Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestintää.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisen edun mukaisiin tarkoituksiin.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Suojelemme varotoimia – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Kuten muinaiset filosofit sanoivat: "Viisaus on tiedon rakkautta, ja rakkaus on kaiken mitta." "Measure" latinaksi on "moduuli", josta sana "moduuli" tulee. Ja tänään työskentelemme yhtälöiden kanssa, jotka sisältävät moduulin. Toivon, että kaikki järjestyy meille, ja oppitunnin lopussa meistä tulee viisaampia.

Ladata:

Esikatselu:

Pirogova Tatyana Nikolaevna, Taganrog, lukio nro 10.

Aihe: "Yhtälöiden ratkaiseminen moduulilla ja parametrilla"

Arvosana 10, vapaavalintaisen kurssin "Funktion ominaisuudet" tunti.

Tuntisuunnitelma.

1. Motivaatio.
2. Tiedon päivitys.
3. Lineaarisen yhtälön ratkaiseminen moduulilla eri tavoin.
4. Moduulin alla olevan moduulin sisältävien yhtälöiden ratkaisu.
5. Tutkimusmäärittämällä yhtälön juurien lukumäärän riippuvuus

| | x| - a |= sisään arvoista a ja b.

1. Heijastus.

Tuntien aikana.

Motivaatio. Kuten muinaiset filosofit sanoivat: "Viisaus on tiedon rakkautta, ja rakkaus on kaiken mitta.""Mitata" latinaksi -"moduuli", josta sana tuli"moduuli". Ja tänään työskentelemme yhtälöiden kanssa, jotka sisältävät moduulin. Toivon, että kaikki järjestyy meille, ja oppitunnin lopussa meistä tulee viisaampia.

Tiedon päivitys.Joten, muistetaan, mitä tiedämme jo moduulista.

• Moduulin määritelmä.Reaaliluvun moduuli on itse luku, jos se ei ole negatiivinen, ja sen vastakkainen luku, jos se on negatiivinen.

• Moduulin geometrinen merkitys.Oikean numeron moduuli A on yhtä suuri kuin etäisyys origosta koordinaattipisteeseen A numerorivillä.

– a 0 a

|– a | = | a | | a | x

• Suuruuseromoduulin geometrinen merkitys.Moduuli suuruusero| a - sisään | on koordinaattipisteiden välinen etäisyys a ja c numerorivillä

Nuo. segmentin pituus [ a in]

1) Jos a b 2) Jos a > b

a b b a

S = b - a S = a - b

3) Jos a \u003d b, niin S \u003d a - b \u003d b - a \u003d 0

• Moduulin perusominaisuudet

1. Luvun moduuli on ei-negatiivinen luku, ts.| x | ≥ 0 mille tahansa x:lle
2. Vastakkaisten lukujen moduulit ovat yhtä suuret, ts.| x | = |– x | mille tahansa x:lle
3. Moduulin neliö on yhtä suuri kuin alimoduulilausekkeen neliö, ts.| x | 2 = x 2 mille tahansa x:lle

4. Kahden luvun tulon moduuli on yhtä suuri kuin moduulien tulotekijät, eli | a b | = | a | · | b |

5. Jos murto-osan nimittäjä on muu kuin nolla, niin murto-osan moduuli on yhtä suuri kuin osamäärä, jossa osoittajan moduuli jaetaan nimittäjän moduulilla, ts. b ≠ 0

6. Minkä tahansa lukujen yhtäläisyydelle a ja b eriarvoisuudet:

| | a | – | b | | ≤ | a+b | ≤ | a | + | b |

| | a | – | b | | ≤ | a-b | ≤ | a | + | b |

• Moduulin kuvaaja y = | x | - suora kulma, jonka origossa on kärki, jonka sivut ovat 1. ja 2. neljänneksen puolittajat.
• Kuinka piirtää funktiokaavioita? y = | x –4|, y = | x +3|, y = | x –3|, y = | x | + 1,
• y = | x | – 3, y = | x | – 5, y = | x - 3 | + 3, y = | x - 3 | – 2, y = | x + 2 | – 5. y = || x| – a |

Esimerkki. ratkaise yhtälö.

Menetelmä 1. Menetelmä moduulien avaamiseksi aukkojen avulla.

Menetelmä 2. Suora moduulilaajennus.

Jos luvun moduuli on 3, niin se luku on 3 tai -3.

Menetelmä 3 . Käyttämällä moduulin geometrista merkitystä.

Numeroakselilta on löydettävä sellaiset x-arvot, jotka poistetaan luvusta 2 etäisyydellä, joka on yhtä suuri kuin 3.

Menetelmä 4. Yhtälön molempien puolten neliöinti.

Tämä käyttää moduuliominaisuutta

Ja se, että yhtälön molemmat puolet eivät ole negatiivisia.

Menetelmä 5. Yhtälön graafinen ratkaisu.

Merkitse. Rakennetaan funktioiden kuvaajia Ja:

Graafisten leikkauspisteiden abskissat antavat juuret

2 -1 0 1 2 3
2 -1 0 1 2 3 4 5
2 -1 0 1 2 3
2 -1 0 1 2 3 4 5

Itsenäinen työ

ratkaise yhtälöt:

| x – 1| = 3 | x – 5| = 3 | x –3| = 3 | x + 3| = 3 | x + 5| = 3

(-2; 4) (2; 8) (0; 6) (-6; 0) (-8;-2)

Lisää nyt toinen moduuli ehtoihin ja ratkaise yhtälöt:

| | x| – 1| = 3 | | x| -5| = 3 | | x | – 3| = 3 | | x | + 3| = 3 | | x | + 5| = 3

(ei juuria)

Kuinka monta juuria voi siis olla yhtälöllä muotoa | | x | – a |= sisään? Mistä se riippuu?

Tutkimustyötä aiheesta

«Yhtälön juurten lukumäärän riippuvuuden määrittäminen | | x | – a |= b alkaen a ja paikkaan »

Työskentelemme ryhmissä käyttäen analyyttisiä, graafisia ja geometrisia ratkaisumenetelmiä.

Selvitetään, millä ehdoilla tällä yhtälöllä on 1 juuri, 2 juuria, 3 juuria, 4 juuria ja ei juuria.

1 ryhmä (määritelmän mukaan)

2 ryhmää (käyttämällä moduulin geometrista tunnetta)

3 ryhmää (käyttämällä funktiokaavioita)

A > 0
	1 ryhmä	2 ryhmää	3 ryhmää
ei juuria	V c ≥ 0 c + a	V c ≥ 0 a + b	V c ≥ 0 V A
täsmälleen yksi juuri	b > 0 ja b + a = 0	b > 0 ja b + a = 0	c > 0 ja c = - a
täsmälleen kaksi juuria	b > 0 ja b + a > 0 – in + a	b > 0 ja b + a > 0 – in + a	> 0 ja > | a |
täsmälleen kolme juuria	c > 0 ja - c + a = 0	c > 0 ja - c + a = 0	b > 0 ja b = a
täsmälleen neljä juuria	c > 0 ja – c + a > 0	c > 0 ja – c + a > 0	> 0 ja sisään A

Vertaa tuloksia, tee yleinen johtopäätös ja laadi yleinen kaavio.

Ei tietenkään välttämättä tämä kaava muistaa . Tutkimuksemme pääpaino olinähdä tämän riippuvuuden eri menetelmillä, ja nyt meidän ei ole vaikeaa toistaa päättelyämme ratkaessaan tällaisia ​​yhtälöitä.

Loppujen lopuksi tehtävän ratkaiseminen parametrilla edellyttää aina tutkimusta.

Yhtälöiden ratkaisu kahdella moduulilla ja parametrilla.

1. Etsi arvot p, x| -R- 3| = 7:llä on täsmälleen yksi juuri.

Ratkaisu: | | x| – (p + 3)| = 7

p +3 = -7, p = -10. Tai geometrisesti

p + 3 – 7 p + 3 p + 3+7 p + 3+7=0, p = -10

7 7 kaavion mukaan tämän muotoisella yhtälöllä on täsmälleen yksi juuri, jos c \u003d - a, missä c \u003d 7, a \u003d p +3

2. Etsi arvot R, joille jokaiselle yhtälö | | x| -R- 6| = 11:llä on täsmälleen kaksi juuria.

Ratkaisu: | | x| – (p + 6)| = 11 geometrisesti

P + 6 - 11 p + 6 p + 6 + 11 p + 6-11 R p + 6+11>0, p > -17

11 11

kaavion mukaan tämän muotoisella yhtälöllä on täsmälleen kaksi juuria, jos in + a > 0 ja - in + a jossa a = 11, a = p +6. -17 R 5.

3. Etsi arvot R, joille jokaiselle yhtälö | | x| - 4 r | = 5 p -9:llä on täsmälleen neljä juuria.

Ratkaisu: kaavion mukaan tällaisella yhtälöllä on täsmälleen neljä juurta if

0p -9 p, p > ja p

nuo. 1 R 9.

Vastaus: 1 R 9.

4. . Etsi p-arvot, joille jokaiselle yhtälö | | x| – 2 r | = 5 p +2:lla ei ole juuria. Ratkaisu: 5 r +2 p +2 =0 ja –2 p >0 tai 5 p +2 >0 ja 5 p +2 R.

R p = –0,4 tai p > –0,4 ja p . Vastaus: p

5. Millä parametrin p arvoilla yhtälö | | x –4 | – 3| + 2 r = 0:lla on kolme juurta. Etsi ne juuret.

Muunnetaan yhtälö muotoon:

| | x –4 | – 3|= – 2 r.

Kaavan mukaan tällaisella yhtälöllä on kolme juurta,

jos –2 р =3>0,

Nuo. p = -1,5.

|| x –4|–3| = 3,

| x –4|=0, x = 4,

|| x –4|=6, x = –2, x =10.

Vastaus: osoitteessa r = -1,5 yhtälöllä on kolme juuria: x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 4, x 3 = 10.

Yhteenveto oppitunnista. Heijastus.

Kerro minulle, mitä korostaisit oppitunnin pääsanat? (moduuli, parametri)

Mitä teimme tänään? (Moduulin määritelmä, lukujen lukumäärän ja eron moduulin geometrinen merkitys, moduulin ominaisuudet, yhtälöiden eri ratkaisutavat)

Mitä teimme tänään?

Kotitehtävät.

21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 - 4 21 42 = 3025 - 3582< 0.

Vastaus: 1; 2.

§6. Yhtälöiden ratkaiseminen moduuleilla ja parametreilla

Tarkastellaan useita yhtälöitä, joissa muuttuja x on moduulimerkin alla. Muista tuo

x , jos x ≥ 0,

x = − x jos x< 0.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö:

a) x-2 = 3; b) x + 1 − 2x − 3 = 1;

x+2

X = 1; d) x 2 −

6; e) 6x 2 −

x+1

x - 1

a) Jos luvun moduuli on 3, niin tämä luku on joko 3 tai (− 3 ) ,

eli x − 2 = 3, x = 5 tai x − 2 = − 3, x = − 1.

b) Moduulin määritelmästä seuraa, että

x+1

X + 1, jos x + 1 ≥ 0,

eli jos x ≥ − 1 ja

x+1

= − x − 1 x:lle< − 1. Выражение

2x-3

2x − 3, jos x ≥ 3

ja yhtä suuri kuin − 2 x + 3, jos x< 3 .

x< −1

yhtälö

on sama kuin

yhtälö

- x -1 -

(− 2 x + 3 ) = 1, mikä tarkoittaa sitä

x = 5. Mutta luku 5 ei ole

täyttää ehdon x< − 1, следовательно,

klo x< − 1 данное

yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

−1 ≤ x<

yhtälö

on sama kuin

yhtälö

x + 1− (2x + 3) = 1, mikä tarkoittaa, että x = 1;

numero 1 tyydyttää-

ei ehtoa − 1 ≤ x<

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 5, 8 solua. Matematiikka. Toisen asteen yhtälöt

x ≥

yhtälö

on sama kuin

yhtälö

x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, jolla on ratkaisu x = 3. Ja koska luku 3

täyttää ehdon x ≥

niin se on yhtälön ratkaisu.

x+2

c) Jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä

on sama

x - 1

merkkejä, niin murto-osa on positiivinen, ja jos eri, niin se on negatiivinen, ts.

x+2

x+2

Jos x ≤ − 2, jos x > 1,

x - 1

x - 1

x+2

Jos – 2< x < 1.

−1

Kun x ≤ − 2

ypre x > 1

alkuperäinen yhtälö vastaa yhtälöä

x+2

X=1, x+2

X (x-1) = x -1, x 2 - x +3 =0.

x - 1

Viimeisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Klo -2< x < 1 данное уравнение равносильно уравнению

x+2

X \u003d 1, - x -2 + x 2 - x \u003d x -1, x 2 -3 x -1 \u003d 0.

x - 1

Etsitään tämän yhtälön juuret:

x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13 .

epätasa-arvoa

− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13

Seuraa-

Siksi tämä luku on yhtälön ratkaisu.

x ≥ 0 annettu

yhtälö

on sama kuin

yhtälö

x2 - x -6 = 0,

jonka juuret ovat luvut 3 ja - 2. Luku 3

täyttää ehdon x > 0,

ja numero - 2 ei tyydytä tätä

Siksi vain numero 3 on ratkaisu alkuperäiseen

x< 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

© 2011, FZFTSH at MIPT. Kokoonpano: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 5, 8 solua. Matematiikka. Toisen asteen yhtälöt
		x ≥ − 1 annettu	yhtälö	on sama kuin				yhtälö
6 x 2 − x − 1 = 0, etsi sen juuret: x = 1 ±				25, x = 1, x				= −1 .
Molemmat juuret täyttävät ehdon x ≥ − 1,					siksi he ovat
ovat tämän yhtälön ratkaisuja. klo				x< − 1 данное уравнение
vastaa yhtälöä 6 x 2 + x + 1 = 0, jolla ei ole ratkaisuja.
Olkoon lausekkeet f (x , a ) ja g (x , a ),					muutoksesta riippuvainen
x	ja a.	Sitten yhtälö	f (x, a) = g(x, a)		muutoksen suhteen -

noah x kutsutaan yhtälö parametrin kanssa a. Yhtälön ratkaiseminen parametrin avulla tarkoittaa minkä tahansa parametrin sallitun arvon osalta löytää kaikki tämän yhtälön ratkaisut.

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö kaikille parametrin a kelvollisille arvoille:

a) kirves 2 - 3 \u003d 4 a 2 - 2 x 2; b) (a - 3) x 2 = a 2 - 9;

c) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.

x 2 =	4a 2 + 3	Lauseke 4 ja 2		3 > 0 mille tahansa a:lle; a > − 2:lle meillä on
	a + 2
meillä on kaksi ratkaisua: x =			4a 2 + 3	ja x = −	4a 2		Jos	a + 2< 0, то
			a + 2		a + 2

lauseke 4 a 2 + 3< 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

	Vastaus: x = ±	4a 2 + 3	Jos a > − 2;	arvolle a ≤ − 2 ei ole ratkaisuja.
		a + 2
				niin x 2 = a + 3. Jos a + 3 = 0,
	b) Jos a = 3, niin x. Jos a ≠ 3,
	nuo. jos a = -3,	silloin yhtälöllä on ainutlaatuinen ratkaisu x = 0.

onko a< − 3, то уравнение не имеет решений. Если a >− 3 ja a ≠ 3, niin yhtälöllä on kaksi ratkaisua: x 1 = a + 3 ja x 2 = − a + 3.

© 2011, FZFTSH at MIPT. Kokoonpano: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 5, 8 solua. Matematiikka. Toisen asteen yhtälöt

a = 1 tämä yhtälö saa muodon

4x − 1 = 0,

x=1

on hänen ratkaisunsa. klo

a ≠ 1 tämä yhtälö on

neliö, sen diskriminantti D 1 on

(a + 1 ) 2 − (a − 1 )(a − 2 ) = 5 a − 1.

Jos 5 a - 1< 0, т.е. a < 1 ,

silloin tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Jos a =

niin yhtälöllä on ainutlaatuinen ratkaisu

a+1

x = −

a - 1

−1

Jos >

ja a ≠ 1,

niin tällä yhtälöllä on kaksi ratkaisua:

x = − (a + 1 ) ± 5 a − 1 .

a - 1

−(a +1 ) ±

1 klo

a = 1; x=3

a

; x=

5a-1

a - 1

> 1

ja a ≠ 1; a< 1

yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

§7. Yhtälöjärjestelmien ratkaisu. Neliöyhtälöiksi pelkistäviä tehtäviä

Tässä osiossa tarkastellaan järjestelmiä, jotka sisältävät toisen asteen yhtälöitä.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälöjärjestelmä

2x + 3v = 8

xy = 2.

Tässä järjestelmässä yhtälö 2 x + 3 y = 8 on ensimmäisen asteen yhtälö ja yhtälö xy = 2 on toinen. Ratkaisemme tämän järjestelmän menetelmällä

© 2011, FZFTSH at MIPT. Kokoonpano: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 5, 8 solua. Matematiikka. Toisen asteen yhtälöt

vaihdot. Järjestelmän ensimmäisestä yhtälöstä ilmaisemme x:n y:llä ja korvaamme tällä lausekkeella x:n järjestelmän toisella yhtälöllä:

	8-3v	4 −
				v 4			v y = 2.

Viimeinen yhtälö pelkistyy toisen asteen yhtälöksi

8v − 3v 2 = 4, 3v 2 − 8v + 4 = 0.

Sen juurten löytäminen:

4 ± 4

4 ± 2

Y = 2, y

Ehdosta x = 4 −

saamme x = 1, x

Vastaus: (1;2) ja

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

x 2 + y 2 \u003d 41,

xy = 20.

Kerro toisen yhtälön molemmat puolet kahdella ja lisää ensimmäiseen

järjestelmän yhtälö:	x 2 + y 2 + 2xy \u003d 41 + 20 2,				(x + y) 2 = 81, mistä
tästä seuraa, että x + y = 9 tai x + y = − 9.
Jos x + y = 9, niin	x = 9 − y . Korvaa tämä lauseke x in:llä
järjestelmän toinen yhtälö:
(9 - y ) y = 20, y 2 - 9 y + 20 = 0,
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1, y = 5, y				4, x=4, x=5.
Ehdosta x + y = − 9 saadaan ratkaisut (− 4; − 5) ja (− 5; − 4 ) .
Vastaus: (± 4; ± 5) , (± 5; ± 4) .
Esimerkki 3. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:
		y = 1
	x -
	x − y

Kirjoitamme järjestelmän toisen yhtälön muotoon

( x − y )( x + y ) = 5.

© 2011, FZFTSH at MIPT. Kokoonpano: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 5, 8 solua. Matematiikka. Toisen asteen yhtälöt

Käyttämällä yhtälöä x − y = 1 saadaan: x + y = 5. Näin saadaan yhtälöjärjestelmä, joka vastaa annettua

	x -	y = 1
		y = 5.

Lisäämme nämä yhtälöt, saamme: 2 x \u003d 6,		x=3, x=9.
Korvataan arvo x = 9 ensimmäiseen yhtälöön			järjestelmät, vastaanotto
meillä on 3 − y = 1, mikä tarkoittaa, että y = 4.
Vastaus: (9;4) .	(x + y)(x		Y −4 ) = −4,
Esimerkki 4. Ratkaise yhtälöjärjestelmä: (x 2 + y 2 ) xy \u003d - 160.
				xy=v;
Otetaan käyttöön uusia muuttujia	x + y = u
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v,
u (u -4 ) = -4,
systeemi pelkistetään muotoon (u 2 − 2 v ) v = − 160.
Ratkaisemme yhtälön:
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2.
Korvaamme tämän arvon u:lle yhtälöön:
(u 2 - 2v ) v = - 160, (4 - 2 v ) v = - 160, 2 v 2 - 4 v - 160 = 0,
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1 ± 9, v= 10, v						= −8.
Ratkaisemme kaksi yhtälöjärjestelmää:
	x + y = 2,
x + y = 2,
	Ja
xy = 10	xy = − 8.
Ratkaisemme molemmat järjestelmät korvausmenetelmällä. Ensimmäisessä järjestelmässä meillä on:
x= 2 − y, ( 2 − y) y= 10, y2 − 2 y+ 10 = 0.

Tuloksena olevalla toisen asteen yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Toista järjestelmää varten meillä on: x= 2 − y, (2 − y) y= − 8, y2 − 2 y− 8 = 0.

y= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, y1 = 4, y2 = − 2. Sittenx1 = − 2 Jax2 = 4. Vastaus: (− 2;4 ) Ja(4; − 2 ) .

© 2011, FZFTSH at MIPT. Kokoonpano: Yakovleva Tamara Kharitonovna

kerrottuna 3:lla saamme:

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 5, 8 solua. Matematiikka. Toisen asteen yhtälöt

Esimerkki 5 Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

x 2 + 4 xy = 3,

y 2 + 3 xy = 2.

Ensimmäisestä yhtälöstä kerrottuna 2, vähennä toinen yhtälö,

2 x 2 − xy − 3 y 2 = 0.

Jos y= 0, sitten ja x= 0, mutta pari numeroa (0;0 ) ei ole ratkaisu alkuperäiseen järjestelmään. Jaamme yhtälön molemmat osat tuloksena olevaan yhtälöön

johtajuus päällä y2 ,

1 ± 5 , x = 2 y Ja x = − y .

−3

= 0,

y

Korvaava

merkitys

x =

3y

ensimmäinen yhtälö

9 y2 + 6 y2 = 3, 11y2 = 4, y=

, x=

, x= −

Korvaamme arvon x= − y järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön: y2 − 4 y2 = 3, − 3 y2 = 3.

Ratkaisuja ei ole.

Esimerkki 9 Etsi kaikki parametriarvot a, jolle yhtälöjärjestelmä

x 2 + ( y − 2 ) 2 = 1,

y = kirves 2 .

on ainakin yksi ratkaisu.

Tätä järjestelmää kutsutaan järjestelmäksi, jossa on parametri. Ne voidaan ratkaista analyyttisesti, ts. käyttämällä kaavoja tai voit käyttää niin sanottua graafista menetelmää.

Huomaa, että ensimmäinen yhtälö määrittelee ympyrän, jonka keskipiste on pisteessä (0;2 ) jonka säde on 1. Toinen yhtälö a≠ 0 määrittelee paraabelin, jonka kärki on origossa.

Jos a 2

Tapauksessa a), paraabeli koskettaa ympyrää. Järjestelmän toisesta yhtälöstä

em mitä x2 = y/ a,

korvaa nämä arvot

x 2

ensimmäiseen yhtälöön:

1

+(y−2 )

= 1,

+ y

− 4 y+ 4 = 1, y

4 − ay+ 3

= 0.

Tangenssin tapauksessa symmetriasta johtuen on ainutlaatuinen arvo y, joten tuloksena olevan yhtälön diskriminantin tulisi olla

on 0. Ordinaatista lähtien y kosketuspiste on positiivinen, ja koska

y = 2

− a

saamme

> 0; D

1 2

4 − a

4 − a

− 12 = 0,

4 − a

> 0

saamme: 4

= 2

= 4 −2

a =

4 + 2 3

4 + 2 3

2 +

( 4 − 2 3)( 4 + 2 3) =

16 − 12 =

4 − 2 3

Jos a> 2 + 2 3 , silloin paraabeli leikkaa ympyrän 4 pisteessä

© 2011, FZFTSH at MIPT. Kokoonpano: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 5, 8 solua. Matematiikka. Toisen asteen yhtälöt

Siksi järjestelmässä on ainakin yksi ratkaisu jos

a≥ 2 + 2 3 .

Esimerkki 10 Jonkin luonnollisen kaksinumeroisen luvun numeroiden neliöiden summa on 9 enemmän kuin kaksi kertaa näiden numeroiden tulo. Kun tämä kaksinumeroinen luku on jaettu sen numeroiden summalla, osamäärä on 4 ja jäännös 3. Etsi tämä kaksinumeroinen luku.

Olkoon kaksinumeroinen luku 10 a+ b, Missä a Ja b ovat tämän luvun numeroita. Sitten ongelman ensimmäisestä ehdosta saamme: a2 + b2 = 9 + 2 ab, ja toisesta ehdosta saamme: 10 a+ b= 4 (a+ b) + 3.

a 2 + b 2 = 9 + 2 ab ,

Ratkaisemme yhtälöjärjestelmän: 6 a− 3 b= 3.

Järjestelmän toisesta yhtälöstä saamme

6a− 3b= 3, 2a− b= 1, b= 2a− 1.

Korvaamme tämän arvon b järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön:

a2 + ( 2a− 1) 2 = 9 + 2a( 2a− 1) , 5a2 − 4a+ 1 = 9 + 4a2 − 2a,

a2 − 2a− 8 = 0, D1 = 1 + 8 = 9, a= 1 ± 3, a1 = 4, a2 = − 2 < 0, b1 = 7.

Vastaus: 47.

Esimerkki 11. Kun oli sekoitettu kaksi liuosta, joista toinen sisälsi 48 g ja toinen 20 g vedetöntä kaliumjodidia, saatiin 200 g uutta liuosta. Määritä kunkin alkuperäisen liuoksen pitoisuus, jos ensimmäisen liuoksen pitoisuus oli 15 % suurempi kuin toisen.

Merkitse x% on toisen liuoksen pitoisuus ja läpi (x+ 15 ) % on ensimmäisen liuoksen pitoisuus.

(x+ 15 )%			x %
I ratkaisu			II ratkaisu

Ensimmäisessä liuoksessa on 48 g (x+ 15 ) painoprosenttia koko liuoksesta,

joten liuoksen paino on x48 + 15 100. Toisessa liuoksessa 20 g ko-

© 2011, FZFTSH at MIPT. Kokoonpano: Yakovleva Tamara Kharitonovna

10x - 5y - 3z = - 9,

6 x + 4 y - 5 z = - 1,3 x - 4 y - 6 z = - 23.

Tasaamme kertoimet kohdassa x ensimmäisessä ja toisessa yhtälössä, tätä varten kerromme ensimmäisen yhtälön molemmat osat 6:lla ja toisen yhtälön 10:llä, saamme:

60x - 30 y - 18z = -54,60x + 40 y - 50z = -10.

Vähennämme tuloksena olevan järjestelmän toisesta yhtälöstä ensimmäisen yhtälön

saamme: 70 y - 32 z = 44, 35 y - 16 z = 22.

Vähentämällä kolmas yhtälö kerrottuna 2:lla alkuperäisen järjestelmän toisesta yhtälöstä, saadaan: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12v + 7z = 45.

Nyt ratkaisemme uuden yhtälöjärjestelmän:

35v − 16z = 22,12v + 7z = 45.

Uuden järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön, kerrottuna 7:llä, lisäämme toisen yhtälön, kerrottuna 16:lla, saamme:

35 7 v + 12 16 v = 22 7 + 45 16,

Nyt korvaamme y = 2, z = 3 alkuperäisen järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön

aiheet, saamme: 10x - 5 2 - 3 3 = - 9, 10x - 10 - 9 = - 9, 10x = 10, x = 1.

Vastaus: (1; 2; 3) . ▲

§ 3. Järjestelmien ratkaisu parametreilla ja moduuleilla

ax + 4y = 2a,

Harkitse yhtälöjärjestelmää

x + ay = a.

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 3, 8 solua. Matematiikka. Yhtälöjärjestelmät.

Tässä järjestelmässä on itse asiassa kolme muuttujaa, nimittäin: a , x , y . Tuntemattomat ovat x ja y , ja a:ta kutsutaan parametriksi. Tämän järjestelmän ratkaisut (x , y ) on löydettävä jokaiselle parametrin a arvolle.

Näytämme, kuinka tällaiset järjestelmät ratkaistaan. Ilmaistaan ​​muuttuja x järjestelmän toisesta yhtälöstä: x = a − ay . Korvaamme tämän arvon x:llä järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön, saamme:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a ) y = a (2 − a ) .

Jos a = 2, niin saadaan yhtälö 0 y = 0. Mikä tahansa luku y täyttää tämän yhtälön, ja sitten x = 2 − 2 y , eli jos a = 2, lukupari (2 − 2 y ; y ) on ratkaisu järjestelmään. Koska voit olla

mikä tahansa luku, niin systeemillä a = 2 on äärettömän monta ratkaisua.

Jos a = − 2, niin saadaan yhtälö 0 y = 8. Tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Jos nyt a ≠ ± 2,				sitten y =		a (2 - a)
						(2 − a )(2 + a )		2 + a
x = a − ay = a −
				2 + a

Vastaus: Kun a = 2, järjestelmällä on äärettömän monta muotoa (2 − 2 y ; y ) olevia ratkaisuja, joissa y on mikä tahansa luku;

kun a = − 2 järjestelmällä ei ole ratkaisuja;
≠ ± 2:lle järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu						. ▲
		2 + a		2 + a

Olemme ratkaisseet tämän järjestelmän ja selvittäneet, mille parametrin a arvoille järjestelmällä on yksi ratkaisu, milloin sillä on äärettömän monta ratkaisua ja mille parametrin a arvoille sillä ei ole ratkaisuja.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälöjärjestelmä

© 2010, FZFTSH at MIPT. Kokoonpano: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 3, 8 solua. Matematiikka. Yhtälöjärjestelmät.

−3

y - 1

3x − 2y = 5.

Järjestelmän toisesta yhtälöstä ilmaistaan ​​x y:llä, saamme

2v + 5

korvaamme tämän arvon x:llä sys-

aiheita, saamme:

2v+5

−3

y - 1

−3

−1

5 = 0

Ilmaisu

y = −

y > −

; Jos

−5

= −y

Lauseke y − 1 = 0,

jos y = 1. Jos

y > 1 siis

y - 1

Y − 1 ja

onko y< 1, то

y - 1

1 - v.

Jos y ≥ 1, niin

y - 1

Y −1 ja

saamme yhtälön:

−3 (v

− 1) = 3,

−3 v

3, −

(2 2 +

5 ) = 3. Luku 2 > 1, joten pari (3;2) on uudelleen

järjestelmä.

Anna nyt

5 ≤ v<1,

y - 1

− y;

löytäminen

saamme

yhtälö

3v-3

4v + 10

3v = 6

13v = 8

© 2010, FZFTSH at MIPT. Kokoonpano: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 3, 8 solua. Matematiikka. Yhtälöjärjestelmät.

(2v + 5) =

Mutta vähemmän kuin

siis pari numeroa

on ratkaisu järjestelmään.

y< −

sitten saamme yhtälön:

3v-3

4v-

3v = 6

5v =

28, y = 28.

merkitys

joten ratkaisuja ei ole.

Siten järjestelmässä on kaksi ratkaisua (3;2) ja 13 27 ; 13 8 . ▲

§ 4. Tehtävien ratkaisu yhtälöjärjestelmien avulla

Esimerkki 1. Auto kulkee kaupungista kylään 2,5 tunnissa. Jos hän lisää nopeuttaan 20 km/h, niin 2 tunnissa hän kulkee 15 km pidemmän matkan kuin etäisyys kaupungista kylään. Etsi tämä etäisyys.

Merkitse S:llä kaupungin ja kylän välinen etäisyys ja V:llä auton nopeus. Sitten S:n löytämiseksi saamme kahden yhtälön järjestelmän

2,5 V = S

(V + 20) 2 = S + 15.

© 2010, FZFTSH at MIPT. Kokoonpano: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 3, 8 solua. Matematiikka. Yhtälöjärjestelmät.

toiseen yhtälöön:		S+202	S+15,		S = 25	S = 125.

Vastaus: 125 km. ▲

Esimerkki 2. Kaksinumeroisen luvun numeroiden summa on 15. Jos nämä numerot vaihdetaan keskenään, saadaan luku, joka on 27 enemmän kuin alkuperäinen. Etsi nämä numerot.

Olkoon annettu luku ab , ts. kymmenien lukumäärä on a ja yksiköiden lukumäärä b. Tehtävän ensimmäisestä ehdosta saamme: a + b = 15. Jos vähennämme luvusta ba luvun ab, niin saadaan 27, tästä saadaan toinen yhtälö: 10 b + a − (10 a + b ) = 27. x

Lukuvuosi 2010-2011 vuosi., nro 3, 8 solua. Matematiikka. Yhtälöjärjestelmät.

Kerro yhtälön molemmat puolet 20:llä, saamme: x + 8 y = 840. Löytääksemme x ja y, saimme yhtälöjärjestelmän

Vastaus: 40 tonnia, 100 tonnia ▲

Esimerkki 4. Tietokoneoperaattori, joka työskentelee opiskelijan kanssa, käsittelee tehtävän 2 tunnissa ja 24 minuutissa. Jos operaattori työskentelee 2 tuntia ja opiskelija 1 tunnin, niin

lapset tekivät 2 3 kaikista töistä. Kuinka kauan operaattorilla kestää

ru ja opiskelija erikseen käsittelemään tehtävän?

Merkitään kaikki työt arvolla 1, operaattorin suorituskyky x:llä ja oppilaiden suoritus y:llä. Otamme sen huomioon

2 tuntia 24 minuuttia = 2 5 2 tuntia = 12 5 tuntia.

Tehtävän ensimmäisestä ehdosta seuraa, että (x+y ) 12 5 = 1. Tehtävän toisesta ehdosta seuraa, että 2 x + y = 2 3 . Saatiin yhtälöjärjestelmä

(x+y)

2 x + y =

Ratkaisemme tämän järjestelmän korvausmenetelmällä:

− 2 x ;

-2 x

−x

− 1;

; x=

; y=

© 2010, FZFTSH at MIPT. Kokoonpano: Yakovleva Tamara Kharitonovna

dia 2

.

Yhtälöiden ratkaiseminen parametreilla ja moduuleilla, funktioiden ominaisuuksien soveltaminen odottamattomissa tilanteissa ja geometristen tekniikoiden hallinta ongelmien ratkaisemiseksi. Epästandardit yhtälöt Oppitunnin tarkoitus.

dia 3

Luvun a itseisarvo tai moduuli on luku a, jos a>0, luku -a jos a 0 ׀ a ׀=( 0 jos a=0 -a jos a 0) on ekvivalentti kaksois-epäyhtälölle -a 0 . Epäyhtälö ׀ x ׀>a, (jos a>0) vastaa kahta epäyhtälöä - Inequality׀ x׀>a, (jos a

dia 4

Yhtälön ratkaiseminen parametreilla tarkoittaa osoittamista, millä parametrien arvoilla ratkaisuja on olemassa ja mitä ne ovat. a) määrittää tuntemattomien ja parametrien sallitut arvot; b) etsi jokaiselle hyväksyttävälle parametriarvojärjestelmälle vastaavat yhtälön ratkaisut. Tärkeimmän teoreettisen materiaalin toisto aiheista "Yhtälöiden ratkaisu parametreilla"

dia 5

1. Ratkaise yhtälö ׀ x-2 ׀ =5; Vastaus 7;-3 ׀ x-2 ׀ =-5; Päätöksen vastaus on ei ׀ x-2 ׀ =x+5; ; Vastaus on ei; 1,5 ׀ x-2 ׀ \u003d ׀ x + 5 ׀; Vastaus on ei; -1,5; ratkaisua ei ole; -1,5; suulliset harjoitukset.

dia 6

2. Ratkaise yhtälöt=1; Vastaus. Jos a=0, niin ratkaisua ei ole, jos a=0, niin x=1/ a 1.3. Ratkaise yhtälö (a²-1) x \u003d a + 1. 1) a \u003d 1; silloin yhtälö saa muotoa Ox = 2 ja sillä ei ole ratkaisua 2) a = 1; saamme Ox = O, ja ilmeisesti x on mikä tahansa. 1 3) jos a \u003d ± 1, niin x \u003d - a-1 Vastaus. Jos a \u003d -1, niin x on mikä tahansa; jos a \u003d 1, niin ei ole ratkaisua 1 jos a \u003d ± 1, niin x \u003d - a-1

Dia 7

2. Ratkaise yhtälö ׀ x + 3 ׀ + ׀ y -2 ׀ = 4; . 2 3. 4. 1

Dia 8

3 3 2 x y 0 1 Vastaus: (-3; 2).

Dia 9

2. Ratkaise yhtälöt ax=1;

Vastaus. Jos a=0, ratkaisua ei ole; jos a=0, niin x=1/ a 1.3. Ratkaise yhtälö (a²-1) x \u003d a + 1. 1) a \u003d 1; silloin yhtälö saa muotoa Ox = 2 ja sillä ei ole ratkaisua 2) a = 1; saamme Ox = O, ja ilmeisesti x on mikä tahansa. 1 3) jos a \u003d ± 1, niin x \u003d - a-1 Vastaus. Jos a \u003d -1, niin x on mikä tahansa; jos a \u003d 1, niin ei ole ratkaisua 1 jos a \u003d ± 1, niin x \u003d - a-1

Dia 10

3 Muodosta funktion kuvaaja

y x Y=IxI 1 2 -3 -4 -1 1 -2 2 3 0 -5 4 5 6 -1 -2 Y=Ix+3I-2 Y=Ix-2I Y=Ix+5I Y=Ix-2I + 3