Ero kutsutaan muodon yhtälöksi

P(x,y)dx + K(x,y)dy = 0 ,

jossa vasen puoli on kahden muuttujan minkä tahansa funktion kokonaisdifferentiaali.

Merkitään kahden muuttujan tuntematon funktio (tämä on löydettävä, kun ratkaistaan ​​yhtälöitä kokonaisdifferentiaaleissa) F ja palaamme asiaan pian.

Ensimmäinen asia, johon sinun tulee kiinnittää huomiota, on se, että yhtälön oikealla puolella on oltava nolla ja vasemmalla puolella olevat kaksi termiä yhdistävän merkin on oltava plus.

Toiseksi on huomioitava jonkin verran yhtälöä, joka vahvistaa, että tämä differentiaaliyhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa. Tämä tarkistus on pakollinen osa algoritmia kokonaisdifferentiaalien yhtälöiden ratkaisemiseksi (se on tämän oppitunnin toisessa kappaleessa), joten funktion löytämisprosessi F melko työläs ja on tärkeää varmistaa alkuvaiheessa, että emme hukkaa aikaa.

Joten, tuntematon funktio, joka on löydettävä, on merkitty F. Kaikkien riippumattomien muuttujien osittaisdifferentiaalien summa antaa kokonaisdifferentiaalin. Siksi, jos yhtälö on kokonaisdifferentiaaliyhtälö, yhtälön vasen puoli on osittaisdifferentiaalien summa. Siis määritelmän mukaan

dF = P(x,y)dx + K(x,y)dy .

Muistakaamme kaava kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaalin laskemiseksi:

Ratkaisemme kaksi viimeistä yhtälöä, voimme kirjoittaa

.

Erottelemme ensimmäisen yhtälön muuttujan "y" suhteen, toisen - muuttujan "x" suhteen:

.

joka on ehto sille, että tietty differentiaaliyhtälö todella on kokonaisdifferentiaaliyhtälö.

Algoritmi differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi kokonaisdifferentiaaleissa

Vaihe 1. Varmista, että yhtälö on kokonaisdifferentiaaliyhtälö. Ilmaisun vuoksi oli jonkin toiminnon kokonaisero F(x, y) on välttämätön ja riittävä, jotta . Toisin sanoen, sinun on otettava osittainen johdannainen suhteessa x ja osittaisjohdannainen suhteessa y toinen termi ja jos nämä derivaatat ovat yhtä suuret, yhtälö on kokonaisdifferentiaaliyhtälö.

Vaihe 2. Kirjoita muistiin osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmä, joka muodostaa funktion F:

Vaihe 3. Integroi järjestelmän ensimmäinen yhtälö - by x (y F:

,
y.

Vaihtoehtoinen vaihtoehto (jos integraali on helpompi löytää tällä tavalla) on integroida järjestelmän toinen yhtälö - y (x pysyy vakiona ja poistetaan integraalimerkistä). Tällä tavalla myös toiminto palautetaan F:

,
missä on vielä tuntematon funktio X.

Vaihe 4. Vaiheen 3 tulos (löydetty yleinen integraali) erotetaan y(vaihtoehtoisesti - mukaan x) ja vastaa järjestelmän toista yhtälöä:

,

ja vaihtoehtoisessa versiossa - järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön:

.

Tuloksena olevasta yhtälöstä määritämme (vaihtoehtoisesti)

Vaihe 5. Vaiheen 4 tulos on integroida ja etsiä (vaihtoehtoisesti löytää ).

Vaihe 6. Korvaa vaiheen 5 tulos vaiheen 3 tuloksella - osittaisella integroinnilla palautetulla toiminnolla F. Mielivaltainen vakio C kirjoitetaan usein yhtälömerkin jälkeen - yhtälön oikealle puolelle. Siten saadaan yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön kokonaisdifferentiaaleissa. Sillä, kuten jo mainittiin, on muoto F(x, y) = C.

Esimerkkejä differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista kokonaisdifferentiaaleissa

Esimerkki 1.

Vaihe 1. yhtälö kokonaisdifferentiaaleina x yksi termi lausekkeen vasemmalla puolella

ja osittaisjohdannainen suhteessa y toinen termi
yhtälö kokonaisdifferentiaaleina .

Vaihe 2. F:

Vaihe 3. Tekijä: x (y pysyy vakiona ja poistetaan integraalimerkistä). Näin palautamme toiminnon F:

missä on vielä tuntematon funktio y.

Vaihe 4. y

.

.

Vaihe 5.

Vaihe 6. F. Mielivaltainen vakio C :
.

Mikä virhe tässä todennäköisimmin tapahtuu? Yleisimmät virheet ovat ottaa osittaisintegraali funktioiden tulon tavallisen integraalin yhden muuttujan päälle ja yrittää integroida osien tai korvaavan muuttujan mukaan sekä ottaa myös kahden tekijän osittaisderivaata funktion derivaataksi. funktioiden tulo ja etsi derivaatta vastaavan kaavan avulla.

Tämä on muistettava: kun lasketaan osittaisintegraalia jommankumman muuttujan suhteen, toinen on vakio ja otetaan pois integraalin etumerkistä, ja kun lasketaan osittaisderivaata jommankumman muuttujan suhteen, toinen on vakio. on myös vakio ja lausekkeen derivaatta löytyy "toimivan" muuttujan derivaatana kerrottuna vakiolla.

Joukossa yhtälöt kokonaisdifferentiaaleissa Ei ole harvinaista löytää esimerkkejä, joissa on eksponentiaalinen funktio. Tämä on seuraava esimerkki. Se on myös merkittävä siitä, että sen ratkaisussa käytetään vaihtoehtoista vaihtoehtoa.

Esimerkki 2. Ratkaise differentiaaliyhtälö

.

Vaihe 1. Varmistetaan, että yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina . Tätä varten löydämme osittaisen derivaatan suhteessa x yksi termi lausekkeen vasemmalla puolella

ja osittaisjohdannainen suhteessa y toinen termi
. Nämä derivaatat ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina .

Vaihe 2. Kirjoitetaan osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmä, jotka muodostavat funktion F:

Vaihe 3. Integroidaan järjestelmän toinen yhtälö - by y (x pysyy vakiona ja poistetaan integraalimerkistä). Näin palautamme toiminnon F:

missä on vielä tuntematon funktio X.

Vaihe 4. Erottelemme vaiheen 3 tuloksen (löydetty yleinen integraali) suhteessa X

ja sama kuin järjestelmän ensimmäinen yhtälö:

Tuloksena olevasta yhtälöstä päätämme:
.

Vaihe 5. Integroimme vaiheen 4 tuloksen ja löydämme:
.

Vaihe 6. Korvaamme vaiheen 5 tuloksen vaiheen 3 tuloksella - osittaisella integroinnilla palautettuun toimintoon F. Mielivaltainen vakio C kirjoita yhtäläisyysmerkin jälkeen. Näin saamme kokonaissumman ratkaisemaan differentiaaliyhtälön kokonaisdifferentiaaleista :
.

Seuraavassa esimerkissä palaamme vaihtoehtoisesta vaihtoehdosta päävaihtoehtoon.

Esimerkki 3. Ratkaise differentiaaliyhtälö

Vaihe 1. Varmistetaan, että yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina . Tätä varten löydämme osittaisen derivaatan suhteessa y yksi termi lausekkeen vasemmalla puolella

ja osittaisjohdannainen suhteessa x toinen termi
. Nämä derivaatat ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina .

Vaihe 2. Kirjoitetaan osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmä, jotka muodostavat funktion F:

Vaihe 3. Integroidaan järjestelmän ensimmäinen yhtälö - Tekijä: x (y pysyy vakiona ja poistetaan integraalimerkistä). Näin palautamme toiminnon F:

missä on vielä tuntematon funktio y.

Vaihe 4. Erottelemme vaiheen 3 tuloksen (löydetty yleinen integraali) suhteessa y

ja vastaa järjestelmän toiseen yhtälöön:

Tuloksena olevasta yhtälöstä päätämme:
.

Vaihe 5. Integroimme vaiheen 4 tuloksen ja löydämme:

Vaihe 6. Korvaamme vaiheen 5 tuloksen vaiheen 3 tuloksella - osittaisella integroinnilla palautettuun toimintoon F. Mielivaltainen vakio C kirjoita yhtäläisyysmerkin jälkeen. Näin saamme kokonaissumman ratkaisemaan differentiaaliyhtälön kokonaisdifferentiaaleista :
.

Esimerkki 4. Ratkaise differentiaaliyhtälö

Vaihe 1. Varmistetaan, että yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina . Tätä varten löydämme osittaisen derivaatan suhteessa y yksi termi lausekkeen vasemmalla puolella

ja osittaisjohdannainen suhteessa x toinen termi
. Nämä derivaatat ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että yhtälö on kokonaisdifferentiaaliyhtälö.

Vaihe 2. Kirjoitetaan osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmä, jotka muodostavat funktion F:

Vaihe 3. Integroidaan järjestelmän ensimmäinen yhtälö - Tekijä: x (y pysyy vakiona ja poistetaan integraalimerkistä). Näin palautamme toiminnon F:

missä on vielä tuntematon funktio y.

Vaihe 4. Erottelemme vaiheen 3 tuloksen (löydetty yleinen integraali) suhteessa y

ja vastaa järjestelmän toiseen yhtälöön:

Tuloksena olevasta yhtälöstä päätämme:
.

Vaihe 5. Integroimme vaiheen 4 tuloksen ja löydämme:

Vaihe 6. Korvaamme vaiheen 5 tuloksen vaiheen 3 tuloksella - osittaisella integroinnilla palautettuun toimintoon F. Mielivaltainen vakio C kirjoita yhtäläisyysmerkin jälkeen. Näin saamme kokonaissumman ratkaisemaan differentiaaliyhtälön kokonaisdifferentiaaleista :
.

Esimerkki 5. Ratkaise differentiaaliyhtälö

.

Vaihe 1. Varmistetaan, että yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina . Tätä varten löydämme osittaisen derivaatan suhteessa y yksi termi lausekkeen vasemmalla puolella

ja osittaisjohdannainen suhteessa x toinen termi
. Nämä derivaatat ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina .

Ongelman ilmaus kaksiulotteisessa tapauksessa

Useiden muuttujien funktion rekonstruointi sen kokonaisdifferentiaalista

9.1. Ongelman ilmaus kaksiulotteisessa tapauksessa. 72

9.2. Ratkaisun kuvaus. 72

Tämä on yksi toisen tyyppisen kaarevan integraalin sovelluksista.

Kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaalin lauseke on annettu:

Etsi toiminto.

1. Koska kaikki muodon lausekkeet eivät ole jonkin funktion täydellinen differentiaali U(x,y), silloin on tarpeen tarkistaa tehtävälauseen oikeellisuus eli tarkistaa kokonaisdifferentiaalin välttämätön ja riittävä ehto, joka 2 muuttujan funktiolla on muotoa . Tämä ehto seuraa lauseiden (2) ja (3) vastaavuudesta edellisen osan lauseessa. Jos ilmoitettu ehto täyttyy, ongelmalla on ratkaisu, eli toiminto U(x,y) voidaan palauttaa; jos ehto ei täyty, ongelmalla ei ole ratkaisua, eli toimintoa ei voida palauttaa.

2. Voit löytää funktion sen kokonaisdifferentiaalista, esimerkiksi käyttämällä toisen tyyppistä kaarevaa integraalia, laskemalla sen kiinteän pisteen yhdistävältä viivalta ( x 0 ,y 0) ja muuttuva piste ( x;y) (Riisi. 18):

Siten saadaan, että kokonaisdifferentiaalin toisen lajin käyräviivainen integraali dU(x,y) on yhtä suuri kuin funktion arvojen välinen ero U(x,y) integrointirivin loppu- ja alkupisteissä.

Kun tiedämme tämän tuloksen nyt, meidän on vaihdettava dU käyräviivaiseen integraalilausekkeeseen ja laske integraali katkoviivaa pitkin ( ACB), koska se on riippumaton integrointiviivan muodosta:

päällä ( A.C.): päällä ( NE) :

(1)

Siten on saatu kaava, jonka avulla palautetaan 2 muuttujan funktio sen kokonaisdifferentiaalista.

3. On mahdollista palauttaa funktio sen kokonaisdifferentiaalista vain vakiotermiin asti, koska d(U+ vakio) = dU. Siksi ongelman ratkaisemisen tuloksena saamme joukon funktioita, jotka eroavat toisistaan ​​vakiotermillä.

Esimerkkejä (kahden muuttujan funktion rekonstruointi sen kokonaisdifferentiaalista)

1. Etsi U(x,y), Jos dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Tarkistamme kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaalin ehdon:

Täydellinen differentiaaliehto täyttyy, mikä tarkoittaa funktiota U(x,y) voidaan palauttaa.

Tarkista: – oikein.

Vastaus: U(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Etsi sellainen funktio

Tarkistamme tarvittavat ja riittävät ehdot kolmen muuttujan funktion täydelliselle differentiaalille: , , , jos lauseke on annettu.

Ratkaistavassa ongelmassa

kaikki täydellisen differentiaalin ehdot täyttyvät, joten toiminto voidaan palauttaa (ongelma on muotoiltu oikein).

Palautamme funktion käyttämällä toisen tyyppistä kaarevaa integraalia, laskemalla sen tiettyä kiinteän pisteen ja muuttuvan pisteen yhdistävää linjaa pitkin, koska

(tämä yhtälö johdetaan samalla tavalla kuin kaksiulotteisessa tapauksessa).

Toisaalta kokonaisdifferentiaalista toisen tyyppinen kaarevuusintegraali ei riipu integrointiviivan muodosta, joten se on helpointa laskea katkoviivaa pitkin, joka koostuu koordinaattiakselien suuntaisista segmenteistä. Tässä tapauksessa kiinteänä pisteenä voit ottaa pisteen, jolla on tietyt numeeriset koordinaatit, tarkkailemalla vain sitä, että tässä pisteessä ja koko integrointiviivaa pitkin kaarevan integraalin olemassaolon ehto täyttyy (eli niin, että funktiot ja ovat jatkuvia). Kun tämä huomautus otetaan huomioon, tässä tehtävässä voidaan ottaa esimerkiksi piste M 0 kiinteänä pisteenä. Sitten meillä on jokaisessa katkoviivan linkissä

10.2. Ensimmäisen tyypin pintaintegraalin laskenta. 79

10.3. Jotkut ensimmäisen tyyppisen pintaintegraalin sovellukset. 81

Näyttää kuinka tunnistaa differentiaaliyhtälö kokonaisdifferentiaaleista. Menetelmät sen ratkaisemiseksi on annettu. Tässä annetaan esimerkki yhtälön ratkaisemisesta kokonaisdifferentiaaleissa kahdella tavalla.

Sisältö

Johdanto

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö kokonaisdifferentiaaleissa on yhtälö, jonka muoto on:
(1) ,
jossa yhtälön vasen puoli on jonkin funktion U kokonaisdifferentiaali (x, y) muuttujista x, y:
.
Missä .

Jos tällainen funktio U löytyy (x, y), yhtälö saa muodon:
dU (x, y) = 0.
Sen yleinen integraali on:
U (x, y) = C,
jossa C on vakio.

Jos ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö kirjoitetaan sen derivaatan mukaan:
,
sitten se on helppo saada muotoon (1) . Tee tämä kertomalla yhtälö dx:llä. Sitten . Tuloksena saamme differentiaaleina ilmaistun yhtälön:
(1) .

Differentiaaliyhtälön ominaisuus kokonaisdifferentiaaleissa

Jotta yhtälö (1) oli yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa, se on välttämätön ja riittävä relaatiolle:
(2) .

Todiste

Lisäksi oletetaan, että kaikki todistuksessa käytetyt funktiot on määritelty ja niillä on vastaavat derivaatat jollain muuttujien x ja y arvoalueella. Piste x 0, v 0 kuuluu myös tälle alueelle.

Todistakaamme ehdon välttämättömyys (2).
Olkoon yhtälön vasen puoli (1) on jonkin funktion U differentiaali (x, y):
.
Sitten
;
.
Koska toinen derivaatta ei riipu differentiaatiojärjestyksestä, niin
;
.
Seuraa, että . Välttämättömyys (2) todistettu.

Todistakaamme ehdon (2) riittävyys.
Olkoon ehto täytetty (2) :
(2) .
Osoitetaan, että on mahdollista löytää tällainen funktio U (x, y) että sen ero on:
.
Tämä tarkoittaa, että on olemassa tällainen funktio U (x, y), joka täyttää yhtälöt:
(3) ;
(4) .
Etsitään tällainen funktio. Integroidaan yhtälö (3) x x:stä 0 x:ään olettaen, että y on vakio:
;
;
(5) .
Teemme eron y:n suhteen olettaen, että x on vakio ja pätee (2) :

.
Yhtälö (4) teloitetaan jos
.
Integroi y:n yli y:stä 0 ylle:
;
;
.
Korvaa sisään (5) :
(6) .
Joten olemme löytäneet funktion, jonka differentiaali
.
Riittävyys on todistettu.

Kaavassa (6) ,U (x 0, y 0) on vakio - funktion U arvo (x, y) kohdassa x 0, v 0. Sille voidaan antaa mikä tahansa arvo.

Kuinka tunnistaa differentiaaliyhtälö kokonaisdifferentiaaleista

Harkitse differentiaaliyhtälöä:
(1) .
Jotta voit määrittää, onko tämä yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa, sinun on tarkistettava ehto (2) :
(2) .
Jos se pitää paikkansa, tämä yhtälö on kokonaisdifferentiaaleissa. Jos ei, tämä ei ole kokonaisdifferentiaaliyhtälö.

Esimerkki

Tarkista, onko yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa:
.

Tässä
, .
Teemme eron y:n suhteen ottaen huomioon x vakion:


.
Erotetaan


.
Koska:
,
silloin annettu yhtälö on kokonaisdifferentiaaleissa.

Kokonaisdifferentiaalien differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Jaksottainen differentiaalinen uuttomenetelmä

Yksinkertaisin menetelmä yhtälön ratkaisemiseksi kokonaisdifferentiaaleissa on menetelmä differentiaalin peräkkäisellä eristämisellä. Tätä varten käytämme differentiaalimuotoon kirjoitettuja differentiaalikaavoja:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
Näissä kaavoissa u ja v ovat mielivaltaisia ​​lausekkeita, jotka koostuvat mistä tahansa muuttujien yhdistelmästä.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö:
.

Aiemmin havaitsimme, että tämä yhtälö on kokonaisdifferentiaaleissa. Muunnetaan se:
(P1) .
Ratkaisemme yhtälön eristämällä differentiaalin peräkkäin.
;
;
;
;

.
Korvaa sisään (P1):
;
.

Peräkkäinen integrointimenetelmä

Tässä menetelmässä etsimme funktiota U (x, y), joka täyttää yhtälöt:
(3) ;
(4) .

Integroidaan yhtälö (3) x:ssä, kun y on vakio:
.
Tässä φ (y)- mielivaltainen y:n funktio, joka on määritettävä. Se on integraation vakio. Korvaa yhtälö (4) :
.
Täältä:
.
Integroimalla löydämme φ (y) ja siten U (x, y).

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö kokonaisdifferentiaaleina:
.

Aiemmin havaitsimme, että tämä yhtälö on kokonaisdifferentiaaleissa. Otetaan käyttöön seuraava merkintä:
, .
Etsitään toimintoa U (x, y), jonka differentiaali on yhtälön vasen puoli:
.
Sitten:
(3) ;
(4) .
Integroidaan yhtälö (3) x:ssä, kun y on vakio:
(P2)
.
Erota y:n suhteen:

.
Vaihdetaan (4) :
;
.
Integroidaan:
.
Vaihdetaan (P2):

.
Yhtälön yleinen integraali:
U (x, y) = vakio.
Yhdistämme kaksi vakiota yhdeksi.

Menetelmä integrointiin käyrää pitkin

Relaation määrittelemä funktio U:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
voidaan löytää integroimalla tämä yhtälö pisteitä yhdistävää käyrää pitkin (x 0, y 0) Ja (x, y):
(7) .
Koska
(8) ,
niin integraali riippuu vain alkuluvun koordinaateista (x 0, y 0) ja lopullinen (x, y) pisteitä eikä se riipu käyrän muodosta. From (7) Ja (8) löydämme:
(9) .
Tässä x 0 ja y 0 - pysyvä. Siksi U (x 0, y 0)- myös vakio.

Esimerkki tällaisesta U:n määritelmästä saatiin todistuksessa:
(6) .
Tässä integrointi suoritetaan ensin pisteestä y-akselin suuntaista segmenttiä pitkin (x 0, y 0) asiaan (x 0, y). Sitten integrointi suoritetaan pisteestä x-akselin suuntaista segmenttiä pitkin (x 0, y) asiaan (x, y) .

Yleisemmin sinun on esitettävä yhtälö käyrästä, joka yhdistää pisteitä (x 0, y 0) Ja (x, y) parametrisessa muodossa:
x 1 = s(t 1); y 1 = r(t 1);
x 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
ja integroida yli t 1 alkaen t 0 t.

Helpoin tapa integroida on segmentin yhdistämispisteiden kautta (x 0, y 0) Ja (x, y). Tässä tapauksessa:
x 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Korvauksen jälkeen saamme t:n integraalin 0 ennen 1 .
Tämä menetelmä johtaa kuitenkin melko hankalia laskelmiin.

Viitteet:
V.V. Stepanov, Differentiaaliyhtälöiden kurssi, "LKI", 2015.

Voi käydä niin, että differentiaaliyhtälön vasen puoli

on jonkin funktion kokonaisero:

ja siksi yhtälö (7) saa muodon .

Jos funktio on ratkaisu yhtälöön (7), niin , ja siksi

missä on vakio, ja päinvastoin, jos jokin funktio muuttaa äärellisen yhtälön (8) identiteetiksi, niin tuloksena olevan identiteetin erottamisesta saadaan , ja siksi , jossa on mielivaltainen vakio, on alkuperäisen yleinen integraali yhtälö.

Jos alkuarvot annetaan, vakio määritetään arvoista (8) ja

on haluttu osaintegraali. Jos pisteessä , yhtälö (9) on määritelty implisiittiseksi funktioksi.

Jotta yhtälön (7) vasen puoli olisi jonkin funktion täydellinen differentiaali, on välttämätöntä ja riittävää, että

Jos tämä Eulerin määrittelemä ehto täyttyy, yhtälö (7) voidaan integroida helposti. Todella, . Toisella puolella, . Siten,

Integraalia laskettaessa suurea pidetään vakiona, joten se on mielivaltainen funktio . Funktion määrittämiseksi erotamme löydetyn funktion suhteessa ja koska , saamme

Tästä yhtälöstä määritämme ja integroimalla löydämme .

Kuten matemaattisesta analyysistä tiedetään, on vielä yksinkertaisempaa määrittää funktio sen kokonaisdifferentiaalilla ottamalla kaareva integraali tietyn kiinteän pisteen ja pisteen välillä, jolla on muuttuvat koordinaatit mitä tahansa polkua pitkin:

Useimmiten integrointipoluna on kätevää ottaa katkoviiva, joka koostuu kahdesta koordinaattiakselien suuntaisesta linkistä; tässä tapauksessa

Esimerkki. .

Yhtälön vasen puoli on jonkin funktion kokonaisdifferentiaali, koska

Siksi yleisellä integraalilla on muoto

Toista menetelmää funktion määrittämiseen voidaan käyttää:

Aloituspisteeksi valitaan esimerkiksi koordinaattien origo ja integrointipoluksi katkoviiva. Sitten

ja yleisellä integraalilla on muoto

Mikä osuu yhteen edellisen tuloksen kanssa, mikä johtaa yhteiseen nimittäjään.

Joissakin tapauksissa, kun yhtälön (7) vasen puoli ei ole täydellinen differentiaali, on helppo valita funktio, jolla kertomisen jälkeen yhtälön (7) vasen puoli muuttuu täydelliseksi differentiaaliksi. Tätä toimintoa kutsutaan integroiva tekijä. Huomaa, että kertominen integroivalla kertoimella voi johtaa tarpeettomien osittaisten ratkaisujen ilmestymiseen, jotka muuttavat tämän kertoimen nollaan.

Esimerkki. .

Ilmeisesti kertoimella kertomisen jälkeen vasen puoli muuttuu kokonaisdifferentiaaliksi. Todellakin, kerrottuna saamme

tai integroimalla, . Kerrotaan kahdella ja tehostetaan, meillä on .

Integroivaa tekijää ei tietenkään aina valita niin helposti. Yleisessä tapauksessa integroivan tekijän löytämiseksi on tarpeen valita vähintään yksi yhtälön osaratkaisu osittaisderivaattaina tai laajennetussa muodossa, joka ei ole identtisesti nolla

joka, kun on jaettu ja siirretty jotkin termit toiseen yhtälön osaan, pelkistetään muotoon

Yleisessä tapauksessa tämän osittaisdifferentiaaliyhtälön integrointi ei suinkaan ole yksinkertaisempi tehtävä kuin alkuperäisen yhtälön integrointi, mutta joissain tapauksissa tietyn ratkaisun valitseminen yhtälöön (11) ei ole vaikeaa.

Lisäksi, kun otetaan huomioon, että integroiva tekijä on vain yhden argumentin funktio (esimerkiksi se on vain tai vain funktio tai vain , tai vain funktio jne.), yhtälö (11) voidaan integroida helposti. osoittavat olosuhteet, joissa kyseessä olevan tyyppinen integroiva tekijä on olemassa. Tämä identifioi yhtälöluokat, joille integroiva tekijä on helposti löydettävissä.

Etsitään esimerkiksi ehdot, joissa yhtälöllä on integroiva tekijä, joka riippuu vain , ts. . Tässä tapauksessa yhtälö (11) yksinkertaistuu ja saa muodon , josta saadaan jatkuvana funktiona pidettynä

Jos on vain funktion funktio, niin vain :stä riippuva integroiva tekijä on olemassa ja on yhtä suuri kuin (12), muuten muodon integroivaa tekijää ei ole olemassa.

Edellytys vain riippuvan integroivan tekijän olemassaololle täyttyy esimerkiksi lineaariselle yhtälölle tai . Todellakin, ja siksi. Edellytykset muodon integroivien tekijöiden jne. olemassaololle löytyvät täysin samalla tavalla.

Esimerkki. Onko yhtälöllä muotoa integroiva tekijä?

Merkitään. Yhtälö (11) at saa muotoa , mistä tai

Tietyn tyyppisen integroivan tekijän olemassaololle on välttämätöntä ja jatkuvuuden olettaen riittävää, että se on vain funktio. Tässä tapauksessa integroiva tekijä on siis olemassa ja on yhtä suuri kuin (13). Kun saamme. Kerrotaan alkuperäinen yhtälö :lla, pelkistetään se muotoon

Integroimalla saamme , ja potentioimisen jälkeen meillä on , tai napakoordinaateissa - logaritmisen spiraalien perhe.

Esimerkki. Etsi peilin muoto, joka heijastaa yhdensuuntaisesti kaikki tietystä pisteestä lähtevät säteet.

Laitetaan koordinaattien origo tiettyyn pisteeseen ja suunnataan abskissa-akseli tehtävän ehdoissa määritellyn suunnan suuntaisesti. Anna säteen pudota peiliin kohdassa . Tarkastellaan abskissa-akselin ja pisteen kautta kulkevan tason peilin leikkausta. Piirretään tangentti tarkasteltavalle peilipinnan poikkileikkaukselle pisteessä . Koska säteen tulokulma on yhtä suuri kuin heijastuskulma, kolmio on tasakylkinen. Siten,

Tuloksena oleva homogeeninen yhtälö on helposti integroitavissa muuttujia vaihtamalla, mutta vielä helpompaa on irrationaalisuudesta vapautettuna nimittäjässä kirjoittaa se uudelleen muotoon . Tällä yhtälöllä on ilmeinen integroiva tekijä , , , (paraabelien perhe).

Tämä ongelma voidaan ratkaista vielä yksinkertaisemmin koordinaateissa ja , missä , ja vaadittujen pintojen poikkileikkauksen yhtälö saa muodon .

On mahdollista todistaa integroivan tekijän olemassaolo, tai mikä on sama asia, osittaisdifferentiaaliyhtälön (11) nollasta poikkeavan ratkaisun olemassaolo jollakin alueella, jos funktioilla ja on jatkuvat derivaatat ja ainakin yksi näistä toiminnot eivät katoa. Siksi integroivan tekijän menetelmää voidaan pitää yleisenä menetelmänä muodon yhtälöiden integroimiseksi, mutta integroivan tekijän löytämisen vaikeuden vuoksi tätä menetelmää käytetään useimmiten tapauksissa, joissa integroiva tekijä on ilmeinen.