Sovellettujen tehtävien ratkaisu rajoittuu integraalin laskemiseen, mutta sitä ei aina ole mahdollista tehdä tarkasti. Joskus on tarpeen tietää tietyn integraalin arvo jollain tarkkuudella, esimerkiksi tuhannesosaan.

On tehtäviä, joissa olisi tarpeen löytää tietyn integraalin likimääräinen arvo vaaditulla tarkkuudella, sitten käytetään numeerista integrointia, kuten Simposn-menetelmää, puolisuunnikkaita, suorakulmioita. Kaikki tapaukset eivät anna meidän laskea sitä tietyllä tarkkuudella.

Tässä artikkelissa tarkastellaan Newton-Leibnizin kaavan soveltamista. Tämä on tarpeen kiinteän integraalin tarkkaan laskemiseen. Tarkemmat esimerkit annetaan, muuttujan muutos määrätyssä integraalissa otetaan huomioon ja osakohtaisesti integroitaessa selvitetään määrätyn integraalin arvot.

Newton-Leibnizin kaava

Määritelmä 1

Kun funktio y = y (x) on jatkuva janasta [ a ; b ] ja F (x) on yksi tämän segmentin funktion antijohdannaisista Newton-Leibnizin kaava pidetään oikeudenmukaisena. Kirjoitetaan se näin ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Tätä kaavaa harkitaan integraalilaskennan peruskaava.

Tämän kaavan todistamiseksi on käytettävä integraalin käsitettä käytettävissä olevan muuttujan ylärajan kanssa.

Kun funktio y = f (x) on jatkuva janasta [ a ; b ], sitten argumentin x ∈ a arvo; b , ja integraalin muoto on ∫ a x f (t) d t ja sitä pidetään ylärajan funktiona. On hyväksyttävä, että funktion merkintä on muotoa ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , se on jatkuva, ja muodon ∫ a x f (t) d t epäyhtälö " = Φ " (x) = f (x) on kelvollinen sille.

Korjaamme, että funktion Φ (x) inkrementti vastaa argumentin ∆ x inkrementtiä, on tarpeen käyttää määrätyn integraalin viidettä pääominaisuutta ja saada

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

jossa arvo c ∈ x ; x + ∆x .

Kiinnitetään yhtälö muotoon Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Funktion derivaatan määritelmän mukaan on välttämätöntä siirtyä rajaan ∆ x → 0, jolloin saadaan muotoa oleva kaava [ a ; b ] Muuten lauseke voidaan kirjoittaa

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , jossa C:n arvo on vakio.

Lasketaan F (a) käyttämällä määrätyn integraalin ensimmäistä ominaisuutta. Sitten saamme sen

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, joten C = F (a) . Tulosta voidaan soveltaa laskettaessa F (b) ja saamme:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , toisin sanoen F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Tasa-arvo todistaa Newton-Leibnizin kaavan ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Funktion inkrementiksi otetaan F x a b = F (b) - F (a) . Newton-Leibnizin kaavasta tulee merkinnän avulla ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Kaavan soveltamiseksi on tiedettävä yksi integrandin y = f (x) antiderivaatta y = F (x) segmentistä [ a ; b ] , laske antiderivaan lisäys tästä segmentistä. Harkitse muutamia esimerkkejä Newton-Leibnizin kaavaa käyttävistä laskelmista.

Esimerkki 1

Laske tarkka integraali ∫ 1 3 x 2 d x käyttäen Newton-Leibnizin kaavaa.

Päätös

Oletetaan, että muodon y = x 2 integrandi on jatkuva väliltä [1; 3 ] , niin ja on integroitavissa tälle aikavälille. Epämääräisten integraalien taulukon mukaan näemme, että funktiolla y \u003d x 2 on joukko antiderivaatat kaikille x:n reaaliarvoille, mikä tarkoittaa, että x ∈ 1; 3 kirjoitetaan muodossa F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . On tarpeen ottaa antijohdannainen arvolla C \u003d 0, niin saadaan, että F (x) \u003d x 3 3.

Käytetään Newton-Leibnizin kaavaa ja saadaan, että määrätyn integraalin laskenta on muotoa ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Vastaus:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Esimerkki 2

Laske tarkka integraali ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x käyttäen Newton-Leibnizin kaavaa.

Päätös

Annettu funktio on jatkuva janasta [-1; 2 ], mikä tarkoittaa, että se on integroitavissa siihen. On tarpeen löytää epämääräisen integraalin ∫ x e x 2 + 1 d x arvo käyttämällä summausmenetelmää differentiaalimerkin alla, jolloin saadaan ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2+1+C.

Tästä syystä meillä on joukko funktion y = x · e x 2 + 1 antiderivaataita, jotka ovat voimassa kaikille x, x ∈ - 1; 2.

On tarpeen ottaa antiderivaata arvolla C = 0 ja soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa. Sitten saamme muodon ilmaisun

∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Vastaus:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Esimerkki 3

Laske integraalit ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x ja ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Päätös

Segmentti - 4; - 1 2 sanoo, että integraalimerkin alla oleva funktio on jatkuva, mikä tarkoittaa, että se on integroitavissa. Täältä löydämme joukon funktion y = 4 x 3 + 2 x 2 antiderivaatat. Me ymmärrämme sen

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

On tarpeen ottaa antiderivatiivinen F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, sitten Newton-Leibnizin kaavaa käyttäen saadaan integraali, jonka laskemme:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Siirrymme toisen integraalin laskemiseen.

Segmentistä [ - 1 ; 1 ] meillä on, että integrandi katsotaan rajoittamattomaksi, koska lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , niin tästä seuraa, että segmentin integroitavuuden välttämätön ehto. Silloin F (x) = 2 x 2 - 2 x ei ole antiderivaata arvolle y = 4 x 3 + 2 x 2 väliltä [ - 1 ; 1 ] , koska piste O kuuluu segmenttiin, mutta ei sisälly määritelmäalueeseen. Tämä tarkoittaa, että funktiolle y = 4 x 3 + 2 x 2 väliltä [ - 1 ; yksi ] .

Vastaus: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, funktiolle y = 4 x 3 + 2 x 2 väliltä [ - 1 ; yksi ] .

Ennen kuin käytät Newton-Leibnizin kaavaa, sinun on tiedettävä tarkasti määrätyn integraalin olemassaolo.

Muuttujan muutos määrätyssä integraalissa

Kun funktio y = f (x) on määritelty ja jatkuva janasta [ a ; b], sitten olemassa oleva joukko [a; b ] katsotaan välille α määritellyn funktion x = g (z) alueeksi; β olemassa olevalla jatkuvalla derivaatalla, jossa g (α) = a ja g β = b , joten saadaan, että ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Tätä kaavaa käytetään, kun on tarpeen laskea integraali ∫ a b f (x) d x , jossa epämääräisen integraalin muoto on ∫ f (x) d x , lasketaan korvausmenetelmällä.

Esimerkki 4

Laske määrällinen integraali muotoa ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Päätös

Integradia pidetään jatkuvana integrointivälillä, mikä tarkoittaa, että määrätty integraali on olemassa. Tehdään merkintä, että 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Arvo x \u003d 9 tarkoittaa, että z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, ja arvolle x \u003d 18 saadaan, että z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u0, sitten g 27 \u0, u003d g (3) \u003d 9, g β = g 3 3 = 18 . Korvaamalla saadut arvot kaavaan ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z, saadaan, että

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = 3 3 + 2 z 9 d z

Epämääräisten integraalien taulukon mukaan meillä on, että yksi funktion 2 z 2 + 9 antiderivaatta saa arvon 2 3 a r c t g z 3 . Sitten Newton-Leibnizin kaavaa soveltamalla saamme sen

∫ 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - 2 3 a r c t g 3 - a rc t g 3 = 1 π 1 π 3 - 8

Löytö voitaisiin tehdä ilman kaavaa ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Jos korvausmenetelmässä käytetään integraalia muotoa ∫ 1 x 2 x - 9 d x , niin saadaan tulokseksi ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Tästä eteenpäin suoritamme laskelmia käyttäen Newton-Leibnizin kaavaa ja laskemme lopullisen integraalin. Me ymmärrämme sen

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g t 3 - 1 π 3 π 3 - 1 \u003d π 18

Tulokset sopivat.

Vastaus: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integrointi osittain määrätyn integraalin laskennassa

Jos segmentillä [ a ; b ] funktiot u (x) ja v (x) ovat määriteltyjä ja jatkuvia, jolloin niiden ensimmäisen kertaluvun derivaatat v " (x) u (x) ovat integroitavia, joten tästä intervallista integroitavalle funktiolle u " (x) v (x) yhtälö ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x on tosi.

Kaavaa voidaan käyttää silloin, on tarpeen laskea integraali ∫ a b f (x) d x , ja ∫ f (x) d x se oli löydettävä käyttämällä osien integrointia.

Esimerkki 5

Laske tarkka integraali ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Päätös

Funktio x sin x 3 + π 6 on integroitavissa segmentissä - π 2; 3 π 2 , joten se on jatkuva.

Olkoon u (x) \u003d x, sitten d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x ja d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x ja v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Kaavasta ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x saamme, että

∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d 3 d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 2 + 3 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Esimerkin ratkaisu voidaan tehdä toisella tavalla.

Etsi funktion x sin x 3 + π 6 antiderivaatat käyttämällä osien integrointia Newton-Leibnizin kaavalla:

∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Vastaus: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Teoksen teksti on sijoitettu ilman kuvia ja kaavoja.
Teoksen täysi versio löytyy "Työtiedostot"-välilehdeltä PDF-muodossa

"Minä myös, Newtonin binomi!»

Mestari ja Margaritasta

”Pascalin kolmio on niin yksinkertainen, että jopa 10-vuotias lapsi osaa kirjoittaa sen. Samalla se kätkee sisäänsä ehtymättömiä aarteita ja yhdistää matematiikan eri näkökohtia, joilla ei ensi silmäyksellä ole mitään yhteistä. Tällaisten epätavallisten ominaisuuksien ansiosta voimme pitää Pascalin kolmiota yhtenä tyylikkäimmistä kaavioista koko matematiikan alueella.

Martin Gardner.

Tavoite: yleistää lyhennettyjen kertolaskujen kaavat, näyttää niiden soveltamisen tehtävien ratkaisemiseen.

Tehtävät:

1) tutkia ja systematisoida tietoa tästä aiheesta;

2) analysoida esimerkkejä Newtonin binomin käytön ongelmista sekä asteiden summan ja eron kaavoja.

Tutkimuskohteet: Newtonin binomi, asteiden summan ja eron kaavat.

Tutkimusmenetelmät:

Työskentely opetus- ja populaaritieteellisen kirjallisuuden, Internet-resurssien parissa.

Laskelmat, vertailu, analyysi, analogia.

Merkityksellisyys. Henkilö joutuu usein käsittelemään ongelmia, joissa on tarpeen laskea kaikkien mahdollisten tapojen lukumäärä joidenkin esineiden järjestämiseksi tai kaikkien mahdollisten tapojen määrä suorittaa jokin toiminta. Eri polut tai vaihtoehdot, jotka henkilön on valittava, muodostavat monenlaisia ​​yhdistelmiä. Ja kokonainen matematiikan ala, nimeltään kombinatoriikka, etsii kiireisesti vastauksia kysymyksiin: kuinka monta yhdistelmiä on tässä tai tuossa tapauksessa.

Monien erikoisalojen edustajat joutuvat käsittelemään kombinatorisia suureita: tiede-kemisti, biologi, suunnittelija, lähettäjä jne. Viime vuosien kasvava kiinnostus kombinatoriikkaa kohtaan johtuu kybernetiikan ja tietotekniikan nopeasta kehityksestä.

Johdanto

Kun he haluavat korostaa, että keskustelukumppani liioittelee kohtaamiensa tehtävien monimutkaisuutta, he sanovat: "Tarvitsen myös Newtonin binomiaalin!" Sano, tässä on Newtonin binomi, se on vaikeaa, mutta mitä ongelmia sinulla on! Jopa ne ihmiset, joiden kiinnostuksilla ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa, ovat kuulleet Newtonin binomiaalista.

Sana "binomiaali" tarkoittaa binomialia, ts. kahden ehdon summa. Koulukurssilta tunnetaan niin sanotut lyhennetyt kertolaskukaavat:

( a+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .

Näiden kaavojen yleistys on kaava nimeltä Newtonin binomiaalinen kaava. Neliöiden eron, kuutioiden summan ja erotuksen laskentakaavoja käytetään myös koulussa. Onko heillä yleistys muihin tutkintoihin? Kyllä, tällaisia ​​kaavoja on, niitä käytetään usein erilaisten ongelmien ratkaisemiseen: jaollisuuden todistaminen, murtolukujen vähentäminen, likimääräiset laskelmat.

Yleistävien kaavojen tutkiminen kehittää deduktiivis-matemaattista ajattelua ja yleisiä henkisiä kykyjä.

OSA 1. NEWTONIN BINOMIAALIKAAVA

Yhdistelmät ja niiden ominaisuudet

Olkoon X joukko, joka koostuu n alkiosta. Mitä tahansa joukon X osajoukkoa Y, joka sisältää k elementtiä, kutsutaan k elementin yhdistelmäksi n:stä ja k ≤ n .

Erilaisten k elementtien yhdistelmien lukumäärää n:stä merkitään C n k . Yksi tärkeimmistä kombinatoriikan kaavoista on seuraava kaava luvulle C n k:

Se voidaan kirjoittaa ilmeisten lyhenteiden jälkeen seuraavasti:

Erityisesti,

Tämä on täysin sopusoinnussa sen tosiasian kanssa, että joukossa X on vain yksi 0 elementin osajoukko - tyhjä osajoukko.

Luvuilla C n k on useita merkittäviä ominaisuuksia.

Kaava С n k = С n - k n pätee, (3)

Kaavan (3) merkitys on, että X:n kaikkien k-jäsenisten osajoukkojen joukon ja X:n kaikkien (n - k)-jäsenisten osajoukkojen joukon välillä on yksi yhteen vastaavuus: määrittää tämä vastaavuus, riittää, että jokainen Y:n k-jäseninen osajoukko vastaa komplementtiaan joukossa X.

Kaava С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n on voimassa (4)

Vasemmalla oleva summa ilmaisee joukon X kaikkien osajoukkojen lukumäärän (C 0 n on 0-jäsenisten osajoukkojen lukumäärä, C 1 n on yksijäsenisten osajoukkojen lukumäärä jne.).

Jokaiselle k, 1≤ k≤ n , yhtälö

C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Tämä yhtäläisyys on helppo saavuttaa kaavalla (1). Todellakin,

1.2. Newtonin binomiaalikaavan johtaminen

Harkitse binomiaalin voimavaroja +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2(+b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3(+b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4(+b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n = 5(+b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Huomaa seuraavat säännöllisyydet:

Tuloksena olevan polynomin termien lukumäärä on yksi suurempi kuin binomin eksponentti;

Ensimmäisen termin eksponentti pienenee n:stä nollaan, toisen termin eksponentti kasvaa 0:sta n:ään;

Kaikkien monomien asteet ovat yhtä suuret kuin ehdon binomiaalin asteet;

Jokainen monomi on ensimmäisen ja toisen lausekkeen tulo eri potenssien ja tietyn luvun - binomikertoimen;

Binomikertoimet, jotka ovat yhtä kaukana laajennuksen alusta ja lopusta, ovat yhtä suuret.

Näiden kaavojen yleistys on seuraava kaava, jota kutsutaan Newtonin binomikaaliseksi:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

Tässä kaavassa n voi olla mikä tahansa luonnollinen luku.

Johdetaan kaava (6). Ensinnäkin kirjoitetaan:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

missä on kerrottavien sulujen määrä n. Tavallisesta summan kertomista summalla koskevasta säännöstä seuraa, että lauseke (7) on yhtä suuri kuin kaikkien mahdollisten tulojen summa, joka voidaan muodostaa seuraavasti: mikä tahansa termi summan ensimmäisessä a + b kerrottuna millä tahansa toisen summan ehdolla a+b, millä tahansa kolmannen summan ehdolla jne.

Sen perusteella, mitä on sanottu, on selvää, että termi ilmaisussa for (a + b ) n täsmää (yksi yhteen) merkkijonoja, joiden pituus on n ja jotka koostuvat kirjaimista a ja b. Termien joukossa on samanlaisia ​​termejä; on selvää, että tällaiset jäsenet vastaavat merkkijonoja, jotka sisältävät saman määrän kirjaimia a. Mutta täsmälleen k sisältävien rivien lukumäärä kertaa kirjain a, on yhtä suuri kuin C n k . Siten kaikkien termien summa, jotka sisältävät kirjaimen a kertoimella täsmälleen k kertaa, on yhtä suuri kuin С n k a n - k b k . Koska k voi saada arvot 0, 1, 2, ..., n-1, n, kaava (6) seuraa päättelystämme. Huomaa, että (6) voidaan kirjoittaa lyhyemmin: (8)

Vaikka kaavaa (6) kutsutaan Newtonin nimellä, todellisuudessa se löydettiin jo ennen Newtonia (esimerkiksi Pascal tiesi sen). Newtonin ansio piilee siinä, että hän löysi tämän kaavan yleistyksen ei-kokonaislukujen eksponenttia varten. Se oli I. Newton vuosina 1664-1665. johti kaavan, joka ilmaisee binomiaalin asteen mielivaltaisille murto- ja negatiivisille eksponenteille.

Kaavaan (6) sisältyviä lukuja C 0 n , C 1 n , ..., C n n kutsutaan tavallisesti binomikertoimiksi, jotka määritellään seuraavasti:

Kaavasta (6) voidaan saada useita näiden kertoimien ominaisuuksia. Esimerkiksi olettaen a=1, b = 1, saamme:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,

nuo. kaava (4). Jos laitamme a= 1, b = -1, niin meillä on:

0 \u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

tai C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ....

Tämä tarkoittaa, että laajennuksen parillisten termien kertoimien summa on yhtä suuri kuin laajennuksen parittomien termien kertoimien summa; jokainen niistä on yhtä suuri kuin 2 n -1 .

Laajennuksen päistä yhtä kaukana olevien termien kertoimet ovat yhtä suuret. Tämä ominaisuus seuraa suhteesta: С n k = С n n - k

Mielenkiintoinen erikoistapaus

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

tai lyhyempi (x +1) n = ∑C n k x n - k.

1.3. Polynomilause

Lause.

Todiste.

Monomiaalin saamiseksi sulujen avaamisen jälkeen sinun on valittava ne sulut, joista se on otettu, ne sulut, joista se on otettu jne. ja ne sulut, joista se on otettu. Tämän monomin kerroin samankaltaisten termien vähentämisen jälkeen on yhtä suuri kuin kuinka monta tapaa tällainen valinta voidaan tehdä. Valintasarjan ensimmäinen vaihe voidaan tehdä tavoilla, toinen vaihe - , kolmas - jne., -th askel - tavoilla. Haluttu kerroin on yhtä suuri kuin tulo

OSA 2. Korkeampien toimeksiantojen johdannaiset.

Korkeamman asteen johdannaisten käsite.

Olkoon funktio differentioituva jollain aikavälillä. Sitten sen johdannainen yleisesti ottaen riippuu X, eli on funktio X. Siksi sen suhteen voimme jälleen esittää kysymyksen johdannaisen olemassaolosta.

Määritelmä . Ensimmäisen derivaatan derivaatta kutsutaan toisen asteen derivaatta tai toinen derivaatta ja se on merkitty symbolilla tai ts.

Määritelmä . Toisen derivaatan derivaatta kutsutaan kolmannen asteen derivaataksi tai kolmanneksi derivaataksi ja sitä merkitään symbolilla tai.

Määritelmä . johdannainenn tilaus toimintoja kutsutaan derivaatan ensimmäiseksi johdannaiseksi (n Tämän toiminnon -1)-kerta, ja se on merkitty symbolilla tai:

Määritelmä . Ensimmäistä korkeamman kertaluvun johdannaisia ​​kutsutaan korkeammat johdannaiset.

Kommentti. Samalla tavalla voidaan saada kaava n-funktion derivaatta:

Parametrisesti määritellyn funktion toinen derivaatta

Jos funktio annetaan parametrisesti yhtälöillä, niin toisen kertaluvun derivaatan löytämiseksi on välttämätöntä erottaa sen ensimmäisen derivaatan lauseke itsenäisen muuttujan kompleksifunktiona.

Siitä lähtien

ja ottaen huomioon sen,

Me ymmärrämme sen, se on.

Samalla tavalla voimme löytää kolmannen derivaatan.

Summan, tuotteen ja osamäärän erotus.

Koska differentiaali saadaan derivaatasta kertomalla se riippumattoman muuttujan differentiaalilla, niin perusalkeisfunktioiden derivaatat sekä derivaattojen etsintäsäännöt tuntemalla voidaan päästä samanlaisiin sääntöihin differentiaalien löytämiseksi.

1 0 . Vakion differentiaali on nolla.

2 0 . äärellisen määrän differentioituvien funktioiden algebrallisen summan differentiaali on yhtä suuri kuin näiden funktioiden differentiaalien algebrallinen summa .

3 0 . Kahden differentiaalisen funktion tulon differentiaali on yhtä suuri kuin ensimmäisen funktion tulojen ja toisen ja toisen funktion differentiaalin tulojen ja ensimmäisen funktion differentiaalin tulojen summa .

Seuraus. Vakiokerroin voidaan ottaa pois differentiaalin etumerkistä.

2.3. Parametrisesti annetut funktiot, niiden erottelu.

Määritelmä . Toiminnon sanotaan olevan parametrisesti määritelty, jos molemmat muuttujat X ja y määritellään yksittäin saman apumuuttujan - parametrin - yksiarvoisiksi funktioiksit :

missät muutoksia sisällä.

Kommentti . Esitetään ympyrän ja ellipsin parametriset yhtälöt.

a) Origoon ja säteeseen keskitetty ympyrä r sisältää parametriset yhtälöt:

b) Kirjoitetaan parametriyhtälöt ellipsille:

Sulkemalla pois parametrin t Tarkasteltavien suorien parametriyhtälöistä voidaan päätyä niiden kanonisiin yhtälöihin.

Lause . Jos toiminto y väitteestä x on parametrisesti annettu yhtälöillä, missä ja ovat differentioituvia suhteessat toimintoja ja sitten.

2.4. Leibnizin kaava

Löytääksesi johdannaisen n kahden funktion tulon järjestyksessä Leibnizin kaava on erittäin käytännönläheinen.

Anna olla u ja v- joitain toimintoja muuttujasta X jolla on minkä tahansa luokan johdannaisia ​​ja y = UV. Ilmaista n-th derivaatta funktioiden derivaattojen kautta u ja v .

Meillä on johdonmukaisesti

On helppo havaita analogia toisen ja kolmannen derivaatan lausekkeiden ja Newtonin binomiaalin laajennuksen välillä toisessa ja kolmannessa potenssissa, mutta eksponentien sijasta on numeroita, jotka määräävät derivaatan järjestyksen ja funktiot. itseään voidaan pitää "nolla-asteen johdannaisina". Tämän perusteella saamme Leibnizin kaavan:

Tämä kaava voidaan todistaa matemaattisella induktiolla.

OSA 3. LEIBNIZ-KAAVAN SOVELTAMINEN.

Laskeaksemme minkä tahansa järjestyksen derivaatan kahden funktion tulosta ohittaen kaavan peräkkäisen soveltamisen kahden funktion tulon derivaatan laskemiseksi käytämme Leibnizin kaava.

Harkitse tätä kaavaa käyttämällä esimerkkejä kahden funktion tulon n:nnen derivaatan laskemisesta.

Esimerkki 1

Etsi funktion toinen derivaatta

Määritelmän mukaan toinen derivaatta on ensimmäisen derivaatan ensimmäinen derivaatta, ts.

Siksi löydämme ensin annetun funktion ensimmäisen kertaluvun derivaatan mukaan eriyttämissäännöt ja käyttäminen johdannainen taulukko:

Nyt löydämme ensimmäisen kertaluvun derivaatan derivaatan. Tämä on haluttu toisen kertaluvun johdannainen:

Vastaus:

Esimerkki 2

Etsi funktion kolmannen kertaluvun derivaatta

Päätös.

Etsimme peräkkäin derivaatat annetun funktion ensimmäisestä, toisesta, kolmannesta ja niin edelleen järjestyksestä, jotta saadaan aikaan malli, joka voidaan yleistää -:nneksi derivaatalle.

Löydämme ensimmäisen kertaluvun johdannaisen as osamäärän derivaatta:

Tässä lauseketta kutsutaan luvun faktoriaaliksi. Luvun tekijä on yhtä suuri kuin lukujen tulo yhdestä, eli

Toinen derivaatta on ensimmäisen derivaatan ensimmäinen derivaatta, ts

Kolmannen asteen johdannainen:

Neljäs johdannainen:

Huomaa säännöllisyys: osoittaja sisältää luvun kertoimen, joka on yhtä suuri kuin derivaatan kertaluku, ja nimittäjä sisältää lausekkeen potenssissa yhden enemmän kuin derivaatan kertaluku, eli

Vastaus.

Esimerkki 3

Etsi funktion kolmannen derivaatan arvo pisteessä.

Päätös.

Mukaan korkeamman asteen johdannaisten taulukko, meillä on:

Tässä esimerkissä saamme

Huomaa, että samanlainen tulos voidaan saada myös etsimällä peräkkäin johdannaisia.

Tietyssä pisteessä kolmas derivaatta on:

Vastaus:

Esimerkki 4

Etsi funktion toinen derivaatta

Päätös. Etsitään ensin ensimmäinen johdannainen:

Löytääksemme toisen derivaatan, erottelemme ensimmäisen derivaatan lausekkeen uudelleen:

Vastaus:

Esimerkki 5

Etsi jos

Koska annettu funktio on kahden funktion tulo, olisi suositeltavaa käyttää Leibnizin kaavaa neljännen kertaluvun derivaatan löytämiseksi:

Etsimme kaikki derivaatat ja laskemme termien kertoimet.

1) Laske kertoimet termeille:

2) Etsi funktion derivaatat:

3) Etsi funktion derivaatat:

Vastaus:

Esimerkki 6

Funktio y=x 2 cos3x on annettu. Etsi kolmannen kertaluvun derivaatta.

Olkoon u=cos3x , v=x 2 . Sitten Leibnizin kaavan mukaan löydämme:

Tämän lausekkeen johdannaiset ovat:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Siksi annetun funktion kolmas derivaatta on

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Esimerkki 7

Etsi johdannainen n - tilaustoiminto y = x 2 cosx.

Käytämme Leibnizin kaavaa, asetustau = cosx, v=x 2 . Sitten

Sarjan loput ehdot ovat nolla, koska(x2)(i)=0, kun i>2.

Johdannainen n - kertaluvun kosinifunktio:

Siksi funktiomme derivaatta on

PÄÄTELMÄ

Koulussa tutkitaan ja käytetään ns. lyhennettyjä kertolaskukaavoja: kahden lausekkeen summan ja erotuksen neliöitä ja kuutioita sekä kaavoja neliöiden eron, kahden lausekkeen kuutioiden summan ja erotuksen laskemiseen. Näiden kaavojen yleistys on kaava nimeltä Newtonin binomiaalinen kaava ja kaavat potenssien summan ja eron laskemiseksi. Näitä kaavoja käytetään usein erilaisten ongelmien ratkaisemiseen: jaollisuuden todistamiseen, murtolukujen vähentämiseen, likimääräisiin laskelmiin. Pascalin kolmion mielenkiintoisia ominaisuuksia, jotka liittyvät läheisesti Newtonin binomiaaliin, tarkastellaan.

Työssä systematisoidaan aiheeseen liittyvää tietoa, annetaan esimerkkejä Newtonin binomiaalin käytön tehtävistä sekä asteiden summan ja eron kaavoja. Teosta voi käyttää matemaattisen ympyrän työssä sekä matematiikasta kiinnostuneiden itsenäiseen opiskeluun.

LUETTELO KÄYTETYT LÄHTEET

1. Vilenkin N. Ya. Kombinatoriikka - toim. "Tiede". - M., 1969

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra ja matemaattisen analyysin alku. Luokka 10: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten organisaatioiden perus- ja jatkotasot - M.: Koulutus, 2014. - 431 s.

3. Tilastojen, kombinatorioiden ja todennäköisyysteorian ongelmien ratkaiseminen. 7-9 solua / kirjoittaja - kääntäjä V.N. Studenetskaja. - toim. 2., korjattu, - Volgograd: Opettaja, 2009

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Korkeakoulujen algebralliset yhtälöt / Metodologinen opas yliopistojen välisen valmisteluosaston opiskelijoille. - Pietari, 2001.

5. Sharygin I.F. Valinnainen matematiikan kurssi: Ongelmanratkaisu. Oppikirja 10 solulle. yläaste. - M.: Enlightenment, 1989.

6.Tiede ja elämä, Newtonin binomiaali ja Pascalin kolmio[Sähköinen resurssi]. - Pääsytila: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Korkeampien tilausten johdannaiset

Tällä oppitunnilla opimme löytämään korkeamman asteen johdannaisia ​​sekä kirjoittamaan yleisen kaavan "n:nnelle" johdannaiselle. Lisäksi harkitaan Leibnizin kaavaa tällaiselle johdannaiselle ja yleisen kysynnän mukaan korkeamman asteen johdannaisia implisiittinen toiminto. Suosittelen, että teet välittömästi minitestin:

Tässä on toiminto: ja tässä on sen ensimmäinen johdannainen:

Jos sinulla on vaikeuksia/väärinkäsityksiä tästä esimerkistä, aloita kahdella kurssin perusartikkelilla: Kuinka löytää johdannainen? ja Yhdistelmäfunktion johdannainen. Alkeisjohdannaisten hallitsemisen jälkeen suosittelen, että luet oppitunnin Yksinkertaisimmat ongelmat derivaatalla, jota olemme käsitelleet erityisesti toinen johdannainen.

Ei ole vaikea edes arvata, että toinen derivaatta on 1. derivaatan derivaatta:

Periaatteessa toista johdannaista pidetään jo korkeamman asteen derivaatana.

Vastaavasti: kolmas derivaatta on 2. derivaatan derivaatta:

Neljäs derivaatta on 3. derivaatan johdannainen:

Viides johdannainen: , ja on selvää, että kaikki korkeamman asteen johdannaiset ovat myös nolla:

Roomalaisen numeroinnin lisäksi käytännössä käytetään usein seuraavia nimityksiä:
, kun taas "n:nnen" kertaluvun derivaatta on merkitty . Tässä tapauksessa yläindeksi on suluissa.- erottaa derivaatan asteen "y":stä.

Joskus on tällainen merkintä: - kolmas, neljäs, viides, ..., "n:s" johdannaiset, vastaavasti.

Eteenpäin ilman pelkoa ja epäilystä:

Esimerkki 1

Annettu funktio. Löytää .

Päätös: mitä voit sanoa ... - eteenpäin neljännelle johdannaiselle :)

Enää ei ole tapana laittaa neljää vetoa, joten siirrymme numeerisiin indekseihin:

Vastaus:

Okei, mietitään nyt tätä kysymystä: mitä tehdä, jos ehdon mukaan vaaditaan, että ei löydy 4. vaan esimerkiksi 20. derivaatta? Jos 3-4-5:n johdannaiselle (korkeintaan 6-7) tilaus, ratkaisu laaditaan melko nopeasti, niin "pääsemme" korkeampien tilausten johdannaisiin, oi, kuinka pian. Älä kirjoita itse asiassa 20 riviä! Tällaisessa tilanteessa sinun on analysoitava useita löydettyjä johdannaisia, katsottava kaava ja laadittava kaava "n:nnelle" johdannaiselle. Joten esimerkissä nro 1 on helppo ymmärtää, että jokaisella seuraavalla erottelulla ylimääräinen "kolmio" "hyppää ulos" ennen eksponenttia, ja missä tahansa vaiheessa "kolmio" on yhtä suuri kuin johdannainen, siis:

Missä on mielivaltainen luonnollinen luku.

Ja todellakin, jos , niin täsmälleen 1. derivaatta saadaan: , jos - sitten 2.: jne. Näin ollen kahdeskymmenes derivaatta määritetään välittömästi: - eikä "kilometriarkkeja"!

Lämmittely itsellemme:

Esimerkki 2

Etsi ominaisuuksia. Kirjoita järjestysjohdannainen

Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Virkistävän lämmittelyn jälkeen tarkastelemme monimutkaisempia esimerkkejä, joissa kehitämme yllä olevan ratkaisualgoritmin. Niille, jotka ovat lukeneet oppitunnin Sekvenssirajoitus, se on hieman helpompaa:

Esimerkki 3

Etsi toimintoa varten.

Päätös: tilanteen selventämiseksi löydämme useita johdannaisia:

Meillä ei ole kiirettä kertoa saatuja lukuja! ;-)


Ehkä tarpeeksi. ... Liioitin jopa hieman.

Seuraavassa vaiheessa on parasta kirjoittaa "n:nnen" derivaatan kaava (niin heti kun ehto ei edellytä tätä, niin voit pärjätä luonnoksella). Tätä varten tarkastelemme saatuja tuloksia ja tunnistamme kuviot, joilla jokainen seuraava derivaatta saadaan.

Ensin he allekirjoittavat. Lomittelu tarjoaa "vilkku", ja koska 1. derivaatta on positiivinen, seuraava tekijä tulee yleiseen kaavaan: . Vastaava vaihtoehto käy, mutta henkilökohtaisesti optimistina rakastan plusmerkkiä =)

Toiseksi osoittajassa "tuulet" tekijällinen, ja se "jättää" johdannaisen numeron jälkeen yhden yksikön:

Ja kolmanneksi, "kahden" potenssi kasvaa osoittajassa, joka on yhtä suuri kuin derivaatan luku. Samaa voidaan sanoa nimittäjän asteesta. Lopuksi:

Korvataan tarkistusta varten esimerkiksi muutama arvo "en" ja:

Hienoa, nyt virheen tekeminen on vain syntiä:

Vastaus:

Yksinkertaisempi toiminto tee-se-itse-ratkaisuun:

Esimerkki 4

Etsi ominaisuuksia.

Ja hankalampi ongelma:

Esimerkki 5

Etsi ominaisuuksia.

Toistetaan toimenpide vielä kerran:

1) Ensin löydämme useita johdannaisia. Kolme tai neljä riittää yleensä kuvioiden kiinnittämiseen.

2) Sitten suosittelen kääntämistä (ainakin luonnoksessa)"n:s" johdannainen - se taatusti suojaa virheiltä. Mutta ilmankin pärjää, ts. arvioida henkisesti ja kirjoittaa heti ylös esimerkiksi kahdeskymmenes tai kahdeksas derivaatta. Lisäksi jotkut ihmiset pystyvät yleensä ratkaisemaan käsiteltävät ongelmat suullisesti. On kuitenkin muistettava, että "nopeat" menetelmät ovat täynnä, ja on parempi pelata varman päälle.

3) Viimeisessä vaiheessa tarkistamme "n:nnen" johdannaisen - otamme arvoparin "en" (parempi kuin viereiset) ja suoritamme korvauksen. Ja vielä luotettavampaa on tarkistaa kaikki aiemmin löydetyt johdannaiset. Sitten korvaamme halutun arvon, esimerkiksi tai, ja kampaamme tuloksen huolellisesti.

Lyhyt ratkaisu 4. ja 5. esimerkistä oppitunnin lopussa.

Joissakin tehtävissä ongelmien välttämiseksi sinun on tehtävä vähän taikuutta toiminnolle:

Esimerkki 6

Päätös: En halua erotella ehdotettua funktiota ollenkaan, koska se tulee olemaan "huono" murto-osa, mikä vaikeuttaa myöhempien johdannaisten löytämistä.

Tässä suhteessa on suositeltavaa suorittaa alustavia muunnoksia: käytämme neliöiden erotuskaava ja logaritmin ominaisuus :

Aivan eri asia:

Ja vanhat ystävät:

Luulen, että kaikkea katsotaan. Huomaa, että 2. murtomerkki on, mutta 1. ei. Rakennamme tilausjohdannaisen:

Kontrolli:

No, kauneuden vuoksi poistamme faktoriaalin suluista:

Vastaus:

Mielenkiintoinen tehtävä itsenäiselle ratkaisulle:

Esimerkki 7

Kirjoita funktion järjestysjohdannaiskaava

Ja nyt horjumattomasta keskinäisestä vastuusta, jota jopa italialainen mafia kadehtii:

Esimerkki 8

Annettu funktio. Löytää

Kahdeksastoista derivaatta pisteessä . Vain.

Päätös: Ensinnäkin sinun täytyy tietysti löytää . Mennä:

He aloittivat sinistä ja tulivat sinistä. On selvää, että erilaistumisen myötä tämä sykli jatkuu äärettömyyteen, ja herää seuraava kysymys: kuinka parhaiten "päästä" kahdeksastoista derivaatalle?

"Amatööri"-menetelmä: kirjoitamme nopeasti seuraavien johdannaisten numerot oikealle sarakkeeseen:

Täten:

Mutta se toimii, jos derivaatan järjestys ei ole liian suuri. Jos sinun on löydettävä esimerkiksi sadas derivaatta, sinun tulee käyttää jaollisuutta neljällä. Sata on jaollinen 4:llä ilman jäännöstä, ja on helppo nähdä, että tällaiset luvut sijaitsevat alimmalla rivillä, joten: .

Muuten, 18. derivaatta voidaan määrittää myös samanlaisista näkökohdista:
Toisella rivillä on lukuja, jotka ovat jaollisia 4:llä ja jäännös 2:lla.

Toinen, akateemisempi menetelmä perustuu sinijaksoisuus ja pelkistyskaavat. Käytämme sinin valmista kaavaa "n:s" johdannainen , johon haluttu numero yksinkertaisesti korvataan. Esimerkiksi:
(pelkistyskaava ) ;
(pelkistyskaava )

Meidän tapauksessamme:

(1) Koska sini on jaksollinen funktio, jossa on piste, niin argumentti voidaan kivuttomasti "kiertää auki" 4 pistettä (eli).

Kahden funktion tulon järjestysderivaata löytyy kaavasta:

Erityisesti:

Sinun ei tarvitse muistaa mitään erityistä, sillä mitä enemmän kaavoja tiedät, sitä vähemmän ymmärrät. Paljon parempi tietää Newtonin binomi, koska Leibnizin kaava on hyvin, hyvin samanlainen kuin hän. No, ne onnekkaat, jotka saavat johdannaisen seitsemännestä tai korkeammasta tilauksesta (mikä on todella epätodennäköistä) on pakko tehdä niin. Kuitenkin, kun sen aika koittaa kombinatoriikka- täytyy silti =)

Etsitään funktion kolmas derivaatta. Käytämme Leibnizin kaavaa:

Tässä tapauksessa: . Johdannaisia ​​on helppo napsauttaa suullisesti:

Nyt suoritamme vaihdon huolellisesti ja HUOLELLISESTI ja yksinkertaistamme tulosta:

Vastaus:

Samanlainen tehtävä itsenäiselle ratkaisulle:

Esimerkki 11

Etsi ominaisuuksia

Jos edellisessä esimerkissä ratkaisu "otsassa" kilpaili vielä Leibnizin kaavan kanssa, niin tässä se on jo todella epämiellyttävää. Ja vielä epämiellyttävämpää - jos johdannainen on korkeampi:

Esimerkki 12

Etsi määritetyn järjestyksen johdannainen

Päätös: ensimmäinen ja olennainen huomautus - näin päättää, luultavasti ei ole välttämätöntä =) =)

Kirjataan funktiot muistiin ja etsitään niiden derivaatat 5. kertaluokkaan asti. Oletan, että oikean sarakkeen johdannaisista on tullut sinulle suullisia:

Vasemmassa sarakkeessa "elävät" johdannaiset "päättyivät" nopeasti ja tämä on erittäin hyvä - Leibnizin kaavassa kolme termiä nollataan:

Pysähdyn uudelleen ongelmaan, joka ilmestyi artikkelissa monimutkaiset johdannaiset: yksinkertaistaaksesi tulosta? Periaatteessa voit jättää sen sellaiseksi - opettajan on vielä helpompi tarkistaa. Mutta hän saattaa joutua tuomaan päätöksen mieleen. Toisaalta oma-aloitteinen yksinkertaistaminen on täynnä algebrallisia virheitä. Meillä on kuitenkin "alkuperäisellä" tavalla saatu vastaus =) (katso linkki alussa) ja toivottavasti se on oikein:

Hienoa, kaikki sujui.

Vastaus:

Iloinen tehtävä itsenäiseen ratkaisuun:

Esimerkki 13

Toimintoja varten:
a) löytää suoralla erottelulla;
b) etsi Leibnizin kaavalla;
c) laskea.

Ei, en ole ollenkaan sadisti - kohta "a" on melko yksinkertainen =)

Mutta vakavasti, "suoralla" ratkaisulla peräkkäisellä eriyttämisellä on myös "oikeus elämään" - joissain tapauksissa sen monimutkaisuus on verrattavissa Leibnizin kaavan soveltamisen monimutkaisuuteen. Käytä parhaaksi katsomallasi tavalla - tämä ei todennäköisesti ole syy siihen, että tehtävää ei lasketa.

Lyhyt ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Viimeisen kappaleen nostamiseksi sinun on kyettävä erottaa implisiittiset funktiot:

Implisiittisten funktioiden korkeamman asteen derivaatat

Monet meistä ovat viettäneet elämästään pitkiä tunteja, päiviä ja viikkoja opiskellessaan ympyrät, paraabeli, hyperbolia– ja joskus se tuntui jopa todelliselta rangaistukselta. Otetaan siis kosto ja erotetaan ne kunnolla!

Aloitetaan "koulu"-paraabelista kanoninen asema:

Esimerkki 14

Yhtälö on annettu. Löytää .

Päätös: ensimmäinen askel on tuttu:

Se, että funktio ja sen derivaatta ilmaistaan ​​implisiittisesti, ei muuta asian olemusta, toinen derivaatta on 1. derivaatan derivaatta:

On kuitenkin olemassa pelisääntöjä: yleensä ilmaistaan ​​toisen ja korkeamman asteen johdannaiset vain "x" ja "y" kautta. Siksi korvaamme tuloksena olevan 2. derivaatan:

Kolmas derivaatta on 2. derivaatan johdannainen:

Korvataan samalla tavalla:

Vastaus:

"Koulu" hyperboli sisään kanoninen asema- itsenäiseen työhön:

Esimerkki 15

Yhtälö on annettu. Löytää .

Toistan, että 2. derivaatta ja tulos tulee ilmaista vain "x" / "y" kautta!

Lyhyt ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Katsotaanpa lasten pilailujen jälkeen saksalaista pornografiaa @ fia, katsotaan lisää aikuisten esimerkkejä, joista opimme toisen tärkeän ratkaisun:

Esimerkki 16

Ellipsi hän itse.

Päätös: etsi ensimmäinen johdannainen:

Ja nyt pysähdytään ja analysoidaan seuraava hetki: nyt meidän on erotettava murto-osa, mikä ei ole ollenkaan rohkaisevaa. Tässä tapauksessa se on tietysti yksinkertaista, mutta tosielämän ongelmissa on vain pari tällaista lahjaa. Onko mitään keinoa välttää hankalan johdannaisen löytäminen? Olla olemassa! Otamme yhtälön ja käytämme samaa tekniikkaa kuin etsittäessä 1. derivaatta - "riputamme" vedot molempiin osiin:

Toinen derivaatta on ilmaistava vain kautta ja , joten nyt (juuri nyt) on kätevää päästä eroon ensimmäisestä johdannaisesta. Tätä varten korvaamme tuloksena olevaan yhtälöön:

Välttääksemme tarpeettomia teknisiä vaikeuksia kerromme molemmat osat:

Ja vasta viimeisessä vaiheessa laadimme murto-osan:

Nyt katsomme alkuperäistä yhtälöä ja huomaamme, että saatua tulosta voidaan yksinkertaistaa:

Vastaus:

Kuinka löytää 2. derivaatan arvo jossain vaiheessa (joka tietysti kuuluu ellipsiin) esimerkiksi pisteessä ? Erittäin helppoa! Tämä aihe on jo tavattu oppitunnilla aiheesta normaali yhtälö: 2. derivaatan lausekkeessa sinun on korvattava :

Tietysti kaikissa kolmessa tapauksessa voit saada eksplisiittisesti annettuja funktioita ja erottaa ne, mutta valmistaudu sitten henkisesti työskentelemään kahden juuria sisältävän funktion kanssa. Mielestäni ratkaisu on helpompi toteuttaa "implisiittisesti".

Viimeinen esimerkki itseratkaisusta:

Esimerkki 17

Etsi implisiittinen funktio

Leibnizin kaava kahden funktion tulon n:nnen derivaatan laskemiseksi on annettu. Sen todiste annetaan kahdella tavalla. Tarkastellaan esimerkkiä n:nnen kertaluvun derivaatan laskemisesta.

Sisältö

Katso myös: Kahden funktion tulon johdannainen

Leibnizin kaava

Leibnizin kaavan avulla voit laskea kahden funktion tulon n:nnen derivaatan. Se näyttää tältä:
(1) ,
missä
ovat binomiaalikertoimia.

Binomikertoimet ovat binomin laajennuskertoimia potenssien ja:
.
Myös numero on n:n ja k:n yhdistelmien lukumäärä.

Todiste Leibnizin kaavasta

Sovellettava kaava kahden funktion tulon derivaatalle :
(2) .
Kirjoitetaan kaava (2) uudelleen seuraavaan muotoon:
.
Toisin sanoen katsomme, että yksi funktio riippuu x-muuttujasta ja toinen riippuu muuttujasta y. Laskennan lopussa oletetaan . Sitten edellinen kaava voidaan kirjoittaa seuraavasti:
(3) .
Koska derivaatta on yhtä suuri kuin termien summa ja jokainen termi on kahden funktion tulos, voit laskea korkeampien kertalukujen johdannaiset soveltamalla johdonmukaisesti sääntöä (3).

Sitten n:nnen kertaluvun johdannaiselle meillä on:

.
Koska ja , saamme Leibnizin kaavan:
(1) .

Todistus induktiolla

Esitämme Leibnizin kaavan todisteen matemaattisen induktion menetelmällä.

Kirjoitetaan Leibnizin kaava uudelleen:
(4) .
Arvolle n = 1 meillä on:
.
Tämä on kaava kahden funktion tulon derivaatalle. Hän on oikeudenmukainen.

Oletetaan, että kaava (4) pätee n:nnen kertaluvun derivaatalle. Osoitetaan, että se pätee derivaatalle n + 1 - järjestys.

Erottele (4):
;



.
Joten löysimme:
(5) .

Korvaa kohta (5) ja ota huomioon, että:

.
Tämä osoittaa, että kaavalla (4) on sama muoto derivaatalle n + 1 - järjestys.

Joten kaava (4) pätee n = 1 . Oletuksesta, että se on totta jollekin luvulle n = m, seuraa, että se on totta n = m + 1 .
Leibnizin kaava on todistettu.

Esimerkki

Laske funktion n:s derivaatta
.

Käytämme Leibnizin kaavaa
(2) .
Meidän tapauksessamme
;
.

Tekijä: johdannainen taulukko meillä on:
.
Käytä trigonometristen funktioiden ominaisuudet :
.
Sitten
.
Tämä osoittaa, että sinifunktion differentiaatio johtaa sen siirtymiseen . Sitten
.

Löydämme funktion derivaatat.
;
;
;
, .

Koska , vain Leibnizin kaavan kolme ensimmäistä termiä ovat nollasta poikkeavia. Binomikertoimien löytäminen.
;
.

Leibnizin kaavan mukaan meillä on:

.

Katso myös: