2 चर z = f(x,y) के एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ फ़ंक्शन D की परिभाषा के क्षेत्र में XOY विमान पर प्रक्षेपित एक सतह है।
सतह पर विचार करें σ , समीकरण z = f(x,y) द्वारा दिया गया है, जहां f(x,y) एक अवकलनीय फलन है, और M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) को सतह σ पर एक निश्चित बिंदु होने दें, अर्थात। जेड 0 = एफ(एक्स 0 ,वाई 0). उद्देश्य। ऑनलाइन कैलकुलेटर खोजने के लिए डिज़ाइन किया गया है स्पर्शरेखा तल और सतह सामान्य समीकरण. समाधान वर्ड फॉर्मेट में तैयार किया गया है। यदि आपको किसी वक्र (y = f(x)) की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करना है, तो आपको इस सेवा का उपयोग करने की आवश्यकता है।

कार्यों में प्रवेश के नियम:

कार्यों में प्रवेश के नियम:

सतह पर स्पर्शरेखा तल σ उसकी बात पर एम 0 वह तल है जिसमें सतह पर खींचे गए सभी वक्रों की स्पर्शरेखाएँ स्थित होती हैं σ बिंदु के माध्यम से एम 0 .
बिंदु M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) पर समीकरण z = f(x,y) द्वारा परिभाषित सतह के स्पर्शरेखा तल का समीकरण इस प्रकार है:

z – z 0 = f' x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f' y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

वेक्टर को सतह सामान्य वेक्टर कहा जाता है σ बिंदु M 0 पर। सामान्य वेक्टर स्पर्शरेखा तल के लंबवत होता है।
सतह पर सामान्य σ बिंदु पर एम 0 इस बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है और वेक्टर N की दिशा रखती है।
बिंदु M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) पर समीकरण z = f(x,y) द्वारा परिभाषित सतह के सामान्य के विहित समीकरण, जहां z 0 = f(x 0 ,y 0), फॉर्म है:

उदाहरण क्रमांक 1. सतह समीकरण x 3 +5y द्वारा दी गई है। बिंदु M 0 (0;1) पर सतह के स्पर्शरेखा तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
समाधान. आइए स्पर्शरेखा समीकरणों को सामान्य रूप में लिखें: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - य 0 )
समस्या की शर्तों के अनुसार, x 0 = 0, y 0 = 1, फिर z 0 = 5
आइए फ़ंक्शन z = x^3+5*y का आंशिक व्युत्पन्न खोजें:
एफ" एक्स (एक्स,वाई) = (एक्स 3 +5 वाई)" एक्स = 3 एक्स 2
एफ" एक्स (एक्स,वाई) = (एक्स 3 +5 वाई)" वाई = 5
बिंदु M 0 (0,1) पर आंशिक व्युत्पन्न के मान हैं:
एफ" एक्स (0;1) = 0
एफ" वाई (0;1) = 5
सूत्र का उपयोग करके, हम बिंदु M 0 पर सतह के स्पर्शरेखा तल का समीकरण प्राप्त करते हैं: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) या -5 y+z = 0

उदाहरण क्रमांक 2. सतह को स्पष्ट रूप से y 2 -1/2*x 3 -8z परिभाषित किया गया है। बिंदु M 0 (1;0;1) पर सतह के स्पर्शरेखा तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
समाधान. किसी फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न ढूँढना। चूँकि फ़ंक्शन अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट है, हम सूत्र का उपयोग करके डेरिवेटिव की तलाश करते हैं:

हमारे कार्य के लिए:

तब:

बिंदु M 0 (1,0,1) पर आंशिक व्युत्पन्न के मान:
एफ" एक्स (1;0;1) = -3/16
एफ" वाई (1;0;1) = 0
सूत्र का उपयोग करके, हम बिंदु M 0 पर सतह के स्पर्शरेखा तल का समीकरण प्राप्त करते हैं: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) या 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

उदाहरण। सतह σ समीकरण द्वारा दिया गया जेड= y/x + xy – 5एक्स 3. सतह के स्पर्शरेखा तल और अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए σ बिंदु पर एम 0 (एक्स 0 ,य 0 ,जेड 0), उससे संबंधित, यदि एक्स 0 = –1, य 0 = 2.
आइए फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न खोजें जेड= एफ(एक्स,य) = y/x + xy – 5एक्स 3:
एफ एक्स '( एक्स,य) = (y/x + xy – 5एक्स 3)' x = - y/x 2 + य – 15एक्स 2 ;
f y' ( एक्स,य) = (y/x + xy – 5एक्स 3)' y = 1/x + एक्स.
डॉट एम 0 (एक्स 0 ,य 0 ,जेड 0) सतह से संबंधित है σ , तो हम गणना कर सकते हैं जेड 0 , दिए गए को प्रतिस्थापित करें एक्स 0 = -1 और यसतही समीकरण में 0 = 2:

जेड= y/x + xy – 5एक्स 3

जेड 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
बिंदु पर एम 0 (-1, 2, 1) आंशिक व्युत्पन्न मान:
एफ एक्स '( एम 0) = -1/(-1) 2 + 2 - 15(-1) 2 = -15; f y '( एम 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
सूत्र (5) का उपयोग करके हम सतह पर स्पर्शरेखा तल का समीकरण प्राप्त करते हैं σ बिंदु पर एम 0:
जेड – 1= –15(एक्स + 1) – 2(य – 2) जेड – 1= –15एक्स – 15 – 2वाई + 4 15एक्स + 2य + जेड + 10 = 0.
सूत्र (6) का उपयोग करके हम सतह के अभिलंब के विहित समीकरण प्राप्त करते हैं σ बिंदु पर एम 0: .
उत्तर: स्पर्शरेखा समतल समीकरण: 15 एक्स + 2य + जेड+ 10 = 0; सामान्य समीकरण: .

उदाहरण क्रमांक 1. एक फ़ंक्शन z=f(x,y) और दो बिंदु A(x 0, y 0) और B(x 1, y 1) दिया गया है। आवश्यक: 1) बिंदु बी पर फ़ंक्शन के मान z 1 की गणना करें; 2) बिंदु A पर फ़ंक्शन के मान z 0 के आधार पर बिंदु B पर फ़ंक्शन के अनुमानित मान z 1 की गणना करें, बिंदु A से बिंदु B पर जाने पर फ़ंक्शन की वृद्धि को एक अंतर के साथ प्रतिस्थापित करें; 3) बिंदु C(x 0 ,y 0 ,z 0) पर सतह z = f(x,y) के स्पर्शरेखा तल के लिए एक समीकरण बनाएं।
समाधान।
आइए स्पर्शरेखा समीकरणों को सामान्य रूप में लिखें:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
समस्या की शर्तों के अनुसार, x 0 = 1, y 0 = 2, फिर z 0 = 25
आइए फ़ंक्शन z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2 का आंशिक व्युत्पन्न ढूंढें:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
बिंदु M 0 (1,2) पर आंशिक व्युत्पन्न के मान हैं:
एफ" एक्स (1;2) = 26
एफ" वाई (1;2) = 36
सूत्र का उपयोग करके, हम बिंदु M 0 पर सतह के स्पर्शरेखा तल का समीकरण प्राप्त करते हैं:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
या
-26 x-36 y+z+73 = 0

उदाहरण क्रमांक 2. बिंदु (1;-1;3) पर अण्डाकार परवलयज z = 2x 2 + y 2 के स्पर्शरेखा तल और अभिलंब के समीकरण लिखें।

आइए हम एक सतह को रूप के समीकरण द्वारा परिभाषित करें

आइए निम्नलिखित परिभाषा का परिचय दें।

परिभाषा 1. एक सीधी रेखा को सतह पर किसी बिंदु पर स्पर्शरेखा कहा जाता है यदि वह है

सतह पर स्थित और बिंदु से गुजरने वाले किसी भी वक्र की स्पर्शरेखा।

चूँकि सतह पर पड़े विभिन्न वक्रों की अनंत संख्या बिंदु P से होकर गुजरती है, तो, सामान्यतया, इस बिंदु से गुजरने वाली सतह पर स्पर्शरेखाओं की अनंत संख्या होगी।

आइए हम किसी सतह के एकवचन और साधारण बिंदुओं की अवधारणा का परिचय दें

यदि किसी बिंदु पर सभी तीन व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं या इनमें से कम से कम एक व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, तो बिंदु M को सतह का एकवचन बिंदु कहा जाता है। यदि किसी बिंदु पर सभी तीन व्युत्पन्न मौजूद हैं और निरंतर हैं, और उनमें से कम से कम एक शून्य से भिन्न है, तो बिंदु M को सतह का एक सामान्य बिंदु कहा जाता है।

अब हम निम्नलिखित प्रमेय तैयार कर सकते हैं।

प्रमेय. किसी दी गई सतह (1) पर उसके सामान्य बिंदु P पर सभी स्पर्शरेखा रेखाएँ एक ही तल में स्थित होती हैं।

सबूत। आइए सतह पर एक निश्चित रेखा L पर विचार करें (चित्र 206) जो सतह के दिए गए बिंदु P से होकर गुजरती है। मान लीजिए कि विचाराधीन वक्र पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिया गया है

वक्र की स्पर्शरेखा सतह की स्पर्शरेखा होगी। इस स्पर्श रेखा के समीकरणों का रूप होता है

यदि अभिव्यक्ति (2) को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो यह समीकरण टी के संबंध में एक पहचान में बदल जाएगा, क्योंकि वक्र (2) सतह (1) पर स्थित है। इसे हम प्राप्त करके विभेदित करते हैं

इस वेक्टर के प्रक्षेपण बिंदु P के निर्देशांक पर निर्भर करते हैं; ध्यान दें कि चूंकि बिंदु P सामान्य है, बिंदु P पर ये प्रक्षेपण एक साथ गायब नहीं होते हैं और इसलिए

बिंदु P से गुजरने वाले और सतह पर स्थित एक वक्र की स्पर्शरेखा। इस वेक्टर के अनुमानों की गणना बिंदु P के अनुरूप पैरामीटर t के मान पर समीकरण (2) के आधार पर की जाती है।

आइए हम वैक्टर एन के अदिश उत्पाद की गणना करें और जो समान नाम के अनुमानों के उत्पादों के योग के बराबर है:

समानता (3) के आधार पर दाहिनी ओर का व्यंजक शून्य के बराबर है, इसलिए,

अंतिम समानता से यह पता चलता है कि वेक्टर LG और बिंदु P पर वक्र (2) के स्पर्शरेखा वेक्टर लंबवत हैं। उपरोक्त तर्क बिंदु P से गुजरने वाले और सतह पर स्थित किसी भी वक्र (2) के लिए मान्य है। नतीजतन, बिंदु P पर सतह की प्रत्येक स्पर्शरेखा एक ही वेक्टर N के लंबवत है और इसलिए ये सभी स्पर्शरेखाएं वेक्टर LG के लंबवत एक ही तल में स्थित हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिभाषा 2. वह तल जिसमें दिए गए बिंदु P से होकर गुजरने वाली सतह की रेखाओं की सभी स्पर्शरेखा रेखाएँ स्थित होती हैं, बिंदु P पर सतह की स्पर्शरेखा तल कहलाती है (चित्र 207)।

ध्यान दें कि सतह के एकवचन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा तल नहीं हो सकता है। ऐसे बिंदुओं पर, सतह की स्पर्शरेखा रेखाएं एक ही तल में नहीं हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, शंक्वाकार सतह का शीर्ष एक विलक्षण बिंदु है।

इस बिंदु पर शंक्वाकार सतह की स्पर्श रेखाएं एक ही तल में नहीं होती हैं (वे स्वयं एक शंक्वाकार सतह बनाती हैं)।

आइए हम एक सामान्य बिंदु पर सतह (1) के स्पर्शरेखा तल का समीकरण लिखें। चूँकि यह तल सदिश (4) के लंबवत है, अत: इसके समीकरण का रूप इस प्रकार है

यदि सतह का समीकरण रूप में दिया गया है या इस मामले में स्पर्शरेखा तल का समीकरण रूप लेता है

टिप्पणी। यदि हम सूत्र (6) डालें तो यह सूत्र रूप ले लेगा

इसका दाहिना भाग फ़ंक्शन का पूर्ण अंतर है। इस तरह, । इस प्रकार, स्वतंत्र चर x और y की वृद्धि के अनुरूप एक बिंदु पर दो चर के फ़ंक्शन का कुल अंतर सतह पर स्पर्शरेखा विमान के अनुप्रयोग की संबंधित वृद्धि के बराबर है, जो इस फ़ंक्शन का ग्राफ है।

परिभाषा 3. सतह पर एक बिंदु के माध्यम से खींची गई सीधी रेखा (1) स्पर्शरेखा तल के लंबवत को सतह का अभिलंब कहा जाता है (चित्र 207)।

आइए सामान्य समीकरण लिखें। चूँकि इसकी दिशा वेक्टर N की दिशा से मेल खाती है, इसलिए इसके समीकरणों का रूप होगा

परिभाषा 1 : किसी दिए गए बिंदु P (x 0, y 0, z 0) पर सतह का स्पर्शरेखा तल, बिंदु P से गुजरने वाला एक विमान है और इसमें बिंदु P से गुजरने वाली इस सतह पर सभी संभावित वक्रों के लिए बिंदु P पर निर्मित सभी स्पर्शरेखाएं शामिल होती हैं।

माना सतह s समीकरण द्वारा दी गई है एफ (एक्स, पर, जेड) = 0 और बिंदु पी (एक्स 0 , य 0 , z 0) इस सतह से संबंधित है। आइए सतह पर कुछ वक्र चुनें एल, बिंदु से गुजर रहा है आर.

होने देना एक्स = एक्स(टी), पर = पर(टी), जेड = जेड(टी) - रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण एल.

आइए मान लें कि: 1) फ़ंक्शन एफ(एक्स, पर, जेड) बिंदु पर अवकलनीय है आरऔर इस बिंदु पर इसके सभी आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर नहीं हैं; 2) कार्य एक्स(टी), पर(टी), जेड(टी) भी भिन्न हैं।

चूँकि वक्र सतह s से संबंधित है, इस वक्र पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक, सतह के समीकरण में प्रतिस्थापित होने पर, इसे एक पहचान में बदल देंगे। इस प्रकार, समान समानता सत्य है: एफ [एक्स(टी), पर(टी), जेड (टी)]= 0.

चर के संबंध में इस पहचान को अलग करना टीश्रृंखला नियम का उपयोग करके, हम एक नई समान समानता प्राप्त करते हैं, जो बिंदु सहित वक्र के सभी बिंदुओं पर मान्य है पी (एक्स 0 , य 0 , z 0):

मान लीजिए कि बिंदु P पैरामीटर मान के अनुरूप है टी 0, अर्थात एक्स 0 = एक्स (टी 0), य 0 = य (टी 0), जेड 0 = जेड (टी 0). फिर बिंदु पर अंतिम संबंध की गणना की गई आर, रूप ले लेगा

यह सूत्र दो सदिशों का अदिश गुणनफल है। पहला एक स्थिर वेक्टर है

सतह पर वक्र की पसंद से स्वतंत्र।

दूसरा वेक्टर बिंदु पर स्पर्शरेखा है आरलाइन तक एल, जिसका अर्थ है कि यह सतह पर रेखा की पसंद पर निर्भर करता है, अर्थात यह एक परिवर्तनशील वेक्टर है।

प्रस्तुत संकेतन के साथ, समानता है:

आइए फिर से लिखें कि कैसे।

इसका अर्थ यह है: अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है, इसलिए सदिश लंबवत हैं। एक बिंदु से गुजरने वाले सभी संभावित वक्रों का चयन करना आरसतह s पर, हमारे पास बिंदु पर विभिन्न स्पर्शरेखा सदिश निर्मित होंगे आरइन पंक्तियों को; वेक्टर इस विकल्प पर निर्भर नहीं करता है और उनमें से किसी के लिए लंबवत होगा, यानी, सभी स्पर्शरेखा वेक्टर एक ही विमान में स्थित हैं, जो परिभाषा के अनुसार, सतह एस और बिंदु के स्पर्शरेखा है आरइस स्थिति में इसे स्पर्शरेखा बिंदु कहा जाता है। वेक्टर सतह सामान्य दिशा वेक्टर है।

परिभाषा 2: बिंदु P पर सतह s का अभिलंब बिंदु P से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है और इस बिंदु पर निर्मित स्पर्शरेखा तल के लंबवत है।

हमने स्पर्शरेखा तल के अस्तित्व को सिद्ध कर दिया है, और परिणामस्वरूप, सतह पर एक सामान्य तल का अस्तित्व सिद्ध कर दिया है। आइए उनके समीकरण लिखें:

समीकरण F(x, y, z) = 0 द्वारा दिए गए सतह s के बिंदु P (x0, y0, z0) पर निर्मित स्पर्शरेखा तल का समीकरण;

एक बिंदु पर निर्मित सामान्य का समीकरण आरसतह पर एस.

उदाहरण:परवलय के घूमने से बनी सतह का समीकरण ज्ञात कीजिए:

जेड 2 = 2पी (य +2)

y अक्ष के चारों ओर, गणना करें बशर्ते कि बिंदु एम(3, 1, - 3)सतह से संबंधित है. बिंदु M पर सतह के सामान्य और स्पर्शरेखा तल के समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान।घूर्णन की सतह लिखने के नियम का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

जेड 2 + एक्स 2 = 2पी (य +2) .

इस समीकरण में बिंदु M के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हुए, हम पैरामीटर p के मान की गणना करते हैं: 9 + 9 = 2आर(1 + 2) . हम बिंदु से होकर गुजरने वाली क्रांति की सतह के अंतिम दृश्य को रिकॉर्ड करते हैं एम:

जेड 2 + एक्स 2 = 6(y +2).

अब हम सूत्रों का उपयोग करके सामान्य और स्पर्शरेखा तल के समीकरण ढूंढेंगे, जिसके लिए हम पहले फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न की गणना करते हैं:

एफ(एक्स, वाई) = जेड 2 + एक्स 2- 6 (य +2):

तब स्पर्शरेखा तल का समीकरण रूप लेता है 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 या x - y - z - 5 = 0;

1°

1°. सतह की स्पष्ट परिभाषा के मामले के लिए स्पर्शरेखा तल और सामान्य के समीकरण।

आइए दो चर वाले फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न के ज्यामितीय अनुप्रयोगों में से एक पर विचार करें। कार्य करने दो जेड = एफ (एक्स ;य)बिंदु पर भिन्न (एक्स 0; य 0)कुछ क्षेत्र डीÎ आर 2. आइए सतह को काटें एस,फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करना जेड,विमान एक्स = एक्स 0और य = य 0(चित्र 11)।

विमान एक्स = एक्स 0सतह को काटता है एसकिसी पंक्ति के साथ जेड 0 (य ),जिसका समीकरण मूल फलन के व्यंजक में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है z ==एफ (एक्स ;य)के बजाय एक्सनंबर एक्स 0 .डॉट म 0 (एक्स 0 ;य 0,एफ (एक्स 0 ;य 0))वक्र के अंतर्गत आता है जेड 0 (य).भिन्न-भिन्न कार्य के कारण जेडबिंदु पर म 0समारोह जेड 0 (य)बिंदु पर भी भिन्न है आप =य 0 .इसलिए, विमान में इस बिंदु पर एक्स = एक्स 0वक्र की ओर जेड 0 (य)एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है मैं 1.

अनुभाग के लिए समान तर्क प्रस्तुत करना पर = य 0,आइए एक स्पर्श रेखा बनाएं मैं 2वक्र की ओर जेड 0 (एक्स)बिंदु पर एक्स = एक्स 0 -प्रत्यक्ष 1 1 और 1 2 नामक विमान को परिभाषित करें स्पर्शरेखा तलज़मीनी स्तर पर एसबिंदु पर म 0.

चलिए इसका समीकरण बनाते हैं. चूँकि विमान बिंदु से होकर गुजरता है मो(एक्स 0 ;य 0 ;z 0),तो इसका समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है

ए(एक्स - एक्सओ) + बी(वाई - यो) + सी (जेड - ज़ो) = 0,

जिसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(समीकरण को -C से विभाजित करना और निरूपित करना ).

हम ढूंढ लेंगे ए 1और बी 1.

स्पर्शरेखा समीकरण 1 1 और 1 2 हमशक्ल

क्रमश।

स्पर्शरेखा मैं 1समतल ए में स्थित है , इसलिए, सभी बिंदुओं के निर्देशांक मैं 1समीकरण (1) को संतुष्ट करें। इस तथ्य को एक व्यवस्था के रूप में लिखा जा सकता है

बी 1 के संबंध में इस प्रणाली को हल करते हुए, हम वह प्राप्त करते हैं। स्पर्शरेखा के लिए समान तर्क को आगे बढ़ाते हुए मैं 3, इसे स्थापित करना आसान है .

मूल्यों को प्रतिस्थापित करना ए 1और बी 1 को समीकरण (1) में, हम आवश्यक स्पर्शरेखा समतल समीकरण प्राप्त करते हैं:

एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा म 0और सतह पर इस बिंदु पर निर्मित स्पर्श रेखा के लंबवत को इसका कहा जाता है सामान्य।

रेखा और तल की लंबवतता की स्थिति का उपयोग करके, विहित सामान्य समीकरण प्राप्त करना आसान है:

टिप्पणी।सतह के सामान्य, यानी, गैर-विशेष, बिंदुओं के लिए स्पर्शरेखा तल और सतह के सामान्य के सूत्र प्राप्त किए जाते हैं। डॉट म 0सतह को कहा जाता है विशेष,यदि इस बिंदु पर सभी आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं या उनमें से कम से कम एक मौजूद नहीं है। हम ऐसे बिंदुओं पर विचार नहीं करते.

उदाहरण। सतह के बिंदु पर स्पर्शरेखा तल और अभिलंब के लिए समीकरण लिखें एम(2; -1; 1).

समाधान। आइए इस फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न और बिंदु M पर उनके मान ज्ञात करें

यहां से, सूत्र (2) और (3) लागू करने पर, हमारे पास यह होगा: z-1=2(x-2)+2(y+1)या 2х+2у-z-1=0- स्पर्शरेखा समतल समीकरण तथा - सामान्य समीकरण.

2°. सतह की अंतर्निहित परिभाषा के मामले के लिए स्पर्शरेखा तल और सामान्य के समीकरण।

यदि सतह एससमीकरण द्वारा दिया गया एफ (एक्स ; य;z)= 0, फिर समीकरण (2) और (3), इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि आंशिक व्युत्पन्न को एक अंतर्निहित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में पाया जा सकता है।

सामान्य समतल समीकरण

1.

4.

स्पर्शरेखा तल और सतह सामान्य

मान लीजिए कुछ सतह दी गई है, A सतह का एक निश्चित बिंदु है और B सतह का एक परिवर्तनशील बिंदु है,

(चित्र .1)।

शून्येतर सदिश

→

एन

बुलाया सामान्य वेक्टरबिंदु A पर सतह पर, यदि

लिम बी → ए जे = π 2 .

एक सतह बिंदु F (x, y, z) = 0 को सामान्य कहा जाता है यदि इस बिंदु पर

1. आंशिक व्युत्पन्न F " x , F " y , F " z सतत हैं;
2. (एफ " एक्स )2 + (एफ " वाई )2 + (एफ " जेड )2 ≠ 0।

यदि इनमें से कम से कम एक शर्त का उल्लंघन किया जाता है, तो सतह बिंदु को कहा जाता है सतह का विशेष बिंदु .

प्रमेय 1.यदि एम(x 0 , y 0 , z 0 ) सतह का एक सामान्य बिंदु है F (x , y , z) = 0 , तो वेक्टर

→ एन = ग्रेड एफ (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → मैं + एफ " वाई (एक्स 0 , वाई 0 , जेड 0 ) → जे + एफ "जेड (x 0 , y 0 , z 0 ) → क

(1)

बिंदु M (x 0 , y 0 , z 0 ) पर इस सतह के लिए सामान्य है।

सबूतआई.एम. की पुस्तक में दिया गया है। पेत्रुश्को, एल.ए. कुज़नेत्सोवा, वी.आई. प्रोखोरेंको, वी.एफ. सफ़ोनोवा ``उच्च गणित का पाठ्यक्रम: इंटीग्रल कैलकुलस। अनेक चरों के कार्य. विभेदक समीकरण। एम.: पब्लिशिंग हाउस एमपीईआई, 2002 (पृष्ठ 128)।

सतह पर सामान्यकिसी बिंदु पर एक सीधी रेखा होती है जिसका दिशा सदिश इस बिंदु पर सतह के लंबवत होता है और जो इस बिंदु से होकर गुजरती है।

कैनन का सामान्य समीकरणरूप में प्रस्तुत किया जा सकता है

एक्स − एक्स 0 एफ " एक्स (x 0 , y 0 , z 0 ) = य − य 0 एफ " वाई (एक्स 0 , वाई 0 , जेड 0 ) = z − z 0 एफ "जेड (x 0 , y 0 , z 0 ) .

(2)

स्पर्शरेखा तलएक निश्चित बिंदु पर सतह पर एक विमान होता है जो इस बिंदु पर सतह के अभिलंब के लंबवत इस बिंदु से होकर गुजरता है।

इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है स्पर्शरेखा समतल समीकरणइसका रूप है:

(3)

यदि किसी सतह पर एक बिंदु एकवचन है, तो उस बिंदु पर सतह पर सामान्य वेक्टर मौजूद नहीं हो सकता है, और इसलिए, सतह पर एक सामान्य और स्पर्शरेखा तल नहीं हो सकता है।

दो चरों के किसी फलन के कुल अंतर का ज्यामितीय अर्थ

मान लीजिए कि फलन z = f (x, y) बिंदु a (x 0, y 0) पर अवकलनीय है। इसका ग्राफ सतह है

एफ (एक्स, वाई) - जेड = 0.

आइए z 0 = f (x 0 , y 0 ) रखें। फिर बिंदु A (x 0 , y 0 , z 0 ) सतह से संबंधित है।

फ़ंक्शन F (x, y, z) = f (x, y) - z के आंशिक व्युत्पन्न हैं

एफ "एक्स = एफ" एक्स, एफ "वाई = एफ" वाई, एफ "जेड = - 1

और बिंदु A पर (x 0 , y 0 , z 0 )

1. वे निरंतर हैं;
2. एफ "2 एक्स + एफ "2 वाई + एफ "2 जेड = एफ "2 एक्स + एफ "2 वाई + 1 ≠ 0.

इसलिए, A सतह F (x, y, z) का एक सामान्य बिंदु है और इस बिंदु पर सतह पर एक स्पर्शरेखा तल है। (3) के अनुसार, स्पर्शरेखा समतल समीकरण का रूप है:

f " x (x 0 , y 0 ) (x - x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y - y 0 ) - (z - z 0 ) = 0.

बिंदु a (x 0, y 0) से एक मनमाना बिंदु p (x, y) की ओर जाने पर स्पर्शरेखा तल पर एक बिंदु का ऊर्ध्वाधर विस्थापन B Q (चित्र 2) है। आवेदकों की तदनुरूप वृद्धि है

(z - z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x - x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y - y 0 )

यहां दाहिनी ओर एक अंतर है डी z फ़ंक्शन z = f (x, y) बिंदु a (x 0, x 0) पर। इस तरह,
डीएफ (x 0 , y 0 ). बिंदु (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)) पर फ़ंक्शन f (x, y) के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा समतल बिंदु के अनुप्रयोग की वृद्धि है।

अंतर की परिभाषा से यह पता चलता है कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर बिंदु P और स्पर्शरेखा तल पर बिंदु Q के बीच की दूरी, बिंदु p से बिंदु a तक की दूरी की तुलना में उच्च क्रम की एक अनंत लघु है।