelmällä (1) ei ole ratkaisuja

Jos , , , , niin järjestelmällä (1) on ääretön määrä ratkaisuja.

Tässä tapauksessa järjestelmää on tutkittava tarkemmin. Tässä tapauksessa se yleensä pelkistetään yhdeksi lineaariseksi yhtälöksi. Tällöin on usein kätevää tutkia järjestelmää seuraavalla tavalla: ratkaisemalla yhtälön löydämme parametrien tietyt arvot tai ilmaisemme yhden parametrin muiden suhteen ja korvaamme nämä parametriarvot systeemi. Sitten saadaan systeemi, jossa on tietyt numeeriset kertoimet tai pienempi määrä parametreja, joita on tutkittava.

Jos järjestelmän kertoimet A 1 , A 2 , B 1 , B 2 riippuvat useista parametreista, niin järjestelmää on tarkoituksenmukaista tutkia järjestelmän determinanttien avulla.

Esimerkki 4.

Ratkaise yhtälöjärjestelmä kaikille parametrin a arvoille

(a+5)x+(2a+3)y=3a+2
(3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

Ratkaisu: Etsitään järjestelmän determinantti:

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

Oppitunti "Lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen moduulin sisältävällä parametrilla."

Tavoite: kehittää kykyä ratkaista lineaarisia yhtälöitä moduulin sisältävällä parametrilla; kehittää loogista ajattelua ja itsenäistä työskentelytaitoa.

Varustus: esitys.

Tuntien aikana.

1. Opiskelijoiden tiedon päivittämiseksi on tarpeen toistaa moduulin käsite ja ratkaista useita yhtälöitä moduulilla: |x|=3; |x|= - 5; |x|=0.

Pyydä sitten oppilaita vastaamaan kysymykseen: Kuinka monta juurta yhtälöllä, jolla on moduuli, voi olla ja mistä tämä riippuu?

Johtopäätös on dialla 2. Se kirjoitetaan muistikirjaan.

Yhtälön |x - 2 |= 3 ratkaisun analyysi

Etutyö luokan kanssa: yhtälön 1 ratkaiseminen. |x + 4 |= 0.

Yhtälöiden ratkaiseminen itse:

2. |x - 3 |= 5; 3. |4 - x |= 7; 4. |5 - x |= - 9. Tarkista.

Liuoksen analyysi harjoitus 1 :

Määritä yhtälön juurien lukumäärä

||x| +5 - a |= 2. (dia 3)

Opettajan kommentit: tämä on yhtälö parametrilla, ts. muuttujalla a. Tämän muuttujan arvosta riippuen yhtälön muoto muuttuu. Tämä tarkoittaa, että yhtälön juurien lukumäärä riippuu a:sta.

Pyydä oppilaita vastaamaan tehtävään ”Etsi kaikki a:n arvot, joista jokaiselle yhtälö ||x| +5 - ja |= 2 on täsmälleen 3 juurta. (Jos a:n arvoja on useampi kuin yksi, kirjoita niiden summa vastauslomakkeeseen). Vastaus: 7. (dia 4)

Ratkaise laudalla tehtävä 2: Etsi kaikki a:n arvot, joista jokaiselle on yhtälö ||x| - 3 + a |= 4:llä on täsmälleen 3 juurta. Vastaus: -1.

Itsenäinen työ.Harjoittele 3 .Etsi kaikki a:n arvot, joista jokaiselle yhtälö ||x| -4+ ja |= 3 on täsmälleen 1 juuri. Vastaus: 7.

Tehtävä 4 . Mille a:n arvoille yhtälö toimii

|a - 5 - |x||= 3:lla on pariton määrä juuria (jos a:n arvoja on useampi kuin yksi, kirjoita niiden summa vastaussivulle). Vastaus: 10.

Kehota oppilaita selvittämään, kuinka ongelma ratkaistaan funktion pariteettiominaisuuden ja graafisen menetelmän avulla.

7. Oppitunnin yhteenveto. Mitä teit luokassa tänään? Oliko jotain uutta ja opettavaa sinulle? Mitä haluaisit työstää seuraavalla oppitunnillasi?

10x − 5y − 3z = − 9,

6 x + 4 y − 5 z = − 1,3 x − 4 y − 6 z = − 23.

Tasataan kertoimet x:lle ensimmäisessä ja toisessa yhtälössä tätä varten, kerrotaan ensimmäisen yhtälön molemmat puolet 6:lla ja toisen yhtälön puolet 10:llä, saadaan:

60x − 30 y − 18z = − 54,60x + 40 y − 50z = − 10.

Vähennämme ensimmäisen yhtälön tuloksena olevan järjestelmän toisesta yhtälöstä.

Siksi saamme: 70 y − 32 z = 44, 35 y − 16 z = 22.

Alkuperäisen järjestelmän toisesta yhtälöstä vähennetään kolmas yhtälö kerrottuna 2:lla, saadaan: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12 v + 7z = 45.

Nyt ratkaisemme uuden yhtälöjärjestelmän:

35v − 16z = 22,12v + 7z = 45.

Uuden järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön, kerrottuna 7:llä, lisäämme toisen yhtälön, kerrottuna 16:lla, saamme:

35 7 v + 12 16 v = 22 7 + 45 16,

Nyt korvaamme y = 2, z = 3 alkuperäisen järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön

aiheet, saamme: 10x − 5 2 − 3 3 = − 9, 10x − 10 − 9 = − 9, 10x = 10, x = 1.

Vastaus: (1; 2;3). ▲

ax + 4 y = 2 a,

Harkitse yhtälöjärjestelmää

x + ay = a.

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 3, 8. luokka. Matematiikka. Yhtälöjärjestelmät.

Tässä järjestelmässä on itse asiassa kolme muuttujaa, nimittäin: a, x, y. x ja y katsotaan tuntemattomiksi, a:ta kutsutaan parametriksi. Tämän järjestelmän ratkaisut (x, y) on löydettävä jokaiselle parametrin a arvolle.

Näytämme, kuinka tällaiset järjestelmät ratkaisevat. Ilmaistaan muuttuja x järjestelmän toisesta yhtälöstä: x = a − ay. Korvaamme tämän arvon x:llä järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön, saamme:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a ) y = a (2 − a ) .

Jos a = 2, niin saadaan yhtälö 0 y = 0. Tämän yhtälön toteuttaa mikä tahansa luku y, ja sitten x = 2 − 2 y, eli jos a = 2, lukupari (2 − 2 y; y) on ratkaisu järjestelmään . Koska voit olla

mikä tahansa luku, niin systeemillä a = 2 on äärettömän monta ratkaisua.

Jos a = − 2, niin saadaan yhtälö 0 y = 8. Tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Jos nyt a ≠ ± 2,	sitten y =	a (2 - a)
		(2 − a )(2 + a )	2+a
x = a − ay = a −
	2+a

Vastaus: Kun a = 2, järjestelmällä on äärettömän monta muotoa (2 − 2 y; y) olevia ratkaisuja, joissa y on mikä tahansa luku;

Ratkaisimme tämän järjestelmän ja selvitimme, mille parametrin a arvoille järjestelmällä on yksi ratkaisu, milloin sillä on äärettömän monta ratkaisua ja mille parametrin a arvoille sillä ei ole ratkaisuja.

Esimerkki 1: Ratkaise yhtälöjärjestelmä

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 3, 8. luokka. Matematiikka. Yhtälöjärjestelmät.

−3

y - 1

3x − 2 y = 5.

Järjestelmän toisesta yhtälöstä ilmaisemme x:n y:n kautta, saamme

2v + 5

korvaamme tämän arvon x:llä järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön

aiheita, saamme:

2v + 5

−3

y - 1

−3

−1

5 = 0

Ilmaisu

y = −

y > −

; Jos

−5

= −y

Lauseke y − 1 = 0,

jos y = 1. Jos

y > 1 siis

y - 1

Y − 1 ja es-

onko y< 1, то

y - 1

1 - v.

Jos y ≥ 1, niin

y - 1

Y-1 ja

saamme yhtälön:

−3(y

− 1) = 3,

−3 v

3, −

(2 2 +

5 ) = 3. Luku 2 > 1, joten pari (3;2) on uudelleen

järjestelmän vaihtaminen.

Anna sen nyt

5 ≤ v<1,

y - 1

− y;

löytäminen

saamme

yhtälö

3v-3

4v + 10

3 v = 6,

13 v = 8

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 3, 8. luokka. Matematiikka. Yhtälöjärjestelmät.

(2 v + 5) =

Mutta vähemmän kuin

siis pari numeroa

on ratkaisu järjestelmään.

y< −

sitten saamme yhtälön:

3v-3

4 v −

3v = 6,

5 v =

28, y = 28.

merkitys

joten ratkaisuja ei ole.

Siten järjestelmässä on kaksi ratkaisua (3;2) ja 13 27 ; 13 8 . ▲

Esimerkki 1. Auto kulkee kaupungista kylään 2,5 tunnissa. Jos hän lisää nopeuttaan 20 km/h, niin 2 tunnissa hän kulkee 15 km pidemmän matkan kuin etäisyys kaupungista kylään. Etsi tämä etäisyys.

Merkitään S:llä kaupungin ja kylän välinen etäisyys ja V:llä auton nopeus. Sitten S:n löytämiseksi saamme kahden yhtälön järjestelmän

2,5 V = S,

(V + 20) 2 = S + 15.

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 3, 8. luokka. Matematiikka. Yhtälöjärjestelmät.

Vastaus: 125 km. ▲

Esimerkki 2. Kaksinumeroisen luvun numeroiden summa on 15. Jos nämä numerot vaihdetaan, saadaan luku, joka on 27 enemmän kuin alkuperäinen. Etsi nämä numerot.

Olkoon annettu luku ab, ts. kymmenien lukumäärä on a ja ykkösten lukumäärä b. Tehtävän ensimmäisestä ehdosta saamme: a + b = 15. Jos vähennämme luvusta ba luvun ab, saamme 27, joten saamme toisen yhtälön: 10 b + a − (10 a + b) = 27. x

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 3, 8. luokka. Matematiikka. Yhtälöjärjestelmät.

Kerrotaan yhtälön molemmat puolet 20:llä, saadaan: x + 8 y = 840. Löytääksemme x ja y saadaan yhtälöjärjestelmä

Vastaus: 40t, 100t ▲

Esimerkki 4. Tietokoneoperaattori, joka työskentelee opiskelijan kanssa, käsittelee tehtävän 2 tunnissa 24 minuutissa. Jos operaattori työskentelee 2 tuntia ja opiskelija 1 tunnin, niin

lapset suorittivat 2 3 koko työstä. Kuinka kauan toiminta kestää

ru ja opiskelija erikseen käsittelemään tehtävän?

Merkitään kaikki työt ykkösellä, operaattorin tuottavuus x:llä ja opiskelijoiden tuottavuus y:llä. Otamme sen huomioon

2 tuntia 24 minuuttia = 2 5 2 tuntia = 12 5 tuntia.

Tehtävän ensimmäisestä ehdosta seuraa, että (x+y) 12 5 = 1. Tehtävän toisesta ehdosta seuraa, että 2 x + y = 2 3. Saimme yhtälöjärjestelmän

(x+y)

2 x + y =

Ratkaisemme tämän järjestelmän korvausmenetelmällä:

− 2 x ;

-2x

−x

− 1;

; x =

; y =

1. Lineaariyhtälöjärjestelmät parametrin kanssa

Lineaariset yhtälöt, joissa on parametri, ratkaistaan samoilla perusmenetelmillä kuin tavalliset yhtälöjärjestelmät: korvausmenetelmällä, yhtälöiden yhteenlaskumenetelmällä ja graafisella menetelmällä. Lineaaristen järjestelmien graafisen tulkinnan tuntemus mahdollistaa helpon vastaamisen kysymykseen juurien lukumäärästä ja niiden olemassaolosta.

Esimerkki 1.

Etsi kaikki arvot parametrille a, jolle yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Ratkaisu.

Katsotaanpa useita tapoja ratkaista tämä tehtävä.

1 tapa. Käytämme ominaisuutta: järjestelmässä ei ole ratkaisuja, jos x:n edessä olevien kertoimien suhde on yhtä suuri kuin y:n edessä olevien kertoimien suhde, mutta ei yhtä suuri kuin vapaiden termien suhde (a/a 1 = b /b1 ≠ c/c 1). Sitten meillä on:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 tai järjestelmä

(ja 2-3 = 1,
(a ≠ 2.

Ensimmäisestä yhtälöstä a 2 = 4, joten, kun otetaan huomioon ehto, että a ≠ 2, saadaan vastaus.

Vastaus: a = -2.

Menetelmä 2. Ratkaisemme korvausmenetelmällä.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Kun yhteinen tekijä y on otettu pois suluista ensimmäisessä yhtälössä, saamme:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Järjestelmällä ei ole ratkaisuja, jos ensimmäisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, eli

(ja 2-4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Ilmeisesti a = ±2, mutta kun otetaan huomioon toinen ehto, vastauksessa on vain miinus.

Vastaus: a = -2.

Esimerkki 2.

Etsi kaikki arvot parametrille a, jolle yhtälöjärjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja.

(8x + ay = 2,
(kirves + 2v = 1.

Ratkaisu.

Ominaisuuden mukaan, jos x:n ja y:n kertoimien suhde on sama ja yhtä suuri kuin järjestelmän vapaiden jäsenten suhde, niin sillä on ääretön määrä ratkaisuja (ts. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Siksi 8/a = a/2 = 2/1. Ratkaisemalla kukin tuloksena olevista yhtälöistä huomaamme, että a = 4 on vastaus tässä esimerkissä.

Vastaus: a = 4.

2. Rationaaliyhtälöjärjestelmät parametrin kanssa

Esimerkki 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Ratkaisu.

Kerrotaan järjestelmän ensimmäinen yhtälö kahdella:

(6|x| + 2v = 4,
(|x| + 2y = a.

Kun toinen yhtälö vähennetään ensimmäisestä, saadaan 5|x| = 4 – a. Tällä yhtälöllä on ainutlaatuinen ratkaisu arvolle a = 4. Muissa tapauksissa tällä yhtälöllä on kaksi ratkaisua (a< 4) или ни одного (при а > 4).

Vastaus: a = 4.

Esimerkki 4.

Etsi kaikki parametrin a arvot, joille yhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Ratkaisu.

Ratkaisemme tämän järjestelmän graafisella menetelmällä. Järjestelmän toisen yhtälön kuvaaja on siis Oy-akselia pitkin ylöspäin yhden yksikkösegmentin verran nostettu paraabeli. Ensimmäinen yhtälö määrittää joukon suoria, jotka ovat samansuuntaisia y = -x:n kanssa (kuva 1). Kuvasta näkyy selvästi, että järjestelmällä on ratkaisu, jos suora y = -x + a on paraabelin tangentti pisteessä, jolla on koordinaatit (-0,5, 1,25). Korvaamalla nämä koordinaatit suoran yhtälöön x:n ja y:n sijaan, saamme parametrin a arvon:

1,25 = 0,5 + a;

Vastaus: a = 0,75.

Esimerkki 5.

Selvitä korvausmenetelmällä, millä parametrin a arvolla järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Ratkaisu.

Ensimmäisestä yhtälöstä ilmaisemme y:n ja korvaamme sen toisella:

(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2) (ax – a – 1) = 2.

Pelkistetään toinen yhtälö muotoon kx = b, jolla on ainutlaatuinen ratkaisu arvolle k ≠ 0. Meillä on:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Esitämme neliötrinomin a 2 + 3a + 2 hakasulkeiden tulona

(a + 2)(a + 1), ja vasemmalla otamme x:n pois suluista:

(a 2 + 3a) x = 2 + (a + 2) (a + 1).

On selvää, että 2 + 3a ei saa olla nolla, joten

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, mikä tarkoittaa a ≠ 0 ja ≠ -3.

Vastaus: a ≠ 0; ≠ -3.

Esimerkki 6.

Määritä graafisen ratkaisumenetelmän avulla, millä parametrin arvolla järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Ratkaisu.

Ehdon perusteella rakennamme ympyrän, jonka keskipiste on origossa ja jonka säde on 3 yksikkösegmenttiä, mikä on määritelty järjestelmän ensimmäisessä yhtälössä

x 2 + y 2 = 9. Järjestelmän toinen yhtälö (y = |x| + a) on katkoviiva. Käyttämällä kuva 2 Harkitsemme kaikkia mahdollisia tapauksia sen sijainnista ympyrän suhteen. On helppo nähdä, että a = 3.

Vastaus: a = 3.

Onko sinulla vielä kysyttävää? Etkö tiedä kuinka ratkaista yhtälöjärjestelmiä?
Avun saaminen tutorilta -.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

blog.site, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, vaaditaan linkki alkuperäiseen lähteeseen.

kun a = − 2 järjestelmällä ei ole ratkaisuja;

≠ ± 2:lle järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu