Ymmärtääksemme kuinka lisätä murtolukuja eri nimittäjillä, tutkimme ensin sääntöä ja tarkastelemme sitten tiettyjä esimerkkejä.
Voit lisätä tai vähentää murtolukuja eri nimittäjillä:
1) Etsi (NOZ) annetut murtoluvut.
2) Etsi jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin. Tätä varten uusi nimittäjä on jaettava vanhalla.
3) Kerro kunkin murtoluvun osoittaja ja nimittäjä lisäkertoimella ja lisää tai vähennä murtoluvut, joilla on sama nimittäjä.
4) Tarkista, onko tuloksena oleva murto säännöllinen ja pelkistymätön.
Seuraavissa esimerkeissä sinun on lisättävä tai vähennettävä murto-osia eri nimittäjillä:
1) Jos haluat vähentää eri nimittäjillä olevia murtolukuja, etsi ensin näiden murtolukujen pienin yhteinen nimittäjä. Valitsemme luvuista suuremman ja tarkistamme, onko se jaollinen pienemmällä. 25 ei ole jaollinen 20:llä. Kerrotaan 25 kahdella. 50 ei ole jaollinen 20:llä. Kerrotaan 25 kolmella. 75 ei ole jaollinen 20:llä. Kerrotaan 25 4:llä. 100 on jaollinen 20:llä. Pienin yhteinen nimittäjä on siis 100.
2) Löytääksesi lisätekijän jokaiselle murtoluvulle, sinun on jaettava uusi nimittäjä vanhalla. 100:25=4, 100:20=5. Vastaavasti ensimmäiselle murtoluvulle lisäkerroin on 4, toiselle - 5.
3) Kerrotaan jokaisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä lisäkertoimella ja vähennetään murtoluvut samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentämissäännön mukaisesti.
4) Tuloksena oleva murto-osa on säännöllinen ja pelkistymätön. Joten tämä on vastaus.
1) Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on eri nimittäjä, etsi ensin pienin yhteinen nimittäjä. 16 ei ole jaollinen 12:lla. 16∙2=32 ei ole jaollinen 12:lla. 16∙3=48 on jaollinen 12:lla. Joten 48 on NOZ.
2) 48:16=3, 48:12=4. Nämä ovat lisätekijöitä jokaiselle fraktiolle.
3) kerro kunkin murtoluvun osoittaja ja nimittäjä lisäkertoimella ja lisää uudet murtoluvut.
4) Tuloksena oleva murto-osa on säännöllinen ja pelkistymätön.
1) 30 ei ole jaollinen 20:llä. 30∙2=60 on jaollinen 20:llä. Joten 60 on näiden murtolukujen pienin yhteinen nimittäjä.
2) Löytääksesi jokaiselle murtoluvulle lisäkertoimen, sinun on jaettava uusi nimittäjä vanhalla: 60:20=3, 60:30=2.
3) kerro kunkin murtoluvun osoittaja ja nimittäjä lisäkertoimella ja vähennä uudet murtoluvut.
4) tuloksena oleva murtoluku 5.
1) 8 ei ole jaollinen 6:lla. 8∙2=16 ei ole jaollinen 6:lla. 8∙3=24 on jaollinen sekä 4:llä että 6:lla. Näin ollen 24 on NOZ.
2) löytääksesi lisätekijän jokaiselle murtoluvulle, sinun on jaettava uusi nimittäjä vanhalla. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Joten 3, 6 ja 4 ovat lisätekijöitä ensimmäiseen, toiseen ja kolmanteen murto-osaan.
3) kerro jokaisen dolbyn osoittaja ja nimittäjä lisäkertoimella. Lisäämme ja vähennämme. Tuloksena oleva murto-osa on väärä, joten sinun on valittava koko osa.
Tällä oppitunnilla tarkastelemme murtolukujen vähentämistä yhteiseksi nimittäjäksi ja ratkaisemme tämän aiheen ongelmia. Tehdään määritelmä yhteisen nimittäjän käsitteelle ja lisätekijälle, muista koprime-luvut. Määritellään pienimmän yhteisen nimittäjän (LCD) käsite ja ratkaistaan joukko ongelmia sen löytämiseksi.
Aihe: Murtolukujen yhteenlasku ja vähentäminen eri nimittäjillä
Oppitunti: Murtolukujen pelkistäminen yhteiseksi nimittäjäksi
Toisto. Murtoluvun perusominaisuus.
Jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan tai jaetaan samalla luonnollisella luvulla, saadaan sitä vastaava murto-osa.
Esimerkiksi murtoluvun osoittaja ja nimittäjä voidaan jakaa kahdella. Saamme murtoluvun. Tätä toimintoa kutsutaan murto-osuuden vähentämiseksi. Voit myös tehdä käänteisen muunnoksen kertomalla murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kahdella. Tässä tapauksessa sanomme, että olemme pienentäneet murtoluvun uuteen nimittäjään. Lukua 2 kutsutaan lisätekijäksi.
Johtopäätös. Murto-osa voidaan vähentää mihin tahansa nimittäjään, joka on annetun murtoluvun nimittäjän kerrannainen. Murtoluvun saattamiseksi uuteen nimittäjään sen osoittaja ja nimittäjä kerrotaan lisäkertoimella.
1. Tuo murto-osa nimittäjään 35.
Luku 35 on 7:n kerrannainen, eli 35 on jaollinen 7:llä ilman jäännöstä. Tämä muutos on siis mahdollinen. Etsitään lisätekijä. Tätä varten jaetaan 35 7:llä. Saamme 5. Kerromme alkuperäisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä 5:llä.
2. Tuo murto-osa nimittäjään 18.
Etsitään lisätekijä. Tätä varten jaamme uuden nimittäjän alkuperäisellä. Saamme 3. Kerrotaan tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä 3:lla.
3. Tuo murto-osa nimittäjään 60.
Jakamalla 60 15:llä, saamme lisäkertoimen. Se on yhtä kuin 4. Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä 4:llä.
4. Tuo murto-osa nimittäjään 24
Yksinkertaisissa tapauksissa pelkistys uuteen nimittäjään suoritetaan mielessä. On tapana merkitä vain lisätekijä hakasulkeen takana hieman oikealle ja alkuperäisen murtoluvun yläpuolelle.
Murto-osa voidaan pienentää nimittäjään 15 ja murto-osa nimittäjään 15. Murtoluvuilla on yhteinen nimittäjä 15.
Murtolukujen yhteinen nimittäjä voi olla mikä tahansa niiden nimittäjien yhteinen kerrannainen. Yksinkertaisuuden vuoksi murtoluvut vähennetään pienimpään yhteiseen nimittäjään. Se on yhtä suuri kuin annettujen murtolukujen nimittäjien pienin yhteinen kerrannainen.
Esimerkki. Pienennä murto-osan pienimpään yhteiseen nimittäjään ja .
Etsi ensin näiden murtolukujen nimittäjien pienin yhteinen kerrannainen. Tämä luku on 12. Etsitään lisäkerroin ensimmäiselle ja toiselle murtoluvulle. Tätä varten jaamme 12:lla 4:llä ja 6:lla. Kolme on lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle ja kaksi toiselle. Tuomme murtoluvut nimittäjään 12.
Pelkisimme murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi, eli löysimme murtoluvut, jotka ovat yhtä suuria kuin ne ja joilla on sama nimittäjä.
Sääntö. Murtolukujen saattamiseksi pienimpään yhteiseen nimittäjään
Etsi ensin näiden murtolukujen nimittäjien pienin yhteinen kerrannainen, joka on niiden pienin yhteinen nimittäjä;
Toiseksi, jaa pienin yhteinen nimittäjä näiden murtolukujen nimittäjillä, eli etsi jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin.
Kolmanneksi kerro kunkin murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sen lisäkertoimella.
a) Pienennä murtoluvut ja yhteiseen nimittäjään.
Pienin yhteinen nimittäjä on 12. Ensimmäisen murtoluvun lisäkerroin on 4, toisen - 3. Murtoluvut tuodaan nimittäjään 24.
b) Pienennä murtoluvut ja yhteiseen nimittäjään.
Pienin yhteinen nimittäjä on 45. Jakamalla 45 luvulla 9 luvulla 15, saadaan vastaavasti 5 ja 3. Tuomme murtoluvut nimittäjään 45.
c) Pienennä murtoluvut ja yhteiseen nimittäjään.
Yhteinen nimittäjä on 24. Lisätekijät ovat 2 ja 3.
Joskus on vaikea löytää suullisesti pienintä yhteistä kerrannaista annettujen murtolukujen nimittäjille. Sitten yhteinen nimittäjä ja lisätekijät löydetään laskemalla alkutekijöihin.
Vähennä murto-osan yhteiseksi nimittäjäksi ja .
Jaetaan luvut 60 ja 168 alkutekijöiksi. Kirjoitetaan luvun 60 laajennus ja lisätään puuttuvat tekijät 2 ja 7 toisesta laajennuksesta. Kerro 60 14:llä ja saa yhteiseksi nimittäjäksi 840. Ensimmäisen murto-osan lisäkerroin on 14. Toisen murto-osan lisäkerroin on 5. Vähennetään murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi 840.
Bibliografia
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ja muut Matematiikka 6. - M.: Mnemozina, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematiikka 6 luokka. - Kuntosali, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Matematiikan oppikirjan sivujen takana. - Enlightment, 1989.
4. Rurukin A.N., Chaikovsky I.V. Matematiikan kurssin tehtävät 5-6. - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Matematiikka 5-6. Käsikirja MEPhI-kirjekoulun 6. luokan opiskelijoille. - ZSH MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. Matematiikka: Oppikirja-keskustelukumppani lukion 5-6 luokille. Matematiikan opettajan kirjasto. - Enlightment, 1989.
Voit ladata kohdassa 1.2 määritellyt kirjat. tämä oppitunti.
Kotitehtävät
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ja muut Matematiikka 6. - M .: Mnemozina, 2012. (katso linkki 1.2)
Kotitehtävät: nro 297, nro 298, nro 300.
Muut tehtävät: #270, #290
Tässä materiaalissa analysoimme, kuinka murtoluvut saadaan oikein uuteen nimittäjään, mikä on lisätekijä ja miten se löydetään. Sen jälkeen muotoillaan perussääntö murtolukujen pelkistämiseksi uusiin nimittäjiin ja havainnollistetaan sitä esimerkein ongelmista.
Käsite murtoluvun vähentämisestä eri nimittäjään
Muista murto-osan perusominaisuus. Hänen mukaansa tavallisella murtoluvulla a b (jossa a ja b ovat mitä tahansa lukuja) on ääretön määrä murtolukuja, jotka ovat yhtä suuria kuin se. Tällaisia murtolukuja voidaan saada kertomalla osoittaja ja nimittäjä samalla luvulla m (luonnollinen). Toisin sanoen kaikki tavalliset murtoluvut voidaan korvata muilla muotoa a m b m . Tämä on alkuperäisen arvon vähentäminen murto-osaan halutulla nimittäjällä.
Voit tuoda murtoluvun eri nimittäjään kertomalla sen osoittajan ja nimittäjän millä tahansa luonnollisella luvulla. Pääehto on, että kertoimen on oltava sama murto-osan molemmissa osissa. Tuloksena on alkuperäistä vastaava murto-osa.
Havainnollistetaan tätä esimerkillä.
Esimerkki 1
Muunna murtoluku 11 25 uudeksi nimittäjäksi.
Päätös
Otetaan mielivaltainen luonnollinen luku 4 ja kerrotaan molemmat osat alkuperäisestä murtoluvusta sillä. Otamme huomioon: 11 4 \u003d 44 ja 25 4 \u003d 100. Tulos on murto-osa 44 100:sta.
Kaikki laskelmat voidaan kirjoittaa tähän muotoon: 11 25 \u003d 11 4 25 4 \u003d 44 100
Osoittautuu, että mikä tahansa murto-osa voidaan pelkistää valtavaan määrään erilaisia nimittäjiä. Neljän sijasta voisimme ottaa toisen luonnollisen luvun ja saada toisen murtoluvun, joka vastaa alkuperäistä.
Mutta mikään luku ei voi tulla uuden murtoluvun nimittäjäksi. Joten a b:n nimittäjä voi sisältää vain lukuja b · m, jotka ovat b:n kerrannaisia. Muista jaon peruskäsitteet - kerrannaiset ja jakajat. Jos luku ei ole b:n kerrannainen, mutta se ei voi olla uuden murtoluvun jakaja. Selitämme ajatuksemme esimerkillä ongelman ratkaisemisesta.
Esimerkki 2
Laske, onko mahdollista vähentää murto-osaa 5 9 nimittäjiin 54 ja 21.
Päätös
54 on yhdeksän kerrannainen, joka on uuden murtoluvun nimittäjä (eli 54 voidaan jakaa 9:llä). Näin ollen tällainen vähennys on mahdollista. Emme voi jakaa 21:tä 9:llä, joten tällaista toimintoa ei voida suorittaa tälle murtoluvulle.
Lisäkertoimen käsite
Muotoilkaamme, mikä on lisätekijä.
Määritelmä 1
Lisäkerroin on luonnollinen luku, jolla murtoluvun molemmat osat kerrotaan, jotta se saadaan uuteen nimittäjään.
Nuo. kun suoritamme tämän toiminnon murto-osalle, otamme sille lisäkertoimen. Esimerkiksi murto-osan 7 10 vähentämiseksi muotoon 21 30 tarvitsemme lisäkertoimen 3 . Ja voit saada murto-osan 15 40 luvusta 3 8 käyttämällä kerrointa 5.
Vastaavasti, jos tiedämme nimittäjä, johon murto-osa on vähennettävä, voimme laskea sille lisäkertoimen. Selvitetään, miten se tehdään.
Meillä on murto-osa a b , joka voidaan pelkistää johonkin nimittäjään c ; laske lisäkerroin m . Meidän on kerrottava alkuperäisen murtoluvun nimittäjä m:llä. Saadaan b · m , ja tehtävän ehdon mukaan b · m = c . Muista kuinka kerto- ja jakolasku liittyvät toisiinsa. Tämä yhteys johtaa meidät seuraavaan johtopäätökseen: lisätekijä ei ole muuta kuin c:n jakaminen b:llä, toisin sanoen m = c: b.
Siten lisätekijän löytämiseksi meidän on jaettava vaadittu nimittäjä alkuperäisellä.
Esimerkki 3
Etsi lisäkerroin, jolla murto 17 4 tuotiin nimittäjään 124 .
Päätös
Yllä olevan säännön avulla jaamme yksinkertaisesti 124 alkuperäisen murtoluvun nimittäjällä neljä.
Otamme huomioon: 124: 4 \u003d 31.
Tämän tyyppistä laskentaa tarvitaan usein, kun murtoluvut pienennetään yhteiseksi nimittäjäksi.
Sääntö murtolukujen vähentämiseksi tiettyyn nimittäjään
Siirrytään perussäännön määrittelyyn, jolla voit tuoda murtoluvut määritettyyn nimittäjään. Niin,
Määritelmä 2
Murtoluvun tuomiseksi määritettyyn nimittäjään tarvitset:
- määritä lisäkerroin;
- kerro sillä sekä alkuperäisen murtoluvun osoittaja että nimittäjä.
Kuinka soveltaa tätä sääntöä käytännössä? Otetaan esimerkki ongelman ratkaisemisesta.
Esimerkki 4
Suorita murtoluvun 7 16 pelkistys nimittäjään 336 .
Päätös
Aloitetaan laskemalla lisäkerroin. Jako: 336: 16 = 21.
Kerromme saadun vastauksen alkuperäisen murtoluvun molemmilla osilla: 7 16 \u003d 7 21 16 21 \u003d 147 336. Joten siirsimme alkuperäisen murtoluvun haluttuun nimittäjään 336.
Vastaus: 7 16 = 147 336.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Kuinka saada algebralliset (rationaaliset) murtoluvut yhteiseen nimittäjään?
1) Jos murtolukujen nimittäjät ovat polynomeja, sinun on kokeiltava jotakin tunnetuista menetelmistä.
2) Pienin yhteinen nimittäjä (LCD) koostuu kaikki kertoimet otettu mukaan suurin tutkinnon.
Lukujen pienin yhteinen nimittäjä etsitään sanallisesti pienimpänä lukuna, joka on jaollinen lopuilla luvuilla.
3) Löytääksesi lisätekijän jokaiselle murtoluvulle, sinun on jaettava uusi nimittäjä vanhalla.
4) Alkuperäisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan lisäkertoimella.
Harkitse esimerkkejä algebrallisten murtolukujen vähentämisestä yhteiseksi nimittäjäksi.
Löytääksesi yhteisen nimittäjän numeroille, valitse suurempi luku ja tarkista, onko se jaollinen pienemmällä. 15 ei ole jaollinen 9:llä. Kerrotaan 15 kahdella ja tarkistetaan, onko tuloksena saatu luku jaollinen 9:llä. 30 ei ole jaollinen 9:llä. Kerrotaan 15 kolmella ja tarkistetaan, onko saatu luku jaollinen 9:llä. 45 on jaollinen 9:llä, mikä tarkoittaa, että lukujen yhteinen nimittäjä on 45.
Pienin yhteinen nimittäjä on kaikkien suurimpaan potenssiin otettujen tekijöiden summa. Näin ollen näiden murtolukujen yhteinen nimittäjä on 45 eKr (kirjaimet kirjoitetaan yleensä aakkosjärjestyksessä).
Jos haluat löytää lisätekijän jokaiselle murtoluvulle, sinun on jaettava uusi nimittäjä vanhalla. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Kerromme jokaisen murtoluvun osoittajan ja nimittäjän lisäkertoimella:
Ensin etsitään lukuille yhteinen nimittäjä: 8 ei ole jaollinen 6:lla, 8∙2=16 ei ole jaollinen 6:lla, 8∙3=24 on jaollinen 6:lla. Jokainen muuttuja on sisällytettävä yhteiseen nimittäjään kerran. Asteista otetaan aste suurella eksponentilla.
Näin ollen näiden murtolukujen yhteinen nimittäjä on 24a³bc.
Löytääksesi lisätekijän jokaiselle murtoluvulle, sinun on jaettava uusi nimittäjä vanhalla: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.
Kerromme lisäkertoimen osoittajalla ja nimittäjällä:
Näiden murtolukujen nimittäjissä olevat polynomit tarvitaan. Ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on erotuksen täysi neliö: x²-18x+81=(x-9)²; toisen nimittäjässä - neliöiden erotus: x²-81=(x-9)(x+9):
Yhteinen nimittäjä koostuu kaikista tekijöistä, jotka on otettu suurimmassa määrin, eli se on yhtä suuri kuin (x-9)²(x+9). Etsimme lisätekijät ja kerromme ne kunkin murtoluvun osoittajalla ja nimittäjällä:
Murtoluvuilla on eri tai samat nimittäjät. Sama nimittäjä tai muuten kutsutaan yhteinen nimittäjä murto-osassa Esimerkki yhteisestä nimittäjästä:
\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)
Esimerkki murtolukujen eri nimittäjistä:
\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)
Kuinka löytää murto-osalle yhteinen nimittäjä?
Ensimmäisen murto-osan nimittäjä on 3, toisen 13. Sinun on löydettävä luku, joka on jaollinen sekä 3:lla että 13:lla. Tämä luku on 39.
Ensimmäinen murtoluku on kerrottava lisäkerroin 13. Jotta murtoluku ei muutu, meidän on kerrottava sekä osoittaja 13:lla että nimittäjä.
\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \color(red) (13))(3 \times \color(red) (13)) = \frac(104)(39)\)
Kerromme toisen murto-osan lisäkertoimella 3.
\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \color(red) (3))(13 \times \color(red) (3)) = \frac(6)(39)\)
Olemme pienentäneet murtoluvun yhteistä nimittäjää:
\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)
Pienin yhteinen nimittäjä.
Harkitse toista esimerkkiä:
Tuodaan murtoluvut \(\frac(5)(8)\) ja \(\frac(7)(12)\) yhteiseen nimittäjään.
Yhteinen nimittäjä numeroille 8 ja 12 voivat olla luvut 24, 48, 96, 120, ..., on tapana valita pienin yhteinen nimittäjä meidän tapauksessamme tämä luku on 24.
Pienin yhteinen nimittäjä on pienin luku, joka jakaa ensimmäisen ja toisen murto-osan nimittäjän.
Kuinka löytää pienin yhteinen nimittäjä?
Luvut laskemalla, jolla ensimmäisen ja toisen murtoluvun nimittäjä jaetaan ja valitaan niistä pienin.
Meidän on kerrottava murto-osa, jonka nimittäjä on 8, 3, ja kerrottava murto-osa, jonka nimittäjä on 12, 2.
\(\begin(align)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \kertaa \väri(punainen) (2))(12 \kertaa \väri(punainen) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\ \end(tasaa)\)
Jos murtolukuja ei heti pysty tuomaan alimpaan yhteiseen nimittäjään, ei siinä ole mitään vikaa, jatkossa esimerkkiä ratkotessa saatat joutua saamaan vastauksen
Yhteinen nimittäjä löytyy kahdelle murto-osalle, se voi olla näiden murto-osien nimittäjien tulo.
Esimerkiksi:
Pienennä murtoluvut \(\frac(1)(4)\) ja \(\frac(9)(16)\) pienimpään yhteiseen nimittäjään.
Helpoin tapa löytää yhteinen nimittäjä on kertoa nimittäjät 4⋅16=64. Luku 64 ei ole pienin yhteinen nimittäjä. Tehtävänä on löytää pienin yhteinen nimittäjä. Joten etsimme pidemmälle. Tarvitsemme luvun, joka on jaollinen sekä 4:llä että 16:lla, tämä on luku 16. Vähennetään murto-osa yhteiseksi nimittäjäksi, kerrotaan murto, jonka nimittäjä on 4, 4:llä ja murto, jonka nimittäjä on 16, yhdellä. Saamme:
\(\begin(align)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4 )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \kertaa \väri(punainen) (1))(16 \kertaa \väri(punainen) (1)) = \frac( 9)(16)\\\\ \end(tasaa)\)
