Tämän video-opetusohjelman avulla voit tutkia itsenäisesti aihetta "Värähtelevää liikettä kuvaavat määrät". Tällä oppitunnilla opit kuinka ja millä määrillä värähteleviä liikkeitä luonnehditaan. Sellaisten suureiden, kuten amplitudin ja siirtymän, värähtelyjakson ja -taajuuden, määritelmä annetaan.

Tarkastellaan värähtelyjen kvantitatiivisia ominaisuuksia. Aloitetaan ilmeisimmällä ominaisuudella - amplitudilla. Amplitudi merkitty isolla kirjaimella A ja mitattu metreinä.

Määritelmä

Amplitudi kutsutaan maksimaaliseksi siirtymäksi tasapainoasennosta.

Usein amplitudi sekoitetaan värähtelyalueeseen. Swing on, kun keho värähtelee ääripisteestä toiseen. Ja amplitudi on suurin siirtymä, eli etäisyys tasapainopisteestä, tasapainoviivasta ääripisteeseen, johon se putosi. Amplitudin lisäksi on toinen ominaisuus - siirtymä. Tämä on nykyinen poikkeama tasapainoasennosta.

MUTTA - amplitudi -

X – offset –

Riisi. 1. Amplitudi

Katsotaanpa, kuinka amplitudi ja offset eroavat esimerkissä. Matemaattinen heiluri on tasapainotilassa. Heilurin sijaintiviiva alkuhetkellä on tasapainoviiva. Jos otat heilurin sivuun, tämä on sen suurin siirtymä (amplitudi). Muina aikoina etäisyys ei ole amplitudi, vaan yksinkertaisesti siirtymä.

Riisi. 2. Ero amplitudin ja offsetin välillä

Seuraava ominaisuus, johon siirrymme, on nimeltään värähtelyjakso.

Määritelmä

Värähtelyjakso on aika, jonka aikana tapahtuu yksi täydellinen värähtely.

Huomaa, että "jakso"-arvo on merkitty isolla kirjaimella , se määritellään seuraavasti: , .

Riisi. 3. Jakso

On syytä lisätä, että mitä enemmän otamme värähtelyjen lukumäärää pidemmältä ajalta, sitä tarkemmin määritämme värähtelyjakson.

Seuraava arvo on taajuus.

Määritelmä

Värähtelyjen lukumäärää aikayksikköä kohti kutsutaan taajuus vaihtelut.

Riisi. 4. Taajuus

Taajuus ilmaistaan ​​kreikkalaisella kirjaimella, joka luetaan "nu". Taajuus on värähtelyjen lukumäärän suhde aikaan, jonka aikana nämä värähtelyt tapahtuivat:.

Taajuusyksiköt. Tätä yksikköä kutsutaan "hertsiksi" saksalaisen fyysikon Heinrich Hertzin kunniaksi. Huomaa, että jakso ja taajuus liittyvät toisiinsa värähtelyjen lukumäärän ja ajan suhteen, jonka aikana tämä värähtely tapahtuu. Jokaisen värähtelyjärjestelmän taajuus ja jakso ovat vakioarvoja. Näiden määrien välinen suhde on melko yksinkertainen: .

Käsitteen "värähtelytaajuus" lisäksi käytetään usein käsitettä "syklinen värähtelytaajuus", eli värähtelyjen lukumäärä sekunnissa. Se on merkitty kirjaimella ja mitataan radiaaneina sekunnissa.

Kaaviot vapaista vaimentamattomista värähtelyistä

Tiedämme jo ratkaisun vapaiden värähtelyjen mekaniikan pääongelmaan - sinin tai kosinin lain. Tiedämme myös, että kuvaajat ovat tehokas työkalu fyysisten prosessien tutkimiseen. Puhutaanpa siitä, miltä siniaallon ja kosiniaallon kaaviot näyttävät, kun niitä sovelletaan harmonisiin värähtelyihin.

Aluksi määritellään singulaaripisteet värähtelyjen aikana. Tämä on välttämätöntä rakentamisen mittakaavan oikein valitsemiseksi. Harkitse matemaattista heiluria. Ensimmäinen heräävä kysymys on: mitä funktiota käyttää - sini vai kosini? Jos värähtely alkaa yläpisteestä - suurimmasta poikkeamasta, kosinilaki on liikkeen laki. Jos aloitat liikkumisen tasapainopisteestä, liikkeen laki on sinin laki.

Jos liikelaki on kosinin laki, niin neljänneksen jakson jälkeen heiluri on tasapainoasennossa, toisen neljänneksen jälkeen - ääripisteessä, toisen neljänneksen jälkeen - jälleen tasapainoasennossa ja toisen neljänneksen jälkeen. se palaa alkuperäiseen asentoonsa.

Jos heiluri värähtelee sinilain mukaan, niin neljänneksen jakson jälkeen se on ääripisteessä, toisen neljänneksen jälkeen - tasapainoasennossa. Sitten taas ääripisteessä, mutta toisella puolella ja toisen neljänneksen jakson jälkeen se palaa tasapainoasentoon.

Joten aika-asteikko ei ole mielivaltainen arvo 5 s, 10 s jne., vaan murto-osa jaksosta. Rakennamme kaavion jakson neljännesvuosittain.

Jatketaan rakentamista. vaihtelee joko sinin tai kosinin lain mukaan. Ordinaatta-akseli on , abskissa-akseli on . Aika-asteikko on yhtä suuri kuin jakson neljännekset: Kaavio on välillä - .

Riisi. 5. Riippuvuuskaaviot

Sinilain mukaisen värähtelyn kuvaaja poikkeaa nollasta ja on merkitty tummansinisellä (kuva 5). Kosinilainsäädännön mukaisen värähtelyn kuvaaja jättää maksimipoikkeaman paikan ja on merkitty sinisellä kuvassa. Kaaviot näyttävät täysin identtisiltä, ​​mutta ne ovat siirtyneet vaiheittain suhteessa toisiinsa neljänneksellä jaksolla tai radiaaneilla.

Riippuvuusgraafit ja näyttävät samanlaisilta, koska ne myös muuttuvat harmonisen lain mukaan.

Matemaattisen heilurin värähtelyjen ominaisuudet

Matemaattinen heiluri on materiaalinen massapiste, joka on ripustettu pitkälle venymättömälle painottomalle kierteelle, jonka pituus on .

Kiinnitä huomiota matemaattisen heilurin värähtelyjakson kaavaan: , missä on heilurin pituus, on vapaan pudotuksen kiihtyvyys.

Mitä pidempi heiluri, sitä pidempi on sen värähtelyjakso (kuva 6). Mitä pidempi lanka, sitä kauemmin heiluri heiluu.

Riisi. 6 Värähtelyjakson riippuvuus heilurin pituudesta

Mitä suurempi vapaan pudotuksen kiihtyvyys, sitä lyhyempi värähtelyjakso (kuva 7). Mitä suurempi vapaan pudotuksen kiihtyvyys, sitä voimakkaammin taivaankappale vetää painoa puoleensa ja sitä nopeammin sillä on taipumus palata tasapainoasentoon.

Riisi. 7 Värähtelyjakson riippuvuus vapaan pudotuksen kiihtyvyydestä

Huomaa, että värähtelyjakso ei riipu kuorman massasta ja värähtelyamplitudista (kuva 8).

Riisi. 8. Värähtelyjakso ei riipu värähtelyamplitudista

Galileo Galilei oli ensimmäinen, joka kiinnitti huomion tähän tosiasiaan. Tämän tosiasian perusteella ehdotetaan heilurikellomekanismia.

On huomattava, että kaavan tarkkuus on suurin vain pienillä, suhteellisen pienillä poikkeamilla. Esimerkiksi poikkeaman kohdalla kaavan virhe on . Suuremmilla poikkeamilla kaavan tarkkuus ei ole niin suuri.

Harkitse laadullisia ongelmia, jotka kuvaavat matemaattista heiluria.

Tehtävä.Miten heilurikellojen kulku muuttuu, jos ne: 1) kuljetetaan Moskovasta pohjoisnavalle; 2) kuljetus Moskovasta päiväntasaajalle; 3) nosta korkealle ylämäkeen; 4) ota se ulos lämmitetystä huoneesta kylmään.

Jotta ongelman kysymykseen voitaisiin vastata oikein, on ymmärrettävä, mitä "heilurikellon käynti" tarkoittaa. Heilurikellot perustuvat matemaattiseen heiluriin. Jos kellon värähtelyjakso on pienempi kuin tarvitsemme, kello alkaa kiihtyä. Jos värähtelyjakso pitenee tarpeettomana, kello jää jäljessä. Tehtävä rajoittuu vastaamaan kysymykseen: mitä tapahtuu matemaattisen heilurin värähtelyjaksolle kaikkien tehtävässä lueteltujen toimien seurauksena?

Tarkastellaanpa ensimmäistä tilannetta. Matemaattinen heiluri siirretään Moskovasta pohjoisnavalle. Muistamme, että maapallolla on geoidi, eli napoista litistetty pallo (kuva 9). Tämä tarkoittaa, että navalla vapaan pudotuksen kiihtyvyys on jonkin verran suurempi kuin Moskovassa. Ja koska vapaan pudotuksen kiihtyvyys on suurempi, värähtelyjakso lyhenee jonkin verran ja heilurikello alkaa kiirehtiä. Tässä jätämme huomiotta sen tosiasian, että pohjoisnavalla on kylmempää.

Riisi. 9. Vapaan pudotuksen kiihtyvyys on suurempi maan napoilla

Tarkastellaanpa toista tilannetta. Siirrämme kelloa Moskovasta päiväntasaajalle olettaen, että lämpötila ei muutu. Vapaan pudotuksen kiihtyvyys päiväntasaajalla on hieman pienempi kuin Moskovassa. Tämä tarkoittaa, että matemaattisen heilurin värähtelyjakso kasvaa ja kello alkaa hidastua.

Kolmannessa tapauksessa kelloa nostetaan korkealle ylämäkeen, mikä lisää etäisyyttä maan keskipisteeseen (kuva 10). Tämä tarkoittaa, että vapaan pudotuksen kiihtyvyys vuoren huipulla on pienempi. Värähtelyjakso pitenee kello jää taakse.

Riisi. 10 Painovoima on suurempi vuoren huipulla

Tarkastellaanpa viimeistä tapausta. Kello viedään lämpimästä huoneesta kylmään. Kun lämpötila laskee, kappaleiden lineaariset mitat pienenevät. Tämä tarkoittaa, että heilurin pituus pienenee hieman. Koska pituus on pienentynyt, myös värähtelyjakso on lyhentynyt. Kello kiihtyy.

Olemme pohtineet tyypillisimpiä tilanteita, joiden avulla voimme ymmärtää, kuinka matemaattisen heilurin värähtelyjakson kaava toimii.

Lopuksi harkitse toista värähtelyjen ominaisuutta - vaihe. Kerromme tarkemmin, mikä vaihe on vanhemmilla luokilla. Nykyään meidän on pohdittava, mihin tätä ominaisuutta voidaan verrata, verrata ja miten se määritellään itse. Kätevintä on verrata värähtelyn vaihetta heilurin nopeuteen.

Kuvassa 11 on kaksi identtistä heiluria. Ensimmäinen heiluri poikkeutettiin vasemmalle tietyllä kulmalla, toinen myös vasemmalle tietyllä kulmalla, samalla tavalla kuin ensimmäinen. Molemmat heilurit tekevät täsmälleen samat värähtelyt. Tässä tapauksessa voidaan sanoa, että heilurit värähtelevät samalla vaiheella, koska heilurin nopeuksilla on sama suunta ja samat moduulit.

Kuvassa 12 on kaksi samanlaista heiluria, mutta toinen on kallistettu vasemmalle ja toinen oikealle. Niillä on myös samat nopeudet modulo, mutta suunta on päinvastainen. Tässä tapauksessa heilurien sanotaan värähtelevän vastavaiheessa.

Kaikissa muissa tapauksissa pääsääntöisesti mainitaan vaihe-ero.

Riisi. 13 Vaiheero

Värähtelyn vaihe mielivaltaisessa ajankohdassa voidaan laskea kaavalla , eli syklisen taajuuden ja värähtelyjen alkamisesta kuluneen ajan tulona. Vaihe mitataan radiaaneina.

Jousiheilurin värähtelyjen ominaisuudet

Jousiheilurin värähtelyn kaava: . Siten jousiheilurin värähtelyjakso riippuu kuorman massasta ja jousen jäykkyydestä.

Mitä suurempi kuorman massa on, sitä suurempi on sen inertia. Eli heiluri kiihtyy hitaammin, sen värähtelyjakso on pidempi (kuva 14).

Riisi. 14 Värähtelyjakson riippuvuus massasta

Mitä suurempi jousen jäykkyys on, sitä nopeammin se pyrkii palaamaan tasapainoasentoonsa. Kevätheilurin jakso on lyhyempi.

Riisi. 15 Värähtelyjakson riippuvuus jousen jäykkyydestä

Harkitse kaavan soveltamista ongelman esimerkissä.

Riisi. 17 Värähtelyjakso

Jos korvaamme nyt kaikki tarvittavat arvot massan laskentakaavassa, saamme:

Vastaus: painon paino on noin 10 g.

Aivan kuten matemaattisen heilurin tapauksessa, jousiheilurin värähtelyjakso ei riipu sen amplitudista. Tämä pätee luonnollisesti vain pieniin poikkeamiin tasapainoasennosta, kun jousen muodonmuutos on elastinen. Tämä tosiasia oli perusta jousikellojen rakentamiselle (kuva 18).

Riisi. 18 Kevätkello

Johtopäätös

Tietenkin värähtelyjen ja niiden ominaisuuksien lisäksi, joista puhuimme, on muita yhtä tärkeitä värähtelevän liikkeen ominaisuuksia. Mutta puhumme niistä lukiossa.

Bibliografia

1. Kikoin A.K. Värähtelevän liikkeen laista // Kvant. - 1983. - nro 9. - S. 30-31.
2. Kikoin I.K., Kikoin A.K. Fysiikka: oppikirja. 9 solulle. keskim. koulu - M.: Enlightenment, 1992. - 191 s.
3. Chernoutsan A.I. Harmoniset värähtelyt - tavallisia ja hämmästyttäviä // Kvant. - 1991. - Nro 9. - S. 36-38.
4. Peryshkin A.V., Gutnik E.M. Fysiikka. 9. luokka: yleissivistävän oppikirja. laitokset / A.V. Peryshkin, E.M. Gutnik. - 14. painos, stereotypia. - M.: Bustard, 2009. - 300 s.

1. Internet-portaali "abitura.com" ()
2. Internet-portaali "phys-portal.ru" ()
3. Internet-portaali "fizmat.by" ()

Kotitehtävät

1. Mitä ovat matemaattiset ja jousiheilurit? Mitä eroa niillä on?
2. Mikä on harmoninen värähtely, värähtelyjakso?
3. 200 g:n paino värähtelee jousella, jonka jäykkyys on 200 N/m. Laske värähtelyjen mekaaninen kokonaisenergia ja kuorman suurin liikkeen nopeus, jos värähtelyjen amplitudi on 10 cm (kitka huomioimatta).

Verrataan kahden identtisen heilurin värähtelyjä kuvassa 58. Ensimmäinen heiluri värähtelee suurella heilurilla, eli sen ääriasennot ovat kauempana tasapainoasennosta kuin toisen heilurin.

Riisi. 58. Eri amplitudeilla esiintyvien heilurien värähtelyt

• Värähtelevän kappaleen suurinta (modulo) poikkeamaa tasapainoasennosta kutsutaan värähtelyamplitudiksi

Tarkastellaan pienillä amplitudeilla esiintyviä värähtelyjä (kuva 59), joissa kaaren AB pituuden voidaan katsoa olevan yhtä suuri kuin jana AB ja jopa puolisointu CB. Siksi kierreheilurin värähtelyjen amplitudi voidaan ymmärtää kaareksi tai joksikin näistä segmenteistä. Joten ensimmäisen heilurin (katso kuva 58) värähtelyjen amplitudi on 0 1 A 1 tai 0 1 B 1 ja toisen - 0 2 A 2 tai O 2 B 2. Amplitudi on merkitty kirjaimella A ja SI:ssä mitataan pituusyksiköissä - metreinä (m), senttimetreinä (cm) jne. Amplitudi voidaan mitata myös tasaisen kulman yksiköissä, esimerkiksi asteina, koska tietty keskikulma vastaa ympyrän kaaria, eli kulmaa ympyrän keskellä (tässä tapauksessa pisteessä O) olevan kärjen kanssa.

Riisi. 59. Pienen amplitudin värähtelyissä kaaren AB pituus on yhtä suuri kuin jana AB

Jousiheilurin värähtelyn amplitudi (katso kuva 53) on yhtä suuri kuin segmentin OB tai OA pituus.

Värähtelevä kappale tekee yhden täydellisen värähtelyn, jos neljän amplitudin polku kulkee värähtelyjen alusta. Esimerkiksi siirryttyään pisteestä O 1 pisteeseen B 1, sitten pisteeseen A 1 ja jälleen pisteeseen O 1 (katso kuva 58), pallo tekee yhden täydellisen värähtelyn.

• Ajanjaksoa, jonka aikana keho tekee yhden täydellisen värähtelyn, kutsutaan värähtelyjaksoksi.

Värähtelyjakso on merkitty kirjaimella T ja SI:nä mitataan sekunteina (s).

Riputamme kaksi identtistä palloa eripituisiin lankoihin ja saatamme ne värähtelevään liikkeeseen. Näemme, että samassa ajassa lyhyt heiluri saa aikaan enemmän värähtelyjä kuin pitkä.

• Värähtelyjen lukumäärää aikayksikköä kohti kutsutaan värähtelytaajuudeksi

Taajuus on merkitty kreikkalaisella kirjaimella v ("nu"). Taajuusyksikkö on yksi värähtely sekunnissa. Tämä yksikkö on nimetty hertseiksi (Hz) saksalaisen tiedemiehen Heinrich Hertzin kunniaksi.

Oletetaan, että heiluri tekee yhdessä sekunnissa kaksi värähtelyä, eli sen värähtelyjen taajuus on 2 Hz. Värähtelyjakson löytämiseksi on tarpeen jakaa yksi sekunti tämän sekunnin värähtelyjen määrällä, eli taajuudella:

Siten värähtelyjakso T ja värähtelytaajuus v liittyvät toisiinsa seuraavalla suhteella:

Käyttämällä esimerkkiä eripituisten heilurien värähtelyistä tulemme siihen tulokseen, että heilurin vapaan värähtelyn taajuus ja jakso riippuvat sen filamentin pituudesta. Mitä pidempi heilurilanka on, sitä pidempi on värähtelyjakso ja sitä pienempi taajuus.

• Vapaata värähtelyä kitkan ja ilmanvastuksen puuttuessa kutsutaan luonnollisiksi värähtelyiksi ja niiden taajuus on värähtelyjärjestelmän luonnollinen taajuus

Ei vain filamenttiheilurilla, vaan myös kaikilla muilla värähtelyjärjestelmillä on tietty luonnollinen taajuus, joka riippuu tämän järjestelmän parametreista. Esimerkiksi jousiheilurin ominaistaajuus riippuu kuorman massasta ja jousen jäykkyydestä.

Tarkastellaan kahden identtisen heilurin värähtelyjä (kuva 60). Samaan aikaan vasen heiluri vasemmanpuoleisesta asennosta alkaa liikkua oikealle ja oikea heiluri äärimmäisestä oikeasta liikkuu vasemmalle. Molemmat heilurit värähtelevät samalla taajuudella (koska niiden kierteiden pituudet ovat yhtä suuret) ja samoilla amplitudeilla. Nämä värähtelyt kuitenkin eroavat toisistaan: heilurien nopeudet suuntautuvat milloin tahansa vastakkaisiin suuntiin. Tässä tapauksessa heilurien sanotaan värähtelevän vastakkaisissa vaiheissa.

Riisi. 60. Heilurien värähtelyt vastakkaisissa vaiheissa

Myös kuvan 58 heilurit värähtelevät samoilla taajuuksilla. Näiden heilurien nopeudet suunnataan samaan suuntaan milloin tahansa. Tässä tapauksessa heilurien sanotaan värähtelevän samoissa vaiheissa.

Tarkastellaanpa vielä yhtä tapausta. Kuvassa 61 a esitetyllä hetkellä molempien heilurien nopeudet on suunnattu oikealle. Mutta jonkin ajan kuluttua (kuva 61, b) ne ohjataan eri suuntiin. Tässä tapauksessa värähtelyjen sanotaan tapahtuvan tietyllä vaihe-erolla.

Riisi. 61. Heilurien värähtelyt, jotka esiintyvät tietyllä vaihe-erolla

Fysikaalista suuruutta, jota kutsutaan vaiheeksi, ei käytetä vain kahden tai useamman kappaleen värähtelyjen vertailussa, vaan myös yhden kappaleen värähtelyjen kuvaamiseen.

Kaava vaiheen määrittämiseksi kulloinkin käsitellään lukiossa.

Siten värähtelevälle liikkeelle on tunnusomaista amplitudi, taajuus (tai jakso) ja vaihe.

Kysymyksiä

1. Mitä kutsutaan värähtelyjen amplitudiksi; värähtelyjakso; värähtelytaajuus? Millä yksiköillä kukin näistä suureista mitataan?
2. Mikä on värähtelyjen jakson ja taajuuden välinen matemaattinen suhde?
3. Miten ne riippuvat: a) taajuudesta; b) heilurin vapaan värähtelyn jakso sen kierteen pituudella?
4. Mitä värähtelyjä kutsutaan luonnollisiksi?
5. Mikä on värähtelyjärjestelmän luonnollinen taajuus?

Harjoitus 24

1. Kuva 62 esittää värähtelevien heiluriparien. Missä tapauksissa kaksi heiluria värähtelee: samoissa vaiheissa toistensa suhteen; vastakkaisissa vaiheissa?
2. Sadan metrin rautatiesillan värähtelytaajuus on 2 Hz. Määritä näiden värähtelyjen jakso.
3. Junavaunun pystyvärähtelyjakso on 0,5 s. Määritä auton värähtelytaajuus.
4. Ompelukoneen neula tekee 600 täydellistä värähtelyä minuutissa. Mikä on neulan värähtelytaajuus?
5. Jousen kuorman värähtelyjen amplitudi on 3 cm. Kumpaan suuntaan tasapainoasennosta kuorma kulkee ajassa, joka on yhtä suuri kuin - ¼T; - ½T; - ¾T; - T?
6. Jousen kuormitusvärähtelyjen amplitudi on 10 cm, taajuus 0,5 Hz. Mikä on matka, jonka kuorma kulkee 2 sekunnissa?

Harjoittele

Suunnittele koe, jossa käytetään magneettisia voimia, jotka simuloivat vapaan pudotuksen kiihtyvyyden lisääntymistä ja vaikuttavat värähtelevään filamenttiheiluriin. Suorita tämä koe ja tee johtopäätös värähtelyjakson laadullisesta riippuvuudesta vapaan pudotuksen kiihtyvyydestä.

Harkitse seuraavaa kuvaa:

Siinä on kaksi identtistä heiluria. Kuten kuvasta voidaan nähdä, ensimmäinen heiluri värähtelee suuremmalla heilahduksella kuin toinen. Toisin sanoen ääriasennot, jotka ensimmäinen heiluri on, ovat suuremmalla etäisyydellä toisistaan ​​kuin toisen heilurin.

Amplitudi

• Värähtelyn amplitudi- värähtelevän kappaleen suurin poikkeama tasapainoasennosta absoluuttisena arvona.

Yleensä värähtelyjen amplitudia käytetään kirjaimella A. Amplitudin mittayksiköt ovat samat kuin pituuden mittayksiköt, eli ne ovat metrejä, senttimetrejä jne. Periaatteessa amplitudi voidaan kirjoittaa tasokulman yksiköissä, koska jokainen ympyrän kaari vastaa yhtä keskikulmaa.

Sanotaan, että värähtelevä kappale tekee yhden täydellisen värähtelyn, kun se kulkee neljää amplitudia vastaavaa polkua.

Värähtelyjakso

• Värähtelyjakso on aika, joka keholta kuluu yhden täydellisen värähtelyn suorittamiseen.

Värähtelyjaksoa merkitään kirjaimella T. Värähtelyjakson T yksiköt ovat sekunteja.

Jos ripustamme kaksi identtistä palloa eripituisiin lankoihin ja saatamme ne värähtelevään liikkeeseen, huomaamme, että samoilla aikaväleillä ne tekevät eri määrän värähtelyjä. Lyhyestä nauhasta ripustettu pallo värähtelee enemmän kuin pitkästä nauhasta ripustettu pallo.

Värähtelytaajuus

• Värähtelytaajuus kutsutaan niiden värähtelyjen lukumääräksi, jotka tapahtuivat aikayksikössä.

Värähtelytaajuutta merkitään kirjaimella ν (luetaan "nu"). Värähtelytaajuuden yksiköitä kutsutaan hertseiksi. Yksi hertsi tarkoittaa yhtä värähtelyä sekunnissa.

Värähtelyn jakso ja taajuus liittyvät toisiinsa seuraavalla suhteella:

Vapaan värähtelyn taajuutta kutsutaan värähtelyjärjestelmän luonnolliseksi taajuudeksi. Jokaisella järjestelmällä on oma värähtelytaajuus.

Värähtelyvaihe

On myös sellainen asia kuin värähtelyvaihe. Kahdella heilurilla voi olla sama värähtelytaajuus, mutta samalla ne voivat värähdellä eri vaiheissa, eli niiden nopeudet milloin tahansa suuntautuvat vastakkaisiin suuntiin.

• Jos heilurien nopeudet milloin tahansa suunnataan samaan suuntaan, he sanovat, että heilurit värähtelevät samoissa värähtelyvaiheissa.

Heilurit voivat myös värähdellä tietyllä vaihe-erolla, jolloin jossain vaiheessa niiden nopeuksien suunta osuu yhteen, toisissa taas ei.

Tämän video-opetusohjelman avulla voit tutkia itsenäisesti aihetta "Värähtelevää liikettä kuvaavat määrät". Tällä oppitunnilla opit kuinka ja millä määrillä värähteleviä liikkeitä luonnehditaan. Sellaisten suureiden, kuten amplitudin ja siirtymän, värähtelyjakson ja -taajuuden, määritelmä annetaan.

Tarkastellaan värähtelyjen kvantitatiivisia ominaisuuksia. Aloitetaan ilmeisimmällä ominaisuudella - amplitudilla. Amplitudi merkitty isolla kirjaimella A ja mitattu metreinä.

Määritelmä

Amplitudi kutsutaan maksimaaliseksi siirtymäksi tasapainoasennosta.

Usein amplitudi sekoitetaan värähtelyalueeseen. Swing on, kun keho värähtelee ääripisteestä toiseen. Ja amplitudi on suurin siirtymä, eli etäisyys tasapainopisteestä, tasapainoviivasta ääripisteeseen, johon se putosi. Amplitudin lisäksi on toinen ominaisuus - siirtymä. Tämä on nykyinen poikkeama tasapainoasennosta.

MUTTA - amplitudi -

X – offset –

Riisi. 1. Amplitudi

Katsotaanpa, kuinka amplitudi ja offset eroavat esimerkissä. Matemaattinen heiluri on tasapainotilassa. Heilurin sijaintiviiva alkuhetkellä on tasapainoviiva. Jos otat heilurin sivuun, tämä on sen suurin siirtymä (amplitudi). Muina aikoina etäisyys ei ole amplitudi, vaan yksinkertaisesti siirtymä.

Riisi. 2. Ero amplitudin ja offsetin välillä

Seuraava ominaisuus, johon siirrymme, on nimeltään värähtelyjakso.

Määritelmä

Värähtelyjakso on aika, jonka aikana tapahtuu yksi täydellinen värähtely.

Huomaa, että "jakso"-arvo on merkitty isolla kirjaimella , se määritellään seuraavasti: , .

Riisi. 3. Jakso

On syytä lisätä, että mitä enemmän otamme värähtelyjen lukumäärää pidemmältä ajalta, sitä tarkemmin määritämme värähtelyjakson.

Seuraava arvo on taajuus.

Määritelmä

Värähtelyjen lukumäärää aikayksikköä kohti kutsutaan taajuus vaihtelut.

Riisi. 4. Taajuus

Taajuus ilmaistaan ​​kreikkalaisella kirjaimella, joka luetaan "nu". Taajuus on värähtelyjen lukumäärän suhde aikaan, jonka aikana nämä värähtelyt tapahtuivat:.

Taajuusyksiköt. Tätä yksikköä kutsutaan "hertsiksi" saksalaisen fyysikon Heinrich Hertzin kunniaksi. Huomaa, että jakso ja taajuus liittyvät toisiinsa värähtelyjen lukumäärän ja ajan suhteen, jonka aikana tämä värähtely tapahtuu. Jokaisen värähtelyjärjestelmän taajuus ja jakso ovat vakioarvoja. Näiden määrien välinen suhde on melko yksinkertainen: .

Käsitteen "värähtelytaajuus" lisäksi käytetään usein käsitettä "syklinen värähtelytaajuus", eli värähtelyjen lukumäärä sekunnissa. Se on merkitty kirjaimella ja mitataan radiaaneina sekunnissa.

Kaaviot vapaista vaimentamattomista värähtelyistä

Tiedämme jo ratkaisun vapaiden värähtelyjen mekaniikan pääongelmaan - sinin tai kosinin lain. Tiedämme myös, että kuvaajat ovat tehokas työkalu fyysisten prosessien tutkimiseen. Puhutaanpa siitä, miltä siniaallon ja kosiniaallon kaaviot näyttävät, kun niitä sovelletaan harmonisiin värähtelyihin.

Aluksi määritellään singulaaripisteet värähtelyjen aikana. Tämä on välttämätöntä rakentamisen mittakaavan oikein valitsemiseksi. Harkitse matemaattista heiluria. Ensimmäinen heräävä kysymys on: mitä funktiota käyttää - sini vai kosini? Jos värähtely alkaa yläpisteestä - suurimmasta poikkeamasta, kosinilaki on liikkeen laki. Jos aloitat liikkumisen tasapainopisteestä, liikkeen laki on sinin laki.

Jos liikelaki on kosinin laki, niin neljänneksen jakson jälkeen heiluri on tasapainoasennossa, toisen neljänneksen jälkeen - ääripisteessä, toisen neljänneksen jälkeen - jälleen tasapainoasennossa ja toisen neljänneksen jälkeen. se palaa alkuperäiseen asentoonsa.

Jos heiluri värähtelee sinilain mukaan, niin neljänneksen jakson jälkeen se on ääripisteessä, toisen neljänneksen jälkeen - tasapainoasennossa. Sitten taas ääripisteessä, mutta toisella puolella ja toisen neljänneksen jakson jälkeen se palaa tasapainoasentoon.

Joten aika-asteikko ei ole mielivaltainen arvo 5 s, 10 s jne., vaan murto-osa jaksosta. Rakennamme kaavion jakson neljännesvuosittain.

Jatketaan rakentamista. vaihtelee joko sinin tai kosinin lain mukaan. Ordinaatta-akseli on , abskissa-akseli on . Aika-asteikko on yhtä suuri kuin jakson neljännekset: Kaavio on välillä - .

Riisi. 5. Riippuvuuskaaviot

Sinilain mukaisen värähtelyn kuvaaja poikkeaa nollasta ja on merkitty tummansinisellä (kuva 5). Kosinilainsäädännön mukaisen värähtelyn kuvaaja jättää maksimipoikkeaman paikan ja on merkitty sinisellä kuvassa. Kaaviot näyttävät täysin identtisiltä, ​​mutta ne ovat siirtyneet vaiheittain suhteessa toisiinsa neljänneksellä jaksolla tai radiaaneilla.

Riippuvuusgraafit ja näyttävät samanlaisilta, koska ne myös muuttuvat harmonisen lain mukaan.

Matemaattisen heilurin värähtelyjen ominaisuudet

Matemaattinen heiluri on materiaalinen massapiste, joka on ripustettu pitkälle venymättömälle painottomalle kierteelle, jonka pituus on .

Kiinnitä huomiota matemaattisen heilurin värähtelyjakson kaavaan: , missä on heilurin pituus, on vapaan pudotuksen kiihtyvyys.

Mitä pidempi heiluri, sitä pidempi on sen värähtelyjakso (kuva 6). Mitä pidempi lanka, sitä kauemmin heiluri heiluu.

Riisi. 6 Värähtelyjakson riippuvuus heilurin pituudesta

Mitä suurempi vapaan pudotuksen kiihtyvyys, sitä lyhyempi värähtelyjakso (kuva 7). Mitä suurempi vapaan pudotuksen kiihtyvyys, sitä voimakkaammin taivaankappale vetää painoa puoleensa ja sitä nopeammin sillä on taipumus palata tasapainoasentoon.

Riisi. 7 Värähtelyjakson riippuvuus vapaan pudotuksen kiihtyvyydestä

Huomaa, että värähtelyjakso ei riipu kuorman massasta ja värähtelyamplitudista (kuva 8).

Riisi. 8. Värähtelyjakso ei riipu värähtelyamplitudista

Galileo Galilei oli ensimmäinen, joka kiinnitti huomion tähän tosiasiaan. Tämän tosiasian perusteella ehdotetaan heilurikellomekanismia.

On huomattava, että kaavan tarkkuus on suurin vain pienillä, suhteellisen pienillä poikkeamilla. Esimerkiksi poikkeaman kohdalla kaavan virhe on . Suuremmilla poikkeamilla kaavan tarkkuus ei ole niin suuri.

Harkitse laadullisia ongelmia, jotka kuvaavat matemaattista heiluria.

Tehtävä.Miten heilurikellojen kulku muuttuu, jos ne: 1) kuljetetaan Moskovasta pohjoisnavalle; 2) kuljetus Moskovasta päiväntasaajalle; 3) nosta korkealle ylämäkeen; 4) ota se ulos lämmitetystä huoneesta kylmään.

Jotta ongelman kysymykseen voitaisiin vastata oikein, on ymmärrettävä, mitä "heilurikellon käynti" tarkoittaa. Heilurikellot perustuvat matemaattiseen heiluriin. Jos kellon värähtelyjakso on pienempi kuin tarvitsemme, kello alkaa kiihtyä. Jos värähtelyjakso pitenee tarpeettomana, kello jää jäljessä. Tehtävä rajoittuu vastaamaan kysymykseen: mitä tapahtuu matemaattisen heilurin värähtelyjaksolle kaikkien tehtävässä lueteltujen toimien seurauksena?

Tarkastellaanpa ensimmäistä tilannetta. Matemaattinen heiluri siirretään Moskovasta pohjoisnavalle. Muistamme, että maapallolla on geoidi, eli napoista litistetty pallo (kuva 9). Tämä tarkoittaa, että navalla vapaan pudotuksen kiihtyvyys on jonkin verran suurempi kuin Moskovassa. Ja koska vapaan pudotuksen kiihtyvyys on suurempi, värähtelyjakso lyhenee jonkin verran ja heilurikello alkaa kiirehtiä. Tässä jätämme huomiotta sen tosiasian, että pohjoisnavalla on kylmempää.

Riisi. 9. Vapaan pudotuksen kiihtyvyys on suurempi maan napoilla

Tarkastellaanpa toista tilannetta. Siirrämme kelloa Moskovasta päiväntasaajalle olettaen, että lämpötila ei muutu. Vapaan pudotuksen kiihtyvyys päiväntasaajalla on hieman pienempi kuin Moskovassa. Tämä tarkoittaa, että matemaattisen heilurin värähtelyjakso kasvaa ja kello alkaa hidastua.

Kolmannessa tapauksessa kelloa nostetaan korkealle ylämäkeen, mikä lisää etäisyyttä maan keskipisteeseen (kuva 10). Tämä tarkoittaa, että vapaan pudotuksen kiihtyvyys vuoren huipulla on pienempi. Värähtelyjakso pitenee kello jää taakse.

Riisi. 10 Painovoima on suurempi vuoren huipulla

Tarkastellaanpa viimeistä tapausta. Kello viedään lämpimästä huoneesta kylmään. Kun lämpötila laskee, kappaleiden lineaariset mitat pienenevät. Tämä tarkoittaa, että heilurin pituus pienenee hieman. Koska pituus on pienentynyt, myös värähtelyjakso on lyhentynyt. Kello kiihtyy.

Olemme pohtineet tyypillisimpiä tilanteita, joiden avulla voimme ymmärtää, kuinka matemaattisen heilurin värähtelyjakson kaava toimii.

Lopuksi harkitse toista värähtelyjen ominaisuutta - vaihe. Kerromme tarkemmin, mikä vaihe on vanhemmilla luokilla. Nykyään meidän on pohdittava, mihin tätä ominaisuutta voidaan verrata, verrata ja miten se määritellään itse. Kätevintä on verrata värähtelyn vaihetta heilurin nopeuteen.

Kuvassa 11 on kaksi identtistä heiluria. Ensimmäinen heiluri poikkeutettiin vasemmalle tietyllä kulmalla, toinen myös vasemmalle tietyllä kulmalla, samalla tavalla kuin ensimmäinen. Molemmat heilurit tekevät täsmälleen samat värähtelyt. Tässä tapauksessa voidaan sanoa, että heilurit värähtelevät samalla vaiheella, koska heilurin nopeuksilla on sama suunta ja samat moduulit.

Kuvassa 12 on kaksi samanlaista heiluria, mutta toinen on kallistettu vasemmalle ja toinen oikealle. Niillä on myös samat nopeudet modulo, mutta suunta on päinvastainen. Tässä tapauksessa heilurien sanotaan värähtelevän vastavaiheessa.

Kaikissa muissa tapauksissa pääsääntöisesti mainitaan vaihe-ero.

Riisi. 13 Vaiheero

Värähtelyn vaihe mielivaltaisessa ajankohdassa voidaan laskea kaavalla , eli syklisen taajuuden ja värähtelyjen alkamisesta kuluneen ajan tulona. Vaihe mitataan radiaaneina.

Jousiheilurin värähtelyjen ominaisuudet

Jousiheilurin värähtelyn kaava: . Siten jousiheilurin värähtelyjakso riippuu kuorman massasta ja jousen jäykkyydestä.

Mitä suurempi kuorman massa on, sitä suurempi on sen inertia. Eli heiluri kiihtyy hitaammin, sen värähtelyjakso on pidempi (kuva 14).

Riisi. 14 Värähtelyjakson riippuvuus massasta

Mitä suurempi jousen jäykkyys on, sitä nopeammin se pyrkii palaamaan tasapainoasentoonsa. Kevätheilurin jakso on lyhyempi.

Riisi. 15 Värähtelyjakson riippuvuus jousen jäykkyydestä

Harkitse kaavan soveltamista ongelman esimerkissä.

Riisi. 17 Värähtelyjakso

Jos korvaamme nyt kaikki tarvittavat arvot massan laskentakaavassa, saamme:

Vastaus: painon paino on noin 10 g.

Aivan kuten matemaattisen heilurin tapauksessa, jousiheilurin värähtelyjakso ei riipu sen amplitudista. Tämä pätee luonnollisesti vain pieniin poikkeamiin tasapainoasennosta, kun jousen muodonmuutos on elastinen. Tämä tosiasia oli perusta jousikellojen rakentamiselle (kuva 18).

Riisi. 18 Kevätkello

Johtopäätös

Tietenkin värähtelyjen ja niiden ominaisuuksien lisäksi, joista puhuimme, on muita yhtä tärkeitä värähtelevän liikkeen ominaisuuksia. Mutta puhumme niistä lukiossa.

Bibliografia

1. Kikoin A.K. Värähtelevän liikkeen laista // Kvant. - 1983. - nro 9. - S. 30-31.
2. Kikoin I.K., Kikoin A.K. Fysiikka: oppikirja. 9 solulle. keskim. koulu - M.: Enlightenment, 1992. - 191 s.
3. Chernoutsan A.I. Harmoniset värähtelyt - tavallisia ja hämmästyttäviä // Kvant. - 1991. - Nro 9. - S. 36-38.
4. Peryshkin A.V., Gutnik E.M. Fysiikka. 9. luokka: yleissivistävän oppikirja. laitokset / A.V. Peryshkin, E.M. Gutnik. - 14. painos, stereotypia. - M.: Bustard, 2009. - 300 s.

1. Internet-portaali "abitura.com" ()
2. Internet-portaali "phys-portal.ru" ()
3. Internet-portaali "fizmat.by" ()

Kotitehtävät

1. Mitä ovat matemaattiset ja jousiheilurit? Mitä eroa niillä on?
2. Mikä on harmoninen värähtely, värähtelyjakso?
3. 200 g:n paino värähtelee jousella, jonka jäykkyys on 200 N/m. Laske värähtelyjen mekaaninen kokonaisenergia ja kuorman suurin liikkeen nopeus, jos värähtelyjen amplitudi on 10 cm (kitka huomioimatta).

Takaisin eteenpäin

Huomio! Dian esikatselu on tarkoitettu vain tiedoksi, eikä se välttämättä edusta esityksen koko laajuutta. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.

Tavoitteet:

• tutustuttaa opiskelijat värähtelyliikettä kuvaaviin suureisiin, selvittää mistä värähtelyjakso riippuu;
• kehittää kykyä soveltaa tietoa käytännössä, osallistua koulutuksen ongelmatilanteiden ratkaisuun, kehittää loogista ajattelua;
• kasvattaa kognitiivista kiinnostusta, aktiivisuutta, kiinnostusta uuden oppimateriaalin oppimiseen.

Oppitunnin tyyppi: uuden materiaalin oppiminen.

Laitteet: tietokone, näyttö, multimediaprojektori, kolmijalat, sekuntikellot, viivain, kompassi, pallo lanka.

Demot: jousiheiluri, kierreheiluri.

TUTKIEN AIKANA

I. Organisatorinen hetki

Oppitunnin aiheen ja tarkoituksen ilmoittaminen. (Dia 1)

II. Perustietojen päivittäminen

Etuäänestys: jatka lausetta: (Diat 2, 3)

1. Liikettä, jossa keho poikkeaa yhteen tai toiseen, kutsutaan ...
2. Pääominaisuus...
3. Kappale värähtelee kierteessä tai runko jousessa ...
4. Matemaattista heiluria kutsutaan ...
5. Värähdyksiä, jotka syntyvät vain energian alkusyötöstä, kutsutaan ...
6. Vapaasti värähtelevät kappaleet ovat vuorovaikutuksessa muiden kappaleiden kanssa ja muodostavat yhdessä niiden kanssa kappalejärjestelmän, jota kutsutaan ...
7. Yksi värähtelyjärjestelmien tärkeimmistä yleisistä ominaisuuksista on ...

Valitse oikea vastaus: (Dia 4)

1. Mitkä seuraavista liikkeistä ovat mekaanisia tärinöitä?

A. Keinuliike.
B. Maahan putoavan pallon liike.
B. Kuuluvan kitaran kielen liike

2. Kutsutaan vapaita värähtelyjä, jotka tapahtuvat ...

A. ... kitkavoimat
B. ... ulkoiset voimat
B. ... sisäiset voimat

Keskustelu(Dia 5)

1. Miten ymmärrät väitteen, että värähtelevä liike on jaksollista?
2. Mikä yhteinen piirre (paitsi jaksollisuus) kuvassa 2 esitettyjen kappaleiden liikkeillä on? 48, s. 87.
3. Mitä kappaleita jousiheiluriksi kutsuttuun värähtelyjärjestelmään kuuluu?

III. Pääosa. Uuden materiaalin oppiminen

Mielenosoitukset kehon värähtely jousella ja kierteellä. Esitellään värähtelyliikkeen pääominaisuudet: värähtelyjen amplitudi, jakso, taajuus ja vaihe: (Dia 6)

Amplitudi - suurin poikkeama suhteessa tasapainoasemaan (A, m)
Jakso - täyden värähtelyn aika (T, s)
Taajuus - värähtelyjen määrä aikayksikköä kohti ( v, Hz)
Värähtelyvaihe - ajan kulmamitta

Kaavat: (Dia 7)

T = 1/ v; T \u003d t / n - jakso(t)
v= 1/T; v= n/t - taajuus ( Hz )
A - amplitudi ( m )
- vaihe (rad)

IV. Korjaus: (Dia 8)

1. Määritä materiaalipisteen jakso ja taajuus, joka tekee 50 täydellistä värähtelyä 20 sekunnissa.
2. Kuinka monta värähtelyä materiaalipiste saa aikaan 5 sekunnissa värähtelytaajuudella 440 Hz.

Luokan tehtävänä on selvittää, mikä määrittää matemaattisen heilurin värähtelyjakson. Luokka on jaettu 3 "kokeilijoiden" ryhmään. (Dia 9) Jokainen ryhmä saa tehtävän:

Tehtävä ryhmälle 1. Määritä empiirisesti, riippuuko matemaattisen heilurin värähtelyjakso sen massasta.
Varusteet: kolmijalka kytkimellä, kierre, painosarja, sekuntikello.

Tehtävä ryhmälle 2. Selvitä, riippuuko matemaattisen heilurin värähtelyjakso värähtelyn amplitudista.
Varusteet: kolmijalka kytkimellä, minkä tahansa pituinen heiluri, astemittari, sekuntikello.

Tehtävä ryhmälle 3. Selvitä, riippuuko matemaattisen heilurin värähtelyjakso sen pituudesta.
Varusteet: kytkimellä varustettu jalusta, minkä tahansa pituinen heiluri, senttimetrin nauha, sekuntikello.

Opiskelijat tulevat itsenäisesti johtopäätökseen: matemaattisen heilurin värähtelyjakso ei riipu kehon massasta, ei riipu värähtelyjen amplitudista, vaan riippuu vain matemaattisen heilurin pituudesta.

V. Yleistys:(Diat 10, 11)

Mikä määrittää matemaattisen heilurin värähtelyjakson:

Kierteeseen ripustettu paino aiheuttaa pieniä värähtelyjä. Listaa kaikki oikeat väitteet:

A. Mitä pidempi lanka, sitä pidempi värähtelyjakso.
B. Värähtelytaajuus riippuu kuorman massasta.
B. Kuorma ohittaa tasapainoasennon säännöllisin väliajoin

Kierteeseen ripustettu paino aiheuttaa pieniä vaimentamattomia tärinöitä, osoita kaikki oikeat väitteet

A. Mitä pidempi lanka, sitä suurempi värähtelytaajuus
B. Kun kuorma ohittaa tasapainoasennon, kuorman nopeus on suurin
B. Kuorma tekee ajoittain liikettä

Värähtelevän liikkeen ominaisuudet: amplitudi, jakso ja taajuus. (Dia 12)

Matemaattisen heilurin värähtelyjakso ei riipu kuorman amplitudista tai massasta, vaan riippuu langan pituudesta ja vapaan pudotuksen kiihtyvyydestä

VI. Kotitehtävät:§ 26, esim. 24 (2, 3, 4). (Dia 13)

Valmistele raportti tai viesti aiheesta "Kuinka matemaattisten heilurien värähtelyjakson riippuvuutta vapaan pudotuksen kiihtyvyydestä käytetään geologisessa etsinnässä?"

VII. Heijastus. Yhteenveto oppitunnista:(Dia 14)

Tunnelmasi oppitunnilla:

1. Ei vaikutelmia
2. Hyvä
3. Huono

Kirjallisuus:

1. Koulun varustaminen teknisillä välineillä nykyaikaisissa olosuhteissa. Ed. L. S. Zaznobina. - M .: UT:n "Perspektiivi", 2000.
2. Gorlova L.A."Epäperinteiset tunnit, fysiikan oppitunnin ulkopuoliset toiminnot" - M .: "VAKO", 2006.
3. Peryshkin A.V., Gutnik E.M. Physics-9, M: Bustard, 2003