Mikä on johdannainen?
Funktion derivaatan määritelmä ja merkitys

Monet tulevat yllättymään tämän artikkelin odottamattomasta sijainnista kirjoittajani kurssilla yhden muuttujan funktion derivaatta ja sen sovelluksia. Loppujen lopuksi, kuten se oli koulusta: standardioppikirja antaa ensinnäkin johdannaisen määritelmän, sen geometrisen, mekaanisen merkityksen. Seuraavaksi opiskelijat löytävät funktioiden johdannaiset määritelmän mukaan, ja itse asiassa vasta sitten differentiointitekniikkaa täydennetään käyttämällä johdannaistaulukot.

Mutta minun näkökulmastani seuraava lähestymistapa on pragmaattisempi: ensinnäkin on suositeltavaa YMMÄRTÄ HYVIN toimintoraja, ja erityisesti äärettömät pienet. Tosiasia on, että johdannaisen määritelmä perustuu rajan käsitteeseen, joka on huonosti huomioitu koulun kurssilla. Siksi merkittävä osa nuorista graniittitiedon kuluttajista tunkeutuu huonosti johdannaisen olemukseen. Jos et siis ole hyvin perehtynyt differentiaalilaskentaan tai viisaat aivot ovat onnistuneesti päässeet eroon tästä matkatavarasta vuosien varrella, aloita toimintorajoja. Samalla hallitse / muista heidän päätöksensä.

Sama käytännön järke viittaa siihen, että se on ensin kannattavaa oppia löytämään johdannaisia, mukaan lukien monimutkaisten funktioiden johdannaisia. Teoria on teoria, mutta, kuten sanotaan, haluat aina erottaa. Tältä osin on parempi suorittaa luetellut perusoppitunnit ja ehkä tulla erottelun mestari edes ymmärtämättä toimintansa ydintä.

Suosittelen aloittamaan tämän sivun materiaalit artikkelin lukemisen jälkeen. Yksinkertaisimmat ongelmat derivaatalla, jossa tarkastellaan erityisesti funktion kaavion tangentin ongelmaa. Mutta se voi viivästyä. Tosiasia on, että monet derivaatan sovellukset eivät vaadi sen ymmärtämistä, eikä ole yllättävää, että teoreettinen oppitunti ilmestyi melko myöhään - kun minun piti selittää nousu-/laskuvälien ja ääripäiden löytäminen toimintoja. Lisäksi hän oli aiheessa melko pitkään " Funktiot ja graafit”, kunnes päätin laittaa sen aiemmin.

Siksi, rakkaat teekannut, älä kiirehdi imemään johdannaisen olemusta nälkäisten eläinten tavoin, koska kylläisyys on mauton ja epätäydellinen.

Funktion kasvavan, pienenevän, maksimin, minimin käsite

Monet opetusohjelmat johtavat johdannaisen käsitteeseen käytännön ongelmien avulla, ja sain myös mielenkiintoisen esimerkin. Kuvittele, että meidän täytyy matkustaa kaupunkiin, johon pääsee eri tavoin. Hylkäämme välittömästi kaarevat käämitysreitit ja tarkastelemme vain suoria viivoja. Myös suorat ajo-ohjeet ovat kuitenkin erilaisia: kaupunkiin pääsee tasaista moottoritietä pitkin. Tai mäkisellä moottoritiellä - ylös ja alas, ylös ja alas. Toinen tie menee vain ylämäkeen ja toinen alamäkeen koko ajan. Jännitystä etsivät valitsevat reitin rotkon halki, jossa on jyrkkä kallio ja jyrkkä nousu.

Mutta oli mieltymyksistäsi riippumatta toivottavaa, että tunnet alueen tai ainakin sinulla on siitä topografinen kartta. Entä jos tällaista tietoa ei ole? Loppujen lopuksi voit valita esimerkiksi tasaisen polun, mutta sen seurauksena törmää laskettelurinteeseen hauskojen suomalaisten kanssa. Ei se tosiasia, että navigaattori ja jopa satelliittikuva antavat luotettavaa tietoa. Siksi polun kohokuvio olisi hyvä muotoilla matematiikan avulla.

Harkitse tietä (sivunäkymä):

Varmuuden vuoksi muistutan teitä alkeellisesta tosiasiasta: matka tapahtuu vasemmalta oikealle. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että funktio jatkuva tarkasteltavalla alueella.

Mitkä ovat tämän kaavion ominaisuudet?

Väliajoin toiminto lisääntyy, eli jokainen sen seuraava arvo lisää edellinen. Karkeasti ottaen aikataulu menee alas ylös(kiipeämme mäelle). Ja välissä funktio vähenee- jokainen seuraava arvo Vähemmän edellinen, ja aikataulumme jatkuu ylhäältä alas(menee alas rinnettä).

Kiinnitämme huomiota myös erityisiin kohtiin. Kohdassa, jossa saavutamme enimmäismäärä, tuo on olemassa sellainen osa polkua, jolla arvo on suurin (korkein). Samaan aikaan, minimi, Ja olemassa kuten sen naapurustossa, jossa arvo on pienin (pienin).

Oppitunnilla tarkastellaan tiukempaa terminologiaa ja määritelmiä. funktion ääripäästä, mutta nyt tutkitaan vielä yhtä tärkeää ominaisuutta: intervalleja toiminto kasvaa, mutta se kasvaa eri nopeuksilla. Ja ensimmäinen asia, joka pistää silmään, on se, että kaavio kohoaa intervallin mukaan paljon siistimpää kuin välissä. Onko mahdollista mitata tien jyrkkyyttä matemaattisilla työkaluilla?

Toiminnan muutosnopeus

Ajatus on tämä: ota arvoa (lue "delta x"), jota kutsumme argumentin lisäys, ja ala "kokeilla sitä" polumme eri kohtiin:

1) Katsotaanpa vasemmanpuoleisinta pistettä: ohittamalla etäisyys , kiipeämme rinnettä korkeuteen (vihreä viiva). Arvoa kutsutaan funktion lisäys, ja tässä tapauksessa tämä lisäys on positiivinen (arvojen ero akselilla on suurempi kuin nolla). Tehdään suhde , joka on tiemme jyrkkyyden mitta. Ilmeisesti on hyvin tarkka luku, ja koska molemmat lisäykset ovat positiivisia, niin .

Huomio! Nimitys ovat YKSI symboli, eli et voi "repäistä" "deltaa" "x":stä ja tarkastella näitä kirjaimia erikseen. Kommentti koskee tietysti myös funktion lisäyssymbolia.

Tutkitaan tuloksena olevan murto-osan luonnetta merkityksellisemmin. Oletetaan aluksi, että olemme 20 metrin korkeudessa (vasemmassa mustassa pisteessä). Kun metrien etäisyys (vasen punainen viiva) on ylitetty, olemme 60 metrin korkeudessa. Silloin funktion lisäys on metriä (vihreä viiva) ja: . Täten, joka metrillä tällä tieosuudella korkeus kasvaa keskiverto 4 metrillä… unohditko kiipeilyvarusteesi? =) Toisin sanoen konstruoitu suhde kuvaa funktion KESKIMÄÄRÄISTÄ ​​MUUTOSNOPEUTTA (tässä tapauksessa kasvua).

Huomautus : Kyseisen esimerkin numeeriset arvot vastaavat piirustuksen mittasuhteita vain suunnilleen.

2) Mennään nyt samalle etäisyydelle oikeanpuoleisesta mustasta pisteestä. Täällä nousu on pehmeämpää, joten lisäys (crimson line) on suhteellisen pieni ja suhde edelliseen tapaukseen verrattuna on melko vaatimaton. Suhteellisesti sanottuna, metriä ja toiminnan kasvunopeus On . Eli täällä jokaista metriä kohti keskiverto puoli metriä ylöspäin.

3) Pieni seikkailu vuorenrinteellä. Katsotaan y-akselilla olevaa ylintä mustaa pistettä. Oletetaan, että tämä on 50 metrin merkki. Taas ylitämme etäisyyden, minkä seurauksena olemme alempana - 30 metrin tasolla. Siitä lähtien kun liike on tehty ylhäältä alas(akselin "vastakkaiseen" suuntaan), sitten lopullinen funktion lisäys (korkeus) on negatiivinen: metriä (ruskea viiva piirustuksessa). Ja tässä tapauksessa puhumme hajoamisnopeus ominaisuudet: , eli tämän osan polun jokaisella metrillä korkeus pienenee keskiverto 2 metrillä. Huolehdi vaatteista viidennessä kohdassa.

Esitetään nyt kysymys: mikä on "mittausstandardin" paras arvo käyttää? On selvää, että 10 metriä on erittäin karkeaa. Niihin mahtuu helposti kymmenkunta kohoa. Miksi siellä on kuoppia, alla voi olla syvä rotko, ja muutaman metrin kuluttua - sen toisella puolella vielä jyrkkä nousu. Näin ollen 10 metrin mittaisella emme saa ymmärrettävää ominaisuutta tällaisten reitin osien suhteen.

Yllä olevasta keskustelusta seuraa seuraava johtopäätös: mitä pienempi arvo, sitä tarkemmin kuvaamme tien helpotusta. Lisäksi seuraavat tosiasiat pitävät paikkansa:

– Mille tahansa nostopisteitä voit valita arvon (vaikkakin hyvin pienen), joka sopii yhden tai toisen nousun rajoihin. Ja tämä tarkoittaa, että vastaava korkeuslisäys on taatusti positiivinen, ja epäyhtälö osoittaa oikein funktion kasvun näiden välien jokaisessa pisteessä.

- Samoin, mille tahansa kaltevuuspiste, on arvo, joka sopii täysin tähän rinteeseen. Siksi vastaava korkeuden nousu on yksiselitteisesti negatiivinen, ja epäyhtälö näyttää oikein funktion pienenemisen tietyn intervallin jokaisessa pisteessä.

– Erityisen kiinnostava on tapaus, jossa funktion muutosnopeus on nolla: . Ensinnäkin nollakorkeuslisäys () on merkki tasaisesta polusta. Ja toiseksi, on muitakin outoja tilanteita, joista näet esimerkkejä kuvasta. Kuvittele, että kohtalo on vienyt meidät aivan kukkulan huipulle, jossa kotkia kohoaa, tai rotkon pohjalle, jossa on kurivia sammakoita. Jos otat pienen askeleen mihin tahansa suuntaan, niin korkeuden muutos on mitätön, ja voimme sanoa, että funktion muutosnopeus on itse asiassa nolla. Sama kuvio havaitaan pisteissä.

Näin ollen olemme lähestyneet hämmästyttävää mahdollisuutta luonnehtia funktion muutosnopeutta täysin tarkasti. Loppujen lopuksi matemaattinen analyysi antaa meille mahdollisuuden ohjata argumentin lisäys nollaan eli tehdä siitä äärettömän pieni.

Tämän seurauksena herää toinen looginen kysymys: onko tielle ja sen aikataululle mahdollista löytää toinen toiminto, mikä kertoisi meille kaikista tasanteista, ylämäistä, alamäkeistä, huipuista, alankoista sekä nousu-/laskunopeudesta polun jokaisessa pisteessä?

Mikä on johdannainen? Johdannan määritelmä.
Derivaatan ja differentiaalin geometrinen merkitys

Lue huolellisesti ja älä liian nopeasti - materiaali on yksinkertaista ja kaikkien saatavilla! Ei haittaa, jos joissain paikoissa jokin tuntuu epäselvältä, voit aina palata artikkeliin myöhemmin. Sanon lisää, on hyödyllistä opiskella teoriaa useita kertoja, jotta voidaan ymmärtää laadullisesti kaikki kohdat (neuvonta on erityisen tärkeä "teknisille" opiskelijoille, joille korkeammalla matematiikalla on merkittävä rooli koulutusprosessissa).

Luonnollisesti johdannaisen määritelmässä jossakin kohdassa korvaamme sen seuraavasti:

Mihin olemme tulleet? Ja tulimme siihen tulokseen, että lain mukaiseen toimintoon on kohdistettu muu toiminto, jota kutsutaan johdannainen funktio(tai yksinkertaisesti johdannainen).

Johdannainen luonnehtii muutoksen tahti toiminnot. Miten? Ajatus kulkee kuin punainen lanka artikkelin alusta lähtien. Harkitse jotain kohtaa verkkotunnuksia toiminnot. Olkoon funktio differentioituva tietyssä pisteessä. Sitten:

1) Jos , niin funktio kasvaa kohdassa . Ja ilmeisesti on intervalli(vaikka hyvin pieni), joka sisältää pisteen, jossa funktio kasvaa, ja sen kaavio kulkee "alhaalta ylös".

2) Jos , niin funktio pienenee pisteessä . Ja on väli, joka sisältää pisteen, jossa funktio pienenee (kaavio kulkee "ylhäältä alas").

3) Jos , niin äärettömän lähellä lähellä pistettä, funktio pitää nopeudensa vakiona. Tämä tapahtuu, kuten mainittiin, funktiovakiolle ja toiminnon kriittisissä kohdissa, erityisesti minimi- ja maksimipisteissä.

Jotain semantiikkaa. Mitä verbi "erottaa" tarkoittaa laajassa merkityksessä? Erottaminen tarkoittaa ominaisuuden erottamista. Erottamalla funktion "valitsemme" sen muutosnopeuden funktion derivaatan muodossa. Ja mitä muuten tarkoittaa sana "johdannainen"? Toiminto tapahtui funktiosta.

Termit tulkitsevat erittäin onnistuneesti johdannaisen mekaanista merkitystä :
Tarkastellaan kappaleen ajasta riippuvaa koordinaattien muutoslakia ja tietyn kappaleen liikenopeuden funktiota. Funktio luonnehtii kehon koordinaatin muutosnopeutta, joten se on funktion ensimmäinen derivaatta ajan suhteen: . Jos käsitettä "kehon liike" ei olisi luonnossa, sitä ei olisi olemassa johdannainen"nopeuden" käsite.

Kehon kiihtyvyys on nopeuden muutosnopeus, joten: . Jos alkuperäisiä käsitteitä "kehon liike" ja "kehon liikenopeus" ei olisi luonnossa, niin niitä ei olisi johdannainen kehon kiihtyvyyden käsite.

(\suuri\bf Funktiojohdannainen)

Harkitse toimintoa y=f(x), annetaan välissä (a, b). Antaa x- mikä tahansa kiinteä pisteväli (a, b), A Δx- mielivaltainen luku, niin että arvo x+Δx kuuluu myös väliin (a, b). Tämä numero Δx kutsutaan argumenttilisäykseksi.

Määritelmä. Toiminnan lisäys y=f(x) pisteessä x, joka vastaa argumentin lisäystä Δx, soitetaan numeroon

Δy = f(x+Δx) - f(x).

me uskomme tuon Δx ≠ 0. Harkitse tietyssä kiinteässä kohdassa x funktion lisäyksen suhde kyseisessä kohdassa argumentin vastaavaan lisäykseen Δx

Tätä suhdetta kutsutaan erosuhteeksi. Arvosta lähtien x pidämme kiinteänä, erosuhde on argumentin funktio Δx. Tämä funktio on määritetty kaikille argumenttiarvoille Δx, joka kuuluu johonkin riittävän pieneen pisteen alueeseen ∆x=0, paitsi kohta ∆x=0. Näin ollen meillä on oikeus pohtia kysymystä määritetyn toiminnon rajan olemassaolosta ∆x → 0.

Määritelmä. Johdannainen funktio y=f(x) tietyssä kiinteässä kohdassa x kutsutaan rajaksi ∆x → 0 erosuhde, eli

Edellyttäen, että tämä raja on olemassa.

Nimitys. y (x) tai f'(x).

Derivaatan geometrinen merkitys: Toiminnon johdannainen f(x) tässä tilanteessa x yhtä suuri kuin akselin välisen kulman tangentti Härkä ja tangentti tämän funktion kuvaajalle vastaavassa pisteessä:

f'(x 0) = \tgα.

Johdannan mekaaninen merkitys: Reitin derivaatta ajan suhteen on yhtä suuri kuin pisteen suoraviivaisen liikkeen nopeus:

Viivan tangenttiyhtälö y=f(x) pisteessä M0 (x0,y0) ottaa muodon

y-y 0 = f (x 0) (x-x 0).

Käyrän normaali jossain pisteessä on kohtisuora samassa pisteessä olevaan tangenttiin. Jos f′(x 0)≠ 0, sitten suoran normaalin yhtälö y=f(x) pisteessä M0 (x0,y0) on kirjoitettu näin:

Funktion differentiatiivisuuden käsite

Anna toiminnon y=f(x) määritelty tietyllä aikavälillä (a, b), x- jokin kiinteä argumentin arvo tästä intervallista, Δx- mikä tahansa argumentin lisäys, joka vastaa argumentin arvoa x+Δx ∈ (a, b).

Määritelmä. Toiminto y=f(x) kutsutaan differentioituvaksi tietyssä pisteessä x jos lisäys Δy tämä toiminto kohdassa x, joka vastaa argumentin lisäystä Δx, voidaan esittää muodossa

Δy = A Δx + αΔx,

Missä A on jokin numerosta riippumaton Δx, A α - argumenttifunktio Δx, joka on äärettömän pieni ∆x → 0.

Koska kahden äärettömän pienen funktion tulo αΔx on äärettömästi korkeampi kertaluokka kuin Δx(infinitesimaalien funktioiden ominaisuus 3), voimme kirjoittaa:

∆y = A ∆x +o(∆x).

Lause. Toiminnon vuoksi y=f(x) oli erotettavissa tietyssä pisteessä x, on välttämätöntä ja riittävää, että sillä on tässä vaiheessa äärellinen derivaatta. Jossa A=f′(x), tuo on

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaan yleensä differentiaatioksi.

Lause. Jos toiminto y=f(x) x, niin se on jatkuva siinä vaiheessa.

Kommentti. Toiminnan jatkuvuudesta y=f(x) tässä tilanteessa x Yleisesti ottaen tästä ei seuraa, että funktio olisi differentioituva f(x) tässä tilanteessa. Esimerkiksi funktio y=|x|- jatkuva jossakin pisteessä x=0, mutta sillä ei ole johdannaista.

Toimintodifferentiaalin käsite

Määritelmä. toimintoero y=f(x) kutsutaan tämän funktion derivaatan ja riippumattoman muuttujan inkrementin tuloksi x:

dy = y′ ∆x, df(x) = f′(x) ∆x.

Toiminnan vuoksi y=x saamme dy=dx=x'Δx = 1 Δx= Δx, tuo on dx=Δx- riippumattoman muuttujan differentiaali on yhtä suuri kuin tämän muuttujan inkrementti.

Näin ollen voimme kirjoittaa

dy = y′dx, df(x) = f′(x)dx

Ero dy ja lisäys Δy toimintoja y=f(x) tässä tilanteessa x, molemmat vastaavat samaa argumentin lisäystä Δx eivät yleensä ole tasa-arvoisia keskenään.

Differentiaalin geometrinen merkitys: funktion differentiaali on yhtä suuri kuin annetun funktion kaavion tangentin ordinaatin lisäys, kun argumenttia kasvatetaan Δx.

Erottamisen säännöt

Lause. Jos jokainen toiminto u(x) Ja v(x) erottuva tietyssä pisteessä x, sitten näiden funktioiden summa, erotus, tulo ja osamäärä (osamäärä edellyttäen, että v(x)≠ 0) ovat myös erotettavissa tässä vaiheessa, ja seuraavat kaavat pätevät:

Harkitse monimutkaista funktiota y=f(φ(x))≡ F(x), Missä y=f(u), u=φ(x). Tässä tapauksessa u nimeltään väliargumentti, x - itsenäinen muuttuja.

Lause. Jos y=f(u) Ja u=φ(x) ovat argumenttiensa differentioituvia funktioita, sitten kompleksisen funktion derivaatta y=f(φ(x)) on olemassa ja on yhtä suuri kuin tämän funktion tulo väliargumentin suhteen ja väliargumentin derivaatta riippumattoman muuttujan suhteen, ts.

Kommentti. Monimutkaiselle funktiolle, joka on kolmen funktion superpositio y=F(f(φ(x))), erotussäännöllä on muoto

y′ x = y′ u u′ v v' x,

missä toimii v=φ(x), u=f(v) Ja y=F(u) ovat argumenttiensa erotettavia funktioita.

Lause. Anna toiminnon y=f(x) kasvaa (tai vähenee) ja jatkuu jossain pisteen ympäristössä x0. Olkoon lisäksi tämä funktio differentioituva osoitetussa pisteessä x0 ja sen johdannainen tässä vaiheessa f′(x 0) ≠ 0. Sitten jossain vastaavan pisteen naapurustossa y0=f(x0) käänteinen y=f(x) toiminto x=f -1 (y), ja osoitettu käänteisfunktio on differentioitavissa vastaavassa pisteessä y0=f(x0) ja sen johdannaiselle tässä vaiheessa y kaava on voimassa

Johdannaistaulukko

Ensimmäisen differentiaalin muodon muuttumattomuus

Harkitse monimutkaisen funktion differentiaalia. Jos y=f(x), x=φ(t) ovat argumenttiensa differentioituvia funktioita, sitten funktion derivaatta y=f(φ(t)) ilmaistaan ​​kaavalla

y′t = y′xx′t.

A-priory dy=y't dt, sitten saamme

dy = y' t dt = y' x x' t dt = y' x (x' t dt) = y' x dx,

dy = y′ x dx.

Olemme siis todistaneet

Funktion ensimmäisen differentiaalin muodon invarianssin ominaisuus: kuten siinä tapauksessa, kun argumentti x on itsenäinen muuttuja, ja siinä tapauksessa, että argumentti x on itse uuden muuttujan, differentiaalin, differentioituva funktio dy toimintoja y=f(x) on yhtä suuri kuin tämän funktion derivaatta kerrottuna argumentin differentiaalilla dx.

Differentiaalin soveltaminen likimääräisissä laskelmissa

Olemme osoittaneet, että ero dy toimintoja y=f(x), yleisesti ottaen, ei ole yhtä suuri kuin lisäys Δy tämä toiminto. Siitä huolimatta äärettömän pieneen funktioon, joka on suurempaa pienuusluokkaa kuin Δx, likimääräinen yhtäläisyys

∆y ≈ dy.

Suhdesuhdetta kutsutaan tämän yhtäläisyyden suhteelliseksi virheeksi. Koska ∆y-dy=o(∆x), silloin tämän yhtälön suhteellinen virhe tulee mielivaltaisen pieneksi kuin |Δх|.

Olettaen että Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f′(x)Δx, saamme f(x+δx)-f(x) ≈ f′(x)Δx tai

f(x+δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Tämä likimääräinen yhtäläisyys sallii virheen o(Δx) vaihda toiminto f(x) pisteen pienessä ympäristössä x(eli pienille arvoille Δx) argumentin lineaarinen funktio Δx seisoo oikealla puolella.

Korkeampien tilausten johdannaiset

Määritelmä. Funktion toinen derivaatta (tai toisen asteen derivaatta). y=f(x) kutsutaan sen ensimmäisen derivaatan johdannaiseksi.

Funktion toisen derivaatan merkintä y=f(x):

Toisen derivaatan mekaaninen merkitys. Jos toiminto y=f(x) kuvaa materiaalin pisteen liikelakia suorassa, sitten toista derivaattia f"(x) on yhtä suuri kuin liikkuvan pisteen kiihtyvyys hetkellä x.

Kolmas ja neljäs derivaatta määritellään samalla tavalla.

Määritelmä. n-th derivaatta (tai johdannainen n järjestyksessä) toimintoja y=f(x) kutsutaan sen johdannaiseksi n-1- johdannainen:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Nimitykset: y″′, y IV, y V jne.

Derivaatan geometrinen merkitys

KÄYRÄN TANTENTIN MÄÄRITTÄMINEN Tangentti käyrälle y=ƒ(x) pisteessä M kutsutaan pisteen läpi vedetyn sekantin raja-asemaksi M ja sen viereinen kohta M 1 käyrä, jos piste M 1 lähestyy määräämättömästi käyrää pitkin pisteeseen M. JOHDANNAISEN GEOMETRIINEN MERKITYS Funktiojohdannainen y=ƒ(x) pisteessä X 0 on numeerisesti yhtä suuri kuin kaltevuuskulman tangentti akseliin nähden vai niin tangentti piirretty käyrään y=ƒ(x) pisteessä M (x 0; f (x 0)).

SUUNNITELTU DOTIC KÄYVÄÄN Dotichnaya on kiero y=ƒ(x) asiaan M jota kutsutaan pisteen läpi piirretyksi sichnon raja-asemaksi M ja arvioida sen kanssa pisteen M 1 kiero, huomioi, mitä järkeä M 1 käyrä lähestyy pistettä M. GEOMETRIINEN ZMIST HYVÄ Muut toiminnot y=ƒ(x) asiaan x 0 lisää numeerisesti kuta nahilin tangenttia akselille vai niin dotichny, suoritettu käyrälle y=ƒ(x) asiaan M (x 0; f (x 0)).

Johdannan käytännön merkitys

Pohditaan, mitä käytännössä tarkoittaa jonkin funktion johdannaisena löytämämme arvo.

Ensinnäkin, johdannainen- Tämä on differentiaalilaskennan peruskäsite, joka kuvaa funktion muutosnopeutta tietyssä pisteessä.

Mikä on "muutosnopeus"? Kuvittele toiminto f(x) = 5. Riippumatta argumentin (x) arvosta, sen arvo ei muutu millään tavalla. Eli muutosnopeus on nolla.

Harkitse nyt toimintoa f(x) = x. X:n derivaatta on yhtä suuri kuin yksi. On todellakin helppo nähdä, että jokaisella argumentin (x) muutoksella yhdellä, myös funktion arvo kasvaa yhdellä.

Katsotaan nyt saatujen tietojen näkökulmasta yksinkertaisten funktioiden johdannaisten taulukkoa. Tästä eteenpäin funktion derivaatan löytämisen fyysinen merkitys tulee heti selväksi. Tällaisen ymmärryksen pitäisi helpottaa käytännön ongelmien ratkaisemista.

Vastaavasti, jos derivaatta näyttää funktion muutosnopeuden, kaksoisderivaata näyttää kiihtyvyyden.

2080.1947

Päivämäärä: 20.11.2014

Mikä on johdannainen?

Johdannaistaulukko.

Derivaata on yksi korkeamman matematiikan pääkäsitteistä. Tällä oppitunnilla esittelemme tämän käsitteen. Tutustutaanpa ilman tiukkoja matemaattisia formulaatioita ja todisteita.

Tämän johdannon avulla voit:

Ymmärtää yksinkertaisten tehtävien olemuksen johdannaisen avulla;

Ratkaise nämä hyvin yksinkertaiset tehtävät onnistuneesti;

Valmistaudu vakavampiin johdannaistunteihin.

Ensinnäkin miellyttävä yllätys.

Derivaatan tiukka määritelmä perustuu rajojen teoriaan, ja asia on melko monimutkainen. Se on järkyttävää. Mutta johdannaisen käytännön soveltaminen ei yleensä vaadi niin laajaa ja syvää tietoa!

Useimpien tehtävien onnistuneeseen suorittamiseen koulussa ja yliopistossa riittää tieto vain muutama termi- ymmärtää tehtävän ja vain muutama sääntö- ratkaista se. Ja siinä se. Tämä tekee minut onnelliseksi.

Tutustutaanko toisiimme?)

Termit ja nimitykset.

Alkeismatematiikassa on monia matemaattisia operaatioita. Yhteen-, vähennys-, kerto-, eksponentio-, logaritmi- jne. Jos näihin operaatioihin lisätään vielä yksi operaatio, alkeismatematiikka nousee korkeammaksi. Tämä uusi operaatio on ns erilaistuminen. Tämän toiminnon määritelmää ja merkitystä käsitellään erillisillä oppitunneilla.

Tässä on tärkeää ymmärtää, että differentiaatio on vain funktion matemaattinen operaatio. Otamme minkä tahansa funktion ja muutamme sen tiettyjen sääntöjen mukaan. Tuloksena on uusi toiminto. Tätä uutta toimintoa kutsutaan: johdannainen.

Erilaistuminen- toiminta funktioon.

Johdannainen on tämän toiminnan tulos.

Aivan kuten esim. summa on lisäyksen tulos. Tai yksityinen on jakautumisen tulos.

Termit tuntemalla voit ainakin ymmärtää tehtävät.) Sanamuoto on seuraava: löytää funktion derivaatta; ota johdannainen; erottaa toiminnon; laske johdannainen ja niin edelleen. Tässä kaikki sama. Tietenkin on monimutkaisempia tehtäviä, joissa derivaatan löytäminen (differentiointi) on vain yksi vaihe tehtävän ratkaisemisessa.

Johdannainen on merkitty viivalla funktion yläpuolella oikeassa yläkulmassa. Kuten tämä: y" tai f"(x) tai S"(t) ja niin edelleen.

lukea y veto, ef veto x:stä, es veto te:stä, no ymmärrät sen...)

Alkuluku voi myös merkitä tietyn funktion derivaatta, esimerkiksi: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" jne. Usein derivaatta merkitään differentiaaleilla, mutta emme käsittele tällaista merkintää tällä oppitunnilla.

Oletetaan, että olemme oppineet ymmärtämään tehtävät. Ei ole enää mitään jäljellä - opetella ratkaisemaan ne.) Muistutan vielä kerran: derivaatan löytäminen on funktion muunnos tiettyjen sääntöjen mukaan. Näitä sääntöjä on yllättävän vähän.

Löytääksesi funktion derivaatan sinun tarvitsee tietää vain kolme asiaa. Kolme pilaria, joilla kaikki erilaistuminen lepää. Tässä on kolme valasta:

1. Johdannaisten taulukko (differentiointikaavat).

3. Monimutkaisen funktion derivaatta.

Aloitetaan järjestyksessä. Tässä oppitunnissa tarkastelemme johdannaistaulukkoa.

Johdannaistaulukko.

Maailmalla on ääretön määrä toimintoja. Tämän sarjan joukossa on toimintoja, jotka ovat tärkeimpiä käytännön sovelluksen kannalta. Nämä toiminnot ovat kaikkien luonnonlakien mukaisia. Näistä toiminnoista, kuten tiilistä, voit rakentaa kaikki muut. Tätä funktioluokkaa kutsutaan perustoiminnot. Juuri näitä toimintoja tutkitaan koulussa - lineaarinen, neliö, hyperbola jne.

Toimintojen eriyttäminen "tyhjästä", ts. derivaatan määritelmän ja rajojen teorian perusteella - melko aikaa vievä asia. Ja matemaatikotkin ovat ihmisiä, kyllä, kyllä!) Joten he yksinkertaistivat elämäänsä (ja meitä). He laskivat ennen meitä alkeisfunktioiden derivaattoja. Tuloksena on johdannaistaulukko, jossa kaikki on valmiina.)

Tässä se on, tämä levy suosituimpiin toimintoihin. Vasen - perusfunktio, oikea - sen johdannainen.

	Toiminto y	Toiminnon y johdannainen y"
1	C (vakio)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n on mikä tahansa luku)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	synti x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	Hirsi a x
	ln x ( a = e)

Suosittelen kiinnittämään huomiota tämän johdannaistaulukon kolmanteen funktioryhmään. Potenssifunktion derivaatta on yksi yleisimmistä kaavoista, ellei yleisin! Onko vihje selkeä?) Kyllä, on toivottavaa tietää johdannaistaulukko ulkoa. Muuten, tämä ei ole niin vaikeaa kuin miltä se saattaa näyttää. Yritä ratkaista lisää esimerkkejä, itse taulukko muistetaan!)

Kuten ymmärrät, derivaatan taulukkoarvon löytäminen ei ole vaikein tehtävä. Siksi tällaisissa tehtävissä on usein lisäsiruja. Joko tehtävän muotoilussa tai alkuperäisessä funktiossa, jota ei näytä olevan taulukossa ...

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä:

1. Etsi funktion y = x derivaatta 3

Taulukossa ei ole tällaista toimintoa. Mutta tehofunktiosta on yleinen johdannainen (kolmas ryhmä). Meidän tapauksessamme n=3. Joten korvaamme kolminkertaisen n:n sijaan ja kirjoitamme tuloksen huolellisesti:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Siinä kaikki.

Vastaus: y" = 3x 2

2. Etsi funktion y = sinx derivaatan arvo pisteestä x = 0.

Tämä tehtävä tarkoittaa, että sinun on ensin löydettävä sinin derivaatta ja korvattava sitten arvo x = 0 tähän samaan johdannaiseen. Se on siinä järjestyksessä! Muuten tapahtuu, että ne korvaavat välittömästi nollan alkuperäiseen funktioon ... Meitä pyydetään etsimään ei alkuperäisen funktion arvoa, vaan arvoa sen johdannainen. Muistutan teitä, derivaatta on jo uusi funktio.

Levyltä löydämme sinin ja sitä vastaavan derivaatan:

y" = (sinx)" = cosx

Korvaa derivaatan nolla:

y"(0) = cos 0 = 1

Tämä on vastaus.

3. Erottele toiminto:

Mikä inspiroi?) Johdannaisten taulukossa ei ole edes läheistä tällaista funktiota.

Haluan muistuttaa, että funktion erottaminen on yksinkertaisesti tämän funktion derivaatan löytämistä. Jos unohdat alkeellisen trigonometrian, funktiomme derivaatan löytäminen on melko hankalaa. Taulukko ei auta...

Mutta jos näemme, että tehtävämme on kaksoiskulman kosini, sitten kaikki paranee heti!

Kyllä kyllä! Muista, että muunnos alkuperäisen toiminnon ennen eroamista ihan hyväksyttävää! Ja se sattuu helpottamaan elämää paljon. Kaksoiskulman kosinin kaavan mukaan:

Nuo. hankala tehtävämme on vain y = cox. Ja tämä on taulukkotoiminto. Saamme heti:

Vastaus: y" = - sin x.

Esimerkki edistyneille valmistuneille ja opiskelijoille:

4. Etsi funktion derivaatta:

Johdannaisessa taulukossa ei tietenkään ole tällaista funktiota. Mutta jos muistat alkeellisen matematiikan, toimintoja voimavaroilla... Silloin on täysin mahdollista yksinkertaistaa tätä funktiota. Kuten tämä:

Ja x kymmenesosan potenssilla on jo taulukkofunktio! Kolmas ryhmä, n = 1/10. Suoraan kaavan mukaan ja kirjoita:

Siinä kaikki. Tämä on vastaus.

Toivon, että ensimmäisen erotteluvalaan - johdannaistaulukon - kanssa kaikki on selvää. Jäljelle jää kahden jäljellä olevan valaan käsittely. Seuraavalla oppitunnilla opimme eriyttämisen säännöt.

Olkoon funktio määritelty pisteessä ja jossain sen ympäristössä. Annetaan argumentille inkrementti niin, että piste osuu funktion toimialueeseen. Sen jälkeen toimintoa kasvatetaan.

MÄÄRITELMÄ. Toiminnon derivaatta pisteessä kutsutaan rajaksi funktion inkrementin tässä pisteessä suhteessa argumentin lisäykseen , at (jos tämä raja on olemassa ja on äärellinen), ts.

Nimeä: ,,,.

Johdannainen funktiosta pisteessä oikealla (vasemmalla) nimeltään

(jos tämä raja on olemassa ja se on äärellinen).

Merkitse: , - derivaatta oikealla olevassa pisteessä,

, on johdannainen vasemmalla olevassa pisteessä.

Ilmeisesti seuraava lause pitää paikkansa.

LAUSE. Funktiolla on derivaatta pisteessä, jos ja vain, jos funktion oikea ja vasen derivaatta ovat olemassa ja ovat samassa pisteessä. Ja

Seuraava lause muodostaa yhteyden funktion derivaatan olemassaolon pisteessä ja funktion jatkuvuuden välillä tässä pisteessä.

LAUSE (välttämätön ehto funktion derivaatan olemassaololle pisteessä). Jos funktiolla on derivaatta jossain pisteessä, niin funktio on jatkuva siinä pisteessä.

TODISTE

Anna sen olla olemassa. Sitten

,

missä on ääretön at.

Kommentti

johdannainen funktio ja merkitsee

toimintojen eriyttäminen .

GEOMETRIINEN JA FYSIKAALINEN MERKITYS

1) Johdannan fyysinen merkitys. Jos funktio ja sen argumentti ovat fyysisiä suureita, niin derivaatta on muuttujan muutosnopeus suhteessa muuttujaan pisteessä. Esimerkiksi, jos on tietyn ajankohdan kulkema matka, niin sen derivaatta on nopeus tietyllä hetkellä. Jos on johtimen poikkileikkauksen läpi kerrallaan virtaavan sähkön määrä, niin on sähkömäärän muutosnopeus kerralla, ts. virran voimakkuus kerrallaan.

2) Derivaatan geometrinen merkitys.

Olkoon jokin käyrä, piste käyrällä.

Mitä tahansa suoraa, joka leikkaa vähintään kaksi pistettä, kutsutaan sekantti .

Käyrän tangentti pisteessä kutsutaan sekantin raja-asemaksi, jos pisteellä on taipumus liikkua käyrää pitkin.

Määritelmästä on selvää, että jos käyrän tangentti on olemassa pisteessä, se on ainutlaatuinen.

Tarkastellaan käyrää (eli funktion kuvaajaa). Olkoon sillä ei-pystysuora tangentti pisteessä. Sen yhtälö: (pisteen läpi kulkevan suoran, jolla on kaltevuus, yhtälö).

Kaltevuuden määritelmän mukaan

missä on suoran kaltevuuskulma akseliin nähden.

Antaa olla kaltevuuskulma sekantti akseliin, missä. Koska on siis tangentti

Siten,

Näin ollen saimme sen on funktion kuvaajan tangentin kaltevuus pisteessä(funktion derivaatan geometrinen merkitys pisteessä). Siksi käyrän tangentin yhtälö pisteessä voidaan kirjoittaa muodossa

Kommentti . Kutsutaan suoraa, joka kulkee pisteen läpi, joka on kohtisuorassa käyrään pisteessä piirretyn tangentin kanssa pisteen käyrän normaali . Koska kohtisuorien viivojen jyrkkyydet liittyvät suhteeseen , normaalin yhtälö käyrään pisteessä näyttää tältä

, Jos.

Jos , niin pisteen käyrän tangentilla on muoto

ja normaali.

TANGENTTI- JA NORMAALIYHTÄLÖT

Tangenttiyhtälö

Olkoon funktio annettu yhtälöllä y=f(x), sinun on kirjoitettava yhtälö tangentti pisteessä x 0. Johdannan määritelmästä:

y/(x)=limΔ x→0Δ yΔ x

Δ y=f(x+Δ x)−f(x).

Yhtälö tangentti funktion kaavioon: y=kx+b (k,b=konst). Johdannan geometrisestä merkityksestä: f/(x 0)=tgα= k Koska x 0 ja f(x 0)∈ suora, sitten yhtälö tangentti on kirjoitettu näin: y−f(x 0)=f/(x 0)(x−x 0) tai

y=f/(x 0)· x+f(x 0)−f/(x 0)· x 0.

Normaali yhtälö

Normaali on kohtisuorassa tangentti(katso kuva). Tämän perusteella:

tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 f/(x 0)

Koska normaalin kaltevuus on kulma β1, niin meillä on:

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ = −1 f/(x).

Piste ( x 0,f(x 0))∈ normaali, yhtälö saa muotoa:

y−f(x 0)=−1f/(x 0)(x−x 0).

TODISTE

Anna sen olla olemassa. Sitten

,

missä on ääretön at.

Mutta tämä tarkoittaa, että se on jatkuva pisteessä (katso jatkuvuuden geometrinen määritelmä). ∎

Kommentti . Toiminnon jatkuvuus pisteessä ei ole riittävä ehto tämän funktion derivaatan olemassaololle pisteessä. Esimerkiksi funktio on jatkuva, mutta sillä ei ole derivaattia pisteessä. Todella,

ja siksi sitä ei ole olemassa.

Ilmeisesti vastaavuus on jossain joukossa määritelty funktio. He kutsuvat häntä johdannainen funktio ja merkitsee

Kutsutaan operaatiota funktion derivaatan löytämiseksi funktiolle toimintojen eriyttäminen .

Summan ja erotuksen johdannainen

Olkoon funktiot f(x) ja g(x), joiden derivaatat tunnemme. Voit esimerkiksi ottaa edellä käsitellyt perusfunktiot. Sitten voit löytää näiden funktioiden summan ja erotuksen derivaatan:

(f + g)' = f' + g'

(f − g)' = f ' − g '

Joten kahden funktion summan (eron) derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen summa (ero). Termejä voi olla enemmän. Esimerkiksi (f + g + h) ' = f ' + g ' + h '.

Tarkkaan ottaen algebrassa ei ole käsitettä "vähennys". On olemassa "negatiivisen elementin" käsite. Siksi ero f − g voidaan kirjoittaa uudelleen summaksi f + (−1) g, jolloin jäljelle jää vain yksi kaava - summan derivaatta.