प्रतिगमन समीकरण में शामिल कारकों की संख्या के आधार पर, युग्मित और एकाधिक प्रतिगमन को प्रतिष्ठित किया जाता है।

दो चरों के बीच संबंध का समीकरण और एक्सबुलाया जोड़ीवार प्रतिगमन , और निर्भरता यकई व्याख्यात्मक चर से = ( एक्स 1 ,एक्स 2 ,... एक्स एन)– एकाधिक प्रतिगमन .

जोड़ीवार प्रतिगमन समीकरण है:

कहाँ - स्वतंत्र चर प्रभावित करता है पर; - मॉडल गुणांक.

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, अर्थमितीय अनुसंधान के पहले चरण में, चर के बीच संबंध के रूप का चुनाव किया जाता है, अर्थात। प्रतिगमन समीकरण का विनिर्देशन किया जाता है। इस प्रयोजन के लिए, परिणामी चर को प्रभावित करने वाले कारकों की उनकी श्रृंखला पर, सबसे महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करने वाले कारकों पर प्रकाश डाला गया है। जोड़ीवार प्रतिगमन को पर्याप्त माना जाता है यदि प्रमुख कारक को अलग करना संभव हो, जिसका उपयोग व्याख्यात्मक (स्वतंत्र) चर के रूप में किया जाता है। यादृच्छिक त्रुटियों की भयावहता मॉडल विनिर्देश की सही पसंद पर निर्भर करती है: वास्तविक डेटा जितना करीब होगा, वे उतने ही छोटे होंगे परनिर्मित समीकरण का उपयोग करके गणना किए गए मानों के लिए।

मॉडल विनिर्देश त्रुटियों में न केवल किसी विशेष गणितीय फ़ंक्शन का गलत विकल्प शामिल है एफचरों के बीच संबंध परऔर, लेकिन प्रतिगमन समीकरण में किसी भी महत्वपूर्ण कारक का कम आकलन, यानी एकाधिक प्रतिगमन के बजाय जोड़ीवार प्रतिगमन का उपयोग करना।

जोड़ीवार प्रतिगमन में, गणितीय फ़ंक्शन का चुनाव ग्राफ़िक, विश्लेषणात्मक और प्रयोगात्मक रूप से किया जा सकता है।

बहुधा इसका उपयोग युग्मित समाश्रयण समीकरण के प्रकार का चयन करने के लिए किया जाता है ग्राफ़िक विधि , एक सहसंबंध क्षेत्र के निर्माण पर आधारित है। चरों के बीच संबंधों का आकलन करने में उपयोग किए जाने वाले मुख्य प्रकार के वक्र चित्र 1 में प्रस्तुत किए गए हैं:

ए) बी) वी)

विश्लेषणात्मक विधि प्रतिगमन समीकरण के प्रकार को चुनने में अध्ययन के तहत कारकों के बीच संबंधों की भौतिक प्रकृति का अध्ययन करना और प्रतिगमन समीकरण में एक दूसरे पर उनके प्रभाव की डिग्री को ध्यान में रखना शामिल है।

का उपयोग करते हुए प्रयोगात्मक विधि विभिन्न प्रकार के समीकरण बनाए जाते हैं, और फिर त्रुटि विचरण के परिमाण के संदर्भ में उनमें से सर्वश्रेष्ठ का चयन किया जाता है:

.

त्रुटि विचरण जितना छोटा होगा, निर्मित प्रतिगमन समीकरण उतना ही बेहतर मूल डेटा में फिट होगा।

एकाधिक प्रतिगमन समीकरण का निर्माण मॉडल के विनिर्देश पर निर्णय लेने से शुरू होता है। इसमें मुद्दों की दो श्रेणियां शामिल हैं: कारकों का चयन और प्रतिगमन समीकरण के प्रकार का चयन।

एकाधिक प्रतिगमन समीकरण में कारकों के एक विशेष सेट को शामिल करना मुख्य रूप से मॉडल किए गए संकेतक और अन्य आर्थिक घटनाओं के बीच संबंधों की प्रकृति की शोधकर्ता की समझ से संबंधित है। एकाधिक प्रतिगमन में शामिल कारकों को निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करना होगा।

उन्हें मात्रात्मक होना चाहिए. यदि मॉडल में किसी गुणात्मक कारक को शामिल करना आवश्यक है जिसमें मात्रात्मक माप नहीं है, तो उसे मात्रात्मक निश्चितता दी जानी चाहिए।

कारकों को आपस में संबद्ध नहीं किया जाना चाहिए, सटीक कार्यात्मक संबंध में तो बिल्कुल भी नहीं होना चाहिए।

कारकों का चयन गुणात्मक सैद्धांतिक एवं आर्थिक विश्लेषण के आधार पर किया जाता है। हालाँकि, सैद्धांतिक विश्लेषण अक्सर हमें विचाराधीन विशेषताओं के मात्रात्मक संबंध और मॉडल में कारक को शामिल करने की उपयुक्तता के बारे में प्रश्न का स्पष्ट उत्तर देने की अनुमति नहीं देता है। इसलिए, कारकों का चयन आमतौर पर दो चरणों में किया जाता है: पहले में, समस्या के सार के आधार पर कारकों का चयन किया जाता है; दूसरे पर, सहसंबंध संकेतकों के मैट्रिक्स के आधार पर प्रतिगमन मापदंडों के आंकड़े निर्धारित किए जाते हैं।

अंतर्संबंध गुणांक (यानी, व्याख्यात्मक चर के बीच सहसंबंध) अनावश्यक कारकों को मॉडल से बाहर करने की अनुमति देते हैं। ऐसा माना जाता है कि स्पष्ट रूप से दो चर हैं समरेख, अर्थात। यदि एक दूसरे के साथ रैखिक संबंध में हैं। यदि कारक स्पष्ट रूप से संरेख हैं, तो वे एक-दूसरे की नकल करते हैं और उनमें से एक को प्रतिगमन से बाहर करने की सिफारिश की जाती है। इस मामले में, वरीयता उस कारक को नहीं दी जाती है जो परिणाम से अधिक निकटता से संबंधित है, बल्कि उस कारक को दी जाती है, जो परिणाम के साथ पर्याप्त रूप से घनिष्ठ संबंध के बावजूद, अन्य कारकों के साथ सबसे कम घनिष्ठ संबंध रखता है। यह आवश्यकता एक दूसरे से उनकी स्वतंत्रता की स्थितियों में कारकों के जटिल प्रभाव का अध्ययन करने की एक विधि के रूप में एकाधिक प्रतिगमन की विशिष्टता को प्रकट करती है।

जोड़ीवार सहसंबंध गुणांक का परिमाण केवल कारकों की स्पष्ट संरेखता को प्रकट करता है। एकाधिक प्रतिगमन तंत्र का उपयोग करने में सबसे बड़ी कठिनाइयाँ कारकों की बहुसंरेखता की उपस्थिति में उत्पन्न होती हैं, जब दो से अधिक कारक एक रैखिक संबंध द्वारा एक दूसरे से संबंधित होते हैं, अर्थात। एक दूसरे पर कारकों का संचयी प्रभाव होता है।

कारकों की बहुसंरेखता का आकलन करने के लिए, कारकों के बीच युग्मित सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स के निर्धारक का उपयोग किया जा सकता है।

इंटरफैक्टर सहसंबंध मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के जितना करीब होता है, कारकों की बहुसंरेखता उतनी ही मजबूत होती है और एकाधिक प्रतिगमन के परिणाम उतने ही अविश्वसनीय होते हैं। और, इसके विपरीत, इंटरफैक्टर सहसंबंध मैट्रिक्स का निर्धारक एक के जितना करीब होगा, कारकों की बहुसंरेखता उतनी ही कम होगी।

मजबूत अंतरकारक सहसंबंध पर काबू पाने के लिए कई दृष्टिकोण हैं। बहुसंरेखता को खत्म करने का सबसे सरल तरीका मॉडल से एक या अधिक कारकों को बाहर करना है। एक अन्य दृष्टिकोण में कारकों को बदलना शामिल है, जो उनके बीच सहसंबंध को कम करता है।

कारकों का चयन करते समय, निम्नलिखित नियम का उपयोग करने की भी सिफारिश की जाती है: शामिल कारकों की संख्या आमतौर पर जनसंख्या की मात्रा से 6-7 गुना कम होती है जिस पर प्रतिगमन बनाया गया है। यदि इस रिश्ते का उल्लंघन किया जाता है, तो अवशिष्ट फैलाव की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या बहुत कम है। इससे यह तथ्य सामने आता है कि प्रतिगमन समीकरण के पैरामीटर सांख्यिकीय रूप से महत्वहीन हो जाते हैं, और -मानदंड तालिका मान से कम है।

अर्थमिति का आधार एक अर्थमिति मॉडल का निर्माण और वास्तविक आर्थिक प्रक्रियाओं के विश्लेषण और पूर्वानुमान का वर्णन करने के लिए इस मॉडल का उपयोग करने की संभावनाओं का निर्धारण है। पाठ्यक्रम परियोजना का लक्ष्य अर्थमितीय मॉडलिंग के क्षेत्र में अनुसंधान के लिए सूचना और पद्धतिगत समर्थन के लिए डिजाइन समाधान का विकास करना है, साथ ही अर्थमितीय मॉडल के निर्माण और शोध में व्यावहारिक कौशल प्राप्त करना है। किसी दिए गए क्षेत्र में वास्तविक सामाजिक-आर्थिक प्रक्रियाओं के अर्थमितीय मॉडलिंग का अंतिम लागू लक्ष्य...

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जाँच की गई:

कोनोवलोवा ए.एस.

(शिक्षक का पूरा नाम)

रेज़ेव 2015

परिचय

अध्याय 1. विश्लेषणात्मक भाग

प्रतिगमन मॉडल के अर्थमितीय अनुसंधान के मूल सिद्धांत।

प्रतिगमन मॉडल के अर्थमितीय अनुसंधान की तकनीक।

अध्याय 2. डिज़ाइन भाग

2.1 सूचना और पद्धति संबंधी समर्थन

अर्थमितीय अनुसंधान

युग्मित और एकाधिक प्रतिगमन।

निष्कर्ष

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

परिचय

अर्थमिति एक विज्ञान है जिसके अध्ययन का विषय गणितीय आंकड़ों के तरीकों के आधार पर अर्थव्यवस्था में मात्रात्मक पैटर्न और अन्योन्याश्रयता है। अर्थमिति का आधार एक अर्थमिति मॉडल का निर्माण और वास्तविक आर्थिक प्रक्रियाओं का वर्णन, विश्लेषण और पूर्वानुमान करने के लिए इस मॉडल का उपयोग करने की संभावनाओं का निर्धारण है।

सूचित आर्थिक निर्णय लेने की क्षमता पैदा करके, अर्थमितीय विश्लेषण आर्थिक विश्लेषण और पूर्वानुमान का आधार है।

अर्थशास्त्र के किसी भी क्षेत्र में, किसी विशेषज्ञ की गतिविधि के लिए अर्थमितीय मॉडल, अवधारणाओं और तकनीकों पर आधारित आधुनिक कार्य विधियों के उपयोग की आवश्यकता होती है।

स्थायी निवास के लिए यूरोपीय संघ के देशों में आने वाले लोगों की संख्या को पाठ्यक्रम परियोजना में अर्थमितीय अनुसंधान के विषय के रूप में चुना गया था। समाज के विकास की संभावनाओं का आकलन करने के लिए प्रवासन प्रक्रियाएं एक अत्यंत महत्वपूर्ण कारक हैं, इसलिए शोध विषय की प्रासंगिकता आधुनिक दुनिया में इन प्रक्रियाओं के बढ़ते सामाजिक महत्व को निर्धारित करती है।

प्रवासन प्रक्रियाओं का आर्थिक अनुसंधान देशों के विकास की दक्षता बढ़ाने में एक महत्वपूर्ण कारक है। मानव विकास का इतिहास जनसंख्या की गतिशीलता में परिवर्तन के साथ अटूट रूप से जुड़ा हुआ है। यूरोप में, तेजी से जनसंख्या वृद्धि मुख्य रूप से सामाजिक-आर्थिक परिवर्तनों के कारण होती है, अर्थात। आर्थिक विकास और सामाजिक परिवर्तनों का अनुसरण करता है।

पाठ्यक्रम परियोजना का लक्ष्य अर्थमितीय मॉडलिंग के क्षेत्र में अनुसंधान के लिए सूचना और पद्धतिगत समर्थन के लिए डिजाइन समाधान का विकास करना है, साथ ही अर्थमितीय मॉडल के निर्माण और शोध में व्यावहारिक कौशल प्राप्त करना है।

पाठ्यक्रम परियोजना का उद्देश्य अर्थमितीय डेटा विश्लेषण करने के लिए अर्थमितीय मॉडल के निर्माण और अनुसंधान में अभ्यास ज्ञान और कौशल का उपयोग करना है।

इस पाठ्यक्रम परियोजना में वास्तविक सामाजिक-आर्थिक प्रक्रियाओं के अर्थमितीय मॉडलिंग का अंतिम लागू लक्ष्य राज्य और विश्लेषण प्रणाली के विकास की विशेषता वाले आर्थिक और सामाजिक-आर्थिक संकेतकों का पूर्वानुमान है, यानी, यूरोपीय संघ में प्रवासन प्रक्रियाओं में रुझानों का निर्धारण अर्थमितीय मॉडल का निर्माण करते समय देशों और मौजूदा कारकों पर उनकी निर्भरता को ध्यान में रखा जाता है।

अध्याय 1. विश्लेषणात्मक भाग

1.1. प्रतिगमन मॉडल के अर्थमितीय अनुसंधान के मूल सिद्धांत।

अर्थमिति चर के बीच संबंधों को मापने के लिए सांख्यिकीय तरीकों के विकास और अनुप्रयोग से संबंधित आर्थिक अनुशासन अर्थमिति है, जो आर्थिक सिद्धांत, सांख्यिकी और गणित का एक संयोजन है।

अर्थमितीय डेटा किसी नियंत्रित प्रयोग के परिणाम नहीं हैं। अर्थमिति विशिष्ट आर्थिक डेटा से संबंधित है और विशिष्ट संबंधों के मात्रात्मक विवरण से संबंधित है, अर्थात, यह सामान्य रूप में प्रस्तुत गुणांक को विशिष्ट संख्यात्मक मानों से प्रतिस्थापित करता है। अर्थमिति में, प्राप्त परिणामों पर माप त्रुटियों के प्रभाव को कम करने के लिए विशेष विश्लेषण विधियाँ विकसित की जाती हैं।

अर्थमिति का मुख्य उपकरण एक अर्थमिति मॉडल है, यानी चर के बीच मात्रात्मक संबंधों का एक औपचारिक विवरण। मॉडलिंग पद्धति में आत्म-विकास के महान अवसर शामिल हैं, क्योंकि मॉडलिंग एक चक्रीय प्रक्रिया है, प्रत्येक चक्र के बाद अगला चक्र हो सकता है, और अध्ययन के तहत वस्तु के बारे में ज्ञान का विस्तार और परिष्कृत किया जाता है, मूल मॉडल में धीरे-धीरे सुधार होता है। पिछले मॉडलिंग चक्र के बाद वस्तु के खराब ज्ञान और मॉडल निर्माण में त्रुटियों के कारण पाई गई कमियों को बाद के चक्रों में ठीक किया जा सकता है।

अर्थमितीय मॉडल के तीन वर्गों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

अस्थायी डेटा मॉडल;

एकल समीकरण प्रतिगमन मॉडल;

एक साथ समीकरणों की प्रणाली.

अर्थमितीय मॉडल का उपयोग करके हल की गई समस्याओं का वर्गीकरण: 1) अंतिम लागू लक्ष्यों के अनुसार:

विश्लेषण की गई प्रणाली की स्थिति और विकास को दर्शाने वाले अर्थमितीय और सामाजिक-आर्थिक संकेतकों का पूर्वानुमान;

व्यवस्था के सामाजिक-आर्थिक विकास के लिए संभावित परिदृश्यों का अनुकरण।

2) पदानुक्रम स्तर के अनुसार:

वृहत स्तर के कार्य (संपूर्ण देश);

मेसो-स्तरीय कार्य (क्षेत्र, उद्योग, निगम);

सूक्ष्म स्तर (परिवार, उद्यम, फर्म)।

3) अर्थमितीय प्रणाली की रूपरेखा के अनुसार, अध्ययन के उद्देश्य से:

बाज़ार;

निवेश, वित्तीय या सामाजिक नीति;

मूल्य निर्धारण;

वितरण संबंध;

मांग और खपत;

समस्याओं का एक समूह.

अर्थमितीय मॉडलिंग के मुख्य चरण:

चरण 1 - मंचन। मॉडल के अंतिम लक्ष्यों का निर्धारण, इसमें शामिल कारकों और संकेतकों का समूह और उनकी भूमिका। अनुसंधान के मुख्य उद्देश्य: किसी आर्थिक वस्तु की स्थिति और व्यवहार का विश्लेषण, उसके आर्थिक संकेतकों का पूर्वानुमान, वस्तु के विकास का अनुकरण, प्रबंधन निर्णयों का विकास।

चरण 2 - एक प्राथमिकता। मॉडलिंग की शुरुआत से पहले ज्ञात जानकारी के अध्ययन, गठन और औपचारिकरण के तहत वस्तु के सार का विश्लेषण।

चरण 3 - मानकीकरण। मॉडल के सामान्य स्वरूप, उसमें शामिल कनेक्शनों की संरचना और रूप का चयन करना। इस चरण का मुख्य कार्य फ़ंक्शन f(X) का चयन करना है।

चरण 4 - सूचनात्मक। आवश्यक सांख्यिकीय जानकारी का संग्रह.

चरण 5 - मॉडल की पहचान। मॉडल का सांख्यिकीय विश्लेषण और उसके मापदंडों का अनुमान। अर्थमितीय अनुसंधान का बड़ा हिस्सा।

चरण 6 - मॉडल सत्यापन। मॉडल की पर्याप्तता की जाँच करना, मॉडल डेटा की सटीकता का आकलन करना। यह पता चलता है कि विनिर्देशन और पहचान की समस्याओं को कितनी सफलतापूर्वक हल किया गया है, और इस मॉडल का उपयोग करके गणना की सटीकता क्या है। यह जांचा जाता है कि निर्मित मॉडल सिम्युलेटेड वास्तविक आर्थिक वस्तु या प्रक्रिया से कितना मेल खाता है।

अर्थमितीय मॉडल में आर्थिक प्रक्रियाओं की मॉडलिंग करते समय, निम्नलिखित का उपयोग किया जाता है:

1. स्थानिक डेटा - एक ही समयावधि में ली गई विभिन्न वस्तुओं पर जानकारी का एक सेट।

2. अस्थायी डेटा - एक ही वस्तु की विशेषता बताने वाली जानकारी का एक सेट, लेकिन अलग-अलग समयावधियों के लिए।

जानकारी का एक सेट उन विशेषताओं के एक सेट का प्रतिनिधित्व करता है जो अध्ययन की वस्तु की विशेषता बताते हैं। संकेत दो भूमिकाओं में से एक में कार्य कर सकते हैं: एक प्रभावी संकेत की भूमिका और एक कारक संकेत की भूमिका।

चरों को इसमें विभाजित किया गया है:

बहिर्जात, जिसके मान बाहर से निर्धारित होते हैं;

अंतर्जात, जिसके मान मॉडल के भीतर निर्धारित होते हैं;

लैग्ड - अर्थमिति मॉडल के अंतर्जात या बहिर्जात चर, समय में पिछले बिंदुओं पर दिनांकित और वर्तमान चर के साथ समीकरण में स्थित;

पूर्वनिर्धारित - समय में अतीत, वर्तमान और भविष्य के बिंदुओं से बंधे बहिर्जात चर और एक निश्चित समय पर पहले से ही ज्ञात अंतर्जात चर।

अर्थमिति मुख्य रूप से मॉडल विनिर्देश त्रुटियों को यह मानकर देखता है कि माप त्रुटियों को न्यूनतम रखा गया है।

मॉडल विनिर्देश - कार्यात्मक निर्भरता के प्रकार का चयन (प्रतिगमन समीकरण)। यादृच्छिक त्रुटियों का परिमाण सभी मॉडल विशिष्टताओं में समान नहीं होगा, और अवशिष्ट अवधि को न्यूनतम करने से सर्वोत्तम विनिर्देश का चयन किया जा सकता है।

मॉडल विनिर्देश के चुनाव के अलावा, मॉडल संरचना का सही विवरण भी महत्वपूर्ण है। परिणामी विशेषता का मूल्य व्याख्यात्मक चर के वास्तविक मूल्य पर नहीं, बल्कि उस मूल्य पर निर्भर हो सकता है जो पिछली अवधि में अपेक्षित था।

केवल दो चर वाला सबसे सरल प्रतिगमन मॉडल एकल-समीकरण प्रतिगमन मॉडल के वर्ग का हिस्सा है, जिसमें एक समझाया गया चर कई स्वतंत्र (व्याख्यात्मक) चर और मापदंडों के एक फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जाता है। इस वर्ग में एकाधिक प्रतिगमन मॉडल शामिल हैं।

सरल समय श्रृंखला मॉडल हैं जो किसी समय श्रृंखला के व्यवहार को उसके पिछले मूल्यों के आधार पर समझाते हैं, ये मॉडल हैं:

रुझान,

मौसमी,

अनुकूली पूर्वानुमान,

मूविंग एवरेज, आदि।

एक साथ समीकरणों की प्रणालियाँ अधिक सामान्य हैं, जिनमें व्याख्यात्मक चर के अलावा, दाएँ हाथ में अन्य समीकरणों से समझाए गए चर भी शामिल हो सकते हैं, अर्थात। इस समीकरण के बाईं ओर समझाए गए चर से भिन्न।

अलग-अलग प्रतिगमन समीकरणों का उपयोग करते समय, यह माना जाता है कि कारकों को एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से बदला जा सकता है, हालांकि वास्तव में उनके परिवर्तन स्वतंत्र नहीं होते हैं, और एक चर में परिवर्तन से अक्सर विशेषताओं की पूरी प्रणाली में परिवर्तन होता है, क्योंकि वे आपस में जुड़े हुए हैं। एक साथ (संरचनात्मक) समीकरणों की प्रणाली का उपयोग करके चर के बीच संबंधों की संरचना का वर्णन करने में सक्षम होना आवश्यक है।

आर्थिक घटनाओं और प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय और गणितीय मॉडल आर्थिक अनुसंधान के एक विशेष क्षेत्र की बारीकियों से निर्धारित होते हैं। विशेषज्ञ मूल्यांकन का सिद्धांत और अभ्यास अर्थमिति का एक महत्वपूर्ण खंड है, क्योंकि विशेषज्ञ मूल्यांकन का उपयोग कई आर्थिक समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।

सैद्धांतिक और शैक्षिक प्रकाशनों में व्यापक आर्थिक संकेतकों की भविष्यवाणी करने के लिए डिज़ाइन किए गए विभिन्न अर्थमितीय मॉडल अधिक प्रसिद्ध हैं। ये आमतौर पर बहुभिन्नरूपी समय श्रृंखला की भविष्यवाणी करने के उद्देश्य से मॉडल हैं। वे चर के अतीत और वर्तमान मूल्यों के बीच रैखिक निर्भरता की एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऐसे कार्यों में, मॉडल की संरचना दोनों का मूल्यांकन किया जाता है, अर्थात। पिछले समय में ज्ञात वेक्टर निर्देशांक के मूल्यों और अनुमानित क्षण में उनके मूल्यों के साथ-साथ इस निर्भरता में शामिल गुणांक के बीच निर्भरता का प्रकार। ऐसे मॉडल की संरचना गैर-संख्यात्मक प्रकृति की वस्तु है। आर्थिक अनुसंधान के प्रत्येक क्षेत्र के अपने अर्थमितीय मॉडल होते हैं।

1.2. प्रतिगमन मॉडल के अर्थमितीय अनुसंधान की तकनीक।

आर्थिक घटनाओं के बीच वस्तुनिष्ठ रूप से विद्यमान संबंधों और निर्भरता का अनुसंधान और मात्रात्मक मूल्यांकन अर्थमिति का मुख्य कार्य है।

कारण-और-प्रभाव संबंध घटनाओं के बीच एक संबंध है जिसमें उनमें से एक में परिवर्तन, जिसे कारण कहा जाता है, दूसरे में परिवर्तन की ओर ले जाता है, जिसे प्रभाव कहा जाता है। इसलिए, कारण सदैव प्रभाव से पहले आता है।

घटनाओं के बीच कारण-और-प्रभाव संबंध शोधकर्ता के लिए सबसे बड़ी रुचि रखते हैं, जो उन कारकों की पहचान करना संभव बनाता है जिनका अध्ययन की जा रही घटनाओं और प्रक्रियाओं की विविधता पर बड़ा प्रभाव पड़ता है।

सामाजिक-आर्थिक घटनाओं में कारण-और-प्रभाव संबंधों की निम्नलिखित विशेषताएं हैं:

1. कारण X और प्रभाव Y सीधे तौर पर नहीं, बल्कि मध्यवर्ती कारकों के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं, जिन्हें विश्लेषण में छोड़ दिया गया है।

2. बड़ी संख्या में कारकों के एक साथ प्रभाव के परिणामस्वरूप सामाजिक-आर्थिक घटनाएं विकसित होती हैं और बनती हैं। इन घटनाओं के अध्ययन में मुख्य समस्याओं में से एक मुख्य कारणों की पहचान करना और द्वितीयक कारणों को अलग करना है।

परिवर्तन की दिशा के अनुसार कनेक्शनों को निम्न में विभाजित किया गया है:

1. प्रत्यक्ष (परिणामी और कारक विशेषताओं में परिवर्तन एक ही दिशा में होते हैं),

2. विपरीत (परिणामी और कारक विशेषताओं में परिवर्तन विपरीत दिशाओं में होते हैं)।

अभिव्यक्ति की प्रकृति के आधार पर, वे प्रतिष्ठित हैं:

1. कार्यात्मक कनेक्शन - एक कनेक्शन जिसमें एक कारक विशेषता का एक निश्चित मूल्य परिणामी विशेषता के एक और केवल एक मूल्य से मेल खाता है, अवलोकन के सभी मामलों में और अध्ययन के तहत आबादी की प्रत्येक विशिष्ट इकाई के लिए प्रकट होता है, और मुख्य रूप से अध्ययन किया जाता है प्राकृतिक विज्ञान में.

2. स्टोकेस्टिक निर्भरता - एक कारण निर्भरता जो प्रत्येक व्यक्तिगत मामले में प्रकट नहीं होती है, लेकिन सामान्य तौर पर, बड़ी संख्या में टिप्पणियों के साथ, और कारक विशेषताओं के समान मूल्य, एक नियम के रूप में, विभिन्न मूल्यों के अनुरूप होते हैं परिणामी विशेषता, लेकिन, अवलोकनों के पूरे सेट पर विचार करते हुए, विशेषताओं के मूल्यों के बीच एक निश्चित संबंध की उपस्थिति पर ध्यान देना संभव है। स्टोकेस्टिक संबंध का एक विशेष मामला एक सहसंबंध संबंध है, जिसमें एक प्रभावी विशेषता के औसत मूल्य में परिवर्तन कारक विशेषताओं में बदलाव के कारण होता है।

विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के अनुसार, कनेक्शन प्रतिष्ठित हैं:

1. रैखिक: परिणामी विशेषता में परिवर्तन सीधे कारक विशेषताओं में परिवर्तन के समानुपाती होता है।

2. अरेखीय.

विश्लेषणात्मक रूप से, घटनाओं के बीच एक रैखिक स्टोकेस्टिक संबंध को एक विमान पर एक सीधी रेखा के समीकरण, या एन-आयामी अंतरिक्ष में हाइपरप्लेन के समीकरण (यदि एन कारक चर हैं) द्वारा दर्शाया जा सकता है।

अर्थमितीय मॉडल का निर्माण अर्थमितीय अनुसंधान का आधार है। विश्लेषण परिणामों की विश्वसनीयता की डिग्री और उनकी प्रयोज्यता इस बात पर निर्भर करती है कि परिणामी मॉडल आर्थिक प्रक्रियाओं के बीच अध्ययन किए गए पैटर्न का कितनी अच्छी तरह वर्णन करता है।

एक अर्थमितीय मॉडल का निर्माण मॉडल के विनिर्देशन से शुरू होता है, जिसमें दो प्रश्नों का उत्तर प्राप्त करना शामिल है:

1) मॉडल में कौन से आर्थिक संकेतक शामिल किए जाने चाहिए;

2) चयनित विशेषताओं के बीच किस प्रकार का विश्लेषणात्मक संबंध है।

विनिमय दरों, प्रतिभूतियों और सूचकांकों जैसे वित्तीय संकेतकों के पूर्वानुमान के लिए तरीकों के विकास के लिए समर्पित अध्ययनों में, इस धारणा के आधार पर मॉडल का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है कि इन प्रक्रियाओं की गतिशीलता पूरी तरह से आंतरिक स्थितियों से निर्धारित होती है।

विचाराधीन चर के सेट की पहचान करने के बाद, अगला कदम उस विशिष्ट प्रकार के मॉडल को निर्धारित करना है जो अध्ययन की जा रही घटना से सबसे अच्छी तरह मेल खाता है।

कारकों और चर के बीच संबंधों की प्रकृति के आधार पर, मॉडल को रैखिक और गैर-रैखिक में विभाजित किया गया है। उनके मापदंडों के गुणों के आधार पर, मॉडल को स्थिर और परिवर्तनशील संरचना वाले मॉडल में विभाजित किया जाता है।

एक विशेष प्रकार के मॉडल में परस्पर जुड़े अर्थमितीय समीकरणों की प्रणालियाँ शामिल होती हैं।

यदि, विचाराधीन घटना के प्रारंभिक गुणात्मक विश्लेषण के आधार पर, सबसे उपयुक्त प्रकार के मॉडल का स्पष्ट रूप से चयन करना संभव नहीं है, तो कई वैकल्पिक मॉडलों पर विचार किया जाता है, जिनमें से, अनुसंधान प्रक्रिया के दौरान, जो सबसे अच्छा मेल खाता है अध्ययन के तहत घटना का चयन किया जाता है।

सामान्य तौर पर, अर्थमितीय मॉडल के निर्माण की प्रक्रिया को निम्नलिखित चरणों में दर्शाया जा सकता है:

1. मॉडल विशिष्टता, यानी, मॉडल के एक वर्ग का चयन जो अध्ययन की जा रही घटनाओं और प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए सबसे उपयुक्त है।

इस चरण में दो समस्याओं का समाधान शामिल है:

क) मॉडल में बाद में शामिल करने के लिए महत्वपूर्ण कारकों का चयन;

बी) मॉडल का प्रकार चुनना, यानी मॉडल में शामिल चर को जोड़ने वाले विश्लेषणात्मक संबंध का प्रकार चुनना।

2. मॉडल मापदंडों का अनुमान, यानी मॉडल स्थिरांक के संख्यात्मक मान प्राप्त करना। इस मामले में, स्रोत डेटा की पहले से प्राप्त सरणी का उपयोग किया जाता है।

3. निर्मित मॉडल की गुणवत्ता की जाँच करना और इसके आगे उपयोग की संभावना को उचित ठहराना। अर्थमितीय अनुसंधान का सबसे जटिल और समय लेने वाला हिस्सा मॉडल मापदंडों का आकलन करने का चरण है, जहां संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों के तरीकों का उपयोग किया जाता है।

विश्लेषणात्मक निर्भरता के प्रकार को चुनने की समस्या को हल करते समय, विभिन्न विचारों का उपयोग किया जा सकता है:

निर्भरता की गुणात्मक प्रकृति पर विश्लेषणात्मक अध्ययन से निष्कर्ष,

विभिन्न विश्लेषणात्मक निर्भरताओं के गुणों का विवरण,

मॉडल के निर्माण के लक्ष्य.

अर्थमितीय मॉडल के प्रकार का चुनाव, सबसे पहले, आर्थिक सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके किए गए प्रारंभिक गुणात्मक या वास्तविक विश्लेषण के परिणामों पर आधारित है। अध्ययन की जा रही घटना या प्रक्रिया के विकास के पैटर्न की प्रकृति के बारे में सैद्धांतिक धारणाओं के आधार पर अपेक्षित निर्भरता की प्रकृति उचित है।

एक अन्य दृष्टिकोण प्रारंभिक डेटा की एक श्रृंखला के विश्लेषण पर आधारित है, जो हमें अपेक्षित निर्भरता की कुछ विशेषताओं की पहचान करने की अनुमति देता है और, इस आधार पर, एक नियम के रूप में, विश्लेषणात्मक कनेक्शन के प्रकार के बारे में कई धारणाएं तैयार करता है। निर्मित मॉडल का उपयोग अध्ययन की जा रही घटना के विकास में पैटर्न की प्रकृति के बारे में धारणाएं तैयार करने के लिए किया जाता है, जिनका आगे के शोध के दौरान परीक्षण किया जाता है।

अर्थमिति में रैखिक मॉडल का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

यह कई कारणों से है:

ऐसे मॉडलों के निर्माण के लिए प्रभावी तरीके हैं।

कारक विशेषताओं के मूल्यों की एक छोटी श्रृंखला में, रैखिक मॉडल पर्याप्त सटीकता के साथ वास्तविक गैर-रेखीय निर्भरता का अनुमान लगा सकते हैं।

मॉडल मापदंडों की स्पष्ट आर्थिक व्याख्या है।

रैखिक मॉडल पर आधारित पूर्वानुमानों में महत्वपूर्ण पूर्वानुमान त्रुटि का जोखिम कम होता है।

अर्थमितीय मॉडल के निर्माण की प्रक्रिया का एक महत्वपूर्ण घटक उन कारकों का चयन है जो अध्ययन किए जा रहे संकेतक को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करते हैं और विकसित किए जा रहे मॉडल में शामिल किए जाने हैं। कारकों का इष्टतम सेट गुणात्मक और मात्रात्मक विश्लेषण के आधार पर निर्धारित किया जाता है।

समस्या निर्माण और आर्थिक मॉडल के सार्थक आर्थिक विश्लेषण के चरण में, उन कारकों का चयन किया जाता है जिनके प्रभाव को मॉडल का निर्माण करते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए। कुछ मामलों में, कारकों का एक सेट स्पष्ट रूप से या उच्च स्तर के आत्मविश्वास के साथ निर्धारित किया जाता है। अधिक जटिल मामलों में, अगला चरण मॉडल में प्रत्येक कारक को शामिल करने की व्यवहार्यता की जांच करने के लिए औपचारिक सांख्यिकीय तरीकों का उपयोग करता है। सबसे पहले, कारकों को उनके बीच घनिष्ठ रैखिक सहसंबंध की उपस्थिति के लिए जांचा जाता है, जिसके अस्तित्व से मॉडल मापदंडों का अविश्वसनीय अनुमान होता है।

मजबूत अंतरकारक सहसंबंध को दूर करने के लिए, निम्नलिखित का उपयोग किया जाता है:

मॉडल से एक या अधिक कारकों का बहिष्करण। दो सहसंबद्ध कारकों में से, जो अन्य कारकों के साथ अधिक सहसंबद्ध है उसे हटा दिया जाता है;

कारकों का परिवर्तन, जो उनके बीच सहसंबंध को कम करता है।

मॉडल में कारकों को शामिल करने का एक मानदंड परिणामी गुण पर उनके पृथक प्रभाव की डिग्री है।

कारकों का इष्टतम सेट निर्धारित करने की दो विधियाँ:

1. समावेशन विधि. एक प्रतिगमन समीकरण एक सबसे प्रभावशाली कारक के साथ बनाया जाता है, फिर निम्नलिखित कारकों को क्रमिक रूप से इसमें पेश किया जाता है और सबसे प्रभावशाली कारकों की जोड़ी निर्धारित की जाती है, फिर पहले दो में एक और कारक जोड़ा जाता है और सर्वोत्तम तीन कारक निर्धारित किए जाते हैं, आदि। प्रत्येक चरण में, एक प्रतिगमन मॉडल बनाया जाता है और कारकों के महत्व का परीक्षण किया जाता है। मॉडल में केवल महत्वपूर्ण कारकों को शामिल किया गया है। किसी कारक के महत्व का परीक्षण करने के लिए, छात्र के टी परीक्षण या फिशर के आंशिक परीक्षण का उपयोग किया जा सकता है। प्रक्रिया तब समाप्त होती है जब मॉडल में शामिल करने के लिए कोई और कारक नहीं होते हैं।

2. बहिष्करण की विधि. एक प्रतिगमन समीकरण का निर्माण कारकों के एक पूरे सेट के साथ किया जाता है, जिसमें से महत्वहीन या कम से कम महत्वपूर्ण कारकों को क्रमिक रूप से बाहर रखा जाता है। प्रत्येक चरण में, केवल एक कारक को बाहर रखा जाता है, क्योंकि एक कारक को समाप्त करने के बाद, दूसरा कारक, जो पहले महत्वहीन था, महत्वपूर्ण हो सकता है। प्रक्रिया तब समाप्त होती है जब बाहर करने के लिए कोई और कारक नहीं रह जाते हैं।

समावेशन और बहिष्करण विधियाँ कारकों के इष्टतम सेट के निर्धारण की गारंटी नहीं देती हैं, लेकिन ज्यादातर मामलों में वे ऐसे परिणाम प्रदान करते हैं जो या तो इष्टतम होते हैं या उनके करीब होते हैं। मॉडल में बहुत बड़ी संख्या में कारकों को शामिल करने की अनुशंसा नहीं की जाती है, क्योंकि इससे गुणात्मक पैटर्न की पहचान करना मुश्किल हो सकता है और मॉडल में महत्वहीन यादृच्छिक कारकों को शामिल करने का जोखिम बढ़ जाता है। विश्वसनीय पैरामीटर अनुमान प्राप्त करने के लिए, यह वांछनीय है कि अवलोकनों की संख्या निर्धारित किए जाने वाले मापदंडों की संख्या से कम से कम 6-7 गुना अधिक हो।

कारकों का चयन करने और विश्लेषणात्मक निर्भरता के प्रकार को चुनने के बाद, मॉडल मापदंडों का मूल्यांकन किया जाता है। मॉडल मापदंडों का अनुमान लगाते समय, टिप्पणियों की पहले से तैयार सरणी का उपयोग प्रारंभिक डेटा के रूप में किया जाता है। अनुमानों की गुणवत्ता निष्पक्षता, स्थिरता और दक्षता जैसे गुणों की उपस्थिति से निर्धारित होती है। एक पैरामीटर अनुमान को निष्पक्ष कहा जाता है यदि इसकी गणितीय अपेक्षा अनुमानित पैरामीटर के बराबर है। किसी पैरामीटर के अनुमान को सुसंगत कहा जाता है यदि अवलोकनों की संख्या बढ़ने पर यह अनुमानित पैरामीटर में संभाव्यता में परिवर्तित हो जाता है। एक पैरामीटर अनुमान को कुशल माना जाता है यदि इसमें समान आकार n के नमूनों से गणना किए गए संभावित निष्पक्ष पैरामीटर अनुमानों के बीच सबसे छोटा भिन्नता हो।

अध्याय 2. डिज़ाइन भाग

2.1 अर्थमितीय अनुसंधान के लिए सूचना और पद्धति संबंधी समर्थन।

अर्थमितीय अनुसंधान पद्धति में निम्नलिखित चरण शामिल हैं: विशिष्टता; मानकीकरण, सत्यापन, अतिरिक्त शोध।

1. युग्मित और एकाधिक प्रतिगमन समीकरण मॉडल की विशिष्टता में प्रत्येक व्याख्यात्मक चर पर निर्भर चर की सहसंबंध निर्भरता का विश्लेषण शामिल है। विश्लेषण के परिणामों के आधार पर, प्रतिगमन समीकरण मॉडल के बारे में एक निष्कर्ष निकाला जाता है। इस चरण के परिणामस्वरूप, प्रतिगमन समीकरण मॉडल निर्धारित किया जाता है।

2. जोड़ीवार प्रतिगमन समीकरण के पैरामीटरीकरण में प्रतिगमन मापदंडों का अनुमान लगाना और उनकी सामाजिक-आर्थिक व्याख्या शामिल है। पैरामीटराइज़ेशन के लिए, MsExcel "डेटा विश्लेषण" ऐड-ऑन के हिस्से के रूप में "रिग्रेशन" टूल का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है। स्वचालित प्रतिगमन विश्लेषण के परिणामों के आधार पर, प्रतिगमन पैरामीटर निर्धारित किए जाते हैं और उनकी व्याख्या भी दी जाती है।

इस प्रकार, युग्मित प्रतिगमन के एक अर्थमितीय अध्ययन में प्रतिगमन समीकरणों के मापदंडों की गणना करना, त्रुटि भिन्नताओं और मॉडल मापदंडों के भिन्नताओं का आकलन करना, लोच गुणांक का उपयोग करके एक कारक और परिणाम के बीच संबंध की ताकत का आकलन करना, रिश्ते की निकटता का आकलन करना, मूल्यांकन करना शामिल है। सन्निकटन की औसत त्रुटि का उपयोग करके समीकरण की गुणवत्ता, फिशर के एफ परीक्षण का उपयोग करके प्रतिगमन समीकरणों की सांख्यिकीय विश्वसनीयता का आकलन करना।

युग्मित प्रतिगमन का निर्माण और विश्लेषण करने के लिए, सांख्यिकीय वार्षिकी से यूरोपीय संघ के बीस सबसे बड़े देशों की एक सूची का चयन किया गया था, अर्थात् स्थायी निवास के लिए देश में आने वाले लोगों की संख्या और कर्मचारियों की नाममात्र वार्षिक मजदूरी।

सहसंबंध गुणांक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

कहाँ

सहसंबंध गुणांक अध्ययन की जा रही घटनाओं के बीच घनिष्ठ संबंध को दर्शाता है।

युग्मित प्रतिगमन समीकरण बनाने के लिए, संभावित प्रतिगमन समीकरणों पर विचार करना आवश्यक है:

1. रैखिक निर्भरता
2. घातीय संबंध
3. द्विघात निर्भरता
4. घन निर्भरता

प्रतिगमन मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए, हम इन सभी मॉडलों पर न्यूनतम वर्ग विधि (ओएलएस) लागू करते हैं।

विधि का विचार अवलोकनों के एक सेट का सर्वोत्तम सन्निकटन प्राप्त करना है x i , y i , i = 1,…, n कार्यात्मकता को न्यूनतम करने के अर्थ में रैखिक कार्य:

मापदंडों की गणना करने के लिएए और बी रैखिक प्रतिगमन के संबंध में समीकरणों की एक प्रणाली को हल करता हैए और बी.

जिससे पैरामीटर अनुमान निर्धारित किया जा सकता हैए और बी.

टी विद्यार्थी की परीक्षा.

एक परिकल्पना सामने रखी गई हैएच 0 सूचक की यादृच्छिक प्रकृति के बारे में, अर्थात्। इसका शून्य से नगण्य अंतर है।एच 0 : =0

घातीय वक्र समीकरण का निर्माण समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक लेकर चर के रैखिककरण की प्रक्रिया से पहले होता है:

मॉडल समीकरण के पैरामीटर निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके पाए जाते हैं:

एक रेखीय समीकरण प्राप्त होता है.

एक्स , सैद्धांतिक मूल्य परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं। उनके आधार पर, कनेक्शन सहसंबंध सूचकांक की निकटता के संकेतक की गणना की जाती है।

इस गुणांक का उपयोग करके महत्व की जाँच की जाती हैटी विद्यार्थी की परीक्षा.

त्रुटि भिन्नताओं और मॉडल मापदंडों के भिन्नताओं के अनुमान की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

प्रतिस्थापन करके द्विघात वक्र का समीकरण बनाया जाता है

समीकरण में वास्तविक मानों को प्रतिस्थापित करनाएक्स

इस गुणांक का उपयोग करके महत्व की जाँच की जाती हैटी विद्यार्थी की परीक्षा.

त्रुटि भिन्नताओं और मॉडल मापदंडों के भिन्नताओं के अनुमान की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

घनीय वक्र का समीकरण प्रतिस्थापन करके बनाया जाता है

इसका परिणाम एक रेखीय समीकरण में होता है

इस समीकरण में वास्तविक मानों को प्रतिस्थापित करनाएक्स , सैद्धांतिक मूल्य परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं। उनका उपयोग करके, हम कनेक्शन निकटता सहसंबंध सूचकांक के संकेतक की गणना करेंगे।

इस गुणांक का उपयोग करके महत्व की जाँच की जाती हैटी विद्यार्थी की परीक्षा.

त्रुटि भिन्नताओं और मॉडल मापदंडों के भिन्नताओं के अनुमान की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

औसत लोच गुणांक दर्शाता है कि जब कारक x अपने औसत मूल्य से 1% बदलता है तो परिणाम y अपने औसत मूल्य से औसतन कितने प्रतिशत बदल जाएगा:

निर्धारण का गुणांक निर्मित मॉडल की गुणवत्ता का आकलन प्रदान करता है। निर्धारण का गुणांक परिणामी विशेषता y के विचरण के अनुपात को दर्शाता है, जो परिणामी विशेषता के कुल विचरण में प्रतिगमन द्वारा समझाया गया है।

निर्धारण का गुणांक सहसंबंध सूचकांक के वर्ग के बराबर है। एकता के जितना करीब होगा, फिट की गुणवत्ता उतनी ही बेहतर होगी, यानी। y का अधिक सटीक अनुमान लगाता है।

सन्निकटन की औसत त्रुटि, वास्तविक मानों से परिकलित मानों का औसत विचलन:

मूल्यों की अनुमेय सीमा 8-10% से अधिक नहीं है।

प्रतिगमन समीकरण के महत्व का उपयोग करके आकलन किया जाता हैएफ -फिशर मानदंड. इस मामले में, वास्तविक और अवशिष्ट भिन्नताओं की समानता के बारे में एक शून्य परिकल्पना सामने रखी गई है, और इसलिए कारकएक्स पर कोई प्रभाव नहीं पड़तावाई, यानी

एच 0 : डी वास्तविक = डी बाकी

ऐसा करने के लिए, वास्तविक और महत्वपूर्ण (सारणीबद्ध) मूल्यों के बीच तुलना की जाती हैएफ -फिशर मानदंड. कारक और अवशिष्ट भिन्नताओं के मूल्यों के अनुपात से निर्धारित:

स्वतंत्रता की दी गई डिग्री और महत्व के स्तर के साथ यादृच्छिक कारकों के प्रभाव में मानदंड का अधिकतम संभव मूल्य। महत्व स्तर एक सही परिकल्पना को अस्वीकार करने की संभावना है, बशर्ते कि वह सत्य हो।

अगर<, то отклоняется и признается статистическая значимость и надежность уравнения регрессии, иначе - принимается и делается вывод о не значимости уравнения регрессии.

3. एकाधिक प्रतिगमन समीकरण के पैरामीटरीकरण में प्रतिगमन मापदंडों का अनुमान लगाना और उनकी सामाजिक-आर्थिक व्याख्या शामिल है। पैरामीटराइज़ेशन के लिए, MsExcel "डेटा विश्लेषण" ऐड-ऑन के हिस्से के रूप में "रिग्रेशन" टूल का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है। स्वचालित प्रतिगमन विश्लेषण के परिणामों के आधार पर, प्रतिगमन पैरामीटर निर्धारित किए जाते हैं और उनकी व्याख्या भी दी जाती है।

स्वचालित प्रतिगमन विश्लेषण के परिणामों के आधार पर प्रतिगमन समीकरण को सत्यापित किया जाता है।

इस प्रकार, एकाधिक प्रतिगमन के अर्थमितीय अध्ययन में एकाधिक प्रतिगमन समीकरण का निर्माण, प्रत्येक कारक के लिए लोच गुणांक की गणना और परिणाम के साथ प्रत्येक कारक के संबंध की ताकत का तुलनात्मक मूल्यांकन, निर्मित मॉडल की आर्थिक व्याख्या शामिल है। सहसंबंध मैट्रिक्स का निर्माण, एकाधिक सहसंबंध गुणांक की गणना, मॉडल त्रुटि भिन्नताओं के अनुमानों की गणना और मॉडल पैरामीटर के अनुमान, चयनित महत्व स्तर के साथ मॉडल गुणांक के लिए आत्मविश्वास अंतराल का निर्माण, प्रत्येक गुणांक के महत्व की जांच करना, आकलन करना रिश्ते की निकटता, फिशर के एफ परीक्षण का उपयोग करके प्रतिगमन समीकरण की सांख्यिकीय विश्वसनीयता का आकलन करना।

एकाधिक प्रतिगमन का निर्माण और विश्लेषण करने के लिए, स्थायी निवास के लिए देश में आने वाले लोगों की संख्या को प्रभावित करने वाले कई कारकों को ध्यान में रखते हुए मॉडल में कई और संकेतक पेश किए जाते हैं। अर्थात्, बेरोजगारों की संख्या और देश की जीडीपी जैसे कारक।

कई अज्ञात चर के साथ एकाधिक प्रतिगमन संबंध समीकरण:

कहां क्यों आश्रित चर (परिणामी विशेषता),

स्वतंत्र चर (कारक)।

एकाधिक प्रतिगमन समीकरण बनाने के लिए, मैट्रिक्स रूप में लिखे गए एक रैखिक फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है:

कहाँ,

एकाधिक प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए, न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग किया जाता है:

समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का निर्माण किया गया है, जिसका समाधान हमें प्रतिगमन मापदंडों का अनुमान प्राप्त करने की अनुमति देता है:

इसका स्पष्ट समाधान आमतौर पर मैट्रिक्स रूप में लिखा जाता है, अन्यथा यह बहुत बोझिल हो जाता है।

मैट्रिक्स रूप में मॉडल मापदंडों का अनुमान अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एक्स व्याख्यात्मक चर के मूल्यों का मैट्रिक्स;

वाई आश्रित चर के मानों का वेक्टर।

किराए के श्रमिकों के नाममात्र वार्षिक वेतन, बेरोजगारों की संख्या और सकल घरेलू उत्पाद के स्तर पर स्थायी निवास के लिए आने वाले लोगों की संख्या की निर्भरता की पहचान करने के लिए, हम इस रूप में एक एकाधिक प्रतिगमन समीकरण का निर्माण करेंगे:

कारकों के प्रभाव की सापेक्ष शक्ति को चिह्नित करनाय आइए औसत लोच गुणांक की गणना करें। रैखिक प्रतिगमन के लिए औसत लोच गुणांक की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

एक रैखिक निर्भरता के साथ, एकाधिक सहसंबंध गुणांक को युग्मित सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है:

युग्मित सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स का निर्धारक कहां है;

इंटरफैक्टर सहसंबंध मैट्रिक्स का निर्धारक।

जोड़ी सहसंबंध गुणांक का मैट्रिक्स:

इंटरफैक्टर सहसंबंध मैट्रिक्स:

त्रुटि भिन्नताओं और मॉडल मापदंडों के भिन्नताओं के अनुमान की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

प्रतिगमन गुणांक के सांख्यिकीय महत्व का आकलन करने के लिए, हम गणना करते हैंटी - प्रत्येक पैरामीटर के लिए छात्र का परीक्षण और आत्मविश्वास अंतराल। संकेतकों की यादृच्छिक प्रकृति के बारे में एक परिकल्पना सामने रखी गई है, अर्थात। शून्य से उनके नगण्य अंतर के बारे में। हमें परिकल्पनाओं का एक सेट मिलता है:

: बी 0 =0; बी 1 =0; बी 2 =0; बी 3 =0

टी -छात्र का टी-टेस्ट उनके मूल्यों की तालिका मूल्य के साथ तुलना करके किया जाता है, जिसकी गणना छात्र के वितरण की मात्रा के रूप में की जाती है, जहां महत्व स्तर सही परिकल्पना को अस्वीकार करने की संभावना है, बशर्ते कि यह सत्य हो।

आत्मविश्वास अंतराल की गणना करने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग करें:

समग्र रूप से निर्मित मॉडल की गुणवत्ता का आकलन निर्धारण के गुणांक द्वारा किया जाता है। एकाधिक निर्धारण के गुणांक की गणना एकाधिक सहसंबंध सूचकांक के वर्ग के रूप में की जाती है:।

एकाधिक निर्धारण के समायोजित सूचकांक में स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के लिए सुधार होता है और सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

कहां एन अवलोकनों की संख्या;

एम कारकों की संख्या.

समग्र रूप से एकाधिक प्रतिगमन समीकरण के महत्व के साथ-साथ युग्मित प्रतिगमन का उपयोग करके मूल्यांकन किया जाता हैएफ- फिशर परीक्षण:

इस मामले में, प्रतिगमन समीकरण के महत्व के बारे में एक परिकल्पना सामने रखी गई है:

अंत में, प्रतिगमन समीकरण की गुणवत्ता के बारे में एक निर्णय बनता है।

4. प्रतिगमन मॉडल का तुलनात्मक विश्लेषण किया जाता है।

2.2. अर्थमितीय अध्ययन का एक उदाहरण.

सांख्यिकीय आंकड़ों के आधार पर, अर्थमितीय अनुसंधान खंड 2.1 की पद्धति के अनुसार किया जाता है।

सभी आवश्यक गणनाएँ MS Excel का उपयोग करके की जाती हैं, मैन्युअल गणनाएँ की जाती हैं, और प्राप्त परिणामों की जाँच डेटा विश्लेषण पैकेज "रिग्रेशन" के कार्यों का उपयोग करके की जाती है।

रैखिक जोड़ी सहसंबंध गुणांक है:

0,504652547

सहसंबंध गुणांक का एक सकारात्मक मूल्य है और यह संकेतक के बीच एक मध्यम प्रत्यक्ष संबंध के बराबर है y और कारक x : किसी देश के श्रमिकों के औसत वार्षिक वेतन में वृद्धि के साथ, देश में आने वाले लोगों की संख्या बढ़ जाती है।

2. युग्मित प्रतिगमन का निर्माण और विश्लेषण किया जाता है। प्रारंभिक डेटा तालिका 1 में प्रस्तुत किया गया है।

तालिका 1. युग्मित प्रतिगमन के निर्माण और विश्लेषण के लिए प्रारंभिक डेटा

य - स्थायी निवास के लिए देश में आने वाले लोगों की संख्या, हजार लोग;

विश्लेषण के परिणामस्वरूप, यह स्थापित करना आवश्यक है कि देश में किराए के श्रमिकों की मजदूरी देश में स्थायी निवास के लिए आने वाले लोगों की संख्या को कितना प्रभावित करती है।

पैरामीटर अनुमानए और बी.

प्रतिगमन समीकरण:

प्रतिगमन गुणांकबी =4.279 एक इकाई द्वारा कारक में बदलाव के साथ परिणाम में औसत परिवर्तन दिखाता है: किराए पर श्रमिकों के वार्षिक वेतन में 1 हजार यूरो की वृद्धि के साथ। स्थायी निवास के लिए आगमन की संख्या में औसतन 4.279 हजार लोगों की वृद्धि होगी। प्रतिगमन गुणांक का सकारात्मक मान रिश्ते की प्रत्यक्ष दिशा को इंगित करता है।

रैखिक जोड़ी सहसंबंध गुणांक है:

0,504652547

कनेक्शन प्रत्यक्ष और मध्यम है.

2.47 टी टेबल (0.05;18) = 2.101

> टी टेबल , गुणांक महत्वपूर्ण है.

त्रुटि भिन्नताओं और मॉडल मापदंडों के भिन्नताओं के अनुमान की गणना की जाती है। अंतरिम गणनाएँ तालिका 2 में प्रस्तुत की गई हैं।

10765,218 = 1477,566815 = 2,976774696

घातीय वक्र समीकरण का निर्माण.

प्रतिगमन पैरामीटर मान थे

0,068027 = 1,68049

प्राप्त रैखिक समीकरण है: .

पोटेंशिएशन के बाद:

सहसंबंध सूचकांक.

इस गुणांक की महत्ता के लिए जाँच की जाती है।

2.15 टी टैब (0.05;18) = 2.101

> टी टेबल , गुणांक महत्वपूर्ण है.

त्रुटि भिन्नताओं और मॉडल मापदंडों के भिन्नताओं के अनुमान की गणना की जाती है। अंतरिम गणनाएँ तालिका 3 में प्रस्तुत की गई हैं।

परिणामस्वरूप, निम्नलिखित मान प्राप्त हुए:

11483,75 = 452,87517 = 3,1754617

तालिका 2. रैखिक मॉडल के लिए मूल्यों की गणना

तालिका 3. घातीय मॉडल के लिए मूल्यों की गणना

द्विघात वक्र का समीकरण निर्मित होता है।

समीकरण पैरामीटर:

सहसंबंध सूचकांक.

इस गुणांक की महत्ता के लिए जाँच की जाती है।

3.41 टी टैब (0.05;18) = 2.101

> टी टेबल , गुणांक महत्वपूर्ण है.

त्रुटि भिन्नताओं और मॉडल मापदंडों के भिन्नताओं के अनुमान की गणना की जाती है। अंतरिम गणना तालिका 4 में प्रस्तुत की गई है।

परिणामस्वरूप, निम्नलिखित मान प्राप्त हुए:

8760,35808 = 743,283328 = 0,00123901

घनीय वक्र का समीकरण निर्मित होता है।

समीकरण पैरामीटर:

प्रतिगमन समीकरण इस प्रकार बनता है:

सहसंबंध सूचकांक.

इस गुणांक की महत्ता के लिए जाँच की जाती है।

4.38 टी टैब (0.05;18) = 2.101

> टी टेबल , गुणांक महत्वपूर्ण है.

त्रुटि भिन्नताओं और मॉडल मापदंडों के भिन्नताओं के अनुमान की गणना की जाती है। अंतरिम गणनाएँ तालिका 5 में प्रस्तुत की गई हैं।

परिणामस्वरूप, निम्नलिखित मान प्राप्त हुए:

6978.45007 = 514.7649432 = 5.9851ई-07

चरों के बीच संबंध का उच्चतम स्तर घन निर्भरता वाले मॉडल में है, क्योंकि क्यूबिक मॉडल में सहसंबंध गुणांक एकता के सबसे करीब है, और घातीय मॉडल में सबसे कम है। त्रुटियों और मॉडल मापदंडों के प्रसरण न्यूनतम घन मान लेते हैं।

तालिका 4. द्विघात मॉडल के लिए मानों की गणना

तालिका 5. घन मॉडल के लिए मूल्यों की गणना

औसत लोच गुणांक पाया जाता है।

रैखिक निर्भरता

1,250028395 %.

घातीय निर्भरता

1,2083965

नियोजित श्रमिकों के वार्षिक वेतन में 1% की वृद्धि के साथ, स्थायी निवास के लिए देश में आने वाले लोगों की संख्या बढ़ जाती है 1,2083965 % .

द्विघात निर्भरता

नियोजित श्रमिकों के वार्षिक वेतन में 1% की वृद्धि के साथ, स्थायी निवास के लिए देश में आने वाले लोगों की संख्या बढ़ जाती है 1,24843054 % .

घन निर्भरता

0,938829224

नियोजित श्रमिकों के वार्षिक वेतन में 1% की वृद्धि के साथ, स्थायी निवास के लिए देश में आने वाले लोगों की संख्या बढ़ जाती है 0,938829224 % .

लोच गुणांक तालिका 6 में दिखाए गए हैं।

सभी निर्मित मॉडल इस बात की पुष्टि करते हैं कि किराए के श्रमिकों की मजदूरी देश में स्थायी निवास के लिए आने वाले लोगों की संख्या में वृद्धि का एक कारक है। लोच गुणांक से पता चलता है कि किराए के श्रमिकों की वार्षिक मजदूरी देश में रैखिक और द्विघात निर्भरता के साथ स्थायी निवास के लिए आने वाले लोगों की संख्या पर अधिक प्रभाव डालती है। कुछ हद तक, इस संबंध को घन निर्भरता में खोजा जा सकता है।

निर्धारण का गुणांक पाया जाता है।

रैखिक निर्भरता

प्रतिगमन समीकरण प्रभावी विशेषता के 25% विचरण की व्याख्या करता है, और शेष कारक इसके 75% विचरण के लिए जिम्मेदार हैं।

रैखिक निर्भरता मॉडल मूल डेटा का अच्छी तरह से अनुमान नहीं लगाता है।

घातीय निर्भरता =

संकेतकों के बीच संबंध रैखिक मॉडल की तरह ही कमजोर है। उतार-चढ़ावकेवल 20% भिन्नता द्वारा समझाया गयाएक्स , और शेष कारक 80% के लिए जिम्मेदार हैं। इस मॉडल में कनेक्शन सबसे कमजोर है. इसलिए, मॉडल की गुणवत्ता असंतोषजनक है.

द्विघात निर्भरता

संकेतकों के बीच संबंध घातीय और रैखिक मॉडल की तुलना में थोड़ा बेहतर है। Y में भिन्नता को x में भिन्नता द्वारा केवल 40% समझाया गया है। पूर्वानुमान के लिए इस मॉडल का उपयोग करना भी उचित नहीं है।

घन निर्भरता

संकेतकों के बीच संबंध पिछले मॉडलों की तुलना में बेहतर है। Y में 52% भिन्नता को x में भिन्नता द्वारा समझाया गया है।

निर्धारण के गुणांकों के मान तालिका 6 में प्रस्तुत किए गए हैं।

तालिका 6. मॉडलों के मापदंडों और विशेषताओं की गणना।

निर्मित मॉडलों की गुणवत्ता निम्न है, घन निर्भरता वाले मॉडल का गुणवत्ता स्कोर उच्चतम था, क्योंकि स्पष्ट भिन्नता का हिस्सा 52% था।

सन्निकटन की औसत त्रुटि वास्तविक मानों से परिकलित मानों का औसत विचलन निर्धारित करती है:

रैखिक मॉडल = 1153,261 %

औसतन, परिकलित मान वास्तविक मानों से भिन्न होते हैं 1153,261 %, जो एक बहुत बड़ी सन्निकटन त्रुटि को इंगित करता है।

घातीय निर्भरता = 396,93259

सन्निकटन त्रुटि अन्य मॉडलों की तुलना में थोड़ी कम है, लेकिन अस्वीकार्य भी है।

द्विघात निर्भरता = 656,415018

एक उच्च सन्निकटन त्रुटि देखी गई है, जो समीकरण की फिटिंग की निम्न गुणवत्ता को इंगित करती है

घन निर्भरता = 409,3804652

सन्निकटन त्रुटि भी स्वीकार्य मूल्यों से काफी अधिक है।विचार किए गए सभी मॉडलों में, सन्निकटन की औसत त्रुटि अनुमेय मूल्यों से काफी अधिक है, और मॉडलों को मूल डेटा में फिट करने की गुणवत्ता बहुत कम है।

3. एकाधिक प्रतिगमन निर्माण और विश्लेषण किया जाता है।

एकाधिक प्रतिगमन के निर्माण के लिए प्रारंभिक डेटा तालिका 7 में दिया गया है।

तालिका 7. एकाधिक प्रतिगमन के निर्माण के लिए प्रारंभिक डेटा।

य - स्थायी निवास के लिए देश में आये लोगों की संख्या, हजार लोग:

एक्स 1 - कर्मचारियों का नाममात्र वार्षिक वेतन, हजार यूरो।

एक्स 2 - बेरोजगारों की संख्या, हजार लोग।

x 3 - सकल घरेलू उत्पाद, अरब यूरो।

प्रतिगमन समीकरण मापदंडों का अनुमान:

एकाधिक प्रतिगमन समीकरण:

औसत लोच गुणांक.

0,12026241 = -0,06319176 = 0,86930458

इन मानों की गणना तालिका 8 में दी गई है।

किराए के श्रमिकों की वार्षिक मजदूरी में औसत स्तर के 1% की वृद्धि के साथ, अन्य कारकों के अपरिवर्तित रहने पर, स्थायी निवास के लिए आने वाले लोगों की संख्या बढ़ जाती है 0,12 %.

बेरोजगारों की संख्या में औसत के 1% की वृद्धि के साथ, अन्य कारकों के अपरिवर्तित रहने पर, स्थायी निवास के लिए आने वाले लोगों की संख्या घट जाती है 0,06 %

सकल घरेलू उत्पाद में औसत के 1% की वृद्धि के साथ, अन्य कारकों के अपरिवर्तित रहने पर, स्थायी निवास के लिए आगमन की संख्या बढ़ जाती है 0,87 %

स्थायी निवास के लिए देश में आने वाले लोगों की संख्या में परिवर्तन सीधे तौर पर काम पर रखे गए श्रमिकों की वार्षिक मजदूरी और देश के सकल घरेलू उत्पाद के स्तर पर निर्भर करता है और बेरोजगारों की संख्या पर विपरीत रूप से निर्भर करता है, जो तार्किक धारणाओं का खंडन नहीं करता है। लोच गुणांक, कनेक्शन की ताकत के संकेतक के रूप में, दर्शाते हैं कि देश में आने वालों की संख्या में सबसे बड़ा परिवर्तन सकल घरेलू उत्पाद के मूल्य के कारण होता है, और सबसे छोटा बेरोजगारों की संख्या के कारण होता है।

एकाधिक सहसंबंध गुणांक की गणना की जाती है:

एकाधिक सहसंबंध सूचकांक मान 0 से 1 तक होता है।

औसत सन्निकटन त्रुटि की गणना की जाती है:

372,353247%

सन्निकटन की औसत त्रुटि का मान मूल डेटा के लिए मॉडल के खराब फिट को इंगित करता है।

तालिका 8. एकाधिक प्रतिगमन मॉडल की विशेषताओं के मूल्यों की गणना

स्थायी निवास के लिए देश में आने वाले लोगों की संख्या पर सभी कारकों का संयुक्त प्रभाव काफी बड़ा है। साथयुग्मित प्रतिगमन की तुलना में विचाराधीन संकेतक और इसे प्रभावित करने वाले कारकों के बीच संबंध मजबूत हुआ है (आर वाईएक्स =0.506). काफी मजबूत संबंध है.

यह ध्यान रखना आवश्यक है कि मॉडल में थोड़ी बहुसंरेखता है, जो इसकी अस्थिरता का संकेत दे सकती है, क्योंकि इंटरफैक्टर सहसंबंध मैट्रिक्स का निर्धारक 1 से काफी दूर है। अधिकतम जोड़ी सहसंबंध गुणांक कारकों के बीच मनाया जाता है x 1 और x 3 (r x 1 x 3 =0.595), जो समझने योग्य है, क्योंकि देश में औसत वार्षिक वेतन सीधे देश की जीडीपी पर निर्भर होना चाहिए।

त्रुटि भिन्नताओं और मॉडल मापदंडों के भिन्नताओं के अनुमान की गणना:

एन = प्रेक्षणों की संख्या 20,एम =4 पैरामीटरों की संख्या.

निर्मित मॉडल के लिए, त्रुटि विचरण अनुमान था:

6674,02207

मॉडल मापदंडों के भिन्नता का अनुमान:

मॉडल मापदंडों की मानक त्रुटियाँ:

प्राप्त आंकड़ों की अंतरिम गणना परिशिष्ट 8 में प्रस्तुत की गई है।

प्रतिगमन गुणांक के महत्व का आकलन करनाटी -छात्र का टी-टेस्ट।

अर्थ,<, значит коэффициенты являются статистически незначимыми и случайно отличаются от 0.

>, इसलिए यह सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है

निर्मित मॉडल के लिए, प्रतिगमन गुणांक के आत्मविश्वास अंतराल:

को छोड़कर, सभी प्राप्त प्रतिगमन गुणांक, सांख्यिकीय रूप से महत्वहीन हैं, उनके लिए विश्वास अंतराल काफी बड़ा है, जो मॉडल की अपर्याप्त गुणवत्ता का संकेत दे सकता है।

निर्मित मॉडल के लिए एकाधिक निर्धारण का गुणांक

निर्धारण का यह गुणांक दर्शाता है कि मॉडल की गुणवत्ता संतोषजनक है।

किसी अन्य चर के जुड़ने से यह आमतौर पर बढ़ जाता है। कनेक्शन की निकटता की संभावित अतिशयोक्ति से बचने के लिए, निर्धारण के एक समायोजित गुणांक का उपयोग किया जाता है। प्रेक्षणों की दी गई मात्रा के लिए, अन्य सभी चीजें समान होने पर, स्वतंत्र चर (पैरामीटर) की संख्या में वृद्धि के साथ, एकाधिक निर्धारण का समायोजित गुणांक कम हो जाता है। निर्मित मॉडल के लिए, निर्धारण के समायोजित और असमायोजित गुणांक के मान एक दूसरे से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न नहीं हैं, लेकिन चूंकि निर्धारण का समायोजित गुणांक थोड़ा कम हो गया, जो बताता है कि एक नया चर जोड़ने पर स्पष्ट प्रतिगमन के अनुपात में वृद्धि नगण्य है, और एक चर जोड़ना उचित नहीं है।

प्रतिगमन समीकरण का उपयोग करके उसके महत्व का आकलन करनाएफ -फिशर मानदंड.

एफ (0.05, एम -1, एन - एम )= एफ (0.05,1,18)= 4.413873

रैखिक मॉडल = 6,150512218

घातीय निर्भरता = 4,6394274

द्विघात निर्भरता = 11,6775003

घन निर्भरता = 19,25548322

सभी विचारित मॉडलों में<, гипотеза отвергается.

समग्र रूप से एकाधिक प्रतिगमन समीकरण का महत्वएफ- फिशर परीक्षण:

एफ टेबल के बाद से< F факт तो उसे स्वीकार नहीं किया जाता

4. अध्ययन के परिणामस्वरूप, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: सभी प्राप्त प्रतिगमन समीकरण महत्वपूर्ण हैं। नतीजों के मुताबिकएफ -परीक्षण और निर्धारण के गुणांक और सन्निकटन की औसत त्रुटि के संकेतक, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विचार किए गए युग्मित प्रतिगमन मॉडल के बीच अच्छी गुणवत्ता वाला कोई मॉडल नहीं है जिसका उपयोग पूर्वानुमान उद्देश्यों के लिए किया जा सके। हालाँकि, सबसे अच्छा मॉडल जो किसी देश के वेतनभोगी श्रमिकों के वार्षिक वेतन और स्थायी निवास के लिए देश में आने वाले लोगों की संख्या के बीच संबंध का वर्णन करता है, वह घन निर्भरता वाला एक मॉडल है, क्योंकि यह महत्वपूर्ण है, निर्धारण का गुणांक सबसे बड़ा होता है मूल्य और सन्निकटन की औसत त्रुटि अन्य मॉडलों की तुलना में इतनी बड़ी नहीं है, हालांकि यह स्वीकार्य मूल्य स्वीकार नहीं करता है।

सभी चार युग्मित प्रतिगमन मॉडल सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण हैं, हालांकि, निर्धारण के गुणांक के छोटे मूल्य और औसत सन्निकटन में बड़ी त्रुटियां इन मॉडलों की खराब गुणवत्ता का संकेत देती हैं।

इन समीकरणों के मापदंडों और विशेषताओं की तुलना करने के बाद, यह निष्कर्ष निकाला गया कि घन निर्भरता वाले मॉडल में सबसे बड़ी विश्वसनीयता और सटीकता है। यह सहसंबंध सूचकांक के उच्चतम मूल्य और, तदनुसार, निर्धारण के गुणांक से प्रमाणित होता है, जो 1 के सबसे करीब है और डेटा सन्निकटन के संदर्भ में मॉडल की सर्वोत्तम गुणवत्ता की पुष्टि करता है, एफ-परीक्षण के परिणाम, जिसने मान्यता दी मॉडल महत्वपूर्ण है, साथ ही औसत सन्निकटन त्रुटि भी है, जो अन्य मॉडलों की तुलना में छोटी है। इस मॉडल के लिए प्रतिगमन मापदंडों की मानक त्रुटियां और पूर्वानुमान की मानक त्रुटि भी छोटे मान लेती हैं।

एकाधिक प्रतिगमन समीकरण महत्वपूर्ण है, अर्थात मूल्यांकन की गई विशेषताओं की यादृच्छिक प्रकृति के बारे में परिकल्पना खारिज कर दी गई है। परिणामी मॉडल सांख्यिकीय रूप से विश्वसनीय है।

निष्कर्ष

अर्थमितीय अनुसंधान और डेटा विश्लेषण के परिणामस्वरूप, चार युग्मित प्रतिगमन समीकरणों पर विचार किया गया, जो देश में किराए के श्रमिकों के औसत वार्षिक वेतन और स्थायी निवास के लिए देश में आने वाले लोगों की संख्या के बीच संबंध स्थापित करते हैं। यह एक रैखिक मॉडल, घातीय मॉडल, द्विघात और घन निर्भरता वाले मॉडल हैं। सभी निर्मित मॉडल इस बात की पुष्टि करते हैं कि किराए के श्रमिकों की मजदूरी में वृद्धि देश में स्थायी निवास के लिए आने वाले लोगों की संख्या में वृद्धि का एक कारक है।

चरों के बीच संबंधों की निकटता का उच्चतम संकेतक घन निर्भरता वाले मॉडल में है, क्योंकि क्यूबिक मॉडल में निर्धारण का गुणांक सबसे बड़ा मूल्य लेता है, जो पाए गए प्रतिगमन समीकरण की सबसे बड़ी विश्वसनीयता को इंगित करता है। घन संबंध के रूप में एक मॉडल देश में स्थायी निवास के लिए आने वाले लोगों की संख्या और किराए के श्रमिकों की वार्षिक मजदूरी के बीच संबंध का सबसे अच्छा वर्णन करता है।सभी विचारित मॉडलों में, सन्निकटन की औसत त्रुटि स्वीकार्य मूल्यों से काफी अधिक है, जो मॉडलों की कम गुणवत्ता वाली फिट को इंगित करती है। हालाँकि, घन निर्भरता वाला मॉडल अनुमानित डेटा और रिश्ते की निकटता का आकलन करने के मामले में सबसे अच्छा है, क्योंकि इसमें अन्य मॉडलों की तुलना में स्पष्ट भिन्नता का सबसे बड़ा हिस्सा है - 52% (निर्धारण का गुणांक 1 के सबसे करीब है) .

विचार किए गए सभी मापदंडों के लिए, घन निर्भरता के साथ प्रतिगमन समीकरण उन सभी में सबसे अच्छा है जिन पर विचार किया गया है। लेकिन यह व्यावहारिक उपयोग और पूर्वानुमान के लिए इष्टतम नहीं है, जिसे डेटा के बड़े बिखराव के साथ-साथ इस तथ्य से समझाया गया है कि आप्रवासियों की संख्या कई कारकों पर निर्भर करती है जिन्हें युग्मित प्रतिगमन में ध्यान में नहीं रखा जा सकता है।

अध्ययन के तहत विशेषताओं के असामान्य मूल्यों के साथ इकाइयों के स्रोत डेटा में उपस्थिति के कारण मॉडल की पर्याप्त अच्छी विशेषताएं नहीं हो सकती हैं: यूके में, स्थायी निवास के लिए आगमन की संख्या अन्य देशों के लिए इस संकेतक की तुलना में काफी अधिक है। . अधिक सटीक और विश्वसनीय परिणाम प्राप्त करने के लिए शायद इस देश को नमूने से बाहर रखा जाना चाहिए।

एकाधिक प्रतिगमन के निर्माण के परिणामस्वरूप, देश के सकल घरेलू उत्पाद, बेरोजगारों की संख्या और किराए पर श्रमिकों की औसत वार्षिक मजदूरी जैसे कारकों के स्थायी निवास के लिए देश में आने वाले लोगों की संख्या पर प्रभाव की जांच की गई।

स्थायी निवास के लिए देश में आने वाले लोगों की संख्या में परिवर्तन सीधे तौर पर काम पर रखे गए श्रमिकों की वार्षिक मजदूरी और देश की जीडीपी के स्तर पर निर्भर करता है और बेरोजगारों की संख्या से विपरीत रूप से संबंधित होता है। देश में आगमन की संख्या में सबसे बड़ा परिवर्तन सकल घरेलू उत्पाद के मूल्य के कारण होता है, और सबसे छोटा बेरोजगारों की संख्या के कारण होता है।

एकाधिक सहसंबंध सूचकांक के बाद से, स्थायी निवास के लिए देश में आने वाले लोगों की संख्या पर सभी कारकों का संयुक्त प्रभाव काफी बड़ा हैउच्च मूल्य लेता है. हालाँकि, यह बहुसंरेखता की उपस्थिति के कारण हो सकता है।

कारक जीडीपी स्तर के गुणांक को छोड़कर एकाधिक प्रतिगमन समीकरण के सभी प्राप्त गुणांक सांख्यिकीय रूप से महत्वहीन हैं, उनके लिए विश्वास अंतराल काफी बड़ा है।

इसके बावजूद, निर्धारण का गुणांक दर्शाता है कि मॉडल की गुणवत्ता संतोषजनक है। एकाधिक प्रतिगमन समीकरण महत्वपूर्ण है, अर्थात मूल्यांकन की गई विशेषताओं की यादृच्छिक प्रकृति के बारे में परिकल्पना खारिज कर दी गई है।

हालाँकि, मॉडल में विषमलैंगिकता देखी जा सकती है, अर्थात। मॉडल को ठीक करने की आवश्यकता हो सकती है.

इन परिणामों को छोटे नमूने के आकार द्वारा समझाया जा सकता है, विशेष रूप से अध्ययन की वैश्विक प्रकृति को ध्यान में रखते हुए, अध्ययन की गई विशेषता के एक असामान्य मूल्य की उपस्थिति, किसी भी महत्वपूर्ण कारकों को ध्यान में रखने में विफलता, साथ ही तथ्य यह है कि देश में प्रवासियों की संख्या बड़ी संख्या में गैर-मात्रात्मक, व्यक्तिगत कारकों, व्यक्तिगत प्राथमिकताओं पर निर्भर करती है।

पूर्वानुमान और आगे के शोध के लिए उपयुक्त सटीक परिणाम और गुणात्मक प्रतिगमन समीकरण की कमी के बावजूद, अध्ययन से पता चला कि देश में काम पर रखे गए श्रमिकों की मजदूरी, बेरोजगारी दर और जीडीपी का देश में आने वाले लोगों की संख्या पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ता है। स्थायी निवास के लिए.

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एंबेड समीकरण.3

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मल्टीपल रिग्रेशन का मुख्य लक्ष्य बड़ी संख्या में कारकों के साथ एक मॉडल बनाना और परिणाम पर प्रत्येक कारक के प्रभाव को अलग-अलग निर्धारित करना है, साथ ही मॉडल किए गए संकेतक पर कारकों के कुल प्रभाव को निर्धारित करना है।

एकाधिक प्रतिगमन मॉडल के विनिर्देश में एक कारक का चयन और गणितीय फ़ंक्शन के प्रकार की पसंद (प्रतिगमन समीकरण के प्रकार की पसंद) शामिल है। एकाधिक प्रतिगमन में शामिल कारकों को मात्रात्मक रूप से मापने योग्य होना चाहिए और अंतरसंबंधित नहीं होना चाहिए, सटीक कार्यात्मक कनेक्शन में तो बिल्कुल भी नहीं होना चाहिए (यानी, उन्हें एक-दूसरे को कुछ हद तक प्रभावित करना चाहिए, और परिणामी विशेषता को अधिक हद तक प्रभावित करना चाहिए)।

एकाधिक प्रतिगमन में शामिल कारकों को स्वतंत्र चर में भिन्नता की व्याख्या करनी चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि कोई मॉडल - कारकों के सेट के साथ बनाया गया है, तो उसके लिए निर्धारण संकेतक का मान पाया जाता है, जो - कारकों के कारण परिणामी विशेषता की व्याख्या की गई भिन्नता के हिस्से को तय करता है।

मॉडल में अन्य बेहिसाब कारकों के प्रभाव का अनुमान संबंधित अवशिष्ट विचरण के रूप में लगाया जाता है।

जब मॉडल में एक अतिरिक्त कारक शामिल किया जाता है, तो निर्धारण संकेतक का मूल्य बढ़ना चाहिए, और अवशिष्ट विचरण का मूल्य कम होना चाहिए। यदि ऐसा नहीं होता है, तो अतिरिक्त कारक मॉडल में सुधार नहीं करता है और व्यावहारिक रूप से अनावश्यक है, और ऐसे कारक की शुरूआत से छात्र के टी-टेस्ट के अनुसार प्रतिगमन मापदंडों का सांख्यिकीय महत्व नहीं हो सकता है।

एकाधिक प्रतिगमन के लिए कारकों का चयन दो चरणों में किया जाता है:

1. समस्या की प्रकृति के आधार पर कारकों का चयन किया जाता है।

2. सहसंबंध संकेतकों के मैट्रिक्स के आधार पर, प्रतिगमन मापदंडों के आंकड़े निर्धारित किए जाते हैं।

व्याख्यात्मक चरों के बीच सहसंबंध गुणांक, जिसे अंतरसंबंध गुणांक भी कहा जाता है, मॉडल से डुप्लिकेट कारकों को बाहर करना संभव बनाता है।

यदि सहसंबंध गुणांक है तो दो चर स्पष्ट रूप से संरेख कहे जाते हैं।

यदि चर स्पष्ट रूप से संरेख हैं, तो वे एक मजबूत रैखिक संबंध में हैं।

स्पष्ट रूप से संरेख चर की उपस्थिति में, परिणाम से अधिक निकटता से संबंधित कारक को प्राथमिकता नहीं दी जाती है, बल्कि उस कारक को दी जाती है जिसका अन्य कारकों के साथ सबसे कम घनिष्ठ संबंध होता है।

जोड़ीवार सहसंबंध गुणांक के परिमाण के आधार पर, कारकों की केवल स्पष्ट संरेखता का पता चलता है।

एकाधिक प्रतिगमन का उपयोग करते समय, तथ्यों की बहुसंपार्श्विकता उत्पन्न हो सकती है, अर्थात। दो से अधिक कारक एक दूसरे से रैखिक संबंध द्वारा संबंधित होते हैं। ऐसे मामलों में, व्यक्तिगत कारकों का आकलन करते समय ओएलएस कम विश्वसनीय हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप किसी कारक की शुद्ध रूप में कार्रवाई की विशेषताओं के रूप में कई प्रतिगमन मापदंडों की व्याख्या करने में कठिनाई होती है। रैखिक प्रतिगमन पैरामीटर आर्थिक अर्थ खो देते हैं, पैरामीटर अनुमान अविश्वसनीय होते हैं, बड़ी मानक त्रुटियां उत्पन्न होती हैं, जो अवलोकनों की मात्रा में परिवर्तन के साथ बदल सकती हैं, यानी। मॉडल आर्थिक स्थिति के विश्लेषण और पूर्वानुमान के लिए अनुपयुक्त हो जाता है। किसी कारक की बहुसंपार्श्विकता का आकलन करने के लिए, निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया जाता है:

1. कारकों के बीच युग्मित सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स का निर्धारण, उदाहरण के लिए, यदि एक रैखिक एकाधिक प्रतिगमन मॉडल निर्दिष्ट किया गया है, तो युग्मित गुणांक के मैट्रिक्स का निर्धारक रूप लेगा:

यदि इस निर्धारक का मान 1 है

,

तब कारक एक-दूसरे से असंरेखित होते हैं।

यदि कारकों के बीच पूर्ण रैखिक संबंध है, तो सभी युग्म सहसंबंध गुणांक 1 के बराबर हैं, जिसके परिणामस्वरूप

.

2. चरों की स्वतंत्रता की परिकल्पना के परीक्षण की विधि। इस मामले में, शून्य परिकल्पना सिद्ध होती है कि मान स्वतंत्रता की कोटि की संख्या के साथ इसका अनुमानित वितरण होता है।

अगर , तो शून्य परिकल्पना अस्वीकृत हो जाती है।

किसी कारक के एकाधिक निर्धारण के गुणांकों का निर्धारण और तुलना करके, प्रत्येक कारक को आश्रित चर के रूप में क्रमिक रूप से उपयोग करके, बहुसंपार्श्विकता के लिए जिम्मेदार कारकों को निर्धारित करना संभव है, अर्थात। सबसे बड़े मूल्य वाला कारक।

मजबूत अंतरकारक सहसंबंध पर काबू पाने के निम्नलिखित तरीके हैं:

1) मॉडल से एक या अधिक डेटा का बहिष्करण;

2) सहसंबंध को कम करने के लिए कारकों का परिवर्तन;

3) प्रतिगमन समीकरणों का संयोजन जो न केवल कारकों को प्रतिबिंबित करेगा, बल्कि उनकी बातचीत को भी प्रतिबिंबित करेगा;

4) घटे हुए रूप समीकरण का संक्रमण, आदि।

एकाधिक प्रतिगमन समीकरण का निर्माण करते समय, सबसे महत्वपूर्ण चरणों में से एक मॉडल में शामिल कारकों का चयन है। विभिन्न तरीकों से सहसंबंध संकेतकों के आधार पर कारकों का चयन करने के लिए विभिन्न दृष्टिकोण, जिनमें से सबसे अधिक लागू:

1) बहिष्करण विधि - डेटा फ़िल्टर किया जाता है;

2) समावेशन विधि - एक अतिरिक्त कारक पेश किया गया है;

3) चरणबद्ध प्रतिगमन विश्लेषण - पहले से शुरू किए गए कारक को बाहर करें।

कारकों का चयन करते समय, निम्नलिखित नियम का उपयोग किया जाता है: शामिल कारकों की संख्या आमतौर पर उस जनसंख्या की मात्रा से 6-7 गुना कम होती है जिस पर मॉडल बनाया गया है।

पैरामीटर आर्थिक व्याख्या के अधीन नहीं है। पावर-लॉ मॉडल में, एक नॉनलाइनियर मल्टीपल रिग्रेशन समीकरण, गुणांक, ..., लोच गुणांक हैं जो दिखाते हैं कि औसतन, परिणाम कितना बदल जाएगा जब संबंधित कारक अन्य कारकों के प्रभाव से 1% बदलता है। अपरिवर्तित शेष.

गुणात्मक मॉडल के निर्माण के लिए बुनियादी मान्यताओं में से एक प्रतिगमन समीकरण का सही (अच्छा) विनिर्देश है। प्रतिगमन समीकरण के सही विनिर्देशन का अर्थ है कि यह आम तौर पर रुचि के चर और मॉडल में शामिल व्याख्यात्मक कारकों के बीच संबंध को सही ढंग से दर्शाता है। प्रतिगमन मॉडल के आगे गुणात्मक मूल्यांकन के लिए यह एक आवश्यक शर्त है।

किसी क्रियात्मक रूप या व्याख्यात्मक चरों के समुच्चय का गलत चयन कहलाता है विशिष्टता त्रुटियाँ,जिसके मुख्य प्रकार हैं.

• 1. एक महत्वपूर्ण चर को हटाना.इस त्रुटि का सार और इसके परिणाम निम्नलिखित उदाहरण द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाए गए हैं। विचाराधीन आर्थिक निर्भरता को प्रतिबिंबित करने वाले सैद्धांतिक मॉडल का रूप दें

यह मॉडल निम्नलिखित अनुभवजन्य प्रतिगमन समीकरण से मेल खाता है:

शोधकर्ता, किसी कारण से (जानकारी की कमी, शोध के विषय के बारे में सतही ज्ञान, आदि) का मानना ​​​​है कि चर Y वास्तव में केवल चर से प्रभावित होता है एक्स वाईयह मॉडल पर विचार करने तक ही सीमित है

साथ ही, वह X2 चर को एक व्याख्यात्मक चर नहीं मानता, जिससे एक आवश्यक चर को त्यागने की गलती हो जाती है।

मान लीजिए कि सैद्धांतिक समीकरण (9.28) के अनुरूप अनुभवजन्य प्रतिगमन समीकरण का रूप है

इस त्रुटि के परिणाम काफी गंभीर हैं. समीकरण (9.29) का उपयोग करके ओएलएस का उपयोग करके प्राप्त अनुमान पक्षपातपूर्ण हैं (एम[य* 0 ] एफख 0 , म[य*] एफ बी जी)और असीमित संख्या में परीक्षणों के बावजूद भी यह अस्थिर है। नतीजतन, संभावित अंतराल अनुमान और संबंधित परिकल्पनाओं के परीक्षण के परिणाम अविश्वसनीय होंगे।

इस त्रुटि के परिणाम पिछले मामले जितने गंभीर नहीं होंगे। 0 का अनुमान, मॉडल (9.30) के लिए पाए गए गुणांक, एक नियम के रूप में, निष्पक्ष रहते हैं (एम = बी 0, एम[य* 1 ] = बी 1)और अमीर. हालाँकि, उनकी सटीकता कम हो जाएगी, जबकि मानक त्रुटियाँ बढ़ जाएंगी, यानी अनुमान अक्षम हो जाएंगे, जिससे उनकी मजबूती प्रभावित होगी। यह निष्कर्ष इन समीकरणों के लिए प्रतिगमन गुणांक अनुमानों के भिन्नताओं की गणना से तार्किक रूप से अनुसरण करता है:

यहाँ rXiX2- व्याख्यात्मक चर के बीच सहसंबंध गुणांक एक्स 1 और एक्स 2.

इसलिए, और बराबर चिह्न संभव है

केवल जब

अनुमानों के फैलाव में वृद्धि से प्रतिगमन गुणांक के मूल्यों और अंतराल अनुमानों के विस्तार के संबंध में परिकल्पनाओं के परीक्षण के गलत परिणाम हो सकते हैं।

3. गलत कार्यात्मक रूप का चयन करना।हम निम्नलिखित उदाहरण से त्रुटि का सार स्पष्ट करते हैं। मान लीजिए कि सही प्रतिगमन मॉडल का रूप है

समान चर के साथ, लेकिन भिन्न कार्यात्मक रूप वाली कोई भी अन्य निर्भरता, वास्तविक निर्भरता के विरूपण की ओर ले जाती है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण में

प्रतिगमन समीकरण के गलत कार्यात्मक रूप को चुनने में गलती हुई थी। इस गलती के परिणाम बहुत गंभीर होंगे. आमतौर पर, ऐसी त्रुटि या तो पक्षपातपूर्ण अनुमानों की ओर ले जाती है या प्रतिगमन गुणांक और समीकरण गुणवत्ता के अन्य संकेतकों के अनुमानों के सांख्यिकीय गुणों में गिरावट लाती है। यह मुख्य रूप से विचलन के लिए गॉस-मार्कोव शर्तों के उल्लंघन के कारण होता है। इस मामले में मॉडल के पूर्वानुमानित गुण बहुत कम हैं।

प्रतिगमन समीकरणों का निर्माण करते समय, विशेष रूप से प्रारंभिक चरणों में, अध्ययन के तहत आर्थिक प्रक्रियाओं के बारे में सतही ज्ञान के कारण, या अपर्याप्त रूप से विकसित सिद्धांत के कारण, या निर्माण करते समय सांख्यिकीय डेटा के संग्रह और प्रसंस्करण में त्रुटियों के कारण विनिर्देश त्रुटियां अक्सर होती हैं। एक अनुभवजन्य प्रतिगमन समीकरण. इन त्रुटियों का पता लगाने और उन्हें ठीक करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। पता लगाने की प्रक्रिया की जटिलता त्रुटि के प्रकार और अध्ययन के तहत वस्तु के बारे में हमारे ज्ञान से निर्धारित होती है।

यदि प्रतिगमन समीकरण में एक महत्वहीन चर है, तो यह कम टी-सांख्यिकी के साथ दिखाई देगा। भविष्य में, इस चर को विचार से बाहर रखा गया है।

यदि समीकरण में कई सांख्यिकीय महत्वहीन व्याख्यात्मक चर हैं, तो इन महत्वहीन चर के बिना एक और प्रतिगमन समीकरण का निर्माण किया जाना चाहिए। फिर, एफ-सांख्यिकी का उपयोग करके, प्रारंभिक और अतिरिक्त प्रतिगमन समीकरणों के निर्धारण के गुणांक की तुलना की जाती है

जहाँ n प्रेक्षणों की संख्या है;

हा - मूल समीकरण में व्याख्यात्मक चर की संख्या;

को- मूल समीकरण से हटाए गए व्याख्यात्मक चर की संख्या।

इस स्थिति के लिए संभावित तर्क और निष्कर्ष पैराग्राफ 6.7.2 में दिए गए हैं।

हालाँकि, इन जाँचों को करना केवल प्रतिगमन समीकरण के प्रकार (कार्यात्मक रूप) के सही चयन के साथ ही समझ में आता है, जो कि सिद्धांत के अनुरूप होने पर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, फिलिप्स वक्र का निर्माण करते समय वेतन वाई और बेरोजगारी के बीच संबंध स्थापित करना एक्स,उलटा है. निम्नलिखित मॉडल संभव हैं:

ध्यान दें कि मॉडल का चुनाव हमेशा स्पष्ट रूप से नहीं किया जाता है और भविष्य में मॉडल की तुलना सैद्धांतिक और अनुभवजन्य डेटा दोनों से करना और उसमें सुधार करना आवश्यक है। आइए याद रखें कि किसी मॉडल की गुणवत्ता निर्धारित करते समय, आमतौर पर निम्नलिखित मापदंडों का विश्लेषण किया जाता है:

• ए) निर्धारण का समायोजित गुणांक I;
• बी) टी-सांख्यिकी;
• ग) डर्बिन-वाटसन डीडब्ल्यू आँकड़े;
• घ) सिद्धांत के साथ गुणांक के संकेतों की संगति;
• ई) मॉडल के पूर्वानुमानित गुण (त्रुटियाँ)।

यदि ये सभी संकेतक संतोषजनक हैं, तो अध्ययन के तहत वास्तविक प्रक्रिया का वर्णन करने के लिए इस मॉडल का प्रस्ताव किया जा सकता है। यदि ऊपर वर्णित कोई भी विशेषता संतोषजनक नहीं है, यानी, इस मॉडल की गुणवत्ता पर संदेह करने का कारण है (समीकरण का कार्यात्मक रूप गलत तरीके से चुना गया है; एक महत्वपूर्ण व्याख्यात्मक चर को ध्यान में नहीं रखा गया है; एक व्याख्यात्मक चर है जिसका आश्रित चर पर कोई महत्वपूर्ण प्रभाव नहीं पड़ता है)।

• एक गैर-महत्वपूर्ण चर जोड़ना. कुछ मामलों में, प्रतिगमन समीकरणों में बहुत सारे व्याख्यात्मक चर शामिल किए जाते हैं, और हमेशा उचित रूप से नहीं। उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक मॉडल का रूप निम्नलिखित है। शोधकर्ता को इसे एक अधिक जटिल मॉडल से बदलने दें: साथ ही एक व्याख्यात्मक चर X2 जोड़ना जिसका Y पर वास्तविक प्रभाव नहीं पड़ता है। इस स्थिति में, एक महत्वहीन चर जोड़ने की त्रुटि होती है।