Suora ja käänteinen kosinimuunnos. Fourier-muunnos Fourier-integraalikompleksin integraalimuoto Fourier-muunnoksen kosini- ja sinimuunnoksen amplitudin ja vaihespektrin sovellusominaisuudet

I. Fourier-muunnokset.

Määritelmä 1. Toiminto

nimeltään Fourier-muunnos toiminnot.

Integraali ymmärretään tässä pääarvon merkityksessä

ja sen uskotaan olevan olemassa.

If on ehdottomasti integroitavissa oleva funktio ℝ:ssä, niin, koska for , Fourier-muunnos (1) on järkevä mille tahansa tällaiselle funktiolle, ja integraali (1) konvergoi absoluuttisesti ja tasaisesti koko rivin ℝ suhteen.

Määritelmä 2. Jos on funktion Fourier-muunnos
, sitten siihen liittyvä integraali

Ymmärretään päämerkityksen merkityksessä, kutsutaan Funktion Fourier-integraali .

Esimerkki 1 Etsi funktion Fourier-muunnos

Annettu toiminto on täysin integroitavissa sovellukseen, todellakin,

Määritelmä 3. Ymmärretään integraalien pääarvon merkityksessä

Nimetty sen mukaan kosini- ja sini-Fourier-muunnosfunktiot .

Olettaen , , , saamme osittain meille jo Fourier-sarjasta tutun suhteen

Kuten suhteista (3), (4),

Kaavat (5), (6) osoittavat, että Fourier-muunnokset ovat täysin määriteltyjä koko rivillä, jos ne tunnetaan vain argumentin ei-negatiivisille arvoille.

Esimerkki 2 Etsi funktion kosini - ja sini - Fourier-muunnos

Kuten esimerkissä 1 näkyy, annettu funktio on täysin integroitavissa .

Etsitään sen kosini - Fourier-muunnos kaavan (3) mukaan:

Vastaavasti funktion sini-Fourier-muunnos ei ole vaikea löytää f(x) kaavalla (4):

Käyttämällä esimerkkejä 1 ja 2 on helppo varmistaa korvaamalla se suoraan f(x) suhde (5) täyttyy.

Jos funktio on reaaliarvoinen, kaavat (5), (6) viittaavat tässä tapauksessa

Koska tässä tapauksessa ja ovat todellisia funktioita R:llä, mikä käy ilmi niiden määritelmistä (3), (4). Kuitenkin tasa-arvo (7) ehdolla saadaan myös suoraan Fourier-muunnoksen määritelmästä (1), jos otetaan huomioon, että konjugaatiomerkki voidaan sijoittaa integraalimerkin alle. Viimeinen havainto antaa meille mahdollisuuden päätellä, että mikä tahansa funktio täyttää tasa-arvon

On myös hyödyllistä huomata, että if on todellinen ja parillinen funktio, ts. , sitten

if on todellinen ja pariton funktio, ts. , sitten

Ja jos on puhtaasti kuvitteellinen funktio, ts. . , sitten

Huomaa, että jos on reaaliarvoinen funktio, niin Fourier-integraali voidaan kirjoittaa myös muotoon

Missä

Esimerkki 3
(olettaen )

koska tiedämme Dirichlet-integraalin arvon

Esimerkissä tarkasteltu funktio ei ole täysin integroitavissa ja sen Fourier-muunnoksessa on epäjatkuvuuksia. Se, että ehdottoman integroitavien funktioiden Fourier-muunnoksella ei ole epäjatkuvuuksia, osoittaa seuraava

Lemma 1. Jos toiminto paikallisesti integroitavissa ja täysin integroitavissa , sitten

a) sen Fourier-muunnos määritelty mille tahansa arvolle

Muista, että jos on reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, joka on määritelty avoimessa joukossa, sitten funktio nimeltään paikallisesti integroitavissa, jos mitään piste on naapurusto, johon toiminto on integroitavissa. Erityisesti jos , funktion paikallisen integroitavuuden ehto on ilmeisesti sama kuin se mille tahansa segmentille.

Esimerkki 4 Etsi funktion Fourier-muunnos :

Erottelemalla viimeisen integraalin parametrin suhteen ja integroimalla sitten osien mukaan, huomaamme sen

tai

tarkoittaa, , jossa on vakio, jonka Euler-Poisson-integraalia käyttämällä löydämme relaatiosta

Joten, löysimme sen ja samalla osoitimme, että ja .

Määritelmä 4. He sanovat, että toiminto , määritelty pisteen puhkaisemalla alueella , täyttää Dini - ehdot pisteessä , jos

a) pisteessä on molemmat yksipuoliset rajat

b) molemmat integraalit

samaa mieltä ehdottomasti.

Integraalin absoluuttinen konvergenssi tarkoittaa integraalin absoluuttista konvergenssia ainakin jollekin arvolle .

Riittävät ehdot funktion edustavuudelle Fourier-integraalilla.

Lause 1.Jos se on täysin integroitavissa ja paikallisesti paloittain jatkuva toiminto tyydyttää siinä kohtaa Dini-ehtoja, sitten sen Fourier-integraali konvergoi tässä vaiheessa ja arvoon

yhtä suuri kuin puolet funktioarvojen vasemman ja oikean rajojen summasta tässä vaiheessa.

Seuraus 1.Jos toiminto jatkuva, on joka pisteessä äärelliset yksipuoliset derivaatat ja täysin integroitavissa , niin se näkyy muodossa Fourier-integraalinsa kanssa

missä Funktion Fourier-muunnos .

Funktion esitys Fourier-integraalilla voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Kommentti. Lauseen 1 ja johtopäätöksen 1 funktion ehdot ovat riittävät, mutta eivät välttämättömät tällaisen esityksen mahdollisuudelle.

Esimerkki 5 Esitä funktio Fourier-integraalina if

Tämä funktio on pariton ja jatkuva kohdassa ℝ, lukuun ottamatta pisteitä , , .

Toiminnan omituisuudesta ja todellisuudesta johtuen meillä on:

ja yhtälöistä (5) ja (10) seuraa, että

Toiminnan jatkuvuuden kohdissa meillä on:

Mutta toiminto on outo, joten

koska integraali lasketaan pääarvon merkityksessä.

Toiminto on tasainen, joten

jos,. , tasa-arvo

Olettaen, täältä löydämme

Jos laitamme viimeisen lausekkeen , niin

Olettaen täällä, löydämme

Jos reaaliarvoinen funktio on paloittain jatkuva millä tahansa reaalisuoran segmentillä, absoluuttisesti integroitavissa ja jokaisessa pisteessä on äärelliset yksipuoliset derivaatat, niin funktion jatkuvuuspisteissä se esitetään Fourier-integraalina.

ja funktion epäjatkuvuuspisteissä yhtälön (1) vasen puoli tulisi korvata merkillä

Jos jatkuvalla absoluuttisesti integroitavalla funktiolla jokaisessa pisteessä on äärelliset yksipuoliset derivaatat kussakin pisteessä, niin siinä tapauksessa, että tämä funktio on parillinen, yhtälö

ja jos on pariton funktio, yhtäläisyys

Esimerkki 5'. Esitä funktio Fourier-integraalina, jos:

Koska on jatkuva parillinen funktio, niin meillä on kaavoilla (13.2), (13.2').

Merkitsemme symbolilla integraalia, joka ymmärretään pääarvon merkityksessä

Seuraus 2.Kaikille toiminnoille joka täyttää seurauksen 1 ehdot, kaikki muunnokset ovat olemassa , , , ja tasa-arvoa on

Nämä suhteet mielessään transformaatiota (14) kutsutaan usein käänteinen Fourier-muunnos ja sen sijaan kirjoita , ja yhtäläisyyksiä (15) itseään kutsutaan Fourier-muunnoksen inversiokaava.

Esimerkki 6 Anna ja

Huomaa, että jos , sitten mille tahansa toiminnolle

Otetaan nyt funktio. Sitten

Jos otamme funktion, joka on funktion pariton jatko , koko numeerisella akselilla

Lauseen 1 avulla saamme sen

Kaikki integraalit tässä ymmärretään pääarvon merkityksessä,

Erottelemalla reaali- ja imaginaariosat kahdessa viimeisessä integraalissa, löydämme Laplacen integraalit

Määritelmä . Toiminto

kutsutaan normalisoiduksi Fourier-muunnokseksi.

Määritelmä . Jos on funktion normalisoitu Fourier-muunnos, niin siihen liittyvä integraali

Kutsumme funktion normalisoitua Fourier-integraalia.

Tarkastellaan normalisoitua Fourier-muunnosta (16).

Mukavuuden vuoksi otamme käyttöön seuraavan merkinnän:

(nuo. ).

Edelliseen merkintään verrattuna tämä on vain renormalisointi: Näin ollen erityisesti suhteet (15) antavat meille mahdollisuuden päätellä, että

tai lyhyemmällä merkinnällä

Määritelmä 5. Operaattoria kutsutaan normalisoiduksi Fourier-muunnokseksi ja operaattoria käänteisnormalisoiduksi Fourier-muunnokseksi.

Lemmassa 1 havaitsimme, että minkä tahansa funktion täysin integroitavan funktion Fourier-muunnos pyrkii nollaan äärettömyyteen. Seuraavat kaksi lausetta väittävät, että Fourier-kertoimien tapaan Fourier-muunnos pyrkii nollaamaan sitä nopeammin, mitä tasaisempi funktio, josta se on otettu (ensimmäisessä lauseessa); Tämän kanssa käänteinen tosiasia on, että mitä nopeammin funktio, josta Fourier-muunnos otetaan, pyrkii nollaan, sitä tasaisempi sen Fourier-muunnos (toinen lause).

Lausunto 1(funktion tasaisuuden ja sen Fourier-muunnoksen laskunopeuden välisestä yhteydestä). Jos ja kaikki ominaisuudet täysin integroitavissa , sitten:

a) mille tahansa

Lausuma 2(funktion vaimenemisnopeuden ja sen Fourier-muunnoksen tasaisuuden välisestä suhteesta). Jos paikallisesti integroitava toiminto : on sellainen, että toiminto täysin integroitavissa a, sitten:

a) Funktion Fourier-muunnos kuuluu luokkaan

b) on epätasa-arvoa

Esittelemme Fourier-muunnoksen tärkeimmät laitteisto-ominaisuudet.

Lemma 2. Olkoon Fourier-muunnos funktioille ja (vastaavasti käänteinen Fourier-muunnos), sitten riippumatta numeroista ja , on Fourier-muunnos (vastaavasti käänteinen Fourier-muunnos) ja funktiolle , ja

(vastaavasti).

Tätä ominaisuutta kutsutaan Fourier-muunnoksen lineaariseksi (vastaavasti käänteiseksi Fourier-muunnokseksi).

Seuraus. .

Lemma 3. Fourier-muunnos, samoin kuin käänteismuunnos, on yksi-yhteen-muunnos jatkuvien täysin integroitavien funktioiden joukossa koko akselilla, jossa on yksipuoliset derivaatat jokaisessa pisteessä.

Tämä tarkoittaa, että if ja ovat kaksi määritetyn tyypin funktiota ja if (vastaavasti jos ), sitten koko akselilla.

Lemman 1 väitteestä saamme seuraavan lemman.

Lemma 4. Jos täysin integroitavien funktioiden sarja ja täysin integroitavissa oleva funktio ovat sellaisia

silloin sekvenssi tasaisesti koko akselilla konvergoi funktioon .

Tutkitaan nyt kahden funktion konvoluutioiden Fourier-muunnosta. Mukavuuden vuoksi muokkaamme konvoluution määritelmää lisäämällä lisätekijän

Lause 2. Olkoon funktiot ja siis rajattuja, jatkuvia ja ehdottoman integroitavia reaaliakselilla

nuo. kahden funktion konvoluution Fourier-muunnos on yhtä suuri kuin näiden funktioiden Fourier-muunnosten tulos.

Tehdään yhteenvetotaulukko nro 1 normalisoidun Fourier-muunnoksen ominaisuuksista, joka on hyödyllinen alla olevien ongelmien ratkaisemisessa.

Pöytä 1

Toiminto	Normalisoitu Fourier-muunnos

Käyttämällä ominaisuuksia 1-4 ja 6 saamme

Esimerkki 7 Etsi funktion normalisoitu Fourier-muunnos

Esimerkki 4 osoitti sen

ikään kuin

Omaisuuden 3 mukaan meillä on:

Vastaavasti voit kääntää taulukon nro 2 normalisoidulle käänteiselle Fourier-muunnokselle:

Taulukko numero 2

Toiminto	Normalisoitu käänteinen Fourier-muunnos

Kuten ennenkin, käyttämällä ominaisuuksia 1-4 ja 6 saamme sen

Esimerkki 8 Etsi funktion normalisoitu käänteinen Fourier-muunnos

Kuten esimerkistä 6

Kun meillä on:

Edustaa funktiota muodossa

käytä ominaisuutta 6, kun

Vaihtoehdot selvitys- ja graafisen työn tehtäviin

1. Etsi funktion sini - Fourier -muunnos

2. Etsi funktion sini - Fourier -muunnos

3. Etsi kosini - funktion Fourier-muunnos

4. Etsi kosini - funktion Fourier-muunnos

5. Etsi funktion sini - Fourier -muunnos

6.Etsi kosini - funktion Fourier-muunnos

7. Etsi funktion sini - Fourier -muunnos

8. Etsi kosini - funktion Fourier-muunnos

9. Etsi kosini - funktion Fourier-muunnos

10. Etsi funktion sini - Fourier -muunnos

11. Etsi funktion sini - Fourier -muunnos

12. Etsi sini -funktiomuunnos

13. Etsi sini -funktiomuunnos

14. Etsi kosini - funktiomuunnos

15. Etsi kosini - funktiomuunnos

16. Etsi funktion Fourier-muunnos, jos:

17. Etsi funktion Fourier-muunnos, jos:

18. Etsi funktion Fourier-muunnos, jos:

19. Etsi funktion Fourier-muunnos, jos:

20. Etsi funktion Fourier-muunnos, jos:

21. Etsi funktion Fourier-muunnos, jos:

22. Etsi funktion normalisoitu käänteinen Fourier-muunnos

käyttämällä kaavaa

24. Etsi funktion normalisoitu käänteinen Fourier-muunnos

käyttämällä kaavaa

26. Etsi funktion normalisoitu käänteinen Fourier-muunnos

käyttämällä kaavaa

28. Etsi funktion normalisoitu käänteinen Fourier-muunnos

käyttämällä kaavaa

30. Etsi funktion normalisoitu käänteinen Fourier-muunnos

käyttämällä kaavaa

23. Etsi funktion normalisoitu käänteinen Fourier-muunnos

käyttämällä kaavaa

25. Etsi funktion normalisoitu käänteinen Fourier-muunnos

käyttämällä kaavaa

27. Etsi funktion normalisoitu käänteinen Fourier-muunnos

käyttämällä kaavaa

29. Etsi funktion normalisoitu käänteinen Fourier-muunnos

käyttämällä kaavaa

31. Etsi funktion normalisoitu käänteinen Fourier-muunnos

käyttämällä kaavaa

32. Esitä funktio Fourier-integraalina

33. Esitä funktio Fourier-integraalina

34. Esitä funktio Fourier-integraalina

35. Esitä funktio Fourier-integraalina

36. Esitä funktio Fourier-integraalina

37. Esitä funktio Fourier-integraalina

38. Esitä funktio Fourier-integraalina

39. Esitä funktio Fourier-integraalina

40. Esitä funktio Fourier-integraalina

41. Esitä funktio Fourier-integraalina

42. Esitä funktio Fourier-integraalina

43. Esitä funktio Fourier-integraalina, laajentaen sitä parittomalla tavalla intervalliin, jos:

44. Esitä funktio Fourier-integraalina, jatkaen sitä parittomalla tavalla väliin if.

Yksi tehokkaista työkaluista matemaattisen fysiikan ongelmien tutkimiseen on integraalimuunnosmenetelmä. Olkoon funktio f(x) määritelty välille (a, 6), äärellinen tai ääretön. Funktion f(x) integraalimuunnos on funktio, jossa K(x, w) on tietylle muunnokselle kiinteä funktio, jota kutsutaan muunnosytimeksi (oletetaan, että integraali (*) on olemassa oikeassa tai väärässä merkityksessä ). §yksi. Fourier-integraali Mikä tahansa funktio f(x), joka segmentillä [-f, I] täyttää Fourier-sarjaksi laajentamisen ehdot, voidaan esittää tällä segmentillä trigonometrisellä sarjalla. Sarjan (1) kertoimet a* ja 6n ) määritetään Euler-Fourier-kaavalla : Fourier-muunnos Fourier-integraali Kompleksinen integraalimuoto Fourier-muunnos Kosini- ja sinimuunnokset Amplitudi- ja vaihespektrit Sovellusominaisuudet Yhtälön (1) oikealla puolella olevat sarjat voidaan kirjoittaa eri muodossa. Tätä tarkoitusta varten lisäämme siihen kaavoista (2) kertoimien a» ja op arvot, vähennämme integraalien cos ^ x ja sin x etumerkeillä (mikä on mahdollista, koska integrointimuuttuja on m) O) ja käytä erotuksen kosinin kaavaa. Meillä on Jos funktio /(x) määriteltiin alun perin numeerisen akselin välille, joka on suurempi kuin väli [-1,1] (esimerkiksi koko akselilla), niin laajennus (3) toistaa arvot tästä funktiosta vain välissä [-1, 1] ja jatka koko reaaliakselilla jaksollisena funktiona jaksolla 21 (kuva 1). Siksi, jos funktio f(x) (yleensä ei-jaksollinen) on määritelty koko reaaliakselilla, kaavassa (3) voidaan yrittää siirtyä rajaan muodossa I + oo. Tässä tapauksessa on luonnollista vaatia seuraavien ehtojen täyttymistä: 1. f(x) täyttää ehdot laajenemisesta Fourier-sarjaksi missä tahansa Ox\-akselin äärellisessä segmentissä 2. funktio f(x) on ehdottomasti integroitavissa koko reaaliakselille Jos ehto 2 täyttyy, yhtälön (3) oikealla puolella oleva ensimmäinen termi pyrkii nollaan I -* + oo. Todellakin, yritetään selvittää, mihin (3):n oikealla puolella oleva summa menee rajassa I + oo. Oletetaan, että silloin (3):n oikealla puolella oleva summa saa muodon Integraalin absoluuttisesta konvergenssista johtuen tämä summa suurelle I:lle eroaa vähän lausekkeesta, joka muistuttaa integraalin funktion integraalisummaa. muuttuja £ käännetty muutosvälille (0, + oo) Siksi on luonnollista olettaa, että :lle summa (5) siirtyy integraaliin С Toisaalta kiinteällä) se seuraa kaavasta (3) ), että saamme myös yhtälön Kaavan (7) pätevyyden riittävä ehto ilmaistaan seuraavalla lauseella. Lause 1. Jos funktio f(x) on ehdottoman integroitavissa koko reaaliakselilla ja siinä on derivaatan kanssa äärellinen määrä ensimmäisen tyyppisiä epäjatkuvuuspisteitä millä tahansa segmentillä [a, 6], niin :nnen tyyppisiä funktion /(x) funktion (7) oikealla puolella olevan integraalin arvo on yhtä kuin kaava (7) on nimeltään Fourier-integraali, ja sen oikealla puolella olevaa integraalia kutsutaan Fourier-integraaliksi. Jos käytetään erotuksen kosinin päivän kaavaa, niin kaava (7) voidaan kirjoittaa muodossa Funktiot a(t), b(t) ovat analogeja vastaaville 2n-jakson Fourier-kertoimille an ja bn. funktio, mutta jälkimmäiset on määritelty n:n diskreeteille arvoille, kun taas a(0 > HO on määritelty jatkuville G(-oo, +oo) arvoille. Fourier-integraalin kompleksimuoto, ilmeisesti pariton funktio of Mutta sitten Toisaalta integraali on muuttujan parillinen funktio, joten Fourier-integraalin kaava voidaan kirjoittaa seuraavasti: Kerrotaan yhtäläisyys imaginaariyksiköllä i ja lisätään yhtälöön (10). Tämä on Fourier-integraalin monimutkainen muoto. Tässä ulompi integraatio t:n yli ymmärretään Cauchyn pääarvon merkityksessä: § 2. Fourier-muunnos Kosini- ja sini-Fourier-muunnokset Olkoon funktio f(x) on paloittain sileä millä tahansa x-akselin äärellisellä segmentillä ja täysin integroitavissa koko akselilla. Määritelmä. Funktiota, josta saamme Eulerin kaavan perusteella, kutsutaan funktion f(r) Fourier-muunnokseksi (spektrifunktio). Tämä on funktion / (r) integraalimuunnos välissä (-oo, + oo) ytimellä Fourier-integraalikaavaa käyttämällä saadaan Tämä on niin sanottu käänteinen Fourier-muunnos, joka antaa siirtymän F:stä (t) - / (x). Joskus suora Fourier-muunnos annetaan seuraavasti: Sitten käänteinen Fourier-muunnos määritetään kaavalla. Funktion f(x) Fourier-muunnos määritellään myös seuraavasti: FOURIER-MUUNNOS Fourier-integraali Integraalin Fourier-muunnoksen kompleksimuoto Kosini ja sini muunnoksen amplitudi- ja vaihespektrit Sovellusominaisuudet Sitten puolestaan Tässä tapauksessa tekijän ^ sijainti on melko mielivaltainen: se voi syöttää joko kaavan (1") tai kaavan (2"). Esimerkki 1. Etsi funktion -4 Fourier-muunnos Meillä on Tämä yhtälö sallii differentiaalisen £:n suhteen integraalimerkin alla (differentioinnin jälkeen saatu integraali konvergoi tasaisesti, kun ( kuuluu mihin tahansa äärelliseen segmenttiin): Integroimalla osilla meillä on saamme mistä (C on integroinnin vakio). Asettamalla £ = 0 kohdassa (4), löydämme С = F(0). Kohdan (3) perusteella meillä on Tiedetään, että Erityisesti varten) saamme sen Tarkastellaan funktiota 4. F(t) funktion spektreille oyu saadaan Siten (kuva 2). Edellytys funktion f(x) absoluuttisesta integroitavuudesta koko reaaliakselilla on hyvin tiukka. Se sulkee pois esimerkiksi sellaiset alkeisfunktiot kuten f(x) = e1, joille ei ole olemassa Fourier-muunnosta (tässä tarkasteltuna klassisessa muodossa). Vain niillä funktioilla on Fourier-muunnos, joka yleensä nollautuu tarpeeksi nopeasti |x|:lle -+ +oo (kuten esimerkeissä 1 ja 2). 2.1. Kosini- ja sini-Fourier-muunnokset Kosinikaavalla, erolla, kirjoitetaan Fourier-integraalikaava seuraavaan muotoon: Olkoon f(x) parillinen funktio. Sitten yhtälöstä (5) saadaan Parittoman f(x) tapauksessa samalla tavalla, jos f(x) on annettu vain arvolla (0, -foo), niin kaava (6) laajentaa f(x) koko Ox-akselille parillisella tavalla ja kaava (7) - pariton. (7) Määritelmä. Funktiota kutsutaan funktion f(x) kosini-Fourier-muunnokseksi. (6):sta seuraa, että parilliselle funktiolle f(x) Tämä tarkoittaa, että f(x) puolestaan on kosinimuunnos Fc(t:lle). Toisin sanoen funktiot / ja Fc ovat keskinäisiä kosinimuunnoksia. Määritelmä. Funktiota kutsutaan funktion f(x) Fourier-sinimuunnokseksi. Kohdasta (7) saadaan, että parittomalla funktiolla f(x), ts. f ja Fs ovat keskinäisiä sinimuunnoksia. Esimerkki 3 (suorakulmapulssi). Olkoon f(t) parillinen funktio, joka määritellään seuraavasti: (Kuva 3). Lasketaan saatua tulosta käyttäen integraali Kaavan (9) perusteella meillä on Kuva 3 0 0 Pisteessa t = 0 funktio f(t) on jatkuva ja yhtä suuri. Siksi (12"):sta saadaan 2.2. Fourier-integraalin amplitudi- ja vaihespektrit. Olkoon f(x) jaksollinen funktio, jonka jakso on 2m ja joka laajenee Fourier-sarjaksi. Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa, kun tulemme jaksollisen funktion amplitudin ja vaihespektrin käsitteet Ei-jaksolliselle funktiolle f(x), joka on annettu (-oo, +oo), tietyissä olosuhteissa on mahdollista esittää se Fourier-integraalilla, joka laajentaa tämän funktion kaikille taajuuksille (laajennus jatkuvassa taajuusspektrissä Määritelmä Spektrifunktio eli Fourier-integraalin spektritiheys on lauseke (funktion f suoraa Fourier-muunnosta kutsutaan amplitudispektriksi ja funktiota Ф " ) = -argSfc) - funktion / (") vaihespektri. Amplitudispektri A(t) toimii mittana taajuuden t vaikutuksesta funktioon /(x). Esimerkki 4. Hae funktion amplitudi- ja vaihespektrit 4 Etsi spektrifunktio Tästä Kuvassa 1 on esitetty näiden funktioiden graafit. 4. §3. Fourier-muunnosominaisuudet 1. Lineaarisuus. Jos ja G(0 ovat funktioiden f(x) ja q(x) Fourier-muunnokset, vastaavasti, niin mille tahansa vakiolle a ja p funktion Fourier-muunnos f(x) + p g(x) on funktio. a Integraalin lineaarisuusominaisuutta käyttämällä saamme siis Fourier-muunnos on lineaarinen operaattori Merkimällä sitä kirjoitamme Jos F(t) on funktion f(x) Fourier-muunnos, joka on täysin integroitavissa koko reaaliarvoon akselilla, niin F(t) on rajattu kaikille. Olkoon funktio f(x) ehdottomasti integroitavissa koko akselilla - funktion f (x) Fourier-muunnos. Sitten 3 "flts J. Olkoon f (x) funktio, jonka toleranssi on Fourier-muunnos, L on ominaisuuksien lukumäärä. Funktiota fh (x) \u003d f (z-h) kutsutaan fundiumin f(x) siirroksi.Käytettäessä Fourier-muunnoksen määritelmää , osoita, että Tehtävä. Olkoon funktiolla f(z) Fourier-muunnos F(0> h on reaaliluku. Näytä, että 3. Fourier-muunnos ja differentiaatiooereesi. Olkoon absoluuttisesti integroitavalla funktiolla f (x) derivaatta f " (x), joka on myös täysin integroitavissa koko akselille Voi, joten /(n) pyrkii nollaan kuin |x| -» +oo. Jos oletetaan, että f "(x) on tasainen funktio, kirjoitamme Integroi osilla, meillä on integraalin ulkopuolella oleva termi katoaa (koska, ja saamme Siten funktion / (x) differentiaatio vastaa sen Fourier'n kertolaskua kuva ^ P /] kertoimella Jos funktiolla f (x) on sileät ehdottoman käsittämättömät derivaatat luokkaan m mukaan lukien, ja ne kaikki, kuten itse funktio f(x) pyrkivät nollaan, ja sitten osittain integroituna vaaditun määrän kertoja, saamme Fourier-muunnos on erittäin hyödyllinen juuri siksi, että se korvaa differentioinnin operaatiolla kertolaskulla arvolla ja yksinkertaistaa siten tietyntyyppisten differentiaaliyhtälöiden integrointiongelmaa.Koska Fourier-muunnos on ehdottomasti integroitava funktio f^k\x) on (ominaisuus 2) rajattu funktio, suhteesta (2) saadaan seuraava arvio: Fourier-muunnos Fourier-integraali Kompleksinen integraalimuoto Fourier-muunnos Kosini- ja sinimuunnokset Amplitudi- ja vaihespektrit Sovellusominaisuudet Alkaen tämän arvioinnin kanssa seuraavaa: mitä enemmän funktiolla f(x) on täysin integroitavia derivaattoja, sitä nopeammin sen Fourier-muunnos pyrkii nollaan. Kommentti. Ehto on varsin luonnollinen, sillä tavallinen Fourier-integraaliteoria käsittelee prosesseja, joilla on tavalla tai toisella alku ja loppu, mutta jotka eivät jatku loputtomiin suunnilleen samalla intensiteetillä. 4. Suhde funktion f(x) vaimenemisnopeuden välillä |z|:lle -» -f oo ja sen Fourm-muunnoksen sujuvuus. Oletetaan, että ei vain /(x), vaan myös sen tulo xf(x) on täysin integroitavissa oleva funktio koko x-akselilla. Tällöin Fourier-muunnos) on differentioituva funktio. Todellakin, muodollinen differentiaatio integrandin parametrin £ suhteen johtaa integraaliin, joka on absoluuttisesti ja tasaisesti konvergentti parametrin suhteen. Jos funktiot ovat yhdessä funktion f(x) kanssa täysin integroitavissa koko Ox-akselilla, niin differentiointiprosessia voidaan jatkaa. Saadaan, että funktiolla on derivaattoja luokkaa m mukaan lukien, ja Siten mitä nopeammin funktio f(x) pienenee, sitä tasaisempi funktio tulee. Lause 2 (porasta). Olkoon funktioiden /,(x) ja f2(x) Fourier-muunnokset. Sitten oikeanpuoleinen kaksoisintegraali suppenee ehdottomasti. Laitetaan x. Silloin meillä on tai integrointijärjestystä muuttamalla Funktiota kutsutaan funktioiden konvoluutioksi ja sitä merkitään symbolilla Kaava (1) voidaan nyt kirjoittaa seuraavasti: Tästä voidaan nähdä, että konvoluution Fourier-muunnos funktioista f\(x) ja f2(x) on yhtä suuri kuin kerrottuna y/2x taitettavien funktioiden Fourier-muunnosten tulo, huomautus. Konvoluution seuraavat ominaisuudet on helppo todeta: 1) lineaarisuus: 2) kommutatiivisuus: §4. Fourier-muunnoksen sovellukset 1. Olkoon Р(^) lineaarinen differentiaalioperaattori kertaluvun m vakiokertoimilla. y(x):llä on Fourier-muunnos y (O. ja funktiolla f(x) on muunnos /(t) Soveltamalla Fourier-muunnosta yhtälöön (1) saadaan differentiaalialgebrallisen yhtälön sijasta akselille, johon nähden niin, että muodollisesti missä symboli tarkoittaa käänteistä Fourier-muunnosta Tämän menetelmän sovellettavuuden päärajoitus liittyy seuraavaan tosiasia: Tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaisu vakiokertoimilla sisältää muotoisia funktioita< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

Joihin on jo aika kyllästynyt. Ja minusta tuntuu, että on tullut hetki, jolloin on aika poimia uusia säilykkeitä teorian strategisista varoista. Onko mahdollista laajentaa toimintoa sarjaksi jollain muulla tavalla? Esimerkiksi ilmaisemaan suoran janan sinien ja kosinien avulla? Tuntuu uskomattomalta, mutta tällaiset näennäisesti kaukaiset toiminnot sopivat
"taastapaaminen". Tuttujen teorian ja käytännön tutkintojen lisäksi on olemassa muitakin tapoja laajentaa funktio sarjaksi.

Tällä oppitunnilla tutustumme trigonometriseen Fourier-sarjaan, käsittelemme sen lähentymistä ja summaa ja tietysti analysoimme lukuisia esimerkkejä funktioiden laajentamisesta Fourier-sarjaksi. Halusin vilpittömästi kutsua artikkelia "Fourier-sarja dummiesille", mutta tämä olisi ovelaa, koska ongelmien ratkaiseminen vaatii tietoa muista matemaattisen analyysin osista ja käytännön kokemusta. Siksi johdanto muistuttaa astronautien koulutusta =)

Ensinnäkin sivumateriaalien tutkimista tulee lähestyä erinomaisessa kunnossa. Uninen, levännyt ja raittiina. Ilman vahvoja tunteita hamsterin katkenneesta tassusta ja pakkomielteisiä ajatuksia akvaariokalojen elämän vaikeuksista. Fourier-sarja ei ole ymmärtämisen kannalta vaikeaa, mutta käytännön tehtävät vaativat vain lisääntynyttä huomion keskittymistä - ihannetapauksessa ulkoisista ärsykkeistä tulisi luopua kokonaan. Tilannetta pahentaa se, että ratkaisua ja vastausta ei ole helppoa tarkistaa. Siten, jos terveytesi on alle keskiarvon, on parempi tehdä jotain yksinkertaisempaa. Totuus.

Toiseksi ennen avaruuteen lentämistä on tutkittava avaruusaluksen kojetaulu. Aloitetaan niiden toimintojen arvoista, joita tulee napsauttaa koneessa:

Kaikille luonnonarvoille:

yksi) . Ja itse asiassa sinusoidi "vilkkuu" x-akselia jokaisen "pi":n läpi:
. Argumentin negatiivisten arvojen tapauksessa tulos on tietysti sama: .

2). Mutta kaikki eivät tienneet tätä. Kosini "pi en" vastaa "vilkkuvaa valoa":

Kielteinen argumentti ei muuta tapausta: .

Ehkä tarpeeksi.

Ja kolmanneksi, rakas kosmonauttijoukot, sinun täytyy pystyä ... integroida.
Varsinkin tottakai tuo funktio erotusmerkin alle, integroida osilla ja olla hyvissä väleissä Newton-Leibnizin kaava. Aloitetaan tärkeät lentoa edeltävät harjoitukset. En suosittele sen ohittamista, jotta et myöhemmin tasoittu nollapainossa:

Esimerkki 1

Laske kiinteät integraalit

missä vie luonnonarvot.

Päätös: integrointi suoritetaan muuttujan "x" yli ja tässä vaiheessa diskreettimuuttuja "en" katsotaan vakioksi. Kaikissa integraaleissa tuo funktio differentiaalin merkin alle:

Lyhyt versio ratkaisusta, jota olisi hyvä ampua, näyttää tältä:

Totutteluun:

Neljä jäljellä olevaa pistettä ovat omat. Yritä käsitellä tehtävää tunnollisesti ja järjestää integraalit lyhyesti. Esimerkkejä ratkaisuista oppitunnin lopussa.

LAATUharjoituksen jälkeen puimme avaruuspuvut päälle
ja valmistaudutaan aloittamaan!

Fourier-sarjan funktion laajennus välissä

Tarkastellaanpa funktiota, joka päättänyt ainakin aikavälillä (ja mahdollisesti suuremmalla aikavälillä). Jos tämä funktio on integroitavissa segmenttiin , se voidaan laajentaa trigonometriseksi Fourier-sarja:
, missä ovat ns Fourier-kertoimet.

Tässä tapauksessa numeroon soitetaan hajoamisaika, ja numero on puoliintumisajan hajoaminen.

On selvää, että yleisessä tapauksessa Fourier-sarja koostuu sinistä ja kosineista:

Todellakin, kirjoitetaan se yksityiskohtaisesti:

Sarjan nollatermi kirjoitetaan yleensä muodossa .

Fourier-kertoimet lasketaan seuraavilla kaavoilla:

Ymmärrän hyvin, että uudet termit ovat edelleen hämäriä aloittelijoille aiheen tutkimisessa: hajoamisaika, puolijakso, Fourier-kertoimetÄlä panikoi, se ei ole verrattavissa avaruuskävelyä edeltävään jännitykseen. Selvitetään kaikki lähimmästä esimerkistä, jonka suorittamista on loogista kysyä painavia käytännön kysymyksiä:

Mitä sinun tulee tehdä seuraavissa tehtävissä?

Laajenna funktio Fourier-sarjaksi. Lisäksi usein joudutaan piirtämään funktion kuvaaja, sarjan summan kuvaaja, osasumma ja hienostuneiden professorifantasioiden tapauksessa tehdä jotain muuta.

Kuinka laajentaa funktio Fourier-sarjaksi?

Pohjimmiltaan sinun on löydettävä Fourier-kertoimet, eli muodosta ja laske kolme kiinteät integraalit.

Kopioi Fourier-sarjan yleinen muoto ja kolme työkaavaa muistikirjaasi. Olen erittäin iloinen, että joillain sivuston kävijöistä on lapsuuden unelma astronautiksi tulemisesta toteutumassa silmieni edessä =)

Esimerkki 2

Laajenna funktio välin Fourier-sarjaksi. Rakenna kuvaaja, kaavio sarjan summasta ja osasummasta.

Päätös: tehtävän ensimmäinen osa on laajentaa funktio Fourier-sarjaksi.

Alku on vakio, muista kirjoittaa ylös, että:

Tässä ongelmassalaajennusaika , puolijakso .

Laajennamme funktiota Fourier-sarjassa aikavälillä:

Käyttämällä sopivia kaavoja löydämme Fourier-kertoimet. Nyt meidän on laadittava ja laskettava kolme kiinteät integraalit. Mukavuuden vuoksi numeroitan kohdat:

1) Ensimmäinen integraali on yksinkertaisin, mutta se vaatii jo silmän ja silmän:

2) Käytämme toista kaavaa:

Tämä integraali on hyvin tunnettu ja hän ottaa sen palasittain:

Kun löytyi käytettynä menetelmä tuoda funktio differentiaalimerkin alle.

Käsiteltävänä olevassa tehtävässä sitä on kätevämpi käyttää välittömästi kaava osien integroimiseksi määrättyyn integraaliin :

Pari teknistä huomautusta. Ensin kaavan soveltamisen jälkeen koko lauseke on suljettava suuriin hakasulkeisiin, koska alkuperäisen integraalin edessä on vakio. Älkäämme menettäkö sitä! Sulut voidaan avata missä tahansa seuraavassa vaiheessa, tein sen aivan viimeisessä käännöksessä. Ensimmäisessä "kappaleessa" osoitamme äärimmäistä tarkkuutta korvaamisessa, kuten näet, vakio ei toimi, ja integroinnin rajat korvataan tuotteeseen. Tämä toiminto on merkitty hakasulkeilla. No, kaavan toisen "palan" integraali tunnet hyvin harjoitustehtävästä ;-)

Ja mikä tärkeintä - äärimmäinen huomion keskittyminen!

3) Etsimme kolmatta Fourier-kerrointa:

Saadaan edellisen integraalin suhteellinen, joka myös on integroitu osilla:

Tämä tapaus on hieman monimutkaisempi, kommentoin vaihe vaiheelta:

(1) Koko lauseke on suljettu suuriin hakasulkeisiin.. En halunnut näyttää tylsältä, he menettävät jatkuvasti liian usein.

(2) Tässä tapauksessa laajensin välittömästi nuo suuret sulut. Erityistä huomiota omistaudumme ensimmäiselle "palalle": jatkuva savu polttaa sivussa eikä osallistu integroinnin ( ja ) rajojen korvaamiseen tuotteeseen. Tietueen sotkuisuuden vuoksi on jälleen suositeltavaa korostaa tätä toimintoa hakasulkeissa. Toisella "palalla" kaikki on yksinkertaisempaa: täällä murto-osa ilmestyi suurten hakasulkeiden avaamisen jälkeen ja vakio - tutun integraalin integroinnin seurauksena ;-)

(3) Hakasulkeissa teemme muunnoksia ja oikeassa integraalissa korvaamme integroinnin rajat.

(4) Otamme "vilkun" pois hakasulkeista: , jonka jälkeen avaamme sisäsulut: .

(5) Poistamme suluissa olevat luvut 1 ja -1 ja teemme lopullisia yksinkertaistuksia.

Lopulta löytyi kaikki kolme Fourier-kerrointa:

Korvaa ne kaavaan :

Älä unohda jakaa puoliksi. Viimeisessä vaiheessa vakio ("miinus kaksi"), joka ei riipu "en", poistetaan summasta.

Siten olemme saaneet funktion laajennuksen Fourier-sarjassa välillä :

Tutkitaan kysymystä Fourier-sarjan konvergenssista. Selitän erityisesti teorian Dirichlet-lause, kirjaimellisesti "sormilla", joten jos tarvitset tiukkoja formulaatioita, tutustu laskennan oppikirjaan (esimerkiksi Bohanin 2. osa; tai Fichtenholtzin 3. osa, mutta se on siinä vaikeampaa).

Tehtävän toisessa osassa on piirrettävä graafi, sarjasummagraafi ja osasummagraafi.

Funktion kaavio on tavallinen suora viiva koneessa, joka on piirretty mustalla katkoviivalla:

Käsittelemme sarjan summaa. Kuten tiedät, funktionaaliset sarjat konvergoivat funktioiksi. Meidän tapauksessamme rakennettu Fourier-sarja mille tahansa "x":n arvolle konvergoi punaisella näkyvään funktioon. Tämä toiminto on voimassa 1. tyyppiset tauot pisteissä , mutta myös määritelty niissä (punaiset pisteet piirustuksessa)

Täten: . On helppo nähdä, että se eroaa huomattavasti alkuperäisestä funktiosta, minkä vuoksi merkinnöissä aaltoviivaa käytetään yhtäläisyysmerkin sijaan.

Tutkitaan algoritmia, jolla on kätevää muodostaa sarjan summa.

Keskivälillä Fourier-sarja konvergoi itse funktioon (keskimmäinen punainen segmentti osuu lineaarisen funktion mustaan pisteviivaan).

Puhutaanpa nyt hieman harkitun trigonometrisen laajennuksen luonteesta. Fourier-sarja sisältää vain jaksolliset funktiot (vakio, sinit ja kosinit), joten sarjan summa on myös jaksollinen funktio.

Mitä tämä tarkoittaa erityisessä esimerkissämme? Ja tämä tarkoittaa sarjan summaa –välttämättä määräajoin ja intervallin punainen segmentti on toistettava loputtomasti vasemmalla ja oikealla.

Luulen, että nyt ilmaisun "hajoamisaika" merkitys on vihdoin tullut selväksi. Yksinkertaisesti sanottuna joka kerta tilanne toistaa itseään uudestaan ja uudestaan.

Käytännössä yleensä riittää, että kuvataan kolme hajoamisjaksoa, kuten piirustuksessa on tehty. No, ja lisää naapurikausien "kantoja" - jotta olisi selvää, että kaavio jatkuu.

Erityisen kiinnostavia ovat 1. tyypin epäjatkuvuuspisteet. Tällaisissa kohdissa Fourier-sarja konvergoi eristettyihin arvoihin, jotka sijaitsevat tarkalleen epäjatkuvuuden "hypyn" keskellä (kuvassa punaiset pisteet). Kuinka löytää näiden pisteiden ordinaatit? Etsitään ensin "ylemmän kerroksen" ordinaatta: tätä varten lasketaan funktion arvo keskilaajennusjakson oikeanpuoleisimpaan pisteeseen: . "Alemman kerroksen" ordinaatin laskemiseksi helpoin tapa on ottaa saman jakson vasemmanpuoleisin arvo: . Keskiarvon ordinaatta on "ylä- ja alaosan" summan aritmeettinen keskiarvo: . Hienoa on se, että piirustusta tehdessä näkee heti, onko keskikohta laskettu oikein vai väärin.

Muodostetaan sarjan osasumma ja toistetaan samalla termin "konvergenssi" merkitys. Motiivi tunnetaan aiheesta numerosarjan summa. Kuvataanpa omaisuuttamme yksityiskohtaisesti:

Osasumman saamiseksi sinun on kirjoitettava muistiin sarjan nolla + kaksi muuta termiä. Eli

Piirustuksessa funktion kaavio näkyy vihreänä ja, kuten näette, kiertyy kokonaissumman ympärille melko tiukasti. Jos tarkastelemme sarjan viiden ehdon osittaista summaa, tämän funktion kaavio lähentää punaisia viivoja vielä tarkemmin, jos termejä on sata, niin "vihreä käärme" sulautuu itse asiassa täysin punaisten segmenttien kanssa, jne. Siten Fourier-sarja konvergoi summaansa.

On mielenkiintoista huomata, että mikä tahansa osasumma on jatkuva toiminto, mutta sarjan kokonaissumma on edelleen epäjatkuva.

Käytännössä ei ole harvinaista rakentaa osasummagraafi. Kuinka tehdä se? Meidän tapauksessamme on otettava huomioon segmentin funktio, laskettava sen arvot segmentin päissä ja välipisteissä (mitä enemmän pisteitä harkitset, sitä tarkempi kaavio on). Sitten sinun tulee merkitä nämä kohdat piirustukseen ja piirtää varovasti kaavio jaksolle ja sitten "toistaa" se vierekkäisiksi aikaväleiksi. Kuinka muuten? Loppujen lopuksi approksimaatio on myös jaksollinen funktio ... ... sen kaavio muistuttaa minua jotenkin tasaisesta sydämen rytmistä lääketieteellisen laitteen näytössä.

Tietenkään rakentamisen suorittaminen ei ole kovin kätevää, koska sinun on oltava erittäin varovainen ja säilytettävä vähintään puolen millimetrin tarkkuus. Miellytän kuitenkin lukijoita, jotka ovat ristiriidassa piirtämisen kanssa - "oikeassa" tehtävässä piirtäminen ei ole läheskään aina välttämätöntä, jossain 50% tapauksista on tarpeen laajentaa toiminto Fourier-sarjaksi ja se on se.

Piirustuksen valmistumisen jälkeen suoritamme tehtävän:

Vastaus:

Monissa tehtävissä toiminto kärsii 1. tyyppinen repeämä heti hajoamisjaksolla:

Esimerkki 3

Laajenna Fourier-sarjassa välissä annettu funktio. Piirrä funktio funktiosta ja sarjan kokonaissummasta.

Ehdotettu funktio annetaan paloittain (ja muista, vain segmentissä) ja kestää 1. tyyppinen repeämä kohdassa. Onko mahdollista laskea Fourier-kertoimet? Ei ongelmaa. Sekä funktion vasen että oikea osa ovat integroitavissa intervalleillaan, joten kunkin kolmen kaavan integraalit tulee esittää kahden integraalin summana. Katsotaanpa esimerkiksi, kuinka tämä tehdään nollakertoimelle:

Toinen integraali osoittautui yhtä suureksi kuin nolla, mikä vähensi työtä, mutta näin ei aina ole.

Kaksi muuta Fourier-kerrointa kirjoitetaan samalla tavalla.

Kuinka näyttää sarjan summa? Vasemmalle välille piirrämme suoran janan ja väliin - suoran segmentin (korosta akselin osa lihavoituna). Eli laajennusvälillä sarjan summa on sama kuin funktio kaikkialla, paitsi kolme "huonoa" pistettä. Funktion epäjatkuvuuspisteessä Fourier-sarja konvergoi eristettyyn arvoon, joka sijaitsee täsmälleen epäjatkuvuuden "hypyn" keskellä. Sitä ei ole vaikea nähdä suullisesti: vasen raja:, oikeanpuoleinen raja: ja ilmeisesti keskipisteen ordinaatta on 0,5.

Summan jaksotuksesta johtuen kuva on "kerrotettava" vierekkäisiksi jaksoiksi, erityisesti kuvattava sama asia välissä ja . Tässä tapauksessa pisteissä Fourier-sarja konvergoi mediaaniarvoihin.

Itse asiassa tässä ei ole mitään uutta.

Yritä ratkaista tämä ongelma itse. Likimääräinen esimerkki hienosta suunnittelusta ja piirtämisestä oppitunnin lopussa.

Fourier-sarjan funktion laajennus mielivaltaisella jaksolla

Satunnaiselle laajennusjaksolle, jossa "el" on mikä tahansa positiivinen luku, Fourier-sarjan ja Fourier-kertoimien kaavat eroavat hieman monimutkaisemmasta sini- ja kosini-argumentista:

Jos , niin saamme kaavat aikavälille, jolla aloitimme.

Algoritmi ja periaatteet ongelman ratkaisemiseksi säilyvät täysin, mutta laskelmien tekninen monimutkaisuus kasvaa:

Esimerkki 4

Laajenna funktio Fourier-sarjaksi ja piirrä summa.

Päätös: itse asiassa esimerkin nro 3 analogi 1. tyyppinen repeämä kohdassa. Tässä ongelmassalaajennusaika , puolijakso . Funktio määritellään vain puolivälissä, mutta se ei muuta asioita - on tärkeää, että funktion molemmat osat ovat integroitavissa.

Laajennetaan funktio Fourier-sarjaksi:

Koska funktio on epäjatkuva origossa, jokainen Fourier-kerroin tulee luonnollisesti kirjoittaa kahden integraalin summana:

1) Kirjoitan ensimmäisen integraalin mahdollisimman yksityiskohtaisesti:

2) Kurkista varovasti kuun pintaan:

Toinen integraali ottaa osiin:

Mihin sinun tulee kiinnittää huomiota, kun avaamme ratkaisun jatkon tähdellä?

Ensinnäkin emme menetä ensimmäistä integraalia , jossa suoritamme välittömästi tuomalla eron merkin alle. Toiseksi, älä unohda epäonnista vakiota ennen suuria sulkuja ja älä hämmenny merkeistä kaavaa käytettäessä . Suuret kiinnikkeet on loppujen lopuksi kätevämpää avata heti seuraavassa vaiheessa.

Loppu on tekniikasta, vain riittämätön kokemus integraalien ratkaisemisesta voi aiheuttaa vaikeuksia.

Kyllä, ei turhaan ranskalaisen matemaatikon Fourier'n merkittävät kollegat suuttuneet - kuinka hän uskalsi hajottaa funktiot trigonometrisiin sarjoihin ?! =) Muuten, luultavasti kaikkia kiinnostaa kyseisen tehtävän käytännön merkitys. Fourier itse työskenteli lämmönjohtavuuden matemaattisen mallin parissa, ja myöhemmin hänen mukaansa nimettyä sarjaa alettiin käyttää monien jaksollisten prosessien tutkimiseen, jotka ovat ilmeisesti näkymättömiä ulkomaailmassa. Nyt muuten huomasin itseni ajattelevan, että ei ollut sattumaa, että vertasin toisen esimerkin kuvaajaa jaksoittaiseen sydämen rytmiin. Kiinnostuneet voivat tutustua käytännön sovellukseen Fourier-muunnokset kolmansien osapuolien lähteistä. ... Vaikka on parempi olla - se muistetaan ensimmäisenä rakkautena =)

3) Ottaen huomioon toistuvasti mainitut heikot lenkit, käsittelemme kolmatta kerrointa:

Integrointi osilla:

Korvaamme löydetyt Fourier-kertoimet kaavaan , unohtamatta jakaa nollakerroin puoliksi:

Piirretään sarjan summa. Toistakaamme lyhyesti toimenpide: välille rakennamme linjan ja väliin - rivin. Nolla-arvolla "x" laitamme pisteen välin "hypyn" keskelle ja "toistamme" kaavion naapurijaksoille:

Jaksojen "risteyksissä" summa on myös yhtä suuri kuin raon "hypyn" keskipisteet.

Valmis. Muistutan, että itse funktio on ehdollisesti määritelty vain puolivälissä ja ilmeisesti osuu yhteen intervallien sarjan summan kanssa

Vastaus:

Joskus paloittain annettu funktio on myös jatkuva laajennusjaksolla. Yksinkertaisin esimerkki: . Päätös (Katso Bohanin osa 2) on sama kuin kahdessa edellisessä esimerkissä: huolimatta toiminnan jatkuvuus pisteessä jokainen Fourier-kerroin ilmaistaan kahden integraalin summana.

Erotuksen aikana 1. tyypin epäjatkuvuuspisteet ja/tai kaavion "risteyspisteitä" voi olla enemmän (kaksi, kolme ja yleensä mikä tahansa lopullinen määrä). Jos funktio on integroitavissa jokaiseen osaan, se on myös laajennettavissa Fourier-sarjassa. Mutta käytännön kokemuksen perusteella en muista sellaista tinaa. Siitä huolimatta on vaikeampia tehtäviä kuin vain harkita, ja artikkelin lopussa on kaikille linkit monimutkaisempiin Fourier-sarjaan.

Sillä välin rentoudutaan nojaten tuoleihimme ja pohdiskelemaan loputtomia tähtien avaruutta:

Esimerkki 5

Laajenna funktio välin Fourier-sarjaksi ja piirrä sarjan summa.

Tässä tehtävässä toiminto jatkuva hajoamisen puolivälissä, mikä yksinkertaistaa ratkaisua. Kaikki on hyvin samanlaista kuin esimerkki nro 2. Avaruusaluksesta ei pääse pakoon - sinun on päätettävä =) Suunnittelunäyte oppitunnin lopussa, aikataulu liitteenä.

Fourier-sarjan parillisten ja parittomien funktioiden laajennus

Parillisten ja parittomien funktioiden avulla ongelman ratkaiseminen yksinkertaistuu huomattavasti. Ja siksi. Palataan funktion laajentamiseen Fourier-sarjassa jaksolla "kaksi pi" ja mielivaltainen ajanjakso "kaksi alea" .

Oletetaan, että funktiomme on parillinen. Sarjan yleistermi sisältää, kuten näet, parilliset kosinit ja parittomat sinit. Ja jos hajotamme parillisen funktion, niin miksi tarvitsemme parittomia sinejä?! Nollataan tarpeeton kerroin: .

Täten, parillinen funktio laajenee Fourier-sarjaksi vain kosineissa:

Sikäli kuin parillisten funktioiden integraalit Nollan suhteen symmetrinen integrointisegmentti voidaan kaksinkertaistaa, niin myös loput Fourier-kertoimet yksinkertaistetaan.

Ajanjaksolle:

Mielivaltaiselle aikavälille:

Oppikirjaesimerkkejä, jotka löytyvät melkein kaikista laskennan oppikirjoista, ovat parillisten funktioiden laajennukset . Lisäksi he ovat toistuvasti tavanneet henkilökohtaisessa käytännössäni:

Esimerkki 6

Annettu funktio. Edellytetään:

1) Laajenna funktio Fourier-sarjaksi jaksolla, jossa on mielivaltainen positiivinen luku;

2) kirjoita muistiin välin laajennus, rakenna funktio ja piirrä sarjan kokonaissumma kuvaajasta.

Päätös: ensimmäisessä kappaleessa ehdotetaan ongelman ratkaisemista yleisesti, ja tämä on erittäin kätevää! Tarve tulee olemaan - korvaa vain arvosi.

1) Tässä tehtävässä laajennusjakso , puolijakso . Jatkotoimien aikana, erityisesti integraation aikana, "el" pidetään vakiona

Funktio on parillinen, mikä tarkoittaa, että se laajenee Fourier-sarjaksi vain kosineissa: .

Fourier-kertoimia etsitään kaavoilla . Kiinnitä huomiota niiden ehdottomiin etuihin. Ensin integrointi suoritetaan laajennuksen positiivisen segmentin yli, mikä tarkoittaa, että pääsemme turvallisesti eroon moduulista , kun otetaan huomioon vain "x" kahdesta osasta. Ja toiseksi, integrointi yksinkertaistuu huomattavasti.