Aloitetaan suosikkiruudustamme.

Esimerkki 9

Kompleksiluvun neliöinti

Tässä voi toimia kahdella tavalla, ensimmäinen tapa on kirjoittaa aste uudelleen tekijöiden tuloksi ja kertoa luvut polynomien kertolaskusäännön mukaisesti.

Toinen tapa on käyttää tunnettua koulukaavaa lyhennettyyn kertolaskuun:

Kompleksiluvulle on helppo johtaa oma lyhennetty kertolasku:

Samanlainen kaava voidaan johtaa erotuksen neliölle, samoin kuin erotuksen summan kuutiolle ja kuutiolle. Mutta nämä kaavat ovat merkityksellisempiä monimutkaisille analyysiongelmille. Entä jos sinun täytyy nostaa kompleksiluku esimerkiksi 5., 10. tai 100. potenssiin? On selvää, että on melkein mahdotonta suorittaa tällainen temppu algebrallisessa muodossa, mieti, kuinka ratkaiset esimerkin?

Ja tässä kompleksiluvun trigonometrinen muoto tulee apuun ja ns Moivren kaava: Jos kompleksiluku esitetään trigonometrisessa muodossa, niin kun se nostetaan luonnolliseen potenssiin, seuraava kaava pätee:

Se on vain törkeää.

Esimerkki 10

Anna kompleksiluku, etsi.

Mitä pitäisi tehdä? Ensin sinun on esitettävä tämä numero trigonometrisessa muodossa. Huomaavaiset lukijat ovat huomanneet, että esimerkissä 8 olemme jo tehneet näin:

Sitten Moivren kaavan mukaan:

Jumala varjelkoon, sinun ei tarvitse luottaa laskimeen, mutta useimmissa tapauksissa kulmaa tulisi yksinkertaistaa. Kuinka yksinkertaistaa? Kuvannollisesti sanottuna sinun on päästävä eroon tarpeettomista käännöksistä. Yksi kierros on radiaani tai 360 astetta. Selvitetään kuinka monta kierrosta meillä on väittelyssä. Mukavuuden vuoksi teemme murto-osan oikeaksi:, jonka jälkeen tulee selvästi näkyviin, että voit vähentää yhden kierroksen:. Toivottavasti kaikki ymmärtävät, että tämä on sama kulma.

Lopullinen vastaus kirjoitetaan siis näin:

Eksponenttiongelman erillinen muunnelma on puhtaasti imaginaarilukujen eksponentio.

Esimerkki 12

Nosta kompleksiluvut potenssiin

Myös täällä kaikki on yksinkertaista, tärkeintä on muistaa kuuluisa tasa-arvo.

Jos kuvitteellinen yksikkö nostetaan tasaiseen tehoon, niin ratkaisutekniikka on seuraava:

Jos kuvitteellinen yksikkö nostetaan parittomaan tehoon, niin "nipistetään" yksi "ja", saadaan parillinen teho:

Jos on miinus (tai mikä tahansa todellinen kerroin), se on ensin erotettava:

Juurien erottaminen kompleksiluvuista. Neliöyhtälö monimutkaisilla juurilla

Katsotaanpa esimerkkiä:

Etkö voi purkaa juuria? Jos puhumme todellisista luvuista, se on todella mahdotonta. On mahdollista erottaa kompleksilukujen juuri! Tarkemmin, kaksi juuri:

Ovatko löydetyt juuret todella ratkaisu yhtälöön? Tarkistetaan:

Mikä pitikin tarkistaa.

Usein käytetään lyhennettyä merkintää, jotka on kirjoitettu yhdelle riville "sama kampa": .

Näitä juuria kutsutaan myös konjugoida monimutkaisia ​​juuria.

Luulen, että kaikki ymmärtävät kuinka neliöjuuret erotetaan negatiivisista luvuista: ,,, jne. Kaikissa tapauksissa se selviää kaksi konjugoi monimutkaiset juuret.

Aloitetaan suosikkiruudustamme.

Esimerkki 9

Kompleksiluvun neliöinti

Tässä voi toimia kahdella tavalla, ensimmäinen tapa on kirjoittaa aste uudelleen tekijöiden tuloksi ja kertoa luvut polynomien kertolaskusäännön mukaisesti.

Toinen tapa on käyttää tunnettua koulukaavaa lyhennettyyn kertolaskuun:

Kompleksiluvulle on helppo johtaa oma lyhennetty kertolasku:

Samanlainen kaava voidaan johtaa erotuksen neliölle, samoin kuin erotuksen summan kuutiolle ja kuutiolle. Mutta nämä kaavat ovat merkityksellisempiä monimutkaisille analyysiongelmille. Entä jos sinun täytyy nostaa kompleksiluku esimerkiksi 5., 10. tai 100. potenssiin? On selvää, että on melkein mahdotonta suorittaa tällainen temppu algebrallisessa muodossa, mieti, kuinka ratkaiset esimerkin?

Ja tässä kompleksiluvun trigonometrinen muoto tulee apuun ja ns Moivren kaava: Jos kompleksiluku esitetään trigonometrisessa muodossa, niin kun se nostetaan luonnolliseen potenssiin, seuraava kaava pätee:

Se on vain törkeää.

Esimerkki 10

Anna kompleksiluku, etsi.

Mitä pitäisi tehdä? Ensin sinun on esitettävä tämä numero trigonometrisessa muodossa. Huomaavaiset lukijat ovat huomanneet, että esimerkissä 8 olemme jo tehneet näin:

Sitten Moivren kaavan mukaan:

Jumala varjelkoon, sinun ei tarvitse luottaa laskimeen, mutta useimmissa tapauksissa kulmaa tulisi yksinkertaistaa. Kuinka yksinkertaistaa? Kuvannollisesti sanottuna sinun on päästävä eroon tarpeettomista käännöksistä. Yksi kierros on radiaani tai 360 astetta. Selvitetään kuinka monta kierrosta meillä on väittelyssä. Mukavuuden vuoksi teemme murto-osan oikeaksi:, jonka jälkeen tulee selvästi näkyviin, että voit vähentää yhden kierroksen:. Toivottavasti kaikki ymmärtävät, että tämä on sama kulma.

Lopullinen vastaus kirjoitetaan siis näin:

Eksponenttiongelman erillinen muunnelma on puhtaasti imaginaarilukujen eksponentio.

Esimerkki 12

Nosta kompleksiluvut potenssiin

Myös täällä kaikki on yksinkertaista, tärkeintä on muistaa kuuluisa tasa-arvo.

Jos kuvitteellinen yksikkö nostetaan tasaiseen tehoon, niin ratkaisutekniikka on seuraava:

Jos kuvitteellinen yksikkö nostetaan parittomaan tehoon, niin "nipistetään" yksi "ja", saadaan parillinen teho:

Jos on miinus (tai mikä tahansa todellinen kerroin), se on ensin erotettava:

Juurien erottaminen kompleksiluvuista. Neliöyhtälö monimutkaisilla juurilla

Katsotaanpa esimerkkiä:

Etkö voi purkaa juuria? Jos puhumme todellisista luvuista, se on todella mahdotonta. On mahdollista erottaa kompleksilukujen juuri! Tarkemmin, kaksi juuri:

Ovatko löydetyt juuret todella ratkaisu yhtälöön? Tarkistetaan:

Mikä pitikin tarkistaa.

Usein käytetään lyhennettyä merkintää, jotka on kirjoitettu yhdelle riville "sama kampa": .

Näitä juuria kutsutaan myös konjugoida monimutkaisia ​​juuria.

Luulen, että kaikki ymmärtävät kuinka neliöjuuret erotetaan negatiivisista luvuista: ,,, jne. Kaikissa tapauksissa se selviää kaksi konjugoi monimutkaiset juuret.

Esimerkki 13

Ratkaise toisen asteen yhtälö

Lasketaan diskriminantti:

Diskriminantti on negatiivinen, eikä yhtälöllä ole ratkaisua reaalilukuina. Mutta juuri voidaan erottaa kompleksiluvuista!

Tunnettuja koulukaavoja käyttämällä saadaan kaksi juuria: – konjugoidut kompleksiset juuret

Siten yhtälöllä on kaksi konjugoitua kompleksista juuria:,

Nyt voit ratkaista minkä tahansa toisen asteen yhtälön!

Ja yleensä kaikilla yhtälöillä, joissa on "n:nnen" asteen polynomi, on yhtäläiset juuret, joista jotkut voivat olla monimutkaisia.

Yksinkertainen esimerkki ratkaistaksesi itse:

Esimerkki 14

Etsi yhtälön juuret ja kerro neliöbinomi.

Factorisointi suoritetaan jälleen koulun vakiokaavan mukaan.

Laskimen käyttö

Lausekkeen arvioimiseksi sinun on syötettävä arvioitava merkkijono. Numeroita syötettäessä kokonaisluvun ja murto-osien erotin on piste. Voit käyttää sulkeita. Kompleksilukujen operaatioita ovat kertolasku (*), jako (/), yhteenlasku (+), vähennys (-), eksponentio (^) ja muut. Voit käyttää eksponentiaalisia ja algebrallisia muotoja kompleksilukujen kirjoittamiseen. Syötä kuvitteellinen yksikkö i se on mahdollista ilman kertomerkkiä, muissa tapauksissa kertomerkki vaaditaan esimerkiksi sulkujen välissä tai luvun ja vakion välissä. Myös vakioita voidaan käyttää: luku π syötetään pi, eksponentti e, kaikki ilmaisimen lausekkeet on ympäröitävä suluilla.

Esimerkkirivi laskentaan: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), joka vastaa lauseketta \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

Laskin voi käyttää vakioita, matemaattisia funktioita, lisätoimintoja ja monimutkaisempia lausekkeita. Voit tutustua näihin ominaisuuksiin tämän sivuston laskimien yleisten sääntöjen sivulla.

Sivusto on rakenteilla, jotkut sivut eivät välttämättä ole käytettävissä.

Uutiset

07.07.2016
Lisätty laskin epälineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseen: .

30.06.2016
Sivustolla on responsiivinen muotoilu, sivut näkyvät riittävästi sekä suurilla näytöillä että mobiililaitteilla.

Sponsori

RGROnline.ru – välitön ratkaisu sähköteknisiin töihin verkossa.