मोंटे कार्लो पद्धति का सार इस प्रकार है: आपको मूल्य ज्ञात करने की आवश्यकता है एकुछ अध्ययन की गई मात्रा। इस प्रयोजन के लिए, एक यादृच्छिक चर X चुनें जिसकी गणितीय अपेक्षा a: M(X) = a के बराबर है।

व्यवहार में, वे ऐसा करते हैं: वे गणना करते हैं (खेलते हैं) एनयादृच्छिक चर X के संभावित मान x i, उनका अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें

और वे वांछित संख्या a का ** एक अनुमान (अनुमानित मूल्य) के रूप में लेते हैं। इस प्रकार, मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करने के लिए, आपको एक यादृच्छिक चर खेलने में सक्षम होना चाहिए।

मान लीजिए कि एक असतत यादृच्छिक चर X को चलाना आवश्यक है, अर्थात। X के वितरण नियम को जानते हुए, इसके संभावित मान x i (i=1,2, ...) के अनुक्रम की गणना करें। आइए नोटेशन का परिचय दें: R एक सतत यादृच्छिक चर है जो अंतराल (0,1) में समान रूप से वितरित होता है। ); आर आई (जे=1,2,...) - यादृच्छिक संख्याएं (आर के संभावित मान)।

नियम: वितरण कानून द्वारा निर्दिष्ट एक असतत यादृच्छिक चर एक्स को चलाने के लिए

एक्स एक्स 1 एक्स 2 ... एक्स एन

पी पी 1 पी 2 … पी एन

1. या अक्ष के अंतराल (0,1) को n आंशिक अंतरालों में विभाजित करें:

Δ 1 =(0;р 1), Δ 2 =(р 1; р 1+ р 2), …, Δ n = (р 1 +р 2 +…+р n -1; 1).

2. एक यादृच्छिक संख्या r j चुनें। यदि r j आंशिक अंतराल Δ i में गिरता है, तो खेला जा रहा मान संभावित मान x i पर ले लिया जाता है। .

आयोजनों का एक पूरा समूह चलाना

परीक्षण खेलना आवश्यक है, जिनमें से प्रत्येक में पूरे समूह की घटनाओं में से एक घटित होती है, जिसकी संभावनाएँ ज्ञात होती हैं। घटनाओं के एक पूरे समूह को चलाने से एक असतत यादृच्छिक चर को खेलना आता है।

नियम: परीक्षण खेलने के लिए, जिनमें से प्रत्येक में पूर्ण समूह की घटना A 1, A 2, ..., A n में से एक घटित होती है, जिसकी प्रायिकताएँ p 1, p 2, ..., p n ज्ञात होती हैं, यह निम्नलिखित वितरण नियम के साथ एक पृथक मान X को चलाने के लिए पर्याप्त है:

पी पी 1 पी 2 … पी एन

यदि परीक्षण में मान X ने संभावित मान x i =i लिया, तो घटना A i घटित हुई।

एक सतत यादृच्छिक चर बजाना

एक सतत यादृच्छिक चर X का वितरण फ़ंक्शन F ज्ञात है। इसे X खेलना आवश्यक है, अर्थात। संभावित मान x i (i=1,2, ...) के अनुक्रम की गणना करें।

A. व्युत्क्रम फलनों की विधि। नियम 1। एक सतत यादृच्छिक चर

यदि संभाव्यता घनत्व f(x) ज्ञात है, तो नियम 2 का उपयोग किया जाता है।

नियम 2. संभावित मान को चलाने के लिएएक सतत यादृच्छिक चर

या समीकरण

जहां a, X का सबसे छोटा अंतिम संभावित मान है।

बी. सुपरपोजिशन विधि. नियम 3. एक यादृच्छिक चर X के संभावित मान को चलाने के लिए, जिसका वितरण फ़ंक्शन

एफ(एक्स) = सी 1 एफ 1 (एक्स)+सी 2 एफ 2 (एक्स)+…+सी एन एफ एन (एक्स),

जहां F k (x) – वितरण फलन (k=1, 2, …, n), С k >0, С i +С 2 +…+С n =1, आपको दो स्वतंत्र यादृच्छिक संख्याएं r 1 और चुनने की आवश्यकता है आर 2 और यादृच्छिक संख्या आर 1 का उपयोग करते हुए, सहायक असतत यादृच्छिक चर जेड का संभावित मान खेलें (नियम 1 के अनुसार):

पी सी 1 सी 2 … सी एन

यदि यह पता चलता है कि Z=k, तो x के लिए समीकरण F k (x) = r 2 को हल करें।

टिप्पणी 1. यदि एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता घनत्व रूप में दिया गया है

f(x)=C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)+…+C n f n (x),

जहां f k संभाव्यता घनत्व हैं, गुणांक C k सकारात्मक हैं, उनका योग एक के बराबर है, और यदि यह पता चलता है कि Z=k, तो x i के संबंध में या समीकरण के संबंध में (नियम 2 के अनुसार) हल करें

एक सामान्य यादृच्छिक चर का अनुमानित खेल

नियम। संभावित मूल्य का अनुमान लगाने के लिए x i एक सामान्य यादृच्छिक चर X के पैरामीटर a=0 और σ=1 के साथ, आपको 12 स्वतंत्र यादृच्छिक संख्याएँ जोड़ने और परिणामी योग से 6 घटाने की आवश्यकता है:

टिप्पणी. यदि आप गणितीय अपेक्षा के साथ एक सामान्य यादृच्छिक चर Z को लगभग खेलना चाहते हैं एऔर मानक विचलन σ, फिर, उपरोक्त नियम के अनुसार x i का संभावित मान चलाने के बाद, सूत्र का उपयोग करके वांछित संभावित मान ज्ञात करें: z i =σx i +a।

परिभाषा 24.1.यादृच्छिक संख्याएँसंभावित मानों को नाम दें आरनिरंतर यादृच्छिक चर आर, अंतराल में समान रूप से वितरित (0; 1)।

1. एक असतत यादृच्छिक चर बजाना।

मान लीजिए हम एक अलग यादृच्छिक चर खेलना चाहते हैं एक्स, अर्थात, वितरण नियम को जानकर, इसके संभावित मूल्यों का एक क्रम प्राप्त करें एक्स:

एक्स एक्स 1 एक्स 2 … एक्स एन

आर आर 1 आर 2 … आर पी .

(0, 1) में समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर पर विचार करें आरऔर अंतराल (0, 1) को निर्देशांक वाले बिंदुओं से विभाजित करें आर 1, आर 1 + आर 2 , …, आर 1 + आर 2 +… +आर पी-1 पर पीआंशिक अंतराल जिनकी लंबाई समान सूचकांकों वाली संभावनाओं के बराबर होती है।

प्रमेय 24.1.यदि अंतराल में आने वाली प्रत्येक यादृच्छिक संख्या को एक संभावित मान दिया गया है, तो खेले जाने वाले मान में एक दिया गया वितरण कानून होगा:

एक्स एक्स 1 एक्स 2 … एक्स एन

आर आर 1 आर 2 … आर पी .

सबूत।

परिणामी यादृच्छिक चर के संभावित मान सेट के साथ मेल खाते हैं एक्स 1 , एक्स 2 ,… एक्स एन, चूँकि अंतरालों की संख्या बराबर है पी, और जब मारा गया आर जेएक अंतराल में, एक यादृच्छिक चर केवल एक मान ले सकता है एक्स 1 , एक्स 2 ,… एक्स एन.

क्योंकि आरसमान रूप से वितरित किया जाता है, तो प्रत्येक अंतराल में इसके गिरने की संभावना इसकी लंबाई के बराबर होती है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक मान संभावना से मेल खाता है पी मैं. इस प्रकार, खेले जा रहे यादृच्छिक चर में एक वितरण कानून दिया गया है।

उदाहरण। असतत यादृच्छिक चर के 10 मान चलायें एक्स, जिसके वितरण कानून का रूप है: एक्स 2 3 6 8

आर 0,1 0,3 0,5 0,1

समाधान। आइए अंतराल (0, 1) को आंशिक अंतरालों में विभाजित करें: डी 1 - (0; 0.1), डी 2 - (0.1; 0.4), डी 3 - (0.4; 0.9), डी 4 - (0.9; 1)। आइए यादृच्छिक संख्या तालिका से 10 संख्याएँ लिखें: 0.09; 0.73; 0.25; 0.33; 0.76; 0.52; 0.01; 0.35; 0.86; 0.34. पहली और सातवीं संख्या अंतराल डी 1 पर स्थित है, इसलिए, इन मामलों में, खेले गए यादृच्छिक चर ने मान लिया एक्स 1 = 2; तीसरी, चौथी, आठवीं और दसवीं संख्याएँ अंतराल D 2 में आती हैं, जो इससे मेल खाती है एक्स 2 = 3; इस मामले में दूसरे, पांचवें, छठे और नौवें नंबर अंतराल डी 3 में थे एक्स = एक्स 3 = 6; अंतिम अंतराल में कोई संख्या नहीं थी. तो, संभावित मान समाप्त हो गए एक्सहैं: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3.

2. विपरीत घटनाओं का अभिनय करना।

मान लीजिए कि परीक्षण खेलना आवश्यक है, जिनमें से प्रत्येक में एक घटना होती है एज्ञात संभावना के साथ प्रकट होता है आर. एक असतत यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, मान 1 ले रहा है (यदि घटना एघटित) संभाव्यता के साथ आरऔर 0 (यदि एनहीं हुआ) संभाव्यता के साथ क्यू = 1 – पी. फिर हम पिछले पैराग्राफ में सुझाए गए अनुसार इस यादृच्छिक चर को चलाएंगे।

उदाहरण। 10 चुनौतियाँ खेलें, प्रत्येक एक इवेंट के साथ एसंभावना 0.3 के साथ प्रकट होता है।

समाधान। एक यादृच्छिक चर के लिए एक्सवितरण के नियम के साथ एक्स 1 0

आर 0,3 0,7

हमें अंतराल D 1 - (0; 0.3) और D 2 - (0.3; 1) प्राप्त होते हैं। हम पिछले उदाहरण की तरह यादृच्छिक संख्याओं के समान नमूने का उपयोग करते हैं, जिसके लिए संख्याएँ संख्या 1, 3 और 7 अंतराल डी 1 में आती हैं, और बाकी - अंतराल डी 2 में आती हैं। इसलिए, हम यह मान सकते हैं कि घटना एपहले, तीसरे और सातवें परीक्षणों में हुआ, लेकिन शेष परीक्षणों में नहीं हुआ।

3. घटनाओं का एक पूरा समूह चलाना।

यदि घटनाएँ ए 1 , ए 2 , …, एक पी, जिनकी सम्भावनाएँ समान हैं आर 1 , आर 2 ,… आर पी, एक पूरा समूह बनाएं, फिर खेलने के लिए (अर्थात, परीक्षणों की एक श्रृंखला में उनकी उपस्थिति के अनुक्रम को मॉडलिंग करते हुए), आप एक अलग यादृच्छिक चर खेल सकते हैं एक्सवितरण के नियम के साथ एक्स 1 2 … पी,इसे बिंदु 1 की तरह ही किया है। साथ ही, हम ऐसा मानते हैं

आर आर 1 आर 2 … आर पी

अगर एक्समूल्य ग्रहण करता है एक्स मैं = मैं, तो इस परीक्षण में घटना घटी ए मैं.

4. एक सतत यादृच्छिक चर बजाना।

ए) व्युत्क्रम फलनों की विधि।

मान लीजिए हम एक सतत यादृच्छिक चर खेलना चाहते हैं एक्स, अर्थात्, इसके संभावित मूल्यों का एक क्रम प्राप्त करें एक्स मैं (मैं = 1, 2, …, एन), वितरण फ़ंक्शन को जानना एफ(एक्स).

प्रमेय 24.2.अगर आर मैंएक यादृच्छिक संख्या है, तो संभावित मान एक्स मैंनिरंतर यादृच्छिक चर खेला एक्सकिसी दिए गए वितरण फ़ंक्शन के साथ एफ(एक्स), संगत आर मैं, समीकरण का मूल है

एफ(एक्स मैं) = आर मैं. (24.1)

सबूत।

क्योंकि एफ(एक्स) 0 से 1 के अंतराल में नीरस रूप से बढ़ता है, फिर तर्क का एक (और अद्वितीय) मान होता है एक्स मैं, जिस पर वितरण फ़ंक्शन मान लेता है आर मैं. इसका मतलब है कि समीकरण (24.1) का एक अद्वितीय समाधान है: एक्स मैं= एफ -1 (आर मैं), कहाँ एफ-1 - फ़ंक्शन का व्युत्क्रम एफ. आइए हम सिद्ध करें कि समीकरण (24.1) का मूल विचाराधीन यादृच्छिक चर का एक संभावित मान है एक्स।आइए पहले यह मान लें एक्स मैंकुछ यादृच्छिक चर x का संभावित मान है, और हम साबित करते हैं कि x के अंतराल में गिरने की संभावना ( एस, डी) के बराबर है एफ(डी) – एफ(सी). दरअसल, एकरसता के कारण एफ(एक्स) ओर वो एफ(एक्स मैं) = आर मैं. तब

इसलिए, अत: x के अंतराल में गिरने की प्रायिकता ( सी,डी) वितरण फलन की वृद्धि के बराबर है एफ(एक्स) इस अंतराल पर, इसलिए, x = एक्स.

एक सतत यादृच्छिक चर के 3 संभावित मान चलायें एक्स, अंतराल में समान रूप से वितरित (5; 8)।

एफ(एक्स) =, यानी, समीकरण को हल करना आवश्यक है। आइए 3 यादृच्छिक संख्याएँ चुनें: 0.23; 0.09 और 0.56 और उन्हें इस समीकरण में प्रतिस्थापित करें। आइए संबंधित संभावित मान प्राप्त करें एक्स:

बी) सुपरपोजिशन विधि।

यदि चलाए जा रहे यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन को दो वितरण कार्यों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

फिर, कब से एक्स®¥ एफ(एक्स) ® 1.

आइए हम एक सहायक असतत यादृच्छिक चर का परिचय दें जेडवितरण के नियम के साथ

जेड 12 . आइए 2 स्वतंत्र यादृच्छिक संख्याएँ चुनें आर 1 और आर 2 और संभव खेलें

पीसी 1 सी 2

अर्थ जेडसंख्या के अनुसार आर 1 (बिंदु 1 देखें)। अगर जेड= 1, फिर हम वांछित संभावित मान की तलाश करते हैं एक्ससमीकरण से, और यदि जेड= 2, तो हम समीकरण हल करते हैं।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि इस मामले में खेले जा रहे यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन दिए गए वितरण फ़ंक्शन के बराबर है।

ग) एक सामान्य यादृच्छिक चर का अनुमानित खेल।

तब से आर, समान रूप से (0, 1) में वितरित, फिर योग के लिए पीअंतराल (0,1) में स्वतंत्र, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर। फिर, केंद्रीय सीमा प्रमेय के आधार पर, सामान्यीकृत यादृच्छिक चर पी® ¥ का वितरण मापदंडों के साथ सामान्य के करीब होगा ए= 0 और s =1. विशेष रूप से, काफी अच्छा सन्निकटन तब प्राप्त होता है जब पी = 12:

तो, सामान्यीकृत सामान्य यादृच्छिक चर के संभावित मूल्य को चलाने के लिए एक्स, आपको 12 स्वतंत्र यादृच्छिक संख्याएँ जोड़नी होंगी और योग से 6 घटाना होगा।

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पाठ 1

किसी दिए गए वितरण कानून के साथ यादृच्छिक घटनाओं का अनुकरण

एक असतत यादृच्छिक चर बजाना

असतत यादृच्छिक चर को खेलना आवश्यक होने दें, अर्थात। X के वितरण नियम को जानते हुए, इसके संभावित मान x i (i = 1,2,3,...n) का अनुक्रम प्राप्त करें:

आइए हम एक सतत यादृच्छिक चर को R से निरूपित करें। R का मान अंतराल (0,1) में समान रूप से वितरित किया जाता है। r j (j = 1,2,...) द्वारा हम यादृच्छिक चर R के संभावित मानों को निरूपित करते हैं। आइए अंतराल को 0 से विभाजित करें< R < 1 на оси 0r точками с координатами на n частичных интервалов.

तब हमें मिलता है:

यह देखा जा सकता है कि सूचकांक i के साथ आंशिक अंतराल की लंबाई समान सूचकांक के साथ प्रायिकता P के बराबर है। लंबाई

इस प्रकार, जब एक यादृच्छिक संख्या r i अंतराल में आती है, तो यादृच्छिक चर X प्रायिकता P i के साथ x i मान लेता है।

निम्नलिखित प्रमेय है:

यदि अंतराल में आने वाली प्रत्येक यादृच्छिक संख्या संभावित मान x i से जुड़ी है, तो खेले जाने वाले मान में एक दिया गया वितरण कानून होगा

वितरण कानून द्वारा निर्दिष्ट असतत यादृच्छिक चर को चलाने के लिए एल्गोरिदम

1. 0r अक्ष के अंतराल (0,1) को n आंशिक अंतरालों में विभाजित करना आवश्यक है:

2. एक यादृच्छिक संख्या rj चुनें (उदाहरण के लिए, यादृच्छिक संख्याओं की तालिका से, या कंप्यूटर पर)।

यदि r j अंतराल में गिर गया, तो खेला जा रहा असतत यादृच्छिक चर एक संभावित मान x i पर ले लिया।

एक सतत यादृच्छिक चर बजाना

मान लीजिए कि इसे एक सतत यादृच्छिक चर X को चलाने की आवश्यकता है, अर्थात। इसके संभावित मान x i (i = 1,2,...) का अनुक्रम प्राप्त करें। इस मामले में, वितरण फलन F(X) ज्ञात है।

मौजूद अगला प्रमेय.

यदि r i एक यादृच्छिक संख्या है, तो r i के अनुरूप ज्ञात वितरण फ़ंक्शन F(X) के साथ खेले जाने वाले निरंतर यादृच्छिक चर X का संभावित मान x i समीकरण का मूल है

सतत यादृच्छिक चर चलाने के लिए एल्गोरिदम:

1. आपको एक यादृच्छिक संख्या r i का चयन करना होगा।

2. चयनित यादृच्छिक संख्या को ज्ञात वितरण फ़ंक्शन F(X) के बराबर करें और एक समीकरण प्राप्त करें।

3. x i के लिए इस समीकरण को हल करें। परिणामी मान x i एक साथ यादृच्छिक संख्या r i के अनुरूप होगा। और दिया गया वितरण कानून F(X)।

उदाहरण। अंतराल (2; 10) में समान रूप से वितरित निरंतर यादृच्छिक चर X के 3 संभावित मान चलायें।

X मान के वितरण फ़ंक्शन का निम्न रूप है:

शर्त के अनुसार, a = 2, b = 10, इसलिए,

एक सतत यादृच्छिक चर को चलाने के लिए एल्गोरिदम के अनुसार, हम F(X) को चयनित यादृच्छिक संख्या r i के बराबर करते हैं .. हम यहां से प्राप्त करते हैं:

इन संख्याओं को समीकरण (5.3) में प्रतिस्थापित करें। हमें x के संगत संभावित मान प्राप्त होते हैं:

किसी दिए गए वितरण कानून के साथ यादृच्छिक घटनाओं के मॉडलिंग की समस्याएं

1. असतत यादृच्छिक चर के 10 मानों को चलाना आवश्यक है, अर्थात। X के वितरण नियम को जानते हुए, इसके संभावित मान x i (i=1,2,3,…n) का अनुक्रम प्राप्त करें

आइए यादृच्छिक संख्याओं की तालिका से एक यादृच्छिक संख्या r j चुनें: 0.10; 0.12; 0.37; 0.09; 0.65; 0.66; 0.99; 0.19; 0.88; 0.59; 0.78

2. सेवा के लिए अनुरोधों की प्राप्ति की आवृत्ति घातीय वितरण कानून (), x के अधीन है, पैरामीटर l ज्ञात है (इसके बाद l = 1/t - अनुरोधों की प्राप्ति की तीव्रता)

एल=0.5 अनुरोध/घंटा। आवेदनों की प्राप्ति के बीच अंतराल की अवधि के लिए मूल्यों का क्रम निर्धारित करें। कार्यान्वयन की संख्या 5 है। संख्या आर जे: 0.10; 0.12; 0.37; 0.09; 0.65; 0.99;

पाठ 2

कतारबद्ध प्रणाली

वे प्रणालियाँ जिनमें एक ओर, किसी भी प्रकार की सेवा के निष्पादन के लिए बड़े पैमाने पर अनुरोध आते हैं और दूसरी ओर, इन अनुरोधों को संतुष्ट किया जाता है, कतारबद्ध प्रणाली कहलाती हैं। कोई भी QS अनुरोधों के प्रवाह को पूरा करने का कार्य करता है।

क्यूएस में शामिल हैं: आवश्यकताओं का स्रोत, आने वाला प्रवाह, कतार, सेवा उपकरण, अनुरोधों का आउटगोइंग प्रवाह।

एसएमओ को इसमें विभाजित किया गया है:

घाटे के साथ क्यूएस (विफलताएं)

प्रतीक्षा के साथ कतार (असीमित कतार लंबाई)

क्यूएस सीमित कतार लंबाई के साथ

सीमित प्रतीक्षा समय के साथ क्यूएस।

चैनलों या सेवा उपकरणों की संख्या के आधार पर, QS सिस्टम एकल-चैनल या मल्टी-चैनल हो सकते हैं।

आवश्यकताओं के स्रोत के स्थान के अनुसार: खुला और बंद।

आवश्यकता के अनुसार सेवा तत्वों की संख्या के अनुसार: एकल-चरण और बहु-चरण।

वर्गीकरण के रूपों में से एक डी. केंडल वर्गीकरण है - ए/बी/एक्स/वाई/जेड

ए - आगमन के बीच समय का वितरण निर्धारित करता है;

बी - सेवा समय का वितरण निर्धारित करता है;

एक्स - सेवा चैनलों की संख्या निर्धारित करता है;

Y - सिस्टम क्षमता (कतार की लंबाई) निर्धारित करता है;

Z - सेवा का क्रम निर्धारित करता है।

जब सिस्टम की क्षमता अनंत होती है और सेवा की कतार पहले आओ-पहले पाओ सिद्धांत का पालन करती है, तो Y/Z भाग हटा दिए जाते हैं। पहला अंक (ए) निम्नलिखित प्रतीकों का उपयोग करता है:

एम-वितरण में एक घातीय कानून है,

जी-सेवा प्रक्रिया के बारे में किसी भी धारणा का अभाव, या इसे प्रतीक जीआई से पहचाना जाता है, जिसका अर्थ है आवर्ती सेवा प्रक्रिया,

डी- नियतात्मक (निश्चित सेवा समय),

ई एन - एरलांग एनवां आदेश,

एनएम एन - हाइपर-एरलैंग एनवां क्रम।

दूसरा अंक (बी) समान प्रतीकों का उपयोग करता है।

चौथा अंक (Y) बफर क्षमता को दर्शाता है, अर्थात। कतार में स्थानों की अधिकतम संख्या.

पांचवां अंक (जेड) प्रतीक्षा प्रणाली में कतार से चयन की विधि को इंगित करता है: एसपी-समान संभावना, एफएफ-पहले-पहले-बाहर, एलएफ-अंतिम-पहले-बाहर, पीआर-प्राथमिकता।

कार्यों के लिए:

एल समय की प्रति इकाई प्राप्त आवेदनों की औसत संख्या है

µ - समय की प्रति इकाई दिए गए आवेदनों की औसत संख्या

चैनल 1 लोड फैक्टर, या चैनल के व्यस्त रहने का प्रतिशत।

मुख्य लक्षण:

1) पी अस्वीकार - विफलता की संभावना - संभावना है कि सिस्टम सेवा से इनकार कर देगा और आवश्यकता खो जाएगी। ऐसा तब होता है जब चैनल या सभी चैनल व्यस्त (टीएफओपी) होते हैं।

मल्टी-चैनल QS P के लिए =P n खोलें, जहां n सेवा चैनलों की संख्या है।

सीमित कतार लंबाई वाले QS के लिए P खुला =P n + l, जहां l अनुमेय कतार लंबाई है।

2) सापेक्ष q और निरपेक्ष A सिस्टम क्षमता

q= 1-P खुला A=ql

3) सिस्टम में आवश्यकताओं की कुल संख्या

एल sys = n - एसएमओ के लिए असफलताओं के साथ, n सर्विसिंग द्वारा व्याप्त चैनलों की संख्या है।

प्रतीक्षा और सीमित कतार लंबाई वाले क्यूएस के लिए

एल सिस = एन+एल कूल

जहां एल कूल सेवा शुरू होने की प्रतीक्षा कर रहे अनुरोधों की औसत संख्या है, आदि।

समस्याओं का समाधान करते समय हम शेष विशेषताओं पर भी विचार करेंगे।

एकल-चैनल और मल्टी-चैनल कतार प्रणाली। विफलताओं वाले सिस्टम.

संभाव्य इनपुट प्रवाह और सेवा प्रक्रिया के साथ सबसे सरल एकल-चैनल मॉडल एक मॉडल है जो आवश्यकताओं की प्राप्तियों और सेवा अवधियों के बीच अंतराल की अवधि के घातीय वितरण द्वारा विशेषता है। इस मामले में, अनुरोधों की प्राप्तियों के बीच अंतराल की अवधि के वितरण घनत्व का रूप होता है

सेवा अवधि के वितरण का घनत्व:

अनुरोधों और सेवाओं का प्रवाह सरल है। सिस्टम को विफलताओं के साथ काम करने दें. इस प्रकार के QS का उपयोग स्थानीय नेटवर्क में ट्रांसमिशन चैनलों की मॉडलिंग करते समय किया जा सकता है। सिस्टम के पूर्ण और सापेक्ष थ्रूपुट को निर्धारित करना आवश्यक है। आइए इस कतार प्रणाली की कल्पना एक ग्राफ़ (चित्र 2) के रूप में करें, जिसमें दो अवस्थाएँ हैं:

एस 0 - चैनल फ्री (प्रतीक्षा);

एस 1 - चैनल व्यस्त है (अनुरोध सेवा दी जा रही है)।

चित्र 2. विफलताओं के साथ एकल-चैनल क्यूएस का ग्राफ बताएं

आइए हम राज्य की संभावनाओं को निरूपित करें: पी 0 (टी) - "चैनल मुक्त" राज्य की संभावना; पी 1 (टी) - "चैनल व्यस्त" स्थिति की संभावना। लेबल किए गए राज्य ग्राफ़ का उपयोग करके, हम राज्य संभावनाओं के लिए कोलमोगोरोव अंतर समीकरणों की एक प्रणाली संकलित करते हैं:

रैखिक अंतर समीकरणों की प्रणाली में सामान्यीकरण की स्थिति P 0 (t) + P 1 (t) = 1 को ध्यान में रखते हुए एक समाधान होता है। इस प्रणाली के समाधान को अस्थिर कहा जाता है, क्योंकि यह सीधे t पर निर्भर करता है और इस तरह दिखता है:

पी 1 (टी) = 1 - पी 0 (टी) (3.4.3)

यह सत्यापित करना आसान है कि विफलताओं वाले एकल-चैनल QS के लिए, संभावना P 0 (t) सिस्टम q की सापेक्ष क्षमता से अधिक कुछ नहीं है। वास्तव में, P 0 संभावना है कि समय t पर चैनल मुफ़्त है और समय t पर आने वाले अनुरोध की सेवा की जाएगी, और इसलिए, किसी दिए गए समय t के लिए प्राप्त अनुरोधों की संख्या और प्राप्त अनुरोधों की संख्या का औसत अनुपात P 0 (t) के भी बराबर है, अर्थात q = P 0 (t)।

एक बड़े समय अंतराल (पर) के बाद, एक स्थिर (स्थिर) मोड प्राप्त किया जाता है:

सापेक्ष थ्रूपुट को जानकर, निरपेक्ष थ्रूपुट को खोजना आसान है। पूर्ण थ्रूपुट (ए) उन अनुरोधों की औसत संख्या है जो एक कतार प्रणाली समय की प्रति इकाई सेवा प्रदान कर सकती है:

किसी अनुरोध को पूरा करने से इनकार करने की संभावना "चैनल व्यस्त" स्थिति की संभावना के बराबर होगी:

पी ओपन के इस मूल्य की व्याख्या सबमिट किए गए आवेदनों के बीच न परोसे गए आवेदनों के औसत हिस्से के रूप में की जा सकती है।

अधिकांश मामलों में, व्यवहार में, क्यूइंग सिस्टम मल्टी-चैनल होते हैं, और इसलिए, एन सर्विंग चैनल (जहां एन>1) वाले मॉडल निस्संदेह रुचि के होते हैं। इस मॉडल द्वारा वर्णित कतारबद्ध प्रक्रिया को इनपुट प्रवाह एल की तीव्रता की विशेषता है, जबकि एन से अधिक क्लाइंट (एप्लिकेशन) को समानांतर में परोसा नहीं जा सकता है। एक अनुरोध को पूरा करने की औसत अवधि 1/m है। इनपुट और आउटपुट स्ट्रीम पॉइसन हैं। किसी विशेष सर्विसिंग चैनल का ऑपरेटिंग मोड सिस्टम के अन्य सर्विसिंग चैनलों के ऑपरेटिंग मोड को प्रभावित नहीं करता है, और प्रत्येक चैनल के लिए सर्विसिंग प्रक्रिया की अवधि एक घातीय वितरण कानून के अधीन एक यादृच्छिक चर है। एन समानांतर कनेक्टेड सेवा चैनलों का उपयोग करने का अंतिम लक्ष्य एन ग्राहकों को एक साथ सेवा देकर सर्विसिंग अनुरोधों की गति को बढ़ाना (एकल-चैनल प्रणाली की तुलना में) है। विफलताओं के साथ मल्टी-चैनल कतार प्रणाली का राज्य ग्राफ़ चित्र 4 में दिखाया गया है।

चित्र 4. विफलताओं के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस का ग्राफ बताएं

एस 0 - सभी चैनल निःशुल्क हैं;

एस 1 - एक चैनल पर कब्जा है, बाकी मुफ़्त हैं;

एस के - बिल्कुल के चैनलों पर कब्जा है, बाकी मुफ़्त हैं;

एस एन - सभी एन चैनल भरे हुए हैं, बाकी मुफ़्त हैं।

सिस्टम स्थितियों की संभावनाओं के लिए कोलमोगोरोव के समीकरण P 0 , ... , P k , ... P n का निम्नलिखित रूप होगा:

सिस्टम को हल करने की प्रारंभिक शर्तें हैं:

पी 0 (0) = 1, पी 1 (0) = पी 2 (0) = ... = पी के (0) = ... = पी 1 (0) = 0.

सिस्टम के स्थिर समाधान का रूप है:

संभावनाओं की गणना के सूत्र P k (3.5.1) को एर्लांग सूत्र कहा जाता है।

आइए हम स्थिर मोड में विफलताओं के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस के कामकाज की संभाव्य विशेषताओं का निर्धारण करें:

1) विफलता की संभावना:

चूंकि कोई अनुरोध ऐसे समय आता है जब सभी एन चैनल व्यस्त होते हैं तो उसे अस्वीकार कर दिया जाता है। मान P खुला आने वाले प्रवाह की सर्विसिंग की पूर्णता को दर्शाता है;

2) संभावना है कि अनुरोध सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाएगा (यह सिस्टम q की सापेक्ष क्षमता भी है) P को एक के लिए खुला पूरक करता है:

3) पूर्ण थ्रूपुट

4) सेवा द्वारा व्याप्त चैनलों की औसत संख्या () इस प्रकार है:

मान QS की लोडिंग की डिग्री को दर्शाता है।

कार्यपाठ 2 के लिए

1. एक चैनल वाली संचार शाखा एल = 0.08 संदेश प्रति सेकंड की तीव्रता के साथ संदेशों का सबसे सरल प्रवाह प्राप्त करती है। ट्रांसमिशन समय को एक्सप कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। एक संदेश की सर्विसिंग तीव्रता µ=0.1 के साथ होती है। ऐसे समय में आने वाले संदेश जब सेवारत चैनल पहले से प्राप्त संदेश को प्रसारित करने में व्यस्त होता है तो उसे ट्रांसमिशन विफलता प्राप्त होती है।

कोएफ़. सापेक्ष चैनल लोड (चैनल अधिभोग की संभावना)

पी संदेश प्राप्त न होने की संभावना को अस्वीकार करता है

क्यू इंटर्नोड शाखा की सापेक्ष क्षमता

और संचार शाखा का पूर्ण थ्रूपुट।

2. संचार शाखा में एक चैनल है और हर 10 सेकंड में संदेश प्राप्त होता है। एक संदेश का सेवा समय 5 सेकंड है। संदेश प्रसारण का समय एक घातांकीय नियम के अनुसार वितरित किया जाता है। चैनल व्यस्त होने पर आने वाले संदेशों को सेवा से वंचित कर दिया जाता है।

परिभाषित करना

रज़ान - संचार चैनल अधिभोग की संभावना (सापेक्ष भार कारक)

क्यू - सापेक्ष थ्रूपुट

ए - संचार शाखा की पूर्ण क्षमता

4. द्वितीयक संचार नेटवर्क की इंटरनोडल शाखा में n = 4 चैनल हैं। संचार शाखा चैनलों के माध्यम से प्रसारण के लिए आने वाले संदेशों के प्रवाह की तीव्रता = 8 संदेश प्रति सेकंड है। एक संदेश का औसत प्रसारण समय t = 0.1 सेकंड है। ऐसे समय में आने वाला एक संदेश जब सभी n चैनल व्यस्त होते हैं तो संचार शाखा के साथ संचरण विफलता प्राप्त होती है। एसएमओ की विशेषताएं खोजें:

अध्याय 3

स्टैंडबाय के साथ एकल चैनल प्रणाली

आइए अब प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल QS पर विचार करें। कतार प्रणाली में एक चैनल होता है। सेवा अनुरोधों का आने वाला प्रवाह तीव्रता के साथ सबसे सरल प्रवाह है। सेवा प्रवाह की तीव्रता बराबर है (यानी, औसतन, एक लगातार व्यस्त चैनल सर्विस्ड अनुरोध जारी करेगा)। सेवा की अवधि घातीय वितरण कानून के अधीन एक यादृच्छिक चर है। सेवा प्रवाह घटनाओं का सबसे सरल पॉइसन प्रवाह है। चैनल व्यस्त होने पर प्राप्त अनुरोध कतारबद्ध है और सेवा की प्रतीक्षा कर रहा है। यह QS मॉडलिंग में सबसे आम है। एक डिग्री या किसी अन्य सन्निकटन के साथ, इसका उपयोग स्थानीय कंप्यूटर नेटवर्क (LAN) के लगभग किसी भी नोड को अनुकरण करने के लिए किया जा सकता है।

आइए मान लें कि सेवा प्रणाली के इनपुट पर चाहे कितने भी अनुरोध आएं, यह प्रणाली (कतार + ग्राहकों को सेवा दी जा रही है) नही सकताएन-आवश्यकताओं (एप्लिकेशन) से अधिक को समायोजित करें, यानी जो ग्राहक होल्ड पर नहीं हैं उन्हें कहीं और सेवा देने के लिए मजबूर किया जाता है। सिस्टम एम/एम/1/एन. अंत में, स्रोत जनरेटिंग सेवा अनुरोधों में असीमित (असीम रूप से बड़ी) क्षमता होती है। इस मामले में क्यूएस के राज्य ग्राफ का रूप चित्र 3 में दिखाया गया है

चित्र 3. प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल क्यूएस का राज्य ग्राफ (मृत्यु और प्रजनन की योजना)

QS राज्यों की निम्नलिखित व्याख्या है:

एस 0 - "चैनल मुफ़्त";

एस 1 - "चैनल व्यस्त" (कोई कतार नहीं);

एस 2 - "चैनल व्यस्त" (एक अनुरोध कतार में है);

एस एन - "चैनल व्यस्त" (एन -1 एप्लिकेशन कतार में हैं);

एस एन - "चैनल व्यस्त" (एन - 1 आवेदन कतार में हैं)।

इस प्रणाली में स्थिर प्रक्रिया को बीजगणितीय समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली द्वारा वर्णित किया जाएगा:

जहां पी = लोड फैक्टर

n - राज्य संख्या.

हमारे QS मॉडल के लिए समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली का समाधान इस प्रकार है:

सीमित कतार लंबाई वाले QS के लिए प्रारंभिक संभाव्यता मान

अनंत कतार वाले QS के लिए Н =? :

पी 0 =1- एस (3.4.7)

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी दिए गए क्यूएस के लिए स्थिरता की स्थिति की पूर्ति आवश्यक नहीं है, क्योंकि सेवा प्रणाली में भर्ती किए गए आवेदनों की संख्या कतार की लंबाई पर प्रतिबंध लगाकर नियंत्रित की जाती है, जो (एन - 1) से अधिक नहीं हो सकती है। , और इनपुट प्रवाह की तीव्रता के बीच के अनुपात से नहीं, यानी अनुपात सी = एल/एम से नहीं।

एकल-चैनल प्रणाली के विपरीत, जिसे ऊपर और असीमित कतार के साथ माना गया था, इस मामले में लोड फैक्टर सी के किसी भी सीमित मान के लिए अनुरोधों की संख्या का एक स्थिर वितरण मौजूद है।

आइए प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल क्यूएस और (एन - 1) (एम/एम/1/एन) के बराबर सीमित कतार लंबाई के साथ-साथ असीमित क्षमता के बफर के साथ एकल-चैनल क्यूएस की विशेषताओं को निर्धारित करें। (एम/एम/1/?)। अनंत कतार वाले QS के लिए, शर्त<1, т.е., для того, чтобы в системе не накапливалась бесконечная очередь необходимо, чтобы в среднем запросы в системе обслуживались быстрее, чем они туда поступают.

1) किसी आवेदन को सेवा देने से इनकार करने की संभावना:

सिस्टम की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक जिसमें अनुरोधों का नुकसान संभव है, संभावना पी नुकसान है कि एक मनमाना अनुरोध खो जाएगा। इस मामले में, एक मनमाना अनुरोध खोने की संभावना इस संभावना के साथ मेल खाती है कि समय के एक मनमाने क्षण में सभी प्रतीक्षा स्थानों पर कब्जा कर लिया जाता है, यानी। निम्नलिखित सूत्र मान्य है: Р से k = Р Н

2) सापेक्ष सिस्टम क्षमता:

असीमित के साथ एसएमओ के लिएवें कतार क्यू =1,क्योंकि सभी अनुरोधों पर कार्रवाई की जाएगी

3) पूर्ण थ्रूपुट:

4) सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या:

असीमित कतार के साथ एल एस

5) किसी एप्लिकेशन के सिस्टम में रहने का औसत समय:

असीमित कतार के लिए

6) ग्राहक (आवेदन) के कतार में रहने की औसत अवधि:

असीमित कतार के साथ

7) कतार में आवेदनों (ग्राहकों) की औसत संख्या (कतार की लंबाई):

असीमित कतार के साथ

कतार टी ओच में औसत प्रतीक्षा समय और कतार एल ओच की औसत लंबाई के सूत्र के साथ-साथ सिस्टम टी एस में अनुरोधों के औसत निवास समय और सिस्टम एल एस में अनुरोधों की औसत संख्या के लिए अभिव्यक्तियों की तुलना करना, हमने देखा कि

एल ओच =एल*टी ओच एल एस =एल* टी एस

ध्यान दें कि ये सूत्र कई कतार प्रणालियों के लिए भी मान्य हैं जो विचाराधीन एम/एम/1 प्रणाली से अधिक सामान्य हैं और लिटिल के सूत्र कहलाते हैं। इन सूत्रों का व्यावहारिक महत्व यह है कि वे एल ओच और एल एस के ज्ञात मूल्य के साथ टी ओच और टी एस के मूल्यों की सीधे गणना करने की आवश्यकता को समाप्त करते हैं और इसके विपरीत।

एकल-चैनल कार्य एसएमओप्रत्याशा के साथ, साथइंतज़ार औरसीमित कतार की लंबाई

1. असीमित कतार भंडारण के साथ एकल-पंक्ति क्यूएस दिया गया। आवेदन हर t = 14 सेकंड में प्राप्त होते हैं। एक संदेश का औसत प्रसारण समय t=10 सेकंड है। ऐसे समय में आने वाले संदेश जब सेवा चैनल व्यस्त होता है तो सेवा शुरू होने से पहले उसे छोड़े बिना कतार में प्राप्त किया जाता है।

निम्नलिखित प्रदर्शन संकेतक निर्धारित करें:

2. इंटरनोड संचार शाखा, जिसमें एक चैनल और m=3 लंबित संदेशों (N-1=m) के लिए एक कतार भंडारण है, l=5 संदेशों की तीव्रता के साथ सबसे सरल संदेश प्रवाह प्राप्त करता है। सेकंड में। संदेश प्रसारण का समय एक घातांकीय नियम के अनुसार वितरित किया जाता है। एक संदेश का औसत प्रसारण समय 0.1 सेकंड है। ऐसे समय में आने वाले संदेश जब सेवारत चैनल पहले प्राप्त संदेश को प्रसारित करने में व्यस्त होता है और ड्राइव में कोई खाली स्थान नहीं होता है, अस्वीकार कर दिया जाता है।

पी अस्वीकार - संदेश प्राप्त न होने की संभावना

एल प्रणाली - कतार में संदेशों की औसत कुल संख्या और संचार शाखा के साथ प्रेषित

टी ओच - प्रसारण शुरू होने से पहले एक संदेश कतार में रहने का औसत समय

टी सिस्टम - एक संदेश के सिस्टम में रहने का औसत कुल समय, जिसमें कतार में औसत प्रतीक्षा समय और औसत ट्रांसमिशन समय शामिल होता है

क्यू - सापेक्ष थ्रूपुट

ए - पूर्ण थ्रूपुट

3. द्वितीयक संचार नेटवर्क की इंटरनोड शाखा, जिसमें एक चैनल और m = 4 (N-1=4) प्रतीक्षारत संदेशों के लिए एक कतार भंडारण है, तीव्रता = 8 संदेश प्रति सेकंड के साथ सबसे सरल संदेश प्रवाह प्राप्त करती है। संदेश प्रसारण का समय एक घातांकीय नियम के अनुसार वितरित किया जाता है। एक संदेश का औसत प्रसारण समय t = 0.1 सेकंड है। ऐसे समय में आने वाले संदेश जब सेवारत चैनल पहले प्राप्त संदेश को प्रसारित करने में व्यस्त होता है और ड्राइव में कोई खाली स्थान नहीं होता है तो कतार द्वारा अस्वीकार कर दिया जाता है।

पी ओपन - इंटरनोड शाखा के संचार चैनल पर प्रसारण के लिए संदेश प्राप्त करने में विफलता की संभावना;

एल ओच - कतार के द्वितीयक नेटवर्क की संचार शाखा में कतार में संदेशों की औसत संख्या;

एल प्रणाली - कतार में संदेशों की औसत कुल संख्या और द्वितीयक नेटवर्क की संचार शाखा के साथ प्रेषित;

टी ओच - प्रसारण शुरू होने से पहले एक संदेश कतार में रहने का औसत समय;

आर ज़ैन - संचार चैनल के व्यस्त होने की संभावना (सापेक्ष चैनल लोड गुणांक);

क्यू इंटरनोडल शाखा की सापेक्ष क्षमता है;

ए इंटरनोडल शाखा की पूर्ण क्षमता है;

4. इंटरनोड संचार शाखा, जिसमें एक चैनल और एम = 2 प्रतीक्षा संदेशों के लिए एक कतार भंडारण है, एल = 4 संदेशों की तीव्रता के साथ सबसे सरल संदेश प्रवाह प्राप्त करता है। सेकंड में। संदेश प्रसारण का समय एक घातांकीय नियम के अनुसार वितरित किया जाता है। एक संदेश का औसत प्रसारण समय 0.1 सेकंड है। ऐसे समय में आने वाले संदेश जब सेवारत चैनल पहले प्राप्त संदेश को प्रसारित करने में व्यस्त होता है और ड्राइव में कोई खाली स्थान नहीं होता है, अस्वीकार कर दिया जाता है।

संचार शाखा के निम्नलिखित प्रदर्शन संकेतक निर्धारित करें:

पी अस्वीकार - संदेश प्राप्त न होने की संभावना

एल ओच - संचार शाखा की कतार में संदेशों की औसत संख्या

एल प्रणाली - कतार में संदेशों की औसत कुल संख्या और संचार शाखा के साथ प्रेषित

टी ओच - प्रसारण शुरू होने से पहले एक संदेश कतार में रहने का औसत समय

टी सिस्टम - एक संदेश के सिस्टम में रहने का औसत कुल समय, जिसमें कतार में औसत प्रतीक्षा समय और औसत ट्रांसमिशन समय शामिल होता है

रज़ान - संचार चैनल अधिभोग की संभावना (सापेक्ष चैनल लोड गुणांक सी)

क्यू - सापेक्ष थ्रूपुट

ए - पूर्ण थ्रूपुट

5. द्वितीयक संचार नेटवर्क की इंटरनोड शाखा, जिसमें एक चैनल और प्रतीक्षारत संदेशों की असीमित मात्रा में भंडारण कतार होती है, एल = 0.06 संदेश प्रति सेकंड की तीव्रता के साथ संदेशों का सबसे सरल प्रवाह प्राप्त करती है। एक संदेश का औसत प्रसारण समय t = 10 सेकंड है। संचार चैनल व्यस्त होने पर आने वाले संदेश कतार में प्राप्त होते हैं और सेवा शुरू होने तक इसे नहीं छोड़ते हैं।

द्वितीयक नेटवर्क संचार शाखा के निम्नलिखित प्रदर्शन संकेतक निर्धारित करें:

एल ओच - संचार शाखा की कतार में संदेशों की औसत संख्या;

एल सिस्टम - कतार में संदेशों की औसत कुल संख्या और संचार शाखा के साथ प्रेषित;

टी ओच - एक संदेश कतार में रहने का औसत समय;

टी सिस्ट सिस्टम में एक संदेश के रहने का औसत कुल समय है, जो कतार में औसत प्रतीक्षा समय और औसत ट्रांसमिशन समय का योग है;

रज़ान संचार चैनल के व्यस्त होने की संभावना है (सापेक्ष चैनल लोड कारक);

क्यू - इंटरनोडल शाखा की सापेक्ष क्षमता;

ए - इंटरनोडल शाखा की पूर्ण क्षमता

6. असीमित कतार भंडारण के साथ एकल-पंक्ति क्यूएस दिया गया। आवेदन हर t = 13 सेकंड में प्राप्त होते हैं। एक संदेश प्रसारित करने का औसत समय

t=10 सेकंड. ऐसे समय में आने वाले संदेश जब सेवा चैनल व्यस्त होता है तो सेवा शुरू होने से पहले उसे छोड़े बिना कतार में प्राप्त किया जाता है।

निम्नलिखित प्रदर्शन संकेतक निर्धारित करें:

एल ओच - कतार में संदेशों की औसत संख्या

एल प्रणाली - कतार में संदेशों की औसत कुल संख्या और संचार शाखा के साथ प्रेषित

टी ओच - प्रसारण शुरू होने से पहले एक संदेश कतार में रहने का औसत समय

टी सिस्टम - एक संदेश के सिस्टम में रहने का औसत कुल समय, जिसमें कतार में औसत प्रतीक्षा समय और औसत ट्रांसमिशन समय शामिल होता है

रज़ान - अधिभोग की संभावना (सापेक्ष चैनल लोड गुणांक सी)

क्यू - सापेक्ष थ्रूपुट

ए - पूर्ण थ्रूपुट

7. विशिष्ट डायग्नोस्टिक पोस्ट एकल-चैनल क्यूएस है। निदान की प्रतीक्षा कर रही कारों के लिए पार्किंग स्थल की संख्या सीमित है और 3 [(एन - 1) = 3] के बराबर है। यदि सभी पार्किंग स्थल भरे हुए हैं, यानी कतार में पहले से ही तीन कारें हैं, तो डायग्नोस्टिक्स के लिए आने वाली अगली कार को सेवा के लिए कतार में नहीं रखा जाएगा। निदान के लिए आने वाली कारों का प्रवाह पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है और इसकी तीव्रता = 0.85 (कार प्रति घंटा) होती है। वाहन निदान समय एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है और औसतन 1.05 घंटे होता है।

स्थिर मोड में काम करने वाले डायग्नोस्टिक स्टेशन की संभाव्य विशेषताओं को निर्धारित करना आवश्यक है: पी 0 , पी 1 , पी 2 , पी 3 , पी 4 , पी ओपन, क्यू, ए, एल ओच, एल sys, टी ओच, टी sys

पाठ 4

प्रतीक्षा के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस, प्रतीक्षा और सीमित कतार लंबाई के साथ

आइए प्रतीक्षा के साथ मल्टी-चैनल कतार प्रणाली पर विचार करें। इस प्रकार के QS का उपयोग अक्सर इंटरैक्टिव मोड में काम करने वाले LAN सब्सक्राइबर टर्मिनलों के समूहों को मॉडलिंग करते समय किया जाता है। कतारबद्ध प्रक्रिया की विशेषता निम्नलिखित है: इनपुट और आउटपुट प्रवाह तीव्रता के साथ पॉइसन हैं और, क्रमशः; n से अधिक ग्राहकों को समानांतर में सेवा नहीं दी जा सकती। सिस्टम में n सेवा चैनल हैं. एक ग्राहक के लिए सेवा की औसत अवधि प्रत्येक चैनल के लिए 1/m है। यह प्रणाली मृत्यु और प्रजनन की प्रक्रिया को भी संदर्भित करती है।

सी=एल/एनएम - आने वाले प्रवाह की तीव्रता और सेवा की कुल तीव्रता का अनुपात, सिस्टम लोड कारक है

(साथ<1). Существует стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе. При этом вероятности состояний Р к определяются:

जहां P 0 असीमित कतार के साथ सभी चैनलों के मुफ़्त होने की संभावना है, k अनुरोधों की संख्या है।

यदि हम c = l/m लेते हैं, तो असीमित कतार के लिए P 0 निर्धारित किया जा सकता है:

सीमित कतार के लिए:

जहाँ m कतार की लंबाई है

असीमित कतार के साथ:

सापेक्ष क्षमता q=1,

पूर्ण क्षमता A=l,

अधिगृहीत चैनलों की औसत संख्या Z=A/m

सीमित कतार के साथ

1 द्वितीयक संचार नेटवर्क की इंटरनोड शाखा में n = 4 चैनल हैं। संचार शाखा चैनलों के माध्यम से प्रसारण के लिए आने वाले संदेशों के प्रवाह की तीव्रता = 8 संदेश प्रति सेकंड है। प्रत्येक संचार चैनल द्वारा एक संदेश प्रसारित करने का औसत समय t = 0.1 है, t/n = 0.025 सेकंड है। कतार में संदेशों के लिए प्रतीक्षा समय असीमित है। एसएमओ की विशेषताएं खोजें:

पी खुला - संदेश प्रसारण विफलता की संभावना;

Q संचार शाखा की सापेक्ष क्षमता है;

ए संचार शाखा का पूर्ण थ्रूपुट है;

Z - कब्जे वाले चैनलों की औसत संख्या;

एल ओच - कतार में संदेशों की औसत संख्या;

टी = औसत प्रतीक्षा समय;

टी सिस्टम - संदेशों के कतार में रहने और संचार शाखा के माध्यम से प्रसारित होने का औसत कुल समय।

2. तीन पदों (चैनलों) के साथ संयंत्र की एक यांत्रिक कार्यशाला छोटे मशीनीकरण की मरम्मत करती है। कार्यशाला में पहुंचने वाले दोषपूर्ण तंत्रों का प्रवाह पॉइसन है और इसकी तीव्रता = 2.5 तंत्र प्रति दिन है, एक तंत्र के लिए औसत मरम्मत का समय घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है और = 0.5 दिनों के बराबर है। आइए मान लें कि संयंत्र में कोई अन्य कार्यशाला नहीं है, और इसलिए, कार्यशाला के सामने तंत्र की कतार लगभग असीमित रूप से बढ़ सकती है। सिस्टम की संभाव्य विशेषताओं के निम्नलिखित सीमित मूल्यों की गणना करना आवश्यक है:

सिस्टम स्थिति की संभावनाएँ;

सेवा के लिए कतार में आवेदनों की औसत संख्या;

सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या;

किसी एप्लिकेशन के कतार में रहने की औसत अवधि;

किसी एप्लिकेशन के सिस्टम में रहने की औसत अवधि.

3. द्वितीयक संचार नेटवर्क की इंटरनोडल शाखा में n=3 चैनल हैं। संचार शाखा चैनलों के माध्यम से प्रसारण के लिए आने वाले संदेशों के प्रवाह की तीव्रता l = 5 संदेश प्रति सेकंड है। एक संदेश का औसत प्रसारण समय t=0.1, t/n=0.033 सेकंड है। प्रसारण की प्रतीक्षा कर रहे संदेशों के कतार भंडारण में m=2 संदेश तक हो सकते हैं। ऐसे समय में आने वाला एक संदेश जब कतार में सभी स्थानों पर कब्जा कर लिया जाता है तो संचार शाखा के साथ ट्रांसमिशन विफलता प्राप्त होती है। क्यूएस की विशेषताओं का पता लगाएं: पी ओपन - संदेश संचरण विफलता की संभावना, क्यू - सापेक्ष थ्रूपुट, ए - पूर्ण थ्रूपुट, जेड - कब्जे वाले चैनलों की औसत संख्या, एल ओच - कतार में संदेशों की औसत संख्या, टी तो - औसत प्रतीक्षा समय, टी प्रणाली - औसत कुल समय जब कोई संदेश कतार में रहता है और संचार शाखा के माध्यम से प्रसारित होता है।

पाठ 5

बंद क्यूएस

आइए एक मशीन फ्लीट सर्विसिंग मॉडल पर विचार करें, जो एक बंद कतार प्रणाली का एक मॉडल है। अब तक, हमने केवल कतारबद्ध प्रणालियों पर विचार किया है जिनके लिए अनुरोधों के आने वाले प्रवाह की तीव्रता सिस्टम की स्थिति पर निर्भर नहीं करती है। इस मामले में, अनुरोधों का स्रोत QS के बाहर है और अनुरोधों का असीमित प्रवाह उत्पन्न करता है। आइए कतारबद्ध प्रणालियों पर विचार करें जिसके लिए यह सिस्टम की स्थिति पर निर्भर करता है, और आवश्यकताओं का स्रोत आंतरिक है और अनुरोधों का सीमित प्रवाह उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए, एन मशीनों से युक्त एक मशीन पार्क की सेवा आर यांत्रिकी (एन > आर) की एक टीम द्वारा की जाती है, और प्रत्येक मशीन की सेवा केवल एक मैकेनिक द्वारा की जा सकती है। यहां, मशीनें आवश्यकताओं (सेवा के लिए अनुरोध) के स्रोत हैं, और यांत्रिकी सेवा चैनल हैं। एक दोषपूर्ण मशीन, सर्विसिंग के बाद, अपने इच्छित उद्देश्य के लिए उपयोग की जाती है और सेवा आवश्यकताओं का एक संभावित स्रोत बन जाती है। जाहिर है, तीव्रता इस बात पर निर्भर करती है कि वर्तमान में कितनी मशीनें चालू हैं (एन - के) और कितनी मशीनों की सर्विस की जा रही है या सेवा के इंतजार में लाइन में खड़ी हैं (के)। विचाराधीन मॉडल में, आवश्यकताओं के स्रोत की क्षमता को सीमित माना जाना चाहिए। माँगों का आने वाला प्रवाह सीमित संख्या में ऑपरेटिंग मशीनों (एन-के) से आता है, जो यादृच्छिक समय पर खराब हो जाती हैं और रखरखाव की आवश्यकता होती है। इसके अलावा, (एन - के) से प्रत्येक मशीन चालू है। अन्य वस्तुओं की परवाह किए बिना तीव्रता एक्स के साथ आवश्यकताओं का एक पॉइसन प्रवाह उत्पन्न करता है, कुल (कुल) आने वाले प्रवाह में तीव्रता होती है। कम से कम एक चैनल मुफ़्त होने पर सिस्टम में प्रवेश करने वाला अनुरोध तुरंत संसाधित किया जाता है। यदि किसी अनुरोध में सभी चैनल अन्य अनुरोधों को पूरा करने में व्यस्त पाए जाते हैं, तो वह सिस्टम नहीं छोड़ता है, बल्कि एक कतार में लग जाता है और तब तक प्रतीक्षा करता है जब तक कि कोई एक चैनल मुक्त न हो जाए। इस प्रकार, एक बंद कतार प्रणाली में, आवश्यकताओं का आने वाला प्रवाह आउटगोइंग से बनता है। सिस्टम स्थिति S k को सेवित किए जा रहे अनुरोधों की कुल संख्या और k के बराबर कतार में दर्शाया गया है। विचाराधीन बंद प्रणाली के लिए, स्पष्ट रूप से, k = 0, 1, 2, ..., N. इसके अलावा, यदि सिस्टम S k स्थिति में है, तो संचालन में वस्तुओं की संख्या (N - k) के बराबर है . यदि प्रति मशीन माँगों के प्रवाह की तीव्रता है, तो:

स्थिर मोड में बंद-लूप QS के संचालन का वर्णन करने वाले बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार है:

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम kth स्थिति की संभावना पाते हैं:

P 0 का मान P k , k = 0, 1, 2, ..., N के सूत्रों का उपयोग करके प्राप्त परिणामों को सामान्य करने की स्थिति से निर्धारित किया जाता है। आइए हम सिस्टम की निम्नलिखित संभाव्य विशेषताओं को निर्धारित करें:

सेवा के लिए कतार में अनुरोधों की औसत संख्या:

सिस्टम में अनुरोधों की औसत संख्या (सेवा और कतारबद्ध)

काम की कमी के कारण मैकेनिकों (चैनलों) की औसत संख्या "निष्क्रिय" है

कतार में सेवित वस्तु (मशीन) का निष्क्रियता अनुपात

सुविधाओं (मशीनों) की उपयोग दर

सेवा चैनलों का डाउनटाइम अनुपात (यांत्रिकी)

सेवा के लिए औसत प्रतीक्षा समय (कतार में सेवा के लिए प्रतीक्षा समय)

बंद QS समस्या

1. दस पर्सनल कंप्यूटरों (पीसी) की सेवा के लिए समान उत्पादकता वाले दो इंजीनियरों को आवंटित किया जाए। एक कंप्यूटर की विफलताओं (ख़राबियों) का प्रवाह तीव्रता = 0.2 के साथ पॉइसन है। पीसी रखरखाव समय घातीय कानून का पालन करता है। एक इंजीनियर द्वारा एक पीसी की सर्विसिंग का औसत समय है: = 1.25 घंटे। निम्नलिखित सेवा संगठन विकल्प संभव हैं:

दोनों इंजीनियर सभी दस कंप्यूटरों की सेवा करते हैं, इसलिए यदि कोई पीसी विफल हो जाता है, तो इसकी सेवा मुफ्त इंजीनियरों में से एक द्वारा की जाती है, इस मामले में आर = 2, एन = 10;

दोनों इंजीनियरों में से प्रत्येक उसे सौंपे गए पांच पीसी का रखरखाव करता है। इस मामले में आर = 1, एन = 5.

पीसी रखरखाव के आयोजन के लिए सर्वोत्तम विकल्प चुनना आवश्यक है।

राज्यों P k: P 1 - P 10 की सभी संभावनाओं को निर्धारित करना आवश्यक है, यह ध्यान में रखते हुए कि P k की गणना के परिणामों का उपयोग करके, हम P 0 की गणना करते हैं

पाठ 6

यातायात गणना.

टेलीट्रैफ़िक सिद्धांत कतारबद्ध सिद्धांत का एक भाग है। टेलीट्रैफिक के सिद्धांत की नींव डेनिश वैज्ञानिक ए.के. ने रखी थी। एर्लांग. उनकी रचनाएँ 1909-1928 में प्रकाशित हुईं। आइए हम टेलीट्रैफिक (टीटी) के सिद्धांत में प्रयुक्त महत्वपूर्ण परिभाषाएँ दें। "यातायात" शब्द "टेलीफोन लोड" शब्द से मेल खाता है। यह क्यूएस के इनपुट पर आने वाले कॉल, मांगों और संदेशों के प्रवाह द्वारा बनाए गए लोड को संदर्भित करता है। ट्रैफ़िक की मात्रा एक या किसी अन्य संसाधन द्वारा छोड़े गए कुल, अभिन्न समय अंतराल की मात्रा है जिसके दौरान विश्लेषण की गई समय अवधि के दौरान इस संसाधन पर कब्जा कर लिया गया था। कार्य की एक इकाई को संसाधन का दूसरा व्यवसाय माना जा सकता है। कभी-कभी आप एक घंटे के काम के बारे में पढ़ सकते हैं, और कभी-कभी केवल कुछ सेकंड या घंटों के बारे में। हालाँकि, आईटीयू की सिफारिशें एर्लांगो-घंटे में ट्रैफ़िक की मात्रा का आयाम देती हैं। माप की ऐसी इकाई के अर्थ को समझने के लिए, हमें एक और यातायात पैरामीटर - यातायात तीव्रता - पर विचार करने की आवश्यकता है। इस मामले में, वे अक्सर संसाधनों के एक निश्चित पूल (सेट) पर यातायात (लोड) की औसत तीव्रता के बारे में बात करते हैं। यदि किसी दिए गए अंतराल (t 1,t 2) से समय t के प्रत्येक क्षण पर सर्विसिंग ट्रैफ़िक में लगे दिए गए सेट से संसाधनों की संख्या A(t) के बराबर है, तो औसत ट्रैफ़िक तीव्रता होगी

यातायात की तीव्रता का मान एक निश्चित समय अंतराल पर यातायात की सेवा में लगे संसाधनों की औसत संख्या के रूप में दर्शाया जाता है। भार की तीव्रता मापने की इकाई एक एर्लैंग (1 एर्ल, 1 ई) है, अर्थात। 1 एर्लैंग एक ऐसी यातायात तीव्रता है जिसके लिए एक संसाधन के पूर्ण रोजगार की आवश्यकता होती है, या, दूसरे शब्दों में, जिस पर संसाधन एक सेकंड में एक सेकंड-कब्जे के लायक काम करता है। अमेरिकी साहित्य में, आप कभी-कभी माप की एक और इकाई पा सकते हैं जिसे सीसीएस-सेंट्रम (या सौ) कॉल सेकेंड कहा जाता है। सीसीएस संख्या प्रति घंटे 100 सेकंड के अंतराल में सर्वर के कब्जे के समय को दर्शाती है। सीसीएस में मापी गई तीव्रता को सूत्र 36CCS=1 एर्ल का उपयोग करके एर्लैंग में परिवर्तित किया जा सकता है।

एक स्रोत द्वारा उत्पन्न और घंटे-व्यवसाय में व्यक्त किया गया ट्रैफ़िक एक निश्चित समय अंतराल T पर कॉल प्रयासों की संख्या और एक प्रयास की औसत अवधि t: y = c t (h-z) के उत्पाद के बराबर है। ट्रैफ़िक की गणना तीन अलग-अलग तरीकों से की जा सकती है:

1) प्रति घंटे कॉल की संख्या 1800 होने दें, और सत्र की औसत अवधि t = 3 मिनट, फिर Y = 1800 कॉल। /एच। 0.05 एच = 90 अर्ल;

2) एक निश्चित बंडल के आउटपुट के सभी एन व्यवसायों की अवधि टी को समय टी के दौरान तय करने दें, फिर ट्रैफ़िक निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:

3) समय टी के दौरान समान अंतराल पर एक निश्चित बीम के एक साथ कब्जे वाले आउटपुट की संख्या की निगरानी करने दें; अवलोकन परिणामों के आधार पर, समय x(t) का एक चरण फ़ंक्शन बनाया गया है (चित्रा 8)।

चित्र 8. एक साथ व्याप्त बीम आउटपुट के नमूने

समय T के दौरान ट्रैफ़िक का अनुमान उस समय x(t) के औसत मान के रूप में लगाया जा सकता है:

जहां n एक साथ प्राप्त आउटपुट के नमूनों की संख्या है। मान Y समय T के दौरान एक साथ व्याप्त बीम आउटपुट की औसत संख्या है।

यातायात में उतार-चढ़ाव. द्वितीयक टेलीफ़ोन नेटवर्क पर ट्रैफ़िक में समय के साथ काफ़ी उतार-चढ़ाव होता है। कार्य दिवस के दौरान, यातायात वक्र के दो या तीन शिखर होते हैं (चित्र 9)।

चित्र 9. दिन के दौरान यातायात में उतार-चढ़ाव

दिन का वह घंटा जिसके दौरान लंबे समय तक देखा गया ट्रैफ़िक सबसे महत्वपूर्ण होता है, उसे सबसे व्यस्त घंटा (बीएचएच) कहा जाता है। सीएनएन में यातायात का ज्ञान मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह चैनलों (लाइनों) की संख्या, स्टेशनों और नोड्स के उपकरणों की मात्रा निर्धारित करता है। सप्ताह के एक ही दिन के ट्रैफ़िक में मौसमी भिन्नताएँ होती हैं। यदि सप्ताह का दिन छुट्टी से पहले का है, तो इस दिन का एनएनएन छुट्टी के बाद वाले दिन से अधिक होता है। जैसे-जैसे नेटवर्क द्वारा समर्थित सेवाओं की संख्या बढ़ती है, वैसे-वैसे ट्रैफ़िक भी बढ़ता है। इसलिए, पर्याप्त आत्मविश्वास के साथ यातायात शिखर की घटना की भविष्यवाणी करना समस्याग्रस्त है। नेटवर्क प्रशासन और डिज़ाइन संगठनों द्वारा ट्रैफ़िक की बारीकी से निगरानी की जाती है। ट्रैफ़िक माप नियम आईटीयू-टी द्वारा विकसित किए गए थे और राष्ट्रीय नेटवर्क प्रशासन द्वारा अपने नेटवर्क के ग्राहकों और इससे जुड़े अन्य नेटवर्क के ग्राहकों दोनों के लिए सेवा आवश्यकताओं की गुणवत्ता को पूरा करने के लिए उपयोग किया जाता है। टेलीट्रैफ़िक सिद्धांत का उपयोग हानि या स्टेशन (नोड) उपकरण की मात्रा की व्यावहारिक गणना के लिए तभी किया जा सकता है जब ट्रैफ़िक स्थिर (सांख्यिकीय रूप से स्थिर) हो। यह स्थिति सीएचएनएन में यातायात से लगभग संतुष्ट है। प्रतिदिन स्वचालित टेलीफोन एक्सचेंज में प्रवेश करने वाले लोड की मात्रा उपकरण की रोकथाम और मरम्मत को प्रभावित करती है। दिन के दौरान स्टेशन में प्रवेश करने वाले भार की असमानता एकाग्रता गुणांक द्वारा निर्धारित की जाती है

एनएनएन की अधिक सख्त परिभाषा इस प्रकार बनाई गई है। आईटीयू अनुशंसा ई.500 के लिए 12 महीनों के तीव्रता डेटा का विश्लेषण करने, 30 सबसे व्यस्त दिनों का चयन करने, उन दिनों में सबसे व्यस्त घंटों का पता लगाने और इन अंतरालों पर तीव्रता माप का औसत निकालने की आवश्यकता होती है। ट्रैफ़िक तीव्रता (लोड) की इस गणना को सीएचएन या स्तर ए में ट्रैफ़िक तीव्रता का सामान्य अनुमान कहा जाता है। चयनित 30-दिन की अवधि के 5 सबसे व्यस्त दिनों में अधिक कठोर अनुमान लगाया जा सकता है। इस ग्रेड को बढ़ा हुआ ग्रेड या स्तर बी पर ग्रेड कहा जाता है।

ट्रैफ़िक बनाने की प्रक्रिया. जैसा कि टेलीफोन नेटवर्क का प्रत्येक उपयोगकर्ता जानता है, कॉल किए गए ग्राहक के साथ संबंध स्थापित करने के सभी प्रयास सफल नहीं होते हैं। कभी-कभी आपको वांछित कनेक्शन स्थापित होने से पहले कई असफल प्रयास करने पड़ते हैं।

चित्र 10. ग्राहकों के बीच संबंध स्थापित करते समय घटनाओं का आरेख

आइए सब्सक्राइबर्स ए और बी के बीच कनेक्शन की स्थापना का अनुकरण करते समय संभावित घटनाओं पर विचार करें (चित्र 10)। टेलीफोन नेटवर्क में कॉल के आँकड़े इस प्रकार हैं: पूर्ण की गई बातचीत का हिस्सा 70-50% है, विफल कॉल का हिस्सा 30-50% है। ग्राहक द्वारा किया गया कोई भी प्रयास क्यूएस इनपुट लेता है। सफल प्रयासों (जब बातचीत हो चुकी हो) के साथ, इनपुट और आउटपुट के बीच संबंध स्थापित करने वाले स्विचिंग उपकरणों का व्यवसाय समय असफल प्रयासों की तुलना में अधिक होता है। ग्राहक किसी भी समय कनेक्शन स्थापित करने के प्रयासों को बाधित कर सकता है। पुनः प्रयास निम्नलिखित कारणों से हो सकते हैं:

नंबर गलत तरीके से डायल किया गया था;

नेटवर्क में त्रुटि का अनुमान;

बातचीत की तात्कालिकता की डिग्री;

पिछले प्रयास विफल;

ग्राहक बी की आदतों को जानना;

नंबर सही से डायल करने को लेकर संशय.

निम्नलिखित परिस्थितियों के आधार पर पुनः प्रयास किया जा सकता है:

तात्कालिकता की डिग्री;

विफलता के कारणों का आकलन;

बार-बार प्रयास करने की व्यवहार्यता का आकलन करना,

प्रयासों के बीच स्वीकार्य अंतराल का अनुमान.

पुनः प्रयास करने में विफलता कम तात्कालिकता के कारण हो सकती है। कॉल द्वारा उत्पन्न ट्रैफ़िक कई प्रकार के होते हैं: इनकमिंग (प्रस्तावित) Y n और मिस्ड Y n। ट्रैफ़िक Y n में सभी सफल और असफल प्रयास शामिल हैं, ट्रैफ़िक Y n, जो Y n का हिस्सा है, में सफल और कुछ असफल प्रयास शामिल हैं:

वाई पीआर = वाई आर + वाई एनपी,

जहां Yp संवादी (उपयोगी) ट्रैफ़िक है, और Y np असफल प्रयासों से उत्पन्न ट्रैफ़िक है। समानता Y p = Y p केवल आदर्श स्थिति में ही संभव है यदि कोई हानि न हो, ग्राहकों को कॉल करने में त्रुटियाँ न हों और कॉल किए गए ग्राहकों की ओर से कोई प्रतिक्रिया न हो।

एक निश्चित अवधि में आने वाले और प्रेषित भार के बीच का अंतर खोया हुआ भार होगा।

यातायात पूर्वानुमान. सीमित संसाधनों के कारण स्टेशन और नेटवर्क के क्रमिक विस्तार की आवश्यकता होती है। नेटवर्क प्रशासन विकास चरण के दौरान ट्रैफ़िक में वृद्धि का अनुमान लगाता है, इसे ध्यान में रखते हुए:

आय संचरित ट्रैफ़िक Yp के भाग द्वारा निर्धारित की जाती है, - लागत उच्चतम ट्रैफ़िक के साथ सेवा की गुणवत्ता द्वारा निर्धारित की जाती है;

नुकसान का एक बड़ा हिस्सा (निम्न गुणवत्ता) दुर्लभ मामलों में होता है और विकास अवधि के अंत के लिए विशिष्ट है;

छूटे हुए ट्रैफ़िक की सबसे बड़ी मात्रा उस अवधि के दौरान होती है जब व्यावहारिक रूप से कोई नुकसान नहीं होता है - यदि नुकसान 10% से कम है, तो ग्राहक उन पर प्रतिक्रिया नहीं देते हैं। स्टेशनों और नेटवर्क के विकास की योजना बनाते समय, डिजाइनर को इस सवाल का जवाब देना होगा कि सेवा प्रावधान (नुकसान) की गुणवत्ता के लिए क्या आवश्यकताएं हैं। ऐसा करने के लिए, देश में अपनाए गए नियमों के अनुसार यातायात घाटे को मापना आवश्यक है।

यातायात माप उदाहरण.

सबसे पहले, आइए देखें कि आप QS के संचालन को कैसे प्रदर्शित कर सकते हैं जिसमें कई संसाधन हैं जो एक साथ कुछ ट्रैफ़िक प्रदान करते हैं। हम आगे सर्वर जैसे संसाधनों के बारे में बात करेंगे जो अनुप्रयोगों या आवश्यकताओं के प्रवाह को पूरा करते हैं। सर्वरों के एक समूह द्वारा सर्विसिंग अनुरोधों की प्रक्रिया को चित्रित करने के लिए सबसे दृश्यमान और अक्सर उपयोग किए जाने वाले तरीकों में से एक गैंट चार्ट है। यह आरेख एक आयताकार समन्वय प्रणाली है जिसमें x-अक्ष समय दर्शाता है और y-अक्ष पूल सर्वर के अनुरूप अलग-अलग बिंदुओं को चिह्नित करता है। चित्र 11 तीन-सर्वर प्रणाली के लिए गैंट चार्ट दिखाता है।

पहले तीन समय अंतराल में (हम उन्हें एक सेकंड के रूप में गिनते हैं), पहले और तीसरे सर्वर व्यस्त होते हैं, अगले दो सेकंड - केवल तीसरा, फिर दूसरा एक सेकंड के लिए काम करता है, फिर दूसरा और पहला दो सेकंड के लिए काम करता है , और अंतिम दो सेकंड - केवल पहला।

निर्मित आरेख आपको यातायात की मात्रा और उसकी तीव्रता की गणना करने की अनुमति देता है। आरेख केवल परोसे गए या छूटे हुए ट्रैफ़िक को दर्शाता है, क्योंकि यह इस बारे में कुछ नहीं कहता है कि क्या अनुरोधों ने सिस्टम में प्रवेश किया था जो सर्वर द्वारा सेवित नहीं किया जा सका।

पारित ट्रैफ़िक की मात्रा की गणना गैंट चार्ट के सभी खंडों की कुल लंबाई के रूप में की जाती है। 10 सेकंड में वॉल्यूम:

हम भुज पर आलेखित प्रत्येक समय अंतराल के साथ इस इकाई अंतराल में व्याप्त सर्वरों की संख्या के बराबर एक पूर्णांक जोड़ते हैं। यह मान A(t) तात्कालिक तीव्रता है। हमारे उदाहरण के लिए

ए(टी)= (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1)

आइए अब 10 सेकंड की अवधि में औसत ट्रैफ़िक तीव्रता ज्ञात करें

इस प्रकार, विचाराधीन तीन सर्वरों के सिस्टम द्वारा पारित ट्रैफ़िक की औसत तीव्रता 1.5 एर्ल है।

बुनियादी लोड पैरामीटर

टेलीफोन संचार का उपयोग विभिन्न श्रेणियों के ग्राहकों द्वारा किया जाता है, जिनकी विशेषताएँ हैं:

लोड स्रोतों की संख्या - एन,

एक निश्चित समय में एक स्रोत से कॉल की औसत संख्या (एनएनएन आमतौर पर) - सी,

एक कॉल की सर्विसिंग करते समय स्विचिंग सिस्टम के एक सत्र की औसत अवधि टी है।

भार की तीव्रता होगी

आइए विभिन्न कॉल स्रोतों की पहचान करें। उदाहरण के लिए,

एक कार्यालय टेलीफोन से सीएचएन पर कॉल की औसत संख्या;

एक व्यक्तिगत अपार्टमेंट टेलीफोन से कॉल की औसत संख्या; यादृच्छिक घटना जन सेवा टेलीट्रैफ़िक

गिनती के साथ - सामूहिक उपयोग के लिए उपकरण से समान;

मा के साथ - एक सिक्का मशीन से समान;

एसएल के साथ - एक कनेक्टिंग लाइन से समान।

फिर एक स्रोत से कॉल की औसत संख्या:

संबंधित श्रेणी के एक स्रोत से कॉल की औसत संख्या के लिए अनुमानित डेटा हैं:

3.5 - 5, =0.5 - 1, गिनती के साथ = 1.5 - 2, एमए =15 - 30 के साथ, एसएल =10 - 30 के साथ।

निम्नलिखित प्रकार के कनेक्शन हैं, जो कनेक्शन के परिणाम के आधार पर स्टेशन पर अलग-अलग टेलीफोन लोड बनाते हैं:

k р - बातचीत में समाप्त हुए कनेक्शनों के अनुपात को दर्शाने वाला गुणांक;

k з - कनेक्शन जो कॉल किए गए ग्राहक की व्यस्तता के कारण बातचीत में समाप्त नहीं हुए;

क लेकिन - कनेक्शन के अनुपात को व्यक्त करने वाला गुणांक जो कॉल किए गए ग्राहक की गैर-प्रतिक्रिया के कारण बातचीत में समाप्त नहीं हुआ;

के ओश - ऐसे कनेक्शन जो कॉल करने वाले की त्रुटियों के कारण बातचीत समाप्त नहीं हुए;

k वे - कॉल जो तकनीकी कारणों से बातचीत के साथ समाप्त नहीं हुईं।

सामान्य नेटवर्क संचालन के दौरान, इन गुणांकों के मान बराबर होते हैं:

के पी =0.60-0.75; के जेड =0.12-0.15; क लेकिन =0.08-0.12; के ओश =0.02-0.05; k वो =0.005-0.01.

एक सत्र की औसत अवधि कनेक्शन के प्रकार पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, यदि कनेक्शन किसी वार्तालाप के साथ समाप्त हो जाता है, तो डिवाइस कब्जे की औसत अवधि टी स्थिति के बराबर होगी

कनेक्शन स्थापना की अवधि कहां है;

टी कॉम्प. - एक बातचीत जो हुई;

टी इन - कॉल किए गए ग्राहक के टेलीफोन पर कॉल भेजने की अवधि;

टी आर - बातचीत की अवधि

जहां टी सह स्टेशन उत्तर संकेत है;

1.5एन - कॉल किए गए ग्राहक की संख्या डायल करने का समय (एन - संख्या में वर्णों की संख्या);

टी एस तंत्र स्विच करके कनेक्शन स्थापित करने और बातचीत के अंत के बाद कनेक्शन डिस्कनेक्ट करने के लिए आवश्यक समय है। मानी गई मात्राओं का अनुमानित मान:

t co = 3 सेकंड, t c = 1-2.5 सेकंड, t b = 8-10 सेकंड, t p = 90-130 सेकंड।

जिन कॉलों से बातचीत ख़त्म नहीं होती, वे भी टेलीफ़ोन लोड पैदा करती हैं।

कॉल किए गए ग्राहक के व्यस्त होने पर डिवाइस पर कब्ज़ा करने का औसत समय है

जहां टी स्थापना कनेक्शन (4.2.3) द्वारा निर्धारित

t зз - व्यस्त बजर सुनने का समय, t зз =6 सेकंड।

जब कॉल किया गया ग्राहक उत्तर नहीं देता है तो डिवाइस पर कब्ज़ा करने की औसत अवधि होती है

जहां टी पीवी - रिंगबैक सिग्नल सुनने का समय, टी पीवी = 20 सेकंड।

यदि सब्सक्राइबर की त्रुटियों के कारण कोई बातचीत नहीं हुई, तो औसतन टीओश = 30 सेकंड।

तकनीकी कारणों से बातचीत के साथ समाप्त नहीं होने वाली कक्षाओं की अवधि निर्धारित नहीं की जाती है, क्योंकि ऐसी कक्षाओं का प्रतिशत छोटा है।

उपरोक्त सभी से यह निष्कर्ष निकलता है कि सीएनएन के पीछे स्रोतों के समूह द्वारा बनाया गया कुल भार व्यक्तिगत प्रकार की गतिविधियों के भार के योग के बराबर है।

एक गुणांक कहां है जो शेयरों के रूप में शर्तों को ध्यान में रखता है

सात अंकों की संख्या वाले टेलीफोन नेटवर्क पर, एक स्वचालित टेलीफोन एक्सचेंज डिजाइन किया गया है, जिसकी ग्राहकों की संरचनात्मक संरचना इस प्रकार है:

एन खाता = 4000, एन इंडस्ट्रीज़ = 1000, एन गिनती = 2000, एन मा = 400, एन एसएल = 400।

सीएचएनएन में एक स्रोत से प्राप्त कॉलों की औसत संख्या के बराबर है

सूत्र (4.2.3) और (4.2.6) का उपयोग करके हम भार ज्ञात करते हैं

1.10.62826767 सेकंड = 785.2 हर्ट्ज़।

औसत पाठ अवधि t सूत्र Y=Nct से

t= Y/Nc= 2826767/7800*3.8=95.4 सेकंड।

कार्य लोड करें

1. सात अंकों की संख्या वाले टेलीफोन नेटवर्क पर, एक स्वचालित टेलीफोन एक्सचेंज डिज़ाइन किया गया है, जिसके ग्राहकों की संरचनात्मक संरचना इस प्रकार है:

N uchr =5000, Nind=1500, N गिनती =3000, N ma =500, N sl =500।

स्टेशन पर आने वाले भार का निर्धारण करें - Y, व्यवसाय की औसत अवधि t, यदि यह ज्ञात हो

ind =4 के साथ, ind =1 के साथ, गिनती =2 के साथ, ma =10 के साथ, sl =12 के साथ, t r =120 सेकंड, t =10 सेकंड में, k r =0.6, t s =1 सेकंड, =1.1 .

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मान लीजिए कि इसे एक सतत यादृच्छिक चर X को चलाने की आवश्यकता है, अर्थात। वितरण फ़ंक्शन F(x) को जानते हुए, इसके संभावित मानों (i=1, 2, ..., n) का अनुक्रम प्राप्त करें।

प्रमेय. यदि एक यादृच्छिक संख्या है, तो दिए गए वितरण फ़ंक्शन F (x) के साथ खेले जाने वाले निरंतर यादृच्छिक चर X का संभावित मान, समीकरण का मूल है।

नियम 1। संभावित मान ज्ञात करने के लिए, एक सतत यादृच्छिक चर X, इसके वितरण फ़ंक्शन F (x) को जानते हुए, आपको एक यादृच्छिक संख्या का चयन करना होगा, इसके वितरण फ़ंक्शन को बराबर करना होगा और परिणामी समीकरण को हल करना होगा।

नोट 1। यदि इस समीकरण को स्पष्ट रूप से हल करना संभव नहीं है, तो ग्राफिकल या संख्यात्मक तरीकों का सहारा लें।

उदाहरण 1. अंतराल (2, 10) में समान रूप से वितरित निरंतर यादृच्छिक चर X के 3 संभावित मान चलायें।

समाधान: आइए अंतराल (ए, बी) में समान रूप से वितरित मूल्य एक्स का वितरण फ़ंक्शन लिखें: .

शर्त के अनुसार, a=2, b=10, इसलिए, .

नियम 1 का उपयोग करते हुए, हम संभावित मान खोजने के लिए एक समीकरण लिखेंगे, जिसके लिए हम वितरण फ़ंक्शन को एक यादृच्छिक संख्या के बराबर करते हैं:

यहाँ से .

आइए 3 यादृच्छिक संख्याएँ चुनें, उदाहरण के लिए, ... आइए इन संख्याओं को के संबंध में हल किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करें; परिणामस्वरूप, हमें X: के संगत संभावित मान प्राप्त होते हैं; ; .

उदाहरण 2. एक सतत यादृच्छिक चर X को वितरण फ़ंक्शन (पैरामीटर ज्ञात है) (x > 0) द्वारा निर्दिष्ट घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। हमें X के संभावित मानों को चलाने के लिए एक स्पष्ट सूत्र खोजने की आवश्यकता है।

समाधान: नियम का प्रयोग करके हम समीकरण लिखते हैं।

आइए इस समीकरण को हल करें: , या .

यादृच्छिक संख्या अंतराल (0, 1) में निहित है; इसलिए, संख्या भी यादृच्छिक है और अंतराल (0,1) से संबंधित है। दूसरे शब्दों में, R और 1-R के मान समान रूप से वितरित हैं। इसलिए, इसे खोजने के लिए, आप एक सरल सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

नोट 2।ह ज्ञात है कि ।

विशेष रूप से, ।

इसका तात्पर्य यह है कि यदि संभाव्यता घनत्व ज्ञात है, तो एक्स खेलने के लिए, समीकरणों के बजाय, समीकरण को हल किया जा सकता है।

नियम 2. एक सतत यादृच्छिक चर

उदाहरण 3. अंतराल में एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता घनत्व दिया गया है; इस अंतराल के बाहर. हमें X के संभावित मानों को चलाने के लिए एक स्पष्ट सूत्र खोजने की आवश्यकता है।

समाधान: आइए समीकरण को नियम 2 के अनुसार लिखें।

एकीकरण करने और परिणामी द्विघात समीकरण को हल करने के बाद , हम अंततः इसे प्राप्त कर लेंगे।

18.7 सामान्य यादृच्छिक चर का अनुमानित खेल

आइए पहले याद करें कि यदि एक यादृच्छिक चर R को अंतराल (0, 1) में समान रूप से वितरित किया जाता है, तो इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण क्रमशः बराबर होते हैं: M(R)=1/2, D(R)=1/12।

आइए अंतराल (0, 1) में n स्वतंत्र, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का योग संकलित करें:।

इस योग को सामान्य करने के लिए, हम पहले इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण ज्ञात करते हैं।

यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा, पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है। योग में n पद हैं, जिनमें से प्रत्येक की गणितीय अपेक्षा, M(R) = 1/2 के कारण, 1/2 के बराबर है; इसलिए, योग की गणितीय अपेक्षा

यह ज्ञात है कि स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण पदों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है। योग में n स्वतंत्र पद हैं, जिनमें से प्रत्येक का प्रसरण, D(R) = 1/12 के कारण, 1/12 के बराबर है; इसलिए, योग का विचरण

अतः योग का मानक विचलन

आइए विचाराधीन राशि को सामान्य करें, जिसके लिए हम गणितीय अपेक्षा घटाते हैं और परिणाम को मानक विचलन से विभाजित करते हैं:।

केंद्रीय सीमा प्रमेय के आधार पर, इस सामान्यीकृत यादृच्छिक चर का वितरण पैरामीटर a = 0 और के साथ सामान्य हो जाता है। परिमित n के लिए, वितरण लगभग सामान्य है। विशेष रूप से, n=12 के लिए हमें गणना के लिए काफी अच्छा और सुविधाजनक सन्निकटन प्राप्त होता है।

अनुमान संतोषजनक हैं: शून्य के करीब, एक से थोड़ा अलग।

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

1. गमुरमन वी.ई. संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी का सिद्धांत। - एम.: हायर स्कूल, 2001।

2. कलिनिना वी.एन., पैंकिन वी.एफ. गणित के आँकड़े. - एम.: हायर स्कूल, 2001।

3. गमुरमन वी.ई. संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी में समस्याओं को हल करने के लिए एक मार्गदर्शिका। - एम.: हायर स्कूल, 2001।

4. कोचेतकोव ई.एस., स्मरचिंस्काया एस.ओ., सोकोलोव वी.वी. संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी का सिद्धांत। - एम.:फोरम:इंफ्रा-एम, 2003।

5. अगापोव जी.आई. संभाव्यता सिद्धांत पर समस्या पुस्तक। - एम.: हायर स्कूल, 1994।

6. कोलेमेव वी.ए., कलिनिना वी.एन. संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी का सिद्धांत। - एम.: इन्फ्रा-एम, 2001।

7. वेंटज़ेल ई.एस. सिद्धांत संभावना। - एम.: हायर स्कूल, 2001।

आइए हम अंतराल (0, 1) में एक समान रूप से वितरित एसवी को आर से और इसके संभावित मानों (यादृच्छिक संख्या) को आर जे से निरूपित करें।

आइए अंतराल को विभाजित करें)