Sanaa "kirjeenvaihto" käytetään venäjäksi melko usein, se tarkoittaa jonkin välistä suhdetta, joka ilmaisee johdonmukaisuutta, tasa-arvoa kaikissa suhteissa (Ožegovin selittävä sanakirja).
Elämässä kuulee usein: "Tämä oppikirja vastaa tätä ohjelmaa, mutta tämä oppikirja ei vastaa (mutta voi vastata toista ohjelmaa); tämä omena vastaa korkeinta luokkaa, ja tämä on vain ensimmäinen. Sanomme, että tämä vastaus kokeessa vastaa arvosanaa "erinomainen", tämä - "hyvä". Sanomme, että tämä henkilö vastaa (istuvuuden kannalta) koon 46 vaatteita. Ohjeiden mukaisesti sinun tulee tehdä näin, ei muuten. Vuotuisten aurinkoisten päivien lukumäärän ja sadon välillä on vastaavuus.
Jos yrität analysoida näitä esimerkkejä, huomaat, että kaikissa tapauksissa puhumme kahdesta objektiluokasta ja yhden luokan objektien välillä tiettyjen sääntöjen mukaan muodostetaan jokin yhteys toisen luokan objekteihin. Esimerkiksi tietyn kokoisten yhteensopivien vaatteiden tapauksessa yksi esineluokka on ihmiset ja toinen esineluokka on joitain luonnollisia lukuja, jotka näyttelevät vaatekokojen roolia. Sääntö, jolla vastaavuus muodostetaan, voidaan asettaa esimerkiksi luonnollisella algoritmilla - kokeilemalla tiettyä pukua tai määrittämällä "silmällä" sen sopivuus.
Tarkastelemme vastaavuuksia, joille objektiluokat, joiden välille vastaavuus muodostetaan, ja vastaavuuden muodostamissääntö on määritelty hyvin. Lukuisia esimerkkejä tällaisista vastaavuuksista tutkittiin koulussa. Ensinnäkin se on tietysti toimintoja. Mikä tahansa funktio on esimerkki vastaavuudesta. Harkitse todellakin esimerkiksi funktiota klo = X+ 3. Jos funktion laajuudesta ei ole erikseen sanottu, niin katsotaan, että argumentin jokainen numeerinen arvo X vastaa numeerista arvoa klo, joka löytyy säännön mukaan: to X sinun on lisättävä 3. Tässä tapauksessa vastaavuus muodostetaan joukkojen välillä R ja R todellisia lukuja.
Huomaa, että linkkien luominen kahden joukon välille X ja Y liittyy joukon elementeistä muodostettujen esineparien tarkasteluun X ja joukon vastaavat elementit Y.
Määritelmä. Vaatimustenmukaisuus sarjojen välillä X ja Y kutsutaan karteesisen tuotteen ei-tyhjäksi osajoukoksi X ´ Y.
Paljon X nimeltään lähtöalue yhteensopivia, monia Y – saapumisalue noudattamista.
Joukkojen väliset vastaavuudet merkitään yleensä latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla, esim. R, S, T. Jos R– jonkin verran vastaavuutta sarjojen välillä X ja Y, niin kirjeenvaihdon määritelmän mukaan RÍ X´ Y ja R≠ Æ. Kun kirjeenvaihto sarjojen välillä X ja Y on mikä tahansa karteesisen tuotteen alajoukko X ´ Y, eli on joukko järjestettyjä pareja, niin vastaavuuksien määrittelytavat ovat olennaisesti samat kuin joukkojen määrittelytavat. Kirjeenvaihto siis R sarjojen välillä X ja Y voit asettaa:
a) luetellaan kaikki elementiparit ( x, y) Î R;
b) merkintä ominaisuudesta, että kaikki parit ( x, y) sarjat R eikä yhdelläkään parilla, joka ei ole elementti, ole sitä.
ESIMERKKEJÄ.
1) Vaatimustenmukaisuus R sarjojen välillä X= (20, 25) ja Y= (4, 5, 6) saadaan määrittämällä ominaisominaisuus: " X useita klo»,
X Î X, klo Î Y. Sitten setti R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.
2) Vaatimustenmukaisuus R sarjojen välillä X= (2, 4, 6, 8) ja
Y= (1, 3, 5) saadaan parien joukosta R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.
Jos R– kahden numeerisen joukon välinen vastaavuus X ja Y, sitten, kun olet kuvannut kaikki numeroparit, jotka ovat sopusoinnussa R koordinaattitasolla saamme kuvan, jota kutsutaan vastaavuusgraafiksi R. Sitä vastoin mitä tahansa koordinaattitason pisteiden osajoukkoa pidetään jonkin numeeristen joukkojen välisen vastaavuuden kuvaajana X ja Y.
Kirjeenvaihtokaavio
Äärillisten joukkojen välisten vastaavuuksien visuaaliseen esitykseen käytetään graafin lisäksi graafia. (Kreikan sanasta "grapho" - kirjoitan, vertaan: aikataulu, lennätin).
Vastaavuuskaavion rakentaminen joukkojen välille X ja Y kunkin joukon elementit on kuvattu pisteinä tasossa, jonka jälkeen nuolet piirretään X Î X to klo Î Y, jos pari ( x, y) kuuluu tähän kirjeenvaihtoon. Siitä tulee piirustus, joka koostuu pisteistä ja nuolista.
ESIMERKKI Yhdenmukaisuus R sarjojen välillä X= (2, 3, 4, 5) ja Y= (4, 9) saadaan laskemalla pareja R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.
Samalla tavalla voimme kirjoittaa 4 R 4, 3R 9. Ja yleensä, jos pari
(x, y) Î R, silloin sanomme, että elementti X Î X vastaa elementtiä klo Î Y ja kirjoittaa ylös xRy. Elementti 2 О X kutsutaan elementin esikuvaksi
4 O Y mukaisesti R ja merkitty numerolla 4 R-1 2. Samoin voit kirjoittaa 4 R -1 4, 9R -1 3.
Yhdenmukaisuuden käsite. Menetelmät vastaavuuksien määrittämiseksi
Aluksi algebraa kutsuttiin yhtälöiden ratkaisemisen opiksi. Algebrasta on vuosisatojen aikana kehittynyt tiede, joka tutkii operaatioita ja suhteita eri joukoissa. Siksi ei ole sattumaa, että jo peruskoulussa lapset tutustuvat sellaisiin algebrallisiin käsitteisiin kuin lauseke (numeerinen ja muuttuja), numeerinen yhtäläisyys, numeerinen epäyhtälö, yhtälö. He tutkivat lukujen aritmeettisten operaatioiden erilaisia ominaisuuksia, joiden avulla voit rationaalisesti suorittaa laskelmia. Ja tietysti matematiikan alkukurssilla he tutustuvat erilaisiin riippuvuuksiin, suhteisiin, mutta voidakseen käyttää niitä lasten henkisen toiminnan kehittämiseen, opettajan on hallittava joitain yleisiä käsitteitä nykyaikaisesta algebrasta - kirjeenvaihdon käsite. , relaatio, algebrallinen operaatio jne. Lisäksi hallitsemalla algebrassa käytettävän matemaattisen kielen opettaja ymmärtää paremmin todellisten ilmiöiden ja prosessien matemaattisen mallintamisen olemuksen.
Ympäröivää maailmaa tutkiessaan matematiikka ei huomioi vain sen kohteita, vaan pääasiassa niiden välisiä yhteyksiä. Näitä yhteyksiä kutsutaan riippuvuuksiksi, vastaavuuksiksi, suhteiksi, funktioiksi. Esimerkiksi, kun lasketaan objektien pituuksia, objektien ja numeroiden välille muodostetaan vastaavuudet, jotka ovat niiden pituuksien arvoja; liikkeen ongelmia ratkaistaessa muodostetaan suhde kuljetun matkan ja ajan välille, jos liikkeen nopeus on vakio.
Matematiikassa on tutkittu tiettyjä riippuvuuksia, vastaavuuksia ja objektien välisiä suhteita sen alusta lähtien. Mutta kysymys siitä, mitä yhteistä on mitä erilaisimmilla vastaavuuksilla, mikä on minkä tahansa kirjeenvaihdon ydin, esitettiin 1800-luvun lopulla - 1900-luvun alussa, ja vastaus siihen löydettiin joukkoteorian puitteissa.
Matematiikan alkukurssilla tutkitaan erilaisia yhden, kahden tai useamman joukon elementtien välisiä suhteita. Siksi opettajan on ymmärrettävä niiden olemus, mikä auttaa häntä varmistamaan näiden suhteiden tutkimisen metodologian yhtenäisyyden.
Tarkastellaan kolme esimerkkiä matematiikan alkukurssilla tutkituista vastaavuuksista.
Ensimmäisessä tapauksessa määritetään vastaavuus annettujen lausekkeiden ja niiden numeeristen arvojen välille. Toisessa selvitetään, mikä numero vastaa kutakin näistä luvuista, luonnehtien sen aluetta. Kolmannessa etsimme lukua, joka on yhtälön ratkaisu.
Mitä yhteistä näillä vastaavuuksilla on?
Näemme, että kaikissa tapauksissa meillä on kaksi joukkoa: ensimmäisessä tämä on joukko kolmea numeerista lauseketta ja joukko N luonnollista lukua (näiden lausekkeiden arvot kuuluvat siihen), toisessa tämä on kolmen geometrisen muodon ja N luonnollisen luvun joukko; kolmannessa se on kolmen yhtälön joukko ja joukko N luonnollista lukua.
Suorittamalla ehdotetut tehtävät luomme suhteen (vastaavuuden) näiden joukkojen elementtien välille. Se voidaan visualisoida kaavioiden avulla (kuva 1).
Voit määrittää nämä osumat luettelemalla kaikki tietyssä vastaavuudessa olevat elementiparit:
I. ((kohdassa 1, 4), (kohdassa 3, 20));
II. ((F1,4), (F2,10), (F3,10));
III. ((y 1, 4), (y 2, 11), (y 3, 4)).
Tuloksena saadut joukot osoittavat, että mitä tahansa kahden joukon X ja Y välistä vastaavuutta voidaan pitää sarja tilattuja pareja muodostuu niiden elementeistä. Ja koska järjestetyt parit ovat karteesisen tuotteen elementtejä, päädymme seuraavaan yleisen vastaavuuden määritelmään.
Määritelmä. Joukon X ja Y elementtien välinen vastaavuus on mikä tahansa näiden joukkojen karteesisen tulon osajoukko.
Vastaavuuksia merkitään yleensä kirjaimilla P, S, T, R jne. Jos S on joukkojen X ja Y alkioiden välinen vastaavuus, niin määritelmän mukaan S X x Y.
Selvitetään nyt, kuinka kahden joukon väliset vastaavuudet määritellään. Koska vastaavuus on osajoukko, se voidaan määrittää mihin tahansa joukkoon, ts. joko luettelemalla kaikki elementiparit, jotka ovat tietyssä vastaavuudessa, tai määrittämällä tämän osajoukon elementtien ominaisominaisuus. Siten joukkojen X = (1, 2, 4, 6) ja Y = (3, 5) välinen vastaavuus voidaan määrittää:
1) käyttämällä lausetta, jossa on kaksi muuttujaa: a< b при условии, что а X, b Y;
2) luetellaan karteesisen tulon XxY osajoukkoon kuuluvia lukupareja: ((1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)). Tämä määritysmenetelmä sisältää myös vastaavuuden osoittamisen graafin (kuva 2) ja graafin (kuva 3) avulla.
Riisi. 2 Kuva. 3
Usein joukon X ja Y elementtien välisiä vastaavuuksia tutkittaessa on otettava huomioon vastaavuus, joka on sen vastakohta. Olkoon esim.
S - kirjeenvaihto "enemmä 2" sarjojen elementtien välillä
X \u003d (4,5,8, 10) ja Y \u003d (2,3,6). Tällöin S=((4, 2), (5,3), (8, 6)) ja sen graafi on sama kuin kuvassa 4a.
Tämän käänteinen on alle 2 -osuma. Sitä tarkastellaan joukkojen Y ja X alkioiden välillä, ja sen visualisoimiseksi riittää, kun käännetään relaatiograafin S nuolien suunta (kuva 4b). Jos vastaavuus ”vähemmän kuin 2” on merkitty S -1:llä, niin S -1 = ((2.4), (3.5), (6.8)).
Sovitaan, että kirjoitetaan lause ”alkio x on elementin y mukainen” seuraavasti: xSy. Tietuetta xSy voidaan pitää tiettyjen vastaavuuksien tietueiden yleistyksenä: x = 2y; x > 3v + 1 jne.
Käytetään esiteltyä merkintää määrittämään käsite vastaavuuden käänteisestä annetulle.
Määritelmä. Olkoon S joukkojen X ja Y elementtien välinen vastaavuus. Joukkojen Y ja X elementtien välistä vastaavuutta S -1 kutsutaan käänteiseksi annettuna, jos yS -x silloin ja vain jos xSy .
Vastaavuuksia S ja S -1 kutsutaan keskenään käänteisiksi. Selvitetään niiden kaavioiden ominaisuudet.
Piirretään vastaavuus S = ((4, 2), (5, 3), (8, 6)) (kuva 5a). Muodostettaessa vastaavuusgraafia S -1 = ((2, 4), (3, 5), (6, 8)) tulee valita ensimmäinen komponentti joukosta Y = (2, 3, 6) ja toinen komponentti. - joukosta X = (4, 5, 8, 10). Tämän seurauksena S-1-sovituskäyrä vastaa S-sovituskuvaajaa. Jotta S- ja S-1-sovituskäyrät voidaan erottaa toisistaan,
suostuivat pitämään S-1-vastaavuusparin ensimmäistä komponenttia abskissana ja toista ordinaatana. Esimerkiksi, jos (5, 3) S, niin (3, 5) S -1. Pisteet, joilla on koordinaatit (5, 3) ja (3, 5) ja yleisessä tapauksessa (x, y) ja (y, x), ovat symmetrisiä 1. ja 3. koordinaattikulman puolittajaan nähden. Siksi keskenään käänteisten vastaavuuksien S ja S -1 kuvaajat ovat symmetrisiä 1. ja 3. koordinaattikulman puolittajaan nähden.
Vastaavuusgraafin S -1 rakentamiseksi riittää, että piirretään koordinaattitasolle pisteet, jotka ovat symmetrisiä kuvaajan S pisteiden kanssa 1. ja 3. koordinaattikulman puolittajaan nähden.
Vaihtoehto 1
№
Vastaavuus joukkojen X ja Y välillä on mikä tahansa _________________________________________ _________________________________________________________________________ Х x Y .
№2. Kuvissa joukkojen väliset vastaavuudet on esitetty kaavioiden avulla. Määritä vastaavuuskaavio, jossa vastaavuuden määritelmän laajuus ei vastaa osuman lähetysjoukkoa.
№
1
) graafi, 2) graafi, 3) parien luettelointi, 4) ominaisuus
a 
) b) a<
b
№4. Mikä kuva esittää käänteiset vastaavuuskaaviot?
a 
) b) c) d)
№5. Joukkojen M = (A, B, C, D, D) ja N = (1, 2, 3, 4, 5) välillä on vastaavuus Q: "elementti m menee venäjän aakkosissa numeron alle n ". Ilmoita oikeat väittämät:
Sarjat M ja N ovat ekvivalentteja.
Vastaavuuden Q laajuus on sama kuin sen arvot.
№6. (Käytännön tehtävä). Joukkojen A \u003d (1, 2, 3, 4, 5) ja B \u003d (2, 4, 6, 8, 10) välillä on vastaavuus T: " a Vähemmän b 2"
Listaa vastaavat T-parit
Määritä vastaavuus T -1 , käänteinen annetulle, luettele sen parit
Piirrä T ja T -1 vastaavuuskaaviot samassa koordinaattijärjestelmässä
Testi aiheesta "Vastaavuus joukkojen välillä"
Vaihtoehto 2
№1. Lisää puuttuvat sanat lauseeseen:
Joukkojen X ja Y välinen vastaavuus on joukko _______________________________, jonka ensimmäinen komponentti on _____________________ joukolle X ja toinen on _______________________.
№2. Kuvissa joukkojen väliset vastaavuudet on esitetty kaavioiden avulla. Määritä vastaavuuskaavio, jossa vastaavuusarvojoukko on sama kuin osuman saapumisjoukko.
№3. Yhdistä täsmäysmenetelmän nimi sen kuvaan.
1), parien luettelointi 2) ominaisuus, 3) graafi, 4) graafi
a) b) a<
b
c) Р = ((2;3), (5;6), (4;5)) d)
№4. Mikä kuva esittää yksi-yhteen vastaavuuskaaviota?
a ) b) c) d)
№5. Joukkojen A = ( 1, 2, 3, 4, ) ja B = ( 2, 4, 6, 8, 9) välillä on vastaavuus Q : " a Vähemmän b 3 kertaa." Ilmoita oikeat väittämät:
Kirjeenvaihto on henkilökohtaista.
Yhdenmukaisuus" b lisää a 3 kertaa" on tämän käänteinen.
Q:n laajuus ei ole sama kuin sen alkuperäjoukko.
№6. (Käytännön tehtävä). Joukkojen M = (1, 2, 3, 4, 5) ja N = (1, 2, 4, 6, 8,10) välillä on vastaavuus T: m 2 = n
Listaa vastaavat T-parit.
Listaa vastaavuusparit T -1, käänteinen annetulle, muodosta sen graafi.
Piirrä vastaavuudet T ja T -1 samaan koordinaattijärjestelmään.
Testi aiheesta "Vastaavuus joukkojen välillä"
Vastaustaulukko.
1 vaihtoehto.
Vaihtoehto 2.
Osajoukko; Sarjojen karteesinen tulo
Tilatut parit; kuuluu; setti Y
1d, 2a, 3c, 4b
1c, 2b, 3d, 4a
a, b
b,c
Arviointikriteeri:
№1-2 pistettä
№2-1 piste
№3-1 piste
№4-1 piste
№5-3 pistettä
№6-4 pistettä
Yhteensä 12 pistettä.
Merkit:
12-11 pistettä - 5
10-9 pistettä - 4
8-6 pistettä - 3
Alle 6 pistettä - 2
Vaihtoehto 1
№1. Lisää puuttuvat sanat lauseeseen:
Relaatio joukossa X on mikä tahansa __________________________________________________________________________________________________________________ X x X.
№2. Joukossa A = (1, 2, 3, 4, 5, 6) on annettu erilaisia suhteita:
Määritä sarakkeet:
№
ekvivalenssisuhde.
tilaussuhde
yhdensuuntaisuussuhde tason suorien joukossa
№
a ) b) c) d)
№5. Vertaa talojen ja niiden ominaisuuksien joukkoon annettuja suhteita:
"on sama määrä kerroksia"
"Saada lisää asuntoja"
"rakennettu 2 vuotta aikaisemmin"
refleksiivisyys
Symmetria
Antisymmetria
Transitiivisuus
№X ei vanhempi klo” määritelty lasten sarjassa. Onko tämä suhde järjestyssuhde?
Olga 7 vuotias
Nikolai 8 vuotta
Valentine 9 vuotias
Anatoli 8 vuotta
Svetlana 7 vuotta vanha
Peter 7 vuotta vanha
Testi aiheesta "Jukkojen väliset suhteet"
Vaihtoehto 2
№1. Lisää puuttuvat sanat lauseeseen:
Relaatio joukossa X on joukko ______________________________, jonka molemmat komponentit ovat _____________________ joukolle X.
№2. Asetuksella ( 2, 3, 5, 7, 9) on annettu erilaisia suhteita:
Määritä sarakkeet:
№
3. Määritä kaavion mukaan, mitkä suhteista ovat:
tilaussuhde
relaatio "pienempi tai yhtä suuri" joukossa N
№4. Mikä kuva esittää joukkojen välisen suhteen kuvaajaa?
a ) b) c) d)
№5. Vertaa luokan oppilasjoukolle määritettyjä suhteita ja niiden ominaisuuksia:
"asumme samalla kadulla"
"olla vuoden vanhempi"
"asu lähempänä koulua"
refleksiivisyys
Symmetria
Antisymmetria
Transitiivisuus
№6. (Käytännön tehtävä). Piirrä suhdekaavio" X on samaa sukupuolta kuin klo” määritelty lasten sarjassa. Onko tämä relaatio ekvivalenssirelaatio?
Olga
Nicholas
Ystävänpäivä
Anatoli
Svetlana
Peter
Testi aiheesta "Jukkojen väliset suhteet"
Vastaustaulukko.
1 vaihtoehto.
Vaihtoehto 2.
Osajoukko; Joukon suorakulmainen tulo (Carteesinen neliö)
Tilatut parit; kuulua; asettaa X
1a, 2a, 3a, b, 4b, 5a, 6b, 7b
1b, c, 2c, 3b, 4c, 5b, 6c, 7c
1a, 2b, 3a, d
1a, c, 2c
a – 1, 2, 4; b - 3, 4; klo 3
a – 1, 2, 4; b – 3, c – 3, 4
Arviointikriteeri:
№1-2 pistettä
№2-7 pistettä
№3-3 pistettä
№4-1 piste
№5-3 pistettä
№6-2 pistettä
Yhteensä 18 pistettä.
Merkit:
18-17 pistettä - 5
16 - 13 pistettä - 4
12 - 9 pistettä - 3
Alle 9 pistettä - 2
1. Matriisiarvo
3
5
2
4
2. Elementin algebrallinen lisäys
A 23 = 12
A 23 \u003d -34
A 23 = 34
A 23 \u003d -12
3. Matriisien tulo
- oikein
4. Jos kaikki n x m:n suorakulmaisen matriisin A rivin alkiot kerrotaan kahdella, niin matriisin A arvo ...
nousee 2:lla
Ei muutu
tuplaantuu
5. Oikea suhde
- oikein
6. Determinantin arvo
2
4
5
3
7. Viivojen 4x - 2y - 6 = 0 ja 8x - 4y - 2 = 0 keskinäinen järjestely tasolle - viivoille ...
ovat yhdensuuntaisia
leikkaavat
kohtisuorassa
ottelu
8. Olkoot x ja y järjestelmän ratkaisu
4
7
5
6
9. Merkitse alla olevista yhtälöistä ellipsin yhtälö
10. Antakoon suora normaaliyhtälöllä x sinα + y sinα - p = 0. Oikea lause
Jos OA on kohtisuora, joka palautetaan origosta suoralle, niin α on kohtisuoran OA muodostama kulma Ox-akselin kanssa
Jos OA on kohtisuora, joka palautetaan origosta suoraksi, niin α on tämän kohtisuoran pituus
p on x-akselilla olevan suoran linjan leikkaaman janan arvo
α on suoran kaltevuuskulma Ox-akselin positiiviseen suuntaan
11. Annettu lineaarinen järjestelmä
järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja
järjestelmässä ei ole ratkaisuja
järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu
ratkaisujen olemassaolosta ei voida sanoa mitään (järjestelmässä voi olla ratkaisuja tai ei)
5x - 3v - 7 = 0
3x + y - 7 = 0
4x - 2v - 6 = 0
6x - y - 11 = 0
13. Etsi vektorien pistetulo
