नौकरी का स्रोत: समाधान 4954. एकीकृत राज्य परीक्षा 2016 गणित, आई.वी. यशचेंको। 36 विकल्प. उत्तर।

कार्य 19.आइए एक प्राकृतिक संख्या को पैलिंड्रोम कहें यदि इसके दशमलव अंकन में सभी अंक सममित रूप से व्यवस्थित हैं (पहला और अंतिम अंक समान हैं, दूसरा और अंतिम अंक, आदि)। उदाहरण के लिए, संख्या 121 और 953359 पलिंड्रोम हैं, लेकिन संख्या 10 और 953953 पलिंड्रोम नहीं हैं।

a) एक पैलिंड्रोमिक संख्या का उदाहरण दीजिए जो 45 से विभाज्य है।

ख) ऐसी कितनी पाँच अंकों की पैलिंड्रोमिक संख्याएँ हैं जो 45 से विभाज्य हैं?

ग) दसवीं सबसे बड़ी पैलिंड्रोम संख्या ज्ञात कीजिए जो 45 से विभाज्य है।

समाधान।

a) सबसे सरल विकल्प पैलिन्ड्रोमिक संख्या 5445 होगा, जो 45 से विभाज्य है।

उत्तर: 5445.

ख) आइए संख्या 45 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें, हमें प्राप्त होता है

अर्थात्, संख्या 5 और 9 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए। एक संख्या 5 से विभाज्य है इसका एक संकेत संख्या के अंत में संख्या 5 की उपस्थिति है (हम संख्या 0 को ध्यान में नहीं रखते हैं, क्योंकि ऐसा होता है) फिट नहीं है)। हमें 5aba5 के रूप में एक पैलिंड्रोमिक संख्या मिलती है, जहां a, b संख्या के अंक हैं। किसी संख्या के 9 से विभाज्य होने का संकेत अंकों का योग है

9 से विभाज्य होना चाहिए। इस स्थिति से हमारे पास है:

बी=0 के लिए: ;

बी=1 के लिए: ;

बी=2 के लिए: ;

बी=3 के लिए: ;

बी=5 के लिए: ;

बी=6 के लिए: ;

बी=7 के लिए: ;

अलग-अलग स्लाइडों द्वारा प्रस्तुतिकरण का विवरण:

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पलिंड्रोम क्या है? यह काम गणित की शिक्षिका गैलिना व्लादिमीरोवाना प्रिखोडको द्वारा किया गया था

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समस्या एक मोटर चालक ने अपनी कार के मीटर को देखा और एक सममित संख्या (पैलिंड्रोम) 15951 किमी देखी (इसे बाएं से दाएं या इसके विपरीत पढ़ें)। उसने सोचा कि, सबसे अधिक संभावना है, कोई अन्य सममित संख्या जल्द ही प्रकट नहीं होगी। हालाँकि, 2 घंटे के बाद उन्होंने एक नई सममित संख्या की खोज की। इन दो घंटों के दौरान मोटर चालक ने किस स्थिर गति से यात्रा की? समाधान: अगली सममित संख्या 16061 है। अंतर 16061 - 15951 = 110 किमी है। यदि आप 110 किमी को 2 घंटे से विभाजित करते हैं, तो आपको 55 किमी/घंटा की गति मिलती है। उत्तर: 55 किमी/घंटा

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एकीकृत राज्य परीक्षा कार्य ए) एक पैलिंड्रोम संख्या का उदाहरण दें जो 15 से विभाज्य है। बी) ऐसे कितने पांच अंकों वाले पैलिंड्रोम संख्याएं हैं जो 15 से विभाज्य हैं? ग) 37वीं सबसे बड़ी पैलिन्ड्रोमिक संख्या ज्ञात कीजिए जो 15 से विभाज्य है। उत्तर: ए) 5115; बी) 33; ग) 59295

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पलिंड्रोम का क्या मतलब है? पैलिंड्रोम शब्द ग्रीक शब्द पैलिंड्रोमोस से आया है, जिसका अर्थ है "फिर से दौड़ना।" पैलिंड्रोम्स न केवल संख्याएं, बल्कि शब्द, वाक्य और यहां तक ​​कि पाठ भी हो सकते हैं।

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गणित में, संख्याएँ - पलिंड्रोम बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों समान रूप से पढ़े जाते हैं। उदाहरण हैं सभी एकल-अंकीय संख्याएँ, αα रूप की दो-अंकीय संख्याएँ, जैसे 11 और 99, αβα रूप की तीन-अंकीय संख्याएँ, जैसे 535, इत्यादि। इसके अलावा, सभी दो अंकों की संख्याएं पलिंड्रोम देती हैं (चरणों की सबसे बड़ी संख्या - 24 - संख्या 89 और 98 की आवश्यकता होती है)। लेकिन संख्या 196 एक पलिंड्रोम देती है या नहीं यह अभी भी अज्ञात है। संख्यात्मक पैलिंड्रोम 676 (सबसे छोटी पैलिंड्रोम संख्या जो गैर-पेलिंड्रोम का वर्ग है 26 है)। 121 (सबसे छोटी पैलिंड्रोम संख्या जो कि पैलिंड्रोम का वर्ग है, 11 है)।

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सुपरपेलिंड्रोम कुछ पैलिंड्रोमिक वाक्यांश और वाक्यांश हमें प्राचीन काल से ज्ञात हैं। तब उन्हें अक्सर जादुई अर्थ दिया जाता था। जादुई पलिंड्रोम में जादुई वर्ग भी शामिल हैं, उदाहरण के लिए, SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (अनुवाद "अरेपो का बीज बोने वाला मुश्किल से अपने पहिये रख सकता है")।

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वर्तमान में, पैलिंड्रोम सभी जादुई शक्तियों से रहित है और एक सरल शब्द का खेल है जो आपको अपने मस्तिष्क का थोड़ा उपयोग करने की अनुमति देता है। अधिकांश पैलिंड्रोम शब्दों का एक अपेक्षाकृत सुसंगत सेट हैं, लेकिन दिलचस्प अभिन्न और समझने योग्य वाक्यांश भी हैं, उदाहरण के लिए, "लेकिन अदृश्य महादूत मंदिर पर लेट गया और वह अद्भुत था।" अगर हम पैलिंड्रोमिक शब्दों की बात करें तो दुनिया का सबसे लंबा शब्द "SAIPPUAKIVIKAUPPIAS" माना जाता है, जिसका फिनिश से अनुवाद "साबुन बेचने वाला" होता है।

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कार्य: पता लगाएं कि अभाज्य संख्याओं के बीच सममित संख्याएँ कितनी बार आती हैं। 1000 से कम संख्याओं के लिए, अभाज्य संख्याओं की तालिका से यह पता लगाना आसान है। दो अंकों की सरल संख्याओं में से केवल एक सममित संख्या है - 11. फिर हमने पाया: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 797, 919, 929।

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प्रमाण चार अंकीय संख्याओं में कोई सममित अभाज्य संख्या नहीं होती। आइए इसे साबित करें. चार अंकों की सममित संख्या का रूप अब्बा है। 11 से विभाज्यता की कसौटी के अनुसार, विषम स्थानों की संख्याओं के योग और विषम स्थानों की संख्याओं के योग के बीच का अंतर: (a + b) - (b + a) = 0. इसका मतलब यह है कि सभी चार-अंकीय सममित संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं, अर्थात, समग्र। इसी प्रकार, कोई यह साबित कर सकता है कि सभी 2n-अंकीय सममित संख्याओं में कोई अभाज्य संख्या नहीं होगी।

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100 तक 25 अभाज्य संख्याएँ होती हैं, उनमें से एक सममित होती है, जो 4% होती है। 1000 तक अभाज्य संख्याएँ 168 हो जाती हैं। सममित संख्याएँ - 16. यह लगभग 9.5% है। 10000 तक सममित संख्याओं की संख्या नहीं बदलती। 1000000 तक - 78498 अभाज्य संख्याएँ। अब 109 सममित संख्याएँ हैं। यह लगभग 0.13% है। यह स्पष्ट है कि सममित संख्याओं का प्रतिशत घट रहा है, लेकिन यह कहना बिल्कुल भी असंभव नहीं होगा कि बहुत बड़ी संख्याओं में अभाज्य संख्याएँ सममित होती हैं।

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मेरे पास एक विचार है। संख्यात्मक पैलिंड्रोम अन्य पात्रों पर संचालन का परिणाम हो सकते हैं। मार्टिन गार्डनर, पुस्तक "देयर इज़ एन आइडिया!" के लेखक, विज्ञान के काफी प्रसिद्ध लोकप्रिय होने के नाते, एक निश्चित परिकल्पना को सामने रखते हैं। यदि आप एक प्राकृत संख्या (कोई भी) लेते हैं और उसमें उसका व्युत्क्रम (समान संख्याएँ, लेकिन विपरीत क्रम में) जोड़ते हैं, तो कार्रवाई दोहराएँ, लेकिन परिणामी योग के साथ, फिर एक चरण में आपको एक पलिंड्रोम मिलेगा . कुछ मामलों में, एक बार जोड़ करना पर्याप्त है: 213 + 312 = 525। लेकिन आमतौर पर कम से कम दो ऑपरेशन आवश्यक होते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हम संख्या 96 लेते हैं, तो अनुक्रमिक जोड़ करके, केवल चौथे स्तर पर एक पैलिंड्रोम प्राप्त किया जा सकता है: 96 + 69 = 165 165 + 651 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 परिकल्पना का सार यह है कि यदि आप कोई भी संख्या लेते हैं, तो निश्चित संख्या में क्रियाओं के बाद आपको निश्चित रूप से एक पलिंड्रोम मिलेगा। उदाहरण न केवल जोड़ में पाए जा सकते हैं, बल्कि घातांकीकरण, जड़ों के निष्कर्षण और अन्य कार्यों में भी पाए जा सकते हैं।

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उदाहरण1 आइए संख्या 619 लें आइए इसे पढ़ें 1 कदम दाएं से बाएं 916 आइए दो संख्याएं जोड़ें 1535 "इसे पलट दें" 5351 दूसरा चरण आइए 6886 जोड़ें संख्या 6886 एक पैलिंड्रोम है। इसके अलावा, इसे केवल 2 चरणों में प्राप्त किया गया था। इसे दाएँ से बाएँ या बाएँ से दाएँ पढ़ने पर हमें एक ही संख्या प्राप्त होती है।

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उदाहरण2 आइए संख्या 95 1 कदम लें। चरण 1 "आइए इसे पलट दें" 59 इसे जोड़ें 154 चरण 2। "चलो इसे पलट दें" 451 दूसरा चरण आइए 605 जोड़ें तीसरा चरण "चलो इसे पलट दें" 506 तीसरा चरण आइए 1111 जोड़ें संख्या 1111 एक पैलिंड्रोम है।

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पिनोच्चियो आप सभी को शायद पिनोच्चियो के कारनामों के बारे में किताब याद होगी। क्या आपको याद है कि मालवीना ने उसे कितनी सख्ती से लिखना सिखाया था? उसने उससे निम्नलिखित वाक्यांश लिखने के लिए कहा: और गुलाब अज़ोर के पंजे पर गिर गया - यह एक और पैलिंड्रोम है।

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साहित्य में पालिंड्रोम्स, सूअर ने बैंगन को दबाया, आप, साशा, भरे हुए हैं, माथे पर, बूम अर्जेंटीना एक नेग्रा बन जाता है, लेकिन आप टोन, एडीए शिकारी और क्षय के नोट्स की तरह पतले हैं

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शब्द-पैलिंड्रोम्स शालाश, नागान, कोसैक, कोक, स्टॉम्प, रोटर, कबाक, पल्प, ग्रैंडफादर, राडार

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पलिंड्रोमिक वाक्यांश पहिया रुक गया, मैं बूढ़ा नहीं हूं भाई सेन्या, मैं एक सांप खाता हूं और कुत्ता बोसा अर्जेंटीना एक नीग्रो को टैक्सी की तलाश में बुलाता है, एक नीग्रो की सराहना करता है, अर्जेंटीना के ल्योशा को एक शेल्फ पर एक बग मिला

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विदेशी भाषाओं में पलिंड्रोम्स "मैडम, मैं एडम हूं" - एक पुरुष का एक महिला से परिचय (मैडम, मैं एडम हूं)। इस पर महिला विनम्रतापूर्वक "शिफ्टर" के साथ उत्तर दे सकती है: "ईव" (ईव)। यह केवल वाक्य या अक्षरों का समूह नहीं है जो सममित है। रेस फास्ट, सेफ कार (रेस फास्ट, सेफ कार) क्या आप भगवान को देखते हैं? (क्या हंस भगवान को देखते हैं?) कभी विषम या सम नहीं (कभी भी विषम या सम नहीं) डोंट हेड (सिर हिलाएं मत) हठधर्मिता: मैं भगवान हूं (हठधर्मिता: मैं भगवान हूं) मैडम, ईडन में मैं एडम हूं (मैडम, स्वर्ग में) मैं एडम हूं) आह, शैतान नताशा को देखता है (आह, शैतान नताशा को देखता है) भगवान ने देखा कि मैं कुत्ता था (भगवान ने देखा कि मैं कुत्ता था) मुझे पाई पसंद है (मुझे π पसंद है) हूट करने के लिए बहुत गर्म है (हूट करने के लिए बहुत गर्म है) )

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पालिंड्रोम्स-कविताएं मैं शायद ही कभी अपने हाथ से सिगरेट का बट पकड़ता हूं... मैं यहां ईमानदारी से बैठता हूं, मौन में उग्रता पैदा करता हूं, मैं एक बार हंसूंगा, मेरी किस्मत अच्छी होगी, मैं एक बार हंसूंगा - हां, मुझे खुशी है ! आप इसे शुरू से या अंत से पढ़ सकते हैं।

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संगीत में, नियमों के अनुसार, संगीत के पलिंड्रोमिक टुकड़े "हमेशा की तरह" बजाए जाते हैं। एक बार टुकड़ा पूरा हो जाने पर, नोटों को उलट दिया जाता है। फिर टुकड़ा दोबारा बजाया जाता है, लेकिन धुन नहीं बदलेगी। पुनरावृत्तियों की संख्या कितनी भी हो सकती है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि नीचे क्या है और शीर्ष क्या है। संगीत के इन टुकड़ों को दो लोग एक ही समय में दोनों तरफ के नोट्स पढ़ते हुए बजा सकते हैं। ऐसे पैलिंड्रोमिक कार्यों के उदाहरणों में मोशेल्स द्वारा लिखित द वे ऑफ द वर्ल्ड और मोजार्ट द्वारा रचित टेबल ट्यून फॉर टू शामिल हैं।

निरूपण.चार अंकों की एक संख्या दी गई है. जांचें कि क्या यह पैलिंड्रोम है। नोट: पैलिंड्रोम एक संख्या, शब्द या पाठ है जो बाएं से दाएं और दाएं से बाएं ओर समान रूप से पढ़ता है। उदाहरण के लिए, हमारे मामले में ये संख्याएँ 1441, 5555, 7117, आदि हैं।

मनमाने दशमलव स्थान की अन्य पैलिंड्रोमिक संख्याओं के उदाहरण, जो हल की जा रही समस्या से संबंधित नहीं हैं: 3, 787, 11, 91519, आदि।

समाधान।कीबोर्ड से कोई संख्या दर्ज करने के लिए हम एक वेरिएबल का उपयोग करेंगे एन. दर्ज की गई संख्या प्राकृतिक संख्याओं के समूह से संबंधित है और चार अंकों की है, इसलिए यह स्पष्ट रूप से 255 से अधिक है, इसलिए प्रकार बाइटइसका वर्णन करना हमारे लिए उपयुक्त नहीं है। फिर हम प्रकार का उपयोग करेंगे शब्द.

पैलिंड्रोमिक संख्याओं में क्या गुण होते हैं? उपरोक्त उदाहरणों से यह देखना आसान है कि, दोनों तरफ उनकी समान "पठनीयता" के कारण, उनमें पहले और आखिरी अंक, दूसरे और अंतिम अंक, आदि, मध्य तक बराबर हैं। इसके अलावा, यदि संख्या में अंकों की संख्या विषम है, तो जाँच करते समय मध्य अंक को नजरअंदाज किया जा सकता है, क्योंकि जब उपरोक्त नियम पूरा होता है, तो संख्या एक पैलिंड्रोम होती है, चाहे उसका मूल्य कुछ भी हो।

हमारी समस्या में, सब कुछ कुछ हद तक सरल है, क्योंकि इनपुट चार अंकों की संख्या है। इसका मतलब यह है कि समस्या को हल करने के लिए हमें केवल संख्या के पहले अंक की तुलना चौथे अंक से और दूसरे अंक की तीसरे अंक से तुलना करनी होगी। यदि ये दोनों समानताएँ सत्य हैं, तो संख्या एक पैलिंड्रोम है। जो कुछ बचा है वह अलग-अलग चर में संख्या के संबंधित अंक प्राप्त करना है, और फिर, एक सशर्त ऑपरेटर का उपयोग करके, बूलियन (तार्किक) अभिव्यक्ति का उपयोग करके दोनों समानताओं की पूर्ति की जांच करना है।

हालाँकि, आपको किसी निर्णय में जल्दबाजी नहीं करनी चाहिए। शायद हम परिणामी सर्किट को सरल बना सकते हैं? उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित संख्या 1441 को लें। यदि हम इसे दो दो अंकों की संख्याओं में विभाजित करते हैं तो क्या होता है, जिनमें से पहले में मूल के हजारों और सैकड़ों के स्थान होंगे, और दूसरे में दहाई और इकाइयों के स्थान होंगे मूल का. हमें संख्याएँ 14 और 41 प्राप्त होती हैं। अब, यदि दूसरी संख्या को उसके विपरीत संकेतन से बदल दिया जाए (हमने ऐसा इसमें किया था) कार्य 5), तो हमें दो समान संख्याएँ 14 और 14 प्राप्त होती हैं! यह परिवर्तन बिल्कुल स्पष्ट है, क्योंकि पैलिंड्रोम को दोनों दिशाओं में समान रूप से पढ़ा जाता है, इसमें दो बार दोहराई गई संख्याओं का संयोजन होता है, और प्रतियों में से एक को बस पीछे की ओर घुमाया जाता है।

इसलिए निष्कर्ष: आपको मूल संख्या को दो दो अंकों में विभाजित करने की आवश्यकता है, उनमें से एक को उल्टा करें, और फिर सशर्त ऑपरेटर का उपयोग करके परिणामी संख्याओं की तुलना करें अगर. वैसे, किसी संख्या के दूसरे भाग की रिवर्स रिकॉर्डिंग प्राप्त करने के लिए, हमें उपयोग किए गए अंकों को सहेजने के लिए दो और चर बनाने की आवश्यकता है। आइए उन्हें इस रूप में निरूपित करें एऔर बी, और वे जैसे होंगे बाइट.

आइए अब एल्गोरिथ्म का ही वर्णन करें:

1) नंबर दर्ज करें एन;

2) संख्या का इकाई अंक निर्दिष्ट करें एनचर ए, फिर इसे त्यागें। फिर हम दहाई का स्थान निर्धारित करते हैं एनचर बीऔर इसे त्यागें भी:

3) एक वेरिएबल को असाइन करें एवेरिएबल्स में संग्रहीत विपरीत प्रविष्टि का प्रतिनिधित्व करने वाली एक संख्या एऔर बीमूल संख्या का दूसरा भाग एनपहले से ज्ञात सूत्र के अनुसार:

4) अब हम परिणामी संख्याओं की समानता के लिए बूलियन अभिव्यक्ति परीक्षण का उपयोग कर सकते हैं एनऔर एऑपरेटर सहायता अगरऔर शाखाओं का उपयोग करके प्रतिक्रिया के आउटपुट को व्यवस्थित करें:

यदि n = a है तो लिखेंln('हां') अन्यथा लिखेंln('नहीं');

चूँकि समस्या कथन स्पष्ट रूप से यह नहीं बताता है कि उत्तर को किस रूप में प्रदर्शित किया जाना चाहिए, हम इसे ऐसे स्तर पर प्रदर्शित करना तर्कसंगत मानेंगे जो उपयोगकर्ता के लिए सहज हो, भाषा में ही सुलभ हो। पास्कल. याद रखें कि ऑपरेटर का उपयोग करना लिखना (लेखन) आप एक बूलियन प्रकार की अभिव्यक्ति का परिणाम प्रदर्शित कर सकते हैं, और यदि यह अभिव्यक्ति सत्य है, तो 'TRUE' शब्द प्रदर्शित किया जाएगा (अंग्रेजी में सत्य का अर्थ "सत्य" है), यदि गलत है - शब्द FALSE (अंग्रेजी में गलत) का अंग्रेजी में अर्थ है "असत्य")। फिर पिछले निर्माण के साथ अगरद्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है

1. कार्यक्रम पैलिंड्रोमनम;
2. एन: शब्द;
3. ए, बी: बाइट;
4. शुरू
5. readln(n);
6. ए:= एन मॉड 10;
7. n:= n div 10;
8. बी:= एन मॉड 10;
9. n:= n div 10;
10. ए:= 10 * ए + बी;
11. राइटएलएन(एन = ए)

याकोवलेव डेनिल

लगभग सभी गणितीय अवधारणाएँ, एक तरह से या किसी अन्य, संख्या की अवधारणा पर निर्भर करती हैं, और किसी भी गणितीय सिद्धांत का अंतिम परिणाम, एक नियम के रूप में, संख्याओं की भाषा में व्यक्त किया जाता है। उनमें से कई, विशेष रूप से प्राकृतिक संख्याएँ, कुछ विशेषताओं और गुणों के अनुसार, अलग-अलग संरचनाओं (संग्रह) में समूहीकृत हैं और उनके अपने नाम हैं। इस प्रकार, अध्ययन का उद्देश्य पैलिंड्रोमिक संख्याओं से परिचित होना है

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पूर्व दर्शन:

रूसी संघ

नगरपालिका बजटीय शैक्षणिक संस्थान

"माध्यमिक विद्यालय क्रमांक 7"

निज़नेवार्टोव्स्क शहर

अनुसंधान कार्य
युवा शोधकर्ताओं के स्कूल वैज्ञानिक और व्यावहारिक सम्मेलन में

गणित में पलिंड्रोम्स

2016

परिचय 4

मुख्य हिस्सा................................................ .................................................. .......................5

निष्कर्ष 9

सन्दर्भ 11

परिकल्पना
अभाज्य संख्याएँ उन संख्याओं का हिस्सा हैं जो सभी प्राकृतिक संख्याएँ बनाती हैं।
अभाज्य संख्याओं के सेट की खोज करके, कोई भी अपने असाधारण गुणों के साथ अद्भुत संख्यात्मक सेट प्राप्त कर सकता है।

इस अध्ययन का उद्देश्य
लगभग सभी गणितीय अवधारणाएँ, एक तरह से या किसी अन्य, संख्या की अवधारणा पर निर्भर करती हैं, और किसी भी गणितीय सिद्धांत का अंतिम परिणाम, एक नियम के रूप में, संख्याओं की भाषा में व्यक्त किया जाता है। उनमें से कई, विशेष रूप से प्राकृतिक संख्याएँ, कुछ विशेषताओं और गुणों के अनुसार, अलग-अलग संरचनाओं (संग्रह) में समूहीकृत हैं और उनके अपने नाम हैं। इस प्रकार,इस अध्ययन का उद्देश्ययह पैलिंड्रोमिक संख्याओं का परिचय है।

अनुसंधान के उद्देश्य

1. शोध विषय पर साहित्य का अध्ययन करें।

2. पैलिंड्रोम के गुणों पर विचार करें।

3. पता लगाएँ कि जिन संख्याओं में हमारी रुचि है उनके गुणों को बदलने में अभाज्य संख्याएँ क्या भूमिका निभाती हैं।

अध्ययन का विषय- अभाज्य संख्याओं का एक समूह।

अध्ययन का उद्देश्य– संख्याएं पलिंड्रोम हैं..

तलाश पद्दतियाँ:

• सैद्धांतिक
• सर्वे
• विश्लेषण

परिचय

एक दिन, गेंदबाजी करते समय, मैंने असामान्य संख्याएँ देखीं: 44, 77, 99, 101 और मुझे आश्चर्य हुआ कि ये संख्याएँ क्या थीं? इंटरनेट पर देखने पर मुझे पता चला कि ये नंबर पैलिंड्रोम हैं।

पैलिंड्रोम (ग्रीक πάλιν से - "वापस, फिर से" और ग्रीक δρóμος - "रन"), कभी-कभी पलिंड्रोमोन भी, जीआर से. पलिंड्रोमोस वापस दौड़ रहा है)।

पैलिंड्रोम क्या है, इसके बारे में बोलते हुए, यह कहा जाना चाहिए कि "चेंजर्स" को प्राचीन काल से जाना जाता है। अक्सर उन्हें एक जादुई पवित्र अर्थ दिया जाता था। पैलिंड्रोम्स प्रकट हुए, जिनके उदाहरण विभिन्न भाषाओं में पाए जा सकते हैं, संभवतः मध्य युग में।

अन्य नंबरों पर परिचालन के परिणामस्वरूप एक पैलिंड्रोम प्राप्त किया जा सकता है। तो, पुस्तक में "मेरे पास एक विचार है!" विज्ञान के प्रसिद्ध लोकप्रिय निर्माता मार्टिन गार्डनर ने इस समस्या के संबंध में "पैलिंड्रोम परिकल्पना" का उल्लेख किया है।यदि आप एक प्राकृत संख्या (कोई भी) लेते हैं और उसमें उसका व्युत्क्रम (समान संख्याएँ, लेकिन विपरीत क्रम में) जोड़ते हैं, तो कार्रवाई दोहराएँ, लेकिन परिणामी योग के साथ, फिर एक चरण में आपको एक पलिंड्रोम मिलेगा . कुछ मामलों में, एक बार जोड़ करना पर्याप्त है: 213 + 312 = 525। लेकिन आमतौर पर कम से कम दो ऑपरेशन आवश्यक होते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हम संख्या 96 लेते हैं, तो अनुक्रमिक जोड़ करके, केवल चौथे स्तर पर एक पैलिंड्रोम प्राप्त किया जा सकता है: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 परिकल्पना का सार यह है कि यदि आप कोई भी संख्या लेते हैं, तो निश्चित संख्या में क्रियाओं के बाद आपको निश्चित रूप से एक पलिंड्रोम मिलेगा।

मुख्य हिस्सा

संख्याएँ पलिंड्रोम हैं

गणित में संख्याएँ - पलिंड्रोम ढूँढना कठिन नहीं था। मैंने इन संख्याओं के लिए एक संख्या लिखने का प्रयास किया - पैलिंड्रोम्स।

दो अंकों वाली संख्याओं - पलिंड्रोम्स में, इकाइयों की संख्या दहाई की संख्या के साथ मेल खाती है।

- तीन अंकों की संख्या - पलिंड्रोम में, सैकड़ों की संख्या हमेशा इकाइयों की संख्या के साथ मेल खाती है।

चार अंकों वाली संख्याओं - पलिंड्रोम्स में, हजारों की इकाइयों की संख्या इकाइयों की संख्या के साथ मेल खाती है, और सैकड़ों की संख्या दसियों की संख्या के साथ मेल खाती है, आदि।

सूत्र पलिंड्रोम हैं

पैलिंड्रोमिक फ़ार्मुलों ने मेरी रुचि बढ़ा दी। सूत्रों - पैलिंड्रोम्स से मेरा तात्पर्य एक अभिव्यक्ति (संख्याओं के योग या अंतर से युक्त) से है, जिसका परिणाम अभिव्यक्ति को दाएं से बाएं पढ़ने के परिणामस्वरूप नहीं बदलता है।

यदि आप ऐसी संख्याएँ जोड़ते हैं जो पैलिंड्रोम हैं, तो योग नहीं बदलता है। दो अंकों की संख्याओं को जोड़ना काफी सरल है, मैंने तीन अंकों की संख्याओं का योग लिखने का निर्णय लिया।

उदाहरण के लिए: 121+343=464

सामान्य तौर पर, इसे इस तरह लिखा जा सकता है:

+ = +

(100x + 10x+ x) + (100y + 10y + y) = (100y + 10y + y) + (100x + 10x + x)

100x + 10x+ x + 100y + 10y + y = 100y + 10y + y + 100x +10x + x

111x + 111y = 111y + 111x

111(एक्स + वाई) = 111(वाई + एक्स)

एक्स + वाई = वाई + एक्स

शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता है(जोड़ का क्रमविनिमेय गुण)।

इसे 4, 5 और n-अंकीय संख्याओं के लिए बिल्कुल इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है।

आइए ऐसी दो-अंकीय संख्याओं के सभी युग्मों पर विचार करें ताकि दाएं से बाएं अंतर को पढ़ने के परिणामस्वरूप उनके घटाव का परिणाम न बदले।

किसी भी दो अंकीय संख्या को अंकों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

10x 1 + y 1 = 10x 2 + y 2

- = (10x 1 + वाई 1) – (10x 2 + वाई 2)

- = (10यू 2 + एक्स 2) – (10यू 1 + एक्स 1)

(10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2) = (10y 2 + x 2) – (10y 1 + x 1)

10x 1 + y 1 – 10x 2 - y 2 = 10y 2 + x 2 – 10y 1 - x 1

10x 1 + x 1 + y 1 + 10y 1 = 10y 2 + y 2 + 10x 2 + x 2

11 x 1 + 11 वर्ष 1 = 11 x 2 + 11 वर्ष 2

11(एक्स 1 + वाई 1) = 11(एक्स 2 + वाई 2)

एक्स 1 + वाई 1 = एक्स 2 + वाई 2

ऐसी संख्याओं में अंकों का योग बराबर होता है।

अब आप निम्नलिखित अंतर कर सकते हैं:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52 -16 = 61 - 25, आदि।

नाममात्र पलिंड्रोम

पैलिंड्रोम संख्याओं के कुछ सेटों में पाए जाते हैं जिनके अपने नाम होते हैं: फाइबोनैचि संख्या, स्मिथ संख्या, रिपडिजिट, रिपुनिट।

फाइबोनैचि संख्याएँकिसी संख्या अनुक्रम के तत्वों के नाम बताइए। इसमें किसी श्रृंखला की प्रत्येक अगली संख्या पिछली दो संख्याओं के योग से प्राप्त की जाती है।

उदाहरण: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

स्मिथ संख्या - एक भाज्य संख्या जिसके अंकों का योग उसके अभाज्य भाजक के अंकों के योग के बराबर होता है।

उदाहरण: 202=2+0+2=4

रिपडिजिट - एक प्राकृतिक संख्या जिसमें सभी अंक समान हों।

पुनर्पुनिट - केवल इकाइयों का उपयोग करके लिखी गई एक प्राकृतिक संख्या

संख्यात्मक निर्माता

अभाज्य पैलिंड्रोमिक संख्याओं से, उन्हें एक निश्चित तरीके से व्यवस्थित करके, मान लीजिए पंक्ति दर पंक्ति, आप सममित आकृतियाँ बना सकते हैं, जो दोहराई जाने वाली संख्याओं के मूल पैटर्न द्वारा पहचानी जाती हैं।

उदाहरण के लिए, यहां 1 और 3 के साथ लिखे गए सरल पैलिंड्रोम्स का एक सुंदर संयोजन है (चित्र 1)। इस संख्या त्रिभुज की ख़ासियत यह है कि पैटर्न की समरूपता को तोड़े बिना एक ही टुकड़े को तीन बार दोहराया जाता है।

चावल। 1

यह देखना आसान है कि पंक्तियों और स्तंभों की कुल संख्या एक अभाज्य संख्या (17) है। इसके अलावा, अभाज्य संख्याएँ और अंकों का योग: लाल रंग में हाइलाइट किए गए टुकड़े (17); पहली (5, 11, 17, 19, 23) को छोड़कर प्रत्येक पंक्ति; तीसरा, पाँचवाँ, सातवाँ और नौवाँ स्तंभ (7, 11) और त्रिभुज की भुजाएँ बनाने वाली इकाइयों की "सीढ़ी" (11)। अंत में, यदि हम संकेतित "भुजाओं" के समानांतर चलते हैं और तीसरी और पांचवीं पंक्तियों की संख्याओं को अलग-अलग जोड़ते हैं (चित्र 2), तो हमें दो और अभाज्य संख्याएँ (17, 5) मिलती हैं।

चावल। 2

निर्माण जारी रखते हुए, आप इस त्रिभुज के आधार पर अधिक जटिल आकृतियाँ बना सकते हैं। इसलिए, अंत से आगे बढ़कर, यानी अंतिम संख्या से शुरू करके, प्रत्येक चरण में दो समान सममित रूप से स्थित संख्याओं को पार करके और अन्य को पुनर्व्यवस्थित या प्रतिस्थापित करके - 3 बटा 1 और इसके विपरीत, समान गुणों वाला एक और त्रिभुज प्राप्त करना मुश्किल नहीं है। . इस मामले में, संख्याओं को स्वयं इस प्रकार चुना जाना चाहिए कि परिणामी संख्या सरल हो जाए। दोनों आकृतियों को मिलाकर, हमें संख्याओं के एक विशिष्ट पैटर्न के साथ एक समचतुर्भुज मिलता है, जिसमें कई अभाज्य संख्याएँ छिपी होती हैं (चित्र 3)। विशेष रूप से, लाल रंग में हाइलाइट की गई संख्याओं का योग 37 है।

चावल। 3

आप उन संख्याओं से बहुभुज आकृतियाँ भी बना सकते हैं जिनमें कुछ गुण होते हैं। मान लीजिए कि आपको 1 और 3 का उपयोग करके लिखे गए सरल पैलिंड्रोम से एक आकृति बनाने की आवश्यकता है, जिनमें से प्रत्येक में अंतिम अंक एक हैं, और सभी अंकों का योग और पंक्ति में इकाइयों की कुल संख्या अभाज्य संख्या है (अपवाद एकल है) -डिजिट पैलिंड्रोम)। इसके अलावा, एक साधारण संख्या में पंक्तियों की कुल संख्या, साथ ही रिकॉर्ड में पाए गए अंक 1 या 3 को व्यक्त करना चाहिए।

चित्र में. चित्र 4 समस्या के समाधानों में से एक को दर्शाता है - 11 अलग-अलग पैलिंड्रोम से निर्मित एक "घर"।

चावल। 4

बेशक, अपने आप को दो अंकों तक सीमित रखना आवश्यक नहीं है और उपयोग किए गए प्रत्येक नंबर की रिकॉर्डिंग में सभी निर्दिष्ट अंकों की उपस्थिति की आवश्यकता होती है। बल्कि, इसके विपरीत: आखिरकार, यह उनका असामान्य संयोजन है जो आकृति के पैटर्न को मौलिकता देता है। इसकी पुष्टि करने के लिए, हम खूबसूरत पैलिंड्रोमिक निर्भरता के कई उदाहरण देते हैं (चित्र 5−7)।

चावल। 5

चावल। 6

चावल। 7

निष्कर्ष

अपने काम में, मैंने तीन अंकों की संख्याओं के योग और दो अंकों की संख्याओं के अंतर के लिए संख्याओं - पैलिंड्रोम, सूत्र - पैलिंड्रोम को देखा और उन्हें साबित करने में सक्षम हुआ। मैं अद्भुत प्राकृतिक संख्याओं से परिचित हुआ: पैलिंड्रोम्स और रिपुनाइट्स। वे सभी अपनी संपत्तियों का श्रेय अभाज्य संख्याओं को देते हैं.
सहजता से, मैंने n-अंकीय संख्याओं के योग और अंतर, दो-अंकीय संख्याओं के गुणनफल और भागफल के लिए सूत्र संकलित किए।

गुणन के मामले में हमारे पास है:

63 ∙ 48 = 84 ∙ 36

82 ∙ 14 = 41 ∙ 28

26 ∙ 31 = 62 ∙ 13, आदि।

पहले अंक का गुणनफल उनके दूसरे अंक के गुणनफल के बराबर होता है x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2

विभाजन के लिए हमें निम्नलिखित उदाहरण मिलते हैं:

62: 31 = 26: 13

96:32 = 69:23, आदि।

मैं अभी तक इन कथनों को सिद्ध नहीं कर पाया हूँ, लेकिन मुझे लगता है कि मैं भविष्य में ऐसा करने में सक्षम हो जाऊँगा।

साहित्य में मैं बहु-अंकीय संख्याओं को गुणा करने के लिए सूत्र - पैलिंड्रोम खोजने में सक्षम था

20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302

726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312

मैंने अपने काम का लक्ष्य हासिल कर लिया. मैंने संख्याओं - पलिंड्रोम्स को देखा और उन्हें सामान्य रूप में लिखा। उन्होंने दो अंकों की संख्याओं को जोड़ने और घटाने के लिए उदाहरण और सिद्ध सूत्र दिए - पैलिंड्रोम। मैंने कई मुद्दों की पहचान की है जिन पर मुझे अभी भी काम करना है और सूत्रों - पैलिंड्रोम्स का पता लगाना है। इसका मतलब यह है कि मैंने इस परिकल्पना की पुष्टि की है कि अभाज्य संख्याएँ उन संख्याओं का हिस्सा हैं जो सभी प्राकृतिक संख्याएँ बनाती हैं। अभाज्य संख्याओं के सेट की खोज करके, कोई भी अपने असाधारण गुणों के साथ अद्भुत संख्यात्मक सेट प्राप्त कर सकता है।

पूर्व दर्शन:

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नताल्या करपुशिना.

पीछे की ओर

संख्यात्मक पलिंड्रोम एक प्राकृतिक संख्या है जो बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ समान रूप से पढ़ती है। दूसरे शब्दों में, यह अंकन की समरूपता (संख्याओं की व्यवस्था) द्वारा प्रतिष्ठित है, और वर्णों की संख्या या तो सम या विषम हो सकती है। पैलिंड्रोम संख्याओं के कुछ सेटों में पाए जाते हैं जिनके अपने नाम होते हैं: फाइबोनैचि संख्याओं में - 8, 55 (एक ही नाम के अनुक्रम के 6वें और 10वें सदस्य); घुंघराले संख्याएँ - 676, 1001 (क्रमशः वर्ग और पंचकोणीय); स्मिथ नंबर - 45454, 983389। किसी भी रिपडिजिट, उदाहरण के लिए 2222222 और, विशेष रूप से, रिपुनिट में भी यह संपत्ति होती है।

अन्य नंबरों पर परिचालन के परिणामस्वरूप एक पैलिंड्रोम प्राप्त किया जा सकता है। तो, पुस्तक में "मेरे पास एक विचार है!" विज्ञान के प्रसिद्ध लोकप्रिय निर्माता मार्टिन गार्डनर ने इस समस्या के संबंध में "पैलिंड्रोम परिकल्पना" का उल्लेख किया है। आइए कोई भी प्राकृतिक संख्या लें और इसे व्युत्क्रम संख्या में जोड़ें, अर्थात, समान अंकों के साथ लिखा जाए, लेकिन विपरीत क्रम में। आइए परिणामी योग के साथ वही क्रिया करें और इसे तब तक दोहराएं जब तक कि एक पैलिंड्रोम न बन जाए। कभी-कभी सिर्फ एक कदम ही काफी होता है (उदाहरण के लिए, 312 + 213 = 525), लेकिन आमतौर पर कम से कम दो कदम की आवश्यकता होती है। मान लीजिए कि संख्या 96 केवल चौथे चरण में पैलिंड्रोम 4884 उत्पन्न करती है। वास्तव में:

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884.

और परिकल्पना का सार यह है कि, किसी भी संख्या को लेते हुए, क्रियाओं की एक सीमित संख्या के बाद हमें निश्चित रूप से एक पलिंड्रोम मिलेगा।

आप न केवल जोड़ने पर, बल्कि घातांकीकरण और जड़ों के निष्कर्षण सहित अन्य परिचालनों पर भी विचार कर सकते हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि कैसे उनका उपयोग कुछ पैलिंड्रोम से अन्य बनाने के लिए किया जा सकता है:

नंबर गेम

अब तक हमने मुख्यतः भाज्य संख्याओं पर ध्यान दिया है। अब आइए सरल संख्याओं की ओर मुड़ें। उनकी अनंत विविधता में कई जिज्ञासु नमूने और यहां तक ​​कि पैलिंड्रोम के पूरे परिवार भी हैं। केवल पहले सौ मिलियन प्राकृतिक संख्याओं में से 781 सरल पैलिंड्रोम हैं, जिनमें से बीस पहले हजार में आते हैं, जिनमें से चार एकल-अंकीय संख्याएँ हैं - 2, 3, 5, 7 और केवल एक दो-अंकीय - 11। कई दिलचस्प तथ्य और सुंदर पैटर्न ऐसे नंबरों से जुड़े होते हैं।

सबसे पहले, अंकों की सम संख्या वाला एक अद्वितीय सरल पैलिंड्रोम है - 11. दूसरे शब्दों में, दो से अधिक अंकों की सम संख्या वाला कोई भी पैलिंड्रोम एक भाज्य संख्या है, जिसे 11 से विभाज्यता के परीक्षण के आधार पर साबित करना आसान है। .

दूसरे, किसी भी सरल पैलिंड्रोम का पहला और अंतिम अंक केवल 1, 3, 7 या 9 हो सकता है। यह 2 और 5 से विभाज्यता के ज्ञात संकेतों से पता चलता है। यह दिलचस्प है कि सभी सरल दो अंकों की संख्याएं सूचीबद्ध अंकों का उपयोग करके लिखी जाती हैं (19 के अपवाद के साथ), रूप के "उल्टे" संख्याओं (परस्पर उलटे संख्याओं) के जोड़े में विभाजित किया जा सकता है, जहां संख्याएं ए और बी अलग-अलग हैं। उनमें से प्रत्येक, भले ही कौन सा नंबर पहले आता हो, बाएं से दाएं और दाएं से बाएं समान पढ़ा जाता है:

13 और 31, 17 और 71,

37 और 73, 79 और 97.

अभाज्य संख्याओं की तालिका में देखने पर, हमें समान जोड़े मिलेंगे, जिनकी रिकॉर्डिंग में अन्य संख्याएँ भी हैं, विशेष रूप से, तीन अंकों की संख्याओं में चौदह ऐसे जोड़े होंगे।

इसके अलावा, सरल तीन-अंकीय पैलिंड्रोम में संख्याओं के ऐसे जोड़े होते हैं जिनके मध्य अंक में केवल 1 का अंतर होता है:

18 1 और 1 9 1, 37 3 और 3 8 3,

78 7 और 7 9 7, 91 9 और 9 2 9.

बड़ी अभाज्य संख्याओं के लिए एक समान तस्वीर देखी जाती है, उदाहरण के लिए:

948 49 और 94 9 49,

1177 711 और 117 8 711.

पैलिंड्रोमिक अभाज्य संख्याओं को विभिन्न सममित सूत्रों द्वारा "सेट" किया जा सकता है, जो उनके अंकन की विशेषताओं को दर्शाते हैं। यह पाँच अंकों की संख्याओं के उदाहरण में स्पष्ट रूप से देखा जाता है:

वैसे, फॉर्म की सरल बहु-अंकीय संख्याएँ स्पष्ट रूप से केवल रिपुनाइट्स के बीच पाई जाती हैं। ऐसी पाँच ज्ञात संख्याएँ हैं। यह उल्लेखनीय है कि उनमें से प्रत्येक के लिए अंकों की संख्या को एक अभाज्य संख्या के रूप में व्यक्त किया गया है: 2, 19, 23, 317, 1031। लेकिन अभाज्य संख्याओं के बीच, जिसमें केंद्रीय को छोड़कर सभी अंक, बहुत प्रभावशाली लंबाई का एक पैलिंड्रोम है की खोज की गई - इसमें 1749 अंक हैं:

सामान्य तौर पर, अभाज्य पैलिंड्रोमिक संख्याओं के बीच अद्भुत उदाहरण हैं। यहाँ केवल एक उदाहरण है - एक संख्यात्मक विशाल

और यह दिलचस्प है क्योंकि इसमें 11,811 अंक हैं, जिन्हें तीन पैलिड्रोमिक समूहों में विभाजित किया जा सकता है, और प्रत्येक समूह में अंकों की संख्या को अभाज्य संख्या (5903 या 5) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

उल्लेखनीय जोड़े

जिज्ञासु पैलिंड्रोमिक पैटर्न को अभाज्य संख्याओं के समूहों में भी देखा जा सकता है जिनमें कुछ अंक होते हैं। मान लीजिए, केवल संख्याएँ 1 और 3, और प्रत्येक संख्या में। इस प्रकार, दो-अंकीय अभाज्य संख्याएँ क्रमबद्ध जोड़े 13 - 31 और 31 - 13 बनाती हैं, छह तीन-अंकीय अभाज्य संख्याओं में से, एक साथ पाँच संख्याएँ, जिनमें से दो पलिंड्रोम हैं: 131 और 313, और दो और संख्याएँ युग्म बनाती हैं "उलट" 311 - 113 और 113 - 311 इन सभी मामलों में, बनाई गई जोड़ियों को संख्यात्मक वर्गों के रूप में दृश्य रूप से दर्शाया गया है (चित्र 1)।

चावल। 1

उनके गुण जादू और लैटिन वर्गों से मिलते जुलते हैं। उदाहरण के लिए, एक औसत वर्ग में, प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में संख्याओं का योग 444 है, विकर्णों पर - 262 और 626। सभी कोशिकाओं से संख्याओं को जोड़ने पर, हमें 888 मिलता है। और जो विशिष्ट है, प्रत्येक योग है एक पैलिंड्रोम. यहां तक ​​कि एक तालिका से बिना रिक्त स्थान के कई संख्याएं लिखने पर भी, हमें नए पैलिंड्रोम मिलते हैं: 3113, 131313131, आदि। इस तरह से बनाई जा सकने वाली सबसे बड़ी संख्या कौन सी है? क्या यह पैलिंड्रोम होगा?

यदि हम 311 - 113 और 113 - 311 प्रत्येक जोड़े में 131 या 313 जोड़ते हैं, तो चार पैलिंड्रोमिक त्रिक बनते हैं। आइए उनमें से एक को एक कॉलम में लिखें:

जैसा कि हम देखते हैं, दोनों संख्याएँ स्वयं और उनका वांछित संयोजन अलग-अलग दिशाओं में पढ़ने पर स्वयं महसूस होते हैं। इसके अलावा, संख्याओं की व्यवस्था सममित है, और प्रत्येक पंक्ति, प्रत्येक स्तंभ और एक विकर्ण पर उनका योग एक साधारण संख्या - 5 द्वारा व्यक्त किया जाता है।

यह कहना होगा कि जिन संख्याओं पर विचार किया गया है वे अपने आप में दिलचस्प हैं। उदाहरण के लिए, पैलिंड्रोम 131 एक चक्रीय अभाज्य संख्या है: पहले अंक से अंतिम स्थान तक किसी भी क्रमिक पुनर्व्यवस्था से अभाज्य संख्याएँ 311 और 113 उत्पन्न होती हैं। क्या आप अन्य अभाज्य पैलिंड्रोम बता सकते हैं जिनका गुण समान है?

लेकिन "उल्टे" संख्या 13 - 31 और 113 - 311 के जोड़े, जब वर्गित किए जाते हैं, तो "उल्टे" संख्याओं के जोड़े भी देते हैं: 169 - 961 और 12769 - 96721। यह दिलचस्प है कि उनके अंकों का योग भी निकला चालाकी भरे तरीके से संबंधित:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

आइए हम जोड़ते हैं कि प्राकृतिक संख्याओं के बीच समान संपत्ति के साथ "उलट" के अन्य जोड़े भी हैं: 103 - 301, 1102 - 2011, 11113 - 31111, आदि। देखे गए पैटर्न की व्याख्या क्या है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि इन नंबरों की रिकॉर्डिंग में क्या खास है, इसमें कौन से नंबर और कितनी मात्रा में मौजूद हो सकते हैं।

संख्यात्मक निर्माता

अभाज्य पैलिंड्रोमिक संख्याओं से, उन्हें एक निश्चित तरीके से व्यवस्थित करके, मान लीजिए पंक्ति दर पंक्ति, आप सममित आकृतियाँ बना सकते हैं, जो दोहराई जाने वाली संख्याओं के मूल पैटर्न द्वारा पहचानी जाती हैं।

उदाहरण के लिए, यहां 1 और 3 के साथ लिखे गए सरल पैलिंड्रोम्स का एक सुंदर संयोजन है (पहले को छोड़कर, चित्र 2)। इस संख्या त्रिभुज की ख़ासियत यह है कि पैटर्न की समरूपता को तोड़े बिना एक ही टुकड़े को तीन बार दोहराया जाता है।

चावल। 2

यह देखना आसान है कि पंक्तियों और स्तंभों की कुल संख्या एक अभाज्य संख्या (17) है। इसके अलावा, अभाज्य संख्याएँ और अंकों का योग: लाल रंग में हाइलाइट किए गए टुकड़े (17); पहली (5, 11, 17, 19, 23) को छोड़कर प्रत्येक पंक्ति; तीसरा, पाँचवाँ, सातवाँ और नौवाँ स्तंभ (7, 11) और त्रिभुज की भुजाएँ बनाने वाली इकाइयों की "सीढ़ी" (11)। अंत में, यदि हम संकेतित "भुजाओं" के समानांतर चलते हैं और तीसरी और पांचवीं पंक्तियों की संख्याओं को अलग-अलग जोड़ते हैं (चित्र 3), तो हमें दो और अभाज्य संख्याएँ (17, 5) मिलती हैं।

चावल। 3

निर्माण जारी रखते हुए, आप इस त्रिभुज के आधार पर अधिक जटिल आकृतियाँ बना सकते हैं। इसलिए, अंत से आगे बढ़कर, यानी अंतिम संख्या से शुरू करके, प्रत्येक चरण में दो समान सममित रूप से स्थित संख्याओं को पार करके और अन्य को पुनर्व्यवस्थित या प्रतिस्थापित करके - 3 बटा 1 और इसके विपरीत, समान गुणों वाला एक और त्रिभुज प्राप्त करना मुश्किल नहीं है। . इस मामले में, संख्याओं को स्वयं इस प्रकार चुना जाना चाहिए कि परिणामी संख्या सरल हो जाए। दोनों आकृतियों को मिलाकर, हमें संख्याओं के एक विशिष्ट पैटर्न के साथ एक समचतुर्भुज मिलता है, जिसमें कई अभाज्य संख्याएँ छिपी होती हैं (चित्र 4)। विशेष रूप से, लाल रंग में हाइलाइट की गई संख्याओं का योग 37 है।

चावल। 4

एक अन्य उदाहरण एक त्रिभुज है जो मूल त्रिभुज में छह सरल पैलिंड्रोम जोड़ने के बाद प्राप्त किया गया है (चित्र 5)। यह आकृति अपनी इकाइयों के सुंदर फ्रेम से तुरंत ध्यान आकर्षित करती है। यह समान लंबाई के दो सरल रिपुनाइट्स से घिरा है: 23 इकाइयाँ "आधार" बनाती हैं और समान संख्या त्रिभुज की "भुजाएँ" बनाती हैं।

चावल। 5

कुछ और आंकड़े

आप उन संख्याओं से बहुभुज आकृतियाँ भी बना सकते हैं जिनमें कुछ गुण होते हैं। मान लीजिए कि आपको 1 और 3 का उपयोग करके लिखे गए सरल पैलिंड्रोम से एक आकृति बनाने की आवश्यकता है, जिनमें से प्रत्येक में अंतिम अंक एक हैं, और सभी अंकों का योग और पंक्ति में इकाइयों की कुल संख्या अभाज्य संख्या है (अपवाद एकल है) -डिजिट पैलिंड्रोम)। इसके अलावा, एक साधारण संख्या में पंक्तियों की कुल संख्या, साथ ही रिकॉर्ड में पाए गए अंक 1 या 3 को व्यक्त करना चाहिए।

चित्र में. चित्र 6 समस्या के समाधानों में से एक को दर्शाता है - 11 अलग-अलग पैलिंड्रोम से निर्मित एक "घर"।

चावल। 6

बेशक, अपने आप को दो अंकों तक सीमित रखना आवश्यक नहीं है और उपयोग किए गए प्रत्येक नंबर की रिकॉर्डिंग में सभी निर्दिष्ट अंकों की उपस्थिति की आवश्यकता होती है। बल्कि, इसके विपरीत: आखिरकार, यह उनका असामान्य संयोजन है जो आकृति के पैटर्न को मौलिकता देता है। इसकी पुष्टि करने के लिए, हम खूबसूरत पैलिंड्रोमिक निर्भरता के कई उदाहरण देते हैं (चित्र 7−9)।

चावल। 7

चावल। 8

चावल। 9

अब, अभाज्य संख्याओं की एक तालिका से लैस होकर, आप स्वयं उन आकृतियों का निर्माण कर सकते हैं जो हमने प्रस्तावित की हैं।

और अंत में, एक और जिज्ञासा - एक त्रिकोण, वस्तुतः पैलिंड्रोम के साथ लंबाई में और क्रॉसवाइज छेदा हुआ (चित्र 10)। इसमें अभाज्य संख्याओं की 11 पंक्तियाँ हैं, और स्तंभ पुनर्अंकों से बने हैं। और सबसे महत्वपूर्ण: पैलिंड्रोम 1931111113231111111391 जो आकृति को किनारों से सीमित करता है, एक अभाज्य संख्या है!