Tieteen nerokkaimmat löydöt voivat muuttaa radikaalisti ihmisten elämää. Keksitty rokote voi pelastaa miljoonia ihmisiä, aseiden luominen päinvastoin vie nämä ihmishenkiä. Viime aikoina (ihmisen evoluution mittakaavassa) olemme oppineet "kesyttämään" sähköä - ja nyt emme voi kuvitella elämää ilman kaikkia näitä käteviä sähköä käyttäviä laitteita. Mutta on myös löytöjä, joita harva pitää tärkeänä, vaikka ne vaikuttavat myös suuresti elämäämme.

Yksi näistä "näkemättömistä" löydöistä on fraktaalit. Olet luultavasti kuullut tämän tarttuvan sanan, mutta tiedätkö mitä se tarkoittaa ja kuinka monia mielenkiintoisia asioita tähän termiin piilotetaan?

Jokaisella ihmisellä on luontainen uteliaisuus, halu oppia ympäröivästä maailmasta. Ja tässä pyrkimyksessä henkilö yrittää noudattaa logiikkaa tuomioissa. Analysoidessaan ympärillään tapahtuvia prosesseja hän yrittää löytää tapahtumien logiikan ja päätellä jonkinlaista säännönmukaisuutta. Planeetan suurimmat mielet ovat kiireisiä tämän tehtävän parissa. Karkeasti sanottuna tiedemiehet etsivät mallia siellä, missä sen ei pitäisi olla. Siitä huolimatta, kaaoksessakin voi löytää yhteyden tapahtumien välillä. Ja tämä yhteys on fraktaali.

Pikkutyttäremme, neljä ja puoli vuotta vanha, on nyt siinä ihanassa iässä, kun kysymysten määrä "Miksi?" monta kertaa suurempi määrä vastauksia kuin aikuisilla on aikaa antaa. Ei niin kauan sitten, katsoessaan maasta nostettua oksaa, tyttäreni huomasi yhtäkkiä, että tämä oksa, jossa oli oksia ja oksia, näytti itse puulta. Ja tietysti seurasi tavallinen kysymys ”Miksi?”, jolle vanhempien piti etsiä yksinkertainen, lapsen ymmärtämä selitys.

Yhden oksan samankaltaisuus lapsen löytämän koko puun kanssa on erittäin tarkka havainto, joka jälleen kerran todistaa luonnon rekursiivisen itsensä samankaltaisuuden periaatteesta. Hyvin monet orgaaniset ja epäorgaaniset muodot luonnossa muodostuvat samalla tavalla. Pilvet, simpukat, etanan "talo", puiden kuori ja latvu, verenkiertojärjestelmä ja niin edelleen – kaikkien näiden esineiden satunnaiset muodot voidaan kuvata fraktaalialgoritmilla.

⇡ Benoit Mandelbrot: fraktaaligeometrian isä

Sana "fraktaali" ilmestyi loistavan tiedemiehen Benoît B. Mandelbrotin ansiosta.

Hän loi termin itse 1970-luvulla lainaten sanan fractus latinasta, jossa se tarkoittaa kirjaimellisesti "rikki" tai "murskattu". Mikä se on? Nykyään sanaa "fraktaali" käytetään useimmiten tarkoittamaan graafista esitystä rakenteesta, joka on samanlainen kuin itseään suuremmassa mittakaavassa.

Matemaattinen perusta fraktaaliteorian syntymiselle luotiin useita vuosia ennen Benoit Mandelbrotin syntymää, mutta se saattoi kehittyä vasta tietokonelaitteiden myötä. Tieteellisen uransa alussa Benoit työskenteli IBM:n tutkimuskeskuksessa. Tuolloin keskuksen työntekijät työskentelivät tiedonsiirron parissa etänä. Tutkimuksen aikana tutkijat kohtasivat meluhäiriöiden aiheuttamien suurten häviöiden ongelman. Benoitin edessä oli vaikea ja erittäin tärkeä tehtävä - ymmärtää kuinka ennustaa kohinan esiintyminen elektronisissa piireissä, kun tilastollinen menetelmä on tehoton.

Melumittausten tuloksia tarkasteltaessa Mandelbrot kiinnitti huomion yhteen oudoon kuvioon - eri mittakaavan kohinakaaviot näyttivät samalta. Havaittiin identtinen kuvio riippumatta siitä, oliko kyseessä yhden päivän, viikon vai tunnin melukuvaus. Kaavion mittakaavaa kannatti vaihtaa, ja kuva toistui joka kerta.

Benoit Mandelbrot sanoi elämänsä aikana toistuvasti, ettei hän käsitellyt kaavoja, vaan leikki vain kuvilla. Tämä mies ajatteli hyvin kuvaannollisesti ja käänsi minkä tahansa algebrallisen ongelman geometrian alalle, jossa hänen mukaansa oikea vastaus on aina ilmeinen.

Ei ole yllättävää, että fraktaaligeometrian isä tuli miehestä, jolla oli niin rikas avaruudellinen mielikuvitus. Loppujen lopuksi fraktaalien olemuksen ymmärtäminen tulee juuri silloin, kun alat tutkia piirustuksia ja miettiä outojen pyörrekuvioiden merkitystä.

Fraktaalikuviossa ei ole identtisiä elementtejä, mutta sillä on samankaltaisuutta missä tahansa mittakaavassa. Tällaisen suuren yksityiskohtaisen kuvan rakentaminen käsin oli yksinkertaisesti mahdotonta ennen, se vaati valtavan määrän laskelmia. Esimerkiksi ranskalainen matemaatikko Pierre Joseph Louis Fatou kuvasi tämän sarjan yli seitsemänkymmentä vuotta ennen Benoit Mandelbrotin löytöä. Jos puhumme itsensä samankaltaisuuden periaatteista, niin ne mainittiin Leibnizin ja Georg Cantorin teoksissa.

Yksi ensimmäisistä fraktaalin piirroksista oli graafinen tulkinta Mandelbrotin sarjasta, joka syntyi Gaston Maurice Julian tutkimuksesta.

Gaston Julia (aina naamioitunut - ensimmäisen maailmansodan vamma)

Tämä ranskalainen matemaatikko pohti, miltä joukko näyttäisi, jos se rakennettaisiin yksinkertaisesta kaavasta, jota iteroidaan takaisinkytkentäsilmukalla. Jos selitetään "sormilla", tämä tarkoittaa, että tietylle numerolle löydämme uuden arvon kaavan avulla, jonka jälkeen korvaamme sen uudelleen kaavaan ja saamme toisen arvon. Tuloksena on suuri numerosarja.

Saadaksesi täydellisen kuvan tällaisesta sarjasta, sinun on tehtävä valtava määrä laskelmia - satoja, tuhansia, miljoonia. Sen tekeminen käsin oli yksinkertaisesti mahdotonta. Mutta kun tehokkaat laskentalaitteet ilmestyivät matemaatikoiden käyttöön, he pystyivät katsomaan uudella tavalla kaavoja ja lausekkeita, jotka olivat kiinnostaneet pitkään. Mandelbrot oli ensimmäinen, joka käytti tietokonetta klassisen fraktaalin laskemiseen. Käsiteltyään suuresta määrästä arvoja koostuvan sekvenssin Benoit siirsi tulokset kaavioon. Tässä on mitä hän sai.

Myöhemmin tämä kuva väritettiin (esimerkiksi yksi väritystapa on iteraatioiden lukumäärä) ja siitä tuli yksi suosituimmista ihmisen koskaan luomista kuvista.

Kuten Efesoksen Herakleitoksen muinainen sanonta sanoo: "Et voi mennä samaan jokeen kahdesti." Se soveltuu parhaiten fraktaalien geometrian tulkintaan. Riippumatta siitä, kuinka yksityiskohtaisesti tarkastelemme fraktaalikuvaa, näemme aina samanlaisen kuvion.

Ne, jotka haluavat nähdä, miltä Mandelbrot-avaruuden kuva näyttäisi moninkertaisesti suurennettuna, voivat tehdä sen lataamalla animoidun GIF-tiedoston.

⇡ Lauren Carpenter: luonnon luomaa taidetta

Fraktaalien teoria löysi pian käytännön sovelluksen. Koska se liittyy läheisesti itsekaltaisten kuvien visualisointiin, ei ole yllättävää, että ensimmäiset algoritmit ja periaatteet epätavallisten muotojen rakentamiseen omaksuivat taiteilijat.

Legendaarisen Pixar-studion tuleva toinen perustaja Loren C. Carpenter aloitti vuonna 1967 työskentelyn Boeing Computer Servicesissä, joka oli yksi tunnetun uusien lentokoneiden kehitystyötä tekevän yrityksen osastoista.

Vuonna 1977 hän loi esityksiä lentävien mallien prototyypeistä. Lauren vastasi kuvien kehittämisestä suunnitellusta lentokoneesta. Hänen täytyi luoda kuvia uusista malleista, jotka esittivät tulevaisuuden lentokoneita eri näkökulmista. Jossain vaiheessa tuleva Pixar Animation Studiosin perustaja sai luovan idean käyttää vuoristokuvaa taustana. Nykyään jokainen koululainen voi ratkaista tällaisen ongelman, mutta viime vuosisadan 70-luvun lopulla tietokoneet eivät pystyneet selviytymään niin monimutkaisista laskelmista - ei ollut graafisia editoijia, puhumattakaan kolmiulotteisen grafiikan sovelluksista. Vuonna 1978 Lauren näki vahingossa Benoit Mandelbrotin kirjan Fractals: Form, Randomness and Dimension kaupassa. Tässä kirjassa hänen huomionsa kiinnitettiin siihen, että Benoit antoi paljon esimerkkejä fraktaalimuodoista tosielämässä ja osoitti, että ne voidaan kuvata matemaattisella lausekkeella.

Matemaatikko valitsi tämän analogian ei sattumalta. Tosiasia on, että heti kun hän julkaisi tutkimuksensa, hän joutui kohtaamaan koko kritiikin. Pääasia, mitä hänen kollegansa moittivat häntä, oli kehitetyn teorian hyödyttömyys. "Kyllä", he sanoivat, "nämä ovat kauniita kuvia, mutta ei mitään muuta. Fraktaalien teorialla ei ole käytännön arvoa." Oli myös niitä, jotka yleisesti uskoivat, että fraktaalikuviot olivat yksinkertaisesti "paholaisen koneiden" työn sivutuote, joka 1970-luvun lopulla tuntui monien mielestä liian monimutkaiselta ja tutkimattomalta, jotta siihen voitaisiin täysin luottaa. Mandelbrot yritti löytää ilmeisen sovelluksen fraktaaliteorialle, mutta yleisesti ottaen hänen ei tarvinnut tehdä tätä. Benoit Mandelbrotin seuraajat seuraavien 25 vuoden aikana osoittautuivat suureksi hyödyksi tällaiselle "matemaattiselle uteliaisuudelle", ja Lauren Carpenter oli yksi ensimmäisistä, joka otti fraktaalimenetelmän käytäntöön.

Tutkittuaan kirjaa tuleva animaattori tutki vakavasti fraktaaligeometrian periaatteita ja alkoi etsiä tapaa toteuttaa se tietokonegrafiikassa. Vain kolmen työpäivän aikana Lauren pystyi visualisoimaan realistisen kuvan vuoristojärjestelmästä tietokoneellaan. Toisin sanoen hän maalasi kaavojen avulla täysin tunnistettavan vuoristomaiseman.

Periaate, jota Lauren käytti saavuttaakseen tavoitteensa, oli hyvin yksinkertainen. Se koostui suuremman geometrisen hahmon jakamisesta pieniin elementteihin, ja nämä puolestaan ​​​​jaettiin samanlaisiksi, pienempikokoisiksi hahmoiksi.

Käyttämällä suurempia kolmioita, Carpenter jakoi ne neljään pienempään kolmioon ja toisti tämän toimenpiteen uudestaan ​​​​ja uudestaan, kunnes hän sai realistisen vuoristomaiseman. Näin hän onnistui olemaan ensimmäinen taiteilija, joka käytti fraktaalialgoritmia tietokonegrafiikassa kuvien rakentamiseen. Heti kun tehdystä työstä tuli tunnetuksi, harrastajat ympäri maailmaa ottivat tämän idean vastaan ​​ja alkoivat käyttää fraktaalialgoritmia realististen luonnonmuotojen simulointiin.

Yksi ensimmäisistä 3D-muodostuksista, joissa käytetään fraktaalialgoritmia

Vain muutama vuosi myöhemmin Lauren Carpenter pystyi soveltamaan saavutuksiaan paljon suuremmassa projektissa. Animaattori perustui kahden minuutin demoon, Vol Libre, joka esitettiin Siggraphissa vuonna 1980. Tämä video järkytti kaikkia sen nähneitä, ja Lauren sai kutsun Lucasfilmiltä.

Animaatio renderöitiin Digital Equipment Corporationin VAX-11/780-tietokoneella viiden megahertsin kellotaajuudella, ja jokaisen ruudun piirtämiseen kului noin puoli tuntia.

Lucasfilm Limitedille työskennellyt animaattori loi samat 3D-maisemat Star Trek -sagan toiselle osalle. The Wrath of Khanissa Carpenter pystyi luomaan kokonaisen planeetan käyttämällä samaa fraktaalipintamallinnuksen periaatetta.

Tällä hetkellä kaikki suositut sovellukset 3D-maisemien luomiseen käyttävät samaa luonnonobjektien luomisperiaatetta. Terragen, Bryce, Vue ja muut 3D-editorit luottavat fraktaalipinnan ja tekstuurin mallinnusalgoritmiin.

⇡ Fraktaaliantennit: vähemmän on parempi, mutta parempi

Viimeisen puolen vuosisadan aikana elämä on muuttunut nopeasti. Useimmat meistä pitävät modernin tekniikan kehitystä itsestäänselvyytenä. Kaikkeen, mikä tekee elämästä mukavampaa, tottuu hyvin nopeasti. Harvoin kukaan kysyy "Mistä tämä tuli?" ja "Kuinka se toimii?". Mikroaaltouuni lämmittää aamiaisen - hienoa, älypuhelimella voit puhua toiselle ihmiselle - hienoa. Tämä näyttää meille ilmeiseltä mahdollisuudelta.

Mutta elämä voisi olla täysin erilaista, jos ihminen ei etsi selitystä tapahtuville tapahtumille. Otetaan esimerkiksi matkapuhelimet. Muistatko sisäänvedettävät antennit ensimmäisissä malleissa? Ne häiritsivät, lisäsivät laitteen kokoa, lopulta rikkoutuivat usein. Uskomme, että ne ovat vaipuneet unohduksiin ikuisiksi ajoiksi, ja osittain tämän... fraktaalien takia.

Fraktaalipiirustukset kiehtovat kuvioillaan. Ne muistuttavat ehdottomasti kuvia avaruusobjekteista - sumuista, galaksiklustereista ja niin edelleen. Siksi on aivan luonnollista, että kun Mandelbrot esitti fraktaaliteoriansa, hänen tutkimuksensa herätti lisääntynyttä kiinnostusta tähtitiedettä opiskelevien keskuudessa. Eräs tällainen amatööri nimeltä Nathan Cohen, joka oli osallistunut Benoit Mandelbrotin luennolle Budapestissa, inspiroitui ajatuksesta saadun tiedon soveltamisesta käytännössä. Totta, hän teki sen intuitiivisesti, ja sattumalla oli tärkeä rooli hänen löydöessään. Radioamatöörina Nathan pyrki luomaan antennin, jolla on mahdollisimman herkkä.

Ainoa tapa parantaa antennin parametreja, joka oli tuolloin tunnettu, oli kasvattaa sen geometrisia mittoja. Nathanin Bostonin keskustassa sijaitsevan asunnon omistaja kuitenkin vastusti jyrkästi suurten kattolaitteiden asentamista. Sitten Nathan alkoi kokeilla erilaisia ​​antennimuotoja yrittäen saada maksimaalisen tuloksen pienimmällä koolla. Fraktaalimuotojen ideasta syttynyt Cohen, kuten he sanovat, teki sattumanvaraisesti lankasta yhden kuuluisimmista fraktaaleista - "Koch-lumihiutaleen". Ruotsalainen matemaatikko Helge von Koch keksi tämän käyrän jo vuonna 1904. Se saadaan jakamalla segmentti kolmeen osaan ja korvaamalla keskisegmentti tasasivuisella kolmiolla ilman, että sivu osuu yhteen tämän segmentin kanssa. Määritelmä on hieman vaikea ymmärtää, mutta kuva on selkeä ja yksinkertainen.

"Koch-käyrästä" on myös muita lajikkeita, mutta käyrän likimääräinen muoto pysyy samana

Kun Nathan liitti antennin radiovastaanottimeen, hän oli hyvin yllättynyt - herkkyys kasvoi dramaattisesti. Kokeilusarjan jälkeen tuleva Bostonin yliopiston professori tajusi, että fraktaalikuvion mukaan valmistetulla antennilla on korkea hyötysuhde ja se kattaa paljon laajemman taajuusalueen verrattuna klassisiin ratkaisuihin. Lisäksi antennin muoto fraktaalikäyrän muodossa voi merkittävästi pienentää geometrisia mittoja. Nathan Cohen kehitti jopa lauseen, joka todistaa, että laajakaista-antennin luomiseen riittää, että sille annetaan itsekaltaisen fraktaalikäyrän muoto.

Kirjoittaja patentoi löytönsä ja perusti yrityksen fraktaaliantennien kehittämiseen ja suunnitteluun Fractal Antenna Systems uskoen oikeutetusti, että hänen löytönsä ansiosta matkapuhelimet pystyvät tulevaisuudessa pääsemään eroon isoista antenneista ja niistä tulee kompakteja.

Periaatteessa näin tapahtui. Totta, tähän päivään asti Nathan on oikeudenkäynnissä suurten yritysten kanssa, jotka käyttävät laittomasti hänen löytöään kompaktien viestintälaitteiden tuottamiseen. Jotkut tunnetut mobiililaitteiden valmistajat, kuten Motorola, ovat jo tehneet rauhansopimuksen fraktaaliantennin keksijän kanssa.

⇡ Fraktaalimitat: mieli ei ymmärrä

Benoit lainasi tämän kysymyksen kuuluisalta amerikkalaiselta tiedemieheltä Edward Kasnerilta.

Jälkimmäinen, kuten monet muut kuuluisat matemaatikot, piti kovasti kommunikoida lasten kanssa, kysyä heiltä kysymyksiä ja saada odottamattomia vastauksia. Joskus tämä johti yllättäviin tuloksiin. Joten esimerkiksi Edward Kasnerin yhdeksänvuotias veljenpoika keksi nyt tunnetun sanan "googol", joka tarkoittaa yksikköä, jossa on sata nollaa. Mutta takaisin fraktaaleihin. Amerikkalainen matemaatikko kysyi mielellään, kuinka pitkä Yhdysvaltain rannikko on. Kuultuaan keskustelukumppanin mielipiteen Edward itse puhui oikean vastauksen. Jos mittaat kartan pituuden katkenneilla osilla, tulos on epätarkka, koska rannikolla on paljon epäsäännöllisyyksiä. Ja mitä tapahtuu, jos mittaat mahdollisimman tarkasti? Sinun on otettava huomioon jokaisen epätasaisuuden pituus - sinun on mitattava jokainen nieme, jokainen lahti, kivi, kivireunuksen pituus, kivi sen päällä, hiekkajyvä, atomi ja niin edelleen. Koska epäsäännöllisyyksien määrä pyrkii äärettömään, rantaviivan mitattu pituus kasvaa äärettömään jokaisen uuden epäsäännöllisyyden myötä.

Mitä pienempi mitta mitatessa, sitä suurempi on mitattu pituus

Mielenkiintoista on, että Edwardin kehotteita seuraten lapset sanoivat oikean vastauksen paljon nopeammin kuin aikuiset, kun taas jälkimmäisten oli vaikea hyväksyä tällaista uskomatonta vastausta.

Käyttämällä tätä ongelmaa esimerkkinä Mandelbrot ehdotti uuden lähestymistavan käyttöä mittauksiin. Koska rantaviiva on lähellä fraktaalikäyrää, se tarkoittaa, että siihen voidaan soveltaa karakterisoivaa parametria, ns. fraktaalidimensiota.

Mikä on tavallinen ulottuvuus, on selvää kenelle tahansa. Jos mitta on yhtä suuri kuin yksi, saadaan suora viiva, jos kaksi - litteä luku, kolme - tilavuus. Tällainen ulottuvuuden ymmärtäminen matematiikassa ei kuitenkaan toimi fraktaalikäyrien kanssa, joissa tällä parametrilla on murto-arvo. Fraktaaliulottuvuutta matematiikassa voidaan pitää ehdollisesti "karkeutena". Mitä suurempi käyrän karheus on, sitä suurempi on sen fraktaalimitta. Käyrällä, jonka fraktaalimitta on Mandelbrotin mukaan korkeampi kuin sen topologinen ulottuvuus, on likimääräinen pituus, joka ei riipu dimensioiden lukumäärästä.

Tällä hetkellä tiedemiehet löytävät yhä enemmän alueita fraktaaliteorian soveltamiselle. Fraktaalien avulla voit analysoida osakekurssien vaihteluita, tutkia kaikenlaisia ​​luonnollisia prosesseja, kuten lajien määrän vaihteluja, tai simuloida virtojen dynamiikkaa. Fraktaalialgoritmeja voidaan käyttää tiedon pakkaamiseen, esimerkiksi kuvan pakkaamiseen. Ja muuten, saadaksesi kauniin fraktaalin tietokoneen näytölle, sinulla ei tarvitse olla tohtorin tutkintoa.

⇡ Fractal selaimessa

Ehkä yksi helpoimmista tavoista saada fraktaalikuvio on käyttää nuoren lahjakkaan ohjelmoijan Toby Schachmanin online-vektorieditoria. Tämän yksinkertaisen grafiikkaeditorin työkalupakki perustuu samaan samankaltaisuuden periaatteeseen.

Käytössäsi on vain kaksi yksinkertaista muotoa - neliö ja ympyrä. Voit lisätä ne kankaalle, skaalata (skaalata jotakin akselia pitkin pitämällä Shift-näppäintä painettuna) ja kiertää. Boolen summausoperaatioiden periaatteella päällekkäin nämä yksinkertaisimmat elementit muodostavat uusia, vähemmän triviaaleja muotoja. Lisäksi nämä uudet lomakkeet voidaan lisätä projektiin, ja ohjelma toistaa näiden kuvien luomisen loputtomiin. Fraktaalin käsittelyn missä tahansa vaiheessa voit palata mihin tahansa monimutkaisen muodon komponenttiin ja muokata sen sijaintia ja geometriaa. Se on hauskaa, varsinkin kun ottaa huomioon, että ainoa luova työkalu on selain. Jos et ymmärrä tämän rekursiivisen vektorieditorin kanssa työskentelyn periaatetta, suosittelemme katsomaan videon projektin viralliselta verkkosivustolta, joka näyttää yksityiskohtaisesti koko fraktaalin luomisprosessin.

⇡ XaoS: fraktaaleja jokaiseen makuun

Monissa graafisissa muokkausohjelmissa on sisäänrakennetut työkalut fraktaalikuvioiden luomiseen. Nämä työkalut ovat kuitenkin yleensä toissijaisia ​​eivätkä anna sinun hienosäätää generoitua fraktaalikuviota. Tapauksissa, joissa on tarpeen rakentaa matemaattisesti tarkka fraktaali, XaoS-alustojen välinen editori tulee apuun. Tämän ohjelman avulla on mahdollista paitsi rakentaa itsenäinen kuva, myös suorittaa erilaisia ​​​​käsittelyjä sen kanssa. Voit esimerkiksi "kävellä" reaaliajassa fraktaalin läpi muuttamalla sen mittakaavaa. Animoitu liike fraktaaleja pitkin voidaan tallentaa XAF-tiedostona ja toistaa sitten itse ohjelmassa.

XaoS voi ladata satunnaisen joukon parametreja sekä käyttää erilaisia ​​kuvan jälkikäsittelysuodattimia - lisätä sumeaa liiketehostetta, tasoittaa teräviä siirtymiä fraktaalipisteiden välillä, simuloida 3D-kuvaa ja niin edelleen.

⇡ Fractal Zoomer: kompakti fraktaaligeneraattori

Muihin fraktaalikuvageneraattoreihin verrattuna sillä on useita etuja. Ensinnäkin se on kooltaan melko pieni eikä vaadi asennusta. Toiseksi se toteuttaa mahdollisuuden määritellä kuvan väripaletti. Voit valita sävyjä RGB-, CMYK-, HVS- ja HSL-värimalleissa.

On myös erittäin kätevää käyttää satunnaista värisävyjen valintaa ja toimintoa kääntää kaikki kuvan värit. Värin säätämiseksi on olemassa syklinen sävyjen valinta - kun vastaava tila on päällä, ohjelma animoi kuvan vaihtaen sen värejä syklisesti.

Fractal Zoomer pystyy visualisoimaan 85 erilaista fraktaalifunktiota, ja kaavat näkyvät selkeästi ohjelmavalikossa. Ohjelmassa on suodattimia kuvien jälkikäsittelyyn, vaikkakin pieni määrä. Jokainen määritetty suodatin voidaan peruuttaa milloin tahansa.

⇡ Mandelbulb3D: 3D-fraktaalieditori

Kun termiä "fraktaali" käytetään, se tarkoittaa useimmiten litteää kaksiulotteista kuvaa. Fraktaaligeometria kuitenkin ylittää 2D-ulottuvuuden. Luonnosta löytyy sekä esimerkkejä litteistä fraktaalimuodoista, esimerkiksi salaman geometriasta, että kolmiulotteisia kolmiulotteisia hahmoja. Fraktaalipinnat voivat olla kolmiulotteisia, ja yksi hyvin graafinen esimerkki 3D-fraktaaleista jokapäiväisessä elämässä on kaalin pää. Ehkä paras tapa nähdä fraktaaleja on Romanescossa, kukkakaalin ja parsakaalin yhdistelmässä.

Ja tämä fraktaali voidaan syödä

Mandelbulb3D-ohjelmalla voidaan luoda samanmuotoisia kolmiulotteisia objekteja. Saadakseen 3D-pinnan käyttämällä fraktaalialgoritmia tämän sovelluksen kirjoittajat Daniel White ja Paul Nylander muunsivat Mandelbrot-joukon pallokoordinaateiksi. Heidän luomansa Mandelbulb3D-ohjelma on todellinen kolmiulotteinen editori, joka mallintaa erimuotoisia fraktaalipintoja. Koska havaitsemme usein fraktaalikuvioita luonnossa, keinotekoisesti luotu kolmiulotteinen fraktaaliobjekti näyttää uskomattoman realistiselta ja jopa "elävältä".

Se voi näyttää kasvilta, se voi muistuttaa outoa eläintä, planeettaa tai jotain muuta. Tätä tehostetta parantaa kehittynyt renderöintialgoritmi, jonka avulla voidaan saada realistisia heijastuksia, laskea läpinäkyvyyttä ja varjoja, simuloida syväterävyyden vaikutusta ja niin edelleen. Mandelbulb3D:ssä on valtava määrä asetuksia ja renderöintivaihtoehtoja. Voit hallita valonlähteiden sävyjä, valita mallinnetun kohteen taustan ja yksityiskohtien tason.

Incendia-fraktaalieditori tukee kaksoiskuvan tasoitusta, sisältää viidenkymmenen eri kolmiulotteisen fraktaalin kirjaston ja siinä on erillinen moduuli perusmuotojen muokkaamiseen.

Sovellus käyttää fraktaalikomentosarjaa, jolla voit itsenäisesti kuvata uudentyyppisiä fraktaalirakenteita. Incendiassa on tekstuuri- ja materiaalieditorit sekä renderöintimoottori, jonka avulla voit käyttää volyymitehosteita ja erilaisia ​​varjostimia. Ohjelmassa on mahdollisuus tallentaa puskuri pitkäaikaisen renderöinnin aikana, animaatioiden luonti on tuettu.

Incendia antaa sinun viedä fraktaalimallin suosittuihin 3D-grafiikkamuotoihin - OBJ ja STL. Incendia sisältää pienen Geometrica-apuohjelman - erikoistyökalun, jolla määritetään fraktaalipinnan vienti kolmiulotteiseksi malliksi. Tämän apuohjelman avulla voit määrittää 3D-pinnan resoluution, määrittää fraktaaliiteraatioiden lukumäärän. Vietyjä malleja voidaan käyttää 3D-projekteissa työskennellessäsi 3D-editorien, kuten Blender, 3ds max ja muiden kanssa.

Viime aikoina työ Incendia-projektin parissa on hidastunut jonkin verran. Tällä hetkellä kirjoittaja etsii sponsoreita, jotka auttaisivat häntä kehittämään ohjelmaa.

Jos sinulla ei ole tarpeeksi mielikuvitusta piirtääksesi kauniin kolmiulotteisen fraktaalin tässä ohjelmassa, sillä ei ole väliä. Käytä parametrikirjastoa, joka sijaitsee kansiossa INCENDIA_EX\parameters. PAR-tiedostojen avulla löydät nopeasti epätavallisimmat fraktaalimuodot, myös animoidut.

⇡ Äänentoisto: kuinka fraktaalit laulavat

Emme yleensä puhu projekteista, joita vasta työstetään, mutta tässä tapauksessa meidän on tehtävä poikkeus, tämä on hyvin epätavallinen sovellus. Aural-niminen projekti keksi saman henkilön kuin Incendia. Totta, tällä kertaa ohjelma ei visualisoi fraktaalisarjaa, vaan äänittää sen ja muuttaa sen elektroniseksi musiikiksi. Idea on erittäin mielenkiintoinen, varsinkin kun otetaan huomioon fraktaalien epätavalliset ominaisuudet. Aural on äänieditori, joka tuottaa melodioita fraktaalialgoritmeilla, eli se on itse asiassa äänisyntetisaattori-sekvenssori.

Tämän ohjelman antama äänisarja on epätavallinen ja ... kaunis. Se voi hyvinkin olla hyödyllinen nykyaikaisten rytmien kirjoittamiseen ja sopii mielestämme erityisen hyvin ääniraitojen luomiseen televisio- ja radio-ohjelmien introihin sekä tietokonepelien taustamusiikin "silmukoiksi". Ramiro ei ole vielä toimittanut demoa ohjelmastaan, mutta lupaa, että kun hän tekee, hänen ei tarvitse opetella fraktaalien teoriaa voidakseen työskennellä Auralin kanssa - vain leikkiä nuottisarjan generointialgoritmin parametreilla. . Kuuntele kuinka fraktaalit kuulostavat ja.

Fraktaalit: musiikillinen tauko

Itse asiassa fraktaalit voivat auttaa musiikin kirjoittamisessa jopa ilman ohjelmistoja. Mutta tämän voi tehdä vain joku, joka on todella täynnä ajatusta luonnollisesta harmoniasta ja joka ei ole samalla muuttunut valitettavaksi "nörttiksi". On järkevää ottaa esimerkkiä Jonathan Coulton-nimisestä muusikosta, joka muun muassa kirjoittaa sävellyksiä Popular Science -lehteen. Ja toisin kuin muut taiteilijat, Colton julkaisee kaikki teoksensa Creative Commons Attribution-Noncommercial -lisenssillä, joka (kun käytetään ei-kaupallisiin tarkoituksiin) mahdollistaa teoksen ilmaisen kopioinnin, jakelun, siirtämisen muille sekä sen muokkaamisen (luomisen) johdannaisteoksia) mukauttaaksesi sen tarpeisiisi.

Jonathan Coltonilla on tietysti kappale fraktaaleista.

⇡ Johtopäätös

Kaikessa, mikä meitä ympäröi, näemme usein kaaosta, mutta itse asiassa tämä ei ole sattumaa, vaan ihannemuoto, jonka fraktaalit auttavat meitä havaitsemaan. Luonto on paras arkkitehti, ihanteellinen rakentaja ja insinööri. Se on järjestetty hyvin loogisesti, ja jos jossain emme näe kuvioita, tämä tarkoittaa, että meidän on etsittävä sitä eri mittakaavassa. Ihmiset ymmärtävät tämän yhä paremmin ja yrittävät jäljitellä luonnollisia muotoja monin tavoin. Insinöörit suunnittelevat kaiutinjärjestelmiä kuoren muodossa, luovat antenneja lumihiutalegeometrialla ja niin edelleen. Olemme varmoja, että fraktaalit pitävät edelleen paljon salaisuuksia, ja monet niistä eivät ole vielä ihmisen löytämiä.

Mitä yhteistä on puulla, merenrannalla, pilvellä tai käsissämme olevilla verisuonilla? Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että kaikilla näillä esineillä ei ole mitään yhteistä. Itse asiassa rakenteessa on kuitenkin yksi ominaisuus, joka on luontainen kaikille luetelluille objekteille: ne ovat itse samankaltaisia. Oksasta, samoin kuin puun rungosta, lähtevät pienemmät prosessit, niistä - jopa pienemmät jne., eli oksa on samanlainen kuin koko puu. Verenkiertojärjestelmä on järjestetty samalla tavalla: valtimot lähtevät valtimoista ja niistä - pienimmät kapillaarit, joiden kautta happi pääsee elimiin ja kudoksiin. Katsotaanpa satelliittikuvia meren rannikolta: näemme lahtia ja niemimaita; katsotaanpa sitä, mutta lintuperspektiivistä: näemme lahtia ja niemiä; kuvittele nyt, että seisomme rannalla ja katsomme jalkojamme: aina tulee kiviä, jotka työntyvät kauemmaksi veteen kuin muut. Toisin sanoen rantaviiva pysyy samanlaisena kuin itse, kun se zoomataan. Amerikkalainen matemaatikko Benoit Mandelbrot (vaikkakin kasvatettu Ranskassa) kutsui tätä esineiden ominaisuutta fraktaaliseksi ja itse tällaisia ​​esineitä - fraktaaleiksi (latinan sanasta fractus - rikki).

Tällä käsitteellä ei ole tiukkaa määritelmää. Siksi sana "fraktaali" ei ole matemaattinen termi. Yleensä fraktaali on geometrinen kuvio, joka täyttää yhden tai useamman seuraavista ominaisuuksista: Sillä on monimutkainen rakenne millä tahansa suurennuksella (toisin kuin esimerkiksi suoralla, jonka mikä tahansa osa on yksinkertaisin geometrinen kuvio - segmentti). Se on (suunnilleen) samankaltainen. Sillä on murto-osa Hausdorffin (fraktaali) ulottuvuus, joka on suurempi kuin topologinen. Voidaan rakentaa rekursiivisilla menetelmillä.

Geometria ja algebra

Fraktaalien tutkiminen 1800- ja 1900-luvun vaihteessa oli enemmän episodista kuin systemaattista, koska aikaisemmat matemaatikot tutkivat pääasiassa "hyviä" esineitä, joita voitiin tutkia yleisillä menetelmillä ja teorioilla. Vuonna 1872 saksalainen matemaatikko Karl Weierstrass rakensi esimerkin jatkuvasta funktiosta, joka ei ole erotettavissa missään. Sen rakenne oli kuitenkin täysin abstrakti ja vaikeasti ymmärrettävä. Siksi ruotsalainen Helge von Koch keksi vuonna 1904 jatkuvan käyrän, jolla ei ole tangenttia missään, ja sen piirtäminen on melko helppoa. Kävi ilmi, että sillä on fraktaalin ominaisuuksia. Tämän käyrän yhtä muunnelmaa kutsutaan Kochin lumihiutaleeksi.

Figuurien samankaltaisuuden ideat poimi ranskalainen Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbrotin tuleva mentori. Vuonna 1938 julkaistiin hänen artikkelinsa "Taso- ja spatiaaliset käyrät ja pinnat, jotka koostuvat kokonaisuuden kaltaisista osista", jossa kuvataan toista fraktaalia - Lévyn C-käyrää. Kaikki nämä edellä luetellut fraktaalit voidaan ehdollisesti katsoa kuuluvan yhteen konstruktiivisten (geometristen) fraktaalien luokkaan.

Toinen luokka on dynaamiset (algebralliset) fraktaalit, jotka sisältävät Mandelbrot-joukon. Ensimmäinen tutkimus tähän suuntaan alkoi 1900-luvun alussa ja se liittyy ranskalaisten matemaatikoiden Gaston Julian ja Pierre Fatoun nimiin. Vuonna 1918 julkaistiin lähes kaksisataa sivua Julian muistelmakirjaa, joka oli omistettu monimutkaisten rationaalisten funktioiden iteraatioille ja jossa kuvataan Julia-joukkoja - koko fraktaaleja, jotka liittyvät läheisesti Mandelbrotin joukkoon. Tämä teos palkittiin Ranskan Akatemian palkinnolla, mutta se ei sisältänyt yhtään kuvitusta, joten löydettyjen esineiden kauneutta oli mahdotonta arvostaa. Huolimatta siitä, että tämä työ teki Juliasta kuuluisan aikansa matemaatikoiden keskuudessa, se unohdettiin nopeasti. Jälleen huomio kääntyi siihen vasta puoli vuosisataa myöhemmin tietokoneiden ilmaantumisen myötä: juuri ne tekivät näkyväksi fraktaalien maailman rikkauden ja kauneuden.

Fraktaalimitat

Kuten tiedät, geometrisen kuvion mitta (mittausten lukumäärä) on koordinaattien määrä, joka tarvitaan määrittämään tässä kuviossa olevan pisteen sijainti.
Esimerkiksi pisteen sijainti käyrällä määräytyy yhdellä koordinaatilla, pinnalla (ei välttämättä tasolla) kahdella koordinaatilla, kolmiulotteisessa avaruudessa kolmella koordinaatilla.
Yleisemmästä matemaattisesta näkökulmasta ulottuvuus voidaan määritellä seuraavasti: lineaaristen mittojen kasvu, esimerkiksi kaksinkertainen, yksiulotteisten (topologisesta näkökulmasta) objektien (segmentin) osalta johtaa koon (pituuden) kasvuun. ) kertoimella kaksinkertainen, kaksiulotteisessa (neliö ) sama lineaaristen mittojen lisäys johtaa koon (pinta-alan) kasvuun 4-kertaiseksi, kolmiulotteisen (kuutio) - 8-kertaiseen. Toisin sanoen "todellinen" (ns. Hausdorff) -ulottuvuus voidaan laskea objektin "koon" kasvun logaritmin ja sen lineaarisen koon kasvun logaritmin suhteena. Eli segmentille D=log (2)/log (2)=1, tasolle D=log (4)/log (2)=2, tilavuudelle D=log (8)/log (2) )=3.
Lasketaan nyt Koch-käyrän ulottuvuus, jonka rakentamista varten yksikkösegmentti jaetaan kolmeen yhtä suureen osaan ja keskiväli korvataan tasasivuisella kolmiolla ilman tätä segmenttiä. Kun minimisegmentin lineaariset mitat kasvavat kolme kertaa, Koch-käyrän pituus kasvaa log (4) / log (3) ~ 1,26. Toisin sanoen Koch-käyrän ulottuvuus on murto-osa!

Tiede ja taide

Vuonna 1982 julkaistiin Mandelbrotin kirja "Luonnon fraktaaligeometria", johon kirjailija keräsi ja systematisoi lähes kaiken tuolloin saatavilla olevan tiedon fraktaaleista ja esitti sen helposti ja helposti saatavilla olevalla tavalla. Mandelbrot ei painottanut esityksessään raskaita kaavoja ja matemaattisia rakenteita, vaan lukijoiden geometristä intuitiota. Tietokoneella luotujen kuvitusten ja historiallisten tarinoiden ansiosta, joilla kirjailija laimensi taitavasti monografian tieteellistä osaa, kirjasta tuli bestseller ja fraktaalit tulivat suuren yleisön tunnetuiksi. Heidän menestys ei-matemaatikoiden keskuudessa johtuu suurelta osin siitä, että erittäin yksinkertaisten rakenteiden ja kaavojen avulla, joita lukiolainenkin ymmärtää, saadaan hämmästyttävän monimutkaisia ​​ja kauniita kuvia. Kun henkilökohtaisista tietokoneista tuli tarpeeksi tehokkaita, ilmestyi jopa koko taiteen suuntaus - fraktaalimaalaus, ja melkein kuka tahansa tietokoneen omistaja pystyi siihen. Nyt Internetistä löydät helposti monia tälle aiheelle omistettuja sivustoja.

Kaavio Koch-käyrän saamiseksi

Sota ja rauha

Kuten edellä todettiin, yksi luonnon esineistä, joilla on fraktaaliominaisuuksia, on rannikko. Yksi mielenkiintoinen tarina liittyy siihen, tai pikemminkin yritykseen mitata sen pituus, joka muodosti perustan Mandelbrotin tieteelliselle artikkelille ja jota kuvataan myös hänen kirjassaan "The Fractal Geometry of Nature". Puhumme kokeesta, jonka teki Lewis Richardson, erittäin lahjakas ja eksentrinen matemaatikko, fyysikko ja meteorologi. Yksi hänen tutkimuksensa suuntauksista oli yritys löytää matemaattinen kuvaus kahden maan välisen aseellisen konfliktin syistä ja todennäköisyydestä. Hänen huomioimiensa parametrien joukossa oli kahden taistelevan maan välisen yhteisen rajan pituus. Kun hän keräsi dataa numeerisia kokeita varten, hän havaitsi, että eri lähteissä tiedot Espanjan ja Portugalin yhteisestä rajasta vaihtelevat suuresti. Tämä johti hänet seuraavaan havaintoon: maan rajojen pituus riippuu viivaimesta, jolla ne mitataan. Mitä pienempi mittakaava, sitä pidempi raja on. Tämä johtuu siitä, että suuremmalla suurennuksella on mahdollista ottaa huomioon yhä useampia rannikon mutkia, jotka aiemmin jätettiin huomiotta mittausten epätasaisuuden vuoksi. Ja jos jokaisella zoomauksella avataan aiemmin huomioimattomia viivojen mutkia, niin käy ilmi, että rajojen pituus on ääretön! Totta, itse asiassa näin ei tapahdu - mittaustemme tarkkuudella on rajallinen raja. Tätä paradoksia kutsutaan Richardsonin efektiksi.

Konstruktiiviset (geometriset) fraktaalit

Algoritmi konstruktiivisen fraktaalin muodostamiseksi yleisessä tapauksessa on seuraava. Ensinnäkin tarvitsemme kaksi sopivaa geometrista muotoa, kutsutaan niitä pohjaksi ja fragmentiksi. Ensimmäisessä vaiheessa kuvataan tulevan fraktaalin perusta. Sitten jotkut sen osista korvataan sopivassa mittakaavassa otetulla fragmentilla - tämä on rakenteen ensimmäinen iteraatio. Sitten tuloksena olevassa kuviossa jotkin osat muuttuvat taas fragmentin kaltaisiksi hahmoiksi jne. Jos jatkat tätä prosessia loputtomiin, niin rajassa saat fraktaalin.

Harkitse tätä prosessia käyttämällä esimerkkiä Koch-käyrästä (katso sivupalkki edellisellä sivulla). Mikä tahansa käyrä voidaan ottaa Koch-käyrän perustaksi (Koch-lumihiutaleelle tämä on kolmio). Mutta rajoitamme itsemme yksinkertaisimpaan tapaukseen - segmenttiin. Fragmentti on katkoviiva, joka näkyy kuvan yläosassa. Algoritmin ensimmäisen iteraation jälkeen, tässä tapauksessa alkuperäinen segmentti osuu yhteen fragmentin kanssa, sitten jokainen sen muodostava segmentti korvataan itse katkeavalla viivalla, joka on samanlainen kuin fragmentti, ja niin edelleen. Kuvassa on neljä ensimmäistä tämän prosessin vaiheet.

Matematiikan kieli: dynaamiset (algebralliset) fraktaalit

Tämän tyyppiset fraktaalit syntyvät epälineaaristen dynaamisten järjestelmien tutkimuksessa (tästä nimi). Tällaisen järjestelmän käyttäytymistä voidaan kuvata kompleksisella epälineaarisella funktiolla (polynomilla) f(z). Otetaan jokin alkupiste z0 kompleksitasolla (katso sivupalkki). Tarkastellaan nyt sellaista ääretöntä lukujonoa kompleksitasolla, joista jokainen saadaan edellisestä: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Alkupisteestä z0 riippuen tällainen sekvenssi voi käyttäytyä eri tavalla: taipua äärettömyyteen muodossa n -> ∞; lähentyä johonkin päätepisteeseen; ota syklisesti useita kiinteitä arvoja; monimutkaisemmat vaihtoehdot ovat mahdollisia.

Monimutkaiset luvut

Kompleksiluku on luku, joka koostuu kahdesta osasta - reaali- ja imaginaariosasta, eli muodollisesta summasta x + iy (x ja y ovat tässä reaalilukuja). minä olen ns. imaginaarinen yksikkö, eli luku, joka täyttää yhtälön minä^ 2 = -1. Matemaattiset perusoperaatiot määritellään kompleksiluvuilla - yhteen-, kerto-, jakolasku-, vähennyslasku- (vain vertailuoperaatiota ei ole määritelty). Kompleksilukujen näyttämiseen käytetään usein geometristä esitystapaa - tasossa (jota kutsutaan kompleksiksi), reaaliosa piirretään abskissa-akselia pitkin ja imaginaariosa ordinaatta-akselia pitkin, kun taas kompleksiluku vastaa pistettä suorakulmaisilla koordinaateilla x ja y.

Siten millä tahansa kompleksisen tason pisteellä z on oma käyttäytymisensä funktion f (z) iteraatioiden aikana, ja koko taso on jaettu osiin. Lisäksi näiden osien rajoilla sijaitsevilla pisteillä on seuraava ominaisuus: mielivaltaisen pienellä siirtymällä niiden käyttäytymisen luonne muuttuu dramaattisesti (tällaisia ​​pisteitä kutsutaan bifurkaatiopisteiksi). Joten käy ilmi, että pistejoukoilla, joilla on tietyntyyppinen käyttäytyminen, samoin kuin bifurkaatiopisteiden joukot, on usein fraktaaliominaisuuksia. Nämä ovat Julia-joukot funktiolle f(z).

lohikäärme perhe

Vaihtelemalla pohjaa ja fragmenttia saat upean valikoiman rakentavia fraktaaleja.
Lisäksi samanlaisia ​​operaatioita voidaan suorittaa kolmiulotteisessa avaruudessa. Esimerkkejä tilavuusfraktaaleista ovat "Mengerin sieni", "Sierpinskin pyramidi" ja muut.
Lohikäärmeiden perhettä kutsutaan myös rakentaviksi fraktaaleiksi. Heitä kutsutaan joskus löytäjien nimellä "Heiwei-Harterin lohikäärmeiksi" (ne muistuttavat muodoltaan kiinalaisia ​​lohikäärmeitä). On olemassa useita tapoja rakentaa tämä käyrä. Yksinkertaisin ja ilmeisin niistä on tämä: sinun on otettava riittävän pitkä paperinauha (mitä ohuempi paperi, sitä parempi) ja taivutettava se puoliksi. Taivuta se sitten jälleen kahtia samaan suuntaan kuin ensimmäistä kertaa. Useiden toistojen jälkeen (yleensä viiden tai kuuden taitoksen jälkeen nauhasta tulee liian paksu, jotta sitä ei voi taivuttaa varovasti), sinun on suoristettava nauha taaksepäin ja yritettävä muodostaa 90˚ kulmia taitteisiin. Sitten lohikäärmeen käyrä kääntyy profiilissa. Tietenkin tämä on vain likimääräistä, kuten kaikki yrityksemme kuvata fraktaaliobjekteja. Tietokoneen avulla voit kuvata monia muita vaiheita tässä prosessissa, ja tuloksena on erittäin kaunis hahmo.

Mandelbrot-sarja on rakennettu hieman eri tavalla. Tarkastellaan funktiota fc (z) = z 2 +c, missä c on kompleksiluku. Tehdään tälle funktiolle jono, jossa z0=0, parametrista c riippuen se voi poiketa äärettömään tai pysyä rajoitettuna. Lisäksi kaikki c:n arvot, joille tämä sekvenssi on rajoitettu, muodostavat Mandelbrot-joukon. Mandelbrot itse ja muut matemaatikot tutkivat sitä yksityiskohtaisesti, jotka löysivät tämän joukon monia mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Voidaan nähdä, että Julia- ja Mandelbrot-joukkojen määritelmät ovat samanlaisia. Itse asiassa nämä kaksi sarjaa liittyvät läheisesti toisiinsa. Nimittäin Mandelbrot-joukko on kaikki kompleksiparametrin c arvot, joille Julia-joukko fc (z) on kytketty (joukkoa kutsutaan yhdistetyksi, jos sitä ei voida jakaa kahteen ei-leikkaavaan osaan muutamilla lisäehdoilla).

fraktaalit ja elämä

Nykyään fraktaalien teoriaa käytetään laajasti ihmisen toiminnan eri aloilla. Puhtaasti tieteellisen tutkimuskohteen ja jo mainitun fraktaalimaalauksen lisäksi fraktaaleja käytetään informaatioteoriassa graafisen datan pakkaamiseen (tässä käytetään pääasiassa fraktaalien itsesamankaltaisuusominaisuutta - loppujen lopuksi pienen fragmentin muistamiseksi piirustuksen ja muunnosten, joilla saat loput osat, se vie paljon vähemmän muistia kuin koko tiedoston tallentaminen). Lisäämällä fraktaalia määrittäviin kaavoihin satunnaisia ​​häiriöitä voidaan saada stokastisia fraktaaleja, jotka välittävät erittäin uskottavasti joitain todellisia esineitä - kohokuvioita, vesistöjen pintaa, joitain kasveja, joita käytetään menestyksekkäästi fysiikassa, maantiedossa ja tietokonegrafiikassa saavuttamaan simuloitujen objektien suurempi samankaltaisuus todellisten kohteiden kanssa. Radioelektroniikassa viime vuosikymmenellä alettiin valmistaa antenneja, joilla on fraktaalimuoto. Vievät vähän tilaa ja tarjoavat varsin laadukkaan signaalin vastaanoton. Ekonomistit käyttävät fraktaaleja kuvaamaan valuuttakurssien vaihtelukäyriä (tämän ominaisuuden löysi Mandelbrot yli 30 vuotta sitten). Tämä päättää tämän lyhyen retken kauneudeltaan ja monimuotoisuudeltaan hämmästyttävän fraktaalien maailmaan.

KORKEA- JA AMMATTIKOULUTUSMINISTERIÖ

IRKUTSKIN VALTION TALOUSAKATEMIA

TIETOJÄRJESTELMIEN OSASTO

Taloudellisten ja matemaattisten mallien ja menetelmien mukaan

FRAKTAALITEORIA JA SEN SOVELLUKSET

Valmistelija: Johtaja:

Pogodaeva E.A. Tolstikova T.V.

Chetverikov S.V.

IRKUTSK 1997

Kaikki kuvat ovat samanlaisia ​​ja

Ei kuitenkaan toisiaan vastaan

Goy ei pidä; heidän kuoronsa

Viittaan salaiseen lakiin

Juu, pyhään arvoitukseen...

J. W. Goethe.

kasvien metamorfoosi.

MIKSI PUHUTAMME FRAKTALEISTA?

Vuosisadamme toisella puoliskolla luonnontieteissä oli
perustavanlaatuisia muutoksia, jotka synnyttivät niin sanotun teorian
itseorganisaatio tai synergia. Hän syntyi yhtäkkiä, ikäänkuin
ylittää useita tieteellisen tutkimuksen linjoja. Yksi ratkaisevista
Venäläiset tiedemiehet pettivät hänelle alkuimpulssia vuodenvaihteessa
viisikymmentä - kuusikymmentäkymmentä. Viisikymmentäluvulla tiedemies
Analyyttinen kemisti B. P. Belousov löysi redox
kemiallinen reaktio. Itsevärähtelyjen ja autoaaltojen löytäminen ja tutkiminen aikana
Belousovin reaktiot

S. E. Shnolem, A. M. Zhabotinsky, V. I. Krinsky, A.N. Zaikin, G.R.
Ivanitsky - ehkä loistavin sivu perusasiasta
Venäjän tiede sodanjälkeisellä kaudella. Nopeaa ja onnistunutta oppimista
reaktio Belousov - Zhabotinsky työskenteli tieteessä laukaisimena
koukku: he muistivat heti, että tällaiset prosessit tunnettiin aiemmin
laji ja monet luonnonilmiöt aina galaksien muodostumisesta
tornadoihin, sykloniin ja valon leikkiin heijastavilla pinnoilla (niin
jota kutsutaan kaustiksiksi), - itse asiassa itseorganisaatioprosessit. He ovat
voivat olla luonteeltaan hyvin erilaisia: kemiallisia, mekaanisia,
optiset, sähköiset jne. Sitä paitsi kävi ilmi
on pitkään ollut valmis ja täydellisesti kehitetty matemaattinen teoria
itseorganisaatio. Sen perustan loivat A. Poincarén ja A. A.
Lyapunov viime vuosisadan lopussa. Väitöskirja "Kestävästä kehityksestä
liike" kirjoitti Ljapunov vuonna 1892.

Itseorganisoitumisen matemaattinen teoria pakottaa meidät uudella tavalla
katsoa maailmaa ympärillämme. Selvitetään, miten se eroaa
klassinen maailmankuva, koska meidän on tiedettävä tämä milloin
fraktaaliobjektien tutkimus.

"Klassinen yksilöllisesti deterministinen maailmankuva
voidaan symboloida tasaisella, sileällä pinnalla, jolla
pallot törmäävät saatuaan tietyn määrän liikettä.
Jokaisen tällaisen ruumiin tuleva kohtalo määräytyy yksilöllisesti sen mukaan
"menneisyys" edellisellä hetkellä (vauhti, lataus) ja
vuorovaikutusta muiden elinten kanssa. Ei tällaisen järjestelmän eheyttä
ei omista." (L. Belousov. Elävän ukkosmyrskyn sanansaattajat. \\ Tieto on voimaa. N
2. 1996. - s. 32). Niinpä klassinen tiede uskoi tulevaisuuteen
tällainen järjestelmä määräytyy jäykästi ja yksiselitteisesti menneisyytensä ja sen mukaan
menneisyyden tuntemus, rajattomasti ennustettavissa.

Moderni matematiikka on osoittanut, että joissain tapauksissa näin ei ole
näin: esimerkiksi jos pallot osuvat kuperaan seinään, niin merkityksetön
niiden kehityskulkujen erot kasvavat loputtomasti, joten
järjestelmän käyttäytyminen muuttuu jossain vaiheessa arvaamattomaksi.
Siten yksiselitteisen determinismin asemat jopa heikkenivät
suhteellisen yksinkertaisissa tilanteissa.

Itseorganisaatioteoriaan perustuva maailmankuva,
symboloi kuva vuoristoisesta maasta laaksoineen, joiden läpi virtaavat joet,
ja vedenjakajaharjut. Tällä maalla on voimakasta palautetta
- sekä negatiivinen että positiivinen. Jos vartalo rullaa alas
pitkin rinnettä, niin siellä on positiivinen
palaute, jos se yrittää kiivetä ylöspäin, on negatiivista.
Epälineaariset (riittävän vahvat) palautteet ovat välttämätön edellytys
itseorganisaatio. Epälineaarisuus ideologisessa mielessä tarkoittaa
monimuuttujat evoluution polut, vaihtoehtoisten polkujen valinta
ja tietty evoluution nopeus sekä evoluution peruuttamattomuus
prosessit. Ajatellaan esimerkiksi kahden kappaleen vuorovaikutusta: A ja B. B -
elastinen puunrunko, A on vuoristopuro maassamme. Virtaus taipuu
runko veden liikkeen suuntaan, mutta saavutettaessa tietty
rungon taivuttaminen elastisen voiman vaikutuksesta voi suoristaa ja hylkiä
vesihiukkasia takaisin. Eli näemme vaihtoehtoisen vuorovaikutuksen
kaksi kappaletta A ja B. Lisäksi tämä vuorovaikutus tapahtuu siten, että
että A-B-suhde on positiivinen ja B-A-suhde on negatiivinen. Edellytys täyttyy
epälineaarisuus.

Lisäksi itseorganisaatioteoriassa voimme pakottaa omamme
vuoristoinen maa "elämään", eli muuttumaan ajassa. Samalla se on tärkeää
valitse muuttujat eri järjestyksessä. Tällainen muuttujien hierarkia
aika on välttämätön edellytys itseorganisaation tilaamiselle.
Riko se, "sekoita" ajat - kaaos tulee (esimerkiksi maanjäristys,
kun geologisen järjestyksen muutokset tapahtuvat muutamassa minuutissa, ja
pitäisi - useiden vuosituhansien ajan). Kuitenkin, kuten käy ilmi, elää
järjestelmät eivät niin pelkää kaaosta: ne elävät sen rajoilla koko ajan,
joskus jopa putoaa siihen, mutta silti he osaavat tarvittaessa siitä
mene ulos. Tässä tapauksessa tärkeimmät ovat hitaimpia
aikamuuttujat (niitä kutsutaan parametreiksi). Se on parametriarvot
määrittää, mitä kestäviä ratkaisuja järjestelmässä on ja
siis mitä rakenteita siihen ylipäätään voidaan toteuttaa. AT
samalla nopeammin

(dynaamiset) muuttujat ovat vastuussa realisoitavan tietystä valinnasta
vakaat tilat mahdollisten joukossa.

Epälineaarisuuden periaatteet ja vaihtoehdot minkä tahansa kehityksen valinnassa
prosessissa järjestelmän kehitystä toteutetaan myös fraktaalien rakentamisessa.

Kuten viime vuosikymmeninä on käynyt selväksi (teorian kehityksen vuoksi
itseorganisaatio), itsesamankaltaisuutta esiintyy erilaisissa esineissä ja
ilmiöitä. Itsesamankaltaisuus voidaan havaita esimerkiksi puiden oksissa ja
pensaat, kun jaetaan hedelmöitetty tsygootti, lumihiutaleet, kiteet
jää, taloudellisten järjestelmien (Kondratiev aallot), rakenne
vuoristojärjestelmät pilvien rakenteessa. Kaikki edellä mainitut ja muut
rakenteeltaan samanlaisia ​​kutsutaan fraktaaleiksi. Eli he
niillä on itsesamankaltaisuuden eli asteikkoinvarianssin ominaisuuksia. Ja tämä
tarkoittaa, että jotkin niiden rakenteen fragmentit toistetaan tiukasti läpi
tietyt tilavälit. On selvää, että nämä esineet
voivat olla luonteeltaan mitä tahansa, ja niiden ulkonäkö ja muoto pysyvät muuttumattomina
mittakaavasta riippumatta.

Näin ollen voidaan sanoa, että fraktaaleja käytetään malleina
tapaus, jossa todellista objektia ei voida esittää klassisen muodossa
mallit. Ja tämä tarkoittaa, että käsittelemme epälineaarisia suhteita ja
tietojen epädeterministinen luonne. Epälineaarisuus maailmankuvassa
järki tarkoittaa kehityspolkujen monimuotoisuutta, valinnanvaraa
vaihtoehtoisia polkuja ja tiettyä kehitystahtia sekä peruuttamattomuutta
evoluutioprosessit. Epälineaarisuus matemaattisessa mielessä tarkoittaa
tietyntyyppiset matemaattiset yhtälöt (epälineaarinen differentiaali
yhtälöt), jotka sisältävät halutut suuret potenssien ollessa suurempi kuin yksi tai
kertoimet väliaineen ominaisuuksien mukaan. Eli kun käytämme
klassiset mallit (esimerkiksi trendi, regressio jne.), me
sanomme, että esineen tulevaisuus on yksilöllisesti määrätty. Ja voimme
ennustaa sitä tietäen kohteen menneisyyden (syöttötiedot kohteelle
mallinnus). Ja fraktaaleja käytetään, kun esineellä on
useita kehitysvaihtoehtoja ja järjestelmän tila määritetään
asema, jossa se on tällä hetkellä. Eli me
yrittää simuloida kaoottista kehitystä.

Mikä antaa meille mahdollisuuden käyttää fraktaaleja?

Niiden avulla voit yksinkertaistaa huomattavasti monimutkaisia ​​prosesseja ja objekteja, mikä on erittäin tärkeää
tärkeä mallintamisen kannalta. Voit kuvata epävakaita järjestelmiä ja
prosesseja ja mikä tärkeintä, ennustaa tällaisten kohteiden tulevaisuutta.

FRAKTAALITEORIA

ULKOPUOLEEN TAUSTA

Fraktaalien teoria on hyvin nuori. Hän ilmestyi sisään
60-luvun lopulla matematiikan, tietojenkäsittelytieteen ja kielitieteen risteyksessä
ja biologia. Tuohon aikaan tietokoneet tunkeutuivat yhä enemmän elämään.
ihmiset, tutkijat alkoivat soveltaa niitä tutkimuksessaan, määrä
tietokoneen käyttäjiä. Massakäyttöön
tietokoneita, tuli välttämättömäksi helpottaa viestintäprosessia henkilön ja
kone. Jos aivan tietokoneen aikakauden alussa muutama
ohjelmoijat-käyttäjät syöttivät epäitsekkäästi komentoja koneeseen
koodit ja vastaanotetut tulokset loputtomien paperiteippien muodossa, sitten kanssa
syntyi massiivinen ja kuormitettu tietokoneiden käyttötapa
tarve keksiä ohjelmointikieli, joka oli
olisi koneelle ymmärrettävää ja samalla helppo oppia ja
sovellus. Eli käyttäjän tarvitsee syöttää vain yksi
komennon, ja tietokone hajottaa sen yksinkertaisempiin ja suorittaa sen
olisi jo niitä. Helpottaa kääntäjien kirjoittamista tietojenkäsittelytieteen risteyksessä
ja kielitieteessä syntyi fraktaalien teoria, jonka avulla voit asettaa tiukasti
algoritmisten kielten väliset suhteet. Ja tanskalainen matemaatikko ja
biologi A. Lindenmeer keksi yhden sellaisen kieliopin vuonna 1968,
jota hän kutsui L-järjestelmäksi, joka, kuten hän uskoi, mallintaa myös kasvua
eläviä organismeja, erityisesti pensaiden ja oksien muodostumista kasveissa.

Tältä hänen mallinsa näyttää. Aseta aakkoset - mielivaltainen joukko
hahmoja. Anna yksi, alkusana, jota kutsutaan aksiomaksi, - voit
katsoa, ​​että se vastaa organismin - alkion - alkutilaa.
Ja sitten he kuvaavat säännöt, joilla aakkosten jokainen merkki korvataan tietyllä
joukko symboleja, eli ne asettavat alkion kehityksen lain. Toimi
säännöt ovat seuraavat: luemme jokaisen aksiooman symbolin järjestyksessä ja korvaamme
se korvaussäännössä määriteltyyn sanaan.

Siten, kun aksiooma on luettu kerran, saamme uuden rivin
merkkejä, joihin käytämme jälleen samaa menettelyä. Askel askeleelta
näkyviin tulee yhä pidempi merkkijono - jokainen näistä vaiheista voi olla
pidetään yhtenä peräkkäisistä vaiheista "organismin" kehityksessä.
Rajoittamalla vaiheiden määrää määritä, milloin kehitys katsotaan valmiiksi.

Fraktaalien TEORIAN ALKUPERÄ

Benoit Mandelbrotia voidaan perustellusti pitää fraktaalien isänä.
Mandelbrot on termin "fraktaali" keksijä. Mandelbrot
kirjoitti: "Keksin sanan "fraktaali", joka perustuu latinaan
adjektiivi "fractus", joka tarkoittaa epäsäännöllistä, rekursiivista,
fragmentaarinen. Ensimmäisen fraktaalien määritelmän antoi myös B. Mandelbrot:

Fraktaali on itseään samankaltainen rakenne, jonka kuva ei riipu
mittakaavassa. Tämä on rekursiivinen malli, jonka jokainen osa toistuu omalla tavallaan
koko mallin kehittäminen kokonaisuutena.

Tähän mennessä on olemassa monia erilaisia ​​matemaattisia malleja
fraktaaleja. Jokaisen niistä erottuva piirre on se
ne perustuvat johonkin rekursiiviseen funktioon, esimerkiksi: xi=f(xi-1).
Tietokoneiden avulla tutkijoilla on mahdollisuus saada
graafisia kuvia fraktaaleista. Yksinkertaisimmat mallit eivät vaadi suuria
laskelmat ja ne voidaan toteuttaa suoraan tietojenkäsittelyn tunnilla
muut mallit vaativat niin paljon tietokonetehoa, että ne
toteutus suoritetaan supertietokoneella. Muuten, Yhdysvalloissa
Fraktaalimalleja tutkii National Application Center
Supertietokoneille (NCSA). Tässä työssä haluamme vain näyttää
useita fraktaalimalleja, jotka onnistuimme saamaan.

Mandelbrot malli.

Benoit Mandelbrot ehdotti fraktaalimallia, josta on jo tullut
klassikko ja sitä käytetään usein esittelemään kuinka tyypillistä
esimerkki itse fraktaalista ja osoittaa fraktaalien kauneutta,
joka houkuttelee myös tutkijoita, taiteilijoita, vain
kiinnostuneet ihmiset.

Mallin matemaattinen kuvaus on seuraava: kompleksitasolla in
jokaiselle pisteelle, jossa on rekursiivinen funktio, lasketaan jokin intervalli
Z = Z2+c. Vaikuttaa siltä, ​​mikä tässä toiminnossa on niin erikoista? Mutta sen jälkeen, kun N
tämän menettelyn toistoja pisteiden koordinaattien laskemiseksi
monimutkainen taso, yllättävän kaunis hahmo ilmestyy, jotain
päärynämäinen.

Mandelbrot-mallissa muuttuva tekijä on lähtökohta
c ja parametri z on riippuvainen. Siksi fraktaalin rakentaminen
Mandelbrotilla on sääntö: z:n alkuarvo on nolla (z=0)!
Tämä rajoitus otetaan käyttöön niin, että funktion ensimmäinen derivaatta
z alkupisteessä oli nolla. Ja tämä tarkoittaa sitä alussa
pisteessä funktiolla on minimi, ja tästä eteenpäin se kestää vain
suuria arvoja.

Haluamme huomata, että jos fraktaalirekursiivisella kaavalla on erilainen
näkymän, sinun tulee valita toinen arvo aloituspisteelle
parametri Z. Jos kaava näyttää esimerkiksi z=z2+z+c, niin alkukirjain
pointti tulee olemaan:

2*z+1=0 z= -1/2.

Tässä työssä meillä on mahdollisuus tuoda kuvia fraktaaleista,
jotka rakennettiin NCSA:ssa. Saimme kuvatiedostot kautta
Internet-verkko.

Kuva 1 Mandelbrotin fraktaali

Tiedät jo Mandelbrotin fraktaalin matemaattisen mallin. nyt me
Näytämme kuinka se toteutetaan graafisesti. Mallin lähtökohta
on yhtä kuin nolla. Graafisesti se vastaa päärynärungon keskustaa. N:n kautta
askeleet täyttävät päärynän koko rungon ja sen paikan, johon se päättyi
Viimeisessä iteraatiossa fraktaalin "pää" alkaa muodostua.
Fraktaalin "pää" on tasan neljä kertaa pienempi kuin ruumis
fraktaalin matemaattinen kaava on neliö
polynomi. Sitten taas N:n iteroinnin jälkeen "runko" alkaa muodostua
"munuainen" ("rungon" oikealla ja vasemmalla puolella). Jne. Mitä enemmän annettu
iteraatioiden lukumäärä N, sitä yksityiskohtaisempi fraktaalin kuva on,
sitä enemmän erilaisia ​​prosesseja sillä on. Kaavioesitys
Mandelbrot-fraktaalin kasvuvaiheet on esitetty kuvassa 2:

Kuva 2 Kaavio Mandelbrot-fraktaalin muodostumisesta

Kuvat 1 ja 2 osoittavat, että jokainen seuraava muodostus "rungolla"
toistaa rakenteeltaan tarkalleen itse kehon. Tämä on erottuva
Tämä malli on fraktaali.

Seuraavat kuvat näyttävät kuinka pisteen sijainti muuttuu,
vastaa parametria z pisteen eri aloitusasemille
c.

A) Lähtöpiste "rungossa" B) Lähtöpiste
piste päässä

C) Aloituspiste "munuaisessa" D) Aloituspiste sisään
toisen tason "munuainen".

E) Lähtökohta kolmannen tason "munuaisessa".

Kuvista A - E näkyy selvästi, kuinka joka askeleella enemmän ja enemmän
fraktaalin rakenne monimutkaistuu ja parametrilla z on yhä monimutkaisempi
lentorata.

Mandelbrot-mallin rajoitukset: on näyttöä siitä, että in
Mandelbrotin malli |z|

Julia malli (Julia setti)

Julia-fraktaalimallilla on sama yhtälö kuin mallilla
Mandelbrot: Z=Z2+c, vain tässä muuttujaparametri on
ei c, vaan z.

Näin ollen koko fraktaalin rakenne muuttuu tästä lähtien
lähtöpaikalle ei ole asetettu mitään rajoituksia. Välillä
Mallit Mandelbrot ja Julia, on sellainen ero: jos malli
Mandelbrot on staattinen (koska alkumerkki z on aina
nolla), niin Julia-malli on dynaaminen fraktaalimalli. Käytössä
riisi. Kuva 4 esittää graafisen esityksen Julia-fraktaalista.

Riisi. 4 Malli Julia

Kuten fraktaalipiirroksesta voidaan nähdä, se on symmetrinen keskustaan ​​nähden
pisteiden muoto, kun taas Mandelbrot-fraktaalin muoto on symmetrinen
akselin suhteen.

Sierpinski matto

Sierpinski-mattoa pidetään toisena fraktaalimallina. Se on rakenteilla
seuraavasti: otetaan neliö, joka jaetaan yhdeksään ruutuun,
leikkaa keskusaukio. Sitten jokaisen kahdeksasta jäljellä
neliöitä, suoritetaan samanlainen toimenpide. Ja niin edelleen loputtomiin. AT
Tämän seurauksena koko neliön sijasta saamme maton, jossa on omalaatuinen
symmetrinen kuvio. Tämän mallin ehdotti ensimmäisenä matemaatikko
Sierpinsky, jonka mukaan se sai nimensä. Matto esimerkki
Sierpinski näkyy kuvassa. 4d.

Kuva 4 Sierpinski-maton rakenne

4. Kochin käyrä

1900-luvun alussa matemaatikot etsivät käyriä, joita ei löytynyt mistään muualta.
pisteillä ei ole tangenttia. Tämä tarkoitti, että käyrä muutti äkillisesti
suunnassa ja lisäksi erittäin suurella nopeudella (derivaata
on yhtä suuri kuin ääretön). Näiden käyrien etsiminen ei johtunut pelkästään
matemaatikoiden turha kiinnostus. Tosiasia on, että 1900-luvun alussa hyvin
kvanttimekaniikka kehittyi nopeasti. Tutkija M. Brown
luonnosteli vedessä suspendoituneiden hiukkasten liikeradan ja selitti tämän
ilmiö on seuraava: nesteen satunnaisesti liikkuvat atomit törmäävät
suspendoituneita hiukkasia ja siten saattamaan ne liikkeelle. Sellaisen jälkeen
Brownin liikkeen selitys, tutkijoiden tehtävänä oli löytää sellainen
käyrä, joka parhaiten vastaa liikettä
Brownin hiukkasia. Tätä varten käyrän piti vastata seuraavaa
ominaisuudet: ei ole tangenttia missään kohdassa. Matemaatikko Koch
ehdotti yhtä tällaista käyrää. Emme mene selityksiin
säännöt sen rakentamiselle, vaan yksinkertaisesti antaa sen kuva, josta kaikki
tulee selväksi (kuva 5).

Kuva 5 Koch-käyrän rakentamisen vaiheet

Koch-käyrä on toinen esimerkki fraktaalista, koska jokainen sen
osa on pienennetty kuva koko käyrästä.

6. Graafiset kuvat eri fraktaaleista

Tässä kappaleessa päätimme sijoittaa graafisia kuvia erilaisista
fraktaaleja, jotka saimme Internetistä. Valitettavasti emme ole
pystyivät löytämään matemaattisen kuvauksen näistä fraktaaleista, mutta jotta se onnistuisi
ymmärtääkseen niiden kauneutta, pelkät piirustukset riittää.

Riisi. 6 Esimerkkejä fraktaalien graafisesta esityksestä

II OSA

FRAKTAALITEORIAN SOVELTAMINEN TALOUDESSA

RAHOITUSMARKKINOIDEN TEKNINEN ANALYYSI

Rahoitusmarkkinat maailman kehittyneissä maissa ovat olleet olemassa yli sata
vuotta. Vuosisatojen ajan ihmiset ovat ostaneet ja myyneet arvopapereita.
Tämäntyyppiset arvopaperikaupat toivat tuloja markkinaosapuolille
koska osakkeiden ja joukkovelkakirjojen hinnat vaihtelivat koko ajan,
muuttuivat jatkuvasti. Vuosisatojen ajan ihmiset ovat ostaneet arvopapereita
samaan hintaan ja myydään kun ne tuli kalliimmaksi. Mutta joskus
ostajan odotukset eivät toteutuneet ja ostettujen papereiden hinnat alkoivat nousta
syksyllä, joten hän ei vain saanut tuloja, vaan myös kärsi
tappioita. Pitkään aikaan kukaan ei ajatellut miksi näin tapahtuu:
hinta nousee ja sitten laskee. Ihmiset vain näkivät toiminnan tuloksen eivätkä nähneet
pohtinut syy-mekanismia, joka sen synnyttää.

Tämä tapahtui, kunnes eräs amerikkalainen rahoittaja
Kustantajat tunnetun sanomalehden "Financial Times", Charles Dow ei
julkaisi useita artikkeleita, joissa hän esitti näkemyksensä
rahoitusmarkkinoiden toimintaa. Dow huomasi, että osakekurssit
alttiina suhdannevaihteluille: pitkän kasvukauden jälkeen,
pitkä pudotus, sitten toinen nousu ja lasku. Täten,
Charles Dow huomasi ensin, että tulevaisuutta on mahdollista ennustaa
osakekurssin käyttäytyminen, jos sen suunta on joillekin tiedossa
viimeinen ajanjakso.

Kuva 1 Hintakäyttäytyminen Ch.Dow'n mukaan

Myöhemmin Ch. Dow'n löytöjen perusteella kokonaisuus
rahoitusmarkkinoiden teknisen analyysin teoria, joka sai
nimeltä Dow Theory. Tämä teoria juontaa juurensa 1990-luvulle
1800-luvulla, jolloin C. Dow julkaisi artikkelinsa.

Markkinoiden tekninen analyysi on menetelmä tulevaisuuden ennustamiseen
hintakehityksen käyttäytyminen, joka perustuu tietoon sen käyttäytymisen historiasta.
Tekninen analyysi ennustamiseen käyttää matemaattista analyysiä
trendien ominaisuuksia, ei arvopapereiden taloudellista suorituskykyä.

1900-luvun puolivälissä, jolloin koko tieteellinen maailma oli vain kiinnostunut
että uusi fraktaaliteoria, toinen tunnettu amerikkalainen
rahoittaja Ralph Elliot esitti teoriansa osakekurssien käyttäytymisestä,
joka perustui fraktaaliteorian käyttöön.

Elliot lähti siitä tosiasiasta, että fraktaalien geometriaa ei ole olemassa.
vain elävässä luonnossa, mutta myös sosiaalisissa prosesseissa. yleisölle
Hän selitti prosessit osakekaupankäynnillä pörssissä.

ELLIOT-AALTOTEORIA

Elliot Wave Theory on yksi vanhimmista teknisistä teorioista.
analyysi. Sen perustamisen jälkeen kukaan käyttäjistä ei ole osallistunut siihen
mitään merkittäviä muutoksia. Päinvastoin, kaikki ponnistelut kohdistettiin
että Elliotin muotoilemat periaatteet tuntuivat enemmän ja
selvemmin. Tulos on ilmeinen. Elliotin teorian avulla
parhaat ennusteet amerikkalaisen Dow Jones -indeksin liikkeelle.

Teorian perustana on ns. aaltokaavio. Aalto on
havaittavissa oleva hintamuutos. Noudattamalla massan kehityksen sääntöjä
psykologinen käyttäytyminen, kaikki hintaliikkeet on jaettu viiteen aaltoon
voimakkaamman trendin suuntaan ja kolme aaltoa vastakkaiseen suuntaan
suunta. Esimerkiksi hallitsevan trendin tapauksessa näemme viisi
aallot kun hinta liikkuu ylöspäin ja kolme - kun liikkuu (korjataan) alas.

Viiden aallon trendin ilmaisemiseksi käytetään numeroita ja for
vastakkaiset kolmiaaltokirjaimet. Jokainen viidestä aaltoliikkeestä
kutsutaan impulssiksi, ja jokainen kolmesta voitti - korjaava. Niin
kukin aalloista 1,3,5, A ja C on impulssi ja 2,4 ja B -
korjaava.

Riisi. 7 Elliottin aaltokaavio

Elliot oli yksi ensimmäisistä, joka määritteli selkeästi geometrian toiminnan
Fraktaaleja luonnossa, tässä tapauksessa - hintakaaviossa. Hän
ehdotti, että jokaisessa juuri näytetyssä impulssi- ​​ja
korjaavat aallot on myös Elliotin aaltokaavio.
Nämä aallot puolestaan ​​voidaan myös hajottaa komponenteiksi ja niin edelleen
Edelleen. Siten Elliot sovelsi fraktaalien teoriaa hajoamiseen
suuntaus pienempiin ja ymmärrettävämpiin osiin. Tietoa näistä osista lisää
pienempi mittakaava kuin suurin aaltomuoto on tärkeä, koska
että kauppiaat (rahoitusmarkkinoiden toimijat), tietäen missä osassa
kaavioita he ovat, voivat luottavaisesti myydä arvopapereita, kun
korjaava aalto alkaa ja pitäisi ostaa ne, kun se alkaa
impulssiaalto.

Kuva 8 Elliott-kaavion fraktaalirakenne

FIBONACCCI-NUMEROJA JA AALTOJA OMINAISUUDET

Ralph Elliot keksi ensin ajatuksen numerosarjan käytöstä
Fibonacci ennusteiden tekemiseen teknisen analyysin puitteissa. Kanssa
Fibonaccin lukujen ja kertoimien avulla voit ennustaa pituuden
jokainen aalto ja sen valmistumisaika. Koskematta ajan kysymystä,
Siirrytään yleisimmin käytettyihin pituuden määrittämissääntöihin
Elliot aaltoilee. Pituudella tässä tapauksessa tarkoitamme
hintojen nousu tai lasku.

impulssiaaltoja.

Aallon 3 pituus on yleensä aallon 1 pituus 1,618, harvemmin - yhtä suuri
hänen.

Kaksi impulssiaalloista ovat usein yhtä pitkiä, yleensä aallot 5
ja 1. Tämä tapahtuu yleensä, jos aallonpituus 3 on pienempi kuin 1,618
aallonpituus 1.

Usein on olemassa suhde, jossa aallonpituus 5 on 0,382
tai 0,618 hinnan kulkema matka aallon 1 alusta loppuun
aallot 3.

Korjaukset

Korjausaaltojen pituudet muodostavat tietyn kertoimen
Fibonacci edellisen impulssiaallon pituudesta. Mukaisesti
vuorottelusäännön mukaan aaltojen 2 ja 4 on vaihdettava prosentteina
suhde. Yleisin esimerkki on seuraava:
aalto 2 oli 61,8 % aallosta 1, kun taas aalto 4 voisi olla
vain 38,2 % tai 50 % aallosta 3.

PÄÄTELMÄ

Työssämme ei anneta kaikkia inhimillisen tiedon osa-alueita,
jossa fraktaalien teoria löysi sovelluksensa. Haluamme vain sanoa sen
teorian syntymisestä ei ole kulunut enempää kuin kolmannes vuosisadasta, mutta tästä
aikafraktaaleista on monille tutkijoille tullut äkillinen kirkas valo
öissä, jotka valaisevat tähän asti tuntemattomia tosiasioita ja kuvioita
tietyt tietoalueet. Fraktaalien teorian käyttäminen alkoi selittää
galaksien evoluutio ja solun kehitys, vuorten syntyminen ja muodostuminen
pilviä, hintojen liikkeitä pörssissä sekä yhteiskunnan ja perheen kehitystä. Voi olla
ehkä aluksi tämä intohimo fraktaaleja kohtaan oli jopa liikaa
myrskyisiä ja yrityksiä selittää kaikki fraktaalien teorian avulla
perusteeton. Mutta epäilemättä tällä teorialla on siihen oikeus
olemassaolosta, ja olemme pahoillamme, että viime aikoina se on jotenkin unohdettu
ja pysyi valittujen osana. Valmistellessamme tätä työtä me
On erittäin mielenkiintoista löytää TEORIAN sovelluksia KÄYTÄNNÖSTÄ. koska
hyvin usein on tunne, että teoreettinen tieto on sisällä
pois tosielämästä.

Työmme päätteeksi haluamme tuoda innostuneita sanoja
fraktaaliteorian kummisetä, Benoit Mandelbrot: "Luonnon geometria
fraktaali! Nykyään se kuulostaa yhtä rohkealta ja absurdilta kuin
G. Galileon kuuluisa huudahdus: "Mutta silti se pyörii!" vuonna XVI
vuosisadalla.

LUETTELO KÄYTETYT LÄHTEET

Sheipak ​​I.A. Fraktaaleja, graftaaleja, pensaita… //Kemia ja elämä. 1996 №6

Kaaoksen ymmärtäminen //Kemia ja elämä. 1992 №8

Erlich A. Hyödyke- ja osakemarkkinoiden tekninen analyysi, M: Infra-M, 1996

Materiaalit Internetistä.

Fibonacci-sekvenssi - vuonna 1202 ehdotettu sekvenssi
keskiaikainen matemaatikko Leonardo Fibonacci. Viittaa lajiin
paluusekvenssit. a1=1, a2=1, ai=ai-1+ai-2.
Fibonacci-kertoimet - kahden vierekkäisen ehdon jakamisen osamäärä
Fibonacci-sekvenssit: K1=ai/ai-1=1,618,

K2=ai-1/ai=0,618. Nämä kertoimet ovat ns
"kultainen leikkaus".

osakkeen hinta

osakekurssikaavio

Usein tieteessä tehdyt loistavat löydöt voivat muuttaa elämäämme radikaalisti. Joten esimerkiksi rokotteen keksiminen voi pelastaa monia ihmisiä, ja uuden aseen luominen johtaa murhaan. Kirjaimellisesti eilen (historian mittakaavassa) henkilö "kesytti" sähkön, ja tänään hän ei voi enää kuvitella elämäänsä ilman sitä. On kuitenkin myös sellaisia ​​löytöjä, jotka, kuten sanotaan, jäävät varjoihin, vaikka niilläkin on jonkin verran vaikutusta elämäämme. Yksi näistä löydöistä oli fraktaali. Useimmat ihmiset eivät ole edes kuulleet tällaisesta käsitteestä eivätkä pysty selittämään sen merkitystä. Tässä artikkelissa yritämme käsitellä kysymystä siitä, mikä fraktaali on, harkitse tämän termin merkitystä tieteen ja luonnon näkökulmasta.

Järjestys kaaoksessa

Jotta ymmärtäisit, mitä fraktaali on, on selvitys aloitettava matematiikan paikasta, mutta ennen kuin syventyy siihen, filosofoidaan hieman. Jokaisella ihmisellä on luontainen uteliaisuus, jonka ansiosta hän oppii ympäröivää maailmaa. Usein tiedonhalussaan hän yrittää toimia logiikan avulla tuomioissaan. Joten analysoimalla ympärillä tapahtuvia prosesseja hän yrittää laskea suhteita ja päätellä tiettyjä malleja. Planeetan suurimmat mielet ovat kiireisiä näiden ongelmien ratkaisemisessa. Karkeasti sanottuna tiedemiehemme etsivät malleja siellä, missä niitä ei ole, eikä niiden pitäisi olla. Siitä huolimatta, jopa kaaoksessa, tiettyjen tapahtumien välillä on yhteys. Tämä yhteys on fraktaali. Harkitse esimerkiksi tiellä makaavaa katkennutta oksaa. Jos katsomme sitä tarkasti, näemme, että se kaikkine oksineen ja oksineen näyttää itse puulta. Tämä erillisen osan samankaltaisuus yhden kokonaisuuden kanssa todistaa ns. rekursiivisen itsensä samankaltaisuuden periaatteesta. Fraktaaleja löytyy luonnosta jatkuvasti, koska monet epäorgaaniset ja orgaaniset muodot muodostuvat samalla tavalla. Nämä ovat pilviä ja simpukoita, ja etanankuoria ja puiden latvuja ja jopa verenkiertoelimistöä. Tätä listaa voi jatkaa loputtomiin. Kaikki nämä satunnaiset muodot kuvataan helposti fraktaalialgoritmilla. Tässä tulemme pohtimaan, mitä fraktaali on eksaktien tieteiden näkökulmasta.

Muutama kuiva fakta

Itse sana "fraktaali" on käännetty latinan kielestä "osittain", "jaettu", "fragmentoitu", ja mitä tulee tämän termin sisältöön, sanamuotoa ei ole sellaisenaan. Yleensä sitä käsitellään itsekaltaisena kokonaisuutena, osana kokonaisuutta, joka toistuu rakenteeltaan mikrotasolla. Tämän termin keksi 1900-luvun 1970-luvulla isäksi tunnustettu Benoit Mandelbrot.Tänään fraktaalin käsite tarkoittaa graafista esitystä tietystä rakenteesta, joka suurennettuna muistuttaa itseään. Matemaattinen perusta tämän teorian luomiselle luotiin kuitenkin jo ennen Mandelbrotin syntymää, mutta se ei voinut kehittyä ennen kuin elektroniset tietokoneet ilmestyivät.

Historiallinen viittaus eli Miten se kaikki alkoi

1800- ja 1900-luvun vaihteessa fraktaalien luonteen tutkiminen oli episodista. Tämä johtuu siitä, että matemaatikot halusivat tutkia esineitä, joita voidaan tutkia yleisten teorioiden ja menetelmien perusteella. Vuonna 1872 saksalainen matemaatikko K. Weierstrass rakensi esimerkin jatkuvasta funktiosta, joka ei ole missään erotettavissa. Tämä rakennelma osoittautui kuitenkin täysin abstraktiksi ja vaikeasti ymmärrettäväksi. Seuraavaksi tuli ruotsalainen Helge von Koch, joka rakensi vuonna 1904 jatkuvan käyrän, jolla ei ole tangenttia missään. Se on melko helppo piirtää, ja kuten kävi ilmi, sille on ominaista fraktaaliominaisuudet. Yksi tämän käyrän muunnelmista nimettiin sen kirjoittajan mukaan - "Kochin lumihiutale". Lisäksi idean hahmojen samankaltaisuudesta kehitti B. Mandelbrotin tuleva mentori, ranskalainen Paul Levy. Vuonna 1938 hän julkaisi paperin "Taso- ja spatiaaliset käyrät ja pinnat, jotka koostuvat osista kuin kokonaisuus". Siinä hän kuvasi uuden lajin - Levy C-käyrän. Kaikki yllä olevat kuvat viittaavat ehdollisesti sellaiseen muotoon geometrisina fraktaaleina.

Dynaamiset tai algebralliset fraktaalit

Mandelbrot-sarja kuuluu tähän luokkaan. Ranskalaiset matemaatikot Pierre Fatou ja Gaston Julia tulivat ensimmäisiksi tutkijoiksi tähän suuntaan. Vuonna 1918 Julia julkaisi artikkelin, joka perustui rationaalisten kompleksisten funktioiden iteraatioiden tutkimukseen. Tässä hän kuvaili fraktaaleja, jotka liittyvät läheisesti Mandelbrotin joukkoon. Huolimatta siitä, että tämä teos ylisti kirjailijaa matemaatikoiden keskuudessa, se unohdettiin nopeasti. Ja vain puoli vuosisataa myöhemmin, tietokoneiden ansiosta, Julian työ sai toisen elämän. Tietokoneet tekivät mahdolliseksi tehdä jokaiselle näkyväksi fraktaalien maailman kauneus ja rikkaus, jonka matemaatikot pystyivät "näkemään" näyttämällä niitä funktioiden kautta. Mandelbrot käytti ensimmäisenä tietokonetta laskelmien suorittamiseen (tällaista määrää on mahdotonta suorittaa manuaalisesti), mikä mahdollisti kuvan muodostamisen näistä hahmoista.

Mies, jolla on tilallinen mielikuvitus

Mandelbrot aloitti tieteellisen uransa IBM Research Centerissä. Tutkiessaan mahdollisuuksia tiedonsiirtoon pitkiä matkoja, tutkijat kohtasivat suuria häviöitä, jotka johtuivat meluhäiriöistä. Benoit etsi tapoja ratkaista tämä ongelma. Mittaustuloksia tarkastellessaan hän kiinnitti huomion oudoon kuvioon, nimittäin: kohinakaaviot näyttivät samalta eri aikaskaaloilla.

Samanlainen kuva havaittiin sekä yhden vuorokauden että seitsemän päivän tai tunnin ajan. Benoit Mandelbrot itse toisti usein, ettei hän työskentele kaavoilla, vaan leikkii kuvilla. Tämä tiedemies erottui mielikuvituksellisella ajattelulla, hän käänsi minkä tahansa algebrallisen ongelman geometriseksi alueeksi, jossa oikea vastaus on ilmeinen. Joten se ei ole yllättävää, rikkaiden erottuva ja fraktaaligeometrian isä. Loppujen lopuksi tietoisuus tästä hahmosta voi tulla vain, kun tutkit piirustuksia ja ajattelet näiden outojen pyörteiden merkitystä, jotka muodostavat kuvion. Fraktaalipiirustuksissa ei ole identtisiä elementtejä, mutta ne ovat samanlaisia ​​missä tahansa mittakaavassa.

Julia - Mandelbrot

Yksi tämän hahmon ensimmäisistä piirroksista oli graafinen tulkinta sarjasta, joka syntyi Gaston Julian työn ansiosta ja jonka Mandelbrot viimeisteli. Gaston yritti kuvitella, miltä sarja näyttää, kun se on rakennettu yksinkertaisesta kaavasta, jota iteroidaan takaisinkytkentäsilmukalla. Yritetään selittää, mitä on sanottu ihmisten kielellä, niin sanotusti sormilla. Tietylle numeeriselle arvolle löydämme kaavan avulla uuden arvon. Korvaamme sen kaavaan ja löydämme seuraavan. Tulos on suuri. Sellaisen joukon edustamiseksi sinun on suoritettava tämä operaatio valtava määrä kertoja: satoja, tuhansia, miljoonia kertoja. Tämän Benoit teki. Hän käsitteli sekvenssin ja siirsi tulokset graafiseen muotoon. Myöhemmin hän väritti tuloksena olevan kuvan (jokainen väri vastaa tiettyä määrää iteraatioita). Tätä graafista kuvaa kutsutaan Mandelbrotin fraktaaliksi.

L. Carpenter: luonnon luoma taide

Fraktaalien teoria löysi nopeasti käytännön sovelluksen. Koska se liittyy hyvin läheisesti itsekaltaisten kuvien visualisointiin, ensimmäiset periaatteet ja algoritmit näiden epätavallisten muotojen rakentamiseen omaksuivat taiteilijat. Ensimmäinen näistä oli Pixar-studion tuleva perustaja Lauren Carpenter. Kun hän työskenteli lentokoneiden prototyyppien esittelyn parissa, hän sai idean käyttää vuorten kuvaa taustana. Nykyään melkein jokainen tietokoneen käyttäjä voi selviytyä tällaisesta tehtävästä, ja viime vuosisadan 70-luvulla tietokoneet eivät pystyneet suorittamaan tällaisia ​​prosesseja, koska siihen aikaan ei ollut graafisia editoijia ja sovelluksia kolmiulotteiseen grafiikkaan. Loren törmäsi Mandelbrotin Fractals: Shape, Randomness ja Dimension. Siinä Benois antoi monia esimerkkejä, jotka osoittavat, että luonnossa on fraktaaleja (fiva), hän kuvaili niiden eri muotoja ja osoitti, että ne kuvataan helposti matemaattisilla lausekkeilla. Matemaatikko mainitsi tämän analogian perusteena sen teorian hyödyllisyydelle, jota hän kehitti vastauksena kollegoidensa kritiikkiin. He väittivät, että fraktaali on vain kaunis, arvoton kuva, elektronisten koneiden sivutuote. Carpenter päätti kokeilla tätä menetelmää käytännössä. Tutkittuaan kirjan huolellisesti tuleva animaattori alkoi etsiä tapaa toteuttaa fraktaaligeometria tietokonegrafiikassa. Häneltä kesti vain kolme päivää luoda täysin realistinen kuva vuoristomaisemasta tietokoneellaan. Ja nykyään tätä periaatetta käytetään laajalti. Kuten kävi ilmi, fraktaalien luominen ei vie paljon aikaa ja vaivaa.

Puusepän päätös

Laurenin käyttämä periaate osoittautui yksinkertaiseksi. Se koostuu suurempien jakamisesta pienempiin elementteihin ja vastaaviin pienempiin ja niin edelleen. Carpenter murskasi ne isojen kolmioiden avulla neljäksi pieneksi ja niin edelleen, kunnes hän sai realistisen vuoristomaiseman. Siten hänestä tuli ensimmäinen taiteilija, joka sovelsi fraktaalialgoritmia tietokonegrafiikassa tarvittavan kuvan rakentamiseen. Nykyään tätä periaatetta käytetään simuloimaan erilaisia ​​realistisia luonnonmuotoja.

Ensimmäinen fraktaalialgoritmiin perustuva 3D-visualisointi

Muutamaa vuotta myöhemmin Lauren käytti työtään laajamittaisessa projektissa - animaatiovideossa Vol Libre, joka esitettiin Siggraphissa vuonna 1980. Tämä video järkytti monia, ja sen luoja kutsuttiin töihin Lucasfilmiin. Täällä animaattori pystyi täysin toteuttamaan itsensä, hän loi kolmiulotteisia maisemia (koko planeetta) elokuvalle "Star Trek". Mikä tahansa nykyaikainen ohjelma ("Fractals") tai sovellus kolmiulotteisen grafiikan luomiseen (Terragen, Vue, Bryce) käyttää samaa algoritmia pintakuvioiden ja pintojen mallintamiseen.

Tom Beddard

Entinen laserfyysikko ja nyt digitaalitaiteilija ja -taiteilija Beddard loi sarjan erittäin kiehtovia geometrisia muotoja, joita hän kutsui Fabergen fraktaaleiksi. Ulkoisesti ne muistuttavat venäläisen jalokivikauppiaan koristemunia, niillä on sama loistava monimutkainen kuvio. Beddard käytti mallimenetelmää mallien digitaalisten esitysten luomiseen. Tuloksena olevat tuotteet ovat hämmästyttäviä kauneudeltaan. Vaikka monet kieltäytyvät vertaamasta käsintehtyä tuotetta tietokoneohjelmaan, on myönnettävä, että tuloksena olevat muodot ovat epätavallisen kauniita. Kohokohta on, että kuka tahansa voi rakentaa tällaisen fraktaalin käyttämällä WebGL-ohjelmistokirjastoa. Sen avulla voit tutkia erilaisia ​​fraktaalirakenteita reaaliajassa.

fraktaalit luonnossa

Harvat ihmiset kiinnittävät huomiota, mutta nämä hämmästyttävät luvut ovat kaikkialla. Luonto koostuu itseään vastaavista hahmoista, emme vain huomaa sitä. Riittää, kun katsomme suurennuslasin läpi ihoamme tai puun lehtiä, niin näemme fraktaaleja. Tai ota esimerkiksi ananas tai jopa riikinkukon häntä - ne koostuvat samanlaisista hahmoista. Ja Romanescu-parsakaalilajike on yleensä silmiinpistävä ulkonäöltään, koska sitä voidaan todella kutsua luonnon ihmeeksi.

Musiikki tauko

Osoittautuu, että fraktaalit eivät ole vain geometrisia muotoja, vaan ne voivat olla myös ääniä. Joten muusikko Jonathan Colton kirjoittaa musiikkia fraktaalialgoritmeilla. Hän väittää vastaavansa luonnollista harmoniaa. Säveltäjä julkaisee kaikki teoksensa CreativeCommons Attribution-Noncommercial -lisenssillä, joka mahdollistaa teosten ilmaisen jakelun, kopioinnin ja siirron muiden henkilöiden toimesta.

Fraktaali-indikaattori

Tämä tekniikka on löytänyt hyvin odottamattoman sovelluksen. Sen pohjalta luotiin työkalu pörssimarkkinoiden analysointiin, ja sen seurauksena sitä alettiin käyttää Forex-markkinoilla. Nyt fraktaaliindikaattori löytyy kaikilta kaupankäyntialustoilla, ja sitä käytetään kaupankäyntitekniikassa, jota kutsutaan hinnan purkamiseksi. Bill Williams kehitti tämän tekniikan. Kuten kirjoittaja kommentoi keksintöään, tämä algoritmi on useiden "kynttilöiden" yhdistelmä, joissa keskimmäinen heijastaa maksimi- tai päinvastoin äärimmäistä minimipistettä.

Lopulta

Joten olemme pohtineet mitä fraktaali on. Osoittautuu, että meitä ympäröivässä kaaoksessa on itse asiassa ihanteellisia muotoja. Luonto on paras arkkitehti, ihanteellinen rakentaja ja insinööri. Se on järjestetty hyvin loogisesti, ja jos emme löydä mallia, se ei tarkoita, etteikö sitä olisi olemassa. Ehkä sinun on katsottava eri mittakaavassa. Voimme vakuuttavasti sanoa, että fraktaalit pitävät edelleen paljon salaisuuksia, joita meidän on vielä löydettävä.

Hei kaikki! Nimeni on, Ribenek Valeria, Uljanovski ja tänään julkaisen useita tieteellisiä artikkeleitani LCI:n verkkosivuilla.

Ensimmäinen tieteellinen artikkelini tässä blogissa on omistettu fraktaaleja. Sanon heti, että artikkelini on suunniteltu melkein kaikille yleisöille. Nuo. Toivon, että ne kiinnostavat sekä koululaisia ​​että opiskelijoita.

Äskettäin opin sellaisista mielenkiintoisista matemaattisen maailman objekteista kuin fraktaalit. Mutta niitä ei ole vain matematiikassa. Ne ympäröivät meitä kaikkialla. Fraktaalit ovat luonnollisia. Kerron tässä artikkelissa siitä, mitä fraktaalit ovat, fraktaalityypeistä, esimerkeistä näistä objekteista ja niiden käytöstä. Aluksi kerron lyhyesti, mikä fraktaali on.

Fraktaali(lat. fractus - murskattu, rikki, rikki) on monimutkainen geometrinen hahmo, jolla on samankaltaisuuden ominaisuus, eli se koostuu useista osista, joista jokainen on samanlainen kuin koko hahmo kokonaisuutena. Laajemmassa merkityksessä fraktaalit ymmärretään euklidisen avaruuden pistejoukkoina, joilla on murto-osa metriset ulottuvuudet (Minkowskin tai Hausdorffin merkityksessä) tai jokin muu metrimitta kuin topologinen. Lisään esimerkiksi kuvan neljästä erilaisesta fraktaalista.

Kerron teille hieman fraktaalien historiasta. Fraktaali- ja fraktaaligeometrian käsitteet, jotka ilmestyivät 70-luvun lopulla, ovat tulleet lujasti matemaatikoiden ja ohjelmoijien arkeen 80-luvun puolivälistä lähtien. Sanan "fraktaali" otti Benoit Mandelbrot käyttöön vuonna 1975 viittaamaan hänen tutkimiinsa epäsäännöllisiin, mutta samankaltaisiin rakenteisiin. Fraktaaligeometrian synty liittyy yleensä Mandelbrotin kirjan The Fractal Geometry of Nature julkaisuun vuonna 1977. Hänen töissään käytettiin muiden samalla alalla vuosina 1875-1925 työskennelleiden tiedemiesten (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff) tieteellisiä tuloksia. Mutta vain meidän aikanamme oli mahdollista yhdistää heidän työnsä yhdeksi järjestelmäksi.

Fraktaaleista on monia esimerkkejä, koska, kuten sanoin, ne ympäröivät meitä kaikkialla. Mielestäni jopa koko universumimme on yksi valtava fraktaali. Loppujen lopuksi kaikki siinä, atomin rakenteesta itse universumin rakenteeseen, toistaa tarkasti toisiaan. Mutta tietysti on olemassa tarkempia esimerkkejä fraktaaleista eri alueilta. Esimerkiksi fraktaalit ovat läsnä monimutkaisessa dynamiikassa. Siellä ne esiintyvät luonnollisesti epälineaarisen tutkimuksessa dynaamiset järjestelmät. Tutkituin tapaus on, kun dynaaminen järjestelmä määritellään iteraatioilla polynomi tai holomorfinen muuttujakompleksin funktio pinnalla. Jotkut kuuluisimmista tämän tyyppisistä fraktaaleista ovat Julia-sarja, Mandelbrot-sarja ja Newton-altaat. Alla olevissa kuvissa on järjestyksessä kukin yllä olevista fraktaaleista.

Toinen esimerkki fraktaaleista ovat fraktaalikäyrät. Fraktaalin rakentaminen on parasta selittää fraktaalikäyrien esimerkillä. Yksi tällainen käyrä on niin kutsuttu Kochin lumihiutale. Fraktaalikäyrien saamiseksi tasossa on yksinkertainen menetelmä. Määrittelemme mielivaltaisen katkoviivan, jossa on äärellinen määrä linkkejä, jota kutsutaan generaattoriksi. Seuraavaksi korvaamme jokaisen siinä olevan segmentin generaattorilla (tarkemmin sanottuna generaattorin kaltaisella katkoviivalla). Tuloksena olevassa katkoviivassa korvaamme jokaisen segmentin jälleen generaattorilla. Jatketaan äärettömään, rajassa saadaan fraktaalikäyrä. Alla on Kochin lumihiutale (tai käyrä).

Fraktaalikäyriä on myös paljon. Tunnetuimmat niistä ovat jo mainittu Kochin lumihiutale sekä Levy-käyrä, Minkowski-käyrä, särkynyt lohikäärme, Piano-käyrä ja Pythagoraan puu. Luulen, että voit halutessasi löytää kuvan näistä fraktaaleista ja niiden historiasta helposti Wikipediasta.

Kolmas esimerkki tai fraktaalien laji ovat stokastiset fraktaalit. Tällaisia ​​fraktaaleja ovat mm. Brownin liikkeen liikerata tasossa ja avaruudessa, Schramm-Löwner-evoluutiot, erilaiset satunnaistetut fraktaalit, eli fraktaalit, jotka on saatu rekursiivisella menettelyllä, jossa jokaisessa vaiheessa otetaan käyttöön satunnaisparametri.

On myös puhtaasti matemaattisia fraktaaleja. Näitä ovat esimerkiksi Cantor-setti, Menger-sieni, Sierpinskin kolmio ja muut.

Mutta ehkä mielenkiintoisimmat fraktaalit ovat luonnollisia. Luonnonfraktaalit ovat luonnon esineitä, joilla on fraktaaliominaisuuksia. Ja siellä on jo iso lista. En luettele kaikkea, koska luultavasti en voi luetella kaikkia, mutta kerron joistakin. Esimerkiksi elävässä luonnossa tällaisia ​​fraktaaleja ovat verenkiertojärjestelmämme ja keuhkot. Ja myös puiden kruunut ja lehdet. Täällä voit myös sisältää meritähtiä, merisiilejä, korallia, simpukoita, joitain kasveja, kuten kaalia tai parsakaalia. Alla on esitetty selkeästi useita tällaisia ​​luonnonfraktaaleja villieläimistä.

Jos tarkastelemme elotonta luontoa, niin siellä on paljon mielenkiintoisempia esimerkkejä kuin elävässä luonnossa. Salama, lumihiutaleet, pilvet, kaikkien tiedossa, kuviot ikkunoissa pakkaspäivinä, kiteet, vuoristot - kaikki nämä ovat esimerkkejä luonnollisista fraktaaleista elottomasta luonnosta.

Olemme pohtineet esimerkkejä ja tyyppejä fraktaaleista. Mitä tulee fraktaalien käyttöön, niitä käytetään useilla tiedon aloilla. Fraktaaleja syntyy luonnostaan ​​fysiikassa mallinnettaessa epälineaarisia prosesseja, kuten turbulenttia nestevirtausta, monimutkaisia ​​diffuusio-adsorptioprosesseja, liekkejä, pilviä jne. Fraktaaleja käytetään mallinnettaessa huokoisia materiaaleja esimerkiksi petrokemiassa. Biologiassa niitä käytetään populaatioiden mallintamiseen ja sisäelinten järjestelmien kuvaamiseen (verisuonijärjestelmä). Kochin käyrän luomisen jälkeen ehdotettiin sen käyttämistä rantaviivan pituuden laskennassa. Fraktaaleja käytetään myös aktiivisesti radiotekniikassa, tietotekniikassa ja tietotekniikassa, tietoliikenteessä ja jopa taloudessa. Ja tietysti fraktaalinäköä käytetään aktiivisesti nykytaiteessa ja arkkitehtuurissa. Tässä on yksi esimerkki fraktaalimaalauksista:

Ja niin, tällä aion täydentää tarinani sellaisesta epätavallisesta matemaattisesta ilmiöstä kuin fraktaali. Tänään opimme mitä fraktaali on, kuinka se ilmestyi, fraktaalien tyypeistä ja esimerkkeistä. Ja puhuin myös niiden sovelluksesta ja esitin joitain fraktaaleja selvästi. Toivottavasti pidit tästä lyhyestä retkestä hämmästyttävien ja lumoavien fraktaaliesineiden maailmaan.