प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष माप में त्रुटियों की गणना
मापन को माप की एक इकाई के रूप में लिए गए किसी अन्य मान के साथ मापे गए मान की तुलना के रूप में समझा जाता है। माप विशेष तकनीकी साधनों का उपयोग करके अनुभवजन्य रूप से किए जाते हैं।
प्रत्यक्ष माप को माप कहा जाता है, जिसका परिणाम सीधे प्रयोगात्मक डेटा से प्राप्त होता है (उदाहरण के लिए, एक शासक के साथ लंबाई मापना, स्टॉपवॉच के साथ समय, थर्मामीटर के साथ तापमान)। अप्रत्यक्ष माप वे माप हैं जिनमें किसी मात्रा का वांछित मूल्य इस मात्रा और उन मात्राओं के बीच ज्ञात संबंध के आधार पर पाया जाता है जिनके मूल्य प्रत्यक्ष माप की प्रक्रिया में प्राप्त होते हैं (उदाहरण के लिए, तय की गई दूरी के साथ गति का निर्धारण और समय https://pandia.ru/text/78/464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).
कोई भी माप, चाहे वह कितनी भी सावधानी से किया गया हो, आवश्यक रूप से एक त्रुटि (त्रुटि) के साथ होता है - मापी गई मात्रा के सही मूल्य से माप परिणाम का विचलन।
व्यवस्थित त्रुटियां वे त्रुटियां हैं, जिनका परिमाण समान माप उपकरणों का उपयोग करके एक ही विधि द्वारा किए गए सभी मापों में समान परिस्थितियों में समान होता है। व्यवस्थित त्रुटियां होती हैं:
माप में प्रयुक्त उपकरणों की अपूर्णता के परिणामस्वरूप (उदाहरण के लिए, एमीटर सुई करंट की अनुपस्थिति में शून्य विभाजन से विचलित हो सकती है; बैलेंस बीम में असमान हथियार हो सकते हैं, आदि);
माप पद्धति के सिद्धांत के अपर्याप्त विकास के परिणामस्वरूप, यानी माप पद्धति में त्रुटियों का एक स्रोत होता है (उदाहरण के लिए, एक त्रुटि तब होती है जब पर्यावरण को गर्मी के नुकसान को कैलोरीमेट्रिक कार्यों में ध्यान में नहीं रखा जाता है या जब एक विश्लेषणात्मक पर वजन होता है संतुलन हवा की उछाल शक्ति को ध्यान में रखे बिना किया जाता है);
इस तथ्य के परिणामस्वरूप कि प्रयोग की स्थितियों में परिवर्तन को ध्यान में नहीं रखा जाता है (उदाहरण के लिए, सर्किट के माध्यम से वर्तमान के लंबे समय तक पारित होने के दौरान, वर्तमान के थर्मल प्रभाव के परिणामस्वरूप, विद्युत पैरामीटर सर्किट परिवर्तन)।
व्यवस्थित त्रुटियों को समाप्त किया जा सकता है यदि उपकरणों की विशेषताओं का अध्ययन किया जाता है, प्रयोग के सिद्धांत को पूरी तरह से विकसित किया जाता है, और इसके आधार पर माप परिणामों में सुधार किया जाता है।
यादृच्छिक त्रुटियाँ वे त्रुटियाँ हैं जिनका परिमाण समान तरीके से किए गए मापों के लिए भी भिन्न होता है। उनके कारण हमारी इंद्रियों की अपूर्णता और माप के साथ कई अन्य परिस्थितियों में निहित हैं, और जिन्हें पहले से ध्यान में नहीं रखा जा सकता है (यादृच्छिक त्रुटियां होती हैं, उदाहरण के लिए, यदि फोटोमीटर के रोशनी क्षेत्रों की समानता आंख से निर्धारित होती है ; यदि गणितीय पेंडुलम के अधिकतम विचलन का क्षण आंख द्वारा निर्धारित किया जाता है; कान द्वारा ध्वनि प्रतिध्वनि के क्षण को खोजने पर; एक विश्लेषणात्मक संतुलन पर वजन करते समय, यदि फर्श और दीवारों के कंपन संतुलन को प्रेषित होते हैं, आदि) .
यादृच्छिक त्रुटियों से बचा नहीं जा सकता है। उनकी घटना इस तथ्य में प्रकट होती है कि एक ही मात्रा के माप को एक ही देखभाल के साथ दोहराते समय, संख्यात्मक परिणाम प्राप्त होते हैं जो एक दूसरे से भिन्न होते हैं। इसलिए, यदि माप दोहराते समय समान मान प्राप्त किए गए थे, तो यह यादृच्छिक त्रुटियों की अनुपस्थिति को नहीं, बल्कि माप पद्धति की अपर्याप्त संवेदनशीलता को इंगित करता है।
यादृच्छिक त्रुटियां परिणाम को एक दिशा में और दूसरी दिशा में वास्तविक मान से बदल देती हैं, इसलिए, माप परिणाम पर यादृच्छिक त्रुटियों के प्रभाव को कम करने के लिए, माप आमतौर पर कई बार दोहराया जाता है और सभी माप परिणामों का अंकगणितीय माध्य होता है लिया।
जानबूझकर गलत परिणाम - माप की बुनियादी शर्तों के उल्लंघन के कारण चूक होती है, प्रयोगकर्ता की असावधानी या लापरवाही के परिणामस्वरूप। उदाहरण के लिए, खराब रोशनी में, "3" के बजाय, "8" लिखें; इस तथ्य के कारण कि प्रयोगकर्ता विचलित है, वह पेंडुलम के झूलों की संख्या गिनते समय भटक सकता है; लापरवाही या असावधानी के कारण, वह वसंत की कठोरता आदि का निर्धारण करते समय भार के द्रव्यमान को भ्रमित कर सकता है। मिस का एक बाहरी संकेत अन्य मापों के परिणामों से परिमाण में तेज अंतर है। यदि एक चूक का पता चला है, तो माप परिणाम को तुरंत छोड़ दिया जाना चाहिए, और माप को दोहराया जाना चाहिए। विभिन्न प्रयोगकर्ताओं द्वारा प्राप्त माप परिणामों की तुलना द्वारा भूलों की पहचान भी सहायता प्रदान की जाती है।
भौतिक मात्रा को मापने का अर्थ है उस विश्वास अंतराल का पता लगाना जिसमें उसका वास्तविक मूल्य निहित है https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21" >. .png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> मामलों में, मापे गए मान का सही मान कॉन्फिडेंस इंटरवल के अंतर्गत आता है। मान या तो एक इकाई के अंशों में या प्रतिशत में व्यक्त किया जाता है अधिकांश माप 0.9 या 0.95 के आत्मविश्वास स्तर तक सीमित होते हैं कभी-कभी, जब अत्यधिक उच्च स्तर की विश्वसनीयता की आवश्यकता होती है, तो 0.999 के आत्मविश्वास स्तर का उपयोग आत्मविश्वास स्तर के साथ किया जाता है, एक महत्व स्तर अक्सर उपयोग किया जाता है, जो इस संभावना को निर्दिष्ट करता है कि सही मूल्य विश्वास अंतराल के भीतर नहीं आता है माप परिणाम के रूप में प्रस्तुत किया जाता है
जहां https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> पूर्ण त्रुटि है। इस प्रकार, अंतराल सीमा, https://pandia.ru / text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> इसी रेंज में है।
खोजने के लिए और एकल मापों की एक श्रृंखला निष्पादित करें। एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें..png" width="71" height="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" height= " 23">.png" चौड़ाई = "72" ऊंचाई = "24">। मानों को दोहराया जा सकता है, जैसे मान और https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4.png "चौड़ाई="48 ऊंचाई=15" ऊंचाई="15">.पीएनजी"चौड़ाई="52" ऊंचाई="21"> तदनुसार, महत्व स्तर।
मापा मूल्य का औसत मूल्य
मापने वाला उपकरण माप त्रुटि में भी योगदान देता है। यह त्रुटि डिवाइस के डिज़ाइन के कारण होती है (पॉइंटर डिवाइस की धुरी में घर्षण, डिजिटल या असतत पॉइंटर डिवाइस द्वारा उत्पादित गोलाई, आदि)। इसकी प्रकृति से, यह एक व्यवस्थित त्रुटि है, लेकिन इस विशेष उपकरण के लिए न तो परिमाण और न ही इसके संकेत ज्ञात हैं। एक ही प्रकार के उपकरणों की एक बड़ी श्रृंखला के परीक्षण की प्रक्रिया में वाद्य त्रुटि का मूल्यांकन किया जाता है।
माप उपकरणों की सटीकता वर्गों की सामान्यीकृत श्रेणी में निम्नलिखित मान शामिल हैं: 0.05; 0.1; 0.2; 0.5; 1.0; 1.5; 2.5; 4.0. डिवाइस की सटीकता वर्ग पैमाने की पूरी श्रृंखला के संबंध में, प्रतिशत के रूप में व्यक्त डिवाइस की सापेक्ष त्रुटि के बराबर है। डिवाइस की पासपोर्ट त्रुटि
कोई भी माप हमेशा माप उपकरणों की सीमित सटीकता, गलत विकल्प, और माप पद्धति की त्रुटि, प्रयोगकर्ता के शरीर विज्ञान, मापी गई वस्तुओं की विशेषताओं, माप की स्थिति में परिवर्तन आदि से जुड़ी कुछ त्रुटियों के साथ किया जाता है। इसलिए, मापन कार्य में न केवल मात्रा का पता लगाना शामिल है, बल्कि माप त्रुटि भी शामिल है, अर्थात। वह अंतराल जिसमें मापी गई मात्रा का सही मान मिलने की सबसे अधिक संभावना है। उदाहरण के लिए, 0.2 s के विभाजन मान वाली स्टॉपवॉच के साथ समय अंतराल t को मापते समय, हम कह सकते हैं कि इसका वास्तविक मान s से अंतराल में है 
साथ। इस प्रकार, मापा मान में हमेशा कुछ त्रुटि होती है 
, कहाँ पे 
और एक्स, क्रमशः, अध्ययन के तहत मात्रा के सही और मापा मूल्य हैं। मूल्य 
बुलाया पूर्ण त्रुटि(त्रुटि) माप, और व्यंजक 
माप सटीकता की विशेषता को कहा जाता है रिश्तेदारों की गलती।
प्रयोगकर्ता के लिए हर माप को अधिकतम प्राप्य सटीकता के साथ करने का प्रयास करना काफी स्वाभाविक है, लेकिन ऐसा दृष्टिकोण हमेशा समीचीन नहीं होता है। जितना अधिक सटीक रूप से हम इस या उस मात्रा को मापना चाहते हैं, उतने ही जटिल उपकरणों का हमें उपयोग करना चाहिए, इन मापों में उतना ही अधिक समय लगेगा। इसलिए, अंतिम परिणाम की सटीकता प्रयोग के उद्देश्य के अनुरूप होनी चाहिए। त्रुटियों का सिद्धांत इस बारे में सिफारिशें देता है कि माप कैसे लिया जाना चाहिए और परिणामों को कैसे संसाधित किया जाना चाहिए ताकि त्रुटि का मार्जिन यथासंभव छोटा हो।
माप के दौरान उत्पन्न होने वाली सभी त्रुटियों को आमतौर पर तीन प्रकारों में विभाजित किया जाता है - व्यवस्थित, यादृच्छिक और चूक, या सकल त्रुटियां।
व्यवस्थित त्रुटियांउपकरणों (साधन त्रुटियों) के निर्माण की सीमित सटीकता के कारण, चुनी गई माप पद्धति की कमियां, गणना सूत्र की अशुद्धि, डिवाइस की अनुचित स्थापना आदि। इस प्रकार, व्यवस्थित त्रुटियां उन कारकों के कारण होती हैं जो उसी तरह से कार्य करते हैं जब एक ही माप को कई बार दोहराया जाता है। इस त्रुटि का मान एक निश्चित कानून के अनुसार व्यवस्थित रूप से दोहराया या बदला जाता है। कुछ व्यवस्थित त्रुटियों को समाप्त किया जा सकता है (व्यवहार में, इसे प्राप्त करना हमेशा आसान होता है) माप पद्धति को बदलकर, उपकरण रीडिंग में सुधार शुरू करके और बाहरी कारकों के निरंतर प्रभाव को ध्यान में रखते हुए।
हालांकि बार-बार माप के दौरान व्यवस्थित (वाद्य) त्रुटि एक दिशा में सही मूल्य से मापा मूल्य का विचलन देती है, हम कभी नहीं जानते कि किस दिशा में। इसलिए, वाद्य त्रुटि को दोहरे चिन्ह के साथ लिखा जाता है
यादृच्छिक त्रुटियांबड़ी संख्या में यादृच्छिक कारणों (तापमान में परिवर्तन, दबाव, भवन का हिलना आदि) के कारण होता है, जिसका प्रभाव प्रत्येक माप पर भिन्न होता है और इसे पहले से ध्यान में नहीं रखा जा सकता है। प्रयोगकर्ता की इंद्रियों की अपूर्णता के कारण भी यादृच्छिक त्रुटियां होती हैं। यादृच्छिक त्रुटियों में मापी गई वस्तु के गुणों के कारण त्रुटियां भी शामिल हैं।
व्यक्तिगत माप की यादृच्छिक त्रुटियों को बाहर करना असंभव है, लेकिन कई माप करके अंतिम परिणाम पर इन त्रुटियों के प्रभाव को कम करना संभव है। यदि यादृच्छिक त्रुटि वाद्य (व्यवस्थित) त्रुटि से काफी कम हो जाती है, तो माप की संख्या में वृद्धि करके यादृच्छिक त्रुटि को और कम करने का कोई मतलब नहीं है। यदि यादृच्छिक त्रुटि वाद्य त्रुटि से अधिक है, तो यादृच्छिक त्रुटि के मूल्य को कम करने के लिए माप की संख्या में वृद्धि की जानी चाहिए और इसे वाद्य त्रुटि के साथ परिमाण के एक से कम या एक क्रम में करना चाहिए।
गलतियाँ या भूल- ये डिवाइस पर गलत रीडिंग, रीडिंग की गलत रिकॉर्डिंग आदि हैं। एक नियम के रूप में, संकेतित कारणों से चूक स्पष्ट रूप से दिखाई देती है, क्योंकि उनके अनुरूप रीडिंग अन्य रीडिंग से तेजी से भिन्न होती है। नियंत्रण माप द्वारा चूक को समाप्त किया जाना चाहिए। इस प्रकार, अंतराल की चौड़ाई जिसमें मापी गई मात्राओं के वास्तविक मान निहित हैं, केवल यादृच्छिक और व्यवस्थित त्रुटियों द्वारा निर्धारित की जाएगी।
2 . व्यवस्थित (वाद्य) त्रुटि का अनुमान
प्रत्यक्ष माप के लिएमापी गई मात्रा का मान सीधे मापने वाले यंत्र के पैमाने पर पढ़ा जाता है। रीडिंग एरर स्केल डिवीजन के कई दसवें हिस्से तक पहुंच सकता है। आमतौर पर, ऐसे मापों में, व्यवस्थित त्रुटि के परिमाण को मापक यंत्र के आधे पैमाने के विभाजन के बराबर माना जाता है। उदाहरण के लिए, 0.05 मिमी के विभाजन मान वाले कैलीपर से मापते समय, वाद्य माप त्रुटि का मान 0.025 मिमी के बराबर लिया जाता है।
डिजिटल मापक यंत्र उन मात्राओं का मान देते हैं जिन्हें वे मापते हैं और उपकरण के पैमाने पर अंतिम अंक की एक इकाई के मान के बराबर होती हैं। इसलिए, यदि एक डिजिटल वाल्टमीटर 20.45 mV का मान दिखाता है, तो माप में पूर्ण त्रुटि है 
एमवी
तालिकाओं से निर्धारित निरंतर मूल्यों का उपयोग करते समय व्यवस्थित त्रुटियां भी उत्पन्न होती हैं। ऐसे मामलों में, त्रुटि को अंतिम महत्वपूर्ण अंक के आधे के बराबर लिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि तालिका में स्टील के घनत्व का मान 7.9∙10 3 किग्रा / मी 3 के बराबर है, तो इस मामले में पूर्ण त्रुटि के बराबर है 
किग्रा / मी 3.
विद्युत माप उपकरणों की वाद्य त्रुटियों की गणना में कुछ विशेषताओं पर नीचे चर्चा की जाएगी।
अप्रत्यक्ष माप की व्यवस्थित (वाद्य) त्रुटि का निर्धारण करते समयकार्यात्मक मूल्य 
सूत्र का उपयोग किया जाता है
, (1)
कहाँ पे 
- मात्रा के प्रत्यक्ष माप के साधन त्रुटियाँ 
, 
- चर के संबंध में फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न।
एक उदाहरण के रूप में, हम एक बेलन का आयतन मापते समय व्यवस्थित त्रुटि की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करेंगे। बेलन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र है
.
चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न डी और एचबराबर होगा
, 
.
इस प्रकार, (2. ..) के अनुसार एक सिलेंडर की मात्रा को मापने में पूर्ण व्यवस्थित त्रुटि निर्धारित करने के सूत्र का निम्न रूप है
,
कहाँ पे 
और 
सिलेंडर के व्यास और ऊंचाई को मापने में वाद्य त्रुटियाँ
3. यादृच्छिक त्रुटि अनुमान।
कॉन्फिडेंस इंटरवल और कॉन्फिडेंस प्रोबेबिलिटी
साधारण मापों के विशाल बहुमत के लिए, यादृच्छिक त्रुटियों के तथाकथित सामान्य नियम को अच्छी तरह से संतुष्ट किया जाता है ( गॉस कानून), निम्नलिखित अनुभवजन्य प्रावधानों से प्राप्त हुआ।
माप त्रुटियाँ मूल्यों की एक सतत श्रृंखला ले सकती हैं;
बड़ी संख्या में माप के साथ, समान परिमाण की त्रुटियां, लेकिन एक अलग संकेत की, समान रूप से अक्सर होती हैं,
यादृच्छिक त्रुटि जितनी बड़ी होगी, उसके होने की संभावना उतनी ही कम होगी।
सामान्य गाऊसी बंटन का ग्राफ चित्र 1 में दिखाया गया है। वक्र समीकरण का रूप है
, (2)
कहाँ पे 
- यादृच्छिक त्रुटियों (त्रुटियों) का वितरण कार्य, त्रुटि की संभावना को दर्शाता है 
, σ मूल माध्य वर्ग त्रुटि है।
मान σ एक यादृच्छिक चर नहीं है और माप प्रक्रिया की विशेषता है। यदि माप की स्थिति नहीं बदलती है, तो σ स्थिर रहता है। इस राशि का वर्ग कहलाता है माप का फैलाव।फैलाव जितना छोटा होगा, व्यक्तिगत मूल्यों का प्रसार उतना ही छोटा होगा और माप सटीकता उतनी ही अधिक होगी।
मूल-माध्य-वर्ग त्रुटि σ का सटीक मान, साथ ही मापी गई मात्रा का सही मान अज्ञात है। इस पैरामीटर का एक तथाकथित सांख्यिकीय अनुमान है, जिसके अनुसार माध्य वर्ग त्रुटि अंकगणित माध्य के माध्य वर्ग त्रुटि के बराबर है 
. जिसका मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
, (3)
कहाँ पे 
- नतीजा मैं-वें आयाम; 
- प्राप्त मूल्यों का अंकगणितीय माध्य; एन
माप की संख्या है।
माप की संख्या जितनी बड़ी होगी, उतना ही छोटा और जितना अधिक वह के करीब पहुंचेगा। यदि मापे गए मान का सही मान μ, माप के परिणामस्वरूप प्राप्त अंकगणितीय माध्य मान और यादृच्छिक निरपेक्ष त्रुटि है, तो माप परिणाम के रूप में लिखा जाएगा 
.
से मान अंतराल 
इससे पहले 
, जिसमें मापी गई मात्रा का वास्तविक मान μ गिरता है, कहलाता है विश्वास अंतराल।चूंकि यह एक यादृच्छिक चर है, वास्तविक मान एक प्रायिकता α के साथ विश्वास अंतराल में आता है, जिसे कहा जाता है आत्मविश्वास की संभावना,या विश्वसनीयतामाप। यह मान संख्यात्मक रूप से छायांकित वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर है। (तस्वीर देखें।)
यह सब पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में माप के लिए सच है, जब के करीब होता है। माप की एक छोटी संख्या के लिए आत्मविश्वास अंतराल और आत्मविश्वास के स्तर को खोजने के लिए, जिसे हम प्रयोगशाला कार्य के दौरान व्यवहार करते हैं, हम उपयोग करते हैं छात्र की संभावना वितरण।यह यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन है 
बुलाया छात्र का गुणांक, अंकगणित माध्य के मूल माध्य वर्ग त्रुटि के अंशों में विश्वास अंतराल का मान देता है।
. (4)
इस मात्रा का प्रायिकता वितरण 2 पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन अनिवार्य रूप से प्रयोगों की संख्या पर निर्भर करता है एन. प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ एनविद्यार्थी का वितरण गाऊसी वितरण की ओर जाता है।
वितरण फलन सारणीबद्ध है (तालिका 1)। मापन की संख्या के अनुरूप रेखा के प्रतिच्छेदन पर विद्यार्थी के गुणांक का मान होता है एन, और विश्वास स्तर α . के अनुरूप कॉलम
तालिका नंबर एक।
तालिका में डेटा का उपयोग करके, आप यह कर सकते हैं:
एक निश्चित संभावना को देखते हुए, विश्वास अंतराल निर्धारित करें;
एक आत्मविश्वास अंतराल चुनें और आत्मविश्वास का स्तर निर्धारित करें।
अप्रत्यक्ष माप के लिए, फ़ंक्शन के अंकगणितीय माध्य की मूल माध्य वर्ग त्रुटि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
. (5)
कॉन्फिडेंस इंटरवल और कॉन्फिडेंस प्रायिकता उसी तरह निर्धारित की जाती है जैसे प्रत्यक्ष माप के मामले में।
कुल माप त्रुटि का अनुमान। अंतिम परिणाम रिकॉर्ड करना।
X . के माप परिणाम की कुल त्रुटि व्यवस्थित और यादृच्छिक त्रुटियों के माध्य वर्ग मान के रूप में परिभाषित किया जाएगा
, (6)
कहाँ पे x -वाद्य त्रुटि, एक्सएक यादृच्छिक त्रुटि है।
X प्रत्यक्ष या परोक्ष रूप से मापी गई मात्रा हो सकती है।
, α=…, =… (7)
यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि त्रुटियों के सिद्धांत के सूत्र स्वयं बड़ी संख्या में माप के लिए मान्य हैं। इसलिए, यादृच्छिक का मान, और परिणामस्वरूप, कुल त्रुटि एक छोटे से निर्धारित की जाती है एनएक बड़ी गलती के साथ। . की गणना करते समय एक्समाप की संख्या के साथ 
एक सार्थक अंक को सीमित करने की अनुशंसा की जाती है यदि यह 3 से अधिक है और दो यदि पहला सार्थक अंक 3 से कम है। उदाहरण के लिए, यदि एक्स= 0.042, फिर 2 को छोड़ दें और . लिखें एक्स= 0.04, और यदि एक्स=0.123, तब हम . लिखते हैं एक्स=0,12.
परिणाम के अंकों की संख्या और कुल त्रुटि समान होनी चाहिए। इसलिए, त्रुटि का अंकगणितीय माध्य समान होना चाहिए। इसलिए, अंकगणितीय माध्य की गणना पहले माप से एक अंक अधिक की जाती है, और परिणाम रिकॉर्ड करते समय, इसका मान कुल त्रुटि के अंकों की संख्या तक परिष्कृत किया जाता है।
4. माप त्रुटियों की गणना के लिए पद्धति।
प्रत्यक्ष माप की त्रुटियां
प्रत्यक्ष माप के परिणामों को संसाधित करते समय, संचालन के निम्नलिखित क्रम को अपनाने की सिफारिश की जाती है।
. (8)
.
.
कुल त्रुटि निर्धारित है
माप परिणाम की सापेक्ष त्रुटि अनुमानित है
.
अंतिम परिणाम के रूप में लिखा गया है
, α=… E=…% के साथ।
5. अप्रत्यक्ष माप की त्रुटि
अप्रत्यक्ष रूप से मापी गई मात्रा के वास्तविक मूल्य का मूल्यांकन करते समय, जो अन्य स्वतंत्र मात्राओं का एक कार्य है 
, दो विधियों का उपयोग किया जा सकता है।
पहला तरीकाका उपयोग किया जाता है यदि value आपविभिन्न प्रायोगिक स्थितियों के तहत निर्धारित। इस मामले में, प्रत्येक मान के लिए, 
, और फिर सभी मानों का अंकगणितीय माध्य निर्धारित किया जाता है आप मैं
. (9)
सूत्र के अनुसार सभी मापों की ज्ञात वाद्य त्रुटियों के आधार पर व्यवस्थित (वाद्य) त्रुटि पाई जाती है। इस मामले में यादृच्छिक त्रुटि को प्रत्यक्ष माप त्रुटि के रूप में परिभाषित किया गया है।
दूसरा रास्तालागू होता है अगर समारोह आप एक ही माप के साथ कई बार निर्धारित। इस मामले में, मूल्य की गणना औसत मूल्यों से की जाती है। हमारे प्रयोगशाला अभ्यास में, अप्रत्यक्ष रूप से मापी गई मात्रा निर्धारित करने की दूसरी विधि का अधिक बार उपयोग किया जाता है आप. व्यवस्थित (वाद्य) त्रुटि, पहली विधि की तरह, सूत्र के अनुसार सभी मापों की ज्ञात वाद्य त्रुटियों के आधार पर पाई जाती है
अप्रत्यक्ष माप की यादृच्छिक त्रुटि का पता लगाने के लिए, पहले व्यक्तिगत माप के अंकगणितीय माध्य की मूल-माध्य-वर्ग त्रुटियों की गणना की जाती है। तब मूल माध्य वर्ग त्रुटि पाई जाती है आप. आत्मविश्वास की संभावना α निर्धारित करना, छात्र के गुणांक का पता लगाना, यादृच्छिक और कुल त्रुटियों का निर्धारण उसी तरह किया जाता है जैसे प्रत्यक्ष माप के मामले में किया जाता है। इसी प्रकार, सभी गणनाओं का परिणाम रूप में प्रस्तुत किया जाता है
, α=… E=…% के साथ।
6. प्रयोगशाला कार्य को डिजाइन करने का एक उदाहरण
लैब #1
सिलेंडर मात्रा निर्धारण
सामान:वर्नियर कैलिपर 0.05 मिमी के विभाजन मान के साथ, 0.01 मिमी के विभाजन मान वाला एक माइक्रोमीटर, एक बेलनाकार शरीर।
उद्देश्य:सरलतम भौतिक मापों से परिचित होना, सिलेंडर का आयतन निर्धारित करना, प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की गणना करना।
कार्य आदेश
कैलीपर से बेलन के व्यास का कम से कम 5 माप लें और इसकी ऊंचाई माइक्रोमीटर से लें।
एक सिलेंडर की मात्रा की गणना के लिए गणना सूत्र
जहाँ d बेलन का व्यास है; एच ऊंचाई है।
माप परिणाम
तालिका 2।
मापन संख्या | ||||||
| ; |
; 
.
; ई = 0.5%।
, ई = 0.5%।
ज्यादातर मामलों में, प्रयोगशाला कार्य का अंतिम लक्ष्य किसी सूत्र का उपयोग करके वांछित मूल्य की गणना करना है, जिसमें मात्राएं शामिल होती हैं जिन्हें सीधे तरीके से मापा जाता है। ऐसे मापों को अप्रत्यक्ष कहा जाता है। एक उदाहरण के रूप में, हम एक ठोस बेलनाकार पिंड के घनत्व का सूत्र देते हैं
जहाँ r शरीर का घनत्व है, एम- शरीर का द्रव्यमान, डी- सिलेंडर का व्यास, एच- उसका उच्च।
निर्भरता (ए.5) को सामान्य रूप में निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:
कहाँ पे यूएक परोक्ष रूप से मापी गई मात्रा है, सूत्र (A.5) में यह घनत्व r है; एक्स 1 , एक्स 2 ,... ,एक्स एनसीधे मापी गई मात्राएँ हैं, सूत्र (A.5) में ये हैं एम, डी, और एच.
अप्रत्यक्ष माप का परिणाम सटीक नहीं हो सकता, क्योंकि मात्राओं के प्रत्यक्ष माप के परिणाम एक्स 1 , x2, ... ,एक्स एनहमेशा त्रुटियां होती हैं। इसलिए, अप्रत्यक्ष माप के साथ-साथ प्रत्यक्ष माप के लिए, प्राप्त मूल्य के विश्वास अंतराल (पूर्ण त्रुटि) का अनुमान लगाना आवश्यक है डीवाईऔर सापेक्ष त्रुटि ई।
अप्रत्यक्ष माप के मामले में त्रुटियों की गणना करते समय, क्रियाओं के निम्नलिखित अनुक्रम का पालन करना सुविधाजनक होता है:
1) प्रत्येक सीधे मापी गई मात्रा का औसत मान प्राप्त करें á x1ñ, á x2ñ, …, á एक्स एनñ;
2) अप्रत्यक्ष रूप से मापी गई मात्रा का औसत मूल्य प्राप्त करें á यूñ सीधे मापी गई मात्राओं के औसत मूल्यों को सूत्र (A.6) में प्रतिस्थापित करके;
3) सीधे मापी गई मात्राओं की पूर्ण त्रुटियों का मूल्यांकन करने के लिए डीएक्स 1 , डीएक्स 2 , ..., डीएक्सएन, सूत्रों (A.2) और (A.3) का उपयोग करके;
4) फ़ंक्शन के स्पष्ट रूप (A.6) के आधार पर, अप्रत्यक्ष रूप से मापे गए मान की निरपेक्ष त्रुटि की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें डीवाईऔर इसकी गणना करें;
6) त्रुटि को ध्यान में रखते हुए माप परिणाम लिखें।
नीचे, व्युत्पत्ति के बिना, एक सूत्र दिया गया है जो किसी को पूर्ण त्रुटि की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है, यदि फ़ंक्शन का स्पष्ट रूप (A.6) ज्ञात है:
जहां Y¤¶ x1आदि - सभी सीधे मापी गई मात्राओं के संबंध में Y का आंशिक व्युत्पन्न एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स n (जब एक आंशिक व्युत्पन्न लिया जाता है, उदाहरण के लिए एक्स 1 , फिर अन्य सभी मात्राएँ एक्स मैंसूत्र में स्थिर माना जाता है), D एक्स मैं- (ए.3) के अनुसार गणना की गई सीधे मापी गई मात्राओं की पूर्ण त्रुटियां।
DY की गणना करने के बाद, वे सापेक्ष त्रुटि पाते हैं।
हालाँकि, यदि फलन (A.6) एकपदी है, तो पहले सापेक्ष त्रुटि की गणना करना बहुत आसान है, और फिर निरपेक्ष त्रुटि।
वास्तव में, समानता के दोनों पक्षों को विभाजित करके (A.7) यू, हम पाते हैं
लेकिन चूंकि, हम लिख सकते हैं
अब सापेक्ष त्रुटि को जानकर निरपेक्ष का निर्धारण करें।
एक उदाहरण के रूप में, हम सूत्र (ए.5) द्वारा निर्धारित किसी पदार्थ के घनत्व में त्रुटि की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं। चूँकि (A.5) एक एकपदी है, तो, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, पहले (A.8) के अनुसार सापेक्ष माप त्रुटि की गणना करना आसान है। (A.8) में, मूल के नीचे हमारे पास के आंशिक अवकलजों के वर्गों का योग होता है लोगारित्ममापा मात्रा, इसलिए पहले हम प्राकृतिक लघुगणक r पाते हैं:
एलएन आर = एलएन 4 + एलएन एम- एलएन पी -2 एलएन डी-एलएन एच,
और फिर हम सूत्र (A.8) का उपयोग करते हैं और उसे प्राप्त करते हैं
जैसा कि देखा जा सकता है, (A.9) में सीधे मापी गई मात्राओं के औसत मान और उनकी निरपेक्ष त्रुटियाँ, (A.3) के अनुसार प्रत्यक्ष माप की विधि द्वारा गणना की जाती हैं, का उपयोग किया जाता है। संख्या पी द्वारा शुरू की गई त्रुटि को ध्यान में नहीं रखा जाता है, क्योंकि इसका मूल्य हमेशा अन्य सभी मात्राओं की माप सटीकता से अधिक सटीकता के साथ लिया जा सकता है। ई की गणना करते हुए, हम पाते हैं।
यदि अप्रत्यक्ष माप स्वतंत्र हैं (प्रत्येक बाद के प्रयोग की शर्तें पिछले एक की शर्तों से भिन्न होती हैं), तो मात्रा का मान यूप्रत्येक व्यक्तिगत प्रयोग के लिए गणना। उत्पादन किया एनअनुभव, प्राप्त करें एनमूल्यों यी. इसके अलावा, प्रत्येक मान लेना यी(कहाँ पे मैं- अनुभव की संख्या) प्रत्यक्ष माप के परिणाम के लिए, गणना करें á यूñ और ड्यू यूसूत्रों के अनुसार (A.1) और (A.2), क्रमशः।
प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष माप दोनों का अंतिम परिणाम इस तरह दिखना चाहिए:
कहाँ पे एम- प्रतिपादक, तुम- मापन की इकाई यू.
भौतिक मात्रा के माप की त्रुटियाँ और
माप परिणाम प्रसंस्करण
माप सेविशेष तकनीकी साधनों की सहायता से भौतिक मात्राओं के मूल्यों को आनुभविक रूप से खोजना कहा जाता है। माप या तो प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष हैं। पर सीधेमाप, भौतिक मात्रा का वांछित मूल्य सीधे मापने वाले उपकरणों की सहायता से पाया जाता है (उदाहरण के लिए, कैलीपर का उपयोग करके निकायों के आयामों को मापना)। अप्रत्यक्षमाप कहा जाता है जिसमें किसी भौतिक मात्रा का वांछित मूल्य मापा मात्रा और प्रत्यक्ष माप के अधीन मात्राओं के बीच एक ज्ञात कार्यात्मक संबंध के आधार पर पाया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सिलेंडर का आयतन V निर्धारित करते समय, इसका व्यास D और ऊँचाई H मापा जाता है, और फिर सूत्र के अनुसारपी डी 2 /4 इसकी मात्रा की गणना करें।
माप उपकरणों की अशुद्धि और माप में सभी दुष्प्रभावों को ध्यान में रखने में कठिनाई के कारण, माप त्रुटियाँ अनिवार्य रूप से उत्पन्न होती हैं। त्रुटिया गलतीमाप का तात्पर्य मापी गई भौतिक मात्रा के वास्तविक मूल्य से माप परिणाम के विचलन से है। माप त्रुटि आमतौर पर अज्ञात है, जैसा कि मापा मात्रा का सही मूल्य है। इसलिए, माप परिणामों के प्राथमिक प्रसंस्करण का कार्य उस अंतराल को स्थापित करना है जिसके भीतर मापी गई भौतिक मात्रा का सही मूल्य एक निश्चित संभावना के साथ स्थित है।
माप त्रुटियों का वर्गीकरण
त्रुटियों को तीन प्रकारों में विभाजित किया गया है:
1) सकल या चूक,
2) व्यवस्थित,
3) यादृच्छिक.
सकल त्रुटियां- ये गलत माप हैं जो डिवाइस पर लापरवाही से पढ़ने, रीडिंग की अवैध रिकॉर्डिंग के परिणामस्वरूप होते हैं। उदाहरण के लिए, 2.65 के बजाय 26.5 का परिणाम लिखना; 13 के बजाय 18 के पैमाने पर पढ़ना, आदि। यदि एक सकल त्रुटि का पता चला है, तो इस माप के परिणाम को तुरंत त्याग दिया जाना चाहिए, और माप को दोहराया जाना चाहिए।
व्यवस्थित त्रुटियां- त्रुटियां जो बार-बार माप के दौरान स्थिर रहती हैं या एक निश्चित कानून के अनुसार बदलती हैं। ये त्रुटियां माप पद्धति के गलत चुनाव, अपूर्णता या उपकरणों की खराबी के कारण हो सकती हैं (उदाहरण के लिए, शून्य ऑफसेट वाले उपकरण का उपयोग करके माप)। यथासंभव व्यवस्थित त्रुटियों को समाप्त करने के लिए, माप पद्धति का हमेशा सावधानीपूर्वक विश्लेषण करना चाहिए, उपकरणों की मानकों के साथ तुलना करना चाहिए। भविष्य में, हम मान लेंगे कि सभी व्यवस्थित त्रुटियों को समाप्त कर दिया गया है, सिवाय उपकरणों के निर्माण में अशुद्धियों और पढ़ने की त्रुटियों के कारण। हम इस त्रुटि को कहेंगे हार्डवेयर।
यादृच्छिक त्रुटियां - ये ऐसी त्रुटियां हैं, जिनके कारण पर पहले से विचार नहीं किया जा सकता है। यादृच्छिक त्रुटियां हमारी इंद्रियों की अपूर्णता पर निर्भर करती हैं, बाहरी परिस्थितियों को बदलने की निरंतर क्रिया (तापमान, दबाव, आर्द्रता, वायु कंपन, आदि में परिवर्तन) पर निर्भर करती हैं। यादृच्छिक त्रुटियां अपरिहार्य हैं, वे अनिवार्य रूप से सभी मापों में मौजूद हैं, लेकिन संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके उनका अनुमान लगाया जा सकता है।
प्रत्यक्ष माप के परिणामों को संसाधित करना
आइए, भौतिक मात्रा के प्रत्यक्ष माप के परिणामस्वरूप, इसके मूल्यों की एक श्रृंखला प्राप्त करें:
एक्स 1, एक्स 2, ... एक्स एन।
संख्याओं की इस श्रृंखला को जानने के लिए, आपको मापे गए मान के वास्तविक मान के निकटतम मान को इंगित करना होगा, और यादृच्छिक त्रुटि का मान ज्ञात करना होगा। इस समस्या को संभाव्यता सिद्धांत के आधार पर हल किया जाता है, जिसकी विस्तृत प्रस्तुति हमारे पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर है।
मापी गई भौतिक मात्रा का सबसे संभावित मान (सही मान के करीब) अंकगणित माध्य है
. (1)
यहाँ x i, i-वें माप का परिणाम है; n माप की संख्या है। निरपेक्ष त्रुटि से यादृच्छिक माप त्रुटि का अनुमान लगाया जा सकता हैडी x, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है
,
(2)
जहां टी (ए ,n) - माप की संख्या n और आत्मविश्वास के स्तर के आधार पर छात्र का गुणांकए . आत्मविश्वास मूल्यए प्रयोगकर्ता द्वारा निर्धारित।
संभावनायादृच्छिक घटना इस घटना के लिए अनुकूल मामलों की संख्या और समान रूप से संभावित मामलों की कुल संख्या का अनुपात है। एक निश्चित घटना की प्रायिकता 1 है और असंभव की प्रायिकता 0 है।
दिए गए आत्मविश्वास के स्तर के अनुरूप विद्यार्थी के गुणांक का मानए और माप की एक निश्चित संख्या n, तालिका के अनुसार खोजें। एक।
तालिका नंबर एक
|
संख्या माप संख्या |
आत्मविश्वास की संभावनाए |
|||
|
0,95 |
0,98 |
|||
|
1,38 |
12,7 |
31,8 |
||
|
1,06 |
||||
|
0,98 |
||||
|
0,94 |
||||
|
0,92 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,88 |
||||
|
0,84 |
||||
टेबल से। 1 यह देखा जा सकता है कि छात्र के गुणांक और यादृच्छिक माप त्रुटि का मान छोटा है, बड़ा n और छोटा हैए . व्यावहारिक रूप से चुनेंए = 0.95। हालाँकि, माप की संख्या में एक साधारण वृद्धि कुल त्रुटि को शून्य तक कम नहीं कर सकती है, क्योंकि कोई भी मापने वाला उपकरण एक त्रुटि देता है।
आइए हम निरपेक्ष त्रुटि शब्दों का अर्थ समझाते हैंडी x और आत्मविश्वास का स्तरए संख्या रेखा का उपयोग करना। मान लीजिए मापी गई मात्रा का औसत मान
चित्र .1
यदि समान उपकरणों द्वारा समान परिस्थितियों में समान मात्रा के माप को दोहराया जाता है, तो मापी गई मात्रा x का सही मान उसी विश्वास अंतराल में गिर जाएगा, लेकिन हिट विश्वसनीय नहीं होगा, लेकिन एक संभावना के साथए।
निरपेक्ष त्रुटि के परिमाण की गणनाडी x सूत्र द्वारा (2), मापी गई भौतिक मात्रा का वास्तविक मान x x= . के रूप में लिखा जा सकता है
भौतिक मात्रा को मापने की सटीकता का आकलन करने के लिए, गणना करें रिश्तेदारों की गलतीजिसे आमतौर पर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है
. (3)
इस प्रकार, प्रत्यक्ष माप के परिणामों को संसाधित करते समय, निम्नलिखित करना आवश्यक है:
1. माप n बार लें।
2. सूत्र (1) का प्रयोग कर समांतर माध्य परिकलित कीजिए।
3. आत्मविश्वास का स्तर निर्धारित करें a (आमतौर पर a = 0.95 लें)।
4. तालिका 1 के अनुसार, दिए गए आत्मविश्वास के स्तर के अनुरूप विद्यार्थी का गुणांक ज्ञात कीजिएए और आयामों की संख्या n।
5. सूत्र (2) का उपयोग करके पूर्ण त्रुटि की गणना करें और इसकी तुलना वाद्य यंत्र से करें। आगे की गणना के लिए, जो बड़ा है उसे लें।
6. सूत्र (3) का उपयोग करते हुए, सापेक्ष त्रुटि की गणना करेंइ।
7. अंतिम परिणाम लिखें
एक्स =
अप्रत्यक्ष माप के परिणामों को संसाधित करना
मान लीजिए कि वांछित भौतिक राशि y को अन्य राशियों x 1, x 2, ... x k के साथ कुछ क्रियात्मक निर्भरता से जोड़ा जाता है।
Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)
मानों के बीच x 1 , x 2 , ... x k प्रत्यक्ष माप और सारणीबद्ध डेटा से प्राप्त मान हैं। निरपेक्ष का निर्धारण करना आवश्यक हैडी वाई और रिश्तेदारइ y के मान में त्रुटियाँ।
ज्यादातर मामलों में, पहले सापेक्ष त्रुटि की गणना करना आसान होता है, और फिर पूर्ण त्रुटि। संभाव्यता के सिद्धांत से, अप्रत्यक्ष माप की सापेक्ष त्रुटि
.
(5)
यहां 
, चर x i के संबंध में फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न कहां है, जिसकी गणना में x i को छोड़कर सभी मानों को स्थिर माना जाता है;डी x i, x i की पूर्ण त्रुटि है। यदि x i प्रत्यक्ष माप के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है, तो इसका औसत मान
आइए अंतिम परिणाम लिखें:
वाई =
यहां
आमतौर पर, वास्तविक माप में यादृच्छिक और व्यवस्थित (वाद्य) दोनों त्रुटियां मौजूद होती हैं। यदि प्रत्यक्ष माप की गणना की गई यादृच्छिक त्रुटि शून्य के बराबर या दो या अधिक बार हार्डवेयर त्रुटि से कम है, तो अप्रत्यक्ष माप की त्रुटि की गणना करते समय, हार्डवेयर त्रुटि को ध्यान में रखा जाना चाहिए। यदि इन त्रुटियों में दो गुना से कम अंतर होता है, तो निरपेक्ष त्रुटि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
.
एक उदाहरण पर विचार करें। सिलेंडर की मात्रा की गणना करना आवश्यक होने दें:
. (6)
यहां डी सिलेंडर का व्यास है, एच इसकी ऊंचाई है, जिसे वर्नियर कैलिपर के साथ 0.1 मिमी के विभाजन मान के साथ मापा जाता है। बार-बार माप के परिणामस्वरूप, हम औसत मान पाते हैं
,
(7)
जहां डी डी और डी एच व्यास और ऊंचाई के प्रत्यक्ष माप की पूर्ण त्रुटियां हैं। उनके मूल्यों की गणना सूत्र (2) द्वारा की जाती है:डी डी = 0.01 मिमी; डी एच = 0.13 मिमी। कैलीपर के विभाजन मूल्य के बराबर, हार्डवेयर एक के साथ गणना की गई त्रुटियों की तुलना करें।डी डी<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо डी डी 0.01 मिमी नहीं है, लेकिन 0.1 मिमी है।
पी मान ऐसा चुना जाना चाहिए कि सापेक्ष त्रुटिडीपी/पी सूत्र (7) में उपेक्षित किया जा सकता है। मापा मूल्यों के विश्लेषण और पूर्ण त्रुटियों की गणना सेडी डी और डी एच, यह देखा जा सकता है कि ऊंचाई माप त्रुटि सापेक्ष मात्रा माप त्रुटि में सबसे बड़ा योगदान देती है। सापेक्ष ऊंचाई त्रुटि की गणना देता हैएह =0.01. इसलिए, मानपी आपको 3.14 लेने की जरूरत है। इस मामले मेंडीपी / पी »0.001 (डीपी =3.142-3.14=0.002)।
एक महत्वपूर्ण आंकड़ा पूर्ण त्रुटि में छोड़ दिया गया है।
टिप्पणियाँ।
1. यदि माप एक बार किए जाते हैं या कई मापों के परिणाम समान होते हैं, तो निरपेक्ष माप त्रुटि को वाद्य त्रुटि के रूप में लिया जाना चाहिए, जो कि अधिकांश उपकरणों के लिए उपकरण के विभाजन मूल्य के बराबर होता है (अधिक के लिए) वाद्य त्रुटि पर विवरण, "मापने के उपकरण" अनुभाग देखें)।
2. यदि त्रुटि को निर्दिष्ट किए बिना सारणीबद्ध या प्रयोगात्मक डेटा दिया जाता है, तो ऐसी संख्याओं की पूर्ण त्रुटि अंतिम महत्वपूर्ण अंक के आधे क्रम के बराबर ली जाती है।
अनुमानित संख्या वाली कार्रवाइयां
विभिन्न गणना सटीकता का मुद्दा बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि गणना की सटीकता को कम करके आंकने से बड़ी मात्रा में अनावश्यक काम होता है। छात्र अक्सर पांच या अधिक महत्वपूर्ण अंकों की सटीकता के साथ उस मूल्य की गणना करते हैं जिसकी वे तलाश कर रहे हैं। यह समझा जाना चाहिए कि यह सटीकता अत्यधिक है। सटीकता की सीमा से परे गणना करने का कोई मतलब नहीं है, जो सीधे मापी गई मात्राओं को निर्धारित करने की सटीकता द्वारा प्रदान किया जाता है। माप को संसाधित करने के बाद, वे अक्सर व्यक्तिगत परिणामों की त्रुटियों की गणना नहीं करते हैं और मात्रा के अनुमानित मूल्य की त्रुटि का न्याय करते हैं, इस संख्या में सही महत्वपूर्ण अंकों की संख्या का संकेत देते हैं।
महत्वपूर्ण आंकड़ेएक अनुमानित संख्या शून्य को छोड़कर सभी अंक कहलाती है, साथ ही दो मामलों में शून्य:
1) जब यह महत्वपूर्ण आंकड़ों के बीच खड़ा होता है (उदाहरण के लिए, संख्या 1071 में - चार महत्वपूर्ण आंकड़े);
2) जब यह संख्या के अंत में खड़ा हो और जब यह ज्ञात हो कि दी गई संख्या में संबंधित अंक की इकाई उपलब्ध नहीं है। उदाहरण। संख्या 5.20 में तीन महत्वपूर्ण आंकड़े हैं, और इसका मतलब है कि माप करते समय हमने न केवल इकाइयों, बल्कि दसवें और सौवें हिस्से को भी ध्यान में रखा, और संख्या 5.2 में - केवल दो महत्वपूर्ण आंकड़े, जिसका अर्थ है कि हमने केवल पूर्णांकों को ध्यान में रखा और दसवां।
निम्नलिखित नियमों के अनुपालन में अनुमानित गणना की जानी चाहिए।
1. जोड़ने और घटाने परपरिणामस्वरूप, दशमलव स्थानों की न्यूनतम संख्या वाली संख्या में जितने हैं उतने दशमलव स्थान बनाए रखें। उदाहरण के लिए: 0.8934+3.24+1.188=5.3214» 5.32. राशि को सौवें तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए, अर्थात। 5.32 के बराबर लें।
2. गुणा और भाग करते समयपरिणामस्वरूप, सबसे कम सार्थक अंकों वाली अनुमानित संख्या के रूप में कई महत्वपूर्ण अंकों को बरकरार रखा जाता है। उदाहरण के लिए, आपको 8.632 . को गुणा करना होगा 2.8´ 3.53. इसके बजाय, भावों का मूल्यांकन किया जाना चाहिए
8.6 2.8 3.5 »81.
मध्यवर्ती परिणामों की गणना करते समय, वे अनुशंसित नियमों (तथाकथित अतिरिक्त अंक) से एक अंक अधिक बचाते हैं। अंतिम परिणाम में, अतिरिक्त अंक को त्याग दिया जाता है। परिणाम के अंतिम महत्वपूर्ण अंक के मूल्य को स्पष्ट करने के लिए, आपको इसके पीछे के अंक की गणना करने की आवश्यकता है। यदि यह पांच से कम हो जाता है, तो इसे छोड़ दिया जाना चाहिए, और यदि पांच या पांच से अधिक है, तो इसे छोड़कर, पिछले अंक को एक से बढ़ाया जाना चाहिए। आमतौर पर, निरपेक्ष त्रुटि में एक महत्वपूर्ण अंक छोड़ दिया जाता है, और मापा गया मान उस अंक तक पूर्णांकित किया जाता है जिसमें निरपेक्ष त्रुटि का महत्वपूर्ण अंक स्थित होता है।
3. कार्यों के मूल्यों की गणना का परिणाम x n , , lg( एक्स) कुछ अनुमानित संख्या एक्समें उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने संख्या में हैं एक्स. उदाहरण के लिए: 
.
अंकन
प्रयोगशाला कार्य के प्रदर्शन के दौरान प्राप्त परिणाम अक्सर महत्वपूर्ण होते हैं और उन्हें एक चित्रमय संबंध में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। एक ग्राफ बनाने के लिए, किए गए मापों के आधार पर, एक तालिका संकलित करना आवश्यक है जिसमें एक मात्रा का प्रत्येक मान दूसरे के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता हो।
ग्राफ पेपर पर ग्राफ बनाए जाते हैं। एक ग्राफ का निर्माण करते समय, स्वतंत्र चर के मूल्यों को एब्सिस्सा पर और फ़ंक्शन के मूल्यों को ऑर्डिनेट पर प्लॉट किया जाना चाहिए। प्रत्येक अक्ष के पास, आपको प्रदर्शित मूल्य का पदनाम लिखना होगा और यह इंगित करना होगा कि इसे किन इकाइयों में मापा जाता है (चित्र 2)।
रेखा चित्र नम्बर 2
ग्राफ के सही निर्माण के लिए, पैमाने का चुनाव महत्वपूर्ण है: वक्र पूरी शीट पर कब्जा कर लेता है, और लंबाई और ऊंचाई में ग्राफ के आयाम लगभग समान होते हैं। पैमाना सरल होना चाहिए। सबसे आसान तरीका यह है कि यदि मापा मूल्य (0.1; 10; 100, आदि) की इकाई 1, 2 या 5 सेमी से मेल खाती है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि समन्वय अक्षों के प्रतिच्छेदन का मेल नहीं होना चाहिए प्लॉट किए जा रहे मानों के शून्य मान (चित्र 2)।
प्राप्त किए गए प्रत्येक प्रयोगात्मक मूल्य को ग्राफ पर काफी ध्यान देने योग्य तरीके से प्लॉट किया जाता है: एक बिंदु, एक क्रॉस इत्यादि।
मापा मूल्यों के लिए त्रुटियों को एक विश्वास अंतराल की लंबाई के साथ खंडों के रूप में इंगित किया जाता है, जिसके केंद्र में प्रयोगात्मक बिंदु स्थित हैं। चूंकि त्रुटियों का संकेत ग्राफ़ को अव्यवस्थित करता है, यह केवल तभी किया जाता है जब त्रुटियों के बारे में जानकारी की वास्तव में आवश्यकता होती है: प्रयोगात्मक बिंदुओं से वक्र का निर्माण करते समय, ग्राफ़ का उपयोग करके त्रुटियों का निर्धारण करते समय, सैद्धांतिक वक्र के साथ प्रयोगात्मक डेटा की तुलना करते समय (चित्र 2) . अक्सर यह एक या अधिक बिंदुओं के लिए त्रुटि निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त होता है।
प्रयोगात्मक बिंदुओं के माध्यम से एक चिकनी वक्र खींचना आवश्यक है। अक्सर, प्रयोगात्मक बिंदु एक साधारण टूटी हुई रेखा से जुड़े होते हैं। इस प्रकार, जैसा कि यह था, यह संकेत दिया जाता है कि मात्राएँ एक दूसरे पर किसी न किसी तरह से निर्भर करती हैं। और यह अविश्वसनीय है। वक्र चिकना होना चाहिए और चिह्नित बिंदुओं से नहीं, बल्कि उनके करीब से गुजर सकता है ताकि ये बिंदु वक्र के दोनों किनारों से समान दूरी पर हों। यदि कोई बिंदु ग्राफ से दृढ़ता से गिर जाता है, तो इस माप को दोहराया जाना चाहिए। इसलिए, प्रयोग के दौरान सीधे एक ग्राफ बनाना वांछनीय है। तब ग्राफ़ प्रेक्षणों को नियंत्रित करने और उनमें सुधार करने का काम कर सकता है।
उपकरणों को मापने और उनकी त्रुटियों के लिए लेखांकन
मापने वाले उपकरणों का उपयोग भौतिक मात्राओं के प्रत्यक्ष माप के लिए किया जाता है। कोई भी मापक यंत्र मापी गई मात्रा का सही मान नहीं देता है। यह, सबसे पहले, इस तथ्य के कारण है कि उपकरण के पैमाने पर मापा मूल्य को सटीक रूप से पढ़ना असंभव है, और दूसरा, माप उपकरणों के निर्माण में अशुद्धि के लिए। पहले कारक को ध्यान में रखते हुए, पढ़ने की त्रुटि x o पेश की जाती है, दूसरे के लिए - स्वीकार्य त्रुटिΔ एक्स डी. इन त्रुटियों का योग डिवाइस की वाद्य या पूर्ण त्रुटि बनाता हैΔ एक्स:
.
अनुमेय त्रुटि को राज्य मानकों द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है और पासपोर्ट या डिवाइस के विवरण में इंगित किया जाता है।
पढ़ने की त्रुटि आमतौर पर उपकरण के आधे भाग के बराबर ली जाती है, लेकिन कुछ उपकरणों (स्टॉपवॉच, एरोइड बैरोमीटर) के लिए - उपकरण के विभाजन के बराबर (चूंकि इन उपकरणों के तीर की स्थिति एक डिवीजन द्वारा छलांग में बदल जाती है) और यहां तक कि पैमाने के कई विभाजन, यदि प्रयोग की शर्तें आत्मविश्वास से एक विभाजन तक गिनती की अनुमति नहीं देती हैं (उदाहरण के लिए, एक मोटी सूचक या खराब रोशनी के साथ)। इस प्रकार, गणना त्रुटि स्वयं प्रयोगकर्ता द्वारा निर्धारित की जाती है, वास्तव में किसी विशेष प्रयोग की शर्तों को दर्शाती है।
यदि स्वीकार्य त्रुटि पठन त्रुटि से काफी कम है, तो इसे अनदेखा किया जा सकता है। आमतौर पर, उपकरण की पूर्ण त्रुटि को उपकरण के पैमाने के विभाजन के बराबर लिया जाता है।
मापने वाले शासकों में आमतौर पर मिलीमीटर विभाजन होते हैं। माप के लिए, बेवल के साथ स्टील या ड्राइंग शासकों का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है। ऐसे शासकों की अनुमेय त्रुटि 0.1 मिमी है और इसे अनदेखा किया जा सकता है, क्योंकि यह पढ़ने की त्रुटि के बराबर से बहुत कम है ± 0.5 मिमी। लकड़ी और प्लास्टिक के शासकों की अनुमेय त्रुटि± 1 मिमी।
एक माइक्रोमीटर की अनुमेय माप त्रुटि माप की ऊपरी सीमा पर निर्भर करती है और हो सकती है ± (3-4) µm (मापने की सीमा 0-25 मिमी के साथ माइक्रोमीटर के लिए)। भाग के आधे मान को पठन त्रुटि के रूप में लिया जाता है। इस प्रकार, माइक्रोमीटर की निरपेक्ष त्रुटि को विभाजन मान के बराबर लिया जा सकता है, अर्थात। 0.01 मिमी।
वजन करते समय, तकनीकी तराजू की अनुमेय त्रुटि भार पर निर्भर करती है और 20 से 200 ग्राम के भार के लिए 50 मिलीग्राम और 20 ग्राम से कम के भार के लिए 25 मिलीग्राम तक होती है।
डिजिटल उपकरणों की त्रुटि सटीकता वर्ग द्वारा निर्धारित की जाती है।
अप्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की गणना के लिए सूत्र अंतर कलन के निरूपण पर आधारित हैं।
चलो मात्रा की निर्भरता यूमापा मूल्य से जेडएक सरल रूप है: .
यहां और स्थिरांक हैं जिनके मूल्य ज्ञात हैं। यदि z को किसी संख्या से बढ़ाया या घटाया जाए, तो यह बदल जाएगा:
अगर - मापा मूल्य की त्रुटि जेड, तो, क्रमशः, परिकलित मान की त्रुटि होगी यू.
हम एक चर के एक फ़ंक्शन के सामान्य मामले में पूर्ण त्रुटि के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं। मान लीजिए कि इस फलन के ग्राफ का रूप चित्र 1 में दिखाया गया है। तर्क z 0 का सटीक मान फ़ंक्शन y 0 = f(z 0) के सटीक मान से मेल खाता है।
तर्क का मापा मूल्य माप त्रुटियों के कारण z के मान से तर्क के सटीक मान से भिन्न होता है। फ़ंक्शन का मान y द्वारा सटीक मान से भिन्न होगा।
व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ से किसी दिए गए बिंदु पर वक्र के स्पर्शरेखा के स्पर्शरेखा के रूप में (चित्र 1), यह निम्नानुसार है:
. (10)
एक चर के फलन के मामले में अप्रत्यक्ष माप की सापेक्ष त्रुटि का सूत्र होगा: 
. (11)
यह देखते हुए कि फ़ंक्शन का अंतर है, हम प्राप्त करते हैं
(12)
यदि अप्रत्यक्ष माप एक फ़ंक्शन है एमचर 
, तो अप्रत्यक्ष माप की त्रुटि प्रत्यक्ष माप की त्रुटियों पर निर्भर करेगी। हम तर्क की माप त्रुटि से जुड़ी आंशिक त्रुटि को निरूपित करते हैं। यह वृद्धि द्वारा फ़ंक्शन की वृद्धि का गठन करता है, बशर्ते कि अन्य सभी तर्क अपरिवर्तित हों। इस प्रकार, हम निम्नलिखित रूप में (10) के अनुसार आंशिक निरपेक्ष त्रुटि लिखते हैं:
(13)
इस प्रकार, अप्रत्यक्ष माप की आंशिक त्रुटि को खोजने के लिए, (13) के अनुसार, प्रत्यक्ष माप की त्रुटि से आंशिक व्युत्पन्न को गुणा करना आवश्यक है। शेष तर्कों के संबंध में किसी फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न की गणना करते समय, उन्हें स्थिर माना जाता है।
अप्रत्यक्ष माप की परिणामी पूर्ण त्रुटि सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है, जिसमें आंशिक त्रुटियों के वर्ग शामिल होते हैं
अप्रत्यक्ष माप:
या ध्यान में रखते हुए (13)
(14)
अप्रत्यक्ष माप की सापेक्ष त्रुटि सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:
या (11) और (12) को ध्यान में रखते हुए
. (15)
(14) और (15) का उपयोग करते हुए, गणना की सुविधा के आधार पर, त्रुटियों में से एक, पूर्ण या सापेक्ष पाया जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि कार्य सूत्र में उत्पाद का रूप है, मापी गई मात्राओं का अनुपात है, तो अप्रत्यक्ष माप की सापेक्ष त्रुटि को निर्धारित करने के लिए लघुगणक लेना और सूत्र (15) का उपयोग करना आसान है। फिर सूत्र (16) का उपयोग करके पूर्ण त्रुटि की गणना करें:
अप्रत्यक्ष माप की त्रुटि को निर्धारित करने के लिए उपरोक्त प्रक्रिया को स्पष्ट करने के लिए, आइए आभासी प्रयोगशाला कार्य "गणितीय पेंडुलम का उपयोग करके मुक्त गिरावट के त्वरण का निर्धारण" पर लौटते हैं।
कार्य सूत्र (1) में मापा मूल्यों के अनुपात का रूप है:
इसलिए, हम सापेक्ष त्रुटि की परिभाषा के साथ शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इस अभिव्यक्ति का लघुगणक लेते हैं, और फिर आंशिक व्युत्पन्न की गणना करते हैं:
; ; 
.
सूत्र (15) में प्रतिस्थापन अप्रत्यक्ष माप की सापेक्ष त्रुटि के लिए सूत्र की ओर जाता है:
(17)
प्रत्यक्ष माप के परिणामों को प्रतिस्थापित करने के बाद
{ 
; 
) में (17) हम प्राप्त करते हैं:
(18)
निरपेक्ष त्रुटि की गणना करने के लिए, हम गुरुत्वाकर्षण त्वरण के व्यंजक (16) और पहले परिकलित मान (9) का उपयोग करते हैं जी:
निरपेक्ष त्रुटि की गणना के परिणाम को एक महत्वपूर्ण अंक तक पूर्णांकित किया जाता है। निरपेक्ष त्रुटि का परिकलित मान अंतिम परिणाम रिकॉर्ड करने की सटीकता निर्धारित करता है:
, α 1. (19)
इस मामले में, आत्मविश्वास की संभावना उन प्रत्यक्ष मापों की आत्मविश्वास संभावना से निर्धारित होती है जिन्होंने अप्रत्यक्ष माप की त्रुटि में निर्णायक योगदान दिया। इस मामले में, ये अवधि माप हैं।
इस प्रकार, 1 के करीब प्रायिकता के साथ, मान जी 8 से 12 के बीच है।
मुक्त गिरावट त्वरण का अधिक सटीक मान प्राप्त करने के लिए जीमाप तकनीक में सुधार करना आवश्यक है। इसके लिए, सापेक्ष त्रुटि को कम करना आवश्यक है, जो कि सूत्र (18) से निम्नानुसार है, मुख्य रूप से समय माप त्रुटि से निर्धारित होता है।
ऐसा करने के लिए, एक पूर्ण दोलन के समय को मापना आवश्यक नहीं है, लेकिन, उदाहरण के लिए, 10 पूर्ण दोलन। फिर, जैसा कि (2) से होता है, सापेक्ष त्रुटि सूत्र रूप लेगा:
. (20)
तालिका 4 के लिए समय मापने के परिणाम प्रस्तुत करती है एन = 10
मात्रा के लिए लीतालिका 2 से माप परिणाम लें। प्रत्यक्ष माप के परिणामों को सूत्र (20) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम अप्रत्यक्ष माप की सापेक्ष त्रुटि पाते हैं:
सूत्र (2) का उपयोग करके, हम अप्रत्यक्ष रूप से मापी गई मात्रा के मूल्य की गणना करते हैं:
.
.
अंतिम परिणाम इस प्रकार लिखा गया है:
; ; .
यह उदाहरण माप तकनीक में सुधार के लिए संभावित दिशाओं के विश्लेषण में सापेक्ष त्रुटि सूत्र की भूमिका को दर्शाता है।
