आपत्ति, इंजेक्शन और आक्षेप

मैपिंग f: X (या फ़ंक्शन /) को परिभाषित करने वाला नियम पारंपरिक रूप से तीरों द्वारा दर्शाया जा सकता है (चित्र 2.1)। यदि सेट Y में कम से कम एक तत्व है जिसकी ओर कोई भी तीर इंगित नहीं करता है, तो यह इंगित करता है कि फ़ंक्शन f के मानों की सीमा संपूर्ण सेट Y को नहीं भरती है, अर्थात। एफ(एक्स) सी वाई।

यदि मानों की श्रेणी / Y के साथ मेल खाती है, अर्थात। f(X) = Y, तो ऐसे फ़ंक्शन को विशेषण कहा जाता है) या, संक्षेप में, अनुमान, और फ़ंक्शन / को सेट X को सेट Y पर मैप करने के लिए कहा जाता है (सेट X को मैप करने के सामान्य मामले के विपरीत) परिभाषा 2.1 के अनुसार सेट Y)। तो, / : X एक अनुमान है यदि Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y। इस मामले में, चित्र में, कम से कम एक तीर सेट Y के प्रत्येक तत्व की ओर जाता है (चित्र 2.2)। इस मामले में, कई तीर Y से कुछ तत्वों की ओर ले जा सकते हैं। यदि एक से अधिक तीर किसी तत्व y € Y की ओर नहीं ले जाता है, तो / को इंजेक्शन फ़ंक्शन या इंजेक्शन कहा जाता है। यह फ़ंक्शन आवश्यक रूप से विशेषणात्मक नहीं है, अर्थात तीर समुच्चय Y के सभी तत्वों तक नहीं ले जाते (चित्र 2.3)।

• तो, फ़ंक्शन /: आपत्ति, इंजेक्शन और आक्षेप। रिवर्स मैपिंग. मैपिंग की संरचना सेट का एक उत्पाद है। प्रदर्शन कार्यक्रम. मैपिंग /: Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.

वास्तव में, इस मामले में फ़ंक्शन / सेट X और Y के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करता है, और इसलिए इसे अक्सर एक-से-एक फ़ंक्शन कहा जाता है। जाहिर है, एक फलन/विशेषण तभी होता है जब वह विशेषण और विशेषण दोनों हो। इस स्थिति में, तीर (चित्र 2.4) मैपिंग की परिभाषा 2.1 में छवि की विशिष्टता की आवश्यकता के कारण Y से कोई भी दो तत्वों को X से एक ही तत्व से तीरों द्वारा नहीं जोड़ा जा सकता है। X का प्रत्येक तत्व जोड़ीदार कनेक्शन में भाग लेता है, क्योंकि X फ़ंक्शन / का डोमेन है। अंत में, Y से प्रत्येक तत्व भी जोड़े में से एक में भाग लेता है, क्योंकि / विशेषण है। इस मामले में एक्स और वाई की भूमिकाएं पूरी तरह से समान प्रतीत होती हैं, और यदि हम सभी तीरों को पीछे की ओर घुमाते हैं (चित्र 2.5), तो हमें एक अलग मैपिंग या एक अलग फ़ंक्शन डी मिलता है), जो इंजेक्शन और विशेषण भी है। मैपिंग (फ़ंक्शन) जो इस तरह के व्युत्क्रमण की अनुमति देते हैं, निम्नलिखित में महत्वपूर्ण भूमिका निभाएंगे।

किसी विशेष मामले में, समुच्चय X और Y संपाती हो सकते हैं (X = Y)। फिर विशेषण फ़ंक्शन सेट X को स्वयं पर मैप करेगा। किसी समुच्चय का स्वयं पर आक्षेपण भी परिवर्तन कहलाता है। 2.3. व्युत्क्रम मानचित्रण Let /: X -? Y एक निश्चित आक्षेप है और मान लीजिए y € Y. आइए हम एकमात्र तत्व x € X को /_1(y) से निरूपित करें जिससे कि /(r) = y हो। इस प्रकार हम कुछ मैपिंग 9 को परिभाषित करते हैं: Y Xу जो फिर से एक आक्षेप है। इसे व्युत्क्रम मानचित्रण, या / का व्युत्क्रम आक्षेप कहा जाता है। अक्सर इसे केवल व्युत्क्रम फलन भी कहा जाता है और इसे /"* से दर्शाया जाता है। चित्र 2.5 में, फलन d बिल्कुल / का व्युत्क्रम है, अर्थात d = f"1।

समस्याओं में समाधान के उदाहरण

मैपिंग (फ़ंक्शन) / और परस्पर विपरीत हैं। यह स्पष्ट है कि यदि कोई फलन आक्षेप नहीं है, तो उसका व्युत्क्रम फलन अस्तित्व में नहीं है। वास्तव में, यदि / इंजेक्शन नहीं है, तो कुछ तत्व y € Y सेट X से कई तत्वों x के अनुरूप हो सकते हैं, जो एक फ़ंक्शन की परिभाषा का खंडन करता है। यदि / विशेषण नहीं है, तो Y में ऐसे तत्व हैं जिनके लिए X में कोई पूर्वछवियाँ नहीं हैं, अर्थात। इन तत्वों के लिए व्युत्क्रम फलन परिभाषित नहीं है। उदाहरण 2.1. एक। मान लीजिए X = Y = R - वास्तविक संख्याओं का एक समुच्चय। फ़ंक्शन /, सूत्र y = For - 2, i,y € R द्वारा परिभाषित, एक आक्षेप है। व्युत्क्रम फलन x = (y + 2)/3 है। बी। वास्तविक चर x का वास्तविक फलन f(x) = x2 विशेषणात्मक नहीं है, क्योंकि Y = R से ऋणात्मक संख्याएँ X = K से तत्वों की छवियां नहीं हैं क्योंकि /: Γ -> Y। उदाहरण 2.2. मान लीजिए A" = R, और Y = R+ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। फलन f(x) = ax, a > 0, af 1, एक आक्षेप है। व्युत्क्रम फलन Z"1 (Y) = होगा 1°8a Y

• आपत्ति, इंजेक्शन और आक्षेप। रिवर्स मैपिंग. मैपिंग की संरचना सेट का एक उत्पाद है। प्रदर्शन कार्यक्रम. 2.4. मैपिंग की संरचना यदि f:X-*Y और g:Y-*Zy है तो मैपिंग (p:X -+Z, प्रत्येक a: 6 A" के लिए सूत्र = द्वारा परिभाषित, मैपिंग की संरचना (सुपरपोजिशन) कहलाती है (फ़ंक्शन) / और d> या एक जटिल फ़ंक्शन, और इसे rho/ नामित किया गया है (चित्र 2.6)।
• इस प्रकार, f से पहले एक जटिल फ़ंक्शन नियम लागू करता है: i Apply / पहले, और फिर di, यानी। संचालन की संरचना में “पहले / आपको ऑपरेशन शुरू करना होगा / दाईं ओर स्थित है। ध्यान दें कि रचना चित्र. 2.6 मैपिंग साहचर्य हैं, अर्थात यदि /: X -+Y, d: Y Z और h: Z-*H> तो (hog)of = = ho(gof)i जिसे ho से / के रूप में लिखना आसान है। आइए इसे इस प्रकार जांचें: किसी भी wK "oaicecmee X पर एक मैपिंग 1x -X यह हर चीज़ को उनके स्थान पर छोड़ देता है।

इस प्रकार, यदि आक्षेप /: X - + Y के विपरीत एक आक्षेप है, तो /"1o/ = /x, और /o/-1 = /y, जहां और /y समुच्चय क्रमशः। इसके विपरीत, यदि मैपिंग f: जाहिर है, यदि /, A" का Y पर एक आक्षेप है, और $, Y का Z पर एक आक्षेप है, तो gof, X का Z पर एक आक्षेप है, और इसके संबंध में व्युत्क्रम आक्षेप होगा। 2.5। सेट का उत्पाद। मैपिंग ग्राफ याद रखें कि दो परस्पर लंबवत समन्वय अक्ष, जिसका पैमाना दोनों अक्षों के लिए समान है, समतल पर एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को परिभाषित करता है (चित्र 2.7)। समन्वय अक्षों के प्रतिच्छेदन के बिंदु O को मूल* कहा जाता है। निर्देशांक

प्रत्येक बिंदु M को वास्तविक संख्याओं के एक जोड़े (i, y) से जोड़ा जा सकता है, जहां x, निर्देशांक अक्ष Ox पर बिंदु Mx का निर्देशांक है, और y, निर्देशांक अक्ष Oy पर बिंदु Mu का निर्देशांक है। बिंदु Mx और Mu क्रमशः Ox और Oy अक्षों पर बिंदु M से गिराए गए लंबों के आधार हैं। संख्या x और y को बिंदु M (चयनित समन्वय प्रणाली में) के निर्देशांक कहा जाता है, और x को बिंदु M का भुज कहा जाता है, और y इस बिंदु की कोटि है। यह स्पष्ट है कि वास्तविक संख्या a, 6 6R का प्रत्येक जोड़ा (a, b) समतल पर एक बिंदु M से मेल खाता है, जिसके निर्देशांक के रूप में ये संख्याएँ हैं। और इसके विपरीत, समतल का प्रत्येक बिंदु M वास्तविक संख्याओं a और 6 की एक जोड़ी (a, 6) से मेल खाता है। सामान्य स्थिति में, जोड़े (a, b) और (6, a) अलग-अलग बिंदुओं को परिभाषित करते हैं, अर्थात। यह महत्वपूर्ण है कि जोड़ी के पदनाम में ए और बी दोनों में से कौन सा नंबर पहले आता है। इस प्रकार, हम एक ऑर्डर किए गए जोड़े के बारे में बात कर रहे हैं। इस संबंध में, जोड़े (ए, 6) और (6, ए) को एक दूसरे के बराबर माना जाता है, और वे विमान पर एक ही बिंदु को परिभाषित करते हैं, यदि केवल ए = 6। प्रक्षेपण, इंजेक्शन और आपत्ति। रिवर्स मैपिंग.

मैपिंग की संरचना सेट का एक उत्पाद है। प्रदर्शन कार्यक्रम. वास्तविक संख्याओं के सभी युग्मों के समुच्चय, साथ ही समतल में बिंदुओं के समुच्चय को R2 द्वारा दर्शाया जाता है। यह पदनाम सेट के प्रत्यक्ष (या डेक-आर्टोव) उत्पाद के सेट सिद्धांत में महत्वपूर्ण अवधारणा से जुड़ा हुआ है (अक्सर वे केवल सेट के उत्पाद के बारे में बात करते हैं)। परिभाषा 2.2. सेट ए और बी का उत्पाद संभावित क्रमित जोड़े (एक्स, वाई) का सेट एक्स बी है, जहां पहला तत्व ए से लिया गया है और दूसरा बी से लिया गया है, ताकि दो जोड़े (एक्स, वाई) की समानता हो और (&", y") स्थितियाँ x = x" और y = y7 निर्धारित करती हैं। जोड़े (i, y) और (y, x) को xy होने पर भिन्न माना जाता है। यह विशेष रूप से ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है जब सेट A और बी संपाती है। इसलिए, सामान्य स्थिति में ए एक्स बी एफ बी एक्स ए, यानी मनमाना सेट का उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है, लेकिन यह संघ, प्रतिच्छेदन और सेट के अंतर के संबंध में वितरणात्मक है: जहां नामित तीन में से एक को दर्शाता है संचालन। सेट का उत्पाद दो सेटों पर संकेतित संचालन से काफी भिन्न होता है। इन कार्यों को करने का परिणाम एक सेट होता है जिसके तत्व (यदि यह खाली नहीं है) मूल सेट में से एक या दोनों से संबंधित होते हैं। के उत्पाद के तत्व सेट नए सेट से संबंधित हैं और मूल सेट के तत्वों की तुलना में एक अलग प्रकार की वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। परिभाषा 2.2 के समान

हम दो से अधिक सेटों के उत्पाद की अवधारणा पेश कर सकते हैं। सेट (ए एक्स बी) एक्स सी और ए * एक्स (बी एक्स सी) की पहचान की जाती है और बस ए एक्स बी एक्स सी को दर्शाया जाता है। आह औ आह आह आह आह आदि कार्य करता है। एक नियम के रूप में, A2, A3, आदि द्वारा निरूपित किया जाता है। जाहिर है, समतल R2 को वास्तविक संख्याओं के सेट की दो प्रतियों के उत्पाद R x R के रूप में माना जा सकता है (इसलिए संख्या रेखा पर बिंदुओं के दो सेटों के उत्पाद के रूप में विमान के बिंदुओं के सेट का पदनाम)। ज्यामितीय (त्रि-आयामी) स्थान में बिंदुओं का सेट संख्या रेखा पर बिंदुओं के सेट की तीन प्रतियों के उत्पाद R x R x R से मेल खाता है, जिसे R3 दर्शाया गया है।

• वास्तविक संख्याओं के n समुच्चय का गुणनफल Rn द्वारा निरूपित किया जाता है। यह सेट n वास्तविक संख्याओं X2) xn £ R के सभी संभावित संग्रह (xj,
• n मनमाना सेट का उत्पाद n (आम तौर पर विषम) तत्वों के क्रमबद्ध संग्रह का एक सेट है। ऐसे सेटों के लिए, टुपल या एन-का नाम का उपयोग किया जाता है (उच्चारण "एनका")। उदाहरण 2.3। मान लीजिए ए = (1, 2) और बी = (1, 2)। फिर सेट ए एक्स बी की पहचान की जा सकती है समतल R2 के चार बिंदु, जिनके निर्देशांक इस सेट के तत्वों को सूचीबद्ध करते समय इंगित किए जाते हैं। यदि C = (1,2) और D = (3,4), तो उदाहरण 2.4 मान लीजिए फिर सेट E की ज्यामितीय व्याख्या x F और F x E को चित्र 2.8 में प्रस्तुत किया गया है। # मैपिंग /: X के लिए, हम क्रमित जोड़े (r, y) का एक सेट बना सकते हैं, जो प्रत्यक्ष उत्पाद X x Y का एक सबसेट है।
• ऐसे सेट को मैपिंग f का ग्राफ़ (या फ़ंक्शन i*" का ग्राफ़ कहा जाता है - उदाहरण 2.5। XCR और Y = K के मामले में, प्रत्येक ऑर्डर किया गया जोड़ा विमान R2 पर एक बिंदु के निर्देशांक निर्दिष्ट करता है। यदि X, संख्या रेखा R का एक अंतराल है, तो फ़ंक्शन का ग्राफ़ कुछ रेखा का प्रतिनिधित्व कर सकता है (चित्र 2.9) उदाहरण 2.6 यह स्पष्ट है कि XCR2 और Y = R के साथ फ़ंक्शन का ग्राफ़ R3 में बिंदुओं का एक निश्चित सेट है , जो एक निश्चित सतह का प्रतिनिधित्व कर सकता है (चित्र 2.10)।

यदि चित्र 2.11) . # फ़ंक्शन ग्राफ़ के सभी उल्लिखित उदाहरण गणितीय विश्लेषण की सबसे महत्वपूर्ण वस्तुएं हैं, और भविष्य में उन पर विस्तार से चर्चा की जाएगी।

आइए पत्राचार की सामान्य अवधारणा के एक और महत्वपूर्ण विशेष मामले पर विचार करें - सेटों का मानचित्रण। यदि आज्ञाकारी हो आरसेट के बीच एक्सऔर वाईतत्व छवि एएक्सखाली हो सकता है, या कई तत्व शामिल हो सकते हैं।

समुच्चयों के तत्वों के बीच संबंध एक्सऔर वाईबुलाया प्रदर्शन एक्सवीवाई , यदि प्रत्येक तत्व एक्सबहुतों से एक्ससेट का केवल एक तत्व मेल खाता है वाई. इस तत्व को कहा जाता है तत्व छविएक्सइस डिस्प्ले के साथ: एफ(एक्स).सेट के प्रत्येक बिंदु से ऐसे मानचित्रण के ग्राफ़ पर एक्सकेवल एक तीर निकलेगा (चित्र 29)।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें . होने देना एक्स- दर्शकों में कई छात्र, और वाई- एक ही सभागार में कई कुर्सियाँ। मिलान "छात्र" एक्सएक कुर्सी पर बैठे पर» सेट प्रदर्शन एक्सवीवाई. छात्र छवि एक्सएक कुर्सी है.

होने देना एक्स = वाई = एन- प्राकृतिक संख्याओं का एक सेट. "किसी संख्या का दशमलव अंकन" का मिलान एक्सशामिल परअंक" प्रदर्शन निर्धारित करता है एनवी एन. इस डिस्प्ले के साथ, संख्या 39 संख्या 2 से मेल खाती है, और संख्या 45981 संख्या 5 से मेल खाती है (39 दो अंकों की संख्या है, 45981 पांच अंकों की संख्या है)।

होने देना एक्स- अनेक चतुर्भुज, वाई- कई वृत्त. "चतुर्भुज" से मेल एक्सएक वृत्त में अंकित पर» कोई प्रदर्शन नहीं है एक्सवी वाई, क्योंकि ऐसे चतुर्भुज हैं जिन्हें एक वृत्त में अंकित नहीं किया जा सकता है। लेकिन इस मामले में उनका कहना है कि परिणाम सेट से मैपिंग है एक्सभीड़ में वाई.

यदि प्रदर्शित करें एक्सवी वाईऐसा कि प्रत्येक तत्व यबहुतों से
वाईएक या अधिक तत्वों से मेल खाता है एक्सबहुतों से एक्स, तो ऐसी मैपिंग कहलाती है सेट का प्रदर्शन एक्सकई के लिएवाई.

गुच्छा एक्समानचित्रण की परिभाषा का क्षेत्र कहा जाता है एफ: XY,और बहुत कुछ वाई- इस मानचित्रण का आगमन क्षेत्र। सभी छवियों से युक्त आगमन क्षेत्र का भाग यबहुतों से हाँ,मैपिंग वैल्यू सेट कहा जाता है एफ।

अगर y=f(x),फिर x कहा जाता है तत्व y का प्रोटोटाइप प्रदर्शित होने पर एफ. किसी तत्व की सभी पूर्वछवियों का समुच्चय परवे इसे पूर्ण प्रोटोटाइप कहते हैं: एफ(य).

डिस्प्ले निम्न प्रकार के होते हैं: विशेषण, विशेषण और विशेषण।

यदि प्रत्येक तत्व का पूरा प्रोटोटाइप Y yइसमें अधिकतम एक तत्व होता है (खाली हो सकता है), तो ऐसी मैपिंग कहलाती है इंजेक्शन

प्रदर्शित करता है XYऐसा है कि एफ(एक्स)=वाई, मैपिंग कहलाते हैं एक्सपूरी भीड़ के लिए वाईया विशेषण(सेट के प्रत्येक बिंदु से एक्सएक तीर निकलता है, और सेट के प्रत्येक बिंदु पर दिशा बदलने के बाद एक्ससमाप्त) (चित्र 31)।

यदि कोई मानचित्रण क्रियाविशेषण और विशेषणात्मक हो तो उसे वन-टू-वन या विशेषणात्मक कहा जाता है।

प्रदर्शन सेट करें एक्ससमुच्चय कहलाता है द्विभाजित, यदि प्रत्येक तत्व एक्सएक्सएक तत्व से मेल खाता है Y y,और प्रत्येक तत्व Y yकेवल एक तत्व से मेल खाता है एक्सएक्स(चित्र 32) .

विशेषण मानचित्रण समान सेट उत्पन्न करते हैं : एक्स~वाई.

उदाहरण . होने देना - एक्सअलमारी में कई कोट, वाई- वहाँ बहुत सारे हुक हैं। आइए प्रत्येक कोट को उस हुक से मिलाएँ जिस पर वह लटका हुआ है। यह पत्राचार एक मानचित्रण है एक्स इनवाईयदि किसी हुक पर एक से अधिक कोट लटका हुआ नहीं है या कुछ हुक स्वतंत्र हैं तो यह इंजेक्शन है। यदि सभी हुक लगे हुए हैं या कुछ पर कई परतें लटकी हुई हैं तो यह मानचित्रण विशेषणात्मक है। यदि प्रत्येक हुक पर केवल एक कोट लटका हुआ है तो यह विशेषण होगा।

गणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका दो सेटों के बीच कनेक्शन की स्थापना द्वारा निभाई जाती है और पहले सेट के तत्वों और दूसरे सेट के संबंधित तत्वों से बनी वस्तुओं के जोड़े के विचार से जुड़ी होती है। सेटों की मैपिंग का विशेष महत्व है।

चलो मनमाना सेट हो. प्रदर्शन सेट एक्स सेट करने के लिए वाईहर नियम कहा जाता है एफ, जिसके अनुसार समुच्चय का प्रत्येक तत्व समुच्चय के पूर्णतः विशिष्ट (एकल) तत्व से संबद्ध होता है।

यह तथ्य कि एफएक मैपिंग है, जिसे संक्षेप में इस रूप में लिखा गया है:।

पदनाम का भी प्रयोग किया जाता है। अधिकतर, डिस्प्ले को अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है एफ, क्यू, एफ.

तो, सेट का डिस्प्ले सेट करने के लिए एक्सएक सेट में, प्रत्येक तत्व को एक और केवल एक तत्व से संबद्ध होना चाहिए।

यदि तत्व एक्ससे एक्ससे मेल खाने वाला तत्व वाई, फिर वे कॉल करते हैं रास्ता तत्व , ए एक्स – तत्व का प्रोटोटाइप प्रदर्शित होने पर, जिसे इस प्रकार लिखा जाता है।

मानचित्रण की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक तत्व से एक्सछवि अद्वितीय है, लेकिन एक तत्व के लिए कई प्रोटोटाइप हो सकते हैं, या बिल्कुल भी नहीं हो सकते हैं। किसी तत्व की सभी पूर्वछवियों के समुच्चय को उसका कहा जाता है एक पूर्ण प्रोटोटाइप और द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार, ।

के एक उपसमूह की छवि एऔर के एक उपसमुच्चय की उलटी छवि मेंप्रदर्शित होने पर:

उदाहरण के लिए, चलो और एक मानचित्रण हो एवी ए, प्रत्येक तत्व का मिलान एसे एविभाजन का शेष भाग एसंख्या 4 से। तब हमारे पास है:

गुणों, छवियों और प्रोटोटाइप के आधार पर, मैपिंग को प्रतिष्ठित किया जाता है: विशेषण, विशेषण और विशेषण।

मैपिंग को कहा जाता है विशेषण , यदि वे. प्रत्येक तत्व कम से कम एक तत्व प्रदर्शित करता है एक्स, या किसी के लिए .

मैपिंग को कहा जाता है इंजेक्शन , यदि सेट के विभिन्न तत्व एक्ससेट के विभिन्न तत्वों में मैप किया जाता है अर्थात , या या तो खाली है या किसी के लिए सिंगलटन सेट है। इंजेक्टिव मैपिंग भी कहा जाता है निवेश .

मैपिंग को कहा जाता है द्विभाजित , या एक से एक यदि यह विशेषण और विशेषण है, तो एक मानचित्रण। यदि किसी के लिए सिंगलटन सेट है। इस मामले में, हम किसी के लिए: लगाकर मैपिंग को परिभाषित कर सकते हैं। यह कहा जाता है रिवर्स k और के रूप में दर्शाया गया है।

आइए स्पष्टता के लिए मैपिंग के प्रकारों का वर्णन करें।

विशेषण विशेषण विशेषण

चित्र 12

प्रदर्शन सेट करें एअपने आप में बुलाया सेट का परिवर्तन ए. विशेषण समुच्चय परिवर्तन एबुलाया प्रतिस्थापन सेट करें ए.

पूर्णांकों के समुच्चय के प्रतिस्थापन का एक उदाहरण समानता द्वारा परिभाषित मानचित्रण है।

सेट की मैपिंग पर भी ध्यान दें एवी मेंयह भी कहा जाता है समारोह , सेट पर परिभाषित किया गया एसेट में मानों के साथ में. इस स्थिति में, तत्व को कहा जाता है अर्थ कार्य बिंदु ए. भीड़ ही एबुलाया क्षेत्र परिभाषाएं फ़ंक्शन, और सेट फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी है।

एक फ़ंक्शन को अक्सर एक वेरिएबल के रूप में माना जाता है जो मान लेता है मेंऔर इसलिए चर पर निर्भर करता है एक्स, से मान लेना ए, वह प्रत्येक मान के लिए एपरिवर्तनीय आकार एक्सके एक बहुत ही विशिष्ट मान से मेल खाता है। साथ ही वे लिखते हैं और "फ़ंक्शन" के बजाय "फ़ंक्शन" कहते हैं।

आइए विभिन्न मानचित्रणों पर विचार करें और उनके प्रकारों को परिभाषित करें.

1) चलो एक्स- एक समतल पर वृत्तों का एक समूह। प्रत्येक वृत्त को उसके केंद्र से जोड़कर, हम मानचित्रण प्राप्त करते हैं एक्सपर । यह मानचित्रण इंजेक्शन योग्य नहीं है, क्योंकि एक ही बिंदु अनंत संख्या में वृत्तों का केंद्र हो सकता है। लेकिन यह विशेषणात्मक है, क्योंकि कोई भी बिंदु किसी वृत्त का केंद्र होता है। इसलिए, उलटा पत्राचार हर जगह परिभाषित, विशेषणात्मक है, लेकिन कार्यात्मक नहीं है।

2) पत्राचार वास्तविक संख्याओं के संपूर्ण सेट पर परिभाषित एक संख्यात्मक फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन के मानों का सेट गैर-नकारात्मक संख्याओं का एक सेट है। चूँकि, फलन विशेषण नहीं है। चूंकि, यह इंजेक्शन नहीं है। इसलिए इसका कोई व्युत्क्रम कार्य नहीं है।

3) मैपिंग विशेषण और विशेषण है: किसी के लिए एक और केवल एक ही संख्या ऐसी होती है। यह संख्या है.

4) किसी समुच्चय का मानचित्रण (-गैर-ऋणात्मक संख्याओं का समुच्चय) सर्वत्र, विशेषणात्मक, लेकिन विशेषणात्मक नहीं, परिभाषित होता है। वास्तव में, भिन्न के लिए, यह संतुष्ट है।

इसलिए, इस फ़ंक्शन के मानों का सेट अंतराल है। इस अंतराल पर व्युत्क्रम फलन परिभाषित होता है और गैर-नकारात्मक मान लेता है।

5) नियम द्वारा परिभाषित मैपिंग एक इंजेक्शन मैपिंग है। यह व्यक्तिपरक नहीं है क्योंकि . हालाँकि, यदि हम मैपिंग को उसी तरह परिभाषित करते हैं, तो हमें एक विशेषण मैपिंग प्राप्त होती है। . ; प्रक्षेपात्मकता से केवल प्रक्षेपात्मकता आती है, और अंतःक्षेपण से केवल अंतःक्षेपण आता है।

3. यदि और सेट परिवर्तन हैं ए, तो उनकी रचना भी समुच्चय का रूपांतरण है ए.

सेट थ्योरी और कॉम्बिनेटरिक्स का परिचय

व्यावहारिक कार्य संख्या 8. मानचित्रण। डिस्प्ले के प्रकार

काम के लिए प्रश्न

1. "सेट-टू-सेट मैपिंग" क्या है?
2. इस मैपिंग में "छवि" क्या है, "प्रोटोटाइप" क्या है?
3. क्या भरा हैएफ - छवि, क्या पूरा हैएफ - प्रोटोटाइप, प्रदर्शित होने परएफ?
4. मानचित्रण के प्रकारों के नाम बताइए, उनकी परिभाषाएँ दीजिए तथा उदाहरण दीजिए।
5. कौन से दो सेट समतुल्य कहे जाते हैं? उदाहरण दो।
6. किस समुच्चय को गणनीय कहा जाता है? उदाहरण दो।

कार्य समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1. मान लीजिए ए = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} एन और बी =(0; 1) जेड आइए प्रत्येक संख्या का मिलान करेंएक्सए 2 से विभाजित करने पर उसका शेषफल प्राप्त होता है।

क्या यह मैपिंग से मेल खा रहा है? यह डिस्प्ले किस प्रकार का है? तत्व 6, 7 का प्रतिबिम्ब कौन सा तत्व है? आइए तत्व 1 की पूर्ण व्युत्क्रम छवि ज्ञात करें।

समाधान। आइए एक ग्राफ़ का उपयोग करके दिए गए पत्राचार का प्रतिनिधित्व करें:

हमने देखा कि:

1) सेट का प्रत्येक तत्वए , प्रारंभिक बिंदु है;

2) प्रत्येक मूल बिंदु के लिए, केवल एक आगमन बिंदु है। (इसका मतलब है कि संकेतित पत्राचार सेट की मैपिंग हैए से सेट बी);

3) सेट का प्रत्येक तत्वमें आगमन बिंदु है. (तो यह एक मैपिंग "टू" है)।

चूँकि बहुत सारे हैंमें एक तत्व है (उदाहरण के लिए, 0) जिसके लिए प्रोटोटाइप कोई तत्व नहीं हैए , तो यह मैपिंग एक-से-एक नहीं है।

संख्या 6 की छवि संख्या 0 हैमें , संख्या 7 की छवि संख्या 1 हैमें . संख्या 1 का पूर्ण प्रोटोटाइपमें संख्याओं का एक समूह है (1; 3; 5; 7; 9)ए ।

उदाहरण 2. मान लीजिए कि X है समतल त्रिभुजों का सेट,वाई = आर. आइए लंबाई के लिए माप की एक इकाई चुनें और प्रत्येक त्रिभुज को एक संख्या निर्दिष्ट करें - इस त्रिभुज की परिधि। क्या यह मैच मैपिंग होगा? दिया गया डिस्प्ले किस प्रकार का है? नंबर का पूरा प्रोटोटाइप क्या हैआर पर?

समाधान। समतल पर प्रत्येक त्रिभुज की एक विशिष्ट रूप से परिभाषित परिधि होती है। इसलिए, प्रत्येक त्रिभुज समुच्चय सेएक्स से एक ही संख्या से मेल खाता हैआर , अर्थात यह पत्राचार एक मानचित्रण हैएक्स से आर . इस स्थिति में, दो अलग-अलग त्रिभुजों का परिमाप समान हो सकता है। दूसरे शब्दों में, मैपिंग एक-से-एक नहीं है। इसके अलावा, ऐसा कोई त्रिभुज नहीं है जिसका परिमाप किसी ऋणात्मक संख्या के बराबर हो, अर्थात। मैपिंग "टू" मैपिंग नहीं है। होने देनाआर पर. तब:

1. पर > 0, पूर्ण छवि समतल में सभी त्रिभुजों का समूह है जिसका परिमाप संख्या के बराबर हैपर , यह समुच्चय अनंत है।
2. पर ≤ 0, पूरी छवि एक खाली सेट है।

उदाहरण 3. एक्स = (0; 1; 2; 3; 4) एन, वाई = जेड। सेट एक्स के एफ को सेट वाई में मैप करना इस प्रकार दिया गया:

आइए इस मैपिंग का प्रकार निर्धारित करें और इसका ग्राफ़ बनाएं।

समाधान। प्रत्येक के लिए x X आइए छवि y Y ढूंढें। हम तालिका में संबंधित परिणाम लिखते हैं:

y=f(x)	–2

एकाधिक प्रदर्शन मान f एक समुच्चय है

ए = (-2; 1; 4; 7; 10) वाई और बी ≠ वाई . प्रत्येक तत्ववाई बी इन एक्स केवल एक प्रोटोटाइप है. इसलिए हमारे पास सेट की एक-से-एक मैपिंग है X को Y सेट करने के लिए.

मान जोड़े (x; y ) तालिका से इस मानचित्रण का एक ग्राफ बनता हैएफ: एक्स→वाई . एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, यह ग्राफ़ इस प्रकार दिखता है:

उदाहरण 4. शब्दों के दो सेट दिए गए हैं:एक्स = (लाल; नीला; हरा; पीला) औरवाई = (टाई; प्रकाश; दुपट्टा; चादर)। क्या ये सेट समतुल्य हैं?

समाधान। ये सेट समतुल्य हैं, क्योंकि उनके लिए एक-से-एक मैपिंग "टू" स्थापित करना संभव है।

उदाहरण के लिए:

उदाहरण 5. दिए गए सेट:ए = ( एक्स | एक्स = 2 एन , एन एन ) और

बी = ( एक्स | एक्स = , एन एन ). क्या ये सेट समतुल्य हैं?

समाधान। ये सेट समतुल्य हैं, क्योंकि सेट की एक-से-एक मैपिंग का चयन करना संभव हैए से बी सेट करें.

उदाहरण के लिए: एफ: ए बी

एक्स = 2 एन वाई = .

अभ्यास

1. नामों के समुच्चय के बीचएक्स = (एंड्रे; बोरिस; मिखाइल; एलेक्सी; कॉन्स्टेंटिन; वसीली; वेलेंटीना; क्लारा; शिमोन; मारिया; सोफिया; ओलेग; ट्रोफिम4 यूरी; याकोव) और एक सेटवाई (रूसी वर्णमाला के अक्षर) एक पत्राचार स्थापित किया गया है जिसमें प्रत्येक नाम उसके पहले अक्षर से जुड़ा हुआ है। क्या यह मैच प्रदर्शित होगाएक्स से वाई ? यदि हाँ, तो किस प्रकार का? सेट की छवि ढूंढेंएक्स . अक्षरों के संपूर्ण प्रोटोटाइप ढूंढेंए, बी, के, एल. संकेतित पत्राचार का एक ग्राफ बनाएं।

2. खंड AB का प्रत्येक बिंदु M आइए इसके प्रक्षेपण का मिलान करेंएम इस पंक्ति कोएल . क्या यह मैच मैपिंग होगा? कौन सा? इस मैपिंग के परिभाषा के क्षेत्र, मानों की सीमा का वर्णन करें।

3. एक्स सेट करें समतल पर सभी वर्ग और समुच्चय शामिल हैंवाई एक ही तल पर सभी वृत्तों से। आइए प्रत्येक वर्ग को उसमें अंकित एक वृत्त के साथ संबद्ध करें। क्या यह मैपिंग मैपिंग हैएक्स से वाई?

4. क्या डिस्प्ले को निम्नानुसार सेट करना संभव है: सेट करेंऔर खंडों से, Y पर – त्रिकोण से; क्या प्रत्येक खंड एक त्रिभुज से जुड़ा है जिसके लिए यह खंड मध्य रेखा है?

5. क्या यह सच है कि अनुपालनएफ: जेड जेड

X y = -5 x + 2

क्या कोई मैपिंग "टू" है?

6. चलो एक्स - वास्तविक संख्याओं का समुच्चय. प्रत्येक संख्याएक्स एक्स आइए इसका वर्ग मिलान करें। क्या इस पत्राचार को प्रतिवर्ती मानचित्रण कहा जा सकता है?

7. दिखाएँ कि निम्नलिखित सेट गणनीय हैं:

क) विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय;

बी) गैर-नकारात्मक पूर्णांकों का सेट;

ग) प्राकृत संख्याओं के वर्गों का समुच्चय;

घ) प्राकृत संख्याओं का समुच्चय जो 5 के गुणज हैं;

ई) प्राकृतिक संख्याओं के घनों का समुच्चय।

8. दो सेट दिए गए हैं:ए = (पेरिस; मॉस्को; वारसॉ; क्राको; लंदन; सरांस्क; व्लादिमीर; मार्सिले) औरबी = (फ्रांस; रूस; इंग्लैंड; पोलैंड; स्वीडन; ऑस्ट्रिया)। आइए हम उनके बीच पत्राचार स्थापित करें: “शहरएक्सए देश में स्थित है" आइए इस पत्राचार के ग्राफ़ बनाएं। क्या यह मैच मैपिंग होगा? किस प्रकार का?

9. क्या सेट ए मानचित्र और सेट पर बस्तियों की छवियों के बराबर हैबी मानचित्र पर दिखाए गए क्षेत्र के आबादी वाले क्षेत्र?

व्यक्तिगत कार्य

1. निर्दिष्ट मिलानों में से एक डिस्प्ले का चयन करें। उनका प्रकार बताएं, एक ग्राफ़ बनाएं।

2. एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में निम्नलिखित संबंधों के ग्राफ़ बनाएंजेड . प्रत्येक संबंध के लिए, पता लगाएं कि क्या यह मानचित्रण है Z से Z, Z से Z की मैपिंग , एक-से-एक मैपिंग, ओवरले:

1) एक्स + वाई = 3; 7)पर< х + 2;

2) एक्स – वाई ≤ 5; 8) y ≤ x + 2;

3) एक्स + वाई = 4, एक्स > 0; 9) वाई = 4;

4) x = y, – 4 ≤ x ≤ 6; 10) xy = 24, -6 ≤ x ≤ 6.

5) = y, – 4 ≤ x ≤ 6;

6) एक्स > वाई ;

आत्म-नियंत्रण कार्य

निम्नलिखित समुच्चय युग्मों को यदि वे समान हैं तो उन्हें "=" चिह्न और यदि वे समतुल्य हैं तो उन्हें "~" चिह्न के साथ जोड़ें:

1)ए - एक त्रिभुज की भुजाओं का समुच्चय,

में - त्रिभुज के कोणों का सेट;

2)ए - "कान" शब्द में कई अक्षर,

बी = (ओ; के; एस; एल);

3)ए - एक पेड़ के ठूंठ पर कई छल्ले,

में – कई वर्षों तक पेड़ के पास रहे;

4) पृथ्वी पर कई महाद्वीप और कई राज्य

प्रदर्शन - गणित की बुनियादी अवधारणाओं में से एक। मैपिंग सेटों के बीच पत्राचार का कोई नियम या कानून है। चलो और मनमाने ढंग से गैर-रिक्त सेट बनें। वे कहते हैं कि एक सेट की मैपिंग एक सेट में दी जाती है (नोटेशन: या) यदि सेट के प्रत्येक तत्व को सेट के एकल, विशिष्ट रूप से परिभाषित तत्व के साथ एक पत्राचार सौंपा गया है।

तत्व कहा जाता है रास्ताप्रदर्शित होने पर तत्व, और तत्व को कॉल किया जाता है प्रोटोटाइपइस डिस्प्ले में तत्व. प्रदर्शित होने पर तत्वों के एक सेट की छवि उस प्रकार के सभी तत्वों का सेट होती है जो मानों की श्रेणी से संबंधित होते हैं। सभी तत्वों का समुच्चय (), जिनकी छवियाँ मानों की श्रेणी बनाती हैं, कहलाती हैं प्रोटोटाइपतत्वों का सेट ()। सेट कहा जाता है परिभाषा का क्षेत्रप्रदर्शन।

मैपिंग को कहा जाता है विशेषण एम , जब सेट के प्रत्येक तत्व में सेट की कम से कम एक उलटा छवि होती है (, यानी, या।

मैपिंग को कहा जाता है इंजेक्शन, जब सेट का प्रत्येक तत्व (सेट के केवल एक तत्व की छवि है (, यानी सेट के किन्हीं दो अलग-अलग तत्वों की छवियां अलग-अलग हैं, यानी यह निम्नानुसार है।

मैपिंग को कहा जाता है द्विभाजितया एक से एक, जब यह विशेषण और विशेषण दोनों है, अर्थात। सेट का प्रत्येक तत्व सेट के एक और केवल एक तत्व की छवि है।

समानतादो मैपिंग और परिभाषा के अनुसार इसका मतलब है कि उनके संबंधित क्षेत्र मेल खाते हैं (और), और।

कामदो मैपिंग और इसे एक मैपिंग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो सेट के प्रत्येक तत्व को सेट के एक तत्व के साथ जोड़ता है।

एक सेट से एक सेट में मैपिंग को सेट में मानों के साथ सेट पर एक फ़ंक्शन कहा जाता है। यदि सेट मेल खाते हैं, तो सेट का स्वयं पर विशेषण मानचित्रण कहा जाता है परिवर्तनभीड़. सबसे सरल सेट परिवर्तन है समान- को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: . एक पहचान मानचित्रण जो प्रत्येक तत्व को अपने पास ले जाता है उसे भी कहा जाता है अकेलापरिवर्तन. यदि परिवर्तन और दिए गए हैं, तो पहले परिवर्तन और फिर परिवर्तन के क्रमिक निष्पादन से उत्पन्न परिवर्तन को कहा जाता है काम परिवर्तनोंऔर: ।

समान सेट के परिवर्तनों के लिए, निम्नलिखित कानून लागू होते हैं:

परिवर्तन करने के लिए क्रमविनिमेय कानून सामान्य मामले में संतुष्ट नहीं है, अर्थात। .

यदि दो सेटों के बीच हम सेट कर सकते हैं द्विभाजितमैपिंग (उनके तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करने के लिए), फिर ऐसे सेट कहलाते हैं समकक्षया समान रूप से शक्तिशाली. परिमित समुच्चय तभी समतुल्य होते हैं जब उनके तत्वों की संख्या समान हो।

अनंत सेटों की एक दूसरे से तुलना भी की जा सकती है।

दो सेटों में समान कार्डिनैलिटी होती है या उन्हें समतुल्य (नोटेशन) कहा जाता है यदि उनके तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जा सकता है, यानी। यदि कोई नियम निर्दिष्ट करना संभव है जिसके अनुसार किसी एक सेट का प्रत्येक तत्व दूसरे सेट के एक और केवल एक तत्व से जुड़ा होता है।

यदि ऐसी मैपिंग असंभव है, तो सेट की अलग-अलग कार्डिनैलिटी होती हैं; यह पता चला है कि बाद के मामले में, चाहे हम दोनों सेटों के तत्वों को पत्राचार में लाने की कितनी भी कोशिश करें, हमेशा अतिरिक्त तत्व बचे रहेंगे और इसके अलावा, हमेशा एक ही सेट से, जिसके लिए कार्डिनल संख्या का उच्च मूल्य होगा असाइन किया गया है या वे कहते हैं कि यह सेट है और ज्यादा अधिकार. एक अनंत समुच्चय और उसका कुछ उपसमुच्चय समतुल्य हो सकता है। प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के समतुल्य समुच्चय को गणनीय समुच्चय कहा जाता है। किसी समुच्चय को गणनीय बनाने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि समुच्चय का प्रत्येक तत्व उसकी क्रमसूचक संख्या से संबद्ध हो। किसी भी अनंत समुच्चय से गणनीय उपसमुच्चय का चयन करना संभव है। गणनीय समुच्चय का प्रत्येक उपसमुच्चय गणनीय या परिमित होता है। गणनीय समुच्चय सबसे आदिम रूप से व्यवस्थित अनंत समुच्चय है। दो गणनीय समुच्चयों का कार्तीय गुणनफल गणनीय होता है। किसी परिमित या अनंत संख्या में परिमित या गणनीय समुच्चयों का मिलन एक परिमित या गणनीय समुच्चय होता है।