Lämpötilan kentän määrittämiseen liittyvien ongelmien ratkaisu suoritetaan lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälön perusteella, jonka päätelmät on esitetty erikoiskirjallisuudessa. Tämä käsikirja tarjoaa muunnelmia differentiaaliyhtälöistä ilman johdannaisia.

Yhtälö

Yhtälö (4.10) on differentiaalienergiayhtälö suorakulmaisessa koordinaatistossa (Fourier  Kirchhoff-yhtälö). Tässä muodossa sitä käytetään lämmönjohtamisprosessin tutkimuksessa kaikissa kappaleissa.

Jos  x = y = z =0, eli kyseessä on kiinteä kappale, ja sisäisten lämmönlähteiden puuttuessa q v =0, niin energiayhtälö (4.10) menee kiinteiden aineiden lämpöyhtälöön (Fourier-yhtälö)

(4.11)

Yhtälön (4.10) arvoa С=a, m 2 sec kutsutaan termiseksi diffuusioksi, joka on aineen fysikaalinen parametri, joka kuvaa kehon lämpötilan muutosnopeutta epävakaiden prosessien aikana.

Jos lämmönjohtavuuskerroin kuvaa kappaleiden kykyä johtaa lämpöä, niin lämpödiffuusiokerroin on kappaleen lämpöinertiaominaisuuksien mitta. Yhtälöstä (4.10) seuraa, että lämpötilan muutos ajassa t missä tahansa avaruuden pisteessä on verrannollinen arvoon "a", eli lämpötilan muutosnopeus missä tahansa kehon kohdassa on sitä suurempi, suurempi lämpödiffuusio. Siksi, ceteris paribus, lämpötilojen tasaantuminen kaikissa avaruuden pisteissä tapahtuu nopeammin kehossa, jolla on suuri lämpödiffuusio. Lämpödiffuusio riippuu aineen luonteesta. Esimerkiksi nesteillä ja kaasuilla on suuri lämpöinertia ja sen seurauksena alhainen lämpödiffuusio. Metalleilla on alhainen lämpöinertia, koska niillä on suuri lämpödiffuusiokerroin.

Toisten derivaattojen summan merkitsemiseksi koordinaattien suhteen yhtälöissä (4.10) ja (4.11) voidaan käyttää symbolia  2 , ns. Laplace-operaattoria, ja sitten karteesisessa koordinaattijärjestelmässä.

Lausekkeen  2 t sylinterimäisessä koordinaattijärjestelmässä on muoto

Kiinteälle kappaleelle kiinteässä tilassa, jossa on sisäinen lämmönlähde, yhtälö (4.10) muunnetaan Poissonin yhtälöksi

(4.12)

Lopuksi, kiinteässä lämmönjohtamisessa ja sisäisten lämmönlähteiden puuttuessa yhtälö (4.10) saa Laplacen yhtälön muodon

(4.13)

Differentiaalilämpöyhtälö sylinterimäisissä koordinaateissa sisäisen lämmönlähteen kanssa

(4.14)

4.2.6. Lämmönjohtamisprosessien ainutlaatuisuus

Koska lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö on johdettu fysiikan yleisten lakien perusteella, se luonnehtii lämmönjohtavuuden ilmiötä sen yleisimmässä muodossa. Siksi voidaan sanoa, että tuloksena oleva differentiaaliyhtälö luonnehtii koko luokkaa lämmönjohtavuusilmiöitä. Erityisesti tarkasteltavan prosessin erottamiseksi lukemattomasta luvusta ja sen täydellisen matemaattisen kuvauksen antamiseksi on tarpeen lisätä differentiaaliyhtälöön matemaattinen kuvaus tarkasteltavan prosessin kaikista erityispiirteistä. Näitä erityispiirteitä, jotka yhdessä differentiaaliyhtälön kanssa antavat täydellisen matemaattisen kuvauksen tietystä lämmönjohtamisprosessista, kutsutaan ainutlaatuisuusehdoksi tai reunaehdoksi, joihin kuuluvat:

a) geometriset olosuhteet, jotka kuvaavat sen kappaleen muotoa ja mittoja, jossa prosessi tapahtuu;

b) fysikaaliset olosuhteet, jotka kuvaavat väliaineen ja kehon fysikaalisia ominaisuuksia (, С z , , a jne.);

c) aika (alku)olosuhteet, jotka kuvaavat lämpötilojen jakautumista tutkittavassa kehossa alkuhetkellä;

d) rajaehdot, jotka kuvaavat tarkasteltavan kehon vuorovaikutusta ympäristön kanssa.

Alkuehdot ovat välttämättömiä, kun tarkastellaan ei-stationaarisia prosesseja, ja ne koostuvat lämpötilan jakautumisen lain asettamisesta kehon sisällä alkuhetkellä. Yleisessä tapauksessa alkuehto voidaan kirjoittaa analyyttisesti seuraavasti arvolle =0:

t =  1 x, y, z. (4.15)

Jos kehossa on tasainen lämpötilajakauma, alkuehtoa yksinkertaistetaan: kohdassa =0; t=t0=idem.

Rajaehdot voidaan määrittää useilla tavoilla.

A. Ensimmäisen tyyppiset rajaehdot, jotka määrittelevät lämpötilan jakautumisen kehon pinnalla t c kullekin ajanhetkelle:

t c =  2 x, y, z, . (4.16)

Erityistapauksessa, kun pinnan lämpötila on vakio koko lämmönsiirtoprosessin ajan, yhtälö (4.16) yksinkertaistuu ja saa muotoa t c =idem.

B. Toisen tyyppiset rajaehdot, jotka määrittelevät lämpövuon tiheyden arvon kullekin pinnan pisteelle ja mille tahansa ajanhetkelle. Analyyttisesti tämä voidaan esittää seuraavasti:

q n = x, y, z, , (4.17)

missä q n  lämpövuon tiheys kehon pinnalla.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa lämpövuon tiheys pinnalla ja ajassa pysyy vakiona q n =idem. Tällainen lämmönsiirtotapaus tapahtuu esimerkiksi, kun erilaisia ​​metallituotteita kuumennetaan korkean lämpötilan uuneissa.

B. Kolmannen tyypin rajaehdot, jotka asettavat ympäristön lämpötilan t W ja lämmönsiirron lain kehon pinnan ja ympäristön välillä. Newtonin lakia käytetään kuvaamaan lämmönsiirtoprosessia kehon pinnan ja väliaineen välillä.

Newtonin lain mukaan kehon pintayksikön aikayksikköä kohti luovuttama lämmön määrä on verrannollinen kehon lämpötilaeroon t c ja ympäristön t f välillä.

q = t c  t f . (4.18)

Lämmönsiirtokerroin kuvaa lämmönsiirron voimakkuutta kehon pinnan ja ympäristön välillä. Numeerisesti se on yhtä suuri kuin pintayksikön aikayksikköä kohti luovuttaman (tai havaitun) lämmön määrä, kun kehon pinnan ja ympäristön välinen lämpötilaero on yksi aste.

Energian säilymisen lain mukaan yksikköpinnalta aikayksikköä kohden lämmönsiirron johdosta poistuvan lämpömäärän (4.18) on oltava yhtä suuri kuin yksikköpinnalle aikayksikköä kohden johtuen lämmön johtumisesta lämpöä. kehon sisäiset tilavuudet (4.7), ts.

, (4.19)

missä n  kohtisuorassa kehon pintaan nähden; indeksi "C" osoittaa, että lämpötila ja gradientti viittaavat kehon pintaan (kun n = 0).

Kolmannen lajin lopullinen rajaehto voidaan kirjoittaa muodossa

. (4.20)

Yhtälö (4.20) on pohjimmiltaan erityinen ilmaus kehon pinnan energian säilymisen laista.

D. Neljännen lajin rajaehdot, jotka kuvaavat kappaleiden järjestelmän tai kappaleen lämmönvaihdon olosuhteita ympäristön kanssa lämmönjohtavuuslain mukaisesti. Oletetaan, että kappaleiden välillä on täydellinen kosketus (kosketuspintojen lämpötilat ovat samat). Käsiteltävissä olosuhteissa kosketuspinnan läpi kulkevat lämpövirrat ovat yhtä suuret:

. (4.21)

TMO:n tehtäväselvitys

Meillä on tilavuus, johon lämpökuormat vaikuttavat, on tarpeen määrittää numeerinen arvo q V ja jakautuminen tilavuuden mukaan.

Kuva 2 - Ulkoiset ja sisäiset kitkan lähteet

1. Määritä tutkitun tilavuuden geometria missä tahansa valitussa koordinaattijärjestelmässä.

2. Määritä tutkitun tilavuuden fyysiset ominaisuudet.

3. Määritä ehdot, jotka käynnistävät TMT-prosessin.

4. Selvitä lait, jotka määräävät lämmön siirtymisen tutkittavassa tilavuudessa.

5. Määritä tutkittavan tilavuuden alkuperäinen lämpötila.

TMT-analyysissä ratkaistavia tehtäviä:

1. TMT:n "suorat" tehtävät

Annettu: 1,2,3,4,5

Määritä: lämpötilajakauma tilassa ja ajassa (jatkoa 6).

2. TMT:n "käänteiset" ongelmat (käänteinen):

a) päinvastoin rajaa tehtäviä

Annettu: 1,2,4,5,6

Määrittele: 3;

b) päinvastoin kertoimet tehtäviä

Annettu: 1,3,4,5,6

Määrittele: 2;

c) päinvastoin retrospektiivinen tehtävä

Annettu: 1,2,3,4,6

Päätä: 5.

3. TMT:n "induktiiviset" tehtävät

Annettu: 1,2,3,5,6

Päätä: 4.

LÄMMÖNSIIRTOMUODOT JA LÄMPÖPROSESSIT

Lämmönsiirtoa on kolmea eri muotoa:

1) lämmönjohtavuus kiinteissä aineissa (määritetty mikrohiukkasten ja metallien vapaiden elektronien avulla);

2) konvektio (määritetty liikkuvan väliaineen makrohiukkasten perusteella);

3) lämpösäteily (määritetty sähkömagneettisten aaltojen avulla).

Kiinteiden aineiden lämmönjohtavuus

Yleiset käsitteet

Lämpötilakenttä on joukko lämpötila-arvoja tutkittavassa tilavuudessa, otettuna jossain vaiheessa.

t(x, y, z, τ) on toiminto, joka määrittää lämpötilakentän.

On olemassa kiinteitä ja ei-kiinteitä lämpötilakenttiä:

paikallaan - t(x,y,z);

ei-kiinteä - t(x, y, z, τ).

Kiinteytystila on:

Otetaan tietty kappale ja yhdistetään pisteet, joilla on sama lämpötila

Kuva 3 - Lämpötilagradientti ja lämpövirta

grad t- lämpötilagradientti;

toisella puolella: .

Fourierin laki - lämpövirta kiintoaineissa on verrannollinen lämpötilagradienttiin, pintaan, jonka läpi se kulkee, ja tarkasteltuun aikaväliin.

Suhteellisuuskerrointa kutsutaan lämmönjohtavuuskertoimeksi λ , W/m K.

osoittaa, että lämpö etenee lämpötilagradienttivektoriin nähden vastakkaiseen suuntaan.

;

Äärettömän pienelle pinnalle ja aikavälille:

Lämpöyhtälö (Fourier-yhtälö)

Harkitse äärettömän pientä tilavuutta: dv = dx dy dz

Kuva 4 - Äärettömän pienen tilavuuden lämpötila

Meillä on Taylor-sarja:

Samalla lailla:

; ; .

Yleisessä tapauksessa meillä on kuutiossa q V. Johtopäätös perustuu yleiseen energian säilymisen lakiin:

.

Fourierin lain mukaan:

; ; .

Muutosten jälkeen meillä on:

.

Kiinteälle prosessille:

Ongelmien tilallinen ulottuvuus määräytyy sen mukaan, kuinka monessa suunnassa lämmönsiirto tapahtuu.

Yksiulotteinen ongelma: ;

kiinteässä prosessissa: ;

Käyttäjälle:

Käyttäjälle: ;

a- lämpödiffuusiokerroin, karteesinen järjestelmä;

k = 1, ξ =x- sylinterimäinen järjestelmä;

k = 2, ξ =x- pallomainen järjestelmä.

Ainutlaatuisuusolosuhteet

Ainutlaatuisuus kunto – Nämä ovat ehtoja, joiden avulla voimme valita toteutettavissa olevien ratkaisujen joukosta yhden ja ainoan, joka vastaa tehtävää.

Missä kanssa p, J/(kg×K) – isobarinen lämpökapasiteetti; r, kg/m3 - tiheys; l, W/(m×K) – lämmönjohtavuuskerroin; w x, w y, w z ovat nesteen nopeusvektorin projektiot; qv, W / m 3 - nesteen sisäisen lämmön vapautumisen tilavuustiheys.

Yhtälö (1.12) on kirjoitettu tapaukselle l=vakio.

Differentiaali kiinteät aineet kutsutaan lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälöksi ja se voidaan saada ehdolla (1.12). w x = w y = w z = 0, kanssa p=kanssa v=Kanssa:

,

missä - lämpödiffuusio, luonnehtii lämpötilan muutosnopeutta kehossa. Arvot a = f(t) eri elimille on annettu hakuteoksissa.

Lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö

(1.13)

kuvaa sisäistä lämpöä vapauttavien kiinteiden aineiden ei-stationaarista lämpötilakenttää (sisäisten lämmönlähteiden kanssa). Tällaisia ​​lämmönlähteitä voivat olla: Joule-lämpö, ​​joka vapautuu sähkövirran kulkiessa johtimien läpi; ydinreaktorien polttoaine-elementtien vapauttama lämpö jne.

Differentiaalilämpöyhtälö (1.13), joka on kirjoitettu suorakulmaisina koordinaateina, voidaan esittää sylinterimäisenä (r,z, φ) ja pallomainen (r, φ , ψ).

Erityisesti sisään lieriömäinen koordinaatit ( r- säde; φ on napakulma; z- soveltaa), lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälöllä on muoto

(1.14)

Ainutlaatuisuusolosuhteet

Differentiaaliyhtälö kuvaa monia lämmönjohtavuusprosesseja. Tietyn prosessin erottamiseksi tästä joukosta on tarpeen muotoilla tämän prosessin ominaisuudet, joita kutsutaan ainutlaatuisuusolosuhteet ja sisältää:

· geometriset olosuhteet kehon muodon ja koon luonnehtiminen;

· fyysiset olosuhteet lämmönvaihtoon osallistuvien kappaleiden ominaisuuksien karakterisointi;

· rajaolosuhteet prosessin olosuhteiden luonnehtiminen kehon rajalla;

· alkuolosuhteet joka kuvaa järjestelmän alkutilaa ei-kiinteät prosessit.

Lämmönjohtavuusongelmia ratkaistaessa on:

· ensimmäisen tyyppiset rajaehdot kun lämpötilajakauma kehon pinnalla on annettu:

t c = f (x, y, z, τ) tai t c = vakio;

· toisen tyyppiset rajaehdot kun lämpövuon tiheys kehon pinnalla on annettu:

q c = f (x, y, z, τ) tai q c = vakio;

· kolmannen tyyppiset rajaehdot kun keskilämpötila on asetettu t ja lämmönsiirtokerroin pinnan ja väliaineen välillä.

Newton-Richmannin lain mukaan lämpövuo siirtyy 1 m 2 pinta-alasta väliaineeseen, jonka lämpötila on t,

Samanaikaisesti tämä lämpövirta syötetään 1 m 2 pintaan kehon syvistä kerroksista lämmönjohtavuuden avulla.

Sitten kehon pinnan lämpötasapainoyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

(1.15)

Yhtälö (1.15) on matemaattinen muotoilu kolmannen tyyppisistä reunaehdoista.

Differentiaaliyhtälöjärjestelmä yhdessä ainutlaatuisuusehtojen kanssa on ongelman matemaattinen muotoilu. Differentiaaliyhtälöiden ratkaisut sisältävät integrointivakiot, jotka määritetään käyttämällä ainutlaatuisuusehtoja.

Hallitse kysymyksiä ja tehtäviä

1. Analysoi, kuinka lämpö siirtyy kuumasta vedestä ilmaan jäähdyttimen seinämän läpi: vedestä sisäpintaan, seinän läpi, ulkopinnasta ilmaan.

2. Miksi yhtälön (1.3) oikealla puolella on miinus?

3. Analysoi lähdekirjallisuuden avulla riippuvuutta λ(t) metalleille, metalliseoksille, lämmöneristysmateriaaleille, kaasuille, nesteille ja vastaa kysymykseen: kuinka näiden materiaalien lämmönjohtavuuskerroin muuttuu lämpötilan mukaan?

4. Miten lämpövirta määritetään? (K, W ) konvektiivisella lämmönsiirrolla, lämmönjohtavuudella, lämpösäteilyllä?

5. Kirjoita muistiin suorakulmaisina koordinaatteina lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö, joka kuvaa kolmiulotteista stationaarista lämpötilakenttää ilman sisäisiä lämmönlähteitä.

6. Kirjoita muistiin johdon lämpötilakentän differentiaaliyhtälö, joka on jännitteessä pitkään jatkuvalla sähkökuormalla.

2. Lämmönjohtavuus JA LÄMMÖNSIIRTO
STATIONARY TILASSA

2.1. Tasaisen seinän lämmönjohtavuus

Annettu: tasainen tasainen seinämän paksuus δ (Kuva 2.1) vakiolla lämmönjohtavuuskertoimella λ ja vakiolämpötilat t1 Ja t2 pinnoilla.

Määritellä: lämpötilakentän yhtälö t=f(x) ja lämpövuon tiheys q, W/m2.

Seinän lämpötilakenttä kuvataan differentiaalilämmönjohtavuusyhtälöllä (1.3) seuraavissa olosuhteissa:

Koska tila on paikallaan;

· koska sisäisiä lämmönlähteitä ei ole;

· koska lämpötila t1 Ja t2 seinän pinnoilla ovat vakioita.

Seinän lämpötila on vain yhden koordinaatin funktio X ja yhtälö (1.13) saa muodon

Lausekkeet (2.1), (2.2), (2.3) ovat ongelman matemaattinen muotoilu, jonka ratkaisun avulla saamme vaaditun lämpötilakenttäyhtälön t=f(x).

Yhtälön (2.1) integrointi antaa

Toistuvalla integroinnilla saamme differentiaaliyhtälön ratkaisun muodossa

Riippuvuus t=f(x), kohdan (2.5) mukaan on suora (kuva 2.1), mikä pätee λ=vakio.

Seinän läpi kulkevan lämpövirran tiheyden määrittämiseksi käytämme Fourier-lakia

Ottaen huomioon saamme laskentakaavan tasaisen seinän läpi siirtyvän lämpövirran tiheydelle,

Kaava (2.6) voidaan kirjoittaa muodossa

Missä

Arvoa kutsutaan lämmönjohtavuus lämmönkestävyys tasainen seinä.

Perustuu yhtälöön

qR = t 1 – t 2

voidaan päätellä, että seinän lämpövastus on suoraan verrannollinen lämpötilaeroon seinämän paksuuden poikki.

Ota huomioon lämmönjohtavuuskertoimen riippuvuus lämpötilasta, λ(t), se on mahdollista, jos korvaamme arvot yhtälöihin (2.6) ja (2.7) λav lämpötila-alueelle t 1 - t 2.

Harkitse lämmönjohtavuutta monikerroksinen tasainen seinä, joka koostuu esimerkiksi kolmesta kerroksesta
(Kuva 2.2).

Annettu:δ1, δ2, δ3, λ1, λ2, λ 3, t 1 = vakio, t4=vakio.

Määritellä: q, W/m2; t2, t3.

Kiinteässä tilassa ja seinäpintojen vakiolämpötiloissa kolmikerroksisen seinän läpi siirtyvä lämpövirta voidaan esittää yhtälöjärjestelmällä:

Lämpötilat kerrosten rajoilla t2 Ja t3 voidaan laskea yhtälöillä (2.8) - (2.10) lämpövuon tiheyden ( q) mennessä (2.12).

Yhtälön (2.12) yleinen muoto monikerroksiselle tasaiselle seinälle, joka koostuu P Homogeenisia kerroksia, joiden lämpötila on tasainen ulkopinnoilla ja , on muodoltaan

2.2. Sylinterimäisen seinän lämmönjohtavuus
ensimmäisen tyyppisissä reunaehdoissa

Annettu: Homogeeninen sylinterimäinen seinä (putkiseinä), jossa sisäsäde r1, ulkoinen - r2, pituus , vakio lämmönjohtavuudella λ , tasaisilla pintalämpötiloilla t1 Ja t2.
(Kuva 2.3).

Määritellä: lämpötilakentän yhtälö
t=f(r), seinän läpi siirtyvä lämpövirta
K, W.

Differentiaalilämpöyhtälö sylinterimäisinä koordinaatteina (1.14) tämän ongelman ehdoille:

ottaa muodon

Menettely yhtälöjärjestelmän (2.15) - (2.17) ratkaisemiseksi on sama kuin tasaisen seinän tapauksessa: löydetään toisen asteen differentiaaliyhtälön (2.15) yleinen integraali, joka sisältää kaksi integrointivakiota
alkaen 1 Ja vuodesta 2. Jälkimmäiset määritetään käyttämällä reunaehtoja (2.16) ja (2.17), ja kun niiden arvot on korvattu differentiaaliyhtälön (yleinen integraali) ratkaisulla, saadaan sylinterimäisen seinän lämpötilakenttäyhtälö t = f (r) kuten

Jos otamme yhtälön (2.18) oikean puolen derivaatan ja korvaamme sen (2.19), saadaan laskentakaava sylinterimäisen seinän lämpövirta

(2.20)

Teknisissä laskelmissa lämpövirta lasketaan usein 1 m putken pituudelle:

ja soitti lineaarinen lämpövuon tiheys.

Kirjoitamme yhtälön (2.20) muodossa

Missä – sylinterimäisen seinän lämmönjohtavuuden lämpövastus.

Kolmikerroksiselle lieriömäiselle seinälle(kahdella lämpöeristekerroksella päällystetty putki), joiden pintalämpötilat tunnetaan vakiona ( t1 Ja t4), joiden geometriset mitat tunnetaan ( r1, r2, r3, r4, ) ja kerrosten lämmönjohtavuuskertoimet ( λ1, λ2, λ 3) (Kuva 2.4), voidaan kirjoittaa seuraavat yhtälöt lämpövuolle K:

Lämpötilat kerrosten rajoilla (t 2,t3) voidaan laskea yhtälöistä (2.21).

varten monikerroksinen sylinterimäinen seinä, joka koostuu P kerrokset, kaava (2.22) voidaan kirjoittaa yleisessä muodossa

(2.23)

Tehokas lämmönjohtavuus monikerroksiselle lieriömäiselle seinälle, samoin kuin monikerroksiselle tasaiselle seinälle, määritetään monikerroksisen seinän lämpöresistanssien summan yhtäläisyydestä homogeenisen seinämän lämpövastukseen, jonka paksuus on sama kuin monikerroksinen seinämä. Joten putken kaksikerroksiseen lämmöneristykseen
(Kuva 2.4) tehollinen lämmönjohtavuus (λeff) määräytyy tasa-arvosta

2.3. Tasaisten ja sylinterimäisten seinien lämmönjohtavuus
kolmannen tyypin reunaolosuhteissa (lämmönsiirto)

Kolmannen tyypin rajaehdot koostuu nesteen lämpötilan asettamisesta (t w) ja lämmönsiirtokerroin () seinän pinnan ja nesteen väliin.

Lämmön siirtymistä nesteestä toiseen niitä erottavan seinän kautta kutsutaan lämmönsiirto.

Esimerkkejä lämmönsiirrosta ovat lämmön siirtyminen savukaasuista veteen höyrykattilan putken seinämän kautta, lämmön siirtyminen kuumasta vedestä ulkoilmaan lämmityspatterin seinämän läpi jne.

Lämmönvaihto pinnan ja väliaineen (jäähdytysnesteen) välillä voi olla konvektiivinen jos jäähdytysneste on nestettä (vesi, öljy jne.) tai säteilevä-konvektiivinen kun lämpöä siirretään konvektiivisella lämmönsiirrolla ja säteilyllä, jos jäähdytysneste on kaasu (savukaasut, ilma jne.).

Tarkastellaan lämmönsiirtoa litteiden ja sylinterimäisten seinien läpi, kun pinnoilla tapahtuu vain konvektiivista lämmönsiirtoa. Lämmönsiirtoa säteily-konvektiivisella lämmönsiirrolla (kompleksilämmönsiirto) pinnoilla käsitellään myöhemmin W / m 2 lämmönsiirto (Q

Jos a 1 Ja a 2 vertailukelpoinen.

Lämmönsiirto monikerroksisen sylinterimäisen seinän läpi lasketaan kaavalla

(2.35)

Missä F1 Ja F2 ovat monikerroksisen lieriömäisen seinämän sisä- ja ulkopintojen alueita.

Minkä tahansa fysikaalisen prosessin tutkiminen liittyy suhteiden luomiseen tätä prosessia kuvaavien määrien välille. Monimutkaisissa prosesseissa, joihin sisältyy lämmönsiirto lämmönjohtavuuden avulla, määritettäessä määrien välistä suhdetta on kätevää käyttää matemaattisen fysiikan menetelmiä, jotka eivät ota huomioon prosessin kulkua koko tutkittavassa tilassa, vaan alkuainetilavuudessa äärettömän pienellä aikavälillä. Lämmönjohtavuudella tapahtuvaan lämmönsiirtoon osallistuvien suureiden välinen yhteys muodostetaan tässä tapauksessa ns lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö. Valitun alkeistilavuuden ja äärettömän pienen ajanjakson rajoissa on mahdollista jättää huomiotta prosessia kuvaavien joidenkin suuruusluokkien muutos.

Lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälöä johdettaessa tehdään seuraavat oletukset: fysikaaliset suureet λ, jossa p Ja ρ vakio; ei sisäisiä lämmönlähteitä; runko on homogeeninen ja isotrooppinen; käytetään energian säilymisen lakia, joka tässä tapauksessa on muotoiltu seuraavasti: ero lämmönjohtavuudesta johtuen lämmönjohtavuudesta päässyt elementaariseen suuntaissärmiöön ajan kuluessa dτ ja siitä vapautettu samassa ajassa kuluu tarkasteltavan alkuainetilavuuden sisäisen energian muuttamiseen. Tuloksena tulemme yhtälöön:

Arvoa kutsutaan Laplacen operaattori ja se on yleensä lyhennetty 2 t(kyltti lukee "nabla"); arvo λ /cρ nimeltään lämpödiffuusio ja merkitty kirjaimella A. Yllä olevalla merkinnällä lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö saa muodon

Yhtälöä (1-10) kutsutaan lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö, tai Fourier-yhtälö kolmiulotteiselle ei-stationaariselle lämpötilakentälle sisäisten lämmönlähteiden puuttuessa. Se on pääyhtälö tutkimuksessa kappaleiden lämmittämisestä ja jäähdytyksestä lämmönsiirtoprosessissa lämmönjohtavuudella, ja se muodostaa suhteen temporaalisten ja spatiaalisten lämpötilamuutosten välillä missä tahansa kentän kohdassa.

Terminen diffuusio A= λ/kr on aineen fysikaalinen parametri ja sen yksikkö on m 2 / s. Ei-stationaarisissa lämpöprosesseissa arvo A luonnehtii lämpötilan muutoksen nopeutta. Jos lämmönjohtavuuskerroin kuvaa kappaleiden kykyä johtaa lämpöä, niin lämpödiffuusiokerroin A on kappaleiden lämpö-inertiaominaisuuksien mitta. Yhtälöstä (1-10) seuraa, että lämpötilan muutos ajan myötä ∂t / ∂τ mikä tahansa kehon kohta on verrannollinen arvoon A Siksi samoissa olosuhteissa rungon lämpötila, jolla on suurempi lämpödiffuusio, nousee nopeammin. Kaasuilla on pienet ja metalleilla suuret lämpödiffuusiivisuuden arvot.

Lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö kehon sisällä olevien lämmönlähteiden kanssa on muodoltaan

Missä qv- vapautuvan lämmön määrä aineen tilavuusyksikköä kohti aikayksikköä kohti, Kanssa on kehon massalämpökapasiteetti, ρ - kehon tiheys .

Differentiaalilämpöyhtälöllä sylinterimäisissä koordinaateissa sisäisen lämmönlähteen kanssa on muoto

Missä r- sädevektori sylinterimäisinä koordinaatteina; φ - kulma.