इस लेख में, हम दिखाएंगे कि कैसे त्रिकोणमिति में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोण और संख्या की परिभाषाएँ. यहां हम अंकन के बारे में बात करेंगे, अभिलेखों के उदाहरण देंगे, ग्राफिक चित्रण देंगे। अंत में, हम त्रिकोणमिति और ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं के बीच एक समानांतर रेखा खींचते हैं।

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साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषा

आइए देखें कि स्कूल गणित पाठ्यक्रम में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटेंजेंट की अवधारणा कैसे बनती है। ज्यामिति के पाठों में, एक समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और एक न्यून कोण की कोटिज की परिभाषा दी गई है। और बाद में त्रिकोणमिति का अध्ययन किया जाता है, जो रोटेशन के कोण और संख्या के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को संदर्भित करता है। हम ये सभी परिभाषाएँ देते हैं, उदाहरण देते हैं और आवश्यक टिप्पणियाँ देते हैं।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण

ज्यामिति के पाठ्यक्रम से, समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाएँ ज्ञात होती हैं। उन्हें एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में दिया जाता है। हम उनके सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्याविपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की कोज्याआसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्श रेखाविपरीत पैर का आसन्न पैर से अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण का कोटैंजेंटआसन्न पैर का विपरीत पैर का अनुपात है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट का अंकन भी वहां पेश किया जाता है - क्रमशः पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी।

उदाहरण के लिए, यदि ABC एक समकोण C वाला समकोण त्रिभुज है, तो न्यून कोण A की ज्या विपरीत पैर BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है, अर्थात sin∠A=BC/AB।

ये परिभाषाएँ आपको एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की ज्ञात लंबाई के साथ-साथ साइन, कोसाइन के ज्ञात मानों से एक तीव्र कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देती हैं। स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट और एक भुजा की लंबाई, अन्य भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए। उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में पैर AC 3 है और कर्ण AB 7 है, तो हम न्यून कोण A की कोज्या की गणना परिभाषा के अनुसार कर सकते हैं: cos∠A=AC/AB=3/7 ।

रोटेशन का कोण

त्रिकोणमिति में, वे कोण को अधिक व्यापक रूप से देखना शुरू करते हैं - वे रोटेशन के कोण की अवधारणा का परिचय देते हैं। एक तीव्र कोण के विपरीत, रोटेशन का कोण 0 से 90 डिग्री तक के फ्रेम तक सीमित नहीं है, डिग्री में रोटेशन के कोण (और रेडियन में) को −∞ से +∞ तक किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

इस प्रकाश में, ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाएं अब एक न्यून कोण नहीं हैं, बल्कि मनमाने परिमाण का कोण हैं - रोटेशन का कोण। वे बिंदु A 1 के x और y निर्देशांक के माध्यम से दिए गए हैं, जिसमें तथाकथित प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) बिंदु O के चारों ओर एक कोण α से घूमने के बाद गुजरता है - एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की शुरुआत और यूनिट सर्कल का केंद्र।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की ज्याα बिंदु A 1 की कोटि है, अर्थात sinα=y ।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की कोज्याα को बिंदु A 1 का भुज कहा जाता है, अर्थात cosα=x ।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की स्पर्शरेखाα, बिंदु A 1 की कोटि का उसके भुज, यानी tgα=y/x से अनुपात है।

परिभाषा।

रोटेशन के कोण का कोटैंजेंटα, बिंदु A 1 के भुज का उसके कोटि से अनुपात है, अर्थात ctgα=x/y ।

साइन और कोसाइन को किसी भी कोण α के लिए परिभाषित किया जाता है, क्योंकि हम हमेशा बिंदु के भुज और कोटि को निर्धारित कर सकते हैं, जो कोण α द्वारा प्रारंभिक बिंदु को घुमाकर प्राप्त किया जाता है। और स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट किसी भी कोण के लिए परिभाषित नहीं हैं। स्पर्शरेखा ऐसे कोणों के लिए परिभाषित नहीं है α जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य भुज (0, 1) या (0, -1) के साथ एक बिंदु पर जाता है, और यह कोणों पर होता है 90°+180° k , k∈Z (π /2+π के रेड)। दरअसल, रोटेशन के ऐसे कोणों पर, अभिव्यक्ति tgα=y/x का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। कोटैंजेंट के लिए, यह ऐसे कोणों α के लिए परिभाषित नहीं है, जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य कोटि (1, 0) या (-1, 0) के साथ एक बिंदु पर जाता है, और यह 180° k, k कोणों के लिए मामला है। Z (π k rad)।

तो, साइन और कोसाइन को किसी भी रोटेशन कोण के लिए परिभाषित किया गया है, स्पर्शरेखा को 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है, और कोटैंजेंट 180 को छोड़कर सभी कोणों के लिए है। ° · k , k∈Z (π·k rad)।

हमारे लिए पहले से ज्ञात संकेतन पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी की परिभाषाओं में प्रकट होते हैं, उनका उपयोग रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट को दर्शाने के लिए भी किया जाता है (कभी-कभी आप नोटेशन टैन और कोट को स्पर्शरेखा के अनुरूप पा सकते हैं और कोटैंजेंट)। तो 30 डिग्री के रोटेशन कोण की साइन को sin30° के रूप में लिखा जा सकता है, रिकॉर्ड tg(−24°17′) और ctgα रोटेशन कोण −24 डिग्री 17 मिनट के स्पर्शरेखा के अनुरूप होते हैं और रोटेशन कोण α के कोटेंजेंट के अनुरूप होते हैं। . याद रखें कि कोण के रेडियन माप को लिखते समय, अंकन "रेड" को अक्सर छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन पाई रेड के घूर्णन कोण के कोज्या को आमतौर पर cos3 दर्शाया जाता है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, यह ध्यान देने योग्य है कि रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट के बारे में बात करते समय, वाक्यांश "रोटेशन का कोण" या "रोटेशन" शब्द अक्सर छोड़ा जाता है। यही है, "रोटेशन अल्फा के कोण की साइन" वाक्यांश के बजाय, वे आमतौर पर "अल्फा के कोण की साइन" या उससे भी कम - "अल्फा की साइन" वाक्यांश का उपयोग करते हैं। वही कोसाइन, और स्पर्शरेखा, और कोटैंजेंट पर लागू होता है।

आइए यह भी कहें कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषाएं 0 से 90 तक के रोटेशन कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के लिए दी गई परिभाषाओं के अनुरूप हैं। डिग्री। हम इसकी पुष्टि करेंगे।

नंबर

परिभाषा।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट t एक संख्या है जो क्रमशः t रेडियन में घूर्णन कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटांगेंट के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, 8 की कोज्या, परिभाषा के अनुसार, 8 रेड के कोण के कोज्या के बराबर एक संख्या है। और 8 रेड में कोण की कोज्या एक के बराबर होती है, इसलिए संख्या 8 की कोज्या 1 के बराबर होती है।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट निर्धारित करने का एक और तरीका है। यह इस तथ्य में समाहित है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या t को आयताकार समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्रित इकाई वृत्त का एक बिंदु सौंपा गया है, और साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट इस बिंदु के निर्देशांक के माध्यम से निर्धारित किए जाते हैं। आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

आइए हम दिखाते हैं कि वास्तविक संख्याओं और वृत्त के बिंदुओं के बीच पत्राचार कैसे स्थापित होता है:

• संख्या 0 को प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) सौंपा गया है;
• एक धनात्मक संख्या t इकाई वृत्त पर एक बिंदु के साथ जुड़ा हुआ है, जो हमें तब मिलेगा जब हम वृत्त के चारों ओर प्रारंभिक बिंदु से वामावर्त दिशा में घूमते हैं और लंबाई t के पथ से गुजरते हैं;
• एक ऋणात्मक संख्या t इकाई वृत्त पर एक बिंदु के साथ जुड़ा हुआ है, जो हमें तब मिलेगा जब हम वृत्त के चारों ओर प्रारंभिक बिंदु से दक्षिणावर्त दिशा में घूमते हैं और लंबाई के पथ से गुजरते हैं |t| .

आइए अब हम संख्या t की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाओं पर चलते हैं। आइए मान लें कि संख्या टी सर्कल ए 1 (एक्स, वाई) के एक बिंदु से मेल खाती है (उदाहरण के लिए, संख्या &pi/2; बिंदु ए 1 (0, 1) से मेल खाती है)।

परिभाषा।

एक संख्या की ज्या t संख्या t के संगत इकाई वृत्त बिंदु की कोटि है, जो कि sint=y है।

परिभाषा।

एक संख्या की कोज्या t को संख्या t के संगत इकाई वृत्त के उस बिंदु का भुज कहा जाता है, जो कि लागत = x है।

परिभाषा।

एक संख्या की स्पर्शरेखा t, संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु के भुज से कोटि का अनुपात है, अर्थात tgt=y/x। एक अन्य समकक्ष सूत्रीकरण में, संख्या t की स्पर्शरेखा इस संख्या की ज्या का कोज्या से अनुपात है, जो कि tgt=sint/cost है।

परिभाषा।

किसी संख्या का स्पर्शज्या t संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु की कोटि से भुज का अनुपात है, अर्थात ctgt=x/y. एक अन्य सूत्रीकरण इस प्रकार है: संख्या t की स्पर्शरेखा संख्या t की कोज्या का संख्या t की ज्या से अनुपात है: ctgt=cost/sint.

यहां हम ध्यान दें कि अभी दी गई परिभाषाएं इस उपधारा की शुरुआत में दी गई परिभाषा से मेल खाती हैं। वास्तव में, संख्या t के संगत इकाई वृत्त का बिंदु t रेडियन के कोण के माध्यम से प्रारंभिक बिंदु को घुमाकर प्राप्त बिंदु के साथ मेल खाता है।

इस बिंदु को स्पष्ट करना भी उचित है। मान लें कि हमारे पास sin3 प्रविष्टि है। कैसे समझें कि संख्या 3 की ज्या या 3 रेडियन के घूर्णन कोण की ज्या प्रश्न में है? यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है, अन्यथा इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

पिछले पैराग्राफ में दी गई परिभाषाओं के अनुसार, प्रत्येक रोटेशन कोण α sinα के एक अच्छी तरह से परिभाषित मान के साथ-साथ cosα के मान से मेल खाता है। इसके अलावा, 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) के अलावा सभी घूर्णन कोण tgα , और 180° k , k∈Z (π k rad ) के अलावा अन्य मानों के अनुरूप हैं। ctgα के मान हैं। इसलिए sinα, cosα, tgα और ctgα कोण α के कार्य हैं। दूसरे शब्दों में, ये कोणीय तर्क के कार्य हैं।

इसी तरह, हम एक संख्यात्मक तर्क के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के कार्यों के बारे में बात कर सकते हैं। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या t sint के सुपरिभाषित मान के साथ-साथ लागत से मेल खाती है। इसके अलावा, π/2+π·k , k∈Z के अलावा अन्य सभी संख्याएँ tgt के मानों से मेल खाती हैं, और ·k , k∈Z की संख्या ctgt के मानों से मेल खाती है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के कार्यों को कहा जाता है बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्य.

संदर्भ से यह आमतौर पर स्पष्ट है कि हम कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ काम कर रहे हैं। अन्यथा, हम स्वतंत्र चर को कोण के माप (कोण तर्क) और संख्यात्मक तर्क दोनों के रूप में मान सकते हैं।

हालांकि, स्कूल मुख्य रूप से संख्यात्मक कार्यों का अध्ययन करता है, यानी ऐसे कार्य जिनके तर्क, साथ ही साथ संबंधित फ़ंक्शन मान संख्याएं हैं। इसलिए, यदि हम कार्यों के बारे में बात कर रहे हैं, तो त्रिकोणमितीय कार्यों को संख्यात्मक तर्कों के कार्यों के रूप में विचार करना उचित है।

ज्यामिति और त्रिकोणमिति से परिभाषाओं का कनेक्शन

यदि हम रोटेशन के कोण α को 0 से 90 डिग्री तक मानते हैं, तो रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषा के त्रिकोणमिति के संदर्भ में डेटा पूरी तरह से साइन, कोसाइन की परिभाषाओं के अनुरूप है। , समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्श रेखा और कोटेंजेंट, जो ज्यामिति पाठ्यक्रम में दिए गए हैं। आइए इसकी पुष्टि करते हैं।

आयताकार कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली ऑक्सी में एक इकाई वृत्त बनाएं। प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) पर ध्यान दें। आइए इसे 0 से 90 डिग्री के कोण α से घुमाते हैं, हमें बिंदु A 1 (x, y) मिलता है। आइए बिंदु A 1 से ऑक्‍स अक्ष पर लंब A 1 H को छोड़ दें।

यह देखना आसान है कि एक समकोण त्रिभुज में कोण A 1 OH घूर्णन कोण α के बराबर होता है, इस कोण से सटे पैर OH की लंबाई बिंदु A 1 के भुज के बराबर होती है, अर्थात |OH |=x, कोण के विपरीत पैर A 1 H की लंबाई बिंदु A 1 की कोटि के बराबर है, अर्थात |A 1 H|=y, और कर्ण OA 1 की लंबाई एक के बराबर है , क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है। फिर, ज्यामिति से परिभाषा के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज A 1 OH में एक न्यून कोण α की ज्या कर्ण के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर होती है, अर्थात sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= वाई/1 = वाई। और त्रिकोणमिति से परिभाषा के अनुसार, रोटेशन के कोण की ज्या α बिंदु A 1 की कोटि के बराबर है, जो कि sinα=y है। इससे पता चलता है कि एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या की परिभाषा 0 से 90 डिग्री के लिए α के रोटेशन के कोण की ज्या की परिभाषा के बराबर है।

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि एक न्यून कोण α के कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएं रोटेशन के कोण के कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की परिभाषाओं के अनुरूप हैं।

ग्रंथ सूची।

1. ज्यामिति। 7-9 ग्रेड: अध्ययन करते हैं। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान / [एल. एस। अतानासियन, वी। एफ। बुटुज़ोव, एस। बी। कदोमत्सेव और अन्य]। - 20 वां संस्करण। एम .: शिक्षा, 2010. - 384 पी .: बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-023915-8।
2. पोगोरेलोव ए.वी.ज्यामिति: प्रो. 7-9 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / ए वी पोगोरेलोव। - दूसरा संस्करण। - एम .: ज्ञानोदय, 2001. - 224 पी .: बीमार। - आईएसबीएन 5-09-010803-एक्स।
3. बीजगणित और प्राथमिक कार्य: माध्यमिक विद्यालय / ई.एस. कोचेतकोव, ई.एस. कोचेतकोवा के ग्रेड 9 के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक; डॉक्टर ऑफ फिजिकल एंड मैथमैटिकल साइंसेज ओ एन गोलोविन द्वारा संपादित - चौथा संस्करण। मॉस्को: शिक्षा, 1969।
4. बीजगणित:प्रोक। 9 कोशिकाओं के लिए। औसत स्कूल / यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा; ईडी। एस.ए. तेल्याकोवस्की.- एम.: एनलाइटेनमेंट, 1990.- 272 पी.: बीमार.- आईएसबीएन 5-09-002727-7
5. बीजगणितऔर विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक। 10-11 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / ए। एन। कोलमोगोरोव, ए। एम। अब्रामोव, यू। पी। डुडनित्सिन और अन्य; ईडी। ए.एन. कोलमोगोरोवा.- 14वां संस्करण.- एम.: एनलाइटेनमेंट, 2004.- 384 पी.: बीमार.- आईएसबीएन 5-09-013651-3।
6. मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 10। दोपहर 2 बजे भाग 1: शैक्षिक संस्थानों के लिए एक पाठ्यपुस्तक (प्रोफाइल स्तर) / ए। जी। मोर्दकोविच, पी। वी। सेमेनोव। - चौथा संस्करण।, जोड़ें। - एम .: मेनेमोसिन, 2007. - 424 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-00792-0।
7. बीजगणितऔर गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 10: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान: बुनियादी और प्रोफाइल। स्तर / [यू। एम। कोल्यागिन, एम। वी। तकाचेवा, एन। ई। फेडोरोवा, एम। आई। शबुनिन]; ईडी। ए बी झिझचेंको। - तीसरा संस्करण। - मैं।: शिक्षा, 2010। - 368 पी।: बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-022771-1।
8. बश्माकोव एम.आई.बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक। 10-11 कोशिकाओं के लिए। औसत विद्यालय - तीसरा संस्करण। - एम .: ज्ञानोदय, 1993. - 351 पी .: बीमार। - आईएसबीएन 5-09-004617-4।
9. गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी.गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल): प्रोक। भत्ता।- एम।; उच्चतर स्कूल, 1984.-351 पी।, बीमार।

त्रिकोणमितीय पहचानसमानताएं हैं जो एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के बीच संबंध स्थापित करती हैं, जो आपको इनमें से किसी भी फ़ंक्शन को खोजने की अनुमति देती है, बशर्ते कि कोई अन्य ज्ञात हो।

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

टीजी \अल्फा \cdot सीटीजी \अल्फा = 1

यह पहचान कहती है कि एक कोण की ज्या के वर्ग और एक कोण की कोज्या के वर्ग का योग एक के बराबर होता है, जो व्यवहार में एक कोण की ज्या की गणना करना संभव बनाता है जब उसकी कोज्या ज्ञात हो और इसके विपरीत .

त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय, इस पहचान का बहुत बार उपयोग किया जाता है, जो आपको एक कोण के कोसाइन और साइन के वर्गों के योग को बदलने की अनुमति देता है और रिवर्स ऑर्डर में प्रतिस्थापन ऑपरेशन भी करता है।

साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट ढूँढना

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

ये सर्वसमिकाएँ ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाओं से बनती हैं। आखिरकार, यदि आप देखें, तो परिभाषा के अनुसार, y की कोटि ज्या है, और x का भुज कोज्या है। तब स्पर्शरेखा अनुपात के बराबर होगी \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), और अनुपात \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- एक कोटैंजेंट होगा।

हम इसे केवल ऐसे कोणों \alpha के लिए जोड़ते हैं जिनके लिए उनमें शामिल त्रिकोणमितीय फलन समझ में आते हैं, सर्वसमिकाएँ होंगी, सीटीजी \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

उदाहरण के लिए: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)\alpha कोणों के लिए मान्य है जो से भिन्न हैं \frac(\pi)(2)+\pi z, ए सीटीजी \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z के अलावा एक कोण \alpha के लिए, z एक पूर्णांक है।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध

टीजी \अल्फा \cdot सीटीजी \alpha=1

यह पहचान केवल उन कोणों \alpha के लिए मान्य है जो से भिन्न हैं \frac(\pi)(2) z. अन्यथा, या तो कोटैंजेंट या टेंगेंट निर्धारित नहीं किया जाएगा।

उपरोक्त बिंदुओं के आधार पर, हम पाते हैं कि tg \alpha = \frac(y)(x), ए सीटीजी\अल्फा=\frac(x)(y). इसलिए यह इस प्रकार है कि tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. इस प्रकार, एक कोण के स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट जिस पर वे समझ में आते हैं, पारस्परिक रूप से पारस्परिक संख्याएं हैं।

स्पर्शरेखा और कोसाइन, कोटैंजेंट और साइन के बीच संबंध

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- कोण \alpha और 1 की वर्ग स्पर्श रेखा का योग इस कोण की कोज्या के व्युत्क्रम वर्ग के बराबर होता है। यह पहचान . के अलावा सभी \alpha के लिए मान्य है \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 का योग और कोण \alpha के कोटैंजेंट का वर्ग, दिए गए कोण की ज्या के व्युत्क्रम वर्ग के बराबर होता है। यह पहचान \pi z के अलावा किसी भी \alpha के लिए मान्य है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके समस्याओं के समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

\sin \alpha और tg \alpha if . खोजें \cos \alpha=-\frac12और \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

समाधान दिखाएं

फेसला

फ़ंक्शन \sin \alpha और \cos \alpha सूत्र द्वारा जुड़े हुए हैं \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. इस सूत्र में प्रतिस्थापित करना \cos \alpha = -\frac12, हम पाते हैं:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

इस समीकरण के 2 हल हैं:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

शर्त के अनुसार \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . दूसरी तिमाही में, साइन सकारात्मक है, इसलिए \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tg \alpha ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का प्रयोग करते हैं tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

टीजी \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

उदाहरण 2

\cos \alpha और ctg \alpha if and . खोजें \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

समाधान दिखाएं

फेसला

सूत्र में प्रतिस्थापित करना \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1सशर्त संख्या \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), हम पाते हैं \बाएं (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. इस समीकरण के दो हल हैं \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

शर्त के अनुसार \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . दूसरी तिमाही में, कोसाइन ऋणात्मक है, इसलिए \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं सीटीजी \अल्फा = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). हम संबंधित मूल्यों को जानते हैं।

सीटीजी \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

प्रारंभ में, समकोण त्रिभुजों में मात्राओं की गणना करने की आवश्यकता के कारण साइन और कोसाइन उत्पन्न हुए। यह देखा गया कि यदि एक समकोण त्रिभुज में कोणों के अंश माप के मान में परिवर्तन नहीं किया जाता है, तो पक्षानुपात, इन भुजाओं की लंबाई में कितना भी परिवर्तन क्यों न हो, हमेशा वही रहता है।

इस तरह से साइन और कोसाइन की अवधारणाओं को पेश किया गया। एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है, और कोसाइन आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है।

कोज्या और ज्या के प्रमेय

लेकिन कोज्या और ज्या का उपयोग न केवल समकोण त्रिभुजों में किया जा सकता है। एक अधिक कोण या न्यून कोण का मान ज्ञात करने के लिए, किसी त्रिभुज की भुजा, कोसाइन और ज्या प्रमेय को लागू करने के लिए पर्याप्त है।

कोसाइन प्रमेय काफी सरल है: "एक त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, जो इन भुजाओं के बीच के कोण के कोसाइन के गुणनफल का दोगुना होता है।"

साइन प्रमेय की दो व्याख्याएँ हैं: छोटा और विस्तारित। छोटे के अनुसार: "एक त्रिभुज में, कोण विपरीत भुजाओं के समानुपाती होते हैं।" त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की संपत्ति के कारण इस प्रमेय को अक्सर बढ़ाया जाता है: "एक त्रिभुज में, कोण विपरीत भुजाओं के समानुपाती होते हैं, और उनका अनुपात परिबद्ध वृत्त के व्यास के बराबर होता है।"

संजात

व्युत्पन्न एक गणितीय उपकरण है जो दर्शाता है कि कोई फ़ंक्शन अपने तर्क में परिवर्तन के संबंध में कितनी जल्दी बदलता है। डेरिवेटिव का उपयोग ज्यामिति में और कई तकनीकी विषयों में किया जाता है।

समस्याओं को हल करते समय, आपको त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न के सारणीबद्ध मूल्यों को जानना होगा: साइन और कोसाइन। साइन का व्युत्पन्न कोसाइन है, और कोसाइन का व्युत्पन्न साइन है, लेकिन माइनस साइन के साथ।

गणित में आवेदन

विशेष रूप से अक्सर, समकोण त्रिभुज और उनसे संबंधित समस्याओं को हल करने में साइन और कोसाइन का उपयोग किया जाता है।

साइन और कोसाइन की सुविधा भी प्रौद्योगिकी में परिलक्षित होती है। कोसाइन और साइन प्रमेयों का उपयोग करके कोणों और भुजाओं का मूल्यांकन करना आसान था, जटिल आकृतियों और वस्तुओं को "सरल" त्रिकोणों में तोड़ना। इंजीनियरों और, अक्सर पहलू अनुपात और डिग्री उपायों की गणना से निपटने के लिए, गैर-टेबल कोणों के कोसाइन और साइन की गणना करने में बहुत समय और प्रयास लगाया।

फिर ब्रैडिस टेबल बचाव के लिए आए, जिसमें विभिन्न कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट के हजारों मूल्य थे। सोवियत काल में, कुछ शिक्षकों ने अपने बच्चों को ब्रैडिस टेबल के पन्नों को याद करने के लिए मजबूर किया।

रेडियन - त्रिज्या या 57.295779513 ° डिग्री के बराबर लंबाई के साथ चाप का कोणीय मान।

डिग्री (ज्यामिति में) - वृत्त का 1/360वां या समकोण का 1/90वां।

= 3.141592653589793238462… (पाई का अनुमानित मान)।

कोणों के लिए कोसाइन तालिका: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°।

कोण x (डिग्री में)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
कोण x (रेडियन में)	0	/6	/4	/3	/2	2 एक्स /3	3xπ / 4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ / 4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ / 4	11xπ/6	2xπ
क्योंकि x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

- निश्चित रूप से त्रिकोणमिति में कार्य होंगे। त्रिकोणमिति को अक्सर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के साथ भारी संख्या में कठिन फ़ार्मुलों को रटने के लिए नापसंद किया जाता है। साइट ने पहले ही एक बार यूलर और पील फ़ार्मुलों के उदाहरण का उपयोग करके भूले हुए सूत्र को याद रखने की सलाह दी थी।

और इस लेख में हम यह दिखाने की कोशिश करेंगे कि केवल पाँच सरल त्रिकोणमितीय सूत्रों को दृढ़ता से जानना और बाकी के बारे में एक सामान्य विचार रखना और उन्हें रास्ते में निकालना पर्याप्त है। यह डीएनए की तरह है: एक समाप्त जीवित प्राणी के पूर्ण चित्र अणु में संग्रहीत नहीं होते हैं। इसके बजाय, उपलब्ध अमीनो एसिड से इसे इकट्ठा करने के निर्देश शामिल हैं। तो त्रिकोणमिति में, कुछ सामान्य सिद्धांतों को जानने के बाद, हम उन सभी के एक छोटे से सेट से सभी आवश्यक सूत्र प्राप्त करेंगे जिन्हें ध्यान में रखा जाना चाहिए।

हम निम्नलिखित सूत्रों पर भरोसा करेंगे:

राशियों के ज्या और कोज्या के सूत्रों से, यह जानते हुए कि कोज्या फलन सम है और यह कि ज्या फलन विषम है, -b को b के स्थान पर रखते हुए, हम अंतरों के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

1. अंतर की ज्या: पाप(ए-बी) = पापएक्योंकि(-बी)+क्योंकिएपाप(-बी) = पापएक्योंकिबी-क्योंकिएपापबी
2. कोज्या अंतर: क्योंकि(ए-बी) = क्योंकिएक्योंकि(-बी)-पापएपाप(-बी) = क्योंकिएक्योंकिबी+पापएपापबी

a \u003d b को समान सूत्रों में रखते हुए, हम दोहरे कोणों के साइन और कोसाइन के सूत्र प्राप्त करते हैं:

1. दोहरे कोण की ज्या: पाप2ए = पाप(ए+ए) = पापएक्योंकिए+क्योंकिएपापए = 2पापएक्योंकिए
2. एक दोहरे कोण की कोज्या: क्योंकि2ए = क्योंकि(ए+ए) = क्योंकिएक्योंकिए-पापएपापए = क्योंकि2ए-पाप2ए

अन्य अनेक कोणों के सूत्र इसी प्रकार प्राप्त होते हैं:

1. त्रिक कोण की ज्या: पाप3 ए = पाप(2ए+ए) = पाप2एक्योंकिए+क्योंकि2एपापए = (2पापएक्योंकिए)क्योंकिए+(क्योंकि2ए-पाप2ए)पापए = 2पापएक्योंकि2ए+पापएक्योंकि2ए-पाप 3 ए = 3 पापएक्योंकि2ए-पाप 3 ए = 3 पापए(1-पाप2ए)-पाप 3 ए = 3 पापए-4पाप 3 ए
2. त्रिक कोण की कोज्या: क्योंकि3 ए = क्योंकि(2ए+ए) = क्योंकि2एक्योंकिए-पाप2एपापए = (क्योंकि2ए-पाप2ए)क्योंकिए-(2पापएक्योंकिए)पापए = क्योंकि 3ए- पाप2एक्योंकिए-2पाप2एक्योंकिए = क्योंकि 3ए-3 पाप2एक्योंकिए = क्योंकि 3 ए-3(1- क्योंकि2ए)क्योंकिए = 4क्योंकि 3ए-3 क्योंकिए

आगे बढ़ने से पहले, आइए एक समस्या पर विचार करें।
दिया गया है: कोण न्यून है।
इसकी कोज्या ज्ञात कीजिए यदि
एक छात्र द्वारा दिया गया समाधान:
क्योंकि , तब पापए= 3,ए क्योंकिए = 4.
(गणितीय हास्य से)

तो, स्पर्शरेखा की परिभाषा इस फ़ंक्शन को साइन और कोसाइन दोनों से जोड़ती है। लेकिन आप एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं जो केवल कोज्या के साथ स्पर्शरेखा का संबंध देता है। इसे प्राप्त करने के लिए, हम मूल त्रिकोणमितीय पहचान लेते हैं: पाप 2 ए+क्योंकि 2 ए= 1 और इसे से विभाजित करें क्योंकि 2 ए. हम पाते हैं:

तो इस समस्या का समाधान होगा:

(क्योंकि कोण न्यून है, जड़ निकालते समय + चिन्ह लिया जाता है)

योग की स्पर्शरेखा का सूत्र एक और है जिसे याद रखना कठिन है। आइए इसे इस तरह आउटपुट करें:

तुरंत आउटपुट और

दोहरे कोण के लिए कोज्या सूत्र से, आप आधे कोण के लिए ज्या और कोज्या सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, दोहरे कोण कोसाइन सूत्र के बाईं ओर:
क्योंकि2 ए = क्योंकि 2 ए-पाप 2 ए
हम एक इकाई जोड़ते हैं, और दाईं ओर - एक त्रिकोणमितीय इकाई, अर्थात। ज्या और कोज्या के वर्गों का योग।
क्योंकि2ए+1 = क्योंकि2ए-पाप2ए+क्योंकि2ए+पाप2ए
2क्योंकि 2 ए = क्योंकि2 ए+1
व्यक्त क्योंकिएके माध्यम से क्योंकि2 एऔर चरों में परिवर्तन करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

संकेत चतुर्थांश के आधार पर लिया जाता है।

इसी तरह, समानता के बाईं ओर से एक घटाना, और दाहिनी ओर से साइन और कोसाइन के वर्गों का योग घटाना, हम प्राप्त करते हैं:
क्योंकि2ए-1 = क्योंकि2ए-पाप2ए-क्योंकि2ए-पाप2ए
2पाप 2 ए = 1-क्योंकि2 ए

और अंत में, त्रिकोणमितीय कार्यों के योग को उत्पाद में बदलने के लिए, हम निम्नलिखित ट्रिक का उपयोग करते हैं। मान लीजिए कि हमें एक उत्पाद के रूप में साइन के योग का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता है पापए+पापबी. आइए चर x और y का परिचय इस प्रकार करें कि a = x+y, b+x-y. फिर
पापए+पापबी = पाप(एक्स+वाई)+ पाप(एक्स-वाई) = पापएक्स क्योंकिवाई+ क्योंकिएक्स पापवाई+ पापएक्स क्योंकिवाई- क्योंकिएक्स पापवाई = 2 पापएक्स क्योंकिवाई आइए अब हम x और y को a और b के पदों में व्यक्त करें।

चूँकि a = x+y, b = x-y, तो . इसलिए

आप तुरंत वापस ले सकते हैं

1. विभाजन सूत्र साइन और कोसाइन के उत्पादमें रकम: पापएक्योंकिबी = 0.5(पाप(ए+बी)+पाप(ए-बी))

हम अनुशंसा करते हैं कि आप ज्या के अंतर और कोसाइन के योग और अंतर के उत्पाद को उत्पाद में बदलने के साथ-साथ साइन और कोसाइन के उत्पादों को योग में विभाजित करने के लिए सूत्रों का अभ्यास और व्युत्पन्न करें। इन अभ्यासों को करने के बाद, आप त्रिकोणमितीय सूत्रों को प्राप्त करने के कौशल में पूरी तरह से महारत हासिल कर लेंगे और सबसे कठिन नियंत्रण, ओलंपियाड या परीक्षण में भी हार नहीं पाएंगे।

मैं आपको चीट शीट न लिखने के लिए मनाऊंगा। लिखना! त्रिकोणमिति पर चीट शीट सहित। बाद में मैं यह समझाने की योजना बना रहा हूं कि चीट शीट की आवश्यकता क्यों है और चीट शीट कैसे उपयोगी हैं। और यहाँ - कैसे नहीं सीखना है, लेकिन कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों को याद रखना है। तो - चीट शीट के बिना त्रिकोणमिति! हम याद रखने के लिए संघों का उपयोग करते हैं।

1. जोड़ सूत्र:

कोसाइन हमेशा "जोड़े में जाते हैं": कोसाइन-कोसाइन, साइन-साइन। और एक और बात: कोसाइन "अपर्याप्त" हैं। वे "सब कुछ गलत है", इसलिए वे संकेतों को बदलते हैं: "-" से "+", और इसके विपरीत।

साइनस - "मिश्रण": साइन-कोसाइन, कोसाइन-साइन।

2. योग और अंतर सूत्र:

कोसाइन हमेशा "जोड़े में जाओ"। दो कोसाइन - "बन्स" जोड़ने के बाद, हमें कोसाइन की एक जोड़ी मिलती है - "कोलोबोक"। और घटाना, हमें निश्चित रूप से कोलोबोक नहीं मिलेगा। हमें कुछ साइन मिलते हैं। अभी भी माइनस आगे है।

साइनस - "मिश्रण" :

3. किसी उत्पाद को योग और अंतर में बदलने के सूत्र।

हमें कोसाइन का एक जोड़ा कब प्राप्त होता है? कोसाइन जोड़ते समय। इसलिए

हमें एक जोड़ी ज्या कब मिलती है? कोसाइन घटाते समय। यहां से:

"मिश्रण" साइन को जोड़ने और घटाने दोनों द्वारा प्राप्त किया जाता है। कौन सा अधिक मजेदार है: जोड़ना या घटाना? यह सही है, गुना। और सूत्र के लिए अतिरिक्त लें:

कोष्ठक में पहले और तीसरे सूत्र में - राशि। पदों के स्थानों की पुनर्व्यवस्था से, योग नहीं बदलता है। आदेश केवल दूसरे सूत्र के लिए महत्वपूर्ण है। लेकिन, भ्रमित न होने के लिए, याद रखने में आसानी के लिए, पहले कोष्ठक के तीनों सूत्रों में हम अंतर लेते हैं

और दूसरी बात, योग

आपकी जेब में पालने की चादरें मन की शांति देती हैं: यदि आप सूत्र भूल जाते हैं, तो आप इसे लिख सकते हैं। और वे आत्मविश्वास देते हैं: यदि आप चीट शीट का उपयोग करने में विफल रहते हैं, तो सूत्र आसानी से याद किए जा सकते हैं।