एक बच्चे को कॉलम से विभाजित करना सिखाना आसान है। इस क्रिया के एल्गोरिथ्म की व्याख्या करना और कवर की गई सामग्री को समेकित करना आवश्यक है।

• स्कूल के पाठ्यक्रम के अनुसार, बच्चे पहले से ही तीसरी कक्षा में एक कॉलम द्वारा विभाजन की व्याख्या करना शुरू करते हैं। जो छात्र "मक्खी पर" सब कुछ समझ लेते हैं, वे इस विषय को जल्दी समझ जाते हैं
• लेकिन, अगर बच्चा बीमार पड़ गया और गणित के पाठ से चूक गया, या उसे विषय समझ में नहीं आया, तो माता-पिता को बच्चे को स्वयं सामग्री समझानी चाहिए। उसे यथासंभव स्पष्ट रूप से जानकारी देना आवश्यक है।
• बच्चे की शैक्षिक प्रक्रिया के दौरान माता-पिता को धैर्य रखना चाहिए, अपने बच्चे के संबंध में चातुर्य दिखाना चाहिए। किसी भी मामले में आपको बच्चे पर चिल्लाना नहीं चाहिए अगर उसके लिए कुछ काम नहीं करता है, क्योंकि इस तरह आप उसे अध्ययन करने की सभी इच्छा से हतोत्साहित कर सकते हैं

महत्वपूर्ण: एक बच्चे को संख्याओं के विभाजन को समझने के लिए, उसे गुणन सारणी को अच्छी तरह से जानना चाहिए। यदि बच्चा गुणन को अच्छी तरह से नहीं जानता है, तो वह विभाजन को नहीं समझेगा।

घर की अतिरिक्त कक्षाओं के दौरान, चीट शीट का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन बच्चे को "डिवीजन" विषय पर आगे बढ़ने से पहले गुणन तालिका सीखनी चाहिए।

तो आप बच्चे को कैसे समझाते हैं स्तंभ विभाजन:

• पहले कम संख्या में समझाने की कोशिश करें। गिनती की छड़ें लें, उदाहरण के लिए, 8 टुकड़े
• बच्चे से पूछें कि लाठी की इस पंक्ति में कितने जोड़े हैं? सही - 4. इसलिए, यदि आप 8 को 2 से भाग देते हैं, तो आपको 4 प्राप्त होता है, और यदि आप 8 को 4 से भाग देते हैं, तो आपको 2 . प्राप्त होता है
• बच्चे को एक और संख्या से विभाजित करने दें, उदाहरण के लिए, एक अधिक जटिल संख्या: 24:4
• जब बच्चे ने अभाज्य संख्याओं के विभाजन में महारत हासिल कर ली है, तो आप तीन अंकों की संख्याओं को एकल अंकों में विभाजित करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

विभाजन हमेशा बच्चों को गुणा से थोड़ा अधिक कठिन दिया जाता है। लेकिन घर पर मेहनती अतिरिक्त कक्षाएं बच्चे को इस क्रिया के एल्गोरिदम को समझने और स्कूल में अपने साथियों के साथ बने रहने में मदद करेंगी।

सरल प्रारंभ करें - एक अंक से विभाजन:

महत्वपूर्ण: अपने दिमाग में गणना करें ताकि विभाजन शेष के बिना निकल जाए, अन्यथा बच्चा भ्रमित हो सकता है।

उदाहरण के लिए, 256 को 4 से विभाजित किया जाता है:

• कागज की एक शीट पर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें और इसे दाईं ओर आधे हिस्से में विभाजित करें। पहली संख्या बाईं ओर और दूसरी पंक्ति के ऊपर दाईं ओर लिखें।
• बच्चे से पूछें कि एक दो में कितने चौके फिट होते हैं - बिल्कुल नहीं
• फिर हम 25 लेते हैं। स्पष्टता के लिए, इस संख्या को ऊपर से एक कोने से अलग करें। फिर से बच्चे से पूछें कि पच्चीस में कितने चौके फिट होते हैं? यह सही है, छह। हम लाइन के नीचे निचले दाएं कोने में "6" नंबर लिखते हैं। बच्चे को सही उत्तर के लिए गुणन सारणी का प्रयोग करना चाहिए।
• 24 के नीचे 24 की संख्या लिखें और उत्तर लिखने के लिए रेखांकित करें - 1
• फिर से पूछें: एक यूनिट में कितने चौके फिट हो सकते हैं - बिल्कुल नहीं। फिर हम संख्या "6" को एक से हटा देते हैं
• यह निकला 16 - इस संख्या में कितने चौके फिट होते हैं? सही - 4. हम उत्तर में "6" के आगे "4" लिखते हैं
• 16 के तहत हम 16 लिखते हैं, रेखांकित करते हैं और यह "0" निकलता है, जिसका अर्थ है कि हमने सही ढंग से विभाजित किया और उत्तर "64" निकला।

दो अंकों से लिखित विभाजन

जब बच्चे ने एक ही संख्या से विभाजन में महारत हासिल कर ली है, तो आप आगे बढ़ सकते हैं। दो अंकों की संख्या से लिखित विभाजन थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन यदि बच्चा समझता है कि यह क्रिया कैसे की जाती है, तो उसके लिए ऐसे उदाहरणों को हल करना मुश्किल नहीं होगा।

महत्वपूर्ण: फिर से, सरल चरणों के साथ समझाना शुरू करें। बच्चा संख्याओं का सही चयन करना सीख जाएगा और उसके लिए सम्मिश्र संख्याओं को विभाजित करना आसान हो जाएगा।

यह सरल क्रिया एक साथ करें: 184:23 - कैसे समझाएं:

• पहले हम 184 को 20 से विभाजित करते हैं, यह लगभग 8 निकलता है। लेकिन हम उत्तर में संख्या 8 नहीं लिखते हैं, क्योंकि यह एक परीक्षण संख्या है।
• जांचें कि 8 फिट बैठता है या नहीं। हम 8 को 23 से गुणा करते हैं, यह 184 निकलता है - यह ठीक वही संख्या है जो हमारे पास भाजक में है। उत्तर होगा 8

महत्वपूर्ण: बच्चे को समझने के लिए, आठ के बजाय 9 लेने का प्रयास करें, उसे 9 को 23 से गुणा करने दें, यह 207 हो जाता है - यह हमारे पास भाजक से अधिक है। नंबर 9 हमें शोभा नहीं देता।

तो धीरे-धीरे बच्चा विभाजन को समझ जाएगा, और उसके लिए अधिक जटिल संख्याओं को विभाजित करना आसान होगा:

• 768 को 24 से विभाजित करें। निजी का पहला अंक निर्धारित करें - हम 76 को 24 से नहीं, बल्कि 20 से विभाजित करते हैं, यह 3 निकलता है। हम दाईं ओर की रेखा के नीचे प्रतिक्रिया में 3 लिखते हैं।
• 76 के तहत हम 72 लिखते हैं और एक रेखा खींचते हैं, अंतर लिखते हैं - यह निकला 4. क्या यह आंकड़ा 24 से विभाज्य है? नहीं - हम 8 को ध्वस्त करते हैं, यह 48 निकला
• क्या 48 24 से विभाज्य है? यह सही है - हाँ। यह 2 निकला, हम इस आंकड़े को प्रतिक्रिया में लिखते हैं
• यह 32 निकला। अब आप जांच सकते हैं कि हमने विभाजन की कार्रवाई सही ढंग से की है या नहीं। एक कॉलम में गुणा करें: 24x32, यह 768 निकला, फिर सब कुछ सही है

यदि बच्चे ने दो अंकों की संख्या से भाग देना सीख लिया है, तो आपको अगले विषय पर जाने की आवश्यकता है। तीन अंकों की संख्या से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम दो अंकों की संख्या से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम के समान है।

उदाहरण के लिए:

• 146064 को 716 से भाग दें। पहले हम 146 लेते हैं - बच्चे से पूछें कि यह संख्या 716 से विभाज्य है या नहीं। यह सही है - नहीं, तो हम 1460 . लेते हैं
• संख्या 716 संख्या 1460 में कितनी बार फिट होगी? सही - 2, इसलिए हम इस आंकड़े को उत्तर में लिखते हैं
• हम 2 को 716 से गुणा करते हैं, यह 1432 निकलता है। हम इस आंकड़े को 1460 के नीचे लिखते हैं। यह पता चलता है कि अंतर 28 है, हम लाइन के नीचे लिखते हैं
• विध्वंस 6. बच्चे से पूछो - 286 716 से विभाज्य है? यह सही है - नहीं, इसलिए हम 2 के आगे के उत्तर में 0 लिखते हैं। हम एक और संख्या 4 को ध्वस्त करते हैं
• हम 2864 को 716 से विभाजित करते हैं। हम 3 प्रत्येक लेते हैं - थोड़ा, 5 प्रत्येक - बहुत, जिसका अर्थ है कि हमें 4 मिलता है। हम 4 को 716 से गुणा करते हैं, हमें 2864 मिलते हैं
• 0 के अंतर के लिए 2864 अंडर 2864 लिखें। उत्तर 204

महत्वपूर्ण: विभाजन की शुद्धता की जांच करने के लिए, बच्चे के साथ कॉलम में गुणा करें - 204x716 = 146064। विभाजन सही है।

बच्चे के लिए यह समझाने का समय आ गया है कि विभाजन न केवल संपूर्ण हो सकता है, बल्कि शेष के साथ भी हो सकता है। शेषफल हमेशा भाजक से कम या उसके बराबर होता है।

शेष के साथ भाग को एक सरल उदाहरण के साथ समझाया जाना चाहिए: 35:8=4 (शेष 3):

• 35 में कितने आठ फिट होते हैं? सही - 4. रहता है 3
• क्या यह संख्या 8 से विभाज्य है? यह सही है - नहीं। अतः शेषफल 3 है।

उसके बाद, बच्चे को सीखना चाहिए कि आप संख्या 3 में 0 जोड़कर भाग को जारी रख सकते हैं:

• उत्तर संख्या 4 है। इसके बाद, हम अल्पविराम लिखते हैं, क्योंकि शून्य जोड़ने से यह संकेत मिलता है कि संख्या भिन्न के साथ होगी
• यह 30 निकला। 30 को 8 से विभाजित करें, यह निकला 3. हम प्रतिक्रिया में लिखते हैं, और 30 के नीचे हम 24 लिखते हैं, रेखांकित करते हैं और 6 लिखते हैं
• हम संख्या 0 को संख्या 6 तक ले जाते हैं। 60 को 8 से विभाजित करें। प्रत्येक को 7 लें, यह 56 प्राप्त करता है। 60 के नीचे लिखें और अंतर 4 लिखें।
• हम संख्या 4 में 0 जोड़ते हैं और 8 से विभाजित करते हैं, यह 5 निकलता है - हम इसे प्रतिक्रिया में लिखते हैं
• हम 40 में से 40 घटाते हैं, हमें 0 मिलता है। तो, उत्तर है: 35:8=4.375

टिप: अगर बच्चे को कुछ समझ में नहीं आ रहा है तो गुस्सा न करें। कुछ दिन बीत जाने दें और सामग्री को फिर से समझाने की कोशिश करें।

स्कूल में गणित के पाठ भी ज्ञान को सुदृढ़ करेंगे। समय बीत जाएगा और बच्चा किसी भी विभाजन के उदाहरणों को जल्दी और आसानी से हल कर लेगा।

संख्याओं को विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

• उस संख्या का अनुमान लगाएं जो उत्तर में होगी
• पहला अधूरा लाभांश ज्ञात कीजिए
• एक भागफल में अंकों की संख्या निर्धारित करें
• भागफल के प्रत्येक अंक में अंक ज्ञात कीजिए
• शेष खोजें (यदि कोई हो)

इस एल्गोरिथम के अनुसार, विभाजन एकल-अंकीय संख्याओं और किसी भी बहु-अंकीय संख्या (दो-अंक, तीन-अंक, चार-अंक, और इसी तरह) द्वारा किया जाता है।

बच्चे के साथ अध्ययन करते समय, अनुमान लगाने के लिए अक्सर उससे उदाहरण पूछें। उसे जल्दी से अपने दिमाग में जवाब की गणना करनी चाहिए। उदाहरण के लिए:

• 1428:42
• 2924:68
• 30296:56
• 136576:64
• 16514:718

परिणाम को समेकित करने के लिए, आप निम्नलिखित डिवीजन गेम्स का उपयोग कर सकते हैं:

• "पहेली"। एक कागज के टुकड़े पर पाँच उदाहरण लिखिए। उनमें से केवल एक ही सही उत्तर के साथ होना चाहिए।

बच्चे के लिए शर्त: कई उदाहरणों में से केवल एक को सही ढंग से हल किया गया है। इसे एक मिनट में खोजें।

वीडियो: बच्चों के लिए अंकगणितीय खेल इसके अलावा घटाव भाग गुणा

वीडियो: शैक्षिक कार्टून गणित दिल से सीखना गुणा और भाग सारणी 2

संख्याओं के विभाजन को शेष के साथ विभाजन की क्रिया के रूप में माना जाता है: एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक को विभाजित करने के लिए एकएक प्राकृतिक संख्या के लिए बी- इसका मतलब ऐसी पूर्णांक गैर-ऋणात्मक संख्याएँ ज्ञात करना है क्यूतथा आर, क्या ए = बी क्यू + आर, और 0 ≤ आर< b .

यदि एक अंक या दो अंकों की संख्या (89 से अधिक नहीं) को एकल अंक संख्या से विभाजित किया जाता है, तो एकल अंकों की संख्या की तालिका का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, निजी संख्याएँ 56 और 8, 8 7 \u003d 56 के बाद से संख्या 7 होंगी। यदि आपको 52 को 8 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो निकटतम छोटी संख्या खोजें जो 8 से विभाज्य हो - यह संख्या 48 होगी, और, इसलिए, अधूरा भागफल जब 52 को 8 से विभाजित करने पर संख्या 6 होगी। शेष को खोजने के लिए, आपको 52 में से 48 घटाना होगा: 52 - 48 = 4। इस प्रकार, 52 = 8 6 + 4, अर्थात। जब 52 को 8 से विभाजित किया जाता है, तो आंशिक भागफल 6 होता है और शेषफल 4 होता है।

टास्क 8.तीन अंकों की संख्या 377 को एकल अंक संख्या 4 से विभाजित करने के सैद्धांतिक आधार का चित्रण करें।

समाधान. 377 को 4 से भाग देने पर ऐसा अधूरा भागफल ज्ञात करना है क्यूऔर शेष आरवह 377 = 4 क्यू+ आर, और शेष आरशर्त को पूरा करना चाहिए 0 ≤ आर< b , लेकिन अधूरा भागफल क्यू- शर्त 4 क्यू≤ 377 < 4·(क्यू+ 1).

निर्धारित करें कि संख्या में कितने अंक होंगे क्यू. एकल अंक क्यूनहीं हो सकता, क्योंकि तब उत्पाद 4 क्यूअधिकतम 36 के बराबर हो सकता है और इसलिए, के लिए ऊपर तैयार की गई शर्तें आरतथा क्यू. यदि संख्या क्यूदो अंकों का, यानी अगर 10< क्यू< 100, то тогда 40 < 4क्यू< 400 и, следовательно, 40 < 377 < 400, что верно. Значит, частное чисел 377 и 4 - число двузначное.

भागफल के दहाई का अंक ज्ञात करने के लिए, हम भाजक 4 को श्रृंखला में 20, 30, 40 आदि से गुणा करते हैं। चूँकि 4 90 = 360 और 4 100 = 400 और 360< 377 < 400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. क्यू= 90 + क्यू0. लेकिन फिर निम्नलिखित असमानताओं को धारण करना चाहिए:

4 (90 + क्यू0) ≤ 377 < 360 + 4·(90 + क्यू0+ 1), जहां से

360 + 4क्यू0≤ 377 < 360 + 4·(क्यू0+ 1) और 4 क्यू 0 ≤ 17 < 4·(क्यू0+ 1).

संख्या क्यू0(भागफल इकाइयों की संख्या) जो अंतिम असमानता को संतुष्ट करता है, तालिका का उपयोग करके चयन द्वारा पाया जा सकता है। हमें वह मिलता है क्यू0= 4 और इसलिए अधूरा भागफल क्यू\u003d 90 + 4 \u003d 94। शेष घटाकर पाया जाता है: 377 - 4 94 \u003d 1.

तो, संख्या 377 को 4 से विभाजित करने पर, आंशिक भागफल 94 है और शेष 1: 377=4 94+1 है।

कार्य 9.बहु-अंकीय संख्या 4316 को बहु-अंकीय संख्या 52 से विभाजित करने के सैद्धांतिक आधार का चित्रण करें।

समाधान. 4316 को 52 से विभाजित करने का अर्थ है ऐसी पूर्णांक गैर-ऋणात्मक संख्याएँ ज्ञात करना क्यूतथा आरवह 4316 = 52 क्यू + आर, 0 ≤ आर < 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52क्यू ≤ 4316 < 52(क्यू + 1).

भागफल में अंकों की संख्या ज्ञात कीजिए क्यू।जाहिर है, भागफल संख्या 10 और 100 के बीच है (अर्थात। क्यू-दो अंकों की संख्या), 520 . के बाद से< 4316 < 5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52·80 = 4160, а 52·90 = 4680 и 4160 < 4316 < 4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. क्यू = 80 + क्यू0.लेकिन फिर निम्नलिखित असमानताओं को धारण करना चाहिए:

52 (80 + क्यू0) ≤ 4316 < 52·(80 + क्यू0+ 1),

4160 + 52 क्यू0≤ 4316 < 4160 + 52·(क्यू0+ 1),

52 क्यू0≤ 153 < 52·(क्यू0+ 1).

संख्या क्यू0(भागफल इकाइयों की संख्या) जो अंतिम असमानता को संतुष्ट करती है, चयन द्वारा पाया जा सकता है: 156 = 52 3, यानी। हमारे पास वह स्थिति है जब शेषफल 0 है। इसलिए, 4316 को 52 से विभाजित करने पर, हमें भागफल 83 प्राप्त होता है।

उपरोक्त तर्क एक कोने से विभाजन को रेखांकित करता है:

एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के विभाजन के विभिन्न मामलों का सामान्यीकरण एकएक प्राकृतिक संख्या के लिए बीएक कोने से विभाजित करने के लिए निम्न एल्गोरिथम है।

1. अगर एक= बी, फिर निजी क्यू = 1, शेष आर = 0.

2. अगर एक >बीऔर संख्याओं में अंकों की संख्या एकतथा बीवही, फिर निजी क्यूहम गणना द्वारा पाते हैं, क्रमिक रूप से गुणा करते हैं बी 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, क्योंकि एक< 10बी. संख्याओं के उच्चतम अंकों के शेष अंकों के साथ विभाजन करके इस गणना को तेज किया जा सकता है एकतथा बी।

3. अगर एक >बीऔर संख्या में अंकों की संख्या एकसंख्या से अधिक बी,फिर लाभांश लिखें एकऔर इसके दाहिनी ओर भाजक है बी,जो से अलग है एकनिम्नलिखित क्रम में भागफल और शेष की खोज करें:

ए) के बीच चयन करें एकजितने प्रमुख अंक संख्या में अंक हैं बीया, यदि आवश्यक हो, एक और अंक, लेकिन ताकि वे एक संख्या बना सकें d1से बड़ा या बराबर बी।भागफल के लिए खोज रहे हैं क्यू1नंबर d1तथा बी,क्रमिक रूप से गुणा करना बी 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 पर लिखें क्यू1कोने (नीचे) बी);

बी) गुणा बीपर क्यू1और संख्या के तहत उत्पाद लिखें एकताकि संख्या का सबसे छोटा महत्वपूर्ण अंक बीक्यू1हाइलाइट की गई संख्या के सबसे कम महत्वपूर्ण अंक के नीचे लिखा गया था d1;

ग) नीचे एक रेखा खींचना बीक्यू1और अंतर खोजें आर 1= d1- बीक्यू1;

डी) अंतर लिखो आर 1संख्या के तहत बीक्यू1,दाईं ओर असाइन करें आर 1लाभांश के अप्रयुक्त अंकों का सबसे महत्वपूर्ण अंक एकऔर परिणामी संख्या की तुलना करें d2संख्या के साथ बी।

ई) यदि परिणामी संख्या d2अधिक या बराबर बी,तो हम इसके संबंध में पैराग्राफ 1 या पैराग्राफ 2 के अनुसार कार्य करते हैं। निजी क्यू2के बाद लिखो क्यू1;

ई) यदि परिणामी संख्या d2कम बी, तो हम पहली संख्या प्राप्त करने के लिए जितने आवश्यक हो उतने अगले अंक निर्दिष्ट करते हैं डी 3,अधिक या बराबर बी।इस मामले में, हम बाद में लिखते हैं क्यू1शून्य की समान संख्या। फिर अपेक्षाकृत डी3अंक 1, 2 के अनुसार कार्य करें। निजी क्यू2शून्य के बाद लिखें। यदि, किसी संख्या के न्यूनतम सार्थक अंक का प्रयोग करते समय एकपरिणाम यह निकला डी3< b, फिर भागफल डी3तथा बीशून्य के बराबर होता है, और यह शून्य भागफल के अंतिम अंक के रूप में लिखा जाता है, और शेषफल आर= घ3.

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम

1. विभाजित किए बिना, निजी संख्याओं के अंकों की संख्या निर्धारित करें:

क) 475 और 7; बी) 6134 और 226; ग) 5683 और 25; डी) 43127 और 536।

2. तीन अंकों की संख्या 868 को एकल अंक संख्या 3 से विभाजित करने के सैद्धांतिक आधार का चित्रण करें।

3. व्यंजक का मान दो प्रकार से ज्ञात कीजिए:

ए) (297 + 405 + 567): 27; ग) 56 (378:14);

बी) (240 23):48; घ) 15120:(14 58)।

4. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

क) 8919:9 + 114240:21; बी) 1190 - 35360: 34 + 271; ग) 8631 - (99 + 44352:63);

घ) 48600 (5045 - 2040): 243 - (8604 3:43 + 504) 200।

सकारात्मक पूर्णांक बाइनरी संख्याओं को विभाजित करने के संचालन के लिए एल्गोरिदम पर विचार करें, जहां लेकिन- 2n-बिट लाभांश; पर- आई-बिट डिवाइडर; . हम मानते हैं कि भागफल बिट संख्या से एक पूर्णांक है, जबकि

शेष वसूली के साथ डिवीजन एल्गोरिदम। भाजक को घटाने के बाद प्राप्त अवशेषों के विश्लेषण के परिणामस्वरूप भागफल के अंकों का मान निर्धारित किया जाता है परएल्गोरिथ्म के पहले चरण में, विभाज्य डीएसटी के उच्चतम अंकों से, और बाद के चरणों में, वर्तमान शेष के उच्चतम अंकों से।

पर सकारात्मकतथा गोलीशेष मान भागफल अंक सी k = 1. इस स्थिति में, अगला शेषफल प्राप्त करने के लिए, वर्तमान शेष को एक बिट बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है और उसमें से भाजक घटा दिया जाता है पर।

पर नकारात्मकशेष का मान भागफल का वर्तमान अंक है सी k = 0. एक गतिरोध उत्पन्न होता है। इससे बाहर निकलने के लिए, पिछले शेष को भाजक जोड़कर बहाल किया जाता है परएक नकारात्मक संतुलन के लिए। बहाल शेष को एक बिट बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है और भाजक को इसमें से घटा दिया जाता है। पर।पुनर्स्थापना और शिफ्ट संचालन आपको पिछले शेष को दोगुना करने और विभाजन संचालन जारी रखने की अनुमति देता है।

उदाहरण 2.30।आइए हम मामले के लिए शेष को बहाल करने के साथ एल्गोरिथ्म का वर्णन करें पी = 3 जब लाभांश ए = 100011 (35|0), भाजक बी = 111 (710)। भाजक घटाने के लिए परहम अतिरिक्त कोड में बीजीय जोड़ की संक्रिया का उपयोग करेंगे। अतिरिक्त कोड (~B) में भाजक का ऋणात्मक मान = 1001। विभाजन संक्रिया करने के लिए, हम अतिरिक्त चिह्न अंक प्रस्तुत करते हैं, जिन्हें हम बोल्ड में हाइलाइट करते हैं। विभाजन के दौरान क्रियाओं का क्रम नीचे दिखाया गया है, अंजीर में। 2.17.

चावल। 2.17.

उदाहरण 2.31।डिवीजन जोड़ और शिफ्ट संचालन का उपयोग करता है।

विभाजन के परिणामस्वरूप, भागफल प्राप्त होता है सी = 0101, जो वास्तव में, अतिरिक्त संचालन के परिणामस्वरूप होने वाली वहन का एक संग्रह है।

शेष को पुनर्स्थापित किए बिना विभाजन के लिए एल्गोरिदम। बाइनरी नंबरों के विभाजन के हार्डवेयर कार्यान्वयन के साथ, अतिरिक्त ऑपरेशन को योजक में लागू किया जाता है, और शिफ्ट ऑपरेशन को रजिस्टर में लागू किया जाता है। रजिस्टर में समन ऑपरेशन के दौरान पिछले बैलेंस को स्टोर करने की क्षमता होती है। इसलिए संतुलन बहाल करना एक वैकल्पिक ऑपरेशन है। पर नकारात्मकवर्तमान शेष राशि का मूल्य, रजिस्टर में संग्रहीत पिछले शेष राशि का उपयोग करना और इसे एक अंक से बाईं ओर स्थानांतरित करना आवश्यक है।

उदाहरण 2.32।एक ही भाजक और लाभांश मूल्यों के लिए शेष को बहाल किए बिना एल्गोरिथ्म उदाहरण 2.29 (चित्र। 2.18) के समान है।

चावल। 2.18.

द्विआधारी संख्याओं के बीजगणितीय विभाजन में, भागफल के चिह्न और मापांक को निर्धारित करने के लिए अलग-अलग चरणों का पालन करना आवश्यक है। भागफल के चिह्न को साइन बिट्स पर मॉड्यूल दो जोड़ के संचालन का उपयोग करके उसी तरह निर्धारित किया जाता है जैसे बाइनरी संख्याओं को गुणा करते समय।

प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन, विशेष रूप से बहु-मूल्यवान, एक विशेष विधि द्वारा आसानी से किया जाता है, जिसे कहा जाता है एक कॉलम द्वारा विभाजन (एक कॉलम में). आप नाम भी देख सकते हैं कोने का विभाजन. तुरंत, हम ध्यान दें कि कॉलम को शेष के बिना प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन और शेष के साथ प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन दोनों किया जा सकता है।

इस लेख में, हम समझेंगे कि कॉलम द्वारा विभाजन कैसे किया जाता है। यहां हम लेखन नियमों और सभी मध्यवर्ती गणनाओं के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, आइए हम एक बहु-मूल्यवान प्राकृत संख्या को एक एकल-अंकीय संख्या से एक स्तंभ द्वारा भाग देने पर ध्यान दें। उसके बाद, हम उन मामलों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जहां लाभांश और भाजक दोनों बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याएं हैं। इस लेख के पूरे सिद्धांत को प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा समाधान और दृष्टांतों की विस्तृत व्याख्या के साथ विभाजन के विशिष्ट उदाहरणों के साथ प्रदान किया गया है।

पृष्ठ नेविगेशन।

कॉलम से विभाजित करते समय रिकॉर्डिंग के नियम

आइए एक कॉलम द्वारा प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करते समय लाभांश, भाजक, सभी मध्यवर्ती गणनाओं और परिणामों को लिखने के नियमों का अध्ययन करके शुरू करें। मान लीजिए कि एक चेकर लाइन के साथ कागज पर लिखित रूप में एक कॉलम में विभाजित करना सबसे सुविधाजनक है - इसलिए वांछित पंक्ति और कॉलम से भटकने की संभावना कम है।

सबसे पहले, भाजक और भाजक को एक पंक्ति में बाएं से दाएं लिखा जाता है, जिसके बाद लिखित संख्याओं के बीच प्रपत्र का एक प्रतीक प्रदर्शित होता है। उदाहरण के लिए, यदि लाभांश संख्या 6 105 है, और भाजक 5 5 है, तो एक कॉलम में विभाजित होने पर उनका सही संकेतन होगा:

निम्नलिखित आरेख को देखें, जो एक कॉलम से विभाजित करते समय लाभांश, भाजक, भागफल, शेष और मध्यवर्ती गणना लिखने के स्थानों को दिखाता है।

उपरोक्त आरेख से यह देखा जा सकता है कि वांछित भागफल (या शेष भाग से विभाजित होने पर अपूर्ण भागफल) क्षैतिज रेखा के नीचे भाजक के नीचे लिखा जाएगा। और मध्यवर्ती गणना लाभांश के नीचे की जाएगी, और आपको पहले से पृष्ठ पर स्थान की उपलब्धता का ध्यान रखना होगा। इस मामले में, किसी को नियम द्वारा निर्देशित किया जाना चाहिए: लाभांश और भाजक की प्रविष्टियों में वर्णों की संख्या में जितना अधिक अंतर होगा, उतनी ही अधिक जगह की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, जब एक प्राकृतिक संख्या 614,808 को 51,234 से एक कॉलम से विभाजित किया जाता है (614,808 एक छह अंकों की संख्या है, 51,234 एक पांच अंकों की संख्या है, रिकॉर्ड में वर्णों की संख्या में अंतर 6−5 =1) है, मध्यवर्ती गणनाओं को संख्याओं 8 058 और 4 को विभाजित करने की तुलना में कम स्थान की आवश्यकता होगी (यहां वर्णों की संख्या में अंतर 4−1=3 है)। अपने शब्दों की पुष्टि के लिए, हम इन प्राकृतिक संख्याओं के एक कॉलम द्वारा विभाजन के पूर्ण रिकॉर्ड प्रस्तुत करते हैं:

अब आप सीधे प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करने की प्रक्रिया पर जा सकते हैं।

एक प्राकृतिक संख्या के एक स्तंभ द्वारा एक एकल-अंकों की प्राकृतिक संख्या से विभाजन, एक स्तंभ द्वारा विभाजन एल्गोरिथ्म

यह स्पष्ट है कि एक अंक वाली प्राकृतिक संख्या को दूसरे से विभाजित करना काफी सरल है, और इन संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित करने का कोई कारण नहीं है। हालांकि, इन सरल उदाहरणों पर एक कॉलम द्वारा विभाजन के प्रारंभिक कौशल का अभ्यास करना उपयोगी होगा।

उदाहरण।

आइए हमें कॉलम 8 से 2 से विभाजित करने की आवश्यकता है।

समाधान।

बेशक, हम गुणन तालिका का उपयोग करके भाग कर सकते हैं, और तुरंत उत्तर 8:2=4 लिख सकते हैं।

लेकिन हम इस बात में रुचि रखते हैं कि इन नंबरों को एक कॉलम से कैसे विभाजित किया जाए।

सबसे पहले, हम विधि के अनुसार भाज्य 8 और भाजक 2 लिखते हैं:

अब हम यह पता लगाना शुरू करते हैं कि भाजक लाभांश में कितनी बार है। ऐसा करने के लिए, हम विभाजक को संख्याओं 0, 1, 2, 3, ... से क्रमिक रूप से गुणा करते हैं जब तक कि परिणाम लाभांश के बराबर संख्या न हो (या लाभांश से अधिक संख्या, यदि शेष के साथ एक विभाजन है ) यदि हमें लाभांश के बराबर संख्या मिलती है, तो हम इसे तुरंत लाभांश के तहत लिखते हैं, और निजी के स्थान पर हम वह संख्या लिखते हैं जिससे हम भाजक को गुणा करते हैं। यदि हमें विभाज्य से बड़ी संख्या प्राप्त होती है, तो भाजक के नीचे हम अंतिम चरण पर गणना की गई संख्या लिखते हैं, और अपूर्ण भागफल के स्थान पर हम वह संख्या लिखते हैं जिससे भाजक को अंतिम चरण में गुणा किया गया था।

चलो चलें: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4 ; 2 3=6 ; 2 4=8 । हमें लाभांश के बराबर संख्या मिलती है, इसलिए हम इसे लाभांश के तहत लिखते हैं, और निजी के स्थान पर हम संख्या 4 लिखते हैं। फिर रिकॉर्ड इस तरह दिखेगा:

एक अंक वाली प्राकृत संख्याओं को एक स्तंभ से विभाजित करने का अंतिम चरण शेष रहता है। लाभांश के तहत लिखी गई संख्या के तहत, आपको एक क्षैतिज रेखा खींचनी होगी, और इस रेखा के ऊपर की संख्याओं को उसी तरह घटाना होगा जैसे किसी स्तंभ के साथ प्राकृतिक संख्याओं को घटाते समय किया जाता है। घटाव के बाद प्राप्त संख्या भाग का शेष भाग होगी। यदि यह शून्य के बराबर है, तो मूल संख्याओं को शेषफल के बिना विभाजित किया जाता है।

हमारे उदाहरण में, हमें मिलता है

अब हमारे पास संख्या 8 बटा 2 के कॉलम द्वारा विभाजन का एक पूरा रिकॉर्ड है। हम देखते हैं कि भागफल 8:2 4 है (और शेषफल 0 है)।

उत्तर:

8:2=4 .

अब विचार करें कि शेषफल के साथ एकल अंकों वाली प्राकृत संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन कैसे किया जाता है।

उदाहरण।

कॉलम 7 को 3 से विभाजित करें।

समाधान।

प्रारंभिक चरण में, प्रविष्टि इस तरह दिखती है:

हम यह पता लगाना शुरू करते हैं कि लाभांश में कितनी बार भाजक होता है। हम 3 को 0, 1, 2, 3, आदि से गुणा करेंगे। जब तक हमें लाभांश 7 के बराबर या उससे अधिक संख्या नहीं मिलती। हमें मिलता है 3 0 = 0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना लेख देखें)। लाभांश के तहत हम संख्या 6 लिखते हैं (यह अंतिम चरण में प्राप्त किया गया था), और अपूर्ण भागफल के स्थान पर हम संख्या 2 लिखते हैं (इस पर गुणा चरण में किया गया था)।

यह घटाव करना बाकी है, और एकल अंकों की प्राकृतिक संख्या 7 और 3 के एक कॉलम द्वारा विभाजन पूरा हो जाएगा।

तो आंशिक भागफल 2 है, और शेष 1 है।

उत्तर:

7:3=2 (बाकी 1) ।

अब हम बहु-मूल्यवान प्राकृत संख्याओं को एक-अंकीय प्राकृत संख्याओं से एक स्तंभ से भाग देने की ओर बढ़ सकते हैं।

अब हम विश्लेषण करेंगे कॉलम डिवीजन एल्गोरिदम. प्रत्येक चरण में, हम बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या 140 288 को एकल-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या 4 से विभाजित करके प्राप्त परिणामों को प्रस्तुत करेंगे। यह उदाहरण संयोग से नहीं चुना गया था, क्योंकि इसे हल करते समय, हम सभी संभावित बारीकियों का सामना करेंगे, हम उनका विस्तार से विश्लेषण करने में सक्षम होंगे।

सबसे पहले, हम लाभांश प्रविष्टि में बाईं ओर से पहले अंक को देखते हैं। यदि इस आकृति द्वारा परिभाषित संख्या भाजक से अधिक है, तो अगले पैराग्राफ में हमें इस संख्या के साथ काम करना होगा। यदि यह संख्या भाजक से कम है, तो हमें अगले अंक को लाभांश रिकॉर्ड में बाईं ओर जोड़ने की आवश्यकता है, और दो अंकों द्वारा निर्धारित संख्या के साथ आगे काम करना चाहिए। सुविधा के लिए, हम अपने रिकॉर्ड में उस नंबर का चयन करते हैं जिसके साथ हम काम करेंगे।

लाभांश 140288 में बाईं ओर से पहला अंक संख्या 1 है। संख्या 1 भाजक 4 से कम है, इसलिए हम लाभांश रिकॉर्ड में बाईं ओर के अगले अंक को भी देखते हैं। वहीं हमें 14 नंबर दिखाई देता है, जिससे हमें आगे काम करना है। हम लाभांश के अंकन में इस संख्या का चयन करते हैं।

दूसरे से चौथे तक निम्नलिखित बिंदुओं को चक्रीय रूप से तब तक दोहराया जाता है जब तक कि एक स्तंभ द्वारा प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन पूरा नहीं हो जाता।

अब हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि जिस संख्या के साथ हम काम कर रहे हैं उसमें भाजक कितनी बार समाहित है (सुविधा के लिए, आइए इस संख्या को x के रूप में निरूपित करें)। ऐसा करने के लिए, हम भाजक को 0, 1, 2, 3, ... से क्रमिक रूप से गुणा करते हैं, जब तक कि हमें संख्या x या x से बड़ी संख्या प्राप्त न हो जाए। जब एक संख्या x प्राप्त होती है, तो हम इसे प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ से घटाते समय प्रयुक्त अंकन नियमों के अनुसार चयनित संख्या के नीचे लिखते हैं। जिस संख्या से गुणा किया गया था, वह एल्गोरिथ्म के पहले पास के दौरान भागफल के स्थान पर लिखा जाता है (एल्गोरिदम के 2-4 बिंदुओं के बाद के पास के दौरान, यह संख्या पहले से मौजूद संख्याओं के दाईं ओर लिखी जाती है)। जब एक संख्या प्राप्त होती है जो संख्या x से बड़ी होती है, तो चयनित संख्या के नीचे हम अंतिम चरण में प्राप्त संख्या लिखते हैं, और भागफल के स्थान पर (या पहले से मौजूद संख्याओं के दाईं ओर) हम संख्या लिखते हैं जिसे अंतिम चरण में गुणा किया गया था। (हमने ऊपर चर्चा किए गए दो उदाहरणों में इसी तरह की कार्रवाई की)।

हम 4 के भाजक को 0 , 1 , 2 , ... से गुणा करते हैं जब तक कि हमें 14 के बराबर या 14 से बड़ी कोई संख्या प्राप्त न हो जाए। हमारे पास 4 0 = 0 . है<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>चौदह । चूँकि अंतिम चरण में हमें संख्या 16 मिली, जो 14 से बड़ी है, तो चयनित संख्या के तहत हम 12 नंबर लिखते हैं, जो अंतिम चरण में निकला, और भागफल के स्थान पर हम संख्या 3 लिखते हैं, क्योंकि में अंतिम पैराग्राफ गुणन ठीक उसी पर किया गया था।


इस स्तर पर, चयनित संख्या में से, उसके नीचे की संख्या को एक कॉलम में घटाएं। क्षैतिज रेखा के नीचे घटाव का परिणाम है। हालांकि, यदि घटाव का परिणाम शून्य है, तो इसे लिखने की आवश्यकता नहीं है (जब तक कि इस बिंदु पर घटाव अंतिम क्रिया नहीं है जो एक कॉलम द्वारा विभाजन को पूरी तरह से पूरा करता है)। यहां, आपके नियंत्रण के लिए, भाजक के साथ घटाव के परिणाम की तुलना करना और यह सुनिश्चित करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि यह भाजक से कम है। नहीं तो कहीं चूक हो गई है।

हमें एक कॉलम में संख्या 14 से संख्या 12 घटाना है (सही अंकन के लिए, आपको घटाई गई संख्याओं के बाईं ओर ऋण चिह्न लगाना नहीं भूलना चाहिए)। इस क्रिया के पूरा होने के बाद क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 2 दिखाई दी। अब हम परिणामी संख्या की तुलना भाजक से करके अपनी गणना की जांच करते हैं। चूंकि संख्या 2 भाजक 4 से कम है, आप सुरक्षित रूप से अगले आइटम पर जा सकते हैं।


अब, क्षैतिज रेखा के नीचे वहां स्थित संख्याओं के दाईं ओर (या उस स्थान के दाईं ओर जहां हमने शून्य नहीं लिखा था), हम उसी कॉलम में स्थित संख्या को लाभांश के रिकॉर्ड में लिखते हैं। यदि इस कॉलम में लाभांश के रिकॉर्ड में कोई संख्या नहीं है, तो कॉलम द्वारा विभाजन यहां समाप्त होता है। उसके बाद, हम क्षैतिज रेखा के नीचे गठित संख्या का चयन करते हैं, इसे एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, और इसके साथ एल्गोरिथ्म के 2 से 4 बिंदुओं को दोहराते हैं।

पहले से मौजूद संख्या 2 के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 0 लिखते हैं, क्योंकि यह संख्या 0 है जो इस कॉलम में लाभांश 140 288 के रिकॉर्ड में है। इस प्रकार क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 20 बनती है।


हम इस संख्या 20 का चयन करते हैं, इसे एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, और इसके साथ एल्गोरिथम के दूसरे, तीसरे और चौथे बिंदुओं की क्रियाओं को दोहराते हैं।

हम 4 के भाजक को 0 , 1 , 2 , ... से गुणा करते हैं जब तक कि हमें संख्या 20 या 20 से बड़ी कोई संख्या प्राप्त न हो जाए। हमारे पास 4 0 = 0 . है<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


हम एक कॉलम द्वारा घटाव करते हैं। चूँकि हम समान प्राकृत संख्याओं को घटाते हैं, तो समान प्राकृत संख्याओं को घटाने के गुण के कारण हमें शून्य प्राप्त होता है। हम शून्य नहीं लिखते हैं (चूंकि यह एक कॉलम से विभाजित करने का अंतिम चरण नहीं है), लेकिन हमें वह जगह याद है जहां हम इसे लिख सकते थे (सुविधा के लिए, हम इस जगह को एक काले आयत के साथ चिह्नित करेंगे)।


याद किए गए स्थान के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 2 लिखते हैं, क्योंकि यह वह है जो इस कॉलम में लाभांश 140 288 के रिकॉर्ड में है। इस प्रकार, क्षैतिज रेखा के नीचे हमारे पास संख्या 2 है।


हम संख्या 2 को एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, इसे चिह्नित करते हैं, और एक बार फिर हमें एल्गोरिथम के 2-4 बिंदुओं से चरणों को पूरा करना होगा।

हम भाजक को 0 , 1 , 2 इत्यादि से गुणा करते हैं और परिणामी संख्याओं की तुलना अंकित संख्या 2 से करते हैं। हमारे पास 4 0 = 0 . है<2 , 4·1=4>2. इसलिए, चिह्नित संख्या के तहत, हम संख्या 0 लिखते हैं (यह अंतिम चरण में प्राप्त किया गया था), और पहले से ही संख्या के दाईं ओर भागफल के स्थान पर, हम संख्या 0 लिखते हैं (हमने 0 से गुणा किया है। कदम)।


हम एक कॉलम द्वारा घटाव करते हैं, हमें क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 2 मिलती है। हम परिणामी संख्या की भाजक 4 से तुलना करके स्वयं को जाँचते हैं। 2 . के बाद से<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


संख्या 2 के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 8 जोड़ते हैं (क्योंकि यह इस कॉलम में लाभांश 140 288 के रिकॉर्ड में है)। इस प्रकार, क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 28 है।


हम इस संख्या को एक कार्यकर्ता के रूप में स्वीकार करते हैं, इसे चिह्नित करते हैं, और पैराग्राफ के चरण 2-4 दोहराते हैं।

यदि आप अब तक सावधान रहे हैं तो यहां कोई समस्या नहीं होनी चाहिए। सभी आवश्यक क्रियाओं को करने के बाद, निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है।

यह आखिरी बार अंक 2, 3, 4 (हम इसे आप पर छोड़ते हैं) से क्रियाओं को करने के लिए रहता है, जिसके बाद हमें प्राकृतिक संख्या 140 288 और 4 को एक कॉलम में विभाजित करने की पूरी तस्वीर मिलती है:

कृपया ध्यान दें कि लाइन के बिल्कुल नीचे नंबर 0 लिखा होता है। यदि यह किसी कॉलम से विभाजित करने का अंतिम चरण नहीं होता (अर्थात यदि लाभांश के रिकॉर्ड में दाईं ओर के कॉलम में संख्याएँ होतीं), तो हम यह शून्य नहीं लिखेंगे।

इस प्रकार, बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या 140 288 को एकल-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या 4 से विभाजित करने के पूर्ण रिकॉर्ड को देखते हुए, हम देखते हैं कि संख्या 35 072 निजी है (और शेष भाग शून्य है, यह बहुत ही पर है जमीनी स्तर)।

बेशक, प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करते समय, आप अपने सभी कार्यों का इतने विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे। आपके समाधान निम्न उदाहरणों की तरह कुछ दिखाई देंगे।

उदाहरण।

यदि भाज्य 7136 है और भाजक एकल प्राकृत संख्या 9 है, तो लंबा विभाजन करें।

समाधान।

प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम के पहले चरण में, हमें फॉर्म का रिकॉर्ड मिलता है

एल्गोरिथम के दूसरे, तीसरे और चौथे अंक से क्रियाओं को करने के बाद, एक कॉलम द्वारा विभाजन का रिकॉर्ड रूप लेगा

चक्र को दोहराते हुए, हमारे पास होगा

एक और पास हमें प्राकृत संख्याओं 7 136 और 9 . के एक स्तंभ द्वारा विभाजन की पूरी तस्वीर देगा

इस प्रकार, आंशिक भागफल 792 है, और शेष भाग 8 है।

उत्तर:

7 136:9=792 (बाकी 8)।

और यह उदाहरण दर्शाता है कि विभाजन कितना लंबा दिखना चाहिए।

उदाहरण।

प्राकृत संख्या 7 042 035 को एक अंक वाली प्राकृत संख्या 7 से भाग दें।

समाधान।

कॉलम द्वारा विभाजन करना सबसे सुविधाजनक है।

उत्तर:

7 042 035:7=1 006 005 .

बहुमान प्राकृत संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन

हम आपको खुश करने के लिए जल्दबाजी करते हैं: यदि आपने इस लेख के पिछले पैराग्राफ से एक कॉलम द्वारा विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म में अच्छी तरह से महारत हासिल कर ली है, तो आप पहले से ही लगभग जानते हैं कि कैसे प्रदर्शन करना है बहुमान प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन. यह सच है, क्योंकि एल्गोरिथम के चरण 2 से 4 अपरिवर्तित रहते हैं, और पहले चरण में केवल मामूली परिवर्तन दिखाई देते हैं।

बहु-मूल्यवान प्राकृत संख्याओं के कॉलम में विभाजित करने के पहले चरण में, आपको लाभांश प्रविष्टि में बाईं ओर के पहले अंक को नहीं, बल्कि उनमें से जितने अंक भाजक प्रविष्टि में हैं, देखने की आवश्यकता है। यदि इन संख्याओं द्वारा परिभाषित संख्या भाजक से अधिक है, तो अगले पैराग्राफ में हमें इस संख्या के साथ काम करना होगा। यदि यह संख्या भाजक से कम है, तो हमें लाभांश के रिकॉर्ड में बाईं ओर के अगले अंक को जोड़ने की आवश्यकता है। उसके बाद, अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक एल्गोरिथम के पैराग्राफ 2, 3 और 4 में इंगित क्रियाएं की जाती हैं।

यह केवल उदाहरणों को हल करते समय व्यवहार में बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजित करने के लिए एल्गोरिथम के अनुप्रयोग को देखने के लिए बनी हुई है।

उदाहरण।

आइए बहुमूल्यवान प्राकृत संख्याओं 5562 और 206 के एक स्तंभ द्वारा भाग करते हैं।

समाधान।

चूंकि भाजक 206 के रिकॉर्ड में 3 वर्ण शामिल हैं, हम लाभांश 5 562 के रिकॉर्ड में बाईं ओर पहले 3 अंकों को देखते हैं। ये संख्याएँ संख्या 556 के अनुरूप हैं। चूँकि 556 भाजक 206 से बड़ा है, हम 556 को एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, इसे चुनते हैं, और एल्गोरिथ्म के अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं।

अब हम भाजक 206 को संख्याओं 0 , 1 , 2 , 3 , ... से गुणा करते हैं जब तक कि हमें एक ऐसी संख्या न मिल जाए जो या तो 556 के बराबर हो या 556 से बड़ी हो। हमारे पास है (यदि गुणा कठिन है, तो एक कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं का गुणन करना बेहतर है): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. चूँकि हमें एक संख्या मिली है जो 556 से अधिक है, तो चयनित संख्या के तहत हम संख्या 412 लिखते हैं (इसे अंतिम चरण में प्राप्त किया गया था), और भागफल के स्थान पर हम संख्या 2 लिखते हैं (चूंकि इसे अंतिम पर गुणा किया गया था) कदम)। कॉलम डिवीजन प्रविष्टि निम्नलिखित रूप लेती है:

कॉलम घटाव करें। हमें 144 का अंतर मिलता है, यह संख्या भाजक से कम है, इसलिए आप सुरक्षित रूप से आवश्यक क्रियाएं करना जारी रख सकते हैं।

वहां उपलब्ध संख्या के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 2 लिखते हैं, क्योंकि यह इस कॉलम में लाभांश 5 562 के रिकॉर्ड में है:

अब हम संख्या 1442 के साथ काम करते हैं, इसे चुनते हैं, और चरण दो से चार तक फिर से चलते हैं।

हम भाजक 206 को 0 , 1 , 2 , 3 , ... से गुणा करते हैं जब तक कि हमें संख्या 1442 या 1442 से बड़ी कोई संख्या प्राप्त न हो जाए। आइए चलें: 206 0 = 0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

हम एक कॉलम से घटाते हैं, हमें शून्य मिलता है, लेकिन हम इसे तुरंत नहीं लिखते हैं, लेकिन केवल इसकी स्थिति को याद रखते हैं, क्योंकि हम नहीं जानते कि विभाजन यहाँ समाप्त होता है, या हमें एल्गोरिथम के चरणों को दोहराना होगा। फिर से:

अब हम देखते हैं कि कंठस्थ स्थिति के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे हम कोई संख्या नहीं लिख सकते हैं, क्योंकि इस कॉलम में लाभांश के रिकॉर्ड में कोई संख्या नहीं है। इसलिए, कॉलम द्वारा यह विभाजन समाप्त हो गया है, और हम प्रविष्टि को पूरा करते हैं:

• गणित। शैक्षणिक संस्थानों के ग्रेड 1, 2, 3, 4 के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।
• गणित। शैक्षणिक संस्थानों की 5 कक्षाओं के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।

जब संख्याओं को विभाजित करने की तकनीक की बात आती है, तो इस प्रक्रिया को शेष के साथ विभाजन की क्रिया के रूप में माना जाता है: एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक a को एक प्राकृत संख्या b से विभाजित करें - इसका मतलब है कि गैर-ऋणात्मक पूर्णांक q r को इस तरह से खोजना कि a = bq + r, और 0 £ r< b.

आइए पहले जानें कि कैसे एक ही संख्या से विभाजन. यदि एक अंक या दो अंकों की संख्या (89 से अधिक नहीं) को एक अंक की संख्या से विभाजित किया जाता है, तो एकल अंकों की संख्या के लिए गुणन तालिका का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, निजी संख्याएँ 54 और 9, 9 × 6 \u003d 54 के बाद से संख्या 6 होगी। यदि आपको 51 को 9 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो इसके लिए निकटतम छोटी संख्या ज्ञात करें, जो 9 से विभाज्य है - यह संख्या 45 है , और, इसलिए, 51 को 9 से विभाजित करने के लिए एक अपूर्ण भागफल संख्या 5 होगी। शेष को खोजने के लिए, आपको 51: 51 - 45 \u003d 6 से 45 घटाना होगा। इस प्रकार, 51 \u003d 9 × 5 + 6, अर्थात। 51 को 9 से भाग देने पर, आपको 5 का अधूरा भागफल मिलता है और 6 का शेषफल मिलता है। आप कोने से भाग का उपयोग करके इसे अलग तरीके से लिख सकते हैं:

अब हम एक तीन अंकों की संख्या को एक अंक की संख्या से विभाजित करेंगे, उदाहरण के लिए, 378 को 4 से। 378 को 4 से विभाजित करने का अर्थ है कि ऐसा अधूरा भागफल q और शेष r है कि 378=4q+r, और शेष r को अवश्य प्राप्त करना चाहिए। शर्त को पूरा करें 0£r

आइए निर्धारित करें कि संख्या q के रिकॉर्ड में कितने अंक होंगे। संख्या q एकल-मूल्यवान नहीं हो सकती है, तब से उत्पाद 4q अधिकतम 36 के बराबर हो सकता है और इसलिए, r और q के लिए ऊपर तैयार की गई शर्तें संतुष्ट नहीं होंगी। यदि संख्या q दो अंकों की है, अर्थात्। 10 . हैं

भागफल के दहाई का अंक ज्ञात करने के लिए, हम भाजक 4 को श्रृंखला में 20, 30, 40 आदि से गुणा करते हैं। क्योंकि 4x90=360 और 4x100=400 और 360<378<400, то неполное частное заключено между числами90 и100, т.е. q=90+q 0. Но тогда должны выполняться неравенства: 4×(90+q 0)£ 378<4×(90q+q 0 +1), откуда 360+4q 0 £78<360+4(q 0 +1) и 4q 0 £18<4(q 0 +1). Число q 0 (цифра единиц частного), удовлетво­ряющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q 0 =4 и, следовательно, неполное частное q=90+4=94. Остаток находится вычитание: 378–4×94=2.

इसलिए, जब 378 को 4 से विभाजित किया जाता है, तो आंशिक भागफल 94 होता है और शेष 2: 378–4×94+2 होता है।

वर्णित प्रक्रिया एक कोने से विभाजन का आधार है:

इसी तरह प्रदर्शन किया एक बहु-अंकीय संख्या को एक बहु-अंकीय संख्या से विभाजित करना . आइए, उदाहरण के लिए, 4316 को 52 से विभाजित करें। इस विभाजन को करने का अर्थ है ऐसी पूर्णांक गैर-ऋणात्मक संख्याएँ q और r को खोजना जो 4316=52q+r, 0£r < 52, और अपूर्ण भागफल को असमानता को संतुष्ट करना चाहिए 52q £ 4316<52(q+1).

आइए हम भागफल q में अंकों की संख्या निर्धारित करें। जाहिर है, भागफल संख्या 10 और 100 के बीच है (अर्थात q दो अंकों की संख्या है), क्योंकि 520<4316<5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последова­тельно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52× 80=4160 और 52 × 90=4680 और 4160<4316<4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q=80+q 0 .

लेकिन फिर निम्नलिखित असमानताओं को धारण करना चाहिए:

52× (80+क्यू 0) £4316< 52× (80+क्यू 0 +1),

4160+52q 0 £4316<4160+52× (क्यू 0 +1),

52क्यू 0 £156<52× (क्यू 0 +1)।

संख्या q 0 (भागफल की इकाइयों की संख्या) जो अंतिम असमानता को संतुष्ट करती है, चयन द्वारा पाया जा सकता है: 156=52 × 3, यानी हमारे पास वह स्थिति है जब शेषफल 0 है। इसलिए, 4316 को 52 से विभाजित करने पर, हमें भागफल 83 प्राप्त होता है।

उपरोक्त तर्क एक कोने से विभाजन को रेखांकित करता है।