विभाजन है। इस लेख में हम बात करेंगे साधारण अंशों का विभाजन. सबसे पहले, हम साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम देंगे और भिन्नों को विभाजित करने के उदाहरण देखेंगे। इसके बाद, हम एक साधारण भिन्न को एक प्राकृत संख्या से और एक संख्या को भिन्न से भाग देने पर ध्यान देंगे। अंत में, विचार करें कि मिश्रित संख्या से साधारण अंश का विभाजन कैसे किया जाता है।

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उभयनिष्ठ भिन्न द्वारा उभयनिष्ठ भिन्न का विभाजन

यह ज्ञात है कि भाग गुणन का विलोम है (भाग और गुणन के बीच संबंध देखें)। यही है, विभाजन में एक अज्ञात कारक खोजना शामिल है जब उत्पाद और अन्य कारक ज्ञात होते हैं। साधारण भिन्नों को विभाजित करते समय विभाजन की वही भावना बनी रहती है।

साधारण भिन्नों को विभाजित करने के उदाहरणों पर विचार करें।

ध्यान दें कि हमें भिन्नों की कमी और एक अनुचित भिन्न से पूर्णांक भाग के चयन के बारे में नहीं भूलना चाहिए।

एक प्राकृतिक संख्या द्वारा एक सामान्य अंश का विभाजन

हम इसे तुरंत देंगे भिन्न को प्राकृत संख्या से भाग देने का नियम: अंश a / b को एक प्राकृत संख्या n से विभाजित करने के लिए, आपको अंश को समान छोड़ना होगा, और हर को n से गुणा करना होगा, अर्थात ।

यह विभाजन नियम साधारण भिन्नों के लिए सीधे विभाजन नियम का अनुसरण करता है। वास्तव में, एक प्राकृत संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करने से निम्नलिखित समानताएँ प्राप्त होती हैं: .

किसी भिन्न को किसी संख्या से भाग देने के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

भिन्न 16/45 को प्राकृत संख्या 12 से भाग दें।

फेसला।

किसी भिन्न को किसी संख्या से भाग देने के नियम से, हमें प्राप्त होता है . आइए करते हैं कमी: . यह विभाजन पूरा हो गया है।

जवाब:

.

एक सामान्य अंश द्वारा एक प्राकृतिक संख्या का विभाजन

भिन्नों को विभाजित करने का नियम समान है एक प्राकृतिक संख्या को एक सामान्य अंश से विभाजित करने का नियम: एक प्राकृत संख्या n को एक साधारण भिन्न a / b से विभाजित करने के लिए, आपको संख्या n को भिन्न a / b के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा।

स्वरित नियम के अनुसार, और किसी प्राकृत संख्या को साधारण भिन्न से गुणा करने का नियम आपको इसे रूप में फिर से लिखने की अनुमति देता है।

एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

प्राकृत संख्या 25 को भिन्न 15/28 से भाग दें।

फेसला।

आइए भाग से गुणा की ओर बढ़ते हैं, हमारे पास है . पूर्णांक भाग को घटाने और चुनने के बाद, हम प्राप्त करते हैं।

जवाब:

.

एक मिश्रित संख्या द्वारा एक सामान्य अंश का विभाजन

एक मिश्रित संख्या द्वारा एक सामान्य अंश का विभाजनसाधारण अंशों के विभाजन के लिए आसानी से कम हो गया। ऐसा करने के लिए, यह पर्याप्त है

भिन्न एक संपूर्ण का एक या अधिक भाग होता है, जिसे आमतौर पर एक इकाई (1) के रूप में लिया जाता है। प्राकृतिक संख्याओं की तरह, आप भिन्नों (जोड़, घटाव, भाग, गुणा) के साथ सभी बुनियादी अंकगणितीय संचालन कर सकते हैं, इसके लिए आपको भिन्नों के साथ काम करने की विशेषताओं को जानने और उनके प्रकारों के बीच अंतर करने की आवश्यकता है। भिन्न कई प्रकार के होते हैं: दशमलव और साधारण, या साधारण। प्रत्येक प्रकार के भिन्नों की अपनी विशिष्टताएँ होती हैं, लेकिन एक बार जब आप पूरी तरह से समझ लेते हैं कि एक बार उनसे कैसे निपटें, तो आप भिन्नों के साथ किसी भी उदाहरण को हल करने में सक्षम होंगे, क्योंकि आप भिन्नों के साथ अंकगणितीय गणना करने के मूल सिद्धांतों को जानेंगे। आइए विभिन्न प्रकार के भिन्नों का उपयोग करके किसी भिन्न को पूर्णांक से विभाजित करने के उदाहरण देखें।

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से कैसे विभाजित करें?
साधारण या साधारण भिन्न कहलाती हैं, जो संख्याओं के ऐसे अनुपात के रूप में लिखी जाती हैं, जिसमें भिन्न के शीर्ष पर लाभांश (अंश) और भिन्न का भाजक (भाजक) नीचे दर्शाया जाता है। ऐसे भिन्न को पूर्णांक से कैसे विभाजित करें? आइए एक उदाहरण देखें! मान लीजिए कि हमें 8/12 को 2 से भाग देना है।

ऐसा करने के लिए, हमें क्रियाओं की एक श्रृंखला करनी चाहिए:
इस प्रकार, यदि हमें एक भिन्न को एक पूर्णांक से विभाजित करने के कार्य का सामना करना पड़ता है, तो समाधान योजना कुछ इस तरह दिखाई देगी:

इसी तरह, आप किसी भी साधारण (सरल) भिन्न को एक पूर्णांक से विभाजित कर सकते हैं।

दशमलव को पूर्णांक से कैसे विभाजित करें?
दशमलव भिन्न वह भिन्न है जो एक इकाई को दस, एक हज़ार, इत्यादि भागों में विभाजित करके प्राप्त की जाती है। दशमलव भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ काफी सरल हैं।

एक अंश को एक पूर्णांक से विभाजित करने के उदाहरण पर विचार करें। मान लें कि हमें दशमलव भिन्न 0.925 को प्राकृत संख्या 5 से भाग देना है।

संक्षेप में, हम दो मुख्य बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो दशमलव अंशों को एक पूर्णांक से विभाजित करने की क्रिया करते समय महत्वपूर्ण हैं:

• एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के लिए, एक कॉलम में विभाजन का उपयोग किया जाता है;
  
• जब लाभांश के पूर्णांक भाग का विभाजन पूरा हो जाता है तो अल्पविराम को निजी में रखा जाता है।
  

इन सरल नियमों को लागू करके, आप किसी भी दशमलव या भिन्न को पूर्णांक से आसानी से विभाजित कर सकते हैं।

) और हर द्वारा हर (हमें उत्पाद का हर मिलता है)।

भिन्न गुणन सूत्र:

उदाहरण के लिए:

अंशों और हरों के गुणन के साथ आगे बढ़ने से पहले, भिन्न में कमी की संभावना की जांच करना आवश्यक है। यदि आप भिन्न को कम करने का प्रबंधन करते हैं, तो आपके लिए गणना करना जारी रखना आसान होगा।

साधारण भिन्न का भिन्न से भाग।

एक प्राकृत संख्या वाले भिन्नों का विभाजन।

यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जैसा कि जोड़ के मामले में, हम हर में एक इकाई के साथ एक पूर्णांक को भिन्न में परिवर्तित करते हैं। उदाहरण के लिए:

मिश्रित भिन्नों का गुणन।

भिन्नों को गुणा करने के नियम (मिश्रित):

• मिश्रित भिन्नों को अनुचित में बदलना;
• भिन्नों के अंशों और हरों को गुणा करें;
• हम अंश को कम करते हैं;
• यदि हमें अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।

टिप्पणी!मिश्रित भिन्न को किसी अन्य मिश्रित भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में लाना होगा, और फिर साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका।

किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक हो सकता है।

टिप्पणी!किसी भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना आवश्यक है, और अंश को अपरिवर्तित छोड़ दें।

उपरोक्त उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि यह विकल्प उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है जब एक अंश के हर को एक प्राकृतिक संख्या से शेष के बिना विभाजित किया जाता है।

बहुस्तरीय अंश।

हाई स्कूल में, तीन-कहानी (या अधिक) अंश अक्सर पाए जाते हैं। उदाहरण:

ऐसे भिन्न को उसके सामान्य रूप में लाने के लिए, 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग किया जाता है:

टिप्पणी!भिन्नों को विभाजित करते समय, विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।

टिप्पणी, उदाहरण के लिए:

एक को किसी भिन्न से भाग देने पर, परिणाम वही भिन्न होगा, केवल उल्टा:

भिन्नों को गुणा और भाग करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करने में सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है। सभी गणनाएं सावधानीपूर्वक और सटीक, एकाग्र और स्पष्ट रूप से करें। अपने दिमाग में गणनाओं में भ्रमित होने की तुलना में मसौदे में कुछ अतिरिक्त पंक्तियों को लिखना बेहतर है।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्नों वाले कार्यों में - साधारण भिन्नों के प्रकार पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को तब तक घटाते हैं जब तक कि इसे कम करना संभव न हो।

4. हम 2 बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करते हुए बहु-स्तरीय भिन्नात्मक व्यंजकों को साधारण व्यंजकों में लाते हैं।

5. हम केवल भिन्न को पलट कर इकाई को अपने दिमाग में भिन्न में विभाजित करते हैं।

अंशों का गुणन और विभाजन।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह ऑपरेशन जोड़-घटाव की तुलना में बहुत अच्छा है! क्योंकि यह आसान है। मैं आपको याद दिलाता हूं: एक अंश को एक अंश से गुणा करने के लिए, आपको अंशों को गुणा करना होगा (यह परिणाम का अंश होगा) और हर (यह हर होगा)। अर्थात:

उदाहरण के लिए:

सब कुछ बेहद सरल है. और कृपया एक सामान्य हर की तलाश न करें! यहां इसकी जरूरत नहीं है ...

किसी भिन्न को भिन्न से भाग देने के लिए, आपको पलटना होगा दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) भिन्न और उन्हें गुणा करें, अर्थात:

उदाहरण के लिए:

यदि पूर्णांकों और भिन्नों के साथ गुणा या भाग पकड़ा जाता है, तो कोई बात नहीं। इसके अलावा, हम हर में एक इकाई के साथ एक पूर्ण संख्या से एक अंश बनाते हैं - और जाओ! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-कहानी (या चार-कहानी!) भिन्नों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

इस भिन्न को सभ्य रूप में कैसे लाया जाए? हाँ, बहुत आसान! दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का प्रयोग करें:

लेकिन विभाजन के आदेश के बारे में मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! बेशक, हम 4:2 या 2:4 को भ्रमित नहीं करेंगे। लेकिन तीन मंजिला अंश में गलती करना आसान है। कृपया ध्यान दें, उदाहरण के लिए:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

अंतर महसूस करें? 4 और 1/9!

विभाजन का क्रम क्या है? या कोष्ठक, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज डैश की लंबाई। एक आँख विकसित करें। और अगर कोई कोष्ठक या डैश नहीं हैं, जैसे:

फिर विभाजित-गुणा क्रम में, बाएं से दाएं!

और एक और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण ट्रिक। डिग्री के साथ कार्यों में, यह आपके काम आएगा! आइए इकाई को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:

शॉट पलट गया! और यह हमेशा होता है। 1 को किसी भिन्न से भाग देने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उल्टा।

भिन्नों के साथ यही सभी क्रियाएं हैं। बात काफी सरल है, लेकिन पर्याप्त से अधिक त्रुटियाँ देता है। व्यावहारिक सलाह पर ध्यान दें, और उनमें से कम (गलतियाँ) होंगी!

व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएँ नहीं! यह एक गंभीर आवश्यकता है! परीक्षा में सभी गणनाओं को एक पूर्ण कार्य के रूप में एकाग्रता और स्पष्टता के साथ करें। अपने दिमाग में गणना करते समय गड़बड़ करने की तुलना में मसौदे में दो अतिरिक्त पंक्तियाँ लिखना बेहतर है।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्नों वाले उदाहरणों में - साधारण भिन्नों पर जाएं।

3. हम सभी भिन्नों को स्टॉप तक कम करते हैं।

4. हम दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को साधारण लोगों तक कम करते हैं (हम विभाजन के क्रम का पालन करते हैं!)।

5. हम केवल भिन्न को पलट कर इकाई को अपने दिमाग में भिन्न में विभाजित करते हैं।

यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको पूरा करने की आवश्यकता है। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय की सामग्री और व्यावहारिक सलाह का प्रयोग करें। अनुमान लगाएं कि आप कितने उदाहरणों को सही ढंग से हल कर सकते हैं। पहली बार! कैलकुलेटर के बिना! और सही निष्कर्ष निकालें ...

सही उत्तर याद रखें दूसरे (विशेषकर तीसरे) समय से प्राप्त - गिनती नहीं है!ऐसा कठोर जीवन है।

इसलिए, परीक्षा मोड में हल करें ! वैसे यह परीक्षा की तैयारी है। हम एक उदाहरण हल करते हैं, हम जांचते हैं, हम निम्नलिखित को हल करते हैं। हमने सब कुछ तय कर लिया - हमने पहली से आखिरी तक फिर से जाँच की। केवल बादउत्तरों को देखो।

गणना करें:

क्या आपने फैसला कर लिया?

आप से मेल खाने वाले उत्तरों की तलाश में। मैंने उन्हें विशेष रूप से एक गड़बड़ी में लिखा था, प्रलोभन से दूर, इसलिए बोलने के लिए ... ये रहे, उत्तर, अर्धविराम के साथ लिखे गए।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। अगर सब कुछ काम कर गया - आपके लिए खुश! भिन्नों के साथ प्राथमिक गणना आपकी समस्या नहीं है! आप अधिक गंभीर चीजें कर सकते हैं। अगर नहीं...

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1. पहली भिन्न को दूसरे से भाग देने के लिए, आपको भाज्य को उस संख्या से गुणा करना होगा जो भाजक के व्युत्क्रमानुपाती हो।

उचित और अनुचित भिन्नों के लिए, विभाजन नियम इस प्रकार है:

किसी भिन्न को विभाजित करने के लिए, भाजक के अंश को भाजक के हर से गुणा करें, और भाजक के हर को भाजक के अंश से गुणा करें। हम पहले उत्पाद को अंश के रूप में और दूसरे को हर के रूप में लेते हैं।

भिन्न द्वारा भिन्न का विभाजन।

1-वेल साधारण भिन्न को एक सेकंड से विभाजित करने के लिए, जो शून्य के बराबर नहीं है, आपको यह करना होगा:

• पहली भिन्न के अंश को दूसरी भिन्न के हर से गुणा करें और परिणामी भिन्न के अंश में गुणनफल लिखें;
• पहली भिन्न के हर को दूसरी भिन्न के अंश से गुणा करें और परिणामी भिन्न के हर में गुणनफल लिखें।

दूसरे शब्दों में, भिन्नों का विभाजन गुणा में जाता है।

1-वेल अंश को एक सेकंड से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश (1-वेल अंश) को गुणा करना होगा।

किसी संख्या से भिन्न का विभाजन।

योजनाबद्ध रूप से, एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना इस तरह दिखता है:

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से भाग देने के लिए, निम्न विधि का प्रयोग करें:

हम एक प्राकृत संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में व्यक्त करते हैं जिसमें एक अंश स्वयं संख्या के बराबर होता है, और एक भाजक 1 के बराबर होता है।