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महान गणितज्ञों में से एक, पीटर्सबर्ग शिक्षाविद, अपने लंबे जीवन के दौरान उन्होंने 850 से अधिक वैज्ञानिक पत्र लिखे। उनमें से एक में ये मंडल दिखाई दिए। यूलर ने लिखा है कि "वे हमारे प्रतिबिंबों को सुविधाजनक बनाने के लिए बहुत उपयुक्त हैं।" लियोनार्डो यूलर 1707-1783

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कार्य 1

कक्षा में 35 छात्र हैं। इनमें से 20 एक गणितीय वृत्त में लगे हैं, 11 जैविक में, 10 बच्चे इन मंडलियों में शामिल नहीं होते हैं। गणित में कितने जीवविज्ञानी हैं?

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फेसला

(आकृति के अनुसार) बाएं सर्कल (एम) में सभी गणितज्ञों को रखा गया है, और दाईं ओर - सभी जीवविज्ञानी, वे लोग जो मंडलियों में नहीं जाते हैं और उन्हें सबसे बड़े सर्कल में रखा जाता है। अब गिनती करते हैं: बड़े घेरे के अंदर 35 लोग हैं। अंदर 2 छोटे 35-10=25 लोग। एम के अंदर 20 लोग हैं। बी के अंदर 25-20 = 5 जीवविज्ञानी हैं (गणितीय सर्कल में भाग नहीं ले रहे हैं) एमबी के अंदर 11-5 = 6 जीवविज्ञानी हैं जो गणित के शौकीन हैं। एम बी एमबी

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कार्य #2

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 10 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाना बजानेवालों में नहीं गाते हैं, खेल नहीं खेलते हैं, और नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं? कितने बच्चे केवल खेलकूद में लगे हुए हैं?

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फेसला

(आकृति के अनुसार) डी - ड्रामा सर्कल, एक्स - गाना बजानेवालों, सी - एथलीट। 5+3+3=11एथलीट एक गाना बजानेवालों और एक नाटक क्लब में भाग लेते हैं तो 22-11=11 केवल स्पोर्ट्स ड्रामा सर्कल के शौकीन होते हैं। एक्स सी डी डीसीएस 12 19 10-3=7 3 8-3=5 6-3=3 22-5-3-3=11

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कार्य #3

12 मी^2 क्षेत्रफल वाले एक कमरे का फर्श तीन कालीनों से ढका हुआ है: एक कालीन का क्षेत्रफल 5 मी^2 है, दूसरे का क्षेत्रफल 4 मी^2 है, और तीसरा है 3 मीटर^2। प्रत्येक दो कालीन 1.5 m^2 के क्षेत्र पर ओवरलैप करते हैं, और इनमें से 0.5 m^2 डेढ़ वर्ग मीटर फर्श क्षेत्र पर पड़ता है जहां तीनों कालीन ओवरलैप होते हैं। फर्श का वह क्षेत्र कौन सा है जो कालीनों से ढका नहीं है? अकेले प्रथम कालीन द्वारा आच्छादित क्षेत्र का क्षेत्रफल कितना है? ?

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फेसला

चित्र में, कमरे के फर्श को एक आयत के रूप में दिखाया गया है। सर्कल ए बड़ा कालीन है, सर्कल बी बीच वाला है, और सर्कल सी छोटा है। पहले प्रश्न का उत्तर 4 मी^2 है। दूसरे प्रश्न का उत्तर 2.5 मी^2 है। ए बी सी 5-1-0.5-1=2.5 4-1-0.5-1=1.5 3-1-0.5-1=0.5 1 1 एबीसी 0.5

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टास्क #4

कक्षा में 38 लोग हैं। इनमें से 16 बास्केटबॉल खेलते हैं, 17 हॉकी खेलते हैं और 18 वॉलीबॉल खेलते हैं। वे दो खेलों के शौकीन हैं - बास्केटबॉल और हॉकी - चार, बास्केटबॉल और वॉलीबॉल - तीन, वॉलीबॉल और हॉकी - पाँच। तीन बास्केटबॉल, वॉलीबॉल या हॉकी के शौकीन नहीं हैं। कितने बच्चे एक ही समय में तीन खेलों के शौकीन हैं? इनमें से केवल एक खेल में कितने बच्चे शामिल हैं?

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फेसला

बड़ा वृत्त कक्षा में सभी छात्रों का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि तीन छोटे वृत्त B, X और C क्रमशः बास्केटबॉल, हॉकी और वॉलीबॉल खिलाड़ियों का प्रतिनिधित्व करते हैं। BHV आंकड़ा उन लोगों को दर्शाता है जो तीनों खेलों के शौकीन हैं - z। एक बास्केटबॉल 16-(4+z+3)=9-z, हॉकी 8-z, वॉलीबॉल 10-z द्वारा खेला जाता है। हम समीकरण की रचना करते हैं: 38 \u003d 3 + (9-z) + (8-z) + (10-z) + 4 + 3 + 5 + z, जहाँ से z \u003d 2 3 B X B 9-Z 8-Z 4 जेड 3 5 10-जेड

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पीए वकुलचिक "गणित में गैर-मानक और ओलंपियाड समस्याएं" वी.ए. गुसेव। एएन ओरलोव। ए पी रोसेन्थल "गणित में पाठ्येतर कार्य" आई.एल. बाबिन्स्काया "गणितीय ओलंपियाड की समस्याएं" ए.वी. फार्कोव "गणित में ओलंपियाड की तैयारी" आई.एस. पेट्राकोव "गणितीय मंडल" साहित्य: http://poznayko.at.ua/photo/16-2-0-0-2 http://www .math-on-line.com.forum-tur http://images.yandex.ru/yandsearch?text

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प्रस्तुति - यूलर सर्कल का उपयोग करके समस्या हल करना

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रुचि रखने वालों के लिए
"यूलर सर्किलों का उपयोग करके समस्या हल करना"
5-6 ग्रेड

समस्याओं को हल करते समय तर्क को सुविधाजनक बनाने के लिए वृत्तों के रूप में समुच्चयों का निरूपण उपयुक्त है।

काम:
मेरे सभी दोस्त किसी न किसी खेल में शामिल हैं। उनमें से 17 फुटबॉल के शौकीन हैं, और 14 - बास्केटबॉल। और केवल दो ही दोनों खेलों के शौकीन हैं। सोचो मेरे कितने दोस्त हैं?

1. आइए दो सेट बनाएं, क्योंकि खेल दो प्रकार के होते हैं। एक में हम उन दोस्तों को रिकॉर्ड करेंगे जो फुटबॉल के शौकीन हैं, और दूसरे में - बास्केटबॉल
2. चूँकि कुछ मित्र दोनों खेलों के शौकीन हैं, इसलिए हम वृत्त खींचेंगे ताकि उनका एक समान भाग (चौराहा) हो।

2
15
12
उनमें से 17 फुटबॉल के शौकीन हैं, और 14 - बास्केटबॉल। और केवल दो ही दोनों खेलों के शौकीन हैं।
समस्या की स्थिति के अनुसार संख्याओं को व्यवस्थित करें: 1) सामान्य भाग में, संख्या 2 डालें (दो दोनों खेल के शौकीन हैं)
2) सर्कल के बाकी "फुटबॉल खिलाड़ी" में, हम संख्या 15 (17 - 2 = 15) डालते हैं। सर्कल के "बास्केटबॉल खिलाड़ी" के मुक्त हिस्से में हम संख्या 12 (14 - 2 = 12) डालते हैं।
फ़ुटबॉल
बास्केटबाल
3) कुल मित्र 15+2+12=29 उत्तर: 29 मित्र

काम:

1. हम तीन सेटों का चित्रण करेंगे, क्योंकि तीन शौक हैं। एक में, हम ड्रामा सर्कल के लोगों को रिकॉर्ड करेंगे, दूसरे में, जो लोग गाते हैं। तीसरे में, हम उन लोगों को रिकॉर्ड करेंगे जो खेल के शौकीन हैं।
2. चूंकि कुछ लोग हर चीज के शौकीन होते हैं, इसलिए हम वृत्त खींचेंगे ताकि उनका एक चौराहा हो।

नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल

नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
3 एथलीट नाटक क्लब और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं, इसलिए हम इस सामान्य भाग को भरते हैं।
3
पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
रंगीन भाग नाटक मंडली और गाना बजानेवालों में लोगों की गतिविधियों को दर्शाता है।

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
शर्त के मुताबिक, ड्रामा क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं। और चूंकि पिछले रीजनिंग में नंबर 3 सेट किया गया था, तो शेष भाग में हम नंबर 7 (10-3=7) डालते हैं

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
3
7

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
चित्रित भाग नाटक क्लब में एथलीटों के व्यवसाय को दर्शाता है।

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
शर्त के मुताबिक ड्रामा क्लब में 8 एथलीट हैं। और चूँकि पिछले रीजनिंग में नंबर 3 सेट किया गया था, तो शेष भाग में हम 5 नंबर डालते हैं (8-3=5)

3
5
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
रंगीन भाग दिखाता है कि गाना बजानेवालों में कितने एथलीट गाते हैं।

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
शर्त के मुताबिक गाना बजानेवालों में 6 एथलीट होते हैं। और चूँकि पिछले रीजनिंग में नंबर 3 निर्धारित किया गया था, तो शेष भाग में हम 3 नंबर (6-3=3) डालते हैं।

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
3
3

नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
3
7
5
3

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
रंगीन भाग दिखाता है कि ड्रामा क्लब में कितने लोग हैं।

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
शर्त के मुताबिक 27 एक ड्रामा सर्कल में लगे हुए हैं। और चूँकि संख्या 3,5,7 को पिछले तर्क में रखा गया था, तो शेष भाग में हम संख्या 12 (27-(3+5+7)=12) डालते हैं।

नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
3
7
5
12
पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
रंगीन भाग दिखाता है कि गाना बजानेवालों में कितने बच्चे गा रहे हैं।

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
32 की शर्त के अनुसार, वे गाना बजानेवालों में गाते हैं। और चूंकि पिछले तर्क में संख्या 3,3,7 निर्धारित की गई थी, तो शेष भाग में हम संख्या 19 (32-(3+3+7)=19) डालते हैं।
3
7
3
19

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल
रंगीन भाग से पता चलता है कि कितने बच्चे खेलों में शामिल हैं।

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?
शर्त के मुताबिक 22 लोग खेलकूद के शौकीन हैं। और चूँकि पिछले रीजनिंग में 3,5,3 अंक डाले गए थे, तो शेष भाग में हम संख्या 11 (22-(3+5+3)=11) डालते हैं।
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल

पायनियर कैंप में 70 बच्चे हैं। इनमें से 27 नाटक मंडली में शामिल हैं, 32 गाना बजानेवालों में गाते हैं, 22 खेल के शौकीन हैं। नाटक क्लब में गाना बजानेवालों से 10 लोग हैं, गाना बजानेवालों में 6 एथलीट, नाटक क्लब में 8 एथलीट हैं; 3 एथलीट ड्रामा सर्कल और गाना बजानेवालों दोनों में भाग लेते हैं। कितने लोग गाते नहीं हैं, खेल के लिए नहीं जाते हैं, नाटक क्लब में नहीं खेलते हैं?
नाटक मंडली
गाना बजानेवालों
खेल

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स्लाइड कैप्शन:

लियोनहार्ड यूलर आदर्श 18वीं सदी के गणितज्ञ जिन्होंने समुच्चयों के मिलन और प्रतिच्छेदन की अवधारणा पेश की

यूलर ने लिखा है कि "वृत्त हमारे प्रतिबिंबों को सुविधाजनक बनाने के लिए बहुत उपयुक्त हैं।" कई समस्याओं को हल करते समय, लियोनहार्ड यूलर ने मंडलियों का उपयोग करके सेटों को चित्रित करने के विचार का इस्तेमाल किया और उन्हें "यूलर सर्कल" कहा गया।

यूलर की मंडलियां यूलर की मंडलियां मॉडलिंग का एक तरीका है, अवधारणाओं की मात्रा के बीच संबंधों का एक दृश्य प्रतिनिधित्व, तर्क में अपनाया गया, मंडलियों का उपयोग करके।

तार्किक कनेक्शन का अर्थ स्पष्ट हो जाता है अगर उन्हें यूलर सर्कल की मदद से चित्रित किया जाता है यूलर सर्कल यूलर सर्कल एक ज्यामितीय योजना है जो घटना और अवधारणाओं के बीच अधिक दृश्यमान तार्किक कनेक्शन खोजने और/या बनाने में मदद करती है। यह किसी भी सेट और उसके हिस्से के बीच संबंध को चित्रित करने में भी मदद करता है। स्कूल 5वीं कक्षा 9वीं कक्षा ग्रेड 9 "ए" यूलर सर्कल वह तरीका है जो स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है कि सौ बार सुनने की तुलना में एक बार देखना बेहतर है। उनकी योग्यता यह है कि दृश्यता तर्क को सरल बनाती है और उत्तर को तेजी से और आसानी से प्राप्त करने में मदद करती है। कुछ समस्याओं को हल करने के लिए यूलर विधि अपरिहार्य है।

टास्क 1. "इनहैबिटेड आइलैंड" और "हिपस्टर्स" हमारी कक्षा के कुछ लोग फिल्मों में जाना पसंद करते हैं। यह ज्ञात है कि 15 लोगों ने फिल्म "इनहैबिटेड आइलैंड" देखी, 11 लोगों ने फिल्म "डांडीज" देखी, जिनमें से 6 ने "इनहैबिटेड आइलैंड" और "डांडीज" दोनों को देखा। कितने लोगों ने केवल "डांडीज" फिल्म देखी?

समाधान: हम इस तरह से दो सेट बनाते हैं: 6 "डैंडीज़" "इनहैबिटेड आइलैंड" 6 लोग जिन्होंने "इनहैबिटेड आइलैंड" और "डांडीज़" फ़िल्में देखीं, उन्हें सेट के चौराहे पर रखा गया है। 15 - 6 = 9 - वे लोग जिन्होंने केवल "इनहैबिटेड आइलैंड" देखा। 11 - 6 = 5 - केवल शैलीगी देखने वाले लोग। हमें मिलता है: "स्टाइलगी" "आबाद द्वीप" 9 5 6 उत्तर: 5 लोगों ने केवल "स्टाइलगी" देखा।

टास्क 2. "हैरी पॉटर, रॉन और हर्मियोन" शेल्फ पर मंत्रों पर 26 जादुई किताबें थीं, उन सभी को पढ़ा गया था। इनमें से 4 को हैरी पॉटर और रॉन दोनों ने पढ़ा। हरमाइन ने 7 किताबें पढ़ीं जिन्हें न तो हैरी पॉटर और न ही रॉन ने पढ़ा, और दो किताबें जिन्हें हैरी पॉटर ने पढ़ा। हैरी पॉटर ने कुल 11 किताबें पढ़ी हैं। रॉन ने अकेले कितनी किताबें पढ़ी हैं?

समस्या की स्थितियों को देखते हुए, चित्र इस प्रकार होगा: समाधान: 4 2 7 हरमाइन रॉन हैरी पॉटर हैरी। अतः 26 - 7 - 2 - 5 - 4 = 8 - केवल रॉन ही पुस्तकें पढ़ता है। जवाब। केवल रॉन ने 8 पुस्तकें पढ़ी हैं। 11 8

निष्कर्ष: यूलर सर्कल (यूलर-वेन आरेख) के उपयोग से उन समस्याओं को हल करना आसान हो जाता है जिन्हें तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की प्रणाली को संकलित करते समय सामान्य तरीके से हल किया जा सकता है

जानकारी के स्रोत: http:// f1.mylove.ru/0AkEJdLeQl.jpg http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html http://inf.reshuege.ru/test?theme= 256

यूलर सर्कल (यूलर सर्कल)।

पाठ का उद्देश्य: छात्रों को सर्कल विधि का उपयोग करके सरलतम तार्किक समस्याओं को हल करने के लिए परिचय देना पाठ उद्देश्य शैक्षिक: छात्रों को यूलर सर्कल विधि का एक विचार देना; विकासशील: तार्किक और विश्लेषणात्मक सोच का विकास; शैक्षिक: अन्य छात्रों की राय सुनने और उनकी बात का बचाव करने की क्षमता को शिक्षित करना।

यूलर सर्कल (यूलर सर्कल) - मॉडलिंग की एक विधि, प्रसिद्ध गणितज्ञ एल। यूलर (1707-1783) द्वारा प्रस्तावित तर्क में अपनाए गए हलकों की मदद से अवधारणाओं की मात्रा के बीच संबंधों का एक दृश्य प्रतिनिधित्व। हलकों के माध्यम से अवधारणाओं की मात्रा के बीच संबंधों का पदनाम एथेनियन नियोप्लाटोनिक स्कूल - फिलोपोन (छठी शताब्दी) के एक प्रतिनिधि द्वारा उपयोग किया गया था, जिन्होंने अरस्तू के "फर्स्ट एनालिटिक्स" पर टिप्पणियां लिखी थीं।

1. यह सशर्त रूप से स्वीकार किया जाता है कि सर्कल स्पष्ट रूप से कुछ अवधारणाओं में से एक की मात्रा को दर्शाता है। एक ही अवधारणा का दायरा वस्तुओं के एक विशेष वर्ग की वस्तुओं की समग्रता को दर्शाता है। इसलिए, वस्तुओं के एक वर्ग की प्रत्येक वस्तु को एक वृत्त के अंदर रखे एक बिंदु द्वारा दर्शाया जा सकता है:

2. वस्तुओं का एक समूह जो किसी दिए गए वर्ग की वस्तुओं का दृश्य बनाता है, उसे एक बड़े वृत्त के अंदर खींचे गए एक छोटे वृत्त के रूप में दर्शाया गया है। ऐसा संबंध "आकाशीय पिंड" (ए) और "धूमकेतु" (बी) की अवधारणाओं के संस्करणों के बीच मौजूद है। अवधारणा "आकाशीय पिंड" का आयतन एक बड़े वृत्त से मेल खाता है, और "धूमकेतु" अवधारणा का आयतन एक छोटे वृत्त से मेल खाता है। इसका मतलब है कि सभी धूमकेतु आकाशीय पिंड हैं। "धूमकेतु" की अवधारणा का पूरा दायरा "खगोलीय पिंड" की अवधारणा के दायरे में शामिल है।

3. जब अवधारणा ए के आयतन में प्रदर्शित कोई वस्तु एक साथ अवधारणा बी के आयतन में प्रदर्शित नहीं की जा सकती है, तो इस मामले में अवधारणाओं के संस्करणों के बीच के संबंध को एक दूसरे के बाहर खींचे गए दो वृत्तों के माध्यम से दर्शाया जाता है। एक वृत्त की सतह पर स्थित कोई भी बिंदु दूसरे वृत्त की सतह पर नहीं हो सकता है। ऐसा संबंध मौजूद है, उदाहरण के लिए, "अधिक त्रिभुज" और "तीव्र त्रिभुज" की अवधारणाओं के बीच। "अधिक कोण वाले त्रिभुज" की अवधारणा के दायरे में एक भी न्यूनकोण त्रिभुज प्रदर्शित नहीं होता है, और एक भी अधिक कोण वाला त्रिभुज "तीव्र-कोण त्रिभुज" अवधारणा के दायरे में प्रदर्शित नहीं होता है।

4. एक सामान्य सकारात्मक निर्णय में विषय की मात्रा और विधेय के बीच संबंध की योजना, जो अवधारणा की परिभाषा नहीं है, अलग दिखती है। ऐसे निर्णय में, विधेय का दायरा विषय के दायरे से बड़ा होता है, विषय का दायरा पूरी तरह से विधेय के दायरे में शामिल होता है। इसलिए, उनके बीच के संबंध को बड़े और छोटे वृत्तों के माध्यम से दर्शाया गया है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

5. समतुल्य अवधारणाओं के बीच संबंध, जिनमें से मात्राएँ मेल खाती हैं, एक वृत्त के माध्यम से नेत्रहीन प्रदर्शित होती हैं, जिसकी सतह पर दो अक्षर लिखे जाते हैं, जो दो अवधारणाओं को समान मात्रा में दर्शाते हैं: ऐसा संबंध मौजूद है, उदाहरण के लिए, के बीच अवधारणाएं "अंग्रेजी भौतिकवाद के संस्थापक" और "द न्यू ऑर्गन के लेखक। इन अवधारणाओं के खंड समान हैं, वे एक ही ऐतिहासिक व्यक्ति को दर्शाते हैं - अंग्रेजी दार्शनिक एफ। बेकन।

6. यह अक्सर ऐसा होता है: कई विशिष्ट अवधारणाएं एक साथ एक अवधारणा (सामान्य) के अधीन होती हैं, जिन्हें इस मामले में अधीनस्थ कहा जाता है। इस तरह की अवधारणाओं के बीच संबंध एक बड़े सर्कल और कई छोटे सर्कल के माध्यम से देखे जाते हैं, जो एक बड़े सर्कल की सतह पर खींचे जाते हैं: "वायलिन", "बांसुरी", "पियानो", "पियानो" अवधारणाओं के बीच ऐसा संबंध मौजूद है "," ड्रम "। ये अवधारणाएं "संगीत वाद्ययंत्र" की एक सामान्य सामान्य अवधारणा के समान रूप से अधीनस्थ हैं।

7. ऐसे मामलों में जहां अवधारणाओं के बीच विरोध का संबंध होता है, ऐसी अवधारणाओं के संस्करणों के बीच संबंध एक सर्कल के माध्यम से प्रदर्शित होता है, जो दोनों विपरीत अवधारणाओं के लिए सामान्य अवधारणा को दर्शाता है, और विपरीत अवधारणाओं के बीच संबंध निम्नानुसार इंगित किया जाता है : ए एक सामान्य अवधारणा है, बी और सी विपरीत अवधारणाएं हैं। विपरीत अवधारणाएं एक-दूसरे को बाहर करती हैं, लेकिन एक ही जीनस में शामिल होती हैं, जिसे निम्नलिखित योजना द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: साथ ही, यह स्पष्ट है कि विपरीत अवधारणाओं के बीच एक तिहाई, मध्य संभव है, क्योंकि वे पूरी तरह से समाप्त नहीं होते हैं सामान्य अवधारणा का दायरा। "प्रकाश" और "भारी" की अवधारणाओं के बीच ऐसा संबंध है। वे एक दूसरे को बहिष्कृत करते हैं। एक ही वस्तु, एक ही समय और एक ही प्रकार से ली गई, को हल्का और भारी दोनों नहीं कहा जा सकता। लेकिन इन अवधारणाओं के बीच एक मध्य है, तीसरा: वस्तुएं न केवल हल्के और भारी वजन की होती हैं, बल्कि मध्यम वजन की भी होती हैं।

8. जब अवधारणाओं के बीच एक विरोधाभासी संबंध होता है, तो अवधारणाओं के संस्करणों के बीच संबंध को अलग तरह से दर्शाया जाता है: सर्कल को दो भागों में विभाजित किया जाता है: ए एक सामान्य अवधारणा है, बी और गैर-बी (बी के रूप में चिह्नित) हैं विरोधाभासी अवधारणाएं। विरोधाभासी अवधारणाएं एक-दूसरे को बाहर करती हैं और एक ही जीनस में शामिल होती हैं, जिसे इस तरह की योजना द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: यह स्पष्ट है कि परस्पर विरोधी अवधारणाओं के बीच एक तिहाई, मध्य असंभव है, क्योंकि वे सामान्य अवधारणा के दायरे को पूरी तरह से समाप्त कर देते हैं। ऐसा संबंध मौजूद है, उदाहरण के लिए, "सफेद" और "गैर-सफेद" अवधारणाओं के बीच। वे एक दूसरे को बहिष्कृत करते हैं। एक ही वस्तु को, एक ही समय और एक ही प्रकार से लिया गया, श्वेत और अश्वेत दोनों नहीं कहा जा सकता।

9. यूलर सर्किलों की सहायता से, विषय की मात्रा और निर्णय में विधेय के बीच संबंधों को भी दर्शाया गया है। तो, एक सामान्य सकारात्मक निर्णय में एक अवधारणा की परिभाषा को व्यक्त करते हुए, विषय और विधेय की मात्रा, जैसा कि ज्ञात है, समान हैं। नेत्रहीन, विषय और विधेय के बीच इस तरह के संबंध को एक सर्कल के माध्यम से दर्शाया गया है, समान अवधारणाओं के संस्करणों के बीच संबंधों के चित्रण के समान। अंतर केवल इतना है कि इस मामले में, दो निश्चित अक्षर हमेशा वृत्त की सतह पर अंकित होते हैं: S (विषय) और P (विधेय), जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

कार्य 1. पालतू जानवर। मेरे सभी दोस्तों के पास पालतू जानवर हैं। उनमें से छह बिल्लियों को प्यार करते हैं और रखते हैं, और पांच - कुत्ते। और केवल दो के पास दोनों हैं। सोचो मेरी कितनी गर्लफ्रैंड है ? हल: दो वृत्त खींचिए, क्योंकि हमारे पास दो प्रकार के पालतू जानवर हैं। एक में हम बिल्लियों के मालिकों को ठीक करेंगे, दूसरे में - कुत्ते। चूँकि कुछ दोस्तों के पास वे और अन्य जानवर दोनों हैं, इसलिए हम वृत्त खींचेंगे ताकि उनका एक समान भाग हो। इस सामान्य भाग में, हम संख्या 2 रखते हैं, क्योंकि दो में बिल्लियाँ और कुत्ते हैं। शेष "बिल्ली" सर्कल में, संख्या 4 (6 - 2 = 4) डालें। "डॉग" सर्कल के मुक्त हिस्से में हम नंबर 3 (5 - 2 = 3) डालते हैं। और अब ड्राइंग से ही पता चलता है कि कुल मिलाकर मेरी 4 + 2 + 3 = 9 गर्लफ्रेंड हैं।

जवाब। 9 गर्लफ्रेंड।

कार्य 2. पुस्तकालय। कक्षा में 30 छात्र हैं। ये सभी स्कूल और जिला पुस्तकालयों के पाठक हैं। इनमें से 20 बच्चे स्कूल के पुस्तकालय से, 15 जिला पुस्तकालय से पुस्तकें लेते हैं। कितने विद्यार्थी विद्यालय के पुस्तकालय के पाठक नहीं हैं? हल: मान लीजिए कि वृत्त W केवल स्कूल पुस्तकालय के पाठकों का प्रतिनिधित्व करता है, वृत्त P - केवल जिला पुस्तकालय। फिर ShR एक ही समय में जिला और स्कूल दोनों पुस्तकालयों के पाठकों की एक छवि है। यह इस आंकड़े से पता चलता है कि जो छात्र स्कूल पुस्तकालय के पाठक नहीं हैं, उनकी संख्या है: (W नहीं) = P - SHR। कुल 30 छात्र हैं, W = 20 लोग, R = 15 लोग। तब SR का मान निम्नानुसार पाया जा सकता है (चित्र देखें): SR = (W + P) - 30 = (20 + 15) - 30 = = 5, अर्थात। 5 छात्र एक ही समय में स्कूल और जिला पुस्तकालयों के पाठक हैं। तब (डब्ल्यू नहीं) \u003d पी - डब्ल्यूआर \u003d 15 - 5 \u003d 10.

उत्तर: 10 विद्यार्थी विद्यालय के पुस्तकालय के पाठक नहीं हैं।

टास्क 3. पसंदीदा कार्टून। पांचवीं कक्षा के स्कूली बच्चों के बीच उनके पसंदीदा कार्टून पर एक सर्वेक्षण किया गया। तीन कार्टून सबसे लोकप्रिय निकले: "स्नो व्हाइट एंड द सेवन ड्वार्फ्स", "विनी द पूह", "मिकी माउस"। कक्षा में 28 लोग हैं। "स्नो व्हाइट एंड द सेवन ड्वार्फ्स" को 16 छात्रों द्वारा चुना गया था, जिनमें से तीन का नाम "मिकी माउस", छह - "विनी द पूह" भी था, और एक ने तीनों कार्टून लिखे। कार्टून "मिकी माउस" का नाम 9 लोगों ने रखा था, जिनमें से पांच ने दो-दो कार्टून चुने। कितने लोगों ने कार्टून "विनी द पूह" चुना? हल: इस समस्या में 3 समुच्चय हैं, समस्या की स्थितियों से यह स्पष्ट है कि वे सभी एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। केवल "स्नो व्हाइट" को 16-6-3-1=6 लोगों द्वारा चुना गया था। केवल "मिकी माउस" को 9-3-2-1=3 लोगों ने चुना था। केवल "विनी द पूह" को 28-(6+3+3+2+6+1)=7 लोगों द्वारा चुना गया था। फिर, यह देखते हुए कि उनमें से कुछ ने कई कार्टून चुने, हम पाते हैं कि "विनी द पूह" को 7+6+1+2=16 लोगों ने चुना था।

टास्क 7. सभी के लिए खेल। कक्षा में 38 लोग हैं। इनमें से 16 बास्केटबॉल खेलते हैं, 17 हॉकी खेलते हैं और 18 फुटबॉल खेलते हैं। वे दो खेलों के शौकीन हैं - बास्केटबॉल और हॉकी - चार, बास्केटबॉल और फुटबॉल - तीन, फुटबॉल और हॉकी - पांच। तीन बास्केटबॉल, हॉकी या फुटबॉल के शौकीन नहीं हैं। कितने बच्चे एक ही समय में तीन खेलों के शौकीन हैं? इनमें से केवल एक खेल में कितने बच्चे शामिल हैं? फेसला। आइए यूलर सर्कल का उपयोग करें। मान लें कि बड़ा वृत्त कक्षा में सभी छात्रों का प्रतिनिधित्व करता है, और तीन छोटे वृत्त B, X और F क्रमशः बास्केटबॉल, हॉकी और फ़ुटबॉल खिलाड़ियों का प्रतिनिधित्व करते हैं। फिर Z, वृत्त B, X और F का सामान्य भाग, उन लोगों को दर्शाता है जो तीन खेलों के शौकीन हैं। यूलर के वृत्तों के विचार से यह देखा जा सकता है कि 16 - (4 + z + 3) = 9 - z केवल एक ही प्रकार के खेल - बास्केटबॉल में लगे हुए हैं; अकेले हॉकी 17 - (4 + z + 5) = 8 - z; केवल फुटबॉल

18 - (3 + जेड + 5) = 10 - जेड। हम इस तथ्य का उपयोग करके एक समीकरण बनाते हैं कि कक्षा बच्चों के अलग-अलग समूहों में विभाजित है; प्रत्येक समूह में लोगों की संख्या फ्रेम के साथ आकृति में परिक्रमा करती है: 3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,z = 2. इस प्रकार , दो लोग तीनों खेलों के शौकीन हैं। संख्या 9 - z , 8 - z और 10 - z जोड़ने पर, जहाँ z = 2, हम उन लोगों की संख्या पाते हैं जो केवल एक खेल के शौकीन हैं: 21 लोग। उत्तर: दो लड़के तीनों प्रकार के मानव खेलों के शौकीन होते हैं। केवल एक ही खेल के शौकीन: 21 लोग।

टास्क स्पोर्ट्स क्लास। कक्षा में 35 छात्र हैं। उनमें से 24 फुटबॉल खेलते हैं, 18 वॉलीबॉल खेलते हैं, 12 बास्केटबॉल खेलते हैं। 10 छात्र एक ही समय में फुटबॉल और वॉलीबॉल खेलते हैं, 8 - फुटबॉल और बास्केटबॉल, और 5 - वॉलीबॉल और बास्केटबॉल। कितने विद्यार्थी एक ही समय में फ़ुटबॉल, वॉलीबॉल और बास्केटबॉल खेलते हैं? गृहकार्य