Ensimmäinen taso

Lineaariset yhtälöt. Täydellinen opas (2019)

Mitä ovat "lineaariset yhtälöt"

tai suullisesti - kolmelle ystävälle annettiin kullekin omena, koska Vasyalla on kaikki omenat.

Ja nyt olet päättänyt lineaarinen yhtälö
Annetaan nyt tälle termille matemaattinen määritelmä.

Lineaarinen yhtälö - on algebrallinen yhtälö, jonka osapolynomien kokonaisaste on. Se näyttää tältä:

Missä ja ovat numerot ja

Vasyan ja omenoiden tapauksessa kirjoitamme:

- "Jos Vasya antaa kaikille kolmelle ystävälle saman määrän omenoita, hänellä ei ole omenoita jäljellä"

"Piilotetut" lineaariset yhtälöt tai identtisten muunnosten tärkeys

Huolimatta siitä, että ensi silmäyksellä kaikki on erittäin yksinkertaista, yhtälöitä ratkaiseessasi sinun on oltava varovainen, koska lineaarisia yhtälöitä kutsutaan paitsi muodon yhtälöiksi, myös kaikkiin yhtälöihin, jotka muunnokset ja yksinkertaistukset pelkistyvät tähän muotoon. Esimerkiksi:

Näemme, että se on oikealla, mikä teoriassa jo osoittaa, että yhtälö ei ole lineaarinen. Lisäksi, jos avaamme sulut, saamme vielä kaksi termiä, joissa se on, mutta älä tee hätiköityjä johtopäätöksiä! Ennen kuin arvioida, onko yhtälö lineaarinen, on tarpeen tehdä kaikki muunnokset ja siten yksinkertaistaa alkuperäistä esimerkkiä. Tässä tapauksessa muunnokset voivat muuttaa ulkonäköä, mutta eivät yhtälön ydintä.

Toisin sanoen näiden muutosten täytyy olla identtinen tai vastaava. Tällaisia ​​muutoksia on vain kaksi, mutta niillä on erittäin, ERITTÄIN tärkeä rooli ongelmien ratkaisemisessa. Tarkastellaan molempia muunnoksia konkreettisilla esimerkeillä.

Siirrä vasemmalle - oikealle.

Oletetaan, että meidän on ratkaistava seuraava yhtälö:

Ala-asteella meille sanottiin: "X:n kanssa - vasemmalle, ilman X - oikealle." Mikä lauseke x:llä on oikealla? Aivan, ei miten ei. Ja tämä on tärkeää, koska jos tämä näennäisesti yksinkertainen kysymys ymmärretään väärin, tulee väärä vastaus. Ja mikä on lauseke x vasemmalla? Oikein,.

Nyt kun olemme käsitelleet tämän, siirrämme kaikki termit, joissa on tuntematon, vasemmalle ja kaikki mikä tiedetään oikealle, muistaen, että jos esimerkiksi luvun edessä ei ole merkkiä, niin luku on positiivinen, että on, sitä edeltää merkki " ".

Siirretty? Mitä sinä sait?

Ainoa mitä on tehtävä, on saada samanlaiset ehdot. Esitämme:

Joten olemme onnistuneesti jäsentäneet ensimmäisen identtisen muunnoksen, vaikka olen varma, että tiesit sen jo ja käytit sitä aktiivisesti ilman minua. Tärkeintä - älä unohda numeroiden merkkejä ja muuta ne päinvastaisiksi siirtäessäsi yhtäläisyysmerkin kautta!

Kerto-jako.

Aloitetaan heti esimerkillä

Katsomme ja ajattelemme: mistä emme pidä tässä esimerkissä? Tuntematon on yhdessä osassa, tunnettu on toisessa, mutta jokin pysäyttää meidät ... Ja tämä on jotain - neljä, koska jos sitä ei olisi, kaikki olisi täydellistä - x on yhtä kuin luku - juuri sellaisena kuin tarvitsemme!

Miten siitä pääsee eroon? Emme voi siirtää oikealle, koska silloin meidän on siirrettävä koko kerroin (emme voi ottaa sitä ja repiä sitä pois), eikä myöskään koko kertoimen siirtäminen ole järkevää ...

On aika muistaa jako, jonka yhteydessä jaetaan kaikki vain! Kaikki - tämä tarkoittaa sekä vasenta että oikeaa puolta. Niin ja vain niin! Mitä saamme?

Tässä on vastaus.

Katsotaanpa nyt toista esimerkkiä:

Arvaa mitä tehdä tässä tapauksessa? Aivan oikein, kerro vasen ja oikea osa! Millaisen vastauksen sait? oikein. .

Tiesit varmasti jo kaiken identtisistä muutoksista. Ajattele, että päivitimme juuri tämän tiedon muistissasi ja on aika tehdä jotain muuta - Esimerkiksi ratkaista iso esimerkkimme:

Kuten aiemmin totesimme, sitä tarkasteltuna et voi sanoa, että tämä yhtälö on lineaarinen, mutta meidän on avattava sulut ja suoritettava identtiset muunnokset. Joten aloitetaan!

Aluksi muistamme lyhennetyn kertolaskukaavat, erityisesti summan neliön ja erotuksen neliön. Jos et muista, mikä se on ja kuinka sulut avataan, suosittelen lämpimästi aiheen lukemista, sillä näistä taidoista on sinulle hyötyä, kun ratkaiset melkein kaikki kokeesta löytyneet esimerkit.
Paljastettu? Vertailla:

Nyt on aika tuoda samanlaiset ehdot. Muistatko kuinka meille kerrottiin samoissa perusluokissa "emme laita kärpäsiä kotlettien kanssa"? Tässä muistutan teitä tästä. Lisäämme kaikki erikseen - tekijät, joilla on, tekijät, joilla on, ja muut tekijät, joilla ei ole tuntemattomia. Kun tuot samanlaisia ​​termejä, siirrä kaikki tuntemattomat vasemmalle ja kaikki tunnetut oikealle. Mitä sinä sait?

Kuten näette, x-neliö on kadonnut, ja näemme täysin tavallisen lineaarinen yhtälö. Jää vain löytää!

Ja lopuksi sanon vielä yhden erittäin tärkeän asian identtisistä muunnoksista - identtiset muunnokset eivät sovellu vain lineaarisille yhtälöille, vaan myös neliö-, murto-rationaalisille ja muille. Sinun on vain muistettava, että siirrettäessä tekijöitä yhtäläisyysmerkin kautta, muutamme merkin päinvastaiseksi, ja jakamalla tai kertomalla jollakin numerolla, kerromme / jaamme yhtälön molemmat puolet samalla numerolla.

Mitä muuta otit pois tästä esimerkistä? Että yhtälöä katsomalla ei aina ole mahdollista suoraan ja tarkasti määrittää, onko se lineaarinen vai ei. Sinun on ensin yksinkertaistettava ilmaus täysin ja vasta sitten arvioitava, mikä se on.

Lineaariset yhtälöt. Esimerkkejä.

Tässä on vielä pari esimerkkiä, joita voit harjoitella itse - määritä, onko yhtälö lineaarinen, ja jos on, etsi sen juuret:

Vastaukset:

1. On.

2. Ei ole.

Avataan sulut ja annetaan vastaavat termit:

Tehdään identtinen muunnos - jaamme vasemman ja oikean osan:

Näemme, että yhtälö ei ole lineaarinen, joten sen juuria ei tarvitse etsiä.

3. On.

Tehdään identtinen muunnos - kerrotaan vasen ja oikea puoli päästäksesi eroon nimittäjästä.

Mieti, miksi se on niin tärkeää? Jos tiedät vastauksen tähän kysymykseen, siirrymme yhtälön ratkaisemiseen, jos ei, muista tutkia aihetta, jotta et tee virheitä monimutkaisemmissa esimerkeissä. Muuten, kuten näet, tilanne, jossa se on mahdotonta. Miksi?
Joten mennään eteenpäin ja järjestellään yhtälö:

Jos selvisit kaikesta vaikeuksitta, puhutaan lineaarisista yhtälöistä, joissa on kaksi muuttujaa.

Lineaariset yhtälöt kahdella muuttujalla

Siirrytään nyt hieman monimutkaisempaan - lineaarisiin yhtälöihin kahdella muuttujalla.

Lineaariset yhtälöt kahdella muuttujalla näyttää tältä:

Missä ja ovatko numerot ja.

Kuten näet, ainoa ero on, että yhtälöön lisätään vielä yksi muuttuja. Ja niin kaikki on sama - ei ole x-ruutua, ei ole jakoa muuttujalla jne. jne.

Millaisen elämänesimerkin sinulle antaa... Otetaanpa sama Vasya. Oletetaan, että hän päättää antaa jokaiselle kolmelle ystävälleen saman määrän omenoita ja pitää omenat itselleen. Kuinka monta omenaa Vasyan pitää ostaa, jos hän antaa jokaiselle ystävälle omenan? Entä? Mitä jos mennessä?

Kunkin henkilön saamien omenoiden lukumäärän riippuvuus ostettavien omenoiden kokonaismäärästä ilmaistaan ​​yhtälöllä:

• - omenoiden lukumäärä, jonka henkilö saa (, tai, tai);
• - omenoiden määrä, jonka Vasya ottaa itselleen;
• - kuinka monta omenaa Vasyan on ostettava, kun otetaan huomioon omenoiden määrä henkilöä kohti.

Ratkaisemalla tämän ongelman, saamme, että jos Vasya antaa yhdelle ystävälle omenan, hänen on ostettava palasia, jos hän antaa omenoita - ja niin edelleen.

Ja yleisesti ottaen. Meillä on kaksi muuttujaa. Miksei tätä riippuvuutta piirretä graafiin? Rakennamme ja merkitsemme omamme arvon, eli pisteet, koordinaateilla ja!

Kuten näette, ja riippuvat toisistaan lineaarisesti, tästä syystä yhtälöiden nimi - " lineaarinen».

Abstraktioimme omenoista ja tarkastelemme graafisesti erilaisia ​​yhtälöitä. Katso huolellisesti kahta muodostettua kuvaajaa - suoraa ja paraabelia, jotka on annettu mielivaltaisilla funktioilla:

Etsi ja merkitse molemmista kuvioista vastaavat pisteet.
Mitä sinä sait?

Voit nähdä sen ensimmäisen funktion kaaviosta yksin vastaa yksi, eli ja ovat lineaarisesti riippuvaisia ​​toisistaan, mitä ei voida sanoa toisesta funktiosta. Voit tietysti vastustaa, että toisessa kaaviossa x vastaa myös - , mutta tämä on vain yksi piste, eli erikoistapaus, koska voit silti löytää sellaisen, joka vastaa useampaa kuin yhtä. Ja rakennettu graafi ei muistuta millään tavalla suoraa, vaan on paraabeli.

Toistan vielä kerran: lineaarisen yhtälön kaavion on oltava SUORA.

Koska yhtälö ei ole lineaarinen, jos mennään jossain määrin - tämä on ymmärrettävää paraabelin esimerkillä, vaikka voit rakentaa itsellesi muutaman yksinkertaisen kaavion, esimerkiksi tai. Mutta vakuutan teille - yksikään niistä ei ole SUORA.

Älä usko? Rakenna ja vertaa sitten siihen mitä sain:

Ja mitä tapahtuu, jos jaamme jotain esimerkiksi jollain luvulla? Tuleeko lineaarinen riippuvuus ja? Emme väitä, mutta rakennamme! Piirretään esimerkiksi funktiokaavio.

Jotenkin se ei näytä rakennetulta suoralta ... vastaavasti yhtälö ei ole lineaarinen.
Tehdään yhteenveto:

1. Lineaarinen yhtälö - on algebrallinen yhtälö, jossa sen muodostavien polynomien kokonaisaste on yhtä suuri.
2. Lineaarinen yhtälö yhdellä muuttujalla näyttää tältä:
   , missä ja ovat mitkä tahansa numerot;
   Lineaarinen yhtälö kahdella muuttujalla:
   , missä ja ovat mitkä tahansa numerot.
3. Aina ei ole mahdollista heti määrittää, onko yhtälö lineaarinen vai ei. Joskus tämän ymmärtämiseksi on tarpeen suorittaa identtisiä muunnoksia, siirtää samanlaisia ​​termejä vasemmalle / oikealle unohtamatta muuttaa etumerkkiä tai kertoa / jakaa yhtälön molemmat osat samalla numerolla.

LINEAARISET YHTÄLÖT. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

1. Lineaarinen yhtälö

Tämä on algebrallinen yhtälö, jossa sen muodostavien polynomien kokonaisaste on yhtä suuri.

2. Lineaarinen yhtälö yhdellä muuttujalla näyttää:

Missä ja ovat numeroita;

3. Lineaarinen yhtälö kahdella muuttujalla näyttää:

Missä ja onko numeroita.

4. Identiteettimuunnokset

Sen määrittämiseksi, onko yhtälö lineaarinen vai ei, on tehtävä identtiset muunnokset:

• siirry vasemmalle/oikealle kuten termejä unohtamatta vaihtaa merkkiä;
• kerro/jaa yhtälön molemmat puolet samalla luvulla.

Yhtälöiden ratkaisemisen oppiminen on yksi algebran opiskelijoille esittämistä päätehtävistä. Aloitetaan yksinkertaisimmasta, jolloin se koostuu yhdestä tuntemattomasta, ja siirrytään yhä monimutkaisempiin. Jos et ole hallinnut ensimmäisen ryhmän yhtälöiden kanssa suoritettavia toimia, on vaikea käsitellä muita.

Jotta keskustelua voidaan jatkaa, meidän on sovittava merkinnöistä.

Tuntemattoman lineaarisen yhtälön yleinen muoto ja sen ratkaisuperiaate

Mikä tahansa yhtälö, joka voidaan kirjoittaa näin:

a * x = tuumaa,

nimeltään lineaarinen. Tämä on yleinen kaava. Mutta usein tehtävissä lineaariset yhtälöt kirjoitetaan implisiittisessä muodossa. Sitten on suoritettava identtiset muunnokset, jotta saadaan yleisesti hyväksytty merkintä. Näitä toimia ovat mm.

• avaussulut;
• siirretään kaikki muuttuvan arvon omaavat termit yhtälön vasemmalle puolelle ja loput oikealle;
• vastaavien ehtojen vähentäminen.

Siinä tapauksessa, että tuntematon arvo on murtoluvun nimittäjässä, on tarpeen määrittää sen arvot, joille lausekkeella ei ole järkeä. Toisin sanoen sen oletetaan tuntevan yhtälön alue.

Periaate, jolla kaikki lineaariset yhtälöt ratkaistaan, on jakaa yhtälön oikealla puolella oleva arvo muuttujan edessä olevalla kertoimella. Eli "x" on yhtä suuri kuin / a.

Lineaarisen yhtälön erityistapaukset ja niiden ratkaisut

Päättelyn aikana saattaa esiintyä hetkiä, jolloin lineaariyhtälöt saavat jonkin erikoismuodon. Jokaisella niistä on erityinen ratkaisu.

Ensimmäisessä tilanteessa:

a * x = 0, ja a ≠ 0.

Tämän yhtälön ratkaisu on aina x = 0.

Toisessa tapauksessa "a" saa arvon, joka on yhtä suuri kuin nolla:

0 * x = 0.

Vastaus tähän yhtälöön on mikä tahansa luku. Eli sillä on ääretön määrä juuria.

Kolmas tilanne näyttää tältä:

0*x=in, missä ≠ 0.

Tässä yhtälössä ei ole järkeä. Koska ei ole juuria, jotka tyydyttävät häntä.

Lineaarisen yhtälön yleinen muoto kahdella muuttujalla

Sen nimestä käy selväksi, että siinä on jo kaksi tuntematonta määrää. Lineaariset yhtälöt kahdella muuttujalla näyttää tältä:

a * x + b * y = c.

Koska merkinnässä on kaksi tuntematonta, vastaus näyttää numeroparilta. Eli ei riitä, että määritetään vain yksi arvo. Tämä on epätäydellinen vastaus. Suureen pari, jolla yhtälöstä tulee identtisyys, on yhtälön ratkaisu. Lisäksi vastauksessa aakkosten ensimmäisenä oleva muuttuja kirjoitetaan aina ensin. Joskus sanotaan, että nämä luvut tyydyttävät hänet. Lisäksi tällaisia ​​pareja voi olla ääretön määrä.

Kuinka ratkaista lineaarinen yhtälö, jossa on kaksi tuntematonta?

Tätä varten sinun tarvitsee vain poimia mikä tahansa oikeaksi osoittautunut numeropari. Yksinkertaisuuden vuoksi voit ottaa yhden tuntemattomista, jotka ovat yhtä suuria kuin jokin alkuluku, ja löytää sitten toisen.

Ratkaisun yhteydessä joudut usein suorittamaan toimintoja yhtälön yksinkertaistamiseksi. Niitä kutsutaan identtisiksi muunnoksiksi. Lisäksi seuraavat ominaisuudet ovat aina totta yhtälöille:

• jokainen termi voidaan siirtää tasa-arvon vastakkaiseen osaan korvaamalla sen etumerkki vastakkaisella;
• minkä tahansa yhtälön vasen ja oikea puoli voidaan jakaa samalla luvulla, jos se ei ole nolla.

Esimerkkejä tehtävistä lineaarisilla yhtälöillä

Ensimmäinen tehtävä. Ratkaise lineaariset yhtälöt: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Tässä luettelossa ensimmäisenä olevassa yhtälössä riittää jakaa 20 4:llä. Tulos on 5. Tämä on vastaus: x \u003d 5.

Kolmas yhtälö edellyttää, että identiteettimuunnos suoritetaan. Se koostuu sulkeiden avaamisesta ja vastaavien termien tuomisesta. Ensimmäisen toimenpiteen jälkeen yhtälö on muodossa: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. Sitten sinun on siirrettävä kaikki tuntemattomat tasa-arvon vasemmalle puolelle ja loput oikealle. Yhtälö näyttää tältä: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. Samankaltaisten termien tuomisen jälkeen: 14x \u003d 16. Nyt se näyttää samalta kuin ensimmäinen, ja sen ratkaisu on helppo löytää. Vastaus on x=8/7. Mutta matematiikassa sen oletetaan eristävän koko osa väärästä murtoluvusta. Sitten tulos muunnetaan, ja "x" on yhtä suuri kuin yksi kokonaisuus ja yksi seitsemäsosa.

Muissa esimerkeissä muuttujat ovat nimittäjässä. Tämä tarkoittaa, että sinun on ensin selvitettävä, mille arvoille yhtälöt on määritelty. Tätä varten sinun on suljettava pois luvut, joissa nimittäjät muuttuvat nollaan. Ensimmäisessä esimerkissä se on "-4", toisessa "-3". Eli nämä arvot tulisi jättää vastauksen ulkopuolelle. Sen jälkeen sinun on kerrottava yhtälön molemmat puolet nimittäjässä olevilla lausekkeilla.

Avaamalla sulut ja tuomalla samanlaiset termit, ensimmäisessä yhtälössä käy ilmi: 5x + 15 = 4x + 16 ja toisessa 5x + 15 = 4x + 12. Muutosten jälkeen ensimmäisen yhtälön ratkaisu on x = -1. Toinen osoittautuu yhtä suureksi kuin "-3", mikä tarkoittaa, että viimeisellä ei ole ratkaisuja.

Toinen tehtävä. Ratkaise yhtälö: -7x + 2y = 5.

Oletetaan, että ensimmäinen tuntematon x \u003d 1, sitten yhtälö on muodossa -7 * 1 + 2y \u003d 5. Siirtämällä kertoimen "-7" yhtälön oikealle puolelle ja muuttamalla sen etumerkiksi plus, se kääntyy ulos, että 2y \u003d 12. Joten, y =6. Vastaus: yksi yhtälön ratkaisuista x = 1, y = 6.

Yleinen epäyhtälön muoto yhdellä muuttujalla

Tässä on esitetty kaikki mahdolliset epätasa-arvotilanteet:

• a * x > b;
• kirves< в;
• a*x ≥v;
• a * x ≤c.

Yleensä se näyttää yksinkertaisimmalta lineaariselta yhtälöltä, vain yhtäläisyysmerkki korvataan epäyhtälöllä.

Säännöt identtisille eriarvoisuuden muunnoksille

Aivan kuten lineaarisia yhtälöitä, epäyhtälöitä voidaan muokata tiettyjen lakien mukaan. He päätyvät tähän:

1. mikä tahansa kirjaimellinen tai numeerinen lauseke voidaan lisätä epäyhtälön vasempaan ja oikeaan osaan, jolloin epäyhtälömerkki pysyy samana;
2. on myös mahdollista kertoa tai jakaa samalla positiivisella luvulla, tästä taas etumerkki ei muutu;
3. kun kerrotaan tai jaetaan samalla negatiivisella luvulla, yhtälö pysyy tosi, mikäli epäyhtälömerkki käännetään.

Kaksinkertaisen epätasa-arvon yleinen muoto

Tehtävissä voidaan esittää seuraavat epäyhtälöiden muunnelmat:

• sisään< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• sisään< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Sitä kutsutaan kaksinkertaiseksi, koska sitä rajoittavat epätasa-arvomerkit molemmilla puolilla. Se ratkaistaan ​​samoilla säännöillä kuin tavalliset epäyhtälöt. Ja vastauksen löytäminen johtaa sarjaan identtisiä muutoksia. Kunnes saadaan yksinkertaisin.

Kaksinkertaisen epäyhtälön ratkaisemisen piirteet

Ensimmäinen näistä on sen kuva koordinaattiakselilla. Tätä menetelmää ei tarvitse käyttää yksinkertaisissa epäyhtälöissä. Mutta vaikeissa tapauksissa se voi olla yksinkertaisesti välttämätöntä.

Epäyhtälön kuvaamiseksi on tarpeen merkitä akselille kaikki päättelyn aikana saadut pisteet. Nämä ovat sekä virheellisiä arvoja, jotka on merkitty pisteillä, että arvoja muunnosten jälkeen saaduista epäyhtälöistä. Tässäkin on tärkeää piirtää pisteet oikein. Jos eriarvoisuus on tiukkaa, niin< или >, niin nämä arvot puhkaistaan. Ei-tiukoissa epäyhtälöissä pisteet on maalattava päälle.

Sitten on tarpeen osoittaa eriarvoisuuksien merkitys. Tämä voidaan tehdä viivoituksella tai kaarilla. Niiden leikkauspiste osoittaa vastauksen.

Toinen ominaisuus liittyy sen tallentamiseen. Tässä tarjotaan kaksi vaihtoehtoa. Ensimmäinen on lopullinen eriarvoisuus. Toinen on aukkojen muodossa. Tässä hän joutuu vaikeuksiin. Aukkojen vastaus näyttää aina muuttujalta, jossa on omistajamerkki ja suluissa numerot. Joskus on useita aukkoja, joten sinun on kirjoitettava "ja" -symboli sulujen väliin. Nämä merkit näyttävät tältä: ∈ ja ∩. Välisuluilla on myös oma roolinsa. Pyöreä asetetaan, kun piste jätetään pois vastauksesta, ja suorakulmainen sisältää tämän arvon. Ääretön merkki on aina suluissa.

Esimerkkejä eriarvoisuuksien ratkaisemisesta

1. Ratkaise epäyhtälö 7 - 5x ≥ 37.

Yksinkertaisten muunnosten jälkeen selviää: -5x ≥ 30. Jakamalla "-5":llä saadaan seuraava lauseke: x ≤ -6. Tämä on jo vastaus, mutta se voidaan kirjoittaa toisella tavalla: x ∈ (-∞; -6].

2. Ratkaise kaksois-epäyhtälö -4< 2x + 6 ≤ 8.

Ensin sinun on vähennettävä kaikkialla 6. Osoittautuu: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Yhtälöjärjestelmiä käytetään laajasti talousteollisuudessa eri prosessien matemaattisessa mallintamisessa. Esimerkiksi tuotannon johtamisen ja suunnittelun, logistiikkareittien (kuljetusongelma) tai laitteiden sijoittamisen ongelmia ratkaistaessa.

Yhtälöjärjestelmiä ei käytetä vain matematiikan alalla, vaan myös fysiikassa, kemiassa ja biologiassa populaation koon selvittämiseen liittyviä ongelmia ratkaistaessa.

Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on termi kahdelle tai useammalle yhtälölle, joissa on useita muuttujia, joille on tarpeen löytää yhteinen ratkaisu. Sellainen lukujono, jonka kaikista yhtälöistä tulee todellisia yhtäläisyyksiä tai todistetaan, että sarjaa ei ole olemassa.

Lineaarinen yhtälö

Yhtälöitä, joiden muoto on ax+by=c, kutsutaan lineaariseksi. Nimet x, y ovat tuntemattomia, joiden arvo on löydettävä, b, a ovat muuttujien kertoimet, c on yhtälön vapaa termi.
Yhtälön ratkaiseminen piirtämällä sen kuvaaja näyttää suoralta, jonka kaikki pisteet ovat polynomin ratkaisuja.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien tyypit

Yksinkertaisimmat ovat esimerkkejä lineaarisista yhtälöjärjestelmistä, joissa on kaksi muuttujaa X ja Y.

F1(x, y) = 0 ja F2(x, y) = 0, missä F1,2 ovat funktioita ja (x, y) ovat funktiomuuttujia.

Ratkaise yhtälöjärjestelmä - se tarkoittaa sellaisten arvojen (x, y) löytämistä, joille järjestelmästä tulee todellinen yhtäläisyys, tai sen toteamista, ettei x:n ja y:n ole sopivia arvoja.

Pistekoordinaateiksi kirjoitettua arvoparia (x, y) kutsutaan lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisuksi.

Jos järjestelmillä on yksi yhteinen ratkaisu tai ratkaisua ei ole, niitä kutsutaan vastaaviksi.

Homogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät ovat järjestelmiä, joiden oikea puoli on nolla. Jos "yhtä"-merkin jälkeisellä oikealla osalla on arvo tai se ilmaistaan ​​funktiolla, tällainen järjestelmä ei ole homogeeninen.

Muuttujien lukumäärä voi olla paljon enemmän kuin kaksi, silloin meidän pitäisi puhua esimerkistä lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä, jossa on kolme muuttujaa tai enemmän.

Järjestelmien edessä koululaiset olettavat, että yhtälöiden lukumäärän on välttämättä oltava sama kuin tuntemattomien lukumäärä, mutta näin ei ole. Yhtälöiden määrä järjestelmässä ei riipu muuttujista, niitä voi olla mielivaltaisen paljon.

Yksinkertaisia ​​ja monimutkaisia ​​menetelmiä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen

Tällaisten järjestelmien ratkaisemiseksi ei ole olemassa yleistä analyyttistä tapaa, kaikki menetelmät perustuvat numeerisiin ratkaisuihin. Matematiikan koulukurssilla kuvataan yksityiskohtaisesti sellaiset menetelmät kuin permutaatio, algebrallinen summaus, substituutio sekä graafinen ja matriisimenetelmä, ratkaisu Gaussin menetelmällä.

Ratkaisumenetelmien opetuksen päätehtävänä on opettaa analysoimaan järjestelmää oikein ja löytämään kullekin esimerkille optimaalinen ratkaisualgoritmi. Tärkeintä ei ole muistaa kunkin menetelmän sääntö- ja toimintajärjestelmää, vaan ymmärtää tietyn menetelmän soveltamisen periaatteet.

Yleissivistävän kouluohjelman 7. luokan lineaariyhtälöjärjestelmien esimerkkien ratkaisu on melko yksinkertainen ja se on selitetty erittäin yksityiskohtaisesti. Kaikissa matematiikan oppikirjoissa tähän osioon on kiinnitetty riittävästi huomiota. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien esimerkkien ratkaisua Gaussin ja Cramerin menetelmällä tutkitaan tarkemmin korkeakoulujen ensimmäisillä kursseilla.

Järjestelmien ratkaisu korvausmenetelmällä

Korvausmenetelmän toiminnot tähtäävät yhden muuttujan arvon ilmaisemiseen toiseen. Lauseke korvataan jäljellä olevalla yhtälöllä, jonka jälkeen se pelkistetään yhdeksi muuttujaksi. Toimenpide toistetaan riippuen järjestelmän tuntemattomien määrästä

Otetaan esimerkki 7. luokan lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä korvausmenetelmällä:

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, muuttuja x ilmaistiin kaavalla F(X) = 7 + Y. Tuloksena oleva lauseke, joka korvattiin järjestelmän 2. yhtälöllä X:n tilalla, auttoi saamaan yhden muuttujan Y 2. yhtälöön . Tämän esimerkin ratkaisu ei aiheuta vaikeuksia ja mahdollistaa Y-arvon saamisen.Viimeinen vaihe on saatujen arvojen tarkistaminen.

Aina ei ole mahdollista ratkaista esimerkkiä lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä substituutiolla. Yhtälöt voivat olla monimutkaisia ​​ja muuttujan ilmaisu toiseksi tuntemattomaksi tulee olemaan liian hankalaa jatkolaskutoimille. Kun järjestelmässä on enemmän kuin 3 tuntematonta, korvausratkaisu on myös epäkäytännöllinen.

Lineaarisen epähomogeenisen yhtälöjärjestelmän esimerkin ratkaisu:

Ratkaisu käyttämällä algebrallista summaa

Kun haetaan ratkaisua järjestelmiin summausmenetelmällä, suoritetaan termi kerrallaan yhtälöiden yhteenlasku ja kertominen eri luvuilla. Matemaattisten operaatioiden perimmäinen tavoite on yhtälö, jossa on yksi muuttuja.

Tämän menetelmän sovellukset vaativat harjoittelua ja tarkkailua. Ei ole helppoa ratkaista lineaarista yhtälöjärjestelmää summausmenetelmällä, jossa muuttujia on 3 tai enemmän. Algebrallinen yhteenlasku on hyödyllinen, kun yhtälöt sisältävät murto- ja desimaalilukuja.

Ratkaisun toimintoalgoritmi:

1. Kerro yhtälön molemmat puolet jollakin luvulla. Aritmeettisen operaation seurauksena muuttujan yhden kertoimen tulee olla yhtä suuri kuin 1.
2. Lisää tuloksena oleva lauseke termi kerrallaan ja etsi yksi tuntemattomista.
3. Korvaa tuloksena oleva arvo järjestelmän 2. yhtälöön löytääksesi jäljellä olevan muuttujan.

Ratkaisumenetelmä ottamalla käyttöön uusi muuttuja

Uusi muuttuja voidaan ottaa käyttöön, jos järjestelmän on löydettävä ratkaisu enintään kahdelle yhtälölle, myös tuntemattomien lukumäärä saa olla enintään kaksi.

Menetelmää käytetään yksinkertaistamaan yhtä yhtälöistä ottamalla käyttöön uusi muuttuja. Uusi yhtälö ratkaistaan ​​syötetyn tuntemattoman suhteen ja saatua arvoa käytetään alkuperäisen muuttujan määrittämiseen.

Esimerkistä voidaan nähdä, että ottamalla käyttöön uusi muuttuja t oli mahdollista pelkistää järjestelmän 1. yhtälö standardineliötrinomiksi. Voit ratkaista polynomin etsimällä diskriminantin.

Diskriminantin arvo on löydettävä hyvin tunnetulla kaavalla: D = b2 - 4*a*c, missä D on haluttu diskriminantti, b, a, c ovat polynomin kertoimet. Annetussa esimerkissä a=1, b=16, c=39, joten D=100. Jos diskriminantti on suurempi kuin nolla, on olemassa kaksi ratkaisua: t = -b±√D / 2*a, jos diskriminantti on pienempi kuin nolla, niin ratkaisuja on vain yksi: x= -b / 2*a.

Ratkaisu syntyneille järjestelmille löydetään summausmenetelmällä.

Visuaalinen menetelmä järjestelmien ratkaisemiseen

Sopii järjestelmiin, joissa on 3 yhtälöä. Menetelmä koostuu kunkin järjestelmään sisältyvän yhtälön kuvaajien piirtämisestä koordinaattiakselille. Käyrien leikkauspisteiden koordinaatit ovat järjestelmän yleinen ratkaisu.

Graafisessa menetelmässä on useita vivahteita. Harkitse useita esimerkkejä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta visuaalisella tavalla.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, kullekin riville rakennettiin kaksi pistettä, muuttujan x arvot valittiin mielivaltaisesti: 0 ja 3. X:n arvojen perusteella löydettiin y:n arvot: 3 ja 0. Pisteet koordinaatilla (0, 3) ja (3, 0) merkittiin kuvaajaan ja yhdistettiin viivalla.

Vaiheet on toistettava toiselle yhtälölle. Viivojen leikkauspiste on järjestelmän ratkaisu.

Seuraavassa esimerkissä täytyy löytää graafinen ratkaisu lineaariyhtälöjärjestelmälle: 0.5x-y+2=0 ja 0.5x-y-1=0.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, järjestelmällä ei ole ratkaisua, koska graafit ovat yhdensuuntaisia ​​eivätkä leikkaa koko pituudeltaan.

Esimerkkien 2 ja 3 järjestelmät ovat samankaltaisia, mutta rakennettaessa käy ilmi, että niiden ratkaisut ovat erilaisia. On syytä muistaa, että aina ei voida sanoa, onko järjestelmällä ratkaisu vai ei, aina on tarpeen rakentaa graafi.

Matrix ja sen lajikkeet

Matriiseja käytetään lyhyesti lineaarisen yhtälöjärjestelmän kirjoittamiseen. Matriisi on erityinen numeroilla täytetty taulukko. n*m:ssä on n - riviä ja m - saraketta.

Matriisi on neliö, kun sarakkeiden ja rivien määrä on yhtä suuri. Matriisivektori on yksisarakkeinen matriisi, jossa on äärettömän mahdollinen määrä rivejä. Matriisia, jossa on yksiköitä pitkin diagonaalia ja muita nollaelementtejä, kutsutaan identiteetiksi.

Käänteismatriisi on sellainen matriisi, jolla kerrottuna alkuperäinen muuttuu yksikkömatriisiksi, tällainen matriisi on olemassa vain alkuperäiselle neliömäiselle.

Säännöt yhtälöjärjestelmän muuntamiseksi matriisiksi

Mitä tulee yhtälöjärjestelmiin, yhtälöiden kertoimet ja vapaat jäsenet kirjoitetaan matriisin numeroina, yksi yhtälö on yksi matriisin rivi.

Matriisiriviä kutsutaan nollasta poikkeavaksi, jos vähintään yksi rivin elementti ei ole yhtä suuri kuin nolla. Siksi, jos jossakin yhtälössä muuttujien lukumäärä vaihtelee, puuttuvan tuntemattoman tilalle on syötettävä nolla.

Matriisin sarakkeiden on vastattava tarkasti muuttujia. Tämä tarkoittaa, että muuttujan x kertoimet voidaan kirjoittaa vain yhteen sarakkeeseen, esimerkiksi ensimmäinen, tuntemattoman y:n kerroin - vain toiseen.

Kun matriisia kerrotaan, kaikki matriisin elementit kerrotaan peräkkäin luvulla.

Vaihtoehdot käänteismatriisin löytämiseksi

Käänteimatriisin löytämisen kaava on melko yksinkertainen: K -1 = 1 / |K|, missä K -1 on käänteimatriisi ja |K| - matriisideterminantti. |K| ei saa olla nolla, niin järjestelmällä on ratkaisu.

Determinantti on helppo laskea kaksi kertaa kaksi matriisille, tarvitsee vain kertoa alkiot diagonaalisesti toisillaan. "Kolme kertaa kolme" -vaihtoehdolle on kaava |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Voit käyttää kaavaa tai muistaa, että jokaisesta rivistä ja sarakkeesta on otettava yksi elementti, jotta elementtien sarake- ja rivinumerot eivät toistu tuotteessa.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien esimerkkien ratkaisu matriisimenetelmällä

Ratkaisun matriisimenetelmällä voidaan vähentää hankalia syötteitä ratkaistaessa järjestelmiä, joissa on suuri määrä muuttujia ja yhtälöitä.

Esimerkissä a nm ovat yhtälöiden kertoimet, matriisi on vektori x n ovat muuttujat ja b n ovat vapaita termejä.

Systeemien ratkaisu Gaussin menetelmällä

Korkeammassa matematiikassa Gauss-menetelmää tutkitaan yhdessä Cramer-menetelmän kanssa ja ratkaisun löytämistä järjestelmiin kutsutaan Gauss-Cramer-ratkaisumenetelmäksi. Näitä menetelmiä käytetään sellaisten järjestelmien muuttujien etsimiseen, joissa on suuri määrä lineaarisia yhtälöitä.

Gaussin menetelmä on hyvin samanlainen kuin substituutio- ja algebrallinen summausratkaisu, mutta on systemaattisempi. Koulukurssilla Gaussin ratkaisua käytetään 3 ja 4 yhtälöjärjestelmille. Menetelmän tarkoituksena on saada järjestelmä käänteisen puolisuunnikkaan muotoon. Algebrallisilla muunnoksilla ja substituutioilla löydetään yhden muuttujan arvo jostakin järjestelmän yhtälöistä. Toinen yhtälö on lauseke, jossa on 2 tuntematonta ja 3 ja 4 - vastaavasti 3 ja 4 muuttujaa.

Kun järjestelmä on saatettu kuvattuun muotoon, jatkoratkaisu pelkistetään tunnettujen muuttujien peräkkäiseen korvaamiseen järjestelmän yhtälöihin.

7. luokan oppikirjoissa esimerkki Gaussin ratkaisusta on kuvattu seuraavasti:

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, vaiheessa (3) saatiin kaksi yhtälöä 3x 3 -2x 4 =11 ja 3x 3 +2x 4 =7. Minkä tahansa yhtälön ratkaisu antaa sinun selvittää yhden muuttujista x n.

Lause 5, joka tekstissä mainitaan, sanoo, että jos jokin järjestelmän yhtälöistä korvataan vastaavalla, niin tuloksena oleva järjestelmä on myös ekvivalentti alkuperäisen kanssa.

Gaussin menetelmä on yläkoululaisten vaikea ymmärtää, mutta se on yksi mielenkiintoisimmista tavoista kehittää syvennyskoulutusohjelmassa opiskelevien lasten kekseliäisyyttä matematiikan ja fysiikan luokissa.

Tallennuslaskelmien helpottamiseksi on tapana tehdä seuraavaa:

Yhtälökertoimet ja vapaat termit kirjoitetaan matriisin muotoon, jossa jokainen matriisin rivi vastaa yhtä järjestelmän yhtälöistä. erottaa yhtälön vasemman puolen oikeasta. Roomalaiset numerot osoittavat yhtälöiden numeroita järjestelmässä.

Ensin he kirjoittavat muistiin matriisin, jonka kanssa työskentelevät, ja sitten kaikki toiminnot, jotka suoritetaan jollakin rivillä. Tuloksena oleva matriisi kirjoitetaan "nuoli" -merkin jälkeen ja jatka tarvittavien algebrallisten toimintojen suorittamista, kunnes tulos saavutetaan.

Tämän seurauksena tulisi saada matriisi, jossa yksi diagonaaleista on 1 ja kaikki muut kertoimet ovat nolla, eli matriisi pelkistetään yhteen muotoon. Emme saa unohtaa tehdä laskelmia yhtälön kummankin puolen luvuilla.

Tämä merkintä on vähemmän hankala ja sallii lukuisten tuntemattomien luetteloimisen välttää häiritsevän huomion.

Minkä tahansa ratkaisutavan ilmainen soveltaminen vaatii huolellisuutta ja jonkin verran kokemusta. Kaikkia menetelmiä ei käytetä. Jotkut tavat löytää ratkaisuja ovat parempia tietyllä ihmisen toiminnan alueella, kun taas toiset ovat olemassa oppimista varten.

Yhtälöiden ratkaisemisen oppiminen on yksi algebran opiskelijoille esittämistä päätehtävistä. Aloitetaan yksinkertaisimmasta, jolloin se koostuu yhdestä tuntemattomasta, ja siirrytään yhä monimutkaisempiin. Jos et ole hallinnut ensimmäisen ryhmän yhtälöiden kanssa suoritettavia toimia, on vaikea käsitellä muita.

Jotta keskustelua voidaan jatkaa, meidän on sovittava merkinnöistä.

Tuntemattoman lineaarisen yhtälön yleinen muoto ja sen ratkaisuperiaate

Mikä tahansa yhtälö, joka voidaan kirjoittaa näin:

a * x = tuumaa,

nimeltään lineaarinen. Tämä on yleinen kaava. Mutta usein tehtävissä lineaariset yhtälöt kirjoitetaan implisiittisessä muodossa. Sitten on suoritettava identtiset muunnokset, jotta saadaan yleisesti hyväksytty merkintä. Näitä toimia ovat mm.

• avaussulut;
• siirretään kaikki muuttuvan arvon omaavat termit yhtälön vasemmalle puolelle ja loput oikealle;
• vastaavien ehtojen vähentäminen.

Siinä tapauksessa, että tuntematon arvo on murtoluvun nimittäjässä, on tarpeen määrittää sen arvot, joille lausekkeella ei ole järkeä. Toisin sanoen sen oletetaan tuntevan yhtälön alue.

Periaate, jolla kaikki lineaariset yhtälöt ratkaistaan, on jakaa yhtälön oikealla puolella oleva arvo muuttujan edessä olevalla kertoimella. Eli "x" on yhtä suuri kuin / a.

Lineaarisen yhtälön erityistapaukset ja niiden ratkaisut

Päättelyn aikana saattaa esiintyä hetkiä, jolloin lineaariyhtälöt saavat jonkin erikoismuodon. Jokaisella niistä on erityinen ratkaisu.

Ensimmäisessä tilanteessa:

a * x = 0, ja a ≠ 0.

Tämän yhtälön ratkaisu on aina x = 0.

Toisessa tapauksessa "a" saa arvon, joka on yhtä suuri kuin nolla:

0 * x = 0.

Vastaus tähän yhtälöön on mikä tahansa luku. Eli sillä on ääretön määrä juuria.

Kolmas tilanne näyttää tältä:

0*x=in, missä ≠ 0.

Tässä yhtälössä ei ole järkeä. Koska ei ole juuria, jotka tyydyttävät häntä.

Lineaarisen yhtälön yleinen muoto kahdella muuttujalla

Sen nimestä käy selväksi, että siinä on jo kaksi tuntematonta määrää. Lineaariset yhtälöt kahdella muuttujalla näyttää tältä:

a * x + b * y = c.

Koska merkinnässä on kaksi tuntematonta, vastaus näyttää numeroparilta. Eli ei riitä, että määritetään vain yksi arvo. Tämä on epätäydellinen vastaus. Suureen pari, jolla yhtälöstä tulee identtisyys, on yhtälön ratkaisu. Lisäksi vastauksessa aakkosten ensimmäisenä oleva muuttuja kirjoitetaan aina ensin. Joskus sanotaan, että nämä luvut tyydyttävät hänet. Lisäksi tällaisia ​​pareja voi olla ääretön määrä.

Kuinka ratkaista lineaarinen yhtälö, jossa on kaksi tuntematonta?

Tätä varten sinun tarvitsee vain poimia mikä tahansa oikeaksi osoittautunut numeropari. Yksinkertaisuuden vuoksi voit ottaa yhden tuntemattomista, jotka ovat yhtä suuria kuin jokin alkuluku, ja löytää sitten toisen.

Ratkaisun yhteydessä joudut usein suorittamaan toimintoja yhtälön yksinkertaistamiseksi. Niitä kutsutaan identtisiksi muunnoksiksi. Lisäksi seuraavat ominaisuudet ovat aina totta yhtälöille:

• jokainen termi voidaan siirtää tasa-arvon vastakkaiseen osaan korvaamalla sen etumerkki vastakkaisella;
• minkä tahansa yhtälön vasen ja oikea puoli voidaan jakaa samalla luvulla, jos se ei ole nolla.

Esimerkkejä tehtävistä lineaarisilla yhtälöillä

Ensimmäinen tehtävä. Ratkaise lineaariset yhtälöt: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Tässä luettelossa ensimmäisenä olevassa yhtälössä riittää jakaa 20 4:llä. Tulos on 5. Tämä on vastaus: x \u003d 5.

Kolmas yhtälö edellyttää, että identiteettimuunnos suoritetaan. Se koostuu sulkeiden avaamisesta ja vastaavien termien tuomisesta. Ensimmäisen toimenpiteen jälkeen yhtälö on muodossa: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. Sitten sinun on siirrettävä kaikki tuntemattomat tasa-arvon vasemmalle puolelle ja loput oikealle. Yhtälö näyttää tältä: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. Samankaltaisten termien tuomisen jälkeen: 14x \u003d 16. Nyt se näyttää samalta kuin ensimmäinen, ja sen ratkaisu on helppo löytää. Vastaus on x=8/7. Mutta matematiikassa sen oletetaan eristävän koko osa väärästä murtoluvusta. Sitten tulos muunnetaan, ja "x" on yhtä suuri kuin yksi kokonaisuus ja yksi seitsemäsosa.

Muissa esimerkeissä muuttujat ovat nimittäjässä. Tämä tarkoittaa, että sinun on ensin selvitettävä, mille arvoille yhtälöt on määritelty. Tätä varten sinun on suljettava pois luvut, joissa nimittäjät muuttuvat nollaan. Ensimmäisessä esimerkissä se on "-4", toisessa "-3". Eli nämä arvot tulisi jättää vastauksen ulkopuolelle. Sen jälkeen sinun on kerrottava yhtälön molemmat puolet nimittäjässä olevilla lausekkeilla.

Avaamalla sulut ja tuomalla samanlaiset termit, ensimmäisessä yhtälössä käy ilmi: 5x + 15 = 4x + 16 ja toisessa 5x + 15 = 4x + 12. Muutosten jälkeen ensimmäisen yhtälön ratkaisu on x = -1. Toinen osoittautuu yhtä suureksi kuin "-3", mikä tarkoittaa, että viimeisellä ei ole ratkaisuja.

Toinen tehtävä. Ratkaise yhtälö: -7x + 2y = 5.

Oletetaan, että ensimmäinen tuntematon x \u003d 1, sitten yhtälö on muodossa -7 * 1 + 2y \u003d 5. Siirtämällä kertoimen "-7" yhtälön oikealle puolelle ja muuttamalla sen etumerkiksi plus, se kääntyy ulos, että 2y \u003d 12. Joten, y =6. Vastaus: yksi yhtälön ratkaisuista x = 1, y = 6.

Yleinen epäyhtälön muoto yhdellä muuttujalla

Tässä on esitetty kaikki mahdolliset epätasa-arvotilanteet:

• a * x > b;
• kirves< в;
• a*x ≥v;
• a * x ≤c.

Yleensä se näyttää yksinkertaisimmalta lineaariselta yhtälöltä, vain yhtäläisyysmerkki korvataan epäyhtälöllä.

Säännöt identtisille eriarvoisuuden muunnoksille

Aivan kuten lineaarisia yhtälöitä, epäyhtälöitä voidaan muokata tiettyjen lakien mukaan. He päätyvät tähän:

1. mikä tahansa kirjaimellinen tai numeerinen lauseke voidaan lisätä epäyhtälön vasempaan ja oikeaan osaan, jolloin epäyhtälömerkki pysyy samana;
2. on myös mahdollista kertoa tai jakaa samalla positiivisella luvulla, tästä taas etumerkki ei muutu;
3. kun kerrotaan tai jaetaan samalla negatiivisella luvulla, yhtälö pysyy tosi, mikäli epäyhtälömerkki käännetään.

Kaksinkertaisen epätasa-arvon yleinen muoto

Tehtävissä voidaan esittää seuraavat epäyhtälöiden muunnelmat:

• sisään< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• sisään< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Sitä kutsutaan kaksinkertaiseksi, koska sitä rajoittavat epätasa-arvomerkit molemmilla puolilla. Se ratkaistaan ​​samoilla säännöillä kuin tavalliset epäyhtälöt. Ja vastauksen löytäminen johtaa sarjaan identtisiä muutoksia. Kunnes saadaan yksinkertaisin.

Kaksinkertaisen epäyhtälön ratkaisemisen piirteet

Ensimmäinen näistä on sen kuva koordinaattiakselilla. Tätä menetelmää ei tarvitse käyttää yksinkertaisissa epäyhtälöissä. Mutta vaikeissa tapauksissa se voi olla yksinkertaisesti välttämätöntä.

Epäyhtälön kuvaamiseksi on tarpeen merkitä akselille kaikki päättelyn aikana saadut pisteet. Nämä ovat sekä virheellisiä arvoja, jotka on merkitty pisteillä, että arvoja muunnosten jälkeen saaduista epäyhtälöistä. Tässäkin on tärkeää piirtää pisteet oikein. Jos eriarvoisuus on tiukkaa, niin< или >, niin nämä arvot puhkaistaan. Ei-tiukoissa epäyhtälöissä pisteet on maalattava päälle.

Sitten on tarpeen osoittaa eriarvoisuuksien merkitys. Tämä voidaan tehdä viivoituksella tai kaarilla. Niiden leikkauspiste osoittaa vastauksen.

Toinen ominaisuus liittyy sen tallentamiseen. Tässä tarjotaan kaksi vaihtoehtoa. Ensimmäinen on lopullinen eriarvoisuus. Toinen on aukkojen muodossa. Tässä hän joutuu vaikeuksiin. Aukkojen vastaus näyttää aina muuttujalta, jossa on omistajamerkki ja suluissa numerot. Joskus on useita aukkoja, joten sinun on kirjoitettava "ja" -symboli sulujen väliin. Nämä merkit näyttävät tältä: ∈ ja ∩. Välisuluilla on myös oma roolinsa. Pyöreä asetetaan, kun piste jätetään pois vastauksesta, ja suorakulmainen sisältää tämän arvon. Ääretön merkki on aina suluissa.

Esimerkkejä eriarvoisuuksien ratkaisemisesta

1. Ratkaise epäyhtälö 7 - 5x ≥ 37.

Yksinkertaisten muunnosten jälkeen selviää: -5x ≥ 30. Jakamalla "-5":llä saadaan seuraava lauseke: x ≤ -6. Tämä on jo vastaus, mutta se voidaan kirjoittaa toisella tavalla: x ∈ (-∞; -6].

2. Ratkaise kaksois-epäyhtälö -4< 2x + 6 ≤ 8.

Ensin sinun on vähennettävä kaikkialla 6. Osoittautuu: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Ja niin edelleen, on loogista tutustua muuntyyppisiin yhtälöihin. Seuraavat jonossa ovat lineaariset yhtälöt, jonka määrätietoinen opiskelu alkaa algebratunneilla 7. luokalla.

On selvää, että ensin on selitettävä, mikä lineaarinen yhtälö on, annettava lineaarisen yhtälön määritelmä, sen kertoimet, esitettävä sen yleinen muoto. Sitten voit selvittää, kuinka monta ratkaisua lineaarisella yhtälöllä on kertoimien arvoista riippuen ja kuinka juuret löydetään. Näin voit siirtyä esimerkkien ratkaisemiseen ja siten lujittaa tutkittua teoriaa. Tässä artikkelissa teemme tämän: keskeytämme yksityiskohtaisesti kaikki teoreettiset ja käytännön kohdat, jotka koskevat lineaarisia yhtälöitä ja niiden ratkaisua.

Sanotaan heti, että tässä tarkastellaan vain lineaarisia yhtälöitä yhdellä muuttujalla, ja erillisessä artikkelissa tutkimme ratkaisemisen periaatteita lineaariset yhtälöt kahdessa muuttujassa.

Sivulla navigointi.

Mikä on lineaarinen yhtälö?

Lineaarisen yhtälön määritelmä saadaan sen merkintämuodosta. Lisäksi eri matematiikan ja algebran oppikirjoissa lineaariyhtälöiden määritelmien muotoiluissa on joitain eroja, jotka eivät vaikuta asian olemukseen.

Esimerkiksi Yu. N. Makarychevan ja muiden algebra-oppikirjassa arvosanalle 7 lineaarinen yhtälö on määritelty seuraavasti:

Määritelmä.

Tyyppiyhtälö ax=b, jossa x on muuttuja, a ja b ovat joitain lukuja, kutsutaan lineaarinen yhtälö yhdellä muuttujalla.

Annetaan esimerkkejä soinnillista määritelmää vastaavista lineaarisista yhtälöistä. Esimerkiksi 5 x=10 on lineaarinen yhtälö, jossa on yksi muuttuja x, tässä kerroin a on 5 ja luku b on 10 . Toinen esimerkki: −2.3 y=0 on myös lineaarinen yhtälö, mutta muuttujalla y , jossa a=−2.3 ja b=0 . Ja lineaarisissa yhtälöissä x=−2 ja −x=3.33 a eivät ole eksplisiittisesti läsnä ja ovat 1 ja −1, vastaavasti, kun taas ensimmäisessä yhtälössä b=−2 ja toisessa - b=3.33 .

Ja vuotta aiemmin N. Ya. Vilenkinin matematiikan oppikirjassa lineaariset yhtälöt, joissa on yksi tuntematon, pidettiin muotoa a x = b olevien yhtälöiden lisäksi myös yhtälöinä, jotka voidaan pelkistää tähän muotoon siirtämällä termejä yhdestä. yhtälön osan toiseen päinvastaisella merkillä, sekä pelkistämällä samanlaisia ​​termejä. Tämän määritelmän mukaan yhtälöt muotoa 5 x=2 x+6 jne. ovat myös lineaarisia.

Seuraava määritelmä on puolestaan ​​annettu A. G. Mordkovichin algebraoppikirjassa 7 luokalle:

Määritelmä.

Lineaarinen yhtälö yhdellä muuttujalla x on yhtälö muotoa a x+b=0 , jossa a ja b ovat joitain lukuja, joita kutsutaan lineaarisen yhtälön kertoimiksi.

Esimerkiksi tällaiset lineaariset yhtälöt ovat 2 x−12=0, tässä kerroin a on 2 ja b on −12 ja 0.2 y+4.6=0 kertoimilla a=0.2 ja b =4.6. Mutta samaan aikaan on esimerkkejä lineaarisista yhtälöistä, joiden muoto ei ole a x+b=0 vaan a x=b, esimerkiksi 3 x=12 .

Ymmärrämme yhden muuttujan x ja kertoimilla a ja b olevan yhtälön a x+b=0 muotoisen yhtälön, jotta meillä ei olisi jatkossa mitään poikkeavuuksia. Tämän tyyppinen lineaarinen yhtälö näyttää olevan oikeutetuin, koska lineaariset yhtälöt ovat algebralliset yhtälöt ensimmäisen asteen. Ja kaikki muut yllä mainitut yhtälöt sekä yhtälöt, jotka on pelkistetty muotoon a x+b=0 ekvivalenttien muunnosten avulla, kutsutaan nimellä yhtälöt pelkistyvät lineaarisiksi yhtälöiksi. Tällä lähestymistavalla yhtälö 2 x+6=0 on lineaarinen yhtälö ja 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 jne. ovat lineaarisia yhtälöitä.

Kuinka ratkaista lineaariset yhtälöt?

Nyt on aika selvittää, kuinka lineaariset yhtälöt a x+b=0 ratkaistaan. Toisin sanoen on aika selvittää, onko lineaarisella yhtälöllä juuria, ja jos on, kuinka monta ja miten ne löydetään.

Lineaarisen yhtälön juurien läsnäolo riippuu kertoimien a ja b arvoista. Tässä tapauksessa lineaarisella yhtälöllä a x+b=0 on

• ainoa juuri kohdassa a≠0,
• ei ole juuria arvoille a=0 ja b≠0,
• sillä on äärettömän monta juuria arvoille a=0 ja b=0, jolloin mikä tahansa luku on lineaarisen yhtälön juuri.

Selvitetään, kuinka nämä tulokset saatiin.

Tiedämme, että yhtälöiden ratkaisemiseksi on mahdollista siirtyä alkuperäisestä yhtälöstä ekvivalenttisiin yhtälöihin, eli yhtälöihin, joilla on samat juuret tai, kuten alkuperäisessä, ilman juuria. Voit tehdä tämän käyttämällä seuraavia vastaavia muunnoksia:

• termin siirto yhtälön osasta toiseen päinvastaisella merkillä,
• ja myös kertomalla tai jakamalla yhtälön molemmat puolet samalla nollasta poikkeavalla luvulla.

Joten lineaarisessa yhtälössä, jossa on yksi muuttuja muotoa a x + b=0, voimme siirtää termiä b vasemmalta puolelta oikealle päinvastaisella merkillä. Tässä tapauksessa yhtälö on muotoa a x=−b.

Ja sitten yhtälön molempien osien jako luvulla a ehdottaa itsestään. Mutta on yksi asia: luku a voi olla yhtä suuri kuin nolla, jolloin tällainen jako on mahdotonta. Tämän ongelman ratkaisemiseksi oletetaan ensin, että luku a on eri kuin nolla, ja tarkastellaan nollan tapausta erikseen hieman myöhemmin.

Joten kun a ei ole nolla, voimme jakaa yhtälön a x=−b molemmat osat a:lla, jonka jälkeen se muunnetaan muotoon x=(−b): a , tämä tulos voidaan kirjoittaa käyttämällä kiinteä viiva kuten .

Siten a≠0:lle lineaarinen yhtälö a·x+b=0 vastaa yhtälöä , josta sen juuri näkyy.

On helppo osoittaa, että tämä juuri on ainutlaatuinen, eli lineaarisella yhtälöllä ei ole muita juuria. Tämä mahdollistaa päinvastaisen menetelmän.

Merkitään juureksi x 1 . Oletetaan, että lineaarisella yhtälöllä on toinen juuri, jota merkitsemme x 2 ja x 2 ≠ x 1, joka johtuu yhtäläisten lukujen määritelmät eron kautta vastaa ehtoa x 1 − x 2 ≠0 . Koska x 1 ja x 2 ovat lineaarisen yhtälön a x+b=0 juuria, niin numeeriset yhtälöt a x 1 +b=0 ja a x 2 +b=0 tapahtuvat. Voimme vähentää näiden yhtälöiden vastaavat osat, minkä numeeristen yhtälöiden ominaisuudet sallivat, meillä on a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , josta a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 ja sitten a (x 1 − x 2)=0 . Ja tämä yhtäläisyys on mahdoton, koska sekä a≠0 että x 1 − x 2 ≠0. Joten olemme päässeet ristiriitaan, joka todistaa lineaarisen yhtälön a·x+b=0 juuren ainutlaatuisuuden a≠0 :lle.

Joten olemme ratkaisseet lineaarisen yhtälön a x+b=0, jossa a≠0 . Tämän alakohdan alussa annettu ensimmäinen tulos on perusteltu. Kaksi muuta täyttävät ehdon a=0 .

Kun a=0, lineaarisesta yhtälöstä a·x+b=0 tulee 0·x+b=0 . Tästä yhtälöstä ja lukujen nollalla kertomisen ominaisuudesta seuraa, että riippumatta siitä, minkä luvun otamme x:ksi, kun se korvataan yhtälöllä 0 x+b=0, saadaan numeerinen yhtälö b=0. Tämä yhtälö on tosi, kun b=0 , ja muissa tapauksissa kun b≠0 tämä yhtälö on epätosi.

Siksi, kun a=0 ja b=0, mikä tahansa luku on lineaarisen yhtälön a x+b=0 juuri, koska näissä olosuhteissa minkä tahansa luvun korvaaminen x:n sijasta antaa oikean numeerisen yhtälön 0=0. Ja kun a=0 ja b≠0, lineaarisella yhtälöllä a x+b=0 ei ole juuria, koska näissä olosuhteissa minkä tahansa luvun korvaaminen x:n sijasta johtaa väärään numeeriseen yhtälöön b=0.

Yllä olevat perustelut mahdollistavat toimintasarjan muodostamisen, joka mahdollistaa minkä tahansa lineaarisen yhtälön ratkaisemisen. Niin, algoritmi lineaarisen yhtälön ratkaisemiseksi On:

• Ensinnäkin, kirjoittamalla lineaarinen yhtälö, löydämme kertoimien a ja b arvot.
• Jos a=0 ja b=0, niin tällä yhtälöllä on äärettömän monta juuria, nimittäin mikä tahansa luku on tämän lineaarisen yhtälön juuri.
• Jos a on eri kuin nolla, niin
• kerroin b siirretään oikealle päinvastaisella merkillä, kun taas lineaarinen yhtälö muunnetaan muotoon a x=−b ,
• jonka jälkeen tuloksena olevan yhtälön molemmat osat jaetaan nollasta poikkeavalla luvulla a, joka antaa alkuperäisen lineaarisen yhtälön halutun juuren.

Kirjoitettu algoritmi on tyhjentävä vastaus kysymykseen lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

Tämän kappaleen lopuksi on syytä todeta, että samanlaista algoritmia käytetään muotoa a x=b olevien yhtälöiden ratkaisemiseen. Sen ero on siinä, että kun a≠0, yhtälön molemmat osat jaetaan välittömästi tällä luvulla, tässä b on jo halutussa yhtälön osassa eikä sitä tarvitse siirtää.

A x=b muotoisten yhtälöiden ratkaisemiseen käytetään seuraavaa algoritmia:

• Jos a=0 ja b=0 , niin yhtälöllä on äärettömän monta juuria, jotka ovat mitä tahansa lukuja.
• Jos a=0 ja b≠0 , niin alkuperäisellä yhtälöllä ei ole juuria.
• Jos a on muu kuin nolla, niin yhtälön molemmat puolet jaetaan nollasta poikkeavalla luvulla a, josta löytyy yhtälön ainoa juuri, joka on yhtä suuri kuin b / a.

Esimerkkejä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisesta

Jatketaan harjoittelua. Analysoidaan kuinka lineaaristen yhtälöiden ratkaisualgoritmia sovelletaan. Esitetään ratkaisuja tyypillisistä esimerkeistä, jotka vastaavat lineaaristen yhtälöiden kertoimien erilaisia ​​arvoja.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälö 0 x−0=0 .

Päätös.

Tässä lineaarisessa yhtälössä a=0 ja b=−0 , joka on sama kuin b=0 . Siksi tällä yhtälöllä on äärettömän monta juuria, mikä tahansa luku on tämän yhtälön juuri.

Vastaus:

x on mikä tahansa luku.

Esimerkki.

Onko lineaarisella yhtälöllä 0 x+2,7=0 ratkaisuja?

Päätös.

Tässä tapauksessa kerroin a on nolla ja tämän lineaarisen yhtälön kerroin b on yhtä suuri kuin 2,7, eli se on eri kuin nolla. Siksi lineaarisella yhtälöllä ei ole juuria.