Tietenkin kumulatiivista jakaumafunktiota laskettaessa tulee käyttää mainittua binomi- ja beeta-jakauman välistä suhdetta. Tämä menetelmä on varmasti parempi kuin suora summaus, kun n > 10.
Klassisissa tilastokirjoissa binomijakauman arvojen saamiseksi suositellaan usein rajalauseisiin perustuvia kaavoja (kuten Moivre-Laplacen kaava). On huomattava, että puhtaasti laskennallisesta näkökulmasta Näiden lauseiden arvo on lähellä nollaa, varsinkin nyt, kun lähes joka pöydällä on tehokas tietokone. Yllä olevien likiarvojen suurin haittapuoli on niiden täysin riittämätön tarkkuus useimmille sovelluksille tyypillisille n:n arvoille. Ei vähäisempi haittapuoli on selkeiden suositusten puuttuminen yhden tai toisen approksimoinnin soveltuvuudesta (vakioteksteissä annetaan vain asymptoottisia formulaatioita, niihin ei liity tarkkuusarvioita ja siksi niistä on vähän hyötyä). Sanoisin, että molemmat kaavat ovat voimassa vain n:lle< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.
En käsittele tässä kvantiilien löytämisen ongelmaa: diskreeteille jakaumille se on triviaali, ja niissä ongelmissa, joissa tällaisia jakaumia syntyy, sillä ei yleensä ole merkitystä. Jos kvantiileja tarvitaan edelleen, suosittelen ongelman uudelleenmuotoilua siten, että se toimii p-arvojen (havaittujen merkityksien) kanssa. Tässä on esimerkki: kun toteutetaan joitain laskenta-algoritmeja, on jokaisessa vaiheessa tarkistettava tilastollinen hypoteesi binomiaalisesta satunnaismuuttujasta. Klassisen lähestymistavan mukaan jokaisessa vaiheessa on tarpeen laskea kriteerin tilastot ja verrata sen arvoa kriittisen joukon rajaan. Koska algoritmi on kuitenkin numeratiivinen, on kriittisen joukon raja määritettävä joka kerta uudelleen (otoskokohan muuttuu askeleelta), mikä lisää tuottamattomalla tavalla aikakustannuksia. Moderni lähestymistapa suosittelee havaitun merkittävyyden laskemista ja sen vertaamista luottamustodennäköisyyteen, mikä säästää kvantiilien etsinnässä.
Siksi seuraavat koodit eivät laske käänteistä funktiota, vaan annetaan funktio rev_binomialDF, joka laskee onnistumistodennäköisyyden p yhdessä kokeessa, kun on annettu kokeiden lukumäärä n, onnistumisten määrä niissä ja arvo y todennäköisyydestä saada nämä m menestystä. Tämä käyttää edellä mainittua binomi- ja beeta-jakauman välistä suhdetta.
Itse asiassa tämän toiminnon avulla voit saada luottamusvälien rajat. Todellakin, oletetaan, että saamme m menestystä n binomitutkimuksessa. Kuten tiedetään, kaksipuolisen luottamusvälin vasen raja parametrille p luottamustasolla on 0, jos m = 0, ja for on yhtälön ratkaisu 
. Vastaavasti oikea raja on 1, jos m = n, ja for on yhtälön ratkaisu 
. Tämä tarkoittaa, että löytääksemme vasemman rajan meidän on ratkaistava yhtälö 
ja etsiä oikeaa yhtälöä 
. Ne ratkaistaan funktioissa binom_leftCI ja binom_rightCI , jotka palauttavat vastaavasti kaksipuolisen luottamusvälin ylä- ja alarajan.
Haluan huomauttaa, että jos ehdottoman uskomatonta tarkkuutta ei tarvita, niin riittävän suurelle n:lle voidaan käyttää seuraavaa likiarvoa [B.L. van der Waerden, Matemaattiset tilastot. M: IL, 1960, Ch. 2, sek. 7]: 
, jossa g on normaalijakauman kvantiili. Tämän approksimoinnin arvo on, että on olemassa hyvin yksinkertaisia approksimaatioita, joiden avulla voit laskea normaalijakauman kvantiilit (katso normaalijakauman laskemista koskeva teksti ja tämän viitteen vastaava kohta). Käytännössäni (pääasiassa n > 100) tämä approksimaatio antoi noin 3-4 numeroa, mikä on pääsääntöisesti aivan tarpeeksi.
Laskelmat seuraavilla koodeilla edellyttävät tiedostot betaDF.h , betaDF.cpp (katso beta-jakelua koskeva osio) sekä logGamma.h , logGamma.cpp (katso liite A). Voit myös nähdä esimerkin funktioiden käytöstä.
binomialDF.h-tiedosto
| #ifndef __BINOMIAL_H__ #sisällytä "betaDF.h" double binomialDF(kaksoiskokeet, kaksoismenestys, tupla-p); /* * Olkoon itsenäisten havaintojen * "kokeiluja" onnistumistodennäköisyydellä "p". * Laske todennäköisyys B(onnistukset|kokeet,p), että onnistumisten lukumäärä * on välillä 0 ja "onnistukset" (mukaan lukien). */ double rev_binomialDF(kaksinkertainen kokeilu, tupla onnistuminen, tupla y); /* * Olkoon ainakin m onnistumisen * todennäköisyys y tiedossa Bernoullin kaavan kokeissa. Funktio etsii onnistumisen todennäköisyyden p * yhdessä kokeilussa. * * Laskelmissa käytetään seuraavaa suhdetta * * 1 - p = rev_Beta(kokeilut-onnistukset| onnistumiset+1, y). */ double binom_leftCI(kaksoiskokeet, kaksinkertaiset onnistumiset, tuplataso); /* Olkoon itsenäisten havaintojen * "kokeiluja" onnistumistodennäköisyydellä "p" jokaisessa * ja onnistumisten lukumäärä on "onnistumista". * Kaksipuolisen luottamusvälin * vasen raja lasketaan merkitsevyystason tasolla. */ double binom_rightCI(double n, kaksinkertainen onnistuminen, tuplataso); /* Olkoon itsenäisten havaintojen * "kokeiluja" onnistumistodennäköisyydellä "p" jokaisessa * ja onnistumisten lukumäärä on "onnistumista". * Kaksipuolisen luottamusvälin * oikea raja lasketaan merkitsevyystason tasolla. */ #endif /* Päättyy #ifndef __BINOMIAL_H__ */ |
binomialDF.cpp-tiedosto
| /**************************************************** **** **********/ /* Binomiaalinen jakauma */ /******************************** ********************************/ #sisällytä |
Harkitse binomijakaumaa, laske sen matemaattinen odotus, varianssi, moodi. MS EXCEL -funktiolla BINOM.JAKAUMA() piirretään jakaumafunktio ja todennäköisyystiheyskaaviot. Arvioidaan jakauman parametri p, jakauman matemaattinen odotus ja keskihajonta. Harkitse myös Bernoullin jakaumaa.
Määritelmä. Anna ne olla pidettynä n testit, joissa kussakin voi tapahtua vain 2 tapahtumaa: tapahtuma "onnistuu" todennäköisyydellä p tai tapahtuma "epäonnistuminen" todennäköisyydellä q =1-p (ns Bernoullin suunnitelma,Bernoullikoettelemuksia).
Todennäköisyys saada täsmälleen x menestystä näissä n testit on yhtä suuri kuin:
Otoksen onnistuneiden määrä x on satunnaismuuttuja, jolla on Binomijakauma(Englanti) Binomiaalinenjakelu) p ja n – ovat tämän jakauman parametreja.
Muista tämä, jotta voit hakea Bernoullin suunnitelmat ja vastaavasti binomijakauma, seuraavat ehdot on täytettävä:
- jokaisella kokeella on oltava täsmälleen kaksi tulosta, joita kutsutaan ehdollisesti "onnistuneiksi" ja "epäonnistuneiksi".
- jokaisen testin tulos ei saisi riippua aikaisempien testien tuloksista (testin riippumattomuus).
- onnistumisprosentti p tulee olla vakio kaikissa testeissä.
Binomijakauma MS EXCELissä
MS EXCELissä, versiosta 2010 alkaen, for on BINOM.JAKAUMA()-funktio, jonka englanninkielinen nimi on BINOM.JAKAUMA(), jonka avulla voit laskea todennäköisyyden, että näyte on täsmälleen X"menestykset" (esim. Todennäköisyystiheysfunktio p(x), katso yllä oleva kaava) ja integraalinen jakelufunktio(todennäköisyys, että näytteessä on x tai vähemmän "onnistumisia", mukaan lukien 0).
Ennen MS EXCEL 2010:tä EXCELissä oli BINOMDIST()-funktio, jonka avulla voit myös laskea jakelutoiminto ja todennäköisyystiheys p(x). BINOMDIST() on jätetty MS EXCEL 2010:een yhteensopivuuden vuoksi.
Esimerkkitiedosto sisältää kaavioita todennäköisyysjakauman tiheys ja .
Binomijakauma on nimitys B (n ; p) .
Huomautus: Rakentamiseen integraalinen jakelufunktio täydellisesti istuva kaaviotyyppi Ajoittaa, varten jakautumistiheys – Histogrammi ryhmittelyllä. Lisätietoja rakennuskaavioista on artikkelissa Kaavioiden päätyypit.
Huomautus: Kaavojen kirjoittamisen helpottamiseksi esimerkkitiedostoon on luotu parametrien nimet Binomijakauma: n ja p.
Esimerkkitiedostossa on erilaisia todennäköisyyslaskelmia MS EXCEL -funktioilla:
Kuten yllä olevasta kuvasta näkyy, oletetaan, että:
- Ääretön populaatio, josta näyte tehdään, sisältää 10 % (tai 0,1) hyviä elementtejä (parametri p, kolmannen funktion argumentti = BINOM.JAKAUMA() )
- Laske todennäköisyys, että 10 elementin otoksessa (parametri n, funktion toinen argumentti) on täsmälleen 5 kelvollista elementtiä (ensimmäinen argumentti), sinun on kirjoitettava kaava: =BINOM.JAKAUMA(5; 10; 0,1; EPÄTOSI)
- Viimeinen, neljäs elementti on asetettu = EPÄTOSI, ts. funktion arvo palautetaan jakautumistiheys .
Jos neljännen argumentin arvo on TOSI, BINOM.JAKAUMA()-funktio palauttaa arvon integraalinen jakelufunktio tai yksinkertaisesti jakelutoiminto. Tässä tapauksessa voit laskea todennäköisyyden, että otokseen kuuluvien hyvien tuotteiden määrä on tietyltä alueelta, esimerkiksi 2 tai vähemmän (mukaan lukien 0).
Tee tämä kirjoittamalla kaava: = BINOM.JAKAUMA(2; 10; 0,1; TOSI)
Huomautus: Jos x:n arvo ei ole kokonaisluku, . Esimerkiksi seuraavat kaavat palauttavat saman arvon: =BINOM.JAKAUMA( 2 ; kymmenen; 0,1; TOTTA)=BINOM.JAKAUMA( 2,9 ; kymmenen; 0,1; TOTTA)
Huomautus: Esimerkkitiedostossa todennäköisyystiheys ja jakelutoiminto lasketaan myös käyttämällä määritelmää ja COMBIN()-funktiota.
Jakeluindikaattorit
AT esimerkkitiedosto arkilla Esimerkki on kaavoja joidenkin jakautumisindikaattoreiden laskemiseen:
- =n*p;
- (keskihajonnan neliö) = n*p*(1-p);
- = (n+1)*p;
- =(1-2*p)*JUURI(n*p*(1-p)).
Johdamme kaavan matemaattinen odotusBinomijakauma käyttämällä Bernoullin kaava .
Määritelmän mukaan satunnaismuuttuja X in Bernoullin kaava(Bernoullin satunnaismuuttuja) on jakelutoiminto :
Tätä jakelua kutsutaan Bernoullin jakelu .
Huomautus : Bernoullin jakelu- erikoistapaus Binomijakauma parametrilla n=1.
Luodaan 3 100 luvun taulukkoa, joilla on eri onnistumistodennäköisyydet: 0,1; 0,5 ja 0,9. Voit tehdä tämän ikkunassa Satunnaislukujen sukupolvi aseta seuraavat parametrit kullekin todennäköisyydelle p:
Huomautus: Jos asetat vaihtoehdon Satunnainen sironta (Satunnainen siemen), voit valita tietyn satunnaisen joukon luotuja numeroita. Esimerkiksi asettamalla tämän vaihtoehdon =25, voit luoda samat satunnaislukujoukot eri tietokoneissa (jos tietysti muut jakeluparametrit ovat samat). Optioarvo voi olla kokonaislukuarvoja välillä 1 - 32 767. Option nimi Satunnainen sironta voi hämmentää. Olisi parempi kääntää se muotoon Aseta numero satunnaisluvuilla .
Tuloksena on 3 saraketta, joissa on 100 numeroa, joiden perusteella voimme esimerkiksi arvioida onnistumisen todennäköisyyttä p kaavan mukaan: Onnistumisen määrä/100(cm. esimerkkitiedostoarkki Bernoullin luominen).
Huomautus: varten Bernoulli-jakaumat kun p=0.5, voit käyttää kaavaa =RANDBETWEEN(0;1) , joka vastaa .
Satunnaislukujen sukupolvi. Binomijakauma
Oletetaan, että näytteessä on 7 viallista tuotetta. Tämä tarkoittaa, että on "erittäin todennäköistä", että viallisten tuotteiden osuus on muuttunut. p, joka on tuotantoprosessimme ominaisuus. Vaikka tämä tilanne on "erittäin todennäköinen", on olemassa mahdollisuus (alfariski, tyypin 1 virhe, "väärä hälytys") p pysyi ennallaan, ja viallisten tuotteiden määrän kasvu johtui satunnaisotoksista.
Kuten alla olevasta kuvasta näkyy, 7 on viallisten tuotteiden määrä, joka on hyväksyttävä prosessille, jonka p = 0,21 samalla arvolla Alpha. Tämä osoittaa, että kun viallisten tuotteiden kynnys näytteessä ylittyy, p"luultavasti" lisääntynyt. Ilmaus "todennäköisimmin" tarkoittaa, että on vain 10% mahdollisuus (100%-90%), että viallisten tuotteiden prosenttiosuuden poikkeama kynnyksen yläpuolella johtuu vain satunnaisista syistä.
Siten näytteessä olevien viallisten tuotteiden raja-arvon ylittäminen voi toimia signaalina siitä, että prosessi on häiriintynyt ja alkanut tuottaa b noin suurempi viallisten tuotteiden prosenttiosuus.
Huomautus: Ennen MS EXCEL 2010:tä EXCELissä oli funktio CRITBINOM() , joka vastaa BINOM.INV() . CRITBINOM() jätetään MS EXCEL 2010:een ja uudempiin yhteensopivuuden vuoksi.
Binomiaalisen jakauman suhde muihin jakaumiin
Jos parametri nBinomijakauma taipumus äärettömyyteen ja p yleensä 0, niin tässä tapauksessa Binomijakauma voidaan arvioida. On mahdollista muotoilla ehdot, kun approksimaatio Poisson-jakauma toimii hyvin:
- p(vähemmän p ja enemmän n, sitä tarkempi likiarvo);
- p >0,9 (ottaen huomioon q =1- p, laskelmat on tässä tapauksessa suoritettava käyttämällä q(a X on vaihdettava n - x). Siksi mitä vähemmän q ja enemmän n, sitä tarkempi likiarvo).
Klo 0.110 Binomijakauma voidaan arvioida.
puolestaan Binomijakauma voi toimia hyvänä likiarvona, kun populaation koko on N Hypergeometrinen jakauma paljon suurempi kuin otoskoko n (ts. N>>n tai n/N Voit lukea lisää yllä olevien jakaumien suhteesta artikkelista. Siellä on myös esimerkkejä approksimaatiosta, ja ehdot selitetään, kun se on mahdollista ja millä tarkkuudella.
NEUVOT: Voit lukea muista MS EXCELIN jakeluista artikkelista .
Todennäköisyysteoria on näkymättömästi läsnä elämässämme. Emme kiinnitä siihen huomiota, mutta jokaisella elämämme tapahtumalla on jokin todennäköisyys. Koska mahdollisia skenaarioita on valtava määrä, meidän on välttämätöntä määrittää niistä todennäköisin ja vähiten todennäköisin. Tällaista todennäköisyystietoa on kätevintä analysoida graafisesti. Jakelu voi auttaa meitä tässä. Binomi on yksi helpoimmista ja tarkimmista.
Ennen kuin siirrymme suoraan matematiikkaan ja todennäköisyysteoriaan, selvitetään, kuka keksi ensimmäisenä tämäntyyppisen jakauman ja mikä on tämän käsitteen matemaattisen laitteen kehityksen historia.
Tarina
Todennäköisyyden käsite on tunnettu muinaisista ajoista lähtien. Muinaiset matemaatikot eivät kuitenkaan pitäneet sitä kovinkaan tärkeänä ja pystyivät vain luomaan perustan teorialle, josta myöhemmin tuli todennäköisyysteoria. He loivat joitain kombinatorisia menetelmiä, jotka auttoivat suuresti niitä, jotka myöhemmin loivat ja kehittivät itse teorian.
1700-luvun jälkipuoliskolla alkoi todennäköisyyslaskennan peruskäsitteiden ja menetelmien muodostuminen. Esiteltiin satunnaismuuttujien määritelmiä, yksinkertaisten ja monimutkaisten riippumattomien ja riippuvaisten tapahtumien todennäköisyyden laskentamenetelmiä. Tällainen kiinnostus satunnaismuuttujia ja todennäköisyyksiä kohtaan johtui uhkapelaamisesta: jokainen halusi tietää, mitkä ovat hänen mahdollisuutensa voittaa peli.
Seuraava askel oli matemaattisen analyysin menetelmien soveltaminen todennäköisyysteoriassa. Tunnetut matemaatikot, kuten Laplace, Gauss, Poisson ja Bernoulli, ottivat tämän tehtävän. Juuri he veivät tämän matematiikan alueen uudelle tasolle. James Bernoulli löysi binomiaalisen jakautumislain. Muuten, kuten tulemme myöhemmin selville, tämän löydön perusteella tehtiin useita muita, jotka mahdollistivat normaalijakauman lain ja monet muut.
Nyt, ennen kuin alamme kuvaamaan binomijakaumaa, virkistetään hieman muistissa todennäköisyysteorian käsitteitä, jotka luultavasti unohdettiin jo koulun penkistä.
Todennäköisyysteorian perusteet
Harkitsemme sellaisia järjestelmiä, joiden seurauksena vain kaksi lopputulosta ovat mahdollisia: "menestys" ja "epäonnistuminen". Tämä on helppo ymmärtää esimerkillä: heitämme kolikon arvaten, että hännät putoavat. Kunkin mahdollisen tapahtuman todennäköisyys (hännät - "menestys", pää - "ei menestys") on yhtä suuri kuin 50 prosenttia, kun kolikko on täysin tasapainossa, eikä ole muita tekijöitä, jotka voivat vaikuttaa kokeeseen.
Se oli yksinkertaisin tapahtuma. Mutta on myös monimutkaisia järjestelmiä, joissa suoritetaan peräkkäisiä toimia, ja näiden toimien tulosten todennäköisyys vaihtelee. Tarkastellaan esimerkiksi seuraavaa järjestelmää: laatikossa, jonka sisältöä emme näe, on kuusi täysin identtistä palloa, kolme paria sinistä, punaista ja valkoista. Meidän täytyy saada muutama pallo satunnaisesti. Vastaavasti vetämällä yksi valkoisista palloista ensin ulos, vähennämme useaan kertaan todennäköisyyttä, että seuraavaksi saamme myös valkoisen pallon. Tämä johtuu siitä, että järjestelmän objektien määrä muuttuu.
Seuraavassa osiossa tarkastellaan monimutkaisempia matemaattisia käsitteitä, jotka tuovat meidät lähelle sitä, mitä sanat "normaalijakauma", "binomijakauma" ja vastaavat tarkoittavat.
Matemaattisen tilaston elementtejä
Tilastoissa, joka on yksi todennäköisyysteorian sovellusalueista, on monia esimerkkejä, joissa analysoitavaa dataa ei anneta yksiselitteisesti. Eli ei lukuina, vaan ominaisuuksien mukaan jakamisen muodossa, esimerkiksi sukupuolen mukaan. Jotta matemaattista laitteistoa voidaan soveltaa tällaisiin tietoihin ja tehdä joitain johtopäätöksiä saaduista tuloksista, alkutiedot on muutettava numeeriseen muotoon. Pääsääntöisesti tämän toteuttamiseksi positiiviselle tulokselle annetaan arvo 1 ja negatiiviselle arvoksi 0. Näin saadaan tilastotietoa, joka voidaan analysoida matemaattisilla menetelmillä.
Seuraava askel sen ymmärtämisessä, mikä satunnaismuuttujan binomiaalinen jakauma on, on määrittää satunnaismuuttujan varianssi ja matemaattinen odotus. Puhumme tästä seuraavassa osiossa.
Odotettu arvo
Itse asiassa matemaattisen odotuksen ymmärtäminen ei ole vaikeaa. Harkitse järjestelmää, jossa on monia erilaisia tapahtumia, joilla on omat erilaiset todennäköisyydet. Matemaattista odotusta kutsutaan arvoksi, joka on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien arvojen tulojen summa (matemaattisessa muodossa, josta puhuimme viimeisessä osassa) ja niiden esiintymistodennäköisyys.
Binomijakauman matemaattinen odotus lasketaan saman kaavan mukaan: otetaan satunnaismuuttujan arvo, kerrotaan se positiivisen lopputuloksen todennäköisyydellä ja sitten lasketaan yhteen saadut tiedot kaikille muuttujille. Nämä tiedot on erittäin kätevä esittää graafisesti - näin ero eri arvojen matemaattisten odotusten välillä havaitaan paremmin.
Seuraavassa osiossa kerromme hieman eri käsitteestä - satunnaismuuttujan varianssista. Se liittyy läheisesti myös sellaiseen käsitteeseen kuin binomiaalinen todennäköisyysjakauma, ja on sen ominaisuus.
Binomijakauman varianssi
Tämä arvo liittyy läheisesti edelliseen ja kuvaa myös tilastotietojen jakautumista. Se edustaa arvojen poikkeamien keskimääräistä neliötä niiden matemaattisista odotuksista. Toisin sanoen satunnaismuuttujan varianssi on satunnaismuuttujan arvon ja sen matemaattisen odotuksen välisten neliöityjen erojen summa kerrottuna tämän tapahtuman todennäköisyydellä.
Yleisesti ottaen tämä on kaikki mitä meidän on tiedettävä varianssista ymmärtääksemme, mikä binomiaalinen todennäköisyysjakauma on. Siirrytään nyt pääaiheeseemme. Nimittäin se, mikä piilee sellaisen näennäisen monimutkaisen lauseen "binomiaalinen jakautumislaki" takana.
Binomijakauma
Ymmärrämme ensin, miksi tämä jakauma on binomiaalinen. Se tulee sanasta "binom". Olet ehkä kuullut Newtonin binomilista - kaavasta, jota voidaan käyttää minkä tahansa kahden luvun a ja b summan laajentamiseen mihin tahansa n:n ei-negatiiviseen potenssiin.
Kuten luultavasti jo arvasitkin, Newtonin binomiaalikaava ja binomijakauman kaava ovat lähes samat kaavat. Ainoana poikkeuksena, että toisella on sovellettu arvo tietyille suureille, ja ensimmäinen on vain yleinen matemaattinen työkalu, jonka sovellukset voivat käytännössä olla erilaisia.
Jakaumakaavat
Binomijakaumafunktio voidaan kirjoittaa seuraavien ehtojen summana:
(n!/(n-k)!k!)*p k *q n-k
Tässä n on riippumattomien satunnaisten kokeiden lukumäärä, p on onnistuneiden tulosten lukumäärä, q on epäonnistuneiden tulosten lukumäärä, k on kokeen numero (se voi ottaa arvoja välillä 0 - n),! - kertoimen nimitys, sellainen luvun funktio, jonka arvo on yhtä suuri kuin kaikkien siihen ylöspäin menevien lukujen tulo (esim. luvulle 4: 4!=1*2*3*4= 24).
Lisäksi binomijakaumafunktio voidaan kirjoittaa epätäydellisenä beetafunktiona. Tämä on kuitenkin jo monimutkaisempi määritelmä, jota käytetään vain monimutkaisten tilastoongelmien ratkaisemisessa.
Binomijakauma, jonka esimerkkejä tarkastelimme edellä, on yksi yksinkertaisimmista jakaumien tyypeistä todennäköisyysteoriassa. On myös normaalijakauma, joka on eräänlainen binomijakauma. Se on yleisimmin käytetty ja helpoin laskea. On myös Bernoulli-jakauma, Poisson-jakauma, ehdollinen jakauma. Kaikki ne kuvaavat graafisesti tietyn prosessin todennäköisyysalueita eri olosuhteissa.
Seuraavassa osiossa tarkastelemme näkökohtia, jotka liittyvät tämän matemaattisen laitteen soveltamiseen tosielämässä. Ensi silmäyksellä tietysti näyttää siltä, että tämä on toinen matemaattinen asia, joka, kuten tavallista, ei löydä sovellusta todellisessa elämässä, ja jota ei yleensä tarvitse kukaan muu kuin matemaatikot itse. Näin ei kuitenkaan ole. Loppujen lopuksi kaikentyyppiset jakaumat ja niiden graafiset esitykset luotiin yksinomaan käytännön tarkoituksiin, ei tiedemiesten mielijohteeksi.
Sovellus
Ylivoimaisesti tärkein jakaumien sovelluskohde on tilastoissa, jossa vaaditaan monimutkaista analyysiä useista tiedoista. Kuten käytäntö osoittaa, erittäin monilla datataulukoilla on suunnilleen samat arvojakaumat: erittäin alhaisten ja erittäin korkeiden arvojen kriittiset alueet sisältävät yleensä vähemmän elementtejä kuin keskiarvot.
Suurten tietoryhmien analysointia ei vaadita vain tilastoissa. Se on välttämätön esimerkiksi fysikaalisessa kemiassa. Tässä tieteessä sitä käytetään määrittämään monia suureita, jotka liittyvät atomien ja molekyylien satunnaisiin värähtelyihin ja liikkeisiin.
Seuraavassa osiossa ymmärrämme, kuinka tärkeää on soveltaa tilastollisia käsitteitä, kuten binomi satunnaismuuttujan jakauma jokapäiväisessä elämässä sinulle ja minulle.
Miksi tarvitsen sitä?
Monet ihmiset kysyvät itseltään tämän kysymyksen matematiikasta. Ja muuten, matematiikkaa ei turhaan kutsuta tieteiden kuningattareksi. Se on fysiikan, kemian, biologian, taloustieteen perusta, ja jokaisessa näistä tieteistä käytetään myös jonkinlaista jakaumaa: onko se diskreetti binomijakauma vai normaali, sillä ei ole väliä. Ja jos katsomme lähemmin ympäröivää maailmaa, huomaamme, että matematiikkaa käytetään kaikkialla: jokapäiväisessä elämässä, työssä ja jopa ihmissuhteita voidaan esittää tilastotietojen muodossa ja analysoida (tämä muuten , tekevät ne, jotka työskentelevät erityisissä tiedonkeruuorganisaatioissa).
Puhutaanpa nyt hieman siitä, mitä tehdä, jos sinun on tiedettävä tästä aiheesta paljon enemmän kuin mitä olemme hahmotelleet tässä artikkelissa.
Tässä artikkelissa antamamme tiedot eivät ole läheskään täydellisiä. Jakelun muodossa on monia vivahteita. Kuten olemme jo havainneet, binomijakauma on yksi tärkeimmistä tyypeistä, joihin kaikki matemaattiset tilastot ja todennäköisyysteoriat perustuvat.
Jos kiinnostuit tai työsi yhteydessä sinun on tiedettävä tästä aiheesta paljon enemmän, sinun on opiskellut erikoiskirjallisuutta. Sinun tulisi aloittaa matemaattisen analyysin yliopistokurssilla ja siirtyä siellä todennäköisyysteorian osioon. Myös sarja-alan tietämys on hyödyksi, koska binomiaalinen todennäköisyysjakauma ei ole muuta kuin peräkkäisten termien sarja.
Johtopäätös
Ennen kuin lopetamme artikkelin, haluaisimme kertoa sinulle vielä yhden mielenkiintoisen asian. Se koskee suoraan artikkelimme aihetta ja kaikkea matematiikkaa yleensä.
Monet ihmiset sanovat, että matematiikka on hyödytön tiede, eikä mikään koulussa oppimansa hyödyttänyt heitä. Mutta tieto ei ole koskaan tarpeetonta, ja jos jokin ei ole sinulle hyödyllistä elämässä, se tarkoittaa, että et yksinkertaisesti muista sitä. Jos sinulla on tietoa, he voivat auttaa sinua, mutta jos sinulla ei ole niitä, et voi odottaa heiltä apua.
Joten tarkastelimme binomijakauman käsitettä ja kaikkia siihen liittyviä määritelmiä ja puhuimme siitä, kuinka sitä sovelletaan elämässämme.
Luku 7
Satunnaismuuttujien jakautumisen erityiset lait
Diskreettien satunnaismuuttujien jakautumislakien tyypit
Olkoon diskreetti satunnaismuuttuja arvot X 1 , X 2 , …, x n,…. Näiden arvojen todennäköisyydet voidaan laskea erilaisilla kaavoilla, esimerkiksi käyttämällä todennäköisyysteorian peruslauseita, Bernoullin kaavaa tai jotain muuta kaavaa. Joillekin näistä kaavoista jakautumislailla on oma nimi.
Diskreetin satunnaismuuttujan yleisimmät jakauman lait ovat binomiaalinen, geometrinen, hypergeometrinen ja Poissonin jakauman laki.
Binomijakauman laki
Anna sen tuottaa n riippumattomia kokeita, joissa jokaisessa tapahtuma voi tapahtua tai ei MUTTA. Tämän tapahtuman todennäköisyys jokaisessa yksittäisessä tutkimuksessa on vakio, ei riipu koenumerosta ja on yhtä suuri kuin R=R(MUTTA). Tästä johtuu todennäköisyys, että tapahtumaa ei tapahdu MUTTA jokaisessa testissä on myös vakio ja yhtä suuri kuin q=1–R. Harkitse satunnaismuuttujaa X yhtä suuri kuin tapahtuman esiintymistiheys MUTTA sisään n testejä. On selvää, että tämän määrän arvot ovat yhtä suuria
X 1 = 0 - tapahtuma MUTTA sisään n testit eivät ilmestyneet;
X 2 =1 – tapahtuma MUTTA sisään n kokeet ilmestyivät kerran;
X 3 =2 - tapahtuma MUTTA sisään n kokeet ilmestyivät kahdesti;
…………………………………………………………..
x n +1 = n- tapahtuma MUTTA sisään n testit näyttivät kaiken n kerran.
Näiden arvojen todennäköisyydet voidaan laskea Bernoullin kaavalla (4.1):
missä kohtaan=0, 1, 2, …,n .
Binomijakauman laki X yhtä suuri kuin onnistumisten määrä vuonna n Bernoullin kokeet onnistumisen todennäköisyydellä R.
Eli diskreetillä satunnaismuuttujalla on binomijakauma (tai se jakautuu binomilain mukaan), jos sen mahdolliset arvot ovat 0, 1, 2, …, n, ja vastaavat todennäköisyydet lasketaan kaavalla (7.1).
Binomijakauma riippuu kahdesta parametrit R ja n.
Binomilain mukaan jakautuneen satunnaismuuttujan jakaumasarja on muotoa:
| X | … | k | … | n | ||
| R |  | … | … |  |
Esimerkki 7.1 . Kolme erillistä laukausta ammutaan maaliin. Jokaisen laukauksen osumisen todennäköisyys on 0,4. Satunnainen arvo X- osumien määrä maaliin. Rakenna sen jakelusarja.
Päätös. Satunnaismuuttujan mahdolliset arvot X ovat X 1 =0; X 2 =1; X 3 =2; X 4 = 3. Etsi vastaavat todennäköisyydet Bernoullin kaavan avulla. On helppo osoittaa, että tämän kaavan soveltaminen tässä on täysin perusteltua. Huomaa, että todennäköisyys, että maalia ei osu yhdellä laukauksella, on 1-0,4=0,6. Saada
Jakelusarjalla on seuraava muoto:
| X | ||||
| R | 0,216 | 0,432 | 0,288 | 0,064 |
On helppo tarkistaa, että kaikkien todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin 1. Itse satunnaismuuttuja X jaetaan binomiaalilain mukaan. ■
Etsitään binomilain mukaan jakautuneen satunnaismuuttujan matemaattinen odotus ja varianssi.
Esimerkkiä 6.5 ratkaistaessa osoitettiin, että matemaattinen odotus tapahtuman esiintymismäärästä MUTTA sisään n riippumattomat testit, jos esiintymistodennäköisyys MUTTA jokaisessa testissä on vakio ja yhtä suuri R, on yhtä suuri n· R
Tässä esimerkissä käytettiin satunnaismuuttujaa, joka jakautuu binomilain mukaan. Siksi esimerkin 6.5 ratkaisu on itse asiassa todiste seuraavasta lauseesta.
Lause 7.1. Binomilain mukaan jakautuneen diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin kokeiden lukumäärän ja "onnistumisen" todennäköisyyden tulo, ts. M(X)=n· R.
Lause 7.2. Binomilain mukaan jakautuneen diskreetin satunnaismuuttujan varianssi on yhtä suuri kuin kokeiden lukumäärän tulo "onnistumisen" todennäköisyydellä ja "epäonnistumisen" todennäköisyydellä, ts. D(X)=npq.
Binomilain mukaan jakautuneen satunnaismuuttujan vinous ja kurtoosi määräytyvät kaavoilla
Nämä kaavat voidaan saada käyttämällä alku- ja keskimomenttien käsitettä.
Binomijakauman laki on monien todellisten tilanteiden taustalla. Suurille arvoille n binomijakauma voidaan approksimoida käyttämällä muita jakaumia, erityisesti käyttämällä Poisson-jakaumaa.
Poisson-jakauma
Anna olla n Bernoulli-kokeet ja kokeiden lukumäärä n riittävän suuri. Aikaisemmin on osoitettu, että tässä tapauksessa (jos lisäksi todennäköisyys R Tapahtumat MUTTA hyvin pieni) löytääksesi tapahtuman todennäköisyyden MUTTA ilmestyä t kerran testeissä voit käyttää Poissonin kaavaa (4.9). Jos satunnaismuuttuja X tarkoittaa tapahtuman esiintymisten määrää MUTTA sisään n Bernoullin kokeet, sitten todennäköisyys X saa merkityksen k voidaan laskea kaavalla
, (7.2)
missä λ = nro.
Poissonin leviämislaki kutsutaan diskreetin satunnaismuuttujan jakaumaksi X, joiden mahdolliset arvot ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, ja todennäköisyydet p t nämä arvot saadaan kaavalla (7.2).
Arvo λ = nro nimeltään parametri Poisson-jakauma.
Poissonin lain mukaan jakautuva satunnaismuuttuja voi saada äärettömän määrän arvoja. Koska tämän jakauman todennäköisyys R Tapahtuman esiintyminen kussakin kokeessa on pieni, niin tätä jakaumaa kutsutaan joskus harvinaisten ilmiöiden laiksi.
Poissonin lain mukaan jakautuneen satunnaismuuttujan jakaumasarjalla on muoto
| X | … | t | … | ||||
| R | … | … |
On helppo varmistaa, että toisen rivin todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin 1. Tätä varten meidän on muistettava, että funktiota voidaan laajentaa Maclaurin-sarjassa, joka konvergoi mille tahansa X. Tässä tapauksessa meillä on
. (7.3)
Kuten todettiin, Poissonin laki tietyissä rajoittavissa tapauksissa korvaa binomiaalin. Esimerkkinä on satunnaismuuttuja X, joiden arvot ovat yhtä suuria kuin vikojen lukumäärä tietyn ajanjakson aikana, kun teknistä laitetta käytetään toistuvasti. Tämän laitteen oletetaan olevan erittäin luotettava, ts. epäonnistumisen todennäköisyys yhdessä sovelluksessa on hyvin pieni.
Tällaisten rajoittavien tapausten lisäksi käytännössä on olemassa Poissonin lain mukaan jakautuneita satunnaismuuttujia, jotka eivät liity binomijakaumaan. Esimerkiksi Poisson-jakaumaa käytetään usein käsiteltäessä tiettynä ajanjaksona tapahtuvien tapahtumien määrää (puheluiden määrä puhelinkeskukseen tunnin aikana, autopesulaan saapuneiden autojen määrä päivän aikana, koneen pysäytysten lukumäärä viikossa jne.). Kaikkien näiden tapahtumien tulee muodostaa niin kutsuttu tapahtumavirta, joka on yksi jonoteorian peruskäsitteitä. Parametri λ kuvaa tapahtumien kulun keskimääräistä intensiteettiä.
Esimerkki 7.2 . Tiedekunnassa on 500 opiskelijaa. Millä todennäköisyydellä syyskuun 1. päivä on kolmen tämän tiedekunnan opiskelijan syntymäpäivä?
Päätös . Koska opiskelijamäärä n= 500 on tarpeeksi suuri ja R– kenen tahansa opiskelijan todennäköisyys syntyä syyskuun ensimmäisenä päivänä on ts. tarpeeksi pieni, voimme olettaa, että satunnaismuuttuja X– Syyskuun ensimmäisenä päivänä syntyneiden opiskelijoiden määrä jaetaan Poissonin lain mukaan parametrilla λ = np= =1,36986. Sitten saadaan kaavan (7.2) mukaan
Lause 7.3. Olkoon satunnaismuuttuja X Poissonin lain mukaan. Silloin sen matemaattinen odotus ja varianssi ovat samat keskenään ja yhtä suuret kuin parametrin arvo λ , eli M(X) = D(X) = λ = np.
Todiste. Matemaattisen odotuksen määritelmällä saadaan kaavaa (7.3) ja Poissonin lain mukaan jakautuneen satunnaismuuttujan jakautumasarjaa käyttäen
Ennen varianssin löytämistä etsitään ensin tarkastellun satunnaismuuttujan neliön matemaattinen odotus. Saamme
Tästä syystä dispersion määritelmällä saamme
Lause on todistettu.
Alku- ja keskimomentin käsitteitä soveltamalla voidaan osoittaa, että Poissonin lain mukaan jakautuneelle satunnaismuuttujalle vino- ja kurtoosikertoimet määritetään kaavoilla
Se on helppo ymmärtää, koska parametrin semanttinen sisältö λ = np on positiivinen, silloin Poissonin lain mukaan jakautuneella satunnaismuuttujalla on aina positiivinen sekä vinous että kurtoosi.
Kaikkia ilmiöitä ei mitata kvantitatiivisella asteikolla, kuten 1, 2, 3 ... 100500 ... Ei aina ilmiö voi saada ääretöntä tai suurta määrää eri tiloja. Esimerkiksi henkilön sukupuoli voi olla joko M tai F. Ampuja joko osuu maaliin tai ohittaa. Voit äänestää puolesta tai vastaan jne. jne. Toisin sanoen tällaiset tiedot heijastavat vaihtoehtoisen attribuutin tilaa - joko "kyllä" (tapahtuma on tapahtunut) tai "ei" (tapahtumaa ei ole tapahtunut). Tulevaa tapahtumaa (positiivista lopputulosta) kutsutaan myös "menestykseksi".
Kokeita tällaisilla tiedoilla kutsutaan Bernoullin kaava, kunniaksi kuuluisalle sveitsiläiselle matemaatikolle, joka havaitsi, että suurella määrällä tutkimuksia positiivisten tulosten suhde kokeiden kokonaismäärään vaikuttaa tämän tapahtuman todennäköisyyteen.
Vaihtoehtoinen ominaisuusmuuttuja
Jotta analyysissä voidaan käyttää matemaattista laitteistoa, tällaisten havaintojen tulokset tulee kirjoittaa numeeriseen muotoon. Tätä varten positiiviselle tulokselle annetaan numero 1, negatiiviselle - 0. Toisin sanoen kyseessä on muuttuja, joka voi ottaa vain kaksi arvoa: 0 tai 1.
Mitä hyötyä tästä voi saada? Itse asiassa ei vähempää kuin tavallisista tiedoista. Positiivisten tulosten lukumäärä on siis helppo laskea - riittää, kun kaikki arvot lasketaan yhteen, ts. kaikki 1 (onnistui). Voit mennä pidemmälle, mutta tätä varten sinun on esitettävä pari merkintää.
Ensimmäinen huomioitava asia on, että positiivisilla tuloksilla (jotka ovat yhtä suuri kuin 1) on jonkin verran todennäköisyyttä. Esimerkiksi päiden saaminen kolikonheittoon on ½ tai 0,5. Tämä todennäköisyys on perinteisesti merkitty latinalaisella kirjaimella p. Siksi vaihtoehtoisen tapahtuman todennäköisyys on 1-p, joka on myös merkitty q, eli q = 1 – s. Nämä merkinnät voidaan visuaalisesti systematisoida muuttuvan jakelulevyn muodossa X.
Saimme luettelon mahdollisista arvoista ja niiden todennäköisyyksistä. voidaan laskea odotettu arvo ja dispersio. Odotus on kaikkien mahdollisten arvojen tulojen ja niitä vastaavien todennäköisyyksien summa:
Lasketaan odotusarvo käyttämällä yllä olevien taulukoiden merkintää.
Osoittautuu, että vaihtoehtoisen merkin matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin tämän tapahtuman todennäköisyys - p.
Nyt määritellään mikä on vaihtoehtoisen ominaisuuden varianssi. Dispersio on matemaattisesta odotuksesta poikkeamien keskimääräinen neliö. Yleinen kaava (erillisille tiedoille) on:
Tästä syystä vaihtoehtoisen ominaisuuden varianssi:
On helppo nähdä, että tällä dispersiolla on maksimi 0,25 (at p=0,5).
Keskihajonta - varianssin juuri:
Maksimiarvo ei ylitä 0,5.
Kuten näet, sekä matemaattisella odotuksella että vaihtoehtoisen merkin varianssilla on erittäin kompakti muoto.
Satunnaismuuttujan binomiaalinen jakauma
Katsotaanpa tilannetta eri näkökulmasta. Todellakin, ketä kiinnostaa, että keskimääräinen päiden menetys yhdellä heitolla on 0,5? Sitä on jopa mahdotonta kuvitella. On mielenkiintoisempaa esittää kysymys päiden määrästä, jotka tulevat tietylle määrälle heittoja.
Toisin sanoen tutkijaa kiinnostaa usein tiettyjen onnistuneiden tapahtumien todennäköisyys. Tämä voi olla viallisten tuotteiden lukumäärä tarkastettavassa erässä (1 - viallinen, 0 - hyvä) tai palautusten lukumäärä (1 - terve, 0 - sairas) jne. Tällaisten "onnistumisten" määrä on yhtä suuri kuin muuttujan kaikkien arvojen summa X, eli yksittäisten tulosten määrä.
Satunnainen arvo B kutsutaan binomiaaliksi ja se ottaa arvot 0:sta n(at B= 0 - kaikki osat ovat hyviä B = n- kaikki osat ovat viallisia). Oletetaan, että kaikki arvot x toisistaan riippumattomia. Tarkastellaan binomiaalimuuttujan pääominaisuuksia, eli määritetään sen matemaattinen odotus, varianssi ja jakauma.
Binomiaalisen muuttujan odotus on erittäin helppo saada. Arvojen summan matemaattinen odotus on kunkin lisäarvon matemaattisten odotusten summa, ja se on kaikille sama, siksi:
Esimerkiksi 100 heiton päiden lukumäärän odotus on 100 × 0,5 = 50.
Nyt johdetaan kaava binomiaalimuuttujan varianssille. Riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi on varianssien summa. Täältä
Keskihajonta, vastaavasti
100 kolikonheiton kohdalla päiden lukumäärän keskihajonta on
Ja lopuksi harkitse binomimäärän jakautumista, ts. todennäköisyys, että satunnaismuuttuja B ottaa eri arvoja k, missä 0≤k≤n. Kolikon kohdalla tämä ongelma saattaa kuulostaa tältä: mikä on todennäköisyys saada 40 päätä 100 heitolla?
Laskentamenetelmän ymmärtämiseksi kuvitellaan, että kolikkoa heitetään vain 4 kertaa. Kumpi tahansa puoli voi pudota joka kerta. Kysymme itseltämme: mikä on todennäköisyys saada 2 päätä neljästä heitosta. Jokainen heitto on riippumaton toisistaan. Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa yhdistelmän saamisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin kunkin yksittäisen heiton tietyn tuloksen todennäköisyyksien tulo. Olkoon O päitä ja P häntää. Silloin esimerkiksi yksi meille sopivista yhdistelmistä voi näyttää OOPP:lta, eli:
Tällaisen yhdistelmän todennäköisyys on yhtä suuri kuin kahden todennäköisyyden tulo, että päät nousevat ja kaksi muuta todennäköisyyttä, että päät eivät nouse (käänteinen tapahtuma, joka lasketaan 1-p), eli 0,5 × 0,5 × (1 - 0,5) × (1 - 0,5) = 0,0625. Tämä on jonkin meille sopivan yhdistelmän todennäköisyys. Mutta kysymys koski kotkien kokonaismäärää, ei mistään tietystä järjestyksestä. Sitten sinun on lisättävä kaikkien sellaisten yhdistelmien todennäköisyydet, joissa on täsmälleen 2 kotkaa. On selvää, että ne ovat kaikki samoja (tuote ei muutu muuttuvien tekijöiden paikasta). Siksi sinun on laskettava niiden lukumäärä ja kerrottava sitten minkä tahansa tällaisen yhdistelmän todennäköisyydellä. Lasketaan kaikki 2 kotkan neljän heiton yhdistelmät: RROO, RORO, ROOR, ORRO, OROR, OORR. Vain 6 vaihtoehtoa.
Siksi haluttu todennäköisyys saada 2 päätä 4 heiton jälkeen on 6×0,0625=0,375.
Laskeminen tällä tavalla on kuitenkin työlästä. Jo 10 kolikon kohdalla vaihtoehtojen kokonaismäärä on erittäin vaikea saada raa'alla voimalla. Siksi älykkäät ihmiset keksivät kauan sitten kaavan, jonka avulla he laskevat erilaisten yhdistelmien lukumäärän n elementtejä k, missä n on elementtien kokonaismäärä, k on niiden elementtien lukumäärä, joiden järjestelyvaihtoehdot lasketaan. Yhdistelmäkaava n elementtejä k On:
Samanlaisia asioita tapahtuu kombinatoriikkaosiossa. Lähetän sinne kaikki, jotka haluavat parantaa osaamistaan. Tästä muuten binomijakauman nimi (yllä oleva kaava on Newtonin binomiaalin laajennuskerroin).
Todennäköisyyden määrityskaava voidaan helposti yleistää mihin tahansa numeroon n ja k. Tämän seurauksena binomijakaumakaavalla on seuraava muoto.
Kerro yhteensopivien yhdistelmien määrä yhden niistä todennäköisyydellä.
Käytännön käyttöä varten riittää, kun tietää binomijakauman kaavan. Etkä ehkä edes tiedä - alla on kuinka määrittää todennäköisyys Excelin avulla. Mutta parempi tietää.
Lasketaan tämän kaavan avulla todennäköisyys saada 40 päätä 100 heitolla:
Tai vain 1,08 prosenttia. Vertailun vuoksi tämän kokeen matemaattisen odotuksen, eli 50 pään, todennäköisyys on 7,96%. Binomiarvon maksimitodennäköisyys kuuluu matemaattista odotusta vastaavaan arvoon.
Binomijakauman todennäköisyyksien laskeminen Excelissä
Jos käytät vain paperia ja laskinta, binomijakaumakaavaa käyttävät laskelmat ovat integraalien puuttumisesta huolimatta melko vaikeita. Esimerkiksi arvo 100! - sisältää yli 150 merkkiä. Aiemmin ja nytkin tällaisten määrien laskemiseen käytettiin likimääräisiä kaavoja. Tällä hetkellä on suositeltavaa käyttää erityisiä ohjelmistoja, kuten MS Excel. Siten kuka tahansa käyttäjä (jopa koulutukseltaan humanisti) voi helposti laskea binomijakauman satunnaismuuttujan arvon todennäköisyyden.
Aineiston yhdistämiseksi käytämme Exceliä toistaiseksi tavallisena laskimena, ts. Tehdään vaiheittainen laskenta binomijakauman kaavalla. Lasketaan esimerkiksi todennäköisyys saada 50 päätä. Alla on kuva laskennan vaiheista ja lopputuloksesta.
Kuten näette, välituloksilla on sellainen mittakaava, että ne eivät mahdu soluun, vaikka yksinkertaisia tyypin funktioita käytetään kaikkialla: FACTOR (faktoriaalinen laskenta), TEHO (luvun nostaminen potenssiin) sekä kerto- ja jakooperaattorit. Lisäksi tämä laskenta on melko hankala, joka tapauksessa se ei ole kompakti, koska monet solut mukana. Ja kyllä, sitä on vaikea selvittää.
Yleensä Excel tarjoaa valmiin funktion binomijakauman todennäköisyyksien laskemiseen. Funktiota kutsutaan BINOM.JAKAUMA.
Onnistumisten määrä on onnistuneiden kokeiden määrä. Meillä on niitä 50.
Kokeiden määrä - heittojen määrä: 100 kertaa.
Onnistumisen todennäköisyys – todennäköisyys saada päät yhdellä heitolla on 0,5.
Integraali - ilmoitetaan joko 1 tai 0. Jos 0, niin todennäköisyys lasketaan P(B=k); jos 1, niin lasketaan binomijakaumafunktio, ts. kaikkien todennäköisyyksien summa alkaen B = 0 ennen B=k mukaan lukien.
Painamme OK ja saamme saman tuloksen kuin yllä, vain kaikki laskettiin yhdellä funktiolla.
Erittäin mukavasti. Kokeilun vuoksi laitamme viimeisen parametrin 0 sijasta 1:n. Saamme 0,5398. Tämä tarkoittaa, että 100 kolikonheitolla todennäköisyys saada päät välillä 0-50 on lähes 54%. Ja aluksi tuntui, että sen pitäisi olla 50%. Yleensä laskelmat tehdään helposti ja nopeasti.
Todellisen analyytikon on ymmärrettävä, miten funktio käyttäytyy (mikä on sen jakautuminen), joten lasketaan todennäköisyydet kaikille arvoille välillä 0-100. Eli kysytään itseltämme: millä todennäköisyydellä yksikään kotka ei putoa ulos , että 1 kotka putoaa, 2, 3 , 50, 90 tai 100. Laskelma näkyy seuraavassa kuvassa. Sininen viiva on itse binomijakauma, punainen piste on todennäköisyys tietylle onnistumismäärälle k.
Voidaan kysyä, eikö binomijakauma ole samanlainen kuin... Kyllä, hyvin samanlainen. Jopa De Moivre (vuonna 1733) sanoi, että suurilla näytteillä binomijakauma lähestyy (en tiedä miksi sitä silloin kutsuttiin), mutta kukaan ei kuunnellut häntä. Vain Gauss ja sitten Laplace, 60-70 vuotta myöhemmin, löysivät uudelleen ja tutkivat huolellisesti normaalijakauman lain. Yllä oleva kaavio osoittaa selvästi, että maksimitodennäköisyys putoaa matemaattiseen odotukseen, ja kun se poikkeaa siitä, se pienenee jyrkästi. Ihan kuten normaali laki.
Binomijakaumalla on suuri käytännön merkitys, sitä esiintyy melko usein. Excelin avulla laskelmat suoritetaan helposti ja nopeasti.
