Emme käsittele tätä kaavaa vielä yksityiskohtaisesti. Lisäksi se on aika vaikea muistaa. Palaamme tähän asiaan, kun olemme tutustuneet määrääviin tekijöihin.

No, yleisen kehityksen kannalta on hyödyllistä tietää, että tuloksena olevan vektorin pituus on yhtä suuri kuin vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala a ja b.

Vektorin normalisointi

Normalisoitu vektori on vektori, jonka pituus on yksi.

Kaava normalisoidun vektorin löytämiseksi on seuraava - kaikki vektorin komponentit on jaettava sen pituudella:

v n= v/|v| =

Jälkisana

Kuten olet todennäköisesti nähnyt, vektoreita ei ole vaikea ymmärtää. Olemme tarkastelleet useita vektoreita koskevia operaatioita.

Seuraavissa "matematiikka"-osion artikkeleissa käsittelemme matriiseja, determinantteja ja lineaariyhtälöjärjestelmiä. Kaikki on teoriaa.

Sen jälkeen tarkastellaan matriisimuunnoksia. Silloin ymmärrät, kuinka tärkeä matematiikka on tietokonepelien luomisessa. Tästä aiheesta tulee vain käytäntö kaikille aiemmille aiheille.

Määritelmä Reaalilukujen järjestettyä kokoelmaa (x 1 , x 2 , ... , x n) n kutsutaan n-ulotteinen vektori, ja luvut x i (i = 1,...,n) - komponentit tai koordinaatit,

Esimerkki. Jos esimerkiksi tietyn autotehtaan on valmistettava vuoroa kohden 50 autoa, 100 kuorma-autoa, 10 linja-autoa, 50 sarjaa autojen varaosia ja 150 sarjaa kuorma-autoihin ja linja-autoihin, niin tämän tehtaan tuotantoohjelma voidaan kirjoittaa esim. vektori (50, 100 , 10, 50, 150), jossa on viisi komponenttia.

Merkintä. Vektorit on merkitty lihavoituilla pienillä kirjaimilla tai kirjaimilla, joiden yläosassa on palkki tai nuoli, esim. a tai . Näitä kahta vektoria kutsutaan yhtä suuri jos niissä on sama määrä komponentteja ja niitä vastaavat komponentit ovat yhtä suuret.

Vektorikomponentteja ei voi vaihtaa keskenään, esimerkiksi (3, 2, 5, 0, 1) ja (2, 3, 5, 0, 1) ovat eri vektoreita.
Operaatiot vektoreille. tehdä työtäx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) reaaliluvulle λ kutsutaan vektoriksi λ x= (λx1, λx2, ..., λxn).

summax= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ja y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) kutsutaan vektoriksi x+y= (x1 + y1, x 2 + y2, ..., x n + + y n).

Vektorien avaruus. N-dimensiaalinen vektoriavaruus R n määritellään joukoksi kaikkia n-ulotteisia vektoreita, joille on määritelty reaalilukujen kertominen ja yhteenlasku.

Taloudellinen kuva. Taloudellinen esimerkki n-ulotteisesta vektoriavaruudesta: tavaroiden tilaa (tavaroita). Alla hyödyke ymmärrämme jotakin tavaraa tai palvelua, joka tuli myyntiin tiettyyn aikaan tietyssä paikassa. Oletetaan, että käytettävissä on äärellinen määrä tavaroita n; kunkin kuluttajan ostamille määrille on ominaista tavaroiden joukko

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

missä x i tarkoittaa kuluttajan ostaman i:nnen tavaran määrää. Oletetaan, että kaikilla tavaroilla on mielivaltainen jaettavissa oleva ominaisuus, joten jokainen niistä voidaan ostaa mikä tahansa ei-negatiivinen määrä. Tällöin kaikki mahdolliset tavarajoukot ovat hyödykeavaruuden vektoreita C = ( x= (x1, x2, ..., xn) xi ≥ 0, i =1,...,n).

Lineaarinen riippumattomuus. Järjestelmä e 1 , e 2 , ... , e m n-ulotteista vektoria kutsutaan lineaarisesti riippuvainen, jos on sellaisia ​​lukuja λ 1 , λ 2 , ... , λ m , joista ainakin yksi on nollasta poikkeava, niin että yhtälö λ 1 e 1 + λm e m = 0; muuten tätä vektorijärjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippumaton, eli ilmoitettu yhtäläisyys on mahdollinen vain siinä tapauksessa, että kaikki λ 1 =λ 2 =...=λ m =0. Vektorien lineaarisen riippuvuuden geometrinen merkitys in R 3, tulkittu suunnatuiksi segmenteiksi, selittää seuraavat lauseet.

Lause 1. Yhdestä vektorista koostuva järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen silloin ja vain jos tämä vektori on nolla.

Lause 2. Jotta kaksi vektoria olisivat lineaarisesti riippuvaisia, on välttämätöntä ja riittävää, että ne ovat kollineaarisia (rinnakkaisia).

Lause 3 . Jotta kolme vektoria olisivat lineaarisesti riippuvaisia, on välttämätöntä ja riittävää, että ne ovat samassa tasossa (samassa tasossa).

Vasen ja oikea vektorin kolmiot. Kolmiosa ei-samantasoisia vektoreita a, b, c nimeltään oikein, jos havaitsija niiden yhteisestä origosta ohittaa vektorien päät a, b, c tässä järjestyksessä näyttää etenevän myötäpäivään. Muuten a, b, c -vasen kolmikko. Kaikkia oikeanpuoleisia (tai vasenta) vektoreita kutsutaan yhtä suuntautunut.

Pohja ja koordinaatit. Troikka e 1, e 2 , e 3 ei-koplanaarista vektoria sisään R 3 soitti perusta, ja itse vektorit e 1, e 2 , e 3 - perus. Mikä tahansa vektori a voidaan laajentaa ainutlaatuisella tavalla kantavektoreiden suhteen, eli se voidaan esittää muodossa

a= x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

luvut x 1 , x 2 , x 3 laajennuksessa (1.1) kutsutaan koordinaatita pohjalta e 1, e 2 , e 3 ja on merkitty a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormaali perusta. Jos vektorit e 1, e 2 , e 3 ovat pareittain kohtisuorat ja kunkin pituus on yksi, niin kantaa kutsutaan ortonormaali, ja koordinaatit x 1 , x 2 , x 3 - suorakulmainen. Ortonormaalin kannan kantavektorit merkitään i, j, k.

Oletamme sen avaruudessa R 3 oikea suorakulmaisten suorakulmaisten koordinaattien järjestelmä (0, i, j, k}.

Vector tuote.vektori taidettaa vektoria kohti b kutsutaan vektoriksi c, joka määritetään seuraavilla kolmella ehdolla:

1. Vektorin pituus c numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreihin rakennetun suunnikkaan pinta-ala a ja b, eli
c= |a||b| synti( a^b).

2. Vektori c kohtisuorassa jokaiseen vektoriin nähden a ja b.

3. Vektorit a, b ja c, tässä järjestyksessä, muodostavat oikean kolmoiskappaleen.

Vektorituotteelle c nimitys otetaan käyttöön c=[ab] tai
c = a × b.

Jos vektorit a ja b ovat kollineaarisia, sitten syn( a^b) = 0 ja [ ab] = 0, erityisesti [ aa] = 0. Orttien vektoritulot: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Jos vektorit a ja b perusteessa annettu i, j, k koordinaatit a(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3 ), sitten

Sekatyötä. Jos kahden vektorin ristitulo a ja b skalaari kerrottuna kolmannella vektorilla c, silloin tällaista kolmen vektorin tuloa kutsutaan sekoitettu tuote ja se on merkitty symbolilla a eaa.

Jos vektorit a, b ja c pohjalta i, j, k asetettu niiden koordinaattien mukaan
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c1, c2, c3), sitten

.

Sekoitustulolla on yksinkertainen geometrinen tulkinta - se on skalaari, jonka absoluuttinen arvo on sama kuin kolmelle annetulle vektorille rakennetun suuntaissärmiön tilavuus.

Jos vektorit muodostavat oikean kolmion, niin niiden sekoitettu tulo on positiivinen luku, joka on yhtä suuri kuin ilmoitettu tilavuus; jos kolme a, b, c - vasemmalle siis a b c<0 и V = - a b c, joten V = |a b c|.

Ensimmäisen luvun ongelmissa havaittujen vektorien koordinaatit oletetaan annetuiksi suhteessa oikeaan ortonormaaliin kantaan. Yksikkövektori samansuuntainen vektorin kanssa a, merkitty symbolilla a noin. Symboli r=OM merkitty pisteen M sädevektorilla, symboleilla a, AB tai |a|, |AB | vektoreiden moduulit on merkitty a ja AB.

Esimerkki 1.2. Etsi vektoreiden välinen kulma a= 2m+4n ja b= m-n, missä m ja n- yksikkövektorit ja niiden välinen kulma m ja n yhtä suuri kuin 120 o.

Päätös. Meillä on: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = -2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, joten a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, joten b = . Lopuksi saamme: cos φ == -1/2, φ = 120 o .

Esimerkki 1.3. Vektorien tunteminen AB(-3,-2,6) ja eKr(-2,4,4), laske kolmion ABC korkeus AD.

Päätös. Merkitsemällä kolmion ABC pinta-alaa S:llä, saamme:
S = 1/2 eKr. jKr. Sitten AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC |. AC=AB+BC, joten vektori AC on koordinaatit
.

Tässä artikkelissa sinä ja minä aloitamme keskustelun yhdestä "taikasauvasta", jonka avulla voit vähentää monet geometrian ongelmat yksinkertaiseen aritmetiikkaan. Tämä "sauva" voi tehdä elämästäsi paljon helpompaa, varsinkin kun tunnet olosi epävarmaksi tilahahmojen, osien jne. rakentamisessa. Kaikki tämä vaatii tiettyä mielikuvitusta ja käytännön taitoja. Menetelmä, jota alamme pohtia täällä, antaa sinun ottaa lähes täydellisen abstraktin kaikenlaisista geometrisista rakenteista ja päättelyistä. Menetelmä on ns "koordinaattimenetelmä". Tässä artikkelissa tarkastelemme seuraavia kysymyksiä:

1. Koordinaattitaso
2. Pisteet ja vektorit tasossa
3. Vektorin rakentaminen kahdesta pisteestä
4. Vektorin pituus (kahden pisteen välinen etäisyys).
5. Keskipisteen koordinaatit
6. Vektorien pistetulo
7. Kahden vektorin välinen kulma

Luulen, että arvasit jo, miksi koordinaattimenetelmää kutsutaan sellaiseksi? On totta, että se sai sellaisen nimen, koska se ei toimi geometristen kohteiden kanssa, vaan niiden numeeristen ominaisuuksien (koordinaattien) kanssa. Ja itse muunnos, joka mahdollistaa siirtymisen geometriasta algebraan, koostuu koordinaattijärjestelmän käyttöönotosta. Jos alkuperäinen kuva oli litteä, koordinaatit ovat kaksiulotteisia, ja jos kuvio on kolmiulotteinen, niin koordinaatit ovat kolmiulotteisia. Tässä artikkelissa tarkastelemme vain kaksiulotteista tapausta. Ja artikkelin päätarkoitus on opettaa sinulle, kuinka käyttää joitain koordinaattimenetelmän perustekniikoita (ne osoittautuvat joskus hyödyllisiksi ratkaistaessa planimetrian ongelmia yhtenäisen valtiontutkinnon osassa B). Seuraavat kaksi tätä aihetta käsittelevää osaa on omistettu ongelmien C2 (stereometrian ongelma) ratkaisumenetelmien käsittelyyn.

Mistä olisi loogista aloittaa keskustelu koordinaattimenetelmästä? Luultavasti koordinaattijärjestelmän käsitteellä. Muista, kun tapasit hänet ensimmäisen kerran. Minusta näyttää siltä, ​​että 7. luokalla, kun opit esimerkiksi lineaarifunktion olemassaolosta. Muistutan teitä siitä, että rakensit sen kohta kohdalta. Muistatko? Valitsit mielivaltaisen luvun, vaihdoit sen kaavaan ja laskit tällä tavalla. Esimerkiksi jos, sitten, jos, sitten jne. Mitä sait tuloksena? Ja sait pisteitä koordinaatteineen: ja. Sitten piirsit "ristin" (koordinaattijärjestelmä), valitsit sille asteikon (kuinka monta solua sinulla on yhtenä segmenttinä) ja merkitsit siihen saamasi pisteet, jotka sitten yhdistit suoralla, tuloksena olevalla viivalla on funktion kuvaaja.

On muutamia asioita, jotka on selitettävä sinulle hieman yksityiskohtaisemmin:

1. Valitset yhden segmentin mukavuussyistä, jotta kaikki mahtuu kauniisti ja tiiviisti kuvaan

2. Oletetaan, että akseli kulkee vasemmalta oikealle ja akseli alhaalta ylös

3. Ne leikkaavat suorassa kulmassa, ja niiden leikkauspistettä kutsutaan origoksi. Se on merkitty kirjaimella.

4. Esimerkiksi pisteen koordinaatin tietueessa vasemmalla suluissa on pisteen koordinaatti akselin suuntaisesti ja oikealla akselin suuntaisesti. Erityisesti tarkoittaa yksinkertaisesti, että kohta

5. Jotta voit asettaa minkä tahansa pisteen koordinaattiakselilla, sinun on määritettävä sen koordinaatit (2 numeroa)

6. Jokaiselle akselilla olevalle pisteelle,

7. Jokaiselle akselilla olevalle pisteelle,

8. Akselia kutsutaan x-akseliksi

9. Akselia kutsutaan y-akseliksi

Otetaan nyt seuraava askel kanssasi: merkitse kaksi pistettä. Yhdistä nämä kaksi pistettä viivalla. Ja laitetaan nuoli ikään kuin piirtäisimme segmenttiä pisteestä pisteeseen: eli teemme segmentistämme suunnatun!

Muistatko mikä on ohjatun segmentin toinen nimi? Aivan oikein, sitä kutsutaan vektoriksi!

Jos siis yhdistämme pisteen pisteeseen, ja alku on piste A ja loppu on piste B, sitten saamme vektorin. Teit myös tämän rakentamisen 8. luokalla, muistatko?

Osoittautuu, että vektorit, kuten pisteet, voidaan merkitä kahdella numerolla: näitä numeroita kutsutaan vektorin koordinaateiksi. Kysymys: Riittääkö, että tiedämme vektorin alun ja lopun koordinaatit löytääksemme sen koordinaatit? Osoittautuu, että kyllä! Ja se on erittäin helppo tehdä:

Siten, koska vektorissa piste on alku ja loppu, vektorilla on seuraavat koordinaatit:

Esimerkiksi jos, niin vektorin koordinaatit

Tehdään nyt päinvastoin, etsitään vektorin koordinaatit. Mitä meidän on muutettava tätä varten? Kyllä, sinun on vaihdettava alku ja loppu: nyt vektorin alku on pisteessä ja loppu pisteessä. Sitten:

Katso tarkkaan, mikä ero on vektorien ja? Niiden ainoa ero on koordinaattien merkit. Ne ovat vastakkaisia. Tämä tosiasia on kirjoitettu näin:

Joskus, jos ei ole erikseen ilmoitettu, mikä piste on vektorin alku ja mikä on loppu, vektoreita ei merkitä kahdella isolla kirjaimella, vaan yhdellä pienellä kirjaimella, esimerkiksi:, jne.

Nyt vähän harjoitella ja etsi seuraavien vektorien koordinaatit:

Tutkimus:

Ratkaise ongelma nyt hieman vaikeampi:

Vektoritoruksella, jossa on on-cha-romu pisteessä, on co-or-di-on-you. Etsi-di-te abs-cis-su -pisteet.

Kaikki sama on melko proosaa: Antaa olla pisteen koordinaatit. Sitten

Käänsin järjestelmän määrittämällä mitkä ovat vektorin koordinaatit. Sitten pisteellä on koordinaatit. Olemme kiinnostuneita abskissasta. Sitten

Vastaus:

Mitä muuta voit tehdä vektoreilla? Kyllä, melkein kaikki on sama kuin tavallisilla luvuilla (paitsi, että et voi jakaa, mutta voit kertoa kahdella tavalla, joista toista käsittelemme täällä hieman myöhemmin)

1. Vektorit voidaan pinota toisiinsa
2. Vektorit voidaan vähentää toisistaan
3. Vektorit voidaan kertoa (tai jakaa) mielivaltaisella nollasta poikkeavalla luvulla
4. Vektorit voidaan kertoa keskenään

Kaikilla näillä operaatioilla on melko visuaalinen geometrinen esitys. Esimerkiksi kolmion (tai suunnikkaan) sääntö yhteen- ja vähennyslaskulle:

Vektori venyy tai kutistuu tai muuttaa suuntaa, kun se kerrotaan tai jaetaan luvulla:

Tässä meitä kiinnostaa kuitenkin kysymys siitä, mitä koordinaateille tapahtuu.

1. Kun lisäämme (vähennämme) kahta vektoria, lisäämme (vähennämme) niiden koordinaatit elementti kerrallaan. Eli:

2. Kun kerrotaan (jaetaan) vektori luvulla, kaikki sen koordinaatit kerrotaan (jaetaan) tällä luvulla:

Esimerkiksi:

· Etsi-di-summa ko-or-di-nat vuosisadasta-ra.

Etsitään ensin kunkin vektorin koordinaatit. Molemmilla on sama alkuperä - lähtöpiste. Niiden päät ovat erilaisia. Sitten,. Nyt lasketaan vektorin koordinaatit Sitten tuloksena olevan vektorin koordinaattien summa on yhtä suuri.

Vastaus:

Ratkaise nyt itse seuraava ongelma:

· Etsi vektorin koordinaattien summa

Tarkistamme:

Tarkastellaan nyt seuraavaa ongelmaa: meillä on kaksi pistettä koordinaattitasolla. Kuinka löytää niiden välinen etäisyys? Olkoon ensimmäinen piste ja toinen. Merkitään niiden välinen etäisyys muodossa . Tehdään seuraava piirustus selvyyden vuoksi:

Mitä olen tehnyt? Ensin yhdistin pisteet ja piirsin pisteestä akselin suuntaisen suoran ja pisteestä akselin suuntaisen suoran. Leikkautuivatko ne jossain pisteessä muodostaen upean hahmon? Miksi hän on ihana? Kyllä, sinä ja minä tiedämme melkein kaiken suorakulmaisesta kolmiosta. No, Pythagoraan lause, ehdottomasti. Haluttu segmentti on tämän kolmion hypotenuusa ja segmentit ovat jalkoja. Mitkä ovat pisteen koordinaatit? Kyllä, ne on helppo löytää kuvasta: Koska segmentit ovat yhdensuuntaiset akselien kanssa ja vastaavasti, niiden pituudet on helppo löytää: jos merkitsemme segmenttien pituuksia vastaavasti läpi, niin

Käytetään nyt Pythagoraan lausetta. Tiedämme jalkojen pituudet, löydämme hypotenuusan:

Siten kahden pisteen välinen etäisyys on koordinaattien neliöerojen juurisumma. Tai - kahden pisteen välinen etäisyys on niitä yhdistävän janan pituus. On helppo nähdä, että pisteiden välinen etäisyys ei riipu suunnasta. Sitten:

Tästä teemme kolme johtopäätöstä:

Harjoitellaan hieman kahden pisteen välisen etäisyyden laskemista:

Esimerkiksi jos, niin etäisyys välillä ja on

Tai mennään toisin: etsi vektorin koordinaatit

Ja etsi vektorin pituus:

Kuten näet, se on sama!

Harjoittele nyt vähän itse:

Tehtävä: Etsi annettujen pisteiden välinen etäisyys:

Tarkistamme:

Tässä on pari muuta ongelmaa samalle kaavalle, vaikka ne kuulostavat hieman erilaisilta:

1. Etsi-di-te silmäluomen ja ra:n pituuden neliö.

2. Nai-di-te neliö silmäluomen pituus-ra

Luulen, että voit käsitellä niitä helposti? Tarkistamme:

1. Ja tämä on tarkkaavaisuus) Olemme jo löytäneet vektorien koordinaatit aiemmin: . Sitten vektorilla on koordinaatit. Sen pituuden neliö on:

2. Etsi vektorin koordinaatit

Sitten sen pituuden neliö on

Ei mitään monimutkaista, eikö? Yksinkertaista aritmetiikkaa, ei mitään muuta.

Seuraavia arvoituksia ei voida yksiselitteisesti luokitella, ne ovat pikemminkin yleistä oppimista ja kykyä piirtää yksinkertaisia ​​kuvia.

1. Etsi ne kulman sinit klo-on-leikkauksesta, yhdistä yksi n:nnes piste abskissa-akseliin.

ja

Kuinka aiomme tehdä sen täällä? Sinun on löydettävä kulman ja akselin välisen sini. Ja mistä voimme etsiä siniä? Aivan oikein, suorakulmaisessa kolmiossa. Mitä meidän pitää tehdä? Rakenna tämä kolmio!

Koska pisteen koordinaatit ja, niin jana on yhtä suuri, ja jana. Meidän on löydettävä kulman sini. Muistutan, että sini on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan

Mitä meillä on jäljellä? Etsi hypotenuusa. Voit tehdä sen kahdella tavalla: käyttämällä Pythagoraan lausetta (jalat tunnetaan!) tai käyttämällä kahden pisteen välisen etäisyyden kaavaa (itse asiassa sama kuin ensimmäinen menetelmä!). Menen toisella tavalla:

Vastaus:

Seuraava tehtävä näyttää sinulle vielä helpommalta. Hän - pisteen koordinaateissa.

Tehtävä 2. Tästä pisteestä per-pen-di-ku-lar lasketaan abs-ciss-akselille. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Tehdään piirustus:

Pystysuoran kanta on piste, jossa se leikkaa x-akselin (akselin) minulle tämä on piste. Kuvasta näkyy, että sillä on koordinaatit: . Olemme kiinnostuneita abskissasta - eli "X"-komponentista. Hän on tasa-arvoinen.

Vastaus: .

Tehtävä 3. Etsi edellisen tehtävän olosuhteissa etäisyyksien summa pisteestä koordinaattiakseleihin.

Tehtävä on yleensä alkeellinen, jos tiedät, mikä on pisteen etäisyys akseleihin. Sinä tiedät? Toivon, mutta silti muistutan:

Joten piirustuksessani, joka sijaitsee hieman korkeammalla, olen jo kuvannut yhden sellaisen kohtisuoran? Mikä akseli se on? akselille. Ja mikä sen pituus sitten on? Hän on tasa-arvoinen. Piirrä nyt itse kohtisuora akseliin nähden ja löydä sen pituus. Se tulee olemaan tasapuolinen, eikö? Silloin niiden summa on yhtä suuri.

Vastaus: .

Tehtävä 4. Etsi tehtävän 2 ehdoista pisteen ordinaatit, joka on symmetrinen x-akselin ympärillä olevaan pisteeseen.

Luulen, että ymmärrät intuitiivisesti mitä symmetria on? Hyvin monilla esineillä on se: monet rakennukset, pöydät, tasot, monet geometriset muodot: pallo, sylinteri, neliö, rombi jne. Karkeasti ottaen symmetria voidaan ymmärtää seuraavasti: hahmo koostuu kahdesta (tai useammasta) identtiset puolikkaat. Tätä symmetriaa kutsutaan aksiaaliseksi. Mikä sitten on akseli? Juuri tätä linjaa pitkin kuvio voidaan suhteellisesti "leikata" identtisiksi puoliksi (tässä kuvassa symmetria-akseli on suora):

Palataanpa nyt tehtäväämme. Tiedämme, että etsimme pistettä, joka on symmetrinen akselin suhteen. Silloin tämä akseli on symmetria-akseli. Joten meidän on merkittävä piste niin, että akseli leikkaa segmentin kahteen yhtä suureen osaan. Yritä merkitä tällainen kohta itse. Vertaa nyt ratkaisuani:

Teitkö samoin? Hyvin! Löydetyssä pisteessä olemme kiinnostuneita ordinaatista. Hän on tasa-arvoinen

Vastaus:

Kerro nyt hetken miettimisen jälkeen, mikä on pisteen A kanssa symmetrisen pisteen abskissa y-akselilla? Mikä on vastauksesi? Oikea vastaus: .

Yleisesti ottaen sääntö voidaan kirjoittaa näin:

Pisteellä, joka on symmetrinen x-akselin ympärillä olevaan pisteeseen, on koordinaatit:

Pisteellä, joka on symmetrinen y-akselin ympärillä olevaan pisteeseen, on koordinaatit:

No nyt on todella pelottavaa. tehtävä: Etsi pisteen suhteen symmetrisen pisteen koordinaatit suhteessa origoon. Ajattele ensin itse ja katso sitten piirustustani!

Vastaus:

Nyt suunnikasongelma:

Tehtävä 5: Pisteet ovat ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Etsi-dee-te tai-dee-on-tu -pisteet.

Voit ratkaista tämän ongelman kahdella tavalla: logiikalla ja koordinaattimenetelmällä. Käytän ensin koordinaattimenetelmää ja sitten kerron, kuinka voit päättää toisin.

On aivan selvää, että pisteen abskissa on yhtä suuri. (se sijaitsee kohtisuorassa, joka on piirretty pisteestä x-akselille). Meidän on löydettävä ordinaatta. Hyödynnetään sitä tosiasiaa, että kuviomme on suunnikas, mikä tarkoittaa sitä. Etsi janan pituus kahden pisteen välisen etäisyyden kaavalla:

Laskemme kohtisuoran, joka yhdistää pisteen akseliin. Leikkauskohta on merkitty kirjaimella.

Jakson pituus on yhtä suuri. (etsi itse ongelma, jossa keskustelimme tästä hetkestä), niin löydämme segmentin pituuden Pythagoraan lauseen avulla:

Janan pituus on täsmälleen sama kuin sen ordinaatta.

Vastaus: .

Toinen ratkaisu (anna vain kuvan, joka havainnollistaa sitä)

Ratkaisun edistyminen:

1. Kuluta

2. Etsi pisteen koordinaatit ja pituus

3. Todista se.

Toinen leikkauspituuden ongelma:

Pisteet ovat-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Etsi hänen keskiviivan pituus, par-ral-lel-noy.

Muistatko mikä on kolmion keskiviiva? Sitten tämä tehtävä on sinulle alkeellinen. Jos et muista, muistutan sinua: kolmion keskiviiva on viiva, joka yhdistää vastakkaisten sivujen keskipisteet. Se on yhdensuuntainen pohjan kanssa ja yhtä suuri kuin puolet siitä.

Pohja on segmentti. Meidän piti etsiä sen pituus aiemmin, se on yhtä suuri. Silloin keskiviivan pituus on puolet yhtä pitkä ja yhtä suuri.

Vastaus: .

Kommentti: Tämä ongelma voidaan ratkaista toisella tavalla, jota käsittelemme hieman myöhemmin.

Sillä välin tässä sinulle muutamia tehtäviä, harjoittele niitä, ne ovat melko yksinkertaisia, mutta auttavat "saamaan käteen" koordinaattimenetelmällä!

1. Pisteet näkyvät-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Etsi sen keskiviivan pituus.

2. Pisteet ja yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Etsi-dee-te tai-dee-on-tu -pisteet.

3. Etsi pituus leikkauksesta, yhdistä toinen piste ja

4. Etsi-di-te alue-the-red-shen-noy fi-gu-ry ko-or-di-nat-noy tasossa.

5. Ympyrä, jonka keskipiste on na-cha-le ko-or-di-nat, kulkee pisteen läpi. Etsi-de-te hänen ra-di-viikset.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, kuvaile-san-noy lähellä suorakulmaa-no-ka, jotain-ro-go:n tops-shi-ny on yhdessä tai - di-na-you co-from-reply-but

Ratkaisut:

1. Tiedetään, että puolisuunnikkaan keskiviiva on yhtä suuri kuin puolet sen kantojen summasta. Pohja on sama, mutta pohja. Sitten

Vastaus:

2. Helpoin tapa ratkaista tämä ongelma on huomata se (rinnakkaissääntö). Laske vektorien koordinaatit ja se ei ole vaikeaa: . Kun lisäät vektoreita, koordinaatit lisätään. Sitten on koordinaatit. Pisteellä on samat koordinaatit, koska vektorin alku on piste, jolla on koordinaatit. Olemme kiinnostuneita ordinaatista. Hän on tasa-arvoinen.

Vastaus:

3. Toimimme välittömästi kahden pisteen välisen etäisyyden kaavan mukaan:

Vastaus:

4. Katso kuvaa ja sano, minkä kahden hahmon väliin varjostettu alue on "puristettu"? Se on kahden neliön välissä. Sitten halutun hahmon pinta-ala on yhtä suuri kuin suuren neliön pinta-ala miinus pienen neliön pinta-ala. Pienen neliön sivu on pisteitä yhdistävä jana ja sen pituus on

Sitten pienen neliön pinta-ala on

Teemme samoin suuren neliön kanssa: sen sivu on pisteitä yhdistävä jana ja sen pituus on yhtä suuri

Sitten suuren neliön pinta-ala on

Halutun kuvan pinta-ala löytyy kaavasta:

Vastaus:

5. Jos ympyrän keskipiste on origo ja se kulkee pisteen läpi, niin sen säde on täsmälleen yhtä suuri kuin janan pituus (piirrä, niin ymmärrät miksi tämä on ilmeistä). Etsi tämän jakson pituus:

Vastaus:

6. Tiedetään, että suorakulmion ympärille piirretyn ympyrän säde on yhtä suuri kuin puolet sen lävistäjästä. Etsitään minkä tahansa kahden lävistäjän pituus (ne ovat loppujen lopuksi suorakulmiossa yhtä suuret!)

Vastaus:

No, onnistuitko sinä kaiken? Ei se ollut niin vaikeaa selvittää se, eihän? Tässä on vain yksi sääntö - pystyä tekemään visuaalinen kuva ja yksinkertaisesti "lukea" kaikki tiedot siitä.

Meillä on hyvin vähän jäljellä. Haluaisin keskustella kirjaimellisesti vielä kahdesta asiasta.

Yritetään ratkaista tämä yksinkertainen ongelma. Anna kaksi pistettä ja annetaan. Etsi janan keskikohdan koordinaatit. Ratkaisu tähän ongelmaan on seuraava: olkoon piste haluttu keskipiste, niin sillä on koordinaatit:

Eli: janan keskikohdan koordinaatit = janan päiden vastaavien koordinaattien aritmeettinen keskiarvo.

Tämä sääntö on hyvin yksinkertainen eikä yleensä aiheuta vaikeuksia opiskelijoille. Katsotaanpa, missä ongelmissa ja miten sitä käytetään:

1. Etsi-di-te tai-di-na-tu se-re-di-us from-cut, yhdistä-nya-yu-th-piste ja

2. Pisteet ovat yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Etsi-di-te tai-di-na-tu pisteet re-re-se-che-niya hänen dia-go-on-lei.

3. Etsi-di-te abs-cis-su ympyrän keskipisteestä, kuvaile-san-noy lähellä suorakulmiota-no-ka, tops-shi-meillä on jotain-ro-go co-or-di- na-you co-from-vet-stvenno-but.

Ratkaisut:

1. Ensimmäinen tehtävä on vain klassikko. Toimimme välittömästi määrittämällä janan keskipisteen. Hänellä on koordinaatit. Ordinaatta on yhtä suuri.

Vastaus:

2. On helppo nähdä, että annettu nelikulmio on suunnikas (jopa rombi!). Voit todistaa sen itse laskemalla sivujen pituudet ja vertaamalla niitä toisiinsa. Mitä tiedän suunnikkaasta? Sen diagonaalit jaetaan leikkauspisteen avulla! Ahaa! Mikä on diagonaalien leikkauspiste? Tämä on minkä tahansa diagonaalin keskikohta! Valitsen erityisesti diagonaalin. Silloin pisteellä on koordinaatit, pisteen ordinaatit ovat yhtä suuria kuin.

Vastaus:

3. Mikä on suorakulmion ympärille rajatun ympyrän keskipiste? Se osuu yhteen sen diagonaalien leikkauspisteen kanssa. Mitä tiedät suorakulmion diagonaaleista? Ne ovat yhtä suuret ja leikkauspiste jaetaan puoliksi. Tehtävä on supistettu edelliseen. Otetaan esimerkiksi diagonaali. Sitten jos on rajatun ympyrän keskipiste, niin se on keskikohta. Etsin koordinaatteja: Abskissa on yhtä suuri.

Vastaus:

Harjoittele nyt vähän itse, annan vain vastaukset jokaiseen ongelmaan, jotta voit tarkistaa itsesi.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, kuvaile-san-noy lähellä kolmio-no-ka, joku-ro-go:n yläosissa on ko-or-di -no -herrat

2. Etsi-di-te or-di-na-tu ympyrän keskipiste, kuvaile san-noy lähellä kolmiota-no-ka, tops-shi-meillä on jotain-ro-go koordinaatit

3. Millainen ra-di-y-sa pitäisi olla ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä niin, että se koskettaa abs-ciss-akselia?

4. Etsi-di-te tai-di-on-piste, jossa akselin uudelleense-che-ing ja from-cut, connect-nya-yu-th-piste ja

Vastaukset:

Menikö kaikki? Toivon todella sitä! Nyt - viimeinen työntö. Ole nyt erityisen varovainen. Aineisto, jota aion nyt selittää, ei liity pelkästään yksinkertaisiin koordinaattimenetelmäongelmiin osassa B, vaan se on myös kaikkialla tehtävässä C2.

Mitä lupauksistani en ole vielä pitänyt? Muistatko mitä vektoreita koskevia operaatioita lupasin ottaa käyttöön ja mitkä lopulta otin käyttöön? Olenko varma, etten ole unohtanut mitään? Unohdin! Unohdin selittää mitä vektorien kertominen tarkoittaa.

On kaksi tapaa kertoa vektori vektorilla. Valitusta menetelmästä riippuen saamme erilaisia ​​esineitä:

Vektorituote on melko hankala. Miten se tehdään ja miksi sitä tarvitaan, keskustelemme kanssasi seuraavassa artikkelissa. Ja tässä keskitymme skalaaritulokseen.

On jo kaksi tapaa, joiden avulla voimme laskea sen:

Kuten arvasit, tuloksen pitäisi olla sama! Katsotaanpa siis ensin ensimmäistä tapaa:

Pistele tuote koordinaattien kautta

Etsi: - yhteinen merkintä pistetuotteelle

Laskentakaava on seuraava:

Eli pistetulo = vektorien koordinaattien tulojen summa!

Esimerkki:

Etsi-dee-te

Päätös:

Etsi kunkin vektorin koordinaatit:

Laskemme skalaaritulon kaavalla:

Vastaus:

Katsos, ei mitään monimutkaista!

No, kokeile nyt itse:

Find-di-te skalaari-noe pro-ve-de-nie vuosisadasta ojaan ja

onnistuitko? Ehkä hän huomasi pienen tempun? Tarkistetaan:

Vektorikoordinaatit, kuten edellisessä tehtävässä! Vastaus:.

Koordinaatin lisäksi on toinen tapa laskea skalaaritulo, nimittäin vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin kautta:

Tarkoittaa kulmaa vektorien ja välillä.

Toisin sanoen skalaaritulo on yhtä suuri kuin vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin tulo.

Miksi tarvitsemme tätä toista kaavaa, jos meillä on ensimmäinen, joka on paljon yksinkertaisempi, siinä ei ainakaan ole kosineja. Ja tarvitsemme sitä, jotta voimme päätellä ensimmäisestä ja toisesta kaavasta kuinka löytää vektorien välinen kulma!

Muistakaa sitten vektorin pituuden kaava!

Sitten jos liitän nämä tiedot pistetuotekaavaan, saan:

Mutta toisella puolella:

Mitä meillä on? Meillä on nyt kaava kahden vektorin välisen kulman laskemiseksi! Joskus lyhyyden vuoksi se kirjoitetaan myös näin:

Eli vektorien välisen kulman laskemisen algoritmi on seuraava:

1. Laskemme skalaaritulon koordinaattien avulla
2. Etsi vektorien pituudet ja kerro ne
3. Jaa pisteen 1 tulos pisteen 2 tuloksella

Harjoitellaan esimerkkien avulla:

1. Etsi kulma silmäluomien ja ra-mi:n välillä. Kerro vastauksesi asteina.

2. Etsi edellisen tehtävän ehdoilla vektorien välinen kosini

Tehdään näin: Autan sinua ratkaisemaan ensimmäisen ongelman ja yritän tehdä toisen itse! Olen samaa mieltä? Sitten aloitetaan!

1. Nämä vektorit ovat vanhoja ystäviämme. Olemme jo harkinneet heidän skalaarituloaan ja se oli yhtä suuri. Niiden koordinaatit ovat: , . Sitten löydämme niiden pituudet:

Sitten etsimme kosinia vektorien välillä:

Mikä on kulman kosini? Tämä on kulma.

Vastaus:

No, ratkaise nyt toinen ongelma itse ja vertaa sitten! Annan vain lyhyen ratkaisun:

2. on koordinaatit, on koordinaatit.

Antaa olla vektorien välinen kulma ja sitten

Vastaus:

On huomioitava, että koepaperin B-osan vektoreille suoraan tehtävät tehtävät ja koordinaattimenetelmä ovat melko harvinaisia. Suurin osa C2-ongelmista voidaan kuitenkin helposti ratkaista ottamalla käyttöön koordinaattijärjestelmä. Joten voit pitää tätä artikkelia perustana, jonka perusteella teemme melko hankalia rakenteita, joita tarvitsemme monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseksi.

KOORDINAATIT JA VEKTORIT. KESKITASO

Sinä ja minä jatkamme koordinaattimenetelmän tutkimista. Viimeisessä osassa johdimme joukon tärkeitä kaavoja, jotka mahdollistavat:

1. Etsi vektorin koordinaatit
2. Etsi vektorin pituus (vaihtoehtoisesti: kahden pisteen välinen etäisyys)
3. Lisää, vähennä vektoreita. Kerro ne reaaliluvulla
4. Etsi janan keskipiste
5. Laske vektorien pistetulo
6. Etsi vektoreiden välinen kulma

Tietenkään koko koordinaattimenetelmä ei mahdu näihin kuuteen pisteeseen. Sen taustalla on sellainen tiede kuin analyyttinen geometria, johon tutustut yliopistossa. Haluan vain rakentaa perustan, jonka avulla voit ratkaista ongelmia yhdessä tilassa. koe. Selvitimme B-osan tehtävät vuonna Nyt on aika siirtyä laadullisesti uudelle tasolle! Tämä artikkeli on omistettu menetelmälle niiden C2-ongelmien ratkaisemiseksi, joissa olisi järkevää vaihtaa koordinaattimenetelmään. Tämä kohtuullisuus määräytyy sen mukaan, mitä ongelmasta on löydettävä ja mikä luku annetaan. Joten käyttäisin koordinaattimenetelmää, jos kysymykset ovat:

1. Etsi kahden tason välinen kulma
2. Etsi suoran ja tason välinen kulma
3. Etsi kahden viivan välinen kulma
4. Etsi etäisyys pisteestä tasoon
5. Etsi pisteen ja suoran välinen etäisyys
6. Etsi etäisyys suorasta tasosta
7. Etsi kahden viivan välinen etäisyys

Jos ongelman tilassa annettu luku on kierroskappale (pallo, sylinteri, kartio...)

Sopivia lukuja koordinaattimenetelmälle ovat:

1. kuutiomainen
2. Pyramidi (kolmio, nelikulmainen, kuusikulmainen)

Myös minun kokemukseni mukaan ei ole tarkoituksenmukaista käyttää koordinaattimenetelmää:

1. Osion alueiden etsiminen
2. Kappaleiden tilavuuksien laskelmat

On kuitenkin heti huomattava, että kolme koordinaattimenetelmän "epäsuotuisaa" tilannetta ovat käytännössä melko harvinaisia. Useimmissa tehtävissä siitä voi tulla pelastajasi, varsinkin jos et ole kovin vahva kolmiulotteisissa rakenteissa (jotka ovat joskus melko monimutkaisia).

Mitkä ovat kaikki edellä luettelemani luvut? Ne eivät ole enää litteitä, kuten neliö, kolmio, ympyrä, vaan tilavia! Näin ollen meidän ei tarvitse harkita kaksiulotteista, vaan kolmiulotteista koordinaattijärjestelmää. Se rakennetaan melko helposti: abskissan ja ordinaattien lisäksi esittelemme toisen akselin, aplikaatioakselin. Kuvassa on kaavamaisesti esitetty niiden suhteellinen sijainti:

Kaikki ne ovat keskenään kohtisuorassa, leikkaavat yhdessä pisteessä, jota kutsumme origoksi. Abskissa-akselia, kuten aiemmin, merkitään, ordinaatta-akselia - ja lisättyä aplikaatioakselia -.

Jos aiemmin jokaiselle tason pisteelle oli tunnusomaista kaksi numeroa - abskissa ja ordinaatta, niin jokainen avaruuden piste on jo kuvattu kolmella numerolla - abskissa, ordinaatta, aplikaatti. Esimerkiksi:

Vastaavasti pisteen abskissa on yhtä suuri, ordinaatto on , ja soveltaa on .

Joskus pisteen abskissaa kutsutaan myös pisteen projektioksi abskissa-akselille, ordinaatta on pisteen projektio y-akselille ja applikaatti on pisteen projektio aplikaatioakselille. Vastaavasti, jos piste on annettu, piste koordinaatteineen:

kutsutaan pisteen projektioksi tasolle

kutsutaan pisteen projektioksi tasolle

Herää luonnollinen kysymys: ovatko kaikki kaksiulotteiselle tapaukselle johdetut kaavat päteviä avaruudessa? Vastaus on kyllä, ne ovat oikeudenmukaisia ​​ja niillä on sama ulkonäkö. Pienen yksityiskohdan vuoksi. Luulen, että arvasit jo kumpi. Kaikkiin kaavoihin meidän on lisättävä vielä yksi termi, joka vastaa sovellusakselista. Nimittäin.

1. Jos kaksi pistettä annetaan: , niin:

• Vektorikoordinaatit:
• Kahden pisteen välinen etäisyys (tai vektorin pituus)
• Jakson keskellä on koordinaatit

2. Jos annetaan kaksi vektoria: ja, niin:

• Heidän pistetuotteensa on:
• Vektorien välisen kulman kosini on:

Avaruus ei kuitenkaan ole niin yksinkertaista. Kuten ymmärrät, yhden koordinaatin lisääminen tuo merkittävän vaihtelun tässä tilassa "elävien" hahmojen spektriin. Ja lisäkerrontaa varten minun on esitettävä karkeasti sanottuna suoran linjan "yleistys". Tämä "yleistys" on kone. Mitä tiedät lentokoneesta? Yritä vastata kysymykseen, mikä on lentokone? Sitä on erittäin vaikea sanoa. Kuitenkin me kaikki kuvittelemme intuitiivisesti, miltä se näyttää:

Karkeasti sanottuna tämä on eräänlainen loputon "lehti", joka työnnetään avaruuteen. "Ääretön" tulee ymmärtää, että taso ulottuu kaikkiin suuntiin, eli sen pinta-ala on yhtä suuri kuin ääretön. Tämä "sormilla" oleva selitys ei kuitenkaan anna pienintäkään käsitystä koneen rakenteesta. Ja olemme kiinnostuneita siitä.

Muistetaan yksi geometrian perusaksioomeista:

• Suora kulkee kahden eri pisteen läpi tasossa, lisäksi vain yhden:

Tai sen analogia avaruudessa:

Tietenkin muistat kuinka johtaa suoran yhtälö kahdesta annetusta pisteestä, tämä ei ole ollenkaan vaikeaa: jos ensimmäisellä pisteellä on koordinaatit: ja toisella, niin suoran yhtälö on seuraava:

Kävit tämän läpi 7. luokalla. Avaruudessa suoran yhtälö näyttää tältä: olkoon kaksi pistettä, joiden koordinaatit: , niin niiden läpi kulkevan suoran yhtälö on muotoa:

Esimerkiksi viiva kulkee pisteiden läpi:

Miten tämä pitäisi ymmärtää? Tämä tulee ymmärtää seuraavasti: piste sijaitsee suoralla, jos sen koordinaatit täyttävät seuraavan järjestelmän:

Emme ole kovin kiinnostuneita suoran yhtälöstä, mutta meidän on kiinnitettävä huomiota erittäin tärkeään suoran suuntausvektorin käsitteeseen. - mikä tahansa nollasta poikkeava vektori, joka sijaitsee tietyllä suoralla tai yhdensuuntainen sen kanssa.

Esimerkiksi molemmat vektorit ovat suoran suuntavektoreita. Antaa olla piste, joka sijaitsee suoralla ja olla sen suuntaava vektori. Sitten suoran yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

Jälleen kerran, en ole kovin kiinnostunut suoran yhtälöstä, mutta sinun on todella muistettava mikä suuntavektori on! Uudelleen: se on MIKKI nollasta poikkeava vektori, joka sijaitsee suoralla tai on sen suuntainen.

Peruuttaa tason kolmen pisteen yhtälö ei ole enää niin triviaali, eikä sitä yleensä käsitellä lukion kurssilla. Mutta turhaan! Tämä tekniikka on elintärkeä, kun turvaudumme koordinaattimenetelmään monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseksi. Oletan kuitenkin, että olet täynnä halua oppia jotain uutta? Lisäksi voit tehdä vaikutuksen opettajaasi yliopistossa, kun käy ilmi, että osaat jo käyttää tekniikkaa, jota yleensä opiskellaan analyyttisen geometrian kurssilla. Joten aloitetaan.

Tason yhtälö ei eroa liikaa tason suoran yhtälöstä, nimittäin sillä on muoto:

joitain lukuja (eivät kaikki ole nollia), mutta muuttujia, esimerkiksi: jne. Kuten näet, tason yhtälö ei ole kovin erilainen kuin suoran yhtälö (lineaarinen funktio). Muistatko kuitenkin, mitä väittelimme kanssasi? Sanoimme, että jos meillä on kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla, tason yhtälö palautetaan niistä yksiselitteisesti. Mutta miten? Yritän selittää sinulle.

Koska tasoyhtälö on:

Ja pisteet kuuluvat tähän tasoon, niin kun korvaamme kunkin pisteen koordinaatit tason yhtälöön, meidän pitäisi saada oikea identiteetti:

Siten on tarpeen ratkaista kolme yhtälöä jo tuntemattomilla! Dilemma! Voimme kuitenkin aina olettaa, että (tätä varten meidän on jaettava:). Siten saamme kolme yhtälöä kolmella tuntemattomalla:

Emme kuitenkaan ratkaise tällaista järjestelmää, vaan kirjoitamme siitä johtuvan salaperäisen lausekkeen:

Kolmen annetun pisteen läpi kulkevan tason yhtälö

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Lopettaa! Mitä muuta tämä on? Todella epätavallinen moduuli! Edessäsi näkyvällä esineellä ei kuitenkaan ole mitään tekemistä moduulin kanssa. Tätä objektia kutsutaan kolmannen asteen determinantiksi. Tästä lähtien, kun käsittelet koordinaattien menetelmää lentokoneessa, törmäät usein juuri näihin määrittäjiin. Mikä on kolmannen asteen determinantti? Kummallista kyllä, se on vain numero. On vielä ymmärrettävä, mitä tiettyä numeroa vertaamme determinanttiin.

Kirjoitetaan ensin kolmannen asteen determinantti yleisemmässä muodossa:

Missä on joitain numeroita. Lisäksi ensimmäisellä indeksillä tarkoitamme rivin numeroa ja indeksillä - sarakkeen numeroa. Se tarkoittaa esimerkiksi, että annettu numero on toisen rivin ja kolmannen sarakkeen leikkauskohdassa. Esitetään seuraava kysymys: kuinka tarkalleen aiomme laskea tällaisen determinantin? Eli mihin tiettyyn numeroon vertaamme sitä? Täsmälleen kolmannen kertaluvun determinantille on olemassa heuristinen (visuaalinen) kolmisääntö, joka näyttää tältä:

1. Päälävistäjän elementtien tulo (ylävasemmalta oikealle alaoikealle) niiden elementtien tulo, jotka muodostavat ensimmäisen kolmion "kohtisuorassa" päälävistäjään nähden niiden elementtien tulo, jotka muodostavat toisen kolmion "suoraan" päädiagonaaliin nähden diagonaalinen
2. Toissijaisen lävistäjän elementtien tulo (oikealta ylävasemmalle) ensimmäisen kolmion muodostavien alkioiden tulo "suoraan" toissijaiseen diagonaaliin nähden niiden alkioiden tulo, jotka muodostavat toisen kolmion "suoraan" suhteessa toissijainen diagonaali
3. Sitten determinantti on yhtä suuri kuin vaiheessa ja saatujen arvojen erotus

Jos kirjoitamme tämän kaiken numeroina, saamme seuraavan lausekkeen:

Sinun ei kuitenkaan tarvitse opetella ulkoa laskentamenetelmää tässä muodossa, riittää, että pidät kolmiot päässäsi ja itse ajatuksen siitä, mitä lisätään mihin ja mikä sitten vähennetään mistä).

Havainnollistetaan kolmiomenetelmää esimerkillä:

1. Laske determinantti:

Selvitetään, mitä lisäämme ja mitä vähennämme:

Termit, joissa on "pluss":

Tämä on päädiagonaali: elementtien tulo on

Ensimmäinen kolmio, joka on kohtisuorassa päädiagonaaliin nähden: elementtien tulo on

Toinen kolmio, " kohtisuorassa päädiagonaaliin nähden: elementtien tulo on

Lisäämme kolme numeroa:

Termit, joissa on "miinus"

Tämä on sivudiagonaali: elementtien tulo on

Ensimmäinen kolmio, "suoraan toissijaiseen lävistäjään nähden: elementtien tulo on

Toinen kolmio, "suoraan toissijaiseen lävistäjään nähden: elementtien tulo on

Lisäämme kolme numeroa:

Ainoa mitä on tehtävä, on vähentää plusehtojen summasta miinusehtojen summa:

Täten,

Kuten näet, kolmannen asteen determinanttien laskennassa ei ole mitään monimutkaista ja yliluonnollista. On yksinkertaisesti tärkeää muistaa kolmiot ja olla tekemättä aritmeettisia virheitä. Yritä nyt laskea itse:

Tarkistamme:

1. Ensimmäinen kolmio, joka on kohtisuorassa päädiagonaaliin nähden:
2. Toinen kolmio, joka on kohtisuorassa päädiagonaaliin nähden:
3. Plussaehtojen summa:
4. Ensimmäinen kolmio, joka on kohtisuorassa sivudiagonaaliin nähden:
5. Toinen kolmio, joka on kohtisuorassa sivudiagonaaliin nähden:
6. Ehtojen summa miinuksella:
7. Plussaehtojen summa miinus miinusehtojen summa:

Tässä on sinulle pari muuta määräävää tekijää, laske niiden arvot itse ja vertaa vastauksia:

Vastaukset:

No, sopiiko kaikki yhteen? Hienoa, sitten voit jatkaa! Jos on vaikeuksia, neuvoni on tämä: Internetissä on joukko ohjelmia determinantin laskemiseksi verkossa. Sinun tarvitsee vain keksiä oma determinantti, laskea se itse ja verrata sitä sitten ohjelman laskemiin. Ja niin edelleen, kunnes tulokset alkavat täsmää. Olen varma, että tämä hetki ei kestä kauan!

Palataan nyt determinanttiin, jonka kirjoitin, kun puhuin kolmen annetun pisteen läpi kulkevan tason yhtälöstä:

Sinun tarvitsee vain laskea sen arvo suoraan (käyttäen kolmiomenetelmää) ja asettaa tulokseksi nolla. Luonnollisesti, koska ne ovat muuttujia, saat jonkin niistä riippuvan lausekkeen. Juuri tämä lauseke on yhtälö tasolle, joka kulkee kolmen tietyn pisteen kautta, jotka eivät ole yhdellä suoralla!

Havainnollistetaan tätä yksinkertaisella esimerkillä:

1. Muodosta pisteiden läpi kulkevan tason yhtälö

Laadimme determinantin näille kolmelle pisteelle:

Yksinkertaistaminen:

Nyt laskemme sen suoraan kolmioiden säännön mukaan:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ oikea| = \vasen((x + 3) \oikea) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Siten pisteiden läpi kulkevan tason yhtälö on:

Yritä nyt ratkaista yksi ongelma itse, ja sitten keskustelemme siitä:

2. Etsi pisteiden läpi kulkevan tason yhtälö

No, keskustellaan nyt ratkaisusta:

Teemme määräävän tekijän:

Ja laske sen arvo:

Sitten tason yhtälöllä on muoto:

Tai vähentämällä saamme:

Nyt kaksi itsehillintätehtävää:

1. Muodosta kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö:

Vastaukset:

Sopisiko kaikki? Jälleen, jos on tiettyjä vaikeuksia, neuvoni on tämä: otat kolme pistettä päästäsi (suurella todennäköisyydellä ne eivät makaa yhdellä suoralla), rakenna niille taso. Ja sitten tarkista itsesi verkossa. Esimerkiksi sivustolla:

Determinanttien avulla emme kuitenkaan rakenna vain tason yhtälöä. Muista, että sanoin, että vektoreille ei ole määritelty vain pistetuloa. On myös vektori sekä sekatuote. Ja jos kahden vektorin skalaaritulo on luku, niin kahden vektorin vektoritulo on vektori, ja tämä vektori on kohtisuorassa annettuihin nähden:

Lisäksi sen moduuli on yhtä suuri kuin vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala ja. Tarvitsemme tätä vektoria laskeaksemme etäisyyden pisteestä suoraan. Kuinka voimme laskea vektorien ristitulon ja jos niiden koordinaatit on annettu? Kolmannen järjestyksen määrääjä tulee jälleen avuksemme. Ennen kuin siirryn ristitulon laskenta-algoritmiin, minun on kuitenkin tehtävä pieni lyyrinen poikkeama.

Tämä poikkeama koskee kantavektoreita.

Kaavamaisesti ne on esitetty kuvassa:

Miksi luulet, että niitä kutsutaan perusmuodoiksi? Tosiasia on, että :

Tai kuvassa:

Tämän kaavan pätevyys on ilmeinen, koska:

vektorituote

Nyt voin aloittaa cross-tuotteen esittelyn:

Kahden vektorin vektoritulo on vektori, joka lasketaan seuraavan säännön mukaan:

Annetaan nyt esimerkkejä ristitulon laskemisesta:

Esimerkki 1: Etsi vektorien ristitulo:

Ratkaisu: Teen determinantin:

Ja lasken sen:

Nyt, kirjoittaessani kantavektoreiden kautta, palaan tavalliseen vektorimerkintään:

Täten:

Yritä nyt.

Valmis? Tarkistamme:

Ja perinteisesti kaksi valvottavat tehtävät:

1. Etsi seuraavien vektorien ristitulo:
2. Etsi seuraavien vektorien ristitulo:

Vastaukset:

Kolmen vektorin sekatulo

Viimeinen konstruktio, jonka tarvitsen, on kolmen vektorin sekatulo. Se, kuten skalaari, on luku. On kaksi tapaa laskea se. - determinantin kautta - sekatuotteen kautta.

Oletetaan nimittäin, että meillä on kolme vektoria:

Sitten kolmen vektorin sekatulo, jota merkitään, voidaan laskea seuraavasti:

1. - eli sekatulo on vektorin skalaaritulo ja kahden muun vektorin vektoritulo

Esimerkiksi kolmen vektorin sekatulo on:

Yritä laskea se itse käyttämällä vektorituloa ja varmista, että tulokset täsmäävät!

Ja taas - kaksi esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta:

Vastaukset:

Koordinaattijärjestelmän valinta

No, nyt meillä on kaikki tarvittava tiedon perusta monimutkaisten geometrian stereometristen ongelmien ratkaisemiseen. Ennen kuin siirryn suoraan esimerkkeihin ja niiden ratkaisemiseen tarkoitettuihin algoritmeihin, uskon kuitenkin, että on hyödyllistä pohtia seuraavaa kysymystä: kuinka tarkalleen valitse koordinaattijärjestelmä tietylle kuviolle. Loppujen lopuksi koordinaattijärjestelmän ja avaruuden hahmon suhteellisen sijainnin valinta ratkaisee sen, kuinka hankalia laskelmat tulevat olemaan.

Muistutan, että tässä osiossa tarkastelemme seuraavia lukuja:

1. kuutiomainen
2. Suora prisma (kolmio, kuusikulmainen…)
3. Pyramidi (kolmio, nelikulmainen)
4. Tetraedri (sama kuin kolmiopyramidi)

Kuutiolle tai kuutiolle suosittelen seuraavaa rakennetta:

Eli asetan hahmon "nurkkaan". Kuutio ja laatikko ovat erittäin hyviä hahmoja. Heille voit aina helposti löytää sen kärkien koordinaatit. Esimerkiksi jos (kuten kuvassa)

sitten kärkikoordinaatit ovat:

Sinun ei tietenkään tarvitse muistaa tätä, mutta on toivottavaa muistaa, kuinka kuutio tai suorakaiteen muotoinen laatikko on parasta sijoittaa.

suora prisma

Prisma on haitallisempi hahmo. Voit järjestää sen tilaan eri tavoin. Mielestäni seuraava on kuitenkin paras vaihtoehto:

Kolmisivuinen prisma:

Eli asetamme yhden kolmion sivuista kokonaan akselille ja yksi kärjeistä osuu origon kanssa.

Kuusikulmainen prisma:

Toisin sanoen yksi pisteistä osuu origoon ja yksi sivuista on akselilla.

Nelikulmainen ja kuusikulmainen pyramidi:

Kuution kaltainen tilanne: yhdistämme pohjan kaksi sivua koordinaattiakseleiden kanssa, yhdistämme yhden kärkeistä origon kanssa. Ainoa pieni vaikeus on pisteen koordinaattien laskeminen.

Kuusikulmaiselle pyramidille - sama kuin kuusikulmainen prisma. Päätehtävänä on jälleen löytää kärjen koordinaatit.

Tetraedri (kolmiopyramidi)

Tilanne on hyvin samanlainen kuin sen, jonka annoin kolmioprisalle: yksi kärki osuu origoon, toinen sivu on koordinaattiakselilla.

No, nyt sinä ja minä olemme vihdoin lähellä ongelmien ratkaisemista. Siitä, mitä sanoin artikkelin alussa, voit tehdä seuraavan johtopäätöksen: useimmat C2-ongelmat jakautuvat kahteen luokkaan: kulman ongelmat ja etäisyyden ongelmat. Ensin tarkastellaan kulman löytämiseen liittyviä ongelmia. Ne puolestaan ​​​​jaetaan seuraaviin luokkiin (monimutkaisuuden kasvaessa):

Ongelmia kulmien löytämisessä

1. Kahden suoran välisen kulman löytäminen
2. Kahden tason välisen kulman löytäminen

Tarkastellaan näitä ongelmia peräkkäin: aloitetaan etsimällä kahden suoran välinen kulma. Muistatko, olemmeko sinä ja minä ratkaisseet samanlaisia ​​esimerkkejä aiemmin? Muistatko, koska meillä oli jo jotain samanlaista... Etsimme kulmaa kahden vektorin välillä. Muistutan teitä, jos annetaan kaksi vektoria: ja, niin niiden välinen kulma saadaan suhteesta:

Nyt meillä on tavoite - löytää kulma kahden suoran välillä. Siirrytään "tasaiseen kuvaan":

Kuinka monta kulmaa saamme, kun kaksi suoraa leikkaavat? Jo asioita. Totta, vain kaksi niistä ei ole samanarvoisia, kun taas toiset ovat pystysuorassa suhteessa niihin (ja siksi yhtenevät niiden kanssa). Joten mikä kulma meidän tulisi harkita kahden suoran välistä kulmaa: vai? Tässä sääntö on: kahden suoran välinen kulma on aina enintään astetta. Toisin sanoen kahdesta kulmasta valitaan aina kulman, jolla on pienin astemitta. Eli tässä kuvassa kahden viivan välinen kulma on yhtä suuri. Jotta ei tarvitsisi etsiä joka kerta pienintä kahdesta kulmasta, ovelat matemaatikot ehdottivat moduulin käyttöä. Siten kahden suoran välinen kulma määritetään kaavalla:

Sinulla, tarkkaavaisena lukijana, olisi pitänyt kysyä: mistä saamme itse asiassa juuri nämä luvut, joita tarvitsemme kulman kosinin laskemiseen? Vastaus: otamme ne viivojen suuntavektoreista! Siten algoritmi kahden viivan välisen kulman löytämiseksi on seuraava:

1. Käytämme kaavaa 1.

Tai tarkemmin:

1. Etsimme ensimmäisen suoran suuntavektorin koordinaatteja
2. Etsimme toisen rivin suuntavektorin koordinaatteja
3. Laske heidän skalaaritulonsa moduuli
4. Etsimme ensimmäisen vektorin pituutta
5. Etsimme toisen vektorin pituutta
6. Kerro pisteen 4 tulokset pisteen 5 tuloksilla
7. Jaamme pisteen 3 tuloksen pisteen 6 tuloksella. Saamme viivojen välisen kulman kosinin
8. Jos tämä tulos antaa meille mahdollisuuden laskea kulman tarkasti, etsimme sitä
9. Muussa tapauksessa kirjoitamme arkosiinin kautta

No, nyt on aika siirtyä tehtäviin: esitän kahden ensimmäisen ratkaisun yksityiskohtaisesti, esitän lyhyesti toisen ratkaisun ja annan vastaukset vain kahteen viimeiseen tehtävään, sinun tulee tee kaikki laskelmat heille itse.

Tehtävät:

1. Etsi oikeasta tet-ra-ed-re-kohdasta kulma you-so-that tet-ra-ed-ra ja me-di-a-noy bo-ko-how -puolen välinen kulma.

2. Oikeanpuoleisessa six-coal-pi-ra-mi-dessa sata-ro-na-os-no-va-niya ovat jotenkin yhtä suuret ja sivurivat ovat yhtä suuret, etsi suoran välinen kulma linjat ja.

3. Oikeakätisen four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy:n kaikkien reunojen pituudet ovat yhtä suuret. Etsi suorien viivojen välinen kulma ja jos from-re-zok - you-so-et annettu pi-ra-mi-dy, piste on se-re-di-on hänen bo-ko- th rib

4. Kuution reunalla-me-che-pisteeseen niin, että Find-di-te suorien viivojen ja

5. Piste - se-re-di-kuution reunoilla Nai-di-te suorien viivojen välinen kulma ja.

Ei ole sattumaa, että laitoin tehtävät tähän järjestykseen. Vaikka et ole vielä ehtinyt alkaa navigoida koordinaattimenetelmässä, analysoin itse "ongelmallisimmat" luvut ja jätän sinut käsittelemään yksinkertaisinta kuutiota! Vähitellen sinun on opittava työskentelemään kaikkien hahmojen kanssa, lisään tehtävien monimutkaisuutta aiheesta toiseen.

Aloitetaan ongelmien ratkaiseminen:

1. Piirrä tetraedri, aseta se koordinaattijärjestelmään kuten aiemmin ehdotin. Koska tetraedri on säännöllinen, kaikki sen pinnat (mukaan lukien kanta) ovat säännöllisiä kolmioita. Koska meille ei ole annettu sivun pituutta, voin pitää sen yhtä suurena. Luulen, että ymmärrät, että kulma ei todellakaan riipu siitä, kuinka paljon tetraedrimme "venytetään"?. Piirrän myös korkeuden ja mediaanin tetraedriin. Matkan varrella piirrän sen pohjan (se on myös hyödyllinen meille).

Minun on löydettävä kulma ja välillä. Mitä me tiedämme? Tiedämme vain pisteen koordinaatit. Joten meidän on löydettävä enemmän pisteiden koordinaatteja. Nyt ajattelemme: piste on kolmion korkeuksien (tai puolittajien tai mediaanien) leikkauspiste. Piste on korotettu piste. Piste on janan keskipiste. Lopuksi meidän on löydettävä: pisteiden koordinaatit: .

Aloitetaan yksinkertaisimmasta: pisteen koordinaateista. Katso kuvaa: On selvää, että pisteen aplikaatio on yhtä suuri kuin nolla (piste sijaitsee tasossa). Sen ordinaatti on yhtä suuri (koska se on mediaani). Sen abskissa on vaikeampi löytää. Tämä on kuitenkin helppo tehdä Pythagoraan lauseen perusteella: Tarkastellaan kolmiota. Sen hypotenuusa on yhtä suuri ja yksi jaloista on yhtä suuri. Sitten:

Lopulta meillä on:

Etsitään nyt pisteen koordinaatit. On selvää, että sen aplikaatti on jälleen yhtä suuri kuin nolla ja sen ordinaatta on sama kuin pisteen, toisin sanoen. Etsitään sen abskissa. Tämä tehdään melko triviaalisti, jos sen muistaa tasasivuisen kolmion korkeudet jaetaan suhteessa leikkauspisteeseen ylhäältä laskettuna. Koska:, niin pisteen haluttu abskissa, joka on yhtä suuri kuin janan pituus, on yhtä suuri:. Siten pisteen koordinaatit ovat:

Etsitään pisteen koordinaatit. On selvää, että sen abskissa ja ordinaatit ovat samat kuin pisteen abskissa ja ordinaatta. Ja applikaatio on yhtä suuri kuin segmentin pituus. - tämä on yksi kolmion jaloista. Kolmion hypotenuusa on segmentti - jalka. Sitä etsitään syistä, jotka korostin lihavoidulla:

Piste on janan keskipiste. Sitten meidän on muistettava segmentin keskikohdan koordinaattien kaava:

Siinä kaikki, nyt voimme etsiä suuntavektorien koordinaatit:

No, kaikki on valmis: korvaamme kaikki tiedot kaavaan:

Täten,

Vastaus:

Sinun ei pitäisi pelätä tällaisia ​​"kauheita" vastauksia: ongelmille C2 tämä on yleinen käytäntö. Olisin mieluummin yllättynyt "kauniista" vastauksesta tässä osassa. Lisäksi, kuten totesit, en käytännössä turvautunut mihinkään muuhun kuin Pythagoraan lauseeseen ja tasasivuisen kolmion korkeuksien ominaisuuteen. Toisin sanoen stereometrisen ongelman ratkaisemiseksi käytin mahdollisimman vähän stereometriaa. Hyöty tässä on osittain "sammutettu" melko hankalia laskelmia. Mutta ne ovat melko algoritmisia!

2. Piirrä säännöllinen kuusikulmainen pyramidi koordinaattijärjestelmän kanssa sekä sen kanta:

Meidän on löydettävä kulma viivojen ja välillä. Siten tehtävämme rajoittuu pisteiden koordinaattien löytämiseen: . Löydämme kolmen viimeisen koordinaatit pienestä piirustuksesta ja löydämme kärjen koordinaatin pisteen koordinaatin kautta. Paljon työtä, mutta täytyy aloittaa!

a) Koordinaatti: on selvää, että sen aplikaatti ja ordinaatit ovat nolla. Etsitään abskissa. Harkitse tätä varten suorakulmaista kolmiota. Valitettavasti siinä tunnemme vain hypotenuusan, joka on yhtä suuri. Yritämme löytää jalan (koska on selvää, että kaksinkertainen jalan pituus antaa meille pisteen abskissan). Kuinka voimme etsiä häntä? Muistakaamme, millainen hahmo meillä on pyramidin juurella? Tämä on tavallinen kuusikulmio. Mitä se tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että kaikki sivut ja kaikki kulmat ovat yhtä suuret. Meidän on löydettävä yksi tällainen kulma. Mitään ideoita? Ideoita on paljon, mutta kaava on olemassa:

Säännöllisen n-kulmion kulmien summa on .

Näin ollen säännöllisen kuusikulmion kulmien summa on astetta. Sitten jokainen kulmista on yhtä suuri:

Katsotaanpa kuvaa uudestaan. On selvää, että jana on kulman puolittaja. Silloin kulma on astetta. Sitten:

Sitten missä.

Joten sillä on koordinaatit

b) Nyt voimme helposti löytää pisteen koordinaatin: .

c) Etsi pisteen koordinaatit. Koska sen abskissa on sama kuin segmentin pituus, se on yhtä suuri. Ordinaatin löytäminen ei myöskään ole kovin vaikeaa: jos yhdistämme pisteet ja ja merkitsemme suoran leikkauspisteen, sano vaikka for. (tee se itse yksinkertainen rakenne). Tällöin pisteen B ordinaatta on yhtä suuri kuin janojen pituuksien summa. Katsotaanpa kolmiota uudelleen. Sitten

Sitten alkaen Siitä pisteellä on koordinaatit

d) Etsi nyt pisteen koordinaatit. Tarkastellaan suorakulmiota ja todistetaan, että Siten pisteen koordinaatit ovat:

e) Vielä on löydettävä kärjen koordinaatit. On selvää, että sen abskissa ja ordinaatit ovat samat kuin pisteen abskissa ja ordinaatta. Etsitään sovellus. Siitä lähtien. Harkitse suorakulmaista kolmiota. Ongelman ehdon mukaan sivureuna. Tämä on kolmioni hypotenuusa. Sitten pyramidin korkeus on jalka.

Sitten pisteellä on koordinaatit:

Siinä kaikki, minulla on koordinaatit kaikista kiinnostavista paikoista. Etsin suorien viivojen suuntavektorien koordinaatteja:

Etsimme näiden vektorien välistä kulmaa:

Vastaus:

Jälleen, kun ratkaisin tämän ongelman, en käyttänyt mitään hienostuneita temppuja, paitsi kaavaa säännöllisen n-gonin kulmien summalle sekä suorakulmaisen kolmion kosinin ja sinin määritelmää.

3. Koska meille ei taaskaan ole annettu pyramidin reunojen pituuksia, pidän niitä yhtä suurena kuin yksi. Siten, koska KAIKKI reunat, eivät vain sivut, ovat yhtä suuret toistensa kanssa, niin pyramidin ja minä pohjalla on neliö, ja sivupinnat ovat säännöllisiä kolmioita. Kuvataan tällainen pyramidi sekä sen pohja tasossa merkitsemällä kaikki tehtävän tekstissä annetut tiedot:

Etsimme kulmaa ja välillä. Teen hyvin lyhyitä laskelmia, kun etsin pisteiden koordinaatteja. Sinun on "purettava" ne:

b) - segmentin keskikohta. Hänen koordinaatit:

c) Löydän kolmion janan pituuden Pythagoraan lauseen avulla. Pythagoraan lauseen avulla löydän kolmion.

Koordinaatit:

d) - segmentin keskikohta. Sen koordinaatit ovat

e) Vektorikoordinaatit

f) Vektorikoordinaatit

g) Kulman etsiminen:

Kuutio on yksinkertaisin hahmo. Olen varma, että voit selvittää sen itse. Vastaukset tehtäviin 4 ja 5 ovat seuraavat:

Suoran ja tason välisen kulman löytäminen

No, yksinkertaisten pulmien aika on ohi! Nyt esimerkit ovat vielä vaikeampia. Viivan ja tason välisen kulman löytämiseksi toimimme seuraavasti:

1. Rakennamme tason yhtälön käyttämällä kolmea pistettä
   ,
   käyttämällä kolmannen asteen determinanttia.
2. Kahdesta pisteestä etsitään suoran suuntavektorin koordinaatteja:
3. Käytämme kaavaa suoran ja tason välisen kulman laskemiseen:

Kuten näet, tämä kaava on hyvin samanlainen kuin se, jota käytimme kahden viivan välisten kulmien löytämiseen. Oikean puolen rakenne on aivan sama, ja vasemmalla etsimme nyt siniä, emme kosinia, kuten ennen. No, yksi ilkeä toiminta lisättiin - koneen yhtälön etsiminen.

Älkäämme hyllyttäkö ratkaisuesimerkkejä:

1. Os-no-va-ni-em suoraan-palkintoni-olemme-la-et-xia tasa-mutta-köyhä-ren-ny-kolmio-leikkaa sinulle-sillä palkinnolla-olemme tasa-arvoisia. Etsi suoran ja tason välinen kulma

2. Suorakaiteen muotoisessa pa-ral-le-le-pi-pe-dessa lännestä Nai-di-te suoran ja tason välinen kulma

3. Oikeakätisessä kuuden hiilen prismassa kaikki reunat ovat yhtä suuret. Etsi suoran ja tason välinen kulma.

4. Oikeassa kolmiomaisessa pi-ra-mi-de:ssä os-but-va-ni-em kylkiluun Nai-di-te-kulman lännestä, os:n ob-ra-zo-van -ny-taso -no-va-niya ja straight-my, joka kulkee kylkiluiden se-re-di-nan läpi ja

5. Oikean nelikulmaisen pi-ra-mi-dy:n kaikkien reunojen pituudet yläosan kanssa ovat keskenään yhtä suuret. Etsi suoran ja tason välinen kulma, jos piste on se-re-di-pi-ra-mi-dy:n bo-ko-in-th reunassa.

Jälleen ratkaisen kaksi ensimmäistä ongelmaa yksityiskohtaisesti, kolmannen - lyhyesti, ja jätän kaksi viimeistä sinun ratkaistavaksesi. Lisäksi jouduit käsittelemään kolmio- ja nelikulmaisia ​​pyramideja, mutta ei vielä prismoja.

Ratkaisut:

1. Piirrä prisma ja sen pohja. Yhdistetään se koordinaattijärjestelmään ja merkitään kaikki tiedot, jotka on annettu tehtävässä:

Pyydän anteeksi mittasuhteiden noudattamatta jättämistä, mutta ongelman ratkaisemiseksi tämä ei itse asiassa ole niin tärkeää. Kone on vain prismani "takaseinä". Riittää, kun yksinkertaisesti arvaat, että tällaisen tason yhtälöllä on muoto:

Tämä voidaan kuitenkin näyttää myös suoraan:

Valitsemme mielivaltaiset kolme pistettä tällä tasolla: esimerkiksi .

Tehdään tason yhtälö:

Harjoitusta sinulle: laske tämä determinantti itse. onnistuitko? Sitten tason yhtälöllä on muoto:

Tai yksinkertaisesti

Täten,

Esimerkin ratkaisemiseksi minun on löydettävä suoran suuntausvektorin koordinaatit. Koska piste osui origon kanssa, vektorin koordinaatit ovat yksinkertaisesti samat pisteen koordinaattien kanssa. Tätä varten etsimme ensin pisteen koordinaatit.

Voit tehdä tämän harkitsemalla kolmiota. Piirretään korkeus (se on myös mediaani ja puolittaja) ylhäältä. Koska silloin pisteen ordinaatit ovat yhtä suuret. Tämän pisteen abskissan löytämiseksi meidän on laskettava segmentin pituus. Pythagoraan lauseen mukaan meillä on:

Sitten pisteellä on koordinaatit:

Piste on "kohotettu" pisteen päällä:

Sitten vektorin koordinaatit:

Vastaus:

Kuten näette, tällaisten ongelmien ratkaisemisessa ei ole mitään pohjimmiltaan vaikeaa. Itse asiassa prisman kaltaisen hahmon "suoraus" yksinkertaistaa prosessia hieman enemmän. Siirrytään nyt seuraavaan esimerkkiin:

2. Piirrämme suuntaissärmiön, piirrämme siihen tason ja suoran ja piirrämme myös sen alapohjan erikseen:

Ensin löydämme tason yhtälön: Siinä olevan kolmen pisteen koordinaatit:

(kaksi ensimmäistä koordinaattia saadaan ilmeisellä tavalla, ja viimeinen koordinaatti löytyy helposti kuvasta pisteestä). Sitten muodostamme tason yhtälön:

Laskemme:

Etsimme suuntavektorin koordinaatteja: On selvää, että sen koordinaatit ovat samat kuin pisteen koordinaatit, eikö niin? Kuinka löytää koordinaatit? Nämä ovat pisteen koordinaatit, nostettuna sovellusakselia pitkin yhdellä! . Sitten etsimme haluttua kulmaa:

Vastaus:

3. Piirrä säännöllinen kuusikulmainen pyramidi ja sitten taso ja suora viiva siihen.

Tässä on jopa ongelmallista piirtää taso, puhumattakaan tämän ongelman ratkaisusta, mutta koordinaattimenetelmällä ei ole väliä! Sen tärkein etu on sen monipuolisuudessa!

Kone kulkee kolmen pisteen läpi: . Etsimme heidän koordinaattejaan:

yksi) . Näytä itse kahden viimeisen pisteen koordinaatit. Sinun on ratkaistava ongelma kuusikulmaisella pyramidilla tätä varten!

2) Rakennamme tason yhtälön:

Etsimme vektorin koordinaatteja: . (Katso kolmiopyramidiongelma uudelleen!)

3) Etsimme kulmaa:

Vastaus:

Kuten näette, näissä tehtävissä ei ole mitään yliluonnollisen vaikeaa. Sinun täytyy vain olla erittäin varovainen juurien kanssa. Kahteen viimeiseen ongelmaan annan vain vastaukset:

Kuten näette, ongelmanratkaisutekniikka on kaikkialla sama: päätehtävänä on löytää kärkien koordinaatit ja korvata ne joihinkin kaavoihin. Meidän on vielä pohdittava vielä yhtä ongelmaluokkaa kulmien laskemiseksi, nimittäin:

Kahden tason välisten kulmien laskeminen

Ratkaisualgoritmi on seuraava:

1. Kolmelle pisteelle etsimme ensimmäisen tason yhtälöä:
2. Muille kolmelle pisteelle etsimme toisen tason yhtälöä:
3. Käytämme kaavaa:

Kuten näet, kaava on hyvin samanlainen kuin kaksi edellistä, joiden avulla etsimme kulmia suorien viivojen ja suoran ja tason välillä. Joten tämän muistaminen ei ole sinulle vaikeaa. Hyppäätään suoraan ongelmaan:

1. Oikean kolmion prisman perusteella sata-ro on yhtä suuri ja sivupinnan halkaisija on yhtä suuri. Etsi kulma tason ja palkinnon pohjan tason välillä.

2. Oikealle eteenpäin suuntautuvassa four-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de:ssä jonkun kaikki reunat ovat yhtä suuret, etsi kulman sini tason ja tason Ko-Stu välillä, joka kulkee läpi. kohta per-pen-di-ku-lyar-mutta suoraan-my.

3. Tavallisessa neljän kivihiilen prismassa os-no-va-nian sivut ovat yhtä suuret ja sivureunat yhtä suuret. Reunalla-me-che-pisteeseen niin, että. Etsi tasojen välinen kulma ja

4. Oikeassa nelikulmaisessa prismassa kantojen sivut ovat yhtä suuret ja sivureunat yhtä suuret. Reunalla-me-che-pisteeseen niin, että Etsi tasojen välinen kulma ja.

5. Etsi kuutiosta tasojen ja välisen kulman kosinus

Ongelmaratkaisut:

1. Piirrän säännöllisen (kantalle - tasasivuinen kolmio) kolmiomaisen prisman ja merkitsen siihen tasot, jotka esiintyvät tehtävän tilassa:

Meidän on löydettävä kahden tason yhtälöt: Perusyhtälö saadaan triviaalisti: voit tehdä vastaavan determinantin kolmelle pisteelle, mutta teen yhtälön heti:

Etsitään nyt yhtälö Pisteellä on koordinaatit Piste - Koska - kolmion mediaani ja korkeus, se on helppo löytää Pythagoraan lauseella kolmiosta. Sitten pisteellä on koordinaatit: Etsi pisteen aplikaatti. Tarkastellaan tätä varten suorakulmaista kolmiota

Sitten saadaan seuraavat koordinaatit: Muodostamme tason yhtälön.

Laskemme tasojen välisen kulman:

Vastaus:

2. Piirustuksen tekeminen:

Vaikein asia on ymmärtää, millainen salaperäinen taso se on, joka kulkee kohtisuorassa pisteen läpi. No, pääasia on, mikä se on? Pääasia on tarkkaavaisuus! Itse asiassa viiva on kohtisuorassa. Viiva on myös kohtisuorassa. Sitten näiden kahden suoran läpi kulkeva taso on kohtisuorassa suoraa vastaan ​​ja muuten kulkee pisteen läpi. Tämä taso kulkee myös pyramidin huipulta. Sitten haluttu kone - Ja kone on jo annettu meille. Etsimme pisteiden koordinaatteja.

Löydämme pisteen koordinaatin pisteen kautta. Pienestä piirroksesta on helppo päätellä, että pisteen koordinaatit ovat seuraavat: Mitä nyt on jäljellä löytääksesi pyramidin huipun koordinaatit? Pitää vielä laskea sen korkeus. Tämä tehdään käyttämällä samaa Pythagoraan lausetta: todista ensin se (triviaalisti pienistä kolmioista, jotka muodostavat neliön tyvestä). Ehdoista lähtien meillä on:

Nyt kaikki on valmis: kärkikoordinaatit:

Muodostamme tason yhtälön:

Olet jo determinanttien laskennan asiantuntija. Saat helposti:

Tai muuten (jos kerromme molemmat osat kahden juurella)

Etsitään nyt tason yhtälö:

(Et unohtanut kuinka saamme tason yhtälön, eikö? Jos et ymmärrä mistä tämä miinus yksi tuli, niin palaa tason yhtälön määritelmään! Aina vain kävi ilmi, että minun kone kuului alkuperään!)

Laskemme determinantin:

(Saatat huomata, että tason yhtälö osui yhteen pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälön kanssa ja! Mieti miksi!)

Nyt laskemme kulman:

Meidän on löydettävä sini:

Vastaus:

3. Hankala kysymys: mikä on suorakaiteen muotoinen prisma, mitä mieltä olet? Se on vain sinulle tuttu suuntaissärmiö! Piirustus heti! Pohjaa ei voi edes kuvata erikseen, siitä on vähän hyötyä täällä:

Taso, kuten aiemmin totesimme, kirjoitetaan yhtälönä:

Nyt tehdään lentokone

Laadimme välittömästi tason yhtälön:

Etsitkö kulmaa

Nyt vastaukset kahteen viimeiseen ongelmaan:

No, nyt on aika pitää tauko, koska sinä ja minä olemme mahtavia ja olemme tehneet hienoa työtä!

Koordinaatit ja vektorit. Edistynyt taso

Tässä artikkelissa keskustelemme kanssasi toisesta luokan tehtävistä, jotka voidaan ratkaista koordinaattimenetelmällä: etäisyysongelmat. Tarkastelemme nimittäin seuraavia tapauksia:

1. Vinoviivojen välisen etäisyyden laskeminen.

Olen tilannut annetut tehtävät niiden monimutkaisuuden lisääntyessä. Helpoin on löytää pisteen välinen etäisyys ja vaikein osa on löytää risteävien viivojen välinen etäisyys. Vaikka mikään ei tietenkään ole mahdotonta! Älä viivyttele vaan siirrytään heti ensimmäisen luokan ongelmien pohtimiseen:

Etäisyyden laskeminen pisteestä tasoon

Mitä tarvitsemme tämän ongelman ratkaisemiseksi?

1. Pistekoordinaatit

Joten heti kun saamme kaikki tarvittavat tiedot, käytämme kaavaa:

Sinun pitäisi jo tietää, kuinka rakennamme tason yhtälön edellisistä ongelmista, joita analysoin viimeisessä osassa. Mennään heti hommiin. Kaava on seuraava: 1, 2 - autan sinua päättämään, ja yksityiskohtaisesti, 3, 4 - vain vastaus, teet päätöksen itse ja vertaat. Aloitettu!

Tehtävät:

1. Annettu kuutio. Kuution reunan pituus on Etsi-di-te etäisyys se-re-di-nysta leikkauksesta tasaiseen

2. Koska oikea-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe reuna sata-ro-on os-no-va-nia on yhtä suuri. Etsi-di-ne etäisyydet pisteestä tasoon, jossa - se-re-di-reunoilla.

3. Oikeassa kolmiossa pi-ra-mi-de, jossa on os-but-va-ni-em, toinen reuna on yhtä suuri ja sata-ro-on os-no-vaniya on yhtä suuri. Etsi ne etäisyydet ylhäältä tasoon.

4. Oikeakätisessä kuuden hiilen prismassa kaikki reunat ovat yhtä suuret. Etsi etäisyydet pisteestä tasoon.

Ratkaisut:

1. Piirrä yksireunainen kuutio, rakenna segmentti ja taso, merkitse segmentin keskikohta kirjaimella

.

Aloitetaan ensin helpolla: etsi pisteen koordinaatit. Siitä lähtien (muista segmentin keskikohdan koordinaatit!)

Nyt laadimme tason yhtälön kolmeen pisteeseen

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Nyt voin alkaa etsiä etäisyyttä:

2. Aloitamme jälleen piirustuksella, johon merkitsemme kaikki tiedot!

Pyramidille olisi hyödyllistä piirtää sen pohja erikseen.

Jopa se, että piirrän kuin kanan tassu, ei estä meitä ratkaisemasta tätä ongelmaa helposti!

Nyt on helppo löytää pisteen koordinaatit

Koska pisteen koordinaatit

2. Koska pisteen a koordinaatit ovat janan keskikohta, niin

Löydämme helposti kahden tason pisteen koordinaatit. Muodostamme tason yhtälön ja yksinkertaistamme sitä:

\[\left| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Koska pisteellä on koordinaatit: , laskemme etäisyyden:

Vastaus (erittäin harvinainen!):

No, ymmärsitkö? Minusta näyttää siltä, ​​​​että kaikki täällä on yhtä teknistä kuin esimerkeissä, joita tarkastelimme kanssasi edellisessä osassa. Joten olen varma, että jos olet oppinut tämän materiaalin, sinun ei ole vaikea ratkaista jäljellä olevat kaksi ongelmaa. Annan vain vastaukset:

Etäisyyden laskeminen suorasta tasoon

Itse asiassa tässä ei ole mitään uutta. Miten viiva ja taso voivat sijaita suhteessa toisiinsa? Heillä on kaikki mahdollisuudet: leikata tai suora on yhdensuuntainen tason kanssa. Mikä on mielestäsi etäisyys suorasta tasoon, jonka kanssa annettu suora leikkaa? Minusta näyttää siltä, ​​että on selvää, että tällainen etäisyys on nolla. Mielenkiintoinen tapaus.

Toinen tapaus on hankalampi: tässä etäisyys on jo nollasta poikkeava. Koska suora on kuitenkin yhdensuuntainen tason kanssa, jokainen suoran piste on yhtä kaukana tästä tasosta:

Täten:

Ja tämä tarkoittaa, että tehtäväni on pelkistetty edelliseen: etsimme minkä tahansa suoran pisteen koordinaatteja, etsimme tason yhtälöä, laskemme etäisyyden pisteestä tasoon. Itse asiassa tällaiset tehtävät kokeessa ovat erittäin harvinaisia. Onnistuin löytämään vain yhden ongelman, ja siinä olevat tiedot olivat sellaisia, että koordinaattimenetelmä ei ollut kovin käyttökelpoinen siihen!

Siirrytään nyt toiseen, paljon tärkeämpään ongelmaluokkaan:

Pisteen etäisyyden laskeminen suoraan

Mitä me tarvitsemme?

1. Sen pisteen koordinaatit, josta etsimme etäisyyttä:

2. Minkä tahansa suoralla pisteen koordinaatit

3. Suoran suuntavektorikoordinaatit

Mitä kaavaa käytämme?

Mitä tämän murtoluvun nimittäjä sinulle merkitsee ja siksi pitäisi olla selvää: tämä on suoran suuntausvektorin pituus. Tässä on erittäin hankala osoittaja! Ilmaisu tarkoittaa vektorien vektoritulon moduulia (pituutta) ja kuinka vektoritulo lasketaan, tutkimme työn edellisessä osassa. Päivitä tietosi, se on meille erittäin hyödyllinen nyt!

Siten ongelmien ratkaisun algoritmi on seuraava:

1. Etsimme sen pisteen koordinaatteja, josta etsimme etäisyyttä:

2. Etsimme minkä tahansa pisteen koordinaatteja viivalla, johon etsimme etäisyyttä:

3. Vektorin rakentaminen

4. Rakennamme suoran suuntavektorin

5. Laske ristitulo

6. Etsimme tuloksena olevan vektorin pituutta:

7. Laske etäisyys:

Meillä on paljon työtä, ja esimerkit ovat melko monimutkaisia! Keskitä nyt siis kaikki huomiosi!

1. Dana on oikeakätinen kolmion muotoinen pi-ra-mi-da, jossa on kärki. Sata-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy on yhtä suuri, you-so-ta on yhtä suuri. Etsi ne etäisyydet bo-ko:nnen reunan se-re-di-nysta suoralle viivalle, jossa pisteet ja ovat kylkiluiden se-re-di-ny -stven-mutta.

2. Ripojen pituudet ja suorakulma-no-para-ral-le-le-pi-pe-da ovat vastaavasti yhtä suuret, ja Find-di-te etäisyys top-shi-ny:sta suora-myyn

3. Oikeassa kuuden hiilen prismassa kaikki parven reunat ovat yhtä suuret - etsi-di-niiden etäisyyksien pisteestä suoraan viivaan

Ratkaisut:

1. Teemme siistin piirustuksen, johon merkitsemme kaikki tiedot:

Meillä on paljon työtä sinulle! Haluaisin ensin kuvailla sanoin, mitä etsimme ja missä järjestyksessä:

1. Pisteiden koordinaatit ja

2. Pistekoordinaatit

3. Pisteiden koordinaatit ja

4. Vektorien koordinaatit ja

5. Heidän ristiintulonsa

6. Vektorin pituus

7. Vektoritulon pituus

8. Etäisyys kohteesta kohteeseen

No, meillä on paljon tehtävää! Kääritään hihat!

1. Pyramidin korkeuden koordinaattien löytämiseksi meidän on tiedettävä pisteen koordinaatit, jonka aplikaatti on nolla ja ordinaatta on yhtä suuri kuin sen abskissa. Lopulta saimme koordinaatit:

Pistekoordinaatit

2. - segmentin keskikohta

3. - segmentin keskikohta

keskipiste

4. Koordinaatit

Vektorikoordinaatit

5. Laske vektoritulo:

6. Vektorin pituus: Helpoin tapa on korvata se, että jana on kolmion keskiviiva, mikä tarkoittaa, että se on yhtä suuri kuin puolet kantasta. Jotta.

7. Otetaan huomioon vektoritulon pituus:

8. Etsi lopuksi etäisyys:

Huh, siinä kaikki! Rehellisesti sanoen: tämän ongelman ratkaiseminen perinteisillä menetelmillä (rakenteiden avulla) olisi paljon nopeampaa. Mutta tässä pelkistän kaiken valmiiksi algoritmiksi! Luulen, että ratkaisualgoritmi on sinulle selvä? Siksi pyydän sinua ratkaisemaan kaksi jäljellä olevaa ongelmaa itse. Vertaile vastauksia?

Toistan vielä kerran: nämä ongelmat on helpompi (nopeampi) ratkaista rakenteiden avulla kuin turvautua koordinaattimenetelmään. Esitin tämän ratkaisutavan vain näyttääkseni sinulle universaalin menetelmän, jonka avulla voit "älä tee mitään loppuun".

Harkitse lopuksi viimeistä ongelmaluokkaa:

Vinoviivojen välisen etäisyyden laskeminen

Tässä algoritmi ongelmien ratkaisemiseksi on samanlainen kuin edellinen. Mitä meillä on:

3. Mikä tahansa vektori, joka yhdistää ensimmäisen ja toisen rivin pisteet:

Kuinka löydämme rivien välisen etäisyyden?

Kaava on:

Osoittaja on sekatulon moduuli (esittelimme sen edellisessä osassa) ja nimittäjä - kuten edellisessä kaavassa (viivojen suuntaavien vektorien vektoritulon moduuli, jonka välistä etäisyyttä etsimme varten).

Muistutan teitä siitä

sitten etäisyyskaava voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon:

Jaa tämä determinantti determinantilla! Vaikka rehellisesti sanottuna en ole täällä vitsillä! Tämä kaava on itse asiassa erittäin hankala ja johtaa melko monimutkaisiin laskelmiin. Sinuna käyttäisin sitä vain viimeisenä keinona!

Yritetään ratkaista muutama ongelma yllä olevalla menetelmällä:

1. Oikeassa kolmiomaisessa prismassa kaikki reunat ovat jollain tapaa yhtä suuret, laske suorien viivojen välinen etäisyys ja.

2. Kun otetaan huomioon oikea keulan muotoinen kolmioprisma, kaikki jonkun os-no-va-niyan reunat ovat yhtä suuria kuin Se-che-tion, joka kulkee toisen rivan läpi ja se-re-di-nu -rivat ovat yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie välillä suora-we-mi ja

Minä päätän ensimmäisen, ja sen perusteella sinä päätät toisen!

1. Piirrän prisman ja merkitsen viivat ja

Pisteen C koordinaatit: sitten

Pistekoordinaatit

Vektorikoordinaatit

Pistekoordinaatit

Vektorikoordinaatit

Vektorikoordinaatit

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Tarkastellaan ristituloa vektorien ja välillä

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(arrow)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(arrow) )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Nyt tarkastelemme sen pituutta:

Vastaus:

Yritä nyt suorittaa toinen tehtävä huolellisesti. Vastaus siihen on:.

Koordinaatit ja vektorit. Lyhyt kuvaus ja peruskaavat

Vektori on suunnattu segmentti. - vektorin alku, - vektorin loppu.
Vektoria merkitään tai.

Absoluuttinen arvo vektori - vektoria edustavan segmentin pituus. Nimetty nimellä.

Vektorikoordinaatit:

,
missä ovat vektorin \displaystyle a päät.

Vektorien summa: .

Vektorien tulo:

Vektorien pistetulo:

Vektorien skalaaritulo on yhtä suuri kuin niiden absoluuttisten arvojen ja niiden välisen kulman kosinin tulo:

JÄLJELLÄ 2/3 ARTIKKEISTA OVAT VAIN YOUCLEVERIN OPPILASTEN SAATAVILLA!

Ryhdy YouCleverin opiskelijaksi,

Valmistaudu OGE:hen tai KÄYTÄ matematiikassa hintaan "kuppi kahvia kuukaudessa",

Ja saat myös rajoittamattoman pääsyn "YouClever"-oppikirjaan, "100gia"-koulutusohjelmaan (ratkaisukirja), rajoittamaton kokeilukäyttö ja OGE, 6000 tehtävää ratkaisujen analysoinnilla ja muut YouClever- ja 100gia-palvelut.