Mitä yhteistä on puulla, merenrannalla, pilvellä tai käsissämme olevilla verisuonilla? Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että kaikilla näillä esineillä ei ole mitään yhteistä. Itse asiassa rakenteessa on kuitenkin yksi ominaisuus, joka on luontainen kaikille luetelluille objekteille: ne ovat itse samankaltaisia. Oksasta, samoin kuin puun rungosta, lähtevät pienemmät prosessit, niistä - jopa pienemmät jne., eli oksa on samanlainen kuin koko puu. Verenkiertojärjestelmä on järjestetty samalla tavalla: valtimot lähtevät valtimoista ja niistä - pienimmät kapillaarit, joiden kautta happi pääsee elimiin ja kudoksiin. Katsotaanpa satelliittikuvia meren rannikolta: näemme lahtia ja niemimaita; katsotaanpa sitä, mutta lintuperspektiivistä: näemme lahtia ja niemiä; kuvittele nyt, että seisomme rannalla ja katsomme jalkojamme: aina tulee kiviä, jotka työntyvät kauemmaksi veteen kuin muut. Toisin sanoen rantaviiva pysyy samanlaisena kuin itse, kun se zoomataan. Amerikkalainen matemaatikko Benoit Mandelbrot (vaikkakin kasvatettu Ranskassa) kutsui tätä esineiden ominaisuutta fraktaaliseksi ja itse tällaisia ​​esineitä - fraktaaleiksi (latinan sanasta fractus - rikki).

Tällä käsitteellä ei ole tiukkaa määritelmää. Siksi sana "fraktaali" ei ole matemaattinen termi. Yleensä fraktaali on geometrinen kuvio, joka täyttää yhden tai useamman seuraavista ominaisuuksista: Sillä on monimutkainen rakenne millä tahansa suurennuksella (toisin kuin esimerkiksi suoralla, jonka mikä tahansa osa on yksinkertaisin geometrinen kuvio - segmentti). Se on (suunnilleen) samankaltainen. Sillä on murto-osa Hausdorffin (fraktaali) ulottuvuus, joka on suurempi kuin topologinen. Voidaan rakentaa rekursiivisilla menetelmillä.

Geometria ja algebra

Fraktaalien tutkiminen 1800- ja 1900-luvun vaihteessa oli enemmän episodista kuin systemaattista, koska aikaisemmat matemaatikot tutkivat pääasiassa "hyviä" esineitä, joita voitiin tutkia yleisillä menetelmillä ja teorioilla. Vuonna 1872 saksalainen matemaatikko Karl Weierstrass rakensi esimerkin jatkuvasta funktiosta, joka ei ole erotettavissa missään. Sen rakenne oli kuitenkin täysin abstrakti ja vaikeasti ymmärrettävä. Siksi ruotsalainen Helge von Koch keksi vuonna 1904 jatkuvan käyrän, jolla ei ole tangenttia missään, ja sen piirtäminen on melko helppoa. Kävi ilmi, että sillä on fraktaalin ominaisuuksia. Tämän käyrän yhtä muunnelmaa kutsutaan Kochin lumihiutaleeksi.

Figuurien samankaltaisuuden ideat poimi ranskalainen Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbrotin tuleva mentori. Vuonna 1938 julkaistiin hänen artikkelinsa "Taso- ja spatiaaliset käyrät ja pinnat, jotka koostuvat kokonaisuuden kaltaisista osista", jossa kuvataan toista fraktaalia - Lévyn C-käyrää. Kaikki nämä edellä luetellut fraktaalit voidaan ehdollisesti katsoa kuuluvan yhteen konstruktiivisten (geometristen) fraktaalien luokkaan.

Toinen luokka on dynaamiset (algebralliset) fraktaalit, jotka sisältävät Mandelbrot-joukon. Ensimmäinen tutkimus tähän suuntaan alkoi 1900-luvun alussa ja se liittyy ranskalaisten matemaatikoiden Gaston Julian ja Pierre Fatoun nimiin. Vuonna 1918 julkaistiin lähes kaksisataa sivua Julian muistelmakirjaa, joka oli omistettu monimutkaisten rationaalisten funktioiden iteraatioille ja jossa kuvataan Julia-joukkoja - koko fraktaaleja, jotka liittyvät läheisesti Mandelbrotin joukkoon. Tämä teos palkittiin Ranskan Akatemian palkinnolla, mutta se ei sisältänyt yhtään kuvitusta, joten löydettyjen esineiden kauneutta oli mahdotonta arvostaa. Huolimatta siitä, että tämä työ teki Juliasta kuuluisan aikansa matemaatikoiden keskuudessa, se unohdettiin nopeasti. Jälleen huomio kääntyi siihen vasta puoli vuosisataa myöhemmin tietokoneiden ilmaantumisen myötä: juuri ne tekivät näkyväksi fraktaalien maailman rikkauden ja kauneuden.

Fraktaalimitat

Kuten tiedät, geometrisen kuvion mitta (mittausten lukumäärä) on koordinaattien määrä, joka tarvitaan määrittämään tässä kuviossa olevan pisteen sijainti.
Esimerkiksi pisteen sijainti käyrällä määräytyy yhdellä koordinaatilla, pinnalla (ei välttämättä tasolla) kahdella koordinaatilla, kolmiulotteisessa avaruudessa kolmella koordinaatilla.
Yleisemmästä matemaattisesta näkökulmasta ulottuvuus voidaan määritellä seuraavasti: lineaaristen mittojen kasvu, esimerkiksi kaksinkertainen, yksiulotteisten (topologisesta näkökulmasta) objektien (segmentin) osalta johtaa koon (pituuden) kasvuun. ) kertoimella kaksinkertainen, kaksiulotteisessa (neliö) sama lineaaristen mittojen lisäys johtaa koon (pinta-alan) kasvuun 4-kertaiseksi, kolmiulotteisen (kuutio) - 8-kertaiseen. Toisin sanoen "todellinen" (ns. Hausdorff) -ulottuvuus voidaan laskea objektin "koon" kasvun logaritmin ja sen lineaarisen koon kasvun logaritmin suhteena. Eli segmentille D=log (2)/log (2)=1, tasolle D=log (4)/log (2)=2, tilavuudelle D=log (8)/log (2) )=3.
Lasketaan nyt Koch-käyrän ulottuvuus, jonka rakentamista varten yksikkösegmentti jaetaan kolmeen yhtä suureen osaan ja keskiväli korvataan tasasivuisella kolmiolla ilman tätä segmenttiä. Kun minimisegmentin lineaariset mitat kasvavat kolme kertaa, Koch-käyrän pituus kasvaa log (4) / log (3) ~ 1,26. Toisin sanoen Koch-käyrän ulottuvuus on murto-osa!

Tiede ja taide

Vuonna 1982 julkaistiin Mandelbrotin kirja "Luonnon fraktaaligeometria", johon kirjailija keräsi ja systematisoi lähes kaiken tuolloin saatavilla olevan tiedon fraktaaleista ja esitti sen helposti ja helposti saatavilla olevalla tavalla. Mandelbrot ei painottanut esityksessään raskaita kaavoja ja matemaattisia rakenteita, vaan lukijoiden geometristä intuitiota. Tietokoneella luotujen kuvitusten ja historiallisten tarinoiden ansiosta, joilla kirjailija laimentaa taitavasti monografian tieteellistä osaa, kirjasta tuli bestseller ja fraktaalit tulivat suuren yleisön tunnetuiksi. Heidän menestys ei-matemaatikoiden keskuudessa johtuu suurelta osin siitä, että hyvin yksinkertaisten rakenteiden ja kaavojen avulla, joita lukiolainenkin voi ymmärtää, saadaan hämmästyttävän monimutkaisia ​​ja kauniita kuvia. Kun henkilökohtaisista tietokoneista tuli tarpeeksi tehokkaita, ilmestyi jopa koko taiteen suuntaus - fraktaalimaalaus, ja melkein kuka tahansa tietokoneen omistaja pystyi siihen. Nyt Internetistä löydät helposti monia tälle aiheelle omistettuja sivustoja.

Kaavio Koch-käyrän saamiseksi

Sota ja rauha

Kuten edellä todettiin, yksi luonnon esineistä, joilla on fraktaaliominaisuuksia, on rannikko. Yksi mielenkiintoinen tarina liittyy siihen, tai pikemminkin yritykseen mitata sen pituus, joka muodosti perustan Mandelbrotin tieteelliselle artikkelille ja jota kuvataan myös hänen kirjassaan "Luonnon fraktaaligeometria". Puhumme kokeesta, jonka teki Lewis Richardson, erittäin lahjakas ja eksentrinen matemaatikko, fyysikko ja meteorologi. Yksi hänen tutkimuksensa suuntauksista oli yritys löytää matemaattinen kuvaus kahden maan välisen aseellisen konfliktin syistä ja todennäköisyydestä. Hänen huomioimiensa parametrien joukossa oli kahden taistelevan maan välisen yhteisen rajan pituus. Kun hän keräsi dataa numeerisia kokeita varten, hän havaitsi, että eri lähteissä tiedot Espanjan ja Portugalin yhteisestä rajasta vaihtelevat suuresti. Tämä johti hänet seuraavaan havaintoon: maan rajojen pituus riippuu viivaimesta, jolla ne mitataan. Mitä pienempi mittakaava, sitä pidempi raja on. Tämä johtuu siitä, että suuremmalla suurennuksella on mahdollista ottaa huomioon yhä useampia rannikon mutkia, jotka aiemmin jätettiin huomiotta mittausten epätasaisuuden vuoksi. Ja jos jokaisella zoomauksella avataan aiemmin huomioimattomia viivojen mutkia, niin käy ilmi, että rajojen pituus on ääretön! Totta, itse asiassa näin ei tapahdu - mittaustemme tarkkuudella on rajallinen raja. Tätä paradoksia kutsutaan Richardsonin efektiksi.

Konstruktiiviset (geometriset) fraktaalit

Algoritmi konstruktiivisen fraktaalin muodostamiseksi yleisessä tapauksessa on seuraava. Ensinnäkin tarvitsemme kaksi sopivaa geometrista muotoa, kutsutaan niitä pohjaksi ja fragmentiksi. Ensimmäisessä vaiheessa kuvataan tulevan fraktaalin perusta. Sitten jotkut sen osista korvataan sopivassa mittakaavassa otetulla fragmentilla - tämä on rakenteen ensimmäinen iteraatio. Sitten tuloksena olevassa kuviossa jotkin osat muuttuvat jälleen fragmentin kaltaisiksi hahmoiksi jne. Jos jatkamme tätä prosessia loputtomiin, niin rajassa saadaan fraktaali.

Harkitse tätä prosessia käyttämällä esimerkkiä Koch-käyrästä (katso sivupalkki edellisellä sivulla). Mikä tahansa käyrä voidaan ottaa Koch-käyrän perustaksi (Koch-lumihiutaleelle tämä on kolmio). Mutta rajoitamme itsemme yksinkertaisimpaan tapaukseen - segmenttiin. Fragmentti on katkoviiva, joka näkyy kuvan yläosassa. Algoritmin ensimmäisen iteraation jälkeen, tässä tapauksessa alkuperäinen segmentti osuu yhteen fragmentin kanssa, sitten jokainen sen muodostava segmentti korvataan itse katkeavalla viivalla, joka on samanlainen kuin fragmentti, ja niin edelleen. Kuvassa on neljä ensimmäistä tämän prosessin vaiheet.

Matematiikan kieli: dynaamiset (algebralliset) fraktaalit

Tämän tyyppiset fraktaalit syntyvät epälineaaristen dynaamisten järjestelmien tutkimuksessa (tästä nimi). Tällaisen järjestelmän käyttäytymistä voidaan kuvata kompleksisella epälineaarisella funktiolla (polynomilla) f(z). Otetaan jokin alkupiste z0 kompleksitasolla (katso sivupalkki). Tarkastellaan nyt sellaista ääretöntä lukujonoa kompleksitasolla, joista jokainen saadaan edellisestä: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Alkupisteestä z0 riippuen tällainen sekvenssi voi käyttäytyä eri tavalla: taipua äärettömyyteen muodossa n -> ∞; lähentyä johonkin päätepisteeseen; ota syklisesti useita kiinteitä arvoja; monimutkaisemmat vaihtoehdot ovat mahdollisia.

Monimutkaiset luvut

Kompleksiluku on luku, joka koostuu kahdesta osasta - reaali- ja imaginaariosasta, eli muodollisesta summasta x + iy (x ja y ovat tässä reaalilukuja). minä olen ns. imaginaarinen yksikkö, eli luku, joka täyttää yhtälön minä^ 2 = -1. Kompleksilukujen päälle määritellään matemaattiset perusoperaatiot - yhteenlasku, kertolasku, jako, vähennys (vain vertailuoperaatiota ei ole määritelty). Kompleksilukujen näyttämiseen käytetään usein geometristä esitystapaa - tasossa (jota kutsutaan kompleksiksi), reaaliosa piirretään abskissa-akselia pitkin ja imaginaariosa ordinaatta-akselia pitkin, kun taas kompleksiluku vastaa pistettä suorakulmaisilla koordinaateilla x ja y.

Siten millä tahansa kompleksisen tason pisteellä z on oma käyttäytymisensä funktion f (z) iteraatioiden aikana, ja koko taso on jaettu osiin. Lisäksi näiden osien rajoilla sijaitsevilla pisteillä on seuraava ominaisuus: mielivaltaisen pienellä siirtymällä niiden käyttäytymisen luonne muuttuu dramaattisesti (tällaisia ​​pisteitä kutsutaan bifurkaatiopisteiksi). Joten käy ilmi, että pistejoukoilla, joilla on tietyntyyppinen käyttäytyminen, samoin kuin bifurkaatiopisteiden joukot, on usein fraktaaliominaisuuksia. Nämä ovat Julia-joukot funktiolle f(z).

lohikäärme perhe

Vaihtelemalla pohjaa ja fragmenttia saat upean valikoiman rakentavia fraktaaleja.
Lisäksi samanlaisia ​​operaatioita voidaan suorittaa kolmiulotteisessa avaruudessa. Esimerkkejä tilavuusfraktaaleista ovat "Mengerin sieni", "Sierpinskin pyramidi" ja muut.
Lohikäärmeiden perhettä kutsutaan myös rakentaviksi fraktaaleiksi. Heitä kutsutaan joskus löytäjien nimellä "Heiwei-Harterin lohikäärmeiksi" (ne muistuttavat muodoltaan kiinalaisia ​​lohikäärmeitä). On olemassa useita tapoja rakentaa tämä käyrä. Yksinkertaisin ja ilmeisin niistä on tämä: sinun on otettava riittävän pitkä paperinauha (mitä ohuempi paperi, sitä parempi) ja taivutettava se puoliksi. Taivuta se sitten jälleen kahtia samaan suuntaan kuin ensimmäistä kertaa. Useiden toistojen jälkeen (yleensä viiden tai kuuden taitoksen jälkeen nauhasta tulee liian paksu, jotta sitä ei voi taivuttaa varovasti), sinun on suoristettava nauha taaksepäin ja yritettävä muodostaa 90˚ kulmia taitteisiin. Sitten lohikäärmeen käyrä kääntyy profiilissa. Tietenkin tämä on vain likimääräistä, kuten kaikki yrityksemme kuvata fraktaaliobjekteja. Tietokoneen avulla voit kuvata monia muita vaiheita tässä prosessissa, ja tuloksena on erittäin kaunis hahmo.

Mandelbrot-sarja on rakennettu hieman eri tavalla. Tarkastellaan funktiota fc (z) = z 2 +c, missä c on kompleksiluku. Tehdään tälle funktiolle jono, jossa z0=0, parametrista c riippuen se voi poiketa äärettömään tai pysyä rajoitettuna. Lisäksi kaikki c:n arvot, joille tämä sekvenssi on rajoitettu, muodostavat Mandelbrot-joukon. Mandelbrot itse ja muut matemaatikot tutkivat sitä yksityiskohtaisesti, jotka löysivät tämän joukon monia mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Voidaan nähdä, että Julia- ja Mandelbrot-joukkojen määritelmät ovat samanlaisia. Itse asiassa nämä kaksi sarjaa liittyvät läheisesti toisiinsa. Nimittäin Mandelbrot-joukko on kaikki kompleksiparametrin c arvot, joille Julia-joukko fc (z) on kytketty (joukkoa kutsutaan yhdistetyksi, jos sitä ei voida jakaa kahteen ei-leikkaavaan osaan muutamilla lisäehdoilla).

fraktaalit ja elämä

Nykyään fraktaalien teoriaa käytetään laajasti ihmisen toiminnan eri aloilla. Puhtaasti tieteellisen tutkimuskohteen ja jo mainitun fraktaalimaalauksen lisäksi fraktaaleja käytetään informaatioteoriassa graafisen datan pakkaamiseen (tässä käytetään pääasiassa fraktaalien itsesamankaltaisuusominaisuutta - loppujen lopuksi pienen fragmentin muistamiseksi piirustuksen ja muunnosten, joilla saat loput osat, se vie paljon vähemmän muistia kuin koko tiedoston tallentaminen). Lisäämällä fraktaalia määrittäviin kaavoihin satunnaisia ​​häiriöitä voidaan saada stokastisia fraktaaleja, jotka välittävät erittäin uskottavalla tavalla joitain todellisia esineitä - kohokuvioita, vesistöjen pintaa, joitain kasveja, joita käytetään menestyksekkäästi fysiikassa, maantiedossa ja tietokonegrafiikassa saavuttamaan simuloitujen objektien suurempi samankaltaisuus todellisten kohteiden kanssa. Radioelektroniikassa viime vuosikymmenellä alettiin valmistaa antenneja, joilla on fraktaalimuoto. Vievät vähän tilaa ja tarjoavat varsin laadukkaan signaalin vastaanoton. Ekonomistit käyttävät fraktaaleja kuvaamaan valuuttakurssien vaihtelukäyriä (tämän ominaisuuden löysi Mandelbrot yli 30 vuotta sitten). Tämä päättää tämän lyhyen retken kauneudeltaan ja monimuotoisuudeltaan hämmästyttävän fraktaalien maailmaan.

Tieteen nerokkaimmat löydöt voivat muuttaa radikaalisti ihmisten elämää. Keksitty rokote voi pelastaa miljoonia ihmisiä, aseiden luominen päinvastoin vie nämä ihmishenkiä. Viime aikoina (ihmisen evoluution mittakaavassa) olemme oppineet "kesyttämään" sähköä - ja nyt emme voi kuvitella elämää ilman kaikkia näitä käteviä sähköä käyttäviä laitteita. Mutta on myös löytöjä, joita harva pitää tärkeänä, vaikka ne vaikuttavat myös suuresti elämäämme.

Yksi näistä "näkemättömistä" löydöistä on fraktaalit. Olet luultavasti kuullut tämän tarttuvan sanan, mutta tiedätkö mitä se tarkoittaa ja kuinka monia mielenkiintoisia asioita tähän termiin piilotetaan?

Jokaisella ihmisellä on luontainen uteliaisuus, halu oppia ympäröivästä maailmasta. Ja tässä pyrkimyksessä henkilö yrittää noudattaa logiikkaa tuomioissa. Analysoidessaan ympärillään tapahtuvia prosesseja hän yrittää löytää tapahtumien logiikan ja päätellä jonkinlaista säännönmukaisuutta. Planeetan suurimmat mielet ovat kiireisiä tämän tehtävän parissa. Karkeasti sanottuna tiedemiehet etsivät mallia siellä, missä sen ei pitäisi olla. Siitä huolimatta, kaaoksessakin voi löytää yhteyden tapahtumien välillä. Ja tämä yhteys on fraktaali.

Pikkutyttäremme, neljä ja puoli vuotta vanha, on nyt siinä ihanassa iässä, kun kysymysten määrä "Miksi?" monta kertaa suurempi määrä vastauksia kuin aikuisilla on aikaa antaa. Ei niin kauan sitten, katsoessaan maasta nostettua oksaa, tyttäreni huomasi yhtäkkiä, että tämä oksa, jossa oli oksia ja oksia, näytti itse puulta. Ja tietysti seurasi tavallinen kysymys ”Miksi?”, jolle vanhempien piti etsiä yksinkertainen, lapsen ymmärtämä selitys.

Yhden oksan samankaltaisuus lapsen löytämän koko puun kanssa on erittäin tarkka havainto, joka jälleen kerran todistaa rekursiivisen itsesamalaisuuden periaatteesta luonnossa. Hyvin monet orgaaniset ja epäorgaaniset muodot luonnossa muodostuvat samalla tavalla. Pilvet, simpukat, etanan "talo", puiden kuori ja latvu, verenkiertojärjestelmä ja niin edelleen - kaikkien näiden esineiden satunnaiset muodot voidaan kuvata fraktaalialgoritmilla.

⇡ Benoit Mandelbrot: fraktaaligeometrian isä

Sana "fraktaali" ilmestyi loistavan tiedemiehen Benoît B. Mandelbrotin ansiosta.

Hän loi termin itse 1970-luvulla lainaten sanan fractus latinasta, jossa se tarkoittaa kirjaimellisesti "rikki" tai "murskattu". Mikä se on? Nykyään sanaa "fraktaali" käytetään useimmiten tarkoittamaan graafista esitystä rakenteesta, joka on samanlainen kuin itseään suuremmassa mittakaavassa.

Matemaattinen perusta fraktaaliteorian syntymiselle luotiin useita vuosia ennen Benoit Mandelbrotin syntymää, mutta se saattoi kehittyä vasta tietokonelaitteiden myötä. Tieteellisen uransa alussa Benoit työskenteli IBM:n tutkimuskeskuksessa. Tuolloin keskuksen työntekijät työskentelivät tiedonsiirron parissa etänä. Tutkimuksen aikana tutkijat kohtasivat meluhäiriöiden aiheuttamien suurten häviöiden ongelman. Benoitin edessä oli vaikea ja erittäin tärkeä tehtävä - ymmärtää kuinka ennustaa kohinan esiintyminen elektronisissa piireissä, kun tilastollinen menetelmä on tehoton.

Melumittausten tuloksia tarkasteltaessa Mandelbrot kiinnitti huomion yhteen oudoon kuvioon - eri mittakaavan kohinakaaviot näyttivät samalta. Havaittiin identtinen kuvio riippumatta siitä, oliko kyseessä yhden päivän, viikon vai tunnin melukuvaus. Kaavion mittakaavaa kannatti vaihtaa, ja kuva toistui joka kerta.

Benoit Mandelbrot sanoi elämänsä aikana toistuvasti, ettei hän käsitellyt kaavoja, vaan leikki vain kuvilla. Tämä mies ajatteli hyvin kuvaannollisesti ja käänsi minkä tahansa algebrallisen ongelman geometrian alalle, jossa hänen mukaansa oikea vastaus on aina ilmeinen.

Ei ole yllättävää, että fraktaaligeometrian isä tuli miehestä, jolla oli niin rikas avaruudellinen mielikuvitus. Loppujen lopuksi fraktaalien olemuksen ymmärtäminen tulee juuri silloin, kun alat tutkia piirustuksia ja miettiä outojen pyörrekuvioiden merkitystä.

Fraktaalikuviossa ei ole identtisiä elementtejä, mutta sillä on samankaltaisuutta missä tahansa mittakaavassa. Tällaisen suuren yksityiskohtaisen kuvan rakentaminen käsin oli yksinkertaisesti mahdotonta ennen, se vaati valtavan määrän laskelmia. Esimerkiksi ranskalainen matemaatikko Pierre Joseph Louis Fatou kuvasi tämän sarjan yli seitsemänkymmentä vuotta ennen Benoit Mandelbrotin löytöä. Jos puhumme itsensä samankaltaisuuden periaatteista, niin ne mainittiin Leibnizin ja Georg Cantorin teoksissa.

Yksi ensimmäisistä fraktaalin piirroksista oli graafinen tulkinta Mandelbrotin sarjasta, joka syntyi Gaston Maurice Julian tutkimuksesta.

Gaston Julia (aina naamioitunut - ensimmäisen maailmansodan vamma)

Tämä ranskalainen matemaatikko pohti, miltä joukko näyttäisi, jos se rakennettaisiin yksinkertaisesta kaavasta, jota iteroidaan takaisinkytkentäsilmukalla. Jos selitetään "sormilla", tämä tarkoittaa, että tietylle numerolle löydämme uuden arvon kaavan avulla, minkä jälkeen korvaamme sen uudelleen kaavaan ja saamme toisen arvon. Tuloksena on suuri numerosarja.

Saadaksesi täydellisen kuvan tällaisesta sarjasta, sinun on tehtävä valtava määrä laskelmia - satoja, tuhansia, miljoonia. Sen tekeminen käsin oli yksinkertaisesti mahdotonta. Mutta kun tehokkaat laskentalaitteet ilmestyivät matemaatikoiden käyttöön, he pystyivät katsomaan uudella tavalla kaavoja ja lausekkeita, jotka olivat kiinnostaneet pitkään. Mandelbrot oli ensimmäinen, joka käytti tietokonetta klassisen fraktaalin laskemiseen. Käsiteltyään suuresta määrästä arvoja koostuvan sekvenssin Benoit siirsi tulokset kaavioon. Tässä on mitä hän sai.

Myöhemmin tämä kuva väritettiin (esimerkiksi yksi väritystavoista on iteraatioiden lukumäärä) ja siitä tuli yksi suosituimmista ihmisen koskaan luomista kuvista.

Kuten Efesoksen Herakleitoksen muinainen sanonta sanoo: "Et voi mennä samaan jokeen kahdesti." Se soveltuu parhaiten fraktaalien geometrian tulkintaan. Riippumatta siitä, kuinka yksityiskohtaisesti tarkastelemme fraktaalikuvaa, näemme aina samanlaisen kuvion.

Ne, jotka haluavat nähdä, miltä Mandelbrot-avaruuden kuva näyttäisi moninkertaisesti suurennettuna, voivat tehdä sen lataamalla animoidun GIF-tiedoston.

⇡ Lauren Carpenter: luonnon luomaa taidetta

Fraktaalien teoria löysi pian käytännön sovelluksen. Koska se liittyy läheisesti itsekaltaisten kuvien visualisointiin, ei ole yllättävää, että ensimmäiset algoritmit ja periaatteet epätavallisten muotojen rakentamiseen omaksuivat taiteilijat.

Legendaarisen Pixar-studion tuleva toinen perustaja Loren C. Carpenter aloitti vuonna 1967 työskentelyn Boeing Computer Servicesissä, joka oli yksi tunnetun uusien lentokoneiden kehitystyötä tekevän yrityksen osastoista.

Vuonna 1977 hän loi esityksiä lentävien mallien prototyypeistä. Lauren vastasi kuvien kehittämisestä suunnitellusta lentokoneesta. Hänen täytyi luoda kuvia uusista malleista, jotka esittivät tulevaisuuden lentokoneita eri näkökulmista. Jossain vaiheessa Pixar Animation Studiosin tuleva perustaja sai luovan idean käyttää vuoristokuvaa taustana. Nykyään jokainen koululainen voi ratkaista tällaisen ongelman, mutta viime vuosisadan 70-luvun lopulla tietokoneet eivät pystyneet selviytymään niin monimutkaisista laskelmista - ei ollut graafisia editoijia, puhumattakaan kolmiulotteisen grafiikan sovelluksista. Vuonna 1978 Lauren näki vahingossa Benoit Mandelbrotin kirjan Fractals: Form, Randomness and Dimension kaupassa. Tässä kirjassa hänen huomionsa kiinnitettiin siihen, että Benoit antoi paljon esimerkkejä fraktaalimuodoista tosielämässä ja osoitti, että ne voidaan kuvata matemaattisella lausekkeella.

Matemaatikko valitsi tämän analogian ei sattumalta. Tosiasia on, että heti kun hän julkaisi tutkimuksensa, hän joutui kohtaamaan koko kritiikin. Pääasia, mitä hänen kollegansa moittivat häntä, oli kehitetyn teorian hyödyttömyys. "Kyllä", he sanoivat, "nämä ovat kauniita kuvia, mutta ei mitään muuta. Fraktaalien teorialla ei ole käytännön arvoa." Oli myös niitä, jotka yleisesti uskoivat, että fraktaalikuviot olivat yksinkertaisesti "paholaisen koneiden" työn sivutuote, joka 1970-luvun lopulla tuntui monien mielestä liian monimutkaiselta ja tutkimattomalta, jotta siihen voitaisiin täysin luottaa. Mandelbrot yritti löytää ilmeisen sovelluksen fraktaaliteorialle, mutta yleisesti ottaen hänen ei tarvinnut tehdä tätä. Benoit Mandelbrotin seuraajat seuraavien 25 vuoden aikana osoittautuivat suureksi hyödyksi tällaiselle "matemaattiselle uteliaisuudelle", ja Lauren Carpenter oli yksi ensimmäisistä, joka otti fraktaalimenetelmän käytäntöön.

Tutkittuaan kirjaa tuleva animaattori tutki vakavasti fraktaaligeometrian periaatteita ja alkoi etsiä tapaa toteuttaa se tietokonegrafiikassa. Vain kolmen työpäivän aikana Lauren pystyi visualisoimaan realistisen kuvan vuoristojärjestelmästä tietokoneellaan. Toisin sanoen hän maalasi kaavojen avulla täysin tunnistettavan vuoristomaiseman.

Periaate, jota Lauren käytti saavuttaakseen tavoitteensa, oli hyvin yksinkertainen. Se koostui suuremman geometrisen hahmon jakamisesta pieniksi elementeiksi, jotka puolestaan ​​​​jaettiin samankaltaisiin pienempiin hahmoihin.

Käyttämällä suurempia kolmioita, Carpenter jakoi ne neljään pienempään ja toisti tämän toimenpiteen uudestaan ​​​​ja uudestaan, kunnes hän sai realistisen vuoristomaiseman. Näin hän onnistui olemaan ensimmäinen taiteilija, joka käytti fraktaalialgoritmia tietokonegrafiikassa kuvien rakentamiseen. Heti kun tehdystä työstä tuli tunnetuksi, harrastajat ympäri maailmaa ottivat tämän idean vastaan ​​ja alkoivat käyttää fraktaalialgoritmia realististen luonnonmuotojen simulointiin.

Yksi ensimmäisistä 3D-muodostuksista, joissa käytetään fraktaalialgoritmia

Vain muutama vuosi myöhemmin Lauren Carpenter pystyi soveltamaan saavutuksiaan paljon suuremmassa projektissa. Animaattori perustui kahden minuutin demoon, Vol Libre, joka esitettiin Siggraphissa vuonna 1980. Tämä video järkytti kaikkia sen nähneitä, ja Lauren sai kutsun Lucasfilmiltä.

Animaatio renderöitiin Digital Equipment Corporationin VAX-11/780-tietokoneella viiden megahertsin kellotaajuudella, ja jokaisen ruudun piirtämiseen kului noin puoli tuntia.

Lucasfilm Limitedille työskennellyt animaattori loi samat 3D-maisemat Star Trek -sagan toiselle osalle. The Wrath of Khanissa Carpenter pystyi luomaan kokonaisen planeetan käyttämällä samaa fraktaalipintamallinnuksen periaatetta.

Tällä hetkellä kaikki suositut sovellukset 3D-maisemien luomiseen käyttävät samaa luonnonobjektien luomisperiaatetta. Terragen, Bryce, Vue ja muut 3D-editorit luottavat fraktaalipinnan ja tekstuurin mallinnusalgoritmiin.

⇡ Fraktaaliantennit: vähemmän on parempi, mutta parempi

Viimeisen puolen vuosisadan aikana elämä on muuttunut nopeasti. Useimmat meistä pitävät modernin tekniikan kehitystä itsestäänselvyytenä. Kaikkeen, mikä tekee elämästä mukavampaa, tottuu hyvin nopeasti. Harvoin kukaan kysyy "Mistä tämä tuli?" ja "Kuinka se toimii?". Mikroaaltouuni lämmittää aamiaisen - hienoa, älypuhelimella voit puhua toiselle ihmiselle - hienoa. Tämä näyttää meille ilmeiseltä mahdollisuudelta.

Mutta elämä voisi olla täysin erilaista, jos ihminen ei etsi selitystä tapahtuville tapahtumille. Otetaan esimerkiksi matkapuhelimet. Muistatko sisäänvedettävät antennit ensimmäisissä malleissa? Ne häiritsivät, lisäsivät laitteen kokoa, lopulta rikkoutuivat usein. Uskomme, että ne ovat vaipuneet unohduksiin ikuisiksi ajoiksi, ja osittain tämän... fraktaalien takia.

Fraktaalipiirustukset kiehtovat kuvioillaan. Ne muistuttavat ehdottomasti kuvia avaruusobjekteista - sumuista, galaksiklustereista ja niin edelleen. Siksi on aivan luonnollista, että kun Mandelbrot esitti fraktaalien teoriansa, hänen tutkimuksensa herätti lisääntynyttä kiinnostusta tähtitiedettä opiskelevien keskuudessa. Eräs tällainen Nathan Cohen-niminen amatööri Benoit Mandelbrotin luennossa Budapestissa inspiroitui ajatuksesta saadun tiedon soveltamisesta käytännössä. Totta, hän teki sen intuitiivisesti, ja sattumalla oli tärkeä rooli hänen löydöessään. Radioamatöörina Nathan pyrki luomaan antennin, jolla on mahdollisimman herkkä.

Ainoa tapa parantaa antennin parametreja, joka oli tuolloin tunnettu, oli kasvattaa sen geometrisia mittoja. Nathanin Bostonin keskustassa sijaitsevan asunnon omistaja kuitenkin vastusti jyrkästi suurten kattolaitteiden asentamista. Sitten Nathan alkoi kokeilla erilaisia ​​antennimuotoja yrittäen saada maksimaalisen tuloksen pienimmällä koolla. Fraktaalimuotojen ideasta syttynyt Cohen, kuten he sanovat, teki sattumanvaraisesti lankasta yhden kuuluisimmista fraktaaleista - "Koch-lumihiutaleen". Ruotsalainen matemaatikko Helge von Koch keksi tämän käyrän jo vuonna 1904. Se saadaan jakamalla segmentti kolmeen osaan ja korvaamalla keskisegmentti tasasivuisella kolmiolla, jonka sivu osuu yhteen tämän segmentin kanssa. Määritelmä on hieman vaikea ymmärtää, mutta kuva on selkeä ja yksinkertainen.

"Koch-käyrästä" on myös muita lajikkeita, mutta käyrän likimääräinen muoto pysyy samana

Kun Nathan liitti antennin radiovastaanottimeen, hän oli hyvin yllättynyt - herkkyys kasvoi dramaattisesti. Kokeilusarjan jälkeen tuleva Bostonin yliopiston professori tajusi, että fraktaalikuvion mukaan valmistetulla antennilla on korkea hyötysuhde ja se kattaa paljon laajemman taajuusalueen verrattuna klassisiin ratkaisuihin. Lisäksi antennin muoto fraktaalikäyrän muodossa voi merkittävästi pienentää geometrisia mittoja. Nathan Cohen kehitti jopa lauseen, joka todistaa, että laajakaista-antennin luomiseksi riittää, että sille annetaan itsekaltaisen fraktaalikäyrän muoto.

Kirjoittaja patentoi löytönsä ja perusti yrityksen fraktaaliantennien kehittämiseen ja suunnitteluun Fractal Antenna Systems uskoen oikeutetusti, että hänen löytönsä ansiosta matkapuhelimet pystyvät tulevaisuudessa pääsemään eroon isoista antenneista ja niistä tulee kompakteja.

Periaatteessa näin tapahtui. Totta, tähän päivään asti Nathan on oikeudenkäynnissä suurten yritysten kanssa, jotka käyttävät laittomasti hänen löytöään kompaktien viestintälaitteiden tuottamiseen. Jotkut tunnetut mobiililaitteiden valmistajat, kuten Motorola, ovat jo tehneet rauhansopimuksen fraktaaliantennin keksijän kanssa.

⇡ Fraktaalimitat: mieli ei ymmärrä

Benoit lainasi tämän kysymyksen kuuluisalta amerikkalaiselta tiedemieheltä Edward Kasnerilta.

Jälkimmäinen, kuten monet muut kuuluisat matemaatikot, piti kovasti kommunikoida lasten kanssa, kysyä heiltä kysymyksiä ja saada odottamattomia vastauksia. Joskus tämä johti yllättäviin tuloksiin. Joten esimerkiksi Edward Kasnerin yhdeksänvuotias veljenpoika keksi nyt tunnetun sanan "googol", joka tarkoittaa yksikköä, jossa on sata nollaa. Mutta takaisin fraktaaleihin. Amerikkalainen matemaatikko kysyi mielellään, kuinka pitkä Yhdysvaltain rannikko on. Kuultuaan keskustelukumppanin mielipiteen Edward itse puhui oikean vastauksen. Jos mittaat kartan pituuden katkenneilla osilla, tulos on epätarkka, koska rannikolla on paljon epäsäännöllisyyksiä. Ja mitä tapahtuu, jos mittaat mahdollisimman tarkasti? Sinun on otettava huomioon jokaisen epätasaisuuden pituus - sinun on mitattava jokainen nieme, jokainen lahti, kivi, kivireunuksen pituus, kivi sen päällä, hiekkajyvä, atomi ja niin edelleen. Koska epäsäännöllisyyksien määrä pyrkii äärettömään, rantaviivan mitattu pituus kasvaa äärettömään jokaisen uuden epäsäännöllisyyden myötä.

Mitä pienempi mitta mitatessa, sitä suurempi on mitattu pituus

Mielenkiintoista on, että Edwardin kehotuksia seuraten lapset sanoivat oikean vastauksen paljon nopeammin kuin aikuiset, kun taas jälkimmäisten oli vaikea hyväksyä niin uskomatonta vastausta.

Käyttämällä tätä ongelmaa esimerkkinä Mandelbrot ehdotti uuden lähestymistavan käyttöä mittauksiin. Koska rantaviiva on lähellä fraktaalikäyrää, se tarkoittaa, että siihen voidaan soveltaa karakterisoivaa parametria, ns. fraktaaliulottuvuutta.

Mikä on tavallinen ulottuvuus, on selvää kenelle tahansa. Jos mitta on yhtä suuri kuin yksi, saadaan suora viiva, jos kaksi - litteä luku, kolme - tilavuus. Tällainen ulottuvuuden ymmärtäminen matematiikassa ei kuitenkaan toimi fraktaalikäyrien kanssa, joissa tällä parametrilla on murto-arvo. Fraktaaliulottuvuutta matematiikassa voidaan pitää ehdollisesti "karkeutena". Mitä suurempi käyrän karheus on, sitä suurempi on sen fraktaalimitta. Käyrällä, jonka fraktaalimitta on Mandelbrotin mukaan korkeampi kuin sen topologinen ulottuvuus, on likimääräinen pituus, joka ei riipu dimensioiden lukumäärästä.

Tällä hetkellä tiedemiehet löytävät yhä enemmän alueita fraktaaliteorian soveltamiselle. Fraktaalien avulla voit analysoida osakekurssien vaihteluita, tutkia kaikenlaisia ​​luonnollisia prosesseja, kuten lajien määrän vaihteluita, tai simuloida virtojen dynamiikkaa. Fraktaalialgoritmeja voidaan käyttää tiedon pakkaamiseen, esimerkiksi kuvan pakkaamiseen. Ja muuten, saadaksesi kauniin fraktaalin tietokoneen näytölle, sinulla ei tarvitse olla tohtorin tutkintoa.

⇡ Fractal selaimessa

Ehkä yksi helpoimmista tavoista saada fraktaalikuvio on käyttää nuoren lahjakkaan ohjelmoijan Toby Schachmanin online-vektorieditoria. Tämän yksinkertaisen grafiikkaeditorin työkalupakki perustuu samaan samankaltaisuuden periaatteeseen.

Käytössäsi on vain kaksi yksinkertaista muotoa - neliö ja ympyrä. Voit lisätä ne kankaalle, skaalata (skaalaaksesi jotakin akselia pitkin pitämällä Shift-näppäintä painettuna) ja kiertää. Boolen summausoperaatioiden periaatteella päällekkäin nämä yksinkertaisimmat elementit muodostavat uusia, vähemmän triviaaleja muotoja. Lisäksi nämä uudet lomakkeet voidaan lisätä projektiin, ja ohjelma toistaa näiden kuvien luomisen loputtomiin. Fraktaalin käsittelyn missä tahansa vaiheessa voit palata mihin tahansa monimutkaisen muodon komponenttiin ja muokata sen sijaintia ja geometriaa. Se on hauskaa, varsinkin kun ottaa huomioon, että ainoa luova työkalu on selain. Jos et ymmärrä tämän rekursiivisen vektorieditorin kanssa työskentelyn periaatetta, suosittelemme katsomaan videon projektin viralliselta verkkosivustolta, joka näyttää yksityiskohtaisesti koko fraktaalin luomisprosessin.

⇡ XaoS: fraktaaleja jokaiseen makuun

Monissa graafisissa muokkausohjelmissa on sisäänrakennetut työkalut fraktaalikuvioiden luomiseen. Nämä työkalut ovat kuitenkin yleensä toissijaisia ​​eivätkä anna sinun hienosäätää generoitua fraktaalikuviota. Tapauksissa, joissa on tarpeen rakentaa matemaattisesti tarkka fraktaali, XaoS-alustojen välinen editori tulee apuun. Tämän ohjelman avulla on mahdollista paitsi rakentaa itsenäinen kuva, myös suorittaa erilaisia ​​​​käsittelyjä sen kanssa. Voit esimerkiksi "kävellä" reaaliajassa fraktaalin läpi muuttamalla sen mittakaavaa. Animoitu liike fraktaaleja pitkin voidaan tallentaa XAF-tiedostona ja toistaa sitten itse ohjelmassa.

XaoS voi ladata satunnaisen joukon parametreja sekä käyttää erilaisia ​​kuvan jälkikäsittelysuodattimia - lisätä sumeaa liiketehostetta, tasoittaa teräviä siirtymiä fraktaalipisteiden välillä, simuloida 3D-kuvaa ja niin edelleen.

⇡ Fractal Zoomer: kompakti fraktaaligeneraattori

Muihin fraktaalikuvageneraattoreihin verrattuna sillä on useita etuja. Ensinnäkin se on kooltaan melko pieni eikä vaadi asennusta. Toiseksi se toteuttaa mahdollisuuden määritellä kuvan väripaletti. Voit valita sävyjä RGB-, CMYK-, HVS- ja HSL-värimalleissa.

On myös erittäin kätevää käyttää satunnaista värisävyjen valintaa ja toimintoa kääntää kaikki kuvan värit. Värin säätämiseksi on olemassa syklinen sävyjen valinta - kun vastaava tila on päällä, ohjelma animoi kuvan vaihtaen sen värejä syklisesti.

Fractal Zoomer pystyy visualisoimaan 85 erilaista fraktaalifunktiota, ja kaavat näkyvät selkeästi ohjelmavalikossa. Ohjelmassa on suodattimia kuvien jälkikäsittelyyn, vaikkakin pieni määrä. Jokainen määritetty suodatin voidaan peruuttaa milloin tahansa.

⇡ Mandelbulb3D: 3D-fraktaalieditori

Kun termiä "fraktaali" käytetään, se tarkoittaa useimmiten litteää kaksiulotteista kuvaa. Fraktaaligeometria kuitenkin ylittää 2D-ulottuvuuden. Luonnosta löytyy sekä esimerkkejä litteistä fraktaalimuodoista, esimerkiksi salaman geometriasta, että kolmiulotteisia kolmiulotteisia hahmoja. Fraktaalipinnat voivat olla kolmiulotteisia, ja yksi hyvin graafinen esimerkki 3D-fraktaaleista jokapäiväisessä elämässä on kaalin pää. Ehkä paras tapa nähdä fraktaaleja on Romanescossa, kukkakaalin ja parsakaalin yhdistelmässä.

Ja tämä fraktaali voidaan syödä

Mandelbulb3D-ohjelmalla voidaan luoda samanmuotoisia kolmiulotteisia objekteja. Saadakseen 3D-pinnan käyttämällä fraktaalialgoritmia tämän sovelluksen kirjoittajat Daniel White ja Paul Nylander muunsivat Mandelbrot-joukon pallokoordinaateiksi. Heidän luomansa Mandelbulb3D-ohjelma on todellinen kolmiulotteinen editori, joka mallintaa erimuotoisia fraktaalipintoja. Koska havaitsemme usein fraktaalikuvioita luonnossa, keinotekoisesti luotu kolmiulotteinen fraktaaliobjekti näyttää uskomattoman realistiselta ja jopa "elävältä".

Se voi näyttää kasvilta, se voi muistuttaa outoa eläintä, planeettaa tai jotain muuta. Tätä tehostetta parantaa kehittynyt renderöintialgoritmi, jonka avulla voidaan saada realistisia heijastuksia, laskea läpinäkyvyyttä ja varjoja, simuloida syväterävyyden vaikutusta ja niin edelleen. Mandelbulb3D:ssä on valtava määrä asetuksia ja renderöintivaihtoehtoja. Voit hallita valonlähteiden sävyjä, valita mallinnetun kohteen taustan ja yksityiskohtien tason.

Incendia-fraktaalieditori tukee kaksoiskuvan tasoitusta, sisältää viidenkymmenen eri kolmiulotteisen fraktaalin kirjaston ja siinä on erillinen moduuli perusmuotojen muokkaamiseen.

Sovellus käyttää fraktaalikomentosarjaa, jolla voit itsenäisesti kuvata uudentyyppisiä fraktaalirakenteita. Incendiassa on tekstuuri- ja materiaalieditorit sekä renderöintimoottori, jonka avulla voit käyttää volyymitehosteita ja erilaisia ​​varjostimia. Ohjelmassa on mahdollisuus tallentaa puskuri pitkäaikaisen renderöinnin aikana, animaatioiden luonti on tuettu.

Incendia antaa sinun viedä fraktaalimallin suosittuihin 3D-grafiikkamuotoihin - OBJ ja STL. Incendia sisältää pienen Geometrica-apuohjelman - erikoistyökalun, jolla määritetään fraktaalipinnan vienti kolmiulotteiseksi malliksi. Tämän apuohjelman avulla voit määrittää 3D-pinnan resoluution, määrittää fraktaaliiteraatioiden lukumäärän. Vietyjä malleja voidaan käyttää 3D-projekteissa työskennellessäsi 3D-editorien, kuten Blender, 3ds max ja muiden kanssa.

Viime aikoina työ Incendia-projektin parissa on hidastunut jonkin verran. Tällä hetkellä kirjoittaja etsii sponsoreita, jotka auttaisivat häntä kehittämään ohjelmaa.

Jos sinulla ei ole tarpeeksi mielikuvitusta piirtääksesi kauniin kolmiulotteisen fraktaalin tässä ohjelmassa, sillä ei ole väliä. Käytä parametrikirjastoa, joka sijaitsee kansiossa INCENDIA_EX\parameters. PAR-tiedostojen avulla löydät nopeasti epätavallisimmat fraktaalimuodot, myös animoidut.

⇡ Äänentoisto: kuinka fraktaalit laulavat

Emme yleensä puhu projekteista, joita vasta työstetään, mutta tässä tapauksessa meidän on tehtävä poikkeus, tämä on hyvin epätavallinen sovellus. Aural-niminen projekti keksi saman henkilön kuin Incendia. Totta, tällä kertaa ohjelma ei visualisoi fraktaalisarjaa, vaan äänittää sen ja muuttaa sen elektroniseksi musiikiksi. Idea on erittäin mielenkiintoinen, varsinkin kun otetaan huomioon fraktaalien epätavalliset ominaisuudet. Aural on äänieditori, joka tuottaa melodioita fraktaalialgoritmeilla, eli se on itse asiassa äänisyntetisaattori-sekvenssori.

Tämän ohjelman antama äänisarja on epätavallinen ja ... kaunis. Se voi hyvinkin olla hyödyllinen nykyaikaisten rytmien kirjoittamiseen ja sopii mielestämme erityisen hyvin ääniraitojen luomiseen televisio- ja radio-ohjelmien introihin sekä taustamusiikin "silmukoiksi" tietokonepeleihin. Ramiro ei ole vielä toimittanut demoa ohjelmastaan, mutta lupaa, että kun hän tekee, hänen ei tarvitse opetella fraktaalien teoriaa voidakseen työskennellä Auralin kanssa - vain leikkiä nuottisarjan generointialgoritmin parametreilla. . Kuuntele kuinka fraktaalit kuulostavat ja.

Fraktaalit: musiikillinen tauko

Itse asiassa fraktaalit voivat auttaa musiikin kirjoittamisessa jopa ilman ohjelmistoja. Mutta tämän voi tehdä vain joku, joka on todella täynnä ajatusta luonnollisesta harmoniasta ja joka ei ole samalla muuttunut onnettomaksi "nörteeksi". On järkevää ottaa esimerkkiä Jonathan Coulton-nimisestä muusikosta, joka muun muassa kirjoittaa sävellyksiä Popular Science -lehteen. Ja toisin kuin muut taiteilijat, Colton julkaisee kaikki teoksensa Creative Commons Attribution-Noncommercial -lisenssillä, joka (kun sitä käytetään ei-kaupallisiin tarkoituksiin) mahdollistaa teoksen ilmaisen kopioimisen, jakelun, siirtämisen muille sekä sen muokkaamisen (luomisen) johdannaisteoksia) mukauttaaksesi sen tarpeisiisi.

Jonathan Coltonilla on tietysti kappale fraktaaleista.

⇡ Johtopäätös

Kaikessa, mikä meitä ympäröi, näemme usein kaaosta, mutta itse asiassa tämä ei ole sattumaa, vaan ihannemuoto, jonka fraktaalit auttavat meitä havaitsemaan. Luonto on paras arkkitehti, ihanteellinen rakentaja ja insinööri. Se on järjestetty hyvin loogisesti, ja jos jossain emme näe kuvioita, tämä tarkoittaa, että meidän on etsittävä sitä eri mittakaavassa. Ihmiset ymmärtävät tämän yhä paremmin ja yrittävät jäljitellä luonnollisia muotoja monin tavoin. Insinöörit suunnittelevat kaiutinjärjestelmiä kuoren muodossa, luovat antenneja lumihiutalegeometrialla ja niin edelleen. Olemme varmoja, että fraktaalit pitävät edelleen paljon salaisuuksia, ja monet niistä eivät ole vielä ihmisen löytämiä.

Kuten viime vuosikymmeninä on käynyt selväksi (itseorganisaatioteorian kehityksen yhteydessä), itsesamankaltaisuutta esiintyy erilaisissa esineissä ja ilmiöissä. Itsesamankaltaisuus voidaan havaita esimerkiksi puiden ja pensaiden oksissa, hedelmöittyneen tsygootin jakautumisessa, lumihiutaleissa, jääkiteissä, talousjärjestelmien kehityksessä, vuoristojärjestelmien rakenteessa, pilvissä.

Kaikki luetellut objektit ja muut niiden kaltaiset rakenteeltaan ovat fraktaaleja. Toisin sanoen niillä on itsesamankaltaisuuden eli asteikkoinvarianssin ominaisuudet. Ja tämä tarkoittaa, että jotkin niiden rakenteen fragmentit toistuvat tiukasti tietyin tilavälein. On selvää, että nämä esineet voivat olla luonteeltaan mitä tahansa, ja niiden ulkonäkö ja muoto pysyvät muuttumattomina mittakaavasta riippumatta. Sekä luonnossa että yhteiskunnassa itsensä toistoa tapahtuu riittävän laajasti. Joten pilvi toistaa repaleisen rakenteensa 10 4 metristä (10 km) 10 -4 metriin (0,1 mm). Haaroittuminen toistuu puissa 10 -2 - 10 2 m. Myös halkeamia synnyttävät sortuvat materiaalit toistavat samankaltaisuuttaan useassa mittakaavassa. Käsille putoava lumihiutale sulaa. Sulamisjakson aikana vaiheesta toiseen siirtymisen aikana lumihiutale-pisara on myös fraktaali.

Fraktaali on äärettömän monimutkainen esine, jonka avulla voit nähdä yhtä paljon yksityiskohtia läheltä kuin kaukaa. Klassinen esimerkki tästä on Maa. Avaruudesta katsottuna se näyttää pallolta. Lähestyessämme sitä löydämme valtameret, maanosat, rannikot ja vuoristot. Myöhemmin näkyviin tulee pienempiä yksityiskohtia: maapala vuoren pinnalla, yhtä monimutkainen ja epätasainen kuin itse vuori. Sitten ilmaantuu pieniä maa-ainehiukkasia, joista jokainen on itse fraktaalikohde.

Fraktaali on epälineaarinen rakenne, joka säilyttää itsensä samankaltaisuuden, kun sitä skaalataan ylös tai alas äärettömästi. Vain pienillä pituuksilla epälineaarisuus muuttuu lineaariseksi. Tämä on erityisen ilmeistä matemaattisessa differentiaatioprosessissa.

Voidaan siis sanoa, että fraktaaleja käytetään malleina silloin, kun todellista kohdetta ei voida esittää klassisten mallien muodossa. Ja tämä tarkoittaa, että käsittelemme epälineaarisia suhteita ja datan epädeterminististä luonnetta. Epälineaarisuus ideologisessa mielessä tarkoittaa kehityspolkujen monimuotoisuutta, vaihtoehtoisten polkujen valinnan saatavuutta ja tiettyä kehitystahtia sekä evoluutioprosessien peruuttamattomuutta. Matemaattisessa mielessä epälineaarisuus on tietyn tyyppisiä matemaattisia yhtälöitä (epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä), jotka sisältävät halutut suureet yhtä suurempina potenssiina tai kertoimia, jotka riippuvat väliaineen ominaisuuksista. Eli kun käytämme klassisia malleja (esimerkiksi trendiä, regressiota jne.), sanomme, että kohteen tulevaisuus on yksilöllisesti määrätty. Ja voimme ennustaa sen, kun tiedämme kohteen menneisyyden (alkutiedot mallintamista varten). Ja fraktaaleja käytetään siinä tapauksessa, että objektilla on useita kehitysvaihtoehtoja ja järjestelmän tila määräytyy sen sijainnin mukaan, jossa se tällä hetkellä sijaitsee. Eli yritämme simuloida kaoottista kehitystä.

Kun he puhuvat tietyn järjestelmän determinismistä, he tarkoittavat, että sen käyttäytymiselle on ominaista yksiselitteinen syy-yhteys. Eli tietäen järjestelmän alkuehdot ja liikelain, on mahdollista ennustaa tarkasti sen tulevaisuus. Juuri tämä ajatus liikkeestä universumissa on ominaista klassiselle, newtonilaiselle dynamiikalle. Kaaos päinvastoin merkitsee kaoottista, satunnaista prosessia, jolloin tapahtumien kulkua ei voida ennustaa eikä toistaa.

Kaaoksen synnyttää epälineaarisen järjestelmän luontainen dynamiikka - sen ominaisuus erottaa eksponentiaalisesti nopeasti mielivaltaisen läheiset lentoradat. Tämän seurauksena lentoratojen muoto riippuu erittäin voimakkaasti alkuolosuhteista. Tutkiessaan järjestelmiä, jotka ensi silmäyksellä kehittyvät kaoottisesti, he käyttävät usein fraktaalien teoriaa, koska Juuri tämä lähestymistapa mahdollistaa tietyn säännönmukaisuuden "satunnaisten" poikkeamien esiintymisessä järjestelmän kehityksessä.

Luonnollisten fraktaalirakenteiden tutkiminen antaa meille mahdollisuuden ymmärtää paremmin epälineaaristen järjestelmien itseorganisoitumisen ja kehityksen prosesseja. Olemme jo havainneet, että ympärillämme on luonnonfraktaaleja, joilla on mitä erilaisimpia, mutkaisia ​​linjoja. Tämä on merenranta, puut, pilvet, salamapurkaus, metallirakenne, ihmisen hermo- tai verisuonijärjestelmä. Nämä monimutkaiset linjat ja karkeat pinnat joutuivat tieteellisen tutkimuksen tietoon, koska luonto osoitti meille täysin erilaisen monimutkaisuuden kuin ihanteellisissa geometrisissä järjestelmissä. Tutkittavat rakenteet osoittautuivat aika-tilasuhteessa itsekaltaisiksi. He toistivat itseään loputtomasti ja toistivat itseään eri pituuden ja ajan mittakaavassa. Mikä tahansa epälineaarinen prosessi johtaa lopulta haarukkaan. Tässä tapauksessa järjestelmä valitsee haarapisteessä yhden tai toisen polun. Järjestelmän kehityksen liikerata näyttää fraktaalilta, eli katkoviivalta, jonka muotoa voidaan kuvata haarautuvaksi, monimutkaiseksi poluksi, jolla on oma logiikkansa ja kuvionsa.

Järjestelmän haaroittumista voidaan verrata puun haarautumiseen, jossa jokainen haara vastaa kolmannesta koko järjestelmästä. Haaroittamisen avulla lineaarinen rakenne täyttää kolmiulotteisen tilan, tai tarkemmin sanottuna: fraktaalirakenne koordinoi eri tiloja. Fraktaali voi kasvaa ja täyttää ympäröivän tilan, aivan kuten kide kasvaa ylikyllästetyssä liuoksessa. Tässä tapauksessa haaroittumisen luonne ei liity sattumaan, vaan tiettyyn malliin.

Fraktaalirakenne toistaa itseään samalla tavalla muilla tasoilla, korkeammalla ihmiselämän organisoinnin tasolla, esimerkiksi kollektiivin tai tiimin itseorganisoitumisen tasolla. Verkostojen ja muotojen itseorganisoituminen siirtyy mikrotasolta makrotasolle. Yhdessä ne edustavat kokonaisvaltaista yhtenäisyyttä, jossa kokonaisuutta voidaan arvioida osan perusteella. Tässä kurssityössä tarkastellaan esimerkkinä yhteiskunnallisten prosessien fraktaaliominaisuuksia, mikä osoittaa fraktaaliteorian universaalisuuden ja uskollisuuden eri tieteenaloille.

Johtopäätöksenä on, että fraktaali on tapa organisoida eri ulottuvuuksien ja luonteen tilojen vuorovaikutusta. Yllä olevaan on lisättävä, että ei vain tilallinen, vaan myös ajallinen. Silloin jopa ihmisen aivot ja hermoverkot ovat fraktaalirakenne.

Luonto pitää kovasti fraktaalimuodoista. Fraktaaliobjektilla on rönsyilevä, harvinainen rakenne. Tarkasteltaessa tällaisia ​​kohteita kasvavalla suurennuksella, voidaan nähdä, että niissä on eri tasoilla toistuva kuvio. Olemme jo sanoneet, että fraktaaliobjekti voi näyttää täsmälleen samalta riippumatta siitä, tarkkailemmeko sitä metreinä, millimetreinä vai mikroneina (1:1 000 000 metrin mittakaavassa). Fraktaaliobjektien symmetrian ominaisuus ilmenee invarianssina mittakaavan suhteen. Fraktaalit ovat symmetrisiä venytyksen tai skaalauksen keskuksen suhteen, aivan kuten pyöreät kappaleet ovat symmetrisiä pyörimisakselin suhteen.

Epälineaarisen dynamiikan ihailtu kuva on fraktaalirakenteet, joissa kuvaus rakennetaan mittakaavan muutoksella saman säännön mukaan. Tosielämässä tämän periaatteen toteuttaminen on mahdollista pienin vaihteluin. Esimerkiksi fysiikassa tasolta tasolle (atomiprosesseista ytimeen, ydinaineesta alkuainehiukkasiin) siirtyessä säännönmukaisuudet, mallit ja kuvausmenetelmät muuttuvat. Näemme saman asian biologiassa (eliön, kudoksen, solun populaation taso jne.) Synergiikan tulevaisuus riippuu siitä, missä määrin epälineaarinen tiede pystyy auttamaan kuvaamaan tätä rakenteellista heterogeenisyyttä ja erilaisia ​​"tasojen välisiä" ilmiöitä. Tällä hetkellä useimmilla tieteenaloilla ei ole luotettavia fraktaalikäsitemalleja.

Nykyään fraktaalien teorian puitteissa kehitetään missä tahansa tieteessä - fysiikassa, sosiologiassa, psykologiassa, kielitieteessä jne. Silloin yhteiskunta ja sosiaaliset instituutiot, kieli ja jopa ajatus ovat fraktaaleja.

Tiedemiesten ja filosofien keskusteluissa, jotka ovat viime vuosina syntyneet fraktaalien käsitteestä, kiistanalaisin kysymys on seuraava: voidaanko fraktaalien universaalisuudesta puhua, että jokainen luonnon esine sisältää fraktaalin tai käy läpi fraktaalivaihe? On olemassa kaksi tutkijaryhmää, jotka vastaavat tähän kysymykseen täsmälleen päinvastaisella tavalla. Ensimmäinen ryhmä ("radikaalit", innovaattorit) tukee väitettä fraktaalien universaalisuudesta. Toinen ryhmä ("konservatiivit") kiistää tämän teesin, mutta väittää silti, ettei jokaisessa luonnonobjektissa ole fraktaalia, mutta fraktaali löytyy jokaiselta luonnon alueelta.

Nykytiede on varsin menestyksekkäästi mukauttanut fraktaalien teoriaa eri tietoalueille. Joten taloustieteessä fraktaalien teoriaa käytetään rahoitusmarkkinoiden teknisessä analyysissä, jotka ovat olleet maailman kehittyneissä maissa yli sata vuotta. C. Dow totesi ensimmäistä kertaa kyvyn ennustaa osakekurssien tulevaa kehitystä, jos sen suunta jollekin viime kaudelle tiedetään. 1990-luvulla, julkaistuaan useita artikkeleita, Dow huomasi, että osakekurssit olivat alttiina suhdannevaihteluille: pitkän nousun jälkeen seuraa pitkä lasku, sitten taas nousu ja lasku.

1900-luvun puolivälissä, kun koko tiedemaailma kiehtoi äskettäin esiin noussut fraktaaliteoria, toinen tunnettu amerikkalainen rahoittaja R. Elliot esitti teoriansa osakekurssikäyttäytymisestä, joka perustui fraktaalien käyttöön. teoria. Elliot lähti siitä, että fraktaalien geometria ei tapahdu vain elävässä luonnossa, vaan myös sosiaalisissa prosesseissa. Hän piti myös osakekaupankäyntiä pörssissä sosiaalisten prosessien syynä.

Teorian perustana on ns. aaltokaavio. Tämä teoria mahdollistaa hintatrendin jatkokäyttäytymisen ennustamisen perustuen sen käyttäytymishistorian tuntemiseen ja noudattamalla massapsykologisen käyttäytymisen kehittymisen sääntöjä.

Fraktaalien teoria on löytänyt sovelluksen myös biologiassa. Monilla, ellei kaikilla, kasvien, eläinten ja ihmisten biologisilla rakenteilla ja järjestelmillä on fraktaaliluonne, jonkin verran samankaltaisuutta sen kanssa: hermosto, keuhkojärjestelmä, verenkierto- ja imukudosjärjestelmät jne. On saatu näyttöä siitä, että myös pahanlaatuisen kasvaimen kehittyminen etenee fraktaaliperiaatteen mukaisesti. Fraktaalin itseaffiniteetin ja kongruenssin periaate huomioon ottaen voidaan selittää useita orgaanisen maailman evoluution ratkaisemattomia ongelmia. Fraktaaliobjekteille on ominaista myös sellainen ominaisuus kuin komplementaarisuuden ilmentymä. Täydentävyys biokemiassa on kahden makromolekyylin kemiallisen rakenteen keskinäinen vastaavuus, joka varmistaa niiden vuorovaikutuksen - kahden DNA-juosteen pariutumisen, entsyymin yhdistämisen substraattiin, antigeenin ja vasta-aineen. Täydentävät rakenteet sopivat yhteen kuin lukon avain (Encyclopedia of Cyril and Methodius). Tämä ominaisuus on DNA-polynukleotidiketjuilla.

Yksi tehokkaimmista fraktaalien sovelluksista on tietokonegrafiikassa. Ensinnäkin tämä on kuvien fraktaalipakkaus ja toiseksi maisemien, puiden, kasvien rakentaminen ja fraktaalitekstuurien luominen. Samaan aikaan tiedon pakkaamiseen, tallentamiseen tarvitaan itsekaltainen fraktaalin lisäys ja vastaavasti sen lukemiseen vastaava lisäys.

Fraktaalikuvan pakkausalgoritmien etuja ovat pakatun tiedoston erittäin pieni koko ja lyhyt kuvan palautusaika. Fraktaalipakatut kuvat voidaan skaalata ilman pikselointia. Mutta pakkausprosessi kestää kauan ja kestää joskus tunteja. Häviöllisen fraktaalipakkausalgoritmin avulla voit asettaa pakkaustason, joka on samanlainen kuin jpeg-muodossa. Algoritmi perustuu kuvan suurten osien löytämiseen, jotka ovat samanlaisia ​​kuin joitain pieniä osia. Ja vain tiedot yhden osan samankaltaisuudesta toiseen kirjoitetaan tulostiedostoon. Puristettaessa käytetään yleensä neliöruudukkoa (palat ovat neliöitä), mikä johtaa pieneen kulmaan kuvaa palautettaessa, kuusikulmaisessa ruudukossa ei ole tällaista haittaa.

Kirjallisten teosten joukossa on sellaisia, jotka ovat luonteeltaan tekstillisiä, rakenteellisia tai semanttisia fraktaaleja. Tekstifraktaaleissa tekstielementit toistuvat mahdollisesti loputtomasti. Tekstifraktaalit sisältävät haaroittumattoman äärettömän puun, joka on identtinen itsensä kanssa mistä tahansa iteraatiosta ("Papilla oli koira...", "Vertaus filosofista, joka haaveilee olevansa perhonen, joka haaveilee olevansa filosofi, joka näkee unta...", "Väite on väärä, että väite on totta, että väite on väärä..."); ei-haarautuvia loputtomia tekstejä muunnelmilla ("Peggyllä oli iloinen hanhi...") ja tekstit, joissa on laajennuksia ("Talo, jonka Jack rakensi").

Rakenteellisissa fraktaaleissa tekstikaavio on mahdollisesti fraktaali. Tällaisen rakenteen omaavat tekstit on järjestetty seuraavien periaatteiden mukaan: sonettiseppele (15 runoa), seppele sonetteista (211 runoa), seppele sonettiseppeleestä (2455 runoa); "tarinat tarinassa" ("Tuhannen ja yhden yön kirja", Y. Pototsky "Saragossasta löydetty käsikirjoitus"); esipuheet piilottavat tekijän (W. Eco "Ruusun nimi").

Fraktaali- ja fraktaaligeometrian käsitteet, jotka ilmestyivät 70-luvun lopulla, ovat tulleet lujasti matemaatikoiden ja ohjelmoijien arkeen 80-luvun puolivälistä lähtien. Sana fraktaali on johdettu latinan sanasta fractus ja tarkoittaa käännöksessä fragmenteista koostuvaa. Benoit Mandelbrot ehdotti vuonna 1975 viittaamaan hänen tutkimiinsa epäsäännöllisiin, mutta samankaltaisiin rakenteisiin. Fraktaaligeometrian synty liittyy tavallisesti Mandelbrotin kirjan "The Fractal Geometry of Nature" julkaisuun vuonna 1977. Hänen töissään käytettiin muiden vuosina 1875-1925 samalla alalla työskennelleiden tiedemiesten tieteellisiä tuloksia (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Mutta vain meidän aikanamme oli mahdollista yhdistää heidän teoksensa yhdeksi järjestelmäksi.
Fraktaalien rooli tietokonegrafiikassa on nykyään melko suuri. He tulevat apuun esimerkiksi silloin, kun useiden kertoimien avulla on määritettävä hyvin monimutkaisen muotoisia viivoja ja pintoja. Tietokonegrafiikan näkökulmasta fraktaaligeometria on välttämätön keinopilvien, vuorten ja merenpinnan synnyttämisessä. Itse asiassa on löydetty tapa edustaa helposti monimutkaisia ​​ei-euklidisia esineitä, joiden kuvat ovat hyvin samankaltaisia ​​kuin luonnolliset.
Yksi fraktaalien pääominaisuuksista on itsensä samankaltaisuus. Yksinkertaisimmassa tapauksessa pieni osa fraktaaleja sisältää tietoa koko fraktaalista. Mandelbrotin antama fraktaalin määritelmä on seuraava: "Fraktaali on rakenne, joka koostuu osista, jotka ovat jossain mielessä samanlaisia ​​kokonaisuuden kanssa."

On olemassa suuri määrä matemaattisia esineitä, joita kutsutaan fraktaaleiksi (Sierpinskin kolmio, Kochin lumihiutale, Peanon käyrä, Mandelbrotin joukko ja Lorentz-traktorit). Fraktaalit kuvaavat suurella tarkkuudella monia todellisen maailman fyysisiä ilmiöitä ja muodostumia: vuoria, pilviä, myrskyisiä (pyörre)virtoja, puiden juuria, oksia ja lehtiä, verisuonia, mikä ei suinkaan vastaa yksinkertaisia ​​geometrisia muotoja. Ensimmäistä kertaa Benoit Mandelbrot puhui maailmamme fraktaaliluonteesta tärkeässä työssään "The Fractal Geometry of Nature".
Fraktaalitermin esitteli Benoit Mandelbrot vuonna 1977 perusteoksessaan "Fractals, Form, Chaos and Dimension". Mandelbrotin mukaan sana fraktaali tulee latinan sanoista fractus - fractional ja frangere - murtaa, mikä heijastaa fraktaalin olemusta "rikkinä", epäsäännöllisenä joukkona.

Fraktaalien luokitus.

Fraktaalien koko kirjon edustamiseksi on kätevää turvautua niiden yleisesti hyväksyttyyn luokitukseen. Fraktaaleja on kolme luokkaa.

1. Geometriset fraktaalit.

Tämän luokan fraktaalit ovat ilmeisimpiä. Kaksiulotteisessa tapauksessa ne saadaan käyttämällä polylinjaa (tai pintaa kolmiulotteisessa tapauksessa), jota kutsutaan generaattoriksi. Algoritmin yhdessä vaiheessa jokainen katkoviivan muodostava segmentti korvataan katkoviivageneraattorilla sopivassa mittakaavassa. Tämän menettelyn loputtoman toistamisen seurauksena saadaan geometrinen fraktaali.

Ajatellaanpa esimerkiksi yhtä sellaisista fraktaaliobjekteista - Kochin kolmiokaari.

Triadisen Koch-käyrän rakentaminen.

Otetaan suora jana, jonka pituus on 1. Kutsutaan sitä siemen. Jaetaan siemen kolmeen yhtä suureen osaan, joiden pituus on 1/3, hylätään keskiosa ja korvataan se katkoviivalla, jossa on kaksi lenkkiä, joiden pituus on 1/3.

Saamme katkoviivan, joka koostuu 4 linkistä, joiden kokonaispituus on 4/3, - ns. ensimmäinen sukupolvi.

Jotta voidaan siirtyä Koch-käyrän seuraavaan sukupolveen, jokaisen linkin keskiosa on hylättävä ja vaihdettava. Vastaavasti toisen sukupolven pituus on 16/9, kolmannen - 64/27. jos jatkat tätä prosessia äärettömyyteen, tuloksena on kolmiosainen Koch-käyrä.

Tarkastellaan nyt pyhää triadista Koch-käyrää ja selvitetään miksi fraktaaleja kutsuttiin "hirviöiksi".

Ensinnäkin tällä käyrällä ei ole pituutta - kuten olemme nähneet, sukupolvien lukumäärällä sen pituus on taipumus äärettömään.

Toiseksi, tälle käyrälle on mahdotonta rakentaa tangenttia - jokainen sen piste on käännepiste, jossa derivaatta ei ole olemassa - tämä käyrä ei ole tasainen.

Pituus ja sileys ovat käyrien perusominaisuuksia, joita tutkitaan sekä euklidisen geometrian että Lobachevskyn ja Riemannin geometrian avulla. Perinteiset geometrisen analyysin menetelmät osoittautuivat soveltumattomiksi triadiseen Koch-käyrään, joten Koch-käyrä osoittautui hirviöksi - "hirviöksi" perinteisten geometrioiden sileiden asukkaiden joukossa.

"Lohikäärmeen" Harter-Hatewayn rakentaminen.

Jos haluat saada toisen fraktaaliobjektin, sinun on muutettava rakennussääntöjä. Olkoon generatriisi kaksi samansuuruista segmenttiä, jotka on yhdistetty suorassa kulmassa. Nollasukupolvessa korvaamme yksikkösegmentin tällä generoivalla elementillä siten, että kulma on päällä. Voimme sanoa, että tällaisella vaihdolla tapahtuu muutos linkin keskellä. Seuraavia sukupolvia rakennettaessa noudatetaan sääntöä: aivan ensimmäinen vasemmanpuoleinen linkki korvataan generoivalla elementillä siten, että linkin keskiosa siirtyy liikesuunnan vasemmalle, ja kun uusia linkkejä vaihdetaan, segmenttien keskipisteiden siirtymissuuntien on vaihdettava. Kuvassa on kuvattu edellä kuvatun periaatteen mukaisesti rakennetun käyrän muutama ensimmäinen sukupolvi ja 11. sukupolvi. Käyrää, jossa n suuntautuu äärettömyyteen, kutsutaan Harter-Hateway-lohikäärmeeksi.
Tietokonegrafiikassa geometristen fraktaalien käyttö on välttämätöntä puista ja pensaista otettaessa. Kaksiulotteisia geometrisia fraktaaleja käytetään kolmiulotteisten tekstuurien (esineen pinnalla olevien kuvioiden) luomiseen.

2. Algebralliset fraktaalit

Tämä on suurin fraktaalien ryhmä. Ne saadaan käyttämällä epälineaarisia prosesseja n-ulotteisissa tiloissa. Kaksiulotteiset prosessit ovat eniten tutkittuja. Tulkittaessa epälineaarista iteratiivista prosessia diskreetiksi dynaamiseksi järjestelmäksi, voidaan käyttää näiden järjestelmien teorian terminologiaa: vaihemuotokuva, vakaan tilan prosessi, attraktori jne.
Tiedetään, että epälineaarisilla dynaamisilla järjestelmillä on useita stabiileja tiloja. Tila, johon dynaaminen järjestelmä on tietyn iteraatiomäärän jälkeen, riippuu sen alkutilasta. Siksi jokaisella vakaalla tilassa (tai, kuten sanotaan, houkuttimella) on tietty alue aloitustiloja, joista järjestelmä välttämättä putoaa harkittuihin lopputiloihin. Siten järjestelmän vaiheavaruus on jaettu attraktoreiden vetoalueisiin. Jos vaiheavaruus on kaksiulotteinen, niin värittämällä vetoalueet eri väreillä saadaan tästä systeemistä värillinen vaihekuva (iteratiivinen prosessi). Muuttamalla värinvalintaalgoritmia voit saada monimutkaisia ​​fraktaalikuvioita hienoilla monivärisillä kuvioilla. Yllätys matemaatikoille oli kyky luoda erittäin monimutkaisia ​​ei-triviaaleja rakenteita primitiivisten algoritmien avulla.

Mandelbrotin setti.

Harkitse esimerkkinä Mandelbrotin joukkoa. Sen rakentamisalgoritmi on melko yksinkertainen ja perustuu yksinkertaiseen iteratiiviseen lausekkeeseen: Z = Z[i] * Z[i] + C, missä Zi ja C ovat monimutkaisia ​​muuttujia. Iteraatiot suoritetaan kullekin aloituspisteelle suorakaiteen tai neliön muotoiselta alueelta - kompleksisen tason osajoukolta. Iteratiivinen prosessi jatkuu asti Z[i] ei ylitä säteen 2 ympyrää, jonka keskipiste on pisteessä (0,0), (tämä tarkoittaa, että dynaamisen järjestelmän attraktori on äärettömässä) tai riittävän suuren iteraatiomäärän jälkeen (esim. , 200-500) Z[i] suppenee johonkin ympyrän pisteeseen. Riippuen iteraatioiden lukumäärästä, jonka aikana Z[i] pysyy ympyrän sisällä, voit asettaa pisteen värin C(jos Z[i] pysyy ympyrän sisällä riittävän suuren iteraatiomäärän ajan, iterointi pysähtyy ja tämä rasteripiste maalataan mustaksi).

3. Stokastiset fraktaalit

Toinen hyvin tunnettu fraktaaliluokka ovat stokastiset fraktaalit, jotka saadaan, jos jokin sen parametreista muuttuu satunnaisesti iteratiivisessa prosessissa. Tämä johtaa esineisiin, jotka ovat hyvin samankaltaisia ​​kuin luonnolliset - epäsymmetrisiä puita, sisennettyjä rantaviivoja jne. Kaksiulotteisia stokastisia fraktaaleja käytetään maaston ja merenpinnan mallintamiseen.
Fraktaaleilla on muitakin luokituksia, esimerkiksi fraktaalien jako deterministisiin (algebrallinen ja geometrinen) ja ei-deterministisiin (stokastisiin).

Fraktaalien käytöstä

Ensinnäkin fraktaalit ovat hämmästyttävän matemaattisen taiteen alue, kun yksinkertaisimpien kaavojen ja algoritmien avulla saadaan poikkeuksellisen kauniita ja monimutkaisia ​​kuvia! Rakennettujen kuvien ääriviivoissa usein arvataan lehtiä, puita ja kukkia.

Yksi tehokkaimmista fraktaalien sovelluksista on tietokonegrafiikassa. Ensinnäkin tämä on kuvien fraktaalipakkaus ja toiseksi maisemien, puiden, kasvien rakentaminen ja fraktaalitekstuurien luominen. Nykyaikainen fysiikka ja mekaniikka ovat vasta alkaneet tutkia fraktaaliobjektien käyttäytymistä. Ja tietysti fraktaaleja sovelletaan suoraan matematiikassa itsessään.
Fraktaalikuvan pakkausalgoritmien etuja ovat pakatun tiedoston erittäin pieni koko ja lyhyt kuvan palautusaika. Fraktaalipakatut kuvat voidaan skaalata ilman pikselointia. Mutta pakkausprosessi kestää kauan ja kestää joskus tunteja. Häviöllisen fraktaalipakkausalgoritmin avulla voit asettaa pakkaustason, joka on samanlainen kuin jpeg-muodossa. Algoritmi perustuu kuvan suurten osien etsimiseen, jotka ovat samanlaisia ​​kuin joitain pieniä paloja. Ja vain mikä pala on samanlainen kuin mikä kirjoitetaan tulostiedostoon. Puristettaessa käytetään yleensä neliöruudukkoa (palat ovat neliöitä), mikä johtaa pieneen kulmaan kuvaa palautettaessa, kuusikulmaisessa ruudukossa ei ole tällaista haittaa.
Iterated on kehittänyt uuden kuvamuodon, "Sting", joka yhdistää fraktaali- ja "aalto" (kuten jpeg) häviöttömän pakkauksen. Uuden muodon avulla voit luoda kuvia, joissa on mahdollisuus myöhempään korkealaatuiseen skaalaukseen, ja grafiikkatiedostojen määrä on 15-20% pakkaamattomien kuvien tilavuudesta.
Fraktaalien taipumusta näyttää vuorilta, kukilta ja puilta hyödyntävät jotkin graafiset editorit, esimerkiksi fraktaalipilvet 3D studiosta MAX, fraktaalivuoret World Builderissa. Fraktaalipuut, vuoret ja kokonaiset maisemat määritellään yksinkertaisilla kaavoilla, ne on helppo ohjelmoida eivätkä hajoa erillisiksi kolmioksi ja kuutioiksi lähestyttäessä.
Et voi sivuuttaa fraktaalien käyttöä itse matematiikassa. Joukkoteoriassa Cantor-joukko todistaa täydellisten nowhere-tiheiden joukkojen olemassaolon; mittateoriassa itseaffiininen "Cantor-tikkaat" -funktio on hyvä esimerkki singulaarista mittajakaumafunktiosta.
Mekaniikassa ja fysiikassa fraktaaleja käytetään niiden ainutlaatuisen ominaisuuden vuoksi toistaa monien luonnon esineiden ääriviivat. Fraktaalien avulla voit arvioida puita, vuoristopintoja ja halkeamia suuremmalla tarkkuudella kuin likimääräiset viivasegmentit tai polygonit (sama määrä tallennettua dataa). Fraktaalimalleilla, kuten luonnon esineillä, on "karheutta", ja tämä ominaisuus säilyy mallin mielivaltaisen suurella kasvulla. Fraktaalien yhtenäinen mitta mahdollistaa integroinnin, potentiaaliteorian soveltamisen, niiden käyttämisen standardiobjektien sijasta jo tutkituissa yhtälöissä.
Fraktaalilähestymistavan avulla kaaos lakkaa olemasta sininen häiriö ja saa hienon rakenteen. Fraktaalitiede on vielä hyvin nuori ja sillä on edessään suuri tulevaisuus. Fraktaalien kauneus ei ole vielä loppunut, ja se antaa meille edelleen monia mestariteoksia - niitä, jotka ilahduttavat silmää, ja niitä, jotka tuovat todellista mielihyvää.

Fraktaalien rakentamisesta

Peräkkäisten approksimaatioiden menetelmä

Tätä kuvaa katsoessa ei ole vaikea ymmärtää, kuinka itseään vastaava fraktaali (tässä tapauksessa Sierpinskin pyramidi) voidaan rakentaa. Meidän on otettava tavallinen pyramidi (tetraedri) ja leikattava sitten sen keskiosa (oktaedri), minkä seurauksena saamme neljä pientä pyramidia. Jokaisella niistä suoritamme saman toiminnon ja niin edelleen. Tämä on hieman naiivi, mutta havainnollistava selitys.

Tarkastellaanpa menetelmän ydintä tiukemmin. Olkoon joku IFS-järjestelmä, ts. supistumisen kartoitusjärjestelmä S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (esimerkiksi pyramidillemme mappaukset näyttävät S i (x)=1/2*x+o i, missä o i ovat tetraedrin kärjet, i=1,...,4). Sitten valitaan R n:ssä jokin kompakti joukko A 1 (tässä tapauksessa valitsemme tetraedrin). Ja määritämme induktiolla joukkojen sarjan A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Tiedetään, että joukot A k, joissa k kasvavat, approksimoivat järjestelmän vaadittua attraktoria S.

Huomaa, että jokainen näistä iteraatioista on houkutin toistuvien toimintojen järjestelmä(englanninkielinen termi DigraphIFS, RIFS ja myös Graafiohjattu IFS) ja siksi ne on helppo rakentaa ohjelmamme avulla.

Rakentaminen pisteillä tai todennäköisyyslaskentamenetelmällä

Tämä on helpoin tapa toteuttaa tietokoneella. Yksinkertaisuuden vuoksi harkitse tasaisen itsekiinnittyvän sarjan tapausta. Olkoon siis (S

) on jokin affiinisten supistojen järjestelmä. Kartoitukset S

edustaa nimellä: S

Kiinteä matriisi, jonka koko on 2x2 ja o

Kaksiulotteinen vektorisarake.

• Otetaan ensimmäisen kuvauksen S 1 kiinteä piste aloituspisteeksi:
  x:=o1;
  Tässä käytetään sitä tosiasiaa, että kaikki kiinteät supistumispisteet S 1 ,..,S m kuuluvat fraktaaliin. Aloituspisteeksi voidaan valita mielivaltainen piste ja sen tuottama pistejono kutistuu fraktaaliksi, mutta silloin näytölle tulee muutama lisäpiste.
• Huomaa nykyinen piste x=(x 1 ,x 2) näytöllä:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Valitsemme satunnaisesti luvun j väliltä 1-m ja laskemme uudelleen pisteen x koordinaatit:
  j: = Satunnainen(m)+1;
  x:=Sj(x);
• Siirrymme vaiheeseen 2, tai jos olemme tehneet riittävän suuren määrän iteraatioita, lopetamme.

Huomautus. Jos kuvausten S i puristuskertoimet ovat erilaiset, niin fraktaali täyttyy pisteillä epätasaisesti. Jos kuvaukset S i ovat yhtäläisyyksiä, tämä voidaan välttää hieman monimutkaisemalla algoritmia. Tätä varten algoritmin 3. vaiheessa on valittava luku j välillä 1 - m todennäköisyyksillä p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , missä r i kuvaa kuvausten S i supistumiskertoimia. , ja luku s (kutsutaan samankaltaisuusdimensioksi) saadaan yhtälöstä r 1 s +...+r m s =1. Tämän yhtälön ratkaisu voidaan löytää esimerkiksi Newtonin menetelmällä.

Tietoja fraktaaleista ja niiden algoritmeista

Fractal tulee latinalaisesta adjektiivista "fractus", ja käännöksessä tarkoittaa fragmenteista koostuvaa, ja vastaava latinalainen verbi "frangere" tarkoittaa rikkoa, eli luoda epäsäännöllisiä fragmentteja. Fraktaali- ja fraktaaligeometrian käsitteet, jotka ilmestyivät 70-luvun lopulla, ovat tulleet lujasti matemaatikoiden ja ohjelmoijien arkeen 80-luvun puolivälistä lähtien. Benoit Mandelbrot ehdotti termiä vuonna 1975 viittaamaan hänen tutkimiinsa epäsäännöllisiin, mutta samankaltaisiin rakenteisiin. Fraktaaligeometrian synty liittyy yleensä Mandelbrotin kirjan "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature" -julkaisuun vuonna 1977. Hänen töissään käytettiin muiden samalla alalla vuosina 1875-1925 työskennelleiden tiedemiesten (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff) tieteellisiä tuloksia.

Säädöt

Saanen tehdä joitain muutoksia H.-O.:n kirjassa ehdottamiin algoritmeihin. Paytgen ja P.H. Richter "Fraktaalien kauneus" M. 1993, puhtaasti kirjoitusvirheiden poistamiseksi ja prosessien ymmärtämisen helpottamiseksi, koska niiden tutkimisen jälkeen minulle jäi paljon mysteeriksi. Valitettavasti nämä "ymmärrettävät" ja "yksinkertaiset" algoritmit johtavat rokkaavaan elämäntyyliin.

Fraktaalien rakentaminen perustuu monimutkaisen prosessin tiettyyn epälineaariseen funktioon, jonka takaisinkytkentä on z \u003d z 2 + c, koska z ja c ovat kompleksilukuja, sitten z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, se on välttämätöntä hajottaa se x:ksi ja y:ksi, jotta se muuttuisi todellisemmaksi tavallisen ihmisen tasolle:

x(k+1)=x(k)2-y(k)2+p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Tasoa, joka koostuu kaikista pareista (x, y), voidaan pitää kiinteillä arvoilla p ja q, sekä dynaamisille. Ensimmäisessä tapauksessa lajitellaan kaikki tason pisteet (x, y) lain mukaan ja värjätään ne riippuen iteratiivisesta prosessista poistumiseen tarvittavan toiminnon toistojen lukumäärästä tai värittämättä jättämisestä (musta), kun sallittu maksimi toistot lisääntyvät, saamme Julia-sarjan näytön. Jos päinvastoin määritämme alkuperäisen arvoparin (x, y) ja jäljitämme sen koloristisen kohtalon parametrien p ja q dynaamisesti muuttuvilla arvoilla, saamme kuvia, joita kutsutaan Mandelbrotin joukoiksi.

Kysymykseen fraktaaliväritysalgoritmeista.

Yleensä sarjan runko esitetään mustana kenttänä, vaikka on selvää, että musta väri voidaan korvata millä tahansa muulla, mutta tämä on myös epämiellyttävä tulos. Kuvan saaminen joukosta kaikilla väreillä on tehtävä, jota ei voida ratkaista syklisillä operaatioilla, koska joukon rungon muodostavien iteraatioiden lukumäärä on suurin mahdollinen ja aina sama. Joukko on mahdollista värittää eri väreillä käyttämällä värinumerona tai vastaavasti silmukasta poistumisehdon (z_magnitude) tarkistustulosta, mutta muilla matemaattisilla operaatioilla.

"Fraktaalimikroskoopin" käyttö

osoittamaan rajailmiöitä.

Houkuttajat ovat keskuksia, jotka johtavat taistelua dominanssista lentokoneessa. Attraktoreiden välissä on reuna, joka edustaa pyörrekuviota. Kasvattamalla harkinnan skaalaa joukon rajojen sisällä, voidaan saada ei-triviaaleja kuvioita, jotka heijastavat deterministisen kaaoksen tilaa - yleistä ilmiötä luonnossa.

Maantieteilijöiden tutkimat kohteet muodostavat järjestelmän, jossa on hyvin monimutkaisesti organisoituja rajoja, joiden yhteydessä niiden toteuttamisesta tulee vaikea käytännön tehtävä. Luonnollisissa komplekseissa on tyypillisiä ytimiä, jotka toimivat houkuttelijoina, jotka menettävät vaikutusvoimansa alueella sen siirtyessä pois.

Mandelbrot- ja Julia-sarjojen fraktaalimikroskoopilla voidaan muodostaa käsitys rajaprosesseista ja -ilmiöistä, jotka ovat yhtä monimutkaisia ​​pohdinnan laajuudesta riippumatta ja siten valmistaa asiantuntijan käsitystä tapaamiseen dynaamisen ja näennäisen kaoottisen kanssa. avaruudessa ja ajassa luonnonobjekti, ymmärtämään fraktaaligeometrian luontoa. Moniväriset värit ja fraktaalimusiikki jättävät varmasti syvän jäljen opiskelijoiden mieliin.

Fraktaaleille on omistettu tuhansia julkaisuja ja valtavat Internet-resurssit, mutta monille tietojenkäsittelytieteen kaukana oleville asiantuntijoille tämä termi näyttää täysin uudelta. Fraktaalien, jotka kiinnostavat eri tietoalojen asiantuntijoita, tulisi saada oikea paikka tietojenkäsittelytieteen kurssilla.

Esimerkkejä

SIERPINSKI VERKKO

Tämä on yksi niistä fraktaaleista, joita Mandelbrot kokeili kehittäessään fraktaalimittojen ja iteraatioiden käsitteitä. Kolmiot, jotka on muodostettu yhdistämällä suuremman kolmion keskipisteet, leikataan pääkolmiosta kolmioksi, jossa on enemmän reikiä. Tässä tapauksessa initiaattori on suuri kolmio ja malli on toimenpide, jolla leikataan samanlaisia ​​kolmioita kuin suurempi. Voit saada kolmiosta myös 3D-version käyttämällä tavallista tetraedria ja leikkaamalla pienempiä tetraedreita. Tällaisen fraktaalin koko on ln3/ln2 = 1,584962501. Saada haltuunsa Sierpinski matto, ota neliö, jaa se yhdeksään ruutuun ja leikkaa keskimmäinen. Teemme samoin muiden, pienempien neliöiden kanssa. Lopulta muodostuu litteä fraktaaliverkko, jolla ei ole pinta-alaa, mutta jossa on äärettömät yhteydet. Sierpinskin sieni muuttuu tilamuodossaan läpivientimuotojen järjestelmäksi, jossa jokainen läpivientielementti vaihtuu jatkuvasti omalla tavallaan. Tämä rakenne on hyvin samanlainen kuin luukudoksen osa. Jonakin päivänä sellaisista toistuvista rakenteista tulee osa rakennusrakenteita. Mandelbrot uskoo, että niiden statiikka ja dynamiikka ansaitsevat läheisen tutkimuksen.

KOCH KÄYRÄ

Koch-käyrä on yksi tyypillisimpiä deterministisiä fraktaaleja. Sen keksi 1800-luvulla saksalainen matemaatikko Helge von Koch, joka tutkiessaan Georg Kontorin ja Karl Weierstraßen töitä löysi kuvauksia joistakin outoista käyristä, joilla oli epätavallinen käyttäytyminen. Aloittaja - suora linja. Generaattori on tasasivuinen kolmio, jonka sivut ovat yhtä kuin kolmasosa suuremman segmentin pituudesta. Nämä kolmiot lisätään jokaisen segmentin keskelle yhä uudelleen ja uudelleen. Mandelbrot kokeili tutkimuksessaan paljon Kochin käyriä ja sai lukuja, kuten Kochin saaret, Koch Crosses, Koch Snowflakes ja jopa kolmiulotteisia esityksiä Koch-käyrästä käyttämällä tetraedria ja lisäämällä pienempiä tetraedria jokaiseen sen pintaan. Koch-käyrän mitat ovat ln4/ln3 = 1,261859507.

Fraktaali Mandelbrot

Tämä EI ole se Mandelbrot-sarja, jota näet melko usein. Mandelbrotin joukko perustuu epälineaarisiin yhtälöihin ja on monimutkainen fraktaali. Tämä on myös muunnelma Kochin käyrästä huolimatta siitä, että tämä kohde ei näytä siltä. Aloittaja ja generaattori eroavat myös niistä, joita käytetään fraktaalien luomiseen Koch-käyrän periaatteella, mutta idea pysyy samana. Sen sijaan, että tasasivuisia kolmioita kiinnitettäisiin käyrän segmenttiin, neliöt liitetään neliöön. Koska tämä fraktaali vie jokaisessa iteraatiossa tarkalleen puolet varatusta tilasta, sen yksinkertainen fraktaalimitta on 3/2 = 1,5.

DARER'S PENTAGON

Fraktaali näyttää joukolta viisikulmioita, jotka on puristettu yhteen. Itse asiassa se muodostetaan käyttämällä viisikulmiota initiaattorina ja tasakylkisiä kolmioita, joiden suurimman sivun suhde pienimpään on täsmälleen yhtä suuri kuin ns kultainen suhde (1,618033989 tai 1/(2cos72)) generaattorina. . Nämä kolmiot leikataan jokaisen viisikulmion keskeltä, jolloin tuloksena on muoto, joka näyttää viideltä pieneltä viisikulmiolta, jotka on liimattu yhteen suureen. Tämän fraktaalin muunnos voidaan saada käyttämällä kuusikulmiota initiaattorina. Tätä fraktaalia kutsutaan Davidin tähdeksi ja se on melko samanlainen kuin Kochin lumihiutaleen kuusikulmainen versio. Darerin viisikulmion fraktaalimitta on ln6/ln(1+g), missä g on kolmion suuremman sivun pituuden suhde pienemmän sivun pituuteen. Tässä tapauksessa g on kultainen suhde, joten fraktaalimitta on noin 1,86171596. Daavidin tähden fraktaalimitta on ln6/ln3 tai 1,630929754.

Monimutkaiset fraktaalit

Itse asiassa, jos lähennät minkä tahansa monimutkaisen fraktaalin pienelle alueelle ja teet sitten saman tämän alueen pienelle alueelle, nämä kaksi suurennusta eroavat merkittävästi toisistaan. Nämä kaksi kuvaa ovat yksityiskohdiltaan hyvin samankaltaisia, mutta ne eivät ole täysin identtisiä.

Kuva 1. Mandelbrot-joukon likiarvo

Vertaa esimerkiksi tässä esitettyjä kuvia Mandelbrot-sarjasta, joista toinen on saatu suurentamalla toisen pinta-alaa. Kuten näette, ne eivät todellakaan ole identtisiä, vaikka molemmissa näemme mustan ympyrän, josta liekittävät lonkerot kulkevat eri suuntiin. Nämä elementit toistuvat loputtomasti Mandelbrotin joukossa pienentyvässä suhteessa.

Deterministiset fraktaalit ovat lineaarisia, kun taas kompleksiset fraktaalit eivät ole. Koska nämä fraktaalit ovat epälineaarisia, ne syntyvät Mandelbrotin kutsumilla epälineaarisilla algebrallisilla yhtälöillä. Hyvä esimerkki on prosessi Zn+1=ZnІ + C, joka on yhtälö, jolla muodostetaan toisen asteen Mandelbrotin ja Julian joukot. Näiden matemaattisten yhtälöiden ratkaisemiseen liittyy kompleksi- ja imaginaarilukuja. Kun yhtälö tulkitaan graafisesti kompleksitasossa, tuloksena on outo kuvio, jossa suorat viivat muuttuvat käyriksi, itsesamankaltaisuusilmiöitä esiintyy eri mittakaavatasoilla, tosin ei ilman muodonmuutoksia. Samalla koko kuva kokonaisuutena on arvaamaton ja hyvin kaoottinen.

Kuten kuvista näet, monimutkaiset fraktaalit ovat todellakin hyvin monimutkaisia ​​ja niitä on mahdotonta luoda ilman tietokoneen apua. Värikkäiden tulosten saamiseksi tässä tietokoneessa on oltava tehokas matemaattinen apuprosessori ja korkearesoluutioinen näyttö. Toisin kuin deterministiset fraktaalit, kompleksisia fraktaaleja ei lasketa 5-10 iteraatiossa. Lähes jokainen piste tietokoneen näytöllä on kuin erillinen fraktaali. Matemaattisen käsittelyn aikana jokaista pistettä käsitellään erillisenä kuviona. Jokainen piste vastaa tiettyä arvoa. Yhtälö on sisäänrakennettu jokaiselle pisteelle ja suoritetaan esimerkiksi 1000 iteraatiota. Suhteellisen vääristymättömän kuvan saamiseksi kotitietokoneille hyväksyttävällä aikavälillä on mahdollista suorittaa 250 iteraatiota yhdelle pisteelle.

Suurin osa tänään näkemistämme fraktaaleista on kauniin värisiä. Ehkä fraktaalikuvat ovat saaneet niin suuren esteettisen arvon juuri niiden värimaailman ansiosta. Kun yhtälö on laskettu, tietokone analysoi tulokset. Jos tulokset pysyvät vakaina tai vaihtelevat tietyn arvon ympärillä, piste muuttuu yleensä mustaksi. Jos arvo jossakin vaiheessa pyrkii äärettömyyteen, piste maalataan eri värillä, ehkä sinisellä tai punaisella. Tämän prosessin aikana tietokone määrittää värit kaikille liikenopeuksille.

Yleensä nopeasti liikkuvat pisteet maalataan punaisiksi, hitaammat keltaisiksi ja niin edelleen. Tummat pisteet ovat luultavasti vakaimpia.

Monimutkaiset fraktaalit eroavat deterministisista fraktaaleista siinä, että ne ovat äärettömän monimutkaisia, mutta ne voidaan tuottaa hyvin yksinkertaisella kaavalla. Deterministiset fraktaalit eivät tarvitse kaavoja tai yhtälöitä. Ota vain piirustuspaperia ja voit rakentaa Sierpinski-seulan jopa 3 tai 4 iteraatioon ilman vaikeuksia. Yritä tehdä se monien Julian kanssa! On helpompi mennä mittaamaan Englannin rannikon pituutta!

MANDERBROT SETTI

Kuva 2. Mandelbrot-sarja

Mandelbrot- ja Julia-joukot ovat luultavasti kaksi yleisintä monimutkaisten fraktaalien joukossa. Niitä löytyy monista tieteellisistä aikakauslehdistä, kirjojen kansista, postikorteista ja tietokoneen näytönsäästäjistä. Benoit Mandelbrotin rakentama Mandelbrot-sarja on luultavasti ensimmäinen assosiaatio, joka ihmisillä on, kun he kuulevat sanan fraktaali. Tämä korttia muistuttava fraktaali, jossa on hehkuvia puu- ja ympyräalueita, generoidaan yksinkertaisella kaavalla Zn+1=Zna+C, jossa Z ja C ovat kompleksilukuja ja a on positiivinen luku.

Yleisimmin nähty Mandelbrot-joukko on 2. asteen Mandelbrot-joukko, eli a=2. Se, että Mandelbrot-joukko ei ole vain Zn+1=ZnІ+C, vaan fraktaali, jonka eksponentti kaavassa voi olla mikä tahansa positiivinen luku, johti monia ihmisiä harhaan. Tällä sivulla näet esimerkin Mandelbrot-joukosta eksponentin a eri arvoille.
Kuva 3. Kuplien esiintyminen kohdassa a = 3,5

Prosessi Z=Z*tg(Z+C) on myös suosittu. Tangenttifunktion sisällyttämisen ansiosta saadaan Mandelbrot-sarja, jota ympäröi omenaa muistuttava alue. Käytettäessä kosinifunktiota saadaan ilmakuplaefektejä. Lyhyesti sanottuna Mandelbrot-sarjaa voi säätää lukemattomilla tavoilla tuottamaan erilaisia ​​kauniita kuvia.

USEITA JULIA

Yllättäen Julia-joukot muodostetaan saman kaavan mukaan kuin Mandelbrot-joukko. Julia-sarjan keksi ranskalainen matemaatikko Gaston Julia, jonka mukaan sarja on nimetty. Ensimmäinen kysymys, joka herää visuaalisen tutustumisen jälkeen Mandelbrotin ja Julian joukkoihin, on "jos molemmat fraktaalit generoidaan samalla kaavalla, miksi ne ovat niin erilaisia?" Katso ensin kuvat Julia-setistä. Kummallista kyllä, Julia-sarjoja on erilaisia. Kun piirretään fraktaalia käyttämällä erilaisia ​​lähtökohtia (itterointiprosessin aloittamiseksi), syntyy erilaisia ​​kuvia. Tämä koskee vain Julia-sarjaa.

Kuva 4. Julia-sarja

Vaikka sitä ei näy kuvassa, Mandelbrot-fraktaali on itse asiassa joukko Julia-fraktaaleja, jotka on yhdistetty toisiinsa. Jokainen Mandelbrot-joukon piste (tai koordinaatti) vastaa Julia-fraktaaleja. Julia-joukot voidaan muodostaa käyttämällä näitä pisteitä alkuarvoina yhtälössä Z=ZI+C. Mutta tämä ei tarkoita, että jos valitset pisteen Mandelbrot-fraktaalista ja lisäät sitä, voit saada Julia-fraktaalin. Nämä kaksi pistettä ovat identtisiä, mutta vain matemaattisessa mielessä. Jos otamme tämän pisteen ja laskemme sen tämän kaavan mukaan, voimme saada Julia-fraktaalin, joka vastaa tiettyä Mandelbrot-fraktaalin pistettä.

fraktaali

Fraktaali (lat. fractus- murskattu, rikki, rikki) - geometrinen kuvio, jolla on samankaltaisuuden ominaisuus, eli se koostuu useista osista, joista jokainen on samanlainen kuin koko kuvio kokonaisuudessaan. Matematiikassa fraktaalit ymmärretään joukkoina euklidisessa avaruudessa olevat pisteet, joilla on murtoluku (Minkowskin tai Hausdorffin merkityksessä) tai jokin muu kuin topologinen metrimitta. Fraktasmi on itsenäinen eksaktti tiede, joka tutkii ja kokoaa fraktaaleja.

Toisin sanoen fraktaalit ovat geometrisia esineitä, joilla on murto-osa. Esimerkiksi viivan ulottuvuus on 1, pinta-ala on 2 ja tilavuus 3. Fraktaalin ulottuvuuden arvo voi olla välillä 1 - 2 tai välillä 2 - 3. Esimerkiksi rypistyneen fraktaalimitta paperipallo on noin 2,5. Matematiikassa on erityinen monimutkainen kaava fraktaalien ulottuvuuden laskemiseen. Henkitorven putket, puiden lehdet, käsivarren suonet, joki ovat fraktaaleja. Yksinkertaisesti sanottuna fraktaali on geometrinen hahmo, jonka tietty osa toistetaan yhä uudelleen ja uudelleen koon muuttuessa - tämä on itsensä samankaltaisuuden periaate. Fraktaalit ovat samankaltaisia ​​itsensä kanssa, ne ovat samankaltaisia ​​itsensä kanssa kaikilla tasoilla (eli missä tahansa mittakaavassa). Fraktaaleja on monia erilaisia. Periaatteessa voidaan väittää, että kaikki todellisessa maailmassa oleva on fraktaalia, olipa kyseessä sitten pilvi tai happimolekyyli.

Sana "kaaos" viittaa johonkin arvaamattomaan, mutta itse asiassa kaaos on melko järjestynyt ja noudattaa tiettyjä lakeja. Kaaoksen ja fraktaalien tutkimisen tarkoituksena on ennustaa kuvioita, jotka voivat ensi silmäyksellä tuntua arvaamattomilta ja täysin kaoottisilta.

Tämän tiedon alan edelläkävijä oli ranskalais-amerikkalainen matemaatikko, professori Benoit B. Mandelbrot. 1960-luvun puolivälissä hän kehitti fraktaaligeometriaa, jonka tarkoituksena oli analysoida rikkoutuneita, ryppyisiä ja sumeita muotoja. Mandelbrot-joukko (näkyy kuvassa) on ensimmäinen assosiaatio, joka ihmisellä on, kun hän kuulee sanan "fraktaali". Muuten, Mandelbrot määritti, että Englannin rannikon fraktaalimitta on 1,25.

Fraktaaleja käytetään yhä enemmän tieteessä. Ne kuvaavat todellista maailmaa jopa paremmin kuin perinteinen fysiikka tai matematiikka. Brownin liike on esimerkiksi veteen suspendoituneiden pölyhiukkasten satunnaista ja kaoottista liikettä. Tämän tyyppinen liike on ehkä käytännöllisin osa fraktaaligeometriaa. Satunnaisella Brownin liikkeellä on taajuusvaste, jonka avulla voidaan ennustaa suuria tieto- ja tilastomääriä sisältäviä ilmiöitä. Esimerkiksi Mandelbrot ennusti villan hinnan muutoksia Brownin liikkeellä.

Sanaa "fraktaali" voidaan käyttää paitsi matemaattisena terminä. Fraktaaleja lehdistössä ja populaaritieteellisessä kirjallisuudessa voidaan kutsua hahmoiksi, joilla on jokin seuraavista ominaisuuksista:

Sillä on ei-triviaali rakenne kaikilla mittakaavoilla. Tämä on ero säännöllisistä kuvioista (kuten ympyrä, ellipsi, sileän funktion kaavio): jos tarkastelemme pientä säännöllisen kuvion fragmenttia erittäin suuressa mittakaavassa, se näyttää suoran viivan fragmentilta. . Fraktaalin kohdalla zoomaus ei johda rakenteen yksinkertaistamiseen, kaikissa mittakaavassa näemme yhtä monimutkaisen kuvan.

Se on itsensäkaltainen tai suunnilleen itsensäkaltainen.

Sillä on murto-osallinen metrimitta tai metrimitta, joka on parempi kuin topologinen.

Fraktaalien hyödyllisin käyttö laskennassa on fraktaalitietojen pakkaus. Samalla kuvat pakataan paljon paremmin kuin perinteisillä menetelmillä - jopa 600:1. Toinen fraktaalipakkauksen etu on, että kun zoomaa, ei esiinny pikselöitymisilmiötä, joka huonontaa kuvaa huomattavasti. Lisäksi fraktaalisesti pakattu kuva näyttää suurennuksen jälkeen usein jopa paremmalta kuin ennen. Tietojenkäsittelytieteilijät tietävät myös, että äärettömän monimutkaisia ​​ja kauniita fraktaaleja voidaan luoda yksinkertaisilla kaavoilla. Elokuvateollisuus käyttää laajasti fraktaaligrafiikkateknologiaa luodakseen realistisia maisemaelementtejä (pilviä, kiviä ja varjoja).

Virtojen turbulenssin tutkimus sopeutuu erittäin hyvin fraktaaleihin. Tämä mahdollistaa monimutkaisten virtojen dynamiikan paremman ymmärtämisen. Liekkiä voidaan mallintaa myös fraktaalien avulla. Huokoiset materiaalit ovat hyvin edustettuina fraktaalimuodossa, koska niillä on hyvin monimutkainen geometria. Tietojen siirtämiseen etäisyyksillä käytetään fraktaalimuotoisia antenneja, mikä vähentää huomattavasti niiden kokoa ja painoa. Fraktaaleja käytetään kuvaamaan pintojen kaarevuutta. Epätasaiselle pinnalle on ominaista kahden erilaisen fraktaalin yhdistelmä.

Monilla luonnon esineillä on fraktaaliominaisuuksia, kuten rannikot, pilvet, puiden latvut, lumihiutaleet, verenkiertoelimistö ja ihmisten tai eläinten keuhkorakkulaatio.

Fraktaalit, erityisesti lentokoneissa, ovat suosittuja niiden kauneuden ja tietokoneen kanssa rakentamisen helppouden yhdistelmästä.

Ensimmäiset esimerkit samankaltaisista sarjoista, joilla on epätavallisia ominaisuuksia, ilmestyivät 1800-luvulla (esimerkiksi Bolzano-funktio, Weierstrass-funktio, Cantor-sarja). Benoit Mandelbrot esitteli termin "fraktaali" vuonna 1975, ja se saavutti laajan suosion julkaisemalla kirjansa "The Fractal Geometry of Nature" vuonna 1977.

Vasemmalla olevassa kuvassa on yksinkertaisena esimerkkinä Darer Pentagon -fraktaali, joka näyttää joukolta yhteen puristettuja viisikulmioita. Itse asiassa se muodostetaan käyttämällä viisikulmiota initiaattorina ja tasakylkisiä kolmioita, joiden suurimman sivun suhde pienimpään on täsmälleen yhtä suuri kuin ns. kultainen leveys (1,618033989 tai 1/(2cos72°)). generaattori. Nämä kolmiot leikataan jokaisen viisikulmion keskeltä, jolloin tuloksena on muoto, joka näyttää viideltä pieneltä viisikulmiolta, jotka on liimattu yhteen suureen.

Kaaosteoria sanoo, että monimutkaiset epälineaariset järjestelmät ovat perinnöllisesti arvaamattomia, mutta samalla se väittää, että tapa ilmaista tällaisten arvaamattomien järjestelmien osoittautuu oikeaksi ei täsmällisissä yhtälöissä, vaan esityksissä järjestelmän käyttäytymisestä - outojen attraktoreiden kuvaajissa, jotka näyttävät fraktaalilta. Siten kaaosteoria, jota monet pitävät ennustamattomuudena, osoittautuu ennustettavuuden tieteeksi jopa kaikkein epävakaimmissa järjestelmissä. Dynaamisten järjestelmien oppi osoittaa, että yksinkertaiset yhtälöt voivat synnyttää sellaista kaoottista käyttäytymistä, jossa järjestelmä ei koskaan palaa vakaaseen tilaan ja säännönmukaisuutta ei esiinny samaan aikaan. Usein tällaiset järjestelmät käyttäytyvät aivan normaalisti tiettyyn avainparametrin arvoon asti, sitten kokevat siirtymän, jossa on kaksi kehitysmahdollisuutta, sitten neljä ja lopuksi kaoottinen joukko mahdollisuuksia.

Teknisissä kohteissa esiintyvien prosessien kaavioilla on selkeästi määritelty fraktaalirakenne. Teknisen vähimmäisjärjestelmän (TS) rakenne edellyttää kahdentyyppisten prosessien - pää- ja tukiprosessien - virtausta TS:n sisällä, ja tämä jako on ehdollinen ja suhteellinen. Mikä tahansa prosessi voi olla pääasiallinen suhteessa tukeviin prosesseihin, ja mitä tahansa tukiprosesseja voidaan pitää pääprosesseina suhteessa "omiin" tukiprosesseihinsa. Kaavion ympyrät osoittavat fysikaalisia vaikutuksia, jotka varmistavat niiden prosessien sujuvuuden, joita varten ei ole tarpeen luoda "omaa" TS:ää. Nämä prosessit ovat seurausta aineiden, kenttien, aineiden ja kenttien välisestä vuorovaikutuksesta. Tarkemmin sanottuna fyysinen vaikutus on ajoneuvo, jonka periaatteeseen emme voi vaikuttaa, emmekä halua tai meillä ei ole mahdollisuutta puuttua sen rakenteeseen.

Kaaviossa esitetyn pääprosessin sujuvuus varmistetaan kolmen tukiprosessin olemassaololla, jotka ovat tärkeimmät niitä luoville TS:lle. Oikeudenmukaisuuden vuoksi huomautamme, että edes minimaalisen TS:n toimivuuteen kolme prosessia ei selvästikään riitä, ts. järjestelmä on hyvin, hyvin liioiteltu.

Kaikki ei ole niin yksinkertaista kuin kaaviossa näkyy. Hyödyllistä (henkilölle tarpeellista) prosessia ei voida suorittaa 100 %:n tehokkuudella. Haihtunut energia käytetään haitallisten prosessien luomiseen - lämmitys, tärinä jne. Tämän seurauksena hyödyllisen prosessin rinnalla syntyy haitallisia. Aina ei ole mahdollista korvata "huonoa" prosessia "hyvällä", joten on järjestettävä uusia prosesseja kompensoimaan järjestelmälle haitallisia seurauksia. Tyypillinen esimerkki on tarve torjua kitkaa, joka pakottaa järjestämään nerokkaita voitelusuunnitelmia, käyttämään kalliita kitkanestomateriaaleja tai viettämään aikaa komponenttien ja osien voitelemiseen tai säännöllisiin vaihtoihin.

Muuttuvan ympäristön väistämättömän vaikutuksen olemassaolon yhteydessä voi olla tarpeen ohjata hyödyllistä prosessia. Hallinta voidaan suorittaa sekä automaattisten laitteiden avulla että suoraan henkilön toimesta. Prosessikaavio on itse asiassa joukko erikoiskomentoja, ts. algoritmi. Jokaisen komennon olemus (kuvaus) on yhdistelmä yksittäistä hyödyllistä prosessia, siihen liittyviä haitallisia prosesseja ja joukko tarvittavia ohjausprosesseja. Tällaisessa algoritmissa tukiprosessien joukko on tavallinen aliohjelma - ja täältä löytyy myös fraktaali. Neljännesvuosisata sitten luotu R. Kollerin menetelmä mahdollistaa järjestelmien luomisen, joissa on melko rajoitettu joukko vain 12 funktioparia (prosessia).

Itsensäkaltaiset joukot, joilla on epätavallisia ominaisuuksia matematiikassa

1800-luvun lopusta lähtien matematiikassa ilmaantui esimerkkejä klassisen analyysin kannalta patologisista ominaisuuksista omaavista itsestään samankaltaisista esineistä. Näitä ovat seuraavat:

Cantor-sarja on tiheä, lukematon täydellinen sarja. Proseduuria muuttamalla voidaan saada myös positiivisen pituuden tiheä joukko.

Sierpinskin kolmio ("pöytäliina") ja Sierpinski-matto ovat analogeja koneeseen asetetulle Cantorille.

Mengerin sieni - analogi Cantorista, joka on asetettu kolmiulotteiseen avaruuteen;

Weierstrassin ja van der Waerdenin esimerkkejä jatkuvasta funktiosta, joka ei erotu missään.

Koch-käyrä - ei-itseleikkaava jatkuva käyrä, jonka pituus on ääretön ja jolla ei ole tangenttia missään pisteessä;

Peano-käyrä on jatkuva käyrä, joka kulkee neliön kaikkien pisteiden läpi.

Brownin hiukkasen liikerata ei myöskään ole missään erotettavissa todennäköisyydellä 1. Sen Hausdorff-ulottuvuus on kaksi

Rekursiivinen menetelmä fraktaalikäyrien saamiseksi

Kochin käyrän rakentaminen

On olemassa yksinkertainen rekursiivinen menetelmä fraktaalikäyrien saamiseksi tasossa. Määrittelemme mielivaltaisen katkoviivan, jossa on äärellinen määrä linkkejä, jota kutsutaan generaattoriksi. Seuraavaksi korvaamme jokaisen siinä olevan segmentin generaattorilla (tarkemmin sanottuna generaattorin kaltaisella katkoviivalla). Tuloksena olevassa katkoviivassa korvaamme jokaisen segmentin jälleen generaattorilla. Jatketaan äärettömään, rajassa saadaan fraktaalikäyrä. Oikeanpuoleinen kuva esittää tämän menettelyn neljä ensimmäistä vaihetta Koch-käyrällä.

Esimerkkejä tällaisista käyristä ovat:

lohikäärmekäyrä,

Kochin käyrä (Kochin lumihiutale),

Levy Curve,

minkowskin käyrä,

Hilbert Curve,

Rikkoutunut (käyrä) lohikäärme (Fractal Harter-Hateway),

Peano käyrä.

Käyttämällä samanlaista menettelyä saadaan Pythagoraan puu.

Fraktaalit kiinteinä supistumispisteinä

Itsesamankaltaisuusominaisuus voidaan ilmaista matemaattisesti tarkasti seuraavasti. Antaa olla tason supistumiskartat. Harkitse seuraavaa kuvausta tason kaikkien kompaktien (suljettujen ja rajattujen) osajoukkojen joukossa:

Voidaan osoittaa, että kartoitus on Hausdorffin metriikan kompaktien joukkojen tiivistyskuvaus. Siksi Banachin lauseen mukaan tällä kuvauksella on ainutlaatuinen kiinteä piste. Tämä kiinteä piste on fraktaalimme.

Yllä kuvattu rekursiivinen menetelmä fraktaalikäyrien saamiseksi on tämän konstruktion erikoistapaus. Siinä kaikki kartoitukset ovat samankaltaisuuskartoituksia, ja se on generaattorilinkkien lukumäärä.

Sillä Sierpinskin kolmio ja kartoitus , ovat homoteetteja, joiden keskipisteet ovat säännöllisen kolmion kärjessä ja kerroin 1/2. On helppo nähdä, että Sierpinskin kolmio muuttuu kartoituksen alla itsestään.

Siinä tapauksessa, että kuvaukset ovat samankaltaisuusmuunnoksia kertoimilla , fraktaalin ulottuvuus (joissain teknisissä lisäehdoissa) voidaan laskea ratkaisuksi yhtälöön . Joten Sierpinskin kolmiolle saamme .

Saman Banach-lauseen mukaan, alkaen mistä tahansa kompaktista joukosta ja soveltamalla siihen kuvauksen iteraatioita, saadaan sarja kompakteja joukkoja, jotka konvergoivat (Hausdorffin metriikan merkityksessä) fraktaaliimme.

Fraktaaleja monimutkaisessa dynamiikassa

Julia setti

Toinen sarja Juliaa

Fraktaaleja syntyy luonnollisesti epälineaaristen dynaamisten järjestelmien tutkimuksessa. Tutkituin tapaus on, kun dynaaminen järjestelmä määritellään tasossa olevan kompleksisen muuttujan polynomin tai holomorfisen funktion iteraatioilla. Ensimmäiset tutkimukset tällä alueella ovat peräisin 1900-luvun alusta, ja ne liittyvät Fatoun ja Julian nimiin.

Anna olla F(z) - polynomi, z 0 on kompleksiluku. Harkitse seuraavaa järjestystä: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Olemme kiinnostuneita tämän sekvenssin käyttäytymisestä, kuten meillä on tapana näärettömään. Tämä sekvenssi voi:

pyrkiä äärettömyyteen

pyrkiä äärimmäiseen

osoittavat syklistä käyttäytymistä rajassa, esimerkiksi: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

käyttäytyä kaoottisesti, toisin sanoen olla osoittamatta mitään mainituista kolmesta käyttäytymistyypistä.

Arvojoukot z 0 , jolle sekvenssi osoittaa tietyntyyppistä käyttäytymistä, samoin kuin bifurkaatiopisteiden joukot eri tyyppien välillä, ovat usein fraktaaliominaisuuksia.

Siten Julia-joukko on polynomin bifurkaatiopisteiden joukko F(z)=z 2 +c(tai muu vastaava funktio), eli ne arvot z 0 , jolle sekvenssin käyttäytyminen ( z n) voi muuttua dramaattisesti mielivaltaisilla pienillä muutoksilla z 0 .

Toinen vaihtoehto fraktaalijoukkojen saamiseksi on lisätä parametri polynomiin F(z) ja ottaen huomioon niiden parametriarvojen joukon, joille sarja ( z n) osoittaa tietyn käyttäytymisen kiinteälle z 0 . Siten Mandelbrot-joukko on joukko kaikista, joille ( z n) varten F(z)=z 2 +c ja z 0 ei mene äärettömään.

Toinen tunnettu esimerkki tällaisesta on Newtonin altaat.

On suosittua luoda kauniita, monimutkaiseen dynamiikkaan perustuvia graafisia kuvia värittämällä tasopisteitä vastaavien dynaamisten järjestelmien käyttäytymisestä riippuen. Esimerkiksi täydentääksesi Mandelbrot-joukkoa voit värittää pisteitä pyrkimisnopeuden mukaan ( z n) äärettömään (määritetty esimerkiksi pienimmäksi numeroksi n, missä | z n| ylittää kiinteän suuren arvon A.

Biomorfit ovat fraktaaleja, jotka on rakennettu monimutkaisen dynamiikan pohjalta ja muistuttavat eläviä organismeja.

Stokastiset fraktaalit

Satunnaistettu fraktaali perustuu Julia-sarjaan

Luonnon esineillä on usein fraktaalimuoto. Niiden mallintamiseen voidaan käyttää stokastisia (satunnaisia) fraktaaleja. Esimerkkejä stokastisista fraktaaleista:

Brownin liikkeen lentorata tasossa ja avaruudessa;

Brownin liikkeen lentoradan raja tasossa. Vuonna 2001 Lawler, Schramm ja Werner osoittivat Mandelbrotin oletuksen, että sen ulottuvuus on 4/3.

Schramm-Löwner-evoluutiot ovat konformisesti invariantteja fraktaalikäyriä, jotka syntyvät tilastollisen mekaniikan kriittisissä kaksiulotteisissa malleissa, esimerkiksi Ising-mallissa ja perkolaatiossa.

erilaisia ​​satunnaistettuja fraktaaleja, eli fraktaaleja, jotka on saatu rekursiivisella menettelyllä, jossa jokaisessa vaiheessa otetaan käyttöön satunnaisparametri. Plasma on esimerkki tällaisen fraktaalin käytöstä tietokonegrafiikassa.

Luonnossa

Etunäkymä henkitorvesta ja keuhkoputkista

keuhkoputken puu

verisuonten verkosto

Sovellus

Luonnontieteet

Fraktaaleja syntyy luonnostaan ​​fysiikassa mallinnettaessa epälineaarisia prosesseja, kuten turbulenttia nestevirtausta, monimutkaisia ​​diffuusio-adsorptioprosesseja, liekkejä, pilviä jne. Fraktaaleja käytetään mallinnettaessa huokoisia materiaaleja esimerkiksi petrokemiassa. Biologiassa niitä käytetään populaatioiden mallintamiseen ja sisäelinten järjestelmien kuvaamiseen (verisuonijärjestelmä).

Radiotekniikka

fraktaaliantennit

Fraktaaligeometrian käyttöä antennilaitteiden suunnittelussa käytti ensimmäisenä amerikkalainen insinööri Nathan Cohen, joka asui tuolloin Bostonin keskustassa, missä ulkoisten antennien asentaminen rakennuksiin oli kielletty. Nathan leikkasi alumiinifoliosta Koch-käyrän muodossa olevan hahmon, liimaa sen paperiarkille ja kiinnitti sen sitten vastaanottimeen. Cohen perusti oman yrityksen ja aloitti niiden sarjatuotannon.

Informatiikka

Kuvan pakkaus

Pääartikkeli: Fractal Compression Algorithm

fraktaalipuu

Fraktaaleja käyttäviä kuvanpakkausalgoritmeja on olemassa. Ne perustuvat ajatukseen, että itse kuvan sijaan voit tallentaa supistumiskartan, jolle tämä kuva (tai jokin sen lähellä oleva) on kiinteä piste. Yksi tämän algoritmin muunnelmista käytettiin [ lähde määrittelemätön 895 päivää] Microsoft julkaiseessaan tietosanakirjaansa, mutta näitä algoritmeja ei käytetty laajalti.

Tietokonegrafiikka

Toinen fraktaalipuu

Fraktaaleja käytetään laajalti tietokonegrafiikassa luomaan kuvia luonnollisista kohteista, kuten puista, pensaista, vuoristomaisemista, merenpinnoista ja niin edelleen. Fraktaalikuvien luomiseen käytetään monia ohjelmia, katso Fractal Generator (ohjelma).

hajautetut verkot

Netsukukun IP-osoitteenantojärjestelmä käyttää fraktaalitiedon pakkaamisen periaatetta tiedon tallentamiseen tiiviisti verkon solmuista. Jokainen Netsukuku-verkon solmu tallentaa vain 4 kilotavua tietoa naapurisolmujen tilasta, kun taas kaikki uudet solmut muodostavat yhteyden yleiseen verkkoon ilman, että tarvitaan IP-osoitteiden jakelun keskitettyä säätelyä, mikä on tyypillistä esim. Internet. Näin ollen fraktaalitiedon pakkaamisen periaate takaa täysin hajautetun ja siten koko verkon vakaimman toiminnan.