जॉर्ज कांतोर (1845-1918) का परिवार रूस से जर्मनी चला गया जब वह अभी भी एक बच्चा था। यह वहाँ था कि उन्होंने गणित का अध्ययन करना शुरू किया। 1868 में उन्होंने संख्या सिद्धांत पर अपने शोध प्रबंध का बचाव किया और बर्लिन विश्वविद्यालय से डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की। 27 साल की उम्र में, कांतोर ने एक बहुत ही जटिल गणितीय समस्या का एक सामान्य समाधान वाला एक लेख प्रकाशित किया - और विचार जो बाद में उनके प्रसिद्ध सिद्धांत-सेट सिद्धांत में विकसित हुए। 1878 में, उन्होंने महत्वपूर्ण संख्या में नई अवधारणाओं को पेश किया और तैयार किया, एक सेट की परिभाषा दी और एक सातत्य की पहली परिभाषा दी, और सेट की तुलना करने के सिद्धांतों को विकसित किया। उन्होंने 1879-1884 में अनंत के अपने सिद्धांत के सिद्धांतों की एक व्यवस्थित प्रस्तुति दी।

अनंत को वास्तव में दिया गया कुछ मानने पर कैंटर का आग्रह उस समय के लिए बड़ी खबर थी। कांतोर ने अपने सिद्धांत को अनंत, "ट्रांसफ़िनिट" (अर्थात, "सुपरफ़ाइन्ट") गणित के एक पूरी तरह से नए कलन के रूप में सोचा। उनके विचार के अनुसार, इस तरह के कलन का निर्माण न केवल गणित, बल्कि तत्वमीमांसा और धर्मशास्त्र में भी क्रांति लाने वाला था, जिसमें कैंटर की दिलचस्पी वैज्ञानिक अनुसंधान से लगभग अधिक थी। वह एकमात्र गणितज्ञ और दार्शनिक थे, जो मानते थे कि वास्तविक अनंत न केवल मौजूद है, बल्कि पूर्ण अर्थों में मनुष्य द्वारा भी समझ में आता है, और यह समझ गणितज्ञों को और उनके बाद धर्मशास्त्रियों को, उच्चतर और ईश्वर के करीब ले जाएगी। उन्होंने इस कार्य के लिए अपना जीवन समर्पित कर दिया। वैज्ञानिक का दृढ़ विश्वास था कि उन्हें विज्ञान में एक महान क्रांति करने के लिए भगवान द्वारा चुना गया था, और इस विश्वास को रहस्यमय दर्शन द्वारा समर्थित किया गया था। हालांकि, जॉर्ज कैंटर का टाइटैनिक प्रयास अजीब तरह से समाप्त हो गया: सिद्धांत में दुर्गम विरोधाभासों की खोज की गई, जिसने कैंटर के पसंदीदा विचार - "एलीफ्स की सीढ़ी", ट्रांसफ़िनिट नंबरों की एक अनुक्रमिक श्रृंखला के अर्थ पर संदेह किया। (इन नंबरों को उनके द्वारा अपनाए गए पदनाम में व्यापक रूप से जाना जाता है: अक्षर एलेफ के रूप में - हिब्रू वर्णमाला का पहला अक्षर।)

उनके दृष्टिकोण की अप्रत्याशितता और मौलिकता, दृष्टिकोण के सभी लाभों के बावजूद, अधिकांश वैज्ञानिकों द्वारा उनके काम की तीव्र अस्वीकृति का कारण बनी। दशकों तक, उन्होंने अपने लगभग सभी समकालीनों, दार्शनिकों और गणितज्ञों के साथ एक कड़ा संघर्ष किया, जिन्होंने वास्तविक-अनंत की नींव पर गणित के निर्माण की वैधता को नकार दिया। कुछ लोगों ने इसे एक चुनौती के रूप में लिया, क्योंकि कैंटर ने संख्याओं के सेट या अनुक्रमों के अस्तित्व को ग्रहण किया, जिनमें असीम रूप से कई तत्व होते हैं। प्रसिद्ध गणितज्ञ पोंकारे ने ट्रांसफ़िनिट नंबरों के सिद्धांत को एक "बीमारी" कहा, जिससे किसी दिन गणित को ठीक किया जाना चाहिए। एल क्रोनकर - कैंटर के शिक्षक और जर्मनी में सबसे सम्मानित गणितज्ञों में से एक - यहां तक ​​कि कैंटर पर हमला किया, उसे "चार्लटन", "पाखण्डी" और "युवाओं का मोलेस्टर" कहा! केवल 1890 तक, जब विश्लेषण और ज्यामिति के लिए सेट सिद्धांत के अनुप्रयोग प्राप्त किए गए थे, कैंटर के सिद्धांत को गणित की एक स्वतंत्र शाखा के रूप में मान्यता दी गई थी।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि कांतोर ने एक पेशेवर संघ - जर्मन गणितीय सोसायटी के निर्माण में योगदान दिया, जिसने जर्मनी में गणित के विकास में योगदान दिया। उनका मानना ​​​​था कि उनके वैज्ञानिक करियर को उनके काम के प्रति पूर्वाग्रह का सामना करना पड़ा था, और उन्हें उम्मीद थी कि एक स्वतंत्र संगठन युवा गणितज्ञों को स्वतंत्र रूप से नए विचारों का न्याय करने और उन्हें विकसित करने की अनुमति देगा। वह ज्यूरिख में पहली अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस के आयोजन के सर्जक भी थे।

कांतोर को अपने सिद्धांत के अंतर्विरोधों और इसे स्वीकार करने में कठिनाई का सामना करना पड़ा। 1884 से वे एक गहरे अवसाद से पीड़ित थे और कुछ वर्षों के बाद उन्होंने वैज्ञानिक गतिविधियों से संन्यास ले लिया। हाले के एक मनोरोग अस्पताल में कांतोर की हृदय गति रुकने से मृत्यु हो गई।

कांतोर ने अनंत के पदानुक्रम के अस्तित्व को साबित किया, जिनमें से प्रत्येक पिछले एक की तुलना में "बड़ा" है। अनंत सेटों का उनका सिद्धांत, वर्षों के संदेह और हमले से बचे रहने के बाद, अंततः 20 वीं शताब्दी के गणित में एक भव्य क्रांतिकारी शक्ति के रूप में विकसित हुआ। और उसकी आधारशिला बन गया।

19वीं शताब्दी की शुरुआत गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज से हुई थी। 1825 में - निकोलाई वासिलीविच लोबचेवस्की, थोड़ी देर बाद, 1831 में - जानोस बोल्याई। और इन खोजों का भाग्य बहुत दुखद था। न तो एक और न ही दूसरी खोज को मान्यता दी गई थी। 1860 के दशक तक, अन्य गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की खोजों से पहले - रीमैन और अन्य। और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के खोजकर्ता पहले ही मर चुके हैं! और अब - सेट का सिद्धांत, जिसे मान्यता भी नहीं है, डांटा ... ओह, यह अजीब 19 वीं सदी ...

कैंटर), जॉर्ज (3 मार्च, 1845 - 6 जनवरी, 1918) - गणितज्ञ और विचारक, सेट थ्योरी के निर्माता, जिसका अपना आधार है। अनंत सेट की वस्तु। जाति। पीटर्सबर्ग में। 1872 से - प्रो। हाले में विश्वविद्यालय। हाले में एक मनोरोग अस्पताल में उनकी मृत्यु हो गई। क्लिनिक। सेट के सिद्धांत (1870) के निर्माण के लिए, उनका नेतृत्व त्रिकोणमितीय के अध्ययन द्वारा किया गया था। पंक्तियाँ। के। के जीवन में रचनात्मक अवधि, जो 1897 तक चली (1885 में एक आध्यात्मिक संकट से बाधित), ऑप द्वारा चिह्नित है। "अनंत रेखीय बिंदु मैनिफोल्ड्स पर" ("? बेर अनएंडलिके, लीनियर पंकटमानिग्फाल्टिगकेइटन", 1879-84), "ट्रांसफ़ाइनेट सेट के सिद्धांत के औचित्य पर" ("बीटर? जी ज़ूर बेगर? एनडुंग डेर ट्रांसफ़िनिटेन मेनगेनलेह्रे", 1895-97 ), आदि के. ने समुच्चयों के सार सिद्धांत के रूप में नींव रखी [केवल दृष्टिकोण से सेट का अध्ययन। उनके "संख्या" (सेट की कार्डिनैलिटी) और उनके तत्वों (सेट के क्रम प्रकार) के बीच संबंध, और बिंदु सेट के सिद्धांत (यानी, संख्या रेखा के बिंदुओं से मिलकर सेट और सामान्य तौर पर, संख्या n- आयामी अंतरिक्ष)। के. वास्तविक संख्याओं के सिद्धांत का निर्माण करने वाले पहले लोगों में से एक थे, जो अभी भी (जर्मन वैज्ञानिकों आर। डेडेकिंड और के। वीयरस्ट्रैस के सिद्धांतों के साथ) आमतौर पर गणितीय के निर्माण के आधार के रूप में उपयोग किया जाता है। विश्लेषण। कैंटर के सेट सिद्धांत ने अनंत की अवधारणा के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण कदम आगे बढ़ाया; इसकी रचना गणितीय हर चीज में एक क्रांति थी। ज्ञान। प्रारंभ में। 20 वीं सदी सभी गणित को सेट थ्योरी के आधार पर पुनर्गठित किया गया था; इसके विकास और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में प्रवेश के कारण नए वैज्ञानिक का उदय हुआ। उदाहरण के लिए, अनुशासन। टोपोलॉजी, अमूर्त बीजगणित, आदि। बाद में, सेट थ्योरी में विरोधाभासों की खोज की गई, जिसने तार्किक के अध्ययन को एक नया प्रोत्साहन दिया। गणित की नींव रखी और इसके दर्शन में नई प्रवृत्तियों का उदय हुआ। व्याख्या (जैसे, अंतर्ज्ञानवाद)। इस तरह के पहले विरोधाभासों में से एक (सभी सेटों के सेट की शक्ति की अवधारणा से जुड़े) की खोज 1899 में खुद के ने की थी। गणित, के। के सेट सिद्धांत के बिना शर्त आवेदन पर आधारित है, वर्तमान में। समय को अक्सर शास्त्रीय कहा जाता है। गणित देखें, सिद्धांत सेट करें, गणितीय अनंतता। फिलोस के। के विचारों का पहलू वास्तव में अनंत की अवधारणा की पूर्ण वैधता की मान्यता में शामिल था। K. ने दो प्रकार के गणितीय भेद किए। अनंत: अनुचित रूप से अनंत (संभावित, या समकालिक, अनंत) और उचित अनंत (वास्तव में अनंत), के द्वारा समझा जाता है। कुछ पूर्ण के रूप में, एक सख्ती से सीमित पूरे के रूप में। वास्तविकता के प्रश्न के संबंध में, गणितीय अवधारणाएँ K. प्रतिष्ठित हैं: उनकी अंतर्वस्तु, या आसन्न, वास्तविकता (उनकी आंतरिक तार्किक। संगति) और उनके ट्रांससबजेक्टिव, या क्षणिक, वास्तविकता, जिसके द्वारा उन्होंने गणितीय के बीच पत्राचार को समझा। वास्तविक दुनिया की अवधारणाएं और प्रक्रियाएं। क्रोनकर के विपरीत, जिन्होंने गणितीय के अस्तित्व को साबित करने के उन तरीकों को खारिज कर दिया। ऑब्जेक्ट्स, टू-राई उनके निर्माण या गणना से जुड़े नहीं हैं, के। ने थीसिस को आगे रखा: "गणित का सार - इसकी स्वतंत्रता में," डॉस। अर्थ टू-रोगो को तार्किक रूप से सुसंगत अमूर्त गणितीय के निर्माण की धारणा के लिए कम कर दिया गया था। सिस्टम, "क्षणिक वास्तविकता" से रयख के प्रश्न को वास्तविकता की प्रक्रियाओं के साथ तुलना करके हल किया जाता है। के. के इस विचार की उपयोगिता की पुष्टि 20वीं शताब्दी में गणित के विकास से हुई, जिसने नई उभरती हुई अमूर्त गणितीय अवधारणाओं के अनुप्रयोग के कई उदाहरण प्रस्तुत किए। और तार्किक। भौतिकी, प्रौद्योगिकी, भाषा विज्ञान और अन्य क्षेत्रों में सिद्धांत। उनके दर्शन से। विचार के. एक वस्तुनिष्ठ आदर्शवादी थे। उन्होंने गणित में वास्तविक अनंत को सामान्य रूप से वास्तव में अनंत के अस्तित्व के रूपों में से एक माना; उत्तरार्द्ध पूरी तरह से स्वतंत्र, दुनिया के बाहर अस्तित्व में "उच्चतम पूर्णता" प्राप्त करता है - भगवान में; ईश्वर बिल्कुल अनंत या निरपेक्ष है; इसके अलावा, वास्तविक अनंत, के। के अनुसार, बाहरी दुनिया में वस्तुनिष्ठ रूप से मौजूद है। के. ने हेगेल की आलोचना की, उनकी द्वंद्वात्मकता को इस आधार पर खारिज कर दिया कि इसका मूल एक विरोधाभास है। इसलिए, ध्यान, विशेष रूप से अपने जीवन के अंतिम काल में, के। ने धर्मशास्त्र पर ध्यान दिया। उनका धार्मिक दर्शन। अरस्तू, प्लेटो और विद्वानों के प्रभाव में विचारों ने आकार लिया। ऑप.: Gesammelte Abhandlungen..., V., 1932. लिट.: फ्रेंकेल?., जॉर्ज कैंटर, Lpz., 1930। ए कोनोप्लायंकिन। मास्को।

महान परिभाषा

अधूरी परिभाषा

कांटोर जॉर्ज (1845-1918)

जर्मन गणितज्ञ, तर्कशास्त्री, धर्मशास्त्री, ट्रांसफ़िनिट (अनंत) सेट के सिद्धांत के निर्माता, जिनका 19 वीं और 20 वीं शताब्दी के मोड़ पर गणितीय विज्ञान के विकास पर निर्णायक प्रभाव पड़ा। बर्लिन विश्वविद्यालय (1867) से स्नातक, हाले विश्वविद्यालय में प्रोफेसर (1879-1913)। मुख्य कार्य: "किस्मों के सामान्य सिद्धांत के मूल सिद्धांत" (1902)। अनंत फूरियर श्रृंखला के सिद्धांत में दबाव की समस्याओं को हल करने की आवश्यकता से शुरू किया गया के. का शोध, संख्यात्मक सेटों के सिद्धांत की दिशा में आगे के मौलिक शोध का आधार बन गया, जहां उन्होंने पेश किया: एक सेट की सामान्य परिभाषा, ट्रांसफ़िनिट नंबर, "एक सेट की शक्ति" की सामान्य अवधारणा (एक सेट के तत्वों की संख्या के रूप में), विभिन्न ट्रांसफ़िनिट सेट की कार्डिनैलिटी। सेट के तहत, के. ने समझा "... सामान्य तौर पर, कई चीजें जिन्हें एक के रूप में सोचा जा सकता है, यानी कुछ तत्वों का कोई भी सेट जिसे किसी कानून की मदद से एक पूरे में जोड़ा जा सकता है ..." . एक सेट की अवधारणा के लिए मौलिक विभिन्न वस्तुओं को एक पूरे में संयोजित करने का कार्य है, जिसे एक सेट के रूप में परिभाषित किया गया है। सेट के तत्व वास्तविक वास्तविकता, मानव अंतर्ज्ञान या बुद्धि की कोई भी वस्तु हो सकते हैं। वाक्यांश के K. की परिभाषा में उपस्थिति "... कुछ तत्वों का एक समूह जिसे किसी कानून की मदद से एक पूरे में जोड़ा जा सकता है ..." पूरी तरह से इसके तत्वों या कानून (विशेषता विशेषताओं,) के सेट को निर्धारित करता है। गुण), जिसके अनुसार विभिन्न वस्तुओं के संयोजन की क्रिया एक पूरे में होती है - एक भीड़। इसलिए, समुच्चय सिद्धांत की मूल अवधारणा स्वयं समुच्चय की अवधारणा नहीं है, बल्कि वस्तुओं के समुच्चय से संबंध का संबंध है। अनंत को वास्तविक और क्षमता में विभाजित करने की परंपरा अरस्तू में वापस चली जाती है: "विकल्प रहता है, जिसके अनुसार अनंत का एक संभावित अस्तित्व होता है ... वास्तव में अनंत मौजूद नहीं है" (अरस्तू, "भौतिकी")। इस परंपरा को डेसकार्टेस ("इन्फिनिटी पहचानने योग्य है, लेकिन संज्ञेय नहीं है") और यहां तक ​​​​कि के। गॉस के समय में भी जारी रखा गया था ("गणित में, एक अनंत मूल्य को कभी भी कुछ अंतिम के रूप में उपयोग नहीं किया जा सकता है; अनंत कुछ भी नहीं बल्कि फैकॉन डे पार्ले है / अभिव्यक्ति का तरीका - .С / , जिसका अर्थ है कि कुछ मात्राएँ जिस सीमा तक चलती हैं, जब अन्य अनिश्चित काल के लिए घट जाती हैं")। K., जैसा कि एम. क्लाइन ने लिखा था, एक लंबी परंपरा से "पहले से ही इस तथ्य से विदा हो गया कि वह अनंत सेटों को एकल संस्थाओं के रूप में मानता था, इसके अलावा, मानव मन के लिए सुलभ संस्थाएं।" गणितीय अनंत पर अपने साथी गणितज्ञों के विचारों से पूरी तरह असहमत, के। इस तथ्य से वास्तव में अनंत सेट पेश करने की आवश्यकता को प्रेरित किया कि "संभावित अनंतता वास्तव में वास्तविक अनंत पर तार्किक रूप से निर्भर करती है।" K के अनुसार वास्तव में अनंत सेट का एक उत्कृष्ट उदाहरण अपरिमेय संख्याओं के दशमलव विस्तार हैं, क्योंकि प्रत्येक "ऐसे अपघटन का परिमित खंड एक अपरिमेय संख्या के लिए केवल एक परिमित सन्निकटन देता है।" 1873 तक, के. ने वास्तव में अनंत सेटों के वर्गीकरण पर शोध शुरू किया। थोड़ी देर बाद, K. ने एक अनंत समुच्चय को एक ऐसे समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जिसके लिए अपने स्वयं के उपसमुच्चय के साथ एक-से-एक पत्राचार होता है (अर्थात, पूरे सेट से अलग)। इस दृष्टिकोण के परिणामों में से एक, उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा के बिंदुओं और किसी भी आयाम के कई गुना बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करने की संभावना थी। अनंत समुच्चयों की अपनी परिभाषा के आधार पर, K. उनमें से प्रत्येक जोड़े के लिए तुल्यता (समान शक्ति) का संबंध स्थापित करने में सक्षम था। 1874 में के. ने सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की बेशुमारता को सिद्ध किया, विभिन्न कार्डिनैलिटी (गैर-समतुल्य सेट) के साथ अनंत सेटों के जोड़े के अस्तित्व को स्थापित किया। व्यवस्थित रूप से गणितीय अनंत के उनके सिद्धांत की नींव 1879-1884 में उल्लिखित है। अनंत के पदानुक्रम का आधार 1890 के दशक के पूर्वार्द्ध में के-बर्नस्टीन के प्रसिद्ध प्रमेय द्वारा सिद्ध किया गया था: "यदि दो सेट ए और बी ऐसे हैं कि बीच में एक-से-एक पत्राचार है समुच्चय A और समुच्चय B का उपसमुच्चय और समुच्चय B और समुच्चय A के उपसमुच्चय के बीच, तब समुच्चय A और समुच्चय B के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करना भी संभव है", अर्थात। समुच्चय A और B की तुल्यता (समतुल्यता) स्थापित करें। उसी समय, K ने यह निर्धारित किया कि यदि समुच्चय A को अपने उपसमुच्चय B के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है, और समुच्चय B को इसमें नहीं रखा जा सकता है अपने स्वयं के सबसेट ए के साथ एक-से-एक पत्राचार, फिर परिभाषा के अनुसार सेट बी सेट ए से अधिक है। एम। क्लेन के अनुसार, ऐसी परिभाषा अनंत सेट के मामले को सामान्यीकृत करती है जो "मामले में तत्काल स्पष्ट है" परिमित सेटों का।" इस दृष्टिकोण के बाद, के. ने साबित किया कि किसी भी "दिए गए सेट के लिए हमेशा मूल से बड़ा सेट होता है" (उदाहरण के लिए, किसी दिए गए सेट के सभी सबसेट का सेट मूल सेट से बड़ा होता है)। तथ्य यह है कि दो शक्तियों के बीच "समानता", "अधिक" और "कम" संबंध स्थापित करना संभव है, के। अनंत सेटों की कार्डिनैलिटी को दर्शाने के लिए "संख्या" प्रतीकों को कॉल करने का कारण है (सीमित सेटों के लिए, उनके कार्डिनैलिटी को दर्शाने के लिए प्रतीक प्राकृतिक श्रृंखला की संख्याएं हैं जो प्रत्येक समान परिमित सेट में तत्वों की संख्या निर्धारित करते हैं)। प्राकृतिक श्रृंखला की संख्या के विपरीत [क्रमिक संख्याएं / उससे। Die Ordinalzahl (Ordnungzahl) - क्रमिक अंक - C.C.I, K. कार्डिनल नंबर कहलाते हैं (जर्मन डाई कार्डिनलज़हल - मात्रात्मक संख्या से)] "संख्याएँ" अनंत सेटों की शक्ति को दर्शाती हैं। के। का मानना ​​​​था कि कुछ मूल्यों का क्षेत्र सीमित मूल्यों तक सीमित नहीं है, टी। के बारे में "वास्तविक अनंत भी संभव प्रदर्शनकारी ज्ञान है"। यदि कार्डिनैलिटी की अवधारणा अनंत सेटों के लिए "मात्रा" की एक विस्तारित अवधारणा थी, तो कार्डिनल नंबर की अवधारणा "सामान्य रूप से संख्या" की अवधारणा का एक विस्तारित सामान्यीकरण बन गई। अनंत के दायरे में "संख्या" की अवधारणा के के। विस्तार ने गणित के परिवर्तन को गुणात्मक रूप से नए स्तर की सोच के रूप में चिह्नित किया। वास्तव में, के. के अनुसार समुच्चयों की शक्ति मानव शोधकर्ता के मन में समुच्चयों के कुछ संबंधों को प्रतिबिम्बित करती है, अर्थात्। K. में समुच्चयों की कार्डिनैलिटी समतुल्य अनंत समुच्चयों की सबसे सामान्य विशेषता है। 19 वीं शताब्दी की शुरुआत में बोलजानो। सेट के बीच एक-से-एक पत्राचार की अवधारणा के लिए आया (और, परिणामस्वरूप, सेट की कार्डिनैलिटी की अवधारणा और कार्डिनल नंबरों द्वारा उनकी अभिव्यक्ति)। हालांकि, 19वीं सदी के मध्य तक "मात्रा" के तहत। आकार समझ में आया। और चूंकि प्रत्येक मात्रा को माप की चुनी हुई इकाई के माध्यम से एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, मात्रा का विचार संख्या की अवधारणा से जुड़ा था। कवि बोलजानो को "मात्रा" की अवधारणा से उत्पन्न होने वाली गंभीर कठिनाइयों से पहले पीछे हटने के लिए मजबूर होना पड़ा। उस समय के गणित को आम तौर पर एक विज्ञान के रूप में परिभाषित किया गया था जो मात्राओं और उन्हें व्यक्त करने वाली संख्याओं के बीच संबंधों का अध्ययन करता है। हालांकि, जैसा कि वी.ए. वोल्कोव लिखते हैं, "गणित के व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए उनके बीच विभिन्न प्रकार की मात्रा और निर्भरता कितनी भी महत्वपूर्ण क्यों न हो, वे वास्तविक दुनिया के विभिन्न मात्रात्मक संबंधों और स्थानिक रूपों की सभी समृद्धि को कवर नहीं करते हैं।" के. ने गणित में "एक व्युत्पन्न सेट की सीमा बिंदु" की अवधारणा को भी पेश किया, एक आदर्श सेट ("सेट के") का एक उदाहरण बनाया, और निरंतरता के सिद्धांतों में से एक ("स्वयंसिद्ध के।") तैयार किया। के। के सिद्धांत के परिणामों ने गणित की नींव के काफी गंभीरता से अध्ययन किए गए क्षेत्रों में विरोधाभासों का खुलासा किया। उस समय के गणित के नेताओं ने इन विरोधाभासों (विरोधाभासों) को एकमात्र कारण कहा कि विरोधाभास "व्याख्या की जा सकती है, और गणितज्ञों ने यह आशा नहीं छोड़ी कि वे अंततः उन सभी कठिनाइयों को हल करने में सक्षम होंगे जिनका उन्होंने सामना किया।" उस समय के अधिकांश प्रमुख गणितज्ञों के विपरीत, K. के गणितीय अनंत के सिद्धांत का समर्थन रसेल और हिल्बर्ट ने किया था। रसेल ने के. को 19वीं सदी के महान विचारकों में से एक मानते हुए 1910 में लिखा था कि के. की समस्याओं का समाधान, "जिसने गणितीय अनंतता के रहस्य को लंबे समय से ढका हुआ है, शायद वह सबसे बड़ी उपलब्धि है जो हमारी सदी/20वीं सदी होनी चाहिए। गर्व है - एस.एस./"। 1926 में हिल्बर्ट ने सोचा कि के. का सिद्धांत "गणितीय विचार का सबसे रमणीय फूल है और शुद्ध सोच के क्षेत्र में मानव गतिविधि की सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक है।" और ई। बोरेल और ए। लेबेसेग पहले से ही 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में थे। अभिन्न की अवधारणा को सामान्यीकृत किया और माप और माप के सिद्धांत को विकसित किया, जो कि के सिद्धांत पर आधारित था। 1897 तक, के। को अपने विचारों के तीव्र प्रतिरोध के कारण सक्रिय गणितीय अनुसंधान को रोकने के लिए मजबूर किया गया था (विशेष रूप से, एल। क्रोनकर, जिन्होंने के। को एक चार्लटन कहा था), "अज्ञानता के संरक्षण के कानून" को आगे बढ़ाते हुए: "किसी भी गलत निष्कर्ष का खंडन करना आसान नहीं है, एक बार जब यह आ गया है और यह पर्याप्त रूप से व्यापक हो गया है, और जितना कम यह समझा जाता है, जितना हठपूर्वक पालन किया जाता है।" के. हमेशा प्लेटो के दार्शनिक विचारों को साझा करते थे और मानते थे कि हमारे आसपास की दुनिया में "विचार मनुष्य से स्वतंत्र रूप से मौजूद हैं। और इन विचारों की वास्तविकता को महसूस करने के लिए, आपको केवल उनके बारे में सोचने की जरूरत है।" के., अपने परिवार की लंबी धार्मिक परंपरा के अनुसार एक उत्साही लूथरन होने के नाते, अक्सर अपने बयानों में धार्मिक तर्क का इस्तेमाल करते थे। गणित से उनके जाने के बाद यह विशेष रूप से स्पष्ट था।

जॉर्ज कैंटर (फोटो लेख में बाद में दिया गया है) एक जर्मन गणितज्ञ है जिसने सेट सिद्धांत बनाया और अनंत संख्याओं की अवधारणा पेश की, असीम रूप से बड़ी, लेकिन एक दूसरे से अलग। उन्होंने क्रमसूचक और कार्डिनल संख्याओं को भी परिभाषित किया और उनका अंकगणित बनाया।

जॉर्ज कांटोर: एक लघु जीवनी

03/03/1845 को सेंट पीटर्सबर्ग में पैदा हुए। उनके पिता प्रोटेस्टेंट धर्म के एक डेन, जॉर्ज-वाल्डेमर कांतोर थे, जो स्टॉक एक्सचेंज सहित व्यापार में लगे हुए थे। उनकी मां मारिया बेम एक कैथोलिक थीं और प्रमुख संगीतकारों के परिवार से आती थीं। जब 1856 में जॉर्ज के पिता बीमार पड़ गए, तो परिवार पहले वेसबाडेन और फिर फ्रैंकफर्ट चले गए, जहां वे एक हल्के जलवायु की तलाश में थे। लड़के की गणितीय प्रतिभा उसके 15 वें जन्मदिन से पहले ही दिखाई दी, जब वह डार्मस्टाट और विसबाडेन के निजी स्कूलों और व्यायामशालाओं में पढ़ रहा था। अंत में, जॉर्ज कैंटर ने अपने पिता को गणितज्ञ बनने के अपने दृढ़ इरादे के बारे में आश्वस्त किया, इंजीनियर नहीं।

ज्यूरिख विश्वविद्यालय में एक संक्षिप्त अध्ययन के बाद, 1863 में कांटोर भौतिकी, दर्शन और गणित का अध्ययन करने के लिए बर्लिन विश्वविद्यालय में स्थानांतरित हो गए। वहाँ उसे सिखाया गया था:

• कार्ल थियोडोर वीयरस्ट्रैस, जिनकी विश्लेषण में विशेषज्ञता शायद जॉर्ज का सबसे बड़ा प्रभाव था;
• अर्न्स्ट एडुआर्ड कुमर, जिन्होंने उच्च अंकगणित पढ़ाया;
• लियोपोल्ड क्रोनकर, संख्या सिद्धांतकार जिन्होंने बाद में कैंटर का विरोध किया।

1866 में गॉटिंगेन विश्वविद्यालय में एक सेमेस्टर खर्च करने के बाद, अगले वर्ष जॉर्ज ने एक डॉक्टरेट शोध प्रबंध लिखा, जिसका शीर्षक था "गणित में प्रश्न पूछने की कला समस्याओं को हल करने की तुलना में अधिक मूल्यवान है", एक समस्या के बारे में जिसे कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपने डिस्क्विशन्स एरिथमेटिका में अनसुलझा छोड़ दिया। (1801)। बर्लिन स्कूल फॉर गर्ल्स में संक्षेप में पढ़ाने के बाद, कांटोर ने हाले विश्वविद्यालय में काम करना शुरू किया, जहां वे अपने जीवन के अंत तक बने रहे, पहले एक शिक्षक के रूप में, 1872 से एक सहायक प्रोफेसर के रूप में, और 1879 से एक प्रोफेसर के रूप में।

शोध करना

1869 से 1873 तक 10 पत्रों की एक श्रृंखला की शुरुआत में, जॉर्ज कैंटर ने संख्या सिद्धांत पर विचार किया। काम ने विषय के प्रति उनके जुनून, गॉस के उनके अध्ययन और क्रोनकर के प्रभाव को दर्शाया। हाले में कैंटर के सहयोगी हेनरिक एडुआर्ड हेइन के सुझाव पर, जिन्होंने उनकी गणितीय प्रतिभा को पहचाना, उन्होंने त्रिकोणमितीय श्रृंखला के सिद्धांत की ओर रुख किया, जिसमें उन्होंने वास्तविक संख्याओं की अवधारणा का विस्तार किया।

1854 में जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन द्वारा एक जटिल चर के कार्य पर काम के आधार पर, 1870 में कांटोर ने दिखाया कि इस तरह के फ़ंक्शन को केवल एक ही तरीके से दर्शाया जा सकता है - त्रिकोणमितीय श्रृंखला द्वारा। संख्याओं (अंकों) के एक समूह पर विचार जो इस तरह के प्रतिनिधित्व का खंडन नहीं करेगा, ने उन्हें पहले 1872 में परिमेय संख्याओं (पूर्णांकों के अंश) के संदर्भ में एक परिभाषा के लिए प्रेरित किया और फिर अपने जीवन के काम पर काम की शुरुआत के लिए, सेट किया। सिद्धांत और अवधारणा अनंत संख्या।

समुच्चय सिद्धान्त

जॉर्ज कैंटर, जिसका सेट सिद्धांत ब्राउनश्वेग के तकनीकी संस्थान के गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिंड के साथ पत्राचार में उत्पन्न हुआ था, बचपन से ही उनके साथ दोस्त थे। वे इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि समुच्चय, चाहे परिमित हो या अनंत, तत्वों का संग्रह है (जैसे संख्याएं, (0, ±1, ±2 ...)) जिनके पास अपनी व्यक्तित्व को बनाए रखते हुए एक निश्चित संपत्ति है। लेकिन जब जॉर्ज कैंटर ने उनकी विशेषताओं का अध्ययन करने के लिए एक-से-एक पत्राचार (उदाहरण के लिए, (ए, बी, सी) से (1, 2, 3)) का उपयोग किया, तो उन्होंने जल्दी से महसूस किया कि वे अपनी सदस्यता की डिग्री में भिन्न हैं, भले ही वे अनंत समुच्चय हों, अर्थात् समुच्चय, जिसके एक भाग या उपसमुच्चय में उतनी ही वस्तुएँ शामिल हों जितनी स्वयं। उनकी विधि ने जल्द ही आश्चर्यजनक परिणाम दिए।

1873 में, जॉर्ज कैंटर (गणितज्ञ) ने दिखाया कि परिमेय संख्याएँ, हालांकि अनंत हैं, गणनीय हैं क्योंकि उन्हें प्राकृतिक संख्याओं (यानी 1, 2, 3, आदि) के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। उन्होंने दिखाया कि अपरिमेय और परिमेय संख्याओं से मिलकर बनी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अनंत और बेशुमार है। अधिक विरोधाभासी रूप से, कैंटर ने साबित किया कि सभी बीजीय संख्याओं के सेट में सभी पूर्णांकों के सेट के रूप में कई तत्व होते हैं, और यह कि गैर-बीजीय पारलौकिक संख्याएं, जो अपरिमेय संख्याओं का एक उपसमुच्चय हैं, बेशुमार हैं और इसलिए पूर्णांकों की तुलना में अधिक हैं। , और अनंत के रूप में माना जाना चाहिए।

विरोधी और समर्थक

लेकिन कांटोर का पेपर, जिसमें उन्होंने पहली बार इन परिणामों को सामने रखा था, क्रेल पत्रिका में प्रकाशित नहीं हुआ था, क्योंकि समीक्षकों में से एक क्रोनकर स्पष्ट रूप से इसके खिलाफ थे। लेकिन डेडेकाइंड के हस्तक्षेप के बाद, इसे 1874 में सभी वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं की विशेषता गुणों पर शीर्षक के तहत प्रकाशित किया गया था।

विज्ञान और व्यक्तिगत जीवन

उसी वर्ष, अपनी पत्नी वल्ली गुटमैन के साथ अपने हनीमून के दौरान, कांटोर डेडेकिंड से मिले, जिन्होंने उनके नए सिद्धांत के पक्ष में बात की। जॉर्ज का वेतन कम था, लेकिन अपने पिता के पैसे से, जिनकी मृत्यु 1863 में हुई, उन्होंने अपनी पत्नी और पांच बच्चों के लिए एक घर बनाया। उनके कई पत्र स्वीडन में नई पत्रिका एक्टा मैथमैटिका में प्रकाशित हुए थे, जिसे गेस्टा मिट्टाग-लेफ़लर द्वारा संपादित और स्थापित किया गया था, जो जर्मन गणितज्ञ की प्रतिभा को पहचानने वाले पहले व्यक्ति थे।

तत्वमीमांसा के साथ संबंध

कैंटर का सिद्धांत अनंत के गणित (जैसे श्रृंखला 1, 2, 3, आदि, और अधिक जटिल सेट) से संबंधित अध्ययन का एक बिल्कुल नया विषय बन गया, जो एक-से-एक पत्राचार पर बहुत अधिक निर्भर था। निरंतरता और अनंत से संबंधित प्रश्न प्रस्तुत करने के लिए कैंटर द्वारा नए तरीकों के विकास ने उनके शोध को एक अस्पष्ट चरित्र दिया।

जब उन्होंने तर्क दिया कि अनंत संख्याएं वास्तव में मौजूद हैं, तो उन्होंने वास्तविक और संभावित अनंत के साथ-साथ उनके माता-पिता ने उन्हें दी गई प्रारंभिक धार्मिक शिक्षा के बारे में प्राचीन और मध्ययुगीन दर्शन की ओर रुख किया। 1883 में, अपनी पुस्तक फ़ाउंडेशन ऑफ़ जनरल सेट थ्योरी में, कैंटर ने अपनी अवधारणा को प्लेटो के तत्वमीमांसा के साथ जोड़ा।

क्रोनकर, जिन्होंने दावा किया कि केवल पूर्णांक "अस्तित्व में हैं" ("भगवान ने पूर्णांक बनाया, बाकी मनुष्य का काम है"), कई वर्षों तक उनके तर्क को खारिज कर दिया और बर्लिन विश्वविद्यालय में उनकी नियुक्ति को रोक दिया।

अनंत संख्या

1895-97 में। जॉर्ज कैंटर ने अपने सबसे प्रसिद्ध काम में अनंत क्रमिक और कार्डिनल संख्याओं सहित निरंतरता और अनंतता की अपनी धारणा को पूरी तरह से बनाया, जिसे कॉन्ट्रिब्यूशन टू द इस्टैब्लिशमेंट ऑफ़ द थ्योरी ऑफ़ ट्रांसफ़िनिट नंबर्स (1915) के रूप में प्रकाशित किया गया था। इस निबंध में उनकी अवधारणा है, जिसके लिए उनका नेतृत्व यह प्रदर्शित करके किया गया था कि एक अनंत सेट को इसके एक सबसेट के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है।

कम से कम ट्रांसफ़िनिट कार्डिनल नंबर से, उनका मतलब किसी भी सेट की कार्डिनैलिटी से था जिसे प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। कैंटर ने इसे एलेफ-नल कहा। बड़े ट्रांसफ़िनिट सेटों को निरूपित किया जाता है, आदि। उन्होंने ट्रांसफ़िनिट नंबरों के अंकगणित को और विकसित किया, जो कि परिमित अंकगणित के अनुरूप था। इस प्रकार, उन्होंने अनंत की अवधारणा को समृद्ध किया।

उन्होंने जिस विरोध का सामना किया, और उनके विचारों को पूरी तरह से स्वीकार करने में लगने वाले समय को प्राचीन प्रश्न के पुनर्मूल्यांकन की कठिनाई से समझाया गया है कि संख्या क्या है। कैंटर ने दिखाया कि एक रेखा पर बिंदुओं के सेट में एलेफ-शून्य की तुलना में उच्च कार्डिनैलिटी होती है। इसने सातत्य परिकल्पना की प्रसिद्ध समस्या को जन्म दिया - एलेफ-शून्य और रेखा पर बिंदुओं की शक्ति के बीच कोई कार्डिनल संख्या नहीं है। 20वीं शताब्दी के पूर्वार्ध में इस समस्या ने बहुत रुचि जगाई और कर्ट गोडेल और पॉल कोहेन सहित कई गणितज्ञों ने इसका अध्ययन किया।

डिप्रेशन

1884 से जॉर्ज कांतोर की जीवनी उनकी मानसिक बीमारी से प्रभावित थी, लेकिन उन्होंने सक्रिय रूप से काम करना जारी रखा। 1897 में उन्होंने ज्यूरिख में पहली अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस आयोजित करने में मदद की। आंशिक रूप से क्योंकि क्रोनकर ने उनका विरोध किया था, उन्होंने अक्सर युवा महत्वाकांक्षी गणितज्ञों के साथ सहानुभूति व्यक्त की और उन्हें नए विचारों से खतरा महसूस करने वाले शिक्षकों के उत्पीड़न से बचाने के लिए एक रास्ता खोजने की कोशिश की।

इकबालिया बयान

सदी के अंत में, उनके काम को पूरी तरह से कार्य सिद्धांत, विश्लेषण और टोपोलॉजी के आधार के रूप में मान्यता दी गई थी। इसके अलावा, कैंटर जॉर्ज की पुस्तकों ने गणित की तार्किक नींव के अंतर्ज्ञानवादी और औपचारिक स्कूलों के आगे विकास के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में कार्य किया। इसने शिक्षण प्रणाली को महत्वपूर्ण रूप से बदल दिया और अक्सर "नए गणित" से जुड़ा होता है।

1911 में, कांतोर उन लोगों में शामिल थे जिन्हें स्कॉटलैंड में सेंट एंड्रयूज विश्वविद्यालय की 500वीं वर्षगांठ के उत्सव में आमंत्रित किया गया था। वे वहाँ किससे मिलने की आशा में गए थे, हाल ही में प्रकाशित अपने प्रिन्सिपिया मैथमैटिका में उन्होंने बार-बार जर्मन गणितज्ञ का जिक्र किया, लेकिन ऐसा नहीं हुआ। विश्वविद्यालय ने कांतोर को मानद उपाधि से सम्मानित किया, लेकिन बीमारी के कारण, वह व्यक्तिगत रूप से पुरस्कार स्वीकार करने में असमर्थ थे।

1913 में कांतोर सेवानिवृत्त हुए, गरीबी में रहे और प्रथम विश्व युद्ध के दौरान भूखे रह गए। 1915 में उनके 70वें जन्मदिन के उपलक्ष्य में होने वाले समारोहों को युद्ध के कारण रद्द कर दिया गया था, लेकिन उनके घर पर एक छोटा सा समारोह हुआ। 01/06/1918 को हाले में एक मनोरोग अस्पताल में उनकी मृत्यु हो गई, जहाँ उन्होंने अपने जीवन के अंतिम वर्ष बिताए।

जॉर्ज कांटोर: जीवनी। परिवार

9 अगस्त, 1874 को जर्मन गणितज्ञ ने वैली गुटमैन से शादी की। दंपति के 4 बेटे और 2 बेटियां थीं। आखिरी बच्चे का जन्म 1886 में कांतोर द्वारा खरीदे गए एक नए घर में हुआ था। उनके पिता की विरासत ने उन्हें अपने परिवार का समर्थन करने में मदद की। 1899 में उनके सबसे छोटे बेटे की मृत्यु से कांटोर के स्वास्थ्य की स्थिति पर बहुत प्रभाव पड़ा - तब से अवसाद ने उनका पीछा नहीं छोड़ा।

ईडी।, गेसमेल्टे अबंदलुंगेन गणितीय -und दार्शनिक साँस लेना, एमआईटी एर्लीä उटर्नडेन अनमेरकुंगेन सोवी एमआईटी एर्गä ज़ुंगेन ऑस्ट्रेलिया डेम ब्रीफवेचसेल कैंटोर- डेडेकिंड, बर्लिन, वेरलाग वॉन जूलियस स्प्रिंगर, 1932

1. विकास अवधि (1845−1871)

जॉर्ज फर्डिनेंड लुडविग फिलिप कांतोर, सेट थ्योरी के निर्माता, विज्ञान की दुनिया में सबसे बड़ी नई घटनाओं में से एक, का जन्म 19 फरवरी को सेंट पीटर्सबर्ग में हुआ था। शैली (मार्च 3, नई शैली) 1845। उनके पिता जॉर्ज वोल्डेमर कांटोर, मूल रूप से कोपेनहेगन के थे, अपनी युवावस्था में सेंट पीटर्सबर्ग पहुंचे; उन्होंने वहाँ अपने नाम से एक दलाली रखी, कभी-कभी "कांतोर और के" नाम से। एक मेहनती और सफल व्यवसायी, उन्होंने बड़ी सफलता हासिल की और अपनी मृत्यु (1863) के बाद एक बहुत ही महत्वपूर्ण भाग्य छोड़ दिया; जाहिर है, उन्हें सेंट पीटर्सबर्ग और बाद में जर्मनी दोनों में उच्च सम्मान प्राप्त था। फेफड़ों की बीमारी के कारण, 1856 में वे अपने परिवार के साथ जर्मनी चले गए; वहाँ उन्होंने जल्द ही फ्रैंकफर्ट एम मेन में रहने का विकल्प चुना, जहाँ वे एक किराएदार की स्थिति में रहते थे। कांटोर की मां, मारिया नी बोहेम, एक ऐसे परिवार से आई थीं जिसके कई सदस्य कला के विभिन्न क्षेत्रों में प्रतिभाशाली थे; निस्संदेह, उसका प्रभाव उसके बेटे की समृद्ध कल्पना में स्पष्ट था। उनके दादा, लुडविग बोहम, एक बैंडमास्टर थे; दादा के भाई जोसेफ, जो वियना में रहते थे, प्रसिद्ध कलाप्रवीण व्यक्ति सेलिस्ट जोआचिम के शिक्षक थे; मारिया कांटोर के भाई भी एक संगीतकार थे, और उनकी बहन एनेट की एक कलाकार बेटी थी, जो म्यूनिख स्कूल ऑफ आर्टिस्टिक क्राफ्ट्स में पढ़ाती थी। जॉर्ज कांटोर के भाई, कॉन्स्टेंटिन, जो एक प्रतिभाशाली पियानोवादक थे, और उनकी बहन सोफिया में, जो विशेष रूप से ड्राइंग के शौकीन थे, एक कलात्मक नस भी ध्यान देने योग्य है।

सेंट पीटर्सबर्ग में प्राथमिक विद्यालय में पढ़ने वाले एक प्रतिभाशाली लड़के ने पहले से ही गणित का अध्ययन शुरू करने की एक भावुक इच्छा दिखाई। हालाँकि, उनके पिता इस बात से सहमत नहीं थे, एक इंजीनियर के पेशे को कमाई के मामले में अधिक आशाजनक मानते हुए। बेटे ने पहले तो आज्ञा मानी; कुछ समय के लिए उन्होंने वेसबाडेन में व्यायामशाला, साथ ही फ्रैंकफर्ट एम मेन में निजी स्कूलों में भाग लिया; फिर उन्होंने 185 9 के वसंत में, डार्मस्टाट में हेस्से के ग्रैंड डची के प्रांतीय असली स्कूल में प्रवेश किया, जहां उन्होंने लैटिन भी पढ़ाया; वहाँ से वे 1860 में हायर क्राफ्ट स्कूल (बाद में हायर टेक्निकल स्कूल) के सामान्य पाठ्यक्रम में चले गए। उनके पिता ने उनकी शिक्षा को असामान्य रूप से उच्च मानकों के साथ निर्देशित किया; उन्होंने ऊर्जा, चरित्र की दृढ़ता और धार्मिकता की शिक्षा को विशेष महत्व दिया, जो पूरे जीवन में प्रवेश करती है; विशेष रूप से, उन्होंने मुख्य आधुनिक भाषाओं की पूर्ण महारत के महत्व पर जोर दिया। उनके पिता ने उन्हें (1860 में अपने पुष्टि पत्र में) सभी शत्रुता के बावजूद दृढ़ता से खड़े रहने और हमेशा अपने रास्ते पर चलने का निर्देश दिया; कठिन परीक्षणों के घंटों में बेटे द्वारा इस कॉल को एक से अधिक बार याद किया गया था, और, शायद, यह इस पैतृक परवरिश के लिए है कि हम इस तथ्य के ऋणी हैं कि उनकी रचनात्मक भावना समय से पहले नहीं टूटी थी और इसके फल भावी पीढ़ी के लिए नहीं खोए थे।

समय के साथ, बेटे का गणित के प्रति गहरा आकर्षण उसके पिता को प्रभावित नहीं कर सका, जिसके पत्र विज्ञान के प्रति उसके सम्मान की गवाही भी देते हैं। 25 मई, 1862 को डार्मस्टाट के एक पत्र में, कांतोर के पहले जीवित पत्र का प्रतिनिधित्व करते हुए, बेटा पहले से ही अपने पिता को अपनी योजनाओं के अनुमोदन के लिए धन्यवाद दे सकता था: "प्रिय पिताजी! आप कल्पना कर सकते हैं कि आपके पत्र ने मुझे कितना प्रसन्न किया; यह मेरा भविष्य निर्धारित करता है। मैंने अंतिम दिनों को संदेह और अनिश्चितता में बिताया है; और किसी निर्णय पर नहीं आ सके। कर्तव्य और आकर्षण लगातार युद्ध में थे। अब मुझे यह देखकर प्रसन्नता हो रही है कि मैं अपनी पसंद में अपने स्वयं के झुकाव का पालन करके आपको शोक नहीं करूंगा। मुझे आशा है, प्रिय पिता, कि मैं अब भी तुम्हें आनन्दित कर सकूँगा, क्योंकि मेरी आत्मा, मेरा पूरा अस्तित्व मेरी बुलाहट में रहता है; एक व्यक्ति वही करता है जो वह चाहता है और कर सकता है, और उसकी अज्ञात, रहस्यमय आवाज उसे क्या ले जाती है! .. "

1862 की शरद ऋतु में, कांतोर ने ज्यूरिख में अपनी पढ़ाई शुरू की, हालांकि, उन्होंने अपने पिता की मृत्यु के कारण पहले सेमेस्टर के बाद छोड़ दिया। 1863 की शरद ऋतु के बाद से उन्होंने बर्लिन में गणित, भौतिकी और दर्शन का अध्ययन किया, जहां कुमेर, वीयरस्ट्रैस और क्रोनकर की तिकड़ी ने सर्वश्रेष्ठ प्रतिभाओं को आकर्षित किया, सबसे विविध दिशाओं में श्रोताओं के (तब अभी भी संकीर्ण) सर्कल के दिमाग को रोमांचक बनाया। उन्होंने गॉटिंगेन में केवल 1866 का वसंत सत्र बिताया। Weierstrass निस्संदेह उनके वैज्ञानिक विकास पर सबसे मजबूत प्रभाव था। वीयरस्ट्रास के विचारों की चौड़ाई की यह उल्लेखनीय और विशेषता है, उनके पक्षपातपूर्ण और व्यावहारिक निर्णय के लिए, किस सहानुभूतिपूर्ण समझ के साथ और कितनी जल्दी उन्होंने अपने छात्र के अपरंपरागत विचारों की सराहना की, इस प्रकार गहरे सम्मान का जवाब दिया कि उन्होंने उन्हें अपने पूरे जीवन में हमेशा दिखाया, क्षणिक झगड़ों के बावजूद। अपने बर्लिन वर्षों के दौरान, कांटोर न केवल मैथमैटिकल सोसाइटी के सदस्य थे, बल्कि युवा सहयोगियों का एक छोटा समूह भी था, जो रेमेल के सराय में साप्ताहिक रूप से मिलते थे; इस मंडली में कभी-कभार आने वाले मेहमानों के अलावा, हेनोच (फोर्ट्सक्रिट (सक्सेस) के भविष्य के प्रकाशक), लैम्पे, मर्टेंस, मैक्स साइमन, थोमा शामिल थे; उनमें से अंतिम विशेष रूप से कांटोर के करीब था। इसके अलावा, जी ए श्वार्ट्ज, जो दो साल का था बड़े, बाद में, हालांकि, उन्होंने अपने शिक्षक वीयरस्ट्रैस के विपरीत, कैंटर के विचारों को सबसे मजबूत अविश्वास के साथ पूरा किया, और अपने जीवन के अंत तक, क्रोनकर की तरह, उन्होंने विशेष रूप से अपने छात्रों को उनके खिलाफ चेतावनी दी। 14 दिसंबर, 1867 बीस -दो वर्षीय छात्र ने बर्लिन विश्वविद्यालय में एक थीसिस पूरी की, जो लीजेंड्रे के डिस्क्विजिशन्स अंकगणित (अंकगणित में अध्ययन) और लेजेंड्रे के थ्योरी ऑफ नंबर्स के गहन अध्ययन से उत्पन्न हुई और संकाय द्वारा "शोध प्रबंध सिद्धांत एट इंजेनियोसा" के रूप में मूल्यांकन किया गया। "(विद्वान और सरल तर्क)* यह कार्य डायोफैंटाइन समीकरण को हल करने के लिए गॉस सूत्रों को जोड़ता है कुल्हाड़ी 2 + ए "एक्स" 2 + ए "एक्स" 2 = 0; इसमें कुछ संबंध स्थापित होते हैं, जो गॉस द्वारा स्पष्ट रूप से नहीं दिया गया है। कैंटर के काम की एक विस्तृत चर्चा एक विस्तृत जीवनी में निहित है, जो मैंने उनके बारे में लिखी थी, जो जेरेसबेरीच्ट डेर ड्यूशें मैथेमेटिकरवेरिनिनुंग, खंड 39 (1930), पीपी। 189-266 में प्रकाशित हुई थी, और एक अलग पुस्तक में भी: जॉर्ज कांटोर, लीपज़िग और बर्लिन 1930; उसने इसे अपने अभिभावकों (उसी समय अपने भाई और बहन के संरक्षक) को समर्पित कर दिया। मौखिक परीक्षा में, उन्होंने "मैग्ना कम लाउड" ("विशेष भेद के साथ") प्राप्त किया। उन्होंने जिन तीन सिद्धांतों का बचाव करने का प्रस्ताव रखा, उनमें से तीसरा विशेष रूप से विशेषता है: "इन री मैथमैटिका आर्स प्रोपेनेंडी प्रश्नम प्लुरिस फेसिएंडा इस्ट क्वाम सॉल्वेंडी" (गणित में, प्रश्न प्रस्तुत करने की कला उन्हें हल करने की कला से अधिक महत्वपूर्ण है।) शायद यहां तक ​​कि सेट थ्योरी में उन्होंने जो परिणाम प्राप्त किए, वे क्रांतिकारी फॉर्मूलेशन के मुद्दों के मूल्य से कम हैं, जो अब तक उनके अपने लेखन से परे उनके प्रभाव में पहुंच गए हैं।

ऐसा लगता है कि कांटोर ने बर्लिन के एक लड़कियों के स्कूल में थोड़े समय के लिए पढ़ाया; किसी भी मामले में, 1868 में, राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करने के बाद, उन्होंने प्रसिद्ध शेलबैक सेमिनरी में प्रवेश किया, जिसने गणित के शिक्षकों को प्रशिक्षित किया।

डॉक्टरेट थीसिस, जिसने कांटोर को 1869 के वसंत में हाले विश्वविद्यालय में प्रिवेटडोजेंट बनने का अवसर दिया, 1868-72 में प्रकाशित कुछ छोटे नोटों के साथ, उनके पहले, हितों के अंकगणितीय चक्र से संबंधित है, जिसके लिए उन्होंने शायद ही कभी बाद में लौटा।ये अध्ययन संख्या सिद्धांत दिशा के तहत और क्रोनकर के अनुमोदन के साथ, हालांकि, कैंटर के लिए सिर्फ एक आकस्मिक प्रकरण नहीं थे। इसके विपरीत, उन्होंने इस अनुशासन के गहरे आंतरिक प्रभाव को इसकी विशेष पवित्रता और कृपा के साथ अनुभव किया। रक्षा के लिए उनके द्वारा प्रस्तुत तीसरे थीसिस के साथ इसका सबूत है: "न्यूमेरिस इंटीग्रोस सिमिली मोडो एटक कॉरपोरा कोलेस्टिया टोटम क्वॉडडम लेगिबस एट रिलेशनिबस कंपोजिटम एफिसरे" ("पूर्णांक संख्या, जैसे खगोलीय पिंडों की व्याख्या एकल के रूप में की जानी चाहिए। संपूर्ण, कानूनों और संबंधों से बंधा हुआ ")। विभिन्न संख्या-सैद्धांतिक कार्यों और रीमैन जेटा फ़ंक्शन (अभाज्य संख्याओं पर रीमैन के काम के निकट) के बीच कनेक्शन की स्थापना भी एक प्रारंभिक समय से संबंधित है, संभवतः पहले से ही इस अवधि के लिए; पेरिस कॉम्पटेस रेंडस ("रिपोर्ट्स") में लिप्सचिट्ज़ के नोट के प्रभाव में, यह काम केवल 1880 में कांटोर द्वारा प्रकाशित किया गया था। कैंटर की आगे की संख्या-सैद्धांतिक रुचियां, उनकी संख्यात्मक तालिका के अलावा, 1884 तक भी संरक्षित हैं, लेकिन लागू नहीं की गई, एक्टा मैथमैटिका में प्रकाशित करने की योजना, द्विघात रूपों पर एक काम।

ई. हाइन, जो उस समय हाले में एक साधारण प्रोफेसर थे, जब कांटोर ने वहां अपने शोध प्रबंध का बचाव किया, ने तुरंत महसूस किया कि उनके युवा सहयोगी में दिमाग की एक असाधारण तेज सबसे अमीर कल्पना के साथ खुशी से संयुक्त थी। निर्णायक महत्व का तथ्य यह था कि कैंटर के हाले में जाने के तुरंत बाद, हेन ने उन्हें त्रिकोणमितीय श्रृंखला के सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए प्रेरित किया। इस विषय पर जोशीले काम के परिणामस्वरूप न केवल कई महत्वपूर्ण उपलब्धियां प्राप्त हुईं, बल्कि कैंटर को बिंदु सेट और ट्रांसफ़िन्ट ऑर्डिनल नंबरों के सिद्धांत के मार्ग पर भी ले जाया गया। त्रिकोणमितीय श्रृंखला (और एपेल के साथ विवाद, जिसमें एकसमान अभिसरण की अवधारणा पर विस्तार से विचार किया गया था) के बारे में रीमैन के दावों में से एक के शोधन के लिए काम करता है, और समर्पित है; अपने काम में, कांटोर त्रिकोणमितीय प्रतिनिधित्व की विशिष्टता पर एक प्रमेय साबित करता है * यह आश्चर्य की बात है कि क्रोनकर, जो पहले कैंटोर की विशिष्टता प्रमेय (cf.) के प्रति सकारात्मक दृष्टिकोण रखते थे, बाद में इस परिणाम को पूरी तरह से अनदेखा कर देते हैं; उदाहरण के लिए, "वोरलेसुंगेन über डाई थ्योरी डेर ईनफैचेन अंड मेहरफैचेन इनग्रेल" ("लेक्चर्स ऑन द थ्योरी ऑफ सिंपल एंड मल्टीपल इंटीग्रल्स") (1894) में उन्होंने विशिष्टता के प्रश्न को अभी भी खुला रखा है!. वह कुछ असाधारण सेट पर श्रृंखला के व्यवहार के बारे में किसी भी धारणा को छोड़कर इस परिणाम को सामान्य बनाना चाहता है; यह उसे काम में विचारों की एक संक्षिप्त रूपरेखा प्रस्तुत करने के लिए मजबूर करता है "जो उन सभी मामलों में उत्पन्न होने वाले संबंधों को स्पष्ट करने के लिए उपयोगी हो सकता है जब संख्यात्मक मात्राएं एक सीमित या अनंत संख्या में दी जाती हैं। यहां, बिंदु सेट, सीमा बिंदु और डेरिवेटिव के लिए ( परिमित क्रम के) पेश किए जाते हैं। इसके लिए, कैंटर, एक ओर, अपरिमेय संख्याओं के अपने सिद्धांत को विकसित करता है * . हाइन के एलिमेंट्स ऑफ द थ्योरी ऑफ फंक्शन्स (जे. मैथ, 74, पीपी। 172-188, 1872) में, अपरिमेय संख्याओं को कैंटर के विचारों के ठीक बाद में पेश किया गया है; सीएफ हेन के लेख का परिचय, साथ ही साथ कांटोर की कृति "मिटेइलुंगेन ज़ूर लेहरे वोम ट्रांसफ़िनटेन" ("टूवर्ड द डॉक्ट्रिन ऑफ़ द ट्रांसफ़िनिट"), जिसने समुच्चय के सिद्धांत का अनुसरण करते हुए उनके नाम को अमर कर दिया, जहां अपरिमेय संख्याओं को मौलिक श्रृंखला माना जाता है। दूसरी ओर, ज्यामिति में संक्रमण के लिए, उन्होंने एक विशेष स्वयंसिद्ध (कैंटोर का स्वयंसिद्ध) का परिचय दिया, जो एक साथ और स्वतंत्र रूप से डेडेकिंड की पुस्तक निरंतरता और अपरिमेय संख्या में थोड़ा अलग सूत्रीकरण में दिखाई दिया।