Trigonometrinen. Kompleksiluvun moduuli ja argumentti

Monimutkaiset luvut

Kuvitteellinen Ja kompleksiluvut. Abskissa ja ordinaatta

kompleksiluku. Konjugoi kompleksiluvut.

Operaatiot kompleksiluvuilla. Geometrinen

kompleksilukujen esitys. Monimutkainen taso.

Kompleksiluvun moduuli ja argumentti. Trigonometrinen

kompleksiluvun muoto. Operaatiot monimutkaisilla

numerot trigonometrisessa muodossa. Moivren kaava.

Perustietoa aiheesta kuvitteellinen Ja kompleksiluvut on annettu osiossa "Imaginaariset ja kompleksiluvut". Tarve näille uudentyyppisille lukuille syntyi tapauksen toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisen yhteydessäD< 0 (здесь D– toisen asteen yhtälön diskriminantti). Pitkään aikaan nämä luvut eivät löytäneet fyysistä käyttöä, minkä vuoksi niitä kutsuttiin "imaginaarisiksi" numeroiksi. Nyt niitä käytetään kuitenkin erittäin laajasti fysiikan eri aloilla.

ja tekniikka: sähkötekniikka, hydro- ja aerodynamiikka, elastisuusteoria jne.

Monimutkaiset luvut on kirjoitettu muodossa:a+bi. Tässä a Ja b – todellisia lukuja , A i – kuvitteellinen yksikkö, ts. e. i 2 = –1. Määrä a nimeltään abskissa, a b – ordinaatitkompleksilukua + bi.Kaksi kompleksilukuaa+bi Ja bi kutsutaan konjugaatti kompleksiluvut.

Pääsopimukset:

1. Todellinen lukuAvoidaan kirjoittaa myös muotoonkompleksiluku:a+ 0 i tai a – 0 i. Esimerkiksi tietueet 5 + 0i ja 5-0 itarkoittavat samaa numeroa 5 .

2. Kompleksiluku 0 + binimeltään puhtaasti kuvitteellinen määrä. Ennätysbitarkoittaa samaa kuin 0 + bi.

3. Kaksi kompleksilukuaa+bi Jac + dikatsotaan tasa-arvoisiksi, josa = c Ja b = d. Muuten kompleksiluvut eivät ole yhtä suuria.

Lisäys. Kompleksilukujen summaa+bi Ja c + dikutsutaan kompleksiluvuksi (a+c ) + (b+d ) i.Täten, kun lisäät kompleksiluvut, niiden abskissat ja ordinaatit lisätään erikseen.

Tämä määritelmä vastaa sääntöjä operaatioille tavallisilla polynomeilla.

Vähennyslasku. Kahden kompleksiluvun eroa+bi(vähentynyt) ja c + di(alaosa) kutsutaan kompleksiluvuksi (a–c ) + (b–d ) i.

Täten, Kun vähennetään kaksi kompleksilukua, niiden abskissat ja ordinaatit vähennetään erikseen.

Kertominen. Kompleksilukujen tuloa+bi Ja c + di kutsutaan kompleksiluvuksi:

(ac-bd ) + (ad+bc ) i.Tämä määritelmä seuraa kahdesta vaatimuksesta:

1) numerot a+bi Ja c + ditäytyy kertoa kuten algebrallinen binomit,

2) numero isillä on pääominaisuus:i 2 = – 1.

ESIMERKKI ( a+ bi )(bi) = a 2 +b 2 . Siten, tehdä työtä

kaksi konjugoitua kompleksilukua on yhtä suuri kuin todellinen

positiivinen luku.

Division. Jaa kompleksilukua+bi (jaollinen) toisellac + di(jakaja) - tarkoittaa kolmannen numeron löytämistäe + f i(chat), joka kerrotaan jakajallac + di, johtaa osinkoona + bi.

Jos jakaja ei ole nolla, jako on aina mahdollista.

ESIMERKKI Etsi (8+i ) : (2 – 3 i) .

Ratkaisu. Kirjoita tämä suhde murtoluvuksi:

Kerrotaan sen osoittaja ja nimittäjä luvulla 2 + 3i

JA Kun kaikki muunnokset on suoritettu, saamme:

Kompleksilukujen geometrinen esitys. Reaaliluvut esitetään numerorivin pisteillä:

Tässä on pointti Atarkoittaa numeroa –3, pisteB– numero 2 ja O- nolla. Sitä vastoin kompleksiluvut esitetään koordinaattitason pisteillä. Tätä tarkoitusta varten valitsemme suorakulmaiset (Carteesiset) koordinaatit samoilla asteikoilla molemmilla akseleilla. Sitten kompleksilukua+bi esitetään pisteellä P ja abskissa a ja ordinatta b (katso kuva). Tätä koordinaattijärjestelmää kutsutaan monimutkainen taso .

Moduuli kompleksiluku on vektorin pituusOP, edustaa kompleksilukua koordinaatissa ( kattava) lentokone. Kompleksiluvun moduulia+bi merkitty | a+bi| tai kirje r

Kompleksiluku on muotoa z =x + i * y oleva luku, jossa x ja y ovat reaalisia numeroita, ja i = imaginaariyksikkö (eli luku, jonka neliö on -1). Käsitteen määrittelemiseksi Perustelu kattava numeroita, on tarpeen ottaa huomioon kompleksiluku kompleksitasolla napakoordinaatistossa.

Ohjeet

Taso, jolla kompleksit ovat edustettuina numeroita, kutsutaan kompleksiksi. Tällä tasolla vaaka-akselilla on todellinen numeroita(x), ja pystyakseli on kuvitteellinen numeroita(y). Sellaisessa tasossa luku annetaan kahdella koordinaatilla z = (x, y). Napakoordinaattijärjestelmässä pisteen koordinaatit ovat moduuli ja argumentti. Moduuli on etäisyys |z| pisteestä alkuperään. Argumentti on pisteen ja origon yhdistävän vektorin ja koordinaattijärjestelmän vaaka-akselin välinen kulma (katso kuva).

Kuvasta näkyy, että monimutkainen moduuli numeroita z = x + i * y löytyy Pythagoraan lauseella: |z| = ? (x^2 + y^2). Seuraava argumentti numeroita z löytyy kolmion terävänä kulmana - trigonometristen funktioiden sin, cos, tg:sin = y / arvojen kautta? (x^2 + y^2),
cos = x / ? (x^2 + y^2),
tg = y/x.

Olkoon esimerkiksi luku z = 5 * (1 + ?3 * i). Ensin valitaan todellinen ja kuvitteellinen osa: z = 5 +5 * ?3 * i. Osoittautuu, että reaaliosa on x = 5 ja imaginaariosa on y = 5 * ?3. Laske moduuli numeroita: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Etsi seuraavaksi kulman sini: sin = 5 / 10 = 1 / 2. Tämä antaa argumentin numeroita z on yhtä suuri kuin 30°.

Esimerkki 2. Olkoon luku z = 5 * i. Kuvasta näkyy, että kulma = 90°. Tarkista tämä arvo käyttämällä yllä olevaa kaavaa. Kirjoita muistiin tämän koordinaatit numeroita kompleksitasolla: z = (0, 5). Moduuli numeroita|z| = 5. Kulman tangentti tg = 5 / 5 = 1. Tästä seuraa, että = 90°.

Esimerkki 3. Olkoon tarpeen löytää kahden kompleksiluvun summan argumentti z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Lisäyssääntöjen mukaan lisäät nämä kaksi kompleksia numeroita: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Seuraavaksi, käyttämällä yllä olevaa kaaviota, laske argumentti: tg = 9 / 3 = 3.

Jota edustaa tiettyä kompleksilukua $z=a+bi$ kutsutaan annetun kompleksiluvun moduuliksi.

Tietyn kompleksiluvun moduuli lasketaan seuraavalla kaavalla:

Esimerkki 1

Laske annettujen kompleksilukujen moduuli $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Laskemme kompleksiluvun $z=a+bi$ moduulin kaavalla: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Alkuperäiselle kompleksiluvulle $z_(1) =13$ saadaan $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) = 13 $

Alkuperäiselle kompleksiluvulle $\, z_(2) =4i$ saadaan $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Alkuperäiselle kompleksiluvulle $\, z_(3) =4+3i$ saadaan $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Määritelmä 2

Reaaliakselin positiivisen suunnan ja sädevektorin $\overrightarrow(OM) $ muodostamaa kulmaa $\varphi $, joka vastaa annettua kompleksilukua $z=a+bi$, kutsutaan tämän luvun argumentiksi ja on merkitty $\arg z$.

Huomautus 1

Tietyn kompleksiluvun moduulia ja argumenttia käytetään eksplisiittisesti, kun kompleksiluku esitetään trigonometrisessa tai eksponentiaalisessa muodossa:

$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometrinen muoto;
$z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - eksponentiaalinen muoto.

Esimerkki 2

Kirjoita kompleksiluku trigonometrisessa ja eksponentiaalisessa muodossa, joka saadaan seuraavilla tiedoilla: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Korvaa tiedot $r=3;\varphi =\pi $ vastaaviin kaavoihin ja saa:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - trigonometrinen muoto

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - eksponentiaalinen muoto.

2) Korvaa tiedot $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ vastaaviin kaavoihin ja saa:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometrinen muoto

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - eksponentiaalinen muoto.

Esimerkki 3

Määritä annettujen kompleksilukujen moduuli ja argumentti:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Löydämme moduulin ja argumentin käyttämällä kaavoja tietyn kompleksiluvun kirjoittamiseksi trigonometriseen ja eksponentiaaliseen muotoon.

\ \

1) Alkuperäiselle kompleksiluvulle $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ saadaan $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Alkukompleksiluvulle $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ hanki $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Alkukompleksiluvulle $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ saadaan $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Alkuperäiselle kompleksiluvulle $z=13\cdot e^(i\pi ) $ saadaan $r=13;\varphi =\pi $.

Tietyn kompleksiluvun $z=a+bi$ argumentti $\varphi $ voidaan laskea seuraavilla kaavoilla:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

Käytännössä tietyn kompleksiluvun $z=a+bi$ argumentin arvon laskemiseen käytetään yleensä kaavaa:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi,a

tai ratkaise yhtälöjärjestelmä

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(array)\right. $. (**)

Esimerkki 4

Laske annettujen kompleksilukujen argumentti: 1) $z=3$; 2) $z = 4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z = -5 $; 5) $z=-2i$.

Koska $z=3$, sitten $a=3,b=0$. Lasketaan alkuperäisen kompleksiluvun argumentti kaavalla (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Koska $z=4i$, niin $a=0,b=4$. Lasketaan alkuperäisen kompleksiluvun argumentti kaavalla (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Koska $z=1+i$, niin $a=1,b=1$. Lasketaan alkuperäisen kompleksiluvun argumentti ratkaisemalla järjestelmä (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(array)\right. .\]

Trigonometrian kurssista tiedetään, että $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ kulmassa, joka vastaa ensimmäistä koordinaattineljännestä ja on yhtä suuri kuin $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Koska $z=-5$, niin $a=-5,b=0$. Lasketaan alkuperäisen kompleksiluvun argumentti kaavalla (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Koska $z=-2i$, niin $a=0,b=-2$. Lasketaan alkuperäisen kompleksiluvun argumentti kaavalla (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Muistio 2

Lukua $z_(3)$ edustaa piste $(0;1)$, joten vastaavan sädevektorin pituus on yhtä suuri kuin 1, ts. $r=1$ ja argumentti $\varphi =\frac(\pi )(2) $ huomautuksen 3 mukaisesti.

Lukua $z_(4)$ edustaa piste $(0;-1)$, joten vastaavan sädevektorin pituus on 1, ts. $r=1$ ja argumentti $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ huomautuksen 3 mukaisesti.

Lukua $z_(5) $ edustaa piste $(2;2)$, joten vastaavan sädevektorin pituus on $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, ts. $r=2\sqrt(2) $ ja argumentti $\varphi =\frac(\pi )(4) $ suorakulmaisen kolmion ominaisuudella.