एक यादृच्छिक चर होने दें एक्सगणितीय अपेक्षा के साथ एमऔर फैलाव डी, जबकि ये दोनों पैरामीटर अज्ञात हैं। परिमाण से अधिक एक्सप्रस्तुत एनस्वतंत्र प्रयोग, जिसके परिणामस्वरूप का एक सेट हुआ एनसंख्यात्मक परिणाम एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन. गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में, प्रेक्षित मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का प्रस्ताव करना स्वाभाविक है
| (1) |
यहाँ के रूप में एक्स मैंके परिणामस्वरूप प्राप्त विशिष्ट मान (संख्या) एनप्रयोग। अगर हम दूसरों को लेते हैं (पिछले वाले से स्वतंत्र) एनप्रयोग, तो, जाहिर है, हमें एक अलग मूल्य मिलेगा। यदि आप अधिक लेते हैं एनप्रयोग, हमें एक और नया मूल्य मिलेगा। द्वारा निरूपित करें एक्स मैंसे उत्पन्न यादृच्छिक चर मैंवें प्रयोग, फिर अहसास एक्स मैंइन प्रयोगों के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्याएँ होंगी। यह स्पष्ट है कि यादृच्छिक चर एक्स मैंमूल यादृच्छिक चर के समान ही संभाव्यता वितरण घनत्व होगा एक्स. हम यह भी मानते हैं कि यादृच्छिक चर एक्स मैंऔर Xjपर स्वतंत्र हैं मैं, सम नही जे(एक दूसरे के प्रयोगों के सापेक्ष विभिन्न स्वतंत्र)। इसलिए, हम सूत्र (1) को एक अलग (सांख्यिकीय) रूप में फिर से लिखते हैं:
| (2) |
आइए हम दिखाते हैं कि अनुमान निष्पक्ष है:
इस प्रकार, नमूना माध्य की गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर की वास्तविक गणितीय अपेक्षा के बराबर है एम. यह काफी अनुमानित और समझने योग्य तथ्य है। इसलिए, नमूना माध्य (2) को एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में लिया जा सकता है। अब प्रश्न उठता है: जैसे-जैसे प्रयोगों की संख्या बढ़ती है, अपेक्षा अनुमान के विचरण का क्या होता है? विश्लेषणात्मक गणना से पता चलता है कि
गणितीय अपेक्षा के अनुमान का विचरण कहाँ है (2), और डी- यादृच्छिक चर का सही विचरण एक्स.
ऊपर से, यह इस प्रकार है कि वृद्धि के साथ एन(प्रयोगों की संख्या) अनुमान का विचरण कम हो जाता है, अर्थात। जितना अधिक हम स्वतंत्र कार्यान्वयन को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं, उतना ही अपेक्षित मूल्य के करीब हम अनुमान प्राप्त करते हैं।
गणितीय विचरण अनुमान
पहली नज़र में, सबसे स्वाभाविक अनुमान लगता है
| (3) |
जहां सूत्र (2) द्वारा गणना की जाती है। आइए देखें कि क्या अनुमान निष्पक्ष है। सूत्र (3) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
हम इस सूत्र में व्यंजक (2) को प्रतिस्थापित करते हैं:
आइए विचरण अनुमान की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं:
| (4) |
चूँकि एक यादृच्छिक चर का प्रसरण इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा क्या है, हम गणितीय अपेक्षा को 0 के बराबर लेंगे, अर्थात। एम = 0.
| (5) | |
| पर । | (6) |
परीक्षण के परिणामों के आधार पर गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने की आवश्यकता उन समस्याओं में प्रकट होती है जहाँ प्रयोग के परिणाम को एक यादृच्छिक चर द्वारा वर्णित किया जाता है और अध्ययन के तहत वस्तु के गुणवत्ता संकेतक को इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के रूप में लिया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी सिस्टम के अपटाइम की गणितीय अपेक्षा को एक विश्वसनीयता संकेतक के रूप में लिया जा सकता है, और उत्पादन की दक्षता का मूल्यांकन करते समय, अच्छे उत्पादों की संख्या की गणितीय अपेक्षा आदि।
गणितीय अपेक्षा के आकलन की समस्या निम्नानुसार तैयार की गई है। मान लीजिए कि यादृच्छिक चर X के अज्ञात मान को निर्धारित करने के लिए, यह n को स्वतंत्र और व्यवस्थित त्रुटियों के माप से मुक्त करने वाला है एक्स वी एक्स 2 ,..., एक्स पी.गणितीय अपेक्षा का सर्वोत्तम अनुमान चुनना आवश्यक है।
व्यवहार में गणितीय अपेक्षा का सबसे अच्छा और सबसे सामान्य अनुमान परीक्षा परिणामों का अंकगणितीय माध्य है
यह भी कहा जाता है सांख्यिकीयया नमूना माध्य।
आइए दिखाते हैं कि अनुमान टी एक्सकिसी भी पैरामीटर के मूल्यांकन के लिए सभी आवश्यकताओं को पूरा करता है।
1. व्यंजक (5.10) से यह निष्कर्ष निकलता है कि
यानी स्कोर टी "एक्स- निष्पक्ष अनुमान।
2. चेबीशेव प्रमेय के अनुसार, परीक्षण के परिणामों का अंकगणितीय माध्य गणितीय अपेक्षा के लिए संभाव्यता में परिवर्तित होता है, अर्थात।
नतीजतन, अनुमान (5.10) अपेक्षा का एक सुसंगत अनुमान है।
3. अनुमान विचरण टी एक्स,बराबर
जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है, n अनिश्चित काल तक घटता जाता है। यह साबित होता है कि यदि एक यादृच्छिक चर X सामान्य वितरण कानून के अधीन है, तो किसी के लिए पीविचरण (5.11) न्यूनतम संभव होगा, और अनुमान टी एक्स- गणितीय अपेक्षा का प्रभावी आकलन। अनुमान के विचरण को जानने से इस अनुमान का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा के अज्ञात मूल्य को निर्धारित करने की सटीकता के बारे में निर्णय करना संभव हो जाता है।
गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में, अंकगणित माध्य का उपयोग किया जाता है यदि माप परिणाम समान रूप से सटीक होते हैं (भिन्नताएं डी, मैं = 1, 2, ..., पीहर आयाम में समान हैं)। हालांकि, व्यवहार में, किसी को उन कार्यों से निपटना पड़ता है जिनमें माप परिणाम समान नहीं होते हैं (उदाहरण के लिए, परीक्षण के दौरान, माप विभिन्न उपकरणों द्वारा किए जाते हैं)। इस मामले में, गणितीय अपेक्षा के अनुमान का रूप है
कहाँ पे 
i-वें माप का भार है।
सूत्र (5.12) में, प्रत्येक माप का परिणाम अपने स्वयं के वजन के साथ शामिल होता है साथ में.. इसलिए, माप परिणामों का मूल्यांकन टी एक्सबुलाया भारित औसत।
यह दिखाया जा सकता है कि अनुमान (5.12) अपेक्षा का एक निष्पक्ष, सुसंगत और कुशल अनुमान है। अनुमान का न्यूनतम विचरण किसके द्वारा दिया गया है
कंप्यूटर मॉडल के साथ प्रयोग करते समय, इसी तरह की समस्याएं उत्पन्न होती हैं जब परीक्षणों की कई श्रृंखलाओं के परिणामों से अनुमान मिलते हैं और प्रत्येक श्रृंखला में परीक्षणों की संख्या भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, वॉल्यूम के साथ परीक्षणों की दो श्रृंखलाएं की गईं पी 1और n 2 , जिसके परिणामों के अनुसार अनुमान लगाया जाता है टी xi और टी एक्स _.गणितीय अपेक्षा को निर्धारित करने की सटीकता और विश्वसनीयता में सुधार करने के लिए, परीक्षणों की इन श्रृंखलाओं के परिणामों को संयोजित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, व्यंजक (5.12) का प्रयोग करें
गुणांक सी की गणना करते समय, भिन्नता डी के बजाय, प्रत्येक श्रृंखला में परीक्षण परिणामों से प्राप्त उनके अनुमानों को प्रतिस्थापित किया जाता है।
परीक्षणों की एक श्रृंखला के परिणामों के आधार पर होने वाली यादृच्छिक घटना की संभावना का निर्धारण करने के लिए एक समान दृष्टिकोण का भी उपयोग किया जाता है।
यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए, नमूना माध्य के अतिरिक्त, अन्य आँकड़ों का उपयोग किया जा सकता है। बहुधा, परिवर्तनशील श्रृंखला के सदस्यों का उपयोग इन उद्देश्यों के लिए किया जाता है, अर्थात् आदेश आँकड़े, जिनके आधार पर अनुमान बनाए जाते हैं,
मुख्य आवश्यकताओं को संतुष्ट करना, अर्थात् स्थिरता और निष्पक्षता।
मान लें कि भिन्नता श्रृंखला में शामिल हैं एन = 2kसदस्य। फिर, किसी भी औसत को गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में लिया जा सकता है:
जिसमें पैर की अंगुलीऔसत
यादृच्छिक चर X के वितरण के सांख्यिकीय माध्यिका के अलावा और कुछ नहीं है, क्योंकि स्पष्ट समानता होती है
सांख्यिकीय माध्यिका का लाभ यह है कि यह विषम प्रेक्षणों के प्रभाव से मुक्त है, जो कि पहले औसत का उपयोग करते समय अपरिहार्य है, अर्थात सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या में भिन्नता श्रृंखला का औसत।
एक अजीब नमूना आकार के साथ पी = 2k- 1 सांख्यिकीय माध्यिका इसका मध्य तत्व है, अर्थात्। को-विविधता श्रृंखला का सदस्य मैं = एक्स के।
ऐसे वितरण हैं जिनके लिए अंकगणितीय माध्य गणितीय अपेक्षा का प्रभावी अनुमान नहीं है, उदाहरण के लिए, लाप्लास वितरण। यह दिखाया जा सकता है कि लाप्लास वितरण के लिए, माध्य का प्रभावी अनुमान नमूना माध्यिका है।
यह साबित होता है कि यदि एक यादृच्छिक चर X का सामान्य वितरण है, तो पर्याप्त रूप से बड़े नमूने के आकार के साथ, सांख्यिकीय माध्यिका का वितरण नियम संख्यात्मक विशेषताओं के साथ सामान्य के करीब है।
सूत्रों (5.11) और (5.14) की तुलना से यह पता चलता है कि सांख्यिकीय माध्य का फैलाव अंकगणित माध्य के फैलाव से 1.57 गुना अधिक है। इसलिए, गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में अंकगणितीय माध्य सांख्यिकीय माध्यिका की तुलना में अधिक प्रभावी है। हालांकि, गणना की सादगी के कारण, विषम माप परिणामों (नमूने के "संदूषण") के प्रति असंवेदनशीलता, व्यवहार में, सांख्यिकीय माध्य का उपयोग गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में किया जाता है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि निरंतर सममित वितरण के लिए, माध्य और माध्यिका समान हैं। इसलिए, सांख्यिकीय माध्यिका केवल यादृच्छिक चर के सममित वितरण के लिए गणितीय अपेक्षा के एक अच्छे अनुमान के रूप में काम कर सकती है।
विषम वितरण के लिए, सांख्यिकीय माध्यिका मैंगणितीय अपेक्षा के सापेक्ष एक महत्वपूर्ण पूर्वाग्रह है, इसलिए, यह इसके अनुमान के लिए अनुपयुक्त है।
एक यादृच्छिक चर होने दें एक्सगणितीय अपेक्षा के साथ एमऔर फैलाव डी, जबकि ये दोनों पैरामीटर अज्ञात हैं। परिमाण से अधिक एक्सप्रस्तुत एनस्वतंत्र प्रयोग, जिसके परिणामस्वरूप का एक सेट हुआ एनसंख्यात्मक परिणाम एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन. गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में, प्रेक्षित मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का प्रस्ताव करना स्वाभाविक है
| (1) |
यहाँ के रूप में एक्स मैंके परिणामस्वरूप प्राप्त विशिष्ट मान (संख्या) एनप्रयोग। अगर हम दूसरों को लेते हैं (पिछले वाले से स्वतंत्र) एनप्रयोग, तो, जाहिर है, हमें एक अलग मूल्य मिलेगा। यदि आप अधिक लेते हैं एनप्रयोग, हमें एक और नया मूल्य मिलेगा। द्वारा निरूपित करें एक्स मैंसे उत्पन्न यादृच्छिक चर मैंवें प्रयोग, फिर अहसास एक्स मैंइन प्रयोगों के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्याएँ होंगी। यह स्पष्ट है कि यादृच्छिक चर एक्स मैंमूल यादृच्छिक चर के समान ही संभाव्यता वितरण घनत्व होगा एक्स. हम यह भी मानते हैं कि यादृच्छिक चर एक्स मैंऔर Xjपर स्वतंत्र हैं मैं, सम नही जे(एक दूसरे के प्रयोगों के सापेक्ष विभिन्न स्वतंत्र)। इसलिए, हम सूत्र (1) को एक अलग (सांख्यिकीय) रूप में फिर से लिखते हैं:
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आइए हम दिखाते हैं कि अनुमान निष्पक्ष है:
इस प्रकार, नमूना माध्य की गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर की वास्तविक गणितीय अपेक्षा के बराबर है एम. यह काफी अनुमानित और समझने योग्य तथ्य है। इसलिए, नमूना माध्य (2) को एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में लिया जा सकता है। अब प्रश्न उठता है: जैसे-जैसे प्रयोगों की संख्या बढ़ती है, अपेक्षा अनुमान के विचरण का क्या होता है? विश्लेषणात्मक गणना से पता चलता है कि
गणितीय अपेक्षा के अनुमान का विचरण कहाँ है (2), और डी- यादृच्छिक चर का सही विचरण एक्स.
ऊपर से, यह इस प्रकार है कि वृद्धि के साथ एन(प्रयोगों की संख्या) अनुमान का विचरण कम हो जाता है, अर्थात। जितना अधिक हम स्वतंत्र कार्यान्वयन को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं, उतना ही अपेक्षित मूल्य के करीब हम अनुमान प्राप्त करते हैं।
गणितीय विचरण अनुमान
पहली नज़र में, सबसे स्वाभाविक अनुमान लगता है
| (3) |
जहां सूत्र (2) द्वारा गणना की जाती है। आइए देखें कि क्या अनुमान निष्पक्ष है। सूत्र (3) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
हम इस सूत्र में व्यंजक (2) को प्रतिस्थापित करते हैं:
आइए विचरण अनुमान की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं:
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चूँकि एक यादृच्छिक चर का प्रसरण इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा क्या है, हम गणितीय अपेक्षा को 0 के बराबर लेंगे, अर्थात। एम = 0.
| (5) | |
| पर । | (6) |
अज्ञात गणितीय अपेक्षा और विचरण के साथ एक यादृच्छिक चर को स्वतंत्र प्रयोगों के अधीन होने दें, जिसके परिणाम मिले - 
. आइए हम मापदंडों और के लिए सुसंगत और निष्पक्ष अनुमानों की गणना करें।
गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में, हम प्रयोगात्मक मूल्यों का अंकगणितीय माध्य लेते हैं
. (2.9.1)
बड़ी संख्या के नियम के अनुसार, यह अनुमान है धनवान , संभावना में परिमाण के साथ। एक ही अनुमान है निष्पक्ष , जहां तक कि
. (2.9.2)
इस अनुमान का प्रसरण है
. (2.9.3)
यह दिखाया जा सकता है कि सामान्य वितरण के लिए, यह अनुमान है प्रभावी . अन्य कानूनों के लिए, यह मामला नहीं हो सकता है।
आइए अब विचरण का अनुमान लगाएं। आइए पहले अनुमान लगाने के लिए एक सूत्र चुनें सांख्यिकीय फैलाव
. (2.9.4)
आइए हम विचरण अनुमान की संगति की जाँच करें। आइए सूत्र में कोष्ठक खोलें (2.9.4)
.
के लिए , पहला पद प्रायिकता में मात्रा में परिवर्तित होता है 
, दूसरे में - से . इस प्रकार, हमारा अनुमान विचरण की प्रायिकता में परिवर्तित हो जाता है
,
इसलिए वह है धनवान .
चलो देखते है निष्पक्षता
मात्रा के लिए अनुमान। ऐसा करने के लिए, हम व्यंजक (2.9.1) को सूत्र (2.9.4) में प्रतिस्थापित करते हैं और उस यादृच्छिक चर को ध्यान में रखते हैं स्वतंत्र
,
. (2.9.5)
आइए हम सूत्र (2.9.5) में यादृच्छिक चरों के उतार-चढ़ाव को पास करें
कोष्ठक का विस्तार करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
,
. (2.9.6)
आइए मान की गणितीय अपेक्षा (2.9.6) की गणना करें, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि 
. (2.9.7)
संबंध (2.9.7) दर्शाता है कि सूत्र द्वारा परिकलित मान (2.9.4) एक निष्पक्ष अनुमानक नहीं है फैलाव के लिए। इसकी गणितीय अपेक्षा समान नहीं है, लेकिन कुछ हद तक कम है। इस तरह के अनुमान से नीचे की ओर व्यवस्थित त्रुटि होती है। इस तरह के पूर्वाग्रह को खत्म करने के लिए, मूल्य को गुणा करके सुधार शुरू करना आवश्यक है। तब इस तरह का एक सही सांख्यिकीय विचरण विचरण के लिए एक निष्पक्ष अनुमान के रूप में काम कर सकता है
. (2.9.8)
यह अनुमान अनुमान के अनुरूप ही है, क्योंकि के लिए।
व्यवहार में, अनुमान (2.9.8) के बजाय, दूसरे प्रारंभिक सांख्यिकीय क्षण से संबंधित समकक्ष अनुमान का उपयोग करना कभी-कभी अधिक सुविधाजनक होता है
. (2.9.9)
अनुमान (2.9.8), (2.9.9) कुशल नहीं हैं। यह दिखाया जा सकता है कि सामान्य वितरण के मामले में वे होंगे स्पर्शोन्मुख रूप से कुशल (जब न्यूनतम संभव मूल्य की ओर रुझान होगा)।
इस प्रकार, सीमित सांख्यिकीय सामग्री के प्रसंस्करण के लिए निम्नलिखित नियम बनाना संभव है। यदि स्वतंत्र प्रयोगों में यादृच्छिक चर मान लेता है 
अज्ञात गणितीय अपेक्षा और विचरण के साथ, फिर इन मापदंडों को निर्धारित करने के लिए, अनुमानित अनुमानों का उपयोग करना चाहिए
(2.9.10)
काम का अंत -
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गणित संभाव्यता सिद्धांत गणितीय सांख्यिकी पर व्याख्यान नोट्स
उच्च गणित और सूचना विज्ञान विभाग .. व्याख्यान नोट्स .. गणित में ..
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सिद्धांत संभावना
संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो यादृच्छिक द्रव्यमान घटना के पैटर्न का अध्ययन करती है। यादृच्छिक एक घटना है कि
संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा
एक घटना एक यादृच्छिक घटना है, जो अनुभव के परिणामस्वरूप प्रकट हो सकती है या नहीं (दो-मूल्यवान घटना)। बड़े लैटिन अक्षरों में घटनाओं को नामित करें
प्रारंभिक घटनाओं का स्थान
घटनाओं के एक सेट को कुछ अनुभव के साथ जोड़ा जाए, और: 1) अनुभव के परिणामस्वरूप, एक और केवल एक
घटनाओं पर कार्रवाई
दो घटनाओं का योग और
क्रमपरिवर्तन
तत्वों के विभिन्न क्रमपरिवर्तनों की संख्या निरूपित की जाती है
आवास
द्वारा तत्वों की नियुक्ति
युग्म
तत्वों का संयोजन
असंगत घटनाओं के लिए संभावनाओं को जोड़ने का सूत्र
प्रमेय। दो असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है। (एक
मनमानी घटनाओं के लिए संभाव्यता जोड़ फॉर्मूला
प्रमेय। दो घटनाओं के योग की प्रायिकता उनके उत्पाद की प्रायिकता के बिना इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है।
प्रायिकता गुणन सूत्र
दो घटनाएँ दी जाएँ। एक घटना पर विचार करें
कुल संभावना सूत्र
आज्ञा देना असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह हो, उन्हें परिकल्पना कहा जाता है। किसी घटना पर विचार करें
परिकल्पना की संभावनाओं का सूत्र (बेयस)
फिर से विचार करें - असंगत परिकल्पनाओं का पूरा समूह और घटना
एसिम्प्टोटिक पॉइसन फॉर्मूला
ऐसे मामलों में जहां परीक्षणों की संख्या बड़ी है और किसी घटना के घटित होने की संभावना
यादृच्छिक असतत चर
एक यादृच्छिक मान एक मात्रा है, जब प्रयोग दोहराया जाता है, असमान संख्यात्मक मान ले सकता है। यादृच्छिक चर को असतत कहा जाता है,
यादृच्छिक निरंतर चर
यदि, किसी प्रयोग के परिणामस्वरूप, एक यादृच्छिक चर किसी निश्चित खंड या संपूर्ण वास्तविक अक्ष से कोई मान ले सकता है, तो इसे निरंतर कहा जाता है। कानून
एक यादृच्छिक सतत चर का प्रायिकता घनत्व फलन
रहने दो। एक बिंदु पर विचार करें और इसे एक वेतन वृद्धि दें
यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं
यादृच्छिक असतत या निरंतर चर को पूरी तरह से निर्दिष्ट माना जाता है यदि उनके वितरण कानून ज्ञात हैं। वास्तव में, वितरण के नियमों को जानने के बाद, कोई हमेशा हिट होने की संभावना की गणना कर सकता है
यादृच्छिक चर की मात्रा
एक यादृच्छिक सतत चर के क्रम की मात्रा
यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा
एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके औसत मूल्य की विशेषता है। यादृच्छिक चर के सभी मानों को इस मान के आसपास समूहीकृत किया जाता है। पहले एक यादृच्छिक असतत चर पर विचार करें
मानक विचलन और यादृच्छिक चर का विचरण
पहले एक यादृच्छिक असतत चर पर विचार करें। बहुलक, माध्यिका, मात्रा और गणितीय अपेक्षा की संख्यात्मक विशेषताएं
यादृच्छिक चर के क्षण
गणितीय अपेक्षा और फैलाव के अलावा, संभाव्यता का सिद्धांत उच्च कोटि की संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करता है, जिन्हें यादृच्छिक चर के क्षण कहा जाता है।
यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं पर प्रमेय
प्रमेय 1. एक गैर-यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इस मान के बराबर होती है। सबूत: Let
द्विपद वितरण कानून
पॉइज़न वितरण कानून
मान लेते हुए एक यादृच्छिक असतत चर दें
समान वितरण कानून
यादृच्छिक सतत चर के वितरण का एकसमान नियम प्रायिकता घनत्व फलन का नियम है, जो
सामान्य वितरण कानून
यादृच्छिक सतत चर के वितरण का सामान्य नियम घनत्व फलन का नियम है
घातीय वितरण कानून
एक यादृच्छिक चर के घातीय या घातीय वितरण का उपयोग संभाव्यता सिद्धांत के ऐसे अनुप्रयोगों में किया जाता है जैसे कतार सिद्धांत, विश्वसनीयता सिद्धांत
यादृच्छिक चर के सिस्टम
व्यवहार में, संभाव्यता सिद्धांत के अनुप्रयोगों में, किसी को अक्सर उन समस्याओं से निपटना पड़ता है जिसमें एक प्रयोग के परिणामों को एक यादृच्छिक चर द्वारा नहीं, बल्कि एक साथ कई यादृच्छिक चर द्वारा वर्णित किया जाता है।
दो यादृच्छिक असतत चरों की प्रणाली
मान लीजिए कि दो यादृच्छिक असतत चर एक प्रणाली बनाते हैं। यादृच्छिक मूल्य
दो यादृच्छिक निरंतर चर की प्रणाली
अब सिस्टम को दो यादृच्छिक निरंतर चरों द्वारा बनने दें। इस प्रणाली के वितरण नियम को संभवत: कहा जाता है
वितरण के सशर्त नियम
चलो और निर्भर यादृच्छिक निरंतर चर
दो यादृच्छिक चर की प्रणाली की संख्यात्मक विशेषताएं
यादृच्छिक चर की प्रणाली के क्रम का प्रारंभिक क्षण
कई यादृच्छिक चर की प्रणाली
दो यादृच्छिक चर की एक प्रणाली के लिए प्राप्त परिणामों को उन प्रणालियों के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है जिनमें यादृच्छिक चर की एक मनमानी संख्या होती है। सिस्टम को सेट द्वारा बनने दें
दो यादृच्छिक चर की प्रणाली का सामान्य वितरण
दो यादृच्छिक निरंतर चर की एक प्रणाली पर विचार करें। इस प्रणाली का वितरण नियम सामान्य वितरण नियम है
संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेय
संभाव्यता सिद्धांत के अनुशासन का मुख्य लक्ष्य यादृच्छिक द्रव्यमान घटना के पैटर्न का अध्ययन करना है। अभ्यास से पता चलता है कि सजातीय यादृच्छिक घटनाओं के द्रव्यमान का अवलोकन प्रकट करता है
चेबीशेव की असमानता
गणितीय अपेक्षा के साथ एक यादृच्छिक चर पर विचार करें
चेबीशेव का प्रमेय
यदि यादृच्छिक चर जोड़ीदार स्वतंत्र हैं और जनसंख्या में परिमित परिवर्ती हैं
बर्नौली की प्रमेय
प्रयोगों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ, किसी घटना के घटित होने की आवृत्ति किसी घटना की प्रायिकता में परिवर्तित हो जाती है
केंद्रीय सीमा प्रमेय
किसी भी वितरण कानून के साथ यादृच्छिक चर जोड़ते समय, लेकिन कुल में सीमित भिन्नताओं के साथ, वितरण कानून
गणितीय सांख्यिकी के मुख्य कार्य
ऊपर चर्चा की गई संभाव्यता सिद्धांत के नियम वास्तविक पैटर्न की गणितीय अभिव्यक्ति हैं जो वास्तव में विभिन्न यादृच्छिक द्रव्यमान घटनाओं में मौजूद हैं। पढ़ते पढ़ते
एक साधारण आँकड़ा। सांख्यिकीय वितरण समारोह
कुछ ऐसे यादृच्छिक चरों पर विचार करें जिनका वितरण नियम अज्ञात है। अनुभव के आधार पर आवश्यक
सांख्यिकीय रेखा। दंड आरेख
बड़ी संख्या में प्रेक्षणों (सैकड़ों के क्रम में) के साथ, सामान्य जनसंख्या सांख्यिकीय सामग्री को रिकॉर्ड करने के लिए असुविधाजनक और बोझिल हो जाती है। स्पष्टता और कॉम्पैक्टनेस के लिए, सांख्यिकीय सामग्री
सांख्यिकीय वितरण की संख्यात्मक विशेषताएं
संभाव्यता सिद्धांत में, यादृच्छिक चर की विभिन्न संख्यात्मक विशेषताओं पर विचार किया गया: गणितीय अपेक्षा, विचरण, विभिन्न आदेशों के प्रारंभिक और केंद्रीय क्षण। समान संख्या
क्षणों की विधि द्वारा सैद्धांतिक वितरण का चुनाव
किसी भी सांख्यिकीय वितरण में, अवलोकनों की सीमित संख्या से जुड़े अनिवार्य रूप से यादृच्छिकता के तत्व होते हैं। बड़ी संख्या में टिप्पणियों के साथ, यादृच्छिकता के इन तत्वों को सुचारू किया जाता है,
वितरण कानून के रूप के बारे में परिकल्पना की व्यवहार्यता का परीक्षण
दिए गए सांख्यिकीय वितरण को किसी सैद्धांतिक वक्र द्वारा अनुमानित किया जाए या
सहमति मानदंड
सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली अच्छाई-की-फिट परीक्षणों में से एक पर विचार करें, तथाकथित पियर्सन परीक्षण। मान लेना
अज्ञात वितरण मापदंडों के लिए बिंदु अनुमान
पीपी में 2.1. - 2.7 हमने गणितीय सांख्यिकी की पहली और दूसरी मुख्य समस्याओं को हल करने के तरीकों पर विस्तार से विचार किया है। प्रयोगात्मक डेटा के अनुसार यादृच्छिक चर के वितरण के नियमों को निर्धारित करने के ये कार्य हैं
विश्वास अंतराल। आत्मविश्वास की संभावना
व्यवहार में, एक यादृच्छिक चर पर प्रयोगों की एक छोटी संख्या के साथ, एक अज्ञात पैरामीटर का अनुमानित प्रतिस्थापन
मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर X है, और इसके पैरामीटर गणितीय अपेक्षाएं हैं एऔर भिन्नता अज्ञात है। X के मान पर, स्वतंत्र प्रयोग किए गए, जिसके परिणाम x 1, x 2, x n मिले।
तर्क की व्यापकता को कम किए बिना, हम यादृच्छिक चर के इन मूल्यों को अलग मानेंगे। हम मान x 1, x 2, x n को स्वतंत्र, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर X 1, X 2, X n के रूप में मानेंगे।
सांख्यिकीय अनुमान की सबसे सरल विधि - प्रतिस्थापन और सादृश्य की विधि - इस तथ्य में शामिल है कि सामान्य जनसंख्या की एक या किसी अन्य संख्यात्मक विशेषता (औसत, विचरण, आदि) के अनुमान के रूप में, नमूना वितरण की संबंधित विशेषता ली जाती है। - नमूना विशेषता।
गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में प्रतिस्थापन विधि द्वारा एनमूने के वितरण की गणितीय अपेक्षा को लेना आवश्यक है - नमूना माध्य। इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं
नमूने के निष्पक्षता और निरंतरता का परीक्षण करने के लिए अनुमान के रूप में मतलब है ए, इस आंकड़े को चुने हुए वेक्टर (X 1, X 2, X n) के एक फलन के रूप में मानें। इस बात को ध्यान में रखते हुए कि प्रत्येक मान X 1, X 2, X n का वितरण नियम मान X के समान है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि इन मात्राओं की संख्यात्मक विशेषताएँ और X का मान समान हैं: M(X मैं) = एम (एक्स) = ए, डी (एक्स मैं) = डी (एक्स) = , मैं = 1, 2, नहीं , जहाँ X, सामूहिक रूप से स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।
इसलिये,
इसलिए, परिभाषा के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं कि यह निष्पक्ष अनुमान है ए, और चूंकि D()®0 n®¥ के रूप में है, तो पिछले पैराग्राफ के प्रमेय के आधार पर उम्मीद का एक सुसंगत अनुमान है एसामान्य जनसंख्या।
अनुमान की दक्षता या अक्षमता यादृच्छिक चर X के वितरण नियम के रूप पर निर्भर करती है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि मान X को सामान्य नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, तो अनुमान कुशल है। अन्य वितरण कानूनों के लिए, यह मामला नहीं हो सकता है।
सामान्य विचरण का निष्पक्ष अनुमानसही नमूना विचरण है
,
जैसा 
, जहां सामान्य विचरण है। सच में, 
सामान्य विचरण के लिए अनुमान s - 2 भी सुसंगत है, लेकिन कुशल नहीं है। हालांकि, एक सामान्य वितरण के मामले में, यह "एसिम्प्टोटिक रूप से कुशल" है, अर्थात, जैसे-जैसे n बढ़ता है, इसके विचरण का अनुपात न्यूनतम संभव के लिए अनिश्चित काल तक पहुंचता है।
तो, वितरण F से एक नमूना दिया गया है ( एक्स) अज्ञात गणितीय अपेक्षा के साथ यादृच्छिक चर X एऔर फैलाव, फिर इन मापदंडों के मूल्यों की गणना करने के लिए, हमें निम्नलिखित अनुमानित सूत्रों का उपयोग करने का अधिकार है:
ए 
,
.
यहाँ x-i- -
नमूना विकल्प, n- i - - आवृत्ति विकल्प x i , -
- नमूने का आकार।
सही नमूना विचरण की गणना करने के लिए, सूत्र अधिक सुविधाजनक है
.
गणना को सरल बनाने के लिए, सशर्त विकल्पों पर स्विच करना उचित है 
(अंतराल भिन्नता श्रृंखला के मध्य में स्थित प्रारंभिक संस्करण को c के रूप में लेना फायदेमंद है)। फिर
, .
अंतराल अनुमान
ऊपर, हमने एक अज्ञात पैरामीटर के आकलन के प्रश्न पर विचार किया एएक नंबर। हम ऐसे अनुमानों को बिंदु अनुमान कहते हैं। उनका नुकसान यह है कि, एक छोटे नमूने के आकार के साथ, वे अनुमानित मापदंडों से काफी भिन्न हो सकते हैं। इसलिए, एक पैरामीटर और उसके अनुमान के बीच निकटता का अंदाजा लगाने के लिए, तथाकथित अंतराल अनुमानों को गणितीय आँकड़ों में पेश किया जाता है।
मान लीजिए कि पैरामीटर q के नमूने में एक बिंदु अनुमान q * पाया जाता है। आमतौर पर, शोधकर्ता कुछ पर्याप्त रूप से बड़ी प्रायिकता g (उदाहरण के लिए, 0.95; 0.99 या 0.999) निर्धारित करते हैं, जैसे कि प्रायिकता g वाली घटना को व्यावहारिक रूप से निश्चित माना जा सकता है, और ऐसा मान e> 0 खोजने का प्रश्न उठाते हैं जिसके लिए
.
इस समानता को संशोधित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
और इस मामले में हम कहेंगे कि अंतराल ]q * - e; q * + e[ अनुमानित पैरामीटर q को प्रायिकता g के साथ कवर करता है।
अंतराल] क्यू * -ई; क्यू * +ई [ कहा जाता है विश्वास अंतराल .
संभावना जी कहा जाता है विश्वसनीयता (विश्वास संभावना) अंतराल अनुमान।
विश्वास अंतराल के अंत, अर्थात्। अंक q * -e और q * +e कहलाते हैं विश्वास की सीमाएं .
संख्या ई कहा जाता है मूल्यांकन सटीकता .
आत्मविश्वास की सीमा निर्धारित करने की समस्या के एक उदाहरण के रूप में, एक यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा के आकलन के प्रश्न पर विचार करें, जिसमें मापदंडों के साथ एक सामान्य वितरण कानून है एऔर एस, यानी। एक्स = एन ( ए, एस)। इस मामले में गणितीय अपेक्षा बराबर है ए. प्रेक्षणों के अनुसार X 1 , X 2 , X n औसत की गणना करें 
और मूल्यांकन 
फैलाव 2 .
यह पता चला है कि नमूना डेटा के अनुसार, एक यादृच्छिक चर का निर्माण संभव है
जिसमें n = n -1 डिग्री स्वतंत्रता के साथ छात्र का वितरण (या t-वितरण) है।
आइए तालिका A.1.3 का उपयोग करें और दी गई प्रायिकता g और संख्या n संख्या t g इस प्रकार ज्ञात करें कि प्रायिकता
पी(|टी(एन)|< t g) = g,
.
स्पष्ट परिवर्तन करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं
एफ-मानदंड लागू करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:
1. जनसंख्या के सामान्य वितरण के बारे में एक धारणा बनाई जाती है। किसी दिए गए महत्व स्तर पर, शून्य परिकल्पना एच 0 तैयार की जाती है: एस एक्स 2 = एस वाई 2 प्रतिस्पर्धी परिकल्पना एच 1: एस एक्स 2> एस वाई 2 के तहत सामान्य आबादी के सामान्य भिन्नताओं की समानता के बारे में।
2. दो स्वतंत्र नमूने क्रमशः n x और n y की X और Y समष्टि से प्राप्त किए जाते हैं।
3. सही नमूना प्रसरणों के मानों की गणना करें s x 2 और s y 2 (गणना विधियों की चर्चा §13.4) में की गई है। फैलाव का बड़ा (s x 2 या s y 2) को s 1 2, छोटा - s 2 2 नामित किया गया है।
4. F-मानदंड के मान की गणना सूत्र F ob = s 1 2 / s 2 2 के अनुसार की जाती है।
5. फिशर के महत्वपूर्ण बिंदुओं की तालिका के अनुसार - स्नेडेकोर वितरण, किसी दिए गए महत्व स्तर के लिए और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n 1 \u003d n 1 - 1, n 2 \u003d n 2 - 1 (n 1 है एक बड़े संशोधित विचरण की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या), महत्वपूर्ण बिंदु F cr (a, n 1, n 2) पाया जाता है।
ध्यान दें कि तालिका A.1.7 एक-पूंछ वाले F-मानदंड के महत्वपूर्ण मान दिखाती है। इसलिए, यदि दो-तरफा मानदंड लागू किया जाता है (H 1: s x 2 s y 2), तो दाहिने हाथ के महत्वपूर्ण बिंदु F cr (a / 2, n 1, n 2) को महत्व स्तर a / द्वारा खोजा जाता है। 2 (आधा निर्दिष्ट एक) और डिग्री की संख्या स्वतंत्रता n 1 और n 2 (n 1 - अधिक फैलाव की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या)। बाएं हाथ का महत्वपूर्ण बिंदु नहीं मिल सकता है।
6. यह निष्कर्ष निकाला गया है कि यदि F-मानदंड का परिकलित मान महत्वपूर्ण एक (F obs F cr) से अधिक या उसके बराबर है, तो दिए गए महत्व स्तर पर भिन्नताएं महत्वपूर्ण रूप से भिन्न होती हैं। अन्यथा (एफ अवलोकन< F кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.
कार्य 15.1. पुरानी तकनीक के अनुसार उत्पादन की प्रति इकाई कच्चे माल की खपत थी:
नई तकनीक:
यह मानते हुए कि संबंधित सामान्य आबादी X और Y का सामान्य वितरण है, जाँच करें कि नई और पुरानी तकनीकों के लिए कच्चे माल की खपत परिवर्तनशीलता में भिन्न नहीं है, यदि हम महत्व स्तर a = 0.1 लेते हैं।
फेसला. हम ऊपर बताए गए क्रम में कार्य करते हैं।
1. हम फैलाव मूल्यों के संदर्भ में नई और पुरानी प्रौद्योगिकियों के लिए कच्चे माल की खपत की परिवर्तनशीलता का न्याय करेंगे। इस प्रकार, शून्य परिकल्पना का रूप H 0: s x 2 = s y 2 है। एक प्रतिस्पर्धी परिकल्पना के रूप में, हम परिकल्पना H 1: s x 2 s y 2 को स्वीकार करते हैं, क्योंकि हम पहले से सुनिश्चित नहीं हैं कि कोई भी सामान्य प्रसरण दूसरे से बड़ा है।
2-3। नमूना भिन्नता खोजें। गणनाओं को सरल बनाने के लिए, आइए सशर्त विकल्पों पर चलते हैं:
यू मैं = एक्स मैं - 307, वी मैं = वाई मैं - 304।
हम सभी गणनाओं को निम्नलिखित तालिकाओं के रूप में व्यवस्थित करेंगे:
| आप मैं | मैं मैं | मैं तुम मैं हो | मैं तुम मैं 2 | मी मैं (यू मैं +1) 2 | वी मैं | मैं | एन आई वी आई | एन मैं वी मैं 2 | एन मैं (वी मैं +1) 2 | |
| -3 | -3 | -1 | -2 | |||||||
| å | - | |||||||||
| å | - |
नियंत्रण: m i u i 2 + 2å m i u i + m i = नियंत्रण: n i v i 2 + 2å n i v i + n i = 13 + 2 + 9 = 24 = 34 + 20 + 13 = 67
सही नमूना प्रसरण खोजें:
4. प्रसरणों की तुलना करें। बड़े संशोधित विचरण का छोटे से अनुपात ज्ञात कीजिए:
.
5. शर्त के अनुसार, प्रतिस्पर्धी परिकल्पना का रूप s x 2 s y 2 है, इसलिए, महत्वपूर्ण क्षेत्र दो तरफा है, और महत्वपूर्ण बिंदु खोजने पर, किसी को महत्व स्तर लेना चाहिए जो दिए गए आधे से कम हो।
तालिका A.1.7 के अनुसार, महत्व स्तर a/2 = 0.1/2 = 0.05 और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n 1 = n 1 - 1 = 12, n 2 = n 2 - 1 = 8 के अनुसार, हम पाते हैं महत्वपूर्ण बिंदु एफ करोड़ (0.05; 12; 8) = 3.28।
6. चूंकि एफ ओब।< F кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.
ऊपर, परिकल्पनाओं का परीक्षण करते समय, यह माना गया कि अध्ययन के तहत यादृच्छिक चर का वितरण सामान्य था। हालांकि, विशेष अध्ययनों से पता चला है कि सामान्य वितरण से विचलन के संबंध में प्रस्तावित एल्गोरिदम बहुत स्थिर हैं (विशेषकर बड़े नमूना आकार के साथ)।
