कोई भी माप हमेशा माप उपकरणों की सीमित सटीकता, गलत विकल्प, और माप पद्धति की त्रुटि, प्रयोगकर्ता के शरीर विज्ञान, मापी गई वस्तुओं की विशेषताओं, माप की स्थिति में परिवर्तन आदि से जुड़ी कुछ त्रुटियों के साथ किया जाता है। इसलिए, मापन कार्य में न केवल मात्रा का पता लगाना शामिल है, बल्कि माप त्रुटि भी शामिल है, अर्थात। वह अंतराल जिसमें मापी गई मात्रा का सही मान मिलने की सबसे अधिक संभावना है। उदाहरण के लिए, 0.2 s के विभाजन मान वाली स्टॉपवॉच के साथ समय अंतराल t को मापते समय, हम कह सकते हैं कि इसका वास्तविक मान s से अंतराल में है 
साथ। इस प्रकार, मापा मान में हमेशा कुछ त्रुटि होती है 
, कहाँ पे 
और एक्स, क्रमशः, अध्ययन के तहत मात्रा के सही और मापा मूल्य हैं। मूल्य 
बुलाया पूर्ण त्रुटि(त्रुटि) माप, और व्यंजक 
माप सटीकता की विशेषता को कहा जाता है रिश्तेदारों की गलती।
प्रयोगकर्ता के लिए हर माप को अधिकतम प्राप्य सटीकता के साथ करने का प्रयास करना काफी स्वाभाविक है, लेकिन ऐसा दृष्टिकोण हमेशा समीचीन नहीं होता है। जितना अधिक सटीक रूप से हम इस या उस मात्रा को मापना चाहते हैं, उतने ही जटिल उपकरणों का हमें उपयोग करना चाहिए, इन मापों में उतना ही अधिक समय लगेगा। इसलिए, अंतिम परिणाम की सटीकता प्रयोग के उद्देश्य के अनुरूप होनी चाहिए। त्रुटियों का सिद्धांत इस बारे में सिफारिशें देता है कि माप कैसे लिया जाना चाहिए और परिणामों को कैसे संसाधित किया जाना चाहिए ताकि त्रुटि का मार्जिन यथासंभव छोटा हो।
माप के दौरान उत्पन्न होने वाली सभी त्रुटियों को आमतौर पर तीन प्रकारों में विभाजित किया जाता है - व्यवस्थित, यादृच्छिक और चूक, या सकल त्रुटियां।
व्यवस्थित त्रुटियांउपकरणों (साधन त्रुटियों) के निर्माण की सीमित सटीकता के कारण, चुनी गई माप पद्धति की कमियां, गणना सूत्र की अशुद्धि, डिवाइस की अनुचित स्थापना आदि। इस प्रकार, व्यवस्थित त्रुटियां उन कारकों के कारण होती हैं जो उसी तरह से कार्य करते हैं जब एक ही माप को कई बार दोहराया जाता है। इस त्रुटि का मान एक निश्चित कानून के अनुसार व्यवस्थित रूप से दोहराया या बदला जाता है। कुछ व्यवस्थित त्रुटियों को समाप्त किया जा सकता है (व्यवहार में, इसे प्राप्त करना हमेशा आसान होता है) माप पद्धति को बदलकर, उपकरण रीडिंग में सुधार शुरू करके और बाहरी कारकों के निरंतर प्रभाव को ध्यान में रखते हुए।
हालांकि बार-बार माप के दौरान व्यवस्थित (वाद्य) त्रुटि एक दिशा में सही मूल्य से मापा मूल्य का विचलन देती है, हम कभी नहीं जानते कि किस दिशा में। इसलिए, वाद्य त्रुटि को दोहरे चिन्ह के साथ लिखा जाता है
यादृच्छिक त्रुटियांबड़ी संख्या में यादृच्छिक कारणों (तापमान में परिवर्तन, दबाव, भवन का हिलना आदि) के कारण होता है, जिसका प्रभाव प्रत्येक माप पर भिन्न होता है और इसे पहले से ध्यान में नहीं रखा जा सकता है। प्रयोगकर्ता की इंद्रियों की अपूर्णता के कारण भी यादृच्छिक त्रुटियां होती हैं। यादृच्छिक त्रुटियों में मापी गई वस्तु के गुणों के कारण त्रुटियां भी शामिल हैं।
व्यक्तिगत माप की यादृच्छिक त्रुटियों को बाहर करना असंभव है, लेकिन कई माप करके अंतिम परिणाम पर इन त्रुटियों के प्रभाव को कम करना संभव है। यदि यादृच्छिक त्रुटि वाद्य (व्यवस्थित) त्रुटि से काफी कम हो जाती है, तो माप की संख्या में वृद्धि करके यादृच्छिक त्रुटि को और कम करने का कोई मतलब नहीं है। यदि यादृच्छिक त्रुटि वाद्य त्रुटि से अधिक है, तो यादृच्छिक त्रुटि के मूल्य को कम करने के लिए माप की संख्या में वृद्धि की जानी चाहिए और इसे वाद्य त्रुटि के साथ परिमाण के एक से कम या एक क्रम में करना चाहिए।
गलतियाँ या भूल- ये डिवाइस पर गलत रीडिंग, रीडिंग की गलत रिकॉर्डिंग आदि हैं। एक नियम के रूप में, संकेतित कारणों से चूक स्पष्ट रूप से दिखाई देती है, क्योंकि उनके अनुरूप रीडिंग अन्य रीडिंग से तेजी से भिन्न होती है। नियंत्रण माप द्वारा चूक को समाप्त किया जाना चाहिए। इस प्रकार, अंतराल की चौड़ाई जिसमें मापी गई मात्राओं के वास्तविक मान निहित हैं, केवल यादृच्छिक और व्यवस्थित त्रुटियों द्वारा निर्धारित की जाएगी।
2 . व्यवस्थित (वाद्य) त्रुटि का अनुमान
प्रत्यक्ष माप के लिएमापी गई मात्रा का मान सीधे मापने वाले यंत्र के पैमाने पर पढ़ा जाता है। रीडिंग एरर स्केल डिवीजन के कई दसवें हिस्से तक पहुंच सकता है। आमतौर पर, ऐसे मापों में, व्यवस्थित त्रुटि के परिमाण को मापक यंत्र के आधे पैमाने के विभाजन के बराबर माना जाता है। उदाहरण के लिए, 0.05 मिमी के विभाजन मान वाले कैलीपर से मापते समय, वाद्य माप त्रुटि का मान 0.025 मिमी के बराबर लिया जाता है।
डिजिटल मापक यंत्र उन मात्राओं का मान देते हैं जिन्हें वे मापते हैं और उपकरण के पैमाने पर अंतिम अंक की एक इकाई के मान के बराबर होती हैं। इसलिए, यदि एक डिजिटल वाल्टमीटर 20.45 mV का मान दिखाता है, तो माप में पूर्ण त्रुटि है 
एमवी
तालिकाओं से निर्धारित निरंतर मूल्यों का उपयोग करते समय व्यवस्थित त्रुटियां भी उत्पन्न होती हैं। ऐसे मामलों में, त्रुटि को अंतिम महत्वपूर्ण अंक के आधे के बराबर लिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि तालिका में स्टील के घनत्व का मान 7.9∙10 3 किग्रा / मी 3 के बराबर है, तो इस मामले में पूर्ण त्रुटि के बराबर है 
किग्रा / मी 3.
विद्युत माप उपकरणों की वाद्य त्रुटियों की गणना में कुछ विशेषताओं पर नीचे चर्चा की जाएगी।
अप्रत्यक्ष माप की व्यवस्थित (वाद्य) त्रुटि का निर्धारण करते समयकार्यात्मक मूल्य 
सूत्र का उपयोग किया जाता है
, (1)
कहाँ पे 
- मात्रा के प्रत्यक्ष माप के साधन त्रुटियाँ 
, 
- चर के संबंध में फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न।
एक उदाहरण के रूप में, हम एक बेलन का आयतन मापते समय व्यवस्थित त्रुटि की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करेंगे। बेलन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र है
.
चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न डी और एचबराबर होगा
, 
.
इस प्रकार, (2. ..) के अनुसार एक सिलेंडर की मात्रा को मापने में पूर्ण व्यवस्थित त्रुटि निर्धारित करने के सूत्र का निम्न रूप है
,
कहाँ पे 
और 
सिलेंडर के व्यास और ऊंचाई को मापने में वाद्य त्रुटियाँ
3. यादृच्छिक त्रुटि अनुमान।
कॉन्फिडेंस इंटरवल और कॉन्फिडेंस प्रोबेबिलिटी
साधारण मापों के विशाल बहुमत के लिए, यादृच्छिक त्रुटियों के तथाकथित सामान्य नियम को अच्छी तरह से संतुष्ट किया जाता है ( गॉस कानून), निम्नलिखित अनुभवजन्य प्रावधानों से प्राप्त हुआ।
माप त्रुटियाँ मूल्यों की एक सतत श्रृंखला ले सकती हैं;
बड़ी संख्या में माप के साथ, समान परिमाण की त्रुटियां, लेकिन एक अलग संकेत की, समान रूप से अक्सर होती हैं,
यादृच्छिक त्रुटि जितनी बड़ी होगी, उसके होने की संभावना उतनी ही कम होगी।
सामान्य गाऊसी बंटन का ग्राफ चित्र 1 में दिखाया गया है। वक्र समीकरण का रूप है
, (2)
कहाँ पे 
- यादृच्छिक त्रुटियों (त्रुटियों) का वितरण कार्य, त्रुटि की संभावना को दर्शाता है 
, σ मूल माध्य वर्ग त्रुटि है।
मान σ एक यादृच्छिक चर नहीं है और माप प्रक्रिया की विशेषता है। यदि माप की स्थिति नहीं बदलती है, तो σ स्थिर रहता है। इस राशि का वर्ग कहलाता है माप का फैलाव।फैलाव जितना छोटा होगा, व्यक्तिगत मूल्यों का प्रसार उतना ही छोटा होगा और माप सटीकता उतनी ही अधिक होगी।
मूल-माध्य-वर्ग त्रुटि σ का सटीक मान, साथ ही मापी गई मात्रा का सही मान अज्ञात है। इस पैरामीटर का एक तथाकथित सांख्यिकीय अनुमान है, जिसके अनुसार माध्य वर्ग त्रुटि अंकगणित माध्य के माध्य वर्ग त्रुटि के बराबर है 
. जिसका मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
, (3)
कहाँ पे 
- नतीजा मैं-वें आयाम; 
- प्राप्त मूल्यों का अंकगणितीय माध्य; एन
माप की संख्या है।
माप की संख्या जितनी बड़ी होगी, उतना ही छोटा और जितना अधिक वह के करीब पहुंचेगा। यदि मापे गए मान का सही मान μ, माप के परिणामस्वरूप प्राप्त अंकगणितीय माध्य मान और यादृच्छिक निरपेक्ष त्रुटि है, तो माप परिणाम के रूप में लिखा जाएगा 
.
से मान अंतराल 
इससे पहले 
, जिसमें मापी गई मात्रा का वास्तविक मान μ गिरता है, कहलाता है विश्वास अंतराल।चूंकि यह एक यादृच्छिक चर है, वास्तविक मान एक प्रायिकता α के साथ विश्वास अंतराल में आता है, जिसे कहा जाता है आत्मविश्वास की संभावना,या विश्वसनीयतामाप। यह मान संख्यात्मक रूप से छायांकित वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर है। (तस्वीर देखें।)
यह सब पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में माप के लिए सच है, जब के करीब होता है। माप की एक छोटी संख्या के लिए आत्मविश्वास अंतराल और आत्मविश्वास के स्तर को खोजने के लिए, जिसे हम प्रयोगशाला कार्य के दौरान व्यवहार करते हैं, हम उपयोग करते हैं छात्र की संभावना वितरण।यह यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन है 
बुलाया छात्र का गुणांक, अंकगणित माध्य के मूल माध्य वर्ग त्रुटि के अंशों में विश्वास अंतराल का मान देता है।
. (4)
इस मात्रा का प्रायिकता वितरण 2 पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन अनिवार्य रूप से प्रयोगों की संख्या पर निर्भर करता है एन. प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ एनविद्यार्थी का वितरण गाऊसी वितरण की ओर जाता है।
वितरण फलन सारणीबद्ध है (तालिका 1)। मापन की संख्या के अनुरूप रेखा के प्रतिच्छेदन पर विद्यार्थी के गुणांक का मान होता है एन, और विश्वास स्तर α . के अनुरूप कॉलम
तालिका नंबर एक।
तालिका में डेटा का उपयोग करके, आप यह कर सकते हैं:
एक निश्चित संभावना को देखते हुए, विश्वास अंतराल निर्धारित करें;
एक आत्मविश्वास अंतराल चुनें और आत्मविश्वास का स्तर निर्धारित करें।
अप्रत्यक्ष माप के लिए, फ़ंक्शन के अंकगणितीय माध्य की मूल माध्य वर्ग त्रुटि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
. (5)
कॉन्फिडेंस इंटरवल और कॉन्फिडेंस प्रायिकता उसी तरह निर्धारित की जाती है जैसे प्रत्यक्ष माप के मामले में।
कुल माप त्रुटि का अनुमान। अंतिम परिणाम रिकॉर्ड करना।
X . के माप परिणाम की कुल त्रुटि व्यवस्थित और यादृच्छिक त्रुटियों के माध्य वर्ग मान के रूप में परिभाषित किया जाएगा
, (6)
कहाँ पे x -वाद्य त्रुटि, एक्सएक यादृच्छिक त्रुटि है।
X प्रत्यक्ष या परोक्ष रूप से मापी गई मात्रा हो सकती है।
, α=…, =… (7)
यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि त्रुटियों के सिद्धांत के सूत्र स्वयं बड़ी संख्या में माप के लिए मान्य हैं। इसलिए, यादृच्छिक का मान, और परिणामस्वरूप, कुल त्रुटि एक छोटे से निर्धारित की जाती है एनएक बड़ी गलती के साथ। . की गणना करते समय एक्समाप की संख्या के साथ 
एक सार्थक अंक को सीमित करने की अनुशंसा की जाती है यदि यह 3 से अधिक है और दो यदि पहला सार्थक अंक 3 से कम है। उदाहरण के लिए, यदि एक्स= 0.042, फिर 2 को छोड़ दें और . लिखें एक्स= 0.04, और यदि एक्स=0.123, तब हम . लिखते हैं एक्स=0,12.
परिणाम के अंकों की संख्या और कुल त्रुटि समान होनी चाहिए। इसलिए, त्रुटि का अंकगणितीय माध्य समान होना चाहिए। इसलिए, अंकगणितीय माध्य की गणना पहले माप से एक अंक अधिक की जाती है, और परिणाम रिकॉर्ड करते समय, इसका मान कुल त्रुटि के अंकों की संख्या तक परिष्कृत किया जाता है।
4. माप त्रुटियों की गणना के लिए पद्धति।
प्रत्यक्ष माप की त्रुटियां
प्रत्यक्ष माप के परिणामों को संसाधित करते समय, संचालन के निम्नलिखित क्रम को अपनाने की सिफारिश की जाती है।
. (8)
.
.
कुल त्रुटि निर्धारित है
माप परिणाम की सापेक्ष त्रुटि अनुमानित है
.
अंतिम परिणाम के रूप में लिखा गया है
, α=… E=…% के साथ।
5. अप्रत्यक्ष माप की त्रुटि
अप्रत्यक्ष रूप से मापी गई मात्रा के वास्तविक मूल्य का मूल्यांकन करते समय, जो अन्य स्वतंत्र मात्राओं का एक कार्य है 
, दो विधियों का उपयोग किया जा सकता है।
पहला तरीकाका उपयोग किया जाता है यदि value आपविभिन्न प्रायोगिक स्थितियों के तहत निर्धारित। इस मामले में, प्रत्येक मान के लिए, 
, और फिर सभी मानों का अंकगणितीय माध्य निर्धारित किया जाता है आप मैं
. (9)
सूत्र के अनुसार सभी मापों की ज्ञात वाद्य त्रुटियों के आधार पर व्यवस्थित (वाद्य) त्रुटि पाई जाती है। इस मामले में यादृच्छिक त्रुटि को प्रत्यक्ष माप त्रुटि के रूप में परिभाषित किया गया है।
दूसरा रास्तालागू होता है अगर समारोह आप एक ही माप के साथ कई बार निर्धारित। इस मामले में, मूल्य की गणना औसत मूल्यों से की जाती है। हमारे प्रयोगशाला अभ्यास में, अप्रत्यक्ष रूप से मापी गई मात्रा निर्धारित करने की दूसरी विधि का अधिक बार उपयोग किया जाता है आप. व्यवस्थित (वाद्य) त्रुटि, पहली विधि की तरह, सूत्र के अनुसार सभी मापों की ज्ञात वाद्य त्रुटियों के आधार पर पाई जाती है
अप्रत्यक्ष माप की यादृच्छिक त्रुटि का पता लगाने के लिए, पहले व्यक्तिगत माप के अंकगणितीय माध्य की मूल-माध्य-वर्ग त्रुटियों की गणना की जाती है। तब मूल माध्य वर्ग त्रुटि पाई जाती है आप. आत्मविश्वास की संभावना α निर्धारित करना, छात्र के गुणांक का पता लगाना, यादृच्छिक और कुल त्रुटियों का निर्धारण उसी तरह किया जाता है जैसे प्रत्यक्ष माप के मामले में किया जाता है। इसी प्रकार, सभी गणनाओं का परिणाम रूप में प्रस्तुत किया जाता है
, α=… E=…% के साथ।
6. प्रयोगशाला कार्य को डिजाइन करने का एक उदाहरण
लैब #1
सिलेंडर मात्रा निर्धारण
सामान:वर्नियर कैलिपर 0.05 मिमी के विभाजन मान के साथ, 0.01 मिमी के विभाजन मान वाला एक माइक्रोमीटर, एक बेलनाकार शरीर।
उद्देश्य:सरलतम भौतिक मापों से परिचित होना, सिलेंडर का आयतन निर्धारित करना, प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की गणना करना।
कार्य आदेश
कैलीपर से बेलन के व्यास का कम से कम 5 माप लें और इसकी ऊंचाई माइक्रोमीटर से लें।
एक सिलेंडर की मात्रा की गणना के लिए गणना सूत्र
जहाँ d बेलन का व्यास है; एच ऊंचाई है।
माप परिणाम
तालिका 2।
मापन संख्या | ||||||
| ; |
; 
.
; ई = 0.5%।
, ई = 0.5%।
यदि वांछित भौतिक मात्रा को सीधे उपकरण द्वारा नहीं मापा जा सकता है, लेकिन मापी गई मात्राओं के माध्यम से सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है, तो ऐसे मापन कहलाते हैं अप्रत्यक्ष.
प्रत्यक्ष माप की तरह, आप माध्य निरपेक्ष (अंकगणित माध्य) त्रुटि या अप्रत्यक्ष माप की मूल माध्य वर्ग त्रुटि की गणना कर सकते हैं।
दोनों मामलों के लिए त्रुटियों की गणना के लिए सामान्य नियम डिफरेंशियल कैलकुलस का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं।
माना भौतिक मात्रा j( एक्स, वाई, जेड, ...) कई स्वतंत्र तर्कों का एक कार्य है एक्स, वाई, जेड, ..., जिनमें से प्रत्येक को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। मात्राएँ प्रत्यक्ष माप द्वारा निर्धारित की जाती हैं और उनकी माध्य निरपेक्ष त्रुटियाँ या मूल माध्य वर्ग त्रुटियों का मूल्यांकन किया जाता है।
भौतिक मात्रा j के अप्रत्यक्ष माप की औसत निरपेक्ष त्रुटि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
के संबंध में के आंशिक व्युत्पन्न कहां हैं एक्स, वाई, जेडसंबंधित तर्कों के औसत मूल्यों के लिए परिकलित।
चूंकि सूत्र योग के सभी पदों के निरपेक्ष मानों का उपयोग करता है, इसलिए अभिव्यक्ति स्वतंत्र चर की दी गई अधिकतम त्रुटियों के लिए फ़ंक्शन की अधिकतम माप त्रुटि का मूल्यांकन करती है।
भौतिक मात्रा j . के अप्रत्यक्ष माप की मूल माध्य वर्ग त्रुटि
भौतिक मात्रा के अप्रत्यक्ष माप की सापेक्ष अधिकतम त्रुटि j
कहाँ, आदि
इसी प्रकार, हम परोक्ष माप j . की सापेक्ष मूल-माध्य-वर्ग त्रुटि लिख सकते हैं
यदि सूत्र लघुगणक (अर्थात, एक उत्पाद, एक अंश, एक शक्ति) लेने के लिए सुविधाजनक अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करता है, तो पहले सापेक्ष त्रुटि की गणना करना अधिक सुविधाजनक है। ऐसा करने के लिए (औसत पूर्ण त्रुटि के मामले में), निम्नलिखित किया जाना चाहिए।
1. भौतिक मात्रा के अप्रत्यक्ष माप के लिए व्यंजक का लघुगणक लें।
2. इसे अलग करें।
3. सभी पदों को समान अवकलन के साथ मिलाकर कोष्ठकों में से निकाल दें।
4. विभिन्न मोडुलो अंतरों के सामने व्यंजक लें।
5. अंतर के चिह्नों को औपचारिक रूप से पूर्ण त्रुटि D के चिह्नों से बदलें।
फिर, ई जानने के बाद, सूत्र द्वारा पूर्ण त्रुटि डीजे की गणना की जा सकती है
उदाहरण 1एक बेलन के आयतन के अप्रत्यक्ष माप की अधिकतम सापेक्ष त्रुटि की गणना के लिए एक सूत्र की व्युत्पत्ति।
भौतिक मात्रा के अप्रत्यक्ष माप के लिए अभिव्यक्ति (प्रारंभिक सूत्र)
व्यास मान डीऔर सिलेंडर ऊंचाई एचप्रत्यक्ष माप त्रुटियों वाले उपकरणों द्वारा सीधे मापा जाता है, क्रमशःडी डीऔर डी एच।
हम मूल सूत्र का लघुगणक लेते हैं और प्राप्त करते हैं
परिणामी समीकरण में अंतर करें
निरपेक्ष त्रुटि डी के आइकन के साथ अंतर के आइकन को बदलकर, हम अंत में सिलेंडर वॉल्यूम के अप्रत्यक्ष माप की अधिकतम सापेक्ष त्रुटि की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं।
अब इस प्रश्न पर विचार करना आवश्यक है कि भौतिक मात्रा की त्रुटि का पता कैसे लगाया जाए यू, जो अप्रत्यक्ष माप द्वारा निर्धारित किया जाता है। माप समीकरण का सामान्य दृश्य
यू=एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , … , एक्स एन), (1.4)
कहाँ पे एक्स जे- विभिन्न भौतिक मात्राएँ जो प्रयोगकर्ता द्वारा प्रत्यक्ष माप द्वारा प्राप्त की जाती हैं, या भौतिक स्थिरांक जिन्हें किसी सटीकता के साथ जाना जाता है। एक सूत्र में, वे फ़ंक्शन तर्क हैं।
माप अभ्यास में, अप्रत्यक्ष माप की त्रुटि की गणना के लिए दो विधियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। दोनों विधियां लगभग समान परिणाम देती हैं।
विधि 1।निरपेक्ष D पहले पाया जाता है, फिर सापेक्ष डीत्रुटियाँ। माप समीकरणों के लिए इस पद्धति की सिफारिश की जाती है जिसमें तर्कों के योग और अंतर होते हैं।
भौतिक मात्रा के अप्रत्यक्ष माप में पूर्ण त्रुटि की गणना के लिए सामान्य सूत्र यूएक मनमाना दृष्टिकोण के लिए एफसमारोह की तरह दिखता है:
जहां कार्यों के आंशिक व्युत्पन्न यू=एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , … , एक्स एन) तर्क से एक्स जे,
मात्रा के प्रत्यक्ष माप की कुल त्रुटि एक्स जे.
सापेक्ष त्रुटि का पता लगाने के लिए, आपको पहले मात्रा का औसत मूल्य ज्ञात करना होगा यू. ऐसा करने के लिए, मात्राओं के अंकगणितीय माध्य मानों को माप समीकरण (1.4) में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। Xj.
यानी मूल्य का औसत मूल्य यूबराबर:। अब सापेक्ष त्रुटि का पता लगाना आसान है: .
उदाहरण:आयतन माप में त्रुटि का पता लगाएं वीसिलेंडर। ऊंचाई एचऔर व्यास डीसिलेंडर के प्रत्यक्ष माप द्वारा निर्धारित माना जाता है, और माप की संख्या दें एन = 10.
बेलन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र, अर्थात् मापन समीकरण है:
चलो पी = 0,68;
पर पी = 0,68.
फिर, औसत मानों को सूत्र (1.5) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम पाते हैं:
त्रुटि डी वीइस उदाहरण में निर्भर करता है, जैसा कि देखा जा सकता है, मुख्य रूप से व्यास की माप त्रुटि पर।
औसत मात्रा है: , सापेक्ष त्रुटि डी वीके बराबर है:
या डी वी = 19%.
वी=(47±9) मिमी 3 , डी वी = 19%, पी = 0,68.
विधि 2।अप्रत्यक्ष माप की त्रुटि को निर्धारित करने की यह विधि कम गणितीय कठिनाइयों में पहली विधि से भिन्न होती है, इसलिए इसका अधिक बार उपयोग किया जाता है।
सबसे पहले, सापेक्ष त्रुटि का पता लगाएं डी, और उसके बाद ही पूर्ण डी। यह विधि विशेष रूप से सुविधाजनक है यदि माप समीकरण में केवल उत्पाद और तर्कों के अनुपात शामिल हैं।
प्रक्रिया को उसी विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके माना जा सकता है - एक सिलेंडर की मात्रा को मापने में त्रुटि का निर्धारण
हम सूत्र में शामिल मात्राओं के सभी संख्यात्मक मानों को उसी तरह रखेंगे जैसे गणना के लिए रास्ता 1.
रहने दो मिमी, ; पर पी = 0,68;
; पी = 0.68 पर।
नंबर राउंडिंग एरर पी(अंजीर देखें। 1.1)
का उपयोग करते हुए रास्ता 2इस तरह कार्य करना चाहिए:
1) माप समीकरण का लघुगणक लें (हम प्राकृतिक लघुगणक लेते हैं)
स्वतंत्र चरों पर विचार करते हुए, बाएँ और दाएँ भागों के अंतर ज्ञात कीजिए,
2) प्रत्येक मान के अंतर को समान मान की पूर्ण त्रुटि से बदलें, और "माइनस" संकेत, यदि वे त्रुटियों से पहले हैं, तो "प्लस" के साथ:
3) ऐसा प्रतीत होता है कि इस सूत्र की सहायता से सापेक्ष त्रुटि का अनुमान देना पहले से ही संभव है, लेकिन ऐसा नहीं है। त्रुटि का अनुमान इस तरह से लगाना आवश्यक है कि इस अनुमान की आत्मविश्वास संभावना उन शर्तों की त्रुटियों का अनुमान लगाने की आत्मविश्वास संभावनाओं से मेल खाती है जो सूत्र के दाईं ओर हैं। ऐसा करने के लिए, इस शर्त को पूरा करने के लिए, आपको अंतिम सूत्र के सभी पदों का वर्ग करना होगा, और फिर समीकरण के दोनों ओर से वर्गमूल निकालना होगा:
या अन्य संकेतन में, मात्रा की सापेक्ष त्रुटि है:
इसके अलावा, वॉल्यूम त्रुटि के इस अनुमान की संभावना मूल अभिव्यक्ति में शामिल शर्तों की त्रुटियों के आकलन की संभावना के साथ मेल खाती है:
गणना करने के बाद, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि परिणाम अनुमान के साथ मेल खाता है विधि 1:
अब, सापेक्ष त्रुटि जानने के बाद, हम निरपेक्ष पाते हैं:
डी वी=0.19 47=9.4 मिमी 3 , पी=0,68.
राउंडिंग के बाद अंतिम परिणाम:
वी\u003d (47 ± 9) मिमी 3, डी वी = 19%, पी=0,68.
परीक्षण प्रश्न
1. भौतिक माप का कार्य क्या है?
2. किस प्रकार के माप प्रतिष्ठित हैं?
3. माप त्रुटियों को कैसे वर्गीकृत किया जाता है?
4. निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियाँ क्या हैं?
5. चूक, व्यवस्थित और यादृच्छिक त्रुटियां क्या हैं?
6. व्यवस्थित त्रुटि का मूल्यांकन कैसे करें?
7. मापा मूल्य का अंकगणितीय माध्य क्या है?
8. यादृच्छिक त्रुटि के परिमाण का आकलन कैसे करें, यह मानक विचलन से कैसे संबंधित है?
9. से अंतराल में मापे गए मान का सही मान ज्ञात करने की प्रायिकता क्या है? एक्स सीएफ - एसइससे पहले एक्स सीएफ + एस?
10. यदि, यादृच्छिक त्रुटि के अनुमान के रूप में, हम मान चुनते हैं 2sया 3एस, तो इन अनुमानों द्वारा निर्धारित अंतराल के भीतर सही मूल्य किस संभावना के साथ गिरेगा?
11. त्रुटियों को संक्षेप में कैसे प्रस्तुत करें और इसे कब किया जाना चाहिए?
12. पूर्ण त्रुटि और माप परिणाम के औसत मूल्य को कैसे गोल किया जाए?
13. अप्रत्यक्ष माप में त्रुटियों का अनुमान लगाने के लिए कौन सी विधियां मौजूद हैं? इसके साथ कैसे आगे बढ़ें?
14. माप परिणाम के रूप में क्या दर्ज किया जाना चाहिए? किन मूल्यों को इंगित करना है?
व्याख्यान #8
माप परिणामों का प्रसंस्करण
प्रत्यक्ष एकल और एकाधिक माप।
1. प्रत्यक्ष एकल माप .
सामान्य स्थिति में, प्राप्त परिणाम की त्रुटि का आकलन करने का कार्य आमतौर पर मापने वाले उपकरण की मुख्य त्रुटि की सीमा के बारे में जानकारी के आधार पर किया जाता है (इस्तेमाल किए गए माप उपकरणों के लिए नियामक और तकनीकी दस्तावेज के अनुसार) और मात्राओं को प्रभावित करने के प्रभाव से अतिरिक्त त्रुटियों के ज्ञात मान। माप परिणाम (चिह्न को ध्यान में रखे बिना) की कुल त्रुटि का अधिकतम मूल्य घटकों को निरपेक्ष मूल्य में जोड़कर पाया जा सकता है:
त्रुटि के घटकों के सांख्यिकीय जोड़ द्वारा त्रुटि का अधिक यथार्थवादी अनुमान प्राप्त किया जा सकता है:
व्यवस्थित त्रुटि के i-वें गैर-बहिष्कृत घटक की सीमा कहां है; क- स्वीकृत आत्मविश्वास संभावना द्वारा निर्धारित गुणांक (पी = . पर) 0,95, गुणक क= 1.11); मी गैर-बहिष्कृत घटकों की संख्या है।
माप परिणाम रिकॉर्डिंग परिणामों के पहले रूप के अनुसार दर्ज किया जाता है:
एकल माप का परिणाम कहां है; - माप परिणाम की कुल त्रुटि; - आत्मविश्वास की संभावना (Р = . पर) 0,95 निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है)।
सामान्य परिस्थितियों में मापते समय, हम मान सकते हैं
2. प्रत्यक्ष कई माप।
मापी गई मात्रा के वास्तविक मूल्य का सही-सही आकलन उसके कई मापों और उनके परिणामों के उपयुक्त प्रसंस्करण द्वारा ही संभव है। अवलोकनों के प्राप्त परिणामों को सही ढंग से संसाधित करने का अर्थ है मापी गई मात्रा के वास्तविक मूल्य का सबसे सटीक अनुमान प्राप्त करना और विश्वास अंतराल जिसमें इसका वास्तविक मूल्य स्थित है।
टिप्पणियों के परिणामों को संसाधित करने की प्रक्रिया में, निम्नलिखित मुख्य कार्यों को लगातार हल करना आवश्यक है:
सूत्रों द्वारा माप परिणामों के वितरण के कानून के बिंदु और अभिन्न अनुमान निर्धारित करें:
कहाँ पे डी (एक्स) विचरण का एक बिंदु अनुमान है;
"मिस" को हटा दें (मानदंडों में से एक के अनुसार);
व्यवस्थित माप त्रुटियों को हटा दें;
व्यवस्थित घटक, यादृच्छिक घटक और माप परिणाम की कुल त्रुटि के गैर-बहिष्कृत संतुलन की आत्मविश्वास सीमा निर्धारित करें;
माप परिणाम रिकॉर्ड करें।
अप्रत्यक्ष माप की त्रुटि का अनुमान। बुनियादी सिद्धांत और गणना के चरण। प्रसंस्करण परिणामों के लिए GOSTs।
अप्रत्यक्ष माप की त्रुटियां
अप्रत्यक्ष माप से उत्पन्न होने वाली त्रुटियों का अनुमान निम्नलिखित मान्यताओं पर आधारित है:
1. प्रत्यक्ष माप द्वारा प्राप्त और वांछित मूल्य की गणना में शामिल मूल्यों की सापेक्ष त्रुटियां एकता की तुलना में छोटी होनी चाहिए (व्यवहार में, वे 10% से अधिक नहीं होनी चाहिए)।
2. गणना में शामिल सभी मात्राओं की त्रुटियों के लिए, वही आत्मविश्वास संभावना स्वीकार की जाती है। वांछित मूल्य की त्रुटि की भी वही आत्मविश्वास संभावना होगी।
3. वांछित मूल्य का सबसे संभावित मूल्य प्राप्त होता है यदि प्रारंभिक मूल्यों के सबसे संभावित मूल्यों का उपयोग इसकी गणना के लिए किया जाता है, अर्थात। उनका अंकगणितीय औसत।
एक प्रारंभिक मान के मामले में त्रुटि।
निरपेक्ष त्रुटि।वांछित मान दें आप, परोक्ष रूप से मापा जाता है, केवल एक मात्रा पर निर्भर करता है एप्रत्यक्ष माप द्वारा प्राप्त किया गया। अंतराल की सीमाएँ जिसमें मान दी गई प्रायिकता के साथ होता है ए, अंकगणितीय माध्य और कुल निरपेक्ष त्रुटि द्वारा निर्धारित किए जाते हैं एमात्रा ए. इसका मतलब है कि मूल्य एसीमा के साथ एक अंतराल के अंदर झूठ बोल सकता है ± ए.
मात्रा के लिए अप्रत्यक्ष माप के साथ आप(ए) ऐसी सीमाएं इसके सबसे संभावित मूल्य द्वारा निर्धारित की जाएंगी =y() और त्रुटि आप, अर्थात। मूल्यों आपअंतराल के अंदर सीमाओं के साथ झूठ ± आप. ऊपरी बाध्य आप(एकरस वृद्धि के साथ) ऊपरी सीमा के अनुरूप एक मान होगा ए, अर्थात। मूल्य + आप= आप( + ए) . इस प्रकार, पूर्ण त्रुटि आपमात्रा आपफ़ंक्शन वृद्धि का रूप है वाई (ए)अपने तर्क को बढ़ाने के कारण एराशि से एइसकी पूर्ण त्रुटि। इसलिए, हम अंतर कलन के नियमों का उपयोग कर सकते हैं, जिसके अनुसार, छोटे मूल्यों के लिए एवेतन वृद्धि आपलगभग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
यहाँ के संबंध में व्युत्पन्न है एकार्यों वाई (ए)पर ए = .
इस प्रकार, अंतिम परिणाम की पूर्ण त्रुटि की गणना सूत्र (1) का उपयोग करके की जा सकती है, और आत्मविश्वास की संभावना आत्मविश्वास की संभावना से मेल खाती है कि ए.
रिश्तेदारों की गलती।किसी मान की आपेक्षिक त्रुटि ज्ञात करने के लिए आप, विभाजित करें (1) द्वारा आपऔर ध्यान रखें कि
के संबंध में व्युत्पन्न है एप्राकृतिक आप. परिणाम होगा
यदि हम इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं ए= और आप= , तो इसका मान मात्रा की सापेक्ष त्रुटि होगी आप.
माप के परिणामों को संसाधित करने के लिए, इसका उपयोग किया जाता है गोस्ट 8.207-76 "जीएसआई। कई अवलोकनों के साथ प्रत्यक्ष माप। टिप्पणियों के परिणामों को संसाधित करने के तरीके।
8.3. मापन परिणाम और इसके मानक विचलन का अनुमान:
1. माप प्रक्रिया में सकल त्रुटियों का पता लगाने के तरीके निर्दिष्ट किए जाने चाहिए। यदि अवलोकनों के परिणामों को सामान्य वितरण से संबंधित माना जा सकता है, तो सकल त्रुटियों को बाहर रखा गया है।
2. माप परिणाम को अवलोकन परिणामों के अंकगणितीय माध्य के रूप में लिया जाता है, जिसमें पहले व्यवस्थित त्रुटियों को समाप्त करने के लिए सुधारों को पेश किया गया है।
3. मानक विचलन एस अवलोकन के परिणाम का मूल्यांकन एनटीडी के अनुसार किया जाता है।
4. माप परिणाम के मानक विचलन का अनुमान सूत्र द्वारा लगाया जाता है
,
कहाँ पे एक्स मैं - मैं-वें अवलोकन परिणाम;
मापन परिणाम (संशोधित अवलोकन परिणामों का अंकगणितीय माध्य);
एन- अवलोकन परिणामों की संख्या;
माप परिणाम के मानक विचलन का अनुमान।
8.4. माप परिणाम की यादृच्छिक त्रुटि की विश्वास सीमा:
1. इस अंतर्राष्ट्रीय मानक के अनुसार माप परिणाम की यादृच्छिक त्रुटि के लिए विश्वास सीमा एक सामान्य वितरण से संबंधित टिप्पणियों के परिणामों के लिए स्थापित की जाती है। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो विशिष्ट माप करने की प्रक्रिया में एक यादृच्छिक त्रुटि की आत्मविश्वास सीमा की गणना करने के तरीकों को निर्दिष्ट किया जाना चाहिए।
1.1. अवलोकन परिणामों की संख्या के साथ एन> 50 यह जांचने के लिए कि क्या वे एनटीडी के अनुसार सामान्य वितरण से संबंधित हैं, एक मानदंड बेहतर है: 2 पियर्सन या ω 2 माइसेस - स्मिरनोव।
भौतिक मात्रा ए, बी और सी से कार्यात्मक रूप से संबंधित भौतिक मात्रा के अप्रत्यक्ष माप के परिणामों को संसाधित करते समय, जो प्रत्यक्ष तरीके से मापा जाता है, पहले अप्रत्यक्ष माप की सापेक्ष त्रुटि निर्धारित करें ई = डीएक्स / एक्स पीआर सूत्रों का उपयोग करके तालिका में दिया गया है (बिना सबूत के)।
पूर्ण त्रुटि सूत्र DX \u003d X pr * e द्वारा निर्धारित की जाती है,
जहाँ e को दशमलव के रूप में व्यक्त किया जाता है, प्रतिशत के रूप में नहीं।
अंतिम परिणाम उसी तरह दर्ज किया जाता है जैसे प्रत्यक्ष माप के मामले में।
| समारोह प्रकार | सूत्र |
| एक्स = ए + बी + सी | |
| एक्स = ए-बी | |
| एक्स = ए * बी * सी | |
| एक्स = ए एन | |
| एक्स = ए / बी | |
| एक्स = |
(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm उपयोगी) माप कैसे लें http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220
उदाहरण: आइए हम एक डायनामोमीटर का उपयोग करके घर्षण गुणांक को मापने में त्रुटि की गणना करें। अनुभव यह है कि बार को क्षैतिज सतह पर समान रूप से खींचा जाता है और लागू बल को मापा जाता है: यह फिसलने वाले घर्षण के बल के बराबर होता है।
डायनेमोमीटर का उपयोग करते हुए, हम भार के साथ एक बार का वजन करते हैं: 1.8 N. F tr \u003d 0.6 N
μ = 0.33। डायनेमोमीटर (तालिका से खोजें) की वाद्य त्रुटि और \u003d 0.05N है, रीडिंग एरर (स्केल डिवीजन का आधा)
ओ \u003d 0.05N। वजन और घर्षण बल को मापने में पूर्ण त्रुटि 0.1 N है।
सापेक्ष माप त्रुटि (तालिका में 5 वीं पंक्ति)
इसलिए, μ के अप्रत्यक्ष माप की पूर्ण त्रुटि 0.22*0.33=0.074 . है
जवाब:
भौतिक मात्रा को मापने का अर्थ है माप की एक इकाई के रूप में ली गई अन्य सजातीय मात्रा के साथ इसकी तुलना करना। माप का उपयोग करके किया जा सकता है:
1. माप, जो माप की एक इकाई (मीटर, वजन, लीटर बर्तन, आदि) के नमूने हैं,
2. मापने के उपकरण (एमीटर, दबाव नापने का यंत्र, आदि),
3. मापन प्रतिष्ठान, जिन्हें माप के एक सेट, माप उपकरणों और सहायक तत्वों के रूप में समझा जाता है।
माप या तो प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष हैं। प्रत्यक्ष माप मेंभौतिक मात्रा को सीधे मापा जाता है। प्रत्यक्ष माप हैं, उदाहरण के लिए, एक शासक के साथ लंबाई को मापना, स्टॉपवॉच के साथ समय, एक एमीटर के साथ वर्तमान ताकत।
अप्रत्यक्ष माप मेंवे सीधे उस मात्रा को नहीं मापते हैं जिसका मूल्य जानने की आवश्यकता है, लेकिन अन्य मात्रा जिसके साथ वांछित मात्रा एक निश्चित गणितीय निर्भरता से जुड़ी है। उदाहरण के लिए, किसी पिंड का घनत्व उसके द्रव्यमान और आयतन को मापकर निर्धारित किया जाता है, और प्रतिरोध को करंट और वोल्टेज को मापकर निर्धारित किया जाता है।
माप और माप उपकरणों के साथ-साथ हमारी इंद्रियों की अपूर्णता के कारण, माप सही ढंग से नहीं किया जा सकता है, अर्थात। कोई भी माप केवल एक अनुमानित परिणाम देता है। इसके अलावा, माप की प्रकृति ही अक्सर माप परिणामों के विचलन का कारण होती है। उदाहरण के लिए, भट्ठी में एक निश्चित बिंदु पर थर्मामीटर या थर्मोकपल द्वारा मापा गया तापमान कुछ सीमाओं के भीतर संवहन और तापीय चालकता के कारण उतार-चढ़ाव करता है। माप परिणाम की सटीकता का आकलन करने के लिए उपाय है माप त्रुटि (माप त्रुटि).
सटीकता का आकलन करने के लिए, या तो पूर्ण त्रुटि या सापेक्ष माप त्रुटि इंगित की जाती है। पूर्ण त्रुटिमापी गई मात्रा की इकाइयों में व्यक्त किया गया। उदाहरण के लिए, शरीर द्वारा यात्रा किए गए पथ के खंड को एक पूर्ण त्रुटि से मापा जाता है। सापेक्ष माप त्रुटि मापी गई मात्रा के मूल्य के लिए पूर्ण त्रुटि का अनुपात है। दिए गए उदाहरण में, सापेक्ष त्रुटि है। माप त्रुटि जितनी छोटी होगी, इसकी सटीकता उतनी ही अधिक होगी।
उनकी उत्पत्ति के स्रोतों के अनुसार, माप त्रुटियों को व्यवस्थित, यादृच्छिक और सकल (मिस) में विभाजित किया गया है।
1. व्यवस्थित त्रुटियां- माप त्रुटियां, जिसका मान एक ही माप उपकरणों का उपयोग करके एक ही विधि द्वारा बार-बार किए गए माप के दौरान स्थिर रहता है। व्यवस्थित त्रुटियों के कारण हैं:
खराबी, माप उपकरणों की अशुद्धि
अवैधता, इस्तेमाल की गई माप तकनीक की अशुद्धि
व्यवस्थित त्रुटियों का एक उदाहरण एक स्थानांतरित शून्य बिंदु के साथ थर्मामीटर के साथ तापमान का माप हो सकता है, गलत तरीके से कैलिब्रेटेड एमीटर के साथ वर्तमान का मापन, आर्किमिडीज के उछाल बल को ध्यान में रखे बिना वजन का उपयोग करके संतुलन पर एक शरीर का वजन।
व्यवस्थित त्रुटियों को खत्म करने या कम करने के लिए, मापने वाले उपकरणों की सावधानीपूर्वक जांच करना, अलग-अलग तरीकों से समान मात्रा को मापना और त्रुटियों के ज्ञात होने पर सुधार करना आवश्यक है (उछाल बल के लिए सुधार, थर्मामीटर रीडिंग के लिए सुधार)।
2. सकल गलतियाँ (चूक)- दी गई माप शर्तों के तहत अपेक्षित त्रुटि का एक महत्वपूर्ण अतिरिक्त। अप्रत्यक्ष माप के दौरान गणना में त्रुटियों के कारण उपकरण रीडिंग की गलत रिकॉर्डिंग, उपकरण पर गलत रीडिंग के परिणामस्वरूप चूक दिखाई देती है। चूक का स्रोत प्रयोगकर्ता की असावधानी है। इन त्रुटियों को समाप्त करने का तरीका प्रयोगकर्ता की सटीकता, पुनर्लेखन माप प्रोटोकॉल का बहिष्करण है।
3. यादृच्छिक त्रुटियां- त्रुटियां, जिनका मान समान उपकरणों का उपयोग करके समान विधि द्वारा समान मान के बार-बार माप के दौरान यादृच्छिक रूप से बदलता है। यादृच्छिक त्रुटियों का स्रोत माप की स्थिति की अनियंत्रित प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्यता है। उदाहरण के लिए, माप के दौरान, तापमान, आर्द्रता, वायुमंडलीय दबाव, विद्युत नेटवर्क में वोल्टेज और प्रयोगकर्ता की इंद्रियों की स्थिति अनियंत्रित तरीके से बदल सकती है। यादृच्छिक त्रुटियों से इंकार करना असंभव है। बार-बार माप के साथ, यादृच्छिक त्रुटियां सांख्यिकीय कानूनों का पालन करती हैं, और उनके प्रभाव को ध्यान में रखा जा सकता है।
