Tässä artikkelissa käsittelemme kahden vektorin ristitulon käsitettä. Annamme tarvittavat määritelmät, kirjoitamme kaavan vektoritulon koordinaattien löytämiseksi, luettelemme ja perustelemme sen ominaisuudet. Sen jälkeen tarkastellaan kahden vektorin ristitulon geometrista merkitystä ja tarkastellaan erilaisten tyypillisten esimerkkien ratkaisuja.

Sivulla navigointi.

Vektoritulon määritelmä.

Ennen kuin annamme ristitulon määritelmän, tarkastellaan vektoreiden järjestetyn kolmikon orientaatiota kolmiulotteisessa avaruudessa.

Siirretään vektoreita yhdestä pisteestä. Vektorin suunnasta riippuen kolmoisosa voi olla oikea tai vasen. Katsotaan vektorin lopusta kuinka lyhin kääntyy vektorista . Jos lyhin kierto on vastapäivään, kutsutaan vektorien kolmiosaa oikein, muuten - vasemmalle.

Otetaan nyt kaksi ei-kollineaarista vektoria ja . Siirrä sivuun vektorit ja pisteestä A. Muodostetaan jokin vektori, joka on kohtisuorassa ja ja samaan aikaan. On selvää, että kun rakennamme vektoria, voimme tehdä kaksi asiaa, antamalla sille joko yhden suunnan tai päinvastaisen (katso kuva).

Vektorin suunnasta riippuen vektoreiden järjestyskolmoinen voi olla oikea tai vasen.

Joten pääsimme lähelle vektoritulon määritelmää. Se on annettu kahdelle vektorille, jotka on annettu kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä.

Määritelmä.

Kahden vektorin vektoritulo ja , annettuna kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä, kutsutaan vektoriksi siten, että

Ristitulo vektorit ja on merkitty .

Vektorituotteen koordinaatit.

Nyt annamme vektoritulon toisen määritelmän, jonka avulla voimme löytää sen koordinaatit annettujen vektorien koordinaateista ja.

Määritelmä.

Kolmiulotteisen avaruuden suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä kahden vektorin ristitulo Ja on vektori , jossa ovat koordinaattivektorit.

Tämä määritelmä antaa meille ristitulon koordinaattimuodossa.

On kätevää esittää vektoritulo kolmannen kertaluvun neliömatriisin determinanttina, jonka ensimmäinen rivi on orts, toinen rivi sisältää vektorin koordinaatit ja kolmas rivi sisältää vektorin koordinaatit. annettu suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä:

Jos laajennetaan tätä determinanttia ensimmäisen rivin elementeillä, saadaan yhtäläisyys vektoritulon määritelmästä koordinaateissa (katso tarvittaessa artikkelia):

On huomattava, että ristitulon koordinaattimuoto on täysin yhdenmukainen tämän artikkelin ensimmäisessä kappaleessa annetun määritelmän kanssa. Lisäksi nämä kaksi ristiintuotteen määritelmää ovat samanarvoisia. Todiste tästä tosiasiasta löytyy artikkelin lopussa mainitusta kirjasta.

Vektorituotteen ominaisuudet.

Koska vektoritulo koordinaateissa voidaan esittää matriisin determinanttina, voidaan seuraavaa perustella helposti sen perusteella vektorituotteen ominaisuudet:

Todistetaan esimerkkinä vektoritulon antikommutatiivisuusominaisuus.

A-priory Ja . Tiedämme, että matriisin determinantin arvo käännetään, kun kaksi riviä vaihdetaan, joten , joka todistaa vektorituotteen.

Vektorituote - esimerkkejä ja ratkaisuja.

Periaatteessa tehtäviä on kolmenlaisia.

Ensimmäisen tyyppisissä tehtävissä on annettu kahden vektorin pituudet ja niiden välinen kulma, ja täytyy löytää ristitulon pituus. Tässä tapauksessa käytetään kaavaa .

Esimerkki.

Selvitä vektorien ristitulon pituus ja jos tiedossa .

Ratkaisu.

Tiedämme määritelmästä, että vektorien ristitulon pituus ja on yhtä suuri kuin vektorien pituuksien tulo ja kerrotaan niiden välisen kulman sinillä, joten .

Vastaus:

.

Toisen tyyppiset tehtävät liittyvät vektoreiden koordinaatteihin, joissa vektorituloa, sen pituutta tai jotain muuta etsitään annettujen vektorien koordinaattien kautta Ja .

Täällä on tarjolla monia erilaisia ​​vaihtoehtoja. Esimerkiksi ei vektorien ja koordinaatit, vaan niiden laajennukset muodon koordinaattivektoreissa ja , tai vektorit ja voidaan määrittää niiden alku- ja loppupisteiden koordinaatteilla.

Tarkastellaan tyypillisiä esimerkkejä.

Esimerkki.

Kaksi vektoria on annettu suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä . Etsi heidän vektoritulonsa.

Ratkaisu.

Toisen määritelmän mukaan kahden koordinaatin vektorin ristitulo kirjoitetaan seuraavasti:

Olisimme päässeet samaan tulokseen, jos olisimme kirjoittaneet vektoritulon determinantin kautta

Vastaus:

.

Esimerkki.

Etsi pituus rajat tuotteen vektorit ja , Missä ovat orts suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä.

Ratkaisu.

Etsi ensin vektoritulon koordinaatit tietyssä suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä.

Koska vektoreilla ja on koordinaatit ja vastaavasti (katso tarvittaessa vektorin artikkelikoordinaatit suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa), niin ristitulon toisen määritelmän mukaan meillä on

Eli vektoritulo on koordinaatit annetussa koordinaattijärjestelmässä.

Löydämme vektoritulon pituuden sen koordinaattien neliöiden summan neliöjuurena (saimme tämän vektorin pituuden kaavan osiossa vektorin pituuden löytämisestä):

Vastaus:

.

Esimerkki.

Kolmen pisteen koordinaatit on annettu suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa. Etsi jokin vektori, joka on kohtisuorassa ja samanaikaisesti.

Ratkaisu.

Vektorit ja niillä on koordinaatit ja vastaavasti (katso artikkeli vektorin koordinaattien löytämisestä pisteiden koordinaattien kautta). Jos löydämme vektorien ja ristitulon, niin se on määritelmän mukaan vektori, joka on kohtisuorassa sekä kohti että vastaan, eli se on ratkaisu ongelmaamme. Etsitään hänet

Vastaus:

on yksi kohtisuorassa olevista vektoreista.

Kolmannen tyyppisissä tehtävissä tarkastetaan vektorien vektoritulon ominaisuuksien käyttötaitoa. Kun ominaisuudet on otettu käyttöön, vastaavat kaavat otetaan käyttöön.

Esimerkki.

Vektorit ja ovat kohtisuorassa ja niiden pituudet ovat 3 ja 4. Etsi vektoritulon pituus .

Ratkaisu.

Vektoritulon distributiivisuusominaisuuden perusteella voimme kirjoittaa

Assosiatiivisen ominaisuuden perusteella otamme pois numeeriset kertoimet vektoritulojen etumerkille viimeisessä lausekkeessa:

Vektorituotteet ja ovat nolla, koska Ja , Sitten.

Koska vektoritulo on antikommutatiivinen, niin .

Joten vektoritulon ominaisuuksia käyttämällä olemme tulleet tasa-arvoon .

Ehdolla vektorit ja ovat kohtisuorassa, eli niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin . Eli meillä on kaikki tiedot tarvittavan pituuden löytämiseksi

Vastaus:

.

Vektoritulon geometrinen merkitys.

Määritelmän mukaan vektorien ristitulon pituus on . Ja lukion geometriakurssilta tiedämme, että kolmion pinta-ala on puolet kolmion kahden sivun pituuden ja niiden välisen kulman sinin tulosta. Siksi ristitulon pituus on kaksi kertaa kolmion pinta-ala, jossa on vektorien sivut ja , jos ne siirretään yhdestä pisteestä. Toisin sanoen vektorien ristitulon pituus ja on yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala, jonka sivut ja ja niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin . Tämä on vektoritulon geometrinen merkitys.

Testi nro 1

Vektorit. Korkeamman algebran elementit

1-20. Vektorien ja ja pituudet tunnetaan; on näiden vektorien välinen kulma.

Laske: 1) ja 2) .3) Laske vektoreille ja rakennetun kolmion pinta-ala.

Tee piirustus.

Ratkaisu. Käyttämällä vektoreiden pistetulon määritelmää:

Ja skalaarituotteen ominaisuudet: ,

1) etsi vektorin skalaarineliö:

eli sitten .

Väittelemällä samalla tavalla saamme

eli sitten .

Vektoritulon määritelmän mukaan: ,

ottaen huomioon sen tosiasian

Vektoreihin rakennetun kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin

21-40. Kolmen kärjen koordinaatit tunnetaan A, B, D suunnikas ABCD. Vektorialgebran avulla tarvitset:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Ratkaisu.

Tiedetään, että suunnikkaan lävistäjät leikkauspisteessä jaetaan puoliksi. Siksi pisteen koordinaatit E- diagonaalien leikkauspisteet - etsi janan keskikohdan koordinaatit BD. Merkitään niitä x E ,y E , z E saamme sen

Saamme .

Tietäen pisteen koordinaatit E- diagonaaliset keskipisteet BD ja sen yhden pään koordinaatit A(3;0;-7), kaavoilla määritämme kärjen halutut koordinaatit KANSSA suunnikas:

Huippu siis.

2) Löytääksemme vektorin projektion vektoriin , löydämme näiden vektorien koordinaatit: ,

samoin. Vektorin projektio vektoriin, löydämme kaavan:

3) Suunnikkaan lävistäjien välinen kulma löytyy vektorien väliseksi kulmaksi

Ja skalaaritulon ominaisuuden perusteella:

Sitten

4) Suunnikkaan pinta-ala löytyy vektoritulon moduulista:

5) Pyramidin tilavuus löytyy kuudesosana vektorien sekatulon moduulista, missä O(0;0;0), niin

Sitten haluttu tilavuus (kuutioyksikköä)

41-60. Matriisitiedot:

V C -1 +3A T

Nimitykset:

Ensin löydämme matriisin C käänteisarvon.

Tätä varten löydämme sen määräävän tekijän:

Determinantti on nollasta poikkeava, joten matriisi on ei-singulaarinen ja sille löytyy käänteismatriisi C -1

Etsitään algebralliset komplementit kaavalla , jossa on elementin molli:

Sitten,.

61–80. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Cramerin menetelmä; 2. Matriisimenetelmä.

Ratkaisu.

a) Cramerin menetelmä

Etsitään järjestelmän determinantti

Siitä lähtien järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Etsi determinantit ja , korvaa ensimmäinen, toinen ja kolmas sarake kertoimien matriisissa vastaavasti vapaiden ehtojen sarakkeella.

Cramerin kaavojen mukaan:

b)matriisimenetelmä (käyttäen käänteismatriisia).

Kirjoitamme tämän järjestelmän matriisimuotoon ja ratkaisemme sen käänteismatriisin avulla.

Antaa A on tuntemattomien kertoimien matriisi; X on tuntemattomien sarakematriisi x, y, z Ja H on sarakematriisi ilmaisista jäsenistä:

Järjestelmän (1) vasen puoli voidaan kirjoittaa matriisien tulona ja oikea puoli matriisiksi H. Siksi meillä on matriisiyhtälö

Koska matriisi determinantti A on eri kuin nolla (kohta "a"), sitten matriisi A on käänteinen matriisi. Kerrotaan molemmat yhtälön (2) osat vasemmalla matriisilla , saadaan

Mistä lähtien E on identiteettimatriisi, ja sitten

Olkoon meillä ei-singulaarinen matriisi A:

Sitten käänteismatriisi löydetään kaavasta:

Missä A ij- elementin algebrallinen komplementti a ij matriisideterminantissa A, joka on (-1) i+j:n ja mollin (determinantin) tulo n-1 poistamalla saatu tilaus i-th linjat ja j-th sarakkeet matriisin A determinantissa:

Tästä saamme käänteisen matriisin:

Sarake X: X = A - 1 H

81–100. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Ratkaisu. Kirjoitamme järjestelmän laajennetun matriisin muodossa:

Teemme alkeismuunnoksia jousilla.

Toisesta rivistä vähennetään ensimmäinen rivi kerrottuna 2:lla. Riviltä 3 vähennetään ensimmäinen rivi kerrottuna 4:llä. Rivistä 4 vähennetään ensimmäinen rivi, saadaan matriisi:

Seuraavaksi saamme nollan seuraavien rivien ensimmäiseen sarakkeeseen, tätä varten vähennämme kolmannen rivin toisesta rivistä. Kolmannesta rivistä vähennetään toinen rivi kerrottuna 2:lla. Neljännestä rivistä vähennetään toinen rivi kerrottuna 3:lla. Tuloksena saadaan matriisi, jonka muoto on:

Vähennä kolmas neljännestä rivistä.

Vaihda toiseksi viimeinen ja viimeinen rivi:

Viimeinen matriisi vastaa yhtälöjärjestelmää:

Järjestelmän viimeisestä yhtälöstä löydämme .

Korvaamalla toiseksi viimeiseen yhtälöön, saamme .

Järjestelmän toisesta yhtälöstä seuraa, että

Ensimmäisestä yhtälöstä löydämme x:

Vastaus:

Koe nro 2

Analyyttinen geometria

1-20. Annettu kolmion kärkien koordinaatit ABC. Löytö:

1) sivun pituus ASISÄÄN;

2) sivuyhtälöt AB Ja Aurinko ja niiden rinteet;

3) kulma SISÄÄN radiaaneina kahden desimaalin tarkkuudella;

4) korkeusyhtälö CD ja sen pituus

5) mediaaniyhtälö AE

pitkä CD;

TO yhdensuuntainen sivun kanssa AB,

7) Piirrä piirustus.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Ratkaisu.

Soveltamalla (1) löydämme sivun pituuden AB:

2) sivuyhtälöt AB Ja Aurinko ja niiden rinteet:

Pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälöllä on muoto

Korvataan (2) pisteiden koordinaatit A Ja SISÄÄN, saamme sivuyhtälön AB:

(AB).

(eKr).

3) kulma SISÄÄN radiaaneina kahden desimaalin tarkkuudella.

Tiedetään, että kahden suoran välisen kulman tangentti, joiden kaltevuuskertoimet ovat vastaavasti yhtä suuret, lasketaan kaavalla

Haluttu kulma SISÄÄN muodostetaan suoraan AB Ja Aurinko, jonka kulmakertoimet löytyvät: ; . Sovellettaessa (3) saamme

; , tai

4) korkeusyhtälö CD ja sen pituus.

Etäisyys pisteestä C linjaan AB:

5) mediaaniyhtälö AE ja tämän mediaanin kanssa leikkauspisteen K koordinaatit

pitkä CD.

puolivälissä BC:

Sitten yhtälö AE:

Ratkaisemme yhtälöjärjestelmän:

6) pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö TO yhdensuuntainen sivun kanssa AB:

Koska haluttu viiva on yhdensuuntainen sivun kanssa AB, niin sen kaltevuus on yhtä suuri kuin suoran kaltevuus AB. Korvataan (4) löydetyn pisteen koordinaatit TO ja kulmakerroin, saamme

; (KF).

Suunnikkaan pinta-ala on 12 neliömetriä. yksikköä, sen kaksi kärkeä on pisteitä A(-1;3) Ja B(-2;4). Etsi kaksi muuta tämän suuntaviivan kärkeä, jos tiedetään, että sen diagonaalien leikkauspiste on x-akselilla. Tee piirustus.

Ratkaisu. Olkoon diagonaalien leikkauspisteellä koordinaatit.

Sitten se on selvää

siis vektorien koordinaatit.

Suunnikkaan pinta-ala löytyy kaavasta

Sitten kahden muun kärjen koordinaatit ovat .

Tehtävissä 51-60 pisteiden koordinaatit A ja B. Edellytetään:

Kirjoita annettujen pisteiden kautta kulkevan hyperabelin kanoninen yhtälö A ja B jos hyperbolin polttopisteet sijaitsevat x-akselilla;

Etsi tämän hyperbolin puoliakselit, fokukset, epäkeskisyys ja asymptoottien yhtälöt;

Etsi kaikki hyperbolin leikkauspisteet ympyrän kanssa, jonka keskipiste on origossa, jos tämä ympyrä kulkee hyperbolin polttopisteiden kautta;

Muodosta hyperboli, sen asymptootit ja ympyrä.

A(6;-2), B(-8;12).

Ratkaisu. Halutun hyperbolin yhtälö kanonisessa muodossa kirjoitetaan

Missä a on hyperbelin todellinen puoliakseli, b- kuvitteellinen akseli. Korvaa pisteen koordinaatit A Ja SISÄÄN tästä yhtälöstä löydämme nämä puoliakselit:

- hyperbelin yhtälö: .

Puoliakselit a=4,

polttoväli Foci (-8,0) ja (8,0)

Epäkeskisyys

Aciptootit:

Jos ympyrä kulkee origon läpi, sen yhtälö

Korvaamalla yhden polttopisteistä löydämme myös ympyräyhtälön

Etsi hyperbolin ja ympyrän leikkauspisteet:

Piirustuksen rakentaminen:

Piirrä tehtävissä 61-80 funktio napakoordinaatistossa pistein, jolloin  arvot välin  kautta /8 (0   2). Etsi suoran yhtälö suorakaiteen muotoisesta suorakulmaisesta koordinaatistosta (abskissan positiivinen puoliakseli osuu napa-akseliin ja napa on sama kuin origo).

Ratkaisu. Rakennetaan viiva pisteiden mukaan, kun olet aiemmin täyttänyt arvotaulukon ja φ.

Määrä	φ ,	φ, astetta			Määrä	φ , iloinen	astetta
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 päättelemme, että tämä yhtälö määrittelee ellipsin: Annetut pisteet A, SISÄÄN , C, D . Pakollinen etsimiseen: 1. Tason yhtälö (K), kulkee pisteiden läpi A, B, C D lentokoneessa (Q); 2. Suoran yhtälö (minä) kulkee pisteiden läpi SISÄÄN ja D; 3. Tason välinen kulma (Q) ja suora (minä); 4. Tason yhtälö (R), kulkee pisteen läpi A kohtisuoraan viivaan nähden (minä); 5. Tasojen välinen kulma (R) Ja (K) ; 6. Suoran linjan yhtälö (T), kulkee pisteen läpi A sen sädevektorin suunnassa; 7. Kulma suorien viivojen välillä (minä) Ja (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Tason yhtälö (K), kulkee pisteiden läpi A, B, C ja tarkista, onko kohta paikka D tasossa määritetään kaavalla Find : 1) . 2) Neliö suunnikas, rakennettu päällä Ja. 3) suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu päällä vektorit, Ja. Ohjaus Job tässä aiheessa " Elementit lineaaristen avaruuksien teoria... Ohjeet tutkinnon suorittamisen jatko-opintojen kirjekurssien kokeisiin 080100. 62 suuntaan Ohjeita Suuntasärmiö ja pyramidin tilavuus, rakennettu päällä vektorit, Ja. Ratkaisu: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2).. . . . . 4. TEHTÄVÄT HALLINTA TOIMII Osa I. Lineaarinen algebra. 1-10. Dana...

Tällä oppitunnilla tarkastelemme kahta muuta operaatiota vektoreilla: vektorien ristitulo Ja vektorien sekatulo (välitön linkki sitä tarvitseville). Ei haittaa, joskus käy niin, että täydellisen onnen vuoksi, lisäksi vektorien pistetulo, tarvitaan enemmän ja enemmän. Sellainen on vektoririippuvuus. Saattaa saada vaikutelma, että olemme joutumassa analyyttisen geometrian viidakkoon. Tämä on väärin. Tässä korkeamman matematiikan osiossa polttopuuta on yleensä vähän, paitsi ehkä tarpeeksi Pinocchiolle. Itse asiassa materiaali on hyvin yleinen ja yksinkertainen - tuskin vaikeampi kuin sama skalaarituote, vaikka tyypillisiä tehtäviä on vähemmän. Tärkein asia analyyttisessä geometriassa, kuten monet näkevät tai ovat jo nähneet, on EI VÄÄRÄ LASKENTIA. Toista kuin loitsu, niin olet onnellinen =)

Jos vektorit kimaltelevat jossain kaukana, kuten salama horisontissa, sillä ei ole väliä, aloita oppitunnilla Vektorit tutille palauttaa tai hankkia uudelleen perustiedot vektoreista. Valmistautuneemmat lukijat voivat tutustua tietoihin valikoivasti, yritin kerätä mahdollisimman kattavan kokoelman esimerkkejä, joita käytännön työssä usein löytyy

Mikä tekee sinut onnelliseksi? Kun olin pieni, pystyin jongleeraamaan kahta ja jopa kolmea palloa. Se onnistui hyvin. Nyt ei tarvitse jongleerata ollenkaan, koska harkitsemme vain avaruusvektorit, ja tasaiset vektorit, joissa on kaksi koordinaattia, jätetään pois. Miksi? Näin nämä toiminnot syntyivät - vektorien vektori ja sekatulo määritellään ja toimivat kolmiulotteisessa avaruudessa. Helpompaa jo!

Tässä operaatiossa, samalla tavalla kuin skalaaritulossa, kaksi vektoria. Olkoon ne katoamattomia kirjaimia.

Itse toiminta merkitty seuraavalla tavalla: . On muitakin vaihtoehtoja, mutta olen tottunut merkitsemään vektorien ristituloa tällä tavalla, hakasulkeissa ristin kanssa.

Ja heti kysymys: jos sisään vektorien pistetulo kaksi vektoria on mukana, ja tässä myös kerrotaan kaksi vektoria mikä on ero? Selkeä ero ensinnäkin TULOKSET:

Vektorien skalaaritulon tulos on NUMERO:

Vektorien ristitulon tulos on VEKTORI: , eli kerrotaan vektorit ja saadaan taas vektori. Suljettu klubi. Itse asiassa, tästä toiminnan nimi. Erilaisissa oppikirjoissa nimitykset voivat myös vaihdella, käytän kirjainta .

Ristituotteen määritelmä

Ensin tulee määritelmä kuvan kanssa, sitten kommentit.

Määritelmä: ristiintuote ei-kollineaarinen vektorit, otettu tässä järjestyksessä, on nimeltään VECTOR, pituus mikä on numeerisesti yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala, rakennettu näille vektoreille; vektori kohtisuorassa vektoreihin nähden, ja se on suunnattu siten, että pohjalla on oikea suunta:

Analysoimme määritelmää luiden mukaan, siellä on paljon mielenkiintoisia asioita!

Voimme siis korostaa seuraavia tärkeitä kohtia:

1) Lähdevektorit, merkitty punaisilla nuolilla, määritelmän mukaan ei kollineaarinen. Kollineaaristen vektorien tapausta on aiheellista tarkastella hieman myöhemmin.

2) Vektorit otettu tiukassa järjestyksessä: – "a" kerrotaan "olla", ei "olla" - "a". Vektorikertoimen tulos on VECTOR , joka on merkitty sinisellä. Jos vektorit kerrotaan käänteisessä järjestyksessä, niin saamme vektorin, joka on yhtä pitkä ja vastakkainen suuntaisesti (purinpunainen väri). Eli tasa-arvoa .

3) Tutustutaan nyt vektoritulon geometriseen merkitykseen. Tämä on erittäin tärkeä kohta! Sinisen vektorin PITUUS (ja siten purppuraisen vektorin ) on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreille rakennetun suunnikkaan ALUE. Kuvassa tämä suunnikas on varjostettu mustalla.

Huomautus : piirustus on kaavamainen, ja tietenkään ristitulon nimellispituus ei ole yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala.

Muistamme yhden geometrisista kaavoista: suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin vierekkäisten sivujen ja niiden välisen kulman sini tulo. Siksi edellä olevan perusteella kaava vektoritulon PITUUS laskemiseksi on voimassa:

Korostan, että kaavassa puhumme vektorin PITUUDESTA, emme itse vektorista. Mikä on käytännön merkitys? Ja merkitys on sellainen, että analyyttisen geometrian ongelmissa suunnikkaan pinta-ala löytyy usein vektoritulon käsitteen kautta:

Saamme toisen tärkeän kaavan. Suunnikkaan diagonaali (punainen katkoviiva) jakaa sen kahteen yhtä suureen kolmioon. Siksi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala (punainen varjostus) löytyy kaavasta:

4) Yhtä tärkeä tosiasia on, että vektori on ortogonaalinen vektoreihin nähden, eli . Tietenkin myös vastakkaiseen suuntaan suunnattu vektori (punainen nuoli) on ortogonaalinen alkuperäisiin vektoreihin nähden.

5) Vektori on suunnattu siten, että perusta Sillä on oikein suuntautuminen. Oppitunnilla aiheesta siirtyminen uudelle perustalle Olen puhunut yksityiskohtaisesti tasosuuntaus, ja nyt selvitämme, mikä avaruuden suunta on. Selitän sormillasi oikea käsi. Yhdistä henkisesti etusormi vektorilla ja keskisormi vektorin kanssa. Nimetön ja pikkusormi paina kämmenelle. Tuloksena peukalo- vektoritulo näyttää ylöspäin. Tämä on oikealle suuntautunut perusta (se on kuvassa). Vaihda nyt vektorit ( etu- ja keskisormi) joissakin paikoissa tämän seurauksena peukalo kääntyy ympäri ja vektoritulo näyttää jo alas. Tämä on myös oikealle suuntautunut perusta. Ehkä sinulla on kysymys: millä perusteella on vasen suuntaus? "Määritä" samat sormet vasen käsi vektorit ja saat vasemman kanta- ja vasemman tilan suunnan (tässä tapauksessa peukalo sijaitsee alemman vektorin suunnassa). Kuvannollisesti puhuen nämä pohjat "kiertelevät" tai suuntaavat tilaa eri suuntiin. Ja tätä käsitettä ei pidä pitää kaukaa haettuna tai abstraktina - esimerkiksi tavallisin peili muuttaa tilan suuntaa, ja jos "vedät heijastuneen kohteen ulos peilistä", ei yleensä ole mahdollista yhdistä se "alkuperäiseen". Tuo muuten kolme sormea ​​peilin luo ja analysoi heijastus ;-)

... kuinka hyvä se on, että tiedät siitä nyt oikealle ja vasemmalle suunnattu perusteet, koska joidenkin luennoitsijoiden lausunnot suunnanmuutoksesta ovat kauheita =)

Kollineaaristen vektorien vektoritulo

Määritelmä on laadittu yksityiskohtaisesti, on vielä selvitettävä, mitä tapahtuu, kun vektorit ovat kollineaarisia. Jos vektorit ovat kollineaarisia, ne voidaan sijoittaa yhdelle suoralle ja suunnikkaamme myös "taittuu" yhdeksi suoraksi. Sellaisten alue, kuten matemaatikot sanovat, rappeutunut suunnikas on nolla. Sama seuraa kaavasta - nollan tai 180 asteen sini on yhtä suuri kuin nolla, mikä tarkoittaa, että alue on nolla

Eli jos , niin Ja . Huomaa, että ristitulo itsessään on yhtä suuri kuin nollavektori, mutta käytännössä tämä usein jätetään huomiotta ja kirjoitetaan, että se on myös nolla.

Erikoistapaus on vektorin ja itsensä vektoritulo:

Ristitulon avulla voit tarkistaa kolmiulotteisten vektorien kollineaarisuuden ja analysoimme myös tämän ongelman mm.

Käytännön esimerkkien ratkaisemiseksi se voi olla tarpeen trigonometrinen taulukko löytääksesi siitä sinien arvot.

No, sytytetään tulipalo:

Esimerkki 1

a) Laske vektorien vektoritulon pituus jos

b) Etsi vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala, jos

Ratkaisu: Ei, tämä ei ole kirjoitusvirhe, tein tarkoituksella ehtokohteiden alkutiedot samanlaisiksi. Koska ratkaisujen suunnittelu on erilainen!

a) Ehdon mukaan se on löydettävä pituus vektori (vektoritulo). Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Koska pituudesta kysyttiin, ilmoitamme vastauksessa mitat - yksiköt.

b) Ehdon mukaan se on löydettävä neliö vektoreihin rakennettu suunnikas. Tämän suuntaviivan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin ristitulon pituus:

Vastaus:

Huomaa, että vektorituloa koskevassa vastauksessa ei puhuta ollenkaan, meiltä kysyttiin hahmon alue, mitat ovat neliöyksiköitä.

Katsomme aina MITÄ ehto edellyttää, ja sen perusteella muotoilemme asia selvä vastaus. Se saattaa tuntua kirjaimellisuudesta, mutta opettajien joukossa on tarpeeksi kirjailijaa ja tehtävä hyvillä mahdolli- suuksilla palautetaan tarkistettavaksi. Vaikka tämä ei ole erityisen jännittynyt nitpicki - jos vastaus on väärä, syntyy vaikutelma, että henkilö ei ymmärrä yksinkertaisia ​​asioita ja/tai ei ole ymmärtänyt tehtävän ydintä. Tämä hetki tulee aina pitää kurissa, ratkaista mikä tahansa ongelma korkeammassa matematiikan ja myös muissa aineissa.

Mihin iso en-kirjain katosi? Periaatteessa se voisi olla lisäksi kiinni ratkaisussa, mutta ennätyksen lyhentämiseksi en tehnyt. Toivottavasti kaikki ymmärtävät sen ja tarkoittavat samaa asiaa.

Suosittu esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 2

Etsi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

Kaava kolmion alueen löytämiseksi vektoritulon kautta on annettu määritelmän kommenteissa. Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Käytännössä tehtävä on todella yleinen, kolmiot voidaan yleensä kiduttaa.

Muiden ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme:

Vektorien ristitulon ominaisuudet

Olemme jo tarkastelleet joitain vektorituotteen ominaisuuksia, mutta sisällytän ne tähän luetteloon.

Mielivaltaisille vektoreille ja mielivaltaiselle luvulle seuraavat ominaisuudet ovat tosia:

1) Muissa tietolähteissä tätä kohtaa ei yleensä eroteta ominaisuuksista, mutta se on käytännön kannalta erittäin tärkeä. Joten anna sen olla.

2) - kiinteistöstä on myös keskusteltu yllä, joskus sitä kutsutaan antikommutatiivisuus. Toisin sanoen vektorien järjestyksellä on väliä.

3) - yhdistelmä tai assosiatiivista vektoritulolakeja. Vakiot saadaan helposti pois vektoritulon rajoista. Oikeasti, mitä he tekevät siellä?

4) - jakelu tai jakelu vektoritulolakeja. Avaamisessa ei myöskään ole ongelmia.

Harkitse esimerkkiä esimerkkinä:

Esimerkki 3

Etsi jos

Ratkaisu: Ehdon mukaan on jälleen löydettävä vektoritulon pituus. Maalataan pienoismallimme:

(1) Assosiatiivisten lakien mukaan otamme pois vakiot vektoritulon rajojen yli.

(2) Otamme vakion pois moduulista, kun taas moduuli "syö" miinusmerkin. Pituus ei voi olla negatiivinen.

(3) Seuraava on selvää.

Vastaus:

On aika heittää puita tuleen:

Esimerkki 4

Laske vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

Ratkaisu: Etsi kolmion pinta-ala kaavan avulla . Ongelmana on, että vektorit "ce" ja "te" esitetään itse vektoreiden summana. Tässä oleva algoritmi on vakio ja muistuttaa jonkin verran oppitunnin esimerkkejä 3 ja 4. Vektorien pistetulo. Jaa se kolmeen vaiheeseen selvyyden vuoksi:

1) Ensimmäisessä vaiheessa ilmaisemme vektorituotteen vektorituotteen kautta, itse asiassa, ilmaista vektoria vektorilla. Pituudesta ei vielä sanaakaan!

(1) Korvaamme vektorien lausekkeet.

(2) Avaa hakasulut polynomien kertolaskusäännön mukaisesti distributiivisia lakeja käyttäen.

(3) Assosiatiivisia lakeja käyttämällä otamme pois kaikki vakiot vektoritulojen ulkopuolella. Vähäisellä kokemuksella toiminnot 2 ja 3 voidaan suorittaa samanaikaisesti.

(4) Ensimmäinen ja viimeinen termi ovat yhtä kuin nolla (nollavektori) miellyttävästä ominaisuudesta johtuen. Toisessa termissä käytämme vektorituotteen:

(5) Esittelemme samanlaisia ​​termejä.

Tämän seurauksena vektori osoittautui ilmaistuksi vektorin kautta, mikä oli se, mitä vaadittiin saavuttamiseksi:

2) Toisessa vaiheessa löydämme tarvitsemamme vektoritulon pituuden. Tämä toiminto on samanlainen kuin esimerkki 3:

3) Etsi haluamasi kolmion pinta-ala:

Ratkaisun vaiheet 2-3 voitaisiin järjestää yhdelle riville.

Vastaus:

Tarkasteltu ongelma on melko yleinen testeissä, tässä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 5

Etsi jos

Lyhyt ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Katsotaan kuinka tarkkaavainen olit tutkiessasi aiempia esimerkkejä ;-)

Koordinaattien vektorien ristitulo

, annettu ortonormaalilla perusteella , ilmaistaan ​​kaavalla:

Kaava on todella yksinkertainen: kirjoitamme koordinaattivektorit determinantin yläriville, "pakkaamme" vektoreiden koordinaatit toiselle ja kolmannelle riville ja laitamme tiukassa järjestyksessä- ensin vektorin "ve" koordinaatit, sitten vektorin "double-ve" koordinaatit. Jos vektorit on kerrottava eri järjestyksessä, tulee myös rivit vaihtaa:

Esimerkki 10

Tarkista, ovatko seuraavat avaruusvektorit kollineaarisia:
A)
b)

Ratkaisu: Testi perustuu yhteen tämän oppitunnin väittämiin: jos vektorit ovat kollineaarisia, niin niiden ristitulo on nolla (nollavektori): .

a) Etsi vektoritulo:

Joten vektorit eivät ole kollineaarisia.

b) Etsi vektoritulo:

Vastaus: a) ei kollineaarinen, b)

Tässä on ehkä kaikki perustiedot vektorien vektoritulosta.

Tämä osa ei ole kovin suuri, koska vektoreiden sekatuloa käytettäessä on vähän ongelmia. Itse asiassa kaikki lepää määritelmän, geometrisen merkityksen ja muutaman työkaavan varassa.

Vektorien sekatulo on kolmen vektorin tulo:

Näin he asettuivat jonoon kuin juna ja odottavat, he eivät voi odottaa, kunnes heidät lasketaan.

Ensin taas määritelmä ja kuva:

Määritelmä: Sekoitettu tuote ei-tasossa vektorit, otettu tässä järjestyksessä, kutsutaan suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu näille vektoreille, varustettu "+"-merkillä, jos kanta on oikea, ja "-"-merkillä, jos kanta on vasen.

Tehdään piirustus. Meille näkymätön viivat piirretään katkoviivalla:

Sukellaan määritelmään:

2) Vektorit otettu tietyssä järjestyksessä, eli tuotteessa olevien vektorien permutaatio, kuten saatat arvata, ei jää ilman seurauksia.

3) Ennen kuin kommentoin geometrista merkitystä, huomautan ilmeisen tosiasian: vektorien sekatulo on NUMERO: . Oppikirjallisuudessa muotoilu voi olla hieman erilainen, minulla oli tapana nimetä sekatuotteen läpi, ja laskelmien tulos kirjaimella "pe".

A-priory sekoitettu tuote on suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu vektoreille (kuvio on piirretty punaisilla vektoreilla ja mustilla viivoilla). Eli luku on yhtä suuri kuin annetun suuntaissärmiön tilavuus.

Huomautus : Piirustus on kaavamainen.

4) Älkäämme enää vaivautuko kantajan ja tilan orientaation käsitteeseen. Loppuosan tarkoitus on, että äänenvoimakkuuteen voidaan lisätä miinusmerkki. Yksinkertaisesti sanottuna sekoitettu tuote voi olla negatiivinen: .

Kaava vektoreihin rakennetun suuntaissärmiön tilavuuden laskemiseksi seuraa suoraan määritelmästä.