Kaksi luotettavaa satunnaista ja mahdotonta tapahtumaa. Todennäköisyysteorian aihe

Havaitut tapahtumat (ilmiöt) voidaan jakaa seuraaviin kolmeen tyyppiin: luotettava, mahdoton ja satunnainen.

uskottava kutsua tapahtumaa, joka varmasti tapahtuu, jos tietyt olosuhteet toteutuvat S. Esimerkiksi jos astiassa on vettä normaalissa ilmanpaineessa ja lämpötilassa 20 °, niin tapahtuma "astiassa oleva vesi on nestemäisessä tilassa ” on varmaa. Tässä esimerkissä määritetty ilmanpaine ja veden lämpötila muodostavat joukon ehtoja S.

Mahdotonta kutsua tapahtumaa, joka ei varmasti tapahdu, jos ehtojoukko S on toteutettu. Esimerkiksi tapahtumaa "vesi aluksessa on kiinteässä tilassa" ei varmasti tapahdu, jos edellisen esimerkin ehtojoukko toteutetaan.

Satunnainen Tapahtumaa kutsutaan tapahtumaksi, joka ehtojoukon S toteutuessa voi joko tapahtua tai ei tapahdu. Jos esimerkiksi heitetään kolikkoa, se voi pudota niin, että päällä on joko vaakuna tai kirjoitus. Siksi tapahtuma "kolikkoa heittäessä "vaakuna" putosi ulos on satunnainen. Jokainen satunnainen tapahtuma, erityisesti "vaakunan" putoaminen, on seurausta monien satunnaisten syiden vaikutuksesta (esimerkissämme: voima, jolla kolikon heitetään, kolikon muoto ja monet muut ). On mahdotonta ottaa huomioon kaikkien näiden syiden vaikutusta tulokseen, koska niiden määrä on erittäin suuri ja niiden toiminnan lakeja ei tunneta. Siksi todennäköisyysteoria ei aseta itselleen tehtävää ennustaa, tapahtuuko yksittäinen tapahtuma vai ei - se ei yksinkertaisesti voi tehdä sitä.

Tilanne on toinen, jos tarkastellaan satunnaisia tapahtumia, jotka voidaan toistuvasti havaita samoissa olosuhteissa S, eli jos puhutaan massiivisista homogeenisista satunnaisista tapahtumista. Osoittautuu, että riittävän suuri määrä homogeenisia satunnaisia tapahtumia, riippumatta niiden erityisestä luonteesta, noudattaa tiettyjä lakeja, nimittäin todennäköisyyslakeja. Todennäköisyysteoria käsittelee näiden säännönmukaisuuksien vahvistamista.

Todennäköisyysteorian aiheena on siis massiivisten homogeenisten satunnaisten tapahtumien todennäköisyyssäännönmukaisuuksien tutkimus.

Todennäköisyyslaskennan menetelmiä käytetään laajasti luonnontieteen ja tekniikan eri aloilla. Todennäköisyysteoria toimii myös matemaattisen ja sovelletun tilaston perusteena.

Satunnaisten tapahtumien tyypit. Tapahtumat ovat ns yhteensopimaton jos yhden niistä esiintyminen sulkee pois muiden tapahtumien esiintymisen samassa kokeessa.

Esimerkki. Kolikko heitetään. "Vaakunan" ulkonäkö sulkee pois kirjoituksen ulkonäön. Tapahtumat "vaakuna ilmestyi" ja "kirjoitus ilmestyi" eivät sovi yhteen.

Useita tapahtumia muodostuu täysi ryhmä, jos ainakin yksi niistä tulee näkyviin testin tuloksena. Erityisesti, jos täydellisen ryhmän muodostavat tapahtumat ovat pareittain yhteensopimattomia, niin yksi ja vain yksi näistä tapahtumista tulee näkyviin testin tuloksena. Tämä tapaus kiinnostaa meitä eniten, koska sitä käytetään alla.

Esimerkki 2. Käteis- ja vaatearvontaan ostettiin kaksi lippua. Yksi ja vain yksi seuraavista tapahtumista tapahtuu välttämättä: "voitot putosivat ensimmäiselle lipulle eivätkä putoaneet toiselle", "voitot eivät pudonneet ensimmäiselle lipulle ja putosivat toiselle", "voitot putosivat molemmilla lipuilla", "voitot eivät voitettu molemmilla lipuilla". putosi." Nämä tapahtumat muodostavat täydellisen ryhmän pareittain yhteensopimattomia tapahtumia.

Esimerkki 3. Ampuja ampui maalia kohti. Jompikumpi seuraavista kahdesta tapahtumasta on väistämättä tapahtumassa: osuma, miss. Nämä kaksi erillistä tapahtumaa muodostavat kokonaisen ryhmän.

Tapahtumat ovat ns yhtä mahdollista jos on syytä uskoa, että kumpikaan ei ole toista mahdollista.

Esimerkki 4. "Vaakunan" ilmestyminen ja kirjoituksen ilmaantuminen kolikon heitettäessä ovat yhtä mahdollisia tapahtumia. Itse asiassa oletetaan, että kolikon on valmistettu homogeenisesta materiaalista, sillä on säännöllinen lieriömäinen muoto, ja kolikon läsnäolo ei vaikuta kolikon yhden tai toisen puolen katoamiseen.

Itsenimitys latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla: A, B, C, .. A 1, A 2 ..

Vastakohdat ovat 2 ainoaa mahdollista niin-minää, jotka muodostavat täydellisen ryhmän. Jos toinen kahdesta vastakkaisesta tapahtumat merkitään A:lla, muut nimitykset ovat A`.

Esimerkki 5. Osuma ja osuma ammuttaessa maaliin – vastakkaista sukupuolta. oma.

Luokka 5 Johdatus todennäköisyyksiin (4 tuntia)

(4 oppitunnin kehittäminen tästä aiheesta)

Oppimistavoitteet : - ottaa käyttöön satunnaisen, luotettavan ja mahdoton tapahtuman määritelmä;

Johda ensimmäiset ideat kombinatoristen ongelmien ratkaisemisesta: optiopuun ja kertolaskusäännön käyttäminen.

koulutustavoite: opiskelijoiden ajattelutavan kehittäminen.

Kehitystavoite : tilallisen mielikuvituksen kehittäminen, viivaimen kanssa työskentelytaidon parantaminen.

Luotettavat, mahdottomat ja satunnaiset tapahtumat (2 tuntia)

Kombinatoriset tehtävät (2 tuntia)

Luotettavat, mahdottomat ja satunnaiset tapahtumat.

Ensimmäinen oppitunti

Oppitunnin varusteet: noppa, kolikko, backgammon.

Elämämme koostuu suurelta osin onnettomuuksista. On olemassa sellainen tiede "todennäköisyysteoria". Sen kielen avulla on mahdollista kuvata monia ilmiöitä ja tilanteita.

Jopa primitiivinen johtaja ymmärsi, että tusinalla metsästäjillä oli suurempi "todennäköisyys" lyödä biisonia keihällä kuin yhdellä. Siksi he metsästivät silloin kollektiivisesti.

Sellaiset muinaiset komentajat, kuten Aleksanteri Suuri tai Dmitri Donskoy, jotka valmistautuivat taisteluun, luottivat paitsi sotureiden rohkeuteen ja taitoon, myös sattumaan.

Monet ihmiset rakastavat matematiikkaa ikuisten totuuksien vuoksi, kaksi kertaa kaksi on aina neljä, parillisten lukujen summa on parillinen, suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin sen vierekkäisten sivujen tulo jne. Jokaisessa ratkaisemassasi ongelmassa jokainen saa sama vastaus - sinun ei tarvitse tehdä virheitä päätöksessä.

Todellinen elämä ei ole niin yksinkertaista ja yksiselitteistä. Monien tapahtumien tuloksia ei voida ennustaa etukäteen. On mahdotonta esimerkiksi sanoa varmasti, kummalle puolelle heitetty kolikko putoaa, milloin ensi vuonna sataa ensilunta tai kuinka moni kaupungissa haluaa soittaa seuraavan tunnin sisällä. Sellaisia arvaamattomia tapahtumia kutsutaan satunnainen .

Tapauksella on kuitenkin myös omat lakinsa, jotka alkavat ilmetä satunnaisten ilmiöiden toistuessa. Jos heität kolikkoa 1000 kertaa, niin "kotka" putoaa noin puolet ajasta, mitä ei voida sanoa kahdesta tai edes kymmenestä heitosta. "Suunnilleen" ei tarkoita puolta. Näin voi pääsääntöisesti olla tai ei. Laki ei yleensä kerro mitään varmaa, mutta antaa tietyn tason varmuuden siitä, että jokin satunnainen tapahtuma tapahtuu. Tällaisia säännönmukaisuuksia tutkii erityinen matematiikan haara - Todennäköisyysteoria . Sen avulla voit varmemmin (mutta ei kuitenkaan varmasti) ennustaa sekä ensimmäisen lumisateen päivämäärän että puheluiden määrän.

Todennäköisyysteoria liittyy erottamattomasti jokapäiväiseen elämäämme. Tämä antaa meille upean mahdollisuuden vahvistaa monia todennäköisyyslakeja empiirisesti toistaen toistuvasti satunnaisia kokeita. Näiden kokeiden materiaalit ovat useimmiten tavallinen kolikko, noppaa, dominosarja, backgammon, ruletti tai jopa korttipakka. Jokainen näistä kohteista liittyy peleihin tavalla tai toisella. Tosiasia on, että tapaus esiintyy tässä yleisimmässä muodossa. Ja ensimmäiset todennäköisyystehtävät liittyivät pelaajien voittomahdollisuuksien arvioimiseen.

Nykyaikainen todennäköisyysteoria on siirtynyt pois uhkapelaamisesta, mutta niiden rekvisiitta on edelleen yksinkertaisin ja luotettavin sattuman lähde. Rulettipyörän ja nopan kanssa harjoittelemalla opit laskemaan satunnaisten tapahtumien todennäköisyyden tosielämän tilanteissa, jolloin voit arvioida onnistumismahdollisuuksiasi, testata hypoteeseja ja tehdä optimaalisia päätöksiä paitsi peleissä ja arpajaisissa. .

Kun ratkaiset todennäköisyysongelmia, ole erittäin varovainen, yritä perustella jokainen askel, koska mikään muu matematiikan alue ei sisällä niin paljon paradokseja. Kuten todennäköisyysteoria. Ja ehkä tärkein selitys tälle on sen yhteys todelliseen maailmaan, jossa elämme.

Monissa peleissä käytetään noppaa, jonka kummallakin puolella on eri määrä pisteitä 1 - 6. Pelaaja heittää noppaa, katsoo kuinka monta pistettä on pudonnut (päällä olevalla puolella) ja tekee sopiva määrä liikkeitä: 1,2,3 ,4,5 tai 6. Nopan heittämistä voidaan pitää kokemuksena, kokeena, kokeena ja saatua tulosta tapahtumana. Ihmiset ovat yleensä hyvin kiinnostuneita arvaamaan tapahtuman alkamista ja ennustamaan sen lopputulosta. Mitä ennusteita he voivat tehdä, kun noppaa heitetään? Ensimmäinen ennustus: yksi luvuista 1, 2, 3, 4, 5 tai 6 putoaa pois. Tuleeko ennustettu tapahtuma mielestäsi vai ei? Tottakai se tulee varmasti. Tapahtumaa, joka varmasti tapahtuu tietyssä kokemuksessa, kutsutaan luotettava tapahtuma.

Toinen ennustus : numero 7 putoaa pois, tuleeko ennustettu tapahtuma vai ei? Ei tietenkään tule, se on vain mahdotonta. Tapahtumaa, joka ei voi tapahtua tietyssä kokeessa, kutsutaan mahdoton tapahtuma.

Kolmas ennustus : numero 1 putoaa pois. Luuletko, että ennustettu tapahtuma tulee vai ei? Emme voi vastata tähän kysymykseen täydellisellä varmuudella, koska ennustettu tapahtuma voi tapahtua tai ei. Tapahtumaa, joka voi tapahtua tai ei tapahdu tietyssä kokemuksessa, kutsutaan satunnainen tapahtuma.

Harjoittele : kuvaile alla olevissa tehtävissä käsiteltyjä tapahtumia. Varmaa, mahdotonta tai satunnaista.

Heitämme kolikon. Vaakuna ilmestyi. (satunnainen)

Metsästäjä ampui sutta ja löi. (satunnainen)

Opiskelija lähtee kävelylle joka ilta. Maanantaina hän tapasi kävelyllä kolme tuttua. (satunnainen)

Suoritetaan henkisesti seuraava koe: käännä vesilasi ylösalaisin. Jos tätä kokeilua ei suoriteta avaruudessa, vaan kotona tai luokkahuoneessa, vesi valuu ulos. (aito)

Kolme laukausta ammuttiin maaliin. Tuli viisi osumaa" (mahdotonta)

Heitämme kiven ylös. Kivi jää roikkumaan ilmaan. (mahdotonta)

Sanan "antagonismi" kirjaimet on järjestetty uudelleen satunnaisesti. Hanki sana "anakroismi". (mahdotonta)

№959. Petya ajatteli luonnollista lukua. Tapahtuma on seuraava:

a) parillinen luku ajatellaan; (satunnainen) b) pariton luku ajatellaan; (satunnainen)

c) ajatellaan luku, joka ei ole parillinen eikä pariton; (mahdotonta)

d) parillinen tai pariton luku on suunniteltu. (aito)

№ 961. Petya ja Tolja vertailevat syntymäpäiviään. Tapahtuma on seuraava:

a) heidän syntymäpäivänsä eivät täsmää; (satunnainen) b) heidän syntymäpäivänsä ovat samat; (satunnainen)

d) molemmat syntymäpäivät ovat vapaapäiviä - uusi vuosi (1. tammikuuta) ja Venäjän itsenäisyyspäivä (12. kesäkuuta). (satunnainen)

№ 962. Backgammonia pelatessa käytetään kahta noppaa. Pelaajan tekemien liikkeiden määrä määräytyy laskemalla yhteen nopan molemmilla puolilla olevat numerot, jotka ovat pudonneet, ja jos "tupla" putoaa (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6), silloin liikkeiden määrä kaksinkertaistuu. Heität noppaa ja lasket kuinka monta liikettä sinun on tehtävä. Tapahtuma on seuraava:

a) sinun on tehtävä yksi liike; b) sinun on tehtävä 7 liikettä;

c) sinun on tehtävä 24 liikettä; d) sinun on tehtävä 13 liikettä.

a) - mahdoton (1 siirto voidaan tehdä, jos yhdistelmä 1 + 0 putoaa, mutta nopassa ei ole numeroa 0).

b) - satunnainen (jos 1 + 6 tai 2 + 5 putoaa).

c) - satunnainen (jos yhdistelmä 6 +6 putoaa).

d) - mahdoton (ei ole olemassa lukujen yhdistelmiä 1-6, joiden summa on 13; tätä numeroa ei voida saada edes silloin, kun "kaksinkertainen" heitetään, koska se on pariton).

Tarkista itse. (matematiikan sanelu)

1) Ilmoita, mitkä seuraavista tapahtumista ovat mahdottomia, mitkä ovat varmoja, mitkä ovat satunnaisia:

Jalkapalloottelu "Spartak" - "Dynamo" päättyy tasapeliin. (satunnainen)

Voitat osallistumalla win-win-arvontaan (aito)

Lunta sataa keskiyöllä ja aurinko paistaa 24 tuntia myöhemmin. (mahdotonta)

Huomenna on matematiikan koe. (satunnainen)

Sinut valitaan Yhdysvaltain presidentiksi. (mahdotonta)

Sinut valitaan Venäjän presidentiksi. (satunnainen)

2) Ostit television kaupasta, jolle valmistaja antaa kahden vuoden takuun. Mitkä seuraavista tapahtumista ovat mahdottomia, mitkä satunnaisia, mitkä varmoja:

TV ei hajoa vuoden sisällä. (satunnainen)

Televisio ei hajoa kahteen vuoteen. (satunnainen)

Kahden vuoden sisällä sinun ei tarvitse maksaa television korjauksista. (aito)

TV katkeaa kolmantena vuonna. (satunnainen)

3) 15 matkustajan bussilla on 10 pysäkkiä. Mitkä seuraavista tapahtumista ovat mahdottomia, mitkä satunnaisia, mitkä varmoja:

Kaikki matkustajat jäävät pois bussista eri pysäkeillä. (mahdotonta)

Kaikki matkustajat jäävät pois samalla pysäkillä. (satunnainen)

Jokaisella pysäkillä joku jää pois. (satunnainen)

Tulee pysäkki, jossa kukaan ei nouse pois. (satunnainen)

Kaikilla pysäkeillä poistuu parillinen määrä matkustajia. (mahdotonta)

Kaikilla pysäkeillä pariton määrä matkustajia jää pois. (mahdotonta)

Kotitehtävät : 53 nro 960, 963, 965 (keksi itse kaksi luotettavaa, satunnaista ja mahdotonta tapahtumaa).

Toinen oppitunti.

Kotitehtävien tarkistaminen. (suullisesti)

a) Selitä, mitä tietyt, satunnaiset ja mahdottomat tapahtumat ovat.

b) Ilmoita, mikä seuraavista tapahtumista on varma, mikä mahdoton, mikä satunnainen:

Kesälomia ei tule. (mahdotonta)

Voileipä putoaa voipuoli alaspäin. (satunnainen)

Kouluvuosi päättyy lopulta. (aito)

Minulta kysytään huomenna luokassa. (satunnainen)

Tapaan tänään mustan kissan. (satunnainen)

№ 960. Avasit tämän oppikirjan mille tahansa sivulle ja valitsit ensimmäisen vastaan tulleen substantiivin. Tapahtuma on seuraava:

a) valitun sanan oikeinkirjoituksessa on vokaali. ((aito)

b) valitun sanan oikeinkirjoituksessa on kirjain "o". (satunnainen)

c) valitun sanan oikeinkirjoituksessa ei ole vokaalia. (mahdotonta)

d) valitun sanan oikeinkirjoituksessa on pehmeä merkki. (satunnainen)

№ 963. Pelaat taas backgammonia. Kuvaile seuraavaa tapahtumaa:

a) Pelaajan ei saa tehdä enempää kuin kaksi siirtoa. (mahdotonta - pienimpien numeroiden 1 + 1 yhdistelmällä pelaaja tekee 4 siirtoa; yhdistelmä 1 + 2 antaa 3 siirtoa; kaikki muut yhdistelmät antavat enemmän kuin 3 siirtoa)

b) pelaajan on tehtävä enemmän kuin kaksi siirtoa. (luotettava - mikä tahansa yhdistelmä antaa 3 tai enemmän liikettä)

c) pelaaja saa tehdä enintään 24 siirtoa. (luotettava - suurimpien lukujen 6 + 6 yhdistelmä antaa 24 siirtoa ja kaikki loput - alle 24 siirtoa)

d) pelaajan on tehtävä kaksinumeroinen määrä liikkeitä. (satunnainen - esimerkiksi yhdistelmä 2 + 3 antaa yksinumeroisen määrän liikkeitä: 5 ja kahden nelosen putoaminen antaa kaksinumeroisen määrän liikkeitä)

2. Ongelmanratkaisu.

№ 964. Pussissa on 10 palloa: 3 sinistä, 3 valkoista ja 4 punaista. Kuvaile seuraavaa tapahtumaa:

a) pussista otetaan 4 palloa, ja ne kaikki ovat sinisiä; (mahdotonta)

b) pussista otetaan 4 palloa, ja ne ovat kaikki punaisia; (satunnainen)

c) pussista otettiin 4 palloa ja ne kaikki osoittautuivat erivärisiksi; (mahdotonta)

d) pussista otetaan 4 palloa, joiden joukossa ei ole yhtään mustaa palloa. (aito)

Tehtävä 1 . Laatikko sisältää 10 punaista, 1 vihreää ja 2 sinistä kynää. Kaksi esinettä otetaan satunnaisesti laatikosta. Mitkä seuraavista tapahtumista ovat mahdottomia, mitkä satunnaisia, mitkä varmoja:

a) kaksi punaista kahvaa otetaan pois (satunnaisesti)

b) kaksi vihreää kahvaa vedetään ulos; (mahdotonta)

c) kaksi sinistä kahvaa vedetään ulos; (satunnainen)

d) kahden eriväriset kahvat otetaan pois; (satunnainen)

e) kaksi kahvaa otetaan ulos; (aito)

e) Kaksi lyijykynää otetaan ulos. (mahdotonta)

Tehtävä 2. Nalle Puh, Porsas ja kaikki - kaikki - kaikki istuvat pyöreän pöydän ääreen juhlimaan syntymäpäivää. Millä määrällä kaikkia - kaikkia - tapahtuma "Nalle Puh ja Porsas istuvat vierekkäin" on luotettava ja millä - satunnainen?

(jos on vain 1 kaikista - kaikki - kaikki, niin tapahtuma on luotettava, jos enemmän kuin 1, niin se on satunnainen).

Tehtävä 3. 100 hyväntekeväisyysarpalipun joukosta 20 voittoa Kuinka monta lippua sinun on ostettava tehdäksesi "et voita mitään" -tapahtumasta mahdoton?

Tehtävä 4. Luokassa on 10 poikaa ja 20 tyttöä. Mitkä seuraavista tapahtumista ovat mahdottomia sellaiselle luokalle, mitkä ovat satunnaisia, mitkä ovat varmoja

Luokassa on kaksi henkilöä, jotka ovat syntyneet eri kuukausina. (satunnainen)

Luokassa on kaksi henkilöä, jotka ovat syntyneet samassa kuukaudessa. (aito)

Luokassa on kaksi poikaa, jotka ovat syntyneet samassa kuukaudessa. (satunnainen)

Luokassa on kaksi tyttöä, jotka ovat syntyneet samassa kuukaudessa. (aito)

Kaikki pojat syntyivät eri kuukausina. (aito)

Kaikki tytöt ovat syntyneet eri kuukausina. (satunnainen)

Poika ja tyttö ovat syntyneet samassa kuukaudessa. (satunnainen)

Poika ja tyttö ovat syntyneet eri kuukausina. (satunnainen)

Tehtävä 5. Laatikossa on 3 punaista, 3 keltaista ja 3 vihreää palloa. Piirrä satunnaisesti 4 palloa. Harkitse tapahtumaa "Arvottujen pallojen joukossa on täsmälleen M-värisiä palloja". Määritä jokaiselle M:lle 1–4, mikä tapahtuma on mahdoton, varma vai satunnainen, ja täytä taulukko:

Itsenäinen työ.

minävaihtoehto

a) ystäväsi syntymäpäivä on alle 32;

c) huomenna on matematiikan koe;

d) Ensi vuonna ensimmäinen lumi Moskovassa sataa sunnuntaina.

Heitä noppaa. Kuvaile tapahtumaa:

a) pudonnut kuutio seisoo reunallaan;

b) yksi numeroista putoaa: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

c) numero 6 putoaa;

d) tulee luku, joka on 7:n kerrannainen.

Laatikon sisällä on 3 punaista, 3 keltaista ja 3 vihreää palloa. Kuvaile tapahtumaa:

a) kaikki vedetyt pallot ovat samanvärisiä;

b) kaikki piirretyt eriväriset pallot;

c) piirrettyjen pallojen joukossa on erivärisiä palloja;

c) vedettyjen pallojen joukossa on punainen, keltainen ja vihreä pallo.

IIvaihtoehto

Kuvaile kyseistä tapahtumaa varmaksi, mahdottomaksi tai satunnaiseksi:

a) pöydältä pudonnut voileipä putoaa lattialle voipuoli alaspäin;

b) Moskovassa sataa lunta keskiyöllä ja 24 tunnin kuluttua aurinko paistaa;

c) voitat osallistumalla win-win-arvontaan;

d) ensi vuonna toukokuussa kuullaan ensimmäinen kevään ukkonen.

Kaikki kaksinumeroiset luvut on kirjoitettu kortteihin. Yksi kortti valitaan sattumanvaraisesti. Kuvaile tapahtumaa:

a) kortti osoittautui nollaksi;

b) kortissa on luku, joka on 5:n kerrannainen;

c) kortissa on luku, joka on 100:n kerrannainen;

d) kortissa on numero, joka on suurempi kuin 9 ja pienempi kuin 100.

Laatikko sisältää 10 punaista, 1 vihreää ja 2 sinistä kynää. Kaksi esinettä otetaan satunnaisesti laatikosta. Kuvaile tapahtumaa:

a) kaksi sinistä kahvaa vedetään ulos;

b) kaksi punaista kahvaa vedetään ulos;

c) kaksi vihreää kahvaa vedetään ulos;

d) vihreät ja mustat kahvat poistetaan.

Kotitehtävät: 1). Keksi kaksi luotettavaa, satunnaista ja mahdotonta tapahtumaa.

2). Tehtävä . Laatikossa on 3 punaista, 3 keltaista ja 3 vihreää palloa. Piirrämme N palloa satunnaisesti. Harkitse tapahtumaa "piirrettyjen pallojen joukossa on täsmälleen kolmen värisiä palloja". Määritä jokaiselle N:lle 1–9, mikä tapahtuma on mahdoton, varma vai satunnainen, ja täytä taulukko:

kombinatorisia tehtäviä.

Ensimmäinen oppitunti

Kotitehtävien tarkistaminen. (suullisesti)

a) Tarkistamme opiskelijoiden keksimiä ongelmia.

b) lisätehtävä.

Luen katkelmaa V. Levshinin kirjasta "Kolme päivää Karlikaniissa".

”Ensinnäkin pehmeän valssin ääniin numerot muodostivat ryhmän: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. Sitten nuoret luistelijat alkoivat vaihtaa paikkaa ja muodostivat yhä uusia ryhmiä: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10 jne.

Tämä jatkui, kunnes luistelijat palasivat alkuperäiseen asentoonsa.

Kuinka monta kertaa he ovat vaihtaneet paikkaa?

Tänään oppitunnilla opimme ratkaisemaan tällaiset ongelmat. Niitä kutsutaan kombinatorinen.

3. Uuden materiaalin oppiminen.

Tehtävä 1. Kuinka monta kaksinumeroista lukua voidaan muodostaa luvuista 1, 2, 3?

Päätös: 11, 12, 13

31, 32, 33. Vain 9 numeroa.

Kun ratkaisimme tämän ongelman, listasimme kaikki mahdolliset vaihtoehdot, tai kuten yleensä näissä tapauksissa sanotaan. Kaikki mahdolliset yhdistelmät. Siksi tällaisia tehtäviä kutsutaan kombinatorinen. On melko yleistä laskea mahdollisia (tai mahdottomia) vaihtoehtoja elämässä, joten on hyödyllistä tutustua kombinatorisiin ongelmiin.

№ 967. Useat maat ovat päättäneet käyttää kansallisiin lippuihinsa kolmea samanleveää vaakasuoraa raitaa eri väreissä - valkoinen, sininen, punainen. Kuinka moni maa voi käyttää tällaisia symboleja, jos jokaisella maalla on oma lippunsa?

Päätös. Oletetaan, että ensimmäinen raita on valkoinen. Sitten toinen raita voi olla sininen tai punainen ja kolmas raita, vastaavasti, punainen tai sininen. Osoittautui kaksi vaihtoehtoa: valkoinen, sininen, punainen tai valkoinen, punainen, sininen.

Anna nyt ensimmäisen raidan olla sininen, niin taas saamme kaksi vaihtoehtoa: valkoinen, punainen, sininen tai sininen, punainen, valkoinen.

Olkoon ensimmäinen raita punainen, sitten kaksi muuta vaihtoehtoa: punainen, valkoinen, sininen tai punainen, sininen, valkoinen.

Vaihtoehtoja on yhteensä 6. Tätä lippua voi käyttää 6 maassa.

Joten, kun ratkaisimme tämän ongelman, etsimme tapaa luetella mahdollisia vaihtoehtoja. Monissa tapauksissa on hyödyllistä rakentaa kuva - malli vaihtoehtojen luetteloimiseksi. Tämä on ensinnäkin visuaalinen, ja toiseksi sen avulla voimme ottaa kaiken huomioon, olla missamatta mitään.

Tätä mallia kutsutaan myös mahdollisten vaihtoehtojen puuksi.

Etusivu

Toinen kaista

kolmas kaista

Vastaanotettu yhdistelmä

№ 968. Kuinka monta kaksinumeroista lukua voidaan tehdä luvuista 1, 2, 4, 6, 8?

Päätös. Meitä kiinnostavissa kaksinumeroisissa luvuissa mikä tahansa annetuista numeroista voi olla ensimmäisellä paikalla, paitsi 0. Jos laitamme luvun 2 ensimmäiseksi, niin mikä tahansa annetuista numeroista voi olla toisella paikalla. Kaksinumeroisia lukuja on viisi: 2., 22, 24, 26, 28. Vastaavasti on viisi kaksinumeroista numeroa, joiden ensimmäinen numero on 4, viisi kaksinumeroista numeroa, joiden ensimmäinen numero on 6 ja viisi kaksinumeroista numeroa. numeroita, joiden ensimmäinen numero on 8.

Vastaus: Numeroita on yhteensä 20.

Rakennetaan puu mahdollisista vaihtoehdoista tämän ongelman ratkaisemiseksi.

Kaksoishahmot

Ensimmäinen numero

Toinen numero

Vastaanotetut numerot

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

Ratkaise seuraavat tehtävät rakentamalla puu mahdollisista vaihtoehdoista.

№ 971. Erään maan johto päätti tehdä kansallislippunsa näin: yksiväriselle suorakaiteen muotoiselle taustalle asetetaan erivärinen ympyrä yhteen kulmista. Värit päätettiin valita kolmesta mahdollisesta: punainen, keltainen, vihreä. Kuinka monta muunnelmaa tästä lipusta

olla olemassa? Kuvassa on joitain mahdollisia vaihtoehtoja.

Vastaus: 24 vaihtoehtoa.

№ 973. a) Kuinka monta kolminumeroista lukua voidaan tehdä luvuista 1,3, 5,? (27 numeroa)

b) Kuinka monta kolminumeroista lukua voidaan tehdä luvuista 1,3, 5, jos numerot eivät toistu? (6 numeroa)

№ 979. Nykyaikaiset viisiotteluurheilijat kilpailevat kahden päivän ajan viidessä lajissa: estehypyssä, miekkailussa, uinnissa, ammunnassa ja juoksussa.

a) Kuinka monta vaihtoehtoa kilpailutyyppien läpäisyjärjestykseen on olemassa? (120 vaihtoehtoa)

b) Kuinka monta vaihtoehtoa on kilpailun tapahtumien läpäisyjärjestykseen, jos tiedetään, että viimeisenä tapahtumana tulee olla juoksu? (24 vaihtoehtoa)

c) Kuinka monta vaihtoehtoa on kilpailutyyppien läpäisyjärjestykseen, jos tiedetään, että viimeisen tyypin tulee olla juoksu ja ensimmäinen - estehypy? (6 vaihtoehtoa)

№ 981. Kahdessa uurnassa on viisi palloa viidessä eri värissä: valkoinen, sininen, punainen, keltainen, vihreä. Jokaisesta uurnasta vedetään yksi pallo kerrallaan.

a) kuinka monta erilaista vedettyä palloa on olemassa (yhdistelmiä kuten "valkoinen - punainen" ja "punainen - valkoinen" pidetään samana)?

(15 yhdistelmää)

b) Kuinka monta yhdistelmää on, joissa vedetyt pallot ovat samanvärisiä?

(5 yhdistelmää)

c) kuinka monta yhdistelmää on olemassa, joissa vedetyt pallot ovat erivärisiä?

(15 - 5 = 10 yhdistelmää)

Kotitehtävät: 54, nro 969, 972, keksiä itse kombinatorinen ongelma.

№ 969. Useat maat ovat päättäneet käyttää kansallisessa lipussaan symboleja kolmen saman leveän pystysuoran raidan muodossa erivärisinä: vihreä, musta, keltainen. Kuinka moni maa voi käyttää tällaisia symboleja, jos jokaisella maalla on oma lippunsa?

№ 972. a) Kuinka monta kaksinumeroista lukua voidaan muodostaa luvuista 1, 3, 5, 7, 9?

b) Kuinka monta kaksinumeroista lukua voidaan tehdä luvuista 1, 3, 5, 7, 9, jos numerot eivät toistu?

Toinen oppitunti

Kotitehtävien tarkistaminen. a) nro 969 ja nro 972a) ja nro 972b) - rakentaa taululle puu mahdollisista vaihtoehdoista.

b) tarkista suullisesti laaditut tehtävät.

Ongelmanratkaisu.

Ennen sitä olemme siis oppineet ratkaisemaan kombinatorisia ongelmia vaihtoehtopuun avulla. Onko tämä hyvä tapa? Todennäköisesti kyllä, mutta erittäin hankalaa. Yritetään ratkaista kotiongelma nro 972 eri tavalla. Kuka arvaa kuinka tämä voidaan tehdä?

Vastaus: Jokaisessa viidestä T-paidan väristä on 4 väriä shortsit. Yhteensä: 4 * 5 = 20 vaihtoehtoa.

№ 980. Urnat sisältävät viisi palloa viidessä eri värissä: valkoinen, sininen, punainen, keltainen, vihreä. Jokaisesta uurnasta vedetään yksi pallo kerrallaan. Kuvaile seuraavaa tapahtumaa varmaksi, satunnaiseksi tai mahdottomaksi:

a) piirretyt eriväriset pallot; (satunnainen)

b) piirretyt samanväriset pallot; (satunnainen)

c) mustavalkoisia palloja vedetään; (mahdotonta)

d) kaksi palloa otetaan pois, ja molemmat värjätään jollakin seuraavista väreistä: valkoinen, sininen, punainen, keltainen, vihreä. (aito)

№ 982. Turistiryhmä aikoo tehdä matkan reitillä Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. Antonovosta Borisovoon voit lauttailla alas jokea tai kävellä. Borisovosta Vlasovoon voit kävellä tai ajaa polkupyörällä. Vlasovosta Gribovoon voit uida jokea pitkin, ajaa polkupyörää tai kävellä. Kuinka monta vaellusvaihtoehtoa turistit voivat valita? Kuinka monta vaellusvaihtoehtoa turistit voivat valita, jos ainakin yksi reitin osista on käytettävä polkupyörällä?

(12 reittivaihtoehtoa, joista 8 polkupyörällä)

Itsenäinen työ.

1 vaihtoehto

a) Kuinka monta kolminumeroista lukua voidaan tehdä luvuista: 0, 1, 3, 5, 7?

b) Kuinka monta kolminumeroista lukua voidaan tehdä luvuista: 0, 1, 3, 5, 7, jos numerot eivät toistu?

Athosilla, Porthosilla ja Aramisilla on vain miekka, tikari ja pistooli.

a) Kuinka monella tavalla muskettisoturit voidaan aseistaa?

b) Kuinka monta asevaihtoehtoa on olemassa, jos Aramiksen on käytettävä miekkaa?

c) Kuinka monta asevaihtoehtoa on olemassa, jos Aramisilla pitäisi olla miekka ja Porthosilla pistooli?

Jossain Jumala lähetti variselle palan juustoa, samoin kuin juustoa, makkaroita, valkoista ja mustaa leipää. Kuusen päällä istuva varis oli juuri syömässä aamiaista, mutta hän ajatteli: kuinka monella tavalla näistä tuotteista voi valmistaa voileipiä?

Vaihtoehto 2

a) Kuinka monta kolminumeroista lukua voidaan tehdä luvuista: 0, 2, 4, 6, 8?

b) Kuinka monta kolminumeroista lukua voidaan tehdä luvuista: 0, 2, 4, 6, 8, edellyttäen, että numerot eivät toistu?

Kreivi Monte Cristo päätti antaa Princess Hydelle korvakorut, kaulakorun ja rannekorun. Jokaisessa korussa on oltava jokin seuraavista jalokivityypeistä: timantit, rubiinit tai granaatti.

a) Kuinka monta yhdistelmää jalokivikoruja on olemassa?

b) Kuinka monta koruvaihtoehtoa on olemassa, jos korvakorujen on oltava timantteja?

c) Kuinka monta koruvaihtoehtoa on olemassa, jos korvakorujen tulee olla timanttia ja rannekorun granaattia?

Aamiaiseksi voit valita pullan, voileivän tai piparkakun kahvin tai kefirin kera. Kuinka monta aamiaisvaihtoehtoa voit tehdä?

Kotitehtävät : Nro 974, 975. (kokoamalla optiopuun ja käyttämällä kertolaskua)

№ 974 . a) Kuinka monta kolminumeroista lukua voidaan muodostaa luvuista 0, 2, 4?

b) Kuinka monta kolminumeroista lukua voidaan tehdä luvuista 0, 2, 4, jos numerot eivät toistu?

№ 975 . a) Kuinka monta kolminumeroista lukua voidaan tehdä luvuista 1.3, 5.7?

b) Kuinka monta kolminumeroista lukua voidaan tehdä annetuista luvuista 1.3, 5.7. Mitä numeroita ei saa toistaa?

Tehtävänumerot on otettu oppikirjasta

"Matematiikka-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.

Todennäköisyysteoria, kuten mikä tahansa matematiikan ala, toimii tietyllä käsitteillä. Suurin osa todennäköisyysteorian käsitteistä on määritelty, mutta jotkut ovat ensisijaisia, ei määriteltyjä, kuten geometriassa piste, suora, taso. Todennäköisyysteorian pääkäsite on tapahtuma. Tapahtuma on jotain, josta tietyn ajan kuluttua voidaan sanoa yksi ja vain toinen näistä kahdesta:

· Kyllä, se tapahtui.
· Ei, sitä ei tapahtunut.

Minulla on esimerkiksi lottokuponki. Lottoarvonnan tulosten julkaisemisen jälkeen minua kiinnostava tapahtuma - tuhannen ruplan voitto joko tapahtuu tai ei tapahdu. Mikä tahansa tapahtuma tapahtuu testin (tai kokemuksen) seurauksena. Testin (tai kokemuksen) aikana ymmärrä ne olosuhteet, joiden seurauksena tapahtuma tapahtuu. Esimerkiksi kolikon heittäminen on testi, ja "vaakunan" ilmestyminen siihen on tapahtuma. Tapahtuma on yleensä merkitty isoilla latinalaisilla kirjaimilla: A, B, C, .... Aineellisen maailman tapahtumat voidaan jakaa kolmeen kategoriaan - luotettaviin, mahdollisiin ja satunnaisiin.

Tietty tapahtuma on sellainen, jonka tiedetään tapahtuvan etukäteen. Sitä merkitään kirjaimella W. Näin ollen korkeintaan kuusi pistettä on luotettavia tavallista noppaa heittäessä, valkoisen pallon ulkonäkö, kun se vedetään vain valkoisia palloja sisältävästä uurnasta jne.

Mahdoton tapahtuma on tapahtuma, jonka tiedetään etukäteen, ettei sitä tapahdu. Sitä merkitään kirjaimella E. Esimerkkejä mahdottomista tapahtumista ovat yli neljän ässän nostaminen tavallisesta korttipakasta, punaisen pallon ilmestyminen uurnasta, jossa on vain valkoisia ja mustia palloja jne.

Satunnainen tapahtuma on tapahtuma, joka voi tapahtua tai ei tapahdu testin tuloksena. Tapahtumia A ja B kutsutaan yhteensopimattomiksi, jos jommankumman tapahtuminen sulkee pois mahdollisuuden toisen tapahtumiseen. Joten minkä tahansa mahdollisen pistemäärän ilmestyminen noppaa heittäessä (tapahtuma A) on ristiriidassa toisen numeron (tapahtuma B) kanssa. Parillisen pistemäärän heittäminen ei ole yhteensopiva parittoman luvun heittämisen kanssa. Sitä vastoin parillinen määrä pisteitä (tapahtuma A) ja kolmella jaollinen määrä pisteitä (tapahtuma B) eivät ole yhteensopimattomia, koska kuuden pisteen menetys tarkoittaa sekä tapahtuman A että tapahtuman B toteutumista, joten yhden tapahtumista niistä ei sulje pois toisen esiintymistä. Toimintoja voidaan suorittaa tapahtumissa. Kahden tapahtuman liitto C=AUB on tapahtuma C, joka tapahtuu jos ja vain jos ainakin yksi näistä tapahtumista A ja B tapahtuu. Kahden tapahtuman leikkauspiste D=A?? B on tapahtuma, joka tapahtuu, jos ja vain jos molemmat tapahtumat A ja B tapahtuvat.

1.1. Muutama tieto kombinatoriikasta

1.1.1. Majoitukset

Harkitse yksinkertaisimpia käsitteitä, jotka liittyvät tietyn objektijoukon valintaan ja sijaintiin.
Todennäköisyysongelmia ratkaistaessa usein lasketaan, kuinka monta tapaa nämä toimet voidaan suorittaa.
Määritelmä. Majoitus alkaen n elementtejä k (k ≤n) on mikä tahansa tilattu osajoukko k koostuvan joukon elementtejä n erilaisia elementtejä.
Esimerkki. Seuraavat numerosarjat ovat 2 alkion järjestelyjä joukon 3 alkiosta (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Huomaa, että sijoittelut eroavat elementtiensä järjestyksestä ja koostumuksesta. Sijoitukset 12 ja 21 sisältävät samat numerot, mutta niiden järjestys on erilainen. Siksi näitä sijoitteluja pidetään erilaisina.
Eri sijoittelujen määrä alkaen n elementtejä k merkitty ja laskettu kaavalla:
,
missä n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(lukea " n tekijä).
Kaksinumeroisten lukujen määrä, joka voidaan muodostaa numeroista 1, 2, 3, jos mikään numero ei toistu, on: .

1.1.2. Permutaatiot

Määritelmä. Permutaatiot kohteesta n elementtejä kutsutaan tällaisiksi sijoitteluiksi n elementtejä, jotka eroavat toisistaan vain elementtien järjestelyssä.
Permutaatioiden määrä alkaen n elementtejä P n lasketaan kaavalla: P n=n!
Esimerkki. Kuinka monella tavalla 5 henkilöä voi rivissä? Tapamäärä on yhtä suuri kuin 5 elementin permutaatioiden lukumäärä, ts.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Määritelmä. Jos joukossa n elementtejä k identtiset, sitten näiden permutaatio n elementtejä kutsutaan permutaatioksi, jossa on toistoja.
Esimerkki. Oletetaan, että 6 kirjasta 2 on sama. Kaikki hyllyssä olevien kirjojen järjestelyt ovat permutaatioita toistoineen.
Erilaisten permutaatioiden määrä toistoilla (out of n elementtejä, joiden joukossa k identtinen) lasketaan kaavalla: .
Esimerkissämme kirjoja voidaan järjestää hyllylle seuraavasti: .

1.1.3. Yhdistelmät

Määritelmä. Yhdistelmät alkaen n elementtejä k tällaisia sijoituksia kutsutaan n elementtejä k, jotka eroavat toisistaan ainakin yhdellä elementillä.
Erilaisten yhdistelmien määrä n elementtejä k merkitty ja laskettu kaavalla: .
Määritelmän mukaan 0!=1.
Yhdistelmillä on seuraavat ominaisuudet:
1.
2.
3.
4.
Esimerkki. Siellä on 5 eriväristä kukkaa. Kimppuun valitaan 3 kukkaa. Erilaisten kukkakimppujen määrä 3 kukkaa viidestä on: .

1.2. satunnaisia tapahtumia

1.2.1. Tapahtumat

Todellisuuden tunteminen luonnontieteissä tapahtuu kokeiden (kokeilu, havainto, kokemus) tuloksena.
testata tai kokemus on tiettyjen ehtojen toteutumista, jotka voidaan toistaa mielivaltaisen monta kertaa.
Satunnainen kutsutaan tapahtumaksi, joka voi tapahtua tai ei välttämättä tapahdu jonkin testin (kokemuksen) seurauksena.
Näin ollen tapahtuma katsotaan testin tulokseksi.
Esimerkki. Kolikon heittäminen on testi. Kotkan ilmestyminen heitettäessä on tapahtuma.
Havaitsemamme tapahtumat eroavat tapahtumismahdollisuuksiensa ja suhteensa luonteen suhteen.
Tapahtuma on ns luotettava jos se varmasti tapahtuu testin seurauksena.
Esimerkki. Positiivisen tai negatiivisen arvosanan kokeessa saava opiskelija on tietty tapahtuma, jos tentti etenee tavanomaisten sääntöjen mukaan.
Tapahtuma on ns mahdotonta jos se ei voi tapahtua tämän testin seurauksena.
Esimerkki. Valkoisen pallon irrottaminen uurnasta, joka sisältää vain värillisiä (ei-valkoisia) palloja, on mahdoton tapahtuma. Huomaa, että muissa kokeen olosuhteissa valkoisen pallon ulkonäkö ei ole poissuljettu; näin ollen tämä tapahtuma on mahdoton vain kokemuksemme olosuhteissa.
Muut satunnaiset tapahtumat merkitään isoilla latinalaisilla kirjaimilla A,B,C... Tietty tapahtuma merkitään kirjaimella Ω, mahdoton tapahtuma Ø.
Kaksi tai useampia tapahtumia kutsutaan yhtä mahdollista tietyssä testissä, jos on syytä uskoa, että mikään näistä tapahtumista ei ole todennäköisempi tai epätodennäköisempi kuin muut.
Esimerkki. Yhdellä nopanheitolla 1, 2, 3, 4, 5 ja 6 pisteen ilmestyminen ovat kaikki yhtä mahdollisia tapahtumia. Tietenkin oletetaan, että suulake on valmistettu homogeenisesta materiaalista ja sen muoto on säännöllinen.
Näitä kahta tapahtumaa kutsutaan yhteensopimaton tietyssä tutkimuksessa, jos toisen esiintyminen sulkee pois toisen esiintymisen, ja liitos muuten.
Esimerkki. Laatikko sisältää vakio- ja ei-standardiosia. Otetaan yksi yksityiskohta. Vakioosan ulkonäkö sulkee pois ei-standardin osan ulkonäön. Nämä tapahtumat eivät ole yhteensopivia.
Useita tapahtumia muodostuu koko joukko tapahtumia tässä testissä, jos tämän testin tuloksena vähintään yksi niistä ilmenee välttämättä.
Esimerkki. Esimerkin tapahtumat muodostavat täydellisen ryhmän yhtä mahdollisia ja pareittain yhteensopimattomia tapahtumia.
Kutsutaan kahta erillistä tapahtumaa, jotka muodostavat täydellisen tapahtumaryhmän tietyssä kokeessa vastakkaisia tapahtumia.
Jos jokin niistä on merkitty A, niin toinen on yleensä merkitty läpi (se kuuluu "ei A»).
Esimerkki. Lyöminen ja puuttuminen yhdellä laukauksella maaliin ovat päinvastaisia tapahtumia.

1.2.2. Klassinen todennäköisyyden määritelmä

Tapahtuman todennäköisyys on sen esiintymismahdollisuuden numeerinen mitta.
Tapahtuma MUTTA nimeltään suotuisa tapahtuma AT jos aina tapahtuu jokin tapahtuma MUTTA, tapahtuma tapahtuu AT.
Tapahtumat MUTTA 1 , MUTTA 2 , ..., MUTTAn muodossa tapauskaavio , jos he:
1) ovat yhtä mahdollisia;
2) ovat pareittain yhteensopimattomia;
3) muodostaa täydellinen ryhmä.
Tapauskaaviossa (ja vain tässä kaaviossa) tapahtuu klassinen todennäköisyyden määritelmä P(A) Tapahtumat MUTTA. Tässä kutakin yhtä mahdollisten ja pareittain yhteensopimattomien tapahtumien valittuun täydelliseen ryhmään kuuluvaa tapahtumaa kutsutaan tapaukseksi.
Jos n on järjestelmän kaikkien tapausten lukumäärä ja m- tapahtumalle suotuisten tapausten määrä MUTTA, sitten tapahtuman todennäköisyys MUTTA määritellään tasa-arvolla:

Seuraavat ominaisuudet johtuvat todennäköisyyden määritelmästä:
1. Tietyn tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksi.
Todellakin, jos tapahtuma on varma, niin jokainen tapahtumakaavio tapahtumakaaviossa suosii tapahtumaa. Tässä tapauksessa m = n ja siten

2. Mahdoton tapahtuman todennäköisyys on nolla.
Itse asiassa, jos tapahtuma on mahdoton, mikään tapausjärjestelmän tapauksista ei suosi tapahtumaa. Niin m=0 ja siksi

Satunnaistapahtuman todennäköisyys on positiivinen luku nollan ja yhden välillä.
Itse asiassa vain murto-osa tapausten kokonaismäärästä suosii sattumanvaraista tapahtumaa. Siksi 0<m<n, mikä tarkoittaa 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Joten minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys tyydyttää eriarvoisuudet
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Tällä hetkellä todennäköisyyden ominaisuudet määritellään aksioomien muodossa, jonka A.N. Kolmogorov.
Yksi klassisen todennäköisyysmääritelmän tärkeimmistä eduista on kyky laskea tapahtuman todennäköisyys suoraan, ts. turvautumatta kokeiluihin, jotka korvataan loogisella päättelyllä.

Todennäköisyyksien suoran laskennan ongelmat

Tehtävä 1.1. Mikä on todennäköisyys saada parillinen määrä pisteitä (tapahtuma A) yhdellä nopanheitolla?
Päätös. Mieti tapahtumia MUTTAi- pudonnut i pisteet, i= 1, 2, …, 6. Ilmeisesti nämä tapahtumat muodostavat mallin tapauksista. Sitten kaikkien tapausten lukumäärä n= 6. Tapaukset suosivat parillista määrää pisteitä MUTTA 2 , MUTTA 4 , MUTTA 6 eli m= 3. Sitten .
Tehtävä 1.2. Urna sisältää 5 valkoista ja 10 mustaa palloa. Pallot sekoitetaan perusteellisesti ja sitten otetaan satunnaisesti 1 pallo. Millä todennäköisyydellä vedetty pallo on valkoinen?
Päätös. Tapauksia on yhteensä 15, mikä muodostaa tapausmallin. Ja odotettu tapahtuma MUTTA- 5 heistä suosii valkoisen pallon ulkonäköä .
Tehtävä 1.3. Lapsi leikkii kuudella aakkosten kirjaimella: A, A, E, K, P, T. Selvitä todennäköisyys, että hän voi satunnaisesti lisätä sanan KÄYTÖ (tapahtuma A).
Päätös. Päätöstä vaikeuttaa se, että kirjainten joukossa on samat - kaksi kirjainta "A". Siksi kaikkien mahdollisten tapausten lukumäärä tässä kokeessa on yhtä suuri kuin permutaatioiden lukumäärä 6 kirjaimen toistoilla:
.
Nämä tapaukset ovat yhtä mahdollisia, pareittain yhteensopimattomia ja muodostavat kokonaisen tapahtumaryhmän, ts. muodosta tapauskaavio. Vain yksi mahdollisuus suosii tapahtumaa MUTTA. Niin
.
Tehtävä 1.4. Tanya ja Vanya sopivat juhlimaan uutta vuotta 10 hengen seurassa. He molemmat halusivat todella istua vierekkäin. Millä todennäköisyydellä heidän toiveensa toteutuu, jos on tapana jakaa paikkoja ystävilleen arvalla?
Päätös. Merkitse MUTTA tapahtuma "Tanyan ja Vanyan toiveen täyttäminen". 10 henkilöä mahtuu 10 hengen pöytään! eri tavoilla. Kuinka monta näistä n= 10! ovatko yhtä mahdolliset tavat suotuisia Tanyalle ja Vanyalle? Vierekkäin istuvat Tanya ja Vanya voivat ottaa 20 eri asentoa. Samaan aikaan kahdeksan heidän ystäväänsä voi istua pöydässä 8! eri tavoilla siis m= 20∙8!. Siten,
.
Tehtävä 1.5. 5 naisen ja 20 miehen ryhmä valitsee kolme edustajaa. Olettaen, että jokainen läsnäolija on yhtä todennäköisesti valittu, laske todennäköisyys, että kaksi naista ja yksi mies valitaan.
Päätös. Testin yhtä todennäköisten tulosten kokonaismäärä on yhtä suuri kuin kuinka monta edustajaa voidaan valita 25 henkilön joukosta, ts. . Lasketaan nyt suotuisten tapausten lukumäärä, ts. kuinka monta kertaa kiinnostava tapahtuma tapahtuu. Miesvaltuutettu voidaan valita kahdellakymmenellä tavalla. Samanaikaisesti kahden jäljellä olevan edustajan on oltava naisia, ja voit valita kaksi naista viidestä. Siksi,. Niin
.
Ongelma 1.6. Neljä palloa on satunnaisesti hajallaan neljän reiän päälle, jokainen pallo putoaa yhteen tai toiseen reikään samalla todennäköisyydellä ja muista riippumatta (usean pallon saamiselle samaan reikään ei ole esteitä). Määritä todennäköisyys, että yhdessä reiässä on kolme palloa, yksi toisessa ja ei yhtään palloa kahdessa muussa reiässä.
Päätös. Tapausten kokonaismäärä n= 4 4 . Kuinka monta tapaa voidaan valita yksi reikä, jossa on kolme palloa, . Kuinka monta tapaa voit valita reiän, jossa on yksi pallo, . Kuinka monta tapaa voit valita kolme palloa neljästä pallosta asettaaksesi ne ensimmäiseen reikään, . Edullisten tapausten kokonaismäärä . Tapahtuman todennäköisyys:
Ongelma 1.7. Laatikon sisällä on 10 samanlaista palloa, jotka on merkitty numeroilla 1, 2, ..., 10. Onnea varten arvotaan kuusi palloa. Laske todennäköisyys, että irrotettujen pallojen joukossa on: a) pallo nro 1; b) pallot #1 ja #2.
Päätös. a) Kokeen mahdollisten alkeistulosten kokonaismäärä on yhtä suuri kuin kuinka monta tapaa voidaan vetää kuusi palloa kymmenestä, ts.
Selvitetään, kuinka monta lopputulosta suosii meitä kiinnostavaa tapahtumaa: valitun kuuden pallon joukossa on pallo nro 1 ja sen seurauksena loput viisi palloa ovat eri numeroita. Tällaisten tulosten määrä on luonnollisesti yhtä suuri kuin kuinka monta tapaa voidaan valita jäljellä olevista yhdeksästä pallosta, ts.
Haluttu todennäköisyys on yhtä suuri kuin tarkasteltavaa tapahtumaa suosivien tulosten lukumäärän suhde mahdollisten perustulosten kokonaismäärään:
b) Meitä kiinnostavaa tapahtumaa suosivien tulosten määrä (valittujen pallojen joukossa on pallot nro 1 ja 2, joten neljällä pallolla on eri numerot) on yhtä monta kuin neljä palloa voidaan saada erotettu jäljellä olevista kahdeksasta, ts. Haluttu todennäköisyys

1.2.3. Tilastollinen todennäköisyys

Tilastollista todennäköisyyden määritelmää käytetään, kun kokeen tulokset eivät ole yhtä todennäköisiä.
Suhteellinen tapahtumataajuus MUTTA määritellään tasa-arvolla:
,
missä m on niiden kokeiden lukumäärä, joissa tapahtuma MUTTA se on tullut n on suoritettujen testien kokonaismäärä.
J. Bernoulli osoitti, että kokeiden määrän rajoittamattomalla lisäyksellä tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys poikkeaa käytännössä mielivaltaisesti jostain vakioluvusta. Kävi ilmi, että tämä vakioluku on tapahtuman todennäköisyys. Siksi luonnollisesti sellaisen tapahtuman suhteellista esiintymistiheyttä, jossa on riittävän suuri määrä kokeita, kutsutaan tilastolliseksi todennäköisyydeksi, toisin kuin aiemmin esitelty todennäköisyys.
Esimerkki 1.8. Kuinka voit arvioida kalojen määrän järvessä?
Päästä sisään järveen X kalastaa. Heitämme verkon ja, sanotaan, löydämme siitä n kalastaa. Merkitsemme jokaisen niistä ja vapautamme sen takaisin. Muutamaa päivää myöhemmin samassa säässä ja samassa paikassa heitimme saman verkon. Oletetaan, että löydämme siitä m kalaa, joiden joukossa k merkitty. Anna tapahtuman MUTTA- "Saaliin kala on merkitty." Sitten suhteellisen taajuuden määritelmän mukaan.
Mutta jos järvessä X kalaa ja päästimme sen vapaaksi n merkitty sitten .
Kuten R * (MUTTA) » R(MUTTA), sitten .

1.2.4. Toiminta tapahtumissa. Lisäyslause

summa, tai useiden tapahtumien liitto, on tapahtuma, joka koostuu vähintään yhden näistä tapahtumista (samassa testissä).
Summa MUTTA 1 + MUTTA 2 + … + MUTTAn merkitty näin:
tai .
Esimerkki. Kaksi noppaa heitetään. Anna tapahtuman MUTTA koostuu 4 pisteen heittämisestä 1 noppaa vastaan ja tapahtumasta AT- 5 pisteen heitossa toisella noppalla. Tapahtumat MUTTA ja AT liitos. Siksi tapahtuma MUTTA +AT koostuu 4 pisteen heittämisestä ensimmäisestä noppaa tai 5 pistettä toisesta noppaa tai 4 pistettä ensimmäisestä nopasta ja 5 pistettä toisesta nopan samaan aikaan.
Esimerkki. Tapahtuma MUTTA– voitto 1 lainalla, tapahtuma AT- voitto kahdella lainalla. Sitten tapahtuma A+B- voittaa vähintään yksi laina (mahdollisesti kaksi kerralla).
tehdä työtä tai usean tapahtuman leikkaus on tapahtuma, joka koostuu kaikkien näiden tapahtumien yhteisestä esiintymisestä (samassa testissä).
Tehdä työtä AT Tapahtumat MUTTA 1 , MUTTA 2 , …, MUTTAn merkitty näin:
.
Esimerkki. Tapahtumat MUTTA ja AT koostuvat I ja II kierroksen onnistuneesta läpäisystä instituuttiin hyväksymisen yhteydessä. Sitten tapahtuma MUTTA×B koostuu molempien kierrosten onnistuneesta suorittamisesta.
Tapahtumien summan ja tulon käsitteillä on selkeä geometrinen tulkinta. Anna tapahtuman MUTTA alueella on osuma pisteeseen MUTTA, ja tapahtuma AT- osuu pisteeseen alueella AT. Sitten tapahtuma A+B näiden alueiden liitossa on pisteen osuma (kuva 2.1), ja tapahtuma MUTTAAT näiden alueiden leikkauskohdassa on osuma (kuva 2.2).

Riisi. 2.1 Kuva. 2.2
Lause. Jos tapahtumia Ai(i = 1, 2, …, n) ovat pareittain yhteensopimattomia, niin tapahtumien summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa:
.
Anna olla MUTTA ja Ā – vastakkaiset tapahtumat, ts. A + a= Ω, missä Ω on tietty tapahtuma. Lisäyslauseesta seuraa, että
P(Ω) = R(MUTTA) + R(Ā ) = 1 siis
R(Ā ) = 1 – R(MUTTA).
Jos tapahtumia MUTTA 1 ja MUTTA 2 ovat yhteisiä, niin kahden yhteisen tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri:
R(MUTTA 1 + MUTTA 2) = R(MUTTA 1) + R(MUTTA 2) – P( MUTTA 1× MUTTA 2).
Todennäköisyyslaskennan teoreemat mahdollistavat siirtymisen suorasta todennäköisyyksien laskemisesta monimutkaisten tapahtumien toteutumisen todennäköisyyksien määrittämiseen.
Tehtävä 1.8. Ampuja ampuu yhden laukauksen maaliin. 10 pisteen pudotuksen todennäköisyys (tapahtuma MUTTA), 9 pistettä (tapahtuma AT) ja 8 pistettä (tapahtuma Kanssa) ovat 0,11, vastaavasti; 0,23; 0.17. Laske todennäköisyys, että ampuja saa yhdellä laukauksella vähemmän kuin 8 pistettä (tapahtuma D).
Päätös. Siirrytään päinvastaiseen tapahtumaan - yhdellä laukauksella ampuja tyrmää vähintään 8 pistettä. Tapahtuma tapahtuu, jos MUTTA tai AT, tai Kanssa, eli . Tapahtumien jälkeen A, B, Kanssa ovat pareittain epäjohdonmukaisia, niin summauslauseen mukaan
, missä .
Tehtävä 1.9. Prikaatin tiimistä, joka koostuu 6 miehestä ja 4 naisesta, valitaan kaksi henkilöä ammattiliittokokoukseen. Millä todennäköisyydellä valittujen joukossa on ainakin yksi nainen (tapahtuma MUTTA).
Päätös. Jos tapahtuma tapahtuu MUTTA, silloin tapahtuu välttämättä jokin seuraavista yhteensopimattomista tapahtumista: AT- "mies ja nainen valitaan"; Kanssa"Kaksi naista on valittu." Siksi voimme kirjoittaa: A=B+C. Etsi tapahtumien todennäköisyys AT ja Kanssa. Kaksi henkilöä 10:stä voidaan valita eri tavoilla. Kaksi naista neljästä voidaan valita eri tavoilla. Mies ja nainen voidaan valita 6×4 eri tavalla. Sitten . Tapahtumien jälkeen AT ja Kanssa ovat epäjohdonmukaisia, summauslauseen perusteella,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Ongelma 1.10. Kirjaston hyllyssä on 15 satunnaisesti järjestettyä oppikirjaa, joista viisi on sidottu. Kirjastonhoitaja ottaa satunnaisesti kolme oppikirjaa. Laske todennäköisyys, että ainakin yksi otetuista oppikirjoista sidotaan (tapahtuma MUTTA).
Päätös. Ensimmäinen tapa. Vaatimus - vähintään yksi kolmesta sidotetusta oppikirjasta - täyttyy, jos jokin seuraavista kolmesta yhteensopimattomasta tapahtumasta tapahtuu: AT- 1 sidottu oppikirja Kanssa- kaksi sidottua oppikirjaa D- Kolme sidottua oppikirjaa.
Tapahtuma, josta olemme kiinnostuneita MUTTA voidaan esittää tapahtumien summana: A=B+C+D. Summauslauseen mukaan
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Etsi tapahtumien todennäköisyys B, C ja D(katso kombinatoriset kaaviot):

Edustamalla nämä todennäköisyydet yhtälössä (2.1), saamme lopulta
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Toinen tapa. Tapahtuma MUTTA(vähintään yksi kolmesta otetusta oppikirjasta on sidottu) ja Ā (yhdelläkään otetuista oppikirjoista ei ole sidontaa) ovat siis vastakkaisia P(A) + P(Ā) = 1 (kahden vastakkaisen tapahtuman todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin 1). Täältä P(A) = 1 – P(a). Tapahtuman todennäköisyys Ā (yksikään otetuista oppikirjoista ei ole sidottu)
Haluttu todennäköisyys
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Ehdollinen todennäköisyys. Todennäköisyyksien kertolaskulause

Ehdollinen todennäköisyys P(B/MUTTA) on tapahtuman B todennäköisyys laskettuna olettaen, että tapahtuma A on jo tapahtunut.
Lause. Kahden tapahtuman yhteistapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin toisen tapahtuman todennäköisyyksien ja toisen ehdollisen todennäköisyyden tulo, joka lasketaan olettaen, että ensimmäinen tapahtuma on jo tapahtunut:
P(A∙B) = P(A)∙P( AT/MUTTA). (2.2)
Kahta tapahtumaa kutsutaan itsenäiseksi, jos jommankumman tapahtuminen ei muuta toisen tapahtumisen todennäköisyyttä, ts.
P(A) = P(A/B) tai P(B) = P(B/MUTTA). (2.3)
Jos tapahtumia MUTTA ja AT ovat riippumattomia, niin kaavat (2.2) ja (2.3) antavat ymmärtää
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Myös käänteinen väite on totta, ts. jos yhtäläisyys (2.4) pätee kahdelle tapahtumalle, niin nämä tapahtumat ovat riippumattomia. Kaavat (2.4) ja (2.2) todellakin antavat ymmärtää
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/MUTTA), missä P(A) = P(B/MUTTA).
Kaava (2.2) voidaan yleistää äärellisen määrän tapahtumiin MUTTA 1 , MUTTA 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙MUTTA 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /MUTTA 1)∙P(A 3 /MUTTA 1 MUTTA 2)∙…∙P(A n/MUTTA 1 MUTTA 2 …A n -1).
Tehtävä 1.11. Urnasta, jossa on 5 valkoista ja 10 mustaa palloa, vedetään kaksi palloa peräkkäin. Laske todennäköisyys, että molemmat pallot ovat valkoisia (tapahtuma MUTTA).
Päätös. Mieti tapahtumia: AT- ensimmäinen vedetty pallo on valkoinen; Kanssa– toinen vedetty pallo on valkoinen. Sitten A = eKr.
Kokemus voidaan tehdä kahdella tavalla:
1) palautuksella: värin kiinnittämisen jälkeen vedetty pallo palautetaan uurnaan. Tässä tapauksessa tapahtumat AT ja Kanssa riippumaton:
P(A) = P(B)∙P(C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) ilman vaihtoa: vedetty pallo laitetaan sivuun. Tässä tapauksessa tapahtumat AT ja Kanssa riippuvainen:
P(A) = P(B)∙P(C/AT).
Tapahtumaa varten AT ehdot ovat samat, ja varten Kanssa tilanne on muuttunut. Tapahtui AT, joten uurnassa on jäljellä 14 palloa, joista 4 on valkoista.
Joten,.
Tehtävä 1.12. 50 hehkulampusta 3 on epästandardia. Laske todennäköisyys, että kaksi samanaikaisesti otettua lamppua ovat epästandardeja.
Päätös. Mieti tapahtumia: MUTTA- ensimmäinen polttimo on epästandardi, AT- toinen polttimo on epästandardi, Kanssa- Molemmat polttimot ovat epästandardeja. Se on selvää C = A∙AT. tapahtuma MUTTA kannattaa 3 tapausta 50 mahdollisesta, ts. P(A) = 3/50. Jos tapahtuma MUTTA on jo tapahtunut, tapahtuma AT kannattaa kahta tapausta 49 mahdollisesta, ts. P(B/MUTTA) = 2/49. Siten,
.
Tehtävä 1.13. Kaksi urheilijaa ampuu itsenäisesti samaan maaliin. Ensimmäisen urheilijan maaliin osumisen todennäköisyys on 0,7 ja toisen 0,8. Millä todennäköisyydellä maali osuu?
Päätös. Maali osuu, jos joko ensimmäinen tai toinen tai molemmat osuvat siihen, ts. tapahtuma tulee tapahtumaan A+B, missä tapahtuma järjestetään MUTTA koostuu ensimmäisen urheilijan osumisesta maaliin ja tapahtumaan AT- toinen. Sitten
P(A+AT)=P(A)+P(B)–P(A∙AT)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Ongelma 1.14. Lukusalissa on kuusi todennäköisyysteorian oppikirjaa, joista kolme on sidottu. Kirjastonhoitaja otti satunnaisesti kaksi oppikirjaa. Laske todennäköisyys, että kaksi oppikirjaa sidotaan.
Päätös. Otetaan käyttöön tapahtumien merkintä :A- ensimmäisellä oppikirjalla on sidonta, AT- Toinen oppikirja on sidottu. Todennäköisyys, että ensimmäisessä oppikirjassa on sidos,
P(A) = 3/6 = 1/2.
Todennäköisyys, että toinen oppikirja on sidottu, kun otetaan huomioon, että ensimmäinen kirja oli sidottu, ts. tapahtuman ehdollinen todennäköisyys AT, onko tämä: P(B/MUTTA) = 2/5.
Haluttu todennäköisyys, että molemmissa oppikirjoissa on sidos tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulauseen mukaan, on yhtä suuri kuin
P(AB) = P(A) ∙ P(B/MUTTA)= 1/2 ∙ 2/5 = 0,2.
Ongelma 1.15. Myymälä työllistää 7 miestä ja 3 naista. Kolme henkilöä valittiin satunnaisesti henkilömäärän mukaan. Laske todennäköisyys, että kaikki valitut henkilöt ovat miehiä.
Päätös. Esitellään tapahtumien merkintä: A- mies valitaan ensin AT- toinen valittu mies, KANSSA - kolmas valittu mies. Todennäköisyys, että mies valitaan ensin P(A) = 7/10.
Todennäköisyys, että mies valitaan toiseksi, jos mies on jo valittu ensimmäiseksi, ts. tapahtuman ehdollinen todennäköisyys AT Seuraava : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Todennäköisyys, että mies valitaan kolmanneksi, jos kaksi miestä on jo valittu, ts. tapahtuman ehdollinen todennäköisyys Kanssa On: P(C/AB) = 5/8.
Haluttu todennäköisyys, että kaikki kolme valittua henkilöä ovat miehiä, P(ABC) = P(A) P(B/MUTTA) P(C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.

1.2.6. Kokonaistodennäköisyyskaava ja Bayesin kaava

Anna olla B 1 , B 2 ,…, B n ovat pareittain yhteensopimattomia tapahtumia (hypoteesia) ja MUTTA- tapahtuma, joka voi tapahtua vain yhden niistä yhteydessä.
Kerro myös meille Р(B i) ja P(A/B i) (i = 1, 2, …, n).
Näissä olosuhteissa kaavat ovat voimassa:
(2.5)
(2.6)
Kaavaa (2.5) kutsutaan kokonaistodennäköisyyskaava . Se laskee tapahtuman todennäköisyyden MUTTA(täydellä todennäköisyydellä).
Kaavaa (2.6) kutsutaan Bayesin kaava . Sen avulla voit laskea uudelleen hypoteesien todennäköisyydet, jos tapahtuma tapahtuu MUTTA tapahtui.
Esimerkkejä koottaessa on hyvä ottaa huomioon, että hypoteesit muodostavat kokonaisen ryhmän.
Tehtävä 1.16. Korissa on omenoita neljästä saman lajikkeen puusta. Ensimmäisestä - 15% kaikista omenoista, toisesta - 35%, kolmannesta - 20%, neljännestä - 30%. Kypsät omenat ovat vastaavasti 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu omena on kypsä? MUTTA).
b) Edellyttäen, että sattumanvaraisesti otettu omena osoittautui kypsäksi, laske todennäköisyys, että se on ensimmäisestä puusta.
Päätös. a) Meillä on 4 hypoteesia:
B 1 - satunnaisesti otettu omena otetaan ensimmäisestä puusta;
B 2 - satunnaisesti otettu omena otetaan toisesta puusta;
B 3 - satunnaisesti otettu omena otetaan kolmannesta puusta;
B 4 - satunnaisesti otettu omena otetaan neljännestä puusta.
Niiden todennäköisyydet ehdon mukaan: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Ehdolliset tapahtumatodennäköisyydet MUTTA:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu omena on kypsä, saadaan kokonaistodennäköisyyskaavalla:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Bayesin kaava meidän tapauksessamme on muotoa:
.
Ongelma 1.17. Valkoinen pallo pudotetaan uurnaan, jossa on kaksi palloa, minkä jälkeen yksi pallo vedetään satunnaisesti. Laske todennäköisyys, että vedetty pallo on valkoinen, jos kaikki mahdolliset oletukset pallojen alkuperäisestä koostumuksesta (värin mukaan) ovat yhtä mahdollisia.
Päätös. Merkitse MUTTA tapahtuma - valkoinen pallo arvotaan. Seuraavat oletukset (hypoteesit) pallojen alkuperäisestä koostumuksesta ovat mahdollisia: B1 ei valkoisia palloja IN 2- yksi valkoinen pallo 3- kaksi valkoista palloa.
Koska hypoteeseja on yhteensä kolme ja hypoteesien todennäköisyyksien summa on 1 (koska ne muodostavat täydellisen tapahtumaryhmän), niin jokaisen hypoteesin todennäköisyys on yhtä suuri kuin 1/3, ts.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Ehdollinen todennäköisyys, että valkoinen pallo vedetään, koska uurnassa ei alun perin ollut valkoisia palloja, P(A/B 1) = 1/3. Ehdollinen todennäköisyys, että valkoinen pallo vedetään, kun otetaan huomioon, että uurnassa oli alun perin yksi valkoinen pallo, P(A/B 2) = 2/3. Ehdollinen todennäköisyys, että valkoinen pallo vedetään, koska uurnassa oli alun perin kaksi valkoista palloa. P(A/B 3)=3/ 3=1.
Haluttu todennäköisyys, että valkoinen pallo vedetään, saadaan kokonaistodennäköisyyskaavalla:
R(MUTTA)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3) = 1/3 1/3 + 1/3 2/3 + 1/3 1 = 2/3 .
Tehtävä 1.18. Kaksi konetta tuottavat samoja osia, jotka syötetään yhteiselle kuljettimelle. Ensimmäisen koneen suorituskyky on kaksinkertainen toisen koneeseen verrattuna. Ensimmäinen kone tuottaa keskimäärin 60% erinomaista laatua olevista osista ja toinen - 84%. Kokoonpanolinjalta sattumanvaraisesti otettu osa osoittautui erinomaisen laadukkaaksi. Laske todennäköisyys, että tämä tuote on tuottanut ensimmäinen kone.
Päätös. Merkitse MUTTA tapahtuma on erinomainen laatutuote. Voidaan tehdä kaksi oletusta: B1- osa valmistetaan ensimmäisellä koneella, ja (koska ensimmäinen kone tuottaa kaksi kertaa niin monta osaa kuin toinen) P(A/B 1) = 2/3; B 2 - osa valmistettiin toisella koneella ja P(B 2) = 1/3.
Ehdollinen todennäköisyys, että osa on laadukas, jos se on valmistettu ensimmäisellä koneella, P(A/B 1)=0,6.
Ehdollinen todennäköisyys, että osa on laadukas, jos se on valmistettu toisella koneella, P(A/B 1)=0,84.
Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu osa on laadukas kokonaistodennäköisyyskaavan mukaan, on yhtä suuri kuin
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2) = 2/3 0,6 + 1/3 0,84 = 0,68.
Haluttu todennäköisyys, että ensimmäinen automaatti tuottaa erinomaisen osan Bayesin kaavan mukaan, on yhtä suuri kuin

Tehtävä 1.19. Osia on kolme erää, joissa kussakin on 20 osaa. Vakioosien määrä ensimmäisessä, toisessa ja kolmannessa erässä on vastaavasti 20, 15 ja 10. Valitusta erästä poimittiin satunnaisesti vakioksi osoittautunut osa. Osat palautetaan erään ja osa poistetaan satunnaisesti samasta erästä toisen kerran, mikä myös osoittautuu vakioksi. Laske todennäköisyys, että osat on otettu kolmannesta erästä.
Päätös. Merkitse MUTTA tapahtuma - jokaisessa kahdessa testissä (palautuksen kanssa) haettiin vakioosa. Voidaan esittää kolme hypoteesia: B 1 - osat poistetaan ensimmäisestä erästä, AT 2 – osat otetaan toisesta erästä, AT 3 - osat poistetaan kolmannesta erästä.
Yksityiskohdat on otettu satunnaisesti otetusta erästä, joten hypoteesien todennäköisyydet ovat samat: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Etsi ehdollinen todennäköisyys P(A/B 1), so. todennäköisyys, että ensimmäisestä erästä vedetään kaksi vakioosaa peräkkäin. Tämä tapahtuma on luotettava, koska. ensimmäisessä erässä kaikki osat ovat vakioita, joten P(A/B 1) = 1.
Etsi ehdollinen todennäköisyys P(A/B 2), so. todennäköisyys, että kaksi standardiosaa erotetaan peräkkäin (palautuksen kanssa) toisesta erästä: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Etsi ehdollinen todennäköisyys P(A/B 3), so. todennäköisyys, että kaksi vakioosaa poistetaan peräkkäin (palautuksen kanssa) kolmannesta erästä: P(A/B 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Haluttu todennäköisyys, että molemmat uutetut standardiosat otetaan kolmannesta erästä Bayesin kaavan mukaan, on yhtä suuri kuin

1.2.7. Uusintatestit

Jos suoritetaan useita testejä, ja tapahtuman todennäköisyys MUTTA jokaisessa kokeessa ei riipu muiden kokeiden tuloksista, niin tällaisia kokeita kutsutaan riippumaton tapahtuman A suhteen. Eri riippumattomissa kokeissa tapahtuma MUTTA voi olla joko eri todennäköisyydet tai sama todennäköisyys. Käsittelemme edelleen vain sellaisia riippumattomia kokeita, joissa tapahtuma MUTTA on sama todennäköisyys.
Anna sen tuottaa P riippumattomia kokeita, joissa jokaisessa tapahtumassa MUTTA saattaa näkyä tai ei. Oletetaan, että tapahtuman todennäköisyys MUTTA jokaisessa testissä on sama, nimittäin yhtä suuri R. Siksi todennäköisyys, että tapahtuma ei toteudu MUTTA jokaisessa testissä on myös vakio ja yhtä suuri kuin 1– R. Tällaista todennäköisyyskaaviota kutsutaan Bernoullin kaava. Asetetaan itsellemme tehtäväksi laskea se todennäköisyys P Bernoullin tapahtumakokeet MUTTA tulee toteutumaan täsmälleen k kerran ( k- onnistumisten määrä) ja siksi niitä ei toteuteta P- kerran. On tärkeää korostaa, että tapahtumaa ei vaadita MUTTA toistettu tarkasti k kertaa tietyssä järjestyksessä. Merkitse haluttu todennäköisyys Rp (k). Esimerkiksi symboli R 5 (3) tarkoittaa todennäköisyyttä, että viidessä kokeessa tapahtuma esiintyy tasan 3 kertaa ja siksi ei tapahdu 2 kertaa.
Ongelma voidaan ratkaista käyttämällä ns Bernoullin kaavat, joka näyttää tältä:
.
Ongelma 1.20. Todennäköisyys, että sähkönkulutus yhden päivän aikana ei ylitä vahvistettua normia, on yhtä suuri R=0,75. Laske todennäköisyys, että seuraavan 6 päivän aikana sähkönkulutus ei ylitä 4 päivää normaalia.
Päätös. Todennäköisyys normaalille sähkönkulutukselle kunkin kuuden päivän aikana on vakio ja yhtä suuri kuin R=0,75. Siksi myös sähkön ylikulutuksen todennäköisyys päivittäin on vakio ja yhtä suuri q= 1–R=1–0,75=0,25.
Haluttu todennäköisyys Bernoullin kaavan mukaan on yhtä suuri kuin
.
Tehtävä 1.21. Kaksi samanarvoista shakinpelaajaa pelaa shakkia. Kumpi on todennäköisempi: voittaa kaksi peliä neljästä vai kolme peliä kuudesta (tasapeliä ei oteta huomioon)?
Päätös. Tasavertaiset shakinpelaajat pelaavat, joten voiton todennäköisyys R= 1/2, joten häviämisen todennäköisyys q on myös yhtä suuri kuin 1/2. Koska kaikissa peleissä voiton todennäköisyys on vakio, eikä sillä ole väliä missä järjestyksessä pelit voitetaan, niin Bernoullin kaavaa voidaan soveltaa.
Laske todennäköisyys, että kaksi peliä neljästä voitetaan:

Laske todennäköisyys, että kolme kuudesta pelistä voitetaan:

Koska P 4 (2) > P 6 (3), se voittaa todennäköisemmin kaksi peliä neljästä kuin kolme kuudesta.
Kuitenkin voidaan nähdä, että käyttämällä Bernoullin kaavaa suurille arvoille n se on melko vaikeaa, koska kaava vaatii operaatioiden suorittamista suurille luvuille ja siksi virheet kerääntyvät laskuprosessiin; tämän seurauksena lopputulos voi poiketa merkittävästi todellisesta.
Tämän ongelman ratkaisemiseksi on olemassa useita rajalauseita, joita käytetään useiden kokeiden tapauksessa.
1. Poissonin lause
Suorittaessasi suurta määrää testejä Bernoulli-kaavion mukaisesti (kanssa n=> ∞) ja pienellä määrällä myönteisiä tuloksia k(olettaen, että onnistumisen todennäköisyys p pieni), Bernoullin kaava lähestyy Poissonin kaavaa
.
Esimerkki 1.22. Avioliiton todennäköisyys yrityksen tuotantoyksikön tuotannossa on yhtä suuri kuin p=0,001. Millä todennäköisyydellä 5000 tuoteyksikön tuotannossa tulee alle 4 viallista (tapahtuma MUTTA Päätös. Koska n on suuri, käytämme paikallista Laplacen lausetta:

Laskea x:
Toiminto on parillinen, joten φ(–1.67) = φ(1.67).
Liitteen A.1 taulukon mukaan saadaan φ(1.67) = 0.0989.
Haluttu todennäköisyys P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Laplacen integraalilause
Jos todennäköisyys R tapahtuman esiintyminen A jokaisessa kokeessa Bernoullin kaavion mukaan on vakio ja eroaa nollasta ja yhdestä, sitten suurella määrällä kokeita n, todennäköisyys Rp (k 1 , k 2) tapahtuman esiintyminen A näissä kokeissa k 1 - k 2 kertaa suunnilleen yhtä suuri
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ ( x"), missä
on Laplace-funktio,

Laplacen funktion määrättyä integraalia ei lasketa analyyttisten funktioiden luokasta, joten sen laskemiseen käytetään taulukkoa 1. Liitteessä oleva kohta 2.
Esimerkki 1.24. Tapahtuman todennäköisyys jokaisessa sadasta riippumattomasta kokeesta on vakio ja yhtä suuri kuin p= 0,8. Laske tapahtuman todennäköisyys: a) vähintään 75 kertaa ja enintään 90 kertaa; b) vähintään 75 kertaa; c) enintään 74 kertaa.
Päätös. Käytetään Laplacen integraalilausetta:
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), missä Ф( x) on Laplace-funktio,

a) ehdon mukaan n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Laske x"" ja x" :

Ottaen huomioon, että Laplace-funktio on pariton, ts. F(- x) = – F( x), saamme
P 100 (75; 90) \u003d F (2,5) - F (-1,25) \u003d F (2,5) + F (1,25).
Taulukon mukaan P.2. etsi sovelluksia:
F(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.
Haluttu todennäköisyys
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Vaatimus, että tapahtuma esiintyy vähintään 75 kertaa, tarkoittaa, että tapahtuman esiintymismäärä voi olla 75, tai 76, ... tai 100. Näin ollen tarkasteltavassa tapauksessa on otettava huomioon k 1 = 75, k 2 = 100. Sitten

.
Taulukon mukaan P.2. sovelluksissa, löydämme Ф (1,25) = 0,3944; Ф(5) = 0,5.
Haluttu todennäköisyys
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Tapahtuma - " MUTTA esiintynyt vähintään 75 kertaa" ja " MUTTA esiintynyt enintään 74 kertaa” ovat vastakkaisia, joten näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa on 1. Siksi haluttu todennäköisyys
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Oppitunnin teema: "Satunnaiset, luotettavat ja mahdottomat tapahtumat"

Oppitunnin paikka opetussuunnitelmassa: "Kombinatoriikka. Satunnaiset tapahtumat” oppitunti 8.5

Oppitunnin tyyppi: Oppitunti uuden tiedon muodostumisessa

Oppitunnin tavoitteet:

Koulutuksellinen:

o ottamaan käyttöön satunnaisen, varman ja mahdoton tapahtuman määritelmä;

o opettaa todellisen tilanteen prosessissa määrittelemään todennäköisyysteorian termejä: luotettavat, mahdottomat, tasatodennäköiset tapahtumat;

Kehitetään:

o edistää loogisen ajattelun kehittymistä,

o opiskelijoiden kognitiivinen kiinnostus,

o kyky vertailla ja analysoida,

Koulutuksellinen:

o edistää kiinnostusta matematiikan opiskeluun,

o opiskelijoiden maailmankuvan kehittäminen.

o älyllisten taitojen ja henkisten toimintojen hallussapito;

Opetusmenetelmät: selittävä-havainnollistava, lisääntyvä, matemaattinen sanelu.

UMC: Matematiikka: oppikirja 6 solulle. toimituksessa jne., kustantamo "Enlightenment", 2008, Mathematics, 5-6: kirja. opettajalle / [, [ , ]. - M.: Koulutus, 2006.

Didaktinen materiaali: taulun julisteita.

Kirjallisuus:

1. Matematiikka: oppikirja. 6 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset/ jne.]; toim. , ; Ros. akad. Sciences, Ros. akad. koulutus, kustantamo "Enlightenment". - 10. painos - M.: Enlightenment, 2008.-302 s.: ill. - (Akateeminen koulun oppikirja).

2. Matematiikka, 5-b: kirja. opettajalle / [, ]. - M. : Koulutus, 2006. - 191 s. : sairas.

4. Tilastojen, kombinatorioiden ja todennäköisyysteorian ongelmien ratkaiseminen. 7-9 luokkaa. / auth.- comp. . Ed. 2nd, rev. - Volgograd: Opettaja, 2006. -428 s.

5. Matematiikan tunnit tietotekniikalla. 5-10 luokkaa. Metodinen - käsikirja sähköisellä sovelluksella / ja muut 2. painos, stereotypia. - M.: Globus Publishing House, 2010. - 266 s. (Moderni koulu).

6. Matematiikan opetus nykyaikaisessa koulussa. Ohjeita. Vladivostok: PIPPCRO Publishing House, 2003.

TUNTISUUNNITELMA

I. Organisatorinen hetki.

II. suullinen työ.

III. Uuden materiaalin oppiminen.

IV. Taitojen ja kykyjen muodostuminen.

V. Oppitunnin tulokset.

V. Kotitehtävät.

TUTKIEN AIKANA

1. Järjestäytymishetki

2. Tietojen päivittäminen

15*(-100)

Suullinen työ:

3. Uuden materiaalin selitys

Opettaja: Elämämme koostuu suurelta osin onnettomuuksista. On olemassa sellainen tiede "todennäköisyysteoria". Sen kielen avulla on mahdollista kuvata monia ilmiöitä ja tilanteita.

Sellaiset muinaiset komentajat, kuten Aleksanteri Suuri tai Dmitri Donskoy, jotka valmistautuivat taisteluun, luottivat paitsi sotureiden rohkeuteen ja taitoon, myös sattumaan.

Monet ihmiset rakastavat matematiikkaa ikuisten totuuksien vuoksi, kaksi kertaa kaksi on aina neljä, parillisten lukujen summa on parillinen, suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin sen viereisten sivujen tulo jne. Kaikissa ratkaisemissasi ongelmissa kaikki saa saman vastauksen - sinun tarvitsee vain olla tekemättä virheitä ratkaisussa.

Tällaisia säännönmukaisuuksia tutkii erityinen matematiikan haara - Todennäköisyysteoria . Sen avulla voit varmemmin (mutta ei kuitenkaan varmasti) ennustaa sekä ensimmäisen lumisateen päivämäärän että puheluiden määrän.

Todennäköisyysteoria liittyy erottamattomasti jokapäiväiseen elämäämme. Tämä antaa meille upean mahdollisuuden vahvistaa monia todennäköisyyslakeja empiirisesti toistaen toistuvasti satunnaisia kokeita. Näiden kokeiden materiaalit ovat useimmiten tavallinen kolikko, noppaa, dominosarja, backgammon, ruletti tai jopa korttipakka. Jokainen näistä esineistä liittyy tavalla tai toisella peleihin. Tosiasia on, että tapaus esiintyy tässä yleisimmässä muodossa. Ja ensimmäiset todennäköisyystehtävät liittyivät pelaajien voittomahdollisuuksien arvioimiseen.

Ensimmäinen ennustus: yksi luvuista 1, 2, 3, 4, 5 tai 6 putoaa pois. Tuleeko ennustettu tapahtuma mielestäsi vai ei? Tottakai se tulee varmasti.

Tapahtumaa, joka varmasti tapahtuu tietyssä kokemuksessa, kutsutaan luotettava tapahtuma.

Toinen ennustus : numero 7 putoaa pois, tuleeko ennustettu tapahtuma vai ei? Ei tietenkään tule, se on vain mahdotonta.

Tapahtumaa, joka ei voi tapahtua tietyssä kokeessa, kutsutaan mahdotonta tapahtuma.

Tapahtumia, jotka voivat tapahtua tai eivät tapahdu samoissa olosuhteissa, kutsutaan satunnainen.

Esimerkki. Pakkauksessa on 5 suklaata sinisessä kääreessä ja yksi valkoinen. Katsomatta laatikkoon he ottavat satunnaisesti yhden karkin. Onko mahdollista sanoa etukäteen minkä värinen se on?

Harjoittele : kuvaile alla olevissa tehtävissä käsiteltyjä tapahtumia. Varmaa, mahdotonta tai satunnaista.

1. Heitä kolikko. Vaakuna ilmestyi. (satunnainen)

2. Metsästäjä ampui sutta ja löi. (satunnainen)

3. Koulupoika lähtee kävelylle joka ilta. Maanantaina hän tapasi kävelyllä kolme tuttua. (satunnainen)

4. Suoritetaan henkisesti seuraava koe: käännä vesilasi ylösalaisin. Jos tätä kokeilua ei suoriteta avaruudessa, vaan kotona tai luokkahuoneessa, vesi valuu ulos. (aito)

5. Kolme laukausta ammuttiin maaliin." On tullut viisi osumaa." (mahdotonta)

6. Heitä kivi ylös. Kivi jää roikkumaan ilmaan. (mahdotonta)

Esimerkki Petya ajatteli luonnollista lukua. Tapahtuma on seuraava:

a) parillinen luku ajatellaan; (satunnainen)

b) pariton luku on suunniteltu; (satunnainen)

c) ajatellaan luku, joka ei ole parillinen eikä pariton; (mahdotonta)

d) parillinen tai pariton luku on suunniteltu. (aito)

Tapahtumat, joilla on tietyissä olosuhteissa yhtäläiset mahdollisuudet, kutsutaan yhtä todennäköistä.

Satunnaisia tapahtumia, joilla on yhtäläiset mahdollisuudet, kutsutaan yhtä mahdollista tai yhtä todennäköistä .

Laita juliste taululle.

Suullisessa kokeessa opiskelija ottaa yhden eteensä asetetuista lipuista. Mahdollisuudet saada mikä tahansa koelipuista ovat yhtäläiset. Yhtä todennäköistä on minkä tahansa pistemäärän 1–6 menetys noppaa heitettäessä, samoin kuin pään tai hännän menettäminen kolikkoa heittäessä.

Mutta kaikki tapahtumat eivät ole yhtä mahdollista. Hälytys ei ehkä soi, lamppu palaa, linja-auto hajoaa, mutta normaaliolosuhteissa tällaiset tapahtumat epätodennäköistä. On todennäköisempää, että herätyskello soi, valo syttyy, bussi lähtee.

Jotkut tapahtumat mahdollisuudet esiintyy enemmän, mikä tarkoittaa, että ne ovat todennäköisempiä - lähempänä luotettavia. Ja toisilla on vähemmän mahdollisuuksia, he ovat vähemmän todennäköisiä - lähempänä mahdotonta.

Mahdottomilla tapahtumilla ei ole mahdollisuutta tapahtua, ja tietyillä tapahtumilla on kaikki mahdollisuudet tapahtua, tietyissä olosuhteissa ne varmasti tapahtuvat.

Esimerkki Petya ja Kolya vertailevat syntymäpäiviään. Tapahtuma on seuraava:

a) heidän syntymäpäivänsä eivät täsmää; (satunnainen)

b) heidän syntymäpäivänsä ovat samat; (satunnainen)

d) molemmat syntymäpäivät ovat vapaapäiviä - uusi vuosi (1. tammikuuta) ja Venäjän itsenäisyyspäivä (12. kesäkuuta). (satunnainen)

3. Taitojen ja kykyjen muodostuminen

Tehtävä oppikirjasta nro 000. Mitkä seuraavista satunnaisista tapahtumista ovat luotettavia, mahdollisia:

a) kilpikonna oppii puhumaan;

b) liedellä olevassa kattilassa oleva vesi kiehuu;

d) voitat osallistumalla arvontaan;

e) et voita osallistumalla win-win-arvontaan;

f) häviät shakkipelin;

g) tapaat ulkomaalaisen huomenna;

h) sää huononee ensi viikolla; i) painat kelloa, mutta se ei soinut; j) tänään - torstaina;

k) Torstain jälkeen on perjantai; m) tuleeko perjantain jälkeen torstai?

Laatikot sisältävät 2 punaista, 1 keltaista ja 4 vihreää palloa. Kolme palloa nostetaan satunnaisesti laatikosta. Mitkä seuraavista tapahtumista ovat mahdottomia, satunnaisia, varmoja:

V: Kolme vihreää palloa arvotaan;

B: Kolme punaista palloa arvotaan;

C: kahden värin pallot arvotaan;

D: samanväriset pallot arvotaan;

E: piirrettyjen pallojen joukossa on sininen;

F: piirrettyjen joukossa on kolmen värisiä palloja;

G: Onko vedettyjen pallojen joukossa kaksi keltaista palloa?

Tarkista itse. (matematiikan sanelu)

1) Ilmoita, mitkä seuraavista tapahtumista ovat mahdottomia, mitkä ovat varmoja, mitkä ovat satunnaisia:

Jalkapalloottelu "Spartak" - "Dynamo" päättyy tasapeliin (satunnainen)

Voitat osallistumalla win-win-arvontaan ( aito)

Keskiyöllä sataa lunta ja 24 tunnin kuluttua aurinko paistaa (mahdotonta)

· Huomenna on matematiikan koe. (satunnainen)

· Sinut valitaan Yhdysvaltain presidentiksi. (mahdotonta)

· Sinut valitaan Venäjän presidentiksi. (satunnainen)

2) Ostit television kaupasta, jolle valmistaja antaa kahden vuoden takuun. Mitkä seuraavista tapahtumista ovat mahdottomia, mitkä satunnaisia, mitkä varmoja:

· TV ei hajoa vuoden sisällä. (satunnainen)

Televisio ei hajoa kahdessa vuodessa . (satunnainen)

· Kahden vuoden sisällä sinun ei tarvitse maksaa television korjauksesta. (aito)

TV katkeaa kolmantena vuonna. (satunnainen)

3) 15 matkustajan bussilla on 10 pysäkkiä. Mitkä seuraavista tapahtumista ovat mahdottomia, mitkä satunnaisia, mitkä varmoja:

· Kaikki matkustajat jäävät pois bussista eri pysäkeillä. (mahdotonta)

Kaikki matkustajat jäävät pois samalla pysäkillä. (satunnainen)

Jokaisella pysäkillä ainakin joku jää pois. (satunnainen)

Tulee pysäkki, jossa kukaan ei nouse pois. (satunnainen)

Parillinen määrä matkustajia jää pois kaikilla pysäkeillä. (mahdotonta)

Pariton määrä matkustajia jää pois kaikilla pysäkeillä. (mahdotonta)

Oppitunnin yhteenveto

Kysymyksiä opiskelijoille:

Mitä tapahtumia kutsutaan sattumanvaraisiksi?

Mitä tapahtumia kutsutaan tasatodennäköisiksi?

Mitä tapahtumia pidetään luotettavina? mahdotonta?

Mitä tapahtumia pidetään todennäköisimpänä? epätodennäköisempää?

Kotitehtävät : kohta 9.3

Nro 000. Ajattele kolmea esimerkkiä joistakin tietyistä mahdottomista tapahtumista sekä tapahtumista, joiden ei voida sanoa välttämättä tapahtuvan.

902. Laatikossa on 10 punaista, 1 vihreä ja 2 sinistä kynää. Kaksi kynää otetaan satunnaisesti laatikosta. Mitkä seuraavista tapahtumista ovat mahdottomia, varmaa:

V: Kaksi punaista kahvaa poistetaan; B: Kaksi vihreää kahvaa vedetään ulos; C: kaksi sinistä kahvaa vedetään ulos; D: Kaksi eriväristä kahvaa otetaan pois;

E: Otetaanko kaksi kynää? 03. Egor ja Danila sopivat: jos levysoittimen nuoli (kuva 205) pysähtyy valkoiseen kenttään, niin Egor maalaa aidan ja jos sinisellä kentällä, Danila. Kumpi poika maalaa todennäköisemmin aidan?

Portaali opiskelijalle. Itseharjoittelu

AIHEESEEN LIITTYVÄT ARTIKKELIT