Venäläinen filologi Dmitri Nikolajevitš Ushakov antaa selittävässä sanakirjassaan sellaisen määritelmän "menetelmän" käsitteelle - tapa, menetelmä, menetelmä teoreettiseen tutkimukseen tai jonkin käytännön toteuttamiseen (D. N. Ushakov, 2000).

Mitä menetelmiä opetetaan ratkaisemaan matematiikan ongelmia, joita pidämme tällä hetkellä epästandardeina? Valitettavasti kukaan ei ole keksinyt universaalia reseptiä näiden tehtävien ainutlaatuisuuden vuoksi. Jotkut opettajat harjoittelevat malliharjoituksia. Tämä tapahtuu seuraavasti: opettaja näyttää tavan ratkaista, ja sitten opiskelija toistaa tämän tehdessään useita kertoja. Samaan aikaan opiskelijoiden kiinnostus matematiikkaa kohtaan tapetaan, mikä on ainakin surullista.

Matematiikassa ei ole yleisiä sääntöjä, jotka mahdollistaisivat minkä tahansa epätyypillisen ongelman ratkaisemisen, koska tällaiset ongelmat ovat jossain määrin ainutlaatuisia. Epätyypillinen tehtävä nähdään useimmissa tapauksissa "haasteena älylle, ja se synnyttää tarpeen oivaltaa itseään esteiden voittamisessa, kehittämisessä luovuus» .

Harkitse useita menetelmiä epätyypillisten ongelmien ratkaisemiseksi:

• · algebrallinen;
• · aritmetiikka;
• laskentamenetelmä;
• päättelymenetelmä;
• käytännöllinen;
• arvausmenetelmä.

Algebrallinen menetelmä ongelmanratkaisu kehittää luovia kykyjä, yleistyskykyä, muodostaa abstraktia ajattelua ja sillä on sellaisia ​​etuja kuin kirjoittamisen ja päättelyn lyhyys yhtälöitä laadittaessa, säästää aikaa.

Ongelman ratkaisemiseksi algebrallisella menetelmällä on välttämätöntä:

• · analysoida ongelmaa tärkeimmän tuntemattoman valitsemiseksi ja tunnistaa suureiden välinen suhde sekä näiden riippuvuuksien ilmaisu matemaattisella kielellä kahden algebrallisen lausekkeen muodossa;
• löydä perusteet näiden lausekkeiden yhdistämiselle merkillä "=" ja tee yhtälö;
• löytää ratkaisuja tuloksena olevaan yhtälöön, järjestää yhtälön ratkaisun tarkistus.

Kaikki nämä ongelmanratkaisun vaiheet liittyvät loogisesti toisiinsa. Mainitsemme esimerkiksi perustan etsimisen kahden yhtäläisyysmerkillä varustetun algebrallisen lausekkeen yhdistämiselle erityisvaiheena, mutta on selvää, että edellisessä vaiheessa näitä lausekkeita ei muodosteta mielivaltaisesti, vaan ottaen huomioon niiden yhdistämismahdollisuus. "="-merkillä.

Sekä määrien välisten riippuvuuksien tunnistaminen että näiden riippuvuuksien muuntaminen matemaattiselle kielelle vaativat intensiivistä analyyttistä ja synteettistä henkistä toimintaa. Tässä toiminnassa menestyminen riippuu erityisesti siitä, tietävätkö opiskelijat, mitä suhteita näillä suureilla yleensä voi olla ja ymmärtävätkö he näiden suhteiden todellisen merkityksen (esimerkiksi suhteet, jotka ilmaistaan ​​termeillä "myöhemmin ...", " vanhempi ... kertaa" jne.). Edelleen tarvitaan ymmärrystä siitä, millaista matemaattista toimintaa tai toiminnan ominaisuutta tai millaista yhteyttä (riippuvuutta) komponenttien ja toiminnan tuloksen välillä tämä tai tuo tietty suhde voidaan kuvata.

Otetaan esimerkki epästandardin ongelman ratkaisemisesta algebrallisella menetelmällä.

Tehtävä. Kalastaja sai kalan. Kun häneltä kysyttiin: "Mikä on sen massa?", hän vastasi: "Hännän massa on 1 kg, pään massa on sama kuin hännän ja puolet kehosta. Ja kehon massa on sama kuin pään ja hännän massa yhdessä. Mikä on kalan massa?

Olkoon x kg kappaleen massa; silloin (1+1/2x) kg on pään massa. Koska kehon massa on ehdon mukaan yhtä suuri kuin pään ja hännän massojen summa, muodostamme ja ratkaisemme yhtälön:

x = 1 + 1/2x + 1,

4 kg on kehon massa, sitten 1+1/2 4=3 (kg) on ​​pään massa ja 3+4+1=8 (kg) on ​​koko kalan massa;

Vastaus: 8 kg.

Aritmeettinen menetelmä ratkaisut vaativat myös paljon henkistä rasitusta, millä on positiivinen vaikutus henkisten kykyjen, matemaattisen intuition kehittymiseen, kyvyn muodostumiseen ennakoida todellista elämäntilannetta.

Harkitse esimerkkiä epätyypillisen tehtävän ratkaisemisesta aritmeettisella menetelmällä:

Tehtävä. Kahdelta kalastajalta kysyttiin: "Kuinka monta kalaa korissanne on?"

"Korissani on puolet siitä, mitä hänellä on korissa, ja 10 muuta", ensimmäinen vastasi. "Ja minulla on korissani yhtä monta kuin hänellä, ja jopa 20", toinen laski. Me laskimme, ja nyt sinä lasket.

Tehdään kaavio ongelmasta. Olkoon kaavion ensimmäinen segmentti ensimmäisellä kalastajalla olevien kalojen lukumäärä. Toinen segmentti ilmaisee kalojen lukumäärän toisesta kalastajasta.

Koska nykyajan ihmisellä on oltava käsitys tärkeimmistä tiedon analysoinnin menetelmistä ja todennäköisyysmalleista, joilla on tärkeä rooli tieteessä, tekniikassa ja taloudessa, otetaan käyttöön kombinatoriikan, todennäköisyysteorian ja matemaattisten tilastojen elementtejä. koulun matematiikan kurssille, joita on helppo ymmärtää käyttämällä laskentamenetelmä.

Kombinatoristen tehtävien sisällyttäminen matematiikan kurssiin vaikuttaa myönteisesti koululaisten kehitykseen. ”Kohdennettu oppiminen kombinatoristen ongelmien ratkaisemiseksi edistää sellaisen matemaattisen ajattelun laadun kuin vaihtelevuuden kehittymistä. Ajattelun vaihtelulla tarkoitetaan opiskelijan henkisen toiminnan suuntaa etsiä erilaisia ​​ratkaisuja ongelmaan siinä tapauksessa, että siihen ei ole erityisiä ohjeita.

Kombinatorisia ongelmia voidaan ratkaista eri menetelmillä. Perinteisesti nämä menetelmät voidaan jakaa "muodollisiin" ja "epävirallisiin". "Muodallisella" ratkaisumenetelmällä sinun on määritettävä valinnan luonne, valittava sopiva kaava tai kombinatorinen sääntö (on summa- ja tulosäännöt), korvattava luvut ja laskettava tulos. Tuloksena on mahdollisten vaihtoehtojen määrä, mutta itse vaihtoehdot eivät muodostu tässä tapauksessa.

”Epävirallisella” ratkaisumenetelmällä erilaisten vaihtoehtojen kokoamisprosessi tulee etualalle. Ja pääasia ei ole kuinka paljon, vaan mitä vaihtoehtoja voidaan saada. Tällaisia ​​menetelmiä ovat mm laskentamenetelmä. Tämä menetelmä on saatavana myös nuoremmille opiskelijoille, ja sen avulla voit saada kokemusta kombinatoristen ongelmien käytännön ratkaisusta, mikä toimii pohjana kombinatoristen periaatteiden ja kaavojen käyttöönotolle tulevaisuudessa. Lisäksi elämässä ihmisen on paitsi määritettävä mahdollisten vaihtoehtojen lukumäärä, myös suoraan laadittava kaikki nämä vaihtoehdot, ja kun hän on hallinnut järjestelmällisen laskennan menetelmät, tämä voidaan tehdä järkevämmin.

Tehtävät jaetaan kolmeen ryhmään laskennan monimutkaisuuden mukaan:

• yksi . Tehtävät, joissa sinun on tehtävä täydellinen luettelo kaikista mahdollisista vaihtoehdoista.
• 2. Tehtävät, joissa on epäkäytännöllistä käyttää täydellistä luettelointitekniikkaa ja joudut heti sulkemaan pois joitakin vaihtoehtoja ottamatta niitä huomioon (eli suorittaa lyhennetty luettelointi).
• 3. Tehtävät, joissa luettelointi suoritetaan useita kertoja ja erilaisten kohteiden suhteen.

Tässä on esimerkkejä tehtävistä:

Tehtävä. Asettamalla merkit "+" ja "-" annettujen numeroiden 9 ... 2 ... 4 väliin muodostavat kaikki mahdolliset lausekkeet.

Siellä on täydellinen luettelo vaihtoehdoista:

• a) lausekkeen kaksi merkkiä voivat olla samat, niin saamme:
  • 9 + 2 + 4 tai 9 - 2 - 4;
• b) kaksi merkkiä voivat olla erilaisia, niin saamme:
  • 9 + 2 - 4 tai 9 - 2 + 4.

Tehtävä. Opettaja kertoo piirtäneensä 4 hahmoa peräkkäin: suuret ja pienet neliöt, suuret ja pienet ympyrät niin, että ympyrä on ensimmäisellä paikalla ja samanmuotoiset hahmot eivät seiso vierekkäin, ja kehottaa oppilaita arvaamaan. järjestys, jossa nämä hahmot on järjestetty.

Näitä lukuja on yhteensä 24 eri järjestelyä. Ja ei ole suositeltavaa laatia niitä kaikkia ja valita sitten niitä, jotka vastaavat tätä ehtoa, joten lyhennetty luettelo suoritetaan.

Suuri ympyrä voi olla ensimmäisellä paikalla, sitten pieni voi olla vain kolmannella paikalla, kun taas suuret ja pienet neliöt voidaan sijoittaa kahdella tavalla - toiselle ja neljännelle.

Samanlainen päättely suoritetaan, jos ensimmäinen paikka on pieni ympyrä, ja myös kootaan kaksi vaihtoehtoa.

Tehtävä. Saman yrityksen kolme kumppania säilyttää arvopapereita kolmella lukolla varustetussa kassakaapissa. Seuralaiset haluavat jakaa lukkojen avaimet keskenään niin, että kassakaappi voidaan avata vain vähintään kahden seuralaisen läsnä ollessa, mutta ei yhtä. Miten voin tehdä sen?

Ensin luetellaan kaikki mahdolliset avainten jakelutapaukset. Jokaiselle kumppanille voidaan antaa yksi avain, kaksi eri avainta tai kolme.

Oletetaan, että jokaisella kumppanilla on kolme erilaista avainta. Silloin kassakaapin voi avata yksi seuralainen, ja tämä ei täytä ehtoa.

Oletetaan, että jokaisella kumppanilla on yksi avain. Sitten jos kaksi heistä tulee, he eivät voi avata kassakaappia.

Annetaan jokaiselle kumppanille kaksi erilaista avainta. Ensimmäinen - 1 ja 2 näppäintä, toinen - 1 ja 3 näppäintä, kolmas - 2 ja 3 näppäintä. Tarkastetaan, milloin kumpi tahansa kaksi toveria tulee katsomaan, voivatko he avata kassakaapin.

Ensimmäinen ja toinen seuralainen voivat tulla, heillä on kaikki avaimet (1 ja 2, 1 ja 3). Ensimmäinen ja kolmas seuralainen voivat tulla, heillä on myös kaikki avaimet (1 ja 2, 2 ja 3). Lopuksi toinen ja kolmas seuralainen voivat tulla, heillä on myös kaikki avaimet (1 ja 3, 2 ja 3).

Siten löytääksesi vastauksen tähän ongelmaan, sinun on suoritettava iterointitoiminto useita kertoja.

Kombinatorisia ongelmia valittaessa tulee kiinnittää huomiota näiden ongelmien aiheeseen ja esitystapaan. On toivottavaa, että tehtävät eivät näytä keinotekoisilta, vaan ovat lapsille ymmärrettäviä ja kiinnostavia, herättävät heissä positiivisia tunteita. Voit käyttää käytännön materiaalia elämästä tehtävien laatimiseen.

On muitakin ongelmia, jotka voidaan ratkaista luetteloimalla.

Esimerkkinä ratkaistaan ​​ongelma: ”Marquis Karabas oli 31-vuotias ja hänen nuori energinen Saappaaseen pukeutunut Pussu 3-vuotias, kun sadusta tunnetut tapahtumat tapahtuivat. Kuinka monta vuotta on kulunut siitä, jos nyt Kissa on kolme kertaa omistajaansa nuorempi? Vaihtoehtojen luettelo esitetään taulukossa.

Carabasin markiisin ja saappaiden pussin aika

14-3 = 11 (vuotta)

Vastaus: 11 vuotta on kulunut.

Samalla opiskelija ikään kuin kokeilee, tarkkailee, vertailee tosiasioita ja tekee tiettyjen johtopäätösten perusteella tiettyjä yleisiä johtopäätöksiä. Näiden havaintojen prosessissa hänen todellinen käytännön kokemus rikastuu. Tämä on nimenomaan luettelointiongelmien käytännön arvo. Tässä tapauksessa sanaa "luettelo" käytetään siinä merkityksessä, että analysoidaan kaikki mahdolliset tapaukset, jotka täyttävät ongelman ehdot osoittaen, että muita ratkaisuja ei voi olla.

Tämä ongelma voidaan ratkaista myös algebrallisella menetelmällä.

Olkoon kissa x vuotta vanha, silloin markiisi on 3x, ongelman tilanteen perusteella muodostamme yhtälön:

• 3x - x \u003d 28,
• 2x = 28,

Kissa on nyt 14-vuotias, sitten 14 - 3 = 11 (vuotta) kulunut.

Vastaus: 11 vuotta on kulunut.

päättelymenetelmä voidaan käyttää matemaattisten sofismien ratkaisemiseen.

Sofismissa tehdyt virheet päätyvät yleensä seuraaviin: "kiellettyjen" toimintojen suorittaminen, virheellisten piirustusten käyttö, virheellinen sanankäyttö, epätarkat sanamuodot, "laittomat" yleistykset, lauseiden väärät sovellukset.

Sofismin paljastaminen tarkoittaa päättelyvirheen osoittamista, jonka perusteella todistuksen ulkoinen ilme luotiin.

Sofismien analyysi kehittää ennen kaikkea loogista ajattelua, juurruttaa oikean ajattelun taitoja. Virheen havaitseminen sofismissa tarkoittaa sen tunnistamista, ja virheen tiedostaminen estää sitä toistumasta muissa matemaattisissa päättelyissä. Tämäntyyppiset epätyypilliset tehtävät paljastavat matemaattisen ajattelun kriittisyyden lisäksi ajattelun joustavuutta. Pystyykö opiskelija "irrottamaan otteen" tästä ensisilmäyksellä ehdottoman loogisesta polusta, katkaisemaan päätelmien ketjun juuri siitä linkistä, joka on virheellinen ja tekee kaiken myöhemmästä päättelystä virheellisen?

Sofismien analyysi auttaa myös tutkittavan aineiston tietoista omaksumista, kehittää havainnointia ja kriittistä asennetta tutkittavaan.

a) Tässä on esimerkiksi sofismi, jossa lause on sovellettu väärin.

Osoitetaan, että 2 2 = 5.

Otetaan seuraava ilmeinen yhtäläisyys alkusuhteeksi: 4:4 = 5:5 (1)

Otamme suluista pois yhteisen tekijän vasemmassa ja oikeassa osassa, saamme:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

Suluissa olevat luvut ovat yhtä suuret, joten 4 = 5 tai 2 2 = 5.

Päättelyssä tasa-arvosta (1) tasa-arvoon (2) siirryttäessä luodaan todennäköisyyden illuusio väärän analogian perusteella kertolaskujen jakautumisominaisuuden kanssa summauksen suhteen.

b) Sofismi, joka käyttää "laittomia" yleistyksiä.

Perheitä on kaksi - Ivanovs ja Petrov. Jokaisessa on 3 henkilöä - isä, äiti ja poika. Ivanovin isä ei tunne Petrovin isää. Ivanovin äiti ei tunne Petrovan äitiä. Ivanovien ainoa poika ei tunne Petrovien ainoaa poikaa. Johtopäätös: yksikään Ivanovin perheen jäsen ei tunne yhtäkään Petrovin perheen jäsentä. Onko tämä totta?

Jos Ivanov-perheen jäsen ei tunne siviilisäätynä yhtäläistä Petrov-perheen jäsentä, tämä ei tarkoita, että hän ei tunne koko perhettä. Esimerkiksi Ivanovin isä saattaa tuntea Petrovin äidin ja pojan.

Päättelymenetelmää voidaan käyttää myös loogisten ongelmien ratkaisemiseen. Loogisilla tehtävillä tarkoitetaan yleensä tehtäviä, jotka ratkaistaan ​​käyttämällä vain loogisia operaatioita. Joskus niiden ratkaisu vaatii pitkiä pohdintoja, joiden tarpeellista suuntaa ei voida ennakoida etukäteen.

Tehtävä. Sanotaan, että Tortila ei antanut kultaisen avaimen Pinokkiolle niin yksinkertaisesti kuin A. N. Tolstoi sanoi, vaan aivan eri tavalla. Hän toi esiin kolme laatikkoa: punaisen, sinisen ja vihreän. Punaiseen laatikkoon oli kirjoitettu: "Tässä on kultainen avain", ja siniseen - "Vihreä laatikko on tyhjä" ja vihreään - "Tässä istuu käärme". Tortila luki kirjoitukset ja sanoi: ”Todellakin, yhdessä laatikossa on kultainen avain, toisessa käärme, ja kolmas on tyhjä, mutta kaikki kirjoitukset ovat vääriä. Jos arvaat, mikä laatikko sisältää kultaisen avaimen, se on sinun." Missä on kultainen avain?

Koska kaikki laatikoiden merkinnät ovat virheellisiä, punainen laatikko ei sisällä kultaista avainta, vihreä laatikko ei ole tyhjä eikä siinä ole käärmettä, mikä tarkoittaa, että avain on vihreässä laatikossa, käärme on punainen ja sininen tyhjä.

Loogisten ongelmien ratkaisussa looginen ajattelu aktivoituu, ja tämä on kyky päätellä premissoista seurauksia, mikä on välttämätöntä matematiikan onnistuneelle hallitsemiselle.

Rebus on arvoitus, mutta arvoitus ei ole aivan tavallinen. Matemaattisten pulmien sanat ja numerot on kuvattu käyttämällä piirroksia, tähtiä, numeroita ja erilaisia ​​merkkejä. Jotta voit lukea, mitä rebusissa on salattu, sinun on nimettävä oikein kaikki kuvatut objektit ja ymmärrettävä, mikä merkki kuvaa mitä. Ihmiset käyttivät pulmia, vaikka he eivät osaaneet kirjoittaa. He laativat kirjeensä esineistä. Esimerkiksi yhden heimon johtajat lähettivät kerran naapureilleen kirjeen sijaan linnun, hiiren, sammakon ja viisi nuolta. Tämä tarkoitti: ”Voitko lentää kuin linnut ja piiloutua maahan kuin hiiret, hypätä soiden läpi kuin sammakot? Jos et tiedä miten, älä yritä taistella meitä vastaan. Pommitamme sinua nuolilla heti kun tulet maahamme."

Summan 1), D = 1 tai 2 ensimmäisestä kirjaimesta päätellen.

Oletetaan, että D = 1. Sitten, Y? 5. Y \u003d 5 on poissuljettu, koska P ei voi olla yhtä suuri kuin 0. Y? 6, koska 6 + 6 = 12, so. P = 2. Mutta tällainen P:n arvo ei sovellu lisävarmentamiseen. Samoin, U? 7.

Oletetaan, että Y = 8. Sitten P = 6, A = 2, K = 5, D = 1.

Maaginen (maaginen) neliö on neliö, jossa numeroiden summa pystysuunnassa, vaakasuunnassa ja diagonaalisesti on sama.

Tehtävä. Järjestä numerot 1-9 siten, että pystysuunnassa, vaakasuunnassa ja diagonaalisesti saat saman lukujen summan, joka on 15.

Vaikka ei ole olemassa yleisiä sääntöjä epästandardien ongelmien ratkaisemiseksi (siksi näitä ongelmia kutsutaan epästandardeiksi), olemme yrittäneet antaa joukon yleisiä ohjeita - suosituksia, joita tulee noudattaa erityyppisten epästandardien ongelmien ratkaisemisessa. .

Jokainen epätyypillinen tehtävä on omaperäinen ja ainutlaatuinen ratkaisussaan. Tässä suhteessa kehitetty metodologia hakutoimintojen opettamiseen epätyypillisten tehtävien ratkaisemisessa ei muodosta taitoja epätyypillisten tehtävien ratkaisemiseen, voimme puhua vain tiettyjen taitojen kehittämisestä:

• kyky ymmärtää tehtävä, korostaa tärkeimmät (tuki)sanat;
• kyky tunnistaa ongelmassa tunnettu ja tuntematon tila ja kysymys;
• kyky löytää yhteys tiedon ja halutun välillä, eli analysoida ongelman tekstiä, jonka tuloksena valitaan aritmeettinen operaatio tai looginen operaatio epätyypillisen ongelman ratkaisemiseksi;
• kyky tallentaa ratkaisun edistyminen ja vastaus ongelmaan;
• · kyky suorittaa lisätyötä tehtävässä;
• kyky valita itse ongelmaan sisältyvää hyödyllistä tietoa sen ratkaisuprosessissa, systematisoida tämä tieto korreloimalla se olemassa olevan tiedon kanssa.

Epätyypilliset tehtävät kehittävät spatiaalista ajattelua, joka ilmenee kyvynä luoda mielessään esineiden tilakuvia ja suorittaa niille toimintoja. Tilaajattelu ilmenee ratkottaessa ongelmia, kuten: ”Pyöreän kakun reunan päälle asetettiin 5 kermapistettä samalle etäisyydelle toisistaan. Leikkaukset tehtiin kaikkien pisteparien läpi. Montako kakkupalaa sait yhteensä?

käytännöllinen menetelmä voidaan harkita epätyypillisten jako-ongelmien yhteydessä.

Tehtävä. Tikku on leikattava 6 osaan. Kuinka monta leikkausta tarvitaan?

Ratkaisu: Leikkauksiin tarvitaan 5.

Kun tutkit epätyypillisiä jakoongelmia, sinun on ymmärrettävä: segmentin leikkaamiseksi P-osiin sinun tulee tehdä (P - 1) leikkaus. Tämä tosiasia on todettava lasten kanssa induktiivisesti ja käytettävä sitten ongelmien ratkaisemisessa.

Tehtävä. Kolmen metrin tangossa - 300 cm. Se on leikattava 50 cm pituisiksi tankoiksi. Kuinka monta leikkausta sinun täytyy tehdä?

Ratkaisu: Saamme 6 baaria 300: 50 = 6 (bar)

Väittelemme seuraavasti: jakaaksesi tangon kahtia, eli kahteen osaan, sinun on tehtävä 1 leikkaus, 3 osaan - 2 leikkausta ja niin edelleen, 6 osaan - 5 leikkausta.

Joten sinun on tehtävä 6 - 1 = 5 (leikkaukset).

Vastaus: 5 leikkausta.

Joten yksi tärkeimmistä motiiveista, joka kannustaa opiskelijoita opiskelemaan, on kiinnostus aihetta kohtaan. Kiinnostus on henkilön aktiivinen kognitiivinen suuntautuminen tiettyyn esineeseen, ilmiöön ja toimintaan, joka on luotu positiivisella emotionaalisella asenteella heitä kohtaan. Yksi keino kehittää kiinnostusta matematiikkaa kohtaan on epätyypilliset tehtävät. Epätyypillinen tehtävä ymmärretään sellaisiksi tehtäviksi, joille matematiikan aikana ei ole yleisiä sääntöjä ja määräyksiä, jotka määrittävät tarkan ohjelman niiden ratkaisemiseksi. Tällaisten ongelmien ratkaiseminen antaa opiskelijoille mahdollisuuden osallistua aktiivisesti oppimistoimintaan. Ongelmille on olemassa erilaisia ​​luokituksia ja menetelmiä niiden ratkaisemiseksi. Yleisimmin käytettyjä ovat algebralliset, aritmeettiset, käytännön menetelmät sekä laskeminen, päättely ja olettamus.

Tavoitteena on opettaa opiskelijat ratkaisemaan epätyypillisiä yhtälöitä ja epäyhtälöitä syvällä ymmärtämällä matematiikan teoreettisia perusteita.

Oppimisprosessissa ratkaistut tehtävät:

• kehittää opiskelijoiden epätyypillistä ajattelua;
• muodostaa kyky rakentaa matemaattisia malleja;
• kehittää kokeen läpäisemisen taitoja kokeeseen valmistautuessaan (monimutkaisempien ongelmien ratkaiseminen);
• lisätä kiinnostusta matematiikkaa kohtaan;
• juurruttaa opiskelijoiden luottamusta ongelmien ratkaisuun

1. Organisatorinen hetki. Tavoitteiden ja tavoitteiden asettaminen oppitunnille. Menestyksen edellytysten luominen yhteistä toimintaa(Oppitunnilla tehdyt työt arvioidaan pisteytysjärjestelmällä, sähköistä päiväkirjaa pidetään).

2. Kotitehtävien tarkistaminen (sähköinen päiväkirja oppitunnille). Opiskelijat tarkistavat kotitehtävänsä (vertaa ratkaisujaan valmiisiin ratkaisuihin, työskentelevät pareittain) Microsoft Office Word -dokumentista näytöllä (opettajan valmistelemat ratkaisut).

Kotitehtävät

Ratkaise yhtälöt:

Päätös.

Päätös. Kirjoitetaan tämä yhtälö uudelleen muotoon:

3.

Päätös.

Yhtälön juuri ei täytä ehtoa.

3. Opiskelijoiden suullinen kysely. Keskinäinen tarkistus ja pisteytys tuloskortille, tunnin aikana tulokset kirjataan sähköiseen päiväkirjaan

1. Kuinka muotoiset yhtälöt ratkaistaan?

2. Miten muotoyhtälöt ovat ?

3. Miten logaritmiset yhtälöt, joilla on eri kanta, ratkaistaan?

4. Miten ratkaistaan ​​yhtälöt, joissa muodon funktio esiintyy?

4. Ongelmatehtävä (työskentely ryhmässä), tehtävä makaa jokaisella pöydällä punaisilla paperiarkeilla. Oppilaat kirjoittavat oppitunnin päivämäärän ja aiheen muistivihkoonsa ja alkavat ratkaista ongelmaa.

1. Ratkaise yhtälö

jo tässä vaiheessa on selvää, että ratkaisu tulee olemaan erittäin hankala. Syntyi ongelma - ratkaista tämä yhtälö edelleen vai etsiä toinen tapa ratkaista se?

Koska logaritmiset lausekkeet kaikille X suurempi kuin 1, niin jokainen logaritmi on positiivinen luku tai yhtä suuri kuin 0.

Jotta summa olisi yhtä suuri kuin 0, on tarpeen lisätä nollia tai vastakkaisia ​​lukuja, joten jokainen logaritmi voi saada vain arvon, joka on yhtä suuri kuin nolla, eli:

Päättelemme siis, että yhtälöt voidaan ratkaista funktion ominaisuuksien avulla.

Riippumaton ratkaisu: Ratkaise yhtälö: .

yhtälön vasen puoli on monotonisesti laskeva funktio ja oikea puoli on vakio, joten yhtälöllä on yksi juuri x=1(helppo valinta).

5. Uuden aiheen oppiminen. Useimpien kokeissa, erityisesti yhtenäistetyssä valtionkokeessa, kohtaamien yhtälöiden ja epätasa-arvojen ratkaisemiseksi riittää matematiikan koulukurssin hallitseminen, mutta samalla on välttämätöntä pystyä ratkaisemaan ne paitsi standarditekniikoilla. , mutta myös käyttämällä "epätyypillisiä tekniikoita ja menetelmiä". Tässä olemme kanssasi seuraavilla viidellä oppitunnilla ja kehitämme tällaisia ​​menetelmiä ja tekniikoita.

Osaat jo käyttää korvausmenetelmää joidenkin yhtälöiden ratkaisemisessa. Tänään olemme jo oppineet, että yhtälöitä ratkaistaessa voit käyttää funktioiden ominaisuuksia.

Nyt haluan näyttää rajoitetun omaisuuden sovelluksen.

1. Lause 1. Jos ja , niin yhtälö

Ratkaise yhtälö

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon:

Koska ja siksi tämä yhtälö vastaa järjestelmää:

2.Arviointimenetelmä

Usein merkki siitä, että estimointimenetelmää tulisi soveltaa, on erilaisten funktioiden esiintyminen yhtälössä.

Ratkaise yhtälö

Tasa-arvo saavutetaan, jos

Korvaamalla löydetyt x-arvot yhtälöön (2), saamme:

-järjestelmän ratkaisu.

3. Monotonisuusmenetelmän käyttäminen epästandardien yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen

Jos y=f(x) on monotoninen funktio, yhtälöllä f(x) = c on enintään yksi juuri

Kasvakoon funktio y=f(x) välillä M ja funktio y=g(x) pienenee tällä välillä. Tällöin yhtälöllä f(x)=g(x) on korkeintaan yksi juuri välillä M.

Olkoon funktion f(t) alue väli M, ja olkoon tämä funktio jatkuva ja tiukasti monotoninen (eli kasvaa tai laskeva) tällä välillä. Sitten yhtälö vastaa järjestelmää:

Kun ratkaistaan ​​muotoyhtälöitä, seuraava lause on hyödyllinen: Jos

Monotonisesti kasvava (laskeva) funktio, yhtälöt ja ovat ekvivalentteja.

Ratkaise yhtälö:

Päätös. - kasvava funktio (kahden kasvavan funktion summana).

Yhtälön oikea puoli on vakioluku. Juurilauseen perusteella yhtälöllä on enintään yksi ratkaisu. Ilmeisesti =2 on juuri.

Vastaus: =2.

4. Funktioiden määrittelyalueen käyttäminen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa

Menetelmää tarkastellaan, kun yhtälöä tai epäyhtälöä tarkasteltaessa käy ilmi, että sen molemmat osat on määritelty tietyssä joukossa, joka koostuu yhdestä tai useammasta luvusta.

Tämä menetelmä on tehokkain ratkaistaessa yhtälöitä ja epäyhtälöitä, jotka sisältävät funktioita y=; y=; y=; y = .

Kun ratkaiset yhtälöä tai epäyhtälöä, siirrä kaikki termit vasemmalle ja harkitse funktiota f(x). Etsi sen määritelmäalue D (f). Jossa:

yksi). Jos D (f) = , silloin yhtälöllä tai epäyhtälöllä ei ole ratkaisuja.

2). Jos D (f) \u003d (a 1; a 2; a 3 .....a n), silloin annetun yhtälön ja epäyhtälön todelliset ratkaisut ovat lukujen joukossa a 1; a 2; a 3 .....a n . Nyt meidän on tarkistettava, mitkä annetuista luvuista ovat yhtälön tai epäyhtälön ratkaisuja.

3). Jos D(f) = [a; sisään], sitten sinun on tarkistettava, onko yhtälö tai epäyhtälö tosi intervallin päissä ja jokaisessa välissä, lisäksi jos a< 0 , a c > 0, sitten on tarpeen tarkistaa välit (а; 0) ja )