Kuvailevan geometrian lyhyt kurssi

Luennot on tarkoitettu tekniikan ja tekniikan erikoisalojen opiskelijoille

Mongen menetelmä

Jos tietoa pisteen etäisyydestä projektiotasoon nähden ei anneta numeerisen merkin avulla, vaan pisteen toisen projektion avulla, joka on rakennettu toiselle projektiotasolle, niin piirustusta kutsutaan kaksi- kuva tai kompleksi. Tällaisten piirustusten rakentamisen perusperiaatteet on esittänyt G. Monge.
Mongen esittämä menetelmä - ortogonaalisen projektion menetelmä, ja kaksi projektiota otetaan kahdelle toisiaan kohtisuoralle projektiotasolle - joka tarjoaa ilmaisua, tarkkuutta ja luettavuutta tasossa olevista kohteista - oli ja pysyy päämenetelmänä teknisten piirustusten laatimiseen.

Kuva 1.1 Piste kolmen projektiotason järjestelmässä

Kolmen projektiotason malli on esitetty kuvassa 1.1. Kolmas taso, joka on kohtisuorassa sekä P1:een että P2:een nähden, on merkitty kirjaimella P3 ja sitä kutsutaan profiilitasoksi. Tämän tason pisteiden projektiot on merkitty isoilla kirjaimilla tai numeroilla indeksillä 3. Pareittain leikkaavat projektiotasot määrittävät kolme akselia 0x, 0y ja 0z, joita voidaan pitää suorakulmaisten koordinaattien järjestelmänä avaruudessa origon kanssa. pisteessä 0. Kolme projektiotasoa jakaa avaruuden kahdeksaan kolmikulmaiseen kulmaan - oktanttiin. Kuten aiemmin, oletamme, että kohdetta katseleva katsoja on ensimmäisessä oktantissa. Kaavion saamiseksi P1- ja P3-tasojen kolmen projektiotason järjestelmän pisteitä kierretään, kunnes ne osuvat yhteen P2-tason kanssa. Kun kaaviossa akseleita merkitään, negatiivisia puoliakseleita ei yleensä ilmoiteta. Jos vain itse kohteen kuva on merkittävä, ei sen sijainti suhteessa projektiotasoihin, kaavion akseleita ei näytetä. Koordinaatit ovat numeroita, jotka vastaavat pistettä määrittämään sen sijainnin avaruudessa tai pinnalla. Kolmiulotteisessa avaruudessa pisteen sijainti asetetaan käyttämällä suorakulmaisia ​​suorakulmaisia ​​koordinaatteja x, y ja z (abskissa, ordinaatit ja aplikaatiot).

Suoran viivan sijainnin määrittämiseksi avaruudessa on olemassa seuraavat menetelmät: 1. Kaksi pistettä (A ja B). Tarkastellaan kahta pistettä avaruudessa A ja B (kuva 2.1). Näiden pisteiden kautta voimme piirtää suoran, saamme janan. Tämän segmentin projektioiden löytämiseksi projektiotasolla on tarpeen löytää pisteiden A ja B projektiot ja yhdistää ne suoralla viivalla. Kukin segmentin projektio projektiotasolla on pienempi kuin itse segmentti:<; <; <.

Kuva 2.1 Suoran sijainnin määrittäminen kahdesta pisteestä

2. Kaksi tasoa (a; b). Tämä asetustapa määräytyy sen perusteella, että kaksi ei-rinnakkaista tasoa leikkaavat avaruudessa suorassa linjassa (tätä menetelmää käsitellään yksityiskohtaisesti perusgeometrian aikana).

3. Piste ja kaltevuuskulmat projektiotasoihin nähden. Kun tiedät suoraan kuuluvan pisteen koordinaatit ja sen kaltevuuskulman projektiotasoihin nähden, voit löytää suoran sijainnin avaruudessa.

Riippuen suoran sijainnista suhteessa projektiotasoihin, se voi olla sekä yleisessä että erityisessä asemassa. 1. Suoraa, joka ei ole yhdensuuntainen minkään projektiotason kanssa, kutsutaan suoraksi yleisasennossa (kuva 3.1).

2. Projektitasojen suuntaiset suorat ovat tietyssä paikassa avaruudessa ja niitä kutsutaan tasoviivoiksi. Sen mukaan, minkä projektiotason kanssa annettu suora on yhdensuuntainen, on olemassa:

2.1. Vaakatason suuntaisia ​​suoria projektioita kutsutaan vaaka- tai ääriviivaviivoiksi (kuva 3.2).

Kuva 3.2 Vaakasuora viiva

2.2. Frontaalitason suuntaisia ​​suoria projektioita kutsutaan frontaaleiksi tai frontaaleiksi (kuva 3.3).

Kuva 3.3 Etusuora

2.3. Profiilitason suuntaisia ​​suoria projektioita kutsutaan profiiliprojekteiksi (kuva 3.4).

Kuva 3.4 Profiili suora

3. Projisointitasoihin nähden kohtisuorassa olevia suoria viivoja kutsutaan projektioiksi. Suora, joka on kohtisuorassa yhtä projektiotasoa vastaan, on yhdensuuntainen kahden muun kanssa. Riippuen siitä, mihin projektiotasoon tutkittava suora on kohtisuorassa, on:

3.1. Edestä ulkoneva suora - AB (kuva 3.5).

Kuva 3.5 Etuprojektioviiva

3.2. Profiilin ulkoneva suora viiva - AB (kuva 3.6).

Kuva 3.6 Profiilin projisointiviiva

3.3. Vaakasuuntainen suora viiva - AB (kuva 3.7).

Kuva 3.7 Vaakasuoraan ulkoneva viiva

Taso on yksi geometrian peruskäsitteistä. Geometrian systemaattisessa esittelyssä tason käsite otetaan yleensä yhdeksi alkukäsitteistä, jonka geometrian aksioomat määräävät vain epäsuorasti. Joitakin tason tunnusomaisia ​​ominaisuuksia: 1. Taso on pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sen pisteen yhdistävän suoran; 2. Taso on joukko pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana kahdesta annetusta pisteestä.

Tasojen graafisen määrittelyn tapoja Tason sijainti avaruudessa voidaan määrittää:

1. Kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla (kuva 4.1).

Kuva 4.1 Taso, jonka määrittää kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla

2. Suora ja piste, joka ei kuulu tähän suoraan (kuva 4.2).

Kuva 4.2 Taso, jonka määrittää suora ja piste, joka ei kuulu tähän suoraan

3. Kaksi leikkaavaa suoraa (kuva 4.3).

Kuva 4.3 Kahden leikkaavan suoran määrittelemä taso

4. Kaksi yhdensuuntaista viivaa (kuva 4.4).

Kuva 4.4 Kahden yhdensuuntaisen suoran määrittelemä taso

Tason eri sijainti suhteessa projektiotasoihin

Riippuen tason sijainnista projektiotasoihin nähden, se voi olla sekä yleisessä että erityisessä asemassa.

1. Tasoa, joka ei ole kohtisuorassa mihinkään projektiotasoon nähden, kutsutaan yleisasennon tasoksi. Tällainen taso leikkaa kaikki projektiotasot (sillä on kolme jälkeä: - vaakasuuntainen S 1; - frontaalinen S 2; - profiili S 3). Geneerisen tason jäljet ​​leikkaavat pareittain akseleilla pisteissä ax,ay,az. Näitä pisteitä kutsutaan katoamispisteiksi, niitä voidaan pitää annetun tason muodostamien kolmikulmaisten kulmien kärjenä kahdella kolmesta projektiotasosta. Kukin tason jälki on sama kuin sen samanniminen projektio, ja kaksi muuta vastakkaisten nimien projektiota ovat akseleilla (kuva 5.1).

2. Tasot, jotka ovat kohtisuorassa projektiotasoja vastaan ​​- ovat tietyssä paikassa avaruudessa ja niitä kutsutaan projektioiksi. Riippuen siitä, mihin projektiotasoon annettu taso on kohtisuorassa, on:

2.1. Tasoa, joka on kohtisuorassa vaakasuuntaiseen projektiotasoon (S ^ П1) nähden, kutsutaan vaakasuuntaiseksi projektiotasoksi. Tällaisen tason vaakasuora projektio on suora viiva, joka on myös sen vaakasuora raita. Tämän tason kuvien kaikkien pisteiden vaakasuora projektio osuu vaakasuuntaisen jäljen kanssa (kuva 5.2).

Kuva 5.2 Vaakasuora projektiotaso

2.2. Taso, joka on kohtisuorassa projektioiden etutasoon (S ^ P2) nähden, on etuprojektiotaso. Tason S frontaaliprojektio on suora, joka osuu yhteen jäljen S 2 kanssa (kuva 5.3).

Kuva 5.3 Etuprojektiotaso

2.3. Profiilitasoon nähden kohtisuorassa oleva taso (S ^ П3) on profiilin projisointitaso. Tällaisen tason erikoistapaus on puolittajataso (kuva 5.4).

Kuva 5.4 Profiilin projisointitaso

3. Tasot, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​projektiotasojen kanssa - miehittävät tietyn sijainnin avaruudessa ja niitä kutsutaan tasotasoiksi. Riippuen minkä tason kanssa tutkittava taso on yhdensuuntainen, on olemassa:

3.1. Vaakasuora taso - vaakasuuntaisen projektiotason (S //P1) - (S ^P2, S ^P3) kanssa samansuuntainen taso. Mikä tahansa tämän tason kuvio heijastetaan tasolle P1 ilman vääristymiä ja tasolle P2 ja P3 suoriksi - tason S 2 ja S 3 jäljet ​​(kuva 5.5).

Kuva 5.5 Vaakasuora taso

3.2. Frontaalitaso - frontaalisen projektiotason (S //P2) suuntainen taso (S ^P1, S ^P3). Mikä tahansa tämän tason kuvio heijastetaan tasolle P2 ilman vääristymiä ja tasolle P1 ja P3 suoriksi - tason S 1 ja S 3 jäljet ​​(kuva 5.6).

Kuva 5.6 Etutaso

3.3. Profiilitaso - projektioiden profiilitason (S //P3), (S ^P1, S ^P2) kanssa yhdensuuntainen taso. Mikä tahansa tämän tason kuvio projisoidaan tasolle P3 ilman vääristymiä ja tasolle P1 ja P2 suoriksi viivoiksi - tason S 1 ja S 2 jäljet ​​(kuva 5.7).

Kuva 5.7 Profiilitaso

Lentokoneen jälkiä

Tason jälki on tason leikkausviiva projektiotasojen kanssa. Sen mukaan, minkä projektiotasoista annettu leikkaa, ne erottavat: tason vaaka-, etu- ja profiilijäljet.

Jokainen tason jälki on suora, jonka rakentamista varten on tiedettävä kaksi pistettä tai yksi piste ja suoran suunta (kuten minkä tahansa suoran rakentamisessa). Kuva 5.8 esittää tason S (ABC) etsintäjäljet. Tason S 2 etuviiva on muodostettu linjaksi, joka yhdistää kaksi pistettä 12 ja 22, jotka ovat tasoon S kuuluvien vastaavien viivojen etujäljet. Vaakaviiva S1 on suora, joka kulkee suoran AB ja S x vaakasuuntaisen jäljen läpi. Profiilikäyrä S 3 - suora viiva, joka yhdistää vaaka- ja etujäljen leikkauspisteet (Sy ja S z) akseleiden kanssa.

Kuva 5.8 Tasojälkien rakentaminen

Suoran ja tason suhteellisen sijainnin määrittäminen on paikkaongelma, jonka ratkaisemiseen käytetään apuleikkaustasojen menetelmää. Menetelmän olemus on seuraava: piirrä aputaso Q suoran läpi ja aseta kahden suoran a ja b suhteellinen sijainti, joista viimeinen on apusekanttitason Q ja tämän tason T leikkausviiva ( kuva 6.1).

Kuva 6.1 Apuleikkaustasomenetelmä

Kukin kolmesta mahdollisesta tapauksesta näiden viivojen suhteellisesta sijainnista vastaa samanlaista tapausta linjan ja tason keskinäisestä sijainnista. Joten jos molemmat suorat ovat samat, niin suora a on tasossa T, suorien yhdensuuntaisuus osoittaa suoran ja tason yhdensuuntaisuuden, ja lopuksi viivojen leikkauspiste vastaa tapausta, jossa suora a leikkaa taso T. Siten on olemassa kolme tapausta suoran ja tason suhteellisesta sijainnista: kuuluu tasoon; Viiva on yhdensuuntainen tason kanssa; Suora leikkaa tason, erikoistapaus - suora on kohtisuorassa tasoon nähden. Harkitse jokaista tapausta.

Koneeseen kuuluva suora viiva

Aksiooma 1. Suora kuuluu tasoon, jos sen kaksi pistettä kuuluvat samaan tasoon (kuva 6.2).

Tehtävä. Annettu taso (n,k) ja yksi suoran m2 projektio. Suoran m puuttuvat projektiot on löydettävä, jos tiedetään sen kuuluvan leikkaavien suorien n ja k antamaan tasoon. Suoran m2 projektio leikkaa suorat n ja k pisteissä B2 ja C2, jotta löydettäisiin suoran puuttuvat projektiot, on löydettävä pisteiden B ja C puuttuvat projektiot suorina n ja k sijaitsevina pisteinä. , vastaavasti. Siten pisteet B ja C kuuluvat leikkaavien suorien n ja k antamaan tasoon ja suora m kulkee näiden pisteiden kautta, mikä tarkoittaa, että aksiooman mukaan suora kuuluu tähän tasoon.

Aksiooma 2. Suora kuuluu tasoon, jos sillä on yksi yhteinen piste tason kanssa ja se on yhdensuuntainen minkä tahansa tässä tasossa sijaitsevan suoran kanssa (kuva 6.3).

Tehtävä. Piirrä pisteen B kautta suora m, jos sen tiedetään kuuluvan leikkausviivojen n ja k antamaan tasoon. Kuuluu B suoralle n, joka on leikkaussuorien n ja k antamassa tasossa. Projektion B2 kautta piirretään suoran m2 projektio, joka on yhdensuuntainen suoran k2 kanssa, jotta löydettäisiin suoran puuttuvat projektiot, on tarpeen rakentaa pisteen B1 projektio pisteeksi, joka sijaitsee suoran n1 projektiossa ja piirrä sen läpi kulkevan suoran m1 projektio yhdensuuntaisesti projektion k1 kanssa. Siten pisteet B kuuluvat leikkaavien suorien n ja k antamaan tasoon ja suora m kulkee tämän pisteen kautta ja on yhdensuuntainen suoran k kanssa, mikä tarkoittaa, että aksiooman mukaan suora kuuluu tähän tasoon.

Kuva 6.3 Suoralla on yksi yhteinen piste tason kanssa ja se on yhdensuuntainen tässä tasossa olevan suoran kanssa

Päälinjat tasossa

Tasoon kuuluvien suorien viivojen joukossa erityinen paikka on suorilla viivoilla, jotka ovat tietyssä paikassa avaruudessa:

1. Vaakasuuntaiset h - suorat viivat, jotka sijaitsevat tietyssä tasossa ja ovat yhdensuuntaisia ​​projektioiden vaakatason kanssa (h / / P1) (kuva 6.4).

Kuva 6.4 Vaaka

2. Frontaalit f - suorat viivat, jotka sijaitsevat tasossa ja ovat yhdensuuntaisia ​​projektioiden etutason kanssa (f / / P2) (kuva 6.5).

Kuva 6.5 Etuosa

3. Profiilisuorat p - suorat viivat, jotka ovat tietyssä tasossa ja yhdensuuntaiset projektioiden profiilitason kanssa (p / / P3) (kuva 6.6). On huomattava, että koneen jälkiä voidaan myös liittää päälinjoihin. Vaakasuora viiva on tason vaakasuora, frontaali on etuosa ja profiili on tason profiiliviiva.

Kuva 6.6 Profiili suora

4. Suurimman kaltevuuden viiva ja sen vaakaprojektio muodostavat lineaarisen kulman j, joka mittaa tämän tason muodostaman dihedraalisen kulman ja projektioiden vaakatason (kuva 6.7). On selvää, että jos suoralla ei ole kahta yhteistä pistettä tason kanssa, se on joko yhdensuuntainen tason kanssa tai leikkaa sen.

Kuva 6.7 Suurimman rinteen viiva

Pisteen ja tason keskinäinen sijainti

Pisteen ja tason keskinäiseen järjestelyyn on kaksi vaihtoehtoa: joko piste kuuluu tasoon tai ei. Jos piste kuuluu tasoon, vain yksi kolmesta projektiosta, jotka määräävät pisteen sijainnin avaruudessa, voidaan asettaa mielivaltaisesti. Tarkastellaan esimerkkiä (kuva 6.8): Kahden rinnakkaisen suoran a(a//b) antamaan yleiseen asematasoon kuuluvan pisteen A projektion rakentaminen.

Tehtävä. Annettu: taso T(a,b) ja pisteen A2 projektio. Projektio A1 on rakennettava, jos tiedetään, että piste A on tasossa c,a. Pisteen A2 kautta piirretään suoran m2 projektio, joka leikkaa suorien a2 ja b2 projektiot pisteissä C2 ja B2. Kun on rakennettu pisteiden C1 ja B1 projektiot, jotka määrittävät m1:n sijainnin, löydämme pisteen A vaakaprojektion.

Kuva 6.8. Koneeseen kuuluva piste

Kaksi avaruudessa olevaa tasoa voivat olla joko keskenään yhdensuuntaisia, tietyssä tapauksessa yhteneväisiä keskenään tai leikkaavat toisiaan. Toisiaan kohtisuorat tasot ovat leikkaustasojen erikoistapaus.

1. Yhdensuuntaiset tasot. Tasot ovat yhdensuuntaisia, jos yhden tason kaksi leikkaavaa suoraa ovat vastaavasti yhdensuuntaisia ​​toisen tason kahden leikkaavan suoran kanssa. Tätä määritelmää havainnollistaa hyvin tehtävä pisteen B kautta piirtää taso, joka on yhdensuuntainen kahden leikkaavan suoran ab antaman tason kanssa (kuva 7.1). Tehtävä. Annettu: kahden leikkaavan suoran ab ja pisteen B antama taso yleisasemassa. Pisteen B kautta on piirrettävä taso ab kanssa yhdensuuntainen taso ja määriteltävä se kahdella leikkaavalla suoralla c ja d. Määritelmän mukaan, jos yhden tason kaksi leikkaavaa suoraa ovat vastaavasti yhdensuuntaisia ​​toisen tason kahden leikkaavan suoran kanssa, niin nämä tasot ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa. Yhdensuuntaisten viivojen piirtämiseksi kaavioon on käytettävä rinnakkaisen projektion ominaisuutta - yhdensuuntaisten viivojen projektiot ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa d||a, c||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2 ,с2||b2; d3||a3,с3||b3.

Kuva 7.1. Yhdensuuntaiset tasot

2. Leikkaavat tasot, erikoistapaus - keskenään kohtisuorat tasot. Kahden tason leikkausviiva on suora, jonka rakentamiseen riittää, että määritetään sen kaksi molemmille tasoille yhteistä pistettä tai yksi piste ja tasojen leikkausviivan suunta. Tarkastellaan kahden tason leikkausviivan rakennetta, kun toinen niistä ulkonee (kuva 7.2).

Tehtävä. Annettu: yleisasemassa oleva taso on annettu kolmiolla ABC, ja toinen taso on vaakasuoraan projektio T. Tasojen leikkausviiva on rakennettava. Tehtävän ratkaisuna on löytää kaksi näille tasoille yhteistä pistettä, joiden läpi voidaan vetää suora. Kolmion ABC määrittelemä taso voidaan esittää suorina (AB), (AC), (BC). Suoran (AB) leikkauspiste tason T kanssa - piste D, suora (AC) -F. Jana määrittää tasojen leikkauslinjan. Koska T on vaakatasossa projektio, projektio D1F1 osuu yhteen tason T1 jäljen kanssa, joten jää vain rakentaa puuttuvat projektiot P2:lle ja P3:lle.

Kuva 7.2. Yleistason leikkauspiste vaakasuoraan ulkonevan tason kanssa

Siirrytään yleiseen tapaukseen. Olkoon kaksi geneeristä tasoa a(m,n) ja b (ABC) avaruudessa (kuva 7.3).

Kuva 7.3. Tasojen leikkauspiste yleisessä asennossa

Tarkastellaan tasojen a(m//n) ja b(ABC) leikkausviivan konstruointisarjaa. Analogisesti edellisen tehtävän kanssa näiden tasojen leikkausviivan löytämiseksi piirretään apuviivat g ja d. Etsitään näiden tasojen leikkausviivat tarkasteltavien tasojen kanssa. Taso g leikkaa tason a pitkin suoraa (12) ja tason b - pitkin suoraa (34). Piste K - näiden viivojen leikkauspiste kuuluu samanaikaisesti kolmeen tasoon a, b ja g, ollen siten tasojen a ja b leikkausviivaan kuuluva piste. Taso d leikkaa tasot a ja b pitkin viivoja (56) ja (7C), vastaavasti, niiden leikkauspiste M sijaitsee samanaikaisesti kolmessa tasossa a, b, d ja kuuluu tasojen a ja b leikkaussuoraan. Siten löydetään kaksi pistettä, jotka kuuluvat tasojen a ja b leikkausviivaan - suora (KM).

Jonkin verran yksinkertaistamista tasojen leikkausviivan rakentamisessa voidaan saavuttaa, jos apupuoleiset leikkaustasot vedetään tason määrittävien suorien läpi.

Toisiaan kohtisuorat tasot. Stereometriasta tiedetään, että kaksi tasoa ovat keskenään kohtisuorassa, jos toinen niistä kulkee kohtisuoran läpi toiseen nähden. Pisteen A kautta voit piirtää joukon tasoja, jotka ovat kohtisuorassa annettuun tasoon a (f, h). Nämä tasot muodostavat avaruudessa tasokimpun, jonka akseli on pisteestä A tasoon a pudonnut kohtisuora. Jotta piirretään taso, joka on kohtisuorassa pisteestä A kahden leikkaavan suoran hf antamaan tasoon nähden, on piirrettävä suora n, joka on kohtisuorassa tasoon hf nähden pisteestä A (vaakaprojektio n on kohtisuorassa pisteen A tasoon hf nähden vaakasuora h, frontaaliprojektio n on kohtisuorassa frontaalisen projektion f) kanssa. Mikä tahansa suoran n läpi kulkeva taso on kohtisuorassa tasoon hf nähden, joten tason asettamiseksi pisteiden A kautta piirrämme mielivaltaisen suoran m. Kahden leikkaavan suoran mn antama taso on kohtisuorassa hf-tasoon nähden (kuva 7.4).

Kuva 7.4. Toisiaan kohtisuorat tasot

Taso-rinnakkaisliikemenetelmä

Projisoidun kohteen ja projektiotasojen suhteellisen sijainnin muuttaminen taso-rinnakkaisliikkeen menetelmällä suoritetaan muuttamalla geometrisen kohteen sijaintia siten, että sen pisteiden liikerata on yhdensuuntaisissa tasoissa. Liikkuvien pisteiden lentoratojen kantotasot ovat yhdensuuntaiset minkä tahansa projektiotason kanssa (kuva 8.1). Rata on mielivaltainen viiva. Kun geometrinen esine siirretään rinnakkain suhteessa projektiotasoihin, kuvion projektio, vaikka se muuttaa sijaintiaan, pysyy yhteneväisenä kuvion projektion kanssa sen alkuperäisessä asennossa.

Kuva 8.1 Segmentin luonnollisen koon määritys tasosuuntaisen liikkeen menetelmällä

Taso-rinnakkaisliikkeen ominaisuudet:

1. Pisteiden missä tahansa liikkeessä tason P1 suuntaisessa tasossa sen frontaaliprojektio liikkuu x-akselin suuntaista suoraa pitkin.

2. Jos piste liikkuu mielivaltaisesti P2:n suuntaisessa tasossa, sen vaakasuora projektio liikkuu x-akselin suuntaista suoraa pitkin.

Kiertomenetelmä projektiotasoon nähden kohtisuorassa olevan akselin ympäri

Pisteiden liikeratojen kantotasot ovat yhdensuuntaiset projektiotason kanssa. Liikerata - ympyrän kaari, jonka keskipiste sijaitsee akselilla, joka on kohtisuorassa projektiotasoon nähden. Janan luonnollisen koon määrittämiseksi yleisasennossa AB (kuva 8.2) valitaan kiertoakseli (i), joka on kohtisuorassa vaakasuuntaiseen projektiotasoon nähden ja kulkee B1:n kautta. Kierretään segmenttiä niin, että se on yhdensuuntainen frontaalisen projektiotason kanssa (janan vaakaprojektio on yhdensuuntainen x-akselin kanssa). Tässä tapauksessa piste A1 siirtyy kohtaan A "1, eikä piste B muuta sijaintiaan. Pisteen A" 2 sijainti on pisteen A liikeradan frontaalisen projektion leikkauspisteessä (suora yhdensuuntainen viiva x-akselille) ja tietoliikenneviiva, joka on vedetty A:sta "1. Tuloksena oleva projektio B2 A "2 määrittää itse segmentin todellisen koon.

Kuva 8.2 Janan luonnollisen koon määrittäminen kiertämällä projektioiden vaakatasoon nähden kohtisuorassa olevan akselin ympäri

Kiertomenetelmä projektiotason kanssa yhdensuuntaisen akselin ympäri

Harkitse tätä menetelmää käyttämällä esimerkkiä, jossa määritetään risteävien viivojen välinen kulma (kuva 8.3). Tarkastellaan kahta projektiota risteävistä suorista a ja jotka leikkaavat pisteessä K. Näiden suorien välisen kulman luonnollisen arvon määrittämiseksi on tarpeen muuttaa ortogonaaliset projektiot siten, että suorat tulevat projektiotason suuntaisiksi. Käytetään kiertomenetelmää tasoviivan ympäri - vaaka. Piirretään mielivaltainen Ox-akselin suuntainen frontaaliprojektio vaakasuuntaiselle h2:lle, joka leikkaa viivat pisteissä 12 ja 22. Kun projektiot 11 ja 11 on määritelty, rakennamme vaakasuuntaisen h1:n vaakaprojektion. Kaikkien pisteiden liikerata vaakatason ympäri kiertämisen aikana on ympyrä, joka projisoidaan P1-tasolle suoran viivan muodossa, joka on kohtisuorassa vaakatason vaakaprojektioon nähden.

Kuva 8.3 Leikkaavien viivojen välisen kulman määrittäminen, kierto vaakasuuntaisen projektiotason kanssa yhdensuuntaisen akselin ympäri

Siten pisteen K1 liikeradan määrittää suora K1O1, piste O on ympyrän keskipiste - pisteen K liikeradat. Tämän ympyrän säteen löytämiseksi löydämme janan KO luonnollisen arvon. Piste K "1 vastaa pistettä K, kun suorat a ja b ovat tasossa, joka on yhdensuuntainen P1:n kanssa ja vedetty vaakasuuntaisen kiertoakselin läpi. Tätä silmällä pitäen vedämme suoria viivoja pisteen K "1 ja pisteiden 11 ja 21 kautta, jotka ovat nyt P1:n suuntaisessa tasossa, ja siksi kulma phi on suorien a ja b välisen kulman luonnollinen arvo.

Menetelmä projektiotasojen korvaamiseksi

Projisoidun kuvan ja projektiotasojen suhteellisen sijainnin muuttaminen projektiotasoja muuttamalla saadaan aikaan korvaamalla P1- ja P2-tasot uusilla P4-tasoilla (kuva 8.4). Uudet tasot valitaan kohtisuorassa vanhoihin nähden. Jotkut projektiomuunnokset vaativat projektiotasojen kaksinkertaisen korvaamisen (kuva 8.5). Peräkkäinen siirtyminen projektiotasojärjestelmästä toiseen on suoritettava noudattamalla seuraavaa sääntöä: etäisyyden uudesta pisteprojektiosta uuteen akseliin on oltava yhtä suuri kuin etäisyys korvatusta pisteprojektiosta korvattuun akseliin.

Tehtävä 1: Määritä suoran janan AB todellinen koko yleisasemassa (kuva 8.4). Yhdensuuntaisen projektion ominaisuudesta tiedetään, että segmentti projisoidaan tasolle täysikokoisena, jos se on yhdensuuntainen tämän tason kanssa. Valitaan uusi projektiotaso P4, yhdensuuntainen janan AB kanssa ja kohtisuorassa tasoon P1 nähden. Esittelemällä uuden tason siirrymme tasojärjestelmästä P1P2 järjestelmään P1P4 ja uudessa tasojärjestelmässä janan A4B4 projektio on janan AB luonnollinen arvo.

Kuva 8.4. Suoran janan luonnollisen koon määritys korvaamalla projektiotasoja

Tehtävä 2: Määritä etäisyys pisteestä C janan AB (kuva 8.5) antamaan yleiseen suoraan.

Kuva 8.5. Suoran janan luonnollisen koon määritys korvaamalla projektiotasoja

Sanamuoto	Graafinen muoto
1. Aseta sivuun X, Y, Ζ akseleille pisteen A vastaavat koordinaatit. Saadaan pisteet A x , A y , A z
2. Vaakaprojektio A 1 sijaitsee pisteistä A x ja A y tulevien tietoliikennelinjojen leikkauskohdassa, joka on piirretty yhdensuuntaisesti X- ja Y-akselien kanssa
3. Frontaaliprojektio A 2 sijaitsee pisteistä A x ja A z lähtevien tietoliikennelinjojen leikkauskohdassa, joka on piirretty yhdensuuntaisesti akselien X ja z kanssa
4. Profiiliprojektio A 3 sijaitsee pisteistä A z ja A y tulevien tietoliikennelinjojen leikkauskohdassa, joka on piirretty yhdensuuntaisesti akselien Ζ ja Y kanssa

3.2. Pisteen sijainti suhteessa projektiotasoihin

Pisteen sijainti avaruudessa suhteessa projektiotasoihin määräytyy sen koordinaateista. X-koordinaatti määrittää pisteen etäisyyden P 3 -tasosta (projektio P 2:een tai P 1:een), Y-koordinaatti - etäisyyden P 2 -tasosta (projektio P 3:een tai P 1:een), Z-koordinaatti - etäisyys P 1 -tasosta (projektio kohtaan P 3 tai P 2). Näiden koordinaattien arvosta riippuen piste voi olla sekä yleisessä että tietyssä avaruudessa suhteessa projektiotasoihin (kuva 3.1).

Riisi. 3.1. Pisteiden luokittelu

Tpisteitäyleistämääräyksiä. Yleisen pisteen koordinaatit eivät ole nolla ( x≠0, y≠0, z≠0 ), ja koordinaatin etumerkistä riippuen piste voi sijaita yhdessä kahdeksasta oktantista (taulukko 2.1).

Kuvassa 3.2 piirustukset pisteistä yleisasennossa annetaan. Niiden kuvien analyysi antaa meille mahdollisuuden päätellä, että ne sijaitsevat seuraavissa avaruuden oktanteissa: A(+X;+Y; +Z(  Ioktantti;B(+X;+Y;-Z(  IVoktantti; C(-X;+Y; +Z(  Voktantti;D(+X;+Y; +Z(  IIoctant.

Yksityiset asemapisteet. Yksi tietyn sijainnin pisteen koordinaateista on nolla, joten pisteen projektio on vastaavalla projektiokentällä, kaksi muuta - projektioiden akseleilla. Kuvassa 3.3 tällaisia ​​pisteitä ovat pisteet A, B, C, D, G.A  P 3, sitten piste X A \u003d 0; AT  P 3, sitten piste X B \u003d 0; Kanssa  P 2, sitten piste Y C \u003d 0; D  P 1, sitten piste Z D \u003d 0.

Piste voi kuulua kahteen projektiotasoon kerralla, jos se on näiden tasojen leikkausviivalla - projektioakselilla. Tällaisille pisteille vain tämän akselin koordinaatti ei ole nolla. Kuvassa 3.3, tällainen piste on piste G(G  OZ, sitten piste X G =0, Y G =0).

3.3. Pisteiden keskinäinen sijainti avaruudessa

Tarkastellaan kolmea vaihtoehtoa pisteiden keskinäiselle järjestelylle riippuen niiden koordinaattien suhteesta, jotka määrittävät niiden sijainnin avaruudessa.

Kuvassa 3.4 Pisteillä A ja B on eri koordinaatit.

Niiden suhteellinen sijainti voidaan arvioida etäisyydellä projektiotasoihin: Y A >Y B, jolloin piste A sijaitsee kauempana tasosta P 2 ja lähempänä tarkkailijaa kuin piste B; Z A >Z B, silloin piste A sijaitsee kauempana tasosta P 1 ja lähempänä tarkkailijaa kuin piste B; X A

Kuvassa 3.5 näyttää pisteet A, B, C, D, joissa yksi koordinaateista on sama ja kaksi muuta ovat erilaisia.

Niiden suhteellinen sijainti voidaan arvioida niiden etäisyyden perusteella projektiotasoihin seuraavasti:

Y A \u003d Y B \u003d Y D, sitten pisteet A, B ja D ovat yhtä kaukana tasosta P 2, ja niiden vaaka- ja profiiliprojektio sijaitsevat viivoilla [A 1 B 1 ]llOX ja [A 3 B 3 ]llOZ . Tällaisten pisteiden paikka on П 2:n suuntainen taso;

Z A \u003d Z B \u003d Z C, silloin pisteet A, B ja C ovat yhtä kaukana tasosta P 1, ja niiden etu- ja profiiliprojektiot sijaitsevat vastaavasti viivoilla [A 2 B 2 ]llOX ja [A 3 C 3 ]llOY . Tällaisten pisteiden paikka on П 1:n suuntainen taso;

X A \u003d X C \u003d X D, sitten pisteet A, C ja D ovat yhtä kaukana tasosta P 3 ja niiden vaaka- ja etuprojektio sijaitsevat vastaavasti viivoilla [A 1 C 1 ]llOY ja [A 2 D 2 ]llOZ . Tällaisten pisteiden paikka on П 3:n suuntainen taso.

3. Jos pisteillä on kaksi samannimistä koordinaattia, niitä kutsutaan kilpailevat. Kilpailevat pisteet sijaitsevat samalla ulkonevalla linjalla. Kuvassa 3.3 annetaan kolme paria tällaisia ​​pisteitä, joissa: X A \u003d X D; YA = YD; Z D > Z A; XA = XC; ZA = ZC; Y C > Y A; YA = YB; ZA = ZB; X B > X A .

Vaakasuoraan ulkonevalla linjalla AD sijaitsevat vaakasuunnassa kilpailevat pisteet A ja D, etulinjalla AC päin kilpailevat pisteet A ja C, profiilin ulkonevalla linjalla AB profiilikilpailevat pisteet A ja B.

Johtopäätökset aiheesta

1. Piste on lineaarinen geometrinen kuva, yksi kuvailevan geometrian peruskäsitteistä. Pisteen sijainti avaruudessa voidaan määrittää sen koordinaateilla. Jokaiselle pisteen kolmelle projektiolle on tunnusomaista kaksi koordinaattia, niiden nimi vastaa niiden akselien nimiä, jotka muodostavat vastaavan projektiotason: vaaka - A 1 (XA; YA); etuosa - A 2 (XA; ZA); profiili - A 3 (YA; ZA). Projektien välisten koordinaattien käännös suoritetaan viestintälinjoilla. Kahdesta projektiosta voit rakentaa pisteen projektioita joko koordinaattien avulla tai graafisesti.

3. Piste suhteessa projektiotasoihin voi olla sekä yleisessä että tietyssä paikassa avaruudessa.

4. Yleisasemassa oleva piste on piste, joka ei kuulu mihinkään projektiotasoon, eli sijaitsee projektiotasojen välisessä tilassa. Yleisessä sijainnissa olevan pisteen koordinaatit eivät ole nolla (x≠0,y≠0,z≠0).

5. Yksityinen sijaintipiste on piste, joka kuuluu yhteen tai kahteen projektiotasoon. Yksi tietyn sijainnin pisteen koordinaateista on nolla, joten pisteen projektio on projektiotason vastaavalla kentällä, kaksi muuta - projektioiden akseleilla.

6. Kilpailevat pisteet ovat pisteitä, joiden samannimiset koordinaatit ovat samat. On vaakasuunnassa kilpailevia pisteitä, frontaalisesti kilpailevia pisteitä ja profiilikilpaisia ​​pisteitä.

Avainsanat

Pistekoordinaatit

Yleinen pointti

Yksityinen sijaintipiste

Kilpailevat pisteet

Ongelmien ratkaisemiseen tarvittavat toimintatavat

– pisteen rakentaminen annettujen koordinaattien mukaan kolmen projektiotason järjestelmässä avaruudessa;

– pisteen rakentaminen annettujen koordinaattien mukaan kolmen projektiotason järjestelmässä kompleksipiirustuksessa.

Kysymyksiä itsetutkiskelua varten

1. Miten kompleksipiirustuksen koordinaattien sijainnin yhteys kolmen projektiotason P 1 P 2 P 3 järjestelmässä määritetään pisteiden projektioiden koordinaatteihin?

2. Mitkä koordinaatit määräävät pisteiden etäisyyden vaakasuoraan, frontaaliseen, profiiliprojektiotasoon?

3. Mitkä pisteen koordinaatit ja projektiot muuttuvat, jos piste liikkuu projektioiden П 3 profiilitasoon nähden kohtisuoraan suuntaan?

4. Mitkä pisteen koordinaatit ja projektiot muuttuvat, jos piste liikkuu OZ-akselin suuntaisesti?

5. Mitkä koordinaatit määräävät pisteen vaaka- (etu-, profiili-) projektion?

7. Missä tapauksessa pisteen projektio osuu yhteen itse avaruuden pisteen kanssa ja missä ovat tämän pisteen kaksi muuta projektiota?

8. Voiko piste kuulua kolmeen projektiotasoon samanaikaisesti ja missä tapauksessa?

9. Mitkä ovat niiden pisteiden nimet, joiden samannimiset projektiot osuvat yhteen?

10. Kuinka voit määrittää, kumpi kahdesta pisteestä on lähempänä havaitsijaa, jos niiden frontaaliset projektiot osuvat yhteen?

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

1. Anna visuaalinen kuva pisteistä A, B, C, D suhteessa projektiotasoihin P 1, P 2. Pisteet on annettu niiden projektioiden perusteella (kuva 3.6).

2. Muodosta pisteiden A ja B projektiot niiden koordinaattien mukaan visuaalisessa kuvassa ja kompleksipiirustuksessa: A (13.5; 20), B (6.5; -20). Muodosta projektio pisteestä C, joka sijaitsee symmetrisesti pisteen A kanssa suhteessa projektioiden П 2 etutasoon.

3. Rakenna pisteiden A, B, C projektiot niiden koordinaattien mukaan visuaalisessa kuvassa ja monimutkaisessa piirustuksessa: A (-20; 0; 0), B (-30; -20; 10), C (-10, -15, 0). Muodosta piste D, joka sijaitsee symmetrisesti pisteen C kanssa OX-akselin suhteen.

Esimerkki tyypillisen ongelman ratkaisemisesta

Tehtävä 1. Pisteiden A, B, C, D, E, F koordinaatit X, Y, Z (taulukko 3.3)

Kuvien rakentamiseksi useista yksityiskohdista on pystyttävä löytämään yksittäisten pisteiden projektiot. Esimerkiksi kuvassa 2 esitetystä osasta on vaikea piirtää ylhäältä katsottuna. 139 rakentamatta pisteiden A, B, C, D, E, F jne vaakasuuntaisia ​​projektioita.

Ongelma pisteiden projektioiden löytämisestä annetulla objektin pinnalla ratkaistaan ​​seuraavasti. Ensin löydetään pinnan projektiot, jolla piste sijaitsee. Sitten piirretään liitosviiva projektioon, jossa pintaa edustaa viiva, löydetään pisteen toinen projektio. Kolmas projektio sijaitsee viestintälinjojen leikkauskohdassa.

Harkitse esimerkkiä.

Osasta on annettu kolme projektiota (kuva 140, a). Näkyvällä pinnalla olevan pisteen A vaakasuora projektio a on annettu. Meidän on löydettävä muut tämän kohdan ennusteet.

Ensinnäkin sinun on piirrettävä apuviiva. Jos annetaan kaksi näkymää, niin apuviivan paikka piirustuksessa valitaan mielivaltaisesti, yläkuvan oikealle puolelle niin, että vasemmanpuoleinen näkymä on halutulla etäisyydellä päänäkymästä (kuva 141).

Jos kolme näkymää on jo rakennettu (kuva 142, a), apulinjan paikkaa ei voi valita mielivaltaisesti; sinun on löydettävä piste, jonka läpi se kulkee. Tätä varten riittää, että jatketaan symmetria-akselin vaaka- ja profiiliprojektioiden keskinäiseen leikkauspisteeseen ja piirretään tuloksena olevan pisteen k läpi (kuva 142, b) 45 ° kulmassa oleva suora segmentti, joka on apusuora.

Jos symmetria-akseleita ei ole, jatketaan pisteen k 1 leikkauspisteeseen asti minkä tahansa pinnan vaaka- ja profiiliprojektiot, jotka on projisoitu suorien viivasegmenttien muodossa (kuva 142, b).

Piirrettyään apusuoran he alkavat rakentaa pisteen projektioita (katso kuva 140, b).

Pisteen A etuprojektioiden a" ja profiilin a" tulee sijaita vastaavissa pinnan projektioissa, johon piste A kuuluu. Nämä projektiot löytyvät. Kuvassa 140, b ne on korostettu värein. Piirrä tietoliikennelinjat nuolien osoittamalla tavalla. Yhteyslinjojen ja pinnan projektioiden leikkauspisteistä löytyy halutut projektiot a" ja a".

Pisteiden B, C, D projektioiden rakenne on esitetty kuvassa. 140, viestintälinjoissa nuolilla. Annetut pisteiden projektiot ovat värillisiä. Yhteysviivat piirretään projektioon, jossa pinta on kuvattu viivana, ei kuviona. Siksi ensin löydetään frontaaliprojektio pisteestä C. Profiiliprojektio pisteestä C määräytyy tietoliikennelinjojen leikkauspisteestä.

Jos pintaa ei ole kuvattu viivalla missään projektiossa, niin pisteiden projektioiden muodostamiseen on käytettävä aputasoa. Esim. on annettu pisteen A frontaaliprojektio d, joka sijaitsee kartion pinnalla (kuva 143, a). Aputaso piirretään pohjan kanssa yhdensuuntaisen pisteen läpi, joka leikkaa kartion ympyrässä; sen etuprojektio on suoraviivainen segmentti ja sen vaakaprojektio on ympyrä, jonka halkaisija on yhtä suuri kuin tämän segmentin pituus (kuva 143, b). Piirtämällä yhteysviiva tähän ympyrään pisteestä a saadaan pisteen A vaakasuora projektio.

Pisteen A profiiliprojektio a" löytyy tavalliseen tapaan viestintälinjojen risteyksestä.

Samalla tavalla voidaan löytää esimerkiksi pyramidin tai pallon pinnalla olevan pisteen projektiot. Kun pyramidin leikkaa taso, joka on yhdensuuntainen kannan kanssa ja kulkee tietyn pisteen läpi, muodostuu kantaa vastaava kuvio. Annetun pisteen projektiot ovat tämän kuvan projektioissa.

Vastaa kysymyksiin

1. Missä kulmassa apuviiva vedetään?

2. Mihin piirretään apuviiva, jos etu- ja ylänäkymä on annettu, mutta sinun on rakennettava näkymä vasemmalta?

3. Kuinka määrittää apulinjan paikka kolmen tyypin läsnä ollessa?

4. Millä menetelmällä pisteen projektiot muodostetaan tietyn pisteen mukaan, jos jokin kohteen pinnoista on esitetty suoralla?

5. Mille geometrisille kappaleille ja missä tapauksissa niiden pinnalla olevan pisteen projektiot löydetään aputason avulla?

Tehtävät § 20:een

Harjoitus 68

Kirjoita työkirjaan, mitkä näkymien numeroilla merkittyjen pisteiden projektiot vastaavat opettajan sinulle osoittaman esimerkin (kuva 144, a-d) visuaalisen kuvan kirjaimilla merkittyjä pisteitä.

Harjoitus 69

Kuvassa 145, a-b-kirjaimet osoittavat vain yhden projektion joistakin pisteistä. Etsi opettajan sinulle antamasta esimerkistä näiden pisteiden jäljellä olevat projektiot ja merkitse ne kirjaimilla. Muodosta jossakin esimerkissä kohteen reunoilla annettujen pisteiden puuttuvat projektiot (kuva 145, d ja e). Korosta värillä niiden reunojen projektiot, joilla pisteet sijaitsevat Suorita tehtävä läpinäkyvälle paperille, peittämällä se oppikirjan sivulle Ei tarvitse piirtää uudelleen Kuva 145.

Harjoitus 70

Etsi yhden projektion antamat puuttuvat pisteiden projektiot kohteen näkyville pinnoille (kuva 146). Merkitse ne kirjaimilla. Korosta annetut pisteiden projektiot väreillä. Visuaalinen kuva auttaa sinua ratkaisemaan ongelman. Tehtävän voi suorittaa sekä työkirjassa että läpinäkyvälle paperille peittämällä se oppikirjan sivulla. Jälkimmäisessä tapauksessa piirrä kuva uudelleen. 146 ei ole välttämätön.

Harjoitus 71

Piirrä kolme tyyppiä opettajan antamassa esimerkissä (kuva 147). Rakenna esineen näkyville pinnoille annettujen pisteiden puuttuvat projektiot. Korosta annetut pisteiden projektiot väreillä. Merkitse kaikki pisteprojektiot. Käytä apusuoraa pisteiden projektioiden rakentamiseen. Tee tekninen piirustus ja merkitse siihen annetut kohdat.

PISTEEN PROJEKTIOT KAHDELLE PROJEKTIOTASOLLE

Suoran janan AA 1 muodostuminen voidaan esittää pisteen A liikkumisen tuloksena missä tahansa tasossa H (kuva 84, a), ja tason muodostuminen voidaan esittää suoran janan AB siirtymänä ( Kuva 84, b).

Piste on viivan ja pinnan tärkein geometrinen elementti, joten kohteen suorakulmaisen projektion tutkiminen alkaa pisteen suorakaiteen muotoisten projektioiden rakentamisesta.

Kahden kohtisuoran tason - projektioiden V etutason (pystysuoran) ja projektioiden H vaakatason - muodostaman kaksitahoisen kulman tilaan sijoitamme pisteen A (kuva 85, a).

Projektitasojen leikkausviiva on suora, jota kutsutaan projektioakseliksi ja jota merkitään kirjaimella x.

V-taso esitetään tässä suorakulmiona ja H-taso suuntaviivana. Tämän suuntaviivan kalteva sivu piirretään yleensä 45° kulmaan sen vaakasuuntaiseen sivuun nähden. Kaltevan sivun pituus on 0,5 sen todellisesta pituudesta.

Pisteestä A lasketaan kohtisuorat tasoilla V ja H. Kohtisuorien leikkauspisteen projektiotasojen V ja H pisteet a "ja a ovat pisteen A suorakaiteen muotoisia projektioita. Kuva Aaa x a" avaruudessa on suorakulmio. Tämän suorakulmion sivuaax visuaalisessa kuvassa pienenee 2 kertaa.

Kohdistetaan H-taso V-tason kanssa kiertämällä V:tä x-tasojen leikkausviivan ympäri. Tuloksena on monimutkainen piirustus pisteestä A (kuva 85, b)

Monimutkaisen piirustuksen yksinkertaistamiseksi projektiotasojen V ja H rajoja ei ole merkitty (kuva 85, c).

Pisteestä A projektiotasoihin vedettyjä kohtisuoraa kutsutaan projektioviivoiksi, ja näiden ulkonevien viivojen kantaa - pisteitä a ja a "kutsutaan pisteen A projektioiksi: a" on pisteen A frontaaliprojektio, a on pisteen A projektio. kohta A.

Viivaa a "a kutsutaan projektioyhteyden pystysuoraksi viivaksi.

Pisteen projektion sijainti monimutkaisessa piirustuksessa riippuu tämän pisteen sijainnista avaruudessa.

Jos piste A sijaitsee vaakaprojektiotasolla H (kuva 86, a), niin sen vaakaprojektio a osuu yhteen pisteen kanssa ja frontaaliprojektio a " sijaitsee akselilla. Kun piste B sijaitsee frontaaliprojektiossa taso V, sen etuprojektio osuu yhteen tämän pisteen kanssa ja vaakaprojektio on x-akselilla. Tietyn x-akselilla olevan pisteen C vaaka- ja frontaaliprojektio osuvat yhteen tämän pisteen kanssa. Monimutkainen piirustus pisteistä A, B ja C on esitetty kuvassa 86, b.

PISTEEN PROJEKTIOT KOLMELLA PROJEKTIOTASOSSA

Tapauksissa, joissa esineen muotoa on mahdotonta kuvitella kahdesta projektiosta, se projisoidaan kolmelle projektiotasolle. Tässä tapauksessa esitellään projektioiden W profiilitaso, joka on kohtisuorassa tasoihin V ja H nähden. Kuvassa 1 on esitetty visuaalinen esitys kolmen projektiotason järjestelmästä. 87 a.

Kolmikulmaisen kulman (projektiotasojen leikkauspisteen) reunoja kutsutaan projektioakseleiksi ja niitä merkitään x:llä, y:llä ja z:llä. Projektioakseleiden leikkauskohtaa kutsutaan projektioakseleiden alusta ja sitä merkitään kirjaimella O. Pudotetaan kohtisuora pisteestä A projektiotasolle W ja merkitsemällä kohtisuoran kantaa kirjaimella a, teemme hanki pisteen A profiiliprojektio.

Monimutkaisen piirustuksen saamiseksi H- ja W-tasojen pisteet A kohdistetaan V-tason kanssa pyörittämällä niitä Ox- ja Oz-akselien ympäri. Monimutkainen piirustus pisteestä A on esitetty kuvassa. 87b ja c.

Pisteestä A projektiotasoihin suuntautuvien viivojen segmenttejä kutsutaan pisteen A koordinaateiksi ja niitä merkitään: x A, y A ja z A.

Esimerkiksi pisteen A koordinaatti z A, joka on yhtä suuri kuin jana a "a x (kuva 88, a ja b), on etäisyys pisteestä A vaakasuuntaiseen projektiotasoon H. Koordinaatti pisteessä A on yhtä suuri kuin jana aa x on etäisyys pisteestä A projektioiden V etutasoon. Janaa aa y vastaava x A koordinaatti on etäisyys pisteestä A projektioiden W profiilitasoon.

Siten pisteen projektion ja projektioakselin välinen etäisyys määrittää pisteen koordinaatit ja on avain sen monimutkaisen piirustuksen lukemiseen. Pisteen kahdella projektiolla voidaan määrittää pisteen kaikki kolme koordinaattia.

Jos pisteen A koordinaatit on annettu (esimerkiksi x A \u003d 20 mm, y A \u003d 22 mm ja z A \u003d 25 mm), tästä pisteestä voidaan rakentaa kolme projektiota.

Tätä varten koordinaattien O origosta Oz-akselin suunnassa asetetaan koordinaatti z A ja koordinaatti y A. segmentit, jotka ovat yhtä suuria kuin x-koordinaatti A. Tuloksena olevat pisteet a "ja a ovat pisteen A etu- ja vaakaprojektio.

Kahden projektion a "ja pisteen A mukaan sen profiiliprojektio voidaan rakentaa kolmella tavalla:

1) origosta O piirretään apukaari, jonka säde Oa y on yhtä suuri kuin koordinaatit (kuva 87, b ja c), vedetään saadusta pisteestä a y1 Oz-akselin suuntainen suora ja asetetaan a segmentti yhtä suuri kuin z A;

2) pisteestä a y vedetään apusuora 45° kulmassa Oy akseliin nähden (kuva 88, a), saadaan piste a y1 jne.;

3) piirretään origosta O apusuora 45° kulmassa Oy akseliin nähden (kuva 88, b), saadaan piste a y1 jne.

PISTEIDEN PROJEKTIOT.

ORTOGONAALINEN JÄRJESTELMÄ KAHDEN PROJEKTIOTASOJEN JÄRJESTELMÄSTÄ.

Ortogonaalisen projektiomenetelmän ydin on siinä, että kohde projisoidaan kahdelle keskenään kohtisuoralle tasolle säteet, jotka ovat kohtisuorassa (pystysuorassa) näihin tasoihin nähden.

Yksi projektiotasoista H on sijoitettu vaakasuoraan ja toinen V on asetettu pystysuoraan. Tasoa H kutsutaan projektioiden vaakatasoksi, V - frontaaliksi. Tasot H ja V ovat äärettömiä ja läpinäkymättömiä. Projektitasojen leikkausviivaa kutsutaan koordinaattiakseliksi ja sitä merkitään HÄRKÄ. Projektiotasot jakavat avaruuden neljään dihedraaliseen kulmaan - neljänneksiin.

Kun otetaan huomioon ortogonaaliset projektiot, oletetaan, että havainnoija on ensimmäisellä neljänneksellä äärettömän suurella etäisyydellä projektiotasoista. Koska nämä tasot ovat läpinäkymättömiä, vain ne pisteet, viivat ja hahmot, jotka sijaitsevat samalla ensimmäisellä neljänneksellä, näkyvät tarkkailijalle.

Projektioita rakennettaessa on syytä muistaa tämä pisteen ortogonaalinen projektiotasossa kutsutaan tietystä pisteestä pudonneen kohtisuoran kantaatähän koneeseen.

Kuvassa näkyy piste MUTTA ja sen ortogonaaliset projektiot a 1 ja a 2.

Kohta a 1 nimeltään suunnittelunäkymä pisteitä MUTTA, kohta a 2- hänen etuprojektio. Jokainen niistä on pisteestä pudotetun kohtisuoran kanta MUTTA vastaavasti lentokoneessa H ja V.

Se voidaan todistaa pisteen projektioaina suorilla viivoilla, kohtisuorassakulmainen akseliVAI NIIN ja ylittää tämän akselinsamassa kohdassa. Todellakin, projisoivat säteet MUTTAa 1 ja MUTTAa 2 määritellä taso, joka on kohtisuorassa projektiotasoja ja niiden leikkaussuojia vastaan ​​- akselit VAI NIIN. Tämä taso leikkaa H ja V suorissa linjoissa a 1 ax ja a 1 ax, jotka muodostuvat akselin kanssa HÄRKÄ ja keskenään suorat kulmat kärjen kanssa pisteessä ax.

Totta on myös päinvastoin, ts. jos projektiotasoilla on pisteeta 1 ja a 2 , sijaitsevat risteävillä suorilla viivoilla akseli HÄRKÄtässä vaiheessa suorassa kulmassa,niin ne ovat joidenkin ennusteitapisteet A. Tämä piste määräytyy pisteistä muodostettujen kohtisuorien leikkauspisteestä a 1 ja a 2 lentokoneisiin H ja V.

Huomaa, että projektiotasojen sijainti avaruudessa voi olla erilainen. Esimerkiksi molemmat tasot, jotka ovat keskenään kohtisuorassa, voivat olla pystysuoria, mutta tässä tapauksessa yllä oleva oletus pisteiden vastakkaisten projektioiden suunnasta suhteessa akseliin pysyy voimassa.

Saadaksesi tasaisen piirustuksen, joka koostuu yllä olevista projektioista, taso H kohdistettu pyörittämällä akselin ympäri HÄRKÄ lentokoneen kanssa V kuten kuvan nuolet osoittavat. Tämän seurauksena etupuolitaso H kohdistetaan alemman puolitason kanssa V, ja takapuolitaso H- ylemmällä puolitasolla V.

Projektiopiirustus, jossa projektiotasot ja kaikki niillä kuvattu on yhdistetty tietyllä tavalla toisiinsa, on ns. kaavio(ranskasta epure - piirustus). Kuvassa on kaavio pisteestä MUTTA.

Tällä tasojen yhdistämismenetelmällä H ja V ennusteet a 1 ja a 2 sijoitetaan samaan kohtisuoraan akseliin nähden HÄRKÄ. Samaan aikaan etäisyys a 1 x — pisteen vaakaprojektiosta akselille HÄRKÄ MUTTA koneeseen asti V ja etäisyys a 2 x — pisteen etuprojektiosta akselille HÄRKÄ yhtä suuri kuin etäisyys pisteestä MUTTA koneeseen asti H.

Suorat viivat, jotka yhdistävät kaavion pisteen vastakkaiset projektiot, suostumme kutsumaan projektioviestintälinjat.

Pisteiden projektioiden sijainti kaaviossa riippuu neljänneksestä, jossa annettu piste sijaitsee. Joten jos pointti AT sijaitsee toisella neljänneksellä, sitten tasojen kohdistuksen jälkeen molemmat projektiot ovat akselin yläpuolella HÄRKÄ.

Jos kohta Kanssa on kolmannella neljänneksellä, sitten sen vaakaprojektio tasojen yhdistämisen jälkeen on akselin yläpuolella ja etuprojektio on akselin alapuolella HÄRKÄ. Lopuksi, jos kohta D sijaitsee neljännellä neljänneksellä, niin sen molemmat ennusteet ovat akselin alla HÄRKÄ. Kuvassa näkyy pisteet M ja N makaa projektiotasoilla. Tässä asennossa piste osuu yhteen projektionsa kanssa, kun taas sen toinen projektio osoittautuu makaavaksi akselilla HÄRKÄ. Tämä ominaisuus näkyy myös nimeämisessä: lähellä projektiota, jonka kanssa piste itse osuu, kirjoitetaan iso kirjain ilman indeksiä.

On myös huomattava, että tapaus, jossa pisteen molemmat projektiot osuvat yhteen. Tämä tapahtuu, jos piste on toisella tai neljännellä neljänneksellä samalla etäisyydellä projektiotasoista. Molemmat projektiot yhdistetään itse pisteeseen, jos jälkimmäinen sijaitsee akselilla HÄRKÄ.

KOLMEN PROJEKTIOTASOJEN ORTOGONAALINEN JÄRJESTELMÄ.

Edellä on osoitettu, että pisteen kaksi projektiota määrää sen sijainnin avaruudessa. Koska jokainen kuvio tai kappale on kokoelma pisteitä, voidaan väittää, että esineen kaksi ortogonaalista projektiota (kirjainmerkintöjen läsnä ollessa) määräävät täysin sen muodon.

Käytännössä rakennusrakenteiden, koneiden ja erilaisten teknisten rakenteiden kuvaamisessa on kuitenkin tarpeen luoda lisäprojektioita. He tekevät tämän yksinomaan tehdäkseen projektiopiirroksesta selkeämmän ja luettavamman.

Kolmen projektiotason malli on esitetty kuvassa. Kolmas taso, kohtisuorassa ja H ja V, merkitty kirjaimella W ja soitti profiili.

Tämän tason pisteiden projektioita kutsutaan myös profiiliksi, ja ne on merkitty isoilla kirjaimilla tai numeroilla indeksillä 3 (ah,bh,ch,...1h, 2h, 33...).

Projektitasot, jotka leikkaavat pareittain, määrittelevät kolme akselia: OX, OY ja OZ, jota voidaan pitää suorakaiteen muotoisten suorakulmaisten koordinaattien järjestelmänä avaruudessa, jonka origo on pisteessä O. Kuvassa esitetty merkkijärjestelmä vastaa "oikeaa" koordinaattijärjestelmää.

Kolme projektiotasoa jakaa avaruuden kahdeksaan kolmikulmaiseen kulmaan - nämä ovat ns oktantit. Oktanttien numerointi on esitetty kuvassa.

Saadaksesi juoni lentokoneesta H ja W pyöritä kuvan osoittamalla tavalla, kunnes se on linjassa tason kanssa V. Kierron seurauksena etupuolitaso H osoittautuu kohdakkain alemman puolitason kanssa V, ja takapuolitaso H- ylemmällä puolitasolla V. Kierrettynä 90° akselin ympäri OZ etupuolitaso W osuu yhteen oikean puolitason kanssa V, ja takapuolitaso W- vasemmalla puolitasolla V.

Lopullinen kuva kaikista yhdistetyistä projektiotasoista on esitetty kuvassa. Tässä piirustuksessa akselit OX ja OZ, makaa kiinteässä tasossa V, näytetään vain kerran ja akseli OY näytetään kahdesti. Tämä selittyy sillä, että pyöriminen koneen mukana H, akseli OY kaaviossa on linjassa akselin kanssa OZ, pyöriessään koneen kanssa W, sama akseli on linjassa akselin kanssa OX.

Jatkossa kaavion akseleita määritettäessä negatiiviset puoliakselit (- OX, — OY, — OZ) ei ilmoiteta.

KOLME KOORDINAATTIA JA KOLME PISTEEN JA SEN SÄTEVEKTORIN PROJEKTIOTA.

Koordinaatit ovat numeroitalaita kirjeenvaihto määritettävän pisteen kanssaniya sen sijainnista avaruudessa tai sen päälläpinnat.

Kolmiulotteisessa avaruudessa pisteen sijainti asetetaan käyttämällä suorakulmaisia ​​suorakulmaisia ​​koordinaatteja x, y ja z.

Koordinoi X nimeltään abskissa, klo— ordinaattinen ja z — applikointi. Abskissa X määrittää etäisyyden tietystä pisteestä tasoon W, ordinaattinen y - koneeseen asti V ja applikointi z - koneeseen asti H. Otettuaan käyttöön kuvassa esitetyn järjestelmän pisteen koordinaattien laskemiseksi, teemme taulukon koordinaattien etumerkeistä kaikissa kahdeksassa oktantissa. Mikä tahansa piste avaruudessa MUTTA, Koordinaateilla annettuna, merkitään seuraavasti: A(x, y,z).

Jos x = 5, y = 4 ja z = 6, merkintä on seuraavanlainen MUTTA(5, 4, 6). Tämä kohta MUTTA, joiden kaikki koordinaatit ovat positiivisia, on ensimmäisessä oktantissa

Pistekoordinaatit MUTTA ovat samalla sen sädevektorin koordinaatit

OA koordinaattien alkuperän suhteen. Jos i, j, k ovat yksikkövektoreita, jotka on suunnattu vastaavasti koordinaattiakseleita pitkin x, y,z(kuva) siis

OA =OA x i+OAyj + OAzk , missä OA X, OA U, OA g - vektorin koordinaatit OA

On suositeltavaa rakentaa kuva itse pisteestä ja sen projektioista tilamalliin (kuvaan) käyttämällä koordinaattisuorakulmaista suuntaissärmiötä. Ensinnäkin koordinaattiakseleilla pisteestä O lykätä segmenttejä vastaavasti yhtä suureksi 5, 4 ja 6 pituusyksiköitä. Näillä segmenteillä (Ox , Oa y , Oa z ), kuten reunoihin, rakenna suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö. Sen kärki, vastapäätä origoa, määrittää annetun pisteen MUTTA. Se on helppo nähdä pisteen määrittämiseksi MUTTA riittää, että esimerkiksi suuntaissärmiöstä rakennetaan vain kolme reunaa Ox , a x a 1 ja a 1 MUTTA tai Oa y , a y a 1 ja a 1 A ja niin edelleen Nämä reunat muodostavat koordinaattiviivan, jonka jokaisen linkin pituus määräytyy pisteen vastaavan koordinaatin mukaan.

Suuntasärmiön rakentaminen sallii kuitenkin pisteen määrittämisen MUTTA, mutta myös kaikki kolme sen ortogonaalista projektiota.

Säteet projisoivat pisteen tasossa H, V, W ovat suuntaissärmiön kolme reunaa, jotka leikkaavat pisteessä MUTTA.

Jokainen pisteen ortogonaalinen projektio MUTTA, tasossa sijaitsemisen määrää vain kaksi koordinaattia.

Kyllä, vaakasuora projektio a 1 määräytyy koordinaateista X ja y, etuprojektio a 2 - koordinaatit x jaz, profiilin projektio a 3 — koordinaatit klo ja z. Mutta mitkä tahansa kaksi projektiota määrätään kolmella koordinaatilla. Siksi pisteen määrittäminen kahdella projektiolla vastaa pisteen määrittämistä kolmella koordinaatilla.

Kaaviossa (kuvassa), jossa kaikki projektiotasot on yhdistetty, projektiot a 1 ja a 2 on samalla kohtisuorassa akseliin nähden OX, ja ennusteet a 2 ja a 3 — yksi kohtisuorassa akseliin nähden oz.

Mitä tulee ennusteisiin a 1 ja a 3 , sitten ne yhdistetään suorilla viivoilla a 1 a y ja a 3 a y , kohtisuorassa akseliin nähden OY. Mutta koska tällä akselilla on kaaviossa kaksi asemaa, segmentti a 1 a y ei voi olla jatkoa segmentille a 3 a y .

Pisteprojektioiden rakentaminen A (5, 4, 6) kaaviossa annetuissa koordinaateissa ne suoritetaan seuraavassa järjestyksessä: ensinnäkin abskissa-akselille origosta lasketaan segmentti Ox = x(meidän tapauksessamme x =5), sitten pisteen kautta x piirrä kohtisuoraan akseliin nähden OX, jossa merkit huomioon ottaen lykkäämme segmenttejä a x a 1 = y(saamme a 1 ) ja a x a 2 = z(saamme a 2 ). Jäljelle jää pisteen profiiliprojektio a 3 . Koska pisteen profiilin ja etuprojektion tulee sijaita samalla kohtisuorassa akseliin nähden oz , sitten läpi a 3 suoraan a 2 a z ^ oz.

Lopuksi herää viimeinen kysymys: millä etäisyydellä akselista OZ pitäisi olla 3?

Ottaen huomioon koordinaattilaatikon (katso kuva), jonka reunat a z a 3 = O a y = a x a 1 = y päättelemme, että haluttu etäisyys a z a 3 on yhtä suuri y. Jana a z a 3 aseta sivuun OZ-akselin oikealle puolelle, jos y>0, ja vasemmalle, jos y

Katsotaan mitä muutoksia kaaviossa tapahtuu, kun piste alkaa muuttaa sijaintiaan avaruudessa.

Otetaan esimerkiksi piste A (5, 4, 6) liikkuu suorassa linjassa, joka on kohtisuorassa tasoon nähden V. Tällaisella liikkeellä vain yksi koordinaatti muuttuu y, näyttää etäisyyden pisteestä tasoon V. Koordinaatit pysyvät vakiona. x jaz , ja näiden koordinaattien määrittelemän pisteen projektio, ts. a 2 ei muuta asemaansa.

Mitä tulee ennusteisiin a 1 ja a 3 , niin ensimmäinen alkaa lähestyä akselia OX, toinen - akselille OZ. Kuvissa pisteen uusi sijainti vastaa merkintöjä a 1 (a 1 1 a 2 1 a 3 1 ). Kun piste on lentokoneessa V(y = 0), kaksi kolmesta projektiosta ( a 1 2 ja a 3 2 ) makaa akseleilla.

Muutettuaan minä oktantti sisään II, piste alkaa siirtyä pois koneesta V, koordinoida klo muuttuu negatiiviseksi, sen absoluuttinen arvo kasvaa. Tämän pisteen vaakasuora projektio, joka sijaitsee takapuolitasolla H, tontilla on akselin yläpuolella OX, ja profiiliprojektio, joka on takapuolitasossa W, kaaviossa on akselin vasemmalla puolella OZ. Kuten aina, leikkaa a za 3 3 = y.

Seuraavissa kaavioissa emme merkitse kirjaimilla koordinaattiakselien leikkauspisteitä projektioyhteyden linjojen kanssa. Tämä yksinkertaistaa piirustusta jossain määrin.

Tulevaisuudessa on kaavioita ilman koordinaattiakseleita. Tämä tehdään käytännössä esineitä kuvattaessa, milloin vain itse kuva on olennainenesinettä, ei sen sijaintia suhteessaprojektiotasot.

Projektitasot määritetään tässä tapauksessa tarkkuudella vain yhdensuuntaiseen siirtoon asti (kuva). Yleensä niitä siirretään rinnakkain itsensä kanssa siten, että kaikki kohteen pisteet ovat tason yläpuolella. H ja koneen edessä V. Koska X 12 -akselin sijainti osoittautuu määrittelemättömäksi, kaavion muodostusta ei tässä tapauksessa tarvitse liittää tasojen kiertoon koordinaattiakselin ympäri. Kun vaihdat tasokuvaan H ja V yhdistetään siten, että pisteiden vastakkaiset projektiot sijaitsevat pystysuoralla viivalla.

Pisteiden A ja B akseliton kuvaaja(kuva) eimäärittää heidän asemansa avaruudessa,mutta antaa meille mahdollisuuden arvioida heidän suhteellista suuntautumistaan. Jana △x kuvaa siis pisteen siirtymää MUTTA suhteessa asiaan AT H- ja V-tason suuntaisesti eli △x osoittaa kuinka paljon piste on MUTTA sijaitsee pisteen vasemmalla puolella AT. Pisteen suhteellinen siirtymä V-tasoon nähden kohtisuorassa suunnassa määräytyy janalla △y eli pisteellä Ja sisään esimerkissämme lähempänä tarkkailijaa kuin pistettä AT, etäisyys, joka on yhtä suuri kuin △y.

Lopuksi jana △z näyttää pisteen ylityksen MUTTA pisteen yli AT.

Kuvailevan geometrian kurssin akselittoman tutkimuksen kannattajat huomauttavat perustellusti, että monien ongelmien ratkaisemisessa voidaan tehdä ilman koordinaattiakseleita. Niiden täydellistä hylkäämistä ei kuitenkaan voida pitää tarkoituksenmukaisena. Kuvaava geometria on suunniteltu valmistelemaan tulevaa insinööriä paitsi piirustusten pätevään suorittamiseen, myös erilaisten teknisten ongelmien ratkaisemiseen, joiden joukossa tilastatiikan ja mekaniikan ongelmat eivät ole viimeinen paikka. Ja tätä varten on tarpeen kehittää kykyä suunnata tämä tai toinen esine suhteessa karteesisiin koordinaattiakseleihin. Nämä taidot ovat välttämättömiä myös kuvailevan geometrian osien kuten perspektiivin ja aksonometrian opiskelussa. Siksi useisiin tämän kirjan kaavioihin tallennamme kuvia koordinaattiakseleista. Tällaiset piirustukset eivät määritä vain kohteen muotoa, vaan myös sen sijaintia suhteessa projektiotasoihin.