Trigonometrinen toimintoja määräajoin, eli toistetaan tietyn ajan kuluttua. Tämän seurauksena riittää, että tutkitaan funktiota tällä aikavälillä ja ulotetaan löydetyt ominaisuudet kaikkiin muihin jaksoihin.
Ohje
1. Jos sinulle annetaan primitiivinen lauseke, jossa on vain yksi trigonometrinen funktio (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), ja funktion sisällä olevaa kulmaa ei kerrota millään luvulla, eikä sitä itse nosteta mihinkään teho - käytä määritelmää. Lausekkeille, jotka sisältävät sin, cos, sec, cosec, aseta rohkeasti pisteeksi 2P, ja jos yhtälössä on tg, ctg, niin P. Sano, että funktiolle y \u003d 2 sinx + 5, jakso on 2P .
2. Jos trigonometrisen funktion etumerkin alla oleva kulma x kerrotaan jollakin luvulla, jaa tyypillinen jakso tällä luvulla saadaksesi selville tämän funktion jakson. Oletetaan, että sinulle annetaan funktio y = sin 5x. Tyypillinen sinin jakso on 2P, jakamalla sen 5:llä, saat 2P / 5 - tämä on tämän lausekkeen haluttu jakso.
3. Jos haluat löytää potenssiin korotetun trigonometrisen funktion periodin, arvioi potenssin tasaisuus. Tasaisen tutkinnon saamiseksi puolita näytejakso. Oletetaan, että jos sinulle annetaan funktio y \u003d 3 cos ^ 2x, niin tyypillinen jakso 2P pienenee 2 kertaa, joten jakso on yhtä suuri kuin P. Huomaa, että funktiot tg, ctg ovat jaksollisia missä tahansa määrin P .
4. Jos sinulle annetaan yhtälö, joka sisältää 2 trigonometrisen funktion tulon tai osamäärän, etsi ensin jakso kaikille niille erikseen. Etsi sen jälkeen minimiluku, joka sopisi molempien jaksojen kokonaismäärään. Oletetaan, että funktio y=tgx*cos5x on annettu. Tangentin jakso on P, kosinin 5x jakso on 2P/5. Pienin sallittu määrä molempiin jaksoihin on 2P, joten haluttu jakso on 2P.
5. Jos sinun on vaikea tehdä ehdotettu tapa tai epäilet tulosta, yritä tehdä määritelmän mukaan. Ota T funktion jaksoksi, se on suurempi kuin nolla. Korvaa yhtälössä lauseke (x + T) x:n sijaan ja ratkaise tuloksena oleva yhtälö ikään kuin T olisi parametri tai luku. Tämän seurauksena löydät trigonometrisen funktion arvon ja voit valita pienimmän jakson. Oletetaan, että fasilitoinnin seurauksena saat identiteettisin (T / 2) \u003d 0. T:n pienin arvo, jolla se suoritetaan, on 2P, ja tämä on tehtävän tulos.
Jaksollinen funktio on funktio, joka toistaa arvonsa jonkin nollasta poikkeavan jakson jälkeen. Funktion jakso on luku, jonka lisäys funktion argumenttiin ei muuta funktion arvoa.
Tarvitset
- Perusmatematiikan tuntemus ja kyselyn alku.
Ohje
1. Merkitään funktion f(x) jakso luvulla K. Tehtävämme on löytää tämä K:n arvo. Kuvittele tätä varten, että funktio f(x) yhtälöi f(x) käyttämällä jaksollisen funktion määritelmää. (x+K)=f(x).
2. Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön tuntemattomalle K:lle, ikään kuin x olisi vakio. K:n arvosta riippuen vaihtoehtoja on useita.
3. Jos K>0, tämä on funktiosi jakso. Jos K=0, niin funktio f(x) ei ole jaksollinen. Jos yhtälön f(x+K)=f(x) ratkaisua ei ole olemassa mille tahansa K:lle, joka ei ole nolla, niin tällaista funktiota kutsutaan jaksolliseksi, eikä sillä myöskään ole jaksoa.
Liittyvät videot
Huomautus!
Kaikki trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, ja kaikki polynomifunktiot, joiden aste on suurempi kuin 2, ovat aperiodisia.
Hyödyllinen neuvo
Kahdesta jaksollisesta funktiosta koostuvan funktion jakso on näiden funktioiden jaksojen pienin yhteinen kerrannainen.
Trigonometriset yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka sisältävät tuntemattoman argumentin trigonometrisiä funktioita (esimerkiksi: 5sinx-3cosx =7). Jotta voit oppia ratkaisemaan ne, sinun on tiedettävä joitain menetelmiä tähän.
Ohje
1. Tällaisten yhtälöiden ratkaisu koostuu kahdesta vaiheesta, joista ensimmäinen on yhtälön uudelleenmuotoilu yksinkertaisimman muodon saamiseksi. Yksinkertaisimpia trigonometrisiä yhtälöitä kutsutaan seuraavasti: Sinx=a; cosx=a jne.
2. Toinen on saadun yksinkertaisimman trigonometrisen yhtälön ratkaisu. Tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseen on perusmenetelmiä: Ratkaisu algebrallisella tavalla. Tämä menetelmä on kuuluisa koulusta, algebran kurssista. Sitä kutsutaan muuten menetelmäksi muuttujan korvaamiseksi ja korvaamiseksi. Pelkistyskaavoja soveltamalla muunnamme, teemme korvauksen, jonka jälkeen löydämme juuret.
3. Yhtälön hajottaminen tekijöiksi. Ensin siirrämme kaikki termit vasemmalle ja hajotamme tekijöiksi.
4. Tuo yhtälö homogeeniseksi. Homogeenisiä yhtälöitä kutsutaan yhtälöiksi, jos kaikki jäsenet ovat saman asteisia ja sini, kosini saman kulman.. Sen ratkaisemiseksi sinun tulee: ensin siirtää kaikki sen jäsenet oikealta puolelta vasemmalle puolelle; siirrä kaikki yleiset tekijät pois suluista; vertaa tekijät ja hakasulkeet nollaan; yhtälölliset hakasulkeet antavat homogeenisen yhtälön pienemmän asteen, joka tulisi jakaa cos:lla (tai sinillä) korkeampaan asteeseen; ratkaise tuloksena oleva rusketuksen algebrallinen yhtälö.
5. Seuraava tapa on mennä puolikulmaan. Sano, ratkaise yhtälö: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. Siirrytään puolikulmaan: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (x / 2) + 5 syntiä? (x / 2) = 7sin? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , jonka jälkeen vähennämme kaikki termit yhteen osaan (muuten oikealle) ja ratkaisemme yhtälön.
6. Apukulman sisäänkäynti. Kun korvaamme kokonaisluvun arvon cos(a) tai sin(a). Merkki "a" on apukulma.
7. Tapa muotoilla tuote uudelleen summaksi. Tässä sinun on käytettävä sopivia kaavoja. Oletetaan annettuna: 2 sin x sin 3x = cos 4x. Ratkaisemme sen muuntamalla vasemman puolen summaksi, eli cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p / 16 + pk / 8.
8. Viimeinen tapa, jota kutsutaan monitoimikorvaukseksi. Muunnamme lausekkeen ja teemme substituution, sanotaan Cos(x/2)=u, jonka jälkeen ratkaisemme yhtälön parametrilla u. Kun hankimme kokonaissumman, käännämme arvon päinvastaiseksi.
Liittyvät videot
Jos tarkastellaan ympyrän pisteitä, pisteet x, x + 2π, x + 4π jne. sovi yhteen. Trigonometrinen siis toimintoja suoralla linjalla määräajoin toistaa niiden merkityksen. Jos aikakausi on kuuluisa toimintoja, on sallittua rakentaa funktio tälle ajanjaksolle ja toistaa se muille.
Ohje
1. Jakso on luku T siten, että f(x) = f(x+T). Jakson löytämiseksi ratkaise vastaava yhtälö ja korvaa argumenttina x ja x + T. Tässä tapauksessa käytetään funktioiden hyvin tunnettuja jaksoja. Sini- ja kosinifunktioille jakso on 2π ja tangentille ja kotangentille π.
2. Olkoon funktio f(x) = sin^2(10x) annettu. Tarkastellaan lauseketta sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Käytä kaavaa pienentääksesi astetta: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Sitten saadaan 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) tai cos 20x = cos (20x+20T). Tietäen, että kosinin jakso on 2π, 20T = 2π. Siten T = π/10. T on pienin oikea jakso, ja toiminto toistetaan 2T:n jälkeen ja 3T:n jälkeen ja toiseen suuntaan akselia pitkin: -T, -2T jne.
Hyödyllinen neuvo
Käytä kaavoja alentaaksesi funktion astetta. Jos tunnet joidenkin funktioiden jaksot paremmin, yritä pelkistää olemassa oleva funktio tunnetuiksi.
Funktion löytäminen parilliselle ja paritolle auttaa rakentamaan funktiosta kaavion ja ymmärtämään sen käyttäytymisen luonteen. Tätä tutkimusta varten sinun on verrattava annettua funktiota, joka on kirjoitettu argumentille "x" ja "-x"-argumentille.
Ohje
1. Kirjoita tutkittava funktio muodossa y=y(x).
2. Korvaa funktion argumentti "-x". Korvaa tämä argumentti funktionaalisella lausekkeella.
3. Yksinkertaista ilmaisu.
4. Näin ollen sinulla on sama funktio kirjoitettuna argumenteille "x" ja "-x". Katso näitä kahta merkintää. Jos y(-x)=y(x), tämä on parillinen funktio. Jos y(-x)=-y(x), tämä on pariton funktio. Jos se on mahdotonta sano funktiosta, että y (-x)=y(x) tai y(-x)=-y(x), niin pariteetin ominaisuuden perusteella tämä on universaalin muodon funktio. Eli se ei ole parillinen eikä pariton.
5. Kirjoita tulokset muistiin. Nyt voit käyttää niitä funktiokaavion piirtämisessä tai tulevassa funktion ominaisuuksien analyyttisessä haussa.
6. Parillisista ja parittomista funktioista voidaan puhua myös siinä tapauksessa, että funktion kuvaaja on tarkemmin määritelty. Oletetaan, että kuvaaja on fysikaalisen kokeen tulos. Jos funktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen, niin y(x) on parillinen funktio. Jos funktion kuvaaja on symmetrinen x-akselin suhteen, silloin x(y) on parillinen funktio. x(y) on y(x:n käänteisfunktio) Jos funktion kuvaaja on symmetrinen origon (0,0) suhteen, niin y(x) on pariton funktio. Käänteisfunktio x(y) on myös pariton.
7. On tärkeää muistaa, että parillisten ja parittomien funktioiden käsitteellä on suora yhteys funktion toimialueeseen. Jos vaikkapa parillista tai paritonta funktiota ei ole olemassa x=5:lle, niin sitä ei ole olemassa x=-5:lle, mikä on mahdotonta sanoa yleisen muodon funktiosta. Kun määrität parillisen ja parittoman, kiinnitä huomiota funktion toimialueeseen.
8. Parillisten ja parittomien funktioiden etsiminen korreloi funktioarvojen joukon löytämisen kanssa. Parillisen funktion arvojoukon löytämiseksi riittää, että näet puolet funktiosta, oikealla tai vasemmalla nollasta. Jos x>0:lle parillinen funktio y(x) ottaa arvot A:sta B:hen, se ottaa samat arvot x:lle<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 pariton funktio y(x) ottaa arvoalueen A:sta B:hen, sitten x:lle<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).
"Trigonometrisiä" alettiin aikoinaan kutsua funktioiksi, jotka määräytyvät suorakulmaisen kolmion terävien kulmien riippuvuuden perusteella sen sivujen pituuksista. Näihin funktioihin kuuluvat ensinnäkin sini ja kosini, toiseksi sekantti ja kosekantti, jotka ovat käänteisiä näille funktioille, niiden tangentti- ja kotangenttijohdannaiset sekä käänteisfunktiot arcsini, arkosiini jne. Se on positiivisempi puhua ei tällaisten toimintojen "ratkaisusta", vaan niiden "laskennasta", eli numeerisen arvon löytämisestä.
Ohje
1. Jos trigonometrisen funktion argumenttia ei tunneta, sen arvo voidaan laskea epäsuoralla menetelmällä näiden funktioiden määritelmien perusteella. Tätä varten sinun on tiedettävä kolmion sivujen pituudet, trigonometrinen funktio, jonka yhden kulman haluat laskea. Sanotaan määritelmän mukaan, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini on tätä kulmaa vastapäätä olevan jalan pituuden suhde hypotenuusan pituuteen. Tästä seuraa, että kulman sinin löytämiseksi riittää, että tietää näiden kahden sivun pituudet. Samanlainen määritelmä sanoo, että terävän kulman sini on tämän kulman vieressä olevan jalan pituuden suhde hypotenuusan pituuteen. Terävän kulman tangentti voidaan laskea jakamalla vastakkaisen haaran pituus viereisen jalan pituudella, ja kotangentti vaatii viereisen haaran pituuden jakamisen vastakkaisen jalan pituudella. Akuutin kulman sekantin laskemiseksi sinun on löydettävä hypotenuusan pituuden suhde vaaditun kulman vieressä olevan jalan pituuteen, ja kosekantti määräytyy hypotenuusan pituuden suhteella pituuteen. vastakkaisesta jalasta.
2. Jos trigonometrisen funktion argumentti suoritetaan, ei tarvitse tietää kolmion sivujen pituuksia - on sallittua käyttää arvotaulukoita tai trigonometristen funktioiden laskimia. Tällainen laskin kuuluu Windows-käyttöjärjestelmän vakioohjelmiin. Voit suorittaa sen painamalla Win + R -näppäinyhdistelmää, antamalla calc-komennon ja napsauttamalla OK-painiketta. Avaa ohjelman käyttöliittymässä "Näytä"-osio ja valitse "Engineering" tai "Scientist" -kohta. Myöhemmin on sallittua ottaa käyttöön trigonometrisen funktion argumentti. Laskeaksesi funktiot sini, kosini ja tangentti, klikkaa mieluummin arvon syöttämisen jälkeen vastaavaa käyttöliittymäpainiketta (sin, cos, tg), ja löytääksesi niiden arcsinin, arkosinin ja arktangentin käänteiset, valitse Inv-valintaruutu etukäteen.
3. On myös vaihtoehtoisia menetelmiä. Yksi niistä on mennä Nigman tai Googlen hakukoneen sivuille ja syöttää hakukyselyksi tarvittava funktio ja sen argumentti (esim. sin 0.47). Näissä hakukoneissa on sisäänrakennetut laskimet, joten tällaisen pyynnön lähettämisen jälkeen saat antamasi trigonometrisen funktion arvon.
Liittyvät videot
Vihje 7: Kuinka tunnistaa trigonometristen funktioiden arvo
Trigonometriset funktiot ilmestyivät ensin työkaluina suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksien terävien kulmien suuruusriippuvuuksien abstrakteihin matemaattisiin laskelmiin. Nyt niitä käytetään laajasti sekä tieteen että teknisen ihmisen toiminnan aloilla. Trigonometristen funktioiden utilitaristisiin laskelmiin annetuista argumenteista on sallittua käyttää erilaisia työkaluja - muutama erityisen helposti saatavilla oleva on kuvattu alla.
Ohje
1. Käytä esimerkiksi käyttöjärjestelmän kanssa oletusarvoisesti asennettua laskinohjelmaa. Se avautuu valitsemalla "Laskin"-kohdan "Apuohjelmat"-kansiosta "Kaikki ohjelmat" -osiossa sijaitsevasta "Tyypillinen"-alaosastosta. Tämä osio löytyy avaamalla käyttöjärjestelmän päävalikko napsauttamalla "Käynnistä"-painiketta. Jos käytät Windows 7 -versiota, voit kirjoittaa primitiivisesti sanan "Laskin" päävalikon "Tunnista ohjelmat ja tiedostot" -kenttään ja napsauttaa sitten vastaavaa linkkiä hakutuloksissa.
2. Syötä kulman arvo, jolle haluat laskea trigonometrisen funktion, ja napsauta sitten tätä funktiota vastaavaa painiketta - sin, cos tai tan. Jos olet huolissasi käänteisistä trigonometrisista funktioista (arksini, arkosiini tai arktangentti), napsauta ensin Inv-painiketta - se kääntelee laskimen ohjauspainikkeille määritetyt toiminnot.
3. Käyttöjärjestelmän aiemmissa versioissa (esim. Windows XP) trigonometristen toimintojen käyttämiseksi sinun on avattava "View" -osio laskimen valikossa ja valittava "Engineering" -rivi. Lisäksi Inv-painikkeen sijasta ohjelman vanhojen versioiden käyttöliittymässä on valintaruutu, jossa on sama merkintä.
4. Voit pärjätä ilman laskinta, jos sinulla on Internet-yhteys. Verkossa on monia palveluita, jotka tarjoavat eri tavalla järjestettyjä trigonometrisiä funktiolaskimia. Yksi erityisen kätevä vaihtoehto on sisäänrakennettu Nigma-hakukoneeseen. Kun olet siirtynyt sen pääsivulle, kirjoita primitiivisesti sinua kiihottava arvo hakukyselykenttään - sano "30 asteen kaaritangentti". Kun olet painanut "Discover!" hakukone laskee ja näyttää laskennan tuloksen - 0.482347907101025.
Liittyvät videot
Trigonometria on matematiikan haara, jolla ymmärretään funktioita, jotka ilmaisevat suorakulmaisen kolmion sivujen erilaisia riippuvuuksia hypotenuusan terävien kulmien suuruudesta. Tällaisia toimintoja kutsutaan trigonometrisiksi, ja niiden kanssa työskentelyn helpottamiseksi johdettiin trigonometriset funktiot. identiteetit .
Esitys identiteetit matematiikassa tarkoittaa tasa-arvoa, joka täyttyy siihen sisältyvien funktioiden argumenttien mille tahansa arvolle. Trigonometrinen identiteetit- nämä ovat trigonometristen funktioiden yhtäläisyyksiä, jotka on vahvistettu ja hyväksytty trigonometristen kaavojen yksinkertaistamiseksi Trigonometrinen funktio on perusfunktio suorakulmaisen kolmion yhden haaran riippuvuudesta hypotenuusan terävän kulman suuruudesta. Useimmiten käytetään kuutta trigonometristä perusfunktiota: sin (sini), cos (kosini), tg (tangentti), ctg (kotangentti), sec (sekantti) ja cosec (kosekantti). Näitä funktioita kutsutaan suoriksi, on myös käänteisiä funktioita, esimerkiksi sini - arkosiini, kosini - arkosiini jne. Aluksi trigonometriset funktiot löysivät heijastuksen geometriasta, sen jälkeen ne levisivät muille tieteenaloille: fysiikkaan, kemiaan, maantieteeseen, optiikkaan. , todennäköisyysteoria sekä akustiikka, musiikin teoria, fonetiikka, tietokonegrafiikka ja monet muut. Nyt on vaikeampi kuvitella matemaattisia laskelmia ilman näitä funktioita, vaikka kaukaisessa menneisyydessä niitä käytettiin vain tähtitiedessä ja arkkitehtuurissa. Trigonometrinen identiteetit käytetään yksinkertaistamaan työskentelyä pitkillä trigonometrisilla kaavoilla ja tuomaan ne sulavaan muotoon. Trigonometrisiä perusidentiteettiä on kuusi, ne liittyvät suoriin trigonometrisiin funktioihin: tg ? = sin?/cos?; synti^2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d synti?. Nämä identiteetit helppo vahvistaa suorakulmaisen kolmion sivujen ja kulmien suhteen ominaisuuksista: sin ? = BC/AC = b/c; cos? = AB/AC = a/c; tg? = b/a. Ensimmäinen identiteetti tg ? = synti?/cos? seuraa kolmion sivujen suhteesta ja sivun c poissulkemisesta (hypotenuusa) jaettaessa sin cos:lla. Samalla tavalla identiteetti ctg määritellään? = cos ?/sin ?, koska ctg ? = 1/tg ?. Pythagoraan lauseen mukaan a^2 + b^2 = c^2. Jaa tämä yhtälö c^2:lla, saadaan toinen identiteetti: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1. Kolmas ja neljäs identiteetit saa jakamalla b^2:lla ja a^2:lla, vastaavasti: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? tai 1 + ctg^2? \u003d 1 / sin ^ 2?. Viides ja kuudes pää identiteetit todistetaan määrittämällä suorakulmaisen kolmion terävien kulmien summa, joka on 90 ° tai? / 2. Vaikeampi trigonometrinen identiteetit: kaavat argumenttien, kaksois- ja kolmoiskulmien lisäämiseen, asteen alentamiseen, funktioiden summan tai tulon reformoimiseen sekä trigonometriset korvauskaavat, nimittäin tärkeimpien trigonometristen funktioiden lausekkeet puolikulman tg suhteen: sin ?= (2 * tg ? / 2) / (1 + tg^ 2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).
Tarve löytää minimi merkitys matemaattinen toimintoja on todellista kiinnostavaa sovellettavien ongelmien ratkaisemisessa, esimerkiksi taloustieteessä. Valtava merkitys Yritystoiminnalla on tappioiden minimointi.
Ohje
1. Minimi löytämiseksi merkitys toimintoja, on tarpeen määrittää millä argumentin x0 arvolla epäyhtälö y(x0) täyttyy? y(x), missä x? x0. Kuten tavallista, tämä ongelma ratkaistaan tietyllä aikavälillä tai jokaisella arvoalueella toimintoja, jos sitä ei ole asetettu. Yksi ratkaisun puoli on kiinteiden pisteiden löytäminen.
2. Kiinteää pistettä kutsutaan merkitys argumentti, että johdannainen toimintoja menee nollaan. Fermatin lauseen mukaan, jos differentioituva funktio ottaa äärimmäisen merkitys jossain vaiheessa (tässä tapauksessa paikallinen minimi), tämä piste on paikallaan.
3. Minimi merkitys funktio kestää usein juuri tässä pisteessä, mutta se voidaan määrittää ei poikkeuksetta. Lisäksi ei aina ole mahdollista sanoa tarkalleen, mikä on minimi toimintoja tai hän hyväksyy äärettömän pienen merkitys. Sitten, kuten tavallista, he löytävät rajan, johon se vetoaa laskeessaan.
4. Minimimäärän määrittämiseksi merkitys toimintoja, on tarpeen suorittaa toimintosarja, joka koostuu neljästä vaiheesta: määritelmäalueen löytäminen toimintoja, kiinteiden pisteiden hankinta, yleiskatsaus arvoihin toimintoja näissä kohdissa ja raon päissä minimin havaitseminen.
5. Osoittautuu, että annetaan jokin funktio y(x) intervallilla, jonka rajat ovat pisteissä A ja B. Etsi sen määritelmän alue ja selvitä, onko väli sen osajoukko.
6. Laske johdannainen toimintoja. Yhdistä tuloksena oleva lauseke nollaan ja etsi yhtälön juuret. Tarkista, kuuluvatko nämä paikallaan olevat pisteet väliin. Jos ei, niin seuraavassa vaiheessa niitä ei oteta huomioon.
7. Katso aukkoa rajojen tyypin mukaan: avoin, suljettu, yhdistelmä tai dimensioton. Se riippuu siitä, kuinka löydät minimin merkitys. Oletetaan, että jana [A, B] on suljettu aukko. Korvaa ne funktioon ja laske arvot. Tee sama kiinteän pisteen kanssa. Valitse pienin kokonaissumma.
8. Avoimilla ja rajattomilla väleillä tilanne on hieman vaikeampi. Tässä on etsittävä yksipuolisia rajoja, jotka eivät aina anna yksiselitteistä tulosta. Sanotaan, että välille, jolla on yksi suljettu ja yksi reikäraja [A, B), pitäisi löytää funktio kohdasta x = A ja yksipuolinen raja lim y kohdassa x? B-0.
Peruskonseptit
Aloitetaan määritelmistä parilliset, parittomat ja jaksolliset funktiot.
Määritelmä 2
Parillinen funktio on funktio, joka ei muuta arvoaan riippumattoman muuttujan etumerkin muuttuessa:
Määritelmä 3
Funktio, joka toistaa arvonsa säännöllisin väliajoin:
T on funktion jakso.
Parilliset ja parittomat trigonometriset funktiot
Harkitse seuraavaa kuvaa (kuva 1):
Kuva 1.
Tässä $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ ja $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ ovat vektoreita, joiden pituus on symmetrinen $Ox$-akselin suhteen.
Ilmeisesti näiden vektorien koordinaatit liittyvät seuraaviin suhteisiin:
Koska sinin ja kosinin trigonometriset funktiot voidaan määrittää trigonometrisen yksikköympyrän avulla, saadaan, että sinifunktio on pariton ja kosinifunktio parillinen, eli:
Trigonometristen funktioiden jaksollisuus
Harkitse seuraavaa kuvaa (kuva 2).
Kuva 2.
Tässä $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ on yksikköpituusvektori.
Tehdään täysi käännös vektorilla $\overrightarrow(OA)$. Eli kierretään annettua vektoria $2\pi $radiaaneilla. Sen jälkeen vektori palaa kokonaan alkuperäiseen paikkaansa.
Koska sinin ja kosinin trigonometriset funktiot voidaan määrittää käyttämällä trigonometrisen ympyrän yksikköä, saamme
Eli sini- ja kosinifunktiot ovat jaksollisia funktioita, joiden jakso on pienin $T=2\pi $.
Harkitse nyt tangentin ja kotangentin funktioita. Koska $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, niin
Koska $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, niin
Esimerkkejä ongelmista trigonometristen funktioiden parillisten, parittomien ja jaksollisten käytössä
Esimerkki 1
Todista seuraavat väitteet:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Koska tangentti on jaksollinen funktio, jonka minimijakso on $(360)^0$, saamme
b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$
Koska kosini on parillinen ja jaksollinen funktio, jonka vähimmäisjakso on $2\pi $, saamme
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- yksi\]
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
Koska sini on pariton ja jaksollinen funktio, jonka minimijakso on $(360)^0$, saamme
Muuttujan y riippuvuutta muuttujasta x, jossa jokainen x:n arvo vastaa yhtä y:n arvoa, kutsutaan funktioksi. Merkintä on y=f(x). Jokaisella funktiolla on useita perusominaisuuksia, kuten monotonisuus, pariteetti, jaksollisuus ja muut.
Pariteetti- ja jaksollisuusominaisuudet
Tarkastellaanpa tarkemmin pariteetin ja jaksollisuuden ominaisuuksia tärkeimpien trigonometristen funktioiden esimerkin avulla: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).
Funktiota y=f(x) kutsutaan, vaikka se täyttäisi seuraavat kaksi ehtoa:
2. Funktion arvon funktion laajuuteen kuuluvassa pisteessä x tulee olla yhtä suuri kuin funktion arvo pisteessä -x. Toisin sanoen mille tahansa pisteelle x funktion alueelta seuraavan yhtälön f (x) \u003d f (-x) on oltava tosi.
Jos rakennat kaavion parillisesta funktiosta, se on symmetrinen y-akselin suhteen.
Esimerkiksi trigonometrinen funktio y=cos(x) on parillinen.
Parittomuuden ja jaksollisuuden ominaisuudet
Funktiota y=f(x) kutsutaan parittomaksi, jos se täyttää seuraavat kaksi ehtoa:
1. Annetun funktion alueen tulee olla symmetrinen pisteen O suhteen. Eli jos jokin piste a kuuluu funktion alueeseen, niin myös vastaavan pisteen -a tulee kuulua annetun funktion alueeseen.
2. Minkä tahansa pisteen x osalta funktion alueelta seuraavan yhtälön f (x) \u003d -f (x) on täytettävä.
Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen pisteen O - origon - suhteen.
Esimerkiksi trigonometriset funktiot y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) ovat parittomia.
Trigonometristen funktioiden jaksollisuus
Funktiota y=f(x) kutsutaan jaksolliseksi, jos on olemassa tietty luku T!=0 (kutsutaan funktion y=f(x) jaksoksi), niin että mille tahansa funktion alueeseen kuuluvalle x:n arvolle , luvut x+T ja x-T kuuluvat myös funktion alueeseen ja yhtälö f(x)=f(x+T)=f(x-T) täyttyy.
On ymmärrettävä, että jos T on funktion jakso, niin luku k*T, jossa k on mikä tahansa nollasta poikkeava kokonaisluku, on myös funktion jakso. Edellä olevan perusteella saadaan, että millä tahansa jaksollisella funktiolla on äärettömän monta jaksoa. Useimmiten keskustelu koskee toiminnon pienintä ajanjaksoa.
Trigonometriset funktiot sin(x) ja cos(x) ovat jaksollisia, ja pienin jakso on 2*π.
Tarkoitus: yleistää ja systematisoida opiskelijoiden tietoja aiheesta "Toiminnan jaksollisuus"; muodostaa taitoja jaksollisen funktion ominaisuuksien soveltamisessa, funktion pienimmän positiivisen periodin löytämisessä, jaksollisten funktioiden piirtämisessä; edistää kiinnostusta matematiikan opiskeluun; kehittää tarkkaavaisuutta, tarkkuutta.
Varusteet: tietokone, multimediaprojektori, tehtäväkortit, diat, kellot, koristepöydät, kansankäsityöelementit
"Matematiikan avulla ihmiset hallitsevat luontoa ja itseään"
A.N. Kolmogorov
Tuntien aikana
I. Organisaatiovaihe.
Oppilaiden valmiuden tarkistaminen oppitunnille. Oppitunnin aiheen ja tavoitteiden esittely.
II. Kotitehtävien tarkistaminen.
Tarkistamme kotitehtävät näytteiden mukaan, keskustelemme vaikeimmista kohdista.
III. Tiedon yleistäminen ja systematisointi.
1. Suullinen frontaalityö.
Teorian kysymyksiä.
1) Muodosta funktion jakson määritelmä
2) Mikä on funktioiden y=sin(x), y=cos(x) pienin positiivinen jakso
3). Mikä on funktioiden y=tg(x), y=ctg(x) pienin positiivinen jakso
4) Todista suhteiden oikeellisuus ympyrällä:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z
sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z
5) Kuinka piirtää jaksollinen funktio?
suulliset harjoitukset.
1) Todista seuraavat suhteet
a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)
2. Osoita, että 540º kulma on yksi funktion y= cos(2x) jaksoista.
3. Osoita, että 360º:n kulma on yksi funktion y=tg(x) jaksoista.
4. Muunna nämä lausekkeet niin, että niihin sisältyvät kulmat eivät ylitä 90º absoluuttisena arvona.
a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)
5. Missä kohtasit sanoilla PERIOD, PERIODICITY?
Opiskelijoiden vastaukset: Musiikin jakso on konstruktio, jossa esitetään enemmän tai vähemmän täydellinen musiikillinen idea. Geologinen ajanjakso on osa aikakautta, ja se on jaettu aikakausiin, joiden ajanjakso on 35-90 miljoonaa vuotta.
Radioaktiivisen aineen puoliintumisaika. Jaksollinen murto-osa. Aikakauslehdet ovat painettuja julkaisuja, jotka ilmestyvät tiukasti määriteltyinä päivämäärinä. Mendelejevin jaksollinen järjestelmä.
6. Kuvat esittävät osia jaksollisten funktioiden kuvaajista. Määritä funktion jakso. Määritä funktion jakso.
Vastaus: T = 2; T = 2; T = 4; T = 8.
7. Missä elämässäsi olet tavannut toistuvien elementtien rakentamisen?
Oppilaat vastaavat: Koriste-elementit, kansantaide.
IV. Kollektiivinen ongelmanratkaisu.
(Ongelmanratkaisu dioissa.)
Tarkastellaan yhtä tapaa tutkia funktiota jaksollisuudelle.
Tämä menetelmä ohittaa vaikeudet, jotka liittyvät sen todistamiseen, että jokin jakso on pienin, eikä myöskään tarvitse käsitellä kysymyksiä jaksollisten funktioiden aritmeettisista operaatioista ja monimutkaisen funktion jaksotuksesta. Päättely perustuu vain jaksollisen funktion määritelmään ja seuraavaan tosiasiaan: jos T on funktion jakso, niin nT(n? 0) on sen jakso.
Tehtävä 1. Etsi funktion f(x)=1+3(x+q>5) pienin positiivinen jakso
Ratkaisu: Oletetaan, että tämän funktion T-jakso. Sitten f(x+T)=f(x) kaikille x ∈ D(f), ts.
1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
Olkoon x=-0,25 saamme
(T) = 0<=>T=n, n ∈ Z
Olemme saaneet, että kaikki tarkasteltavan funktion jaksot (jos niitä on) ovat kokonaislukujen joukossa. Valitse näistä numeroista pienin positiivinen luku. Tämä on 1 . Katsotaan, onko se todella kausi 1 .
f(x+1)=3(x+1+0,25)+1
Koska (T+1)=(T) mille tahansa T:lle, niin f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), ts. 1 - jakso f. Koska 1 on pienin kaikista positiivisista kokonaisluvuista, niin T=1.
Tehtävä 2. Osoita, että funktio f(x)=cos 2 (x) on jaksollinen ja etsi sen pääjakso.
Tehtävä 3. Etsi funktion pääjakso
f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Oletetaan funktion T-jakso, sitten mille tahansa X suhde
sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)
Jos x = 0, niin
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5
Jos x=-T, niin
sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)
5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)
| sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5 |
Lisäämällä saamme:
10cos(0,75T) = 10
2π n, n € Z
Valitaan kaikista jaksolle "epäilyttävät" luvut pienin positiivinen ja tarkistetaan onko se jakso f:lle. Tämä numero
f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)
Siten on funktion f pääjakso.
Tehtävä 4. Tarkista, onko funktio f(x)=sin(x) jaksollinen
Olkoon T funktion f jakso. Sitten mille tahansa x:lle
sin|x+T|=sin|x|
Jos x=0, niin sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.
Olettaa. Että joillekin n:lle luku π n on jakso
katsottu funktio π n>0. Sitten sin|π n+x|=sin|x|
Tämä tarkoittaa, että n:n on oltava sekä parillinen että pariton samaan aikaan, mikä on mahdotonta. Siksi tämä toiminto ei ole jaksollinen.
Tehtävä 5. Tarkista, onko funktio jaksollinen
f(x)= 
Olkoon T sitten jakso f
, joten sinT=0, T=π n, n € Z. Oletetaan, että jollekin n:lle luku π n on todellakin annetun funktion jakso. Silloin myös luku 2π n on piste
Koska osoittajat ovat yhtä suuret, niin ovat myös niiden nimittäjät, niin
Näin ollen funktio f ei ole jaksollinen.
Ryhmätyö.
Tehtävät ryhmälle 1.
Tehtävät ryhmälle 2.
Tarkista, onko funktio f jaksollinen ja etsi sen pääjakso (jos se on olemassa).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Tehtävät ryhmälle 3.
Työn lopussa ryhmät esittelevät ratkaisunsa.
VI. Yhteenveto oppitunnista.
Heijastus.
Opettaja antaa opiskelijoille piirroksia sisältäviä kortteja ja tarjoaa maalaamisen osan ensimmäisestä piirroksesta sen mukaan, missä määrin he ovat heidän mielestään oppineet jaksollisuuden funktion tutkimisen menetelmät ja osan toisesta piirroksesta. , sen mukaan, miten he osallistuvat oppitunnin työhön.
VII. Kotitehtävät
yksi). Tarkista, onko funktio f jaksollinen ja etsi sen pääjakso (jos se on olemassa)
b). f(x)=x2-2x+4
c). f(x)=2tg(3x+5)
2). Funktiolla y=f(x) on jakso T=2 ja f(x)=x 2 +2x x € [-2; 0]. Etsi lausekkeen -2f(-3)-4f(3,5) arvo
Kirjallisuus/
- Mordkovich A.G. Algebra ja analyysin alku syvällisellä tutkimuksella.
- Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
- Sheremetjeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra ja alkuanalyysi luokille 10-11.
