Mielestäni ansaitset enemmän kuin tämän. Tässä on avaimeni trigonometriaan:

• Piirrä kupoli, seinä ja katto
• Trigonometriset funktiot ovat vain prosentteja näistä kolmesta muodosta.

Metafora sinille ja kosinille: kupoli

Sen sijaan, että katsoisit itse kolmioita, kuvittele ne toiminnassa etsimällä tietyn esimerkin tosielämästä.

Kuvittele, että olet keskellä kupolia ja haluat ripustaa elokuvaprojektorin valkokankaan. Osoitat sormella kupua tietyssä kulmassa “x”, ja näytön tulisi olla ripustettuna tästä kohdasta.

Kulma, johon osoitat, määrittää:

• sini(x) = sin(x) = näytön korkeus (lattiasta kupolin kiinnityskohtaan)
• kosini(x) = cos(x) = etäisyys sinusta näyttöön (lattian mukaan)
• hypotenuusa, etäisyys sinusta näytön yläreunaan, aina sama, yhtä suuri kuin kupolin säde

Haluatko näytön olevan mahdollisimman suuri? Ripusta se suoraan yläpuolellesi.

Haluatko näytön roikkuvan mahdollisimman kaukana sinusta? Ripusta se suoraan kohtisuoraan. Näytön korkeus on nolla tässä asennossa ja se roikkuu kauimpana, kuten kysyit.

Korkeus ja etäisyys näytöstä ovat kääntäen verrannollisia: mitä lähempänä näyttö roikkuu, sitä korkeampi se on.

Sini ja kosini ovat prosentteja

Kukaan opiskeluvuosieni aikana ei valitettavasti selittänyt minulle, että trigonometriset funktiot sini ja kosini ovat vain prosentteja. Niiden arvot vaihtelevat +100 %:sta 0:sta -100 %:iin tai positiivisesta maksimista nollaan negatiiviseen maksimiin.

Oletetaan, että maksoin 14 ruplaa veroa. Et tiedä kuinka paljon se on. Mutta jos sanot, että maksoin 95% veroa, ymmärrät, että minut oli yksinkertaisesti huijattu.

Absoluuttinen korkeus ei tarkoita mitään. Mutta jos siniarvo on 0,95, ymmärrän, että televisio roikkuu melkein kupolin päällä. Hyvin pian se saavuttaa maksimikorkeutensa kupolin keskellä ja alkaa sitten taas laskea.

Kuinka voimme laskea tämän prosentin? Se on hyvin yksinkertaista: jaa nykyinen näytön korkeus suurimmalla mahdollisella (kuvun säde, jota kutsutaan myös hypotenuusaksi).

Siksi meille kerrotaan, että "kosini = vastakkainen puoli / hypotenuusa". Kyse on kiinnostuksen saamisesta! On parasta määritellä sini "prosenttiosuutena nykyisestä korkeudesta suurimmasta mahdollisesta". (Sinistä tulee negatiivinen, jos kulmasi osoittaa "maan alle." Kosinista tulee negatiivinen, jos kulma osoittaa takanasi olevaa kupolipistettä kohti.)

Yksinkertaistetaan laskelmia olettamalla, että olemme yksikköympyrän (säde = 1) keskellä. Voimme ohittaa jaon ja ottaa vain sinin, joka on yhtä suuri kuin korkeus.

Jokainen ympyrä on pohjimmiltaan yksi ympyrä, skaalattu ylös tai alas haluttuun kokoon. Joten määritä yksikköympyrän kytkennät ja käytä tuloksia tiettyyn ympyrän kokoon.

Kokeilu: ota mikä tahansa kulma ja katso, kuinka suuri prosenttiosuus sen korkeudesta leveyteen näyttää:

Siniarvon kasvun kuvaaja ei ole vain suora viiva. Ensimmäiset 45 astetta peittävät 70 % korkeudesta, mutta viimeiset 10 astetta (80° - 90°) vain 2 %.

Tämä selventää sinulle: jos kävelet ympyrää, nouset 0°:ssa melkein pystysuoraan, mutta kun lähestyt kupolin yläosaa, korkeus muuttuu yhä vähemmän.

Tangentti ja sekantti. Seinä

Eräänä päivänä naapuri rakensi muurin aivan vierekkäin kupolillesi. Itki näkymäsi ikkunasta ja hyvä hinta jälleenmyyntiin!

Mutta onko tässä tilanteessa mahdollista voittaa jotenkin?

Tietysti kyllä. Mitä jos ripustaisimme elokuvakankaan suoraan naapurin seinälle? Kohdistat kulman (x) ja saat:

• tan(x) = tan(x) = näytön korkeus seinällä
• etäisyys sinusta seinään: 1 (tämä on kupolisi säde, seinä ei liiku sinusta minnekään, eikö niin?)
• secant(x) = sec(x) = "tikkaiden pituus" sinusta, joka seisot kupolin keskellä ripustetun näytön yläosaan

Selvennetään pari kohtaa tangentin eli näytön korkeuden suhteen.

• se alkaa nollasta ja voi nousta äärettömän korkeaksi. Voit venyttää näyttöä yhä korkeammalle seinällä luodaksesi loputtoman kankaan suosikkielokuvasi katseluun! (Tällaiselle valtavalle joudut tietysti käyttämään paljon rahaa).
• tangentti on vain suurennettu versio sinistä! Ja vaikka sinin kasvu hidastuu, kun liikut kohti kupolin yläosaa, tangentti jatkaa kasvuaan!

Sekansulla on myös kerskumisen aihetta:

• Sekantti alkaa 1:stä (tikkaat ovat lattialla, sinusta seinään) ja alkaa nousta sieltä
• Sekantti on aina pidempi kuin tangentti. Näytön ripustamiseen käyttämien vinojen tikkaiden tulisi olla pidempiä kuin itse näyttö, eikö niin? (Epärealistisilla kooilla, kun näyttö on niin pitkä ja tikkaat on asetettava melkein pystysuoraan, niiden koot ovat melkein samat. Mutta silloinkin sekantti on hieman pidempi).

Muista, että arvot ovat prosenttia. Jos päätät ripustaa näytön 50 asteen kulmaan, tan(50)=1,19. Näyttösi on 19 % suurempi kuin etäisyys seinään (kuvun säde).

(Syötä x=0 ja tarkista intuitiosi - tan(0) = 0 ja sec(0) = 1.)

Kotangentti ja kosekantti. Katto

Uskomatonta, että naapurisi on nyt päättänyt rakentaa katon kupolisi päälle. (Mikä häntä vaivaa? Ilmeisesti hän ei halua sinun vakoilevan häntä, kun hän kävelee pihalla alasti...)

No, on aika rakentaa uloskäynti katolle ja puhua naapurin kanssa. Valitset kaltevuuskulman ja aloitat rakentamisen:

• katon poistoaukon ja lattian välinen pystyetäisyys on aina 1 (kupolin säde)
• kotangentti(x) = cot(x) = etäisyys kupolin yläosan ja poistumispisteen välillä
• kosekantti(x) = csc(x) = katolle johtavan polun pituus

Tangentti ja sekantti kuvaavat seinää ja COtangentti ja COsekantti kattoa.

Tällä kertaa intuitiiviset johtopäätöksemme ovat samanlaisia ​​kuin edelliset:

• Jos otat kulman yhtä suureksi kuin 0°, katolle pääsy kestää ikuisesti, koska se ei koskaan saavuta kattoa. Ongelma.
• Lyhyimmät "tikkaat" katolle saadaan, jos rakennat ne 90 asteen kulmaan lattiaan nähden. Kotangentti on yhtä suuri kuin 0 (emme liiku ollenkaan kattoa pitkin, poistumme tiukasti kohtisuorassa) ja kosekantti on yhtä suuri kuin 1 ("tikkaita" on minimaalinen).

Visualisoi yhteydet

Jos kaikki kolme koteloa piirretään kupoli-seinä-katto -yhdistelmänä, tulos on seuraava:

No, se on edelleen sama kolmio, jota on kasvatettu seinään ja kattoon asti. Meillä on pystysuorat sivut (sini, tangentti), vaakapuolet (kosini, kotangentti) ja “hypotenukset” (sekantti, kosekantti). (Nuolista näet, mihin kukin elementti saavuttaa. Kosekantti on kokonaisetäisyys sinusta kattoon).

Pientä taikuutta. Kaikilla kolmioilla on samat yhtäläisyydet:

Pythagoraan lauseesta (a 2 + b 2 = c 2) nähdään, kuinka kunkin kolmion sivut ovat yhteydessä toisiinsa. Lisäksi "korkeus-leveys" -suhteiden tulisi olla samat kaikissa kolmioissa. (Siirry yksinkertaisesti suurimmasta kolmiosta pienempään. Kyllä, koko on muuttunut, mutta sivujen suhteet pysyvät samoina).

Kun tiedämme, mikä puoli kussakin kolmiossa on yhtä suuri kuin 1 (kuvun säde), voimme helposti laskea, että "sin/cos = tan/1".

Olen aina yrittänyt muistaa nämä tosiasiat yksinkertaisen visualisoinnin avulla. Kuvassa näet selvästi nämä riippuvuudet ja ymmärrät mistä ne tulevat. Tämä tekniikka on paljon parempi kuin kuivien kaavojen muistaminen.

Älä unohda muita näkökulmia

Psst... Älä jää jumiin yhteen kuvaajaan ajattelemalla, että tangentti on aina pienempi kuin 1. Jos lisäät kulmaa, pääset kattoon saavuttamatta seinää:

Pythagoraan yhteydet toimivat aina, mutta suhteelliset koot voivat vaihdella.

(Olet ehkä huomannut, että sini- ja kosinisuhteet ovat aina pienimmät, koska ne ovat kupussa).

Yhteenvetona: mitä meidän tulee muistaa?

Useimmille meistä sanoisin, että tämä riittää:

• trigonometria selittää matemaattisten kohteiden, kuten ympyröiden ja toistuvien intervallien, anatomian
• Kupoli/seinä/katto-analogia osoittaa eri trigonometristen funktioiden välisen suhteen
• Trigonometriset funktiot johtavat prosenttiosuuksiin, joita käytämme käsikirjoituksessamme.

Sinun ei tarvitse opetella ulkoa kaavoja, kuten 1 2 + pinnasänky 2 = csc 2 . Ne soveltuvat vain typeriin kokeisiin, joissa faktatieto esitetään sen ymmärtämisenä. Piirrä hetki puoliympyrä kupolin, seinän ja katon muodossa, merkitse elementit, ja kaikki kaavat tulevat sinulle paperille.

Sovellus: Käänteisfunktiot

Mikä tahansa trigonometrinen funktio ottaa kulman syöteparametriksi ja palauttaa tuloksen prosentteina. sin(30) = 0,5. Tämä tarkoittaa, että 30 asteen kulma vie 50 % enimmäiskorkeudesta.

Käänteinen trigonometrinen funktio kirjoitetaan sin -1 tai arcsin. Asin kirjoitetaan usein myös eri ohjelmointikielillä.

Jos korkeutemme on 25 % kupolin korkeudesta, mikä on kulmamme?

Suhdetaulukostamme löydät suhteen, jossa sekantti jaetaan 1:llä. Esimerkiksi sekantti 1:llä (hypotenuusa vaakasuuntaan) on yhtä suuri kuin 1 jaettuna kosinilla:

Oletetaan, että sekanttimme on 3,5, ts. 350 % yksikköympyrän säteestä. Mitä kaltevuuskulmaa seinään nähden tämä arvo vastaa?

Liite: Muutamia esimerkkejä

Esimerkki: Etsi kulman x sini.

Tylsä tehtävä. Monimutkaistaan ​​banaalista "etsi sini" muotoon "Mikä on korkeus prosentteina maksimista (hypotenuusa)?"

Huomaa ensin, että kolmio on kierretty. Siinä ei ole mitään vikaa. Kolmiolla on myös korkeus, se on merkitty vihreällä kuvassa.

Mitä hypotenuusa on yhtä suuri? Pythagoraan lauseen mukaan tiedämme, että:

3 2 + 4 2 = hypotenuusa 2 25 = hypotenuusa 2 5 = hypotenuusa

Hieno! Sini on prosenttiosuus kolmion pisimmän sivun eli hypotenuusan korkeudesta. Esimerkissämme sini on 3/5 tai 0,60.

Tietysti voimme mennä monella tapaa. Nyt tiedämme, että sini on 0,60, voimme yksinkertaisesti löytää arcsinin:

Asin(0,6) = 36,9

Tässä on toinen lähestymistapa. Huomaa, että kolmio on "seinää päin", joten voimme käyttää tangenttia sinin sijaan. Korkeus on 3, etäisyys seinään 4, joten tangentti on ¾ tai 75%. Voimme käyttää arktangenttia siirtyäksemme prosenttiarvosta takaisin kulmaan:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Esimerkki: Uidatko rantaan?

Olet veneessä ja sinulla on tarpeeksi polttoainetta matkustaaksesi 2 km. Olet nyt 0,25 km päässä rannikosta. Missä suurimmassa kulmassa rantaan nähden siihen voi uida niin, että polttoainetta riittää? Lisäys ongelman lauseeseen: meillä on vain taulukko kaarikosinin arvoista.

Mitä meillä on? Rantaviivaa voidaan esittää "seinänä" kuuluisassa kolmiossamme, ja seinään kiinnitettyjen "tikapuun" pituus on suurin mahdollinen veneellä katettava etäisyys rantaan (2 km). Sekantti ilmestyy.

Ensin sinun on siirryttävä prosenttiosuuksiin. Meillä on 2 / 0,25 = 8, eli voimme uida matkan, joka on 8 kertaa suora etäisyys rantaan (tai seinään).

Herää kysymys: "Mikä on 8:n sekantti?" Mutta emme voi vastata siihen, koska meillä on vain kaarikosineja.

Käytämme aiemmin johdettuja riippuvuuksiamme yhdistämään sekantin kosiniin: "sec/1 = 1/cos"

Luku 8:n sekantti on yhtä suuri kuin ⅛:n kosini. Kulma, jonka kosini on ⅛, on yhtä suuri kuin acos(1/8) = 82,8. Ja tämä on suurin kulma, johon meillä on varaa veneessä määritellyllä polttoainemäärällä.

Ei paha, eikö? Ilman kupoli-seinä-katto -analogiaa olisin eksynyt joukkoon kaavoja ja laskelmia. Ongelman visualisointi yksinkertaistaa huomattavasti ratkaisun etsimistä, ja on myös mielenkiintoista nähdä, mikä trigonometrinen funktio lopulta auttaa.

Ajattele jokaisen ongelman kohdalla näin: Olenko kiinnostunut kupusta (sin/cos), seinästä (rusketus/sek) vai katosta (pinnasänky/csc)?

Ja trigonometriasta tulee paljon nautinnollisempaa. Helppoja laskelmia sinulle!

Yksi matematiikan alueista, jonka kanssa opiskelijat kamppailevat eniten, on trigonometria. Se ei ole yllättävää: tämän tietoalueen hallitsemiseksi vapaasti tarvitset tilaajattelua, kykyä löytää sinejä, kosineja, tangentteja, kotangentteja kaavojen avulla, yksinkertaistaa lausekkeita ja kykyä käyttää lukua pi laskelmat. Lisäksi sinun tulee osata käyttää trigonometriaa lauseiden todistamisessa, mikä edellyttää joko kehittynyttä matemaattista muistia tai kykyä johtaa monimutkaisia ​​loogisia ketjuja.

Trigonometrian alkuperä

Tähän tieteeseen tutustumisen tulisi alkaa kulman sinin, kosinin ja tangentin määrittelyllä, mutta ensin sinun on ymmärrettävä, mitä trigonometria tekee yleensä.

Historiallisesti tämän matematiikan tieteenalan pääasiallinen tutkimuskohde olivat suorakulmaiset kolmiot. 90 asteen kulman läsnäolo mahdollistaa erilaisten toimintojen suorittamisen, joiden avulla voidaan määrittää kyseisen kuvan kaikkien parametrien arvot käyttämällä kahta sivua ja yhtä kulmaa tai kahta kulmaa ja yhtä sivua. Aiemmin ihmiset huomasivat tämän mallin ja alkoivat käyttää sitä aktiivisesti rakennusten rakentamisessa, navigoinnissa, tähtitiedossa ja jopa taiteessa.

Ensimmäinen taso

Aluksi ihmiset puhuivat kulmien ja sivujen välisestä suhteesta yksinomaan suorakulmaisten kolmioiden esimerkillä. Sitten löydettiin erityisiä kaavoja, jotka mahdollistivat tämän matematiikan alan arkielämän käytön rajojen laajentamisen.

Trigonometrian opiskelu koulussa alkaa nykyään suorakulmaisilla kolmioilla, minkä jälkeen opiskelijat käyttävät hankittua tietoa fysiikasta ja abstraktien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta, jotka alkavat lukiossa.

Pallomainen trigonometria

Myöhemmin, kun tiede saavutti seuraavan kehitystason, kaavoja, joissa on sini, kosini, tangentti ja kotangentti, alettiin käyttää pallogeometriassa, jossa pätevät erilaiset säännöt ja kolmion kulmien summa on aina yli 180 astetta. Tätä osaa ei opiskella koulussa, mutta sen olemassaolosta on tiedettävä ainakin siksi, että maan pinta ja minkä tahansa muun planeetan pinta on kupera, mikä tarkoittaa, että kaikki pintamerkinnät ovat "kaaren muotoisia" kolmessa -ulotteinen tila.

Ota maapallo ja lanka. Kiinnitä lanka mihin tahansa kahteen maapallon pisteeseen niin, että se on kireällä. Huomaa - se on saanut kaaren muodon. Pallogeometria käsittelee tällaisia ​​muotoja, joita käytetään geodesiassa, tähtitiedessä ja muilla teoreettisilla ja soveltavilla aloilla.

Suorakulmainen kolmio

Kun olet oppinut hieman trigonometrian käyttötapoja, palataan perustrigonometriaan ymmärtääksemme paremmin, mitä sini, kosini, tangentti ovat, mitä laskelmia niiden avulla voidaan tehdä ja mitä kaavoja käyttää.

Ensimmäinen askel on ymmärtää suorakulmaiseen kolmioon liittyvät käsitteet. Ensinnäkin hypotenuusa on 90 asteen kulmaa vastapäätä. Se on pisin. Muistamme, että Pythagoraan lauseen mukaan sen numeerinen arvo on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summan juuri.

Esimerkiksi jos molemmat sivut ovat 3 ja 4 senttimetriä vastaavasti, hypotenuusan pituus on 5 senttimetriä. Muuten, muinaiset egyptiläiset tiesivät tästä noin neljä ja puoli tuhatta vuotta sitten.

Kahta jäljellä olevaa sivua, jotka muodostavat suoran kulman, kutsutaan jaloiksi. Lisäksi meidän on muistettava, että kolmion kulmien summa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on 180 astetta.

Määritelmä

Lopuksi, geometrisen perustan vakaalla ymmärryksellä, voidaan kääntyä kulman sinin, kosinin ja tangentin määritelmään.

Kulman sini on vastakkaisen haaran (eli halutun kulman vastakkaisen sivun) suhde hypotenuusaan. Kulman kosini on viereisen sivun suhde hypotenuusaan.

Muista, ettei sini eikä kosini voi olla suurempi kuin yksi! Miksi? Koska hypotenuusa on oletuksena pisin riippumatta siitä, kuinka pitkä jalka on, se on lyhyempi kuin hypotenuusa, mikä tarkoittaa, että niiden suhde on aina pienempi kuin yksi. Jos siis vastauksessasi ongelmaan saat sinin tai kosinin, jonka arvo on suurempi kuin 1, etsi virhettä laskelmissa tai perusteluissa. Tämä vastaus on selvästi väärä.

Lopuksi kulman tangentti on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun. Sinin jakaminen kosinilla antaa saman tuloksen. Katso: kaavan mukaan jaamme sivun pituuden hypotenuusalla, jaamme sitten toisen sivun pituudella ja kerromme hypotenuusalla. Siten saamme saman suhteen kuin tangentin määritelmässä.

Kotangentti on vastaavasti kulman vieressä olevan sivun suhde vastakkaiseen sivuun. Saamme saman tuloksen jakamalla yhden tangentilla.

Joten olemme tarkastelleet määritelmiä siitä, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, ja voimme siirtyä kaavoihin.

Yksinkertaisimmat kaavat

Trigonometriassa et tule toimeen ilman kaavoja - kuinka löytää sini, kosini, tangentti, kotangentti ilman niitä? Mutta juuri tätä vaaditaan ongelmien ratkaisemisessa.

Ensimmäinen kaava, joka sinun tulee tietää aloittaessasi trigonometrian opiskelun, sanoo, että kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi. Tämä kaava on suora seuraus Pythagoraan lauseesta, mutta se säästää aikaa, jos sinun on tiedettävä kulman koko eikä sivu.

Monet opiskelijat eivät muista toista kaavaa, joka on myös erittäin suosittu koulutehtäviä ratkaistaessa: ykkösen ja kulman tangentin neliön summa on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kulman kosinin neliöllä. Katso tarkemmin: tämä on sama väite kuin ensimmäisessä kaavassa, vain identiteetin molemmat puolet jaettiin kosinin neliöllä. Osoittautuu, että yksinkertainen matemaattinen operaatio tekee trigonometrisesta kaavasta täysin tunnistamattoman. Muista: kun tiedät, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, muunnossäännöt ja useita peruskaavoja, voit milloin tahansa johtaa tarvittavat monimutkaisemmat kaavat paperiarkille.

Kaavat kaksoiskulmille ja argumenttien lisääminen

Kaksi muuta kaavaa, jotka sinun on opittava, liittyvät sinin ja kosinin arvoihin kulmien summalle ja erolle. Ne on esitetty alla olevassa kuvassa. Huomaa, että ensimmäisessä tapauksessa sini ja kosini kerrotaan molemmilla kerroilla, ja toisessa lisätään sinin ja kosinin paritulo.

Kaksikulma-argumentteihin liittyy myös kaavoja. Ne ovat täysin johdettuja aiemmista - käytännössä yritä saada ne itse ottamalla alfa-kulma yhtä suureksi kuin beetakulma.

Lopuksi huomaa, että kaksoiskulmakaavat voidaan järjestää uudelleen sinin, kosinin ja tangentin alfan tehon vähentämiseksi.

Lauseet

Perustrigonometrian kaksi päälausetta ovat sinilause ja kosinilause. Näiden teoreemojen avulla voit helposti ymmärtää, kuinka löytää sini, kosini ja tangentti ja siten kuvion pinta-ala ja kunkin sivun koko jne.

Sinilause sanoo, että jakamalla kolmion kummankin sivun pituus vastakkaisella kulmalla saadaan sama luku. Lisäksi tämä luku on yhtä suuri kuin kaksi rajatun ympyrän sädettä, toisin sanoen ympyrää, joka sisältää kaikki tietyn kolmion pisteet.

Kosinilause yleistää Pythagoraan lauseen projisoimalla sen mihin tahansa kolmioon. Osoittautuu, että kahden sivun neliöiden summasta vähennetään niiden tulo kerrottuna viereisen kulman kaksoiskosinuksella - tuloksena oleva arvo on yhtä suuri kuin kolmannen sivun neliö. Siten Pythagoraan lause osoittautuu kosinilauseen erikoistapaukseksi.

Huolimattomia virheitä

Tietäenkin, mitä sini, kosini ja tangentti ovat, on helppo tehdä virhe hajamielisyyden tai yksinkertaisimpien laskelmien virheen vuoksi. Tällaisten virheiden välttämiseksi katsotaanpa suosituimpia.

Ensinnäkin murtolukuja ei pidä muuttaa desimaalilukuiksi ennen kuin saat lopputuloksen - voit jättää vastauksen murtoluvuksi, ellei ehdoissa toisin mainita. Tällaista muutosta ei voida kutsua virheeksi, mutta on muistettava, että jokaisessa ongelman vaiheessa voi ilmaantua uusia juuria, joita kirjoittajan idean mukaan pitäisi vähentää. Tässä tapauksessa tuhlaat aikaasi tarpeettomiin matemaattisiin operaatioihin. Tämä pätee erityisesti sellaisiin arvoihin kuin kolmen tai kahden juuri, koska niitä löytyy ongelmista joka vaiheessa. Sama koskee "rumien" numeroiden pyöristämistä.

Huomaa lisäksi, että kosinilause pätee mihin tahansa kolmioon, mutta ei Pythagoraan lauseeseen! Jos unohdat vahingossa vähentää sivujen tulon kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla kaksinkertaisesti, et saa vain täysin väärää tulosta, vaan osoitat myös täydellisen ymmärryksen puutteen aiheesta. Tämä on pahempaa kuin huolimaton virhe.

Kolmanneksi, älä sekoita 30 ja 60 asteen kulmien arvoja sineille, kosineille, tangenteille, kotangenteille. Muista nämä arvot, koska 30 asteen sini on yhtä suuri kuin 60:n kosini ja päinvastoin. Ne on helppo sekoittaa, minkä seurauksena saat väistämättä virheellisen tuloksen.

Sovellus

Monilla opiskelijoilla ei ole kiirettä aloittaa trigonometrian opintoja, koska he eivät ymmärrä sen käytännön merkitystä. Mikä on sini, kosini, tangentti insinöörille tai tähtitieteilijälle? Nämä ovat käsitteitä, joilla voit laskea etäisyyden kaukaisiin tähtiin, ennustaa meteoriitin putoamisen tai lähettää tutkimusluotaimen toiselle planeetalle. Ilman niitä on mahdotonta rakentaa rakennusta, suunnitella autoa, laskea pinnan kuormitusta tai esineen liikerataa. Ja nämä ovat vain ilmeisimpiä esimerkkejä! Loppujen lopuksi trigonometriaa käytetään muodossa tai toisessa kaikkialla musiikista lääketieteeseen.

Lopulta

Olet siis sini, kosini, tangentti. Voit käyttää niitä laskelmissa ja ratkaista koulutehtäviä onnistuneesti.

Koko trigonometrian pointti tulee siihen tosiasiaan, että kolmion tunnettujen parametrien avulla sinun on laskettava tuntemattomat. Parametria on yhteensä kuusi: kolmen sivun pituus ja kolmen kulman koko. Ainoa ero tehtävissä on siinä, että syötetiedot annetaan eri tavalla.

Tiedät nyt kuinka löytää sini, kosini, tangentti jalkojen tai hypotenuusan tunnettujen pituuksien perusteella. Koska nämä termit tarkoittavat vain suhdetta ja suhdeluku on murto-osa, trigonometriaongelman päätavoite on löytää tavallisen yhtälön tai yhtälöjärjestelmän juuret. Ja täällä tavallinen koulumatematiikka auttaa sinua.

Kosini– yksi trigonometrisista perusfunktioista. Kosini ohm mausteinen kulma suorakulmaisessa kolmiossa kutsutaan viereisen sivun suhdetta hypotenuusaan. Kosinin määritelmä on sidottu suorakulmaiseen kolmioon, mutta usein kulmaa, jonka kosini on määritettävä, ei sijoiteta oikeaan kolmioon. Kuinka selvittää minkä tahansa kosinin arvo kulma ?

Ohjeet

1. kulma suorakulmaisessa kolmiossa sinun on käytettävä kosinin määritelmää ja löydettävä viereisen haaran suhde hypotenuusaan: cos? = a/c, missä a on jalan pituus, c on hypotenuusan pituus.

2. Jos sinun on tunnistettava kosini kulma mielivaltaisessa kolmiossa sinun on käytettävä kosinilausetta: jos kulma on terävä: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab), jos kulma on tylppä: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), missä a, b ovat kulman viereisten sivujen pituudet, c on kulman vastakkaisen sivun pituus.

3. Jos sinun on tunnistettava kosini kulma mielivaltaisessa geometrisessa kuviossa sinun on määritettävä arvo kulma asteina tai radiaaneina ja kosinina kulma havaita sen arvon perusteella teknisen laskimen, Bradis-taulukoiden tai minkä tahansa muun matemaattisen sovelluksen avulla.

Kosini on kulman trigonometrinen perusfunktio. Kosinin määrittämisen tunteminen on hyödyllistä vektorialgebrassa määritettäessä vektorien projektioita eri akseleille.

Ohjeet

1. Kosini Kulman ohmi on kulman vieressä olevan jalan suhde hypotenuusaan. Tämä tarkoittaa, että suorassa kolmiossa ABC (ABC on suora kulma) kulman BAC kosini on yhtä suuri kuin suhde AB: AC. Kulma ACB: cos ACB = BC/AC.

2. Mutta kulma ei aina kuulu kolmioon. Lisäksi on tylppäkulmia, jotka eivät tietenkään voi olla osa suorakulmaista kolmiota. Tarkastellaan tapausta, jossa kulma määritellään säteillä. Kulman kosinin laskemiseksi tässä tapauksessa toimi seuraavasti. Kulmaan kiinnitetään koordinaattijärjestelmä, koordinaatit lasketaan kulman kärjestä, X-akseli kulkee kulman toisella puolella, Y-akseli rakennetaan kohtisuoraan X-akseliin nähden on rakennettu siten, että keskipiste on kulman kärjessä. Kulman toinen puoli leikkaa ympyrän pisteessä A. Pudota kohtisuora pisteestä A X-akselille, merkitse kohtisuoran leikkauspiste Ax-akselin kanssa. Sitten saadaan suorakulmainen kolmio AAxO, ja kulman kosini on AAx/AO. Koska ympyrän säde on yksikköyksikkö, niin AO = 1 ja kulman kosini on primitiivisesti yhtä suuri kuin AAx.

3. Tylsän kulman tapauksessa suoritetaan samat rakenteet. Kosini Tylsä kulma on negatiivinen, mutta se on myös yhtä suuri kuin Ax.

Video aiheesta

Huomautus!
Joidenkin kulmien kosinit on esitetty Bradis-taulukoissa.

Käsitteitä, kuten sini, kosini, tangentti, tuskin usein kohtaa jokapäiväisessä elämässä. Jos kuitenkin istuisit ratkaisemaan matemaattisia tehtäviä lukiolaisen poikasi kanssa, olisi hyvä muistaa, mitä nämä esitykset ovat ja kuinka havaita esimerkiksi kosini.

Ohjeet

Video aiheesta

Usein geometrisissa (trigonometrisissa) ongelmissa se on löydettävä kosini kulma sisään kolmio, koska kosini kulman avulla voit määrittää yksiselitteisesti itse kulman koon.

Ohjeet

1. Löytääkseen kosini kulma sisään kolmio, sivujen pituudet tunnetaan, voimme käyttää lausetta kosini ov. Tämän lauseen mukaan mielivaltaisen kolmion sivun pituuden neliö on yhtä suuri kuin sen kahden muun sivun neliöiden summa ilman näiden sivujen pituuksien tuloa kahdesti kosini niiden välinen kulma: a?=b?+c?-2*b*c*cos?, missä: a, b, c ovat kolmion sivut (tai pikemminkin niiden pituudet),? – sivua a vastakkainen kulma (sen arvo) on helppo löytää сos?:сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c) Esimerkki 1. On olemassa. kolmio, jonka sivut ovat a, b , vastaavasti 3, 4, 5 mm kosini suurten sivujen välissä oleva kulma Ratkaisu: Tehtävän ehtojen mukaan meillä on: a = 3, b = 4, c = 5. Merkitään sivun a vastakkainen kulma ?:llä. Yllä johdettu kaava on: cos +25-9)/40=32/40=0, 8Vastaus: 0,8.

2. Jos kolmio on suorakulmainen, niin etsi kosini ja riittää, että kulma tietää kummankin sivun pituudet ( kosini Oikea kulma on 0, jossa c on hypotenuusa: Esimerkki 2. Etsi sivujen a ja b pituudet Kolmion) tunnetaan lisäksi Pythagoran lausetta: c?=b?+a?,c=v(b?+a?)cos?=(b?+c?-a?)/(2*). b*c)=(b?+b?+a? -a?)/(2*b*v(b?+a?))=(2*b?)/(2*b*v(b? +a?))=b/v(b?+a ?)Saadun kaavan oikeellisuuden tarkistamiseksi korvaamme siihen esimerkin 1 arvot, eli a = 3, b = 4. Peruslaskelman jälkeen saamme: cos = 0,8.

3. Vastaava sijaitsee kosini suorakaiteen muotoisena kolmio muissa tapauksissa: Esimerkki 3. Kuuluisa a ja c (hypotenuusa ja vastakkainen jalka), etsi сos?b?=с?-а?,b=v(c?-а?)сos?=(b?+c?- a?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а ?)/(2*c*v(c?-a?))=v(c?-a?)/c Korvaamalla ensimmäisen esimerkin arvot a=3 ja c=5, saamme: cos ?=0,8.

4. Esimerkki 4. Vestimit b ja c (hypotenuusa ja viereinen jalka). kosini V kolmio lasketaan erittäin helpolla kaavalla: cos = b/c johdetun kaavan yksinkertaisuus selitetään yksinkertaisesti: todella, kulman vieressä? jalka on hypotenuusan projektio, joten sen pituus on yhtä suuri kuin hypotenuusan pituus kerrottuna cos?:lla. Korvaamalla arvot b = 4 ja c = 5 saadaan: cos = 0,8 tarkoittaa, että kaikki kaavamme ovat oikein.

Vihje 5: Kuinka tunnistaa terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa

Suoraan hiilihappoa kolmio on ilmeisesti yksi tunnetuimmista historiallisesta näkökulmasta geometrisista hahmoista. Pythagoralaiset "housut" voivat kilpailla vain "Eurekan" kanssa! Archimedes.

Tarvitset

• – kolmion piirustus;
• - viivotin;
• – astemittari

Ohjeet

1. Kuten tavallista, kolmion kulmien kärjet on merkitty latinalaisilla isoilla kirjaimilla (A, B, C) ja vastakkaiset sivut pienillä latinalaisilla kirjaimilla (a, b, c) tai kolmion kärkien nimillä. muodostaen tämän puolen (AC, BC, AB).

2. Kolmion kulmien summa on 180 astetta. Suorakaiteen muotoisena kolmio yksi kulma (suora) on aina 90 astetta ja loput terävät, ts. alle 90 astetta koko matkan. Sen määrittämiseksi, mikä kulma suorakaiteessa kolmio on suora, mittaa kolmion sivut viivaimen avulla ja määritä suurin. Sitä kutsutaan hypotenuusaksi (AB) ja se sijaitsee vastapäätä oikeaa kulmaa (C). Loput kaksi sivua muodostavat suoran kulman ja niitä kutsutaan jaloiksi (AC, BC).

3. Kun olet määrittänyt, mikä kulma on terävä, voit joko mitata kulman astemittarilla tai laskea sen matemaattisten kaavojen avulla.

4. Kulman koon määrittämiseksi astelevyn avulla kohdista sen kärki (merkitty kirjaimella A) viivaimen keskellä olevan erikoismerkin kanssa, jalan AC tulee olla sama kuin sen yläreuna. Merkitse astelevyn puoliympyrän muotoiseen osaan piste, jonka läpi hypotenuusa AB kulkee. Arvo tässä pisteessä vastaa kulmaa asteina. Jos astelevyssä on 2 arvoa, niin terävälle kulmille on valittava pienempi, tylpälle kulmille - suurempi.

6. Etsi tuloksena oleva arvo Bradis-viitetaulukoista ja määritä, mitä kulmaa tuloksena saatu numeerinen arvo vastaa. Isoäidimme käyttivät tätä menetelmää.

7. Nykyään riittää, kun ottaa laskin, jossa on funktio trigonometristen kaavojen laskemiseen. Oletetaan, että sisäänrakennettu Windows-laskin. Käynnistä "Laskin"-sovellus, valitse "Näytä"-valikosta kohta "Engineering". Laske halutun kulman sini, sano sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

8. Vaihda laskin käänteisfunktioiden tilaan napsauttamalla INV-painiketta laskimen näytössä ja napsauta sitten arsinifunktion laskentapainiketta (näytössä näkyy sin miinus ensimmäiseen potenssiin). Laskentaikkunaan ilmestyy lisäkirjoitus: asind (0,5) = 30. Eli. haluttu kulma on 30 astetta.

Matematiikan kosinilausetta käytetään useimmiten siinä tapauksessa, että sinun on tunnistettava kolmas puoli kulmasta ja kahdesta sivusta. Joskus ongelman ehto asetetaan kuitenkin päinvastaiseksi: vaaditaan kulma, jolla on annettu 3 sivua.

Ohjeet

1. Kuvittele, että sinulle annetaan kolmio, jonka kahden sivun pituus ja yhden kulman arvo tunnetaan. Tämän kolmion kaikki kulmat eivät ole samat keskenään, ja sen sivut ovat myös erikokoisia. Kulma? sijaitsee vastapäätä kolmion sivua, jonka nimi on AB ja joka on tämän kuvan kanta. Tämän kulman sekä muiden sivujen AC ja BC kautta on mahdollista havaita kolmion tuntematon puoli käyttämällä kosinilausetta, jonka perusteella johdetaan alla esitetty kaava: a^2=b^2 +c^2-2bc*cos?, jossa a=BC, b=AB, c=ACKosinilausetta päinvastoin kutsutaan yleistetyksi Pythagoraan lauseeksi.

2. Kuvittele nyt, että kuvion kaikki kolme sivua on annettu, mutta samalla sen kulma? tuntematon Kun tiedät, että kaavan muoto on a^2=b^2+c^2-2bc*cos?, muuta tämä lauseke siten, että halutusta arvosta tulee kulma?: b^2+c^2=2bc*cos?+ a ^2.Muuta tämän jälkeen yllä oleva yhtälö hieman eri muotoon: b^2+c^2-a^2=2bc*cos?. Tämän jälkeen tämä lauseke tulee muuntaa alla olevaksi: cos?= ?b^2+c ^2-a^2/2bc Jää vain korvata luvut kaavaan ja suorittaa laskelmat.

3. Kolmion kulman kosinin löytämiseksi, joka on merkitty ?:llä, se on ilmaistava käänteisen trigonometrisen funktion kautta, jota kutsutaan kaarikosiniksi. Onko luvun m kaarikosini sen kulman arvo, jonka kulman kosini? on yhtä kuin m. Funktio y=arccos m pienenee. Kuvittele, mikä on kulman kosini? yhtä suuri kuin yksi 2. Siis kulma? voidaan määritellä arckosinin avulla seuraavasti:? = kaaret, m = kaaret 1/2 = 60°, missä m = 1/2 Samalla tavalla on mahdollista havaita kolmion jäljellä olevat kulmat, jossa on 2 muuta tuntematonta sivua.

4. Jos kulmat esitetään radiaaneina, muunna ne asteina käyttämällä seuraavaa suhdetta:? radiaani = 180 astetta Muista, että suurin osa teknisistä laskimista on varustettu kulmayksiköiden vaihtamisella.

Sini ja kosini ovat kaksi trigonometristä funktiota, joita kutsutaan "suoraksi". Ne on laskettava useammin kuin muut, ja tämän ongelman ratkaisemiseksi meillä jokaisella on nykyään suuri valikoima vaihtoehtoja. Alla on muutamia erityisen alkeellisia menetelmiä.

Ohjeet

1. Käytä astelevyä, kynää ja paperia, jos muuta laskentatapaa ei ole käytettävissä. Yksi kosinin määritelmistä annetaan suorakulmaisen kolmion terävinä kulmina - sen arvo on yhtä suuri kuin tätä kulmaa vastapäätä olevan jalan pituuden ja hypotenuusan pituuden välinen suhde. Piirrä kolmio, jossa yksi kulmista on suora (90°) ja toinen on yhtä suuri kuin kulma, jonka kosinin haluat laskea. Sivujen pituudella ei ole väliä - piirrä ne niin kuin tunnet mukavimmalta mittaamalla. Mittaa tarvittavan jalan ja hypotenuusan pituus ja jaa ensimmäinen toisella millä tahansa sopivalla menetelmällä.

2. Hyödynnä kykyä määrittää trigonometristen funktioiden arvot Nigma-hakukoneeseen sisäänrakennetun laskimen tuella, jos sinulla on pääsy Internetiin. Oletetaan, että jos sinun on laskettava 20° kulman kosini, lataamalla pääpalvelusivu http://nigma.ru, kirjoita hakukyselykenttään "kosini 20 astetta" ja napsauta "Tunnista!" -painiketta. Voit jättää sanan "asteet" pois ja korvata sanan "kosini" sanalla cos - joka tapauksessa hakukone näyttää tuloksen 15 desimaalin tarkkuudella (0,939692620785908).

3. Avaa Windows-käyttöjärjestelmään asennettu vakiolaskinohjelma, jos sinulla ei ole Internet-yhteyttä. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi painamalla win- ja r-näppäimiä samanaikaisesti, syöttämällä sitten calc-komento ja napsauttamalla OK-painiketta. Trigonometristen funktioiden laskemiseen on valmiiksi suunniteltu käyttöliittymä nimeltä "insinööri" tai "tieteilijä" (käyttöjärjestelmän versiosta riippuen) - valitse tarvittava kohta laskimen valikon "Näytä"-osiossa. Syötä myöhemmin kulman arvo asteina ja napsauta ohjelman käyttöliittymässä cos-painiketta.

Video aiheesta

Vinkki 8: Kuinka määrittää kulmat suorassa kolmiossa

Suorakulmaiselle kolmiolle on ominaista tietyt kulmien ja sivujen väliset suhteet. Tietäen joidenkin arvot, on mahdollista laskea toiset. Tätä tarkoitusta varten käytetään kaavoja, jotka puolestaan ​​perustuvat geometrian aksioomeihin ja lauseisiin.

Ohjeet

1. Suorakulmaisen kolmion nimestä on selvää, että yksi sen kulmista on oikea. Riippumatta siitä, onko suorakulmainen kolmio tasakylkinen vai ei, sillä on aina yksi kulma, joka on 90 astetta. Jos sinulle annetaan suorakulmainen kolmio, joka on samanaikaisesti ja tasakylkinen, niin sen perusteella, että kuvassa on suora kulma, etsi kaksi kulmaa sen tyvestä. Nämä kulmat ovat keskenään yhtä suuret, joten kullakin on arvo: = 180° - 90°/2 = 45°

2. Yllä käsitellyn lisäksi sallimme myös toisen tapauksen, jossa kolmio on suorakulmainen, mutta ei tasakylkinen. Monissa tehtävissä kolmion kulma on 30° ja toisissa 60°, joten kolmion kaikkien kulmien summan tulee olla 180°. Jos on annettu suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja sen haara, niin kulma voidaan löytää näiden kahden sivun vastaavuudesta: sin ?=a/c, missä a on kolmion hypotenuusa vastapäätä oleva jalka, c on kolmion hypotenuusa. Kolmion hypotenuusa Näin ollen ?=arcsin(a/c )Kulma voidaan määrittää myös kosinin löytämiseksi: cos ?=b/c, missä b on kolmion hypotenuusa.

3. Jos tunnetaan vain kaksi jalkaa, niin kulma? voidaan löytää tangenttikaavalla. Tämän kulman tangentti on yhtä suuri kuin vastakkaisen puolen suhde viereiseen: tg ? = a/b Tästä seuraa, että = arctg (a/b) Kun oikea kulma ja yksi kulmista löytyy yllä oleva menetelmä on annettu, 2. on seuraava: = 180°-(90°+?)

Sana "kosini" viittaa yhteen trigonometrisistä funktioista, jota kirjoitettuna merkitään cos. Erityisen yleistä on käsitellä sitä ratkaistaessa geometrian oikeiden kuvioiden parametrien löytämisen ongelmia. Tällaisissa ongelmissa monikulmion kärkien kulmien arvot ilmoitetaan tavalliseen tapaan kreikkalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla. Jos puhumme suorakulmaisesta kolmiosta, niin tästä yhdestä kirjaimesta voit joskus selvittää, mitä kulmista tarkoitetaan.

Ohjeet

1. Jos kulman arvo, joka on merkitty kirjaimella ?, tunnetaan ongelman ehdoista, niin kosini alfaa vastaavan arvon löytämiseksi voit käyttää tavallista Windows-käyttöjärjestelmän laskinta. Se käynnistetään käyttöjärjestelmän päävalikon kautta - paina Win-painiketta, laajenna valikon "Kaikki ohjelmat" -osio, siirry "Typical"-alaosioon ja sitten "Apuohjelma"-osioon. Sieltä löydät rivin "Laskin" - napsauta sitä käynnistääksesi sovelluksen.

2. Paina näppäinyhdistelmää Alt + 2 vaihtaaksesi sovellusliittymän "tekniikka" (muissa käyttöjärjestelmän versioissa - "tieteilijä") -vaihtoehtoon. Syötä sen jälkeen kulman arvo? ja napsauta hiiren osoittimella cos-kirjaimilla merkittyä painiketta - laskin laskee funktion ja näyttää tuloksen.

3. Jos lasket kulman kosinin? tarvitaan suorakulmaisessa kolmiossa, niin se on luultavasti yksi kahdesta terävästä kulmasta. Jos tällaisen kolmion sivut on merkitty oikein, hypotenuusa (pisin sivu) merkitään kirjaimella c ja sitä vastapäätä oleva suora kulma on merkitty kreikkalaisella kirjaimella ?. Kaksi muuta sivua (jalat) on merkitty kirjaimilla a ja b, ja niitä vastapäätä olevat terävät kulmat on merkitty ? Ja?. Suorakulmaisen kolmion terävien kulmien arvoille on olemassa suhteita, joiden avulla voit laskea kosinin jopa tietämättä itse kulman arvoa.

4. Jos suorakulmaisessa kolmiossa tunnetaan sivujen b (kulman vieressä oleva jalka?) ja c (hypotenuusa) pituudet, niin lasketaanko kosini? jaa tämän haaran pituus hypotenuusan pituudella: cos(?)=b/c.

5. Mikä on mielivaltaisessa kolmiossa kulman kosiniarvo? Tuntematon määrä voidaan laskea, jos ehdoissa on annettu kaikkien sivujen pituudet. Tätä varten neliöi ensin kaikkien sivujen pituudet, sitten saadut arvot kahdelle kulman viereiselle sivulle? lisää ja vähennä vastakkaisen puolen tuloksena saatu arvo kokonaissummasta. Jaa tämän jälkeen saatu arvo kahdella kulman viereisten pituuksien tulolla? sivut - tämä on kulman haluttu kosini?: cos(?)=(b?+c?-a?)/(2*b*c). Tämä ratkaisu seuraa kosinilauseesta.

Hyödyllinen neuvo
Kosinin matemaattinen merkintä on cos. Kosiniarvo ei voi olla suurempi kuin 1 ja pienempi kuin -1.

Kuten näet, tämä ympyrä on rakennettu suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä. Ympyrän säde on yhtä suuri kuin yksi, kun taas ympyrän keskipiste on koordinaattien alkupisteessä, sädevektorin alkusijainti on kiinteä akselin positiivista suuntaa pitkin (esimerkissämme tämä on säde).

Jokainen ympyrän piste vastaa kahta numeroa: akselikoordinaattia ja akselikoordinaattia. Mitä nämä koordinaattiluvut ovat? Ja ylipäätään, mitä tekemistä niillä on käsillä olevan aiheen kanssa? Tätä varten meidän on muistettava harkittu suorakulmainen kolmio. Yllä olevassa kuvassa näet kaksi kokonaista suorakulmaista kolmiota. Harkitse kolmiota. Se on suorakaiteen muotoinen, koska se on kohtisuorassa akseliin nähden.

Mitä kolmio on yhtä suuri? Oikein. Lisäksi tiedämme, että se on yksikköympyrän säde, mikä tarkoittaa . Korvataan tämä arvo kosinin kaavaan. Tässä on mitä tapahtuu:

Mitä kolmio on yhtä suuri? No tottakai, ! Korvaa säteen arvo tähän kaavaan ja saa:

Joten voitko kertoa mitkä koordinaatit ympyrään kuuluvalla pisteellä on? No ei mitenkään? Mitä jos ymmärrät sen ja olet vain numeroita? Mitä koordinaattia se vastaa? No, tietysti koordinaatit! Ja mitä koordinaattia se vastaa? Juuri niin, koordinaatit! Eli jakso.

Mitä sitten ovat ja mitkä ovat samanarvoisia? Se on oikein, käytetään vastaavia tangentin ja kotangentin määritelmiä ja saadaan, että a.

Entä jos kulma on suurempi? Esimerkiksi, kuten tässä kuvassa:

Mikä tässä esimerkissä on muuttunut? Selvitetään se. Tätä varten käännytään jälleen suorakulmaiseen kolmioon. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota: kulma (kulman vieressä). Mitkä ovat kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot? Aivan oikein, noudatamme vastaavia trigonometristen funktioiden määritelmiä:

No, kuten näet, kulman sinin arvo vastaa silti koordinaattia; kulman kosinin arvo - koordinaatti; ja tangentin ja kotangentin arvot vastaaviin suhteisiin. Siten nämä suhteet pätevät mihin tahansa sädevektorin kiertoon.

On jo mainittu, että sädevektorin alkusijainti on akselin positiivista suuntaa pitkin. Toistaiseksi olemme kiertäneet tätä vektoria vastapäivään, mutta mitä tapahtuu, jos käännämme sitä myötäpäivään? Ei mitään poikkeuksellista, saat myös tietyn arvon kulman, mutta vain se on negatiivinen. Siten, kun kierretään sädevektoria vastapäivään, saamme positiivisia kulmia, ja kun käännetään myötäpäivään - negatiivinen.

Tiedämme siis, että sädevektorin koko kierros ympyrän ympäri on tai. Onko mahdollista kiertää sädevektoria suuntaan tai suuntaan? No tottakai voit! Siksi ensimmäisessä tapauksessa sädevektori tekee yhden täyden kierroksen ja pysähtyy kohtaan tai.

Toisessa tapauksessa, eli sädevektori tekee kolme täyttä kierrosta ja pysähtyy kohtaan tai.

Siten yllä olevista esimerkeistä voimme päätellä, että kulmat, jotka eroavat toisistaan ​​tai (jossa on mikä tahansa kokonaisluku), vastaavat sädevektorin samaa sijaintia.

Alla oleva kuva esittää kulmaa. Sama kuva vastaa nurkkaa jne. Tätä listaa voi jatkaa loputtomiin. Kaikki nämä kulmat voidaan kirjoittaa yleisellä kaavalla tai (missä on mikä tahansa kokonaisluku)

Nyt, kun tiedät trigonometristen perusfunktioiden määritelmät ja käyttämällä yksikköympyrää, yritä vastata, mitkä arvot ovat:

Tässä on yksikköympyrä, joka auttaa sinua:

Onko sinulla vaikeuksia? Otetaanpa sitten selvää. Tiedämme siis, että:

Tästä määritämme tiettyjä kulmamittoja vastaavien pisteiden koordinaatit. No, aloitetaan järjestyksessä: kulma kohdassa vastaa pistettä, jolla on koordinaatit, joten:

Ei ole olemassa;

Lisäksi samaa logiikkaa noudattaen saamme selville, että kulmat vastaavat pisteitä, joilla on vastaavasti koordinaatit. Tämän tietäen on helppo määrittää trigonometristen funktioiden arvot vastaavissa pisteissä. Kokeile ensin itse ja tarkista sitten vastaukset.

Vastaukset:

Ei ole olemassa

Ei ole olemassa

Ei ole olemassa

Ei ole olemassa

Näin ollen voimme tehdä seuraavan taulukon:

Kaikkia näitä arvoja ei tarvitse muistaa. Riittää, kun muistat yksikköympyrän pisteiden koordinaattien ja trigonometristen funktioiden arvojen välisen vastaavuuden:

Mutta kulmien trigonometristen funktioiden arvot ja, alla olevassa taulukossa, täytyy muistaa:

Älä pelkää, nyt näytämme sinulle yhden esimerkin melko helppo muistaa vastaavat arvot:

Tämän menetelmän käyttämiseksi on tärkeää muistaa sinin arvot kaikille kolmelle kulmamitalle () sekä kulman tangentin arvo. Kun tiedät nämä arvot, on melko yksinkertaista palauttaa koko taulukko - kosiniarvot siirretään nuolien mukaisesti, eli:

Kun tiedät tämän, voit palauttaa arvot. Osoittaja " " vastaa ja nimittäjä " " vastaa. Kotangenttiarvot siirretään kuvassa olevien nuolien mukaisesti. Jos ymmärrät tämän ja muistat kaavion nuolilla, riittää, että muistat kaikki arvot taulukosta.

Ympyrän pisteen koordinaatit

Onko mahdollista löytää piste (sen koordinaatit) ympyrästä, ympyrän keskipisteen koordinaatit, sen säde ja kiertokulma?

No tottakai voit! Otetaan se ulos yleinen kaava pisteen koordinaattien löytämiseksi.

Esimerkiksi tässä on ympyrä edessämme:

Meille on annettu, että piste on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, jotka saadaan kiertämällä pistettä asteina.

Kuten kuvasta näkyy, pisteen koordinaatti vastaa janan pituutta. Janan pituus vastaa ympyrän keskipisteen koordinaattia, eli se on yhtä suuri. Janan pituus voidaan ilmaista käyttämällä kosinin määritelmää:

Sitten meillä on se pistekoordinaatiksi.

Samaa logiikkaa käyttäen löydämme pisteen y-koordinaattiarvon. Täten,

Joten yleensä pisteiden koordinaatit määritetään kaavoilla:

Ympyrän keskipisteen koordinaatit,

Ympyrän säde,

Vektorin säteen kiertokulma.

Kuten näette, harkitsemamme yksikköympyrän osalta nämä kaavat pienenevät merkittävästi, koska keskustan koordinaatit ovat nolla ja säde on yhtä:

No, kokeillaanko näitä kaavoja harjoittelemalla pisteiden etsimistä ympyrästä?

1. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä pistettä.

2. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä pistettä.

3. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä pistettä.

4. Piste on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä alkusädevektoria.

5. Piste on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä alkusädevektoria.

Onko sinulla vaikeuksia löytää ympyrän pisteen koordinaatit?

Ratkaise nämä viisi esimerkkiä (tai opi ratkaisemaan ne), niin opit löytämään ne!

1.

Sen voi huomata. Mutta me tiedämme, mikä vastaa lähtökohdan täyttä käännettä. Siten haluttu piste on samassa asennossa kuin käännettäessä. Kun tiedämme tämän, löydämme pisteen tarvittavat koordinaatit:

2. Yksikköympyrä on keskitetty pisteeseen, mikä tarkoittaa, että voimme käyttää yksinkertaistettuja kaavoja:

Sen voi huomata. Tiedämme, mikä vastaa lähtöpisteen kahta täyttä kierrosta. Siten haluttu piste on samassa asennossa kuin käännettäessä. Kun tiedämme tämän, löydämme pisteen tarvittavat koordinaatit:

Sini ja kosini ovat taulukon arvoja. Muistamme niiden merkitykset ja saamme:

Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.

3. Yksikköympyrä on keskitetty pisteeseen, mikä tarkoittaa, että voimme käyttää yksinkertaistettuja kaavoja:

Sen voi huomata. Kuvataan kyseistä esimerkkiä kuvassa:

Säde muodostaa kulmat, jotka ovat yhtä suuria kuin akseli ja sen kanssa. Kun tiedämme, että kosinin ja sinin taulukon arvot ovat yhtä suuret ja olemme päättäneet, että kosini saa tässä negatiivisen arvon ja sini positiivisen arvon, meillä on:

Tällaisia ​​esimerkkejä käsitellään tarkemmin tutkittaessa aiheen trigonometristen funktioiden pelkistyskaavoja.

Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.

4.

Vektorin säteen kiertokulma (ehdon mukaan)

Sinin ja kosinin vastaavien etumerkkien määrittämiseksi rakennamme yksikköympyrän ja kulman:

Kuten näette, arvo eli arvo on positiivinen ja arvo eli negatiivinen. Kun tiedämme vastaavien trigonometristen funktioiden taulukkoarvot, saamme, että:

Korvataan saadut arvot kaavaamme ja etsitään koordinaatit:

Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.

5. Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme kaavoja yleisessä muodossa, missä

Ympyrän keskipisteen koordinaatit (esimerkissämme

Ympyrän säde (ehdon mukaan)

Vektorin säteen kiertokulma (ehdon mukaan).

Korvataan kaikki arvot kaavaan ja saadaan:

ja - taulukon arvot. Muistetaan ja korvataan ne kaavalla:

Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.

YHTEENVETO JA PERUSKAAVAT

Kulman sini on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde hypotenuusaan.

Kulman kosini on viereisen (läheisen) jalan suhde hypotenuusaan.

Kulman tangentti on vastakkaisen (kaukaisen) puolen suhde viereiseen (läheiseen) sivuun.

Kulman kotangentti on viereisen (läheisen) puolen ja vastakkaisen (kaukaisen) puolen suhde.

Kosini on hyvin tunnettu trigonometrinen funktio, joka on myös yksi trigonometrian pääfunktioista. Kulman kosini suorakulmaisessa kolmiossa on kolmion viereisen sivun suhde kolmion hypotenuusaan. Useimmiten kosinin määritelmä liittyy suorakaiteen muotoiseen kolmioon. Mutta tapahtuu myös niin, että kulma, jolle on tarpeen laskea kosini suorakaiteen muotoisessa kolmiossa, ei sijaitse tässä suorakaiteen muotoisessa kolmiossa. Mitä sitten tehdä? Kuinka löytää kolmion kulman kosini?

Jos sinun on laskettava kulman kosini suorakaiteen muotoisessa kolmiossa, kaikki on hyvin yksinkertaista. Sinun tarvitsee vain muistaa kosinin määritelmä, joka sisältää ratkaisun tähän ongelmaan. Sinun tarvitsee vain löytää sama suhde viereisen sivun ja kolmion hypotenuusan välillä. Tässä ei todellakaan ole vaikeaa ilmaista kulman kosinia. Kaava on seuraava: - cosα = a/c, tässä "a" on jalan pituus ja sivu "c" on vastaavasti hypotenuusan pituus. Esimerkiksi suorakulmaisen kolmion terävän kulman kosini voidaan löytää tällä kaavalla.

Jos olet kiinnostunut siitä, mikä on mielivaltaisen kolmion kulman kosini, niin kosinilause tulee apuun, jota tulisi käyttää tällaisissa tapauksissa. Kosinilause sanoo, että kolmion sivun neliö on a priori yhtä suuri kuin saman kolmion jäljellä olevien sivujen neliöiden summa, mutta ilman näiden sivujen tuloa kaksinkertaistamatta niiden välisen kulman kosinilla.

1. Jos sinun on löydettävä terävän kulman kosini kolmiosta, sinun on käytettävä seuraavaa kaavaa: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. Jos sinun on löydettävä kolmion tylpän kulman kosini, sinun on käytettävä seuraavaa kaavaa: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Kaavan merkinnät - a ja b - ovat halutun kulman vieressä olevien sivujen pituuksia, c - halutun kulman vastakkaisen sivun pituus.

Kulman kosini voidaan laskea myös sinilauseen avulla. Siinä sanotaan, että kolmion kaikki sivut ovat verrannollisia vastakkaisten kulmien sineihin. Sinilauseen avulla voit laskea kolmion jäljellä olevat alkiot, joilla on tietoa vain kahdesta sivusta ja kulmasta, joka on vastakkainen toiselle sivulle tai kahdesta kulmasta ja yhdestä sivusta. Harkitse tätä esimerkin avulla. Ongelmaehdot: a=1; b = 2; c=3. A-sivua vastapäätä olevaa kulmaa merkitään α:lla, jolloin meillä on kaavojen mukaan: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2*3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Vastaus: 1.

Jos kulman kosini ei tarvitse laskea kolmiossa, vaan jossain muussa mielivaltaisessa geometrisessa kuviossa, kaikki muuttuu hieman monimutkaisemmaksi. Ensin on määritettävä kulman suuruus radiaaneina tai asteina ja vasta sitten kosini laskettava tästä arvosta. Numeerisen arvon kosini määritetään käyttämällä Bradis-taulukoita, teknisiä laskimia tai erityisiä matemaattisia sovelluksia.

Erityisissä matemaattisissa sovelluksissa voi olla toimintoja, kuten kulmien kosinien automaattinen laskeminen tietyssä kuviossa. Tällaisten sovellusten kauneus on, että ne antavat oikean vastauksen, ja käyttäjä ei tuhlaa aikaansa joskus melko monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseen. Toisaalta, kun käytetään jatkuvasti yksinomaan ongelmien ratkaisemiseen tarkoitettuja sovelluksia, kaikki taidot ratkaista matemaattisia ongelmia kolmioiden kulmien kosinien ja muiden mielivaltaisten lukujen löytämisessä menetetään.