सामान्यीकृत बल

सामान्यीकृत बल

वे मात्राएँ जो संतुलन या यांत्रिक गति का अध्ययन करते समय सामान्य बलों की भूमिका निभाती हैं। प्रणाली, इसकी स्थिति सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा निर्धारित होती है। O. s की संख्या. सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के बराबर; इस मामले में, प्रत्येक सामान्यीकृत निर्देशांक क्यूई अपनी स्वयं की समन्वय प्रणाली से मेल खाता है। क्यूई. O. s का मान. निर्देशांक q1 के संगत Q1 को तत्व की गणना करके पाया जा सकता है। सिस्टम के संभावित आंदोलन पर सभी बलों का कार्य dA1, जिसके दौरान केवल समन्वय q1 बदलता है: वृद्धि dq1 प्राप्त करना। फिर dA1=Q1dq1т. ई. अभिव्यक्ति dA1 में dqi के लिए गुणांक O. s होगा। Q1. Q2, Q3 की गणना इसी प्रकार की जाती है। . .,प्रश्न.

आयाम ओ. एस. सामान्यीकृत निर्देशांक के आयाम पर निर्भर करता है। यदि क्यूई की लंबाई है, तो क्यूई सामान्य बल का आयाम है; यदि क्यूई एक कोण है, तो क्यूई में बल के क्षण आदि का आयाम होता है। किसी यांत्रिक की गति का अध्ययन करते समय O. सिस्टम सिस्टम सामान्य बलों के बजाय यांत्रिकी के लैग्रेंज समीकरणों में प्रवेश करते हैं, और सभी O. सिस्टम संतुलन में होते हैं। शून्य के बराबर हैं.

भौतिक विश्वकोश शब्दकोश। - एम.: सोवियत विश्वकोश. प्रधान संपादक ए. एम. प्रोखोरोव. 1983 .

देखें अन्य शब्दकोशों में "सामान्यीकृत बल" क्या हैं:

वे मात्राएँ जो किसी यांत्रिक प्रणाली के संतुलन या गति का अध्ययन करते समय सामान्य बलों की भूमिका निभाती हैं, इसकी स्थिति सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा निर्धारित की जाती है (सामान्यीकृत निर्देशांक देखें)। O. s की संख्या. सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के बराबर; पर… …

यांत्रिकी में, मात्रा क्यूई, मात्रा क्यूई का उत्पाद और सामान्यीकृत निर्देशांक क्यूई यांत्रिक के प्राथमिक समाधान डीक्यूआई। सिस्टम प्रारंभिक कार्य की अभिव्यक्ति देते हैं बीए जहां यह रेशेदार सामग्री (कपास, विस्कोस) के ढेर से बनता है। स्टिकर ओ के लिए आमतौर पर... ... बिग इनसाइक्लोपीडिक पॉलिटेक्निक डिक्शनरी

- (यूएसए) (संयुक्त राज्य अमेरिका, यूएसए)। I. सामान्य जानकारी संयुक्त राज्य अमेरिका उत्तरी अमेरिका में एक राज्य है। क्षेत्रफल 9.4 मिलियन किमी2। जनसंख्या 216 मिलियन लोग। (1976, मूल्यांकन)। राजधानी वाशिंगटन है. प्रशासनिक दृष्टि से, संयुक्त राज्य अमेरिका का क्षेत्र... महान सोवियत विश्वकोश

- (यूएसएसआर वायु सेना) सोवियत वायु सेना का ध्वज अस्तित्व के वर्ष ... विकिपीडिया

- الإمارات العربية المتحدة‎ अल इमारात अल अरबिया अल मुत्ताहिदा...विकिपीडिया

बल क्षेत्र को स्केलर फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट के रूप में कॉन्फ़िगरेशन स्थान के क्यू क्षेत्र में निर्दिष्ट किया गया है: जहां (सामान्यीकृत) निर्देशांक, यू (क्यू) संभावित ऊर्जा है। पी. एस. का कार्य क्यू में किसी भी बंद समोच्च के साथ एक बिंदु पर संकुचन शून्य के बराबर है। एक संकेत... ... भौतिक विश्वकोश

- (वायु सेना) राज्य की सशस्त्र सेनाओं का एक प्रकार है, जिसका उद्देश्य परिचालन रणनीतिक कार्यों को हल करने में स्वतंत्र कार्रवाई और अन्य प्रकार की सशस्त्र सेनाओं के साथ संयुक्त कार्रवाई करना है। अपनी लड़ाकू क्षमताओं के संदर्भ में, आधुनिक वायु सेना... महान सोवियत विश्वकोश

बल, किसी बल की क्रिया का एक माप है, जो बल के संख्यात्मक परिमाण और दिशा और उसके अनुप्रयोग के बिंदु की गति पर निर्भर करता है। यदि बल F संख्यात्मक रूप से और दिशा में स्थिर है, और विस्थापन M0M1 सीधा है (चित्र 1), तो P. A = F․s․cosα, जहां s = M0M1 … महान सोवियत विश्वकोश

बल, किसी बल की क्रिया का एक माप है, जो बल के संख्यात्मक परिमाण और दिशा और उसके अनुप्रयोग के बिंदु की गति पर निर्भर करता है। यदि बल F संख्यात्मक रूप से और दिशा में स्थिर है, और विस्थापन M0M1 सीधा है (चित्र 1), तो P. A = F s cosa, जहां s = M0M1, और कोण... ... भौतिक विश्वकोश

यांत्रिकी। 1) पहली तरह के लैग्रेंज समीकरण, यांत्रिक गति के विभेदक समीकरण। सिस्टम, जो आयताकार समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपण में दिए गए हैं और तथाकथित शामिल हैं। लैग्रेंज गुणक। 1788 में जे. लैग्रेंज द्वारा प्राप्त किया गया। एक होलोनोमिक प्रणाली के लिए, ... ... भौतिक विश्वकोश

बेशक, इस सामान्यीकृत बल की गणना करते समय, संभावित ऊर्जा को सामान्यीकृत निर्देशांक के एक फ़ंक्शन के रूप में निर्धारित किया जाना चाहिए

पी = पी( क्यू 1 , क्यू 2 , क्यू 3 ,…,क्यूएस).

टिप्पणियाँ।

पहला। सामान्यीकृत प्रतिक्रिया बलों की गणना करते समय, आदर्श कनेक्शन को ध्यान में नहीं रखा जाता है।

दूसरा। सामान्यीकृत बल का आयाम सामान्यीकृत निर्देशांक के आयाम पर निर्भर करता है। तो यदि आयाम [ क्यू] - मीटर, फिर आयाम

[क्यू]= एनएम/एम = न्यूटन, यदि [ क्यू] - रेडियन, फिर [क्यू] = एनएम; अगर [ क्यू] = एम 2, फिर [क्यू] = एच/एम, आदि।

उदाहरण 4.एक वलय ऊर्ध्वाधर तल में झूलती हुई छड़ के साथ सरकती है। एमवज़न आर(चित्र 10)। हम छड़ को भारहीन मानते हैं। आइए हम सामान्यीकृत बलों को परिभाषित करें।

चित्र.10

समाधान।सिस्टम में स्वतंत्रता की दो डिग्री हैं। हम दो सामान्यीकृत निर्देशांक निर्दिष्ट करते हैं एसऔर ।

आइए हम निर्देशांक के अनुरूप सामान्यीकृत बल ज्ञात करें एस।हम इस निर्देशांक में वृद्धि देते हैं, निर्देशांक को अपरिवर्तित छोड़ते हैं, और एकमात्र सक्रिय बल के कार्य की गणना करते हैं आर, हम सामान्यीकृत बल प्राप्त करते हैं

फिर हम यह मानते हुए समन्वय बढ़ाते हैं एस= स्थिरांक. जब छड़ को किसी कोण से घुमाया जाता है, तो बल लगाने का बिंदु आर, अँगूठी एम, की ओर बढ़ेंगे। सामान्यीकृत बल होगा

चूंकि प्रणाली रूढ़िवादी है, संभावित ऊर्जा का उपयोग करके सामान्यीकृत बल भी पाए जा सकते हैं। हम पाते हैं और . यह बहुत आसान हो जाता है.

लैग्रेंज संतुलन समीकरण

परिभाषा के अनुसार (7) सामान्यीकृत बल , क = 1,2,3,…,एस, कहाँ एस- स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या.

यदि सिस्टम संतुलन में है, तो संभावित विस्थापन के सिद्धांत के अनुसार (1) . यहां कनेक्शन द्वारा अनुमत गतिविधियां, संभावित गतिविधियां हैं। इसलिए, जब कोई भौतिक प्रणाली संतुलन में होती है, तो उसके सभी सामान्यीकृत बल शून्य के बराबर होते हैं:

क्यू के= 0, (क=1,2,3,…, एस). (10)

ये समीकरण सामान्यीकृत निर्देशांक में संतुलन समीकरणया लैग्रेंज संतुलन समीकरण , स्थैतिक समस्याओं को हल करने के लिए एक और विधि की अनुमति दें।

यदि व्यवस्था रूढ़िवादी है, तो. इसका मतलब यह है कि यह संतुलन की स्थिति में है। अर्थात्, ऐसी भौतिक प्रणाली की संतुलन स्थिति में, इसकी स्थितिज ऊर्जा या तो अधिकतम या न्यूनतम होती है, अर्थात। फ़ंक्शन П(q) का एक चरम है।

यह सबसे सरल उदाहरण (चित्र 11) के विश्लेषण से स्पष्ट है। स्थिति में गेंद की संभावित ऊर्जा एम 1 की स्थिति में न्यूनतम है एम 2 - अधिकतम. यह देखा जा सकता है कि स्थिति में एम 1 संतुलन स्थिर रहेगा; गर्भवती एम 2-अस्थिर.

चित्र.11

संतुलन को स्थिर माना जाता है यदि इस स्थिति में शरीर को कम गति दी जाती है या थोड़ी दूरी पर विस्थापित किया जाता है और ये विचलन भविष्य में नहीं बढ़ते हैं।

यह सिद्ध किया जा सकता है (लैग्रेंज-डिरिचलेट प्रमेय) कि यदि किसी रूढ़िवादी प्रणाली की संतुलन स्थिति में इसकी संभावित ऊर्जा न्यूनतम है, तो यह संतुलन स्थिति स्थिर है।

स्वतंत्रता की एक डिग्री के साथ एक रूढ़िवादी प्रणाली के लिए, न्यूनतम संभावित ऊर्जा की स्थिति, और इसलिए संतुलन स्थिति की स्थिरता, दूसरे व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित की जाती है, संतुलन स्थिति में इसका मूल्य,

उदाहरण 5.गुठली ओएवज़न आरएक अक्ष के चारों ओर ऊर्ध्वाधर तल में घूम सकता है के बारे में(चित्र 12)। आइए हम संतुलन स्थितियों की स्थिरता का पता लगाएं और उसका अध्ययन करें।

चित्र.12

समाधान।छड़ी में एक डिग्री की स्वतंत्रता होती है। सामान्यीकृत निर्देशांक - कोण.

निचली, शून्य स्थिति के सापेक्ष, स्थितिज ऊर्जा P = पीएचडीया

संतुलन की स्थिति में होना चाहिए . इसलिए हमारे पास कोणों और (स्थितियों) के अनुरूप दो संतुलन स्थितियाँ हैं ओए 1 और ओए 2). आइए उनकी स्थिरता का पता लगाएं। दूसरा व्युत्पन्न ढूँढना. बेशक, के साथ। संतुलन की स्थिति स्थिर है. पर , . दूसरी संतुलन स्थिति अस्थिर है। परिणाम स्पष्ट हैं.

सामान्यीकृत जड़त्वीय बल.

उसी विधि (8) का उपयोग करना जिसके द्वारा सामान्यीकृत बलों की गणना की गई थी क्यू के, सक्रिय, निर्दिष्ट, बलों के अनुरूप, सामान्यीकृत बल भी निर्धारित किए जाते हैं एस के, सिस्टम के बिंदुओं की जड़ता बलों के अनुरूप:

और तबसे वह

कुछ गणितीय परिवर्तन.

ज़ाहिर तौर से,

चूँकि a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), तो

इसका मतलब है कि गति के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न

इसके अलावा, अंतिम पद (14) में आप विभेदन का क्रम बदल सकते हैं:

(15) और (16) को (14) में और फिर (14) को (13) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है

अंतिम योग को दो से विभाजित करने पर और यह ध्यान में रखते हुए कि अवकलज का योग योग के अवकलज के बराबर है, हमें मिलता है

सिस्टम की गतिज ऊर्जा कहां है, और सामान्यीकृत गति कहां है।

लैग्रेंज समीकरण.

परिभाषा के अनुसार (7) और (12) सामान्यीकृत बल

लेकिन सामान्य गतिशीलता समीकरण (3) के आधार पर, समानता का दायां पक्ष शून्य के बराबर है। और चूंकि सब कुछ ( क = 1,2,3,…,एस) शून्य से भिन्न हैं, तो। सामान्यीकृत जड़त्व बल (17) के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें समीकरण प्राप्त होता है

ये समीकरण सामान्यीकृत निर्देशांक में गति के विभेदक समीकरण कहलाते हैं, दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण या केवल – लैग्रेंज समीकरण.

इन समीकरणों की संख्या भौतिक प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के बराबर है।

यदि प्रणाली रूढ़िवादी है और संभावित क्षेत्र बलों के प्रभाव में चलती है, जब सामान्यीकृत बल होते हैं, तो लैग्रेंज समीकरणों को इस रूप में बनाया जा सकता है

कहाँ एल = टी– पी को कहा जाता है लैग्रेंज फ़ंक्शन (यह माना जाता है कि स्थितिज ऊर्जा P सामान्यीकृत वेगों पर निर्भर नहीं करती है)।

अक्सर, भौतिक प्रणालियों की गति का अध्ययन करते समय, यह पता चलता है कि कुछ सामान्यीकृत निर्देशांक क्यू जेलैग्रेंज फ़ंक्शन (या इसमें) में स्पष्ट रूप से शामिल नहीं हैं टीऔर पी). ऐसे निर्देशांक कहलाते हैं चक्रीय. इन निर्देशांकों के अनुरूप लैग्रेंज समीकरण अधिक सरलता से प्राप्त किए जाते हैं।

ऐसे समीकरणों का पहला समाकलन तुरंत पाया जा सकता है। इसे चक्रीय अभिन्न कहा जाता है:

लैग्रेंज के समीकरणों के आगे के अध्ययन और परिवर्तन सैद्धांतिक यांत्रिकी के एक विशेष खंड - "विश्लेषणात्मक यांत्रिकी" का विषय बनाते हैं।

सिस्टम की गति का अध्ययन करने के अन्य तरीकों की तुलना में लैग्रेंज के समीकरणों के कई फायदे हैं। मुख्य लाभ: समीकरण बनाने की विधि सभी समस्याओं में समान होती है, समस्याओं को हल करते समय आदर्श कनेक्शन की प्रतिक्रियाओं को ध्यान में नहीं रखा जाता है।

और एक और बात - इन समीकरणों का उपयोग न केवल यांत्रिक, बल्कि अन्य भौतिक प्रणालियों (विद्युत, विद्युत चुम्बकीय, ऑप्टिकल, आदि) का अध्ययन करने के लिए भी किया जा सकता है।

उदाहरण 6.आइए वलय की गति का अपना अध्ययन जारी रखें एमएक झूलती हुई छड़ पर (उदाहरण 4)।

सामान्यीकृत निर्देशांक निर्दिष्ट हैं - और s (चित्र 13)। सामान्यीकृत बलों को परिभाषित किया गया है: और .

चित्र.13

समाधान।वलय की गतिज ऊर्जा जहाँ a और .

हम दो लैग्रेंज समीकरण बनाते हैं

तब समीकरण इस प्रकार दिखते हैं:

हमने दो गैर-रेखीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण प्राप्त किए हैं, जिनके समाधान के लिए विशेष तरीकों की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 7.आइए किरण की गति का एक विभेदक समीकरण बनाएं अब, जो एक बेलनाकार सतह पर बिना फिसले लुढ़कता है (चित्र 14)। बीम की लंबाई अब = एल, वज़न - आर.

संतुलन स्थिति में, किरण क्षैतिज और गुरुत्वाकर्षण का केंद्र था साथयह सिलेंडर के शीर्ष बिंदु पर स्थित था। किरण में एक डिग्री की स्वतंत्रता होती है। इसकी स्थिति एक सामान्यीकृत निर्देशांक - एक कोण (चित्र 76) द्वारा निर्धारित की जाती है।

चित्र.14

समाधान।व्यवस्था रूढ़िवादी है. इसलिए, हम क्षैतिज स्थिति के सापेक्ष गणना की गई संभावित ऊर्जा P=mgh का उपयोग करके लैग्रेंज समीकरण की रचना करेंगे। संपर्क बिंदु पर वेग का तात्कालिक केंद्र होता है और (कोण के साथ वृत्ताकार चाप की लंबाई के बराबर)।

इसलिए (चित्र 76 देखें) और।

गतिज ऊर्जा (किरण समतल-समानांतर गति से गुजरती है)

हम समीकरण के लिए आवश्यक व्युत्पन्न पाते हैं और

चलिए एक समीकरण बनाते हैं

या, अंततः,

स्व-परीक्षण प्रश्न

किसी बाधित यांत्रिक प्रणाली की संभावित गति को क्या कहा जाता है?

सिस्टम की संभावित और वास्तविक गतिविधियाँ कैसे संबंधित हैं?

कनेक्शन क्या कहलाते हैं: ए) स्थिर; ख) आदर्श?

संभावित आंदोलनों का सिद्धांत तैयार करें। इसकी सूत्रात्मक अभिव्यक्ति लिखिए।

क्या गैर-आदर्श कनेक्शन वाले सिस्टम पर वर्चुअल मूवमेंट के सिद्धांत को लागू करना संभव है?

किसी यांत्रिक प्रणाली के सामान्यीकृत निर्देशांक क्या हैं?

किसी यांत्रिक प्रणाली की स्वतंत्रता की कोटि की संख्या कितनी होती है?

किस मामले में सिस्टम में बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक न केवल सामान्यीकृत निर्देशांक पर निर्भर करते हैं, बल्कि समय पर भी निर्भर करते हैं?

किसी यांत्रिक प्रणाली की संभावित गतिविधियों को क्या कहा जाता है?

क्या संभावित हलचलें तंत्र पर कार्य करने वाली शक्तियों पर निर्भर करती हैं?

किसी यांत्रिक प्रणाली के किन कनेक्शनों को आदर्श कहा जाता है?

घर्षण से बना बंधन आदर्श बंधन क्यों नहीं होता?

संभावित आंदोलनों का सिद्धांत कैसे तैयार किया जाता है?

कार्य समीकरण कितने प्रकार के हो सकते हैं?

संभावित विस्थापन का सिद्धांत बड़ी संख्या में निकायों से युक्त प्रतिबंधित प्रणालियों पर लागू बलों के लिए संतुलन की स्थिति की व्युत्पत्ति को सरल क्यों बनाता है?

स्वतंत्रता की कई डिग्री के साथ एक यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाली ताकतों के लिए कार्य समीकरण कैसे बनाए जाते हैं?

सरल मशीनों में प्रेरक बल और प्रतिरोधी बल के बीच क्या संबंध है?

यांत्रिकी का स्वर्णिम नियम कैसे बनाया गया है?

संभावित आंदोलनों के सिद्धांत का उपयोग करके कनेक्शन की प्रतिक्रियाएं कैसे निर्धारित की जाती हैं?

किन कनेक्शनों को होलोनोमिक कहा जाता है?

किसी यांत्रिक प्रणाली की स्वतंत्रता की कोटि की संख्या कितनी होती है?

सिस्टम के सामान्यीकृत निर्देशांक क्या हैं?

एक गैर-मुक्त यांत्रिक प्रणाली में कितने सामान्यीकृत निर्देशांक होते हैं?

कार के स्टीयरिंग व्हील में कितने डिग्री की स्वतंत्रता होती है?

सामान्यीकृत बल क्या है?

सामान्यीकृत निर्देशांक में सिस्टम पर लागू सभी बलों के कुल प्रारंभिक कार्य को व्यक्त करने वाला एक सूत्र लिखें।

सामान्यीकृत बल का आयाम कैसे निर्धारित किया जाता है?

रूढ़िवादी प्रणालियों में सामान्यीकृत बलों की गणना कैसे की जाती है?

आदर्श कनेक्शन वाले सिस्टम की गतिशीलता के सामान्य समीकरण को व्यक्त करने वाले सूत्रों में से एक को लिखें। इस समीकरण का भौतिक अर्थ क्या है?

किसी प्रणाली पर लागू सक्रिय बलों का सामान्यीकृत बल क्या है?

सामान्यीकृत जड़त्वीय बल क्या है?

सामान्यीकृत बलों में डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत तैयार करें।

गतिकी का सामान्य समीकरण क्या है?

सिस्टम के कुछ सामान्यीकृत निर्देशांक के अनुरूप सामान्यीकृत बल को क्या कहा जाता है और इसका क्या आयाम है?

आदर्श बंधों की सामान्यीकृत प्रतिक्रियाएँ क्या हैं?

सामान्यीकृत बलों में गतिशीलता का सामान्य समीकरण प्राप्त करें।

सामान्यीकृत बलों में गतिशीलता के सामान्य समीकरण से प्राप्त यांत्रिक प्रणाली पर लागू बलों के लिए संतुलन की स्थिति किस रूप में होती है?

कार्टेशियन निर्देशांक के निश्चित अक्षों पर बलों के प्रक्षेपण के माध्यम से कौन से सूत्र सामान्यीकृत बलों को व्यक्त करते हैं?

रूढ़िवादी के मामले में और गैर-रूढ़िवादी ताकतों के मामले में सामान्यीकृत ताकतों का निर्धारण कैसे किया जाता है?

किन कनेक्शनों को ज्यामितीय कहा जाता है?

संभावित विस्थापन के सिद्धांत का एक सदिश निरूपण दीजिए।

आदर्श स्थिर ज्यामितीय कनेक्शन वाले यांत्रिक प्रणाली के संतुलन के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का नाम बताइए।

एक रूढ़िवादी प्रणाली के बल कार्य में संतुलन की स्थिति में क्या गुण होता है?

दूसरे प्रकार के लैग्रेंज अवकल समीकरणों की एक प्रणाली लिखिए।

एक बाधित यांत्रिक प्रणाली के लिए दूसरे प्रकार के कितने लैग्रेंज समीकरण बनाए जा सकते हैं?

क्या किसी यांत्रिक प्रणाली के लैग्रेंज समीकरणों की संख्या प्रणाली में शामिल निकायों की संख्या पर निर्भर करती है?

किसी प्रणाली की गतिज क्षमता क्या है?

लैग्रेंज फ़ंक्शन किस यांत्रिक प्रणाली के लिए मौजूद है?

एक यांत्रिक प्रणाली से संबंधित बिंदु के वेग वेक्टर के कार्य क्या तर्क हैं एसस्वतंत्रता की कोटियां?

किसी सामान्यीकृत वेग के संबंध में सिस्टम में किसी बिंदु के वेग वेक्टर का आंशिक व्युत्पन्न क्या है?

किस तर्क का कार्य होलोनोमिक गैर-स्थिर बाधाओं के अधीन एक प्रणाली की गतिज ऊर्जा है?

दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरणों का क्या रूप होता है? प्रत्येक यांत्रिक प्रणाली के लिए इन समीकरणों की संख्या क्या है?

उस स्थिति में जब सिस्टम पर रूढ़िवादी और गैर-रूढ़िवादी ताकतों द्वारा एक साथ कार्य किया जाता है, तो दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण क्या रूप लेते हैं?

लैग्रेंज फ़ंक्शन, या गतिज क्षमता क्या है?

एक रूढ़िवादी प्रणाली के लिए दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरणों का क्या रूप होता है?

लैग्रेंज समीकरण बनाते समय किसी यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा को किन चरों के आधार पर व्यक्त किया जाना चाहिए?

लोचदार बलों के प्रभाव में एक यांत्रिक प्रणाली की संभावित ऊर्जा कैसे निर्धारित की जाती है?

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

कार्य 1।संभावित विस्थापन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, मिश्रित संरचनाओं के कनेक्शन की प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करें। संरचनात्मक आरेख चित्र में दिखाए गए हैं। 15, और समाधान के लिए आवश्यक डेटा तालिका में दिया गया है। 1. तस्वीरों में सभी आयाम मीटर में हैं।

तालिका नंबर एक

आर 1, के.एन आर 2, के.एन क्यू, केएन/एम एम, केएनएम आर 1, के.एन आर 2, के.एन क्यू, केएन/एम एम, केएनएम

विकल्प 1 विकल्प 2

विकल्प 3 विकल्प 4

विकल्प 5 विकल्प 6

विकल्प 7 विकल्प 8

चित्र.16 चित्र.17

समाधान।यह सत्यापित करना आसान है कि इस समस्या में लैग्रेंज सिद्धांत को लागू करने की सभी शर्तें पूरी होती हैं (सिस्टम संतुलन में है, कनेक्शन स्थिर, होलोनोमिक, सीमित और आदर्श हैं)।

आइए प्रतिक्रिया के अनुरूप संबंध से खुद को मुक्त करें एक्सए (चित्र 17)। ऐसा करने के लिए, बिंदु ए पर, स्थिर काज को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, एक रॉड समर्थन के साथ, जिस स्थिति में सिस्टम को एक डिग्री की स्वतंत्रता प्राप्त होती है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सिस्टम की संभावित गति उस पर लगाए गए अवरोधों से निर्धारित होती है और लागू बलों पर निर्भर नहीं होती है। इसलिए, संभावित विस्थापन का निर्धारण एक गतिज समस्या है। चूँकि इस उदाहरण में फ्रेम केवल चित्र के तल में ही घूम सकता है, इसकी संभावित गतियाँ भी समतल हैं। समतल गति में, शरीर की गति को वेगों के तात्कालिक केंद्र के चारों ओर घूमने के रूप में माना जा सकता है। यदि वेगों का तात्कालिक केंद्र अनंत पर स्थित है, तो यह तात्कालिक अनुवादात्मक गति के मामले से मेल खाता है, जब शरीर के सभी बिंदुओं का विस्थापन समान होता है।

वेगों का तात्कालिक केंद्र ज्ञात करने के लिए शरीर के किन्हीं दो बिंदुओं के वेगों की दिशा जानना आवश्यक है। इसलिए, किसी समग्र संरचना के संभावित विस्थापन का निर्धारण उस तत्व के संभावित विस्थापन को खोजने से शुरू होना चाहिए जिसके लिए ऐसे वेग ज्ञात हैं। इस मामले में, आपको फ़्रेम से शुरुआत करनी चाहिए सीडीबी, इसके बिंदु के बाद से मेंगतिहीन है और इसलिए, इस फ्रेम की संभावित गति काज बी से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर एक कोण के माध्यम से इसका घूमना है। अब, बिंदु की संभावित गति को जानना साथ(यह एक साथ सिस्टम के दोनों फ़्रेमों से संबंधित है) और बिंदु की संभावित गति ए(बिंदु A की संभावित गति अक्ष के अनुदिश इसकी गति है एक्स), फ्रेम का तात्क्षणिक वेग केंद्र C 1 ज्ञात करें एईएस. इस प्रकार, फ्रेम की संभावित गति एईएसइसका बिंदु C 1 के चारों ओर एक कोण द्वारा घूमना है। कोणों के बीच का संबंध बिंदु C की गति के माध्यम से निर्धारित होता है (चित्र 17 देखें)

त्रिभुज EC 1 C और BCD की समानता से हमें प्राप्त होता है

परिणामस्वरूप, हमें निर्भरताएँ मिलती हैं:

संभावित आंदोलनों के सिद्धांत के अनुसार

आइए हम यहां शामिल संभावित नौकरियों की क्रमिक रूप से गणना करें:

Q=2q - वितरित भार का परिणाम, जिसके अनुप्रयोग का बिंदु चित्र में दिखाया गया है। 79; इसके द्वारा किया गया संभावित कार्य बराबर है।

आइए हम एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें जिसमें भौतिक बिंदु शामिल हैं जिन पर बल कार्य करते हैं। मान लीजिए कि प्रणाली में स्वतंत्रता की डिग्री है और इसकी स्थिति सामान्यीकृत निर्देशांक (104) द्वारा निर्धारित की जाएगी। आइए हम सिस्टम को ऐसे स्वतंत्र संभावित आंदोलन की जानकारी दें जिस पर निर्देशांक में वृद्धि हो और शेष निर्देशांक में परिवर्तन न हो। तब सिस्टम के बिंदुओं के प्रत्येक त्रिज्या वैक्टर को एक प्रारंभिक वृद्धि प्राप्त होगी। चूँकि, समानता (106) के अनुसार, और विचाराधीन आंदोलन के दौरान केवल समन्वय बदलता है (बाकी स्थिर मान बनाए रखते हैं), इसकी गणना आंशिक अंतर के रूप में की जाती है और इसलिए,

§ 87 से इस समानता और सूत्र (42) का उपयोग करते हुए, हम विचाराधीन विस्थापन पर सभी अभिनय बलों के प्रारंभिक कार्यों के योग की गणना करते हैं, जिसे हम निरूपित करते हैं।

सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते हुए, हम अंततः पाते हैं

जहां संकेत दिया गया है

बल F के प्राथमिक कार्य को परिभाषित करने वाली समानता के अनुरूप, मात्रा को निर्देशांक के अनुरूप सामान्यीकृत बल कहा जाता है

एक अन्य स्वतंत्र संभावित आंदोलन की प्रणाली को सूचित करके, जिसके दौरान केवल समन्वय बदलता है, हम इस आंदोलन पर सभी अभिनय बलों के प्रारंभिक कार्य के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं

मात्रा निर्देशांक आदि के अनुरूप सामान्यीकृत बल का प्रतिनिधित्व करती है।

जाहिर है, यदि सिस्टम को ऐसी संभावित गति दी जाती है जो एक साथ उसके सभी सामान्यीकृत निर्देशांक को बदल देती है, तो इस गति पर लागू बलों के प्राथमिक कार्यों का योग समानता द्वारा निर्धारित किया जाएगा

सूत्र (112) सामान्यीकृत निर्देशांक में प्रणाली पर कार्य करने वाले सभी बलों के कुल प्रारंभिक कार्य के लिए एक अभिव्यक्ति देता है। इस समानता से यह स्पष्ट है कि सामान्यीकृत बल प्रणाली पर कार्य करने वाले बलों के कुल प्रारंभिक कार्य की अभिव्यक्ति में सामान्यीकृत निर्देशांक की वृद्धि के गुणांक के बराबर मात्राएँ हैं।

यदि सिस्टम पर लगाए गए सभी कनेक्शन आदर्श हैं, तो संभावित आंदोलनों के दौरान कार्य केवल सक्रिय बलों द्वारा किया जाता है और मात्राएं सिस्टम की सामान्यीकृत सक्रिय ताकतों का प्रतिनिधित्व करेंगी।

सामान्यीकृत बल का आयाम संबंधित सामान्यीकृत निर्देशांक के आयाम पर निर्भर करता है। चूंकि उत्पाद और इसलिए काम का आयाम है, तो

अर्थात्, सामान्यीकृत बल का आयाम संबंधित सामान्यीकृत समन्वय के आयाम से विभाजित कार्य के आयाम के बराबर होता है। इससे यह स्पष्ट है कि यदि q एक रैखिक मात्रा है, तो Q में साधारण बल का आयाम है (SI में इसे न्यूटन में मापा जाता है), यदि q एक कोण (एक अथाह मात्रा) है, तो Q में मापा जाएगा और है क्षण का आयाम; यदि q आयतन है (उदाहरण के लिए, सिलेंडर में पिस्टन की स्थिति पिस्टन स्थान के आयतन से निर्धारित की जा सकती है), तो Q को मापा जाएगा और इसमें दबाव का आयाम होगा, आदि।

जैसा कि हम देखते हैं, सामान्यीकृत गति के अनुरूप, सामान्यीकृत बल की अवधारणा उन सभी मात्राओं को शामिल करती है जो पहले भौतिक निकायों (बल, बल का क्षण, दबाव) के यांत्रिक संपर्क के उपायों के रूप में सामने आए थे।

हम फॉर्म (108), (110) के सूत्रों का उपयोग करके सामान्यीकृत बलों की गणना करेंगे, जो संभावित प्रारंभिक कार्य की गणना को कम करता है (§ 140 देखें)। सबसे पहले, आपको यह स्थापित करना चाहिए कि सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या क्या है, सामान्यीकृत निर्देशांक का चयन करें और सिस्टम पर लागू सभी सक्रिय बलों और घर्षण बलों (यदि वे काम करते हैं) को ड्राइंग में चित्रित करें। फिर, निर्धारित करने के लिए, ऐसे संभावित आंदोलन की प्रणाली को सूचित करना आवश्यक है जिस पर केवल समन्वय बदलता है, एक सकारात्मक वृद्धि प्राप्त करते हुए, सूत्र (101) के अनुसार इस आंदोलन पर सभी अभिनय बलों के प्राथमिक कार्यों के योग की गणना करें और परिणामी अभिव्यक्ति को फॉर्म (108) में प्रस्तुत करें। फिर गुणांक और वांछित मान देता है। इसी तरह गणना करें

उदाहरण 1. आइए चित्र में दिखाए गए सिस्टम के लिए सामान्यीकृत बल की गणना करें। 366, जहां वजन ए को एक चिकने झुकाव वाले विमान के साथ पार किया जाता है, और वजन बी को किसी न किसी क्षैतिज विमान के साथ पार किया जाता है, जिसके बारे में घर्षण का गुणांक बराबर होता है

वजन एक ब्लॉक O के ऊपर फेंके गए धागे से जुड़े होते हैं। हम धागे और ब्लॉक के द्रव्यमान की उपेक्षा करते हैं। सिस्टम में स्वतंत्रता की एक डिग्री है; स्थिति समन्वय द्वारा निर्धारित की जाती है (संदर्भ की सकारात्मक दिशा तीर द्वारा दिखाई जाती है)। निर्धारित करने के लिए, हम सिस्टम को संभावित विस्थापन की जानकारी देते हैं और इस विस्थापन पर बलों के प्रारंभिक कार्य की गणना करते हैं; शेष बल कोई कार्य नहीं करते हैं। के बाद से

इस तरह,

उदाहरण 2. घर्षण की उपेक्षा करते हुए, हम चित्र में दिखाए गए सिस्टम के लिए सामान्यीकृत बल पाते हैं। 367. एक सजातीय छड़ A B की लंबाई l और भार P है और यह अक्ष A के चारों ओर ऊर्ध्वाधर तल में घूम सकती है। इस पर बंधी गेंद एम का वजन है। अस्थिर अवस्था में स्प्रिंग की लंबाई AM बराबर होती है और कठोरता c होती है।

सिस्टम में स्वतंत्रता की दो डिग्री हैं (छड़ के साथ गेंद की गति और धुरी ए के चारों ओर छड़ी का घूमना स्वतंत्र है)। सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में, हम बिना तनाव वाले स्प्रिंग के अंत से गेंद के कोण और दूरी को चुनते हैं; निर्देशांक की सकारात्मक दिशाएँ तीरों द्वारा दर्शाई जाती हैं।

हम सबसे पहले उस संभावित गति के बारे में सिस्टम को सूचित करते हैं जिस पर कोण में वृद्धि होती है। इस गति पर बलों द्वारा कार्य किया जाता है। सूत्र के दूसरे (101) का उपयोग करके हम पाते हैं (यहाँ ऋण चिह्न है क्योंकि क्षण की दिशा दिशा के विपरीत है)

इस तरह,

अब हम एक संभावित आंदोलन की प्रणाली को सूचित करते हैं, जिसके दौरान केवल समन्वय बदलता है, एक वृद्धि प्राप्त होती है, और कोण। इस विस्थापन पर गुरुत्वाकर्षण तथा प्रत्यास्थ बल द्वारा कार्य किया जाता है, जिसका मापांक तब होता है

आइए आदर्श कनेक्शन वाली एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें। आइए सिस्टम की सक्रिय ताकतें बनें। आइए यांत्रिक प्रणाली को एक आभासी विस्थापन दें और इस विस्थापन पर सिस्टम बलों के प्रारंभिक कार्य की गणना करें:

.

समानता (17.2) का उपयोग करके हम भिन्नता व्यक्त करते हैं
त्रिज्या सदिश अंक एम कविविधताओं के माध्यम से
सामान्यीकृत निर्देशांक:

इस तरह,

. (17.6)

आइए हम समानता में योग के क्रम को बदलें (17.6):

. (17.7)

आइए अभिव्यक्ति (17.7) में निरूपित करें

. (17.8)

.

सामान्यीकृत ताकतों द्वारा क्यू जे सिस्टम बलों के प्रारंभिक कार्य की अभिव्यक्ति में सामान्यीकृत निर्देशांक की विविधता के लिए गुणांक का नाम बताएं.

सामान्यीकृत निर्देशांक की विविधताओं के आयाम पर निर्भर करता है
सामान्यीकृत बल क्यू जेइसमें बल, क्षण आदि के आयाम हो सकते हैं।

सामान्यीकृत बलों की गणना के लिए तरीके

आइए सामान्यीकृत बलों की गणना करने के तीन तरीकों पर विचार करें।

1. मूल सूत्र का उपयोग करके सामान्यीकृत बलों का निर्धारण(17.8)

. (17.9)

व्यवहार में सूत्र (17.9) का प्रयोग बहुत कम होता है। समस्याओं को हल करते समय, दूसरी विधि का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

2. सामान्यीकृत निर्देशांकों को "फ्रीज़िंग" करने की एक विधि।

आइए हम यांत्रिक प्रणाली को एक आभासी विस्थापन दें जैसे कि सामान्यीकृत निर्देशांक के सभी बदलावों को छोड़कर
शून्य के बराबर हैं:

आइए इस आंदोलन के लिए किए गए काम का हिसाब लगाएं
सिस्टम पर लागू सभी सक्रिय बल

.

परिभाषा के अनुसार, भिन्नता के लिए गुणक
प्रथम सामान्यीकृत बल के बराबर क्यू 1 .

और दूसरे सामान्यीकृत बल को परिभाषित करें क्यू 2, सिस्टम के सभी बलों के आभासी कार्य की गणना करना

.

आइए इसी प्रकार सिस्टम के अन्य सभी सामान्यीकृत बलों की गणना करें।

3. संभावित बल क्षेत्र का मामला.

मान लीजिए किसी यांत्रिक प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा ज्ञात है

तब
और सूत्र के अनुसार (32.8)

सामान्यीकृत निर्देशांक में स्थैतिक के आभासी आंदोलनों का सिद्धांत

स्टैटिक्स के आभासी विस्थापन के सिद्धांत के अनुसार, आदर्श होल्डिंग होलोनोमिक, स्थिर कनेक्शन वाले सिस्टम के संतुलन के लिए, स्थिति आवश्यक और पर्याप्त है:

शून्य प्रारंभिक गति पर.

सामान्यीकृत निर्देशांक को पार करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

. (17.11)

चूँकि सामान्यीकृत निर्देशांकों की भिन्नताएँ स्वतंत्र होती हैं, अभिव्यक्ति के शून्य की समानता (17.11) केवल तभी संभव है जब सामान्यीकृत निर्देशांकों की विविधताओं के सभी गुणांक शून्य के बराबर हों:

इस प्रकार, आदर्श, होलोनोमिक, स्थिर और निरोधक कनेक्शन वाले एक यांत्रिक सिस्टम के संतुलन में होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम के सभी सामान्यीकृत बल शून्य के बराबर हों (सिस्टम के शून्य प्रारंभिक वेग पर)।

सामान्यीकृत निर्देशांक में लैग्रेंज समीकरण (दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण)

लैग्रेंज के समीकरण सामान्यीकृत निर्देशांक की विविधताओं के माध्यम से आभासी विस्थापन को उनकी अभिव्यक्तियों के साथ प्रतिस्थापित करके गतिशीलता के सामान्य समीकरण से प्राप्त किए जाते हैं। वे सामान्यीकृत निर्देशांक में एक यांत्रिक प्रणाली की गति के विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं:

. (17.13)

कहाँ
- सामान्यीकृत गति,

टी सिस्टम की गतिज ऊर्जा, सामान्यीकृत निर्देशांक और सामान्यीकृत वेग के एक फ़ंक्शन के रूप में प्रस्तुत की जाती है

क्यू जे- सामान्यीकृत बल.

सिस्टम के समीकरणों की संख्या (17.13) स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से निर्धारित होती है और सिस्टम में शामिल निकायों की संख्या पर निर्भर नहीं करती है। आदर्श कनेक्शन के साथ, केवल सक्रिय बल ही समीकरणों के दाएँ हाथ में प्रवेश करेंगे। यदि कनेक्शन आदर्श नहीं हैं, तो उनकी प्रतिक्रियाओं को सक्रिय बलों के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए।

यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाले संभावित बलों के मामले में, समीकरण (17.13) रूप लेते हैं

.

यदि हम लैग्रेंज फ़ंक्शन का परिचय देते हैं एल = टी  पी, फिर यह ध्यान में रखते हुए कि संभावित ऊर्जा सामान्यीकृत वेगों पर निर्भर नहीं करती है, हम संभावित बलों के मामले के लिए दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण निम्नलिखित रूप में प्राप्त करते हैं

.

दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण बनाते समय, आपको निम्नलिखित चरण करने होंगे:

यांत्रिक प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या निर्धारित करें और इसके सामान्यीकृत निर्देशांक का चयन करें।

सिस्टम की गतिज ऊर्जा के लिए एक अभिव्यक्ति लिखें और इसे सामान्यीकृत निर्देशांक और सामान्यीकृत वेग के एक फ़ंक्शन के रूप में प्रस्तुत करें।

ऊपर उल्लिखित विधियों का उपयोग करके, सिस्टम की सामान्यीकृत सक्रिय शक्तियों का पता लगाएं।

लैग्रेंज समीकरणों में आवश्यक सभी विभेदन ऑपरेशन निष्पादित करें।

उदाहरण।

कहाँ जे जेड घूर्णन अक्ष के सापेक्ष पिंड की जड़ता का क्षण जेड,
- शरीर का कोणीय वेग.

3. आइए सामान्यीकृत बल को परिभाषित करें। आइए शरीर को एक आभासी विस्थापन दें और सिस्टम के सभी सक्रिय बलों के आभासी कार्य की गणना करें:

इस तरह, क्यू = एम जेड शरीर के घूर्णन अक्ष के सापेक्ष प्रणाली की सक्रिय शक्तियों का मुख्य क्षण।

4. आइए हम लैग्रेंज समीकरण में विभेदन संक्रियाएँ निष्पादित करें

: (17.14)

. (17.15)

समानता (17.15) को समीकरण (173) में प्रतिस्थापित करने पर

14) हमें पिंड की घूर्णी गति का अंतर समीकरण प्राप्त होता है

.

सामान्यीकृत बलों की परिभाषा

स्वतंत्रता की एक डिग्री वाली प्रणाली के लिए, सामान्यीकृत समन्वय के अनुरूप एक सामान्यीकृत बल क्यू, सूत्र द्वारा निर्धारित मात्रा कहलाती है

जहां घ क्यू- सामान्यीकृत समन्वय की छोटी वृद्धि; - इसके संभावित आंदोलन पर सिस्टम की ताकतों के प्रारंभिक कार्यों का योग।

आइए हम याद रखें कि सिस्टम की संभावित गति को किसी निश्चित समय पर कनेक्शन द्वारा अनुमत असीमित करीबी स्थिति में सिस्टम की गति के रूप में परिभाषित किया गया है (अधिक विवरण के लिए, परिशिष्ट 1 देखें)।

यह ज्ञात है कि सिस्टम के किसी भी संभावित विस्थापन पर आदर्श बांड की प्रतिक्रिया बलों द्वारा किए गए कार्य का योग शून्य के बराबर है। इसलिए, आदर्श कनेक्शन वाले सिस्टम के लिए, अभिव्यक्ति में केवल सिस्टम की सक्रिय शक्तियों के कार्य को ही ध्यान में रखा जाना चाहिए। यदि कनेक्शन आदर्श नहीं हैं, तो उनके प्रतिक्रिया बल, उदाहरण के लिए, घर्षण बल, पारंपरिक रूप से सक्रिय बल माने जाते हैं (चित्र 1.5 में आरेख पर निर्देशों के लिए नीचे देखें)। इसमें सक्रिय बलों का प्रारंभिक कार्य और बलों के सक्रिय जोड़े के क्षणों का प्रारंभिक कार्य शामिल है। आइए इन कार्यों को निर्धारित करने के लिए सूत्र लिखें। मान लीजिए बल ( एफ केएक्स, एफ केवाई, एफ केजेड) बिंदु पर लागू किया गया को, जिसका त्रिज्या वेक्टर है ( एक्स के, वाई के, जेड के), और संभावित विस्थापन - (डी एक्सके,डी वाई के ,डी ज़ेड के). संभावित विस्थापन पर बल का प्राथमिक कार्य अदिश उत्पाद के बराबर होता है, जो विश्लेषणात्मक रूप में अभिव्यक्ति से मेल खाता है

डी ए( ) = एफ सेडी आर से कॉस(), (1.3ए)

और समन्वय रूप में - अभिव्यक्ति

डी ए( ) = एफ केएक्सडी एक्स के + एफ केवाईडी वाई के + एफ केजेडडी ज़ेड के. (1.3बी)

अगर एक जोड़े ने एक पल के लिए जोर लगाया एमएक घूमते हुए पिंड पर लागू किया जाता है, जिसका कोणीय निर्देशांक j है, और संभावित विस्थापन dj है, तो क्षण का प्राथमिक कार्य एमसंभावित विस्थापन डीजे पर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

डी पूर्वाह्न) = ± एमडी जे. (1.3v)

यहां चिह्न (+) उस स्थिति से मेल खाता है जब क्षण एमऔर डीजे की संभावित गति दिशा में मेल खाती है; जब वे दिशा में विपरीत हों तो (-) का चिह्न लगाएं।

सूत्र (1.3) का उपयोग करके सामान्यीकृत बल को निर्धारित करने में सक्षम होने के लिए, सामान्यीकृत समन्वय डी की एक छोटी वृद्धि के माध्यम से निकायों और बिंदुओं के संभावित आंदोलनों को व्यक्त करना आवश्यक है क्यू, निर्भरता का उपयोग करते हुए (1)…(7) adj. 1.

सामान्यीकृत बल की परिभाषा क्यू, चयनित सामान्यीकृत समन्वय के अनुरूप क्यू, इसे निम्नलिखित क्रम में करने की अनुशंसा की जाती है।

· सिस्टम के सभी सक्रिय बलों को डिज़ाइन आरेख पर बनाएं।

· सामान्यीकृत निर्देशांक d में एक छोटी वृद्धि दें क्यू> 0; गणना आरेख पर उन सभी बिंदुओं के संगत संभावित विस्थापन दिखाएं, जिन पर बल लागू होते हैं, और उन सभी निकायों के संभावित कोणीय विस्थापन, जिन पर बलों के जोड़े के क्षण लागू होते हैं।

· इन आंदोलनों पर सिस्टम के सभी सक्रिय बलों के प्रारंभिक कार्य के लिए एक अभिव्यक्ति लिखें, डी के माध्यम से संभावित आंदोलनों को व्यक्त करें क्यू.

· सूत्र (1.3) का उपयोग करके सामान्यीकृत बल निर्धारित करें।

उदाहरण 1.4 (चित्र 1.1 की स्थिति देखें)।

आइए हम सामान्यीकृत निर्देशांक के अनुरूप सामान्यीकृत बल को परिभाषित करें एस(चित्र 1.4)।

सक्रिय बल सिस्टम पर कार्य करते हैं: पी- कार्गो वजन; जी- ड्रम का वजन और टॉर्क एम.

खुरदुरा झुका हुआ तल भार के लिए है एअपूर्ण संबंध. फिसलन घर्षण बल एफ ट्र, भार पर कार्य करना एइस संबंध से, के बराबर है एफ टीआर = एफ एन.

ताकत निर्धारित करने के लिए एनआंदोलन के दौरान एक विमान पर भार का सामान्य दबाव, हम डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत का उपयोग करते हैं: यदि सक्रिय सक्रिय बलों और कनेक्शन की प्रतिक्रिया बलों के अलावा, सिस्टम के प्रत्येक बिंदु पर एक सशर्त जड़त्वीय बल लागू किया जाता है, तो परिणामी सेट बलों को संतुलित किया जाएगा और गतिशील समीकरणों को स्थैतिक संतुलन समीकरणों का रूप दिया जा सकता है। इस सिद्धांत को लागू करने की प्रसिद्ध विधि का पालन करते हुए, हम भार पर कार्य करने वाले सभी बलों को चित्रित करेंगे ए(चित्र 1.5), - और, केबल का तनाव बल कहाँ है।

चावल। 1.4 चित्र. 1.5

आइए जड़त्व बल जोड़ें, जहां भार का त्वरण है। अक्ष पर प्रक्षेपण में डी'एलेम्बर्ट के सिद्धांत का समीकरण यकी तरह लगता है एन-पीकोसए = 0.

यहाँ से एन = पीसीओएसएक। फिसलन घर्षण बल को अब सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है एफ टीआर = एफ पी कॉसएक।

आइए सामान्यीकृत निर्देशांक दें एसछोटी वृद्धि डी एस> 0. इस स्थिति में, भार (चित्र 1.4) झुके हुए तल से d दूरी तक ऊपर चला जाएगा एस, और ड्रम डीजे कोण से वामावर्त घूम जाएगा।

(1.3ए) और (1.3सी) जैसे सूत्रों का उपयोग करके, आइए प्रारंभिक टॉर्क कार्यों के योग के लिए एक अभिव्यक्ति बनाएं एम, ताकत पीऔर एफ ट्र:

आइए इस समीकरण में dj को d के माध्यम से व्यक्त करें एस: , तब

हम सूत्र (1.3) का उपयोग करके सामान्यीकृत बल को परिभाषित करते हैं

आइए पहले लिखे गए फॉर्मूले को ध्यान में रखें एफ ट्रऔर हम अंततः प्राप्त कर लेंगे

यदि उसी उदाहरण में हम कोण j को सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में लेते हैं, तो सामान्यीकृत बल क्यू जेसूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

1.4.2. सामान्यीकृत प्रणाली बलों का निर्धारण
स्वतंत्रता की दो डिग्री के साथ

अगर सिस्टम है एनस्वतंत्रता की डिग्री से उसकी स्थिति निर्धारित होती है एनसामान्यीकृत निर्देशांक. प्रत्येक समन्वय क्यू मैं(मैं = 1,2,…,एन) इसके सामान्यीकृत बल से मेल खाता है प्रश्न मैं, जो सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

सक्रिय बलों के प्रारंभिक कार्यों का योग कहां है मैं- सिस्टम की संभावित गति जब डी क्यू मैं > 0, और शेष सामान्यीकृत निर्देशांक अपरिवर्तित हैं।

निर्धारण करते समय, सूत्र (1.3) के अनुसार सामान्यीकृत बलों को निर्धारित करने के निर्देशों को ध्यान में रखना आवश्यक है।

निम्नलिखित क्रम में स्वतंत्रता की दो डिग्री के साथ एक प्रणाली की सामान्यीकृत शक्तियों को निर्धारित करने की अनुशंसा की जाती है।

· सिस्टम के सभी सक्रिय बलों को डिज़ाइन आरेख पर दिखाएं।

· पहला सामान्यीकृत बल निर्धारित करें प्रश्न 1. ऐसा करने के लिए, डी होने पर सिस्टम को पहला संभावित मूवमेंट दें क्यू 1 > 0, और डी क्यू 2 =प्रश्न 1सिस्टम के सभी निकायों और बिंदुओं की संभावित गतिविधियां; रचना - पहले संभावित विस्थापन पर सिस्टम की ताकतों के प्रारंभिक कार्य की अभिव्यक्ति; डी के माध्यम से व्यक्त की जाने वाली संभावित गतिविधियाँ प्रश्न 1; खोजो प्रश्न 1सूत्र (1.4) के अनुसार, लेना मैं = 1.

· दूसरा सामान्यीकृत बल निर्धारित करें प्रश्न 2. ऐसा करने के लिए, डी होने पर सिस्टम को दूसरा संभावित मूवमेंट दें क्यू 2 > 0, और डी क्यू 1 = 0; डिज़ाइन आरेख पर संबंधित d दिखाएँ प्रश्न 2सिस्टम के सभी निकायों और बिंदुओं की संभावित गतिविधियां; रचना - दूसरे संभावित विस्थापन पर सिस्टम बलों के प्राथमिक कार्य की अभिव्यक्ति; डी के माध्यम से व्यक्त की जाने वाली संभावित गतिविधियाँ प्रश्न 2; खोजो प्रश्न 2सूत्र (1.4) के अनुसार, लेना मैं = 2.

उदाहरण 1.5 (चित्र 1.2 की स्थिति देखें)

आइए परिभाषित करें प्रश्न 1और प्रश्न 2, सामान्यीकृत निर्देशांक के अनुरूप एक्सडीऔर एक्स ए(चित्र 1.6, ए).

सिस्टम पर तीन सक्रिय बल कार्य कर रहे हैं: पी ए = 2पी, पी बी = पी डी = पी.

परिभाषा प्रश्न 1. आइए सिस्टम को पहला संभावित आंदोलन दें जब डी एक्सडी> 0, डी एक्स ए = 0 (चित्र 1.6, ए). उसी समय, भार डी एक्सडी, अवरोध पैदा करना बीकोण dj द्वारा वामावर्त घूमेगा बी, सिलेंडर अक्ष एगतिहीन रहेगा, सिलेंडर एएक अक्ष के चारों ओर घूमेगा एकोण पर डीजे एदक्षिणावर्त. आइए संकेतित आंदोलनों पर काम का योग संकलित करें:

आइए परिभाषित करें

आइए परिभाषित करें प्रश्न 2. आइए सिस्टम को दूसरा संभावित आंदोलन दें जब डी एक्स डी = 0, डी एक्सए> 0 (चित्र 1.6, बी). इस मामले में, सिलेंडर अक्ष ए d दूरी तक लंबवत रूप से नीचे की ओर गति करेगा एक्स ए, सिलेंडर एएक अक्ष के चारों ओर घूमेगा एकोण डीजे के लिए दक्षिणावर्त ए, अवरोध पैदा करना बीऔर कार्गो डीनिश्चल रहेगा. आइए संकेतित आंदोलनों पर काम का योग संकलित करें:

आइए परिभाषित करें

उदाहरण 1.6 (चित्र 1.3 की स्थिति देखें)

आइए परिभाषित करें प्रश्न 1और प्रश्न 2, सामान्यीकृत निर्देशांक के अनुरूप जे, एस(चित्र 1.7, ए). प्रणाली पर चार सक्रिय बल कार्यरत हैं: छड़ का भार पी, गेंद का वजन, स्प्रिंग लोचदार बल और।

आइए इसे ध्यान में रखें। लोचदार बलों का मापांक सूत्र (ए) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

ध्यान दें कि बल के अनुप्रयोग का बिंदु एफ 2गतिहीन है, इसलिए सिस्टम के किसी भी संभावित विस्थापन पर इस बल का कार्य शून्य है, सामान्यीकृत बलों की अभिव्यक्ति में बल एफ 2अंदर नहीं जायेंगे.

परिभाषा प्रश्न 1. आइए सिस्टम को पहला संभावित मूवमेंट दें जब डीजे > 0, डी एस = 0 (चित्र 1.7, ए). इस मामले में, छड़ी अबएक अक्ष के चारों ओर घूमेगा जेडकोण डीजे द्वारा वामावर्त, गेंद की संभावित गति डीऔर केंद्र इछड़ें खंड के लंबवत निर्देशित होती हैं विज्ञापन, स्प्रिंग की लंबाई नहीं बदलेगी। आइए इसे समन्वित रूप में रखें [देखें। सूत्र (1.3बी)]:

(कृपया ध्यान दें कि, इसलिए, पहले संभावित विस्थापन पर इस बल द्वारा किया गया कार्य शून्य है)।

आइए हम विस्थापन d को व्यक्त करें एक्स ईऔर डी एक्सडीडीजे के माध्यम से ऐसा करने के लिए, हम पहले लिखते हैं

फिर, सूत्र (7) के अनुसार adj. 1 हम ढूंढ लेंगे

पाए गए मानों को में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

सूत्र (1.4) का उपयोग करते हुए, इसे ध्यान में रखते हुए, हम निर्धारित करते हैं

परिभाषा प्रश्न 2. आइए सिस्टम को दूसरा संभावित आंदोलन दें जब डीजे = 0, डी एस> 0 (चित्र 1.7, बी). इस मामले में, छड़ी अबगतिहीन रहेगी, और गेंद एमदूरी d तक छड़ के अनुदिश गति करेगा एस. आइए संकेतित आंदोलनों पर काम का योग संकलित करें:

आइए परिभाषित करें

बल मान को प्रतिस्थापित करना एफ 1सूत्र (ए) से, हम पाते हैं

1.5. किसी निकाय की गतिज ऊर्जा को व्यक्त करना
सामान्यीकृत निर्देशांक में

किसी निकाय की गतिज ऊर्जा उसके पिंडों और बिंदुओं की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है (परिशिष्ट 2)। पाने के लिए टीअभिव्यक्ति (1.2) को किनेमेटिक्स विधियों का उपयोग करके सामान्यीकृत वेगों के माध्यम से सिस्टम के सभी निकायों और बिंदुओं के वेगों को व्यक्त करना चाहिए। इस मामले में, सिस्टम को एक मनमानी स्थिति में माना जाता है, इसके सभी सामान्यीकृत वेगों को सकारात्मक माना जाता है, यानी, सामान्यीकृत निर्देशांक को बढ़ाने की दिशा में निर्देशित किया जाता है।

उदाहरण 1। 7 (चित्र 1.1 की स्थिति देखें)

आइए हम दूरी को सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में लेते हुए सिस्टम की गतिज ऊर्जा (चित्र 1.8) निर्धारित करें एस,

टी = टी ए + टी बी.

सूत्र (2) और (3) के अनुसार adj. 2 हमारे पास है: .

इस डेटा को इसमें प्रतिस्थापित करना टीऔर इसे ध्यान में रखते हुए, हमें मिलता है

उदाहरण 1.8(चित्र 1.2 की स्थिति देखें)

आइए चित्र में सिस्टम की गतिज ऊर्जा निर्धारित करें। 1.9, मात्राओं को सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में लेते हुए एक्सडीऔर एक्स ए,

टी = टी ए + टी बी + टी डी.

सूत्र (2), (3), (4) के अनुसार adj. 2 हम लिखेंगे

आइए व्यक्त करें वी ए, वी डी, डब्ल्यू बीऔर डब्ल्यू एके माध्यम से :

डब्ल्यू का निर्धारण करते समय एयह ध्यान में रखा जाता है कि बिंदु हे(चित्र 1.9) - सिलेंडर गति का तात्कालिक केंद्र एऔर वी के = वी डी(उदाहरण 2 परिशिष्ट 2 के लिए संबंधित स्पष्टीकरण देखें)।

प्राप्त परिणामों को इसमें प्रतिस्थापित करना टीऔर वह दिया

आइए परिभाषित करें

उदाहरण 1.9(चित्र 1.3 की स्थिति देखें)

आइए चित्र में सिस्टम की गतिज ऊर्जा निर्धारित करें। 1.10, जे और सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में लेना एस,

टी = टी एबी + टी डी.

सूत्र (1) और (3) के अनुसार adj. 2 हमारे पास है

आइए व्यक्त करें डब्ल्यू अबऔर वी डीके माध्यम से तथा :

गेंद की स्थानांतरण गति कहां है डी, इसका मापांक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

खंड के लंबवत निर्देशित विज्ञापनकोण j बढ़ने की दिशा में; - गेंद की सापेक्ष गति, इसका मॉड्यूल बढ़ते निर्देशांक की ओर निर्देशित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है एस. ध्यान दें, इसलिए यह लंबवत है

इन परिणामों को प्रतिस्थापित करना टीऔर वह दिया

1.6. विभेदक समीकरण बनाना
यांत्रिक प्रणालियों का संचलन

आवश्यक समीकरण प्राप्त करने के लिए, सामान्यीकृत निर्देशांक और सामान्यीकृत बलों में सिस्टम की गतिज ऊर्जा के लिए पहले मिली अभिव्यक्ति को लैग्रेंज समीकरण (1.1) में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। क्यू 1 , क्यू 2 , … , प्रश्न एन.

आंशिक व्युत्पन्न ढूँढ़ते समय टीसामान्यीकृत निर्देशांक और सामान्यीकृत वेगों का उपयोग करते हुए, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि चर क्यू 1 , क्यू 2 , … , क्यू एन; एक दूसरे से स्वतंत्र माने जाते हैं। इसका मतलब यह है कि आंशिक व्युत्पन्न को परिभाषित करते समय टीइनमें से किसी एक चर के लिए, अभिव्यक्ति में अन्य सभी चर टीस्थिरांक माना जाना चाहिए।

कोई ऑपरेशन करते समय, वेरिएबल में शामिल सभी वेरिएबल्स को समय में विभेदित किया जाना चाहिए।

हम इस बात पर जोर देते हैं कि लैग्रेंज समीकरण प्रत्येक सामान्यीकृत निर्देशांक के लिए लिखे गए हैं क्यू मैं (मैं = 1, 2,…एन) सिस्टम।